автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Восьмиугольный объемный конечный элемент с векторной аппроксимацией полей перемещений для исследования деформирования оболочек вращения

На правах рукописи

Марченко Сергей Сергеевич

ВОСЬМИУГОЛЬНЫЙ ОБЪЕМНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ С ВЕКТОРНОЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград - 2004

Работа выполнена в Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии (ВГСХА)

Научный руководитель:

кандидат технических наук, доцент

Киселев Анатолий Петрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Пшеничкин Александр Петрович

кандидат технических наук, доцент Макаров Александр Владимирович

Ведущая организация — Волгоградский государственный технический

университет

Защита состоится 15 октября 2004 года в 1300 в аудитории Б-203 Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета на. заседании диссертационного совета Д 212.026.01 по адресу: 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан 15 сентября 2004 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В настоящее время оболочки вращения используются в самых различных областях современной техники, строительстве, машиностроении, авиации, энергетике и космонавтике. Подводные и надводные корабли, всевозможные котлы, сосуды, работающие под давлением, также представляют собой оболочки различной конфигурации. Применение их весьма эффективно, так как оболочечные конструкции позволяют в полной мере использовать прочностные свойства применяемого материала, оставаясь в то же время легкими и устойчивыми.

При этом возможности практического применения оболочечных конструкций далеко не исчерпаны.

Поэтому совершенствование приближенных численных методов расчета является одной из актуальнейших задач механики твердого деформируемого тела и представляет несомненный практический интерес. Целью диссертационной работы является

- разработка алгоритма векторной интерполяции полей перемещений в трехмерной постановке;

- разработка восьмиугольного конечного элемента на основе векторной аппроксимации полей перемещений с узловыми неизвестными в виде векторов перемещений и их производных;

- разработка пакета программ для определения сложного НДС конструкций из оболочек произвольной толщины с учетбм их смещения как абсолютно твердого тела;

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем

- предложена векторная аппроксимация полей перемещений для учета смещений оболочек вращения произвольной толщины как

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

абсолютно твердых тел;

- разработан на основе векторной аппроксимации алгоритм формирования матриц жесткости высокоточного восьмиугольного объемного конечного элемента размером 96x96;

- показано преимущество разработанного алгоритма по сравнению с восьмиугольным объемным конечным элементом с аппроксимацией компонент вектора перемещений внутренних точек конечного элемента как скалярных величин в расчетах оболочек произвольной толщины при их значительных смещениях как абсолютно твердого тела.

Практическая ценность. Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии, в частности с темой «Напряженно-деформированное состояние оболочек вращения». Разработанный высокоточный восьмиугольный объемный конечный элемент с векторной аппроксимацией полей перемещений может эффективно использоваться в программных комплексах, предназначенных для исследования напряженно-деформированного состояния трехмерных тел, оболочек и их фрагментов при. их значительных смещениях как абсолютно твердого тела. Назащиту выносятся

- алгоритм векторной аппроксимации полей перемещений в трехмерной постановке;

- восьмиугольный объемный конечный элемент на основе векторной аппроксимации полей перемещений;

Достоверность научных положений и результатов, изложенных в

диссертационной работе, обеспечивается удовлетворением разработанных алгоритмов основным соотношениям теории упругости и механики сплошной среды, использованием обоснованных численных методов, и подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью

разработанного конечного элемента, с результатами исследований и экспериментальными данными других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции. Достоверность конечных результатов была проверена также независимо от автора по месту внедрения разработанных программ.

Реализация. Результаты исследований включены в программу для уточненной оценки прочности аппаратов химического и нефтегазового оборудования и определения деформаций в конструктивных элементах технологического оборудования в Самарском филиале ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ». Экономический эффект достигался за счет повышения точности оценки напряженно-деформированного состояния конструктивных элементов нефтехимического оборудования, что позволяет гарантированно продлить срок эксплуатации оборудования и снизить затраты на капитальный ремонт.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались. и обсуждались на международной научно-технической конференции-семинаре «Проблемы научного обеспечения экономической эффективности орошаемого земледелия в рыночных условиях» (Волгоград, февраль 2001), международной научно-технической' конференции «Проблемы АПК» (Волгоград, май 2001) и ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии в 2000-2004 гг. Полностью работа докладывалась на методологическом семинаре эколого-мелиоративного факультета ВГСХА (Волгоград, апрель 2004) и на научно-техническом семинаре ВолГАСУ (Волгоград, июнь 2004).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в четырех опубликованных научных работах. Список опубликованных работ приводится в конце данного реферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы ( наименований), изложена на страницах машинописного текста,

содержит рисунков и @ таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведено обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследований, научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе дан краткий обзор использования численного метода конечных элементов в исследованиях напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочек по публикациям отечественных и зарубежных авторов.

Анализ опубликованных работ показывает, что для определения НДС оболочек в подавляющем большинстве случаев используются двумерные конечные элементы треугольной и четырехугольной формы. Очень мало публикаций посвящено расчету оболочек в трехмерной постановке.

Учет смещений конечных элементов как абсолютно твердого тела разными авторами предлагается: осуществить - в явной форме путем включения в интерполяционные полиномы дополнительных членов, посредством разложения функций деформаций и перемещений в степенной ряд с последующим разложением функций деформаций и перемещений в степенной ряд с последующим выделением членов ряда, определяющих жесткое смещение элемента, путем расширения матрицы жесткости конгруэнтным преобразованием. С использованием двумерных конечных элементов выполнялся учет на основе векторной аппроксимации полей перемещений смещений как абсолютно твердого тела..

Полученная эффективность в решениях приводит к необходимости использования векторной интерполяции полей перемещений в объемных

конечных элементах для рассмотрения НДС оболочек вращения в трехмерной постановке.

Во второй главе на основании теории механики сплошной среды выведены соотношения для определения деформаций и напряжений в оболочке вращения в трехмерной постановке.

Для оболочки вращения, ось которой совпадает с осью X декартовой системы координат, радиус-вектор, описывающий срединную поверхность недеформированной оболочки, можно задать в виде

К = Х1 +г$т0} + гсоь&к, (1)

где I, у, к - орты декартовой системы координат;

радиус вращения оболочки.

Положение произвольной точки деформированной поверхности определяется радиус-вектором

(2)

где - радиус-вектор, определяющий положение точки произвольного слоя оболочки до деформации; - вектор перемещения точки оболочки вращения.

Деформации в произвольном слое оболочки, отстоящем от срединной поверхности на расстоянии ^ могут быть определены с использованием соотношений механики сплошной среды

(3)

Входящие в (3) ковариантные компоненты метрического тензора в

исходном и деформированном

а.

соответствующими скалярными произведениями — _ — «

состояниях определяются

(4)

Здесь g| ,gJ - ковариантные компоненты метрических тензоров,

получаемые соответственно дифференцированием радиус-векторов Й' и /Г' по криволинейным координатам Б, &, К.

Выражение (3) можно привести к виду

(5)

■ вектор строка перемещении;

где где {v}T = {v',v2,v3}-]

je'j " вектор-строка компонент тензора

деформации в произвольном слое объемной оболочки вращения; [ D ] - матрица операторов дифференцирования компонент вектора перемещений произвольной точки объемной оболочки вращения.

Соотношения между напряжениями и деформациями определяются согласно закону Гука

a»=AJl(s)g"+2MgMgJ',s„, (6)

где А, ц - параметры Ламе, определяемые формулами

я=

Ev

(1 + ^X1-2^' М 2(1+1/)'

(е)— первый инвариант тензора деформаций.

В третьей главе разработан алгоритм формирования матрицы жесткости восьмиугольного объемного конечного элемента с аппроксимацией компонент вектора перемещения внутренней точки как независимых величин.

За узловые неизвестные принимались компоненты вектора перемещения и их первые производные.

Столбец узловых неизвестных принимается в следующей форме

(7)

Перемещение внутренней точки конечного элемента аппроксимируется выражением

1у)

1x32 32x1

(9)

где {^}7-={Я1,Я2,Я3)...Я32}; - вектор-строка аппроксимирующих функций, основанных на полиномах Эрмита третьей степени.

