автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Совершенствование расчетов сочлененных оболочек при упруго-пластическом состоянии материала на основе метода конечных элементов

На правах рукописи

Проскурнова Ольга Алексеевна

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ РАСЧЕТОВ СОЧЛЕНЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ МАТЕРИАЛА НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 05 23 17 —Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1УОЗО 1

Волгоград 2008

003170301

Работа выполнена в ФГОУ ВПО «Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия»

Наушый руководитель

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Клочков Юрий Васильевич

доктор технических наук, профессор Овчинников Игорь Георгиевич, Саратовский государственный технический университет, доктор технических наук, профессор Беликов Георгий Иванович, Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Ведущая организация

Волгоградский государственный технический университет

Защита состоится «20»июня 2008 года в 1300 часов на заседании диссертационного совета Д 212 026 01 в ГОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 400074, г. Волгоград, ул Академическая, 1, ауд Б-203

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат разослан «17»мая 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Куксал В

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Актуальность проблемы В настоящее время происходит развитие и рост объемов в строительной отрасли Достижению этой цели способствует широкое внедрение в производство различных оболочечных конструкций, которые позволяют в полной мере использовать прочностные свойства применяемого материала, оставаясь в то же время легкими и устойчивыми Поэтому задача совершенствования расчетов сочлененных оболочек вращения является актуальной и представляет большой практический интерес, так как определение их напряженно-деформированного состояния является достаточно сложным и трудоемким процессом

Целью работы является разработка алгоритмов расчета осесимметрично и произвольно нагруженных сочлененных оболочек вращения при использовании в качестве элементов дискретизации высокоточных одномерных и четырехугольных конечных элементов с векторной интерполяцией полей перемещений, разработка программных модулей, учитывающих пластическую стадию работы применяемого материала на основе теории пластического течения с использованием хордового модуля диаграммы деформирования Научная новизна работы заключается в следующем

разработан алгоритм расчета осесимметрично нагруженных сочлененных оболочек вращения при использовании высокоточного одномерного конечного элемента, столбец узловых варьируемых параметров которого включает в себя компоненты вектора перемещения, их первые, вторые и третьи производные по дуге меридиана оболочки,

- реализован способ векторной интерполяции перемещений для сочлененных оболочек при использовании в качестве элемента дискретизации осесимметричного конечного элемента 16x16 и четырехугольного конечного элемента с размером матрицы жесткости 72x72,

- для расчета произвольно нагруженных оболочек вращения на основе четырехугольного конечного элемента с размером матрицы жесткости 72x72 получены корректные кинематические и статические условия сочленения в узле соединения оболочек,

разработаны алгоритмы формирования матриц жесткости осесимметричных и четырехугольных конечных элементов для расчета сочлененных оболочек при упруго-пластическом состоянии материала на основе теории пластического течения,

- при расчете сочлененных оболочек вращения за пределом упругости предложен новый алгоритм, основанный на использовании хордового модуля диаграммы деформирования в соотношениях теории пластического течения

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается математически корректной постановкой всех задач, а также подтверждается сравнением результатов решения примеров, полученных с помощью разработанных алгоритмов, с результатами, полученными по общепринятым методикам, основанным на использовании аналитических формул Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции и различном количестве шагов нагружения

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработаны алгоритмы упруго-пластического расчета конструкций, состоящих из сочлененных оболочек, с применением конечных элементов, матрицы жесткости которых предлагалось формировать на основе векторной интерполяции перемещений Алгоритмы, реализующие теоретические результаты диссертационной работы, включены в пакет прикладных программ для персональных компьютеров по расчету на прочность аппаратов нефтехимии с учетом упруго-пластического состояния используемого материала, внедренный в Волгоградском представительстве инженерно-технологического предприятия ОАО «Оргэнергонефть» Использование указанных алгоритмов позволяет выполнять уточненный расчет прочности

аппаратов нефтехимического производства, что обеспечивает их надежную работу

Апробация работы Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на международной научно-практической конференции, посвященной 40-летию эколого-мелиоративного факультета «Современные оросительные мелиорации - состояние и перспективы» (Волгоград, 2004), международной научно-практической конференции, посвященной 60-летию Победы «Актуальные проблемы развития АПК» (Волгоград, февраль 2005), научно-практической конференции «Современные проблемы развития АПК» (Волгоград, 2006), Всероссийской научно-практической конференции «Инженерные системы-2008» (Москва, апрель 2008) Полностью работа докладывалась на методологическом семинаре эколого-мелиоративного факультета Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии (Волгоград, март 2008)

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь работ, из них три - в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, изложена на 190 страницах текста, содержит 20 рисунков и 9 таблиц Список используемой литературы включает 195 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении на основе анализа работ по теме диссертации обосновывается актуальность темы, сформированы задачи исследования, его цель, а также практическая ценность работы

В первой главе приводится обзор существующих в настоящее время работ по исследуемой теме Недостатки и проблемы применения метода конечных элементов в расчете параметров напряженно-деформированного состояния оболочек выявлены при анализе научных работ различных авторов

В целом ряде работ (Хейслер В Е , Железное Л П, Кабанов В В ) для расчета тонких оболочек предлагается в качестве конечного элемента использовать фрагмент срединной поверхности, выделенный плоскостями, параллельными оси вращения, с ограниченным числом узловых варьируемых параметров, что снижает точность вычислений Отмечается небольшое количество работ, посвященных расчету сочлененных оболочек за пределом упругости, отсутствие публикаций по учету жестких смещений такого рода оболочечных конструкций и исследованию их напряженно-деформированного состояния при значительных изменениях кривизны меридианов сочлененных оболочек

Во второй главе с использованием основных соотношений теории тонких оболочек, в частности, гипотезы прямых нормалей, а также уравнений механики сплошной среды, были получены соотношения для компонент тензора деформаций точки срединной поверхности оболочки вращения

В третьей главе изложен алгоритм расчета сочлененных осесимметрично нагруженных оболочек при использовании двух способов аппроксимации перемещений традиционного, основанного на интерполяции отдельных компонент вектора перемещений как скалярных величин и векторного, основанного на аппроксимации непосредственно самого вектора перемещений Здесь описывается формирование матрицы жесткости линейного конечного элемента с различными вариантами набора узловых варьируемых параметров, приводятся примеры решения задач

Столбец узловых варьируемых параметров конечного элемента выбирался в двух вариантах, которые различались между собой количеством степеней свободы в узле

Ш = {киЧ и,; и,"пп < (1)

1x12 I 1x6 1x6 J

К Г = 1 {«'их; и,; и,;^ и,;„ и,^ и,;пп}

1x16 I 1x8 ^

К <т }

1x8 J

где и, и,п, - меридиональная и нормальная

компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности оболочки, их первая, вторая и третья производные

Компоненты вектора перемещения внутренней точки конечного элемента при использовании общепринятой интерполяционной процедуры интерполируются через свои узловые значения повариантно следующими соотношениями (Постнов В А , Зенкевич О М , Оден Дж, Голованов А И и другие)

где под я понимается компонента вектора перемещения и или цифра 1 или 2 указывает на номер варианта столбца узловых неизвестных, матрицы-строки

соответственно

При векторной аппроксимации (Николаев А П, Клочков Ю В ) вместо процедуры независимой интерполяции отдельных компонент вектора перемещения используется интерполяция этого вектора в целом, причем узловыми варьируемыми параметрами являются векторы перемещения и их производные, определенные в принятом базисе для каждого узла При этом способе аппроксимации отдельные компоненты вектора перемещения внутренней точки конечного элемента выражаются через все компоненты узлового вектора неизвестных в отличие от скалярной аппроксимации, при которой каждая компонента вектора перемещения интерполируется через узловые значения этой же компоненты и не зависит от других (3)

Столбцы двух вариантов векторных узловых неизвестных в локальной г| и глобальной Б системах координат можно записать соответственно следующим образом

(3)

и {ф2}т содержат полиномы Эрмита пятой и седьмой степеней

{V» }т = (V-у^,; V,; V,;, } {У; }т = {У1 У^У,; У,; У,' У,>П } Г = (У'У'У ' V 1 V ' V J V ' V ' 1 (4)

ГУг) I у у »1 у '1 4 >Ф1 у '14 * '141 'чпч > к '

(уг 1т = (у'у^у1 у>V1 V' V1 V; 1

I У2 ; I 'Я! * >й * ^

где V - вектор перемещения точки срединной поверхности оболочки вращения; У,пУ,лпУ,ЛЧП,У,5 У,вУ,^ - первая, вторая и третья производные

вектора перемещения по локальной и глобальной координате

При векторной аппроксимации используем интерполяционное выражение для вектора перемещения произвольной точки конечного элемента в виде

* = (5)

где элементами {<рл }т являются полиномы Эрмита пятой или седьмой степеней В результате матричных преобразований из выражения (5) можно получить интерполяционные зависимости вида

и^гН;} и,.=&}тК;1

гдек;МкгУкгЗ

При векторном способе интерполяции каждая компонента вектора перемещения и его производные, как это следует из (6), зависят от полного набора узловых варьируемых параметров {и„*}, в состав которого входят узловые значения всех компонент вектора перемещения и их производные

Для получения условий сочленения нескольких оболочек введем в точке сочленения оболочек М векторы локального базиса а°',а°' и а0 (1=1, 2, ,ш) Наряду с этим, в узле сочленения можно ввести системы базисных единичных векторов и п^, так, чтобы эти системы были правоориентированы, а

вектор п(,) был направлен по внешней нормали к поверхности каждой из т сочленяемых оболочек (рис 1)

Рис I

Между векторами базисов а?',а°1, а0 и й(,',т(|', п'1' можно сформировать матричные зависимости

И-МИ И=МН (7)

Для вывода условий сочленения нескольких оболочек необходимо столбец узловых неизвестных одной из них принять за основной

{цосн}

Узловые параметры остальных сочленяемых оболочек должны быть выражены через столбец основной оболочки исходя из кинематических и статических условий

Первое условие - инвариантность вектора перемещения узла сочленения

у(0 _ у(2) _ _ у-0) _ _ уИ /пч

о о щ © ч^/

Из (8) можно выразить компоненты векторов перемещений сочленяемых оболочек через компоненты столбца узловых неизвестных основной оболочки, например и1 = ^({и^"})

В качестве следующего условия можно использовать предположение о равенстве углов поворота нормалей в процессе деформирования в узле сочленения

