автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Метод дискретных жесткостей при расчетах и проектировании нерегулярных нелинейно деформируемых оболочек

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

На правах рукописи УДК 624.074.43.041.2:517.988 ___ .Л 7!

г*| о Ом

- ? с;'.т

СПИРИДОНОВ Сергей Васильевич

МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ЖЕСТКОСТЕИ ПРИ РАСЧЕТАХ И ПРОЕКТИРОВАНИИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 05.23.17 - строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном архитектурно-строительном университете на кафедре строительной механики.

Научные консультанты — Заслуженный деятель науки и техники РФ доктор технических наук, профессор,

Л.М. Масленников, доктор технических наук, профессор В.В. Карпов.

Официальные оппоненты — доктор технических наук,

профессор А.Н. Возианов,

доктор технических наук, профессор B.C. Постоев,

доктор технических наук, профессор Е.В. Соколов.

Ведущая организация — Саратовский государственный

технический университет.

Защита состоится " ¿6 " ОКМАкРй 2000 г. в -16 час. мин на заседании диссертационного совета Д 063.31.04 в Санкт-Петербургском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4, в Зале заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан 49 "ЦЕНИМ 6f>ft 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного ■ совета, кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные требования, предъявляемые к строительным конструкциям, выражаются в сочетании легкости, прочности и надежности. Этому в полной мере удовлетворяют тонкостенные пространственные оболочечные конструкции, обладающие такими достоинствами как разнообразие форм, совмещение несущих и ограждающих функций, минимизация приведенных затрат при изготовлении и эксплуатации, которые привели к широкому распространению оболочек в строительстве и различных областях техники.

Реальные тонкостенные пространственные сооружения имеют достаточно сложную структуру: изломы, подкрепляющие ребра, отверстия, переменную толщину, сочленения тонкостенных элементов. При этом нерегулярность геометрических и физических параметров вызывает концентрацию напряжений и создает опасные пластические зоны в элементах оболочки, что существенно влияет на ее несущую способность. Вместе с тем, внедрение современных композитных материалов с высокими прочностными и низкими деформативными свойствами приводит к допускаемым СНиП большим деформациям, что требует разработки новых математических моделей деформирования оболочек.

В рамках данного научного направления проблема расчета нерегулярных оболочек в условиях нелинейного деформирования решалась, как правило, на основе упрощенных дискретных расчетных схем традиционными аналитическими и численными методами. Расчет тонкостенных конструкций с разрывными параметрами аналитическими методами встречает серьезные трудности из-за плохой сходимости рядов из обычно применяемых аппроксимирующих регулярных функций. Это связано с тем, что уравнения теории оболочек в местах приложения сосредоточенных нагрузок, на концах ребер и границах вырезов имеют сингулярные слагаемые. Численные методы, успешно применяемые для расчета тонкостенных конструкций, приводят к разрешающим системам уравнений большой размерности из-за сгущения сетки разбиений и многократному обращению матриц высоких порядков при решении нелинейных задач. Стремление к повышению точности расчетов требует специальных методов снижения размерности задачи или введен.1Я локальных типов конечных элементов. Актуальность данных исследований обусловлена также недостаточным развитием и внедрением простых, и, в то же время, эффективных методов расчета оболочек с учетом неоднородных полей НДС и реальных физических закономерностей процессов деформирования, которые должны быть использованы при проектировании.

Цель диссертационной работы. Создание новых эффективных методов расчета и проектирования оболочек, работающих в условиях физически и геометрически нелинейного деформирования, с учетом нерегулярного конструктивного строения и реализация их на ЭВМ. Разработка высокоточной модели деформирования и исследование особенностей НДС реальных оболочечных конструкций на основе количественного и качественного анализа различных гипотез теории пологих оболочек.

Научная новизна. Разработан новый метод расчета тонкостенных оболо-чечных конструкций нерегулярного строения в условиях нелинейного деформирования. Предложен способ учета физически нелинейных деформаций при выводе и линеаризации исходных систем разрешающих уравнений. Впервые построена методика расчета физически и геометрически нелинейных оболочек сложной конфигурации в плане и оболочек сотового строения.

Достоверность результатов обеспечивается тем, что все преобразования, проведенные в работе, основываются на общепринятых гипотезах теорий оболочек и пластичности и методах строительной механики, корректность которых доказана и подтверждается удовлетворительным совпадением данных, полученных различными авторами. Погрешность предлагаемой математической модели оценивается собственными исследованиями. Степень расхождения предложенного решения сравнивается с результатами расчета тестовых и реальных конструкций с помощью ВК "ЛИРА" и по собственному пакету прикладных программ в упругой постановке.

Практическая значимость работы состоит в разработанном методе дискретных жесткостей, применение которого позволит получить достоверную и точную информацию о НДС оболочек с конструктивной нерегулярностью и влиянии на их несущую способность физически и геометрически нелинейных деформаций. Определены основные зависимости влияния отверстий, подкрепляющих ребер, изломов поверхности, сложной геометрии на возмущение поля напряжений и на основании численных экспериментов предложены принципы проектирования пологих оболочек. Разработанные алгоритм и программы расчета оболочек могут быть использованы в инженерных расчетах на прочность и жесткость тонкостенных пространственных конструкций из современных материалов с низким пределом пропорциональности (стеклопластики, композиты, фанера, алюминиевые сплавы).

Полученные в диссертации результаты используются при проектировании сложных строительных конструкций и технологического оборудования в ОАО "Прикампромпроект" Российского авиационно-космического агенства, ЗАО "Институт Удмуртгражданпроект", ЗАО "БЭСКИТ" (г. Санкт-Петербург), НПФ "Стройпрогноз" (г. Ижевск).

Новые научные результаты, полученные автором:

- разработан метод дискретных жесткостей, позволяющий непрерывные переменные жесткостные зависимости свести к кусочно-постоянным и представить НДС конструкции дискретным по области, занимаемой оболочкой;

- на основе разработанного метода дискретных жесткостей для линеаризованных по методу последовательных нагружений уравнений физически и геометрически нелинейных задач для оболочек с разрывными параметрами получены системы дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами, зависящими от истории нагружения;

предложен метод определения разрывных полей НДС неоднородных оболочечных конструкций путем суперпозиции дискретно изменяющихся жесткостных параметров системы уравнений оболочек;

- предложены варианты аппроксимации зависимости а-е в виде набора сплайн-функций, позволяющие получить физические соотношения с учетом реальных физико-механических процессов при упругопластическом деформировании;

- получены функции жесткости, свободные от погрешностей аппроксимации деформационной кривой и упрощения тензорных компонентов, для систем нелинейных дифференциальных уравнений, достоверно и точно в рамках принятых допущений описывающих НДС оболочек;

- выведенные с помощью комплексных преобразований уравнения для одномерных и двумерных задач решаются аналитически с использованием как регулярных рядов, так и аппарата разрывных функций;

построена методика расчета оболочек с учетом нелинейного деформирования и нерегулярности некоторых параметров (толщина, кривизна и нагрузка), которая доведена до практически применимых формул и реализована в комплексе прикладных программ;

проведено исследование НДС оболочек, подкрепленных ребрами, ослабленных вырезами, с изломами поверхности и сотового типа;

- решена проблема расчета оболочек сложной конфигурации и с несимметричными граничными условиями аналитическими методами на единой феноменологической основе.

Апробация работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались на: 55-57 научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ (Санкт-Петербург, 1998-2000 гг.); 51-53 Международных научно-технических конференциях молодых ученых "Актуальные проблемы современного строительства" (Санкт-Петербург, 1997-99 гг.); научно-технической конференции "Ученые ИжГТУ - производству" (Ижевск, 1994, 1997 и 2000 гг.); 14 Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Волгоград, 1995 г.), 16 Международной конференции по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 1993 г). Работа поддержана Центром конкурса грантов по фундаментальным исследованиям в области архитектуры и строительных наук (шифр 98-21-1.8-22) Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 26 работ, в том числе одна монография.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем работы; 402 страницы, в том числе 288 основного текста, 48 рис., 3 табл.; список литературы из 296 наименований на 33 стр., приложения на 80 стр.

Основные положения, выносимые на защиту:

- метод дискретных жесткостей для определения разрывного НДС неоднородных оболочечных конструкций путем суперпозиции дискретно изменяющихся жесткостных параметров системы уравнений оболочек;

- математическая модель деформирования оболочки с учетом физической и геометрической нелинейности, в которой тензорные компоненты

жесткостных функций представлены в полном объеме;

- разрешающие дифференциальные уравнения пологих оболочек с учетом поворота нормали срединной поверхности в процессе геометрически и физически нелинейного деформирования;

- системы разрешающих дифференциальных уравнений пологих оболочек нерегулярного строения с учетом геометрической и физической нелинейности;

- методика линеаризации нелинейных задач теории оболочек на основе совместного применения метода последовательных нагружений и дискретизации жесткостных характеристик;

- методика построения решения линеаризованных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами в виде регулярной и нескольких сингулярных составляющих;

. - аппроксимация закона деформирования набором сплайн-функций с кусочно-переменными параметрами упругости;

- расчетные схемы пологих оболочек с переменными параметрами геометрии (кривизной, толщиной);

- варианты расчетных схем сотовых оболочек, представленных группой пересекающихся пластин эллиптической формы;

- методика учета несимметричных граничных и сложных контурных условий оболочек путем введения дополнительных (мнимых) отверстий;

- группа алгоритмов и пакет прикладных программ №ЬРО для статического расчета нерегулярных оболочек в условиях геометрически и физически нелинейного деформирования;

- ' результаты численных исследований нерегулярных оболочечных конструкций: оболочки с отверстиями, оболочки переменной кривизны, многоволновые оболочки, оболочки сложного плана, оболочки сотового строения и оболочки из шестигранных элементов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

• Во введении обосновывается актуальность темы и необходимость в разработке нового метода расчета геометрически и физически нелинейных оболочек, а также в проведении исследований НДС с целью составления практических рекомендаций по проектированию тонкостенных оболочек с учетом нерегулярных конструктивных параметров. Сформулирована цель работы, ее новизна и практическая ценность.

Первая глава содержит описание современного состояния теории оболочек и их использование в технике. Дается обзор работ по расчету оболочек в различных стадиях деформирования. Приводится краткая характеристика методов решения задач теории оболочек, конструктивных решений в практике отечественною и зарубежного строительства наиболее эффективных оболочек, освещены вопросы применения существующих вычислительных комплексов для определения Н ДО оболочек.

Экспериментальные работы Г. Генки и Р. Мизеса положили начало математической теории пластичности Сен-Венана и М. Леви, предложивших в начале XX века способ линеаризации уравнений плоской задачи. Следующим шагом была работа Хаара и Т. Кармана как попытка получить уравнения пластичности, исходя из вариационного принципа. Дальнейшие исследования физически нелинейных оболочек в определенных областях, методы и характеристики конкретных решений содержатся работах A.B. Александрова, В.З. Власова, И.И. Воровича, A.A. Ильюшина, Ю.Н. Работнова, А.Р. Ржаницина, В.В. Соколовского; а применительно к оболочкам Д.В. Вайнберга, А.Н. Гузя, АЛО. Ишлинского, И.Е. Милейковского, В.В.Москвитина, В.В. Новожилова, И.Н. Преображенского, А.О. Савчука.

Значительные достижения в теории физически нелинейных оболочек получены в работах таких ученых как Н.П. Абовский, H.A. Абросимов, A.C. Вольмир, Ф.Ф. Гаянов, А.П. Грибов, Э.И. Григолюк, B.C. Гудрамович,

A.B. Елесин, Л.В. Енджиевский, C.B. Ермаков, Л.М. Качанов, В.Д. Клюшников,

B.C. Коноваленков, М.С. Корнишин, В.А. Крысько, H.H. Малинин, В.А. Максимюк, Б.К. Михайлов, В.П. Муляр, Т.Т. Мусабаев, В.В. Неверов, Ю.В. Немировский, И.Г. Овчинников, В.В. Петров, P.C. Санжаровский, А.Н. Снитко, H.A. Сенник, H.H. Столяров, Е.А. Сторожук, И.Г. Терегулов, И.А. Цурпал, И.С. Чернышенко, В.И. Шалашилин, Л.П. Шевелев, G.N. Brouks, I. Hube], F.G. Kollmann, S. Mukherjee, В. Poddar, J.G. Teng, J.M. Rotter, R. Valid, R. Qian и других исследователей.

К настоящему времени состояние материала за пределом упругости, в большинстве случаев, описывается с помощью соотношений деформационной теории пластичности. В рамках данной теории для решения нелинейных задач применяются:

- методы линеаризации Ньютона-Рафсона на стадии описания исходных соотношений и получения разрешающих уравнений: метод упругих решений, метод переменных параметров упругости, метод последовательных приближений;

- шаговые методы - метод последовательных нагружений, метод последовательных возмущений параметров, методы продолжения по параметру;

- итерационные методы - методы последовгтельных аппроксимаций, теория сплайн-функций, метод коллокаций;

- вариационные и энергетические подходы, которые эффективны для нелинейной упругости.

Теория пластического течения находит применение при решении ряда задач. в рамках идеализированных моделей жесткопластического и упругоплас-тического деформирования материалов Прандтля, Рейсса, Мизинга и др. В этом направлении отметим работы В.Г. Дмитриева, В.А. Максимюка, В.В. Неверова, И.И. Ореховского, В.В. Офия, B.C. Постоева, И.Н. Преображенского, Е.А. Сторо-жука, М.В. Стрельбицкого, И.С. Чернышенко, Chen Xuechao, G.N. Brouks, J. Casanjva, J.F. Moya, S. Monieon, P. Fuster, R. Hauptmaun, K. Schwizerhof и др. В них с помощью быстро развиваемых в последнее время численных методов дифференциальные уравнения заменяются системой нелинейных алгебраических уравнений. Решение их производится общеизвестными методами,

первенство среди которых прочно удерживает метод конечных элементов. Внутри этого метода разрабатываются разнообразные конечные элементы, в том числе и нелинейные, с линейными и нелинейными узловыми функциями.

Несмотря на большое развитие теоретических исследований и многочисленность предлагаемых методов многие важные аспекты проблемы расчета оболочек с учетом физической нелинейности не имеют исчерпывающего решения, что подталкивает ученых к исследованию реологических свойства материалов, анализу работы разносопротивляющихся материалов, уточнения модели деформирования в рамках теории Тимошенко, Миндля и др. Вместе с тем, до сих пор имеются затруднения в определении напряженного состояния вблизи конструктивных особенностей. Численные результаты получены лишь для ограниченных случаев плоского напряженно-деформированного состояния оболочек простейших форм и поверхностей.

Основы геометрически нелинейной теории пластин н пологих оболочек были'заложены в трудах И.Г. Бубнова, Т. Кармана, К. Маргерра и JI. Доннелла. Позднее, основопологающими стали подходы Х.М. Муштари, К.З. Галимова и В.З. Власова, где НДС оболочки определялось деформациями срединной поверхности и углами поворота нормали к поверхности и касательными к линиям кривизны, и В.В. Новожилова для непологих оболочек, который разложил выражения для компонентов деформации произвольной точки упругого тела в ряды Тейлора для общей трехмерной задачи упругости. Ими же были изложены упрощающие варианты, когда составляющие деформации исследуемого объекта имеют различный, но поддающийся контролю порядок малости.

Исследованию в этой области и решению частных задач посвятили свои работы И.Я. Амиро, E.H. Антонов, Д.В. Вайнберг, Ю.И. Виноградов,

A.Н. Возианов, A.C. Вольмир, Ф.Ф. Гаянов, Э.В. Годзевич, Б.А. Горлач, Э.И. Григолюк, B.C. Гудрамович, А.Н. Гузь, JI.B. Енджиевский, В.А. Заруцкий,

B.П. Ильин, В.В. Карпов, В.Н. Кислоокий, Ю.И. Клюев, М.С. Корнишин, В.А. Крысько, Ю.В. Липовцев, П.А. Лукаш, Н.И. Марчук, И.Е. Милейковский, Б.К. Михайлов, Ю.В. Немировский, H.H. Орлов, В.В. Петров, И.Н. Преображенский, Г.И. Пшеничнов, Ю.Н. Работнов, P.C. Санжаровский, A.C. Сахаров,

A.Н. Снитко, М.В. Стрельбицкий, В.К. Цыхановский, И.С. Чернышенко,

B.И. Шалашилин, А.Н. Шихранов, H.C.Chan, X. Guan, L. Tang, L.-H. He, L. Jiang, M.W. Cherhuka, D. Lin, R.-H. Liu, M.K. Nigord, P.G. Bergan, W. Pietraszkiewicz, R.V. Ravichandron, S. Spidharan, Y. Toi, W. Wunderlich, H. Cramer, H. Obrecht, K.Y. Yuan, C.C. Liang, J.-d. Zhang, S.N. Abburi, R. Hauptmaun, K. Schwizerhof и многие другие.

В настоящее время в работах используют два способа учета геометрической нелинейности: 1) задача представляется как совокупность ряда линейных задач - на каждом шаге рассматривается обобщенная модель конструкции с измененными физико-геометрическими параметрами; 2) задача формируется в вариационной или дифференциальной формах как нелинейная, условия которой представляются в виде дополнительных уравнений, неравенств и других ограничений. Решение нелинейных задач может выполнятся методами нелинейного программирования -в континуальной или дискретной формах. Для задач, формулируемых в дифференциальной форме, путем дискретизации сводимых к

системе нелинейных алгебраических уравнений, могут непосредственно использоваться итерационные методы решения. Преобразование нелинейной краевой задачи je последовательности линейных может осуществляется и путем введения дополнительной переменной в коэффициенты нелинейных уравнений и дополнительными уравнениями с частными производными по этой переменной.

Задачам устойчивости и динамики оболочек посвящено в последнее время относительно малое количество исследований, среди которых следует выделить работы H.A. Абросимова, В.Г. Баженова, С.В. Зефнрова, В.Г. Зубчанинова, H.H. Малинина, A.M. Масленникова, H.J1. Охлопкова, В.А. Паймушина, А.И. Садырина, В.А. Шахова и др.

