автореферат диссертации по технологии продовольственных продуктов, 05.18.12, диссертация на тему:Теоретические и практические аспекты процесса ультрафильтрации молочных сред

На правах рукописи

Лобасенко Роман Борисович

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОЦЕССА УЛЬТРАФИЛЬТРАЦИИ МОЛОЧНЫХ СРЕД

Специальность: 05.18.12 — Процессы и аппараты пищевых производств 05.13.18 — Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Кемерово 2004

Работа выполнена на кафедрах вычислительной математики Кемеровского государственного университета и процессов и аппаратов пищевых производств Кемеровского технологического института пищевой промышленности

Научный руководитель

- кандидат физико-математических наук, доцент Захаров Ю. Н.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Иванец Г. Е.

доктор технических наук. Тайлаков О. В.

Ведущая организация

- Институт вычислительных технологий СО РАН

Защита состоится «_»

2004 г. в

часов на заседании

диссертационного совета К 212.089.01 при Кемеровском технологическом институте пищевой промышленности по адресу: 650056, г. Кемерово, бульвар Строителей, 47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кемеровского технологического института пищевой промышленности.

Автореферат разослан «_»

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

Бакин И. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из актуальных проблем современной пищевой промышленности является задача разделения и концентрирования растворов различного назначения и, в частности, молочных сред. Использование для этих целей мембранных методов позволяет получать пищевые продукты в большем ассортименте и лучшего качества, что выгодно отличает их от традиционных процессов. Однако типовые мембранные аппараты и установки характеризуются невысокой производительностью, что сдерживает их распространение.

Созданные в последнее время мембранные аппараты, использующие отвод поляризационного слоя, имеют большую производительность и меньшую энергоемкость, что создает благоприятные условия для их широкого внедрения. В месте с тем, производительность таких аппаратов по отводимому концентрату все еще невысока, и это снижает эффективность их применения. В этой связи, одной из важнейших является задача совершенствования новых мембранных аппаратов и создание установок на их основе. Существенную роль в ее решении играет математическое моделирование мембранных процессов. Однако имеющиеся на сегодняшний день математические модели касаются либо типовых мембранных методов и не могут быть использованы для описания работы оборудования нового типа, либо моделируют стационарные процессы на плоскости или в полубесконечном канале, что является достаточно серьезным упрощением, снижающим их адекватность реальному процессу. В целом, это оказывает негативное влияние на техническое совершенствование и промышленное внедрение дппа-ратов нового типа. В связи с этим, актуальной задачей является создание нестационарных математических моделей, способных описывать как процесс фильтрации через мембрану, так и образование на ее поверхности поляризационного слоя, обогащенного растворенным веществом.

Цель и задачи исследований. Целью работы является математическое моделирование и разработка мембранных аппаратов и установок, использующих отвод поляризационного слоя для интенсификации процесса мембранного концентрирования молочных сред.

Для достижения поставленных целей решались следующие задачи:

• численное исследование стационарной модели ультрафильтрации с учетом гелеобразования на поверхности мембраны с помощью конечно-разностных методов;

• разработка нестационарной математической модели мембранного концентрирования;

• создание комплекса программ для проведения численных расчетов процессов мембраного разделения;

• разработка мембранного аппарата с отводом поляризационного слоя и установки на его основе;

• разработка методики инженерного расчета мембранной установки для ультрафильтрации молочных сред.

Научная новизна. Для решения стационарной математической модели ультрафильтрации с учетом гелеобразования на поверхности мембраны применены конечно-разностные численные методы с использованием итерационных схем, сходящихся для произвольных начальных данных. С их помощью исследовано влияние на процесс основных технологических параметров. Разработана нестационарная пространственная математическая модель ультрафильтрации молочных сред, позволяющая рассчитывать производительность мембраны по фильтрату и определять концентрацию отводимого поляризационного слоя. Получены уравнения регрессии, описывающие зависимость концентрации сухих веществ в отводимом поляризационном слое от температуры, давления и скорости движения жидкости, для обезжиренного молока и творожной сыворотки. Определены их рациональные параметры.

Практическая значимость. Алгоритмы, использованные в процессе анализа плоской стационарной модели фильтрации, в частности, методы ускорения сходимости решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений и переноса граничных условий с бесконечности на границу конечной области, могут быть применены в других задачах, связанных с анализом пограничного слоя. Разработан комплекс программ, на основе которого создан инженерный расчет мембранной установки непрерывного действия. Разработана новая конструкция мембранного аппарата с отводом поляризационного слоя и схема установки непрерывного действия на её основе, техническая новизна которых защищены двумя патентами РФ. Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе на кафедрах вычислительной математики КемГУ и процессов и аппаратов пищевых производств КемТИПП.

Автор защищает:

• методы численного исследования плоской стационарной модели ультрафильтрации с учетом гелеобразования на поверхности мембраны;

• нестационарную пространственную модель фильтрации высокомолекулярных органических соединений;

• разработанный комплекс программ, для проведения численных экспериментов;

• новую конструкцию мембранного аппарата, схему и компоновку установки непрерывного действия.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

• на II и III региональных научно-практических конференциях «Информационные недра Кузбасса», Кемерово, 2002г., 2003г.;

• на международной научно-практической конференции, посвященной 85-летию Омского аграрного университета, Омск, 2003г.;

• на XLII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2004г;

• на IV региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов, посвященной 50-летию КемГУ, Новокузнецк, 2004г;

• на Международной конференции по вычислительной математике, Новосибирск, 2004г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 20 работ. Из них 1 в центральной печати, 3 депонированных рукописи, 2 патента РФ, 1 свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы и приложений, включает 57 рисунков и 8 таблиц. Основной текст изложен на 130 страницах машинописного текста. Список литературы включает 139 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе произведен анализ математических моделей фильтрации и методов их решения, существующих на сегодняшний день, а также рассмотрены конструкции современных ультрафильтрационных мембранных аппаратов.

Во второй главе рассмотрены два подхода к математическому моделированию процесса фильтрации растворов высокомолекулярных органических веществ.

Первый из них заключается в исследовании процесса стационарного движения и фильтрации исходного раствора высокомолекулярного вещества с постоянной скоростью на плоской полубесконечной мембране (Рис. 1). Толщина раствора над мембраной не ограничена. Режим течения жидкости считаем ламинарным, а толщину пограничного слоя - бесконечно малой.

В процессе фильтрации с начальной скоростью у поверхности мембраны формируется поляризационный слой, обогащенный растворенным веществом.

Его толщина постепенно растет. При превышении определенного значения концентрации (концентрации гелеобразования С*), на поверхности мембраны образуется малопроницаемый слой геля.

Известная математическая модель описанного процесса имеет вид:

+ i Гр V

Ъф 1.' 4 * дг? 1 дЧ ф + ^ у гдф dz

Ргд дт]2 2 дт)

(д2ф дф_дф &ф\ * \д£дт]' дт) д( ' дт?Г

дт) \дт) д£

дф

С граничными условиями при r¡ — 0:

где

*1„=о < 2

dz dr¡

91 <V

дт]

■■ 0, ф = 0, где z = z*

(2)

На удалении от мембраны при Т] ■

■ оо:

дф дг]

1, z-»l.

(3)

И Z

Здесь Т] - безразмерные пространственные переменные, а безразмерные функции тока и концентрации соответственно. Проницаемость мембраны: Система для начальных значений:

"Б"\/—— = const, Ru\ Щ- (4)

V =

^Фо Фо dif 2 1 £р2о

Ргв

<Рфо_п

' dr¡> ~ ' ¿O dzp _ <í?72 2 dr¡

(5)

Решение (5) с граничными условиями (2), (3) определяет начальные профили безразмерных функций тока и концентрации.

Представленная задача содержит в себе некоторые трудности, связанные с ее численным решением.