д\(,)/дБ (,) п(,) =-ЗУ("/з8 (1> п<" (9)

/со /О)

Из (9) можно получить выражения для первой производной нормального перемещения через столбец узловых варьируемых параметров основной оболочки ^'М^Е^и;"})

В ненагруженном узле соединения гп оболочек должно выполняться условие статики о равенстве нулю суммы моментов

М(1)+М<2) + +М(,)+ +М(т)=б (10)

Из равенства (10) можно выразить вторую производную нормального

перемещения оЧУ/оБ,/ = Р3({и;с"})

При использовании второго варианта набора узловых варьируемых

параметров {и^} конечного элемента дополнительно было привлечено

статическое уравнение равновесия суммы поперечных сил

<3(1) + с?<2) + +С>(,)+ + с>(т)=б (11)

Используя (11), можно получить выражения для первой производной меридионального перемещения Эи'/ЭБШ = Р4({и<ук"}) и третьей производной

нормального перемещения д^'/дБ^ = Р5({и°с"})

Компоненты всех сопрягаемых оболочек остаются

свободно варьируемыми

Пример 1. В качестве примера была рассчитана конструкция, состоящая из цилиндра и двух примыкающих конусов Исходные данные имели следующие значения внутреннее давление в цилиндре q=5MПa, в конусах 0^, модуль упругости Е =2 105 МПа, коэффициент Пуассона Ц.=0,3, толщина оболочки 1 = 0,01м, длина цилиндра 1^=1,0м, радиус цилиндра Я2=0,9ч, длина образующей внутреннего конуса Ь; =1,1м, длина образующей наружного конуса Ьз =0,6м, углы между образующими наружного и внутреннего конуса и осью симметрии соответственно (5=30°, а =45°

Результаты расчета представлены в таблице №1, в которой при различных числах элементов дискретизации пэ каждой из трех сопрягаемых оболочек приведены значения меридиональных напряжений на срединной

поверхности цилиндра, а также моментов на цилиндре, верхнем и нижнем конусах в узле сочленения оболочек

Сравнение результатов повариантного расчета показывает, что во II варианте расчета (с третьими производными компонент вектора перемещения)

значение оцм приближается к точному решению уже при количестве конечных элементов, равном 4, тогда как в I варианте расчета - только при 12 элементах

На рисунке 2 представлены эпюры меридиональных напряжений при пэ равном 6 (численные значения напряжений приведены в МПа) во внутренних и внешних волокнах оболочек соответственно

Таблица №1

Л! варианта

Значение 1 II

параметра Кочнчество этементов дискретизации пэ

2 3 4 6 12 2 3 4 6

СТцм, МПа 6,797 4,350 3,124 2,450 2,297 3,582 2,363 2,277 2 288

МЧ, кН -1,635 -2,355 -2,585 -2 677 -2,681 -2,721 -2,711 -2,689 -2,679

М"нут\к Н -0,608 -1,066 -1,223 -1,286 -1,288 -1,323 -1,313 -1,296 -1,288

Мвиеш\ кН -1,026 -1,287 -1,360 -1,389 -1,391 -1,398 -1,398 -1,393 -1,391

Анализируя характер распределения напряжений, можно отметить наличие значительной концентрации напряжений в зоне ветвления меридиана

На основании выполненных исследований можно сделать вывод о том, что при анализе напряженно-деформированного состояния в зоне сочленения оболочек наиболее предпочтительным следует признать использование конечного элемента с набором узловых варьируемых параметров, включающим компоненты вектора перемещения, а также их первые, вторые и третьи производные, т е {U2yj

В четвёртой главе в качестве элемента дискретизации применялся четырехугольный криволинейный конечный элемент 72x72 с узлами i, j, к и 1, столбец узловых неизвестных которого в локальной системе координат имел следующий вид

W={kFfcFkF}. (12)

1x72 I 1x24 1x24 1x24 J

где {ялу }Т = {q' qJ qk q1 q,\ q,' q,\ q,'n q.J, q,* q,'„ q^ q,'« q,^ q^ (13)

i j k 1 ] j k 1 1 4>nn Я.ЛЛ q.nn 4>5n я>5П q4r,i

Здесь под q понимается компонента вектора перемещения u, v или w,

локальные координаты с и г| изменялись в пределах от -1 до 1

Столбец векторных узловых неизвестных для элемента 72x72 с векторной

аппроксимацией перемещений в локальной и глобальной системах координат

выбирается в следующем виде

1x24

v1 vJ v" v1 v1 vJ vk vl v' v> vk v1 У

v'55 y'(( v'54 У'лл %ч v'nl v'n v'il v'Sl v>i'i v'6nJ' к г = fr' v1 Vkv'V,; V,i v4 v,; v,i y,l V,'

1x24

v1 v' vk v1 v1 vj v k v 1 v1 v j v k v 1 / V'SS V'S4 V'SS v'i>S V'O0 '0« '00 '99 V'S0 *'S0 V»SI) v'S0J

где v' v',v'; v\v'n v'T1,v's v's,v'e v'0 - векторы перемещения узловых точек конечного элемента и их производные в локальной и глобальной системах координат

Для реализации условий сочленения в четырехугольном конечном элементе предлагалось столбец узловых неизвестных одной из сопрягаемых оболочек принимать в качестве основного, а узловые неизвестные остальных оболочек в узле сочленения выражать через соответствующие компоненты основного столбца узловых неизвестных

В узлах сочленения меридиана были введены следующие столбцы узловых неизвестных

КГ = {иVIIVи,; < < и,; и,'в и,Ъ и,$ < и.1

1*72

<е У,'в\у' УУ,[в}

{и; }т = {и1 и^и1 < < и,^ и,;, и,:, < < и,^

(15)

1x72

' ,. ' >. I ,,' „,1 ,,, I I

У

(16)

(17)

(18)

{и;г}т = {и"ичи'ки"и',; и',; < и',; и- и',9к <

1x72

и'4 и',;5 и',;в и'4еи',;е и',10у" {и;}т = {и"и"и%"и',;и < и',^ < и',;, и',;, и',,1, и',:,

1x72

где {и'у}, {и^}- столбцы узловых варьируемых параметров основной оболочки в системах {а'1'} и {ш(1)} соответственно,

{и'у}, то же самое для примыкающих оболочек в системах и {й'(,)},

и,у,\у,и5,у5 w,s - компоненты вектора перемещения и их производные в

соответствующих системах базисных векторов

В качестве основного столбца узловых неизвестных выберем столбец (16) При формировании матрицы жесткости и вектора сил четырехугольного конечного элемента основной оболочки в узлах, расположенных на границе их сочленения, необходимо осуществить переход от столбца узловых неизвестных (15) к столбцу (16) Для примыкающих оболочек в узлах сочленения после формирования матрицы жесткости и столбца узловых нагрузок необходимо

выполнить преобразования, обусловленные переходом от столбца узловых варьируемых параметров (17) к столбцу (18), а затем к столбцу (16)

В качестве первого условия сопряжения при использовании четырехугольного конечного элемента с размером матрицы жесткости 72x72 предлагается использовать условие инвариантности вектора перемещения в точке сочленения

у(1)_у>(2)_ у'(,)= И 91

шюда'м

Из этого условия получаем выражения для компонент вектора перемещения любой из примыкающих оболочек

Второе условие вытекает из того, что кривой пересечения является окружность, поэтому для выбранной системы векторов можно записать условие

дЧ{1Уд5®=-8ч®1д8®, (20)

из которого выражаются первые производные компонент вектора перемещения по окружной координате

В результате дифференцирования (20) по дуге окружности Б, можно получить выражение, из которого находятся вторые производные компонент вектора перемещения по окружной координате д2и^/дБ^2 =£,({и^}),

з'ум/ав«1 = п({и«}), =

Следующее условие - равенство углов поворота нормалей в процессе деформирования

ЗУ^/ЗЭ^ п^-ЗУ«/^ п(,) (21)

Из этого условия находим первую производную нормального перемещения по меридиональной координате 801

З^/ЭБ^^и;}) (22)

Дифференцируя выражение (21) по окружной координате, найдем смешанную производную нормальной компоненты вектора перемещения для любой из примыкающих оболочек

В узлах на линии пересечения ш оболочек должны выполняться условия статики о равенстве нулю суммы моментов и сил

М(1)+М(2)+ +М(,)+ + М(га)=б, (24)

+ ТчГ(2) + +Й(,)+ + Й(га) = б (25)

Из уравнений (24) и (25) можно выразить первую производную кольцевого перемещения и вторую производную нормального перемещения по меридиональной координате для одной из сопрягаемых оболочек Оставшиеся четыре компоненты

Си „

д2и'^ / дБ'^, /дБ'2^ остаются свободно варьируемыми На основе разработанные условий сочленения формируется матрица преобразований, на которую умножаются матрицы жесткости и столбцы внешней нагрузки конечных элементов сочлененных оболочек, непосредственно примыкающих к узлу сочленения

Пример №2. В качестве примера была решена задача об определении напряженно-деформированного состояния оболочки, состоящей из цилиндра и двух примыкающих к нему оболочек, радиус вращения которых задавался формулами (рис 3) г,=А + Т соз(х,/с) (для нижней примыкающей оболочки), г2 = + Б 51п(х,/с) (для верхней примыкающей оболочки) Цилиндрическая оболочка была загружена внутренним давлением интенсивности q, примыкающие оболочки - 0,5с] Были приняты следующие исходные данные я=5МПа, Е =2 105МПа, ц=0,3, I = 0,02м, Ц=1,0м, Я2=0,9м; Т=0,6м, А=0,3м, Э=0,3м, С=0,06м Вследствие наличия осевой симметрии конструкция аппроксимировалась одной полоской четырехугольных конечных элементов Расчеты были выполнены в двух вариантах в первом варианте была реализована общепринятая интерполяционная процедура, во втором варианте -векторная аппроксимация полей перемещений Результаты расчетов представлены в таблице №2, в которой приведены значения меридиональных