Одним из первых методов решения задач теории оболочек с особенностями нерегулярного строения методов является представление искомого решения в виде двойных или одинарных бесконечных рядов. При этом, путем использования процедуры Бубнова-Галеркина, задача сводится к связанным бесконечным системам алгебраических уравнении с процедурой "склейки" решений по отдельным участкам в виде ряда, которые могли бы быть легко получены из условия стационарности функционала энергии. Другое направление в данной области связано с операционным методом, где решение уравнений рассматриваемого вида строится в смешанной форме. Но вместо того, чтобы исключить из этого решения неопределенные значения соответствующих сингулярных функционалов и получить общее решение в явном виде, рассматривается расширенная система с присоединением дополнительных уравнений, вытекающих из граничных условий. Такой подход следует считать численным, так как каждый раз при изменении нагрузки или граничных условий приходится прибегать к громоздкой численной процедуре решения расширенных систем.

Крупным вкладом в развитие методов решения дифференциальных уравнений с импульсными коэффициентами являются работы Б.К. Михайлова и Е.В. Соколова. Для дифференциальных уравнений с коэффициентами в виде импульсных функций в одном направлении решение представляется комбинацией функций регулярных и специальных разрывных с некоторыми искомыми коэффициентами, зависящими от разных переменных.

Наиболее точный путь интегрирования представляется в решении дифференциальных уравнений, учитывающих наличие концентраторов напряжений и удовлетворяющих граничным условиям по линиям нерегулярностей. Задача приводится к системе сингулярных интегральных уравнений для определения плотностей скачков перемещений и углов поворота. Сингулярные интегралы в этих системах понимаются в смысле главного значения по Коши. Для построения решения сингулярных интегральных уравнений часто используются стандартные методы, заключающиеся в их регуляризации и последующем численном решений интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Однако, учитывая большую трудоемкость такого подхода, в последнее время в численных расчетах применяют прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению системы алгебраических уравнений.

Алгоритмы современных программных комплексов для расчета и

проектирования оболочечных конструкций на ЭВМ построены на: 1) аналитических методах расчета, применяемых в основном для вспарушенных оболочек и гипаров с прямоугольным планом, сводов, висячих оболочек; 2) существенных упрощениях, выполняемых как решения частных задач теории упругости, для расчета более сложных пространственных конструкций при различных формах плана и разномерных контурных элементов; 3) применении наиболее популярных в последнее время методов конечных элементов при расчете сложных конструкций.

Методы дискретизации в теории расчета оболочек применяются для сведения системы с бесконечным числом степеней свободы к конечной, поскольку наибольшую трудность при получении решения дифференциальных уравнений вызывают переменные члены с жесткостными коэффициентами довольно общего вида.

В этом направлении в последнее время наиболее активно развиваются различные модификации методов конечных элементов, граничных интегральных уравнений и метод взвешенных невязок. В них предполагается плавное изменение функций жесткостей вдоль поверхности, что подходит к расчету оболочек с регулярными разрывными параметрами. Для других конструкций данный подход приведет к завышенному деформированному состоянию, так как в случае переменных жесткостных параметров, например локальные подкрепления в виде узких ребер, дискретные величины оказываются размазанными на конечном участке.

Учитывая большую трудоемкость разнотипной конечноэлементной дискретизации, для расчетов нерегулярных оболочек эффективнее применять прямые методы решения с использованием аппарата разрывных функций, который, минуя регуляризацию, приводит к дискретному описанию сингулярных особенностей в системе алгебраических уравнений. Этот подход и развивается в настоящей работе.

Вторая глава посвящена выводу исходных соотношений нелинейно деформируемых оболочек и основных разрешающих уравнений, описывающих НДС гладких и нерегулярных оболочек с учетом реальных деформативных свойств.

Рассматриваются тонкие оболочки произвольной конфигурации, отнесенные к криволинейной системе координат. Для компонентов вектора обобщенных усилий и вектора обобщенных деформаций {,еаг,а,х,х„:'Х} в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, учета углов поворота нормали срединной поверхности, гипотез Маргерра-Кармана получены системы дифференциальных уравнений равновесия и геометрических соотношений, выражения неразрывности нелинейных деформаций:

Ха,, дА,х дА, дА2

да, да2 да2 да,

1 дн> &и/ дА, 1 8 ( 1 ди> А,А\ да, да2 Эат 2 да, (//2 даг

+ *,

да,

д ( 1 дн> дю да2 ^ А) А2 да, да2

14, со к, дА,

___I--±_ Л1_I

+ = За2 к, да2

■V ——Т —.

) 2 А, (А, да,) да,

(1)

+-

(1о2);

-Ха,к*-Х«к1----Г

длгЕа. 1 дЛ.т 1 дА. дА,

--+--!—+ —а—- + £а —-

да| 2 да2 2 да2 ' да,

_а__i_

да2 А2

1 ЗЛ,® dAtea 1 дА, 6W,

+ —(У-- + £„

2 5а,

да,

2 5а,

За,

1 52 1 dw

2 5а,2 1/1, да.

1 а2

1 dw

____ 52 1 д\</ 5)у

2 баг,2 да2 ) да1да2 За, да2

Физические соотношения принимаются согласно теории малых упругоплас-тических деформаций, но без привлечения гипотезы о несжимаемости материала, что позволяет достоверно смоделировать деформирование от упругой до пластической стадии. Зависимость коэффициента поперечной деформации от уровня напряженно-деформированного состояния аппроксимируется функцией по экспериментальным значениям характерных точек деформационной кривой:

1—^-

М = 0,5-

(0,5 -мЛ

(2)

где Е - начальный модуль упругости; Д£ - изменение модуля упругости при /-той стадии деформации с~ ц0- начальный коэффициент Пуассона.

Внутренние усилия и моменты с использованием (2) выражаются в предположении, что законы créais) и cr=o(s) совпадают по толщине оболочки:

Т. =—+ (*„, + аУг]

1

1-р2 5

1

(3)

-(ш/,+2//,);

2(1 + //)

= ■—{ fk, + К+(z„ г Mai )/,}

= Yi^rlk + ^ К+ta + >,1 1

И.

■И

Н--

(4)

2(1 +А)

(<о1г + 2х1ъ),

где

Ik = jVz'-'cfe, ¿ = 1,2,3

(5)

- жесткости оболочки, которые являются функциями координат; у/ = а,1€1, где а, е - соответственно интенсивности напряжений и деформаций.

Разрешающие уравнения для нелинейно деформируемых пологих оболочек выводятся в смешанной форме относительно функций прогиба и усилий традиционным способом в предположении о медленно изменяющемся распределении коэффициента // вдоль поверхности оболочки и имеют вид:

Д, 1,Р = д + Ь(м>,Р) +

Л—V

2 /|

(6) (7)

где

Д, (-.) =

1

1-я1

а'

Л-

дх?дх, Г ^ дх

а;

д

йх,Эх2) йх.

'■4

/,2

+ 2(1-я)

Э2(...) 5г

'' у

, 92 92 I \ 92

Л-

ди( - )=д»(••■)+у-. *(••■)=

/,2

а2 а2 ), ч . . . (, а2 .8

дх\

82

дх,дх2

1У а3

дх2 (.-) +

&2 дх\дх] дх¡8хг дх18х1

дх, I 1. А 8x1 дх,8х.

[(■......>, ДИ,(...) = Д,(...> + ¿1-.., у

. , а Г а2«, з а2«,

(1/.,Ы,) = Л,- —г +--г

' ' 2 2 дх\

+ к,

аг»2 з д2и1

дх\ 2 дх,2

Нелинейные члены сосредоточены в нелинейном операторе !(...) и

множителях ~ и у. При отсутствии !(...) приходим к уравнениям теории

физически нелинейных оболочек. При постоянных жесткостях получаем систему дифференциальных уравнений для гибких оболочек. Таким образом система уравнений (6) и (7) достаточна универсальна и имеет вид, аналогичный общепринятым системам, а решение зависит от функционала у/ = а1/е,, который представляется в довольно общем виде. Уравнение неразрывности деформаций должно выполняться в нелинейных и в линейных стадиях. Следовательно, наиболее предпочтительна для полученных уравнений линеаризация функций /,, /2 и 1у На этой стадии члены, содержащие производные по жесткостям, становятся пренебрежимо малы по сравнению с изменениями самих жесткостей.

Рассмотрим систему разрешающих уравнений без производных по жесткостям: •

[Л - - Д^ = д + ¿К П

— Д^ + Д= - — ¿(ж №). , ^ ^

/, 2

Для снижения порядка интегрирования преобразуем нелинейные члены в левой части к виду

Ж.

12(1-М1)

где £> =--— цилиндрическая жесткость при произвольном р, а(дг,,х2) и

/(х,,хг) - переменные нелинейные функции, зависящие от V = • Введем

комплексную функцию <р = V + Е, где Яе<р = \\>\ Гт<р = Е; „- ^¡\2(\-¡л2)¡И; / = -уРТ, с помощью которой представим систему (В) с учетом (9) в виде:

¿<р = — + т\г 1т<р~ — аД2Кер] + — ЦКе<р, 1т<р)--тЦКе<р, Яед>), ПО) О V ЕЙ ) О 2 к

где Ц...) = (Д2 + тЬк )(...)•

Если проанализировать полученное уравнение, то оно отличается от разрешающего уравнения линейной теории пологих оболочек наличием дополнительных слагаемых в правой части. Оператор £ в левой части уравнений характеризует напряженно-деформированное состояние оболочки, а величина д/Ь (размерность м"3) - приведенная к единице площади поверхности оболочки нагрузка. Тогда дополнительные члены правой части (10) имеют смысл дополнительной нагрузки, действие которых вызывает физически (второй член) и геометрически (два последних) нелинейное деформирование. Отсюда следует важный вывод, что, меняя те или иные члены, можно перейти от линейной к нелинейной задаче. Обратный переход не всегда справедлив, потому что возможно появление пластических деформаций, что требует их отслеживания. Этот вывод будет использован в дальнейшем для решения нелинейных уравнений.

Для решения краевых задач необходимо замкнуть (10), присовокупив сформулированные статические и кинематические граничные условия встречающихся на практике закреплений краев оболочки. Отметим, что комплексное преобразование распространяется не полностью на все члены уравнения (10), тем не менее, такой подход позволяет вдвое снизить порядок интегрирования.

В работе с помощью разрывных функций при учете нерегулярности строения оболочек рассматриваются:

1. Переменная кривизна:

=Е(А:1о'у(л:1-;с1.)+АЛ//(д:1 -^ь^с*,-*„)} (1-^2,(п)

Здесь кю - кривизна вспарушенной поверхности, проходящей по контактным опорным точкам; ки- кривизна отдельной волны оболочки; ¡¡(х-х^) - единичная функция Хевисайда; хи - координаты линии контакта.

2. Подкрепление ребрами учитывается дополнительными усилиями по линиям контакта оболочка-ребро:

М\ = А/, ~*ъ\ (<<->/,!<-> 2),

I ' 1 '

-J-^^,-,,,,. (12)

где /,, 1Ъ, I3l - жесткости ребер, которые являются-функциями координаты, и вычисляются аналогично (5).

3. Отверстия и переменная толщина. В этих случаях оболочка занимает в трехмерном пространстве объем, ограниченный ступенчато-переменными поверхностями, которые можно описать произведением двух взаимно перпендикулярных разностей единичных функций:

И =h-Y¿&h4HbHv (13)

7=1

где h — толщина основной части оболочки; Дht¡ — изменение толщины; Ни= = Я(х1-д:ь)-Я(х]-д:]1+]) - ступенчатая функция; как разность двух единичных функций противоположных сингулярных координат * и лг1)(,, (lo2, к*/).

4. Сотовые оболочки или структуры предлагается представлять семейством пластин эллиптической формы, описываемых как

г* = г-±±гН(9сНпф, (И)

S-1 /=|

где г - обобщенный параметр нерегулярности - изломы, ребра, отверстия; Км L - количество элементов в направлении осей соответственно X и Y; £ и r¡ - оси местной системы координат.

При этом поверхность оболочки разбивается таким образом, что каждый сотовый элемент описывается как регулярная однородная пластина, а конструктивная нерегулярность привязывается с помощью местной системы координат к поверхности рассчитываемой оболочки. Описание сотовых поверхностей по (14) справедливо при узловой стыковке многогранника, когда необязательно соблюдать точную геометрию отдельных элементов. В этом случае решающим будут концентрация НДС в узлах. С определенной достоверностью данный подход можно использовать и при соединении сот по граням, поскольку

контактные усилия будут приближенно описаны пересекающими сегментными свесами при аппроксимации шеспгугольников эллиптическими пластинками.

Разрешающие уравнения физически и геометрически нелинейных оболочек с учетом нерегулярности строения получаются при подстановке соответствующих выражений (11), (12) и (14) в общепринятую систему уравнений равновесия, уравнения (1) и физические соотношения (3) и (4), или выражение (13) - в качестве пределов интегрирования в (4) и в (8). При рассмотрении оболочек с нерегулярными параметрами типа изломов поверхности, ребер и отверстий конструкция сохраняет неразрывность деформаций и множество функций D{A), описывающих НДС, и их первые производные абсолютно непрерывны в конечной области П пространства координат, охватывающих оболочку. На границе области Г функции удовлетворяют граничным условиям, вторые производные функций суммируемы с квадратами в П. Разрывные параметры типа отверстий интерпретируются как граница области П сложной конфигурации, а обобщенные компоненты напряженно-деформированного состояния можно рассматривать как дополнительные граничные условия, естественным образом формирующимися в результате подстановки и дифференцирования.

В третьей главе излагается метод дискретных жесткостей для решения " задач теории оболочек с нерегулярными параметрами в условиях физически и геометрически нелинейного деформирования. Анализируются существующие законы деформирования с точки зрения точности аппроксимации диаграммы а-е.

В общем случае физические соотношения порождают нелинейные разрешающие уравнения вида (6)-(10). Решение этих уравнений представляет довольно сложную задачу, поскольку физические соотношения содержат три типа переменных - ег /л и жесткостей /, как функций координат и напряженного состояния. Для решения разрабатывается метод, позволяющий непрерывные жесткостные зависимости свести к кусочно-постоянным при линеаризационной аппроксимации закона деформирования набором сплайн-функций, что сводит нелинейную задачу к последовательности решений линейных уравнений. Данный подход позволяет повысить сходимость процесса, достоверность результатов и устранить ограниченность существующих аппроксимаций а - е за счет исключения погрешностей при обработке и приближения экспериментальных кривых, связывающих интенсивности напряжений и деформаций.

Для решения основных разрешающих линеаризованных уравнений построена система базисных функций для расчета оболочек нерегулярного строения, инвариантная к любым граничным условиям. Введем так называемые базисные функции Ug и U, которые представляют собой решение следующих неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных:

Ш0=я(х„х,У, ¿t/„=£(*.)7,(*2), (15)

где L - дифференциальный оператор, характеризующий напряженно-деформированное состояние конструкции; д(лг„*2) = q/D +]Г ^/'.ДС*])'?,^);

- обобщенные функции: ступенчатые, дельта-функция и ее производные.

Решение уравнений (15) строятся методом Власова-Канторовича в виде рядов:

*>| 1.1

^ (16) »=1

где ЛГ,(х,), и ~ система аппроксимирующих функций, которые задаются в зависимости от конкретных граничных условий.

Функции 2,(х,), /„(*,) и /у(х2) находятся соответственно из решений к независимых обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(17)

£»/и = 6 (*1). = '1, (х2)

(18)

где операторы I, образуются в результате операций

]/.(*,(*,))*, А, =¿4, 1 <-> 2, (, 9)

О

Коэффициенты с^ вычисляются по формулам 2 «2 2 ^

2 *2

9» = — (21)

Для решения поставленных задач в работе получен набор базисных функций, отражающий все возможные комбинации конструктивной и геометрической нерегулярности оболочек как решения следующих уравнений

£

(я+ЕМЛ +1>А//п); =

= Я„А"2;

Ш10(1,) и > >

ШМ2Г> = 'Л А/. к),) II

= ^•^12(10

^5.(2/) = ГС

Шци) ~ И1Ь&г2-

= 3 Аг". = 4"

которые принимают соответствующий вид:

игю = <*. ); (2 <->1; л, = ¿¿„А-Дх,)Ч',22(х2);

1-1 »-I

и^'Т.ЬХ.ЫЪМ- (23)

1=1 4«!

Функции Фь, У,,,, '(',,,, '{'„,, Ч',и,(1 <->2, /)являютсярешениями

уравнений соответственно

= " (*. -хм); /-,%„= ¿К -х„);

= -х„); ¿Л„ -*„); (24)

£,¥,,.=*'(«.-*..>-*'(*,-Хм).

Коэффициенты вычисляются по формулам

ъ, = }/л.х2)//32(а2 . ъ, =]хдх1)я„А,; = .

о о о

^ = [УЛхХ^; = (25)

а функция

9» = + + . (26)

Для решения нелинейных уравнений типа (10) разработан метод, сводящий к последовательному решению квазилинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, зависящими от дискретного изменеши жесткостных параметров в процессе деформирования, и приводящий к неоднородному НДС оболочки.

Алгоритм решения нелинейных дифференциальных уравнений ободочек методом дискретных жесткостей представляет собой интерпретацию следующего физического процесса. Прикладываемая нагрузка <7 разбивается на рад

ступеней ч" - £ Д?. Величина Ад принимается такой малой, чтобы расчет можно

было провести по линейной теории. Возникшее при этом напряженно-деформированное состояние принимается за исходное приближение. На

О

О

следующем т-том этапе к деформированной конструкции прикладывается другая часть внешней нагрузки и, с помощью производной Фреше нелинейного оператора Ь от значения <р, приходим к линеаризации системы уравнений типа (10) относительно функции |рт=(Дм>т,Дв виде:

1<Р„ + (27)

где £ - линейный дифференциальный оператор; ,)т," - оператор,

отражающий геометрическую и (или) физическую нелинейность. Под /""' может выступать и дифференциальный оператор, отражающий нерегулярность в виде переменной толщины, а также неравномерно приложенную нагрузку. Символ т внизу означает состояние на »¡-том этапе нагружения, а вверху - накопленные величины за число нагружений.

Таким образом, нелинейная зависимость заменяется итерационной

зависимости с погрешностью линеаризации порядка о(|Д(э||), где |д<г>| - норма приращения искомой функции, которая может регулироваться в процессе решения. Искомое приращение составляющих полей НДС определяется в виде <рт= (¡Гл+кт<р до тех пор, пока сумма приращений нагрузки не достигнет заданного значения.

