автореферат диссертации по транспорту, 05.22.19, диссертация на тему:Анализ и синтез алгоритмов высокоточной морской навигации по геофизическим полям

На правах рукописи

Дешнер Андрей Иванович

Анализ и синтез алгоритмов высокоточной морской навигации по геофизическим полям

05.22.19 - Эксплуатация водного транспорта, судовождение

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Владивосток 2004

Работа выполнена в лаборатории управления надежностью сложных систем Института автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН РФ.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, главный научный сотрудник Анатолий Наумович Розенбаум

доктор технических наук, профессор

Алексей Нилович Жирабок;

кандидат технических наук Виктор Валентинович Завьялов

Тихоокеанский военно-морской институт им. С. О. Макарова

Защита состоится 30 июня 2004 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 223.005.01 в Морском государственном университете (МГУ) имени адмирала Г. И. Невельского по адресу: ул. Верхнепортовая, 50А, г. Владивосток, 690059.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУ имени адмирала Г. И. Невельского.

Автореферат разослан «28> мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А. Г. Резник

Общая характеристика работы

Надежное навигационное обеспечение судов имеет важное значение для безопасности их плавания, эффективной эксплуатации и предотвращения экологических бедствий. Специфика работы морского, речного и рыбопромыслового флотов определяет необходимость применения таких средств навигации, которые бы с минимумом затрат обеспечили удовлетворение современных и перспективных требований, предъявляемых потребителями в любом районе Земного шара.

Особую значимость вопросы надежного, высокоточного контроля за положением судна приобретают при плавании в прибрежной зоне, на подходных путях, в узкостях, каналах и на акваториях портов, где последствия аварии судна в большой степени связаны с риском загрязнения окружающей среды. Для удовлетворения современных требований к навигационному обеспечению судоходства внедряются качественно новые средства судовождения, в том числе спутниковые навигационные системы (СНС).

В настоящее время наиболее полно удовлетворяют требованиям к навигационному обеспечению судоходства СНС GPS и Глонасс при использовании в штатном и дифференциальном режимах работы. Основными достоинствами этих систем при использовании сигналов стандартной точности в штатном режиме работы являются глобальность рабочей зоны, высокие доступность, точность и надежность при непрерывности навигационных определений, а в дифференциальном режиме - возможность повышения точности и надежности навигационных определений в рабочей зоне дифференциальной подсистемы. Погрешности определения местоположения СНС Глонасс и GPS при использовании сигналов стандартной точности в штатном режиме не превышают соответственно 40м и 100м, а в дифференциальном режиме - 10м с вероятностью 95%.

Вместе с тем, при использовании СНС в качестве основной навигационной системы возникает ряд проблем, в первую очередь, связанных с надежностью работы СНС в целом.

При одобрении систем Глонасс и GPS в качестве компонентов Всемирной радионавигационной системы в 1996 г. Международная Морская Организация (ИМО) отметила неспособность каждой из них обеспечить в штатном режиме точность, необходимую для безопасной навигации судов на подходах к портам и в других водах, в которых свобода маневрирования ограничена.

Другой отмеченный недостаток этих систем связан с их неспособностью в данное время обеспечивать оперативное оповещение потребителей о нарушениях в работе систем или их элементов, которые происходят пока довольно часто.

Одним из путей устранения указанных недостатков и улучшения основных характеристик систем Глонасс и GPS, необходимых.для.расширение.

*«i.'i ;.v' I ■ »ч A 3

ния их функциональных возможностей, является применение дифференциального режима работы этих систем, что позволяет добиться повышения точности, надежности и эффективности радионавигационного обеспечения в рабочих зонах дифференциальных подсистем СНС.

Альтернативным путем является использование резервной навигационной системы, работающей в автономном режиме без привлечения внешних средств.

Используемые в настоящее время навигационные комплексы (относительные и абсолютные доплеровские лаги, счислители пути) не удовлетворяют предъявляемым к ним требованиям в первую очередь по точности определения координат, а также по оперативности подготовки комплекса к рабочему состоянию. При этом, как правило, режимы повышенной точности комплекса требуют значительного времени на подготовку, что не позволяет использовать их в оперативном режиме.

В связи с этим весьма актуальной является проблема создания средств проведения навигационных определений, позволяющих при недостаточности и неопределенности исходных данных давать достаточно точные оценки текущего местоположения, при этом дополнительными требованиями являются работа в автономном режиме и достаточная оперативность подготовки навигационного комплекса к рабочему состоянию.

На практике встречаются две основные задачи оценивания состояния систем: задача фильтрации, решение которой производится в реальном масштабе времени, т.е. с использованием измерительной информации, полученной лишь к текущему моменту времени, и задача интерполяции, решение которой производится по измерительной информации как с более ранними, так и с более поздними временными привязками относительно момента, на который производится оценивание.

Решения этих задач в случае, когда корреляционные функции возмущений известны, были даны Н. Винером и А.Н. Колмогоровым. Но в подавляющем большинстве практических задач корреляционные функции многих возмущений точно не известны, а известны лишь некоторые их статистические характеристики, например, дисперсии, дисперсии производных и т.д. Возмущения такого рода, как правило, присутствуют в составе ошибок измерительных средств. Эти ошибки, с одной стороны, нельзя считать как систематическими, так и некоррелированными по времени. Аналогичным образом ведут себя многие возмущения в уравнениях модели системы. В более общем случае могут быть известны ограничения на дисперсии конечного числа произвольных линейных преобразований этих возмущений, а также ограничения на спектральные плотности частот возмущений.

Впервые задача подобного класса была поставлена У. Гренан-дером, где решена задача прогнозирования (фильтрации) стационарного случайного процесса, наблюдавшегося без шумов, о котором известна лишь его дисперсия.

С общих позиций теории принятия решений задача минимаксной фильтрации рассматривалась В. Г. Репиным и Г. П. Тартаковским.

Близкие по постановке задачи для нестационарных систем рассмотрены в работах Г. А. Голубева, П. Е. Эльясберга, О. М. Куркина, Е. В. Латышева, Н. И. Ринго и др. Несколько иное направление имеют работы В. А. Бесекерского, А. В. Небылова и Г. А. Голубева, в которых задача линейной минимаксной стационарной фильтрации решается на заданной параметрической структуре фильтров (с конечным числом параметров).

В литературе главным образом рассматривается задача минимаксной фильтрации с детерминированными возмущениями. В обширный перечень работ входят работы Н. Н. Красовского, А. Б. Куржанского и других авторов

Настоящая работа представляет собой исследования в области использования геофизических полей для построения морских навигационных систем. Получение оценки текущих координат объекта производится с помощью теории гарантированного оценивания, что позволяет корректно обрабатывать неслучайные ошибки модели состояния и движения объекта, а также учитывать неполноту и неопределенность исходной информации. Рассматриваются вопросы совместного использования различных по природе геофизических полей.

Актуальность темы. Успешное решение задачи выполнения точных навигационных определений является решающим фактором при выполнении целого ряда задач. Вместе с тем, используемые в настоящее время навигационные комплексы не соответствуют ряду требований к современным системам, как по точности, так и по оперативности подготовки к рабочему режиму. Развитие и практическая реализация алгоритмов навигации по геофизическим полям может существенно повысить эффективность использования навигационных комплексов. При этом в настоящее время открытыми являются вопросы информационно-алгоритмического обеспечения задач навигации по геофизическим полям, включая вопросы подготовки, хранения и эффективного использования больших массивов данных эталонных карт, оценки изученности и применимости данных измерений геофизических полей различных районов Морового океана, а также оценки достижимой при этом точности местоопределений. Разработанные к настоящему моменту системы предназначены для использования военно-воздушными силами, примеры практического использования таких систем на морских судах практически отсутствуют.