сгм и кольцевых <тк напряжений во внутренних волокнах оболочки в точке шарнирного опирания конструкции (точка I рис 3), в узле сопряжения (точка II) и в концевых сечениях примыкающих оболочек (точки III и IV), а также значение изгибающего меридионального момента в узле сочленения оболочек в зависимости от количества элементов дискретизации пэ, на которые разбивалась каждая из трех сочленяемых оболочек Анализ табличного материала показывает, что во втором варианте расчета наблюдается устойчивая сходимость вычислительного процесса Уже при пэ = 8 значение меридионального напряжения в точке шарнирного опирания практически совпадает с точным значением, равным 6,25 МПа, вычисленным из условия равновесия Для достижения аналогичного уровня точности в первом варианте потребовалось в 16 раз большее количество элементов' дискретизации В последней строчке таблицы №2 приведены значения меридионального напряжения на срединной поверхности в концевом сечении верхней примыкающей оболочки, которое по физическим соображениям должно быть равно нулю Из таблицы видно, что во втором варианте монотонно стремится к нулю В первом варианте для достижения значения меридионального напряжения, близкого к нулевому значению, потребовалось в 2 раза большее количество элементов дискретизации

Если интервал изменения координаты х, уменьшить в 2 раза 0<Xi < 0,0157см (изменив при этом значение параметра С до 0,03 м), то кривизны меридианов примыкающих оболочек пропорционально возрастут Результаты расчетов при измененных геометрических параметрах примыкающих оболочек представлены в таблице №3 Анализ табличного материала показывает, что результаты повариантного расчета существенно различаются между собой Так, во втором варианте наблюдается устойчивая сходимость вычислительного процесса Уже при пэ = 32 контролируемые параметры НДС имеют удовлетворительные значения Меридиональное напряжение во внутренних волокнах оболочки также монотонно приближается

к нулю В первом варианте сходимость вычислительного процесса неудовлетворительная Точного значения меридионального напряжения в цилиндрической оболочке достичь не удалось, несмотря на значительное количество элементов дискретизации Причем следует отметить, что дальнейшее измельчение сетки дискретизации нецелесообразно, т к в этом случае размер конечного элемента оказывается слишком малым, что влечет за собой резкое возрастание погрешности расчета

IV

Таблица №2

Парам ет РЫ НДС, МПа Вариант расчета

I II

ПЭ

4 8 16 32 64 128 4 8 16 32 64

< 50,26 57,01 -9,96 3,49 5,52 612 6 35 6 26 6 25 6 25 6,25

153,0 327,2 270 7 173,2 173,9 174 2 126,8 164,9 172 3 173 9 174,3

М",кН -32,2 -95 7 -125,2 -121 6 -122,1 -122,2 -108,9 -119,7 -121 8 -122,2 -122,3

600 4 612,7 635,7 643 7 644,5 644,6 638 2 643 0 644,4 644,7 644,7

62,й 1706,0 1678,9 683,5 613 1 609,1 694 8 630,7 618,8 613,7 614,4

м сред 256,0 806,3 594,4 31 9 0,22 0,02 98,4 22,0 -2,69 091 -0,01

Из анализа результатов первого варианта видно, что до пэ = 150 относительная сходимость вычислительного процесса наблюдается, при дальнейшем же увеличении пэ контролируемые параметры НДС имеют уже явно неудовлетворительные значения

Таблица №3

Парамет ры НДС, МПа Вариант расчета

1 II

ПЭ

16 32 64 128 150 200 250 16 32 64 96

< 54,1 18,7 -10,8 1,57 2,61 7,32 7,31 6,25 6,25 6,26 6,32

< 246,0 269,1 420,9 445,0 450,0 355,3 344,7 435,6 445,5 446,9 446 0

м" кН -52,4 -84 4 -185,2 -193,6 -195,2 -132 5 -132,6 -192,9 -194,8 -195,1 -194,8

739,1 682 6 538 8 537,2 538,7 610,7 604,9 539,3 538,3 538 1 537,8

1952,1 5671,6 1778 0 522,6 502,8 645,1 6180 498,3 466,5 466,5 464,2

' См 6561,4 18604 4418 7 214,4 104,9 21,3 7,44 109,5 -1,67 -2,0 0,76

Таким образом, можно сделать вывод, что при расчете сочлененных оболочек вращения, кривизны меридианов которых имеют значительную величину, необходимо использовать разработанные условия сочленения в сочетании с векторной интерполяцией перемещений

Пример №3. Если шарнирное опирание на правом краю цилиндра заменить на пружинные опоры, а внутреннее давление заменить на распределенную нагрузку, приложенную вдоль окружности пересечения сочленяемых оболочек

Б = 44,44 КН/, то конструкция получает возможность смещаться в

горизонтальном направлении как абсолютно твердое тело (рис 4)

Результаты повариантного расчета представлены в таблице №4, в которой приведены значения меридиональных ом и кольцевых ак напряжений во внутренних волокнах в зависимости от жесткости пружинных опор, которая

варьировалась Число пэ в первом варианте было принято равным 150, во втором - 128 Выбранная расчетная схема позволяет получить точное значение меридионального напряжения в цилиндре и величину жесткого смещения, которые приведены в крайней правой колонке Анализ табличного материала показывает, что при отсутствии жесткого смещения параметры НДС в обоих вариантах практически совпадают, но во втором варианте значения расчетных величин полностью совпадают с точным решением (полученным из условия равновесия), несмотря на меньшее, по сравнению с первым вариантом, число элементов дискретизации При уменьшении жесткости пружины погрешность вычислений в первом варианте расчета стремительно нарастает до совершенно неприемлемых величин, так как примыкающие оболочки не загружены и напряжения в них должны быть равны нулю, что и наблюдается во втором варианте расчета

Дальнейшее увеличение числа элементов дискретизации пэ в первом варианте не приводит к желаемому эффекту, так как размеры конечных элементов оказываются чрезмерно малыми, что влечет за собой срыв вычислительного процесса Этот вывод можно сделать, анализируя таблицу №5, в которой представлены значения контролируемых параметров НДС в первом варианте расчета при фиксированной жесткости пружины, равной

444,4КЦ/ 2 и различном числе элементов дискретизации

IV

Рис 4

Таким образом, можно сделать общий вывод о предпочтительности второго варианта расчета, реализующего разработанные условия сопряжения ш сочленяемых оболочек вращения в сочетании с векторной интерполяцией полей перемещений

Таблица №4

Парам ег ры НДС МПа Вариант расчета Точное решение

I II

Жесткость пружины, кН/ / М

00 444,4 44,44 4 444 00 444,4 44 44 4,444

Величин^ жесткого смещении 0,00 0,04 0,07 0,075 0,00 0 10 1,00 100

< 2,22 0,957 0156 0,0167 2,22 2,22 2,22 2,22 2,22

2,22 0,957 0,156 0 0173 2,22 2,22 2 22 2,22 2,22

0,00 0,00 0 00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,02 -83,9 -136,9 -146,2 0,00 000 0,00 0,00 0,00

ам -0,01 -123 5 -201,7 -215,3 0 00 0,00 0 00 0,00 0,00

пэ =150 пэ = 128

Таблица №5

Параметры НДС, МПа пэ Точное решение

150 180 200 215

< 0,957 1,393 0,0665 0,00 2,22

0,957 1,393 0,0665 0,00 2,22

-0,00 -0,00 -0,00 0,331 0,00

"I" -83,9 -85,6 15,0 0,099 0,00

"1Г -123,5 -74,9 1,77 0,00 0,00

Величина жесткого смещения, м 0,04 0,06 0,003 0 00 0,10

В пятой главе для реализации конечно-элементной процедуры при расчеге сочлененных оболочек за пределом упругости использовались основные соотношения теории пластического течения Здесь наиболее

естественным выглядит использование шаговой процедуры нагружения, т к при пластическом деформировании зависимости между напряжениями и деформациями становятся нелинейными В этом случае в качестве узловых варьируемых параметров четырехугольного конечного элемента в локальной и глобальной системах координат выбираются приращения компонент вектора перемещения, их первые и вторые производные по соответствующим координатам

{ду;}={ду,ду^укду1ду4 ДУ,1ДУ,; ДУ,^

Ь24 " (26)

ду^ ду4ДУ,; лу^ДУ,^

Приращения вектора перемещения произвольной точки конечного элемента можно представить при помощи матричного выражения

ду = {н/}т{ду;}, (27)

где {*|/}т - строка функций формы, содержащая произведения полиномов Эрмита пятой степени

Каждое приращение компоненты вектора перемещения и его производные в локальной системе координат можно выразить через обобщенный столбец узловых приращений компонент вектора перемещения {ди} = [А]{Д11у ], (28)

где {ди}т = {Ли Ду Дш}, {диу }т = {{Диу }{Ду, }{Дшу}};

К }Т = {Ач,АЧ'ДЧкДЧ'ДЧ4 дч,к дЧ); дч,к ДЧ,1,

А(ЬЦ Дя4 Дч4 Д< АЧ,1Щ Д<„ Ац,1^ Д^, Д< \

под Дq понимаются приращения Ди, Ду, Aw и их производные в локальной

системе координат

Для формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента на (¡+1) - м шаге нагружения используется равенство работ внешних и внутренних сил на шаговом перемещении

/ {Дв? }т {{а} + {Да}]аУ = |{ди Г {{р} + {ЛР}]<Ш, (29)

\ г

где |Де?}т, (Да}т, {ли}т, {АР}1 - соответственно столбцы приращений деформаций, напряжений, компонент вектора перемещения и внешней нагрузки произвольного слоя оболочки на шаге нагружения

Проведя преобразования, выражение (29) можно представить следующим образом

[к]{ди; }={*}-{£}> (зо)

где [к]=[кр|г|[в]т[г1г[Сп][г][в]аУ[ар] - матрица жесткости конечного

v

элемента на шаге нагружения,

{л}= [Кр]' Да^А^сШ - столбец приращений узловых усилий,

г

{Г}=[кр]! ][В)'[ГШ<1У-К} Да]г{Р)с1Р - поправка Ньютона-Рафсона,

v г

[Яр ] матрица преобразований, позволяющая осуществить переход от столбца

узловых неизвестных в локальной системе координат к столбцу узловых неизвестных в глобальной системе координат

В настоящей работе предложен эффективный способ уточненного вычисления приращений напряжений на шаге нагружения, суть которого заключается в следующем Так как приращение нагрузки на ,)-м шаге нагружения является конечной величиной, то можно предположить, что компоненты девиатора приращений пластической деформации прямо пропорциональны средним значениям компонент девиатора напряжений на шаге нагружения

Де«, =(ДСТ11 -цДста)/Е + |—(1/Еж -1/Е,) 2 а, + 0,5Дст,

(ст„ +О,5Д0„ -ст0 -0,5Дсг0),

Д4 = (Да22-МДст||)/Е + | АР: 0/Е.-1/Е,)

