автореферат диссертации по транспорту, 05.22.06, диссертация на тему:Цифровое и математическое моделирование рельефа местности в системах автоматизированного проектирования трасс железных дорог

На правах рукописи

КУЛАЖСКИЙ Алексей Викторович

¿¿Зс^

с- I

ЦИФРОВОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

РЕЛЬЕФА МЕСТНОСТИ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТРАСС ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ

0522.06 - Железнодорожный путь, изыскание и проектирование железных дорог

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва-2010 г.

2 4 ЫАР 2011

4841410

Работа выполнена на кафедре «Изыскания и проектирование железных дорог» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» (МИИТ)

Научный руководитель: Бучкин Виталий Алексеевич

доктор технических наук

Официальные оппоненты: Цветков Виктор Яковлевич

доктор технических наук

Лисицын Илья Михайлович кандидат технических наук

Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения»

Защита состоится « 7 » апреля 2011 г. в 16°° часов на заседании диссертационного ученого совета Д 218.005.11 при Московском государственном университете путей сообщения по адресу: 127994, Москва, ул. Образцова, д.9, строение 9, ауд. 1235 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан «_4>> марта 2011 г.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный гербовой печатью, просим направлять по адресу университета на имя ученого секретаря совета.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

Ю.А. Быков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

С появлением вычислительной техники в области автоматизации проектирования железных дорог появилась возможность автоматизировать наиболее рутинные операции проектирования - аналитические вычисления.

Ориентация первых систем автоматизированного проектирования железных дорог (далее САПР ЖД) на традиционные методы проектирования определялась уровнем развития вычислительной техники того времени, однако такой подход сохраняется и в более поздних разработках.

Существенный рост мощности вычислительной техники определяет возможность перехода от копирования традиционных технологий к реализации собственно машинных технологий, заменяющих традиционные.

Примером разработки такой технологии в области автоматизации трассирования, которая, используя возможности средств современной вычислительной техники, позволяла бы в процессе укладки плана трассы железной дороги или другого линейного сооружения получать оперативную информацию по продольному профилю укладываемого участка в режиме реального времени, являются работы д.т.н. В. А. Бучкина и к.т.н. И. М. Лисицына.

В частности, в работе И. М. Лисицына показано, что при создании САПР ЖД реального времени одним из критических моментов является получение отметок поверхности земли по оси проектируемой трассы («черного профиля»), В связи с этим необходимо применение скоростных моделей рельефа.

В качестве модели рельефа И. М. Лисицыным предложена модель, основанная на методе конечных элементов с использованием сплайн-аппроксимации рельефа местности поверхностями третьего порядка.

Опорные точки аппроксимации при этом находятся в узлах регулярной прямоугольной сетки. Одним из недостатков предложенного метода является отсутствие аппарата получение из облака точек входных данных с регулярной структурой.

Цель работы

Основной целью исследования является разработка и программная реализация такого метода, который позволял бы создавать модели рельефа местности на произвольно расположенных входных данных при сохранении точности моделирования и скорости, позволяющей использовать данный метод в САПР ЖД реального времени.

Для достижения поставленной цели потребовалось:

1. Рассмотреть существующие САПР ЖД и методы создания моделей рельефа в данных САПР.

2. Рассмотреть виды цифровых и математических моделей рельефа (ЦМР и ММР соответственно), способы их получения, обработки и хранения.

3. Оценить пригодность существующих ЦМР и ММР для применения в САПР ЖД реального времени.

4. Разработать и программно реализовать метод моделирования рельефа, соответствующий поставленной цели.

Научная новизна

- разработан новый метод моделирования рельефа, позволяющий реализовать трассирование железных дорог и других линейных сооружений в режиме реального времени на вычислительных машинах серийного образца;

- в связи с особенностями предложенного метода погрешность расчета высотных отметок на множестве входных данных является нулевой и не зависит от характера распределения входных данных;

- предложенная методика моделирования рельефа удовлетворяет как скоростным, так и точностным характеристикам, предъявляемым к моделям рельефа, используемым в различных проектных системах реального времени.

Практическая ценность

С практической точки зрения разработанный метод моделирования рельефа позволяет сократить время создания моделей рельефа, используемых в системах автоматизированного проектирования железных дорог, при

сохранении скоростных и точностных требований, предъявляемых к системам проектирования реального времени. Основные положения работы реализованы в виде опытной компьютерной программы.

Апробация работы и публикации

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры «Изыскания и проектирование железных дорог» МГУПС (МИИТ) (2008-2010 г.г.), на III и IV Всероссийских иаучно-практических конференциях с международным участием «Проблемы и перспективы изысканий, проектирования, строительства и эксплуатации железных дорог» (Иркутск, ИрГУПС, 2009,2010 г.), в компании Real Geo Project (Москва, 2009-2010 г.г.)

В 2010 г. разработанная программная реализация предложенного метода моделирования рельефа включена в программу оценки инвестиций новой железнодорожной линии Invest (Real Geo Project, г. Москва) в качестве инструмента подготовки внутренней модели рельефа.

По теме диссертации опубликовано 5 статей, в том числе одна на английском языке, две - в источниках, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 120 страниц, 41 рисунок. Список литературы включает 42 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость проведенной работы. Целесообразность и актуальность перехода от копирования традиционных технологий к реализации собственно машинных технологий, заменяющих традиционные, определяется существенным ростом мощности вычислительной техники, однако также требует применения наукоемких средств поддержки процесса проектирования в рамках автоматизированного проектирования.

В первой главе производится анализ существующего опыта в системах автоматизированного проектирования железных дорог. В рамках данного анализа рассмотрены основные понятия и определения информационных технологий вообще и автоматизированного проектирования в частности.

Процесс автоматизированного проектирования можно представить, как последовательно-цикличное выполнение операций: - синтеза - распознание ситуации и выделение подмножества приложимых правил из множества известных; - анализа - применение данного подмножества правил для создания модели объекта; - оценки - при соответствии полученной модели заданию на проектирование процесс завершается; в противном случае корректируется выделенное на стадии синтеза подмножество приложимых правил, как за счет удаления из него правил являющихся вероятной причиной такого несоответствия, так и за счет его расширения с вводом дополнительного подмножества известных правил; Представление - завершающая стадия процесса проектирования (разработка проектной документации).

Отмечен особый вклад в теорию и практику автоматизированного проектирования железных дорог таких отечественных ученых и специалистов как Бучкин В.А., Волков Б.А, Гавриленков A.B., Корженевич И.П., Михалевич B.C., Полосин Ю.К., Понарин A.C., Сибирко А.Н., Струченков В.И., Турбин И.В., Черноусько Л.Ф., и др.