Одной из основных является наличие производной третьего порядка по г] от функции тока в первом уравнении системы (1). Вторая не менее значимая проблема - это нелинейность уравнений системы. Третья проблема непосредственно связана с наличием краевого условия на бесконечно удаленной границе.

Мы предлагаем понизить порядок первого уравнения системы с помощью преобразования ^ = /. Лианеризовав уравнения системы, расчеты

будем производить в конечной области, следя за тем, чтобы ее верхняя граница была достаточно высоко.

Преобразованная задача была аппроксимирована на равномерной прямоугольной сетке со вторым порядком аппроксимации, полученная система линейных уравнений решалась методом разностной прогонки с добавлением итераций по нелинейности.

Предложенный подход с использованием жесткой верхней границы обеспечивает неплохую точность решения задачи в случае, если она находиться достаточно высоко. В частности, полученное с помощью предложенного метода решение уравнения Блазиуса движения вязкой несжимаемой

жидкости вдоль полубесконечной пластины расходиться с известным не более чем на 0.5%. Однако часто нас интересует решение лишь в тонкой околомембранной области. В этом случае, учитывая нелинейность уравнений задачи (1)-(5), а также третий прядок первого уравнения системы (1), логично предположить, что для ее численного анализа целесообразно использовать итерационные методы. Однако существующие в настоящее время методы решения нелинейных уравнений, например метод Ньютона, накладывают серьезные ограничения на оператор и начальное приближение, которое должно быть достаточно близким к точному решению. Также открытой остается проблема наличия краевого условия на бесконечно удаленной границе.

Рассмотрим градиентный итерационный метод решения задачи (1)-(5), позволяющий обойти вышеперечисленные трудности.

В конечномерном гильбертовом пространстве Нт рассмотрим систему нелинейных уравнений

А{и,и) =/ (6)

где, А(и,ь) = А\(и,Аг - линейный оператор, А\(и,и) - билинейное отображение, и, / - га-мерные векторы из Нт. Далее будем предполагать, что система (6) имеет хотя бы одно решение.

Для решения (6) рассмотрим итерационную схему

где Вп - заданная матрица с элементами, зависящими от ип, Хп € Нт некоторый вектор, - произвольное начальное приближение из области определения оператора - итерационные параметры.

Для первого шага схемы (7) - используем метод минимальных невязок с итерационным параметром

На втором шаге схемы параметр ап+1 - квадратная матрица с т ненулевыми э л е м е = 1,2,...,т. А:з о л ь н о е целое число от 1 до т. Решение здесь ищем в виде:

где - вектор

с одной ненулевой -ой компонентой,

Компоненты матрицы ап+х находим из условия минимума нормы вектора невязки

Одной из особенностей рассмотренного метода является нетрадиционный подход к решению проблемы наличия краевых условий на бесконечно удаленной границе. Вместо краевого условия на бесконечности мы аппроксимируем само уравнение внутри исследуемой области.

На практике нередка ситуация, когда ип Я) а также г" г^"-1'

и г" ~ г'"-2^ Фактически, это означает замедление сходимости, а значит увеличение времени расчетов. Процедура ускорения сходимости рассмотренной схемы выглядит следующим образом:

где и>„ = const параметр, который находим из условия минимума нормы вектора невязки

Использование рассмотренных методов численного решения модели позволило выявить наличие оптимальной проницаемости мембраны, при которой происходит максимальное увеличение концентрации растворенного вещества над ее поверхостью (Рис. 2) На представленном рисунке изображен график зависимости отношения концентрации в момент гелеоб-разования к исходной от начальной проницаемости мембраны. Из рисунка следует, что нет необходимости стремиться к как можно большей проницаемости мембраны. Также, удалось получить численное обоснование идеи создания мембранных аппаратов, использующих отвод поляризационного слоя Это утверждение иллюстрируют графики изменения концентрации в направлении перпендикулярном плоскости мембраны на различном удалении от ее начала (Рис. 3). По ним видно, что концентрация активно изменяется лишь в околомембранной области.

.«I..........тт. .—............ ■■■—■ 1 ■—1 ■ ■ ■ ■—■—1—'—1

1 а 9 4 Е в 7 * в 10 1* 13 14 1S ООО 017 0 33 0 60 0 в7 063 100

Проницаемость, V, 10 Поперечная координата, tj

Рис 2 График зависимости отно- Рис 3 Графики изменения концен-шения концентраций от проницае- трации в поперечных сечениях по-мости мембраны. тока < £2 < £3

Несмотря на большое количество результатов и выводов, часть из которых представлены выше, стационарность рассмотрений модели ограничивает нас в возможности моделирования нестационарных мембранных процессов

С этой целью рассмотрим нестационарный процесс движения раствора высокомолекулярного вещества в области Г2 = {(х,у,г)\х2 + у2 < а2,0 < г < ¿} и его фильтрации через стенку цилиндра (Рис 4).

Движение раствора происходит за счет разности давлений Р0—Р1 > 0 на концах мембраны Внутреннее давление жидкости обозначим рж, внешнее

атмосферное давление - ратм•

Математическая модель процесса имеет вид:

р {ж+(1? 'v)+Vp=9 (div{T)+•

+ (V-V)C = dwCDVC),

div~v = 0. ЭС

at

Рис. 4. Схема цилиндрической мембраны.

(Ю) (П)

_ , . (дщ дуЛ _

где Т = (гу),тц = ¡1 [д^'.+о^-. I- ^-скорость течения, /3-коэффициент диффузии, ^-коэффициент динамической вязкости, р-плотность, Vp-rpaдиeнт давления, С-концентрация растворителя, /массовая сила.

Для (10) и (11) зададим следующие начальные:

гГ(0, х, у, z) = v0(x, у, z), С(О, х, у, z) - С0 и краевые условия для t > 0: ""] — о

Щг-о ~ (^• ñ)ñ' p\z=о = Va, х2 + у2< а2, и|г=1 = (v-ñ)n, р|г=1 = pu х2 + у2 < а2.

= 0,

г=1

дС дпл

= —V(t, Со) ■ (рж-рапш) • С\а-

(12)

(13)

(14)

(15)

Здесь А = {(х,у,г)\х2 + у2 = а2,0 < г < I}, щ(х,у,г) - начальная скорость течения раствора. Со - концентрация растворителя в начальный

момент времени. Нахождение концентрации растворителя является особенностью нашей постановки задачи и объясняется удобством анализа изменения массы раствора в процессе фильтрации.

Особое внимание следует обратить на краевое условие (15) на проницаемой границе, здесь коэффициент проницаемости мембраны V (X, С) заранее не известен, он подбирается нами на основании экспериментальных исследований.

Основываясь на геометрических параметрах мембраны и особенностях исследуемого процесса, в частности отсутствия турбулентности, логично предположить, что движение жидкости в мембране подчиняется закону Пуазейля:

= 1(а»-г»). (16)

4fd

Тогда для определения параметров фильтрации достаточно решить задачу (11), (12), (14), (15).

Численная реализация данного подхода наиболее проста и обеспечивает достаточную точность решения диффузионной задачи. Однако, как показывают экспериментальные исследования, наличие концентрационной поляризации в околомембранной области при ультрафильтрации молочных сред обуславливает экспоненциальное возрастание концентрации растворенного вещества вблизи поверхности мембраны. Для учета этой особенности рассмотрим обобщения решения Пуазейля в случае переменного коэффициента динамической вязкости. Данный подход позволит нам смоделировать наличие пограничного слоя и геля на поверхности мембраны.