Для вывода матрицы жесткости и вектора сил восьмиугольного объемного конечного элемента используется равенство работ внутренних и внешних сил конечного элемента на возможном перемещении

\\е<)т{о}ау=\{иГ{р}аР.

(10)

С учетом соотношений (5),(9) выражение (10) можно привести к виду

\{уу )т[в][с][вМу^у Г ¡{А}Цр}аз.

(И)

Минимизируя полученное выражение по компонентам вектора узловых неизвестных, получим

1Фу ЬИ (12)

где

- матрица жесткости конечного элемента; -вектор внешних нагрузок.

Для формирования матрицы жесткости и вектора сил использовалась процедура численного интегрирования на основании кубатурной формулы Гаусса.

Матрица жесткости конечного элемента, получаемая в (12) формируется в локальной системе координат конечного элемента. Глобальные координаты связаны с локальными трилинейными зависимостями. Переход от локальной системы координат к криволинейной производится путем умножения

матрицы [К] и вектора на матрицу преобразования в соответствии со следующим соотношением

(13)

где

— матрица жесткости конечного элемента в глобальной системе координат; - вектор сил конечного

элемента в глобальной системе координат; - матрица преобразования вектора узловых неизвестных из глобальной системы координат в

локальную .

Пример №1. Цилиндрическая оболочка толщины к=0.001 м и радиуса вращения Я=0,1 м, сжата равномерно распределенной нагрузкой интенсивности <7=0.1 Н, приложенной вдоль прямолинейной образующей , модуль упругости Е=2,1'1& МПа, коэффициент Пуассона у=0.0.

Расчет проводился с использованием восьмиугольного объемного элемента с матрицей жесткости размером 96x96 (табл. 1). Результаты сравнивались с результатами, полученными с использованием двумерного треугольного элемента 54x54, в узлах которого в качестве неизвестных принимались первые и вторые производные перемещений (табл.2).

Таблица 1

№ п/п Элемент 96x96

сетка пх1 Величина Напряжения, Напряжения,

перемещения, V3, см-10"2 о-;, Па

1 1x1 4,2301 -235,6 169,4

2 2x1 4,2416 -206,1 187,8

3 3x1 4,2504 -193,1 191,2

4 5x1 4,2510 -190,1 192,0

5 10x1 4,2510 -190,1 192,0

[РяПФЛУМЪУМ

И=М7№1

Таблица 2

№ п/п Элемент 54x54

сетка пх1 Величина Напряжения, Напряжения,

перемещения, V3, Па сг*, Па

см-10"2

1 1x1 4,2404 -216,6 188,2

2 2x1 4,2509 -193,1 191,8

3 3x1 4,2510 -190,1 192,0

4 5x1 4,2510 -190,1 192,0

5 10x1 4,2510 -190,1 192,0

Анализ результатов показывает корректность разработанного алгоритма.

Проведен сравнительный анализ эффективности расчета с использованием разработанного восьмиугольного конечного элемента и широко известными программами прочностного расчета, такими, как ANSYS и АРМ WinMachine. Оказалось, что при малом отношении толщины оболочки к ее радиусу относительная ошибка во всех вариантах расчета не превышает допустимой погрешности метода. Но при увеличении толщины оболочки, результаты расчета программами ANSYS и АРМ дают

нарастающую вплоть до совершенно неприемлемых значений ошибку, в то время, как результаты расчета с использованием восьмиугольного конечного элемента с матрицей жесткости 96x96 показывают корректный результат.

Преимущество элемента с матрицей жесткости 96x96 при расчете толстостенных оболочек вращения по сравнению с оболочечными элементами совершенно очевидно.

Пример №2. В качестве примера рассматривалось напряженно -деформированное состояние цилиндрической оболочки конечной длины при действии в средине пролета двух равных по величине и противоположных по направлению сосредоточенных сил, приложенных по концам одного

диаметра. Были приняты следующие исходные данные : радиус Я = 4.953 м; толщина стенок Ь = 0,094 м; модуль упругости материла Е = 10.5-106 кПа; коэффициент Пуассона V = 0,3125; длина цилиндра I, = 10,35 м; величина сжимающей силы Р = 100 кН. Вследствие наличия трех плоскостей симметрии рассматривалась восьмая часть оболочки.

Расчет проводился в двух вариантах: с использованием восьмиугольного объемного элемента с матрицей жесткости размером 96x96 и с использованием двумерного треугольного элемента 54x54, в узлах которого в качестве неизвестных принимались первые и вторые производные перемещений. Результаты вычислений представлены в таблице 3, в которой приводится величина максимального прогиба оболочки в точках приложения сосредоточенных сил в зависимости от количества элементов сетки.

Таблица 3

№ Вариант расчета

п/п 1 2

Густота сетки,п величина прогиба, м-10"2 Густота сетки, п величина прогиба, Л1-10"2

1 1x1 0,11012 1x1x1 0.00064

2 2x2 0,11821 3x3x3 0.05812

3 3x6 0,11812 1x3x3 0.05846

4 5x10 0,11824 1x10x10 0.11207

5 10x20 0,11800 1x12x12 0.11339

6 - - 1x14x14 0.11431

В результате анализа вычислений видно, что величина прогиба в точке А (точка приложения сосредоточенной силы), полученная в первом и втором варианте расчета, имеет примерно одинаковые значения.

На основании численного анализа результатов расчета, можно

заключить, что разработанный объемный восьмиугольный элемент можно эффективно использовать в инженерной практике расчетов.

Пример №3. Рассматривалась достаточно длинная цилиндрическая оболочка с круговым неподкрепленным отверстием на боковой поверхности, растянутая равномерно распределенной по ее торцам нагрузкоГ.. Равнодействующая нагрузки Р .

Расчет такого типа задач довольно часто приводился в качестве тестовых примеров За исходные данные приняты: радиус срединной поверхности ¡1=10 16-1(Т2 см, толщина стенок цилиндра А=0 ¡839-1СГ2 м, модуль упругости материала Е~6 227x105 кПа, коэффициент Пуассона интенсивность осевой нагрузки 1.582 ■!(? кН/м. Вследствие наличия двух плоскостей симметрии, рассматривалась четвертая часть оболочки, идеализированной восьмиугольными объемными конечными элементами.

Следует отметить, что расчет бесконечно длинного цилиндра с круговым отверстием, находящегося под действием осевого растяжения, является довольно сложной задачей. Около отверстия наблюдается всплеск напряжений и чтобы уловить мембранные перемещения и деформации, требуется на рассто янии, примерно равном 2Я от отверстия, мелкая сетка конечных элементов.

Расчеты выполнялись с использованием восьмиугольного объемного конечного элемента с матрицей жестокостью размером 96x96.

Начало криволинейных координат совмещено с геометрическим центром отверстия. На рис.1 представлены расчетные значения коэффициентов концентрации напряжений к в точках А (кривые 1,2) и В (кривые 3,4) в зависимости от отношения, Г0/Я. Экспериментальные значения коэффициентов концентрации в наружных волокнах обозначены светлыми кружками, во внутренних — темными. Расположение кривых на рисунке, подтверждает удовлетворительное соответствие расчетных значений коэффициентов концентрации напряжений с экспериментальными значениями.

к

0.1488 0.S9SS

Рис. 1

В четвертой главе разработан алгоритм формирования матрицы жесткости восьмиугольного объемного конечного элемента с векторной аппроксимацией полей перемещений, предназначенный для исследования НДС оболочки вращения при ее значительных смещениях как абсолютно твердого тела.

При использовании векторной аппроксимации полей перемещений за узловые неизвестные принимаются векторы перемещения, и их первые производные. В результате интерполируются не отдельные компоненты, а непосредственно векторы перемещений.