Отличительная особенность предлагаемого метода "решения состоит в том, что линеаризация функционала 1тЛ<р производится на стадии описания диаграммы а-е, а именно реальная кривая деформирования аппроксимируется сплайном с кусочно-переменными параметрами следующим образом:

а, = £

(28)

или через деформации

= + £ А£, я(£ - £,} (29)

где Е=\%а - начальный модуль упругости (на первом этапе нагружения); Д - изменение наклона зависимости а-е, между участками е/ и значения последних определяются экспериментально.

Аналогично зависимости (28) возможно представить закон разгрузки в предположении процесса упругого поведения материала. Допустим, что после достижения интенсивности напряжения а некоторого пластического значения происходит ее уменьшение до значения сг :

а,р=а,-Еер^[£-£р1 (30)

где сг( - интенсивность активных напряжений; ер - деформация, соответствующая началу разгрузки.

В случае нелинейного процесса разгружения выражение (30) необходимо дополнить характерными /-тыми значениями деформаций, полученных естественным путем из графика разгрузки. При этом закон деформирования примет вид, мало отличающийся от (28):

ст., = сг.-'Б1]'Ч,//(г-0 (31)

Последовательность построения нелинейного НДС методом дискретных жесткостей состоит в следующем. Решается упругая задача при /=1, затем производится дискретизация оболочки в направлении оси х1 на к локальных областей определенной геометрической формы и на /-в направлении хг Считая деформацию в пределах каждой области постоянной, равной средней по границам интервала, поле деформации всей оболочки представляется в виде

е,=еЛ1Н{к,1), (32)

где Н(к, Г) = [Н{х-х^-Н(хх-хп ,)][Я(л:2-х2,)-Я(х2-д:2/,)] - ступенчатая функция двух координат.

Далее, прикладывая поэтапно нагрузку, на каждом шаге нагружения проводится сравнение интенсивности деформации ецс деформациями е по (29). Для этого выражаются жесткости, отражающие закон деформирования (28) и зависящие от компонентов интенсивности деформаций:

! Ьз"

+ 2 ЬГ'И + ЬГ1)н(с-£))Ни,Нт-

2 Ь, ,

2^""' + К~ХЬ -

2 Ь'-'И + Ь"

'Г'=

у.Н(е-Е1)НхиН1и\

(33)

12(1-// ) 2

3 ь,

п-1 \

2 К

з(г>г')г~4У"У"'

цьг1)2

№

1=\п{2л1ьг\ьг>+ьг,1')

4 аг'У)

+2 ь-Г'п+ь;

ЬГ1 = (<"')г +(гГ')2 +еГ-,*Г' + (<а"~')74; = +2гГ^Г +

Если в какой-либо локальной области ем< г, то следовательно, имеет место линейное НДС и никаких операций далее не производится. Если же е:и > г, то в области появляется физически нелинейное деформирование, которое учитывается путем изменения жесткостных параметров

1-'=1ЧА1тН(к,1), /=1, 2,3, (34)

как суммы жесткостей в упругой стадии (под индексом 0) и приращений от изменения угла наклона аппроксимационного сплайна; и последующим перерасчетом деформаций и усилий по измененным жесткостям. При этом происходит перераспределение интенсивности деформации в каждой конкретной локальной области, а в целом по всей оболочке поле деформаций изменится в виде

£=£^1+АемН(к,1). (35)

В результате приращений (34) и (35) искомая функция преобразуется также дискретно, причем каждая локальная область будет характеризоваться своим значением напряженно-деформированного состояния. Следовательно поле НДС всей оболочки будет полностью определяться дискретными значениями функций жесткостей. Поэтому данный подход назван методом дискретных жесткостей.

С учетом (32), системы базисных функций в виде (17) и (24) уравнение (27), представляющее собой дифференциальное уравнение в частных производных с переменными коэффициентами, зависящими от параметра нагрузки и изменяющимися в процессе нагружения жесткостей (или искривляющимися углами поворота нормали поверхности), запишется в виде:

19,„ (*, ,*,)=Ч-(Х^Х1)+ХЕ('л,-, к (36)

и I !

гдеЯш = Я(дг,-х„)-//(*,-.*„„); Ип1=Н(х1-х11)-Н(хг-х2и])-, /*■'=/"■'(«'«-.

Таким образом, переменные коэффициенты в /""' зафиксированы по точкам и осреднены, а Г~'<рт представляет собой дополнительные нагрузки, эквивалентные изменению параметров напряженно-деформированного состояния в конкретной точке оболочки.

В результате преобразований (28) и (32) искомая функция при операторе в правой части (36) зафиксируется дискретно, причем с определенными значениями локального напряженно-деформированного состояния и соответственных значений жесткостей в каждой области.

При использовании (22) и (23) решение (36) представляется в виде:

<Рт (х,, Х2) = и0т (х„ + ' > ' Х1' . (37)

Уравнение (37) содержит подчеркнутые неизвестные коэффициенты. Для определения неизвестных приращений переменных коэффициентов по методике сопоставления вариаций воздействуем оператором /'""' на левую и правую части уравнения (учитывая, что подчеркнутая величина есть число):

'">. (*1. ) = '""Х- (*.» , *2() + £ £ /">„ (х,„, х21 )1-хиш. (38)

Далее, последовательно приравнивая х1 = х1к, а х2=х2Р приходим к совокупности алгебраических уравнений, поскольку при операторном воздействии получается вспомогательное алгебраическое уравнение (38)

[А]{х} = {Ь}, (39)

или

к 1

где 6и — символ Кронекераг-Капелли.

Матрица [А] получается хорошо обусловленной, поскольку главная

20

диагональ за счет ды отличается от остальных членов, и система уравнений (39) решается любым известным методом. Порядок системы составляет к-1, то есть зависит от числа точек разбиения функционала I"''<р и определяет точность решения уравнения (27) на данном этапе.

Поскольку на каждом этапе нагружения решается линеаризованная задача, то характеристики элементарных полей линейно зависят от соответствующих краевых условий. Поэтому появляется возможность построения-неоднородных по стадиям деформаций полей НДС путем суперпозиции определенного распределения локальных областей, для которых программируется последовательность изменения формы, размера и расположения относительно системы координат. Далее на т+1 этапе нагружения используются выражения приращения деформаций, полученных на предыдущем ти-ом этапе нагружения <рт = ср""' + <рт И Ят = я"''

Искомая функция после вычисления неизвестных на всех этапах нагружения определяется как

<р=Ц<р„, + ЕЕ(*,»>*21). (40) ■

т т т к I ^ '

Функции прогибов, тангенциальных сил и моментов строятся после разделения действительной и мнимой частей <р с использованием известных значений жесткостей (33), зафиксированных по дискретным точкам. Для • активного нагружения или при полной нагрузке усилия и моменты определяются автоматически, что связано с выражениями (34) и (35).

В общем случае суммирование приводит к ступенчатому профилю полей напряжений и деформации по сечениям оболочки. В отдельных случаях, например для гладких оболочек или при большом количестве разбиений, возможно построение непрерывного распределения НДС.

После ряда нагружений может оказаться, что матрица 1" 'Н(к,1) окажется отрицательным. Это будет означать, что несущая способность системы превышена. Таким образом, критерием разрушения оболочки будет служить равенство нулю определителя, составленного из дискретных жесткостных коэффициентов.

Исследование систем алгебраических уравнений относительно фиксированных коэффициентов и оценка погрешности решений. Построенный в данной главе метод решения сводит задачи к бесконечным системам алгебраических уравнений относительно фиксированных коэффициентов. Они могут быть сведены к интегральным уравнениям, аналогичным уравнениям Фредгольма второго рода. Точное решение таких уравнений не представляется возможным, поэтому реальным является лишь решение систем алгебраических уравнений. В работе доказывается регулярность полученных систем и их решение может быть найдено методом редукции с использованием конечных систем, которые приводятся в соответствующих параграфах.

В практических расчетах целесообразно использовать критерий для разбиений в виде:

N <4Р, а,/а2, М<4Р2а2/а,, (41)

где N и М- количество дискретизации, Р{ - порядок производных по координате

х в операторе Ь (1<-»2). Критерии оценки получаемой погрешности внесены в программы расчета, так как все величины, входящие в (41), известны, другие вычисляются в процессе счета.

Четвертая глава посвящена проблеме расчета оболочек в стадии физически и геометрически нелинейного деформирования.

В работе проводится исследование вариантов разрешающих уравнений физически и геометрически нелинейных оболочек и их решения. Разрабатывается новая математическая модель деформирования пологих оболочек, уточняющая классические гипотезы. Для бесконечной статически неопределимой системы, каковой является оболочка, влияние каждого из параметров конструкции и тензорных компонентов оказывается весьма разнообразным - от пренебрежимо малого до существенного. Например, многочисленными исследованиями рекомендовано, что если напряжения от моментов сравнимы по значению с напряжениями от продольных сил или меньше последних, то можно пренебречь отклонением нормали к деформированной срединной поверхности. В исследовании удерживаются все компоненты и составляющие вектора деформаций для изменения кривизн и кручения при физически и геометрически нелинейном деформировании, так как пренебрежение тангенциальными перемещениями приводит к искажению реального НДС.

В поставленной задаче зависимости между перемещениями и деформациями в выбранной системе координат приобретают следующий вид:

ди, \(диЛ „ ди, ди, дм/ 5м>

сх=—--+ -— , (1 <-» 2); со = —2. + —!- + —.—; йх, 2\^дх1) ах, дх2 <Эх, дхг

. а2* , ди, „ „ч Э2и< , Эй, , ди2 (42)

X, =--—> х =--+ —+ кг—-■

йх, йг, дх,дхг дх2 (Эх,

Для исследования уточненных разрешающих уравнений целесообразно использовать систему нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях, полученную в виде:

4

3

/з~ ЛТ"' /=1'2,3, (43)

где и=лг, Д — миноры матрицы |/„„, ||, («, т=Ъ), операторы в которых для краткости

ч

запишем в виде:

Д„ =

3 /Л /, 1 I - Эх" ' дх{ I 3 I. дх?дх I ' дх! 2 дх.

/, --f Д2 к2 —г+к, —г +— 23 _ , к. —+к2

+2| Ккг^ + (к, + *,)/, |Д2-к,к212ААк

4 1 12

¿и = (Л + к212)

дх,дхг

а2 .1ГЛ

а'

а1

21 2

а2 , . Г а3

*.+— 1Л

2 ^ йг.

сЬс,

3 2 > Зс,

2 > &а

+ *? +

2 1 ^^ ас,

■Ь

э а2 з а2

дх1 Зс,а*2

а' Г, з 1 , , 9

ас2 ас'ас, ^ г

а2 а2

ос,

Э3 3 +

а3

йс, 2 2с,асз

а3 з е3

3

- + —

Эх:3 ' 2 дх\дх2

э 1 а а2 ■ + -

ас, а*2 4 ас,ас3 ас2 4 ас, ас2

л=-л

а а2 за ■+— -

а2

1 э2 э

4 ас2 а?2 /

¿2

. + — + 1 2

кЗс3 ас2 4 ас, ас,ас5.

а2 1 а2 У э'" ас2 +2 асЦас^,

2 ас2 гас^ас,; 1,1 2 ;а<г2 ( 2 г;ас2 гас.

а а3 а а5 + -

1 а2 э2

1

-+—-

ас2 ас,ас3 а2

^ас, ас,3 ас2 ас3 г ас2 ас2 ас, ас,ас2 ас2 ас2ас2 2 ас,аг2 ас,ас2 Как видно, в (43) появляются подчеркнутые члены в правой части и при

ди,

высокой степени напряженности углы поворота /-1, 2; /V/') хотя и малы,

но существенно превосходят удлинения и сдвиги.

Следует заметить, что второй частью СНиП допускается учитывать неупругую работу некоторых материалов в конструкциях, для которых разработана достоверная методика расчета, поэтому рассматривается вопрос о применимости линейной теории пологих оболочек, выводимой как частный случай из нелинейной при исключении из уравнений (10) или (46) нелинейных членов, определяемых операторами / и /*'' и подстановки Аг^=0 в (33) и Д£=0 в (2). Однако, численный анализ при максимальных нагрузках, показывает, что деформации оболочки часто выходят за рамки применимости линейной теории. И, наоборот, при предельных нагрузках нелинейные прогибы вызывают появление упругопластических деформаций (кроме мембранных и висячих оболочек). Строго говоря, наступление предельных состояний, когда напряжения или деформации превышают расчетные, должно определяться по геометрически и физически нелинейной теории, что не отражено в СНиП.

Использование нелинейной теории в расчетах пространственных конструкций окажется наиболее эффективным при реконструкции, когда необходимо знать реальные запасы прочности при определении несущей способности их

элементов, подверженных коррозии. При этом, расчеты на особые сочетания нагрузок и учет концентрации вблизи нерегулярности окажутся более достоверными. Учет нелинейности целесообразен также при расчете оболочек из новых материалов.

Метод дискретных жесткостей возможно применить и при исследовании устойчивости нерегулярных оболочек, поскольку для упругопластических систем понятия критической и предельной нагрузок иногда отождествляются. Под предельной нагрузкой понимается то значение внешних сил, при котором жесткость системы обращается в ноль. Расчеты показывают, что при нагружении функции жесткости оболочки могут принимать даже отрицательные значения, которые не имеет физического смысла, но в момент обнуления жесткости должно произойти высвобождение потенциальной энергии в виде значительного возрастания деформации оболочки.

Рассмотрена динамическая задача свободных колебаний оболочки, в которых составляющая интенсивности от распределенных нагрузок трактуется как сила инерции. Решение строится с использованием метода дискретных жесткостей, с помощью которого получено выражение

Здесь — амплитуда соответствующей формы колебаний. Значение частоты, в первую очередь, зависит от комбинаций к и / форм собственных колебаний. Как видно частотное выражение (45) зависит и от физико-механических характеристик материала оболочки, следовательно, разработанным методом возможен учет физической нелинейности.

Поскольку при попытках оптимизации проектных решений приходится сталкиваться с серьезными математическими трудностями, обусловленными неоднородным НДС оболочки от совокупности внешних воздействий, геометрических размеров и других факторов, предлагаются основы проектирования оболочек с помощью метода дискретных жесткостей.

В первоначальном приближении расчета оболочка разбивается на элементарные участки, жесткостные параметры и НДС которых считается известным и постоянным в пределах участка. Оболочка считается гладкой с минимально возможной толщиной. При этом, уравнение гладкой пологой оболочки, работающей в стадии геометрически и физически нелинейного деформирования, для произвольного нагружения принимает вид:

¿1 + 2а,2/?; + р: - а>1и - ± ± (/"">„ + !<ра К, 1 = 0, (44)

из которого находится частота

(45) •

+ —-(Ке<риа, 1т<рир„ - Ы<рыа, Ке<рИ/ЗкУ - шКса^^ иь1

¿Р )=+£ Е к-к.)+/'"->„ (дг,, л2, ))у, „^

где ,(...) = 1д,яе(...) + ,„д,(...);

(46)

'Л!__

дх.дх, дх? '

/"-'(...) = —ат"'Дг Ке(...) + /Ей/""1 Д2 1ш(...) ЕН

Функции жесткостей вычисляются по выражениям (33), в которых высота А зафиксирована по точкам дискретизации, что позволяет рассмотреть непрерывную толщину как ступенчатую. Решение уравнения (46) с использованием системы базисных функций представим в виде

к л

<Р„ (*,. ■*г) = (*,. *2) + Е £ {' (РЛх,пхи) + Г"' (*„, ))С/2„. (47)

/-1 ---

Определение неизвестных коэффициентов приводит к алгебраизации системы К-Ь уравнений:

{*!'} = {¿'}'

элементы которой расписываются следующим образом:

А2' А"

ЛП 12

А" Аи

. 21 22

(48)

"¡1 • • V

II II

л. ■

, в:= : ,« = 1,2;/? = 1,2.

(49)

Здесь при /7=1 ап(=7и2т(х1г1,хц), £ =АГ-£; *,=»/.(*.,.*«)• =

В случае Т = /""'(•••) при а=1, т} = К Ь; 7 = /(...) а=2, ц = /. Решая систему (48), получим дискретное значение искомой функции:

(50)

В дальнейшем, в участках оболочки с запредельными напряжениями и деформациями подлежит изменить либо размеры сечения для снятия физической нелинейности, либо подкрепить, то есть нарастить сечение с одной стороны срединной поверхности, для исключения геометрически нелинейного деформирования. В обоих случаях итерации подвергаются функции жесткостей по (33), где в явном виде присутствует И.

Поскольку в пределах необходимой дискретизации жесткостных параметров функцию (рт можно считать квазирегулярной, то формулы для вычисления деформаций и усилий на данной стадии нагружения строятся после разделения (рт на действительную и мнимую части. После решения уравнения (46) необходимо изменить жесткости (33) следующим образом:

I к

И(х„, хи) = А""1 (*,„ *21) + £ £.ДА,„Н, „.Н21„, (51)

/=>1 А=|

где Л™"1 - толщина рассчитываемой оболочки, АИт - шаг изменения толщины; и продолжить следующую итерацию. Следует отметить, что процесс эффективен при превышении прогибов не более чем в 3 раза "наращиваемой толщины" по (51).

При увеличении жесткости отдельных областей происходит увеличение жесткости всей конструкции, причем существенно снижаются изгибные напряжения по сравнению с тангенциальными и, в целом, оболочка начинает деформироваться по упругой стадии. Момент окончания расчета может определяться по двум критериям: во-первых, напряжения становятся меньше расчетных сопротивлений, а их уровень сглаживается медленнее, чем наращивание толщины; и, во-вторых, стремление к идеальному распределению напряжений по всей поверхности оболочки не должно приводить к резким изменениям толщины в связи с неизбежным вследствие этого возникновением концентрации в сингулярных точках.

Процесс исключения прогибов, которые в несколько десятков раз превосходят толщину конструируемой оболочки, заключается в использовании жесткостных функций типа

1 ! Х\ 4

+ 2(хГ' )Ч + 2£Г'хГ' )Н(£ ~е,)Ни Н22к; Ле

2 Ь, ,

-г^Аг* ЧхГУКНеГ)

, /-„""'л*

Н(е-е1)НиНг1к-

Ч£Г)ЧхГ)2 -2еГхГ

(52)

, т-1 т-1

«-1Л4

J

2{хГ ? 4 (хГ ) ЧхГ'У х{

Л Н(е-£,)НпНш.