Если предположить, что течение раствора является стационарным, осе-симметричным и / = 0, то при непрерыв^ = /^(г)с учетом условий V (а) = 0, V1 (0) = 0 из (10) найдем:

V (г) — —

Ро~Р1

21 J ¿¿(г)

г

Если же ¡л, = /¿(г) кусочно-постоянная функция: ц = | то непрерывное кусочно-гладкое решение (10), имеет вид:

(17)

0 < г < Г! П < г < а '

V (г) =

Ро~Р1 4 Ц\1 Ро~Р1

(а2 - г2) < г < а.

(18)

Схематичный профиль скорости в этом случае изображен на рисунке 5.

Следует отметить, что (17), (18) - это точные решения уравнения движения (10), обоб--щающие решение Пуазейля при соответствующих предположениях.

В уравнении (11) перейдем к безразмерным Рис. 5. Профиль скорости, цилиндрическим координатам:

1 (\дС . а2с . _

дС дС ,

----- V — ■

М* дг* Реп

(I

дс э2с

дг* + дг*, + д^)

о,

(19)

ас

дг*

= 0,

(20)

(Ю дг*

- о,

г*=0

дС дг*

г*=1

= Со)-Ь-{рж- ратм) • С|г.=1.

(21)

-Задача (17), (19) - (21) была аппроксимирована на равномерной прямоугольной сетке со вторым порядком аппроксимации по времени и пространственным переменным. Полученная система линейных уравнений решалась методом продольно-поперечной прогонки.

Численный анализ предложенной модели позволил рассчитать зависимость производительности мембраны от продолжительности процесса с учетом ее промежуточной очистки (Рис. 6). На рисунке представлены графики для молока и творожной сыворотки с концентрациями сухих веществ 8% (график 1) и 24% (график 2) соответственно. Экспериментальные данные отображены жирными, а расчетные - тонкими линиями. В первом случае очистка производилась через 2700 сек, во втором - 1800 сек. Как видно из рисунка, производительность мембраны экспоненциально убывает в течении 900 сек, после чего остается практически неизменной.

На данном расчете производится настройка параметров модели, в частности, изначально неизвестной функции проницаемости, используемой в других расчетах. Относительная погрешность с экспериментальными данными составляет не более 15%.

Используя данные о проницаемости мембраны, предложенная модель позволяет рассчитать зависимость концентрации сухих веществ отводимого слоя от продолжительности процесса и начальной концентрации (Рис. 7). Погрешность относительно экспериментальных данных для этого расчета составляет не более 5%.

Рис. 6. Графики зависи- Рис. 7. График зависимости концентрации мости производительности отводимого слоя от продолжительности про-мембраны от продолжи- цесса и начальной концентрации, тельности процесса.

В третьей главе предлагается усовершенствованная конструкция мембранного аппарата, использующего отвод поляризационного слоя.

В качестве базовой модели был выбран аппарат, представленный на рисунке 8, авторство и новизна которого защищены патентом РФ №2181619.

Анализ экспериментальных исследований, проведенных на базовой мо-

дели аппарата показал, что эффективность его работы можно улучшить за счет конструктивных изменений штока. Внесенные изменения существенно уменьшают турбулизацию потока в околомембранной области и, тем cамым, предотвращает: размытие верхней части поляризационного слоя, способствуя сохранению его концентрации.

На предложенную конструкцию подготовлена заявка на патент РФ.

Для анализа эффективности предложенного аппарата была разработана методика проведения исследований и экспериментальный стенд. Сравнительный анализ полученных данных показал, что концентрация отводимого раствора на новом аппарате при одинаковых технологических параметрах превышает аналогичный показатель базовой модели на 5-6%.

На основе экспериментальных данных с помощью программы Statistica 6.0 получены уравнения регрессии для молока (22) и творожной сыворотки (23), описывающие зависимость содержания сухих веществ в отводимом слое от температуры, давления и скорости течения жидкости.

С{1, р, V) = 8.087 + 0.021 • 4 + 6.577 • 10"6 • р + 1.67 • И-

+7.8 • 10"8 -г-р- 2.833 • 10-3 • 4• и + 2.133 • 10"® ■ р• V- (22)

0(Ь,р, V) = 4.942 + 4.969 • 10~3 • * - 9.473 • Ю-8 • р-

-1.287 • V + 4.554 • Ю-7 -Ь-р + 0.072 • 4 ■ (23)

, Проведена проверка адекватности полученных уравнений, и определены рациональные парамеры процесса.

На основе предложенного мембранного аппарата была создана опытно-промышленная конструкция, используемая в дальнейшем для компоновки мембранной установки.

Четвертая глава посвящена разработке компоновки мембранной установки на основе аппаратурной схемы, представленной на рисунке (Рис. 11).

Работа установки осуществляется следующим образом. Исходный раствор из ёмкости 1 насосом 2 по трубопроводу 4 подаётся на первую ступень концентрирования 3. Здесь образуются обедненный раствор и фильтрат. Последний по трубопроводу 7 выводится из установки, а обедненный раствор циркулирует по контуру, который включает в себя трубопровод 5 и насос 2. В процессе концентрирования у поверхности мембран образуется

Рис. 8. Аппарат для мембранного концентрирования. 1, 5-кольцевые щели; 4-кожух;, 2-корпус; 6-шток; 7-резьба; 8-мембрана; 3, 9-штуцер.

слой с большим содержанием растворенных веществ, чем находящийся в канале мембранного аппарата. Подача на следующую ступень именно этого слоя позволяет достичь заданной концентрации продукта за меньший отрезок времени, то есть увеличить производительность процесса.

Общим требованием при компоновке самих ступеней является минимальная площадь аппаратов и количество вспомогательного оборудования, необходимое для получения заданного количество продукта соответствующей концентрации. Также следует" принимать вo внимание сохранение концентрации получаемого продукта, то есть необходимо избежать его разбавления.

Учитывая приведенные требования, нами было разработано два принципиальных варианта компоновки ступеней.

В первом случае (Рис. 12) установка состоит из изменяющихся по размеру мембранных блоков. Обедненный раствор отводится на следующий мембранный блок, площадь которого меньше предыдущего a

поляризационый слоя на следующую ступень концентрирования. Количество блоков определяется объемом получаемого продукта.

Рис. 11. Схема установки непрерывного действия. Патент РФ №2168353.

Рис. 12. Мембранная ступень с по- Рис. 13. Мембранная ступень с следовательным движением обед- циркуляционным блоком: 1 - ос-ненного раствора: 1, 2, 3 - мембран- новной блок; 2 - циркуляционный ные блоки. блок.

Во втором случае (Рис. 13) исходный раствор подается одновременно на основной и циркуляционный блоки. Циркуляционный блок необходим для компенсации расхода раствора за счет отвода поляризационного слоя. При этом наиболее перспективным представляется последний вариант компоновки ступени мембранного концентрирования, характеризующийся отсутствием исходящего обедненного потока.

Для проектирования мембранных установок на основе принципиальной схемы (Рис. 11) с применением ступеней вида (Рис. 12) и (Рис. 13) разработана методика инженерного расчета, использующая программный комплекс

«Мембрана». Предложеная методика позволяет определить количество аппаратов и ступеней концентрирования необходимых для получения требуемого количества продукта заданной концентрации.

ВЫВОДЫ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) Обоснована целесообразность использования конечно-разностных численных методов для решения стационарной математической модели ультрафильтрации с учетом гелеобразования на поверхности мембраны. На основе результатов проведенных расчетов удалось показать существование оптимальной проницаемости ультрафильтрационной мембраны, получить численное обоснование целесообразности отвода поляризационного слоя из околомембранной области, а также исследовать характер влияния на процесс ряда важнейших технологических параметров, таких как скорость течения, коэффициент диффузии и вязкости.

2) С учетом выводов, сделанных в процессе численного анализа стационарной задачи, была разработана нестационарная пространственная математическая модель мембранного концентрирования высокомолекулярных органических веществ. Адекватность предложенной модели проверена экспериментальными данными, полученными при проведении ультрафильтрации молочных сред. Относительная погрешность расчетных данных с экспериментальными составляет не более 15%.