В локальной и глобальной системах координат векторы-столбцы узловых неизвестных объемного восьмиугольного элемента, можно представить в виде

Вектор перемещения внутренней точки объемного восьмиугольного конечного элемента аппроксимируется через вектор-столбец узловых перемещений выражением

у-УТЫ (15)

Взаимосвязь компонент вектора перемещений в локальной системе и глобальной системах координат отражается следующим выражением

1x32

(14)

1x32

где - вектор-строка аппроксимирующих функций.

32x1 32x32 з^х!

где [Ь]- матрица преобразования координат.

Вектор перемещения произвольной точки объемного конечного элемента определяется компонентами в локальном базисе

(17)

где а[,а2>Яз — векторы локального базиса.

Выражения первых производных вектора перемещения можно представить в виде

У=Уха1+У2а2+Уа3,

гЗ-

У,2=Г*=>

2«3

(18)

где

J и

многочлены, определяемые выражениями

На основании (17) можно получить зависимости для векторов узловых точек, которые в матричном виде представляются следующим образом

И {Гуг1 (19)

32x1

32x96

96x1

где

И

матрица, ненулевыми элементами которой являются векторы

узлового базиса

Учитывая равенству (16) и (20), соотношение (15) можно привести к

виду

1x32 32x3232x96 96х1

Входящее в состав (21) произведение матриц, преобразовывается таким образом, чтобы выполнялось равенство

32x3232x96 32x9696x96 ( )

Матрица [Л] может быть представлена суммой

(22)

С учетом (20) и (21) зависимость (15) может быть представлена в виде

(23)

Приравнивая правые части выражений (23) и (17) можно получить формулы для каждой компоненты вектора перемещения произвольной точки:

У1 =ША]Ш\ У2=ыти2ы{гуг\

(24)

Последовательным дифференцированием (24) по криволинейным координатам и приравниванием правых частей полученных равенств и (18), определяются интерполяционные зависимости производных компонент вектора перемещений:

кв}=-

где V Л = + + -

1 ' ' дБ дт} Э5

{_д{у,}д$ д{у,}дт1 д{у}дСт 60 дт] 80 д£ 80'

(26)

д£, дг дт] дг дС дг

Таким образом, в отличии от интерполяционных зависимостей , в которых каждая компонента вектора перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется узловыми значениями только этой компоненты и ее производными, в полученных соотношениях любая из трех компонент вектора перемещений зависит, от всех составляющих компонент

узлового вектора - Такое представление будет более корректно

соответствовать геометрическому смыслу перемещения, так как в криволинейной системе координат любое возможное смещение точки дискретного элемента в трехмерном пространстве приводит к изменению всех трех составляющих компонент вектора перемещения.

Преимущество разработанной векторной аппроксимации полей перемещений объемного восьмиугольного элемента в сравнении с классическим способом, основанном на независимой интерполяции компонент вектора перемещений, подтверждается конкретными численными примерами.

Пример 4. В качестве примера была решена задача по определению напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки, опертой по краям на шарнирные опоры и загруженной в середине пролета сосредоточенной силой Р (рис. 2).

Были приняты следующие исходные данные: Длина пролета Ь=0.8 м", радиус вращения толщина стенок цилиндра модуль

упругости материала Е=6.9 ¡О4 МП а ; коэффициент Пуассона У=0.28\ величина сосредоточенной силы Р=6.9 Н.

Вследствие наличия двух плоскостей симметрии рассматривалась четвертая часть оболочки ЛВСБ (рис. 2). Расчеты выполнялись с использованием восьмиугольного конечного элемента с матрицей жесткости. размером 96x96 в двух вариантах: в первом использовалась традиционная независимая аппроксимация полей- перемещений; во втором варианте реализовывался предложенный способ векторной аппроксимации (24). Результаты расчетов приводятся в таблице 4, где представлены величины нормального перемещения (прогиба) в точке приложения сосредоточенной силы в зависимости от числа конечных элементов.

Как видно из таблицы 6, величины нормального перемещения и в первом и во втором вариантах расчета имеют одинаковые значения, то же самое можно сказать и о напряжениях.

Если заменить шарнирные опоры на пружинные с переменной жесткостью, то под действием силы Р оболочка переместится вертикально вниз как абсолютно жесткое тело на величину Д (рис. 3). Результаты расчетов цилиндрической оболочки, выполненные с учетом изменения условий опирания, приводятся в таблице 5, в которой показаны кольцевые напряжения внутренних волокон оболочки. в точке приложения силы при различных величинах смещения цилиндра как жесткого целого. При этом использовалась сетка дискретных элементов размером 4x4x1.

Рис.2

Рис.3

Из таблицы видно, что уже при сравнительно небольших смещениях оболочки как жесткого тела (А-0.05...0.1 м) величины напряжений,

полученные в первом варианте расчета становятся совершено неприемлемыми, кроме того при Д=0.1 м изменяется знак напряжения.

Таблица 4

Густота сетки ПрогибУ3, м.

Вариант расчета

1 (I

3x3x1 2.1-10"3 2.0- 10°

4x4x1 2.1- КГ1 2.1- 10"'

5x5x1 2.2- КГ1 2.1- 10"'

6x6x1 2.2- 10"3 2.2-10"'

Таблица 5

Величина жесткого смещения Д, м Кольцевые напряжения ак, МПа

Вариант расчета >

I II

0,00 58,78- 105 58,62- 10'

0,01 51,26-105 . 58,62- 101

0,02 43,74- Ю1 58,62- 101

0,05 21,21-10" 58,62-101

0,10 -16,24- 105 58,62-101

1,00 -668,24- Ю5 58,62- Ю1

Во втором варианте расчета значения вычисленных напряжений остаются стабильными, несмотря на значительные смещения оболочки как жесткого целого.

Анализ представленного табличного материала позволяет сделать вывод о том, что предложенный способ векторной аппроксимации полей перемещений восьмиугольного объемного конечного элемента позволяет

корректный результат в классе задач, в которых невозможно его получить, используя традиционную методику аппроксимации.

Пример 5. В качестве примера рассматривалась оболочка, срединная поверхность которой представляет собой форму усеченного эллипсоида вращения. Оболочка нагружалась равномерно распределенным внутренним давлением интенсивности ц, (рис.4). Положение точек срединной поверхности определялось криволинейными координатами: длинной дуги меридиана

Были приняты следующие исходные данные: А=1.0м; В=0.5м; й—0.9м; Е=2-105 МПа; у=0.3; И=0.0] м; д-4 МПа, (А и В являются главными полуосями эллипса). Радиус вращения срединной поверхности оболочки вычислялся по формуле

где осевая координата х изменялась в пределах

Заменив шарнирное закрепление на правом конце рассматриваемой оболочки пружинной опорой, можно позволить оболочечной конструкции перемещаться вдоль оси х как жесткому целому на некоторую величину А. Величина будет меняться в зависимости от выбранной жесткости пружины.

Расчеты выполнялись в двух вариантах: в первом реализовывалась традиционная независимая аппроксимация полей перемещений; во втором -предложенная векторная аппроксимация. В качестве элемента дискретизации использовался восьмиугольный объемный конечный элемент с матрицей жесткости 96x96. Результаты приведены в табл. 6.

(26)

Рис.4

Очевидно, меридиональное напряжение на правом крае оболочки равно нулю. Значение кольцевого напряжения (Хк можно определить из уравнения Лапласа

м

(27)

я, ' я2 /Г

где - радиусы главных кривизн, соответственно в меридиональном и

кольцевом направлении. Значение кольцевого напряжения

Таблица 6

Как видно из таблицы, напряжения, полученные с использованием традиционной независимой аппроксимации, уже при незначительном смещении оболочки как жесткого целого отличаются от первоначальных и с увеличением Д становятся неприемлемыми. В то время, как напряжения, вычисленные с использованием векторного способа аппроксимации остаются постоянными независимо от

Таким образом можно заключить, что использование векторной аппроксимации полей перемещений конечного элемента, в отличии от традиционной независимой, позволяет эффективно исследовать напряженно-деформированное состояние оболочек вращения при их смещении как жесткого целого.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы

Основные результаты работы и выводы состоят в следующем:

1. На основе соотношений механики сплошной среды применительно к оболочкам вращения получены зависимости между перемещениями и деформациями в трехмерной постановке, в которых не содержатся радиусы главных кривизн в явном виде, что позволяет учитывать знак кривизны автоматически.

2. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости восьмиугольного объемного конечного элемента с размером матрицы жесткости 96x96, на численных примерах показана его эффективность в расчетах на прочность оболочек вращения при наличии в них вырезов и отверстий.

3. Показана эффективность использования высокоточного восьмиугольного объемного элемента в сравнении с элементами, используемыми в программных комплексах ANSYS и АРМ WinMachine, a также в сравнении с двумерным треугольным оболочечным элементом с размером матрицы жесткости 54x54.

4. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости высокоточного объемного восьмиугольного элемента с векторной аппроксимацией полей перемещений, узловыми неизвестными которого

являются векторы перемещений и их первые производные. На примерах расчета на прочность оболочек вращения различной толщины при больших смещениях конструкции как жесткого целого и больших градиентах кривизн показана необходимость использования векторной аппроксимации полей перемещений конечного элемента, так как применение традиционной аппроксимации приводит к неприемлемым значениям.

5. На основе приведенного алгоритма разработан пакет программ на алгоритмическом языке Delphi версии 5.0 для численной реализации восьмиугольного объемного конечного элемента в расчетах оболочек вращения и их фрагментов.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Николаев А.П., Киселев А.П., Марченко С.С. Расчет на прочность объемных гидротехнических сооружений с использованием восьмиугольного конечного элемента // Научные сообщения КДН, бюллетень №10. Волгоград, 2001. - С.33-36. (соавт. Николаев А.П., Киселев АЛ.)

2. Киселев А.П., Марченко С.С. Восьмиугольный конечный элемент при расчете на прочность конструкций гидротехнического назначения. // Материалы V региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области. ВГСХА, Волгоград, 2001. - С.99-100. (соавт. Киселев АЛ.)

3. Николаев А.П., Киселев А.П., Марченко С.С. Расчет на прочность грунтовых плотин на основе метода конечных элементов.// Материалы международной научно-практической конференции «Проблемы научного обеспечения экономической эффективности орошаемого земледелия в рыночных условиях». ВГСХА, Волгоград, 2001. - С.28-29. (соавт. Николаев АЛ., Киселев АЛ.)

4. Марченко С.С. Независимая аппроксимация полей перемещений при прочностных расчетах ГТС на основе МКЭ.// Материалы международной научно-практической конференции «Проблемы АПК». ВГСХА, Волгоград,

2003.-С.213-214.

В работах [1],[2],[3] автором выполнена постановка задач, разработка алгоритмов, анализ результатов; в работе [4] - разработка алгоритма и его реализация.

Подписано к печати 09.09.04. Формат 60x841/16. Уч.-изд. л. 1. Тир. 100. Зак. 226. Типография Волгоградской государственной Сельскохозяйственной академии 400002, г. Волгоград, ул. Институтская, 8

* 1652 f

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ОБОЛОЧЕК.

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

2.1. Геометрия оболочки вращения.

2.2. Перемещение точки срединной поверхности тонкой оболочки вращенияЗО

2.3. Перемещение произвольного слоя тонкой оболочки вращения.

2.4. Деформации тонкой оболочки вращения.

И 2.5. Соотношения между напряжениями и деформациями в пределах упругости для тонкой оболочки вращения.

2.6. Перемещение точки оболочки вращения как трехмерного тела.

2.7. Деформации оболочки вращения как трехмерного тела.

2.8. Связь напряжений и деформаций в произвольной точке объемной оболочки.

3. ВОСЬМИУГОЛЬНЫЙ ОБЪЕМНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ С АППРОКСИМАЦИЙ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ КАК НЕЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН.

3.1. Основные этапы расчета оболочек вращения методом конечных элементов.

3.2. Матрица жесткости объемного восьмиугольного конечного элемента размером 96x96.

3.2.1. Выбор количества узловых неизвестные и функций формы.

3.2.2. Геометрия элемента.

3.2.3. Узловые неизвестные.

3.2.4. Матрица жесткости.

3.2.5. Численное интегрирование.

3.2.6. Матрица преобразования координат. 3.3. Матрица жесткости треугольного конечного элемента размером 54x54.

3.3.1. Геометрия элемента.

3.3.2. Узловые неизвестные.

3.3.3. Перемещение внутренней точки конечного элемента и матрица жесткости.

3.3.4. Численное интегрирование.

3.3.5. Матрица преобразования.

3.4. Примеры расчета.

4. ВОСЬМИУГОЛЬНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ С ВЕКТОРНОЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.

4.1. Матрица жесткости конечного элемента размером 96x96 с векторной аппроксимацией полей перемещений.

4.2. Примеры расчета.

В настоящее время оболочки вращения используются в самых различных областях современной техники, строительстве, машиностроении, авиации, энергетике и космонавтике. Подводные и надводные корабли, всевозможные котлы, сосуды, работающие под давлением, также представляют собой оболочки различной конфигурации. Применение их весьма эффективно, так как оболочечные конструкции позволяют в полной мере использовать прочностные свойства применяемого материала, оставаясь в то же время легкими и устойчивыми.

Эксплуатация оболочки предполагает действие на нее внешних и внутренних комбинаций нагрузок, воздействию со стороны соседних элементов конструкции. Причиной возникновения силовых воздействий могут быть инерционные, гравитационные или тепловые эффекты. Наличие патрубков, кронштейнов, отверстий различного размера и формы приводит к тому, что во многих случаях действие внешних нагрузок на оболочку носит выраженный местный характер, причем возникающие локальные напряжения могут достигать значительных величин и поэтому требуется тщательное исследование напряженно-деформированного состояния оболочки в целях выработки наиболее рациональных конструктивных решений.

При этом возможности практического применения оболочечных конструкций далеко не исчерпаны. Это можно объяснить тем, что процесс определения напряженно-деформированного состояния оболочек весьма трудоемок и сложен, а практическое использование такого рода конструкций ставит все новые задачи. Поэтому совершенствование приближенных численных методов расчета является одной из актуальнейших задач механики твердого деформируемого тела и представляет несомненный практический интерес.

Расчет оболочек на прочность и устойчивость довольно подробно рассмотрен как в отечественной, так и в зарубежной литературе [1,10,16,17,22,23,34,65,69,92,98]. Несмотря на такое полное исследование, практическое применение представленных соотношений и формул весьма затруднительно и трудоемко в виду их сложности и громоздкости [4,17,32,34,35]. Поэтому гораздо более привлекательными для практических расчетов являются приближенные численные методы расчета [16,47,56,57,66,67,73,94,95,97], многие из которых, к тому же, довольно легко позволяют автоматизировать процесс расчета на электронно-вычислительных машинах.

Анализ публикаций [70,72,74,79,81,88] позволяет сделать вывод о том, что многие авторы считают одним из наиболее популярных и эффективных численных методов расчета так называемый метод конечных элементов (МКЭ). Сущность его заключается в следующем: реальная конструкция (оболочка) заменяется «идеализированной конструкцией», которая получается в процессе дискретизации исходной оболочки, то есть мысленном разбиении ее на отдельные элементы конечных размеров («конечные элементы»), взаимодействующих между собой в определенном числе узловых точек.

- возможность полной автоматизации с помощью электронно-вычислительных машин, процессов формирования матриц жесткости конструкций и решения систем линейных уравнений;

- легкость компоновки гибких алгоритмов расчета, позволяющих путем замены исходных данных изменять граничные условия и характер внешней нагрузки оболочечной конструкции;

- возможность учета физической и геометрической нелинейности оболочки, влияния температурных воздействий, возникающих в процессе эксплуатации.