рГ')2 +2е,т*хГ\

_Щ£Г ХГ )' - 4 («,- +2еГ%Гк),

+ 2(хГ)2+2*ГХГ'}

Здесь под ^ 5,7стоят площадь поперечного сечения, статический момент и момент инерции "наращиваемого" ребра, приведенные к срединной поверхности. Жесткости оболочки (52) записаны для случая, когда "наращи-

ванне" происходит в направлении оси хг При необходимости изменения жест-костей в перпендикулярном направлении необходимо в выражениях (52) изменить ступенчатые функции (ввести ! вместо к) с круговой подстановкой индексов. Процесс итерации выглядит следующим образом:

1 1.1 76""' К

(53)

где Ь =а1Нп - ширина ребра, равная ширине участка дискретизации.

^аким образом, предлагаемый метод позволяет создавать оптимальные проектные решения конструкций оболочек.

В главе 5 основное внимание уделяется решению полученных разрешающих уравнений для нерегулярных оболочек с помощью метода дискретных жесткостей и системы базисных функций, выполняются расчеты и предлагаются принципы проектирования эффективных оболочечных конструкций.

1. Оболочки, подкрепленные ребрами. Разрешающее дифференциальное уравнение получено в комплексной форме в виде

и ,=1

I

(54)

где

1 JГ иг л

-ЕЬ

8х]дх\ ^ дхI

1га(...) +

Д./,"

-КГ

К

2УГ I J,

-/г1-/;;

дх

•Л -А"

дх,

ах;

ч ¡ей К" ( д1 д2 , .

4(11) ^ '2(22)»

JГ иг

Под знаком J^~> {к= 1, 2, 3) представлены значения жесткостей оболочки, определяемые по (5), а ребер - по (52). Уравнение (54) получено в предположении, что подкрепленная оболочка работает в условиях геометрически линейного деформирования, его решение принимает вид:

р(х„хг) = М и0" >*2/) +

т= I А.! /=1 ч / г А' А'

"ЕЕ > *2< + 'Л (*>* • *2, )£ ^«(2,)

Л/ 7

»«1 у-1

2/ >1" 5Д1/)

(-1 («1

Функции перемещений, усилий, моментов и напряжений строятся после разделения действительной и мнимой частей (рт с использованием соотношений (3) и (4):

м>т=К^<р\

д2<Рт

12

дг<р , I д <р

j(] _ щ Im —- (D-a ) Re| + /л

К I +11

(l -r^Eh)'-

К L

"--II

Im я*

n l д x, о x,

д x2 д2<Р„

дгх, ö2x д2<р,

■UlU +

Re-

82х,

(1 _ + (D - а-' )Re—^

л cb^cfctj аг,а>с2

(56)

_ Eh дг(рт , ,

Г,_= —Irn-v-^, М <r>M , r.oLi.oi,, А<->/, i <-»/';

а2*,

и Эх,йх2

Как видно из полученных формул, в усилиях прослеживаются упругая и неупругая составляющие, адекватная явлению релаксации. Проведенные численные исследования при проектировании подкрепленных оболочечных конструкций показали, что оптимальная высота ребер hp составляет (1/60...1/70) от пролета для деревянных оболочек и 1/90...1/120 - для железобетонных; ширина (0,25...0,45)А , но не менее 130 мм, при толщине оболочки 30...35 мм при средних пролетах и 40..50 мм при пролетах больше 42 м.

2. Оболочки с изломами поверхности. Приведем разрешающие уравнения для распространенных типов многоволновых оболочек (геометрический расчет формы поверхности которых и сопряжения составляющих фрагментов выполняется по программе GERA): - с переменной кривизной:

- складчатых:

Д2ю = — + /»+/" " D

»(•4, + 4, К.

(57)

(58)

где Ц...) = (Д2 )(...); /(...)= nL (Re(...),Im(...)) --¿(Re(...),Re(...));

л;,, (...)=£ к, (1 - ) - кл, ] Д (-)+Е к (1 - нгг,) - ] Д с..);

1.1 /=1

Решение уравнений (57), (58) принимает вид:

(59)

В качестве примера по разработанному алгоритму рассчитана шарнирно-опертая оболочка с размерами в плане 6x6 м; кривизны к{ = 0,2299 м'1, к2 = 0; толщиной А = 4 мм с пятью равными изломами поверхности вдоль оси х . Характеристики материала следующие: £ = 7-104 МПа; Л£;= г; // = 0,3 (на первом уровне напряженно-деформированного состояния). Диаграмма <т- г разбита на 4 участка. Нагрузка равномерно-распределенная 1 кН/м2 разбита на 10 этапов. На рис. 1 представлены графики нагрузка - прогиб в точках х1 = 1 м, х2 = 3 м и х, = хг = 3 м в сравнении с линейной теорией соответственно сплошной и штриховой линиями. По сечению х, = 3 м на рис. 2 сплошной линией показаны эпюры прогибов и изменений напряжений: штрихпунктирной линией по внешней поверхности оболочки и штриховой - по внутренней. Цифрами обозначены этапы нагружений.

Анализируя результаты, приведенные на рис. 2, следует отметить, что происходит качественное изменение напряженно-деформированного состояния оболочки в процессе нагружения. Так в средней части оболочки напряженное состояние меняется от изгиба к растяжению при максимальной нагрузке. Прирост происходит за счет уменьшения изгибающих моментов и увеличения тангенциальных усилий и составляет 82 % при неизменном модуле Юнга. Увеличить резервы оболочки возможно варьированием углов и числом изломов. Причем изломы поверхности сказываются в большей степени на деформациях, чем на напряжения, где их влияние прослеживается при небольших значениях. По сравнению с линейным расчетом в приконтурных зонах оболочки прогибы уменьшаются на 27 %, в центре происходит их увеличение на 11 %. Такая картина распределения деформаций связана также и с геометрическими параметрами оболочки. Поскольку прогибы оболочек при максимальных напряжениях становятся, как правило, соизмеримы с толщиной дальнейшее увеличение нагрузки необходимо вести с учетом геометрически нелинейных соотношений.

3. Оболочки с вырезами и отверстиями. Разрешающее уравнение по методу дискретных жесткостей представляется в виде:

к /

/ / A / у

/ '1 / vV

/

U/,

Q 0.2 0.4 a,6 Q,b

с

ACkila 0.B

0.6

0.4

Q.2-

0

-ОД

-Q.h

-0.6 Si

4

V

У / i

/ /V • / s* ---- ___s^

¡Г f / / i y y s - --

V ' 6/ 1 / 1 / г i 5 2 À 3

\ V. \ \ 1 y y 1

\ ¡i Q

ur мм

Рис. 2. 30

где /,"(..)= !

а' | (2 а1

З.т,' 5.x, дх.

+ (2 + ИУ

а'

О

а2 Э'

3*,

1ш(...) +

2 В

—^—Ке(...) + «(1 + //)(1 - ЕЬу1ш(...) -

ох, от, слг.ах,

- /л/Г

3*3*

При использовании равного интервала нагрузки на каждом шаге нагружения решение уравнения (60) определяется:

/; £ л/

,*2) = Л/ • и0т + ЕI ЕС«'», (^и > ^2/) + V» (-Гц, *2,)] +

*=! /»=1

пЛ' И г! ЛУ

- Е /;>. (*„ ,)+£ с/«, £ '.'V- (*.* ■ ) -

га: и и

" £ ^«* £ (*.» . ) + 2 " С/, £ /1. *2 )■

(61)

В выражении (61) множитель п=2 при К, Ь >10 обеспечивает необходимую инженерную точность расчетов. При специальных расчетах п варьируется от 1 до 20. Трудоемкость из-за громоздкости правой части уравнения (61) компенсируется простотой автоматизации построения искомой функции н быстрой сходимостью получаемых рядов за счет внедрения в решение специальных разрывных базисных функций.

Как показывают исследования, существенным образом возмущение НДС оболочки проявляется в зависимости от размеров отверстий. При небольших размерах, до 1/10 пролета оболочки, вблизи отверстия появляются изгибающие напряжения, достигающие 90% от уровня краевых напряжений. Напряженное состояние в опорной зоне совпадает с напряженным состоянием гладкой оболочки в пределах допустимой погрешности. Если отверстие более 3/10 от пролета оболочки, происходит перераспределение НДС в сторону увеличения тангенциальных сил и изменение направлений линий главных растягивающих напряжений. При отсутствии заполнения отверстия, относительные деформации, как правило, уменьшаются с увеличением размеров отверстия. По этой причине и устанавливаются конструктивные вырезы и отверстия.

4. Оболочки сложной формы и конфигурации. Представлены оболочки с несимметричными граничными условиями, в том числе со свободным или упругоподатливым краями; сложной формы в плане; с угловыми вырезами и точечными опорами. При получении разрешающих уравнений оболочка приводится к прямоугольному плану за счет продолжения линии контуров до пересечения и образования участков нулевой толщины, описываемых выражениями (11)-(13). Граничные условия считаются шарнирными по всей длине новообразованного контура оболочки. При этом внутренние силовые факторы на границах отверстия переходят в единые граничные условия задачи.

Разрешающие уравнения получаются путем аналитического сопоставления исходных уравнений для оболочек типа (54), (57)-(58) и (60) их эквивалентных моделей. Для этого необходимо исключить из правых частей уравнений коэффициенты при функциях //Яц, 8и и 3и (/' <-> у), которые переходят в задание граничных условий. Комбинации оставшихся членов представляют собой элементы нагрузки, компенсирующие влияние "мнимого" отверстия на несимметричность граничных условий.

Разрешающее уравнение оболочки со свободным краем в комплексном виде принимает вид:

Вид операторов Ь, I, 1т~' аналогичен выражениям (57) и (60).

Для решения уравнения выполним дискретизацию оболочки вдоль оси х, на К жесткостных частей, а вдоль оси - на Ь частей, при этом в континуальной части образуется п участков. Для достоверности результатов необходимо использовать более мелкую сетку разбиений и принимать К и £ в пределах 10...20. Это связано с производными второго и четвертого порядка, содержащимися в операторах £ и /. В таком случае, учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, уравнение (62) запишется в виде

Ь<Рт=— + !<Рт + Г>„ + (¿Р „ - 1<Рт ~ '""V™ )Н\

+ -е.,)-

(62)

(63)

Решение уравнения (63) с помощью (22) и (23) представим в виде:

к =1 Ы

к=п

41(21) К <Ст(Х['ХИ^

(64)

Уравнение (64) содержит неизвестные коэффициенты, отражающие изменения жесткостных параметров и дополнительные члены, учитывающие взаимодействие континуальной и "мнимой" частей оболочки. Для их определения, последовательно воздействуя на левую и правую части: К-Ь раз оператором /(... )+/"-'(•■•); *-2-я раз оператором £(...)-/(... )+/""'(•••) и I раз /,(... )-/2(...) и последовательно перебирая все фиксированные точки х=хп, а х2=х21, приходим к решению системы из (К-Ь+К-2-п+Ь) алгебраических уравнений. Искомая функция для полного нагружения определяется как:

<Р = I <рт = I + £ £ £ (¡<рт (хи, хг,) + Г"1V,, (х„, х21 )р2а1) +

т т т 1=1 /=1

т 1=1

Формулы для перемещений, усилий, моментов и напряжений выражаются в виде:

(65)

- и 12

II

Г,. = —1т

о х2 ^ о дг, 3 л,

п д х, 1 2 1 2 1 2

(1 - г—+ (/>-«—) Яе^-« &,Й12 аг,аг2

(66)

и йх,йх2

Разрешающее уравнение для оболочки с подкрепленным краем получим из (54) и (60). При этом достаточно объединить правые части уравнений, учитывая вышеприведенный разрывный характер подкрепления. Использование метода дискретных жесткостей приводит к уравнению

о

у /-у.+(¿и. - 1Ря - /->.>/„ + (/.V+-*,,)-33

(67)

где /„(...) =

/,

О J"-^ Я

и, т 'и

-1

а'

Яе(...); /7/' — приращение жесткости ребра на

дх

изгиб в плоскости, касательной к срединной поверхности оболочки;

= 3/":' — приращение жесткости на сдвиг в той же плоскости. При дискретизации рекомендуется использовать более мелкую сетку разбиений в пределах 20.. .28, что связано с наличием оператора /31, содержащего производные третьего порядка.

В случае жесткого защемления края оболочки необходимо изгибную и крутильную жесткости ребра приравнять бесконечности. Однако, рекомендуется таким подходом рассчитывать оболочку неквадратного исходного плана, поскольку трудно оценить влияние "мнимого" отверстия на цельную оболочку.

Алгебраизация задачи приводит к решению системы (К-Ь+К +3-Ь) уравнений, а само решение уравнения (67), полученное методом дискретных жесткостей, для полного нагружения имеет вид:

<Р = Е <рт = Е иВт + ЕУ2ИЕЕ(/^(*1*.д;2/) + '"'>,,,(* 14.*!,))+

(х„, х2) - 1<рт (хп, хг )-/"">„, (х

т к

+Е ЕВа12?.^.

(68)

Оболочки сложной конфигурации описываются как совокупность оболочки прямоугольного плана и областей нулевой толщины. При закругленном контуре области из правой части ниже рассматриваемых уравнений следует исключить коэффициенты при ортогональных дельта-функций 8в8 и их производных. Используя метод дискретных жесткостей и преобразуя уравнение (60) на каждом шаге приращения нагрузки, получим

= % + ><Р„ + Ч + ЕО^» ~ 1Ч>- ~ иНпс +

и С»1

т г 2 . .

+ЕЕЕ +Г!<рт3(х, -хь.ъЖх, -*л„„)1

(69)

где Нис=Н{х,-х1{2с.1))-Н(х,-х1(2,:)), число отверстий.

Решение уравнения (69) представляется как

и

^и/Уцы) "г

».I 1.1

ЛЯ ДГ-Щ-О. ,

С»1 /-/1

+

Г 1

+

+

+ 2(/>„ (х, ,хг) + /,>,„ (х,, х2

Алгебраизация (70) приводит к решению системы К^+Ш (А'-( !)•(£-/1)+Д'Л (2Н+2/1+1) уравнений, коэффициенты которой вычисляются совместно с элементами (61), а сама функция определяется аналогично (68).

Методика расчета указанных оболочек разработана до практически применимых формул, позволяющих легко и эффективно получить НДС в стадии геометрической и физической нелинейности.

5. Оболочки сотового строения из пластин, соединенных между собой встык или внахлестку и образующих при этом гладкие или чешуйчатые многогранники. Отметим, что шестиугольная форма выигрывает статически и конструктивно по сравнению с другими - из-за сокращения количества стыков и суммарной длины стыковочных линий, что влияет на герметичность покрытий или кровли. Взаимодействие сотовых элементов оболочки при тупоугольных вершинах приводит к меньшей концентрации напряжений в узлах. Такие конструкции являются наиболее эффективными для малых и средних пролетов (до 36 м).

Характер работы определяется конструктивным решением и обосновывается выбранным материалом и стыковкой через сплошные ребра или фальцы (двойной или одинарный), шпунтовые соединения с изолирующими прокладками и точечные связи. В последнем случае возможно создание эксцентриситетов нормальных усилий с образованием разгружающих моментов, что позволяет определенным образом уменьшить сечения элементов. Различают конструкции двух основных типов: ребристые пластинчатые и безреберные. В ребристых пластинчатых системах основными несущими элементами являются ребра, а тонкостенные грани участвуют в работе лишь частично, в зависимости от соотношения толщины пластин и ребер, тем не менее, в значительной степени повышают жесткость и несущую способность.

Безреберные имеют несущие элементы в виде тонкостенных пластин, образующих одно- или двухслойные системы. При.этом сопряжения граней можно считать шарнирными, а сами конструкции пластин - жесткими в своей плоскости. Расчетная схема этих конструкций может быть принята стержневой, если каждое тонкостенное поле представить в виде плоской стержневой фермы с узлами на гранях. Следует заметить, что для оболочек с большими изломами между гранями эффективнее рассчитывать как дискретную оболочку с помощью обобщенных (разрывных) функций. При этом принимают следующие упрощения:

- в местах контакта пластинчатых элементов друг с другом имеются угловые точки с наивысшей концентрацией напряженного состояния. В таком случае не обязательш • передавать точную геометрию элемента в целом. Достаточно учесть

ее в локальной области вблизи концентратора, пренебрегая несущественными отклонениями на достаточном удалении от него;

- в середине ребра концентрации напряжений как таковой не наблюдается.

Исходя из этого, представим сотовый многогранник семейством эллиптических пластин, описываемых в виде (14). Подставляя (14) либо в качестве пределов интегрирования (5) или (8), либо в соотношения между усилиями и деформациями в виде (3)-(4), либо используя прямую постановку в уравнения (54)-(61), приходим к комплексному разрешающему уравнению сотовых оболочек в сжатом виде

¿Л. + + ££££[ь + ЦУгН^Н^ ■. (71)

и ,«] 1.1 /.1

Решение уравнения (70) зависит от последнего члена правой части и в общем случае принимает вид:

9. »7> = </."+£ Е ^ ,»&,) + /""V. ■ 1+ £ £ [¿Л.

к*I ЫI д=1

2И + X X Ф11 (€* ' V» ) ~ 2 ^т (£* » '7/ +

»-I »1

д-1 («I у.1

Обозначения операторов приведены в выражениях (54), (57) и (60). Следует заметить, что оператором Ц из (60) пренебрегаем в связи с выбранной расчетной схемой. Поиск неизвестных коэффициентов приводит к решению объединенной системы алгебраических уравнений.

Таким образом, применение метода дискретных жесткостей к решению разрешающих дифференциальных уравнений с переменными жесткостными коэффициентами позволило создать эффективный аппарат расчета оболочек с учетом сложных конструктивных особенностей. Учет нелинейности работы материала и конструкции позволяет оценить перераспределение усилий и моментов в процессе нагружения и исследовать их запредельное деформирование. Использование в аппроксимирующих функциях специальных разрывных функций позволяет искомым решениям отразить все характерные особенности полей НДС.

В шестой главе проводится исследование точности и сходимости разработанного алгоритма и показаны результаты расчета конкретных оболочечных конструкций по методу дискретных жесткостей в сравнении с другими.