Рассмотрены существующие САПР ЖД, такие как GeoniCS ЖЕЛДОР, Robur, IndorCAD/Rail, Credo, AutoCAD Civil 3D, а так же методы моделирования рельефа, использующиеся в системах автоматизированного проектирования. Оказывается, что основное внимание разработчики САПР уделили функциям автоматизации выдачи проектной документации, а функция анализа не поддерживается должным образом. Кроме того, современные САПР ЖД не ориентированы на процесс трассирования железных дорог, и лишь только копируют традиционную технологию на данной стадии разработки проекта. Таким образом, функции анализа по намечаемым проектным

решениям поддерживаются недостаточно оперативно, что приводит к значительным временным потерям в процессе проектирования.

В конце главы производится формализованная постановка задачи исследования: создание метода моделирования рельефа, способного работать в САПР ЖД реального времени и не зависящего от характера распределения входных данных.

Во второй главе в целях обзора существующего опыта в области моделирования рельефа рассмотрены понятия цифровых и математических моделей рельефа (ЦМР и ММР), виды таких моделей и методы их получения.

Отмечен существенный вклад в теорию и практику моделирования рельефа отечественных ученых и специалистов: Б.Н. Делоне, Г. Ф. Вороного, В. Я. Цветкова, В. А. Бучкина, A.B. Кошкарева, B.C. Тикунова, Л. Я. Лимонтова, В. Л. Гончарова, Н. А. Багрова.

Следует особо отметить большой вклад в теорию и практику моделирования рельефа таких институтов, как МГУ им. М. В. Ломоносова, ЦНИИГАиК, МГУПС (МИИТ), МАДИ, ГИПРОДОРНИИ и многих других проектных и научно-исследовательских институтов, университетов и академий отрасли.

Моделирование рельефа на ЭВМ преследует, как правило, две основные

цели:

1. Количественное решение различных инженерных задач (например: подсчёт объёмов работ).

2. Графическое отображение рельефа с целью его качественного анализа человеком (например: проведения изысканий по плану в горизонталях).

Достижение обеих указанных целей базируется на возможности вычисления высоты (отметки) произвольной точки в области моделирования по ее заданным плановым координатам.

Определение ЦМР, исходя из приведенного в ГОСТ определения ЦММ:

ЦМР представляет собой множество, элементами которого является топографо - геодезическая информация о рельефе местности и методы

обращения с ней, позволяющие с требуемой точностью отобразить рельеф местности и (или) его отдельные характеристики.

Вопросам разработки различных видов ЦМР было посвящено большое количество исследований. При этом все известные ЦМР можно разбить на три большие группы: регулярные, нерегулярные и статистические.

В регулярных моделях опорные точки располагаются в узлах сети, причем она может быть как равномерной, с постоянным расстоянием между узлами, так и неравномерной. Регулярность сети позволяет выбрать или задавать требуемые точки без трудоемких вычислительных операций, поскольку плановые координаты любой точки определяются ее положением на сети и шагом сети, а также алгоритмом вычислений. Такие ЦМР не учитывают структурное строение рельефа,

Количество опорных точек, необходимых для построения регулярной модели, определяется выбором шага сетки, при котором не будут пропущены характерные особенности рельефа. Необходимая точность описания рельефа в таких моделях может быть достигнута лишь путем увеличения в 5-10 раз плотности информации, в зависимости от степени расчлененности рельефа, по сравнению с плотностью при сборе данных по характерным точкам, и при этом значительная часть информации оказывается избыточной, излишней.

Нерегулярные ЦМР, представленные большим числом типов, нашли широкое применение в практике автоматизированного проектирования объектов строительства.

Часто используют ЦМР, построенные по поперечникам, к магистральному ходу. При этом создается система поперечных профилей, на которых в местах перегибов профильных линий и располагаются опорные точки модели.

Для ЦМР, основанных на цифровом представлении горизонталей информация образуется в виде массивов координат точек, набираемых с некоторым шагом по горизонтали, проведенным через высоту сечения. Кривые произвольного вида, каковыми являются горизонтали, заменяются при этом ломаными с заданными длинами звеньев.

При автоматизированном проектировании инженерных сооружений широко используют также цифровые модели на структурных линиях (структурные ЦММ), размещаемых по характерным изломам местности и с учетом ее ситуационных особенностей.

Статистические ЦМР предполагают в своей основе нелинейную интерполяцию высот поверхностями второго, третьего и т. д. порядков. При создании массива исходных данных статистической ЦМР точки для ее формирования выбирают в зависимости от случайного распределения, близкого к равномерному.

Статистические модели являются во многом универсальными. Сфера их применения весьма широка и не ограничивается какими-либо категориями рельефа местности, наличием того или иного исходного материала создания ЦМР и наличием тех или иных приборов.

Математической моделью рельефа (ММР) называется выборочная совокупность точек на поверхности моделируемого участка с координатами (X, У, 2.), объединенная комплексом правил, определяющих порядок аппроксимации рельефа местности для заданной цели. Основное назначение ММР - определение высоты произвольно выбранных точек в пределах заданной области с требуемой точностью.

К основным факторам, влияющим на выбор ММР, относятся: точность, простота восстановления (экономичность), универсальность (пригодность для работы при различных условиях рельефа). Эти противоречивые факторы зависят от информационного массива модели, вида аппроксимирующей поверхности и способа ее приближения к рельефу.

Основными критериями выбора ММР являются: стабильность -устойчивость ее топографической поверхности к изменению количества исходных точек информационного массива, универсальность - способность работать с одинаковой точностью при всех типах рельефа, назначение, строгость размещения исходных точек, влияние погрешностей измерения координат исходных точек, способность контроля исходных данных.

В ММР используются различные методы приближения: интерполирование, метод наименьших квадратов и др.

Модели с локальной аппроксимацией наиболее стабильны к деформации топографической поверхности, обладают наибольшей универсальностью в случае, когда их информационный массив учитывает структурные особенности рельефа, не зависят от строгого размещения исходных точек на структурных линиях рельефа, менее других моделей зависят от погрешностей измерения координат исходных точек, в них проще осуществить контроль ввода исходных данных. Однако, данные модели наиболее трудоемки. С другой стороны, учитывая специфику проектирования линейных сооружений, где моделированию подлежит только узкая полоса варьирования трассы, а вся полоса разбивается на отдельные участки, поэтому перебор точек происходит на относительно небольших площадях, и принимая во внимание перечисленные выше достоинства этих моделей, следует считать целесообразным для дальнейших исследований рекомендовать модель с локальной аппроксимацией.

В последнее время в развитии ЦМР сформировалось направление, связанное с методом конечных элементов.

