автореферат диссертации по транспорту, 05.22.19, диссертация на тему:Идентификация систематических погрешностей разнородных навигационных измерений методом объединённого пространства

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ

РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

1.1. Систематические погрешности навигационных измерений.

1.2. Особенности навигационного использования РЛС и

САРП.

1.3. Погрешности гирокомпаса.

1.4. Погрешности радиолокационной станции.

1.5. Погрешности опознавания.

Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА / ОБЪЕДИНЁННОГО ПРОСТРАНСТВА ДЛЯ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

2.1. Предпосылки применения метода объединённого пространства для решения задачи определения места судна.

2.2. Теоретические основы метода объединённого пространства.

2.3. Особенности метода объединённого пространства.

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТА СУДНА С ПОМОЩЬЮ РЛС С ИДЕНТИФИКАЦИЕЙ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ ПО МЕТОДУ ОБЪЕДИНЁННОГО ПРОСТРАНСТВА.

3.1. Основные этапы обработки радиолокационных измерений.

3.2. Выбор навигационных параметров для формирования объединённого пространства.

3.3. Составление объединённой системы уравнений.

3.4. Оценка устойчивости объединённой системы уравнений.

3.5. Решение объединённой системы уравнений.

3.6. Устойчивое решение объединённой системы уравнений.

3.7. Реализация алгоритма определения места судна с помощью PJIC с идентификацией систематических погрешностей измерений по методу объединённого пространства.

Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОБЪЕДИНЁННОГО ПРОСТРАНСТВА ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ МЕСТА СУДНА ПО РЛС В РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ.

4.1. Анализ влияния обусловленности системы линейных уравнений на точность определения координат судна и идентификации систематических погрешностей.

4.2. Анализ работы метода объединённого пространства в различных условиях плавания.

4.3. Зависимость устойчивости объединённой системы уравнений от величины и ориентации базы измерений.

4.4. Анализ зависимости работы метода объединённого пространства от взаимной ориентации линий положения.

4.5. Анализ зависимости работы метода объединённого пространства от величины случайных погрешностей измерений и от изменения значений систематических погрешностей с течением времени.

4.6. Регуляризация объединённой системы линейных уравнений. Параметр регуляризации.

Выводы по главе 4.

Главными требованиями, предъявляемыми к морскому судоходству, являются его безопасность и экономическая эффективность. При этом первоочередной задачей судовождения считается обеспечение безопасности.

В морском плавании основным является метод судовождения, который состоит в непрерывном ведении счисления и регулярных определениях места судна — обсервациях. Результаты определений показывают положение судна относительно опасностей, служат для контроля и коррекции счисления. Если определения места выполняются достаточно часто или непрерывно, что возможно при их автоматизации, то счисление приобретает резервное значение. Во всех случаях навигационная безопасность зависит от частоты и точности определения позиции судна [118].

Среди многих и разнообразных мероприятий, направленных на повышение навигационной безопасности, заметная роль принадлежит усовершенствованию теории и практики определений места судна. В настоящее время, в связи с непрерывным ростом интенсивности морского судоходства, увеличением скоростей хода и размеров судов (а, как следствие, и усугублением последствий аварий крупнотоннажных судов), растут и требования к точности и надёжности навигационного определения координат.

Несмотря на постоянное совершенствование средств навигации, оснащение судов современными автоматизированными навигационными системами и комплексами, навигационная аварийность остаётся ещё на довольно высоком уровне [38]. Так, только число аварий, связанных с посадкой судна на мель, в последние годы составляет до одной трети всех аварий судов в море, причём эти случаи часто сопровождаются человеческими жертвами. Устранение последствий аварий такого рода всегда связано со значительными убытками. К тому же в связи с увеличением водоизмещения и скоростей судов средние убытки от каждой аварии возрастают. Таким образом, повышение точности обсервованных координат судна и надёжности методов определения позиции судна продиктовано не только соображениями безопасности, но и экономической необходимостью.

Точность определения места судна в течение рейса важна для его экономической эффективности не только, как фактор, снижающий аварийность. Путь, по которому должно следовать судно, выбирают, исходя из тех же условий безопасности и экономической эффективности. Чем с большей точностью будут известны координаты судна в любой момент времени, тем меньше вероятность того, что оно отклониться от этого пути. Применение в практике работы флота наиболее прогрессивного метода расстановки судов по регулярным линиям также предполагает повышение точности судовождения, обеспечение движения судов по графикам и расписаниям.