В работе выполнен анализ влияния основных погрешностей алгоритма, основанного на методе дискретных жесткостей: а) замена непрерывных уравнений дискретными аналогами и аппроксимация деформационной кривой; б) погрешность численно-аналитического вычисления жесткостных характеристик и переменных коэффициентов в неоднородных дифференциальных уравнениях при ступенчатом приложении нагрузки; в) представление искомых

функций рядами с ограниченным числом членов; г) приближенное определение компонентов НДС при линеаризации нелинейной задачи; д) вычислительная погрешность, возникающая при решении систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка и при определении детерминантов матриц вследствие накопления ошибок округления.

Поскольку получить теоретические ответы о точности полученного решения сложно из-за невозможности получить чисто аналитическое решение уравнений типа (8) или (10), то выполнены численные эксперименты на сходимость к достоверному решению задач с достаточной для практики степенью точности. По специальным экспериментальным расчетам, в которых выбирается диапазон разбиений и приближений, разработаны практические рекомендации по устойчивому и достоверному построению предлагаемых решений.

Для достоверного решения количество участков дискретизации между конструктивными разрывными параметрами должно быть более 3. Границы интервалов не должны совпадать с местами пересечения разрывных параметров. Рекомендуется в зоне пересечения брать меньший интервал разбиений, число которых не менее 7. Для получения приемлемых результатов поверхность гладких оболочек достаточно разбивать на 9 участков.

Что касается устойчивости счета, то, начиная с удержания 5 членов ряда в базисных функциях (23), определяется характер получаемых данных. Для вычисления прогибов достаточно удерживать 3-5 членов ряда, для моментов -7, для тангенциальных сил - 9. Дальнейшее увеличение ведет к некоторому уменьшению нормальных перемещений и перераспределению изгибающих моментов и тангенциальных усилий в сторону увеличения последних. Алгоритм вычисляет четные и нечетные гармоники в зависимости от вида приложенной нагрузки.

С целью подтверждения эффективности и достоверности получаемых результатов выполнены исследования напряженно-деформированного состояния пологих оболочек с отверстиями, ребрами и изломами по разработанному методу в сравнении с другими. Получены результаты расчета некоторых оболочечных конструкций, отсутствующие в ранних исследованиях.

Приведем расчет оболочки куполообразной формы (рис. 3) пролетом 15 м, высотой 7 м. Контурные арки сложного очертания одновременно являются оконными и дверными проемами. Оболочка составлена из алюминиевых трехслойных элементов типа "сэндвич" для отапливаемых зданий или фальцованных листов толщиной 2 мм для неотапливаемых зданий, относится к классу безреберных. Крепление элементов осуществляется по всей линии стыком "ласточкин хвост" или на болтах в углах панелей. Возможно применение клеефа-нерных материалов типа подкрепленных по контуру пластин, соединяющихся в шпунт или четверть. Расчетная схема оболочки была составлена для верхней надпроемной части как для пологой. По характеру работы элементов оболочки, особенно в угловой приопорной зоне, необходимо учитывать углы перелома поверхности.

— геометрически нелинейная;

Рис. 5. 38

чз s

Результаты расчета по различным расчетным схемам представлены на рис. 4, а моделям деформирования - на рис. 5. Влияния количества локальных областей на внутренние силы и моменты показано на рис. 6 сплошными линиями. Расчет гладкой оболочки с теми же исходными данными (штриховая линия) показывает, что не учет дискретности поверхности оболочки завышает истинные прогибы на 15 %, нормальные силы - на 22 % , а моменты М2 уменьшает на 35 %. Следует отметить, что отсутствие в литературе данных не позволяет провести сравнение предложенной автором методики расчета. Тем не менее, впервые получены численные данные о НДС оболочки сотового строения.

Для оценки влияния углов поворота нормали срединной поверхности получим решение (43) для произвольной стадии деформирования, воспользо-. вавшись методом дискретных жесткостей:

¿(в-'Д'+у-'^-ДоК+И)"

16

з(/Г'У

•V.

(73)

7 = 1,2,3,

где а

(д4+д\Х..)=Н(кЛ '21,

= 1-/,; и.и представляет собой решение уравнения

д„ =

\-ft\Eh

Ё— 12 ах,4

'дх\

1-Л2

ах

йх,4

-+к.

дх".

+ 2

к,к.

Д2 - кхкг1г АА1

Индексное обозначение миноров Ац определяется в результате поэтапного суммирования искомых величин, а сами выражения образуются аналогично операторам (43).

Для определения коэффициентов, стоящих в фигурной скобке в (73), необходимо провести операторное воздействие на обе части уравнения (д4 +д»)(...) и последовательно перебрать все точки до К и Таким образом, решение задачи сводится к решению системы 3-К-Ь алгебраических уравнений, в результате которого определяются перемещения дискретных точек, а с помощью выражений (42), (3) и (4) - усилия и моменты.

По разработанной модели рассчитана шарнирно-опертая оболочка шестиугольной формы в плане пролетом 15,6 м; стрела подъема 3,5 м; радиусом кривизны 10,44 м; толщиной Л=25 мм. Характеристики материала следующие: £=1-10'' МПа; Ь.£=ё-\ на первом уровне нагружения считаем //=0,3. Диаграмма а — е разбита на 4 участка. Нагрузка равномерно-распределенная 15 кН/м2, разбита на 10 этапов нагружения.

На рис. 7, представлены эпюры распределения нормальных усилий: 1 - Т, и 3 -Т2 по сечениям 1/4 х} и 1/2 х2 соответственно. Для сравнения приведены-усилия Г, в середине оболочки (линия 2) по данным метода эквивалентного осреднения. Как видно из графика, упрощенная теория занижает внутренние

усилия до 50 % по сравнению с более точными моделями деформирования. На рис. 8 показаны также распределение максимальных прогибов в мм (кривая 1) и изменение моментов по сечению 1/2 хг

В целом, предложенная математическая модель нелинейности позволяет проследить перераспределение усилий и моментов и за счет этого получить экономию материала. Перераспределение напряжений происходит за счет уменьшения их уровня в наиболее напряженных сечениях и увеличения в менее напряженных, т.е. оболочка работает в более "благоприятных" условиях. Кроме этого, при учете физически нелинейной стадии деформирования материала прослеживается сглаживание полей НДС вблизи нерегулярностей строения оболочки. Так, например, в окрестностях угловых точек отверстия влияние нелинейности достигает 20...25 %, вблизи изломов сотовых оболочек до 15 %.

Проведены исследования градиентов жесткостных функций пологих оболочек. Градиентный подход оказывает наибольшее влияние (до ±18...27 %) лишь в предельной стадии нагружения для большинства строительных материалов.

7^x10, кН/м

... .2

-----з

1/2 х1/а1

М.хЮ"3, кНм/м

Рис. 7.

И', мм

Рис.8

Седьмая глава представляет структуру и описание пакета прикладных программ .ЧШ для расчетаоболочёчных конструкций на ЭВМ по разработанным

автором алгоритмам, в основе которых реализован метод дискретных жесткостей. Представлено описание программ, состав исходных данных и расшифровка результатов расчета. Преимущество данной разработки по сравнению с известными вычислительными комплексами в том, что используется аналитическая форма решения задач теории оболочек, что позволило добиться компактности ввода исходных данных; исключить эффекты "запирания" матриц вблизи сингулярных точек и, наконец, повысить достоверность результатов за счет обращения хорошо обусловленных: матриц.

Пакет прикладных программ NLO предназначен для статических расчетов пологих оболочек и исследования влияния факторов упругопластического и геометрически нелинейного деформирования; нерегулярностей строения - ребра, отверстия, изломы и их комбинации; скругления зоны сингулярности на поля напряжений оболочки.

Язык программирования FORTPAH 77 для вычислительных машин серии IBM РС.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Получены уточненные варианты систем дифференциальных уравнений для расчета нерегулярных оболочек в условиях физически и геометрически нелинейного деформирования. Нерегулярность отражает наличие в конструкциях ребер, изломов поверхности, отверстий. Предложены научные основы подхода к описанию оболочек сложной формы, в том числе сотовой структуры. Для частных видов оболочек исходные уравнения сведены к последовательности линеаризованных с переменными коэффициентами в виде жесткостных функций, зависящих от истории нагружения, относительно вектора перемещений и в смешанной форме.

2. На основе анализа вариаций реальных физических процессов при деформировании установлена новая аппроксимация закона упругопластического деформирования, при котором диаграмма а-е представляется сплайн-функцией, исключающей погрешности при обработке экспериментальных данных.

3. Разработан новый метод расчета оболочек в физически и геометрически нелинейной постановке, заключающийся, в построении неоднородного напряженно-деформированного состояния путем суперпозиции локальных дискретных объемов, для которых определенным образом известны последовательность изменения формы и жесткостных функций относительно системы координат. Локальные объемы описывается с помощью специальных разрывных функций. Данный подход назван методом дискретных жесткостей.

4. Разработан метод интегрирования линеаризованных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами в виде регулярных и импульсных функций для теории оболочек с нерегулярными параметрами. Метод инвариантен относительно различных типов тонкостенных конструкций. Эффективная схема построения численно-аналитических решений, набор базовых функций, которые аппроксимируют переход к решению линейных

задач, а также использование разрывных функций дают этому методу значительные вычислительные преимущества по сравнению с известными аналитическими и численными методами.

5. Составлены методика и алгоритмы расчетов вышеуказанных типов оболочек, описывающие все особенности нерегулярного строения, в том числе со сложным контуром; позволяющая исследовать НДС конструкций в целом, атакже перераспределение усилий и деформаций в нелинейной стадии. Полученные расчетные формулы рекомендуются для использования на ранних стадиях проектирования оболочек.

6. Алгоритмы расчетов реализованы в виде пакета прикладных программ применительно IBM PC (язык программирования FORTRAN-77).

7. На основе численного анализа созданной модели установлены закономерности влияния поперечных сдвигов оболочек и нелинейных факторов на изменения жесткостных свойств конструкции в целом. Для сотовых оболочек дополнительно выявлены особенности поведения несущих элементов и узловых соединений под нагрузкой. Показано влияние физической нелинейности на концентрацию напряжений вблизи нерегулярностей.

Сопоставление величин напряжений, рассчитанных аналитически и полученных в экспериментальных исследований, показало достаточно удовлетворительное соответствие расчетных предпосылок действительной работе сооружения.

8. Разработанный в диссертации метод расчета нерегулярных оболочечных конструкций позволяет решить актуальные проблемы достоверного расчета и рационального проектирования современных покрытий, отличающихся экон» мичностью, высокой надежностью, простотой изготовления и технологичностью монтажа.

Составленный пакет прикладных программ для вышеназванного класса задач может применяться в практических расчетах на прочность и жесткость, при оценке применимости результатов линейной теории, а также в определении несущей способности при реконструкции сооружений.

Изложенные аналитические методы расчета являются новыми, не применявшимися ранее в известных исследованиях, и, могут быть с успехом использованы для решения широкого класса задач различных разделов механики.

Выполненные в диссертационной работе исследования, полученные результаты и сформулированные научные положения дают возможность квалифицировать их как новое научное направление в области теории расчета тонкостенных пространственных конструкций нерегулярного строения в условиях нелинейного деформирования.

Как представляется автору, впервые в отечественной и зарубежной практике построена достоверная математическая модель деформирования физически и геометрически нелинейных оболочек, свободная от погрешностей идеализированных законов, с полным объемом тензорных компонентов жесткостных функций, и получены результаты решения оболочек сложной конфигурации, а именно: переменной формы в плане, с различными несимметричными условиями закрепления контура, сотовых многогранников из пластинчатых элементов.

Основные публикации

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Гаянов Ф.Ф., Спиридонов C.B. Исследование напряженно-деформированного состояния оболочек с подкрепленными прямоугольными отверстиями / / СПбИСИ. - СПб., 1992. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 2033-В92.

2. Гаянов Ф.Ф., Спиридонов C.B. О расчете пологих оболочек с прямоугольными отверстиями с применением импульсных функций // Проблемы прочн. -Киев, 1994.-№ 5.-С. 45-50.

3. Гаянов Ф.Ф., Спиридонов C.B., Якунчихин В.Г. Метод дискретно-эквивалентных коэффициентов в нелинейной теории оболочек с разрывными парамет-рами//Тр.16 Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород,

21-23 сент. 1993. Т.З. - Н. Новгород, 1994. - С. 78-81.

4. Михайлов Б.К., Спиридонов C.B. Методика расчета нелинейно-упругих оболочек с прямоугольными отверстиями / Инф. листок № 276-92 ЛенЦНТИ,-Л, 1992.-2 с.

5. Михайлов Б.К., Спиридонов C.B. О расчете нелинейно-упругих оболочек сложной формы в плане с прямоугольными отверстиями // Совершенствование и расчет строит, конструкций из дерева и пластмасс: Межвуз. темат. сб. тр. -СПб.: СПбГАСУ, 1994. - С. 90-96.

6. Спиридонов C.B. Анализ напряженно-деформированного состояния сотовых оболочек в стадии нелинейного деформирования // Докл. 57 науч. конф. профессоров, преподавателей, науч. работников ... ун-та. Ч. 1. - СПб.: Изд-во СПбГАСУ, 2000. - С. 102-104.

7. Спиридонов C.B. Влияние поворота нормали на напряженно-деформированное состояние нерегулярных оболочек в стадии нелинейного деформирования //Тр. мол. ученых. 4.1.-СПб, 1999.-С. 116-121.

8. Спиридонов C.B. Исследование напряженно-деформированного состояния пологих оболочек с отверстиями с использованием специальных разрывных функций // Молодые ученые - науке и народному хозяйству / Тез. докл. Респ. науч.-практ. конф., 15-16 нояб., 1989. - Ижевск, 1989. - С. 5.

9. Спиридонов С.В. Исследование напряженно-деформированного состояния оболочек при физически нелинейном деформировании методом дискретной линеаризации//Тез. докл. 55 науч. конф. профессоров, преподавателей ... ун-та. - СПб.: Изд-во СПбГАСУ, 1998. - С. 91-92.

10. Спиридонов C.B. Исследование напряженно-деформированного состояния упругопластических оболочек методом дискретных жеспгкостей // Матем. модел. мех. сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов. СПб,

22-25 июня 1999: Тез. докл. - СПб, 1999. - С. 146.

11. Спиридонов C.B. Метод дискретных жесткостей в расчетах нерегулярных оболочечных конструкций с учетом нелинейности // Докл. 56 науч. конф. профессоров, преподавателей ... ун-та. 4.1. - СПб.: Изд-во СПбГАСУ, 1999. -С. 86-87.

12. Спиридонов C.B. О методе учета физически нелинейных деформаций в расчетах оболочечных конструкций из сотовых панелей // Тр. мол. ученых.

4.1. - СПб.: Изд-во СПбГАСУ, 1997. - С. 199-204.

13. Спиридонов C.B. Особенности расчета пологих оболочек сложного контура // Ученые ИжГТУ - производству: Тез. Докл. науч.-техн. конф.- Ижевск, 1994. -

14. Спиридонов C.B. Пакет прикладных программ для статического расчета пологих оболочек // Тр. мол. ученых СПбГАСУ. 4.V. - СПб., 1999. - С. 78-80.

15. Спиридонов C.B. Предельное состояние конструкций неоднородных упругопластических оболочек // Тр. мол. ученых. Ч. 1. - СПб.: Изд-во СПбГАСУ, 1998. - С. 119-124.

16. Спиридонов C.B. Расчет и проектирование нелинейно-деформированных оболочек покрытия. - Ижевск: ЗАО Принт-проект, 1999. - 178 с.

17. Спиридонов C.B. Расчет конструкций из пологих оболочек с большими прямоугольными отверстиями // Совершенствование строит, конструкций из дерева и пластмасс: Межвуз. темат. сб. тр. - СПб.: СПбИСИ, 1992. - С. 84-89.

18. Спиридонов C.B. Расчет нелинейно-упругих оболочек с прямоугольными отверстиями / Тез. докл. науч.-техн. конф. Ижевского мех. ин-та.- Ижевск: ИМИ, 1992.-с. 78.

19. Спиридонов C.B. Расчет нерегулярных оболочечных конструкций с учетом физически нелинейного деформирования // Изв. вузов. Строительство. - 1999. -(в печати).

20. Спиридонов C.B. Расчет пологих оболочек с прямоугольными вырезами в условиях нелинейно-упругих деформаций: Дисс. ... канд. техн. наук. - СПб.: СПбГАСУ, 1993.-213 с.

21. Спиридонов C.B. Экспериментальный экологичный жилой дом//Тез. докл. XXX науч.-техн. конф. "Ученые ИжГТУ - производству". - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 1997.-С. 6-7.

22. Спиридонов C.B., Стукач В.Н. Расчет пологих оболочек с нерегулярной поверхностью в условиях нелинейно-упругой деформации / Тр. 14 Межресп. конф. по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, 25 сент.-1 окт. 1995. - Волгоград, 1995. - с. 3.

С. 168.

Введение

Глава 1. Современное состояние теории оболочек и их использование в технике

1.1. Методы расчета физически нелинейных оболочек

1.2. Методы расчета геометрически нелинейных оболочек

1.3. Методы решения задач теории оболочек с особенностями нерегулярного строения

1.4. Методы дискретизации при расчете оболочек

1.5. Расчет и проектирование оболочечных конструкций на ЭВМ.

1.6. Обоснование и постановка задач диссертационной работы.

Глава 2. Исходные соотношения нелинейно деформируемых оболочек. Основные разрешающие уравнения

2.1. Геометрические соотношения.

2.2. Дифференциальные уравнения равновесия оболочки.

2.3. Физические соотношения теории оболочек

2.4. Разрешающие уравнения для нелинейно деформируемых пологих оболочек

2.5. Формулировка граничных условий

2.6. Разрывные функции при учете нерегулярности строения обрлочек

2.7. Разрешающие уравнения физически и геометрически нелинейных оболочек с учетом нерегулярности строения.

2.8. Выводы по главе.

Глава 3. Метод дискретных жесткостей в расчетах оболочек с нерегулярными параметрами в условиях физически и геометрически нелинейного деформирования

3.1. Способы аппроксимации параметров жесткости

3.2. Система базисных функций для расчета оболочек нерегулярного строения

3.3. Описание алгоритма решения нелинейных дифференциальных уравнений оболочек методом дискретных жесткостей.