Целью диссертационной работы является

- разработка алгоритма векторной интерполяции полей перемещений в трехмерной постановке;

- разработка восьмиугольного конечного элемента на основе векторной аппроксимации полей перемещений с узловыми неизвестными в виде векторов перемещений и их производных;

- разработка пакета программ для определения сложного НДС конструкций из оболочек произвольной толщины с учетом их смещения как абсолютно твердого тела; Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем

- предложена векторная аппроксимация полей перемещений для учета смещений оболочек вращения произвольной толщины как абсолютно твердых тел;

- разработан на основе векторной аппроксимации алгоритм формирования матриц жесткости высокоточного восьмиугольного объемного конечного элемента размером 96x96;

- показано преимущество разработанного алгоритма по сравнению с восьмиугольным объемным конечным элементом с аппроксимацией компонент вектора перемещений внутренних точек конечного элемента как скалярных величин в расчетах оболочек произвольной толщины при их значительных смещениях как абсолютно твердого тела.

Практическая ценность заключается в разработке алгоритма и программного модуля формирования матрицы жесткости высокоточного восьмиугольного объемного конечного элемента с векторной аппроксимацией полей перемещений, который может быть эффективно использован в программных комплексах, предназначенных для исследования напряженно-деформированного состояния трехмерных тел, оболочек и их фрагментов при их значительных смещениях как абсолютно твердого тела. На защиту выносятся

- алгоритм векторной аппроксимации полей перемещений в трехмерной постановке;

- восьмиугольный объемный конечный элемент на основе векторной аппроксимации полей перемещений;

Достоверность научных положений и результатов, изложенных в диссертационной работе, обеспечивается удовлетворением разработанных алгоритмов основным соотношениям теории упругости и механики сплошной среды, использованием обоснованных численных методов, и подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанного конечного элемента, с результатами исследований и экспериментальными данными других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции. Достоверность конечных результатов была проверена также независимо от автора по месту внедрения разработанных программ.

Реализация

Результаты исследований включены в программу для уточненной оценки прочности аппаратов химического и нефтегазового оборудования и определения деформаций в конструктивных элементах технологического оборудования в Самарском филиале ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ». Экономический эффект достигался за счет повышения точности оценки напряженно-деформированного состояния конструктивных элементов нефтехимического оборудования, что позволяет гарантированно продлить срок эксплуатации оборудования и снизить затраты на капитальный ремонт.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы (182 наименований), изложена на 134 страницах машинописного текста, содержит 17 рисунков и 9 таблиц.

Выводы по 4 главе

1. Предложен векторный способ аппроксимации полей перемещений объемного восьмиугольного конечного элемента.

2. С использованием векторного способа аппроксимации разработан алгоритм формирования матрицы жесткости объемного восьмиугольного элемента оболочки вращения. За узловые неизвестные конечного элемента выбирались векторы перемещения узловых точек и их производные. При формировании матрицы жесткости такой вектор-столбец узловых неизвестных преобразовывался к обычному столбцу узловых неизвестных, состоящему из компонент вектора перемещений и их производных.

3. В отличие от интерполяционных зависимостей, в которых каждая компонента вектора перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется узловыми значениями только этой компоненты и ее производных, в полученных соотношениях (4.18) и (4.19) любая из трех компонент вектора перемещений зависит от всех составляющих компонент узлового вектора Такое представление будет более точно соответствовать геометрическому смыслу перемещения, так как в криволинейной системе координат любое возможное смещение точки дискретного элемента в трехмерном пространстве зависит от всех трех составляющих компонент вектора перемещения.

4. Разработанный объемный восьмиугольный конечный элемент может быть эффективно использован в расчетах оболочек вращения, в процессе эксплуатации которых возможны смещения конструкции как жесткого целого, а также при больших градиентах кривизн, что подтверждается конкретными численными примерами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. На основе соотношений механики сплошной среды применительно к оболочкам вращения получены зависимости между перемещениями и деформациями в трехмерной постановке, в которых не содержатся радиусы главных кривизн в явном виде, что позволяет учитывать знак кривизны автоматически.

2. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости восьмиугольного объемного конечного элемента с размером матрицы жесткости 96x96, на численных примерах показана его эффективность в расчетах на прочность оболочек вращения при наличии в них вырезов и отверстий.

3. Показана эффективность использования высокоточного восьмиугольного объемного элемента в сравнении с элементами, используемыми в программных комплексах ANSYS и АРМ WinMachine, а также в сравнении с треугольным оболочечным элементом с размером матрицы жесткости 54x54.

4. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости высокоточного объемного восьмиугольного элемента с векторной аппроксимацией полей перемещений, узловыми неизвестными которого являются векторы перемещений и их первые производные. На примерах расчета на прочность оболочек вращения различной толщины при больших смещениях конструкции как жесткого целого показана необходимость использования векторной аппроксимации полей перемещений конечного элемента, так как применение традиционной аппроксимации приводит к неприемлемым значениям.

5. На основе приведенного алгоритма разработан пакет программ на алгоритмическом языке Delphi версии 5.0 для численной реализации восьмиугольного объемного конечного элемента в расчетах оболочек вращения и их фрагментов.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Дерюга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 288 с.

2. Александров А.В. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек // Труды Моск. ин-та инж. транспорта. 1971. - вып.364. — с.3-10.

3. Аргирис Дж., Шарпф Д. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечных элементов // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. — Л., 1974. — т. 1. с. 179-210.

4. Бакулин В.Н., Репинский В.В. Численный расчет устойчивости цилиндрических оболочек, ослабленных вырезами // Прикл. методы исслед. прочности JIA // Моск. авиац. ин-т. М., 1992. - с.8-13.

5. Бандурин Н.Г., Николаев А.П., Апраксина Т.И. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 к расчету непологих произвольных оболочек // Пробл. Прочности. 1980. - №5. - с. 104-108.

6. Бандурин Н.Г., Николаев А.П., Апраксина Т.И. К расчету оболочек вращения методом конечных элементов // Изв. вузов сер. Машиностроение. -1981. №5. - с.26-31.

7. Бандурин Н.Г., Николаев А.П., Торунов И.К. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента к расчету тонкостенных оболочек вращения // Прикл. механика. 1980. - т.16. - №3. - с.50-55.

8. Бандурин Н.Г., Николаев А.П. К применению МКЭ для расчета оболочек вращения с учетом пластических свойств материала // Изв. вузов, сер. Строительство и архитектура. -1985. -№3.- с.24-27.

9. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. -631 с.

10. Бидерман B.JI. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение. - 1977. - 488с.

11. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976. -607с.

12. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980. - 973 с.

13. Вайнберг Д.В., Городецкий А.С., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел // Прикл. механика. -1972. т.8. - №8. -с.3-28.

14. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. -278с.

15. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.: Гостехиздат, 1949.-784с.

16. Вольмир А.С. Современные проблемы теории пластинок и оболочек в летательных аппаратах // Актуальные пробл. авиац. науки и техники. -М.,1984. с.77-87.

17. Веселов Ю.А. Формирование гибридной матрицы жесткости трехслойного ортотропного многоугольного конечного элемента // Изв. вузов. Сер. Строительство. 1993. - № 11 -12. - с. 119-125.

18. Голованов А.И. Новый конечный элемент для расчета произвольных тонких оболочек // Строит, механика и расчет сооружений. 1986. - №4. -с.21-23.

19. Голованов А.И. Исследование устойчивости тонких оболочек изопа-раметрическими конечными элементами // Строит, механика и расчет сооружений. 1992. - №2. - с.51-55.

20. Гольденвейзер А.А. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.-512с.

21. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-360с.

22. Григоренко Я.М., Кокошин С.С. К расчету оболочечных конструкций методом конечного элемента // Прикл. мех. 1979. - т. 15. - №7. - с.3-10.

23. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1979. - 280с.

24. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов Вал. И. и др. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями. Киев: Наук. Думка, 1980. - 635с.

25. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. - 96с.

26. Длугач М.И. Метод конечных элементов в применении к расчету цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями // Прикл. механика. — 1973.-T.il.-№11.-с.35-41.