Целью работы является исследование и решение проблемы высокоточной морской навигации с использованием геофизических полей в условиях недостаточной полноты и неопределенности исходных данных, построение и исследование вычислительных алгоритмов высокоточной навигации. В соответствии с поставленной целью в работе рассматриваются и решаются следующие задачи:

• исследование возможности применения метода гарантированного оценивания для решения проблемы высокоточной навигации;

• исследование качественных характеристик геофизических полей для определения пригодности их использования в подводной навигации;

• разработка алгоритмического и программного обеспечения задачи оценивания параметров движения;

• разработка информационного обеспечения задач высокоточной навигации по геофизическим полям;

• экспериментальная и производственная проверка разработанных методов, алгоритмов и программ.

Методы исследования, используемые при выполнении работы, основаны на положениях теории вероятности и математической статистики, теории оптимальной фильтрации, теории управления.

Научная новизна. В отличие от традиционных подходов к решению задач высокоточной морской навигации, которые в поставленных начальных условиях оказываются полностью неприменимы либо дают неприемлемые результаты, в диссертационной работе рассматриваются методы и алгоритмы, в основе которых лежит гарантирующий подход, позволяющий получать оценки необходимой точности в условиях существенной неопределенности и ограниченности исходной совокупности данных.

На защиту выносятся следующие основные научные результаты:

• постановка задачи оценивания координат движущегося объекта с использованием данных измерений геофизических полей.

• метод гарантированного оценивания применительно к решению задачи высокоточной морской навигации;

• алгоритмы высокоточной навигации, построенные в соответствии с методом гарантированного оценивания;

• алгоритмы информационного обеспечения решения поставленных задач.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной

работы докладывались и обсуждались:

• на научных семинарах Института автоматики и процессов управления ДВО РАН;

• на Всероссийском симпозиуме «Сейсмоакустика переходных зон» (Владивосток, 1999);

• на международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2000);

• на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова. (Владивосток, 31 августа - 6 сентября, 2003 г.).

Публикации. Основные результаты исследования нашли отражение в 7 печатных работах.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, и списка литературы. В работе содержится 122 листа машинописного текста, 29 рисунков. Список литературы содержит 109 наименований.

Содержание работы

Введение посвящено обоснованию актуальности темы и определению круга вопросов, рассматриваемых в диссертационной работе.

В первой главе рассмотрены различные типы морских навигационных систем, отличающихся используемыми физическими принципами и измерительными приборами, реализующими конкретную НС.

Результаты исследования показывают, что имеющиеся морские навигационные системы не обладают необходимым свойством автономности, инерциальные же навигационные системы (ИНС) дают накапливающуюся с течением времени ошибку, обусловленную двойным интегрированием показаний акселерометров. Кроме того, используемые в настоящее время ИНС требуют значительного времени для подготовки системы к штатному режиму работы. Применение корректируемых ИНС по данным СНС на судах в настоящее время затруднено ввиду большой стоимости самих ИНС и недостаточной помехозащищенности СНС. Альтернативой гибридным ИНС/GPS системам может служить комплекс ИНС с коррекцией по геофизическим полям, при этом возможно использование недорогих ИНС невысокой точности. Построение алгоритмов систем навигации по геофизическим полям требует знания некоторых физических характеристик полей.

Во 2 главе рассматриваются геофизические поля Земли, наиболее перспективные для использования в системах навигации по геофизическим полям, изучены пространственно-статистические характеристики полей, определяющие возможность их использования в навигационных системах и определяющие пределы достижимой точности получаемых оценок.

В главе 3 рассмотрены алгоритмы оценивания параметров движения. При этом используется гарантирующий подход, позволяющий в отсутствие необходимых априорных данных, включающих матрицы ковариаций возмущений и ошибок измерений получать достоверные, гарантированные

оценки местоположения. При этом гарантирующий подход характеризуется тем, что он дает «пессимистические», заниженные оценки параметров, но, несмотря на это, позволяет существенно ограничить неконтролируемое накопление ошибок измерений в системах навигации по счислению.

Кроме того, рассмотрен структурный вариант системы навигации судна в реальном времени с коррекцией базовой навигационной системы по данным измерений геофизических полей.

Для описания движения используется линейная модель

где г - вектор состояния системы размерности N г(1) - неизвестный вектор возмущений, - известная матрица размерности Nх N.

Наряду с моделью (1) имеется вектор у(р, характеризующий зависимость измерений от вектора состояния системы. Пусть измерения линейно зависят от вектора состояния:

где у - вектор измерений размерности М, - матрица размерности

М х N, вектор $(1) представляет собой ошибки измерений.

Поставим задачу поиска оптимальной в некотором смысле оценки вектора г по данным измерений у. При этом конкретный смысл критерия -оптимальности получаемой оценки, а также точная формализация характеристик возмущений у(1) и ошибок измерений $(1) определяют способ построения алгоритма оценивания. Классическим подходом является гипотеза о случайном характере ошибок измерений и возмущений с нормальной плотностью распределения и задания среднеквадратического критерия качества. При этом для систем вида (1), (2) удается получить в явном виде решение задачи оценивания вектора состояния системы. Однако в общем случае не удается гарантировать выполнение требуемых условий, в частности, возмущения в модели (1) могут иметь неслучайную природу, а вероятностные характеристики ошибок измерений могут быть известны не полностью. Иным способом получения оценок является гарантирующий подход, сущность которого состоит в интерпретации всех неконтролируемых факторов, включая и случайные, для которых характеристики (моменты) точно не известны, как неопределенных факторов. При этом известными являются лишь диапазоны их изменения, или, более точно, некоторые предельные (доверительные множества). При этом оптимальная стратегия оценивания определяется как гарантирующая достижение наилучшего результата при наихудшем сочетании неопределенных факторов. Если при этом доверительное множество неопределенных факторов выбрать априори так, что его вероятностная мера будет не ниже заданной, то минимаксная стратегия управления будет гарантировать достижение результата с такой же вероятностью.

Для получения оценок вектора состояния объекта при наличии вектора измерений используется минимаксный фильтр калмановского типа. При использовании в модели движения дифференциальных уравнений минимаксный фильтр Калмана описываются следующими соотношениями. Пусть вектор состояния х^) удовлетворяет уравнению

dz dt

(3)

z(t0) = e0,

y(t) = H(t)z(t) + s(t),

где

ZT(t) = (z1(0,...,Z„(t));

- матрицы, элементы которых являются непрерывными функциями; e(t) и s(t) - непрерывныеШКтврофУнКций! воЩуЩениЙ^ ОЩибок измерений соответственно, про которые известно лишь, что они принадлежат множеству G, которое определяется следующим образом:

где

Без ограничения общности можно считать Я = 1. По данным измерений у(1), требуется определить опти-

мальную, в некотором смысле, оценку г(^), которая ищется в классе линейных

г(/1) = -а}иГ(ОЯ ОА,

где и^) - непрерывная вектор-функция, под оптимальными понимаются такие оценки, для которых и(1) определяется из условия

ий 8ир(агг(*1) - агг ))2.

Показано, что задача нахождения оптимальной линейной оценки состояния для системы (3) эквивалентна задаче нахождения функции и(1) из условия

inf[V (t0)h(t0) + £ (hTh + uTu)dtj,

где h(t) удовлетворяет уравнению

M=-ATh-HTu, (4)

dt

Kh) = a.

Далее, для определения оценки aTz(t,) необходимо решить задачу оптимального управления линейной системой (4) с квадратичным критерием качества. Решение указанной задачи (наилучшая линейная оценка вектора состояния системы (3)) удовлетворяет уравнению

где - решение матричного уравнения Рикатти

— = SAT + AS + I-SHTHS, (5)

dt

S(tn) = 1,1- единич _ г _ 1 т следующий смысл:

a S(t)a = inf sup[a z(tx)-a'

» /eG

В том случае, кс eTR^e+ R^+sT R2s}it < 1 )T условию

'о

где R - положительные матрицы, будем иметь, что K = SHTR2, a S(t) удовлетворяет уравн

— = SAT + AS + R7l - SHtR2HS , dt 12.