2сг1+0,5Да, (31)

(а22 + 0,5Ла22-а0 -О,5Аа0),

Ае?2 =(1 + ц)Аа12/Е + |-(1/Е, -1/Е,Хои +0,5а12),

2 ст, + 0,5Дст,

где Ех=Ао1/Ле, - хордовый модуль диаграммы деформирования применяемого материала, Аа,, Аб, , - приращения интенсивностей напряжений и деформаций на ^м шаге нагружения, Е, - начальный модуль диаграммы деформирования, ст0 - среднее нормальное напряжение

Пример №4 В качестве примера была рассчитана конструкция, состоящая из цилиндра и двух сочлененных с ним конусов Исходные данные имели следующие значения я =1,1 МПа, Е=7,5 Ю^МПа, ц = 0,32, Я2=0,8м, 1 = 0,01м, Ь2=0,6м, Ьнь = 0,6 м, Ьвк = 0,6 м, а = 45°, Р = 30°, предел текучести стт =200МПа; пш - число шагов нагружения На левом конце цилиндрическая оболочка была шарнирно оперта, правые концы конусов оставались свободными В первом варианте для формирования матрицы пластичности на шаге нагружения использовались общепринятые соотношения теории пластического течения Во втором варианте был реализован алгоритм, основанный на использовании хордового модуля диаграммы деформирования (31) Результаты повариантного расчета, представленные в таблицах №6 и 7 соответственно, различаются между собой

Таблица №6

№ точки оГТЛПа— ------- 10 20 30 40 50

I с„ МПа Внутр волокна -5,24 -5 25 -5,25 -5,25 -5,25

ок, МПа Внутр волокна 87,86 87,86 87,86 87,86 87,86

<т„„ МПа Внутр волокна 312,22 304,04 301,96 300,87 300,20

II Нар) лен волокна -335,54 -326,14 139,00 -322,89 -322,29

сК, МПа Внутр вотокна 17,24 15,32 14,92 14,74 14 62

Наружи волокна -218,05 -214,41 -213,70 -213 33 -213,13

III см, МПа Внутр вотокна 1,20 1,28 1,30 1,31 1,32

ок, МПа Внутр волокна 59,69 59,73 59,73 59,73 59,74

IV ом, МПа Наружн волокна -0,08 -0,08 -0,09 -0,09 -0 09

<зк, МПа Наружн во юкна 139,01 139,00 -323 95 139,00 139,00

Таблица №7

№ точки оГТДП<г~- ----Пщ. 10 20 30 40 50

I с„, МПа Внутр волокна -5,22 -5,25 -5,25 -5,25 -5,25

ск, МПа Внутр волокна 87,86 87,86 87,86 87,86 87,86

ои, МПа Внутр волокна 323,94 320,04 318,66 318,10 317,80

II Наружи волокна -345,10 -340 44 -338,42 -337 32 -336,85

ок, МПа Внугр волокна 28,12 26,85 26,49 26,32 26,24

Наружи волокна -224,21 -223,21 -222,58 -222,19 -222,04

III см, МПа Внугр волокна 0,01 -0,04 -0,04 -0,05 -0,05

ок, МПа Внутр вотокна 59,25 59,23 59,22 59^22 59,22

IV ям, МПа Наружи волокна -0,02 -0 03 -0,04 -0,04 -0,04

ок, МПа Наружи волокна 139,04 139,03 139,03 139,03 139,03

В первом варианте численные значения напряжений оказались заниженными по сравнению со вторым вариантом Кроме того, следует отметить, что на свободных краях конических оболочек меридиональные напряжения должны быть равны нулю, т к они не загружены, что и наблюдается во 2-м варианте На основании вышеизложенного можно сделать вывод, что при расчете сочлененных оболочек за пределом упругости на основе теории пластического течения наиболее эффективным является предложенный алгоритм с использованием хордового модуля диаграммы деформирования

На рис 5 представлены графические зависимости схм = изменения меридиональных напряжений в зависимости от нагрузки в узлах сочленения оболочек Сравнивая линию, показывающую упругое решение задачи (линия 1) с кривой, характеризующей решение с учетом пластического состояния материала (кривая 2), можно увидеть, что напряжения, вычисленные с учетом упругой задачи, отличаются от фактических на величину порядка 60%

В заключении приведены результаты диссертационной работы и представлены выводы

Результаты работы состоят в следующем

1 Разработан алгоритм расчета осесимметрично нагруженных сочлененных оболочек при использовании в качестве элемента дискретизации высокоточного конечного элемента с размером матрицы жесткости 16x16, столбец узловых варьируемых параметров которого включает в себя компоненты вектора перемещения, их первые, вторые и третьи производные по меридиональной координате

2 Для исследования напряженно-деформированного состояния произвольно нагруженных сочлененных оболочек вращения с помощью четырехугольного конечного элемента с размером матрицы жесткости 72x72 получены соотношения, позволяющие выразить столбцы узловых неизвестных примыкающих оболочек в узле сочленения через столбец узловых варьируемых параметров основной оболочки на основе кинематических и статических условий сочленения

3 В разработанных алгоритмах расчета сочлененных оболочек вращения реализован векторный способ аппроксимации перемещений, позволяющий учитывать возможные жесткие смещения сочлененных оболочек под действием заданной нагрузки, а также получать удовлетворительную сходимость

вычислительного процесса при расчете сочлененных оболочек со значительными градиентами кривизны меридиана

4 На основе теории пластического течения разработан алгоритм расчета сочлененных оболочек при упруго-пластическом состоянии материала

5. При расчете сочлененных оболочек за пределом упругости предложен новый алгоритм, основанный на использовании хордового модуля диаграммы деформирования, использование которого позволило получить уточненное решение задачи по определению напряженно-деформированного состояния сочлененных оболочек за пределом упругости

6 Для эффективного определения параметров напряженно-деформированного состояния сочлененных оболочек вращения разработаны пакеты прикладных программ для персональных компьютеров с целью их последующего внедрения в инженерную практику

Результаты диссертационной работы отражены в семи публикациях

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей Аттестационной Комиссией России

1 Клочков, Ю В Анализ напряженно-деформированного состояния оболочек вращения в зоне ветвления меридиана на основе метода конечных элементов [Текст] / Ю В Клочков, А П Николаев, О А Проскурнова // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений РУДН - М , 2007 -№2 С 30-35

2 Клочков, Ю В Использование криволинейного четырехугольного конечного элемента к расчету сочлененных оболочек вращения [Текст] / Ю В Клочков, А П Николаев, О А Проскурнова // Известия вузов Сер Строительство - 2007 -№11 С 16-24

3. Клочков, Ю В Расчет сочлененных оболочек вращения при упруго-пластическом состоянии материала на основе метода конечных элементов [Текст] / Ю В Клочков, О А Проскурнова // Вестник ВолгГАСУ Серия

Строительство и архитектура - 2008 - Вып 9 (28) - С. 42-46

Публикации в других изданиях

4 Клочков, Ю В Расчет тонкостенных конструкций мелиоративного назначения на основе метода конечных элементов [Текст]/ Ю. В. Клочков, О. А. Проскурнова // Современные оросительные мелиорации - состояние и перспективы Материалы международной научно-практической конференции, посвященной 40-летию эколого-мелиоративного факультета Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии / ВГСХА - Волгоград, 2004. -С 146-148.

5 Проскурнова, О. А Расчет ветвящихся водоводов на основе метода конечных элементов [Текст]/ О А. Проскурнова // Актуальные проблемы развития АПК Материалы научно-практической конференции посвященной 60-летию Победы в Великой Отечественной войне / ВГСХА - Волгоград, 2005 -С 204-205

6 Проскурнова, О А Исследование напряженно-деформированного состояния оболочек с ветвящимся меридианом с применением в качестве элементов дискретизации конечных элементов высокого порядка [Текст]/ О. А Проскурнова // Современные проблемы развития АПК: Материалы научно-практической конференции / ВГСХА - Волгоград, 2006 -С 160-162

7 Клочков, Ю. В. Использование метода конечных элементов в расчете сочлененных оболочек вращения при упруго-пластическом состоянии материала [Текст]/ Ю. В. Клочков, О. А Проскурнова // «Инженерные системы-2008» Всероссийская научно-практическая конференция Тезисы докладов. М, РУДН, 2008. - С 57.

Личный вклад соискателя по опубликованным в соавторстве научным работам

В работах 1, 2, 3, 4 и 7 обсуждение вопросов построения дискретных моделей сочлененных оболочек проводилось совместно с Ю. В. Клочковым. Личный вклад Проскурновой О А. заключается в разработке алгоритмов

расчета, создании пакетов программ и выполнении анализа напряженно-деформированного состояния сочлененных оболочек

Проскурнова Ольга Алексеевна

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ РАСЧЕТОВ СОЧЛЕНЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ МАТЕРИАЛА НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Автореферат

Подписано к печати 13 05 08 Формат 60x84 1/16 Уел печ л 1,0 Тираж 100 Заказ 299 ИПК ФГОУ ВПО ВГСХА «Нива» 400002, г Волгоград, пр-т Университетский, 26

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ СОЧЛЕНЕННЫХ

ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ

ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

2. 1. Геометрия оболочки вращения в исходном состоянии.

2. 2. Геометрия оболочки вращения в деформированном состоянии.

2. 3. Физические соотношения оболочки вращения в линейной постановке.

2. 4. Основные соотношения осесимметрично нагруженных оболочек вращения.

3. РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ СОЧЛЕНЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

3.1. Основные процедуры метода конечных элементов.

3. 2. Вывод матрицы жесткости конечного элемента при аппроксимации компонент вектора перемещения как скалярных величин.

3.3. Вывод матрицы жесткости конечного элемента при использовании векторной интерполяции перемещений.

3.4. Условия сочленения п оболочек.

3. 5. Пример расчета.

4. РАСЧЕТ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННЫХ СОЧЛЕНЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА С РАЗМЕРОМ МАТРИЦЫ

ЖЕСТКОСТИ 72x72.

4. 1. Матрица жесткости четырехугольного криволинейного конечного элемента размером 72x72 при использовании независимой интерполяционной процедуры.

4. 2. Матрица жесткости четырехугольного элемента 72x72 с использованием векторной интерполяции перемещений.

4. 3. Определение напряженно-деформированного состояния произвольно нагруженных оболочек вращения в зоне их сочленения.