3.4. Исследование систем алгебраических уравнений относительно фиксированных коэффициентов. Оценка погрешности решений

3.5. Выводы по главе

Глава 4. Расчет оболочек в условиях физически и геометрически нелинейного деформирования

4.1. Упрощенные теории физически нелинейных оболочек.

4.2. Уточненные варианты разрешающих уравнений физически и геометрически нелинейных оболочек

4.3. К вопросу о применимости линейной теории пологих оболочек

4.4. Основные положения устойчивости нерегулярных оболочек

4.5. Динамические задачи.

4.6. Проектирование оболочек с помощью метода дискретных жесткостей.

4.7. Выводы по главе.

Глава 5. Принципы проектирования и расчеты эффективных оболочечных конструкций

5.1. Оболочки, подкрепленные ребрами

5.2. Оболочки с изломами поверхности

5.3. Оболочки с вырезами и отверстиями

5.4. Оболочки сложной формы и конфигурации

5.5. Оболочки сотового строения

5.6. Выводы по главе

Глава 6. Исследование точности и сходимости алгоритма метода дискретных жесткостей. Примеры расчета оболочечных конструкций

6.1. Анализ влияния основных типов погрешностей

6.2. Численные эксйерименты алгоритмов

6.3. Исследование напряженно-деформированного состояния пологих оболочек с отверстиями, ребрами и изломами.

6.4. Учет углов поворота нормали срединной поверхности

6.5. Выводы по главе.

Глава 7. Структура и описание пакета прикладных программ

NLO для расчета оболочечных конструкций

7.1. Программа OUVERTUR для расчета линейных оболочек с учетом разрывных параметров

7.2. Программа RESYS для расчета дискретно подкрепленных оболочек

7.3. Программа NELPO для расчета оболочек в условиях физически и геометрически нелинейного деформирования

7.4. Описание входной и выходной информации

Современные требования, предъявляемые к строительным конструкциям, выражаются в сочетании легкости, прочности и надежности. Этому в полной мере удовлетворяют тонкостенные пространственные конструкции в виде оболочек, применяемые в различных областях техники. Разнообразие форм, совмещение несущих и ограждающих функций, минимизация затрат на единицу объема привели к распространению оболочек в практике строительства .

К настоящему времени накоплен огромный материал по исследованию напряженно-деформированного состояния (НДС) и по проектированию оболочек. Однако, внедрение современных композитных материалов с высокими прочностными и низкими дефор-мативными свойствами требует разработки новых математических моделей деформирования оболочек. При этом деформации, допускаемые СНиП, оказываются большими по сравнению с толщиной. Стремление к снижению собственного веса сооружений вызывает необходимость глубокого анализа связи конструктивных схем с механическими характеристиками используемых материалов и приводит к нерегулярности строения: изломы, подкрепляющие ребра, отверстия, переменная толщина, сочленения тонкостенных элементов и т.п. Нерегулярность геометрических и физических параметров вызывают существенную концентрацию напряжений и создают опасные зоны пластических деформаций в элементах оболочки, что существенно влияет на ее несущую способность .

Проблема расчета нерегулярных оболочек в условиях нелинейного деформирования, поставленная в общем виде, является чрезвычайно сложной и требует особого подхода, связанного с совершенствованием математической модели и применением уточненной методики расчета. В рамках данного научного направления традиционные аналитические и численные методы расчетов становятся малоэффективными. Расчет тонкостенных конструкций с разрывными параметрами аналитическими методами встречает серьезные трудности из-за плохой сходимости рядов из обычно применяемых аппроксимирующих регулярных функций. Это связано с тем, что уравнения теории оболочек в местах приложения сосредоточенных нагрузок, на концах ребер и границах вырезов имеют сингулярные слагаемые. Численные методы, успешно применяемые для расчета тонкостенных конструкций, требуют сгущения сетки разбиений и больших затрат машинного времени при решении нелинейных задач. Актуальность данного направления исследований обусловлена также недостаточным развитием и внедрением простых, и, в то же время, эффективных методов расчета оболочек с учетом неоднородных полей НДС и установлением реальных физических закономерностей процессов деформирования, которые могли бы быть использованы при проектировании .

В связи с этим возникает потребность в разработке новых эффективных методов решения указанного класса задач.

Научная новизна заключается в создании нового направления в области теории расчета тонкостенных пространственных конструкций, содержащих особенности в виде нерегулярностей строения, в условиях нелинейного деформирования. В работе предложен способ учета физически нелинейных деформаций при линеаризации исходных систем разрешающих уравнений. Впервые построена теория расчета оболочек сложной конфигурации с учетом физической и геометрической нелинейности.

Достоверность результатов обеспечивается тем, что все преобразования, проведенные в работе, основываются на общепринятых гипотезах теорий оболочек и пластичности и методах строительной механики, корректность которых доказана и подтверждается удовлетворительным совпадением данных, полученных различными авторами. Погрешность предлагаемой математической модели оценивается собственными исследованиями. Степень расхождения предложенного решения сравнивается с результатами расчета тестовых и реальных конструкций с помощью ВК "ЛИРА" и по собственному пакету прикладных программ в начальной стадии нагружения.

Практическая значимость работы состоит в разработанном методе дискретных жесткостей, применение которого позволит получить достоверную и точную информацию о НДС оболочек с конструктивной нерегулярностью и влиянии на их несущую способность учета физически и геометрически нелинейных деформаций. Определены основные зависимости влияния отверстий, подкрепляющих ребер, изломов поверхности, сложной геометрии на возмущение поля напряжений и на основании численных экспериментов предложены принципы проектирования пологих оболочек. Разработанные алгоритм и программы расчета оболочек могут быть использованы в инженерных расчетах на прочность и жесткость тонкостенных пространственных конструкций из современных материалов с низким пределом пропорциональности (стеклопластики, композиты, фанера, алюминиевые сплавы).

Личные достижения автора состоят в разработке метода дискретных жесткостей для получения линеаризованных дифференциальных уравнений с кусочно-переменными коэффициентами, зависящими от истории нагружения, для физически и геометрически нелинейных задач оболочек с разрывными параметрами, а также использование предложенного метода для определения разрывных полей НДС путем суперпозиции дискретно изменяющихся жесткостных параметров в системе уравнений; в получении свободных от погрешностей аппроксимации деформационной кривой и упрощения тензорных компонентов функций жесткостей систем нелинейных дифференциальных уравнений; в предложении нового закона деформирования упругопластических материалов и расчетных схем пологих оболочек с переменными параметрами геометрии, в том числе сотового строения; получении разрешающих уравнений пологих оболочек с учетом поворота нормали срединной поверхности в процессе геометрически и физически нелинейного деформирования; построении методики аналитичеко-го решения дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами в виде регулярных и нескольких сингулярных составляющих, доведенной до практически применимых формул и реализованной в комплексе прикладных программ для статического расчета нерегулярных оболочек; решении проблем расчета оболочек сложной конфигурации и с несимметричными граничными условиями на единой методологической основе; проведении исследования напряженно-деформированного состояния оболочек, подкрепленных ребрами, ослабленных вырезами, с изломами поверхности и в виде сотового многогранника.

Рассматриваются тонкие оболочки, для которых справедливо соотношение h/R < 1/20, где h — толщина оболочки, R=l/kmin — наименьший радиус кривизны срединной поверхности. Применяемые в строительстве оболочки имеют показатель h/R порой значительно меньше, чем 1/20, поэтому область возможного использования излагаемых подходов достаточно велика.

Первая глава посвящена анализу современного уровня развития оболочечных, конструкций, опыту проектирования и строительства. Состояние вопроса теоретического и экспериментального исследований приводится в обзоре литературы. Приводится анализ численных и аналитических методов расчета оболочек. Поставлены цели и задачи настоящего исследования.

Во второй главе дается теория тонких оболочек в общем виде. Представлены основные соотношения и вывод уравнений, описывающих нелинейно деформируемые оболочки с различными нерегулярностями — изломами поверхности, подкреплениями, отверстиями, а также оболочек сложной формы и с несимметричными граничными условиями. Нелинейные зависимости приняты в системе ограничений: гипотезы Кирхгофа-Лява, Маргерра-Кармана, Кирхгофа-Клебша, учет поворота нормали деформированной срединной поверхности, теория упругопластических деформаций А.А.Ильюшина. Получена замкнутая система уравнений и обоснован метод ее линеаризации.

В главе 3 представлен эффективный метод дискретных жест-костей для расчета и исследования неоднородных полей НДС оболочек в стадии нелинейного деформирования. Принципиальным моментом при этом является учет реальных физических закономерностей или процессов, согласно которым обнаруживается однозначная связь между напряжениями и пластической деформацией в локальных объемах. Оценивается погрешность разработанного метода.

В четвертой главе показана процедура расчета оболочечных конструкций в условиях физически и геометрически нелинейного деформирования. Приведены упрощенные варианты разрешающих уравнений. Кратко обсуждаются вопросы линейной теории, устойчивости и динамики оболочек.

В главе 5 предлагаются принципы проектирования и расчеты частных случаев оболочечных конструкций нерегулярного строения, в том числе оболочек сложной конфигурации и сотового строения.

Шестая глава содержит исследования по точности и сходимости предложенного метода дискретных жесткостей на примере расчетов конкретных видов оболочек. Рассмотрен учет углов поворота нормали срединной поверхности.

Седьмая глава включена для описания пакета прикладных программ для определения НДС оболочек, основанного на алгоритме метода дискретных жесткостей. Приведены тестовые примеры расчетов.

В заключительной части работы сформулированы основные выводы. В приложении приведены элементы блоков матриц для автоматического формирования систем алгебраических уравнений при решении поставленных задач и тексты прикладных программ, составленные автором.

Полученные в диссертации результаты используются при проектировании сложных строительных конструкций и технологического оборудования в ОАО "Прикампромпроект" Российского авиационно-космического агентства, ЗАО "Проектный институт Удмуртгражданпроект, ЗАО "БЭСКИТ" (г. Санкт-Петербург), НПФ "Строй-прогноз" (г. Ижевск), ФГУП "Ижевский электромеханический завод "Купол".

Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались на: 55-57 научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ (Санкт-Петербург, 1998-2000 гг.); 51-53 Международных научно-технических конференциях молодых ученых "Актуальные проблемы современного строительства" (Санкт-Петербург, 1997-99 гг.); научно-технической конференции "Ученые ИжГТУ - производству" (Ижевск, 1994, 1997 и 2000 гг.); 14 Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Волгоград, 1995 г.), 16 Международной конференции по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 1993 г).

Работа поддержана Центром конкурса грантов по фундаментальным исследованиям в области архитектуры и строительных наук (шифр 98-21-1.8-22) Министерства общего и профессио

11 нального образования Российской Федерации (1999-2000 гг.).

По теме диссертации опубликовано 26 работ. Объем диссертации содержит 402 стр. машинописного текста, в том числе 48 рис., 3 табл., список литературы из 296 наименований на 33 стр., 8 приложений на 80 стр.

Автор выражает искреннюю благодарность и признательность д-ру техн. наук, профессору A.M. Масленникову; д-ру техн. наук, профессору Б.К. Михайлову; д-ру техн. наук, профессору Карпову В.В. за постоянное внимание, критические замечания и полезные советы, нашедшие отражение в работе. Особую благодарность следует выразить д-ру техн. наук Ф.Ф. Гаянову, идеи которого положили начало и улучшили содержание диссертации, а также коллективу кафедры "Строительные конструкции и строительная механика" Ижевского государственного технического университета (заведующий кафедрой — к.т.н., доцент В.Н. Сучков) за помощь при печати рукописи.

Основные результаты выполненных исследований заключаются в следующем:

1. Получены уточненные варианты систем дифференциальных уравнений для расчета нерегулярных оболочек в условиях физически и геометрически нелинейного деформирования. Нерегулярность отражает наличие в конструкциях ребер, изломов поверхности, отверстий. Предложены научные основы подхода к описанию оболочек сложной формы, в том числе сотовой структуры. Для частных видов оболочек исходные уравнения сведены к последовательности линеаризованных с переменными коэффициентами в виде жесткостных функций, зависящих от истории нагруже-ния, относительно вектора перемещений и в смешанной форме.

2. На основе анализа большого количества вариантов реальных физических процессов при деформировании установлена новая аппроксимация закона нелинейного деформирования, при котором диаграмма а-£ представляется сплайн-функцией, исключающей погрешности при обработке экспериментальных данных.

3. Разработан новый метод расчета физически и геометрически нелинейных оболочек, заключающийся в построении неоднородных полей упругопластических деформаций путем суперпозиции элементарных полей от определенного расположения напряженно- деформированного состояния в локальных объемах', для которых определенным образом известны последовательность изменения формы, дискретность изменения жесткостных параметров и расположение относительно системы координат. Форма локальных объемов описывается с помощью специальных разрывных функций. Данный подход предлагается назвать методом дискретных жесткостей.

4. Разработан метод интегрирования линеаризованных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами в виде регулярных и импульсных функций для теории оболочек с нерегулярными параметрами. Метод инвариантен относительно различных типов тонкостенных конструкций. Эффективная схема построения численно-аналитических решений, набор базовых функций, которые аппроксимируют переход к решению линейных задач, а также использование разрывных функций дают этому методу значительные вычислительные преимущества по сравнению с известными аналитическими и численными методами.

4. Составлены методика и алгоритмы расчетов вышеуказанных типов оболочек, описывающие все особенности нерегулярного строения, в том числе со сложным контуром; позволяющая исследовать перераспределение усилий, моментов и деформаций в нелинейной стадии, а также НДС конструций в целом. Полученные расчетные формулы рекомендуются для использования на ранних стадиях проектирования оболочек.

5. Алгоритмы расчетов реализованы в виде пакета прикладных программ применительно IBM PC (язык программирования FORTRAN-77 ) .

6. На основе численного анализа созданной модели установлены закономерности влияния поперечных сдвигов оболочек и нелинейных факторов на изменения жесткостных свойств конструкции в целом. Для сотовых оболочек дополнительно выявлены особенности поведения несущих элементов и узловых соединений под нагрузкой. Показаны влияние физической нелинейности на концентрацию напряжений вблизи нерегулярностей.

Сопоставление величин напряжений, рассчитанных аналитически и полученных в экспериментальных исследований, показало достаточно удовлетворительное соответствие расчетных предпосылок действительной работе сооружения.

8. Разработанный в диссертации метод расчета нерегулярных оболочечных конструкций позволяет решить актуальные проблемы достоверного расчета и оптимального проектирования современных покрытий, отличающихся экономичностью, высокой надежностью, простотой изготовления и технологичностью монтажа .

Составленный пакет прикладных программ для вышеназванного класса задач может применяться в современных практических расчетах на прочность и жесткость, при оценке применимости результатов линейной теории, а также в определении несущей способности при реконструкции сооружений.

Изложенные аналитические методы расчета являются новыми, не применявшимися ранее в известных исследованиях, и, могут быть с успехом использованы для решения широкого класса задач различных разделов механики.

Выполненные в диссертационной работе исследования, полученные результаты и сформулированные научные положения дают возможность квалифицировать их как новое научное направление в области теории расчета тонкостенных пространственных конструкций нерегулярного строения в условиях нелинейного деформирования.

Как представляется автору, впервые в отечественной и зарубежной практике построена достоверная математическая модель деформирования физически и геометрически нелинейных оболочек, свободная от погрешностей идеализированных законов, с полным объемом тензорных компонентов жесткостных функций, и получены результаты решения оболочек сложной конфигурации, а именно: переменной формы в плане, с различными несимметричными условиями закрепления контура, сотовых многогранников из пластинчатых элементов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абовский Н.П. Ребристые оболочки. - Красноярск, 1976. -46 с.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М. : Наука, 1978. - 288 с.

3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М. : Наука, 1974. - 446 с.

4. Андрианов И. В., Дисковсий A.A., Лесничая В.А. Асимптотические методы исследования оболочек сложной формы. Алма-Ата, 1981. - 25 с.

5. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Развитие метода граничных элементов в линейных и нелинейных задачах теории пластин и оболочек // Тр. 18 Междунар. конф. по теории оболочек и пластин, Саратов, 29 сент.-4 окт., 1997. Т.З. Саратов, 1997. - С. 3-9.

6. Арясов Г., Снитко А., Соколов Е. Расчет составных конструкций с помощью обобщенных функций // Уч. зап. Тарт. университета. 1987. - № 722. - С. 156-164.

7. Астахова А.Я. Расчет упругопластических оболочек вращенияпри действии сосредоточенных нагрузок // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1985. - № 4. - С. 147-152.

8. Бакунин В.Н., Преображенский И.Н., Скурлатов Э.Д. Некоторые задачи динамики конструкций с локальными ослаблениями // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1986. - № 2. - С. 188191.

9. Белосточный Г.Н., Гущин Б.А. Уравнения термоупругости конических, цилиндрических и пологих оболочек, внешние поверхности которых описываются с помощью кусочно-гладких функций // Темп, задачи теории упругости. Саратов, 1986.- С.42-54.

10. Бережнов В.П. К расчету осесимметричных физически нелинейных оболочечных конструкций // Казан, инж.-строит, ин-т.- Казань, 1984. 13 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 657-85.

11. Берлинов М.В., Римшин В.И. О надежности железобетонных пологих оболочек при реконструкции сооружений с учетом нелинейного реологического деформирования // Изв. вузов. Строительство. 1998. - № 3. - С. 65-69.

12. Берлянд В.И. Расчет замкнутых оболочек вращения с учетом физической нелинейности при циклически симметричном нагружении // Прикл. мех. -1982. 18, №6. - С. 57-62.

13. Бобров A.B., Григоренко Н.И. Эффективность вафельных оболочек при действии локальной нагрузки // Динам, и прочн. констукций. Челябинск, 1982. - С.73-82.

14. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

15. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987. 524 с.

16. Бубнов И. Г. Строительная механика корабля // Тр. по теории пластин. М., 1953. - С. 101-308.

17. Букина В.В., Рогалевич В.Л. Расчет балок, пластин и пологих оболочек методом ортогональной коллокации // Изв. вузов. Строительство. 1997. - № 12. - С. 20-25.

18. Вайнберг Д.В. Концентрация напряжений в пластинах около отверстий и выкружек. Справ, пособие. Киев: Техника, 1969. - 220 с.

19. Вайнберг Д.В., Ройтфарб И.З. Расчет пластин и оболочек с разрывными параметрами // Расчет пространств, конструкций. Сб. вып. X. М.: Стройиздат, 1969. - С. 39-80.

