автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Явные и неявные энергетически устойчивые схемы решения задач статики и динамики сооружений

/**"> "г Г"—"/ / /*) ,'»"") ЛУ

О 7 & Ъ -

' РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Белаш Владимир Валентинович

ЯВНЫЕ И НЕЯВНЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДА Ч СТАТИКИ И ДИНАМИКИ СООРУЖЕНИЙ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель доктор технических наук, профессор, советник РААСН

Г.В.Василъков

Ростов-на-Дону -1999

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ................................................. 4

Глава 1 .СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА ............................... 7

1.1. Обзор основных методов решения задач строительной механики, литературных источников .............. 7

1.2. Дифференциальные уравнения движения теории упругости 21

1.3. Вариационные принципы динамической теории упругости 25

1.4. Основные соотношения динамической теории упругости в свертках .......................................... 27

1.4.1. Формулировка основных соотношений динамической теории упругости в перемещениях ............... 27

1.4.2. Формулировка основных соотношений динамической теории упругости в скоростях ................... 32

Глава 2. ЯВНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ТЕОРИИ СООРУЖЕНИЙ .............................. 38

2.1. Энергетически возможные перемещения, деформации, напряжения ....................................... 39

2.2. Методы последовательных приближений решения систем линейных алгебраических уравнений .................. 45

2.3. Метод энергетического баланса в решениях систем

линейных алгебраических уравнений .................. 49

2.4. Геометрическое истолкование решения систем уравнений методом энергетического баланса ..................... 55

2.5. Примеры расчета и анализ результатов ................ 61

2.6. Выводы по главе .................................. 92

Глава 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

СООРУЖЕНИЙ ...................................... 93

3.1. Схемы прямого интегрирования уравнений движения .... 93

3.2. Основные положения метода точечного сохранения инвариантов ...................................... 102

инвариантов ...................................... 102

3.3. Построение энергетически устойчивой неявной схемы прямого интегрирования методом точечного сохранения инвариантов ...................................... 105

3.4. Построение энергетически устойчивых явных схем прямого интегрирования .................................... 115

3.5. Анализ точности схем прямого интегрирования ......... 131

3.6. Примеры расчета и анализ результатов ................ 133

3.7 Выводы по главе ................................... 159

Глава 4.ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ................................ 160

4.1. Объемные конечные элементы ....................... 160

4.2. Примеры расчета пространственных задач ............. 166

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................. 186

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ............................................. 188

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа посвящена разработке энергетически устойчивых явных схем решения динамических задач теории сооружений, а также итерационных методов расчета задач статики теории упругости.

В первой вводной главе приводится обзор основных методов решения задач строительной механики, а также обзор литературных источников. Кроме того в этой главе показаны дифференциальные уравнения движения теории упругости, основные вариационные принципы динамической теории упругости и сформулированы основные соотношения в свертках в перемещениях и в скоростях.

Во второй главе излагается метод энергетического баланса в решениях систем статики сооружений. Разработан итерационный алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрены контрольные примеры.

Третья глава посвящена разработке энергетически устойчивых явных схем прямого интегрирования уравнений движения. На тестовых примерах проведена апробация нескольких полученных явных схем, которая показала хорошую сходимость схем 1 и 2.

В четвертой главе рассматривается объемная задача МКЭ с использованием эффективного восьмиузлового КЭ. Задача решается по неявной схеме в перемещениях и в скоростях.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ состоит в разработке явных эффективных схем прямого интегрирования уравнений динамики сооружений; итерационного метода решения задач статики сооружений; в построении алгоритмов разработанных схем при реализации на ЭВМ.

НАУЧНУЮ НОВИЗНУ РАБОТЫ составляют следующие результаты, защищаемые автором:

=>разработан итерационный метод решения линейных алгебраических

уравнений статики сооружений; =>получена явная энергетически устойчивая схема прямого интегрирования уравнений движения. =2>разработаны и апробированы алгоритмы численно реализующие предложенные методики расчета статических и динамических, плоских и объемных задач теории сооружений. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ состоит в том, что разработанная методика, алгоритм и программа могут быть использованы при решении статических и динамических задач теории сооружений. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в учебном процессе.

ДОСТОВЕРНОСТЬ проведенных научных исследований и полученных численных результатов обеспечивается применением фундаментальных принципов и методов строительной механики и, подтверждается решением контрольных примеров, имеющих аналитическое решение, либо решенных хорошо исследованными методами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научно-технических конференциях преподавателей кафедр Ростовского государственного строительного университета (Ростов-на-Дону, 1997, 1998 г.г.), на объединенном семинаре кафедр механического цикла РГСУ (1999 г.). По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы [29, 31, 39, 40]. СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка использованной литературы, включающего 131 наименование. Полный объем диссертации 198 страницы, включая 68 рисунков и 15 таблиц. Основной текст (без оглавления, библиографического списка использованной литературы, рисунков и таблиц) излагается на 131 страницах машинописного текста.

Нумерация формул, таблиц и рисунков ведется отдельно по каждому разделу. Нумерация литературных источников - сквозная по всей работе.