В настоящее время на флоте повсеместно используются спутниковые навигационные системы на средневысоких орбитах NAVSTAR (GPS) и ГЛОНАС, предназначенные для непрерывного определения места различных подвижных объектов в любой точке Земли или околоземного пространства [5,6,78,120].

Объявленная средняя квадратическая погрешность определения позиции судна с помощью GPS не превышает 100 метров [78,120]; на практике при неблагоприятных условиях измерений ошибка обсервации может достигать 300 метров и более [78,120]. Такая точность определения места достаточно высока, но она может оказаться недостаточной для плавания в сложных условиях. Использование для навигации одной только спутниковой системы не гарантирует безопасного судовождения в стеснённых водах, в районах с интенсивным режимом судоходства.

Информация, полученная с помощью ГЛОНАС или GPS, никак не связана с навигационной обстановкой в районе, где находится судно. Координаты судна рассчитываются приёмоиндикатором СНС на основе измерений, характеризующих позицию судна по отношению с навигационным спутникам, но не по отношению к стационарным наземным ориентирам, чьё расположение относительно навигационных опасностей, фарватеров, систем разделения движения и пр. известно и, разумеется, неизменно. Такое положение дел может быть не слишком удобным для судоводителя, которому нужно знать не просто позицию судна как таковую, а знать позицию судна относительно назначенного пути и — в первую очередь — относительно навигационных опасностей.

Использование для определения места судна при плавании в сложных условиях судовой радиолокационной станции имеет ряд серьёзных преимуществ по сравнению с СНС.

В отличие от приёмоиндикатора (ПИ) спутниковой навигационной системы, судовая РЛС обладает автономностью. Все измерения радиолокационных параметров и последующие расчёты выполняются непосредственно на судне без привлечения дополнительных «внешних» источников информации и технических средств.

Расчёт обсервованных координат при определении места судна с помощью РЛС производится по результатам измерений навигационных параметров радиолокационных ориентиров, указанных на карте. То есть, сначала определяются данные, характеризующие положение судна по отношению к ориентирам. Поскольку взаимное расположение ориентиров и навигационных опасностей, указанных на морской навигационной карте, известно, то эти данные также характеризуют положение судна и по отношению к навигационным опасностям.

При включённой судовой РЛС штурман имеет в своём распоряжении радиолокационную картину района плавания, центр которой определяет местонахождение антенны и судна. Такая картина может быть легко соотнесена с изображением того же района на карте и с данными визуального наблюдения. Таким образом, точность обсервованных координат судна, полученных с использованием судового радиолокатора, может быть в любой момент времени проконтролирована визуально [20].

Радиолокационная картина, в отличие от карты, отражает реальную навигационную обстановку в районе плавания в настоящий момент времени, включая другие суда, неуказанные на карте СНО и иные объекты, отражающие радиоимпульс, информация о расположении которых крайне важна для обеспечения безопасного судовождения. Нанеся на карту обсервованную точку по координатам, снятым с ПИ СНС, мы не сможем определить, как расположено судно по отношению к таким объектам.

Судовая радиолокационная станция при наличии соответствующего электронного блока, осуществляющего расчёт координат, может использоваться в качестве автономной навигационной системы высокой надёжности. Но точность координат судна, полученных при помощи такой системы, может оказаться недостаточной для обеспечения безопасного и экономичного судовождения в современных условиях развития морского судоходства. О точности определения места судна можно судить по величинам погрешностей обсервованных координат. Эти погрешности напрямую зависят от ошибок проводимых навигационных измерений.

Хорошо известно, что повышение точности информационно измерительных систем может быть достигнуто как за счёт улучшения качества аппаратуры, так и путём совершенствования алгоритмов обработки используемой измерительной информации. В результате совершенствования навигационной техники в последние годы удалось значительно уменьшить величины случайных погрешностей измерений. Однако, свойства многих систематических погрешностей таковы, что с помощью совершенствования измерительной аппаратуры либо вовсе нельзя добиться их уменьшения, либо желаемый эффект, достигается путём значительного усложнения применяемых технических средств. В этих условиях точность расчётов обсервованных координат зависит от организации измерений и метода обработки их результатов.

Проблема идентификации систематических погрешностей является весьма трудной задачей, особенно если для определения места судна используются результаты разнородных измерений.