20. Варвак А.П., Кальмейер А.Ф. Об определении напряженно-деформированного состоянияпологой ребристой оболочки // Прикл. мех. (Киев).- 1969. 5, № 9. - С. 27-32.

21. Власов В.З. Избранные труды. Т.1. Общая теория оболочек. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 528с.

22. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М. : Госстройиздат, 1958. - 502 с.

23. Возианов А.Н. О геометрически нелинейной теории тонких оболочек // Строит, мех. Межвуз. темат. сб. тр. JI.: ЛИСИ, 1976. - № 1 (119). - С. 12-18.

24. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. -М.: Наука, 1972. 432 с.

25. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. - 376 с.

26. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Тр. 2 Всес. съезда по теор. и прикл. механике. 1964. - № 3. - С. 116-137.

27. Габбасов Р.Ф., Исматов М.Х. К расчету изгибающих плит методом последовательных аппроксимаций // Изв. вузов. Строит, и архит., 1984. № 2. - С. 39-43.

28. Гавриленко Г.Д. Устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при неоднородном напряженно-деформированном состоянии. Киев: Наукова думка, 1989. - 176 с.

29. Галеркин В.Г. Стержни и пластинки // Вестник инженеров.- 1915. Т. 19. - С. 897-908.

30. Галимов К.З. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1976. - № 4.- С. 155-166.

31. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. -Казань, 1975. 328 с.

32. Гаянов Ф.Ф. Метод дискретно-эквивалентных коэффициентов в нелинейной теории оболочек с разрывными параметрами:

33. Дисс. . д-ра техн. наук. Т. 1. СПб.: СПбГАСУ, 1993. -428 с.

34. Гаянов Ф.Ф., Спиридонов C.B. Исследование напряженно-деформированного состояния оболочек с подкрепленными прямоугольными отверстиями // СПбИСИ. СПб., 1992. - 10 с. -Деп. в ВИНИТИ, № 2033-В92.

35. Гаянов Ф.Ф., Спиридонов C.B. О расчете пологих оболочек с прямоугольными отверстиями с применением импульсных функций // Проблемы прочн. Киев, 1994. - № 5. - С. 45-50.

36. Гельфанд И.М., Шилов Т.Н. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. - 470 с.

37. Георгиевский В.П., Максимюк В. А., Чернышенко И.С. О подкреплении контура выреза в ортотропных физически нелинейных оболочках вращения // Прикл. мех. (Киев). 1987. 23, № 6. - С. 125-127.

38. Герасимов В.П., Гудрамович B.C. Статическое и динамическое локальное нагружение жесткопластических цилиндрических оболочек // Надеж, и долговеч. машин и сооруж. (Киев). -1987. № 12. - С. 45-48.

39. Годзевич Э.В. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами с учетом физической и геометрической нелинейности // Строит, мех. и расчет сооруж. 1983. - №5. - С. 8-11.

40. Годзула В.Ф. Применение вариационно-разностного метода к расчету композитных цилиндрических оболочек с отверстиями // Прикл. мех. (Киев). 1989. - 25, № 11. - С. 113-116.

41. Голованов А.И. Конечноэлементный расчет оболочек с дискретно заданной геометрией // Тр. Семинар Казан, физ.-техн. ин-та. Вып.19, Ч. 2. - Казань, 1986. - С. 69-82.

42. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань, 1989. - 269 с.

43. Гончарова JI.B. Исследование влияния различных граничных условий на поведение оболочки переменного сечения из нелинейно-упругого материала // Исслед. и расчет облегч. элементов конструкций. Чита, 1985. - С. 68-72.

44. Гордеев Ю.С., Овчинников И. Г. Полубезмоментная теория деформирования нелинейной разномодульной цилиндрической оболочки, воздействующей с агрессивной средой // Изв. вузов. Строит, и архит. 1984. - №8. - С. 34-37.

45. Горлач Б.А., Орлов H.H. Метод последовательных нагруже-ний, учитывающий изменение геометрии в задачах о больших перемещениях // Вопр. прочн. и долговеч. элементов авиац. конструкций. Куйбышев, 1979. - № 5. - С. 138-143.

46. Гребень Е.С. Метод расчета прямоугольных в плане пологих оболочек, подкрепленных ребрами в двух направлениях // Расчет пространств, конструкций. М. : Стройиздат, 1969. Вып.12. - С. 132-140.

47. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - №3. - С. 81-92.

48. Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пологих оболочек методом граничных элементов // Тр. 18 Меж-дунар. конф. по теории оболочек и пластин, Саратов, 2 9 сент.-4 окт., 1997. Т.З. Саратов, 1997. - С. 49-54.

49. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Обобщенная модель механики тонкостенных конструкций из композитных материалов // Мех. композит, матер. 1988. - № 4. - С. 698-704.

50. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука: Физматлит., 1997. - 272 с.

51. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний пластин и оболочек // Мех. тверд, деформируемых тел. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1973. - Т. 5. - С. 5-23.

52. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения тонких упругих слоистых анизотропных пологих оболочек с жестким заполнителем // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - № 5. - С. 68-80.

53. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек // Исслед. по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань, 1984. - Вып. 17, 4.1. - С. 3-58.

54. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. -М.: Наука, 1988. 232 с.

55. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Методы расчета оболочек. Теория оболочек переменной жесткости. Киев: Наук, думка, 1981. - Т. 4. - 544 с.

56. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Об учете неоднородных деформаций поперечного сдвига по толщине в слоистых оболочках // Прикл. мех. (Киев). 1977. - 13, № 10. - С. 36-42.

57. Григоренко Я.М., Крюков H.H. Деформация гибких ортотроп-ных цилиндрических оболочек некругового сечения // Докл. АН УССР, 1985. Сер. А, №12. - С. 27-30.

58. Гудрамович B.C., Коноваленков B.C. Деформирование и предельное состояние неупругих оболочек при сложном нагружении // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1987. - № 3. - С. 157163.

59. Гузь А. Е., Заруцкий В. А. Экспериментальные исследования тонкостенных конструкций. Киев: Наукова думка, 1984. - 240 с.

60. Гусейнов С.Г. Определение предельных нагрузок при поперечном изгибе сетчатых пластинок из физически-нелинейного материала // Ин-т мат. и физ. АН Аз. ССР. Баку, 1989. -10 с. Деп. в ВИНИТИ 20.07.89. № В8 9^

61. Дмитриев В.Г., Преображенский И.Н. Нелинейная механика пластин и оболочек // Бюл. "Нов. технологии". 1998. - № 3. - С. 25-26.

62. Должиков И.Л. Исследование напряженного состояния осе-симметричных оболочек за пределом упругости при несимметричном воздействии // Мат. методы и вычислительная техн. в хим. машиностр. М., 1985. - С. 17-2 4.

63. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Мех. деформируем, тверд, тела. 1983. - Т. 15. - С. 3-68.

64. Еленицкая Э.Я., Клюев А. Д. Применение метода конечных интегральных преобразований к расчету вынужденных колебаний цилиндрических оболочек ступенчато-переменной толщины. Самара. Б.и. - 1996. - № 11633. - 15 с.

65. Елтышев В.А. Напряженно-деформированное состояние оболо-чечных конструкций с наполнителем. М.: Наука, 1981. - 120 с.

66. Енджиевский Л. В. Нелинейно-упругие деформации пологих ребристых оболочек. Вариационно-разностные алгоритмы и численные реализации методов линеаризации // Исследование по строит, конструкциям и строит, мех. Томск, 1983. - С. 4754.

67. Енджиевский Л.В. Нелинейные деформации ребристых оболочек. Красноярск, 1982. - 296 с.

68. Енджиевский JI.В., Ларионов A.A. Нелинейные деформации ребристых оболочек. Красноярск: КПИ, 197 9. - 117 с.

69. Енджиевский Л.В., Марчук Н.И. Исследование влияния физической и геометрической нелинейности на НДС ребристой оболочки // Пространственные конструкции в Красноярск, крае. -Красноярск, 1985. С. 45-46.

70. Ермаков С.В., Сенник H.A. О методе малого параметра для некоторых задач теории пластичности // Расчет и конструирование машин и аппаратов хим. пр-в. М., 1983. - С. 37-41.

71. Жилин П.А. Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1966. - № 5. - С. 139-142.

72. Журавлев А. А. К расчету подкрепленной оболочки в форме многогранного купола // Изв. вузов. Строит, и архит. 1986. № 8. - С. 37-40.

73. Журавлев A.A., Веселов Ю.А., Вержбовский Г.Б. К вопросу геометрического расчета купола из шестиугольных плоских панелей // Изв. вузов. Строительство. 1993. - № 7, 8. - С. 24-30.

74. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л. Об устойчивости тонкостенных оболочек при сложном докритическом нагружении // Изв. вузов. Строительство. 1997. - № 6. - С. 27-34.

75. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. Л.: Стройиздат, 1986. - 167 с.

76. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. М. : Высш. шк., 1990. - 349 с.

77. Ильюшин A.A. Пластичность. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 376 с.

78. Карпов В. В. Оболочки дискретно-переменной толщины при динамическом нагружении // Мех. конструкций, работающих привоздействии агрессивных сред. Саратов, 1987. - С. 33-34.

79. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. М., СПб: Изд-во СПбГАСУ, 1999. - 154 с.

80. Карпов В.В. Способ улучшения решения, полученного методом последовательных нагружений // Волжский матем. сб. -Куйбышев, 1973. Вып. 15. - С. 45-51.

81. Карпухина О.Н. Влияние фонарного отверстия выреза на напряженное состояние пологой ребристой оболочки в условиях распределенных нагрузок // Тр. М. ин-та инж. ж.-д. транспорта. 1984. - № 749. - С. 83-91.

82. Каюмов P.A., Богданович А.И., Сафиулин Д.Х. Физически нелинейное поведение композитных.оболочек // Прикл. проблемы прочности и пластичности, анализ и оптимизация конструкций. Нижегородский Гос. Университет. Н.Новгород, 1995. - С. 115-118.

83. Кислоокий В.Н., Цыхановский В.К. Нелинейное деформирование облегченных пространственных конструкций // Прикл. мех. (Киев). 1997. - 33, № 8. - С. 49-56.

84. Климанов В.И., Стетюха В.А. Экспериментальное изучение поведения гибких цилиндрических панелей, работающих в составе неразрезной системы // Пробл. прочн. 1981. - № 9. - С. 116-118.

85. Климанов В.И., Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: УНЦ АН СССР. - 291 с.

86. Климанов В.И., Чупин В.В., Гончаров К.А. Сильный изгиб составных оболочечных конструкций при осесимметричных уп-ругопластических деформациях // Исслед. пространств, конструкций. Свердловск, 1987. - С. 3-13.

87. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Киселев А.Г. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости, .72x72 для расчета оболочечных конструкций // Изв. вузов. Строительство. 1998. - № 4-5. - С. 36-41.

88. Клятис Г.Я. Оболочки покрытий из пластмасс (обзор). -М., 1972. 88 с.

89. Кобелев В.Н., Коварский Л.М., Тимофеев С.И. Расчет трехслойных конструкций. М.: Машиностроение, 1984. - 302 с.

90. Ковальчук Б.И., Лебедев A.A., Уманский С.Э. Механика неупругого деформирования материалов и элементов конструкций.- Киев: Наукова думка, 1987. 280 с.

91. Ковырягин М.А. Изгиб двухсвязной пластины, сложного очертания с учетом физической нелинейности материала //Темп, задачи упругости. Саратов, 1986. - С. 94-98.

92. Кокоев М.Н. Сотовая панель из армированнного бетона // Бетон и железобетон. 1998. - № 1. - С. 8-10.

93. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высш. шк., 1987. - 256 с.

94. Концентрация напряжений около подкрепленных отверстий в оболочках из композитных материалов // Прикл. мех. (Киев).- 1989. 25, № 1. - С. 88-93.

95. Корнишин М.М., Сулейманов М.М. Геометрически и физически нелинейный изгиб непологих оболочек произвольной формы при совместном действии температуры и внешних сил // Пробл. прочности. 1983. - № 12. - С. 80-83.

96. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

97. Корнишин М.С., Савинов В. И. Расчет гибких составных тонкостенных конструкций методом суперэлементов // Проч. и устойчивость оболочек: Тр. семинара Казан, физ.-техн. инта. Казань, 1986. - Вып.19, 4.1. - С. 94-102.

98. Кравчук А.П., Сторожук Е.А., Чернышенко И.С. Распределение напряжений в гибких цилиндрических оболочках с круглым вырезом за пределами упругости // Прикл. мех. (Киев). -1988. 24, № 12. - С. 45-49.

99. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216 с.

100. Кузьмин В.В. Решение геометрически нелинейной задачи с учетом поворачивающихся при деформации нагрузок для подкрепленной оболочки вращения // Изв. вузов. Авиац. Техн. -1995. № 1. - С. 8-13.

101. Куранов Б. А., Турбаевский А. Т., Арсентьев A.B. Физически и геометрически нелинейный анализ тонкостенных конструкций // Расчеты на прочн. М., 1988. - № 28. - С. 117122 .

102. Лебедев В.А., Лубо Л.Н. Сетчатые оболочки в гражданском строительстве на Севере. Л.: Стройиздат, 1982. - 136 с.

103. Липовцев Ю.В. Метод решения нелинейных задач теории пластин и оболочек // Теория и расчет элементов тонкостей, конструкций. М., 1986. - С. 73-79.

104. Лиховцев В.М., Першин. П.И. Решение упругопластических задач методами потенциала // Прикл. пробл. прочн. и плас-тичн. Горький, 1986. - № 34. - С. 26-32.

105. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. -М.: Стройиздат, 1978. 204 с.

106. Львов Г.И. Вариационная постановка контактной задачи для физически нелинейных пологих оболочек // Докл. АН СССР. 1982. - А, № 6. - С. 45-47.

107. Макеев А.Ф. Изгиб круговой цилиндрической оболочки из нелинейно-упругого разносопротивляющегося растяжению и сжатию материала // Мех. деформируем, сред. Саратов, 1983. -№8. - С. 79-85.

108. Максименко В.Л. Анализ задач статики для гладких и ребристых цилиндрических оболочек при сложных силовых воздействиях // Прикл. мех. (Киев). 1998. - 34, № 12. - С. 5561.

109. Максимюк В.А. Физически нелинейные задачи теории орто-тропных композитных оболочек с криволинейным отверстием // Прикл. мех. (Киев). 1998. - 34, № 9. - С. 28-32.

110. Максимюк В.А., Силивра С.А., Чернышенко И.С. Распределение напряжений в ортотропных оболочках вращения с учетом нелинейных факторов // Теор. и прикл. мех. Киев. Донецк, 1987. - № 16. - С. 76-78.

111. Максимюк В.А., Чернышенко И.С. Физически нелинейные осесимметричные задачи теории ортотропных оболочек переменной толщины // Прикл. мех. (Киев). 1987. - 23, № 1. - С. 44-48.

112. Малбиев С.А. Расчет подкрепленных гибких цилиндрических оболочек с продольными ребрами // Изв. Ивановск. отд-ния Петровск. Акад. наук и искусств. Иваново. - Б.и. - 1996. - Вып.2. - С. 59-64.

113. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций методом конечных элементов. Л.: ЛИСИ, 1977. - 78 с.

114. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 225 с.

115. Махабалирья, Бойд Д., Бруг Р. Колебания подкрепленных цилиндрических оболочек с вырезами // Колебания и устойчивость многосвязных тонкостей, систем: Сб. статей / Сост. И.Н. Преображенский. М.: Мир, 1984. - С. 238-257.

116. Методы расчета оболочек / А.Н. Гузь и др. Киев: Нау-кова думка, 1980. - Т.1-Т.5.

117. Милейковский И.Е. Основные дифференциальные зависимости строительной механики анизотропных гибких оболочек с учетомпоперечного сдвига // Исслед. по строит, мех. М., 1985. -С. 90-104.

118. Милейковский И.Е., Колчунов В.И., Соколов A.A. Рекомендации по выбору расчетных схем и методов расчета оболочек покрытий. М., 1987. - 177 с.'12 6. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций. М.: Стройиздат, 1989. - 200 с.

119. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. - 196 с.

120. Михайлов Б.К. Теория расчета оболочек и пластин с разрывными параметрами: Дисс. . д-ра техн. наук. Л., 1978. -310 с.

121. Михайлов Б.К., Гаянов Ф.Ф., Чунаев М.Ю. Методика исследования напряженного состояния оболочки вблизи различных локальных особенностей // Кузбасс, политехи, ин-т. Кемерово, 1988. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ, W 4407-85.

122. Михайлов Б.К., Спиридонов C.B. Методика расчета нелинейно-упругих оболочек с прямоугольными отверстиями / Инф. листок № 276-92 ЛенЦНТИ.- Л., 1992. 2 с.

123. Михайлов Б.К., Спиридонов C.B. О расчете нелинейно-упругих оболочек сложной формы в плане с прямоугольными отверстиями // Совершенствование и расчет строит, конструкций из дерева и пластмасс: Межвуз. темат. сб. тр. СПб.: СПбГАСУ, 1994. - С. 90-96.

124. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1957. - 512 с.

125. Муляр В.П., Сторожук Е.А., Чернышенко И.С. Упругоплас-тическое состояние тонкостенных цилиндрических оболочек с эллиптическим отверстием на боковой поверхности // Прикл. мех. (Киев). 1997. - 33, № 6. - С. 62-68.

126. Мусабаев Т.Т. Нелинейная теория расчета железобетонных оболочек и пластин: Дисс. . д-ра техн. наук. СПб. : СПбГАСУ, 1999. - 422 с.

127. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложением к задаче устойчивости упругого равновесия // Изв. физико-математ. общества при Казанском уноверситете. -Казань, 1938. Сер. 3, № 11. - С. 71-150.

128. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 431 с.

129. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболо-чечных конструкций на ЭВМ. Справочник. М. : Машиностроение, 1981. - 213 с.

130. Назаров A.A. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. JI., М., 1966. - 303 с.

131. Назаров А.Г. Импульсные функции в применении к задачам строительной механики // Исслед. по теории сооруж. М. : Стройиздат, 1949, вып. 4. С. 43-58.

132. Найштут Ю.С. Сотовые строительные конструкции. М. : Изд-во АСВ, 1997. 140 С.