27. Евзеров И.Д., Здоренко B.C. Сходимость плоских конечных элементов тонкой оболочки // Строит, механика и расчет сооружений. 1984. - №1. -с.35-40.

28. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -542с. (пер. с англ.).

29. Зуев Б.И., Капустин С.А., Киселев JI.K., Трубицын В.А. Сравнение некоторых моделей конечных элементов при анализе тонкостенных пространственных конструкций // В сб.: Метод конеч. элем, в строит, мех. Горький, 1975. - с.149-163.

30. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд. Моск. ун-та, 1978.-288с.

31. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолета // Вопр. прочности и долговечности элементов авиац. конст. Куйбышев, 1979. - №25. -с.35-43.

32. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966. -508с.

33. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. — М.: Машиностроение, 1975. 376с.

34. Кей С.В. Бейсенджер З.Е. Расчет тонких оболочек на основе метода конечных элементов // В сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л., 1974. -т.1. - с. 151-178. (пер. с англ.).

35. Киричевский В.В., Сахаров А.С. Исследование сходимости при решении трехмерных задач методом конечного элемента // Сопротивл. матер, и теор. coop. Киев, 1975. - вып.25. - с.91-97.

36. Кибец А.И. Анализ точности моментной схемы МКЭ решения трехмерных нестационарных задач упругопластического деформирования тонкостенных конструкций // Труды XVI междунар. конф. по теории оболочек и пластин, Нижний Новгород. -1993. т. 1. -с. 108-113.

37. Киселев А.П. Использование треугольных конечных элементов в расчетах тонкостенных конструкций гидромелиоративного назначения // Сб. I межвуз. научно-практ. конф. Волгоград, обл., г. Волгоград, 1994. с.83-84.

38. Клочков Ю.В., Киселев А.П. Расчет тонкостенных конструкций мелиоративных систем и водохозяйственных объектов с помощью треугольных конечных элементов II Научный вестник, сер. Инж. науки. Волгоград, 1997. -с.248-255.

39. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Киселев А.П. Конечно-элементная формулировка уравнений произвольных непологих оболочек с учетом смещений как жесткого целого // Труды XVII междунар. конф. по теории оболочек и пластин, г. Саратов. 1997. -т.З. -с.95-100.

40. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Киселев А.П. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 72x72 для расчета оболо-чечных конструкций // Строительство. -1998. -№4-5. — с.36-41.

41. Корнишин М.С., Якупов Н.М. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта МКЭ // Прикл. механика. -1989. -№8. -т.25. с.53-60.

42. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1976. - 213с.

43. Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Исследование устойчивости подкрепленных оболочек методом конечных элементов // Строит, механика и расчет сооружений. 1980. - №3. - с.38-41.

44. Крук Б.З., Ромаченко С.А., Пономаренко А.Е., Усманский С.Э. Смягченно-смешанная схема МКЭ для расчета трехмерного упругопластического состояния элементов конструкций // Пробл. прочности. 1993. - №9. - с.65-77.

45. Кхана (J. Khanna), Гули (R.F. Hooley) Сравнение и оценка матриц жесткости // Ракетная техника и космонавтика. 1966. - №2. - с.31-39.

46. Ляв А. Математическая теория упругости. — М., ОНТИ, 1935. 220с.

47. Макеев Е.Г. Эффективный конечный элемент для тонких пластин и оболочек // Автомат, проект, авиац. конструкций. Куйбышев, 1982. - с.45-54.

48. Маркол (R.V. Marcol) Определение больших прогибов упругопласти-ческих оболочек вращения // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №9. -с. 113-121.

49. Мебейн (P.M. Mebane), Стирклин (J.A. Stricklin) Неявное представление жесткого смещения в случае криволинейных конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1971. - №2. - с.206-208.кетная техника и космонавтика. 1971. - №2. - с.206-208.

50. Муляр В.П., Сторожук Е.А., Чернышенко И.С. Упругопластическое состояние тонкостенных цилиндрических оболочек с эллиптическим отверстием на боковой поверхности // Прикл. мех. (Киев). 1997. - 33. - №6. - с.62-64.

51. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1981. — 111с.

52. Неверов В.В. Метод вариационных суперпозиций в теории оболочек. Саратов: Изд-во Саратовск. гос. ун-та, 1984. - 128с.

53. Неверов В.В. Фундаментальная периодическая система вычислительных методов анализа в теории оболочек // Пробл. теории пластин, оболочек и стержневых систем. — Саратовск. политехи, ин-т. Саратов, 1992. - с.4-29.

54. Проблемы теории пластин, оболочек и стержневых систем: Межвуз. науч. сб. / Сарат. политех, ин-т / ред. Неверов В.В. Саратов, 1992. - 124с.

55. Николаев А.П., Бандурин Н.Г. К расчету оболочек методом конечных элементов // Строит, механика и расчет сооружений. 1980. - №5. - с.21-25.

56. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Торунов И.К. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента с матрицей 48x48 для расчета оболочек вращения // Строит, и архитектура 1980. - №5. - с.44-48.

57. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Клочков Ю.В. Расчет оболочек вращения на основе МКЭ при различных вариантах интерполяции перемещений // В сб.: Совершенствование средств и методов расчета изделий машиностроения. Волгоград, 1988. - с.29-31.

58. Николаев А.П., Клочков Ю.В., Киселев А.П. Особенности формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента размером 54x54 // Строительство. 1998. - №2. - с.32-37.

59. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL: Судпромгиз, 1962.432 с.

60. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: перев. с англ. М.: 1976. - 464 с.

61. Паймушин В.Н. К проблеме расчета пластин и оболочек со сложным контуром // Прикл. механика. 1980. - т. 16. - №4. - с.63-70.

62. Павлов С.П., Перегудов А.Б. МКЭ при расчете слоистых конструкций с учетом пластических деформаций // В сб.: Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, СГТУ. -1997. — т.2. — с.76-81.

63. Пикуль В.В. Теория и расчет оболочек вращения. — М.: Наука, 1982. —158 с.

64. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. - 344 с.

65. Постнов В.А., Корнеев B.C. Использование метода конечных элементов в расчетах устойчивости подкрепленных оболочек // Прикл. механика. -1976. т.12. - №5. - с. 44-49.

66. Постнов В.А., Дмитриев С.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных конструкций. JL: Судостроение, 1979. - 288 с.

67. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. JL: Судостроение, 1977. - 280 с.

68. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

69. Рикардс Р.Б., Чате А.К. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко // Мех. композит. материалов. -1981. №3. - с. 453-460.

70. Рикардс Р.Б., Чате А.К. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко 2. Численные примеры // Мех. композит, материалов. -1981. №5. - с. 815-820.

71. Розин JI.A. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ: метод конечных элементов. -М.: Энергия, 1971. — 214с.

72. Савельев Л.М. Простой четырехугольный конечный элемент произвольной тонкой оболочки // Вопр. прочности и долговеч. элементов авиац. конструкций. Куйбышев, 1979. - №5. - с.58-63.

73. Сахаров А.С., Кислоокий В.Н., Киричевский В.В. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферпаг, 1982. - 479 с.

74. Сахаров А.С., Соловей И.А. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек // В сб.: Пространств, конструкции зданий и сооруж. М., 1977. - Вып.З. - с. 10-15.

75. Сегерленд Л. Применение метода конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. 541 с. (перев. с англ.)

76. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. - т.1. -536 е.; 1976.-Т.2.-574 с.

77. Скопинский В.Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четырехугольных криволинейных элементов // Изв. вузов, сер. Машиностроение. 1983. - №5.-с.16-21.

78. Скопинский В.Н. Об особенностях напряженного состояния в области пересечения цилиндрических оболочек // Строит, механика и расчет сооружений. 1986. - №2. - с. 19-22.

79. Скопинский В.Н., Меллерович Г.М. Расчетное и экспериментальное исследование напряженного состояния коленных соединений трубопроводов // Пробл. прочности. 1988. - №12. - с. 73-76.