При определении места судна по радару мы имеем дело с разнородными измерениями двух типов: радиолокационными пеленгами и дистанциями. Для совместной обработки результатов измерений такого рода в судовождении обычно используются методы, основанные на классическом вероятностно-статистическом подходе, использующем при избыточности измерений в основном метод наименьших квадратов, либо его многочисленные модификации и теорию вероятностей [17,42,56,67,85,93,98]. Такие методы имеют ряд существенных недостатков. Главный из них — невозможность правильной идентификации параметров закона изменения погрешностей измерений [16,73].

В настоящее время в навигационных системах наиболее широкое применение нашли алгоритмы калмановского типа [16,70,90,94]. Оптимальный фильтр Калмана (ОФК) является наиболее распространённым на сегодняшний день способом обработки навигационных измерений, содержащих систематические погрешности. Однако ОФК использует максимальное, по сравнению с другими методами, количество априорной информации о погрешностях измерений, полученной в иное время, в ином месте, и, возможно, в иных условиях, нежели условия плавания в данный момент времени. Если эта информация неверна, то будут ошибочными и значения координат судна, полученные при обработке навигационных измерений с использованием ОФК.

Таким образом, на сегодняшний день всё ещё актуальна задача разработки алгоритма, позволяющего идентифицировать систематические погрешности разнородных навигационных измерений без привлечения дополнительных, помимо используемых средств измерения, источников информации.

В настоящей работе проведено исследование возможности применения метода объединённого пространства для обработки разнородных радиолокационных измерений с идентификацией систематических погрешностей каждого навигационного параметра. В основе данного метода лежит концепция, предложенная в конце 60-х годов, впоследствии получившая название концепции объединённого пространства [69]. Впервые идея применения этой концепции для определения координат судна и исключения систематических погрешностей из результатов навигационных измерений была предложена М.М.Лесковым [66]. Дальнейшее теоретическое обоснование и формулировка основных положений концепции объединённого пространства были сделаны В.А.Логиновским [69]. Впоследствии В.Д.Хижняком было проведено исследование применения алгоритма, основанного на концепции объединённого пространства, для идентификации систематических погрешностей измерений при определении места судна с помощью радионавигационной системы «Лоран-С» [110].

Алгоритм обработки радиолокационных измерений с использованием метода объединённого пространства позволяет получать географические координаты судна и значения систематических погрешностей всех наблюдаемых радиолокационных параметров. При наблюдении навигационных параметров подвижных радиолокационных целей (других судов) алгоритм также идентифицирует систематические погрешности этих измерений и определяет координаты целей в относительной системе координат, связанной с судном. Таким образом, использование концепции объединённого пространства для обработки радиолокационных измерений, проводимых при осуществлении маневрирования для расхождения с другими судами, позволит повысить эффективность применения РЛС для обеспечения безопасного расхождения судов и снизит вероятность столкновения.

Судовая радиолокационная станция не случайно была выбрана в качестве объекта исследования для данной работы. В настоящее время, когда использование для морской навигации наземных радионавигационных систем теряет свою актуальность, на первый план выходят способы судовождения, связанные с применением спутниковых навигационных систем, радиолокационных станций, визуального наблюдения.

На сегодняшний день, теорией спутниковой навигации уже разработаны и используются на практике способы повышения точности СНС [121,122]. Но они обычно связаны с введением в эксплуатацию дорогостоящих дополнительных технических средств и применяются не повсеместно (дифференциальные СНС). В любом случае, нельзя полностью полагаться на данные, полученные с применением СНС, при плавании в сложных условиях — вблизи побережья и навигационных опасностей, в судоходных проливах и узкостях, в районах с установленными путями, фарватерами, системами разделения движения. В настоящем тексте уже приводились преимущества использования судовой РЛС для навигации. Если учесть тот факт, что в таких районах, как правило, интенсивное судоходство, то использование радара можно считать необходимым условием обеспечения безопасности судна при плавании в сложных условиях.

Основными задачами данной диссертационной работы являются разработка и реализация в виде компьютерной программы алгоритма обработки разнородных радиолокационных измерений с идентификацией систематических погрешностей методом, основанным на положениях концепции объединённого пространства, и исследование работы этого алгоритма в различных условиях.

Задачами диссертационной работы являются:

1. Исследование возможности применения алгоритма идентификации систематических погрешностей измерений, основанного на концепции объединённого пространства, для обработки навигационных измерений.

2. Исследование особенностей применения метода объединённого пространства для определения места судна по результатам радиолокационных измерений.

