автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Явные схемы интегрирования уравнений движения пространственных стержневых систем

IIa правах рукописи

ПУЙКО ЗОЯ илднмошь.

ИИШЛИ CXIÏNÎU ИНТЕП'ИРОВЛИШ! УРЛШШШШ Д1ШЖШ11Ы J J iOCTj'AIirniHIlIIblX СТПРЖПЕПЫХ CIÏCTJÎfv!

Специалыюсп,os.23.17-. Строительная механика

А И ТОРЕФЕ 1» А '' диссертации на соискание ученой степени кандидата технических nay.:

l'ocTOii-iia-Дону

Работа выполнена на кафедре строительной механики и о Проблем ной научно-нсспсдооатепьской лаборатории оснований и фундаменте Ростоаской-на-Дэну государственной академии строительств«

НАУЧНЫЙ РУКОЗСДИТЕП!» - Кандидат технических наук, доцен;

ПАНАСЮК П.П.

\

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТи - Доктор технических наук, профессс

АНАНЬЕВ ИХ. - ■ Кандидат технических наук, старший научный сотрудник БАБАЯН В.Р.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - А.О. Институт Ростовтеплоэлек-

тропроект

Защита состоится X 3 ч/* 1996 г. □ 10.15 часов I

заседании диссертационного совета Д.063.64.01 в Ростовской-на-До| государстоенной академии строительства по адресу:

г.Ростоа-иа-Дону, ул.Социалистическая, 162, аул.232.

' С диссертацией можно ознакомиться о библиотеке академик!.

Просим Бас принять участие о защите и направить отзыв адресу: 344022, Ростов-на-Дону, уп.Социалистическая, 162, РГАС

Автореферат разослан

и- __1596 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук

А.И. ПАНЧЕНКС

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1пп цепого ряда ответственных сооружений существуют хесткие ограничения по пторой группе предельных состояний при динамических нагоужениях. Расчеты при этом желательно проводить по уточненной ¡¡дсчетной схеме о пространственной постанопке. т.к. погрешность, вносимая на стадии упрощения расчетной схемы (переход к плоским моделям, расчет по "частям" и т.п.), может оказаться весьма .-удостоенной. Резкое увеличение размерности задачи при переходе .< '(¡ос грчнетоенной схеме зачастую делает неприемлемым применени.-? • снонных метопоп динамического расчета - метел глзоных координат •1 непиные схемы прямого интегрирования, т.к. существенно уяепичиоа-¡тся трудоемкость и требуемый объем оперативной и онемшей памяти .ЗН.

Перспективным представляется использование япных схем г.рчиоп интегрирования. Однако изпестные и настоящее время ппняа схемы -'слоено устойчивые. Их использование ограничено песьма короткими ■ ¡ременными интервалами, т.к. при увеличении размерности- задачи по пространственным переменный сукг-ственно уменьшается пепнчина тягл интегрирования, осослечипдтаего устойчнпость схемы, чго прнподиг к значительному упепичешм количества итсраиий.

Актуальность теми

Актуальность те^ы связана с необходимостью рззрчоотки пвних абсолютно устойчивых схем интегриропамт уравнений доихения и разработки соответстоутаих алгоритмов и программного обеспечения для решения динамических задач высокой размерности п пространственной постановке.

Цепь исследования

Основными цепями данной работы являлись:

- разработка явных абсолютно устойчивых схем прямого интегрирования уравнений движения;

- анализ точности и трудоемкости схем;

разработка алгоритма и программного обеспечения для реализации схемы применительно к пространственным пластинчато стержневь.м системам;

- расчет пластинчато-стержневого купола антенны на ветровое динамическое и сейсмическое воздействия в прос.ранственной постановке.

Методы исследования

Лвные схемы прямого интегрирования уравнений движения о сочетании с методом конечных элементов.

Научная новизна работы

В первой главе уточнен параметр устойчивости неявной схемы прямого интегрирования задач динамики сооружений проф.Г.В.Васи-мькова о физически и геометрически нелинейной постановке. Во второй I папе получен ряд явных абсолютно устойчивых схем прямого интегрирования задачи динамики конструкций.