S(f0) = V.

В ряде случаев более удобным является дискретное представление модели движения и измерений. В этом случае динамика системы описывается линейным разностным уравнением

zi+1 =A,Zi + е,-, i = l,N, Z; =е0 (6)

при линейных измерениях

У/ = H,Zi + s,, j = 1,W, (7)

где А, Н, - известные матрицы соответствующей размерности, ер sp -неопределенные векторы размерности тип соответственно. Априорная неопределенность в системе и условиях ее функционирования заключена в наборе оо=со1(е", sN), где ew=col(eQ, ..., eN), sw=col(si, ..., sN). Про вектор ю неизвестных параметров известно лишь, что он стеснен ограничением

где В, Ci - положительно определенные матрицы, г - заданная постоянная, m,, qj - известные вектора. Множество

(9)

является множеством возможных значений неопределенного вектора со. Назовем Ег множеством неопределенности задачи оценивания, которая заключается в следующем.

По и з м е р еу^соЦуь ..., удг) у е т с я оценить в момент времени N+1 вектор состояния Zjv+i системы. Стратегия оценивания = uiv(y") ищется в классе линейных:

%И=1>,У, + у/)> (10)

1=1

где V - весовые матрицы фильтра, vj - векторы настройки фильтра. Требуется выбрать такие наборы (V.t у) весовых матриц Vh векторов vi; i = 1, N, чтобы была минимальна наибольшая погрешность оценивания

Ф(У, v) = sup|zA,+1(cü)-uw+1(y(co))f, (11)

сое Е,

т.е.

(v„ v.) = arg гшпф(к, v)=argminmax||zJV+l(ü))-uw+1(y((0))|2. (12)

D,b D,b шe£,

Иными словами, критерий качества алгоритма оценивания является минимаксным.

Соотношения для дискретного минимаксного фильтра имеют следующий вид:

Приведенные соотношения по форме аналогичны соотношениям, определяющим классический фильтр Калмана. Следует отметить, что матрицы Рк в данных соотношениях не являются в общем случае ковариационными матрицами погрешностей оценивания, так как в рассматриваемой модели (6), (7) помехи е1 являются неопределенными, т. е., имеющими неслучайную природу. Соответствующие аналоги можно обнаружить и при исследовании свойств получаемых оценок у(1)°'р. В частности, такие оценки являются однозначными, несмещенными и удовлетворяют условию сходимости.

При этом существуют модификации данного фильтра, допускающие нелинейность выражения (7). В частности, особым вниманием на практике отмечены обобщенный фильтр Калмана, его адаптивные и полиномиальные представления.

Естественно, что применения классической фильтрации Калмана в задачах высокоточной навигации требует определения матрицы Я (в уравнении (7)), которая может быть получена путем аппроксимации областей цифровых карт аналитическими поверхностями, например, параболоидами. При этом аппроксимация может касаться только областей неопределенности (областей возможных вариаций модельных ошибок и ошибок наблюдения) измеренияу(1), лежащих на траектории движения ПА.

Помимо минимаксного фильтра, возможно также использование эллипсоидального фильтра.

Пусть движение объекта описывает система уравнений

г = Д(Ог« + *(0,г(0) = е(0),

где А(1) - известная матрица размерности ЫхЫ; е(г) - вектор возмущений, предельное множество для которого задано как эллипсоид где ё* - заданный вектор; В* - известная матрица. Относительно 1(1) априори определено, что

г(г0) е Е(йо, В0), /еГ,

где - известный вектор, Во - заданная матрица.

Соотношения, описывающие наблюдения, линейны и представлены в

виде

Л =»&)«(*») + «(**).

где ф) - ошибка измерений, предельное множество которой - эллипсоид

Е(0,Д(г*))э *(о, к = йп,

где - известная матрица.

Задача заключается в нахождении гор' при ? е Т\Тт в виде предельного множества, описанного как некоторый оптимальный (в смысле минимального из максимально возможных объемов) эллипсоид £^(£), Б{()\ где d(t) - вектор, B(t) - матрица. При этом основой для нахождения E(d(t), B(t)) служат уравнения вида:

¿(0=А<1(1)+(1*,

В (0 = Щ0+В(№ Т + ЩО + А 'в\

где Л = [п 'Ир[И ]}' % п - размерность z(t).

Суть рассматриваемого алгоритма состоит в следующем. Путем интегрирования представленных уравнений при начальных условиях Е(йо, Во), /о ^ Т определяется эллипсоид £((!(?;), 5(0)), ¡¡еТбез учета измерений в момент е Т. Находится аппроксимация эллипсоидом минимального объема пересечения эллипсоида E(d(t), B(t)) с эллипсоидом, полученным по результатам наблюдения в момент ^ е Т. Параметры аппроксимирующего эллипсоида определяют соотношения

0) = <!(!,); В(Г;+0) = б(Г;). если £*< - п

d(t¡щ = d(t¡)+JIlíЛШ}¿L7,

(п + ЩВЦ^м!

/г

В(Г,+0)=

(п-рД-'а,) , 2(п? + \)(п + 1)(м*М)

■К.

, если п-1<£*<1,

где ^ = (1-г>>* Ш)ММ) 72; М = Н&\ь)[ /(/,) - ЯВ(гу) ];

- диадное произведение

векторов {]и*ц)ц = ц¡,

Полученный аппроксимирующий эллипсоид служит исходным для нахождения путем интегрирования уравнения для с!(1) и В(1) параметров эллипсоида на момент без учета измерений в этот момент времени. Далее вычисляется аппроксимирующий эллипсоид по данным наблюдений на момент ^ е Т. Процедура повторяется для Интегрирование урав-

нений, описывающих ёф и В(1) с начальными условиями в виде аппроксимирующего эллипсоида, полученного на момент 1т €.Т, даст искомую оценку . Данная оценка является нелинейной от наблюдений и основана на операциях аппроксимации объединения и пересечения эллипсоидов. При этом операция объединения оптимальна, т.к. результирующий эллипсоид имеет минимальный объем. Операция аппроксимации объединения может быть оптимальной только в частном случае. При многократном применении рассматриваемых операций происходит потеря информации (увеличение объема эллипсоида), так что построенные оценки являются только квазиоптимальными в смысле минимума объема результирующего эллипсоида.

В главе 4 рассмотрены вопросы информационного обеспечения систем навигации судов по геофизическим полям. Основной проблемой при построении систем данного типа является синтез эффективных механизмов хранения и восстановления геофизических данных в цифровой форме. Показано, что весьма приемлемые результаты могут быть достигнуты при представлении полей в аналитической форме с помощью сплайнов. Использование сплайнов позволяет существенно сократить объем хранимой информации, а также позволяет получать промежуточные значения в любой точке с высокой скоростью в реальном масштабе времени. При этом дополнительно используется интервальное представление сплайнов для хранения информации о неопределенности данных.

Существующие методы восстановления поверхностей не обеспечивают представления ошибок аппроксимации. Методы, восстанавливающие поверхность непосредственно с использованием дискретного набора данных, для восстановления используют некоторое подмножество исходных данных и, в общем случае, менее устойчивы и их применение требует хранения всего исходного набора данных.