3) Разработан комплекс программ «Мембрана», позволяющий производить численные эксперименты в соответствии с обеими математическими моделями. Его возможности позволяют расчитать концентрацию как отводимого из околомембранной области поляризационного слоя, так и обедненного потока в канале аппарата. Авторство и новизна комплекса защищены свидетельством об официальной регистрации программ для ЭВМ №2004611467.

4) На основе мембранного аппарата, использующего отвод поляризационного слоя (Патент РФ №2181619), была предложена его усовершенствованная конструкция. Проведены экспериментальные исследования. Получены уравнения регрессии, описывающие зависимость концентрации сухих веществ в отводимом поляризационном слое от температуры, давления и скорости движения жидкости, для обезжиренного молока и творожной сыворотки. Определены их рациональные параметры.

5) Предложена схема многоступенчатой установки непрерывного действия (Патент РФ №2168353). Для ее компоновки разработано два варианта ступеней. Первый из них с последовательным движением, а второй -с циркуляцией обедненного раствора.

6) Разработана методика инженерного расчета многоступенчатой установки непрерывного действия, позволяющая определить количество аппаратов и ступеней концентрирования необходимых для получения требуемого количества продукта заданной концентрации.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

р-перепад давления, Па; /¡^-гидравлическое сопротивление мембраны, м~1; Ргд = — -диффузионное число Прандтля; Э-коэффициент диффузии, м2/с; ^-коэффициент кинематической вязкости, м2/с\ Ре.д = -диффузионный критерий Пекле; «-характерная скорость движения жидкости, м/с; ¿-характерный размер мембраны, м.

ПЕРЕЧЕНЬ ПУБЛИКАЦИЙ

1. Лобасенко Б. А., Лобасенко Р. Б. Аппаратурные схемы мембранных установок непрерывного действия на основе оборудования нового типа // Известия вузов: Пищевая технология. — Москва, 2001. — № 4. — С. 79-80.

2. Лобасенко Р. Б. Численное изучение явлений концентрационной поляризации и гелеобразования / КемГУ. - Кемерово, 2003. - 31с. — Деп. в ВИНИТИ 17.06.2003; №1166-В2003.

3. Лобасенко Б. А., Лобасенко Р. Б. Концентрационная поляризация. Гелеобразование / КемТИПП. - Кемерово, 2000. - 17с— Деп. в ВИНИТИ 20.04.2000; №1091-В00.

4. Лобасенко Б. А., Лобасенко Р. Б. Основные направления развития аппаратурных схем мембранных установок / КемТИПП. - Кемерово, 2000. - Юс. - Деп. в ВИНИТИ 20.04.2000; №1090-В00.

5. Захаров Ю. И., Лобасенко Р. Б., Рагулин В. В. Одна нестационарная математическая модель метода ультрафильтрации // Материалы международной конференции по вычислительной математике.— Новосибирск: ИВМиМГ (ВЦ) СО РАН, 2004. - Т. 2. - С. 481-486.

6. Захаров Ю. Н, Лобасенко Р. Б., Рагулин В. В. Разработка и решение нестационарной математической модели процесса фильтрации в цилиндрической мембране // Вестник Кемеровского государственного университета. Серия МАТЕМАТИКА. — Кемерово: Изд-во КемГУ, 2004. - № 1(17). - С. 104-108.

7. Семенов А. Г., Захаров Ю. Н., Лобасенко Р. Б. Численный анализ модели процесса гелеобразования при ультрафильтрации на плоской мембране // Сборник научных трудов «Технология и техника пищевых производств». — Кемерово: Изд-во КемТИПП, 2003. — С. 164-167.

8. Захаров Ю. Н., Лобасенко Р. Б. Применение методов минимальных невязок в изучении математических моделей ультрафильтрации // Сборник научных трудов «Технология и техника пищевых производств». — Кемерово: Изд-во КемТИПП, 2003. - С. 155-158.

9. Захаров Ю. И., Лобасенко Р. Б., Семенов А. Г. Анализ модели процесса гелеобразования при ультрафильтрации на плоской мембране // Сб. матер, международной научно-практической конф., посвященной 85-летию Омского аграрного университета.— Омск: Изд-во ОмГАУ, 2003.-С. 238-241.

10. Лобасенко Р. Б. Численное решение задачи ультрафильтрации с учетом гелеобразования на поверхности мембраны // Сборник трудов XXIX конференции студентов и молодых ученых КемГУ. — Кемерово: Кузбассвузиздат, 2002. - С. 294-296.

11. Лобасенко Р. Б. Численный подход к решению задач ультрафильтра-ци // Материалы всероссийской научной конференции «Наука и образование». — Кемерово: Изд-во Кемер. ун-та, 2002. — Т. 2. — С. 136— 138.

12. Лобасенко Б. А., Лобасенко Р. Б. Разработка новых конструкций мембранных аппаратов для переработки пищевых продуктов // Сб. матер, международной научно-практической конф., посвященной 85-летию Омского аграрного университета.— Омск: Изд-во ОмГАУ, 2003,— С. 258-260.

13. Захаров Ю. И., Лобасенко Р. Б., Рагулин В. В. Модель нестационарного процесса ультрафильтрации в цилиндрической мембране // Сб. тр. III регональной научно-практической конф. «Информационные недра Кузбасса». — Кемерово: Изд-во Кемер. ун-та, 2004. — С. 246-248.

14. Лобасенко Р. Б. Нестационарная модель процесса фильтрации в цилиндрической мембране // Сб. тр. молодых ученых КемГУ, поев 30-летию Кемеровского государственного университета. — Кемерово: Полиграф, 2004. - С. 177-178.

15. Лобасенко Р. Б. Разработка и решение нестационарной математической модели процесса фильтрации высокомолекулярных веществ в цилиндрической мембране // Сб. докладов аспирантов и молодых ученых IV Региональной научно-практической конференции студентов аспирантов, посвященна 50-летию КемГУ. — Новокузнецк: Изд-во НФИ Кемер. ун-та, 2004. — Т. 2. - С. 13-14.

16. Лобасенко Р. Б. Численное моделирование процессов мембранного концентрирования растворов высокомолекулярных веществ // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». — Анжеро-Судженск: Изд-во Томского ун-та, 2 0 04.-Т. 1.-С. 102-103

17. Семенов А. Г., Лобасенко Р. Б. Повышение эффективности метода ультрафильтрации // Сборник научных работ «Продукты питания и рациональное использование сырьевых ресурсов». — Кемерово: Изд-во КемТИПП, 2002,- №5.-С. 93.

18. Патент №2168353 РФ, МКИ В 01 J 8/00, В 01 D 9/00. - 200105933/12 / Способ мембранного концентрирования / Б. А. Лобасенко, В. А. Павский, С. А. Иванова, Р. Б. Лобасенко // заявлено 10.03.00, опубл. бюл. №16 10.06.2001.

19. Патент №2181619 РФ, МКИ 7 В 01 Б 63/06. - 2000127005/12 / Аппарат для мембранного концентрирования / Б. А. Лобасенко, А. А. Сафонов, Р. Б. Лобасенко, А. А. Черданцева // заявлено 27.10.00, опубл. бюл. №12 27.04.02.

20. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2004611467. Автоматизированная система расчета производительности ультрафильтрационных мембран «Мембрана» / Р. Б. Лобасенко, Ю. Н. Захаров, В. В. Рагулин, А. Г. Семенов // заявлено 23.04.04, зарег. 15.06.04.

Выражаю искреннюю благодарность А.Г. Семенову, к. ф.-м. н., зав. каф. прикладной математики КемТИПП и В.В. Ругулину, к. ф.-м. н., доц. каф. дифференциальных уравнений КемГУ за помощь, оказанную ими при подготовке данной работы.