Проведен анализ их точности и устойчивости, по результатам которого выбрана лучшая с точки зрения трудоемкости, апгоритмичнос-1И и точности.

В третьей главе проведена серия расчетов оеальной пространственной ппастинчато-стержневой системы на действие ветровых импульсов и сейсмическое воздействие. Проведен сравнительный расчет с другими методами.

Прстовер.чость научных положений и полученных численных рпупыатпп подтверждается применением фундаментальных принципов

натодоо с i рот епьном механики. решением контрольных задач, i-i—«»них анантнческое решение лип г°|»енны< лругими методами.

|.1раки5ческап._11еннос_ть^ Разработанный алгоритм и комплекс , ijoi рамм могут быть нспопкзппэны дня анализа динамической реакции •>;тп рднственной система с волыним числом степеней свободы, ччуньтатм научной раиоты нмелрены о НИИРС(х/л Н 55/91).

::л .:iíiiiUirv |)ыносптсн:_

чоликл и алгоптн линамичеокого оасч^та ирос т рянстпеннп» чг. í инча i о - 'ер «мирной сн:: т^му;

■ i v 1111............ ут г-ичнпиу п^пмогп ин Г£Г;Тироба -

i v о . ином!'и :

•■••-bv iih i ai ы |iacH4ia iinacT имчлто-с герчнеиого депкапл ангенни ■ •■ч iHMicToiie петровых импульсов и сейсмического ¡юздейстРии;

•/'очнение параметра устойчивости о схпмп прел. ¡ . П. Часиги.ко-

^тцу_кту.!»^!_!>.|Ь11_ш.... инссиртлиич поземом ¡5!) стр.. состоит н, «недения, трех глав, замьоченип, списка литературы из i)5 наинбноиа-П11Н, тех лпипохений. Основной текст диссертации и-.па^.'к на 5; страницах машинописного i-iKcia, содержит йО рисунков и ¡0 тлпппи.

Дппойлцин й-зОоты. 1'вчупьтатн. изложенные н диссертации локпалмаагмсь • трох <пу<но- 'о\ничес>'их .'ОВДйнОиНипу -<афепр Ростопскои-н-ч-дочу государственной академии строительства ¡.-'ocrca-ча-Лочу, 1993,139-1 , 1935) . на объединенной cennuLpe каСелл прочностного никла ПГЛС (1995 г.). на семинара*отпопа математического моделирования физико-механических НШ1М и ПН.

Публикации^ lío тече диссертации опубликовано 3 печатных работы [1,2,3].

Внедрение работы. Результаты работы внедрены q практику проектирования НИИРС в ходе выполнения х/д N 55/94.

Лвгор считает своим приятным долгом выразить благодарность научному консультанту - доктору технических наук, профессору, советнику РААСН Г.В.Василькову за помощь и замечания, сделанные в процессе подготовки диссертационной работы.

Во введении приведен обзор по теме диссертации, формулируется постановка задачи, цели работы и методы исследования.

Динамическое поведение конструкций часто определяют незапланированные стихийные чрезвычайные воздействия: нестационарные кинематические нагрузки, возникающие при землетрясениях, однократных воздействиях аварийного типа (взрывы газо-лылевоздушных смесей, котлов, различные локальные обрушения, удары и т.д.). Повышение этажности зданий или увеличение размеров сооружений приводит к необходимости более строгого учета ветрового воздействия. Для некоторых типов сооружений (радарные или антенные комплексы, зеркала обсерваторий и т.п.) нестационарное ветровое воэдежтвие не только может привести к потере несущей способности, но и в случае сохранения последней помешать нормальной эксплуатации сооружения за счет искажений формы зеркала и связанным с этим ухудшением условий приема-отражения сигнала. При расчете сооружений подобного типа существует достаточно жесткая система ограничений по второй группе предельных состояний. Поэтому необходимо провести серию достаточно точных динамических расчетов, смоделировать поведение сооружения на компьютере при задании разнообразных динамических воздействий и заранее определить возможную область "отказа" нормальной эксплуатации сооружения.

