автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Явные схемы интегрирования уравнений движения пространственных стержневых систем

О*

На правах рукописи

БУЙКО ЗОЯ ВАДИМОВНА

ЯВНЫЕ СХЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук .

I

Ростов-на-Дону 1995

Работа выполнена на кафедре строительной механики и в Проблемной научно-исследовательской лаборатории оснований и фундаментов Ростовской-на-Дону государственной академии строительства

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - Кандидат технических наук, доцент

ПАНАСКЖ П.Н.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - Доктор технических наук, член-

корреспондент РААСН, профессор ШАПОШНИКОВ Н.Н. . Кандидат технических наук, старший научный сотрудник БАБАЯН В.Р.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - А.О. Институт Ростовтеллоэпек-

тропроект

Защита состоится 27 июня 1995 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д.063.64.01 в Ростовской-на-Дону государственной академии строительства по адресу:

г.Ростов-на-Дону, ул.Социалистическая, 162, ауд.232.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии.

Просим Вас принять участие в защите и направить отзыв по адресу: 344022, Ростов-на-Дону, ул.Социалистическая, 162, РГАС

Автореферат разослан "__Л/______ 1995 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, —Л

кандидат технических наук Ю.А.Веселев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Для целого ряда ответственных сооружений существуют жесткие ограничения по второй группе предельных состояний при динамических нагружениях. Расчеты при этом желательно проводить по уточненной расчетной схеме в пространственной постановке, т.к. погрешность, вносимая на стадии упрощения расчетной схемы (переход к плоским моделям, расчет по "частям" и т.п.), может оказаться весьма существенной. Резкое увеличение размерности задачи при переходе к пространственной схеме зачастую делает неприемлемым применение основных методов динамического расчета - метод главных координат и неявные схемы прямого интегрирования, т.к. существенно увеличивается трудоемкость и требуемый объем оперативной и внешней памяти ЭВМ.

Перспективным представляется использование явных схем прямого интегрирования. Однако известные в настоящее время явные схемы -условно устойчивые. Их использование ограничено весьма короткими временными интервалами, т.к. при увеличении размерности задачи по пространственным переменным существенно уменьшается величина шага интегрирования, обеспечивающего устойчивость схемы, что приводит к значительному увеличению количества итераций.

Актуальность темы

Актуальность темы связана с необходимостью разработки явных абсолютно устойчивых схем интегрирования уравнений движения и разработки соответствующих алгоритмов и программного обеспечения для решения динамических задач высокой размерности в пространственной постановке.

Цепь исспепования

Основными цепями данной работы являлись:

- разработка явных абсолютно устойчивых схем прямого интегрирования уравнений движения;

- анализ точности и трудоемкости схем;

- разработка алгоритма и программного обеспечения для реализации схемы применительно к пространственным пластинчато-стержневым системам;

- расчет пластинчато-стержневого купола антенны на ветровое динамическое и сейсмическое воздействия в пространственной постановке.

Методы исспепования

Явные схемы прямого интегрирования уравнений движения в сочетании с методом конечных элементов.

Научная новизна работы

В первой главе получена группа вариационных постановок для задачи динамики конструкций в свертках. Уточнен параметр устойчивости неявной схемы прямого интегрирования задач динамики сооружений проф.Г.В.Василькова в физически и геометрически нелинейной постановке. Во второй главе получен ряд явных абсолютно устойчивых схем прямого интегрирования задачи динамики конструкций.

Проведен анализ их точности и устойчивости, по результатам которого выбрана лучшая с точки зрения трудоемкости, алгоритмичности и точности.

В третьей главе проведена серия расчетов реальной пространственной пластинчато-стержневой системы на действие ветровых импульсов и сейсмическое воздействие. Проведен сравнительный расчет с другими методами.

Достоверность научных положений и полученных численных результатов подтверждается применением фундаментальных принципов и методов строительной механики, решением контрольных задач, имеющих аналитическое решение либо решенных другими методами.

Практическая ценность. Разработанный алгоритм и комплекс программ могут быть использованы для анализа динамической реакции пространственной системы с большим числом степеней свободы. Результаты научной работы внедрены в НИИРС(х/д N 55/94).