4. 4. Условия сочленения нескольких оболочек вращения при использовании конечного элемента с матрицей жесткости 72x72.

4. 5. Примеры расчета.

5. РАСЧЕТ СОЧЛЕНЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОМ НА СОСТОЯНИИ МАТЕРИАЛА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ.

5. 1. Формирование матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента на шаге нагружения.

5.2 Основные соотношения теории пластического течения.

5.3. Пример расчета.

В настоящее время происходит развитие и рост различных отраслей машиностроения. Достижению этой цели способствует широкое внедрение в производство различных оболочечных конструкций, которые позволяют в полной мере использовать прочностные свойства применяемого материала, оставаясь в то же время легкими и устойчивыми. Поэтому задача совершенствования расчетов оболочек вращения является актуальной и представляет большой практический интерес, так как определение напряженно-деформированного состояния является достаточно сложным и трудоемким процессом.

В настоящее время создана подробная теория тонких оболочек, в развитие которой огромный вклад внесли отечественные ученые [96, 75, 33,27, 17, 25, 23]. С возникновением и развитием электронной вычислительной техники все большее значение приобретают численные методы расчета [21, 86, 104, 100, 37].

Одним из наиболее распространенных методов, используемых при расчете тонких оболочек, является метод конечных элементов (МКЭ) [36, 49, 106, 113, 117, 130]. МКЭ, основанный на мысленном представлении сплошного тела совокупностью дискретных элементов, взаимодействующих между собой в конечном числе узловых точек [106], в сравнении с другими численными методами обладает рядом преимуществ:

- возможностью при помощи ЭВМ автоматизировать процесс формирования матриц жесткости конструкций и решать системы линейных уравнений, достигающие порой порядка нескольких десятков тысяч;

- легкостью составления гибких алгоритмов расчета, позволяющих путем изменения исходных данных применять различные граничные условиям: характер внешней нагрузки оболочечной конструкции;

- возможностью учитывать физическую и геометрическую нелинейность оболочки, а также влияние температурных деформаций, которые возникают в процессе эксплуатации объектов [91, 109].

Цель данной работы заключается в совершенствовании расчетов тонких оболочек вращения на основе МКЭ в форме метода перемещений с учетом смещений как жесткого целого и изменения толщины в процессе ее шагового нагружения, в разработке алгоритмов формирования высокоточных конечных элементов четырехугольной формы, в составлении пакета программ, реализующих теоретические разработки, и внедрении его в инженерную практику.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Усовершенствован способ векторной аппроксимации полей перемещений конечных элементов, позволяющий получать сходящиеся результаты при больших градиентах кривизн срединной поверхности оболочки и больших смещениях конечного элемента как жесткого целого.

2. На основе рассмотренной векторной аппроксимации разработаны конечные элементы осесимметричной оболочки вращения с размерами матрицы жесткости 72x72. Основными узловыми неизвестными осесимметричного конечного элемента выбираются векторы перемещения и их производные по меридиональной координате. При формировании матрицы жесткости элемента осуществляется преобразование принятого столбца векторных узловых неизвестных к традиционному набору узловых варьируемых параметров, элементами которого являются компоненты вектора перемещения и их производные. Показано, что при расчете оболочек вращения с большими градиентами кривизн меридианов и большими смещениями как жесткого целого достижение удовлетворительного результата возможно лишь при использовании векторной аппроксимации перемещений, так как применение традиционных осесимметричных элементов с независимой аппроксимацией отдельных компонент вектора перемещения через свои же узловые значения не ведет к получению сходящегося результата при увеличении числа элементов дискретизации конструкции.

3. Получены корректные кинематические и статические условия сопряжения сочлененных осесимметричных оболочек для разработанных конечных элементов. На примерах показаны преимущества применения разработанных кинематических и статических условий сопряжения по сравнению с известными элементами, использующими, как правило, только кинематические условия сочленения.

4. Разработан четырехугольный криволинейный конечный элемент с использованием векторной аппроксимации перемещений с границами,

- в общем случае несовпадающими с линиями главных кривизн. В качестве узловых неизвестных дискретного элемента выбраны векторы перемещения и их первые и вторые производные по криволинейным координатам. На примере расчета оболочки вращения при больших смещениях как жесткого целого показана необходимость использования предложенной векторной аппроксимации полей перемещений конечных элементов, так как применение традиционных четырехугольных криволинейных конечных элементов с независимой интерполяцией отдельных компонент вектора перемещения не приводит к достижению удовлетворительного результата. Получены соотношения для выражения узловых неизвестных одной оболочки через соответствующие неизвестные другой оболочки, необходимые при исследовании напряженно-деформированного состояния в зоне ветвления меридиана.

-5г~Для—решения -нелинейных- задач- шаговым ~методом ~ нагружения используется способ, основанный на использовании равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил на приращениях деформаций и перемещений, вызванных приращением нагрузки, что приводит к появлению у вектора невязок рассматриваемого шага нагружения коэффициента, равного двум. На примере расчета физически нелинейной оболочки вращения показано, что предложенный метод ведет к улучшению сходимости вычислительного процесса.

6. Получены соотношения между приращениями напряжений и деформаций на шаге нагружения при учете физической нелинейности материала с реализацией в качестве примера теории течения. Практическая ценность работы заключается в том, что разработанный на основе метода конечных элементов программный комплекс формирования матрицы жесткости четырехугольных (размером 72x72) конечных элементов, реализующий теоретические результаты диссертации, может быть эффективно использован для расчета различных типов сочлененных оболочек сложной конфигурации. Результаты диссертации могут быть использованы научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, деятельность которых связана с проектированием и эксплуатацией конструкций.

Достоверность научных положений обеспечивается сравнением результатов решения примеров, полученных с помощью разработанных конечных элементов, с результатами исследований и экспериментальными данными других авторов, а также математически обоснованной постановкой задач. Численные исследования сходимости вычислительного процесса во всех случаях выполнялись при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции. Реализация

Алгоритмы, реализующие теоретические результаты диссертационной работы, включены в программный комплекс для персональных компьютеров по расчету на прочность аппаратов нефтехимии с учетом физической нелинейности используемого материала, внедренный в

Волгоградском представительстве инженерно-технологического предприятия ОАО «Оргэнергонефть». Использование указанных алгоритмов позволяет выполнять уточненный расчет прочности аппаратов нефтехимического производства, что обеспечивает их надежную работу.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы (195 наименований), изложена на 190 страницах машинописного текста, содержит 20 рисунков и 9 таблиц.

Основные выводы и результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Для осесимметрично нагруженных сочлененных оболочек вращения разработаны кинематические и статические условия сочленения нескольких оболочек при использовании в качестве элемента дискретизации высокоточного конечного элемента с узловыми варьируемыми параметрами, включающими в себя компоненты вектора перемещения, а также их первые, вторые и третьи производные по глобальной координате.

2. Для исследования напряженно-деформированного состояния произвольно нагруженных сочлененных оболочек вращения с помощью четырехугольного конечного элемента с размером матрицы жесткости 72x72 получены соотношения, позволяющие выразить столбцы узловых неизвестных примыкающих оболочек через столбец узловых варьируемых параметров основной оболочки на основе кинематических и статических условий сочленения.

3. В разработанных алгоритмах расчета сочлененных оболочек вращения реализован векторный способ аппроксимации перемещений, позволяющий учитывать возможные жёсткие смещения сочлененных оболочек под действием заданной нагрузки, а также получать удовлетворительную сходимость вычислительного процесса при расчете сочлененных оболочек со значительными градиентами кривизны меридиана.

4. На основании теории пластического течения выполнен расчёт оболочек при упруго-пластическом состоянии применяемого материала. При расчете сочлененных оболочек за пределом упругости предложен новый алгоритм, основанный "на использовании хордового модуля диаграммы деформирования в соотношениях теории пластического течения.

Использование данного алгоритма позволяет получать уточненное решение задачи по определению НДС сочлененных оболочек за пределом упругости.

5. Для эффективного определения параметров напряженно-деформированного состояния сочлененных оболочек вращения разработаны пакеты прикладных программ с целью их последующего внедрения в инженерную практику.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абовский, H. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек Текст. / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Дерюга - М.: Наука, 1978.-288 с.

2. Александров, А. В. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек Текст. / А. В. Александров // Тр. Моск. ин-та инж. транспорта. 1971. - Вып. 364. - С. 3-10.

3. Александров, А. В. Об использовании дискретной модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических машин Текст. / А. В. Александров, H. H Шапошников // Тр. Моск. ин-та инж. транспорта. 1966. - Вып. 194. - С. 50-67.

4. Александрович, А. И. Исследование плоской задачи для физически нелинейного упругого тела методами теории функций комплексного переменного Текст. / А. И. Александрович, А. В Горлова // Изв. РАН. Мех. тверд, тела 2007. - С. 63-72.

5. Аргирис, Дж. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечных элементов Текст. / Дж. Аргирис Д. Шарпф // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л., 1974.-т. 1.-С. 179-210.

6. Астрахарчик, C.B. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и панелей ненулевой гауссовой кривизны Текст. / С. В. Астрахарчик., Л. П. Железнов, В. В. Кабанов // Изв. АН. МТТ. 1994г, №2, С. 102-108.

7. Баженов, В. Г. Вычислительные модели нелинейных задач динамики пространственных конструкций Текст. / В.Г. Баженов, Д. Т. Чекмарев // Тр. международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» -Казань, 2000г. С. 50-64.

8. Бакушев, С. В. К решению плоской задачи нелинейной теории упругости с использованием функции напряжений Текст. / С. В. Бакушев, В. А. Монахов // Изв. вузов. Сер.: Строительство. 2007. - №6. - С. 12-18.

9. Бандурин, Н. Г. К расчету сочлененных оболочек с помощью четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев // Расчеты на прочность М.: Машиностроение, 1980. - Вып. 21. - С. 225-236.

10. Бандурин, Н. Г. К расчету оболочек вращения методом конечных элементов Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Изв. вузов сер. Машиностроение. 1981. - №5. - С. 26-31.

11. Бандурин, Н.Г. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 к расчету непологих произвольных оболочек Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. Й. Апраксина // Пробл. прочности. 1980. - №5. - С. 104-108.

12. Бандурин, Н. Г. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента к расчету тонкостенных оболочек вращения Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, И. К. Торунов // Прикл. механика. 1980. - т. 16. - №3. - С. 50-55.