В данной работе предлагается использование интервальных сплайн-поверхностей, с помощью которых можно не только восстанавливать исходную поверхность, но также учитывать неопределенность, возникающую при наличии ошибок измерений непосредственно геофизических полей с помощью датчиков, ошибок позиционирования при подготовке эталонных карт, а также ошибок, возникающих при преобразовании данных в определенный формат данных ЭВМ. Для представления данных предлагается использование квадратичных однородных интервальных сплайн-поверхностей на интервале z^ € 1г(в,г{], где и, 1 - соответственно верхняя и нижняя границы данных измерений. При этом использование сплайн-

поверхностей дает следующие преимущества. Представление поверхностей с помощью сплайнов является аналитическим, что позволяет эффективно представлять вариаций параметров геофизических полей, при этом восстановление с помощью сплайна производится в любой промежуточной точке сетки без какой-либо дополнительной обработки. При этом также существенно снижаются требования к объему оперативной памяти бортовой ЭВМ, а интервальное представление данных позволяет учесть ошибки картографирования при использовании карт.

В общем, случае не представляется возможным абсолютно точное восстановление исходных данных при сжатии информации. Таким образом, все методы, которые позволяют понизить требования к объему памяти, являются приближенными методами и тем самым, дают ошибку приближения. Возникает задача построения метода восстановления исходных данных, который давал бы гарантированную ограниченную ошибку восстановления.

С целью представления неопределенности, границы изменения ошибки представим с помощью интервалов вместо используемой на практике точечной аппроксимации. Интервалы в данной работе используются для описания геофизических параметров при создании цифровых эталонных карт.

Определим интервал X как множество

Х={дг1Х'<л<Х"},

где индексы и и1- соответственно верхняя и нижняя границы интервала. Далее будем использовать X =[Х',Х"] для обозначения границ интервала X.

Определим интервальную В-сплайн-поверхность как В-сплайн с интервальными коэффициентами. Пусть Т - множество действительных чисел таких, что

1;й1М,0<1<к+2(М-\),

где к - число сплайн-коэффициентов. Тогда действительная функция 1(:) в области \ называется сплайном порядка М или степени М -1,

если многочлен степени М -1 на каждом подынтервале и его пер-

вые М - р - 1 производные, где р - количество контрольных узлов, непрерывны на всем интервале Более того, производные высших порядков /(0 непрерывны везде, кроме 0 й / й к + 2(М —1). Вектор называется вектором контрольных узлов и значения 'о>^1>*">'*+2(лг-и называются внутренними узлами 5-сплайна.

Имеется рекуррентное соотношение для базисных функций В,м (1):

В-сплайн-поверхность определяется прямоугольным множеством контрольных точек являющихся вершинами

контрольного полиэдра и двумя векторами Т и 5, связанными с параметрами и и V. Для интервального В-сплайна каждая контрольная точка заменяется интервалом

Идея восстановления карты геофизического поля из некоторого набора дискретных данных заключается в представлении области изменения данных измерений интервальной В-сплайн поверхностью. Для построения карты требуется предварительная обработка данных. В первую очередь выполняется сортировка данных на регулярной двумерной сетке. Данные в каждой ячейке сетки характеризуются наличием максимального и минимального значений на интервале + + Д^.

Для определения вершин билинейной ограничивающей поверхности в пустых ячейках, используется линейная интерполяционная поверхность, которая строится на основе алгоритма триангуляции Делоне на известных вершинах.

Для построения триангуляции используется расстояние между вершинами. Для каждой вершины определяется окрестность Тиссена как замыкание множества точек, которые расположены ближе к И, чем к любой другой вершине. Пара вершин называется соседями, если их окрестности Тиссена имеют одну (слабые соседи) или более (сильные соседи) общих вершин. Триангуляция строится соединением всех пар сильных соседей, слабые соседи соединяются, только если четыре или более вершин лежат на одной окружности.

Алгоритмы триангуляции используют процедуру сортировки для предварительной обработки массива данных, при этом время выполнения сортировки оценивается как О(п\о%гп)- Индекс, образующийся в результате сортировки, хранится в массиве размером еще один массив требуется для хранения пар соседних вершин, рассчитанных в результате выполнения триангуляции.

Для вычисления линейной интерполяции в точке (х, у) с использованием полученной в результате триангуляции поверхности, требуется определить треугольник, содержащий (х,у). Точка находится внутри треугольника, если она расположена по левую сторону от каждой его стороны

16

при движении против часовой стрелки. Точка находится слева от стороны при выполнении условия

где - координаты точки, - координаты вершин

треугольника. Точка находится по правую сторону треугольника, если определитель больше нуля. Таким образом, последовательное определение соседних треугольников приводит к определению нужного, либо оказывается, что точка лежит вне поверхности, за ее границей. При этом, как легко видеть, точка находится внутри поверхности, если она лежит по левую сторону от всех граничных сторон при обходе краевых треугольников в направлении против часовой стрелки.

Линейная интерполяция точки (х,у) рассчитывается по формуле

Ш,у)

Ах+Ву + Р

,где

Для построения 2?-сплайн поверхности требуется задание внутренних узлов. При этом их количество, в принципе, может быть произвольным, ограничение состоит лишь в том, чтобы количество внутренних узлов превышало порядок поверхности. При этом целесообразно выбрать количество внутренних узлов сплайна таким образом, чтобы обеспечить определенную точность восстановления исходной поверхности. Для выделения в исходном массиве данных сегментов используем деление двумерного массива на прямоугольные области с помощью тернарного дерева. Каждая вершина тернарного дерева имеет не менее 2 и не более 4 потомков, вершина дерева представляет всю исходную прямоугольную область, а ветви дерева получаются делением прямоугольных областей на 4 подобласти. Каждому узлу дерева присваивается значение «истина» или «ложь», либо производится дальнейшее деление до получения какого-либо значения (классификация) либо по достижении заданной глубины дерева.

Построенное тернарное дерево представляет собой структуру, определяющую границы сегментов и количество внутренних узлов для каждой координаты. Для выполнения условия непрерывности первой производной на границах сегментов, необходимо построение двух дополнительных поверхностей: поверхности, которая покрывает общие узлы 4-х соседних

сегментов, и граничных поверхностей, покрывающих границы двух смежных сегментов.

Общая задача заключается в построении поверхности Z = 2(х,у), минимизирующей ошибку аппроксимации и имеющей форму согласно заданному вектору контрольных узлов. При этом интервальная В-сплайн-поверхность строится таким образом, чтобы объем, ограниченный В-сплайн-поверхностью и билинейной поверхностью, был минимальным. Определим

г(11,у)й Ии.у), г\и,у)]

как интервальную B-сплайн поверхность, где и = Ах+В, у = Су + й, Л, В, С, Б выбираются из условия м,У€ [0,1],, Тогда требуется минимизировать

по где - число внутренних узлов (количество контроль-

ных узлов минус единица), необходимых для каждого сегмента в параметрических направлениях и и v.

Интеграл от B-сплайн-поверхности вычисляется с помощью выражения

где М = N = 3 для двунаправленных квадратических сплайнов, откуда получаем

Полученная задача минимизации с линейными ограничениями может быть решена с использованием методов линейного программирования.

Заключение

В диссертационной работе поставлены и решены задачи синтеза алгоритмов высокоточной навигации автономных подводных аппаратов с использованием геофизических полей.

Основные научные и практические результаты работы состоят в следующем:

Показана целесообразность использования в задачах оценок параметров движения минимаксного фильтра Калмана-Бьюси.

Разработан алгоритм оценивания параметров движения с использованием геофизических полей на основе гарантирующего подхода, позволяющего получать оценки необходимой точности в условиях существенной неопределенности и ограниченности исходной совокупности данных. При этом использованный подход позволяет использовать навигационные комплексы более низкого класса точности, что позволяет существенно экономить материальные ресурсы, а также использовать навигационные комплексы в режимах пониженной точности, что, в свою очередь, позволяет повысить оперативность приведения боевых средств в рабочее состояние.

Разработан метод моделирования геофизических полей с помощью интервальных B-сплайн поверхностей, позволяющий получать аналитическое представление непрерывных геофизических параметров. Данный метод позволяет существенно снизить требования по объему памяти бортовой ЭВМ для хранения цифровых карт, а также производить все необходимые вычисления до начала выполнения задания.