Метод основан на разбиении области моделирования на непересекающиеся и невырождающиеся элементы, называемые "конечными".

Поверхность представляется линейной композицией так называемых базисных функций. Отличие от представления в виде обычной линейной комбинации функций в том, что базисные функции являются финитными, т.е. определенными на всей числовой оси, но отличные от нуля лишь на фиксированных конечных элементах. В качестве базисных чаще всего используются полиноминальные сплайны.

Метод конечных элементов обладает хорошими интерполяционными свойствами и алгоритмичностью. Однако вопрос выбора конкретного вида финитных функций остается пока.

При анализе методов моделирования рельефа установлено, что все модели основаны на использовании плоских проекций земной поверхности,

когда расстояние между двумя точками модели в плане является евклидовым расстоянием. Для линейно-протяженных объектов, каковыми являются железнодорожные линии, расстояния, высчитываемые по формулам сферической геометрии, могут давать значительные отличия от евклидовых расстояний.

В третьей главе с целью оценки пригодности методов моделирования рельефа для использования в САПР ЖД реального времени рассмотрены и программно реализованы триаш-уляция в режиме реального времени и стохастическая (французская) модель плавающего квадрата/круга.

Задача определения высот точек трассы при триангуляции в режиме реального времени сводится к нахождению в каждом случае трех ближайших точек входных данных модели, образующими треугольник, внутрь которого попадет искомая точка трассы. Далее находятся коэффициенты уравнения плоскости, проходящей через эти три точки, и по полученному уравнению определяется искомая высота.

Математическая реализация статистических ЦМР заключается в использовании метода «плавающего квадрата» или «плавающего круга» (региона), в пределах которого строится криволинейная поверхность п-го порядка.

Наиболее часто для математического моделирования рельефа используют уравнения поверхности 2-го порядка.

Основная идея «плавающей» аппроксимации заключается в том, что по трассе дороги от точки к точке перемещается круг или квадрат таким образом, что каждая точка трассы, высоту которой требуется определить, размещается в его центре. Радиус круга или размеры стороны квадрата автоматически устанавливаются такими, чтобы в их пределы попало не менее 10 исходных точек модели. Поскольку радиус круга или размеры стороны квадрата меняются с дискретным шагом, то в пределах выделяемых ими площадей может оказаться и более 10 точек модели.

Т. к. коэффициенты в аппроксимирующем уравнении неизвестны, то для

каждой п-й точки модели, попавшей в пределы круга или квадрата, записывают уравнения поверхности второго порядка.

Поскольку число неизвестных в системе меньше числа уравнений (которых не менее 10), то система решается методом «наименьших квадратов». Таким образом определяют неизвестные коэффициенты аппроксимирующего уравнения, подставив в которое известные проектные координаты X, У точки трассы, определяют ее высоту Н.

Далее круг или квадрат перемещают в центр очередной точки трассы и процедура повторяется. При этом если плотность исходных точек модели в районе очередной определяемой точки трассы уменьшилась, то размеры круга или квадрата автоматически возрастут, а если плотность возросла — то наоборот уменьшатся.

В рамках исследования автором были реализованы как триашуляционная, так и стохастическая модели.

Данные модели были применены к статистической цифровой модели рельефа, представленной картой местности размером ~ 15x10 км с 41 851 входными точками, распределенными неравномерно (рис. 1).

Г...............-...................................................... —........ 1" '1.......

/Ы-

У ■ 0% ■ Вне •К"; ' Л Ч-.

шш

&

• ^ »V.

Рис. 1. Тестовая карта местности

По результатам тестирования реализованных моделей можно сделать следующие выводы:

1) На участках с большой и равномерной плотностью данных как стохастические, так и триашуляционная, модели являются адекватными (рис. 2).

На участке трассы, представленном на данном рисунке, разброс высот в одной точке, определенных тремя разными методами, составляет 100-200 мм. Черный профиль получен без видимых разрывов и скачков.

2) На участках трассы с неравномерным и разреженным распределением точек ни одна из моделей не отражает рельеф адекватно (рис. 3). На таких участках разброс высот, определенных разными методами, составляет метры, что является недопустимым. Так же на таких участках наблюдаются разрывы черного профиля.

Оценка скоростных качеств и точности вышеописанных методов приведена на рис. 4. На данном рисунке первая строка соответствует методу плавающего квадрата, вторая - плавающему кругу, третья - методу триангуляции.

Пил.

Рис. 2. Адекватность стохастических и триангуляционных моделей на участках с равномерным распределением данных

Про«™*,. н™г-эчг016пт. Нтаи.934124 ™n DeHdH-5:>10g ....

Рис. 3. Неадекватность моделей при разреженных и неравномерно распределенных данных

Следует отметить, что методом триангуляции ошибки проверены не для всех точек (96 %), т.к. на границе карты невозможно найти треугольник из существующих точек, внутрь которых входит необходимая точка. При определении ошибки методом триангуляции точка, для которой ищется ошибка, не входит в треугольник, определяющий плоскость, т.е. ищутся три другие точки, описывающие искомую.

гЖЬйн Mil if V % *■>

Total points: 41851 \ {Time, ms: Points Count: Avg error, mm; ■Max error, mm;¡МП «тог, mm; ;Amp error, mm: ]

| :1657mS 1 41851 884. mm i 110966 mm j 0 mm 110966 mm

В 12545 ms ; 41851 551 mm ; 91730 mm 0 mm 91730 mm

D | 844 mS j 40526 j 840 mm j 132004 mm 0 mm 132004 mm

Максимальная ошибка: Показать точки с ошибками

(* Не задана | Точки с большими ошибками:......) ii По квадрату Г Использоеагь смещение от Точки

С Ограничена ]; Я мм! £ ^ 1! ■ Почетыремточкам; flj Р~ассчигать||

Рис. 4. Оценка скоростных и точностных качеств моделей

Как видно из рис. 4, наиболее быстрым методом является метод

триангуляции, что можно объяснить поиском всего трех точек. Метод плавающего круга является самым медленным, т.к. необходимо высчитывать

расстояния до искомой точки Данные операции в совокупности занимают примерно половину машинного времени, что видно в сравнении с методом плавающего квадрата. Однако данный метод является наиболее точным из числа рассмотренных (средняя ошибка определения высоты на множестве входных данных составляет около 0,5 м).

При анализе результатов тестирования выявлено, что асе вышеперечисленные методы дают большие ошибки на пересеченной местности (более 1 м).

Скорость вычислений приблизительно 42 тыс. точек вышеописанных методов составляет достаточно большую величину (1-2 с).

Все вышесказанное свидетельствует о том, что данные методы не удовлетворяют требованиям, предъявленным к математическим моделям для использования в качестве моделей рельефа расчетов в режиме реального времени.