13. Бандурин Н. Г. К применению МКЭ для расчета оболочек вращения с учетом пластических свойств материала Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев // Изв. вузов. Сер. Строительство и архитектура. — 1985. -№3. С. 24-27.

14. Бидерман, В. Л. Механика тонкостенных конструкций Текст. / В. Л. Бидерман М.: Машиностроение. - 1977. - 488с.

15. Борискин, О. Ф. Нелинейные трехмерные модели в расчетах колебаний оболочек на базе смешанной аппроксимации перемещений Текст. / О. Ф. Борискин, О. О. Барышникова // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. 2000г., №4 С. 23-31.

16. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Текст. / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев М.: Наука, 1980.-973 с.

17. Вагин, П. П. Напряженно деформированное состояние упругих гибких многослойных оболочек. Текст. / П. П. Вагин, Н. В. Иванова, Г. А. Шинкаренко // Прикл. Мех. (Киев). - 1998 - 34, №8. - С. 94-102.

18. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ Текст. / Н. В. Валишвили -М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

19. Вальтер, А. И. Метод конечных элементов в задачах прочности Текст.: учеб. пособие / А. И. Вальтер, А. А. Баранов — Тула: ТулГУ, 2005. -195 с.

20. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике Текст. / В. 3. Власов М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

21. Вольмир, А. С. Гибкие пластинки и оболочки Текст. / А. С. Вольмир М.: Гостехиздат, 1956. - 420 с.

22. Вольмир, А. С. Современные проблемы теории пластинок и оболочек в летательных аппаратах Текст. / А. С. Вольмир // Актуальные пробл. авиац. науки и техники. М., 1984. - С. 77-87.

23. Галимов, К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек Текст. / К. 3. Галимов // Казань: Изд. Казан, гос. ун-та, 1975. - 326 с.

24. Танеева, М. С. Деформирование оболочек вращения отрицательной и положительной гауссовой кривизны под действием неосесимметричного нагружения Текст. / М. С. Танеева, В.Е. Моисеева // Пробл. прочн. и пластич. 2002. - №64. - С. 46-50.

25. Голованов, А. И. Новый конечный элемент для расчета произвольных тонких оболочек Текст. / А. И. Голованов // Строит, механика и расчет сооружений. 1986. - №4. - С. 21-23.

26. Голованов, А. И. Расчет тонкостенных конструкций МКЭ с учетом геометрической и физической нелинейности Текст. / А. И. Голованов, О. Н Тюленева, С.А. Якушин // Проблемы прочности и пластичности. — 2002. -№64.-С. 36-40.

27. Гольденвейзер, А. А. Теория упругих тонких оболочек Текст. / А.

28. A. Гольденвейзер —М.: Наука, 1976. 512 с.

29. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек Текст. / Э. И. Григолюк,

30. B. В. Кабанов М.: Наука, 1978. - 360 с.

31. Григолюк, Э. Н. Нелинейное деформирование тонкостенных конгструкций Текст. / Э. Н. Григолюк, В. И. Мамай М. Наука: Физматлит., 1997. - 272 с.

32. Григоренко, Я. М. К расчету оболочечных конструкций методом конечного элемента Текст. / Я. М. Григоренко, С. С. Кокошин // Прикладная механика 1979. - т. 15. - №7. - С. 3-10.

33. Григоренко, Я. М. Решение задач теорий оболочек на ЭВМ Текст. / Я. М. Григоренко, А. П. Мукоед Киев: Вища школа, 1979. - 280 с.

34. Григорьев, И. В. Деформирование, устойчивость и колебания оболочечных конструкций Текст. / И. В. Григорьев, В. И. Прокопьев, Ю. В. Твердый М.: АСВ. 2007. - 208 с.

35. Гул яр, А. М. Влияние учета физической и геометрической нелинейностей на оценку критической нагрузки оболочек вращения сложной формы Текст. / А. М. Гуляр, А. С. Сахаров // Сопротивление материалов и теория сооружений Киев, 1980. - №37. - С. 8-11.

36. Деклу, Ж. Метод конечных элементов Текст. / Ж. Деклу М.: Мир, 1976.-96 с.

37. Ельшмуратов, С. К. Численное исследование тонких оболочек Текст. / С. К. Ельшмуратов // Материалы Международной научно-технической конференции. Омск, 2005. - С. 247-251.

38. Емельянов, И. Г. Определение напряженно-деформированного состояния и ресурса обол очечных конструкций Текст. / И. Г. Емельянов, В. И. Миронов, А. В. Кузнецов // Пробл. машиностр. и надежн. машин. 2007. -№ 7. С. 57-65.

39. Железное, Л. П. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении методом конечных элементов Текст. / Л.П. Железнов, В. В. Кабанов // Изв. АН СССР, МТТ. 1981. - №3. - С. 49-54.

40. Завьялов, В. Н., Деформирование прямоугольных пластин за пределами упругости Текст. / В. Н. Завьялов, Е. А. Мартынов, В. М. Романовский // Материалы Международной научно-технической конференции. Омск, 2005. Кн. 1: Изд-во СибАДИ. - 2005. - С. 247-251.

41. Зенкевич, О. М Метод конечных элементов в технике Текст. / О. М. Зенкевич М.: Мир, 1975. - 542 с.

42. Зубчанинов, В. Г. Основы теории упругости и пластичности Текст. / В. Г. Зубчанинов М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.

43. Зуев, Б. И. Сравнение некоторых моделей конечных элементов при анализе тонкостенных пространственных конструкций Текст. / Б. И. Зуев,

44. С.А. Капустин, JI. К Киселев, В. А. Трубицын // В сб. : Метод конеч. элем, в строит, мех. -Горький, 1975. — С. 149-163.

45. Игнатьев, В. А. Расчет стержневых пластинок и оболочек Текст. / В. И. Игнатьев Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1988. - 180 с.

46. Игнатьев, В. А. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах строительной механики Текст. / В. А. Игнатьев, А. В. Игнатьев, А. В Жеделев — : Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. Волгоград: ВолГАСУ, 2006. 172 с.

47. Кабанов, В. В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолета Текст. / В.В. Кабанов // Вопросы прочности и долговечности элементов авиац. конст. Куйбышев, 1979. - №25. - с. 35-43.

48. Кабанов, В. В. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном напряженном состоянии методом конечных элементов Текст. / В. В. Кабанов, JI. П. Железнов // Прикл. механика. -1978. Т.14. - №3. - с. 45-52.

49. Кабанов, В. В. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при изгибе силой через накладку Текст. / В. В. Кабанов JI. П. Железнов // Прикл. механика. 1989. - Т.25. - №8. - С. 126-130.

50. Кан, С. Н. Строительная механика оболочек Текст. / С. Н. Кан — М.: Машиностроение, 1966. -508 с.

51. Кантин, Г. Смещение криволинейных элементов как жесткого целого Текст. / Г. Кантин // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №7. -с. 84-88.

52. Киселев, А. П. Расчет оболочек в трехмерной постановке с учетом геометрической нелинейности на основе метода конечных элементов Текст. / А. П. Киселев, А. П. Николаев // // Строительная механика инженерных сооружений. М.: -2005 № 1. - С. 119-123.

53. Клочков, Ю. В. Деформирование осесимметричной оболочки на основе МКЭ с учетом смещения как жесткого целого Текст. / Ю. В. Клочков, Н. А. Гуреева // Вестник ВолгГАСУ сер. естеств. н. 2004, № 3.- С. 38-41.

54. Клочков, Ю. В. Расчет непологих оболочек на основе МКЭ с учетом изменения длины нормали Текст. /Ю.В. Клочков, А. П. Николаев -Волгоград, 1999. 20с. - Деп. в ВИНИТИ 03.02.99., №370-В99.

55. Клочков, Ю. В. Решение проблемы учета смещения конечного элемента как жесткого целого на основе векторной интерполяции полей перемещений Текст. / Ю.В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. 1998, №1-3, с.3-8.

56. Клочков, Ю. В. Анализ напряженно-деформированного состояния оболочек вращения в зоне ветвления меридиана на основе метода конечных элементов Текст. / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, О. А Проскурнова //

57. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Научно-технический журнал. РУДН, М.: 2007, №2. С. 30-35.

58. Клочков, Ю. В. Использование криволинейного четырехугольного конечного элемента к расчету сочлененных оболочек вращения Текст. / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, О. А Проскурнова // Изв. вузов. Сер.: Строительство. 2007, №11. - С. 16-24.

59. Клочков, Ю. В. Расчет оболочек отрицательной гауссовой кривизны с использованием МКЭ Текст. / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев Н. А. Гуреева // Изв. вузов. Сер.: Строительство.- 2004. №8. - С. 27-32.

60. Ковальчук, Н.В. Исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости конических оболочек с отверстиями Текст. / Н. В. Ковальчук // Пробл. прочности. 1989. - №2. - С. 82-86.

61. Колкунов, Н. В. Основы расчета упругих оболочек Текст. / Н. В. Колкунов М.: Высшая школа, 1972. - 296 с.

62. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров Текст. / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1970. — 720 с.

63. Корнишин, М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения Текст. / М.С. Корнишин — М.: Наука, 1964. -192 с.

64. Корнишин, М. С. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта МКЭ Текст. / Н. М Якупов, М. С. Корнишин // Прикл. механика. -1989. №8. -т. 25. - С. 53-60.

65. Крысько, В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек Текст. / В. А. Крысько Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1976.-213 с.

66. Кузнецов В.В. Использование метода возмущения области интегрирования при решении нелинейных краевых задач теории гибких пластин и оболочек Текст. / В. В. Кузнецов, В. В. Петров // Изв. АН СССР. МТТ 1985. - №2. - с.176-178.

67. Куранов, Б. А. Температурные напряжения в резервуаре для хранения сжиженного газа Текст. / Б. А. Куранов, Н. И. Кончаков. // Расчеты на прочность. 1980. - №3. - С. 38-41.

68. Куранов, Б. А. Исследование устойчивости подкрепленных оболочек методом конечных элементов Текст. / Б. А. Куранов, А. Т. Турбаивский // Строит, механика и расчет сооружений. 1980. - №3. -С. 3841.

69. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести Текст. / Н. Н. Малинин М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

70. Маркол, Р. В. Определение больших прогибов упругопластических оболочек вращения Текст. / Р. В. Маркол // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №9. - С. 113-121.

71. Масленников, А. М. Расчет тонких плит МКЭ Текст. / А. М. Масленников // Сборник трудов ЛИСИ. 1968. - Т. 57. - С. 186-193.