Разработаны и применены на практике программное обеспечение и общая методика расчета оценок параметров движения, позволяющие эффективно решать навигационные задачи, при этом разработанный метод позволяет корректно обрабатывать неслучайные ошибки модели состояния и движения объекта, а также учитывать неполноту и неопределенность исходной информации.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Гайфуллин М. Б., Губков Л. В., Дешнер А. И., Короченцев В И., Унру П. П. Acoustic Fields in the Ocean Bottom // Proc. of the Int. Symp. "Underwater Technology-98". Tokyo. P.138 -141.

2. Дешнер А. И. Алгоритм информационного обеспечения систем навигации по геофизическим полям // Надежность и качество. Труды международного симпозиума. Пенза, 2000. С.294 - 296.

3. Дешнер А. И. Использование геофизических полей Мирового океана для целей коррекции параметров движения автономных подводных ап-

№12 4 0 2

паратов // Труды Всероссийского симпозиума «Сеисмоакустика переходных зон». Владивосток, 1999. с.67 - 69.

4. Дешнер А. И. Использование геофизических полей Мирового океана для целей коррекции параметров движения автономных подводных аппаратов // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2003. С.129-130.

5. Korotchentsev V. I., Rozenbaum A. N., Deshner A. I. Precise location of submarine robots, Proceedings of the 3rd IFAC Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles, Madrid, 1998, V.I. pp. 68 - 72.

6. Korotchentsev V. L, Rozenbaum A. N., Deshner A. I. Navigation of underwater autonomous vehicles // Proc. of International Symposium On Underwater Technology. 23-26 May, 2000. Tokyo, Japan, pp.170 - 174.

7. Rozenbaum A. N., Korotchentsev V. I., Deshner A. I. Navigation of underwater industrial autonomous vehicles // Proc. of 9th IFAC Symposium Control in Transportation Systems 2000. June 13-15, 2000. Braunschweig, Germany, pp.168-172.

Дешнер Андрей Иванович

Анализ и синтез алгоритмов высокоточной морской навигации по геофизическим полям

Автореферат

Подписано к печати 26.05.2004. Усл.п.л.1,2 Усл.-издл. 1,0

Формат 60x84/16 Тираж 100 Заказ 26_

Издано ИАПУ ДВО РАН Владивосток, ул. Радио, 5 Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН Владивосток, ул. Радио, 5

Содержание

Введение

1. Морские навигационные системы

1.1. Внутренние навигационные системы

1.1.1. Доплеровские навигационные системы

1.1.2. Инерциальные навигационные системы

1.1.3. Рекурсивная навигация

1.2. Внешние навигационные системы

1.2.1. Радионавигационные системы

1.2.2. Оптические системы

1.2.3. Акустические навигационные системы

1.2.4. Геофизическая навигация 34 Итоги главы

2. Характеристики навигационных полей

2.1. Навигационное поле рельефа и его характеристики

2.2. Аномальные пространственные поля Земли 46 Итоги главы

3. Алгоритмы оценивания параметров движения

3.1. Постановка задачи оценивания

3.2. Минимаксный фильтр калмановского типа непрерывного времени

3.3. Минимаксный фильтр Калмана в дискретном времени

3.4. Минимаксный фильтр определения параметров движения эллипсоидального типа

3.5. Структурная схема системы навигации по геофизическим полям 76 Итоги главы

4. Информационное обеспечение систем навигации по геофизическим полям

4.1. Методы восстановления геофизических полей

4.1.1. Метод минимальной кривизны

4.1.2. Обобщенный метод эквивалентного источника

4.1.3. Кригинг-алгоритм

4.1.4. Метод ACT

4.1.5. Сплайн-интерполяция

4.1.6. Пример расчета

4.2. Пример расчета оценок координат

4.3. Методика построения оптимальных оценок параметров движения с использованием геофизических полей 107 Итоги главы

Надежное навигационное обеспечение судов имеет важное значение для безопасности их плавания, эффективной эксплуатации и предотвращения экологических бедствий. Специфика работы морского, речного и рыбопромыслового флотов определяет необходимость применения таких средств навигации, которые бы с минимумом затрат обеспечили удовлетворение современных и перспективных требований, предъявляемых потребителями в любом районе Земного шара.

Особую значимость вопросы надежного, высокоточного контроля за положением судна приобретают при плавании в прибрежной зоне, на подходных путях, в узкостях, каналах и на акваториях портов, где последствия аварии судна в большой степени связаны с риском загрязнения окружающей среды. Для удовлетворения современных требований к навигационному обеспечению судоходства внедряются качественно новые средства судовождения, в том числе спутниковые навигационные системы (СНС).

В настоящее время наиболее полно удовлетворяют требованиям к навигационному обеспечению судоходства СНС GPS и Глонасс при использовании в штатном и дифференциальном режимах работы. Основными достоинствами этих систем при использовании сигналов стандартной точности в штатном режиме работы являются глобальность рабочей зоны, высокие доступность, точность и надежность при непрерывности навигационных определений, а в дифференциальном режиме - возможность повышения точности и надежности навигационных определений в рабочей зоне дифференциальной подсистемы. Погрешности определения местоположения СНС Глонасс и GPS при использовании сигналов стандартной точности в штатном режиме не превышают соответственно 40 м и 100 м, а в дифференциальном режиме -Юме вероятностью 95%.

Вместе с тем, при использовании СНС в качестве основной навигационной системы возникает ряд проблем, в первую очередь, связанных с надежностью работы СНС в целом.

При одобрении систем Глонасс и GPS в качестве компонентов Всемирной радионавигационной системы в 1996 г. Международная Морская Организация (ИМО) отметила неспособность каждой из них обеспечить в штатном режиме точность, необходимую для безопасной навигации судов на подходах к портам и в других водах, в которых свобода маневрирования ограничена.

Другой отмеченный недостаток этих систем связан с их неспособностью в данное время обеспечивать оперативное оповещение потребителей о нарушениях в работе систем или их элементов, которые происходят пока довольно часто.

Одним из путей устранения указанных недостатков и улучшения основных характеристик систем Глонасс и GPS, необходимых для расширения их функциональных возможностей, является применение дифференциального режима работы этих систем, что позволяет добиться повышения точности, надежности и эффективности радионавигационного обеспечения в рабочих зонах дифференциальных подсистем СНС.

Альтернативным путем является использование резервной навигационной системы, работающей в автономном режиме без привлечения внешних средств.

Используемые в настоящее время навигационные комплексы (относительные и абсолютные доплеровские лаги, счислители пути) не удовлетворяют предъявляемым к ним требованиям в первую очередь по точности определения координат, а также по оперативности подготовки комплекса к рабочему состоянию. При этом, как правило, режимы повышенной точности комплекса требуют значительного времени на подготовку, что не позволяет использовать их в оперативном режиме.

В связи с этим весьма актуальной является проблема создания средств проведения навигационных определений, позволяющих при недостаточности и неопределенности исходных данных давать достаточно точные оценки текущего местоположения, при этом дополнительными требованиями являются работа в автономном режиме и достаточная оперативность подготовки навигационного комплекса к рабочему состоянию.

На практике встречаются две основные задачи оценивания состояния систем, задача фильтрации, решение которой производится в реальном масштабе времени, т.е. с использованием измерительной информации, полученной лишь к текущему моменту времени, и задача интерполяции, решение которой производится по измерительной информации как с более ранними, так и с более поздними временными привязками относительно момента, на который производится оценивание.

Решения этих задач в случае, когда корреляционные функции возмущений известны, были даны Н. Винером и А Н. Колмогоровым [107, 32]. Но в подавляющем большинстве практических задач корреляционные функции многих возмущений точно не известны, а известны лишь некоторые их статистические характеристики, например, дисперсии, дисперсии производных и т.д. Возмущения такого рода, как правило, присутствуют в составе ошибок измерительных средств. Эти ошибки, с одной стороны, нельзя считать как систематическими, так и некоррелированными по времени. Аналогичным образом ведут себя многие возмущения в уравнениях модели системы. В более общем случае могут быть известны ограничения на дисперсии конечного числа произвольных линейных преобразований этих возмущений, а также ограничения на спектральные плотности частот возмущений.