На защиту выносятся:

- методика и алгоритм динамического расчета пространственной пластинчато-стержневой системы;

- группа явных абсолютно устойчивых схем прямого интегрирования уравнений движения;

- результаты расчета пластинчато-стержневого зеркала антенны на действие ветровых импульсов и сейсмического воздействия;

- уточнение параметра устойчивости в схеме проф. Г.В.Васипькова.

Структура работы. Диссертация объемом 160 стр., состоит из

введения, трех глав, заключения, списка литературы из 85 наименований, приложения. Основной текст диссертации изложен на 97 страницах машинописного текста, содержит 75 рисунков и б таблиц.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации докладывались на трех научно-технических конференциях кафедр Ростовской-на-Дону государственной академии строительства (Ростов-на-Дону, 1993,1994,1995), на объединенном семинаре кафедр прочностного цикла РГАС (1995 г.) .

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 печатных работы [1,2].

Внепрение работы. Результаты работы внедрены в практику проектирования НИИРС в ходе выполнения х/д N 55/94.

Автор считает своим приятным долгом выразить сердечную благодарность уважаемому научному консультанту - доктору технических наук, профессору, советнику РААСН Г.В.Василькову за помощь и замечания, сделанные в процессе подготовки диссертационной работы.

Основное содержание работы

Во введении приведен обзор по теме диссертации, формулируется постановка задачи, цепи работы и методы исследования.

Динамическое поведение конструкций часто определяют незапланированные стихийные чрезвычайные воздействия: нестационарные кинематические нагрузки, возникающие при землетрясениях, однократных воздействиях аварийного типа ( взрыва газо-пылевоздушных смесей, котлов, различные локальные обрушения, удары и т.д.). Повышение этажности зданий или увеличение размеров сооружений приводит к необходимости более строгого учета ветрового воздействия. Для некоторых типов сооружений (радарные или антенные комплексы, зеркала обсерваторий и т.п.) нестационарное ветровое воздействие не только может привести к потере несущей способности, но и в случае сохранения последней помешать нормальной эксплуатации сооружения за-счет искажений формы зеркала и связанным с этим ухудшением условий приема-отражения сигнала. При расчете сооружений подобного типа существует достаточно жесткая система ограничений по второй группе предельных состояний. Поэтому необходимо провести серию достаточно точных динамических расчетов, смоделировать поведение сооружения на компьютере при задании разнообразных динамических воздействий и заранее определить возможную область "отказа" нормальной эксплуатации сооружения.

Одним из важных моментов в исследовании динамической реакции

конструкции является соответствие выбранной расчетной схемы и реального сооружения. Использование различных послаблений в моделировании топологии системы (например, переход к плоской задаче -осесимметричной, плоского напряжения или плоской деформации) может априори определить существенные погрешности расчета, невозможность учета некоторых конструктивных особенностей и полного комплекса нагрузок. Также используемый в практике расчетов подход "расчета по частям" приводит к погрешностям, связанным с пренебрежением либо завышением жесткости отсекаемой части сооружения, оценка влияния которых не проводится и точность расчетов существенно зависит от интуиции расчетчика.

В настоящее время для моделирования произвольных сооружений ведущее место занимает наиболее универсальный метод конечных элементов. Существенный вклад в развитие этого метода и применение его к решению сложных инженерных задач внесли отечественные ученые: Н.П.Абовский, А.В.Александров,'3.И.Бурман, Д.В.Вайнберг, Г.В.Васильков, А.С.Городецкий, В.Г.Корнеев, Б.Я.Лащеников, О.В.Лужин, А.М.Масленников, И.Е.Милейковский, Л.К.Нарец, Л.А.Оганесян, В.А.Постнов, А.Р.Ржаницын,P.A.Резников, В.Я.Ривкинд, П.А.Розин, Л.А.Руховец, А.С.Сахаров, А.Ф.Смирнов, В.А.Топок, А.Г.Угодчиков, А.П.Филин, Н.Н.Шапошников и др.

В последнее время при динамическом расчете конструкций по методу конечных элементов эффективно используются прямые (шаговые) методы, которые можно классифицировать по следующим признакам: - явные и неявные схемы.

Для явных схем существует достаточно большое количество определений, однако с точки зрения счетной практики наиболее подходящим представляется следующее - если в системе разрешающих уравнений схемы, которое в общем виде записывается так:

| = Ао *

\А-1 - (.7=0.1. . .т) - квадратные матрица.