Подписано к печати 23.09.04. Формат 60x90/16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №199. Отпечатано на ризографе. Кемеровский технологический институт пищевой промышленности 650056, г. Кемерово, б-р Строителей, 47. Отпечатано в лаборатории множительной техники КемТИППа 650010, г. Кемерово, ул. Красноармейская, 52.

Ij-LÍLM

РНБ Русский фонд

2005-4 16394

Введение и постановка задач исследования

ГЛАВА 1. Состояние вопроса и задач исследования

1.1. Мембранные способы разделения молочных продуктов.

1.2. Обзор конструкций ультрафильтрационных мембранных аппаратов

1.3. Математическое моделирование процессов течения и фильтрации жидкостей. 1.4. Методы численного решения математических моделей гидродинамики

Выводы по главе

ГЛАВА 2. Математическое моделирование процесса ультрафильтрации

2.1. Численный анализ стационарной математической модели ультрафильтрации с учетом гелеобразования на поверхности мембраны

2.2. Разработка нестационарной математической модели процесса фильтрации высокомолекулярных сред.

Выводы по главе

ГЛАВА 3. Разработка мембранного аппарата с отводом поляризационного слоя

3.1. Разработка опытной конструкции мембранного аппарата.

3.2. Разработка экспериментального стенда.

3.3. Методика проведения экспериментальных исследований.

3.4. Экспериментальные исследования мембранного аппарата.

Ф 3.5. Разработка опытно-промышленной конструкции мембранного аппарата.

Выводы по главе

ГЛАВА 4. Разработка аппаратурной схемы мембранной установки на основе аппарата нового типа

4.1. Описание мембранной установки непрерывного действия.

4.2. Разработка схем компоновок ступеней мембранной установки

4.3. Сравнительный анализ компоновок мембранных установок

4.4. Описание интерфейса и функциональных особенностей автома-щ тизированной системы расчета производительности ультрафильтрационных мембран «Мембрана».

4.5. Методика инженерного расчета мембранной установки непрерывного действия

Выводы по главе

Выводы и основные результаты работы

Актуальность темы. Одной из актуальных проблем современной пищевой промышленности является задача разделения и концентрирования растворов различного назначения и, в частности, молочных сред. Использование для этих целей мембранных методов позволяет получать пищевые продукты в большем ассортименте и лучшего качества, что выгодно отличает их от традиционных процессов. Однако типовые мембранные аппараты и установки характеризуются невысокой производительностью, что сдерживает их распространение.

Созданные в последнее время мембранные аппараты, использующие отвод поляризационного слоя, имеют большую производительность и меньшую энергоемкость, что создает благоприятные условия для их широкого внедрения. Вместе с тем, производительность таких аппаратов по отводимому концентрату все еще невысока, и это снижает эффективность их применения. В этой связи, одной из важнейших является задача совершенствования новых мембранных аппаратов и создание установок на их основе. Существенную роль в ее решении играет математическое моделирование мембранных процессов. Однако имеющиеся на сегодняшний день математические модели касаются либо типовых мембранных методов и не могут быть использованы для описания работы оборудования нового типа, либо моделируют стационарные процессы на плоскости или в полубесконечном канале, что является достаточно серьезным упрощением, снижающим их адекватность реальному процессу. В целом, это оказывает негативное влияние на техническое совершенствование и промышленное внедрение аппаратов нового типа. В связи с этим, актуальной задачей является создание нестационарных математических моделей, способных описывать как процесс фильтрации через мембрану, так и образование на ее поверхности поляризационного слоя, обогащенного растворенным веществом.

Цель и задачи исследований. Целью работы является математическое моделирование и разработка мембранных аппаратов и установок, использующих отвод поляризационного слоя для интенсификации процесса мембранного концентрирования молочных сред.

Для достижения поставленных целей решались следующие задачи:

• численное исследование стационарной модели ультрафильтрации с учетом гелеобразования на поверхности мембраны с помощью конечно-разностных методов;

• разработка нестационарной математической модели мембранного концентрирования;

• создание комплекса программ для проведения численных расчетов процессов мембраного разделения;

• разработка мембранного аппарата с отводом поляризационного слоя и установки на его основе;

• разработка методики инженерного расчета мембранной установки для ультрафильтрации молочных сред.

Научная новизна. Для решения стационарной математической модели ультрафильтрации с учетом гелеобразования на поверхности мембраны применены конечно-разностные численные методы с использованием итерационных схем, сходящихся для произвольных начальных данных. С их помощью исследовано влияние на процесс основных технологических параметров. Разработана нестационарная пространственная математическая модель ультрафильтрации молочных сред, позволяющая рассчитывать производительность мембраны по фильтрату и определять концентрацию отводимого поляризационного слоя. Получены уравнения регрессии, описывающие зависимость концентрации сухих веществ в отводимом поляризационном слое от температуры, давления и скорости движения жидкости для обезжиренного молока и творожной сыворотки. Определены их рациональные параметры.

Практическая значимость. Алгоритмы, использованные в процессе ф) анализа плоской стационарной модели фильтрации, в частности, методы ускорения сходимости решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений и переноса граничных условий с бесконечности на границу конечной области, могут быть применены в других задачах, связанных с анализом пограничного слоя. Разработан комплекс программ, на основе которого создана методика инженерного расчета мембранной установки непрерывного действия. Разработаны новая конструкция мембранного аппарата с отводом поляризационного слоя и схема установки непрерывного действия на её основе, техническая новизна которых защищены двумя патентами РФ. Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе на кафедрах вычислительной математики КемГУ и процессов и аппаратов пищевых производств КемТИПП.

Автор защищает:

• методы численного исследования плоской стационарной модели ультрафильтрации с учетом гелеобразования на поверхности мембраны;

• нестационарную пространственную модель фильтрации высокомолекулярных органических соединений;

• разработанный комплекс программ для проведения численных экспе-^ риментов;

• новую конструкцию мембранного аппарата, схему и компоновку установки непрерывного действия.

ВЫВОДЫ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Обоснована целесообразность использования конечно-разностных численных методов для решения стационарной математической модели ультрафильтрации с учетом гелеобразования на поверхности мембраны. На основе результатов проведенных расчетов удалось показать существование оптимальной проницаемости ультрафильтрационной мембраны, получить численное обоснование целесообразности отвода поляризационного слоя из околомембранной области, а также исследовать характер влияния на процесс ряда важнейших технологических параметров, таких как скорость течения, коэффициент диффузии и вязкости.

2. С учетом выводов, сделанных в процессе численного анализа стационарной задачи, была разработана нестационарная пространственная математическая модель мембранного концентрирования высокомолекулярных органических веществ. Адекватность предложенной модели проверена экспериментальными данными, полученными при проведении ультрафильтрации молочных сред. Относительная погрешность расчетных данных с экспериментальными составляет не более 15%.

3. Разработан комплекс программ «Мембрана», позволяющий производить численные эксперименты в соответствии с обеими математическими моделями. Его возможности позволяют расчитать концентрацию как отводимого из околомембранной области поляризационного слоя, так и обедненного потока в канале аппарата. Авторство и новизна комплекса защищены свидетельством об официальной регистрации программ для ЭВМ №2004611467.

4. На основе мембранного аппарата, использующего отвод поляризационного слоя (Патент РФ №2181619), была предложена его усовершенствованная конструкция. Проведены экспериментальные исследования. Получены уравнения регрессии, описывающие зависимость концентрации сухих веществ в отводимом поляризационном слое от температуры, давления и скорости движения жидкости, для обезжиренного молока и творожной сыворотки. Определены их рациональные параметры.

5. Предложена схема многоступенчатой установки непрерывного действия (Патент РФ №2168353). Для ее компоновки разработано два варианта ступеней. Первый из них с последовательным движением, а второй - с циркуляцией обедненного раствора.