Известно, что широкий спектр вычислительных задач, в т.ч. трудно формализуемых, решается с помощью искусственных нейронных сетей.

Искусственные нейронные сети - это обучающиеся системы, имитирующие деятельность человеческого мозга и состоящие из искусственных нейронов, передающих на выход взвешенную сумму входных сигналов. На практике такие структуры часто называют просто нейронными сетями.

Еще в 1956 г. выдающимся отечественным ученым А. Н. Колмогоровым было доказано, что всякая непрерывная функция может быть представлена в виде суперпозиции функций меньшей размерности. Неявная функция трехмерной поверхности, каковой является рельеф местности, представима в виде:

= (1)

1=1

где Ш; - константы; ф(г) - радиально-базисная функция.

В качестве функции ф(г) можно принять любую радиально-базисную функцию (РБФ), которые широко используются для решения задач многомерной

интерполяции и аппроксимации.

В своем исследовании автор в связи с простотой вычислений использовал функцию следующего вида:

фСх,.у,<,сП = 1 --<)* + (у-с// , (2)

где (с*, су0 - некоторые константы, называемые ядрами РБФ.

Таким образом, неявная функция поверхности может быть реализована с помощью нейронной сети, состоящей из двух слоев: скрытого нелинейного слоя, имеющего п нейронов и выходного линейного слоя, имеющего один нейрон, который передает на выход взвешенную сумму выходов нейронов первого слоя. Структура такой нейронной сети представлена на рис. 5.

х У

С1, щ У *

.........

_/ " / х у \

" ' ' Ч А---.. ,'" 2 2 \ Л \'У А

------------\ ч ~

\ « . . .........................- р (х.у)

\ \ У'- /

Рис. 5. Нейронная сеть РБФ

Алгоритм обучения нейронной сети с использованием РБФ выглядит следующим образом:

1. Выбрать число нейронов в скрытом слое равным количеству входных

точек.

2. Для каждого нейрона задать ядро РБФ (с*, су0 таким образом, что с*=хь сугу;-

3. Определить веса а>;. Для этого предъявить сети весь набор входных

данных. Выходное значение сети для ¡-х входных данных будет равно:

Л = "1/(*»У„с?.<) + и>2/(,.с;,с!) +... + д:1,у„с'я,с'п), (3) 4. Расписав это уравнение для всех входов и выходов сети, получим следующее уравнение в матричной форме:

где

Ф =

fu •■• fu

fl\ ••• fin /яп >

0wT

- интерполяционная

(4)

матрица ftJ = f(xt ,yitCj,c*)-,

чч

о =

Z) =

A.

- матрица искомых синаптических весов;

■ матрица выходных значении сети.

5. Решение И> = Ф X), (5) дает нам искомые значения синаптичеких весов, что обеспечивает прохождение моделируемой поверхности через все входные данные.

Для использования вышеописанного алгоритма в чистом виде потребовался бы 41 851 нейрон скрытого слоя. Вычисление такого количества данных в реальном времени занимает достаточно много времени (около 0,5 с на 1 точку). Такая скорость вычислений не удовлетворяет условиям интерактивного автоматизированного проектирования, где за 0,1 с необходимо вычислять десятки и сотни тысяч точек. Для увеличения скорости работы всю карту необходимо разбить на части. Здесь можно применить метод конечных элементов, описанный во второй главе. Для каждой части необходимо получить нейронную сеть, размер которой (число нейронов) зависит от типа разбиения.

Такой подход позволяет сократить время вычислений до приемлемого

значения. Однако при использовании такого рода модификации алгоритма возникает проблема сопряжения участков модели в местах стыковки элементов разбиения.

Известно, что нейронные сети на базе РБФ хорошо работают только внутри области заданных входных данных. В связи с отсутствием ограничений на характер распределения входных данных внутри одной ячейки входные данные могут расположиться ближе к центру, тогда по краям ячейки достоверность модели уменьшается. Вследствие того же ограничения входных данных внутри ячейки может не оказаться вообще. Для устранения данных недостатков предложен следующий алгоритм (рис. 6):

Область поиска 7 Область поиска 6 Область поиска 5

__

Область поиска 8 ^Моделируемая Ячейка/Область поиска 4

У21

Область поиска 1 Область поиска 2 Область поиска 3

Рнс. 6. К алгоритму устранения недостатков при разбиении модели регулярной сеткой.

1. Задаем минимальное количество входных данных, которые нужно иметь в каждой из областей поиска;

2. Задаем размеры каждой области поиска - 1 ячейка;

3. Для каждой области поиска:

3.1. Ищем входные данные внутри области;

3.2. Если количество входных данных больше или равно заданного в п. 1, то переходим к п.4., иначе расширяем область поиска. Если область поиска расширить нельзя, то переходим к п.4., иначе переходим к п.3.1.

4. Для полученного множества входных данных создаем неявную функцию поверхности моделируемой ячейки.

Практическая реализация приведенного алгоритма в чистом виде устраняет проблему стыковки соседних ячеек, но приводит к появлению дополнительных центров РБФ, что снижает скорость расчетов.

Исследования показали, что замена всех дополнительных центров значениями в узлах У1-У8 (рис. 6) не приводит к существенному снижению точности стыковки ячеек. Если учитывать, что поиск неявных функций происходит последовательно, например слева направо и снизу в верх, то значения У1, У2, УЗ, У8, У7 уже найдены при просчете предыдущих ячеек и необходимо искать дополнительные входные данные только в областях поиска 4, 5 и 6.

В четвертой главе описана программная реализация метода моделирования рельефа местности на основе РБФ, отвечающая поставленной задаче. Программный комплекс разработан в среде Borland Delphi для использования в программе оценки инвестиций новой ЖД линии Invest (Real Geo Project, г. Москва) в качестве инструмента подготовки внутренней ЦМР. Комплекс состоит из нескольких модулей: импорта входных данных, создания модели, контроля модели, работы с готовой моделью рельефа и модуля сохранения/чтения модели рельефа (рис. 7).

Рис. 7. Функциональная схема программного комплекса СМИ.

Общий алгоритм работы такого комплекса:

1. Задать (импортировать) входные данные (блок № 1) в формате (X, У, Ъ), где X, У - координаты входных точек в плане, Ъ -высотная отметка. В данном блоке так же задается шаг сетки разбиения;

2. Обучить нейронную сеть (блок № 2), или загрузить созданную ранее (блок № 5). При необходимости сохранить созданную сеть (блок № 5).

3. Проконтролировать качество созданной модели (блок № 3).

4. Если качество модели удовлетворительное, то переходим к п. 5, иначе, переход к п.1 (задать новый размер сетки).