Матрица А0 является диагональной или треугольной, то схема называется явной. В противном случае - неявной:

- устойчивые (абсолютно либо условно) и неустойчивые:

- опношаговые (т - 1 в приведенной выше зависимости) . и многошаговые (т > 1).

Фундаментальную роль в теории вычислений стали играть вопросы устойчивости соответствующих алгоритмов. Метод будет неустойчивым, если ошибка, допущенная на определенном этапе работы (например, в результате округлений), будет "раскачиваться" и расти по абсолютной величине. Метод будет устойчивым, если такая ошибка в процессе дальнейшего решения будет затухать. Практическую ценность имеют в основном только устойчивые методы.

В абсолютно устойчивых схемах устойчивость не зависит от величины шага интегрирования. В условно устойчивых схемах существует граница для шага интегрирования. При выборе шага меньшим этой границы - схема устойчива, при выборе шага большим - схема неустойчива. Предельное значение шага, при котором схема устойчива, зависит от степени дискретизации пространственной области и, как правило, уменьшается при сгущении сетки конечных элементов,т.е. здесь существует зависимость устойчивости по временной оси от точности решения по пространственной области.

Необходимым и достаточным критерием устойчивости является спектральный критерий Дж.Неймана, согласно которому схема устойчива, если ее спектральный радиус не превышает единицу.

В настоящее время наиболее известными неявными схемами

прямого интегрирования являются: 8 -метод Вилсона, метод Ньюмарка,

метод Хабопта, метод Г.В.Васипькова.

В практике расчетов используются также и неустойчивые схемы, которые можно применять лишь в пределах определенного количества итераций по времени, за которые погрешность не успевает получить "раскачку" и достигнуть достаточно большого абсолютного значения.' Для таких схем в настоящее время введены более слабые понятия устойчивости, или устойчивости на интервале. Так, в последнее время

введены понятия а -устойчивости, р -устойчивости и т.д.

Применение подобных схем связано с тем, что в настоящее время неизвестны абсолютно устойчивые явные схемы, а трудоемкость и требуемый объем памяти делают невозможным применение ряда неявных абсолютно устойчивых схем.

Таким образом, назрела необходимость разработки явных абсолютно устойчивых схем прямого интегрирования задачи динамики конструкций.

В первой главе построена группа вариационных постановок для задачи конструкции в свертках:

5 Л" + бг' = 0 или Ь(П' + Т') = 0, (1)

где Я* = Г е*аау - [ и*р<1У - { и*д,йЗ;

г" = — Г рй*й<*У

Функционалы П* и Т* можно называть полной потенциальной и

кинетической энергиями системы в свертках на Се [о, с] .

Таким образом, геометрически возможный вектор и и вектор а = БАи доставляют функционалу

в = д * (я* + г*)

стационарное значение, другими словами: уравнениями Эйлера и естес-

твенными граничными условиями функционала й являются уравнения равновесия в свертках. Рассмотрим совокупность вариационных постановок задач динамики, порожденных степенной функцией д = к = 0,1,2,... При к - 0 уравнениями Эйлера функционала

вг • 1 * (п' * Т')

являются

1 * (АтОАи + р) = 1 * рй. (2)

Интегрирование правой части (2) дает

с

1 * рй = (рй(т)Л = рц(т)| = рй - рй°. % 0

Следовательно, вектор и , удовлетворяющий уравнению (2), удовлетворяет только одному начальному условию при ё = О, й = и". При к - 1

в2 = С * (Я* + Т') .

Уравнениями Эйлера функционала являются ь * (л'Ши + р) = с *рО.

Интегрирование правой части дает

с ^ рй = р (- ей0 + и - и"),

и уравнение переписывается в виде

С * (АтБАи) + г=ри, Г = Ь * р + р (£й° + и") .

Для функционала

вы = с* * (я* + г*)

уравнения Эйпера записываются в виде

tk * (ЛтДЛи + р) + рС*"1 (Сй° + Леи0) = рк(к - 1)и * С*"2.

Таким образом, вектор и , удовлетворяющий уравнению движения

и начальным условиям, удовлетворяет последнему уравнению при к * 1 (к = 1,2,...) . С другой стороны, если вектор и удовлет

воряет данному уравнению, то, рассуждая в обратном порядке,

приходим к уравнению движения в свертках.