72. Монахов, П. В. Об альтернативном методе вычисления накопленной пластической деформации в пластических задачах сиспользованием метода конечных элементов Текст. / П. В. Монахов, О. В. Федосеев // Изв. вузов. Сер: Машиностроение 2007. - №7. - С. 16-22.

73. Муртазалиев, Г. М. Деформирование пологих оболочек вращения при несимметричной нагрузке Текст. / Г. М. Муртазалиев, М. М. Пайзулаев // Изв. Вузов Сев-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. - №1. -С. 20-22, 108.

74. Мяченков, В. И. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ Текст. / В. И. Мячников, И. В. Григорьев М.: Машиностроение. 1981.-111 с.

75. Мяченков, В. И. Алгоритм вычисления матриц жесткости оболочечных конечных элементов в геометрически нелинейной постановке Текст. / В. И. Мяченков, 3. Б. Губелидзе, Т. Г. Гардаихадзе // Строит, механика и расчет сооружений. 1989. - №5. - С. 61-65.

76. Неверов, В. В. Метод вариационных суперпозиций в теории оболочек Текст. / В. В. Неверов Саратов: Изд-во Саратовск. гос. ун-та, 1984. - 128 с.

77. Немировский, Ю. В. Ползучесть однородных и композитных оболочек Текст. / Ю. В. Немировский // Труды международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» Казань, 2000г., С. 42-49.

78. Никифоров А. К. Четырехугольный плоский конечный элемент оболочки Текст. / А.К. Никифоров // Тр. ЦАГИ. 2004. - № 2664. - С. 199206.

79. Николаев А. П. К расчету оболочек методом конечных элементов Текст. / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин // Строит, механика и расчет сооружений. 1980. - №5. - с.21-25.

80. Николаев, А. П. Новый эффективный способ интерполяции перемещений в конечноэлементном анализе оболочек Текст. / А. П. Николаев, Н. Г Бандурин., Ю. В. Клочков // Строит, мех. и расчет сооружений. 1991. - №1. - С. 62-66.

81. Николаев, А. П. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента с матрицей 48x48 для расчета оболочек вращения Текст. / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин, И.К. Торунов // Строит, и архитектура 1980. - №5. - С. 44-48.

82. Николаев, А. П. Четырехугольный конечный элемент произвольной оболочки с векторной интерполяцией полей перемещений Текст. / А. П. Николаев Ю. В; Клочков. // Волгоград, 1993. - 15с. - Деп. в ВИНИТИ 28. 04. 93, №1137-В. 93.

83. Новожилов^ В. В; Теория тонких оболочек Текст. / В. В. Новожилов Л;: Судпромгиз, 1962.- 432 с.

84. Новожилов, В. В. Основы нелинейной теории упругости Текст. / В. В: Новожилов М.: Едиториал УРСС, 2003. - 214 с.

85. Овчинников, И. Г. Расчет напряженного состояния; и долговечности цилиндрической оболочки при наличии коррозийного износа Текст. / И. F. Овчинников, X. А. Сабитов // Статика и динамика сложных строительных конструкций. 1984. - С. 89-95.

86. Огибалов, П. М; Оболочки и пластины Текст. / Огибалов П. М, Mi А. Колтунов,- М.: Изд-во. МГУ, 1969. 695 с.

87. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред : перев. с англ. Текст. / Дж. Оден М.: 1976. - 464 с.

88. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек Текст. / В. В: Петров — Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1975. 120 с.

89. Петров, В. В. Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного материала Текст. / В. В. Петров, И. Г

90. Овчинников, В. К. Иноземцев Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1989. -158 с.

91. Петряня, Е. Н. Построение конечного элемента сложной формы для дискретизации строительных конструкций Текст. / Е. Н. Петряня, А. А. Петрянин //Изв. вузов, сер. Строительство. — 2004.- № 11. — С. 9-15.

92. Пикуль, В. В. Теория и расчет оболочек вращения Текст. / В. В. Пикуль-М.: Наука, 1982. 158 с.

93. Пикуль, В. В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития Текст. / В. В. Пикуль // Изв. АН МТТ. 2000г., №2, с. 153-168.

94. Постнов, В. А., Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций Текст. / В.А. Постнов, И. Я. Хархурим Л.: Судостроение, 1974. 344 с.

95. Постнов, В. А. Использование метода конечных элементов в расчетах устойчивости подкрепленных оболочек Текст. / В. А. Постнов, В. С. Корнеев // Прикл. механика. 1976. - т. 12. - №5. - С. 44-49.

96. Постнов, В. А. Численные методы расчета судовых конструкций Текст. / В. А. Постнов- Л.: Судостроение, 1977. 280 с.

97. Постнов, В. А. Учет физической и геометрической нелинейности в задачах изгиба оболочек вращения Текст. / В. А. Постнов, М. Г. Слезина // Изв. АН СССР, МТТ. 1979. - №6. - С. 78-85.

98. Рикардс, Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин Текст. / Р. Б. Рикардс Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

99. Розин, JI. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ: метод конечных элементов Текст. / JI. А. Розин — М.: Энергия, 1971. 214 с.

100. Савула, Я. Г. Расчет криволинейных трубчатых оболочек полуаналитическим методом конечных элементов Текст. / Я. Г. Савула, Г. А Шинкаренко // Изв. АН СССР, МТТ. 1980. - №2. - С. 168-173.

101. Сарбаев, Б. С. Расчет оболочек вращения с учетом физической нелинейности Текст. / Б. С. Сарбаев // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. -1984. №6.-С. 20-24.

102. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел Текст. / А. С. Сахаров, В. Н. Кислоокий, В. В. Киричевский Киев: Вища школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферпаг, 1982. - 479 с.

103. Сахаров, А. С. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек Текст. / А. С. Сахаров, И. А. Соловей // В сб. : Пространств, конструкции зданий и сооруж. М., 1977. -Вып. З.-С. 10-15.

104. Седов, JI. И. Механика сплошной среды Текст. / JI. И. Седов М.: Наука, 1976.-т. 1.-536 е.; 1976.-т. 2.-574 с.

105. Семенюк, Н. П. Об устойчивости цилиндрических оболочек из волокнистых композитов с одной плоскостью симметрии Текст. / Н. П. Семенюк, В. М. Трач, А. В. Подворный // Прикл. мех. 2005. - №6. - С. 113120.

106. Серазутдинов, М. Н. Критерии прочности тонких оболочек при пластических деформациях Текст. / М. Н. Серазутдинов, P. X. Зайнулин, О.

107. A. Перелыгин, В. Г. Малахов // Механика оболочек и пластин : Сб. докладов 20 Международной конференции по теории оболочек и пластин Н. Новгород: Изд-во НН-ГУ. 2002, С. 281-287.

108. Сидоров, В. Н. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий, сооружений Текст. / В. Н. Сидоров, А. Б. Золотов, П. А. Акимов // Изв. вузов сер. Строительство. 2004.- №10. - С. 8-14.

109. Скопинский, В. Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четырехугольных криволинейных элементов Текст. / В. Н. Скопинский //Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1983. - №5. - с. 16-21.

110. Скопинский, В. Н. Об особенностях напряженного состояния в области пересечения цилиндрических оболочек Текст. / В. Н. Скопинский // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - №2. - с. 19-22.

111. Скопинский, В. Н. Расчетное и экспериментальное исследование напряженного состояния коленных соединений трубопроводов Текст. /

112. B.Н. Скопинский, Г. М. Меллерович // Пробл. прочности. — 1988. №12. -С. 73-7 бГ~ ' ' ~~ ' ' ' "

113. Стриклии, Дж. А. Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке Текст. / Дж. А. Стриклин, В. Е.

114. Хеслер, X. Р. Макдуголл, Ф. Дж. Стебинс // Ракетная техника и космонавтика. 1968. - №12. - С. 82-85.

115. Сухомлинов, Л. Г. Численное решение задач о больших пластических деформациях тонких неосесимметричных оболочек под действием заданных нагрузок Текст. / JI. Г. Сухомлинов, Е. В. Генин // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. — 1990. №1. —С. 16-21.

116. Съярле, Д. Метод конечных элементов для эллиптических задач Текст. / Д. Съярде М.: Мир, 1980. - 512 с.

117. Тимошенко, С. П. Пластины и оболочки Текст. / С. П. Тимошенко — М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

118. Тюкалов, Ю. Я. Расчет цилиндрических оболочек методом конечных элементов в напряжениях Текст. / Ю. .Я. Тюкалов // Изв. вузов. Сер.: Строительство.- 2004. №7. - С. 33-38.

119. Филин, А. П. Элементы теории оболочек Текст. / А. П.Филин -JL: Стройиздат, 1975. 256 с.

120. Хейслер, В. Е. Нелинейное исследование методом конечных элементов учитывающее члены высших порядков в выражении для энергии деформаций Текст. / В. Е. Хейслер, Д. А. Стриклин // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №6. — с.214-216.

121. Хейслер В. Е. Перемещения недеформируемых криволинейных элементов в расчетах оболочек матричным методом перемещений Текст. / В. Е. Хейслер, Дж. А. Стриклин // Ракетная техника и космонавтика. 1967. - №8. - С. 207-209.

122. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек Текст. / К. Ф. Черных — Л.: Изд-во ЛГУ, 1962.-т. 1. 374 с.; - 1964. - т. 2. - 395 с.

123. Шапошников, Н. Н. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного элемента Текст. АН. Н. Шапошников // Тр. Моск. Института инженеров транспорта. 1968. - Вып. 260. — С. 134-144.

124. Шмит, JI. А. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием дискретных элементов пластин и оболочек Текст. / Л. А. Шмит, Ф.К. Богнер, Р. Л. Фокс // Ракетная техника и космонавтика. 1968. -№5.-с. 17-28.

125. Эдельман, Б. М. Точность вычисления напряжений методом конечных элементов Текст. / Б. М. Эднельман, Д. С. Казеринес, В. С. Уолтон // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №3. - с. 102-103.

126. Эусебио, Н. G. Основные соотношения МКЭ треугольного конечного элемента для расчета прямоугольной пластинки в многопараметрической постановке Текст. / Н. О. Эусебио // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2005. - №1. — С. 126128.

127. Aditya, А. К. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method / A. K. Aditya, J. N. Bandyopadhyany // Comput. and Struct. 1989. - 32. - N2. - P. 423-432.