6. Разработана методика инженерного расчета многоступенчатой установки непрерывного действия, позволяющая определить количество аппаратов и ступеней концентрирования, необходимых для получения требуемого количества продукта заданной концентрации.

1. Абрашин В. И., Лапко С. Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28, № 7,- С. 1154-1167.

2. Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, № 12. - С. 2094-2105.

3. Автоматизированная система расчета производительности ультрафильтрационных мембран «Мембрана» / Р. Б. Лобасенко, Ю. Н. Захаров, В. В. Рагулин, А. Г. Семенов // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. — 2004. — № 2004611467.

4. Алибиев Д., Данаев Н. Т., Смагулов Ш. Об итерационном методе решения одного класса операторно-разностных уравнений // Деп. В КазНИИНКИ 24.06.93, №4261-93. Алматы, 1993.- 30 с.

5. Андреев В. Б. Итерационные схемы переменных направлений для численного решения для третьей краевой задачи в р-мерном параллелепипеде // Журнал выч. математики и мат. физики. — 1965. — Т. 5, № 4. С. 626-637.

6. Аппарат для мембранного концентрирования / Б. А. Лобасенко, В. Н. Иванец, О. С. Болотов, Ю. В. Космодемьянский // Патент. — 1999. — № 2139130.

7. Аппарат для мембранного концентрирования / Б. А. Лобасенко, В. Н. Иванец, Ю. В. Космодемьянский, Ю. Г. Фахрутдинов // Патент. — 2001.- № 2162008.

8. Аппарат для мембранного концентрирования / Б. А. Лобасенко, А. А. Сафонов, Р. Б. Лобасенко, А. А. Черданцева // Патент. — 2003. — Т. 12, № 2181619.

9. Афанасьев К. Е., Гудов А. М., Захаров Ю. Н. Исследование эволюции пространственного газового пузыря методом граничных элементов // Вычислительные технологии. — Новосибирск, 1992. — Т. 1, № 3,-С. 158-166.

10. Байков В. И., Зновец П. К. // ИФЖ. 1999. - Т. 72, № 1. - С. 3237.

11. Байков В. И., Зновец П. К. Гелеобразование при ультрафильтрации в плоском канале с одной проницаемой поверхностью // ИФЖ. — 1999. Т. 72, № 5. - С. 923-926.

12. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. И. Итерационные схемы решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока, вихрь // Выч. техн. 2003. - Т. 8, № 5. - С. 14-23.

13. Балаганский М. Ю., Захаров Ю. И., Ханевт В. Использование итерационных методов в решении нестационарных задач движения стратифицированной жидкости // Выч. техн. — 2002. — Т. 7, № 5. — С. 3-10.

14. Бартоломей П. И. Решение систем нелинейных уравнений методом двойных ньютоновских итераций // Деп. в ВИНИТИ 03.11.1983 г., №5940-83. — Свердловск: Урал, политехи, ин-т, 1983. — С. 8.

15. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — 632 с.

16. Бетчелор Д. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973. — С. 758.

17. Брайловская И. Ю., Кускова Т. В., Чудов Л. А. Разностные методы решения уравнений Навье-Стокса // Вычислительные методы и программирование, — М.: Изд. МГУ, 1968, вып. XI. — С. 3-18.

18. Брык М. Т., Цапюк Е. А. Ультрафильтрация как коллоидно-химический процесс // Химия и технология воды. — 1987,— Т. 9, № 3. С. 208-213.

19. Брык М. Т., Цапюк Е. А. Ультрафильтрация. — Киев: Наукова думка, 1989,- С. 288.

20. Бугров А. Н. Итерационные схемы решения сеточных уравнений, возникающих в методе фиктивных областей // Численный анализ. — Новосибирск, 1978,- С. 79-90.

21. Буледза А. В. Двухшаговые итеративные процессы и решение проблемы устойчивости Чебышевских циклических алгоритмов // Деп. в УкрНИИНТИ 29.12.87 №3317-Ук87. Ужгород: Ужгородский гос. ун-т, 1987,- С. 46.

22. Вазов ВФорсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. — М.: ИЛ, 1963.

23. Валлиулин А. Н. Лекции для студентов НГУ. — Новосибирск, 1973.

24. Валлиулин А. Н. О точном решении трехмерной разностной задачи Дирихле повышенной точности для уравнений Лапласа // Численные методы механики сплошных сред. — 1978. — Т. 9, № 3. — С. 37-42.

25. Валлиулин А. И., Яненко Н. Н. Экономичные разностные схемы повышенной точности для полигармонического уравнения // Известия СО АН СССР. Серия технических наук, вып. 3. — 1967. — № 13.

26. Васин В. Г., Полежаев В. И. Неявные схемы для уравнений конвекции сжимаемого газа // Численные методы механики сплошных сред. 1977. - Т. 8, № 3. - С. 49-67.

27. Владимирова Н. Н., Кузнецов Б. Г., Яненко Н. Н. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости // Некоторые вопросы прикладной и вычислительной математики, — Новосибирск, 1966.

28. Воеводин А. Ф. Устойчивость и реализация условий Тома для разностной краевой задачи Стокса // Моделирование в механике. — Новосибирск, 1992. Т. 6(23), № 1. - С. 37-47.

29. Воеводин А. Ф. Об устойчивости разностных схем повышенного порядка точности для расчета конвективных течений вязкой жидкости // XVI Международная школа-семинар по численным методам вязкой жидкости. — Новосибирск, 1998.

30. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984,- 320 с.

31. Воронко В. П., Сироченко В. П. Точная постановка граничного условия для вихря при расчете течений вязкой несжимаемой жидкости // Численные методы механики сплошных сред. — Новосибирск, 1981. — Т. 12, № 6,- С. 25-30.

32. Вычислительные методы линейной алгебры / В. Н. Фадеева, В. А. Кузнецов, Г. Н. Грекова, Т. А. Долженкова // Библиографический указатель, 1828-1974 гг. — Новосибирск, 1976.

33. Гаранжа В. А., Толстых А. И. О численном моделировании нестационарных отрывных течений несжимаемой жидкости на основе компактных аппроксимаций пятого порядка // Докл. АН СССР. — 1990. Т. 312, № 2. - С. 311-314.

34. Горелов Д. Н., Щепановская Г. И. Об одном методе решения задачи обтекания тел вязкой жидкостью при больших числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1973. — № 4.

35. Гофман А. Г. Введение в теорию многокомпонентного пограничного слоя. — Кемерово: КемГУ, 1991. — С. 82.

36. Громов В. П., Кузнецов Б. Г. Об одном методе расчета задачи вязкой несжимаемой жидкости // Труды 2-го Всесоюзного семинара по численным методам по механике вязкой жидкости. — Новосибирск: Наука, 1975.

37. Джакупов К. Б., Кузнецов Б. Г. Об одном методе расчета задач вязкой несжимаемой жидкости // Труды 2-го Всесоюзного семинара по численным методам по механике вязкой жидкости. — Новосибирск: Наука, 1969. С. 96-106.

38. Дж. Трауб. Итерационные методы решения уравнений. — М.: Мир, 1985.- 264 с.

39. Дородницын Л. В. Неотражающие граничные условия для систем уравнений газовой динамики // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 2002. - Т. 42, № 4. - С. 522-549.

40. Дытнерский Ю. И. Обратный осмос и ультрафильтрация. — М.: Химия, 1978,- С. 251.

41. Дытнерский Ю. И. Баромембранные процессы. Теория и расчет. — М.: Химия, 1986. С. 272.

42. Дытнерский Ю. И., Бочаров Р. Г. К расчету процесса диафиль-трации // Теоретические основы химической технологии. — 1976. — Т. 10, № 2,- С. 307-310.