3. Разработка оптимальной схемы проведения измерений при формировании объединённого пространства, включающей в себя число используемых радиолокационных ориентиров и соответствующих этим ориентирам навигационных параметров, количество серий измерений. Определение оптимальной размерности объединённого пространства радиолокационных измерений.

4. Создание алгоритма для определения места судна по результатам измерений, проводимых с помощью судовой PJIC, с идентификацией систематических погрешностей измерений по методу объединённого пространства по каждому измерительному каналу.

5. Исследование зависимости работы алгоритма от устойчивости объединённой системы линейных уравнений.

6. Исследование зависимости обусловленности матриц коэффициентов объединённых систем линейных уравнений и точности работы алгоритма от расстояния до радиолокационных ориентиров.

7. Анализ зависимости работы алгоритма от углов между градиентами функций разных радиолокационных параметров и от изменения направлений градиентов функций одних и тех же параметров за период формирования объединённого пространства.

8. Анализ зависимости устойчивости объединённой системы линейных уравнений от величины базы измерений. Определение оптимальной ориентации базы измерений.

9. Разработка критериев выбора для определения места судна оптимальной пары радиолокационных ориентиров из числа доступных для наблюдения.

10. Исследование влияния на точность работы алгоритма случайных погрешностей измерений.

11. Проведение вычислительного эксперимента для определения точности работы алгоритма в различных условиях.

12. Разработка практических рекомендаций по наиболее эффективному использованию алгоритма.

Выводы по главе 4.

1. Существует однозначная зависимость точности определения места судна по РЛС и идентификации систематических погрешностей радиолокационных измерений с использованием метода объединённого пространства от устойчивости объединённой системы линейных уравнений. Для систем уравнений с невырожденной матрицей коэффициентов их устойчивость к возмущениям входных данных характеризуется величиной числа обусловленности cond(v4).

2. Обусловленность объединённой системы линейных уравнений радиолокационных параметров ухудшается с увеличением расстояния до ориентиров. Существует некоторая область наилучшей устойчивости СЛАУ, в которой трёхмерный график зависимости cond(^) от дистанций до ориентиров имеет незначительный угол наклона по отношению к горизонтальной поверхности. Этой зоне на местности соответствует область, в которой расстояние до любого из радиолокационных ориентиров не превышает некоторого определённого значения (в среднем — около 1,5 - 2,0 мили). Применение метода объединённого пространства при ОМС по радиолокатору наиболее оправдано и будет давать наилучшие результаты, когда судно находится вблизи потенциальных радиолокационных ориентиров, т.е. вблизи берега. Таким образом, точность идентификации систематических погрешностей и определения координат судна будет наилучшей в условиях прибрежного плавания и при прохождении узкостей.

3. На обусловленность объединённой СЛАУ сильно влияет величина выбранной базы между измерениями. С увеличением расстояния между точками проведения первой и второй серий измерений от нуля до нескольких кабельтовых устойчивость системы уравнений резко возрастает. По мере дальнейшего роста длины базы улучшение обусловленности происходит не столь явно, зато возрастает вероятность, того, что систематические погрешности навигационных параметров изменятся на значительную величину, и их нельзя будет считать постоянными в течение времени формирования объединённого пространства. Таким образом, длина базы ограничена сверху возможными флуктуациями вектора систематики проводимых измерений; но в любом случае она не должна быть менее 2-3 кб.

4. При выборе длины базы между точками проведения первой и второй серий измерений определяющее значение имеет величина угла (разность пеленгов) между направлениями на ориентиры. Абсолютная величина разности пеленгов ориентиров менее восьмидесяти градусов соответствует длине базы, сопоставимой с дистанциями до ориентиров. В этом случае условия проведения измерений в первый и во второй моменты времени будут сильно отличаться. Также, время формирования объединённого пространства измерений, равное времени движения судна по базе, будет весьма значительным. В таких условиях систематические погрешности не могут считаться постоянными, и применение метода объединённого пространства для их идентификации недопустимо. Из этого вытекает условие для выбора оптимальной для определения места судна пары радиолокационных ориентиров из числа доступных для наблюдения. Величина угла между направлениями на такие ориентиры должна быть не менее девяноста градусов: | АП | > 90°.

5. Влияние случайных погрешностей измерений на точность решения объединённой системы линейных уравнений зависит от величины вектора невязок || V || и от его ориентации по отношению к вектору измерений A U.

При одной и той же величине вектора V погрешность решения будет наибольшей, когда вектор случайных погрешностей и вектор измерений ортогональны.