5. При необходимости экспортировать данные в формат Invest.

Приведем пример сравнения скорости расчета предложенного метода

моделирования рельефа и метода триангуляции, широко используемого в современных САПР. Сравним скорости расчета высотных отметок в программе Autocad Civil 3D 2010, использующего триангуляционную модель рельефа, и разработанной программой CMR.

На рис. 8. показана поверхность AutoCAD Civil 3D, созданная на указанных ранее (рис. 1) входных данных. При этом время расчета 50 ООО точек поверхности в среде AutoCAD составляет ~ 4 с, а время расчета программой CMR -0.1 с. Скорость расчета предложенным методом больше скорости метода триангуляции в 35-40 раз.

Не трудно подсчитать, что для создания «черного» профиля длинной 50 км с шагом 10 м потребуется около 10 мкс. Таким образом, можно утверждать,

что разработанный метод моделирования удовлетворяет условиям поставленной задачи.

Одним из примеров практического применения программы Invest при разработке технико-экономического обоснования является работа по заказу французской компании «Lafarge cement», где ОАО «Институт Гипростроймост» выполнил предпроектные проработки вариантов внешнего транспорта для перевозки сырья из карьера на цементный завод в районе ст. Ферзиково (Калужская обл.).

Интуитивно понятный интерфейс программы, высокая скорость работы расчетных модулей позволили проработать в течение нескольких дней более 100 вариантов трасс по различным направлениям с различными значениями руководящего уклона по всем видам транспорта.

Данный уровень вариантности проработки технико-экономического обоснования проектных решений позволил в кратчайшие сроки получить действительно обоснованное решение, как по трассам железной и автомобильной дорог, так и по трассе конвейера (рис. 9).

Я& I -й-«.. V:

• W

Рис. 9. Использование программы Invest при оценке инвестиций реальных

ооъектов

Основные результаты работы

Среди результатов исследования наиболее существенны следующие:

1. Анализ современных САПР ЖД показал, что процесс трассирования реализован, как аналог традиционного трассирования. Однако, стремительное развитие вычислительной техники позволяет создавать средства информационной поддержки процесса принятия принципиальных решений по проекту, результатом использования которых является сужение зоны поиска решений.

Особенности применения САПР ЖД диктуют применение иных технологических приемов проектирования, и, соответственно, трассирования, позволяющих укладывать и оценивать варианты трасс в режиме реального времени.

2. Реализация данного подхода даже на самых мощных ЭВМ требует применения особых методов формирования данных по продольному профилю земли и методов построения оптимального очертания проектной линии продольного профиля в автоматическом режиме.

Как показал анализ данной технологии, критический путь проходит через построение продольного профиля земли. Поэтому в работе были проанализированы различные типы ЦМР. Для оценки скоростных качеств моделей рельефа в режиме реального времени автором были реализованы триангуляционный и стохастический методы моделирования. Анализ реализованных методов показал, их непригодность для использования в САПР ЖД реального времени. Как известно, наивысшим быстродействием с точки зрения решения основной задачи моделирования рельефа - определение отметки точки с заданными координатами, - обладают модели, описываемые регулярной прямоугольной сеткой. Однако одна из основных проблем данного метода - получение регулярной сетки входных данных.

3. После изучения литературных источников был разработан алгоритм моделирования рельефа местности на основе нейронных сетей радиальных базисных функций, позволяющий получить неявную функцию поверхности.

При этом точность модели рельефа, созданной на основе предложенного алгоритма, определяемая погрешностью вычислений высот на множестве входных данных, является нулевой. Для достижения необходимых скоростей расчета предложено использовать метод конечных элементов (разбиение регулярной сеткой), где в качестве финитных функций были рассмотрены поверхности на основе нейронных сетей РБФ.

4. Предложенный метод моделирования реализован в составе действующей программы Invest, а так же опробован на практике при проработке вариантов железнодорожной линии.

5. Предлагаемая методика моделирования рельефа местности в составе автоматизированного трассирования позволяет повысить качество проектных решений за счет снижения трудоемкости при получении и использовании моделей рельефа.

Публикации

Основные положения диссертационной работы и научные результаты, полученные автором, опубликованы в четырех статьях:

1. Кулажский А. В; Применение нейронных сетей на основе радиальных базисных функций в моделировании рельефа местности. ВЕСТНИК Ростовского государственного университета путей сообщения. Ростов-на-Дону. №3(35). 2009 г. с. 118-124.

2. Кулажский, A.B. Применение нейронных сетей на основе радиальных базисных функций в моделировании рельефа местности [Текст] /A.B. Кулажский // Проблемы и перспективы изысканий, проектирования, строительства и эксплуатации железных дорог: сб. науч. тр. всероссийской научно-практической конференции с международным участием / Иркутский гос. ун-т путей сообщ., 15-17 мая 2008 г. - Иркутск: ИрГУПС, 2009. - Т. 1. - С. 55-60

3. Кулажский, A.B. Применение нейронных сетей на основе радиальных базисных функций в моделировании рельефа местности [Текст] /A.B. Кулажский // Проблемы и перспективы изысканий, проектирования, строительства и

эксплуатации железных дорог: сб. науч. тр. всероссийской научно-практической конференции с международным участием / Иркутский гос. ун-т путей сообщ., 20-24 апреля 2009 г. - Иркутск: ИрГУПС, 2009. - Т. 2. - С. 99-105.

4. Кулажский А.В., Портнов А.В. Моделирование рельефа при интерактивном трассировании линейных сооружений// Научно-технический и производственный журнал «Транспортное строительство», Вып.5 - Москва, 2010. с. 20-21.

5. Kulazhsky, A. Neural Networks Application in Modeling the Relief of a Land [Text] / A. Kulazhsky // Problems and Prospects of Survey, Design, Construction and Exploiting of Northeast Asia Railways : Students and Post-graduate Students' Works, presented at the First International Scientific-Applied Conference / Iricutsk State Transport University (IrGUPS), Irkutsk, May 15, 2009 year. - Irkutsk: IrGUPS, 2009.-P. 42-49.

КУЛАЖСКИЙ Алексей Викторович

ЦИФРОВОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЛЬЕФА МЕСТНОСТИ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТРАСС ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ

Специальность 05.22.06

Подписано к печати л £ ¡оА а-о/' Формат 60x90 1/16

Заказ № /3 ?_Усл.печ.л. /$ Тираж <?-0 экз.

127994, Москва, ул. Образцова, д.9, стр.9 УПЦ ГИ МИИТ

Введение.

1. Системы автоматизированного проектирования железных дорог. Анализ существующего опыта.9*

1.1. Информационные технологии. Основные понятия и определения.