43. Дьяконов Е. Г. Метод переменных направлений решения систем конечно-разностных уравнений // Доклад АН СССР. — 1961. — Т. 138, № 2. С. 271-274.

44. Дьяконов Е. Г. О некоторых прямых и итерационных методах, основанный на окаймлении матриц // В кн. «Численные методы в математической физике». — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. — С. 45-68.

45. Енальский В. А. О свойствах одного итерационного процесса // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 1967. — Т. 7, № 2.

46. Енальский В. А. О двух системах повышенной точности решения задачи Дирихле // Труды МИ АН СССР. 1968. - Т. 74.

47. Захаров Ю. И. Об одном способе построения циклических итерационных схем // Численные методы механики сплошных сред. — 1979,- Т. 10, № 4,- С. 85-100.

48. Захаров Ю. Н. О групповом анализе Е-систем // Тр. IX школы-семинара. — Новосибирск, 1983. — С. 153-157.

49. Захаров Ю. Н. Групповой анализ разностных схем для системы уравнений Навье-Стокса // Деп. В ВИНИТИ 18.08.84, №5162-84 Деп. -1984,- С. 10.

50. Захаров Ю. Н. Об одном методе решения уравнений с краевыми условиями на бесконечности // Вычислительные технологии. — 1993. — Т. 2, № 7,- С. 56-68.

51. Захаров Ю. Н., Нагорнова О. Н. Итерационная схема минимальных невязок решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса // Проблемы динамики вязкой жидкости. — Новосибирск: Институттеоретической и прикладной механики СО АН СССР, 1985. — С. 156159.

52. Захаров Ю. Н., Окунцов В. В. О схеме с «нелинейной вязкостью» для решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса // Численный анализ. — Новосибирск, 1978. — С. 37-54.

53. Ильгамов М. А. Обзор работ по неотражающим условиям на границах расчетной области // Тр. семин./АН СССР. Казан, физ.-техн. ин-т. 1990. - № 26. - С. 6-54.

54. Ильин В. П. О расщеплении разностных уравнений параболического и эллиптического типов // Сибирский математический журнал. — 1965,- Т. 6,- С. 1425-1428.

55. Ильин В. П. О явных схемах переменных направлений // Известия СО АН СССР. Серия техн., вып. 3. 1967. - № 13. - С. 97-104.

56. Ильин В. П. Разностные методы решения эллиптических уравнений // Лекции для студентов НГУ. — Новосибирск, 1970.

57. Калис X. Э. О постановке граничных условий для решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функциях тока и вихря скорости // Проблемы вязких течений. — Новосибирск: изд-во ИТиПМ СО АН СССР, 1981. С. 93-103.

58. Калиткин Н. Н., Кузнецов Н. О., Панченко С. Л. Метод квазиравномерных сеток в бесконечной области // Докл. РАН. — 2000. — Т. 374, № 5,- С. 598-601.

59. Каменщиков Л. П. Сравнение ряда различных схем при численном решении трехмерных уравнений Навье-Стокса // XVII школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 2000.

60. Канторович Л. В. О методе наискорейшего спуска // Доклады АН СССР. 1947. - Т. 56, № 3. - С. 233-236.

61. Капорин И. Е. О предобуславливании метода сопряженных градиентов при решении дискретных аналогов дифференциальных задач // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 7. - С. 1225-1236.

62. Коновалов А. НКонюх Г. В., Цуриков Н. В. О принципах построения итерационных процессов в методе фиктивных областей // Вари-ац. методы в задачах числ. анал. — Новосибирск, 1986. — С. 58-79.

63. Красносельский М. А., Крейн С. Г. Итерационный процесс с минимальными невязками // Мат. сб. — 1952. — Т. 31(73), № 2. — С. 315334.

64. Кузнецов Ю. А. Итерационные методы в подпространствах // Препринт. М.: Отд. вычисл. мат. АН СССР, 1984. - С. 133.

65. Кузнецов Ю. А. Вычислительные методы в подпространствах // Вычисл. процессы и с-мы. — Москва, 1985. — № 2. — С. 265-350.

66. Кузнецов Ю. А., Труфанов О. Д. Метод разбиения области для решения волнового уравнения Гельмгольца // Препринт. — Москва, 1986,- № 125. С. 38.

67. Кузнецов Ю. А., Финогенов С. А. Метод фиктивных компонент для решения трехмерных эллиптических уравнений // Архит. ВМ и числ. м-ды. М„ 1984. - С. 73-94.

68. Лебедев В. И. Оо бесконечно продолжаемых линейных оптимальных итерационных методах // Методы вычислительной и прикладной математики (труды семинара ВД СО АН СССР). — 1976. — Т. 20.

69. Лебедев В. И. О задаче Золотарева в методе переменных направлений // Труды семинара С. Л. Соболева. — Новосибирск, 1976. — Т. 1,- С. 51-59.

70. Лебедев В. И. Оптимальные с весом итерационные методы // Вычислительные методы линейной алгебры. — Новосибирск, 1977. — С. 3139.

71. Лебедев В. И., Забелин В. В. Об одном итерационном алгоритме с Чебышевскими параметрами // Препринт, — М., 1988,— № 201.— С. 30.

72. Лобасенко Б. А., Иванец В. Н., Космодемьянский Ю. В. Аппарат для мембранного разделения // Патент. — 1998. — Т. 27, № 2119378.

73. Лобасенко Б. А., Иванец В. Н., Космодемьянский Ю. В. Аппарат для мембранного концентрирования // Патент. — 2001. — № 2164168.

74. Лобасенко Б. А., Иванова С. И. Мембранный аппарат, использующий отвод диффузионного слоя с поверхности мембраны // Хранение и переработка сельхозсырья. — 2001. — С. 57-59.

75. Лобасенко Б. А., Фахрутдинов Ю. Г. Разработка мембранного оборудования нового типа для концентрирования пищевых продуктов. // Пищевые продукты и экология. Тезисы научных работ. — Кемерово: КемТИПП, 1998. С. 159.

76. Лобасенко Б. Л., Болотов О. С. Влияние технологических параметров на пограничный концентрационный слой // Переработка сельскохозяйственного сырья: книга,— Кемерово: КемТИПП, 1999. — С. 114-115,

77. Лойцанский Д. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1970. — С. 904.

78. Марнук Г. И., Кузнецов Ю. А. Итерационные методы, квадратичные функционалы. — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1972.

79. Метод минимальных невязок решения одного класса нелинейных уравнений / Ю. Н. Захаров, Е. Егорова, М. А. Толстых, Ю. И. Шо-кин. Красноярск: Препринт ВЦ СО АН СССР №9, 1991. - С. 32.

80. Миханошина А. А. Разработка и исследование мембранного аппарата с побудительным движением диффузионного пограничного слоя для концентрирования обезжиренного молока: Дис. магистра тех. наук. — КемТИПП, 2003,- С. 111.

81. Моравец Г. Макромолекулы в растворе. — М.: Мир, 1967. — С. 398.

82. Начинкин О. Н. Полимерные микрофильтры. — М.: Химия, 1985. — С. 216.

83. Николаев Е. С. Нелинейное ускорение двухслойных итерационных методов вариационного типа // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1976. - Т. 16, № 6. - С. 1381-1387.

84. Номофилов Е. В., Чуйкова Н. М. Алгоритм численного решения задач гидродинамики в трехмерной области // Препар. Физ.-энерг. инт. Обнинск, 1989. - № 2011. - С. 1-10.

85. Осколков А. П. Об одной квазилинейной параболической системе с малым параметром, аппроксимирующей системы уравнений Навье-Стокса // Труды МИ АН СССР. 1972. - Т. 125.