Впервые задача подобного класса была поставлена У. Грензндером в [20], где решена задача прогнозирования (фильтрации) стационарного случайного процесса, наблюдавшегося без шумов, о котором известна лишь его дисперсия.

С общих позиций теории принятия решений задача минимаксной фильтрации рассматривалась В.Г. Репиным и Г.П. Тартаковским в [51].

Близкие по постановке задачи для нестационарных систем рассмотрены в работах Г.А. Голубева, П.Е. Эльясберга, О.М. Куркина, Е.В. Латышева, Н.И. Ринго и др. [4, 17, 37, 53]. Для стационарных систем в случае ограниченности дисперсии возмущения и белого шума измерения частный случай задачи фильтрации (фильтрация непосредственно самого значения полезного сигнала) был рассмотрен в [94]. Несколько иное направление имеют работы В.А. Бесекерского, A.B. Небылова и Г.А. Голубева [9, 17], в которых задача линейной минимаксной стационарной фильтрации решается на заданной параметрической структуре фильтров (с конечным числом параметров).

В литературе главным образом рассматривается задача минимаксной фильтрации с детерминированными возмущениями. В обширный перечень работ входят работы H.H. Красовского, А.Б. Куржанского и других авторов [34, 36, 1, 10, 12, 27, 28]. В работе [40] развит метод, который позволяет использовать все достоинства решений задач оценивания как в классической, так и минимаксной постановке и являющийся объединением двух подходов.

Исследования в области теории корреляционно-экстремальных навигационных систем также достаточно обширны и включают [3, 8, 13, 31, 35, 56]. Использованию геофизических полей для построения навигационных систем посвящены публикации [5, 22, 23, 24, 25, 30, 39, 44, 47, 52, 57, 59, 80, 81,96].

Настоящая работа представляет собой исследования в области использования геофизических полей для построения морских навигационных систем. Получение оценки текущих координат объекта производится с помощью теории гарантированного оценивания, что позволяет корректно обрабатывать неслучайные ошибки модели состояния и движения объекта, а также учитывать неполноту и неопределенность исходной информации. Рассматриваются вопросы совместного использования различных по природе геофизических полей.

Актуальность темы. Успешное решение задачи выполнения точных навигационных определений является решающим фактором обеспечения безопасности мореплавания в современных условиях. Вместе с тем, используемые в настоящее время бортовые навигационные комплексы не соответствуют ряду требований к современным системам как по точности, так и по оперативности подготовки к рабочему режиму. Развитие и практическая реализация алгоритмов навигации по геофизическим полям может существенно повысить безопасность мореплавания при использовании данных навигационных систем в качестве резервных. При этом в настоящее время открытыми являются вопросы информационно-алгоритмического обеспечения задач навигации по геофизическим полям, включая вопросы подготовки, хранения и эффективного использования больших массивов данных эталонных карт, оценки изученности и применимости данных измерений геофизических полей различных районов Морового океана, а также оценки достижимой при этом точности местоопределений. Разработанные к настоящему моменту системы предназначены для использования военно-воздушными силами, примеры практического использования таких систем в морской навигации практически отсутствуют.

Целью работы является исследование и решение проблемы высокоточной морской навигации с использованием геофизических полей в условиях недостаточной полноты и неопределенности исходных данных, построение и исследование вычислительных алгоритмов высокоточной навигации. В соответствии с поставленной целью в работе рассматриваются и решаются следующие задачи:

• исследование возможности применения метода гарантированного оценивания для решения проблемы высокоточной навигации;

• исследование качественных характеристик геофизических полей для определения пригодности их использования в морской навигации;

• разработка алгоритмического и программного обеспечения задачи оценивания параметров движения;

• разработка информационного обеспечения задач высокоточной навигации по геофизическим полям;

• экспериментальная и производственная проверка разработанных методов, алгоритмов и программ.

Методы исследования, используемые при выполнении работы, основаны на положениях теории вероятности и математической статистики, теории оптимальной фильтрации, теории управления.

Научная новизна. В отличие от традиционных подходов к решению задач высокоточной морской навигации, которые в поставленных начальных условиях оказываются полностью неприменимы либо дают неприемлемые результаты, в диссертационной работе рассматриваются методы и алгоритмы, в основе которых лежит гарантирующий подход, позволяющий получать оценки необходимой точности в условиях существенной неопределенности и ограниченности исходной совокупности данных.

На защиту выносятся следующие основные научные результаты:

• метод гарантированного оценивания применительно к решению задачи высокоточной морской навигации;

• алгоритмы высокоточной навигации, построенные в соответствии с методом гарантированного оценивания;

• алгоритмы информационного обеспечения решения поставленных задач.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались:

• на научных семинарах Института автоматики и процессов управления ДВО РАН;

• на Всероссийском симпозиуме «Сейсмоакустика переходных зон» (Владивосток, 1999);

• на международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2000);

• на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е В. Золотова. (Владивосток, 31 августа - 6 сентября, 2003 г.).

Публикации. Основные результаты исследования нашли отражение в 7-ти печатных работах.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, и списка литературы. В работе содержится 124 листов машинописного текста, 29 рисунков. Список литературы содержит 109 наименований.

Заключение

В диссертационной работе поставлены и решены задачи синтеза алгоритмов высокоточной морской навигации с использованием геофизических полей.

Основные научные и практические результаты работы состоят в следующем:

Показана целесообразность использования в задачах оценок параметров движения минимаксного фильтра Калмана-Бьюси.

Разработан алгоритм оценивания параметров движения с использованием геофизических полей на основе гарантирующего подхода, позволяющего получать оценки необходимой точности в условиях существенной неопределенности и ограниченности исходной совокупности данных. При этом использованный подход позволяет использовать навигационные комплексы более низкого класса точности, что позволяет существенно экономить материальные ресурсы, а также использовать навигационные комплексы в режимах пониженной точности, что, в свою очередь, позволяет повысить надежность получаемых навигационных определений.

Разработан метод моделирования геофизических полей с помощью интервальных 5-сплайн поверхностей, позволяющий получать аналитическое представление непрерывных геофизических параметров. Данный метод позволяет существенно снизить требования по объему памяти бортовой ЭВМ для хранения цифровых карт, а также производить все необходимые вычисления до начала выполнения задания.

Разработано программное обеспечение и общая методика расчета оценок параметров движения, позволяющие эффективно решать навигационные задачи, при этом разработанный метод позволяет корректно обрабатывать неслучайные ошибки модели состояния и движения объекта, а также учитывать неполноту и неопределенность исходной информации.

1. Александров В.М. Минимаксный подход к решению задачи обработки информации // Техническая кибернетика. 1966. №5.

2. Андреев Г. А., Потапов А. А. Активные системы ориентации по геофизическим полям // Зарубежная радиоэлектроника, 1988, № 9. С.62-85.

3. Баклицкий В.К., Юрьев А.Н. Корреляционно-экстремальные методы навигации. М.: Радио и связь, 1982.

4. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения (гарантирующий подход). М.: Наука, 1980.

5. Белоглазов И. Н., Джанджгава Г. И., Чигин Г. П. Основы навигации по геофизическим полям. Наука, 1985.

6. Белоглазов И.Н., Тарасенко В.П. Корреляционно-экстремальные системы. -М.: Сов. радио, 1974.

7. Бесекерский В.А., Небылов A.B. Робастные системы автоматического управления. М.: Наука, 1983.

8. Богуславский И.А. Прикладные задачи фильтрации и управления. М., Наука, 1983.