80. Серазутдинов М.Н., Губаев P.P. Построение конечно- элементных функций произвольной степени аппроксимации и их использование для расчета оболочек // В сб.: Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, СГТУ, 1997.-т.2.-с. 112-116.

81. Сторожук Е.А. О применении метода конечных элементов к решению двухмерных упругопластических задач для оболочек с отверстиями // Докл.

82. АН Украины. 1993. -№10. - с. 79-83.

83. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1997.-350 с.

84. Сулейманова М.Н. К расчету гибких непологих оболочек различного типа методом конечных элементов // Прикл. механика. 1984. - т.20. - №1. - с. 72-78.

85. Сухомлинов Л.Г., Генин Е.В. Численное решение задач о больших пластических деформациях тонких неосесимметричных оболочек под действием заданных нагрузок // Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1990. - №1. -с. 16-21.

86. Съярле Д. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980.-512 с.

87. Тимошенко С.П., Войновский- Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

88. Товстик П.Е. Осесимметричная деформация тонких оболочек вращения при осевом сжатии // Вестник С.-Петербург. Ун-та, 1995. -№1. с. 95-102.

89. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1975. - 256с.

90. Филин А.П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела. Л: Стройиздат, 1974. - 411 с.

91. Хейслер (Haisler W.E.), Стриклин (Stricklin J.A.) Перемещения неде-формируемых криволинейных элементов в расчетах оболочек матричным методом перемещений // Ракетная техника и космонавтика. 1967. - №8. - с. 207209.

92. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. М.: Наука, 1968.-455 с.

93. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во ЛГУ, 1962. -т. 1, - 374 е.; - 1964. - т.2. - 395 с.

94. Шмит (Schmit L.A.), Богнер (Bogner F.K.), Фокс (Fox R.L.) Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием дискретных элементовпластин и оболочек // Ракетная техника и космонавтика. 1968. - №5. - с.17-28.

95. Шихранов А.И. Большие неосесимметричные прогибы пологих оболочек вращения // В сб.: Труды XVI междунар. Конф. по теории оболочек и пластин. Н.Новгород; НГУ, 1994. т.З. - с.252-257.

96. Эдельман (Adelman В.М.), Казеринес (Catherines D.S.), Уолтон (Walton W.C.) Точность вычисления напряжений методом конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №3. - с. 102-103.

97. Якупов И.М., Серазутдинов М.Н. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии. — Казань: ИМН РАН. 1993. — 206 с.

98. Якупов Н.М., Хисамов Р.З. Моделирование зон концентрации напряжений сложных оболочечных систем // Труды международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» Казань, 2000г., С.478-483.

99. Aditya А.К., Bandyopadhyany J.N. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method // Comput. and Struct. 1989. - 32. - N2. - p.423-432.

100. Ahmand Sohrabuddin, Irons Bruce M., Zienkivicz O.C. Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1970. 2. -N3. -p.419-451.

101. Altaian Wolf, Fquti Fernando A thin cylindrical shell finite element based on a mixed formulation // Comput. and Struct. 1976. - 6. - N2. - p.149-155.

102. Argyris J.H. Energy theorems and structural analysis. London. Batter-worth. 1960.

103. Argyris J.H. Matrix methods of structural analysis // Proc. 14-th meeting of AGARD. AGARDograph. 1962. - 72.

104. Argyris J.H., Mleignek H.P., Buhlmeier J., Mai M.M. Finite elements in linear statics and dynamiks the natural approach // Isd - Ber. - 1974. - N174. -p. 1-52.

105. Argyris J.H., Dunne P.C. Post-buckling finite elements analysis of circular cylinders under end load // Acta techn. Acad. Sci. hung. 1978. - 87. - N1-2. -p.5-16.

106. Argyris J.H., Haase M., Kleiber M., Maleiannakis G.A., Mleignek H.P., Muller M., Scharpf D.W. Finite element method the natural approach // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1979. -17-18. -Nl. -p.1-106.

107. Argyris J.H., Dunne P.C., Haase M., Orkisz J. Higher-order simplex elements for large strain analysis natural approach // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1978. - 16. -N13. -p.369-403.

108. Argyris J.H., Haase M., Mleignek H.P. Some consideration on the natural approach // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. -1982. 30. - N3. - p.335-346.

109. Alayliogly H., Ali R. A hybrid stress doubly curved shell finite element // Comput. and Struct. 1977. - 7. - N3. - p.477-480.

110. Anderheggen E. A conforming triangular finite element plate bending solution // Int. J. Num. Meth. Eng. 1970. - 2. - p.259-264.

111. Barony S.Y., Tottenham H. The analysis of rotational shells using a curved ring element and the mixed variational formulation // Int. J. Numer Meth. Eng. 1976. - 10. -N4. -p.861-872.

112. Batoz J.L., Dhatt G., Prost J.P. Buckling behaviour of shells using axi-gymmetrical element and triangular element // 3-rd Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol. London, 1975. - Vol.5. - Port. M. Amsterdam ea. 1975. M-4. -3/7. -m.4. -3/13.

113. Bond T.J., Swannel J.H., Heshell K.D., Warburton G.B. A comparison of some curved two dimensional finite elements // J. Strain Anal. 1973. - 8. - N3. -p. 182-190.

114. Brebbia C.A., Hadid H.A. Analysis of plates and shells using finite elements // Pev. roum. sci techn. ser. mec. appl.- 1973. 18. - N15. - p.939-962.

115. Baumann M., Schweizerhof K., Andrussow S. An efficient mixed hybrid 4-node shell element with assumed stresses for membrane, bending and shear parts // Eng. Comput. 1994. -11. - N1. - p.69-80.

116. Berdichevsky V., Mlsyuria V. Effect of accuracy loss in classical shelltheory // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1992. - 59. - N2. - p.217-223.

117. Boisse P., Daniel J.L., Getin J.C. А С three-node shell element for nonlinear structural analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. - 37. - N14. - p.2339-2364.

118. Cantin G., Clough R.W. A curved cylindrical shell finite element // AIAA. 1968. - N6. - p.1057-1062.

119. Cantin G. Rigid body motions in curved finite elements //AIAA. 1970. -N8.-p.1252.

120. Celmeti Enver. Stiffness matrix for curvede finite element and application to general shell theory // Istanbul, techn. univ. bull. Bull. Techn. Univ. Istanbul.- 1973.-26.-Nl.-p.l-10.

121. Choi Chang-Koon., Schnobrich William C. Nonconforming finite element analysis of shells. J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1975. -101.- N4. — p.447-464.

122. Clough R.W. The finite element method in plane stress analysis // J. Struct. Div.,Asce Proc. 2-d conf. Electronic computation, -p.345-378.

123. Cowper G.R., Lindberg G.M., Olson M.D. A shallow shell finite of triangular shape // Int. J. Solids Struct. 1970. - N6. - p.l 13.

124. Cochelin В., Damil N., Potier-Ferry M. Asymptutic-numerical methods and Pade approximants for non-linear elastic structures // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1994. -37. -N7. p.l 187-1213.

125. Dawe D.J. Rigid-body motions and strain-displacement equations of curved shell finite elements // Int. J. Mech. Sci. -1972. 14. - p.569.

126. Dawe D.J. Numerical studies using circular arch finite elements // Computers and Struct. 1974. - N4. - p.729.

127. Dawe D.J. High-order triangular finite element for shell analysis // Int. J.

128. Solids and Struct. 1975. - 11. -N10. - p. 1097-1110.

129. Dawe D.J. Static analysis of diaphragm-supported cylindrical shells using a curved finite strip // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1977. - 11. - p. 1347-1364.

130. Delpak R. A linearized analysis of buckling of thin rotational shells using the finite element method // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - 20. - N12. -p.2235-2252.

131. Dzygadio Z., Nowotarski I. Finite element strength analysis of relating shell-plate structures // J. Techn. Phys. 1981. - 22. - N3. - p.243-257.