При постоянном значении угла между векторами V и AU зависимость между величиной относительной погрешности измерений и относительной погрешностью решения объединённой СЛАУ близка к линейной; т.е. относительная погрешность решения пропорциональна относительной погрешности измерений.

6. Неустойчивые объединённые системы линейных уравнений радиолокационных параметров могут решаться с использованием метода регуляризации Тихонова. Этот метод применим для решения объединённых систем уравнений, если о значение числа обусловленности не превышает 1x10 . При больших cond(^) самым близким к решению X будет решение объединённой системы уравнений Ха, трансформированной при регуляризации настолько, что полностью утрачена полезная информация о систематических погрешностях измерений и позиции судна, в этих уравнениях содержавшаяся.

Заключение.

На основе теоретических разработок и моделирования, выполненных в настоящей работе, получены следующие основные результаты:

1. Обосновано применение метода объединённого пространства для идентификации систематических погрешностей разнородных радиолокационных измерений.

2. Предложена оптимальная схема формирования объединённого пространства по результатам двух серий измерений навигационных параметров двух радиолокационных ориентиров.

3. Разработан алгоритм обработки разнородных радиолокационных измерений по методу объединённого пространства с идентификацией систематических погрешностей всех навигационных параметров.

4. Составлена программа для ЭВМ, реализующая алгоритм обработки радиолокационных измерений методом объединённого пространства; в программе также реализован вариант устойчивого решения плохо обусловленных объединённых систем линейных уравнений по методу регуляризации Тихонова.

5. Установлена однозначная зависимость точности определения координат судна и идентификации систематических погрешностей радиолокационных измерений от устойчивости объединённой системы линейных уравнений, характеризуемой значением числа обусловленности.

6. Исследована зависимость точности идентификации систематических погрешностей радиолокационных измерений и обусловленности объединённой системы линейных уравнений от расстояний до ориентиров, что позволило определить зону возможного применения метода объединённого пространства, характеризуемую максимально допустимыми величинами дистанций до радиолокационных ориентиров.

7. Выведена зависимость устойчивости объединённой системы линейных уравнений от величины базы измерений, на основании чего сформулированы рекомендации по выбору величины интервала времени между сериями измерений.

8. Выработаны критерии выбора пары радиолокационных ориентиров из числа доступных для наблюдения, с целью получения наиболее устойчивой объединённой системы уравнений при определении позиции судна по методу объединённого пространства.

9. Проведено исследование влияния на точность работы метода случайных погрешностей радиолокационных измерений.

10. Предложены оптимальные значения для параметра регуляризации для случая решения неустойчивых объединённых систем уравнений радиолокационных параметров.

11. Осуществлено моделирование работы алгоритма идентификации систематических погрешностей разнородных радиолокационных измерений по методу объединённого пространства. Из результатов моделирования следует, что применение алгоритма для обработки проведённых с помощью судовой PJ1C измерений позволяет идентифицировать значения всех систематических погрешностей и получать обсервованные координаты судна, свободные от их влияния. При соблюдении условия постоянства систематических погрешностей в течении времени формирования объединённого пространства измерений и малых величинах случайных погрешностей, метод объединённого пространства позволяет определять место судна по PJIC с высокой точностью.

12. Моделированием на компьютере показана эффективность использования алгоритма, основанного на концепции объединённого пространства, для идентификации систематических погрешностей радиолокационных параметров ориентиров, расположенных на дистанции 1,5-2,0 мили от судна. Таким образом, подтверждена пригодность и эффективность использования метода объединённого пространства для обработки навигационных измерений при плавании в узкости.

1. Абаффи Й., Спедикато Э. Математические методы для линейных и нелинейных уравнений: Проекционные ABS-алгоритмы. 1996,208с.

2. Аксютин JI.P., Бондарь В.М., Ермолаев Г.Г. и др. Справочник капитана дальнего плавания / Под ред. Г.Г.Ермолаева. М., Транспорт, 1988, 248с.

3. Афанасьев В.В., Григорьев В.В., Лукин А.Н. Методические указания по курсу «Математические основы судовождения на тему "Определение вероятнейшего места судна"» / Под ред. В.В.Григорьева. Л., ЛВИМУ, 1987, 61с.

4. Байрашевский A.M., Ничипоренко Н.Т. Судовые радиолокационные системы. М., Транспорт, 1982, 317с.

5. Баранов Ю.К. Использование радиотехнических средств в морской навигации. М., Транспорт, 1988, 208с.