Одним иэ важных моментов в исследовании динамической реакции

конструкции является соответствие выбранной расчетной схемы и реального сооружения. Использование различных послаблений в моделировании топологии системы (например, переход к плоской задаче -осесимметричной, плоского напряжения или плоской деформации) может априори определить существенные погрешности расчета, невозможность учета некоторых конструктивных особенностей и полного комплекса нагрузок. Также используемый в практике расчетов подход 'расчета по частям" приводит к погрешностям, связанным .с пренебрежением либо завышением жесткости отсекаемой части сооружения, оценка влияния которых не проводится и точность расчетов существенно зависит от интуиции расчетчика,

О настоящее время для моделирования произвольных сооружений ведущее место занимает наиболее универсальный метод конечных элементов. Существенный вклад о развитие этого метода и применение его к решению сложных инженерных задач внесли отечественные ученые: М.П.Абооский, А.В.Александров, З.Й.Бурман, Д.В.Вайнберг, Г.Б.Васильков, А.С.Городецкий, В.Г.Корнеев, Б.Я.Лащеников, О.В.Лужин, А.М.Масленников, И.Е.Иилейковский, П.К.Нарец, П.А.Оганесян, В.А.Постнов, А.Р.Ржанццын.Р.А.Резников, В.Я.Ривкинд, Л.А.Розин, П.А.Руховец, А.С.Сахаров, А.Ф.Смирнов, В.А.Топок, А.Г.Угодников, А.Л.Филин, H.H.Шапошников и др.

В последнее время при динамическом расчете конструкций по методу конечных элементов эффективно используются прямые (шаговые) методы, которые можно классифицировать по следующим признакам: - яоныв и неявные схемч.

Для явных схем существует достаточно большое количеыио определений, однако с точки зрения счетной практики наиболее подходящим представляется следующее - если п система раэрешающнд уравнений схемы, которое в общем виде записываемся tai.:

i -Vk>1 » А,и*' —'.lieС А. и

Hj _ U=0. 1...И) - KBÜtípSt'rHUf HMl'H',-

Матрица л,- является диагональной или треугольной, то схема шга^'.л ется явной. Ü противном случае - неявно'..

- устойчивые (абсолютно либо условно! и неустойчив^:;;

- олношаговые (m X в приведенной выше зависимости) н многошаговые (ш > 1}.

Фундаментальнуи роль и теории вычислений стали игра i l tHHipw. н устойчивости соответствующих алгоритмов. Метоп оудш неустопчин^ч, если ошибка, попущенная на определенном этапе работы (например, v результате округлений), будет "раскачиваться" и рати но абсонч, i величине. Метод будет устойчивым, если такая ошибка в прощал, дальнейшего решения оудег затухать, [фактическую ценность имен г основном только устойчивые метола.

В абсолютно устойчивых схемах устойчивость не зависит от вытчики тага интегрирования. Ь условно устойчивых схемах сущести>чм гранит для uiara интегрировании. При выборе иага меньшим эrr,."i границы - схема устойчива, при виооое тага большим - схс;м неустойчива. Предельное значение шага, при котором схема устойчив,-,, зависит от степени дискретизации пространственной области и, л г. правило, уменьшается при сгущении сетки конечных элементов, г.:;. здесь существует зависимость устойчивости по временной оси "i точности решения по пространственной облас;.'.

Необходимым и достаточным критерием устойчивости являет* спектральный критерий Дх.Неймана, согласно которому схема усто..---: -ва, если ее спектральный радиус не превышает единицу.

В настоящее время наиболее известными неявными о.с^,.....,

прямого интегрирования являются: О -метоп Ьинсин«ч, менш II ».>..,>рс

о

метод Хаболта, метол Г.В.Василькова.

В практике расчетов используются также и неустойчивые схемы, которые можно применять лишь в пределах определенного количества итераций по времени, за которые погрешность не успевает подучить "раскачку" и достигнуть достаточно большого абсолютного значения. Ллл таких схем в настоящее время введены 6оле° слабые понятия устойчивости, или устойчивости на интервале. Так, в последнее время

введены понятия а -устойчивости, Р -устойчивости и г.д.