132. Gallagher R.H. Finite element representations for thin shell instability analysis // Buckling Struct. Berlin e.a. 1976. - p.40-51.

133. Ganer Hristo G. A new treatment to the finite element method and a method of large fragments. Теор. и прикл. мех. - 1975. - 6. - N4. - p.29-38.

134. Gellert M., Laursen M. E. A new high-precision stress finite element for analysis of shell structures // Int. J. Solids and Struct. 1977. - 13. - N7. - p.683-697.

135. Gran C.S., Yang T.J. Doubly curved membrane shell finite element // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1979. - 105. - N4. - p.567-584.

136. Hankye J., Gould Phillip L. Shells of revolution with local deviations // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - 20. - N2. - p.305-313.

137. Haugeneder E. A new penalty function element for thin shell analysis // Numerical Meth. in Eng. 1982. - 18. - N6. - p.845-861.

138. Herpai В., Paczelf I. Analysis of axisymmetrically deformed shells by the finite element displacement method // Acta techn. Acad. Sci. hung. 1977. - 85. -Nl-2. -p.93-122.

139. Hellen Т.К., Money H.A. The application of three-dimensional finite elements to a cylinder untersection // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1970. - 2. - N3. -p.415-418.

140. Hindenlang U. The TRUMP family of shell elements //ISD. Rept. -1978.-N239.-p.11-17.

141. Hoist J.M.F.G., Calladine C.R. Inversion problems in elastic thin shells //

142. Eng. J. Mech. A. 1994. - 13. -N4. - p.3-18.

143. Jones Rembert F. Jr. A curved finite element for general thin shell structures // Nucl. Eng. And Des. 1978. - 48. - N2-3. - p.415-425.

144. Kanok-Nukulchai Worsak A simple and efficient finite element for general shell analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1979. -14. - N2. - p. 179-200.

145. Kikuchi F., Ohya H., Yoshi O. Application of finite element method to axisymmetric buckling of shallow spherical shells under external pressure // J. Nucl. Sci. and Technol. 1973. - 10. -N6. - p.339-347.

146. Kikuchi F., Ando Y. A new variational functional for the finite element method Mid its application to plate and shell problems // Nucl. Eng. Design. -1972. -N25. -p.95-113.

147. Kikuchi F. On the validity of an approximation available in the finite element shell analysis // Comput. and Struct. 1975. - 5.-Nl.-p.l-8.

148. Kosmatka J.B. An accurate shear-deformable six-node triangular plate element for laminated composite structures // Jut. J. Numer. Meth. Eng. 1994. -37. N3. -p.431-455.

149. Lannoy F.G., Triangular finite elements and numerical integration // Comput. Struct. 1977. - 7. -p.613-625.

150. Lindberg G.M., Olson M.D. A high-precision triangular cylindrical shell finite element // AIAA. J. 1971. - 9. - p.530-542.

151. Lochner N. Die Anwendung des Schalenelements SHEBA // Finite Elem. Statik. e. a. 1973. -p.353-372.

152. Loganathan K., Chang S.C., Gollagher R.H., Abel J.F. Finite element representation and pressure stiffness in shell stability analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1979. - 14. -N9. — p.1413-1420.

153. Madenci E., Barut A. Thermal postbuckling analysis of cylindrically curved composite laminates with a hole // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. - 77. -N12. -p.2073-2091.

154. May B. Gekrummte Dreieckelement furkreiszylinder schalen // Finite elem. Static. Berlin e. a., 1973. - p.230-241.

155. Moan Т. Experiences with orthogonal polynomials and "best" numerical integration formulas on a triangle: with particular reference to finite element approximations // Zangew Math. Und Mech. 1974. -54. - N8.- p.501-508.

156. Mohr G.A. Numerically integrated triangular element for doubly curved thin shells // Comput. and. Struct. 1980. - 11. -N6. -p.565-571.

157. Mohr G.A. On triangular displacement elements for the bending of thin plates // Proc. Int. Conf. Finite Element Methods. Sydney, 1979.

158. Moore С J., Yang T.Y., Anderson D.C. A new 48 D.O.F. quadrilateral shell element with variable-order polynomial and rational B-spline geometries with rigid body modes // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - 20. - 11. - p.2121-2141.

159. Morley L.S.D. Bending of bilinear quadrilateral shell elements // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. -20. -N8. -p.1373-1378.

160. Morley L.S.D. Ixtensional bending of a shell triangular element in quadratic parametric representation // Int. J. Solids and Struct. 1982. - 18. - N11. -p.919-935.

161. Nelson R.L. An algorithm for programming the element matrices of doubly curved quadrilateral shell finite elements // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982. -18. -N3. -p.421-434.

162. Nelson R.L. Stresses in shell structures // J. Sound and Vibr. 1981. -79. -N3. — p.397-414.

163. Nho I.S., Shin J.G., Yim S.J. Finite element analysis for plastic large deformation and anisotropic damage // Proc. 3-rd Int. Offshore and Polar Eng. Conf., Singapure, June 6-11. 1993. - Vol. 4. - p.526-532.

164. Peano A. Efficient high order finite elements for shells // Mechanica. -1976. 11. - N11. - p.42-47.

165. Pierce D.N., Chou S.T. Stress around elliptic holes in circular cylindrical shells. "Exper. Mech." - 1973. - 13. - N11. - p.487-492.

166. Rao K. Singa, Rao G. Venkateswara, Raju J.S. A note on the cylindrical shell finite element // Jnt. J. Numer. Meth. Eng. 1975. - 9. - N1. - p.245-250.

167. Rhiu J.J., Lee S.W. A nine node finite element for analysis of geometrically non-linear sells // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - 26. - N9. - p. 19451962.

168. Sabir A.B. Strain-based finite element for the analysis of cylinders with holes and normally intersecting cylinders // Nuch. Eng. and Des. 1983. - 76. - N2. -p.111-120.

169. Samuel W.Key The analysis of thin shells with a doubly curved arbitrary quadrilateral finite element // Computers Struct. 1972. - Vol. 2. - N4. - p.637-673.

170. Sander G., Idelsohn S.A. Family of conforming finite elements for deep shell analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982. - 18. - N3. - p.263-380.

171. Stein E., Berg A., Wagner W. Different levels of nonlinear shell theory in finite element stability analysis // Buckling shells Proc. State of the Art Collog., Univ. Stuttgart. - 1982. - May 6-7. - Berlin e.a. - 1982. - p.91-136.

172. Stolarski H., Belytschko t., Carpenter N. A simple triangular curved shell element // Eng. Comput. 1985. - 1. - N3. - p.210-218.

173. Tabaslidis D., Wepner G. A simple finite element for elastic-plastic deformations of shells // Comput. Meth., Appl. Mech. and Eng. 1982. - 34. - N1-3. -p.1051-1064.

174. Tessler Alexander An efficient conforming axisymmetric shell element including transverse shear and rotary inertia // Comput. and Struct. 1982. - 15. -N5. -p.567-574.

175. Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C., Topp L. J. Stiffiiess and defection analysis of complex structures // J. Aero. Sci. 1958. - 23. - №1. - p.805-823.

176. Voros G. Application of the hybrid-trefetz finite element model to thin shell analysis // Period, polytechn. Mech. Eng. 1991. - 35. - N1-2. - p.23-40.

177. Yang T.Y., Asce A.M. High order reotaangular shallow shell finite element // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1973. - 99. - N1. - p. 157181.

178. Zienkiewicz O.C., Cheung Y.K. Finite elements in the solution of field problems // The Engineering. 1965. - Vol.220. - p.507-510.

179. Министерство энергетики Российской Федерации

180. Инженерно-технологическое предприятие ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЪ»1. САМАРСКИЙ ФИЛИАЛо внедрении результатов диссертационной работы Марченко С.С.

181. Объемный конечный элемент с векторной аппроксимациейiполей перемещений для исследования деформирования ободочеквращения».•м

182. Начальник Волгоградского участка СФ ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЪ», канд.физ.-мат. наук1. В.И. Эльманович