86. О двух итерационных схемах для решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса / Н. Н. Яненко, В. В. Окунцов, Ю. Н. Захаров и др. // Комплексный анализ и его приложения. — М.: Наука, 1978,- С. 638-652.

87. Палымский И. Б. О постановке граничных условий и расчете давления при численном моделировании потоков несжимаемых жидкостей // Моделир. в мех. — Новосибирск, 1987. — Т. 1, № 5. — С. 91103.

88. Пасконов В. М., Петухова Т. П., Русаков С. В. Применение одной неявной итерационной разностной схемы к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса // Вычисл. мат. и мат. обеспеч. ЭВМ. — М., 1985,- С. 216-231.

89. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов JI. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. — М.: Наука, 1984. — 288 с.

90. Пухначев В. В. К асимптотике осесимметрического решения обтекания для уравнения Навье-Стокса // Тр. Всес. сем. по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск: Наука, 1969. — 195 с.

91. Разработка и исследование нового типа мембранного оборудования / Б. Лобасенко, А. А. Сафонов, Д. А. Силков, А. А. Механошина // Пища. Экология. Человек: 4-я международная научно-техническая конференция. Тезисы докладов. — Москва: МГУПБ, 2001. — С. 268.

92. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980.

93. Самарский А. А. Об одном экономическом алгоритме численного решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений // Вычислительная математика и математическая физика. — 1964. — Т. 4, № 3,- С. 580-585.

94. Самарский А. А. О выборе итерационных параметров в методе переменных направлений для разностной задаче Дитриха повышенного порядка точности // ДАН СССР. 1968. - Т. 179, № 3.

95. Самарский А. А. Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. 1969. - Т. 186, № 1. - С. 3538.

96. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971. С. 550.

97. Самарский А. А., Андреев В. Б. Об одной разностной схеме повышенного порядка точности для уравнения эллиптического типа с несколькими пространственными переменными // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 1963. — Т. 3, № 6.

98. Самарский А. А., Андреев В. Б. Итерационные схемы переменных направлений для численного решения задачи Дитриха // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 1964. — Т. 1, № 6. — С. 1025-1037.

99. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

100. Самохин А. Б. Многошаговый метод минимальных невязок для решения линейных уравнений // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1991. — Т. 31, № 2,- С. 317-320.

101. Сафонов А. А. Разработка и исследование мембранного аппарата с комбинированным отводом диффузионного слоя: Дис. канд.техн.наук. — Кемерово, 2004. — С. 212.

102. Семенов А. Г., Лобасенко Б. А. Математическое описание процесса ультрафильтрации с учетом гелеобразования на поверхности мембраны // Хранение и переработка. — 2001. — № 8. — С. 15-17.

103. Технологические процессы с применением мембран // Под ред. Лейси Р., Лоеба С. М.: Мир, 1976. - С. 370.

104. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физико-математическая литература, 1963.

105. Фридман В. М. Метод минимальных итераций с минимальными ошибками для системы линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1962. - Т. 2, № 2. - С. 341-342.

106. Фридрихсберг Д. JI. Курс коллоидной химии, — J1.: Химия, 1984. — С. 368.

107. Хванг С. Т., Каммермейер С. Мембранные процессы разделения. — М.: Химия, 1981. С. 463.

108. Храмцов А. Г., Павлов В. А., Г. Н. П. Переработка и использование молочной сыворотки. — М.: Росагропромиздат, 1989. — С. 272.

109. Цапюк Е. А. Технологические аспекты ультрафильтраци // Химическая технология. — 1988. — № 3. — С. 3-12.

110. Цапюк Е. А. Смещение кривых молекулярно-массового задержания ультрафильтрационных мембран в режиме гелеобразования // Химия и технология воды. — 1992. — № 7. — С. 532-537.

111. Черкасов А. Н., Чечерина В. В., Свентинкий Е. Н. Исследование структуры ультрафильтрационных мембран методами ЯМР и двойного лучепреломления // Коллоидный журнал. — 1981. — Т. 43, № 2. — С. 379-382.

112. Шайдуров В. В. Многосеточные итерационные алгоритмы решения сеточной стационарной задачи Навье-Стокса // Математические модели и методы решения задач механики сплошной среды. — Красноярск, 1986,- С. 165-169.

113. Яненко Н. Н. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности // ДАН СССР, — 1959.— Т. 125, № 6.— С. 1207-1210.

114. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — М.: Наука, Сибирское отделение АН, 1967.

115. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения задач механики сплошной среды. М.: Наука, 1970. - С. 239-248.

116. Яненко Н. Н.} Валлиулин А. Н., Квасов Б. И. Итерационные процессы для точного решения разностной задачи Дирихле повышенногопорядка точности // Труды конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. — Новосибирск, 1969.

117. Beam Richard М., Bailey Harry Е. Newton's methods for the Navier-Stokes equations // Comput. Mech.'88: Theory and Appl.: Proc. Int. Conf. Comput. Eng. Sci., Atlanta, Ga, Apr.10-14. — Berlin, 1988. — Vol. 2,- Pp. 51.II.1-51.II.4.

118. Davis R. L., Carter J. E., Haiez M. Three-dimensional viscous flow solution with a vorticity-stream function formulation // AIAA Journal. 1989. - Vol. 27, no. 7. - Pp. 892-900.

119. Douglas J., Kellog R. В., Varga R. S. Alternating direction iteration methods for n-space variable // Math. Comput. — 1963,— Vol. 17. — Pp. 282-297.

120. Douglas J., Rechford H. On numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. — 1956. Vol. 82. - Pp. 421-439.

121. Frankel S. P. Convergence rates of iterative treatments of partial differential equations // Math. Tables Aids Comput. — 1950. — Vol. 4. — Pp. 65-75.

122. Glimenins R. Microfiltration. State of the art 11 Desalination. — 1985. — Vol. 53, no. 1/3. Pp. 363-372.

123. Loeb S., S. S. Sea water deminaralization by means of an osmotic membranes // Adv. Chem. Ser. 1963. - no. 38. - Pp. 116-132.

124. Michaels A. S. New separation technique for CPI 11 II Chem. Eng. Progr. 1968. - no. 1. - Pp. 31-43.

125. Peaceman D. M., Rechsord H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equation // J. Soc. Indust. Math. — 1955. — Vol. 3. — Pp. 28-41.

126. Porter M. C. Selecting of the right membrane 11 Chem. Eng. Progr. — 1975,- no. 1,- Pp. 55-60.

127. Rannacher Wolf. Numerical analysis of Navier-Stokes equations 11 Appl. Math. 1993. - Vol. 38, no. 4-5. - Pp. 361-380.

128. Reid C. E., J. B. E. Water and ion flow across cellulosic membranes 11 J. Apoi. Polym. Sci. 1959. - Vol. 1, no. 2. - Pp. 133-143.

129. Shimura Masayuki, Kawahara Mutsuto. Two-dimensional finite element flow analysis using the velocity correction method // Proc. JSCE. 1988. - no. 398. - Pp. 51-59.

130. Thorn A. An investigation of fluid flow in two-dimensions 11 Acr. Res. C.R. a M.- 1928,- № 1194.

131. Wachspress E. L. Extended application of alternating direction implicit iteration model problems theory // J. SJAM. — 1963. — Vol. 11, no. 4.

132. Wachspress E. L. Iterative solution of elliptic systems and applications to the neutron diffusion equations of reactor physics // Prentice-Hall Inc. Englewood Cliffs., N.-Y., 1966.

133. Youcef S. Iterative solution of indefinite symmetric linear systems by methods using orthogonal polynomials over two disjoint intervals // SIAM J. Numer. Anal. 1983. - Vol. 20, no. 4. - Pp. 784-811.

134. Young D. M. On Richardson's method for solving linear systems with positive definite matrices 11 J. Math. Phys. — 1954.— Vol. 32,— Pp. 243-255.