Применение подобных схем связано с тем, что и настоящее время неизвестны абсолютно устойчивые явные схемы, а трудоемкость и требуемый объем памяти делают невозможным применение рнда неявны* абсолютно устойчивых схем.

Таким образом, назрела необходимость разработки явных абсолютно устойчивых схем прямого интегрирования задачи динамики конструкций.

D перпой гпапе приведена группа вариационных постановок для задачи конструкции в свертках:

б/Г + &т* = о или 6 ИГ + Г') - 0, () )

где Я* - -[ c*adv - f u*pdv - f n*g„ib';

2 J 01 J lv) Ju.) "

T' - -f pu*ud\r

Функционалы П* и 1* можно называть полном потешны ныкж и

кинетн ¡еской энергиями системы в свертка; на £ t- |и, г).

Гаким образом, геометрически возможный вектор и м пектр о ■ или доставляют функционал/

ч - э * (/Г • V)

стационарное значение, другими счоиамп, урашкдишми .1пш;рм м i-.uim

к.

твенными граничными условиями функционала С является уравнение

равновесия о свертках. Рассмотрена совокупность вариационных пое

тановок задач динамики, порожденных степенной функцией д = к = 0,1.2,... При к 0 уравнениями Эйлера функционал..

в, = 1 + Ш' * гч

являюто;

" 1 *• (А тПАи + р) = 1 - ри. (21

Интегрирование правой части (2) дае.

1 » р0' = урО(т)сГс = рй(т)| » рй - рЛ".

Следовательно, вектор и , удовлетворяющий уравнению (2), удовгш. ворпет только одному начальному условно при £ = о, й = и0. При к - 1

аг « с » (Я' + Г"; .

Уравнениями Эйлера функционала С, являются "с » (А'Ши + р) » С »р(|.

Интегрирование ¡.равой части дает

Ь * рО » р(- Ьй0 + и - и";

и уравнение переписывается в виде

С * (А гШи) + Г = ри, Г = С * р + р(№ + ии) .

Для функционала

= С* " (Я' - г*.

уравнения Эйлера записываются □ виде

С* * (АтЛАи * р) + рЬ^Чг^0 + Ао1°) = рА"(А - 1)н * /:"-•-.

Таким образом, оектор и , удовлетворяющий уравнению движения

и начальным условиям, удовлетворяет последнему уравнению пр;

(к = 1,2,...). С другой стороны, если вектор и удовлетворяет данному уравнению, то, рассуждая в обратном порядке.

приходим к уравнению движения о свертках.

Итак, рассмотрена последовательность вариационных уравнений

в

свертках

5о0 = 3 (я' + Г') = 0, ьв1 = а [1 * (я* + г")] =о, ов3 = 5 [с * (я* * г*) ] = о, (3)

5вх,г =• о [С* * (Я* + = 0.

¡Дискретизация по пространственным переменным методом конечных элементов приводит к следующим уравнениям движения о свертках:

1} * (м? + к? - л = о, которые, в сипу теоремы Титчмараа, экоиоапентны следующим:

«• ка - р = о.

Также рассмотрен алгоритм проф.Василькова Г.В. получения схем нп.'аснозе использования уравнений двихения п свертках.

а оптом параграф» проводится уточнение параметра устойчивости нзэсстиоЛ ехали ннтегриропаьиг» ураангкий движения нелинейных систем: •

(гп + Д£р.с + о.5сг?,л-;")ам =

(гм * .\t~tc * о.5Лс2р.гл-" - *

* (?.Л ' Л£ф - 1)С * 0.5Д £гР*Лч? - * (4)

* Д£'(1 - 0.5р)Р" + 0.5ДСгр.г— я"1 - -я" » гОз**1 - д"). з - дДс. Ракоа лпп опредаг.аиип пзр^мзтра р исг.огшзозапся стандартный

прием - устсйчиоость схемы опрепелпг.ась при анализе соотватстоуюае-

го натешенного осииппптора. Быпо показано, что дпп устойчивости по

начальным данным о уравнениях достаточно иыпо положить |! = к"/к^, I ne к" и к? - числа, "секущий" и "касательный" коэффициенты '.есгкости системы с одной степенью соободы. При этом отношение I "/к? рассматривалось как wi/wl , где ч wk - циклические частоты копеоаний основного тона линейных задач с секуией и касательной жесткостью, поэтому для систем уравнений рекомендовано Омпо назначать р так:

^ = WÏ/NÏ » {q")TKi'qn/{q")TKi'q".