9. Богуславский И.А. Об оценке фазовых координат линейной системы в статистически неопределенных ситуациях // Автоматика и телемеханика. 1971. №1. с.31-40.

10. Ю.Богуславский И.А. Методы навигации и управления по неполной статистической информации. М.: Машиностроение, 1970.

11. П.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., Наука, 1969.

12. Бочкарев A.M. Корреляционно-экстремальные системы навигации // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. №9. с.28-53.

13. Бусалаев ИВ. О приложении методов статистического описания случайных полей к характеристике рельефа земной поверхности. В кн.: Рельеф Земли и математика. М.: Мысль, 1967

14. М.Генике А. А., Малорацкий JI. Г., Фрумович В.Л. Высокоточные системы ближней навигации // Зарубежная радиоэлектроника, 1980, № 10. С. 87-93.

15. Голубев Г. А. Минимаксные линейные динамические фильтры минимальной размерности фазовых координат линейных динамических объектов // Автоматика и телемеханика. 1986. №5. с.50-60.

16. Голубев Г.А. Минимаксные линейные фильтры координат динамических объектов // Техническая кибернетика. 1978. №3. с.155-162.

17. Гонсалес Д. Ту Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1978. 412 с.

18. Гренандер У. Об одной проблеме предсказания в связи с теорией игр // Бесконечные антагонистические игры. Под ред. H.H. Воробъева. М.: Физматгиз, 1963. С. 403^13.

19. Грушинский Н.П. Теория фигуры Земли. М.: Физматгиз, 1963.

20. Дешнер А.И. Алгоритм информационного обеспечения систем навигации по геофизическим полям // Надежность и качество. Труды международного симпозиума. Пенза, 2000. С.294-296.

21. Дешнер А.И. Использование геофизических полей Мирового океана для целей коррекции параметров движения автономных подводных аппаратов // Труды Всероссийского симпозиума «Сейсмоакустика переходных зон», Владивосток, 1999. с.67-69.

22. Дешнер А.И. Статья на специальную тему // Проблемы и методы разработки и эксплуатации вооружения и военной техники ВМФ. Сб. статей. Владивосток, ТОВМИ, 2000. вып. 27. с. 82-87.

23. Дмитриев С.П., Шимелевич Л.И. Нелинейные задачи обработки навигационной информации. ЦНИИ «Румб», 1977.

24. Дмитриев СП., Шимелевич Л.И. Обобщенный фильтр Калмана с многократной линеаризацией и его применение в задаче навигации по геофизическим полям // Автоматика и телемеханика. 1979. №4. с.50-55.

25. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970. 528 с.

26. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях // Автоматика и телемеханика. 1978. №11. с.79-88

27. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксное оценивание в многошаговых системах. Докл. АН СССР. 1975. Т. 221. №3. с.535-538

28. Кириченко Н.Ф., Наконечный А.Г. Минимаксный подход к рекуррентному оцениванию состояния линейных динамических систем. // Кибернетика, 1977, N4, с. 52-55.

29. Кисилев С.К. Корреляционно-экстремальная навигация по полю магнитных аномалий протяженных ориентиров // Известия РАН. Теория и системы управления. 1997. №6. с. 56-62.

30. Козубовский СР. Корреляционно-экстремальные системы. Киев: Наукова думка, 1973.

31. Колмогоров АН. Интерполяция и экстраполяция стационарных случайных последовательностей. // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1941. №1.

32. Комаров В. М., Плохих А. П., Андреева Т.М. Радиолокационные измерители высоты и наклонной дальности // Зарубежная радиоэлектроника, 1991, № 12. С. 52-70.

33. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1963

34. Красовский А. А., Белоглазов И. Н., Чигин Г. П. Теория корреляционно-экстремальных систем. Наука, 1979.

35. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

36. Куркин О.М., Латышев Е.В. Итеративный метод решения задачи минимаксной линейной фильтрации // Автоматика и телемеханика. 1982. №1. с.56-63.

37. Лившиц Н. А., Пугачев В. Н. Вероятностный анализ систем автоматического управления. М.: Советское радио, 1963.

38. Лойтенбергер В.Е. Навигация пассивных тактических ракет с использованием информации о рельефе местности и датчиках, применяемых в автопилотах // Аэрокосмическая техника. 1985. Т.З, №3. с.113-122.

39. Малышев В. В., Кибзун А. И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987. 304 с.

40. Методы анализа данных: Подход, основанный на методе динамических сгущений / Пер. С фр.; Под редакцией и с предисловием С.А.Айвазяна // М.: Финансы и статистика, 1985, 357 с. (Логико-статистические методы за рубежом).

41. Мирский Г. Я. Характеристики стохастической взаимосвязи и их измерения. -М.: Энергия, 1982.

42. Наливайко Д. А., Сахненко К. Д. Решение задач относительной навигации в ЛГОБ // Зарубежная радиоэлектроника, 1991, № 5. С. 30-42.

43. Неш Р. А., Джордан С. К. Использование гравитационных и магнитных полей в навигации // ТИИЭР, 1978, т.66, № 5. С. 56-82.

44. Николаев С.А. О закономерности строения рельефа. Сб. статей по картографии, вып. 7. М.: Геодезиздат, 1954

45. Пешехонов В. Г. Навигационные системы // Вестник РАН, 1997, № 1. С. 43-48.

46. Правоторов И.А. Отличительные формы морского дна и навигация // Изв. Всесоюзного географического общества. 1981. №10. с.3-28.

47. Прэтг У. Цифровая обработка изображений. М. Мир, 1982.

48. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962.

49. Пузырев В. А., Гостонина М. А. Алгоритмы оценивания движения летательных аппаратов // Зарубежная радиоэлектроника, 1981, № 4. С. 325.

50. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Советское радио, 1977.

51. Ржевкин В.А. Автономная навигация по картам местности // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. №10. с.3-28.

52. Ринго Н.И. Некоторые задачи прогнозирования // Исследование операций (модели, системы, решения), ВЦ АН СССР. М.: Наука, 1974. Вып. 4.

53. Розенбаум А.Н., Дешнер А.И. Статья на специальную тему // Проблемы и методы разработки и эксплуатации вооружения и военной техники ВМФ. Сб. статей. Владивосток, ТОВМИ, 2000. вып. 27. с. 12-20.

54. Слободян С. М., Цупин А. А. Лазерные навигационные системы автономных транспортных средств // Зарубежная радиоэлектроника, 1988, №6. С. 13-20.

55. Степанов O.A. Оптимальное решение задачи уточнения координат объекта в корреляционно-экстремальных системах навигации при использовании информации о поле в виде кадра // Автометрия. 1994. №2.

56. Степанов O.A. Построение комбинированного алгоритма решения задачи корреляционно-экстремальной навигации в рамках теории нелинейной фильтрации // Автометрия. 1995. №5.

57. Супоня А.А., Мусорина Е.А., Дешнер А.И., Штанько А.Н. Статья на специальную тему // Проблемы и методы разработки и эксплуатации вооружения и военной техники ВМФ. Сб. статей. Владивосток, ТОВМИ, 2000. вып. 27. с. 3-11.

58. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. -М.: Наука, 1988.

59. Щербатюк А.Ф. Беспоисковые корреляционно-экстремальные алгоритмы коррекции местоположения объекта по изолинии поля рельефа // Сб. коррекция в навигационных системах и системах ориентации ИСЗ. М.: Изд. МГУ. 1986. с.40-48.

60. Шинаков Ю.С. Определение корреляционной функции нестационарного случайного процесса определенного класса по одной реализации этого процесса с помощью метода наименьших квадратов. Л.: ЛЭИС, 1966, вып. 32.

61. Юшин В. И. Оптимальный интервал осреднения при измерении статистических характеристик нестационарного случайного процесса по одной реализации // Автометрия, 1966, №3.