Итак, получена последовательность вариационных уравнений в свертках

= 5 (л* + г*) =о, Зб! = а [1 * (я* + г') ] = о, Ьвг => 8 [с * (я* + г*)] = о, (3)

= 8 [С* * (Я* + Г')] = 0.

После применения метода конечных элементов, построено уравнение движения в свертках:

д * (М? + Кд - Г) = 0, которое, в силу теоремы. Титчмарша, эквивалентно обычному:

Мд + ^д - Г = 0.

Также приведен обзор неявных схем прямого интегрирования и рассмотрен алгоритм проф.Василькова Г.В. получения схем на основе использования уравнений движения в свертках.

В пятом параграфе проводится уточнение параметра устойчивости известной схемы интегрирования уравнений движения нелинейных систем:

' (2М + Д срс + 0.5 =

(2М + ДСРС + 0 . 5Д С2р2^ " ДС2Г^)дл + + (2М + А £ (Р - 1 )С + 0.5ДС2Р2^ - 0.5ДС2Р +

+ ДС2(1 - 0 . 5р)Рл + 0 . 5Д СгрР"*1, .г"*1 = -я11 + 2(да*1 - д"), я = дДС. .

Ранее для определения параметра р использовался стандартный прием - устойчивость схемы определялась при анализе соответствующего нелинейного осциллятора. Было показано, что для устойчивости по

начальным данным в уравнениях достаточно было положить р = к£/к£, где к" и к? - числа, "секущий" и "касательный" коэффициенты жесткости системы с одной степенью свободы. При этом отношение к?/к£ рассматривалось как , где игс и п,. - циклические

частоты колебаний основного тона линейных задач с секущей и касательной жесткостью. Поэтому для систем уравнений рекомендовано

было назначать р так:

Р = = (дг")' тк^д-«/ <дгл)

В работе показано, что равенство к£/к£ = справедливо лишь для

осциллятора и отнесено было к системам с несколькими степенями

свободы без достаточного обоснования. На основе разложения задачи

по собственным векторам матрицы я^-к", где я

• 2 рдс

;М+ 0.5Р

показано, что Р следует определять как максимальное собственное

число матрицы Приведен модельный пример, подтверждающий

„

выкладки (рис.1,2,3). На рис.2 показано, что Р =— дает спекал

тральный радиус больший единицы, что приводит к неустойчивому решению (рис.3).Полученное в работе значение р гарантирует

устойчивость вычислений, а)

б)

Рис. 1

Рис. 2 Рис.3

Во второй главе приводится алгоритм построения явных абсолютно устойчивых схем интегрирования уравнений движения. Здесь принято допущение о том, что матрица масс диагональная. Например, при использовании метода конечных элементов пространственная область разбивается на элементы, моделирующие жесткость системы, а масса конструкции распределяется по узлам конечноэлементной сетки.

Согласно предложению Л.Н.Панасюка, уравнение движения алпроксимируется на шаге по времени так:

д(х) * [Мд + Ссд + (с - Сп)д + Кад * (К - К0)д - Р(т)] = О, где Сп = <Иад-(С11. . .Си.), Кп - сИад(К1Х. ..К'¡^Л -диагональные матрицы,

полученные из матрицы демпфирования и жесткости.

Функции д и д определены как:

д(т) = дТт) = дп + д^Ч + (д"*1 - д" - ;

Д С 2

д = дя + £лт.

Применяя далее метод построения схем проф.Г.В.Василькова, получим

[2АГ + 2 А^.Сс + 2 =

771+2 ° (л!+2) (л7+3) °

Л1+2 л (га+2) (л?+3) с га+2

+ АС2-[1-—0-1 Рд + е'Д£2рп+1 •

т+2 л?+2

Зл*1 = + 2 (д-^1 - дп) .