¡1 работе показано, что равенство k"/kj.' = w'/vl справедливо лишь для осциллятора и отнесено было к системам с несколькими степенями свободы без достаточного обоснования. Ma основе разложении задачи

un собственным векторам матрицы к~г'Кс, где R =

рд t

;«Ю. 5

показано, что р следует определять как максимальное собственное "исло матрицы Приведен модельный пример, подтверждающий

пыкпэдки (рис.1,2,3). На рис.2 показано, что Р = —г дае1 спек-|рэпьный радиус больший единицы, что приводит к неустойчивому решению (рис.3).Полученное в работе значение р гарантирует

упоичивость вычислении.

Б)

Рис . 1

а

'V

I ! / У ■I/ У

■\>ч/

• Ч' /

{■Ф'ЯфШИ! ! 1Й 5

¡1 ! |1 Щ №

I !

А Й Ш

т ■ кии щ

! I Ч • Н П ! • Г ! I ; I

VI! (! 'И I I I 'И )

^Мам

! ( • (

•гт:

Рис. 2 Рис.З

¡?0_1?ХО|тГ|_ОЗа ай приводится алгоритм построения л о них абсолютно у.: тончи пых схем интегрирования уравнений дпихеннп. Здесь принято г.олутение о том, что мдтрииа масс пиагснЬльняп. Например, при использовании метода конечных элементов пространстпеннап область разбивается на эп-зментн, моделируете хесткость системы, а масса конструкции рдспослеплетсп по узлам конечмоэнементиой сотки.

Согласно предложении) П.Н.Пянасока, уравнение движения аппроксимируется на шаге по времени так:

д(т) » [«? * Сд? ♦ <с - С„) <г * кЛ (к - кв)ч - Р(т) ] = о, где Ср * сИа&(Си. . .С,.,), = . .К^) -диагональные матрицы,

попученньга из матрицы демпфнрооажЛ1 м жесткости.

Функции д и д определены как:

1-1

ль2

Применяя далее мйтод построения схе^ проф.Г.0.Васипькова, получим

1 тЗ " ~ {ТТЛ2)^+3)

12Мг2—Л'СгГ 2, -Л' -Л С2-Л1 д" .

г>2 ° {:п+2) (гс+3) °

/г»2 - (/я+2) (т+3) " №»2

+ д <--•[!- в i с-

= _'3п + 2 (д*.г _ дП) _

Назначение параметра 0 проводится из условия спектральной устойчивости Цк.Неймзна при Д С — ^ :

-ад- =

(Л1+2) (л+З)

Разложив вектор ч по собственник! секторам матрицы Кв 'К . задачу привели к расщепленной форме:

= [1- '"У --^1«/ ♦ [1-^ •

И М - _ (и-2) (.Т."-3) . ^ „ , _ П.Ч-3 . . „,.

Р " 65 ~0~ ¿Гг' '

Показано, что для обеспечения устойчивости достаточно назначить 0= -А , где >. - максимальное собственное число матрицы

К£1-К; ю - пока?атель стелеии функции д- с®. После подстановки 0

доказана устойчивость схемы при произвольном дь при разложении вектор-функции д по собственным векторам матрицы Я:

1 = [Л - 4 + - 0.5^-л] -Б",

5 а Ш+2

\ Я = [--— -м + 0. 5 Я.-К 1 .

ьн-Ч;-!'