Автор выражает благодарность своему научному консультанту П.П. Гайджурову, полезные советы которого были использованы при написании диссертации.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

1.1. Обзор основных методов решения задач строительной механики, литературных источников

Основной задачей строительной механики является разработка принципов и методов расчета зданий и сооружений на прочность, жесткость и устойчивость при статических и динамических воздействиях. Но с другой стороны, проектируемая конструкция должна удовлетворять требованиям экономичности. Рациональное сочетание между такими различными требованиями можно обеспечить только при достаточно точном методе расчета.

Долгое время в распоряжении человечества не было никаких методов расчета зданий и сооружений. В архитектуре и зодчестве преобладали интуитивные представления о работе конструкций. Несмотря на это, удавалось создавать уникальные по красоте и совершенные в конструктивном отношении творения. Недаром архитектуру, включающую в себя строительное дело, считали одним из видов искусства. Однако для обеспечения надежности и экономичности проектирования зданий и сооружений одной интуиции не достаточно. Постепенное накопление опыта строительства помогало решать традиционные задачи, но жизнь постоянно ставила перед людьми новые. Требованиям практики могли удовлетворять лишь научные методы расчета. Развитие математики и физики, а также практическая необходимость предопределили возникновение механики, которая занялась вопросами проектирования надежных конструкций. Под надежностью, в то время понималось прежде всего, прочность. Основу для разработки расчетов на прочность создали работы знаменитого физика, математика и астронома Галилео Галилея. Тогда, в 17 веке, развитие судоходства поставило задачу увеличения размеров судов и изменения их конструкций. Галилей занимался этим вопросом, он изучал сопротивление балки изгибу и сделал выводы, не утратившие своего значения и в настоящее время. Позднее (в 1678 г.) Р. Гуком был установлен закон, связываю-

щий напряжения и деформации. А уже во второй половине XVIII века, когда промышленная революция поставила перед наукой новые задачи, в изгибаемой балке были обнаружены не только растягивающие, но и сжимающие напряжения. Это позволило подойти к правильному решению задачи об изгибе, а значит разработать точный метод расчета. Дальнейшему развитию науки о прочности способствовали успехи в математике и механике XVIII века. Особо стоит выделить работы Эйлера и Лагранжа, заложившие основы классической строительной механики.

Строительная механика как наука выделилась из общей механики в первой половине XIX века. Связано это с начавшимся усиленным строительством мостов, железных дорог, плотин, судов и крупных промышленных сооружений. Отсутствие методов расчета таких сооружений не позволяло сочетать два принципа: надежности и экономичности конструкций. Главными объектами изучения были стержневые системы. Особенно много внимания уделялось расчету плоских ферм. Появились как аналитические, так и графические методы расчета статически определимых ферм. Одновременно развивались методы расчета статически неопределимых конструкций. Например, в 1857 году Б.П. Клайпероном было предложено уравнение трех моментов для расчета неразрезных балок. А в 1864 году Дж. К. Максвеллом и в 1874 году О. Мором была найдена формула для определения перемещения в упругих системах по заданным внутренним силам, которая давала возможность рассчитывать сложные статически неопределимые системы. Заметный вклад в развитие теории и практики мостостроения внес русский инженер Д. И. Журавский. Он установил закон распределения усилий, возникающих в стержнях раскосых ферм, а также создал теорию касательных напряжений при изгибе. Однако совершенной формы методы расчета упругих статически неопределимых систем достигли лишь в первой половине XX века. Выделились три основных метода расчета стержневых конструкций: метод сил, метод перемещений и смешанный метод. Появилось также большое количество модификаций этих методов. Во второй половине XX века появление и интенсивное совершенствование электрон-

но-вычислительных машин привело к революции в подходах решения задач строительной механики. На первое место выдвинулись матричные методы расчета. Применение ЭВМ позволило рассматривать задачи большой размерности и получать более точные решения [1, 110].

Классическая строительная механика рассматривает задачи, описываемые линейными уравнениями. Как правило, она рассматривает только стержневые системы, а для связи между внутренними силами и деформациями используется линейный закон Гука. К сожалению, в большинстве реальных задач строительной механики линейная теория неприменима. Практика показывает, что даже при малых внешних воздействиях на конструкцию, возникают нелинейно-упругие и пластические деформации. Поэтому необходим учет пластических свойств материалов, т. е. зависимости напряженно-деформированного состояния от истории нагружения. Именно эти свойства материалов составляют сущность физической нелинейности. [43, 51, 56, 70, 75, 79, 96-98, 102, 107, 111 и др.].

Среди нелинейных задач строительной механики выделяют три типа нелинейности: физическую, геометрическую и конструктивную. Физическая нелинейность обусловлена нелинейным поведением материала при деформировании, т. е. отсутствием пропорциональности физических зависимостей. (1-8. Физической нелинейностью обладают в той или иной степени все конструкционные материалы. Учитывать эту особенность материалов необходимо практически во всех реальных задачах строительной механики. Геометрическая нелинейность возникает при больших перемещениях и деформациях элементов конструкции. Под воздействием определенной нагрузки форма и размеры конструкции существенно меняются, принцип малых перемещений уже не приемлем, а значит невозможен расчет по недеформированному состоянию. Особенно важно учитывать геометрическую нелинейность при расчете гибких стержней, пластинчатых и оболочечных конструкций. Конструктивная нелинейность связана с изменением расчетной схемы в процессе работы сооружения. Например, из-за конструктивных особенностей в процессе деформирова-

ния могут образовываться новые связи или разрушаться старые. А также возможно появление зон локального разрушения материала конструкции и среды.