1.2. Автоматизированное проектирование. Основные понятия и архитектура систем.

1.2.1. Модель процесса проектирования.

1.2.2. Компоненты и архитектура САПР.

1.3. Системы автоматизированного проектирования железных дорог. Перспективы развития.

1.3.1. GeoniCS ЖЕЛДОР.

1.3.2. Топоматик Robur - Железные дороги (Robur-rail).

1.3.3. IndorCAD/Rail.

1.3.4. Credo.

1.3.5. AutoCAD Civil 3D.

1.4. Моделирование рельефа местности в системах автоматизированного проектирования железных дорог.

1.4.1. Модели рельефа на основе триангуляции.

1.5. Постановка задачи исследования.!.

2; Цифровое нематематическое моделирование рельефа местности.

2.1. Методы построения цифровых моделей рельефа.482.2. Задачи цифрового моделирования рельефа местности.

2.3. Виды цифровых моделей рельефа.

2.4. Триангуляционные модели рельефа местности. Достоинства и недостатки.

2.6. Математические модели рельефа.

2.7. Моделирование рельефа местности методом конечных элементов.

2.8. Проблема использования» моделей рельефа для> линейно-протяженных объектов.

2.9. Выводы по второй главе.

3. Математическое моделирование рельефа местности настадии разработки инвестиционных проектов.

3.1. Назначение вариантов направления проектируемой линии, ее основных технических параметров и трассирование железной дороги.

3.2. Традиционная технология трассирования.

3.3. Триангуляционное моделирование в режиме реального времени.

3.4. Стохастическое моделирование.

3.5. Программная реализация стохастической и триангуляционной модели.

3.6. Применение нейронных сетей в моделировании рельефа местности.

3.6.1. Введение в искусственные нейронные сети.

3.6.2. Моделирование рельефа местности на основе нейронных сетей радиальных базисных функций.

3.6.3. Алгоритм обучения РБФ сети.

3.6.2. Проблемы применения метода и пути их решения.

3.7. Выводы по третьей главе.

4. Моделирование рельефа местности на основе нейронных сетей РБФ в составе программы обоснования инвестиций Invest.

4.1. Общее описание.

4.2. Алгоритм работы комплекса CMR.

4.3. Программная реализация.

4.3.1. Задание (импорт) входных данных.

4.3.2. Создание/Загрузка модели РБФ.

4.3.3. Контроль модели РБФ.

4.3.4. Создание модели Invest.

4.4. Оценка скоростных характеристик предложенной модели в сравнении с триангуляционным методом.

4.5. Практическое применение предложенного метода моделирования рельефа.

4.6. Выводы по четвертой главе.

Использование информационных технологий при проектировании новых I железнодорожных линий позволяет обеспечить сопровождение процесса принятия решений на всех стадиях разработки проекта оперативной информационной поддержкой. Реализация такой поддержки требует организации управления источниками информации, выбора наилучших характеристик информационной модели и эффективного аппарата управления« процессом проектирования.

В- современных условиях проектирования-; трассы железных дорог с: применением средств* вычислительной техники процесс работы с такой; информационной моделью может быть организован различными способами;.

При появлении: автоматизированного проектирования железных дорог появилась возможность автоматизировать наиболее рутинные операции проектирования - производство вычислений (анализ). Именно; функции; анализа; поддерживаются; современными САПР железных дорог. Также существующие САПР ЖД ориентированы на выпуск проектной документации, как одного из условий разработки САПР;

Из обзора применяемых в настоящее время; систем автоматизированного проектирования? железных дорог (САПР ЖД) видно, что их работа основана на использовании; «компьютерных аналогов» управления информационными моделями, применяемыми при традиционном проектировании. В первую очередь это относится к организации начального этапа проектирования - трассировании^ железнодорожной линии по карте в горизонталях.

Ориентация первых САПР ЖД на традиционные методы проектирования определялась уровнем развития вычислительной техники того времени, однако; такой подход сохраняется и в более поздних разработках.

Существенный рост мощности вычислительной техники определяет возможность перехода от копирования; традиционных технологий к реализации собственно машинных технологий, заменяющих традиционные. На целесообразность и актуальность такого перехода обращал внимание академик В.М.Глушков: «При автоматизации организационного управления на основе использования ЭВМ следует помнить, что главным залогом её успеха является коренное изменение традиционной технологии организационного управления».

Применительно к автоматизированному проектированию новых железных дорог такой переход требует повышения наукоемкости средств поддержки принятия решений по вновь укладываемой трассе:

Попыткой создания такой технологии автоматизированного трассирования, которая, используя- возможности средств современной вычислительной техники, позволяла бы в процессе укладки плана трассы железнодорожной линии получать, оперативную информацию по продольному профилю укладываемого участка трассы в> режиме реального времени, является-работа к.т.н. И. М. Лисицына [39]. В данной работе показано, что при создании4 САПР ЖД реального времени, одним из критических моментов является получение отметок, поверхности земли по оси, проектируемой трассы («черного профиля»). В- связи/ с этим необходимо применение скоростных моделей, рельефа. В качестве модели рельефа И. М. Лисицыным предложена, модель, основанная на методе- конечных элементов (МКЭ) с использованием сплайн-аппроксимации поверхностями третьего порядка. Опорные точки аппроксимации при этом находятся- в узлах регулярной прямоугольной сетки. Одним из недостатков предложенного метода является получение входных данных с регулярной структурой.

Основной задачей исследования- является разработка и практическая-реализация: такого метода, который позволял бы создавать модели рельефа местности на произвольно расположенных входных данных при сохранении точности моделирования и скорости, позволяющей использовать данный метод в САПР ЖД реального времени. В первой главе производится* анализ существующего опыта в системах автоматизированного проектирования железных дорог. В рамках данного анализа рассмотрены основные понятия и определения информационных технологий вообще и автоматизированного проектирования в частности. Рассмотрены существующие САПР ЖД, такие как GeoniCS ЖЕЛДОР, Robur, IndorCAD/Rail, Credo, AutoCAD Civil-3D, а так же методы моделирования рельефа, использующиеся в системах автоматизированного проектирования. Оказывается, что основное внимание разработчики САПР уделили функциям автоматизации выдачи проектной документации, а функция анализа не поддерживается должным образом. Кроме того, современные САПР ЖД не ориентированы на процесс трассирования железных дорог, и лишь только копируют традиционную технологию на данной стадии разработки проекта.

В" конце главы, производится формализованная постановка задачи исследования: создание метода моделирования рельефа, способного работать в-САПР ЖД реального времени и не зависящего от характера распределения* входных данных.