^-Л» , _ 14.тз] I а " 2 т+2]

х-ц.-я^а

I X ■* ш+2.2

2/-К-2,

где Цд =-1 - собственные числа матрицы Н~1-К . Анализ

•7 ? • Т} • " . -I -I

спектрального радиуса патрицы Aj показал, что последний равен ,, _ т+2

единице при ^ л+з 11 "е превышает единицу при „ га+2

' -Покажем, что последнее неравенство справедливо для

любого Дс при 0 , назначенном ранее. Действительно, из симметрии и положительной определенности основных матриц следует

следующее неравенства:

■ I = = _г/•JC^•гi 5 2 . я+2 .

11 2гТ-М-г, , Л . л,+3 .. * л+3 г/^-г, '

АДе* 2 "т?

А ^ у

В сипу иерзвенстоа Рэпел -йХ . Откуда, с учетск

Предыдущего уравнения имеем:

2.Ш+2. гГ-К-г, ^.т+2 • 1 X т+3 ?Т.к

Итак, спектральный раш ус предлагаемой схемы не превишл«' единицу при 0 = для любого ДС£[0,°°) .Полученная схем.-;

абсолютно устойчива в смысле Пж. Неймана. Анализ параметра "гс" показан, что лучшие значения спектрального радиуса имеем при

.11 • ■» (рис. 4) .

Окончательный вариант схемы (схема 1)

[гм+я.Лсс^о.зи&оЧТр] я"'1 =

Ггт;. А с-св-А с-с+о. 5 ( АЛ С) 2-Кв-<1. 5 Я. А С '-к] я " (1-0.5А)&Ьг-Рп * 0.5ЛД ¿2-Р"'1, 31М1 = _ЯП + - <г">, а - фДС,

¡¡А - максимальное собственное число матрицы Кт>1'к.

Папее проведено улучшение точности схемм при использовании внутренней итерации. При этом формально увеличена степень функции

9 :

g -

г' -К • t-A-g" - (-¿L -С+0. 5Х-Ю -sn+ (1-0. 5л)Р"< 0 . 5АРПМ ] .

Motпе анализа устойчивости и назначении 0 вариант уточненной

I хрип записан так (схем. 2):

Рис. 4

/и - -l

.¡лД t_ j

J ? ( ЛИ _ 1 I 1 -T- '

Г 1 2 (re-1) 1 j/jti

;• ~ \ к2 к + _i!AiLL (Л'-АА');Г'Л-1сгп -

^ 2 (а -1) а

\[гн* -Mi-с, » -¿Ш^ъ -Atс-

: ■ лДс3 [с-с.1 д-ч—с+^лз * ; ,,,t-l At 2

■ [/:-l^lfl-'f-j-c^^S/j",5)

( - (a - L) ,•< п 2 '

.-.а --)Лс3

, [[1--«-] ДСЭ£Г ---- ic-c,)rr> -

2 J а -1 v

,хг(1- — )ЛС4 ,

- —— (к-^к) /гЧРл *

1

f 2^1 2</л-Т ■ i (rt-i) а s"'1 = -я" 2 (<J°" - cj") ,

j Я = 2N * «Acq * "-t^2 «6(3..2]

3 ' **

Численные анализы погрешности показали, что лучшей по точности лоллетсл схема 2.

Погрешность схемы ппппетсл частотно-зависимой. Основная погрешность - фазовая. При сгущении сетки конечных элементов погрешность увепичиоаетсп, однако устойчивость схема не нарушается (см.таблицу 1).

Таблица ]