6. Баранов Ю.К. Определение места судно с помощью навигационных спутников. М., Транспорт, 1984,112с.

7. Баранов Ю.К., Гаврюк М.И., Логиновский В.А., Песков Ю.А. Навигация. СПб., Издательство «Лань», 1997, 512с.

8. Бартон Д. Радиолокационные системы. М., Военное издательство, 1967,480с.

9. Бахвалов Р.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., Лаборатория Базовых Знаний, 2001, 632с.

10. Бахвалов Р.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб. пособие. / Под ред. В.А.Садовничево. М., Высшая школа, 2000,190с.

11. Белов С.В. Использование САРП «Data Bridge-7» в режиме «навигация» // Судовождение и автоматизация судовых технических средств. Л., Транспорт, 1985, с.10-19.

12. Боданский Е.Д., Хейфец М.И. Методы оптимальных оценок и их применение в задачах инерциальной навигации. Л., ЦНИИ «Румб», 1978,147с.

13. Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений с основами теории вероятностей. М., Недра, 1965,184с.

14. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. М., Недра, 1977, 367с.

15. Боревич З.С. Определители и матрицы. М., Наука, 1970, 199с.

16. Браммер К., Зиффинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М., Наука, 1982,198с.

17. Бродский А.Д., Каи JI.B. Краткий справочник по математической обработке результатов измерений. М., Стандартгиз, 1960, 167с.

18. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М., Наука, 1986, 605с.

19. Бургомистров Г.А. Основы способа наименьших квадратов. М., Госгеолтехиздат, 1963, 392с.

20. Бухановский И.Л. Радиолокационные методы судовождения. М., Транспорт, 1970, 246с.

21. Бухановский И.Л. Радиолокационные определения места судна. М., Транспорт, 1967, 76с.

22. Вагущенко Л.Л. Обработка навигационных данных на ЭВМ. М., Транспорт, 1985, 145с.

23. Вежбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М., Высшая школа, 2000, 266с.

24. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа, 2001, 576с.

25. Видуев Н.Г., Кондра Г.С. Вероятностно-статистический анализ погрешностей измерений. М., Недра, 1969, 320с.

26. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы. Минск, Вышэйшая школа, 1988,270с.

27. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М., Наука, 1977,304с.

28. Волков Е.А. Численные методы. М., Наука, 1987, 248с.

29. Гаврюк М.И. Использование малых вычислительных машин в судовождении. М., Транспорт, 1991, 248с.

30. Гантмахер Ф. Теория матриц. М., Наука, 1988, 552с.

31. Гельфанд И.М., Лекции по линейной алгебре. М., Добросовет, Московский центр непрерывного математического образования, 1998,320с.

32. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 2001, 400с.

33. Головина Г.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. М., Наука, 1971,288с.

34. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М., Мир, 1999, 548с.

35. Голубев А.И. Радиолокационные методы судовождения на внутренних водных путях. М., Транспорт, 1987, 143с.

36. Гринчишин Я.Т., Ефимов В.И., Ломанович А.Н. Алгоритмы и программы на Бейсике. М., Просвещение, 1988, 160с.

37. Громов Г.М. Дифференциально-геометрический метод навигации. М., Радио и связь, 1986, 384с.

38. Груздев Н.М. Оценка точности морского судовождения. М., Транспорт, 1989,191с.

39. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. М., Физматгиз, 1962, 356с.

40. Девенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М., Мир, 1991, 352с.

41. Дмитриев В.И., Евменов В.Ф., Каратаев О.Г., Ракитин В.Д. Технические средства судовождения. М., Транспорт, 1990, 320с.

42. Дмитриев С.П. Высокоточная морская навигация. Л., Судостроение, 1991,222с.

43. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ. М., Наука, 1987, 240с.

44. Дьяконов В.П. Справочник по расчётам на микрокалькуляторах.Издание 3-е, дополненное и переработанное. М., Наука, 1989, 464с.

45. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В., Круглов В.В. MATLAB 5.3.1 с пакетами расширений. М., Нолидж, 2001, 880с.

46. Ермолаев Г.Г. Морская лоция. М., Транспорт, 1982, 392с.

47. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М., Наука, 1967, 160с.

48. Зурабов Ю.Г. и др. Судовые средства автоматизации предупреждения столкновений судов. М., Транспорт, 1985, 264с.

49. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. К., Наукова думка, 1986, 584с.

50. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение / Пер. с англ., 1998, 576с.

51. Кемниц Ю.В. Математическая обработка зависимых результатов измерений. М., Недра, 1970, 190с.