Во» второй главе в целях обзора существующего опыта в области моделирования ► рельефа рассмотрены понятия цифровых и математических моделей рельефа (ЦМР и ММР), виды таких моделей и методы, их получения: При этом установлено, что все модели рельефа^ основаны на- использовании " плоских проекций земной поверхности, когда расстояние между двумя точками модели в плане, являетсяг евклидовым- расстоянием. Для линейно-протяженных объектов, каковыми являются железнодорожные линии,, расстояния, высчитываемые по формулам сферической геометрии, могут давать значительные отличия от евклидовых расстояний.

В' третьей главе с целью оценки пригодности методов моделирования рельефа для* использования в САПР ЖД' реального времени рассмотрены и программно реализованы триангуляция в режиме реального времени и стохастическая« (французская) модель плавающего квадрата/круга. Анализ точностных и скоростных качеств реализованных моделей показал, что данные методы моделирования не удовлетворяют поставленным условиям.

Для достижения поставленной задачи автором предложен метод моделирования рельефа на основе нейронной сети радиальных базисных функций (РБФ). Данный метод позволяет реализовать неявную функцию поверхности. Показано, что разность заданных и вычисленных высотных отметок на входных данных стремится к нулю, в связи с чем можно говорить о высокой точности предложенного метода моделирования. Так же в данной главе показано, что данная точность не зависит от характера распределения входных данных. Предложен алгоритм обучения такой нейронной сети. Рассмотрены проблемы применения предложенного метода моделирования- и пути их решения.

В четвертой главе описана программная реализация метода моделирования рельефа местности на основе РБФ, отвечающая заданным требованиям. Программный комплекс разработан в , среде* Borland. Delphi и состоит из нескольких модулей: В данной главе приведена структура и алгоритм, работы, программного комплекса, а так же описание модулей, входящий в состав комплекса. Сравнение скорости расчета предложенного метода моделирования и традиционно используемого в САПЕ ЖД метода триангуляции на основе критерия' Делоне показывает, что разработанный метод- быстрее в десятки раз. Разработанный программный комплекс внедрен в программу оценки инвестиций Invest (RealGeoProject, г. Москва) в качестве инструмента подготовки ЦМР.

В результате проведенного исследованиям был разработан, теоретически обоснован и программно реализован новый метод моделирования' рельефа, пригодный для- использования при автоматизированном трассировании железных дорог в режиме реального времени.

В. результате проведенных исследований основными элементами, отражающими новизну работы можно считать следующие:

- Разработан новый метод моделирования рельефа на основе нейронной сети радиальных базисных функций, позволяющий создавать неявную, функцию поверхности, в связи с чем, качество модели не зависит от характера распределения входных данных.

- В связи с особенностями предложенного метода погрешность расчета высотных отметок на множестве входных данных является нулевой.

- Разработанный метод по скорости вычислений в десятки раз превосходит наиболее широко распространенный метод триангуляционного моделирования.

- Предложенный метод моделирования рельефа удовлетворяет как скоростным, так и точностным характеристикам, предъявляемым к моделям рельефа, используемым в системах реального времени.

С практической точки зрения предлагаемый метод моделирования рельефа ориентирован на снижение трудоемкости получения и использования моделей, используемых при вариантных проработках проектных решений по трассе железнодорожной линии.

5. Общие выводы и предложения

По результатам работы над диссертацией можно сделать следующие выводы и предложения:

1. Потребность в моделировании самого процесса проектирования, как вида человеческой деятельности, возникает с целью обеспечения специалиста в области системного анализа средствами описания разрабатываемой технологии проектирования. Сам процесс проектирования можно представить, как последовательно-цикличное выполнение операций:

- синтеза - распознание ситуации и выделение подмножества приложимых правил из множества известных;

- анализа - применение данного подмножества правил для создания модели объекта;

- оценки - при соответствии полученной модели заданию на проектирование процесс завершается; в противном случае корректируется выделенное на стадии синтеза подмножество приложимых правил, как за счет удаления из него правил являющихся вероятной причиной такого несоответствия, так и за счет его расширения с вводом дополнительного подмножества известных правил;

- Представление - завершающая стадия процесса проектирования (разработка проектной документации);

2. Анализ современных САПР ЖД (GeoniCS, Robur, IndorCAD, Credo, AutoCad Civil 3D) показал, что процесс трассирования реализован, как аналог традиционного трассирования. Однако, стремительное развитие вычислительной техники и средств сбора и обработки информации позволяет создавать средства информационной поддержки процесса принятия принципиальных решений по проекту, результатом использования которых является сужение зоны поиска решений и сведения задачи трассирования к поиску оптимального решения с учетом различных критериев.

Особенности применения САПР при проектировании новых железных дорог диктуют применение иных, по сравнению с традиционными, технологических приемов проектирования, и, соответственно, трассирования, позволяющих укладывать и оценивать варианты трасс в режиме реального времени.

3. Реализация данного подхода даже на самых мощных ЭВМ требует применения особых методов формирования данных по продольному профилю земли и методов построения оптимального очертания проектной линии продольного профиля в автоматическом режиме.

Как показал анализ данной технологии, критический путь проходит через построение продольного профиля земли. Поэтому в работе были проанализированы различные типы ЦМР. Для оценки скоростных качеств моделей рельефа в режиме реального времени автором были реализованы триангуляционный и стохастический методы моделирования. Анализ реализованных методов показал, их непригодность для использования в системах проектирования железных дорог реального времени. Как известно, наивысшим быстродействием с точки зрения решения основной задачи моделирования рельефа — определение отметки точки с заданными координатами, - обладают модели, описываемые регулярной прямоугольной сеткой. Однако одна из основных проблем данного метода — получение регулярной сетки входных данных. После изучения литературных источников для моделирования рельефа местности был разработан алгоритм на основе нейронных сетей радиальных базисных функций, позволяющий получить неявную функцию поверхности независимо от характера распределения входных данных. При этом точность модели рельефа, созданной на основе предложенного алгоритма, определяемая погрешностью вычислений высот на множестве входных данных, является нулевой. Для достижения необходимых скоростей расчета предложено использовать метод конечных элементов (разбиение регулярной сеткой), где в качестве финитных функций были рассмотрены поверхности на основе нейронных сетей РБФ.

4. Предложенный метод моделирования реализован в составе действующей программы Invest, а так же опробован на практике при проработке вариантов железнодорожной линии.

5. Предлагаемая методика моделирования рельефа местности в составе автоматизированного трассирования позволяет повысить качество проектных решений за счет снижения трудоемкости при получении моделей рельефа.