Назначение параметра 0 проводится из условия спектральной устойчивости Дж.Неймана при Д С » :

202 =

(т+2) (лг+3)

Разложив вектор д по собственным векторам матрицы К^'К , задачу привели к расщепленной форме:

= [1- Ы+2)2^Ъ) *

. . <л.»2], <я+з) . „ + Ц.^Л]^

I 0 0

Показано, что для обеспечения устойчивости достаточно назначить 6 = 'А. , где Л - максимальное собственное число матрицы

К^-К; . п - показатель степени функции д = си. После подстановки в

доказана устойчивость схемы при произвольном Д£ при разложении вектор-функции д по собственным векторам матрицы I?:

Я-д"*1 = [Д - -К] -дп + '[Л - о.5-^\К] •эп, А лз+2

В. = [—— -М + О.ВХ^Ц-К^ . А-ДС2 л+2

в/*1 а/

• = А,-

f5iЛ

-

-2-

X М-л

^ . д1+3 2 т+2

т+З т+2

1-иг

где =- - собственные числа матрицы Я'г-К . Анализ

спектрального радиуса матрицы А, показал, что последний равен . т+2

единице при =2'

т+3

и не превышает единицу при

.Покажем, что последнее неравенство справедливо для

любого Д 4: при 0 , назначенном ранее. Действительно, из симметрии и положительной определенности основных матриц следует

следующее неравенство:

^ 2 . т+2 . 21

2г±-М-г1 X т+2 Л т+3 ¿[-Куг/

В силу неравенства Рэпея —;-¿Я . Откуда, с учетом

предыдущего уравнения имеем:

ц ^ 2 . т+2 . 21 ^ 2.т+2

* X т+3

Итак, спектральный радиус предлагаемой схемы не превышает

единицу при 6=

т+3

•А для любого ДС е [0,») .Полученная схема

абсолютно устойчива в смысле Дж. Неймана. Анализ параметра "ш" показал, что лучшие значения спектрального радиуса имеем при

и - «• (рис.4).

Рис.4

Окончательный вариант схемы (схема 1)

[2М+ХД С-Сд+0.5 (А.Д С) 2-Кв] д"*1 = [2М+ХА^Св+0.5 (АДС) дп +

[2М+А.Д С'СВ~А С'С+О . 5 (ЛД С) 2'КВ~0. 5ЛД г" + (1-0.5Х) ДС2-РП + 0.5А.Д ¡^-Р1"1, б"'1 = -5Л + 2 (д"*1 - ее") , в = фДС, [Л - максимальное собственное число матрица К£1-к.

Далее проведено улучшение точности схемы при использовании внутренней итерации. При этом формально увеличена степень функции Я '■

д = д-л+дпт +

т2 -Я"1 • [-Кдп- -С+ 0 . 5Л -К) (1-0 .5А.) Рп + 0 .5ХРП+1] .

Д t

После анализа устойчивости и назначении 6 вариант уточненной схемы записан так (схема 2):

уй-гх 1 2(<х - 1) 14

12М ♦ -2А£.д + а,ЛА£' ^ ♦ «А^с-с,]*-1*-

1 2(а-1) 1 -дсггг + а,2А<Л г.)^-1^]^" +

2 (а -1) а 1

[2М+ -5ЕМ.с, ♦ а,ХА1\ к, - дсс- +

</а=1 1 2 (а -1) 1 2/5^1

- аАСЗ [С-С^Д-Ч-^гС+^Х] +

/сПТ 1 ДС 2 a2Ati

а 1 ДС 2

2 (а-1) а 1 ДС 2

а(1--|)ДС3 [[1- " -]ДС2Я - -?- (С-С^Д"1 -

2 (а -1) о

-Е- а2Ас3 (С-С.)Д-1- а,ЗЛ£' (К-А^)Д"ЧР"

гу^Т 2/5=1 4 (а-1) а

= _3я + 2 (д"*1 - дп) , Я = 2М + аД + а 6 [1. .2]

Численные анализы погрешности показали, что лучшей по точности является схема 2.

Погрешность схемы является частотно-зависимой. Основная погрешность - фазовая. При сгущении сетки конечных элементов погрешность увеличивается, однако устойчивость схемы не нарушается (см.таблицу).