ИЬг <&зовая погрешность, % Погршлость Емтлитуд % |

ИН- " I

Т., % т-3 ГО«4 т=5 т-6 т»3 га* 4 т=5 Г '6 |

5,0 11.63 ео.эа 147.5 263. а 13.81 14.20 9.486 6.594

Й.8 13,01 46.оа $6.43 11.40 10.37 8.100 6.085 М 1 0

1 1.0 0.176 0,903 4.633 15.29 4.606 4.772 4.595 4.190 п

0.5 0.033 0.094 0.500 2,047 а.436 2.4351 2. 426 а. 389 а

0.2 0.009 0.013 0.043 0.178 1.226 1.226 1.226 1.224 1

0.1 0.001 0.002 0.002 0.006 0.492 0.492 0.492" 0.492

5.0 3.710 3.710 3.710 3.710 21.14 21.14 21.14 21.14

2.5 0.915 0.915 0.915 0.915 11.50 11.50 11.50 11.50 м

1.0 0.145 0.145 0.145 0.145 4.800 4.808 4.808 4.808 и

0.5 0.036 0.036 0.030 0.036 2.436 2.436 2.436 2.436 а 1

0.2 0.009 0.009 0.009 0.036 1.226 1.226 1.226 1.226 1

0.1 0.001 0.001 0.001 0.009 0.492 0,492 0.492 0.492

Цля иллюстрации трудоемкости вычислительного процесса рассмотрен пример расчета трехслойной плиты, подкрепленной аплюминиосой обшивкой на импульсную нагрузку, приложенную в центре плиты. ОЬъект расчета выбран так, чтобы легко можно было проводить сгущение регулярной сетки конечных элементов. Сгущение сетки пропопипось не рпя уточнения решения по пространственной области, а пиаь с испьо

lu

исследования трудоемкости вычислительных процессов. Жесткость полимерной плиты моделировалась пространственными параллелепипедами,"жесткость обшивки - прямоугольными элементами мембранного типа (рис. 5). Для каждого значения кратности разбиения проводилась серия динамических расчетов с уменьшением шага интегрирования до стабилизации решения по времени. Для последнего варианта фиксировалось влемя расчет.-.

Элементы обшивки

Элементы злполнителл

Рис.

Следует отметить, что шаг интегрирования при использовании неявной схемы изменился незначительно при сгущении сетки (уменьшился п '1 раза), шаг при использовании (5) уменьшился о 128 раз при варианте 20x20x20 по сравнению с вариантом 2x2x2. Расчеты проводились на относительно медленной ЮМ ЛТ-206, тактовая частота 16 МГц. Алгоритм расчета по неявной схеме учитывает ленточный характер системы уравнений, организован так, что на первом этапе проводилось 1.-1.1-1. разложение матрицы системы разрешающих уравнений, о результате чего существенно снижена трудоемкость итерационного процесса. На каждом шаге по времени фактически проводится два обратных хода при решении системы. В таблищ. 1 приведены затраты времени при

различной кратности пространственной области. Существенное увеличение времени по неявной схеме при переходе от 6x6x6 к 8x0x0 объясняется необходимостью использования внешней памяти при формировании системы уравнений. Отсутствие результатов по неявной схеме при 18x18x18 и 20x20x20 объясняется нехваткой свободного пространства на диске для матрицы система.

Таблица I

Кратность сгущения сетки Число уравнений, М Опт им. ширина ленты Время (час.) по 1 схемам ;

неяв-ной(4) явной | (5) 1

о 2 2 27 12 0.01 0.02 !

4 4 4 125 102 0.1 0.15

6 6 б 343 186 0.5 0.85

8 8 8 729 294 2.1 3.1

10 10 10 1331 426 5.3 4.8 |

12 12 12 2197 582 12.7 10.3

14 14 • 14 3375 762 28.2 18.3

16 16 16 4913 966 63.5 27.6

' 18 18 18 6895 1194 - 38.4.

20 20 . 20 9261 1446 - 52.3

В явной же схеме формирование основных матриц не требуется, используется алгоритм "поэлементного" умножения матриц на векторы. Следует отсгтить, что при малой кратности сгущения, имело место преимущество по времени счета в неявной схеме. Это объясняется сравнительно быстрым процессом факторизации матрицы на первом этана и меньшим количеством итераций по времени (решение стабилизировалось при большем шаге интегрирования). По мере сгущения сетки время факторизации существенно возрастает. Так, при сетке 16x16x16 1-11-1. разложение затрачивает до 90% от осего времени счета и наблюпаст ся

существенное преимущество явной схемы. Й1ирим момешом в нреимущш. TUO Ниной СXeMt.l ЯВПЙЁ1СЯ возможное I 11 получения решения Ь |ел ватнинтах, me использование неявной схемы ограничено отсутствием свободного пространства на диске. Основной вывод по главе состоит в том, что разрпооГаннаи явная абсолютно устойчивая схема рекомендуется к использованию при динамическом расчете задач высокой размерное Iч.