128. Argyris, J. H. Energy theorems and structural analysis ./ J. H Argyris-London. Batterworth. 1960.

129. Argyris, J. H. Matrix methods of structural analysis / J. H Argyris // Proc. 14-th meeting of AGARD. AGARDograph. 1962. - P. 72.

130. Argyris, J.H. Post-buckling finite elements analysis of circular" cylinders under end load / J. H. Argyris, P. C. Dunne // Acta techn. Acad. Sci. hung. 1978. - 87.-Nl-2. - P. 5-16.

131. Barony S.Y. The analysis of rotational shells using a curved ring element and the mixed variational formulation / S. Y. Barony, H. Tottenham // Int. J. Numer Meth. Eng. 1976. - 10. -N4. - P. 861-872.

132. Bathe, Klaus-Jurgen A geometric and material non linear plate and shell element / Bathe Klaus-Jurgen, Bolourchi Soid // Comput. and Struct. -1980. — 11. - №1. - P. 23-48.

133. Boyle, J.T. A simple method of calculating lower boind limit loads for aximmetric thin shells / J. T. Boyle, R. Hamilton, J. Shi, D. Mackenzie // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. - 1997. - 119, №2 - P. 236-242.

134. Brank, B. On non linear dinamics of shells: implementation of energymomentum canserving algorithm for a finite rotation shell model / B. Brank, L. Briceghella, N. Tonello, F. B. Damijanic // Jut. J. Numer. Meth. Eng. -1998. 42, №3. - P. 409-442.

135. Chen, W. Refined hibrid degenerated shell element for geometrically non-linear analysis / W. Chen, S. Zeng // Jut. J. Nunear. Meth. Eng. 1998 - 41, №7.-P. 1195-1213.

136. Chinosi, C. Hierarchic finite elements for thin Naghdi shell model / C. Chinosi, L. Delia Crose, T. Scapolla // Jat. J. Solids and Struct. 1998. - 35, №16 -P. 1863-1880

137. Choi Chang-Koon. Nonconforming finite element analysis of shells. / Choi Chang-Koon. Schnobrich William C. // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1975. 101. - N4. - P. 447-464.

138. Clough, R.W. The finite element method in plane stress analysis / R. W Clough // J. Struct. Div.,Asce Proc. 2-d conf. Electronic computation. P. 345378.

139. Delpak, R. A finite element assement of natural frenquencies of undampend elastic (rotational shells) // Appl. Math. Modell. 1980. - 4. - №2. -P. 367-368.

140. Destiuynder, P. A new strategy for improing a finite element method, based on explicit error estimates / P. Destiuynder // Comput. Meth. Appl. Mech. And Eng. 1999. - 176. №1-4. P. 203-213.

141. Dzygadio, Z. Finite element strength analysis of relating shell-plate structures / Z. Dzygadio, I. Nowotarski // J. Techn. Phys. 1981. - 22. - N3. — P. 243-257.

142. Eckstein, A. Zur Theorie und Finite Element - Simulation von Schalen mitgroben inelastiseion Dehnungeu und diktilen Schandgungen / A. Eckstein. // Techn. - wiss. Mitt. / Ruch - Univ. Bochum. Inst, konstr. Ingenierbau. - 1999.-№3.-P. 1-208.

143. Han, K. J. Shells of revolution with local deviations / P. L Gould // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. -20. - N2. - P. 305-313.

144. Harbord R. Finite-Element Metode zur Berechnung dünnwandiger Behälter / R. Harbord, R. Schroder // Schallenbau. 1978. - 47. - №3. - P. 90-96.

145. Hofbauer E. Zur Berechnung von Rotationshhalen mit gemischen Variationsprinzipien und RingelementenFur eine Beliebige statische Belastung / E. Hofbauer // Ing. Arch. - 1978. - 47. - №3. - P. 129-137.

146. Jones, D. P. Elastic-plastic dailure analysis of pressure burst tests toroidal shells / D. P. Jones J. E. Holliday, L. D. Larson // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. 1999. - 121, №2. - P. 149-153.

147. Kemp, B. L. A foirnode solid shell element formulation with assumed strain / B. L. Kemp, C. Cho, S. W. Lee // Jut. J. Numer. Meth. Eng. 1998. - 43, №5.-P. 909-924.

148. Ladeveze, P. Local error estimaters for finite element linear analysis / P. Ladeveze, Ph. Rougeot, P. Blanchhard, J. P. Moreau // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1999. - 176, №1-4 - P. 231-246.

149. Li, Y. A convergence analysis of an h-version finite element method with high-order elements for two-dimensional elasto-plasticity problems / Y. Li, I. Babuska// SIAM J. Numer. Anal. 1997. - 34, №3. - P. 998-1036.

150. Makaraci, M. A parametric finite element geometric analysis of a pressurized sphere with cylindrical flush nozzle outlet / M. Makaraci // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol 2005. - 127. - №4. - P. 369-386.

151. Mathisen, K. M. Error estimation and adaptivity in explikit nonlinear finite element simulation of quasi-static problems / K. M. Mathisen, O. Hopperstad, K. M. Okstad, T. Berstad // Comput. and Struct. 1999y. - 72, №4-5.- P. 627-694.

152. Mohan, P. K. Updatet Lagrangian formulation of a flat triangular element for thin laminated shells / P. Mohan, K. Kapania Rakesh // AIAA Journal.- 1998. 36, №2. - P. 273-281.

153. Mohr, G. A. Numerically integrated triangular element for doubly curved thin shells / G. A. Mohr // Comput. and. Struct. 1980. - 11. - N6. - P. 565-571.

154. Morley, L. S. D. Bending of bilinear quadrilateral shell elements / L. S. D Morley // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. -20. - N8. - P. 1373-1378.

155. Nath, B. Analysis of anisotroie shells by a mapping finite element method // Eng. Appl. New Composites. Int. Symp. COMP' 86, Patras, Aug., 1986. -Oxon, 1988.-P. 144-152.

156. Nelson R. L. An algorithm for programming the element matrices of doubly curved quadrilateral shell finite elements / R. L. Nelson // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982. -18. -N3. - P. 421-434.

157. Nelson, R. L. Stresses in shell structures // J. Sound and Vibr. — 1981. — 79.-N3.-P. 397-414.

158. Parich, H. Geometrical non linear analysis of shells // Copput. Meth. Appl. Mach. And Eng. 1978. - 14. -№2. - P. 159-178.

159. Peric, D. Finite element applications to the nonlinear mechanics of solids / D. Peric, D. R. J. Owen // Repts Pragr. Phis. 1998. - 61, №11. - P. 14351574.

160. Rannachez, R. A feed back approach to error control in finite element methods: application to linear elasticity / R Rannachez, F-T. Suttmeler // Computational Mechanics. 1997. №5. - P. 434- 446.

161. Rao, K. A note on the cylindrical shell finite element / Singa, Rao G. Venkateswara, Raju J.S. // Jnt. J. Numer. Meth. Eng. 1975. - 9. - N1. - P. 245250.

162. Ronnacher, R. A posterior error estimation and mesh adaption for finite element models in elasto-plasticity / R. Ronnacher, F. T. Suttmeier // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1999r. - 176, №1-4. - P. 333-361.

163. Sabir A. B. The application of finite element to the large defection geometrically nonlinear Bhavior of cylindral shells / A. B. Sabir, A. S. Lock // Var. Meth. Eng. Vol. 2 Prac. Int. Conf. Univ. Southampton. 1973. - 7/66 - 7/75.

164. Sansour, C. On hybrid stress, hybrid strain and enhanced strain finite element formulations for a geometrically exact shell theory with obrilling degress of freedom / C. Sansour, J. Bocko // Jut. J. Numer. Meth. Eng. 1998. - 43., №1. -P. 175-192.

165. Sarrazin, M. Axisymmetric shells for non axisymmetric loads an exact conical element approach / Sarrazin Mauricio // Adv. Eng. Software. — 1984. - 6. - №3. - P. 148-155.

166. Skopinsky, V. N. Stress analysis of shell intersections with torus transition under internal pressure leading. / V. N. Skopinsky // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. 1997. - 119, №3. - P. 288-292.

167. Surana Harau, S. Geometrically nonlinear formulation for the axisymmetric shells elements / S Surana Harau // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1982. 18. - №4. - P. 477-502.

168. Sze, K. Y. Assumed strain and hybrid destabilized ten-node C° triangular shell elements / K. Y Sze, D Zhu // Computational Mechanics. 1998 -№2. — P. 161-171.

169. Talaslidis, D. A simple finite element for elastic-plastic deformations of shells / D. Talaslidis, G. Wepner // Comput. Meth., Appl. Mech. and Eng. 1982.- 34. — N1-3. — P. 1051-1064.

170. Tan, H. F. A new geometrical nonlinear laminated theory of large deformation analysis / H. F. Tan, Z. H. Tian., W. Dux // Int. J. Solids, and Struct.- 2000. 37, №18. - P. 2577-2589.

171. Tessler, A. An efficient conforming axisymmetric shell element including transverse shear and rotary inertia // Comput. and Struct. 1982. — 15. — N5.-P. 567-574.

172. Tessler, A. Resolving membrane and shear locking phenomena in curved shear deformable axisymmetric shell elements / A. Tessler, L. Spiridigliozzi // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1988. - 26. - №5. - P. 1071-1086.

173. Tottenham H., Mixed finite element formulation for geometrically nonlinear analysis of shells of revolution / H Tottenham, S. Y. Barony // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1978. - 12. - №2. - P. 195-201.

174. Turner, M. J. Stiffness and defection analysis of complex structures / M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp // J. Aero. Sci. 1958. - 23.- №1. — P. 805-823.

175. Voros, G. Application of the hybrid-trefetz finite element model to thin shell analysis / G. Voros // Period, polytechn. Mech. Eng. 1991. - 35. - N1-2. -P. 23-40.

176. Wendt, W. Explicit dynamic formulation of large strain shell analysis for the Morley triangular element / W. Wendt // 9 th. Nord. Senin. Comput. Mech., Lyngby, Oct. 25-26, 1996. -Lyngby, 1996. P. 153-156.

177. Xye Ming-De. Theoretical stress analysis of intersecting cylindrical shells subjected to external forces on nozzle / Xye Ming-De, Du Qing-Hai, Li Dong-Feng, Hwang Keh-Chih // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol2006.- 128.-№l.-P.71-83.