6. В результате проведенных исследований основными выводами, отражающими новизну работы можно считать следующие:

- для оперативной поддержки принятия проектных решений по трассе в целом или по отдельным ее элементам целесообразен переход от использования моделей триангуляционного типа к моделям другого типа;

- реализация машинно-ориентированной технологии требует автоматического формирования проектного решения по продольному профилю трассы железнодорожной линии со скоростью, превосходящей существующие реализации. Быстродействие такого процесса может быть обеспечено применением скоростных расчетных алгоритмов, в том числе при расчете «черного профиля».

- для расчета предложен метод моделирования рельефа, удовлетворяющий как скоростным, так и точностным характеристикам, предъявляемым к моделям рельефа, используемым в системах реального времени. Кроме того, качество модели на основе предложенного метода не зависит от характера распределения входных данных.

1. Горохов В .Г., Степин B.C. Философия науки и техники. — М., 1995

2. Тульский государственный педагогический университет им. JI. Н. Толостого. Электронный учебный ресурс «Информационные технологии». http://www.tspu.tola.m/iviyoldsite/umr/inform/lect/lect6.htm

3. Энкарначчо Ж., Шлехтендаль Э. Автоматизированное проектирование: основные понятия и архитектура систем. М. Радио и связь. 1986г.

4. CADmaster. Журнал для профессионалов в области САПР. 1(36)'2007. Москва. ЗАО ЛИР консалтинг, http://www.cadmaster.ru.

5. Топоматик Robur Железные дороги 2.3. Официальный сайт компании «ПСС» г. С.Петербург, www.pss.spb.ru/catalog/71.html

6. Robur программный комплекс для решения дорожных задач. Интернет портал «Промышленность России» www.prompages.ru.

7. Система автоматизированного проектирования железных дорог IndorCAD/Rail. Официальный сайт компании «ИндорСофт». www.indorsoft.ru.

8. Современное проектирование инфраструктуры. AutoCAD Civil 3D. Autodesk, Inc. 2010. www.autodesk.ru.

9. Геоинформатика: Учеб. для студ. вузов / Е.Г.Капралов, A.B. Кошкарев, B.C. Тикунов и др.; Под ред. В. С. Тикунова. — М.: Издательский центр «Академия», 2005.

10. Делоне Б.Н. О пустоте сферы // Изв. АН СССР. ОМЕН. 1934. № 4.

11. ДеМерс, Майкл Н. Географические информационные системы.

12. Основы.: Пер. с англ. -М.: Дата+, 1999.

13. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики / Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1980.

14. Ильман В.М. Экстремальные свойства триангуляции Делоне // Алгоритмы и программы, ВИЭМС. Вып. 10(88). М., 1985.

15. Федотов Г.И. «Автоматизированное проектирование автомобильных дорог» / М., Транспорт, 1986г.

16. Федотов Г.И. «Инженерная геодезия» / М., "Высшая школа (Москва)", 2004г.

17. Соколов A.B. Достоверность инженерной информации и точность расчетов при оценке вариантов трассы железной дороги / Диссертация на соискание ученой степени канд.техн.наук, М.: МИИТ, 1990.

18. Иванников А.Д., Кулагин В.П., Тихонов А.Н., Цветков В.Я. Прикладная геоинформатика / М., МАКС Пресс, 2005.

19. Шварцфельд B.C. Теория и практика проектирования развития региональной сети железных дорог на основе геоинформационных технологий / Диссертация на соискание ученой степени доктора техн.наук, ДВГУПС: Хабаровск, 2001.

20. Обоснование математической модели местности для проектирования автомобильных дорог. Н. Е. Коновалов, Н. Н. Зоннэ, И. Г. Мельник, А. К. Якимович Науч. Тр. /Гипродорнии, 1976, вып. 18;

21. Багров H.A. Аналитическое представление полей. Тр. Центрального ин-та прогнозов, М.: Гидрометиздат, 1958, вып.64

22. Гинзбург В.И. Модель рельефа для проектирования и составления планов, "Геодезия и картография", 1977, № 4.

23. Гончаров B.JI. Теория интерполирования и приближения функций: 2 изд., М.: Гостехиздат, 1954.

24. Проворов K.JL, Иванов А.М. Математическое моделирование рельефа местности с использованием кубических и бикубических сплайнов.

25. Геодезия и картография", 1978, № 8

26. Бойко A.B., Лимонтов Л.Я. О структурно-аналитическом представлении рельефа местности. Тр. НИИГАиК, М., 1975, вып. 211.

27. Бойко A.B., Лимонтов Л.Я. Цифровые модели рельефа и сбор данных о рельефе местности при крупномасштабном картографировании. «Геодезия и картография», 1975, № 10.

28. Грейсух В.Л., Космин В.В. Аналитическое представление рельефа в ЭЦВМ. "Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка", 1964, вып.6

29. Геоинформатика/А.Д.Иванников, В.П.Кулагин, А.Н.Тихонов, В.Я.Цветков. М.: МАКС Пресс, 2001.

30. Бугаевский Л.М., Цветков В.Я. Геоинформационные системы. Учебное пособие для вузов. М.: 2000.

31. Цветков В.Я. Геоинформационные системы и технологии. М.: Финансы и статистика, 1997.

32. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных. Докл. АН СССР, 1956. Т. 108, No. 2. С.179-182.

33. Официальный сайт компании BaseGroup Labs. Нейронные сети. www.basegroup.ru/library/analysis/neural/

34. Решение краевых задач теории поля с использованием радиально-базисных нейронных сетей. Убиенных Г.Ф., Нейрокомпьютеры: разработка, применение, № 9, 2007 г.

35. Н.Г.Загоруйко "Прикладные методы анализа данных и знаний", Новосибирск, Издательство Института математики, 1999 г.

36. Кулажский А. В. Применение нейронных сетей на основе радиальных базисных функций в моделировании рельефа местности. ВЕСТНИК Ростовского государственного университета путей сообщения. Ростов-на-Дону. №3(35). 2009 г. с. 118-124.

37. Кулажский A.B., Портнов A.B. Моделирование рельефа приинтерактивном трассировании линейных сооружений// Научно-технический и производственный журнал «Транспортное строительство», Выпуск 5 Москва, 2010.

38. Бучкин В.А., Лисицын И.М. Трассирование железнодорожной линии в интерактивном режиме / Научно-технический и производственный журнал «Транспортное строительство», Выпуск 12 Москва, 2006. С.22-24

39. Лисицын И. М. Совершенствование методов автоматизированного проектирования трассы железной дороги / Диссертация на соискание ученой степени кандидата техн.наук, М.: МИИТ, 2007.

40. Buhmann M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003;

41. A fast method for implicit surface reconstruction based on radial basis functions network from 3d scattered points. Hanbo Liu, Xin Wang, WENYI QIANG. International Journal of Neural Systems, Vol. 17, No. 6 (2007), World Scientific Publishing Company.