U JP.U Скбй гпаве проведена серия динамических расчетов реальной конструкции - антенны АПК-12 на действие ветги и сейсмические возлейсгыте но разработанной методике о пространс!пенной постанов ке. lia рис. б показан общий вид конструкции

гг

Далее приведены компьютерные распечатки принятой расчетной схемы всей' конструкции и подкрепления зеркала (рис.7). Порядок

системы - 9720 уравнений.

Для контроля результатов и определения спектра частот использована упрощенная модель с 60 степенями свободы, которая рассчитывалась методом главных координат. Далее приведены спектры частот по двум формам.

На рис.8,9 показаны некоторые графики колебаний при действии ветровых и сейсмических импульсов, которые получены по предлагаемой методике.

Рис. 7

n_I... < i in l:> cl a

.1.

0. 3 0. Ö 0. 4 0. 2 О

С t i c I i с p t; к t. r U)

Пак- O. 00-UÏ9S PU n= .t. 2 О а О О О о ••- О О 6

Sp и к t. г-

1

о. а о. ö

о. 4 О. 2

о

о :: о

Пах=144. 74S5Ö6 П1п= 2. 27 3SÖ3

:<1.0-<> n<í>í=aO?J. 46 3338 Щп= 14.-28? «22 a h а « t. о t. Nu Sp в к t.

100

ISO

О'. 4')U?SS

о. о о о а о а

Рис. 8

1!5

.¡ЛКПЯЧЕЧИЕ

I. Проведен обзор схем прямого интегрирования уравнений движения и показана связь методов, попуненных на основе уравнений пвихения в свертках с некоторыми известными.

Уточнен параметр устойчивости в известной неявной схеме прямого интегрирования нелинейных уравнений движения Г.В.Васипько-ва. Показано, что входящий в схему параметр нелинейности следует определять как максимальное собственное ^исло матрицы, получаемой пли. введением обратной к касательной на секущую.

Получен ряд абсолютно устойчивых явных схем прямого :>нтегрированил уравнений движения. Проведен анализ точности.

!. Показано, что лучшей из полученных является схема 2, точность которой приближается к точности неявных схем. Основная тгрешность - фазовая. Погрешность поной схемы, о отличие от неячной, пвпяетсл частотно-зависимой.

'>. На основе разработанных схем и алгоритмов решен ряд тестовых примеров, показавших сходимость решения к точному.

5. Проведен расчет пространственной пластинчато-стерхневой систем;:;, моделирующей реальное зеркал о антенны высокой размерности.

Расчеты проведены на серию ветровых и сейсмических импульсов. Тестирование результатов проведено методом главных координат по упрощенной модели. Показано, что -конструкция не теряет несущей способности и удовлетворяет предельным состояниям первой и второй групп.

7. Результаты работы внедрены в практику проектирования НИИРС в ходе выполнения х/д N 55/94.

'ЫШШШШНХ

1. Буйко 3.В..Васильков Г.В., Панасюк П.Н. О построении устойчивых схем прямого интегрирования нелинейных уравнении движения.-Деп. в ВИНИТИ 5.05.94, N1099-B94.-0 с.

. Панасюк 11.11., Буйко З.В. О точности явных устойчивых схем прямого интегрирования задачи динамики конструкций.-Деп. в ВЯНИТИ . I 1 .94 , Н27П-В94.- 10 с.

' . Панасюк 11.11., Буйко З.В. Явные устойчивые схемы иктегриро-нания при решении задач динамики конструкции высокой размерности.-Цеп. и ВИНИТИ 23.09.95, N2659-695.- 27 с.

III' 020818 Подписано в печать 19.03.96. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Ксерокс. Уч.-изд.п. 1,0. Тираж 80 экз. С

Редэкционно-издатепьский центр Ростовской-на-Дону

государственной академии строительства.

3440 22 , Ростов-на-Дону,уп.Социалистическая,162.