Классифицируя задачи строительной механики, В.В. Новожилов [78] выделил четыре типа задач:

1) линейные физически и геометрически;

2) нелинейные физически и линейные геометрически;

3) линейные физически и нелинейные геометрически;

4) нелинейные физически и геометрически.

Во всех этих типах задач может быть рассмотрена также и конструктивная нелинейность. Для полного и точного решения задачи расчета и проектирования сооружения необходимо учитывать все три вида нелинейности. Однако сложность расчета не позволяет получать решения по большинству конкретных задач. Поэтому приходится рассматривать частные случаи общей задачи.

Вопросы физической нелинейности исследовались теорией пластичности. Ею были установлены нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями, так называемые, уравнения Генки, они легли в основу теории пластичности малых деформаций. Исследования проходили по двум направлениям. Согласно первому, процесс деформирования упругопластических сред исследовался целиком от начала загружения до разрушения. При этом исходят из предположения, что прикладываемые к телу внешние воздействия медленно изменяются во времени, т. е. являются квазистатическими [51, 70, 79, 111]. Естественно, что моделью такого нагружения является шаговый метод, согласно которому приращения внешних воздействий полагают малыми, а значит, чем меньше шаг по нагрузке, тем точнее определяются приращения всех компонент напряженно-деформированного состояния (НДС) среды. Задача решается путем интегрирования уравнений теории пластичности. Согласно второму, предельную нагрузку определяли, не учитывая предыдущие этапы деформирования. А задачи решали методом сосредоточенных деформаций. В 1958 г. Каудерер систематически изложил физически нелинейную теорию упругости и получил решения многочисленных задач в области статики и динамики конст-

рукций [55]. При решении физически нелинейных задач строительной механики наиболее часто используются методы A.A. Ильюшина, И.А. Биргера, A.A. Гвоздева, А Р. Ржаницына [2, 10, 11, 44, 51, 96, 98 и др.]. В развитие нелинейной теории упругости и пластичности наибольший вклад внесли фундаментальные исследования отечественных и зарубежных ученых, таких как: В.В. Болотин [12], К. Васидзу [13], Г.А. Гемерлинг, A.A. Гвоздев [44], Г. Генки, И.И. Гольденблат [45], Д. Друккер [124], A.A. Ильюшин [51, 52], А.Ю. Ишлинский [53], Г. Каудерер [55], Л.М. Качанов [56], В.Г. Койтер [59], A.B. Лукаш [67], А.И. Лурье, H.H. Малинин [70], Р. Мизес [75], В.В. Москвитин [77], В.В. Новожилов [78-80], А. Прандтль, В. Прагер [86], Ю.Н. Работнов [90, 91], Л.И. Седов [106], Б.В. Соколовский [111], Ф. Ходж [116, 128] и др. Среди работ, посвященных приложению нелинейной теории упругости и пластичности к решению инженерно-строительных задач, следует отметить работы A.B. Александрова [3], Н.И. Безухова [6, 7], И.А. Биргера [11, 87], Г.В. Ва-силькова [14-19, 22, 23], A.C. Вольмира [36], И.М. Рабиновича [89], А.Р. Ржа-ницина [97, 98] A.C. Сахарова [103], А.П. Филина [114].

Геометрическая нелинейность исследовалась еще Эйлером (1757 г.) на примере тонких упругих стержней. Ему принадлежит постановка проблемы и первое решение задачи устойчивости тонкого сжатого стержня. Во второй половине прошлого столетия объектом исследования геометрически нелинейной теории упругости стали тонкие гибкие пластины. Первые попытки создать теорию расчета таких пластинок принадлежат Г.Р. Киргофу. Им были предложены ряд гипотез для расчета пластин. На основе этих гипотез, в конце XIX века вначале Г. Ароном, а затем А. Лявом, была разработана приближенная теория тонких оболочек. Этой проблемой занимались такие ученые, как А. Клебш, Б. Сен-Венан. В начале этого века, когда во всем мире стали проектировать купольные сооружения, теория оболочек получила дальнейшее развитие. Академиком И.Г. Галеркиным были получены расчетные формулы толстых оболочек, на основе уравнений общей теории упругости. Используя тот же подход, А.И. Лурье вывел уравнения теории тонких оболочек. Окончатель-

ные геометрически нелинейные уравнения расчета тонких гибких пластинок были получены А. Фепплем и Т. Карманом в 1910 г. Принципиальное значение для геометрически нелинейной теории оболочек имеют работы И.И. Воро-вича [37, 38], в которых рассмотрены вопросы существования, разрешимость и методы решения нелинейных уравнени