Шаг Фазовая погрешность. % Погрешность амплитуд %

ин- N

т., % т=3 т»4 т-5 т»6 ю=3 т=»4 т=5 т=6

5.0 11.63 60.92 147.5 262.2 19.81 14.20 9.486 6.584

2.5 1.847 13.81 46.02 96.49 11.40 10.27 8.100 6.085 М 0

1.0 0.176 0.908 4.899 15.29 4.806 4.772 4.595 4.190 Д

0.5 0.038 0.094 0.500 2.047 2.436 2.435 2.425 2.389 а

0.2 0.009 0.013 0.043 0.178 1.226 1.226 1.226 1.224 1

0.1 0.001 0.002 0.002 0.006 0.492 0.492 0.492 0.492

5.0 3.710 3.710 3.710 3.710 21.14 21.14 21.14 21.14

2.5 0.915 0.915 0.915 0.915 11.50 11.50 11.50 11.50 м

1.0 0.145 0.145 0.145 0.145 4.808 4.808 4.808 4.803 д

0.5 0.036 0.036 0.036 0.036 2.436 2.436 2.436 2.436 а

0.2 0.009 0.009 0.009 0.036 1.226 1.226 1.226 1.226 • N

0.1 0.001 0.001 0.001 0.009 0.492 0.492 0.492 0.492

В третьей главе проведена серия динамических расчетов реальной конструкции - антенны АПК-12 на действие ветра и сейсмическое воздействие по разработанной методике в пространственной постановке. На рис.5 показан общий вид конструкции

Далее приведены компьютерные распечатки принятой расчетной схемы всей конструкции и подкрепления зеркала (рис.6). Порядок системы - 9720 уравнений.

Для контроля результатов и определения спектра частот использована упрощенная модель с 60 степенями свободы, которая рассчитывалась методом главных координат. Далее приведены спектры частот по двум формам.

На рис.7,8 показаны некоторые графики колебаний при действии ветровых и сейсмических импульсов, которые получены по предлагаемой методике.

Рис.6

г в 1 g в n I... a in b d д

1

О. 8 О. б О. а О. 2 О

О

с, 1 i к а р о l< t. г Ц

Млх= О. 004898 ГЦ П-Л. 2 О О О О У в - О О в

1

О. 8 О. 6 О. 4 О. 2 О

S р в к t. г' chas t. o! Mu

и O ¡iK)-a MaX =:90 9. А 6 3 33 8 rUn= 14. 28? 9Í......

S 00

1000

O SO

Hax=.t44. ?45S86 Iii ri= 2. 27 3093

100

150

Пах: Pli n

O. 4397SS О. 006У09

Рис. ?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построена последовательность вариационных уравнений движения в свертках.

2. Проведен обзор схем прямого интегрирования уравнений движения и показана связь методов, полученных на основе уравнений движения в свертках с некоторыми известными.

.3. Уточнен параметр устойчивости в известной неявной схеме прямого интегрирования нелинейных уравнений движения Г.В.Василько-ва. Показано, что входящий в схему параметр нелинейности следует определять как максимальное собственное число матрицы, получаемой произведением обратной к касательной на секущую.

4. Получен ряд абсолютно устойчивых явных схем прямого интегрирования уравнений движения. Проведен анализ точности.

5. Показано, что 'лучшей из полученных является схема 2, точность которой приближается к точности неявных схем. Основная погрешность - фазовая. Погрешность явной схемы, в отличие от неявной, является частотно-зависимой.

6. На основе разработанных схем и алгоритмов решен ряд тестовых примеров, показавших сходимость решения к точному.

7. Проведен расчет пространственной пластинчато-стержневой системы, моделирующей реальное зеркало антенны высокой размерности.

Расчеты проведены на серию ветровых и сейсмических импульсов. Тестирование результатов проведено методом главных координат по упрощенной модели. Показано, что конструкция не теряет несущей способности и удовлетворяет предельным состояниям первой и второй групп.

8. Результаты работы внедрены в практику проектирования НИИРС в ходе выполнения х/д N 55/94.

Публикации:

1.. Буйко 3.В..Васильков Г.В., Панаснж П.Н. О построении устойчивых схем прямого интегрирования нелинейных уравнений движения.-Цеп. в ВИНИТИ 5.05.94, N1099-694.-8 с.

2. Панасюк Л.Н., Буйко З.В. О точности явных устойчивых схем прямого интегрирования задачи динамики конструкций.-Деп. в ВИНИТИ 24.11.94, N2711-694.- 10 с.

ЛР 020818. Подписано в печать 18.05.95. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Ксерокс. Уч.-изд.л. 1,0. Тираж 70 экз. С ¿¿¿ъО

Редакционно-издательский центр Ростовской-на-Дону государственной академии строительства. 344022, Ростов-на-Дону,ул.Социалистическая,162.