52. Кемниц Ю.В. Теория ошибок наблюдений. М., Недра, 1967,175с.

53. Клиот-Дашинский М.И. Алгебра матриц и векторов. СПб., Лань, 2001,160с.

54. Коган В.М., Чичинадзе М.В. Судовой гироазимуткомпас «Вега». М., Транспорт, 1983, 200с.

55. Кожухов В.П., Григорьев В.В., Лукин С.М. Математические основы судовождения. М., Транспорт, 1980, 231с.

56. Кожухов В.П., Жухлин A.M., Кондрашихин В.Т., Логиновский В.А., Лукин А.Н. Математические основы судовождения: Учеб. для вузов. М., Транспорт, 1993, 200с.

57. Козлов А.Д. Оценка точности определения места корабля. ГУ ВМС, 1954, 190с.

58. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М., Наука, 1974, 119с.

59. Кондрашихин В.Т. Определение места судна. М., Транспорт, 1981,206с.

60. Кондрашихин В.Т. Теория ошибок и её применение к задачам судовождения. М., Транспорт, 1969, 256с.

61. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1973, 832с.

62. Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие для студентов вузов по спец. «Физика» и «Прикладная математика». М., Высшая школа, 1985, 120с.

63. Латинский С.М. Девиация судовых радиолокационных станций. Л., Судостроение, 1966, 159с.

64. Лесков М.М. Определение места судна и поправки компаса по двум предметам. Л., Морской транспорт, 1956, 67с.

65. Лесков М.М., Баранов Ю.К., Гаврюк М.И. Навигация. М., Транспорт, 1986,360с.

66. Лесков М.М., Гаврюк М.И. Ошибки навигационных определений. М., Транспорт, 1964, 136с.

67. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М., Физматгиз, 1962, 349с.

68. Логиновский В.А. Методическая разработка на тему «"Вопросы комплексной обработки навигационных измерений" по курсу Навигация, математические основы судовождения». Л., ЛВИМУ, 1982, 48с.

69. Логиновский В.А. Применение преобразований подобия для анализа и обработки навигационной информации. Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. Л., ГМА им. адм. С.О.Макарова, 1991, 280с.

70. Логиновский В.А., Смоленцев С.В. Комплексная обработка навигационных измерений. М., В/О «Мортехинформреклама», 1988, 37с.

71. Лоэв М. Теория вероятностей. М., Издательство иностранной литературы. 1962,719с.

72. Мазмишвили А.И. Способ наименьших квадратов. М., Недра, 1968,437с.

73. Мазмишвили А.И. Теория ошибок и метод наименьших квадратов. М., Недра, 1978,311с.

74. Мельникова О.И., Бонюшкина А.Ю. Начала программирования на языке QBasic. М., Издательство ЭКОМ, 1997, 304с.

75. Миллер Р. Асимптотическое поведение фильтра Калмана с экспоненциальным старением данных // Ракетная техника и космонавтика, т. 9, №3. 1971, с.239-241.

76. Мордвинов Б.Г., Кондрашихин В.Т., Скубко Р.А. Средства навигации малых судов: Справочник. Л., Судостроение, 1986, 168с.

77. Морская радиолокация / В.И.Винокуров, В.А.Генкин, С.П.Калиниченко и др. Л., Судостроение, 1986, 256с.

78. Никитенко Ю.Н., Устинов Ю.М. Глобальная спутниковая радионавигационная система "Навстар". М., В/О «Мортехинформреклама», 1991,75с.

79. Никифоров Б.И., Макаров Г.В. Математическая обработка зависимых величин. М., Рекламинформбюро ММФ, 1976, 100с.

80. Новицкий П.В., Зограф И.А., Лабунец И.С. Динамика погрешностей средств измерений. 1990,264с.

81. Песков Ю.А. Использование РЛС в судовождении. М., Транспорт, 1986,144с.

82. Песков Ю.А., Самойленко Ю.Н. Методы навигационного использования средств автоматической радиолокационной прокладки (САРП). М., В/О «Мортехинформреклама», 1988, 48с.

83. Потёмкин В.Г. Система MATLAB: Справочное пособие. М., ДИАЛОГ-МИФИ, 1997,350с.

84. Практикум по программированию / Под ред. А.Я.Савельева. М., Высшая школа, 1993, 205с.

85. Практическое кораблевождение. №9035.1. Книга первая. Л., ГУНиО, 1989, 896с.

86. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1967, 384с.

87. Пустыльник Н.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. М., Наука, 1968, 288с.

88. Пярнпуу А.А. Программирование на современных алгоритмических языках. М., Наука, 1990, 380с.

89. Ривйин С.С. Ивановский Р.И. Костров А.В. Статистическая оптимизация навигационных систем. JL, Судостроение, 1976, 280с.

90. Ривкин С.С. Метод оптимальной фильтрации Калмана и его применение в инерциальных навигационных системах. Л., Судостроение, ч.1, 1973,ч.2, 1974.

91. Рублёв А.Н. Линейная алгебра. М., Высшая школа, 1968, 384с.

92. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М., ФИЗМАТЛИТ, 2000, 296с.

93. Сазонов А.Е., Родионов А.И. Автоматизация судовождения. М., Транспорт, 1977, 208с.

94. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. СПб, Политехника, 2001, 240с.

95. Скворцов М.И. Систематические погрешности в судовождении. М., Транспорт, 1980,169с.

96. Смирнов Е.Л., Яловенко А.В., Якушенков А.А. Технические средства судовождения: Теория: Учебник для вузов / Под редакцией Е.Л.Смирнова. М., Транспорт, 1988, 376с.

97. Справочник штурмана по математике. ГУ ВМС, 1951, 190с.

98. Степанов О.А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. СПб, ГНС РФ — «Электроприбор», 1998, 370с.

99. Стренг Г. Линейная алгебра и её применение. М., Мир, 1980, 454с.

100. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1986, 225с.

101. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М., Наука, 1990, 224с.

102. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Физматгиз, 1960, 656с.

103. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства. JI., 1979, 280с.

104. Филиппов П.В., Болотов В.В. Методические разработки по курсу начертательной геометрии с элементами алгебраического анализа на тему «Основы начертательной геометрии многомерного пространства». JL, ЛВИМУ, 1990, 54с.

105. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М., Мир, 1969,168с.

106. Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и её приложения. М., ИЛ, 1950, 445с.

107. Хижняк В.Д. Исследование концепции объединённого пространства в задачах идентификации систематических погрешностей навигационных измерений. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. СПб, 1995,247с.

108. Цыкунов А.Е. Сборник математических формул. СПб, Издательский дом «Питер», 2001, 160с.

109. Челпанов И.Б., Несенюк Л.П., Брагинский М.В. Расчёт характеристик навигационных гироприборов. Л., Судостроение, 1978, 264с.

110. Чернов Б.И. Программирование на алгоритмических языках Бейсик, Фортран, Паскаль. М., Просвещение, 1991, 190с.

111. Черняев Р.Н. Влияние датчиков информации и внешних условий на погрешности измерения в средствах автоматической радиолокационной прокладки (САРП) // Труды ЦНИИМФ. Вып.291. Л., Транспорт, 1984, с.36-41.

112. Черняев Р.Н. Оценка погрешностей измерения направлений и расстояний в судовых PJ1C // Труды ЦНИИМФа «Судовождение и связь», вып.151, Л., 1972, с.З-9.

113. Честнов Б.И., Голубев А.И. Использование радиолокаторов на реке. М., Транспорт, 1969, 133с.

114. Щиголев Б.В. Математическая обработка наблюдений. М., Наука, 1969, 344с.

115. Юдович А.Б. Предотвращение навигационных аварий морских судов. М., Транспорт, 1982, 223с.

116. Ющенко А.П. Способ наименьших квадратов. Л., Морской транспорт, 1956,164с.

117. Bradford W.Parkinson, Thomas Stansell, Ronald Beard, Konstantin Gromov. A history of satellite navigation // Navigation: Journal of institute of navigation. VOL.42, No.l. CSRI "Elektropribor", 1995, pp.109-165.

118. Hermod Fjereide. DIFFSTAR: A concept for differential GPS in Northern Norway // Navigation: Journal of institute of navigation. VOL.33, No.4. CSRI "Elektropribor", 1986-87, pp.284-294.

119. Kevin T.Fitzgibbon, Bradford W.Parkinson. Optimal locations of pseudolites for differential GPS // Navigation: Journal of institute of navigation. VOL.33, No.4. CSRI "Elektropribor", 1986-87, pp.259-283.

120. Willy I.Betriger and Thomas P.Yunch. The limits of direct satellite tracking with GPS // Navigation: Journal of institute of navigation. VOL.33, No.4. CSRI "Elektropribor", 1990, pp.65-80.