62. Andreas R.D., Hostetler I.D., Beckman R.C. Continuous Kalman updating of an inertial navigation system using terrain measurements. NAECON'78, v.3

63. Bennett A. A. and Leonard J. J. A behavior-based approach to adaptive feature mapping with autonomous underwater vehicles. // IEEE Journal of Oceanic Engineering, Vol. 25, No. 2, pages 213-226, April, 2000.

64. Bennett A. A. and Leonard J. J. Autonomous mapping with an AUV: an approach for ground truthing of remote sensing data. // In proceedings of IEEE Oceans, pages 1099-1104, Ft. Lauderdale, Florida, September, 1996.

65. Bennett A. A. and Leonard J. J. Feature-relative navigation of an autonomous underwater vehicle. // Int. Symp. on Unmanned Untethered Submersible Technology, New Hampshire, August, 1999.

66. Briggs I.C. Machine contouring using minimum curvature. Geophysics, 39(1), pp. 39-48, 1974.

67. Brown C., Durrant-Whyte H., Leonard J., and Rao B. Centralized and decentralized Kalman filter techniques for tracking, navigation, and control. // In DARPA Image Understanding Workshop, pages 651-675, May 1989.

68. Choi S. K. and Yuh J. Experimental Study on a Learning Control System with Bound Estimation for Underwater Robots. // Proc. EEEE Int. Conf. Robt. Aut., pp. 2160-2165, 1996.

69. Cooper D.B., Sung S.W. Multiple-window parallel adaptive boundary finding in computer vision // IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, v. 5, №3,1983, pp. 229-316.

70. Dampney C.N.G. The equivalent source technique. Geophysics, 34(1), pp. 3953, 1969.

71. Deffenbaugh M. A matched field processing approach to long range acoustic navigation. Master's thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1994.

72. Ekludh J.O., Yamamoto H., Rosenfeld A. A relaxation method for multispectral classification // IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, v. 2, № 1,1980, pp. 72-75.

73. Feder H. J. S., Leonard J. J. and Smith C. M. Adaptive mobile robot navigation and mapping. // International Journal of Robotics Research, Special Issue on Field and Service Robotics, Volume 18, Number 7, pages 650-668, July, 1999.

74. Feder H. J. S., Smith С. M., and Leonard J. J. Adaptive sensing for terrain aided navigation. // In Proceedings of IEEE Oceans, October, 1998.

75. Hammel R.A., Zucker S.W. On the foundation of relaxation labeling // IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, v. 5, № 3,1983, pp.267-287.

76. Hasif S., Rosenfeld A. Pyramid Linking is a special case of IZODATA // IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics, v. 13, № 1,1984, pp. 84-85.

77. Hebert M. Building Qualitative Elevation Maps From Underwater Sonar Data for Autonomous Underwater Navigation // In Proc. IEEE Conference on Robotics and Automation, 1991.

78. Horwitz S.L., Pavlidis T. A graph theoretic approach to picture processing // Computer Graphics and Image Processing, v. 7, № 2,1978, pp. 282-291.

79. Kalaych H.M. Ladgrebe D.A. Adaptive relaxation labeling // IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, v. 6, № 3, 1984, pp. 369-372.

80. Korotchentsev V.I., Rozenbaum A.N., Deshner A.I., Precise location of submarine robots, Proceedings of the 3rd IF AC Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles, Madrid, 1998, V.I. pp. 68-72.

81. Korotchentsev V.I., Rozenbaum A.N., Deshner A.I. Navigation of underwater autonomous vehicles // Proc. of International Symposium On Underwater Technology. 23-26 May, 2000. Tokyo, Japan, pp. 170-174.

82. Krige D.G. A statistical approach to some mine valuation and allied problems on the Witwatersrand. Master's thesis, University of the Witwatersrand, 1951.

83. Kweon I.S., Kanade T. High resolution terrain map from multiple sensor data // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, volume 14, number 2, pages 278 292, 1992.

84. Lane D. M., Stoner J. P. Automatic Interpretation of Sonar Imagery Using Qualitative Feature Matching // IEEE Journal of Oceanic Engineering, vol. 19, no. 3, 1994, pp. 391-405.

85. Leonard J. J., Carpenter R. N., and Feder H. J. S. Stochastic mapping using forward look sonar. // Robotica, page 341, Volume 19, 2001.

86. Leonard J. J., Durrant-Whyte H. F. Directed Sonar Sensing for Mobile Robot Navigation. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1992.

87. Leonard J. J., Moran B. A., Cox I. J. and Miller M. L. Underwater sonar data fusion using an efficient multiple hypothesis algorithm. // In Proc. IEEE International Conference on Robotics and Automation, pages 2995-3002, Nagoya, Japan, May, 1995.

88. Majumder S., Scheding S., Durrant-Whyte H. F. Sensor fusion and map building for underwater navigation // Proceedings of Australian Conference on Robotics and Automation, Melbourne, Australia, Aug 30-Sep 1, 2000.

89. Matheron G. The theory of regionalized variables and its applications. Les Cahier du Centre de Morphologie Math'ematique, 5, pp. 211, 1971.

90. Peleg S. Classification by discrete optimization // Computer Graphics and Image Processing, 1984, v. 25, № 1. P. 122-130.

91. Poor H.V. On robust Wiener filtering // IEEE Trans. Automat. Contr. 1980. vol. AC-25. p.531-536.

92. Reddi S.S., Rudin S.F., Keshavan H.R. An optimal multiple threshold scheme for image segmentation // Computer Graphics and Image Processing, v. 12, № 4,1980, pp. 301-312.

93. Rozenbaum A.N., Korotchentsev V.I., Deshner A.I. Navigation of underwater industrial autonomous vehicles // Proc. of 9th IF AC Symposium Control in Transportation Systems 2000. June 13-15, 2000. Braunschweig, Germany, pp.168-172.

94. S. T. Tuohy, J.J. Leonard, J. G. Bellingham, N. M. Patrikalakis, C. Chryssostomidis. Map based navigation for autonomous underwater vehicles // International Journal of Offshore and Polar Engineering, 6(1), March 1996.

95. Smith C. M., Leonard J. J., Bennett A. A. and Shaw C. Concurrent mapping and localization for autonomous underwater vehicles. // In proceedings of Undersea Defense Technology, pages 338-342, June, 1997.

96. Smith C. M., Leonard J. J., Bennett A. A. and Shaw C. Feature-based concurrent mapping and localization for autonomous underwater vehicles. Proceedings of IEEE Oceans, October, 1997.

97. Smith C. M. and Park J., Navigational data fusion in the Ocean Explorer autonomous underwater vehicles. // Proceedings of 1998 International Symposium on Underwater Technology, pp. 233-238, 1998.

98. Shaw G.B. Local and regional edge detectors: Some comparison // Computer Graphics and Image Processing, v. 9, № 2,1979, pp. 135-149.

99. Stewart W. K. Remote sensing issues for intelligent underwater systems // In International Conference on Computer Vision, pages 230-235, 1991.

100. Su K.M., Hong S. An edge extraction technique for noisy images // Computer Vision, Graphics and Image Processing, v. 25, № 1,1984, pp. 24-25.

101. Tuohy S. T., Patrikalakis N. M., Leonard J. J., Bellingham J. G., and Chryssostomidis C. Map based navigation for autonomous underwater vehicles. // International Journal of Offshore and Polar Engineering, 6(1):9-18, March, 1996.

102. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series: with engineering applications. Cambridge, New York, 1949.

103. Wishart D. Mode analysis: a generalization of nearest neighbour with reduce a chaining effect: Numerical Taxonomy. LD., N. -Y.: Acad. Press., 1969, pp. 282-311.

104. Yoerger D. R. Precise Control of Underwater Robots. // in International Advanced Robotics Programme Workshop on Mobile Robots for SubSea Environments. Monterey, CA, USA, 1990.