133. Налимов A.B., Немировский Ю.В. Предельное равновесие армированных оболочек нулевой гауссовой кривизны // Прикл. мех. (Киев). 1989. - 25, № 9. - С. 72-79.

134. Неверов В.В. К динамической теории пологих оболочек. -Саратов: Саратов, политехи, ин-т, 1989. 12 с.14 4. Неверов В.В. Метод вариационнных суперитераций как основной в теории оболочек. Саратов: Изд-во Саратов, унта, 1984. - 126 с.

135. Никулина Р.И., Житков В. В. Влияние жесткости опорных ребер на НДС пологих оболочек // Прикл. мех. (Киев) 1988. 24, №1. - С. 59-63.

136. Никулина Р.И., Житков В.В. Экспериментальное исследование упругопластических оболочек с ребрами // Исслед. и расчет облегч. элементов конструкций. Чита, 1985. - С. 5963.

137. Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике // Расчет пространств, конструкций. Вып. VIII. М.: Госстройиздат, 1961. - С. 207-245.

138. Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной Среды. Л.: Судостроение, 1989. - 400 с.

139. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. M.-J1.: Гостехтеориздат, 1948. 333 с.

140. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JI.: Госсоюзиз-датсудпром, 1962. -401 с.

141. О напряженном состоянии тонкостенных элементов конструкций, изготовленных из нелинейно-упругих ортотропных композитных материалов / Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Георгиевский В.П., Максимюк В.А. // Прикл. мех. (Киев). 1988. - 24, № 4. - С. 25-32.

142. Обобщенная теория неоднородных по толщине пластин и оболочек / Хорошун Л.П., Козлов C.B., Иванов Ю.А., Кошевой И.К. Киев: Наук, думка, 1988. - 152 с.

143. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И. В. Асимптотически методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1991. - 416 с.

144. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М. : Машиностроение, 1973. -661 с.

145. Оленев Г. О применении метода штрафа к задаче изгиба упругопластической пологой оболочки // Уч. зап. Тарт. гос. ун-та. 1989. - № 853. - С. 85-92.

146. Оленев Г. Применение алгоритма Удзавы к решению задачи изгиба упругопластической пологой оболочки // Уч. зап. Тарт. гос. ун-та. 1988. - № 799. - С. 89-96.

147. Ореховский И.И. Оболочки вращения переменной толщины при упругопластическом равновесии // Сопротивление матер, и теория сооруж. (Киев). 1984. - № 45. - С. 92-96.

148. Офий В. В. Физически нелинейные незамкнутые оболочки вращения // Пробл. машиностр. (Киев). 1987. - № 27. - С. 32-36.

149. Павлов Г.Н., Голов Г.М. Геометрия сетчатых куполов //

150. Архитектура СССР. 197 8. - №-2. - С. 1-е

151. Паймушин В.Н., Сидоров И.Н. Построение интегрального представления решения уравнений равновесия.теории типа Тимошенко для оболочек сложной геометрии // Прикл. мат. и мех. (Москва). 1997. - 61, Г5. - С.854-862.

152. Пелех B.JI. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наук, думка, 1973. -248 с.

153. Пелех B.JI., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев, 1982. 296 с.

154. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 1975. - 119 с.

155. Петров В.В., Овчинников И.Г., Иноземцев В.К. Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного неоднородного материала. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989. - 160 с.

156. Петров В.В., Овчинников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 136 с.

157. Петров Ю.Н., Корбач В.Г. Расчет НДС анизотропных оболочек и пластин с косыми дискретными ребрами жесткости диффи-ренциально-разностным методом // Вопросы мех. деформируем, тверд, тела. Харьков. - 1981. - № 2. - С. 28-36.

158. Писаренко Г.С., Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1981. - 496 с.

159. Полиновская Л.Г., Полиновский Л.А. Методика расчета тонкостенных конструкций в пластической области // Изв. вузов. Стр-во и архит. 1986. - № 2. - С. 103-106.

160. Полонская Т.В. К расчету пологих ребристых оболочек вращения в упругопластической стадии // Бетонн. и желебе-тон. конструкции в районе Вост. Сиб. Красноярск, 1984. -С. 69-75.

161. Попов О.Н., Завьялов В.Н. Алгоритм расчета подкрепленной гибкой цилиндрической оболочки из нелинейного равно-модульного материала с учетом деформации поперечного сдвига // Исслед. по строит, мех. и конструкциям. Омск, 1988. -С. 104-110.

162. Постных A.M., Котов А.Г. Расчет оболочек из волокнистых композитов с учетом упругой нелинейности материала // Прочн. и динам, характеристики машин и конструкций. Пермь, 1986. С. 57-63.

163. Преображенский И.H., Грищак В.З. Устойчивость и колебания конических оболочек. М. : Машиностроение, 1986. - 240 с.

164. Проектирование и расчет конструкций из пластмасс / Бойко М.Д., Коцегубов В.П., Мажара П.И. и др. Д.: Изд-во ЛВВИА им. Можайского, 1991. - 231 с.

165. Прусаков А.П. Нелинейные уравнения изгиба пологих многослойных оболочек // Прикл. мех. (Киев). 1971. - 7, № 3.- С. 3-8.

166. Пустовойтов В.П., Щеглов В.А. Влияние физической нелинейности материала на напряженно-деформированное состояние осесимметрично нагруженных цилиндрических оболочек // Сопротивление матер, и теория сооруж. (Киев).- 1986. № 49.- С. 86-90.

167. Расчет неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных элементов / Пискунов В.Г., Вериженко В.Е., Примяж-нюк В.К. и др. Киев: Вища школа, 1987. - 200 с.

168. Рвачев В.А., Синекоп Н.С., Кравченко Л.К. Метод R-функций в задачах теории малых упругопластических деформаций // Докл. АН УССР. 1983. - А, № 1. - С. 49-53.

169. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Зикатне, 1988. - 284 с.

170. Родионова В.А. Теория тонких анизотропных оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия. Л. : Изд-во ЛГУ, 1983. - 116 с.

171. Савчук А.О. О пластическом анализе оболочек // Мех. деформируем. тверд, тела. М., 1983. - С. 274-309.

172. Санжаровский P.C., Мусабаев Т.Т. Упругопластическое деформирование железобетонных оболочек и плит с трещинами // Изв. вузов. Строительство. 1997. - № 5. - С. 4-9.

173. Санжаровский P.C., Мусабаев Т.Т. Уточненная модель расчета армированных оболочек и плит с учетом специфики их поведения // Тр. 18 Междунар. конф. по теории оболочек и пластин, Саратов, 29 сент.-4 окт., 1997. Т. 2. Саратов, 1997. - С. 104-111.

174. Серегин Г.А. Вариационно-разностные схемы для задач механики идеальноупругопластических сред // Вычисл. матем. и матем. физ. 1985. - 25, № 2. - С. 237-253.

175. Серпик И.Н. Использование итерационного взаимодействия местных и общих дефомаций для решения нелинейных задач // Строит, мех. и расчет сооруж. 1989. - № 1. - С. 56-59.

176. Скворцов Ю.В., Хазанов Х.С. Нелинейный анализ произвольных оболочечных конструкций с использованием криволинейного изопараметрического элемента // Изв. вузов. Авиац. техн. 1988. - № 2. - С. 15-19.

177. Снитко А.Н., Соколов Е.В., Королев В.М. Применение обобщенных функций к расчету цилиндрических оболочек со ступенчато-меняющейся толщиной // Пробл. машиностроения. Киев, 1985. № 23. - С. 59-64.

178. Современные пространственные конструкции (железобетон, металл, дерево, пластмассы). Справочник / Дыховичный Ю.А., Жуковский Э.З., Ермолов В.В. и др. М.: Высш. шк., 1991. -543 с.

179. Соколов Е.В. Теория оболочек с разрывными и переменными параметрами: Дисс. . д-ра техн. наук. Л.: ЛИСИ, 1991. -422 с.

180. Спиридонов C.B. Влияние поворота нормали на напряженно-деформированное состояние нерегулярных оболочек в стадии нелинейного деформирования // Тр. мол. ученых. 4.1. СПб, 1999. - С. 116-121.

181. Спиридонов C.B. Метод дискретных жесткостей в расчетах нерегулярных оболочечных конструкций с учетом нелинейности // Докл. 56 науч. конф. профессоров, преподавателей . унта. 4.1. СПб.: ИЗД-ВО СПбГАСУ, 1999. - С. 86-87.

182. Спиридонов C.B. О методе учета физически нелинейных деформаций в расчетах оболочечных конструкций из сотовых панелей // Тр. мол. ученых. 4.1. СПб.: Изд-во СПбГАСУ, 1997. - С. 199-204.

183. Спиридонов C.B. Особенности расчета пологих оболочек сложного контура // Ученые ИжГТУ производству: Тез. Докл. науч.-техн. конф.- Ижевск, 1994. - С. 168.

184. Спиридонов C.B. Предельное состояние конструкций неоднородных упругопластических оболочек // Тр. мол. ученых. 4.1. СПб.: Изд-во СПбГАСУ, 1998. - С. 119-124.

185. Спиридонов C.B. Расчет и проектирование нелинейно-деформированных оболочек покрытия. Ижевск: ЗАО Принт-проект, 1999. - 178 с.

186. Спиридонов C.B. Расчет конструкций из пологих оболочек с большими прямоугольными отверстиями // Совершенствование строит, конструкций из дерева и пластмасс: Межвуз. темат. сб. тр. СПб.: СПбИСИ, 1992. - С. 84-89.

187. Спиридонов C.B. Расчет нелинейно-упругих оболочек с прямоугольными отверстиями / Тез. докл. науч.-техн. конф. Ижевского мех. ин-та.- Ижевск: ИМИ, 1992. с. 78.

188. Спиридонов C.B. Расчет нерегулярных оболочечных конструкций с учетом физически нелинейного деформирования // Изв. вузов. Строительство. 1999. - (в печати).

189. Спиридонов C.B. Расчет пологих оболочек с прямоугольными вырезами в условиях нелинейно-упругих деформаций: Дисс. . канд. техн. наук. СПб.: СПбГАСУ, 1993. - 213 с.

190. Спиридонов C.B. Экспериментальный экологичный жилой дом //Тез. докл. XXX науч.-техн. конф. "Ученые ИжГТУ производству". - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 1997. - С. 6-7.

191. Справочник по теории упругости для инженеров строителей. Киев: Будивельник, 1971. - 420 с.

192. Сторожук Е.А. Численный анализ упругоспластического состояния цилиндрических оболочек с круговым вырезом //

193. Прикл. мех. (Киев). 1989. - 25, № 5. - С. 120-122.

194. Сторожук Е.А., Чернышенко И.С. Физически и геометрически нелинейные задачи статики для оболочек сложной геометрии // Тр. 16 Междунар. конф. по теории оболочек и пластин, Нижний Новгород, 21-23 сент. 1993. Т.З. Н. Новгород, 1994. - С. 193.

195. Сухарникова И.В. К построению решения задачи предельного равновесия оболочек вращения методом нелинейного программирования // Конструир. и расчет аппаратур, оформления хим. производств. М., 1988. - С. 101-105.

196. Темис Ю.М. О сходимости метода переменных параметров упругости в задачах деформационной теории пластичности // Числ. методы сплошн. сред.- Новосибирск, 1984. 15, № 3. -С. 137-148.

197. Теория пластичности. Сб. тр. / Под ред. Работнова Ю.Н. М.: Иностр. лит., 1948. - 452 с.

198. Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. К вопросу разрешимости физически нелинейных задач теории пологих оболочек при конечных прогибах // Изв. вузов. Мат. 1998. - № 9. - С. 7080.

199. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки. М., JI.: Гостех-теориздат, 1948. - 460 с.

200. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

201. Товстик П.Е. Осесимметричная деформация тонких оболочек вращения из нелинейно упругого материала // Прикл. мат. и мех. (Москва). 1997. - 61, № 4. - С.660-673.

202. Трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем / Карпов В.В., Игнатьев О.В., Вахрушева М.Ю., Рыбаков О.В. // Тр. 18 Междунар. конф. по теории оболочек и пластин, Саратов, 29 сент.-4 окт., 1997. Т.З. Саратов, 1997. - С. 8387.

203. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Д.: Стройиздат. Ленинг. отд-ние, 1987. - 384 с.

204. Хайруллин ■ Ф.С. Метод расчета тонких оболочек сложной формы // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1998. - № 3. - С. 30-33.

205. Хлебной Я.Ф. Пространственные железобетонные конструкции. Расчет. Конструирование. М.: Стройиздат, 1977. - 224 с.

206. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев: Техника, 1976. - 176 с.

207. Чернышенко И.С. Нелинейное деформирование изотропных и ортотропных оболочек и вырезами, усиленными кпругим жесткимэлементом // Прикл. мех. (Киев) . 1989. - 25, № 1. - С. 66-71.

208. Шаршукова Л.М. Расчет пологих ребристых куполов методом конечных элементов // Большепролетные простран. конструкции. М., 1981. - С. 196-214. '

209. Шахов В.А. Паймушин В.А. Уточнение уравнения динамики многослойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителям // Изв. А.Н. Мех. тверд, тела. 1995. - № 5. - С. 142152.

210. Шварц Л. Математические методы для физических наук. -М.: Мир, 1965. 455 с.

211. Шевелев Л. П. основы теории устойчивости оболочек за пределами упругости. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. - 168 с.

212. Шевченко Ю.Н., Бабешко М.Е. Упругопластическое деформирование слоистых оболочек вращения в процессе сложного осе-симметричного нагружения // Прикл. мех. (Киев). 1997. -33, № 8 - С. 31-38.

213. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. -М.: Физматгиз, 1970. 436 с.

214. Шихранов А.Н. Большие несимметричные прогибы пологих оболочек вращения // Тр. 16. Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород, 21-23 сент. 1993. Т.З. -Н. Новгород, 1994. С. 252-257.

215. Шлафман ш.м. Об одном классе физически нелинейных задач теории оболочек // Исслед. по расчету пластин и оболочек. -Ростов н/Д. 1986. - С. 124-129.

216. Шнеренко К.И. Концентрация напряжений около подкрепленных отверстий в оболочках из композитных материалов // Прикл. мех. (Киев). 1989. - 25, № 1. - С. 88-93.

217. Ясковец B.J1., Чернышенко И.С. О распределении напряжений около подкрепленного эллиптического отверстия в сферической оболочке при упругопластической стадии деформирования // Теор. и прикл. мех. 1990. - № 21. - С.80-83.

218. A new approach to the non-linear // Huanang ligong daxue xuebao. Ziran kexue bam = j.s. China Vniv. Technol. Natur. Sci. 1995. - 23, № 1. - P. 9-76.

219. Bathe K.J., Wilson E.L. Jhick Shells // Struct, mech. comput. programs. Surv. assesments and availability. Charlottes-ville, 1974. P. 123-141.

220. Bazar Yavuz. A consistens theory of geometrically non linear shells with on independent rotation vector // Int.

221. J. solids, and struct. 1987. - 23, № 10. - P.1401-1415.

222. Brouks G.N. Elastic-plastic ring-loaded cylindrical shells // Trans. ASME. J. appl. mech. 1988. - 55, № 4. -P. 761-766.

223. Brouks G.N., Leung C.-P. 'Elastic-plastic analysis of radially loaded spherical shell // Trans. ASME. J. pressure vessel technol. 1989. - 111, № 1. 1 P. 39-46.

224. Chan H.C., Chung W.C. Geometrically nonlinear analysis of shellow shells using higher order finite elements // Comput. and struct. 1989. - 31, № 3. - P. 329-338.

225. Chen Gaodong. On asymptotic solution of an elliptic hole with small parameter a-b)/2a in a circuler cylindrical shell // Jnt. J. pressure vessels and pip. 1987. -30, № 1. - P. 1-22.

226. Guan Xupu, Tang Limin. A geometrically non-linear quasi-conforming nine-node quadrilateral degenerated solid shell element. / // Int. J. Numer Meth. Eng. 1995. - 38, № 6. - P. 927-942.

227. Hauptmaun R., Schwizerhof K. A systematic developmentof "solid-shell" element formulations for linear and nonlinear analyses employing only displacement degrees of freedom // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1998.- 42, № 1. - P. 46-49.

228. He Ling Hui. Non-linear' theory of laminated shells accounting for continuity conditions of displacements and fractions at layer interfaces // Irf. J. Mech. cki. - 1995. - 37, № 7. - P. 161-173.

229. Hubel H. Elastic-plastic cylindrical shell under axi-symmetric loading-analysical solution // Jnt. J. pressure vessels and pip. 1987. - 29, № 1. - P. 67-87.

230. Je Rong, Liu Zhengxing. Large defection analysis of thin elastic shells by a hybrid stress method // Шанхай Цзяотун дасюэ сюэбао = J. Shanghai, Jitong univ. 1988. -22, № 2. - P. 77-83.

231. Jiang He-yang, Tang Li-min. Some fundamental problems of nonlinear finite element metod // Лисюэ Цзыньжан = Adv. mecht. 1988. - 18, № 1. - P. 13-26.

232. Kumar R. Ramesh, Rajaiah K. Bending stress consideration in hole shape optimization in shells // Prog. 5 Int. congr. exp. mech., Monreal, 10-15 june 198 4. Broakfield center, Convr., 1984. - P. 343-349.

233. Lellep Z., Sawszuk A. Optimal design of rigid-plastic cylindrical shells in the postyield range // Int. J. solidsand struct. 1987. - 23, № 5. - P. 651-664.

234. Lin Dong. An integral equation of non-linear bending of shallow spherical shells on Pasternak foundations in initial parameter form and its applications // Yingyong lixue xueba = chin J. Apple. Mech. 1995. - 12, № 1. - P. 104108.

235. Liu Ren hudi, Li Jun. Non-linear vibration of shallow conical sandwich shells // Jnt. J. Non-linear. Mech. -1995. - 30, № 2. - P. 97-108.

236. Loo Wen-da, Cheng Yaoshun. The effect of trans-verseshear deformation on stress concentration factors for shallow shells with a small circular hole // Appl. math, and mech. (Engl. ed.). 1991. - 12, № 2. - P. 221-218.

237. Marguerre K. Zur theorie der gekrümmten Platte grosser Formänderung // Jahrbuch der deutshen Luftfahrtforshung. -Berlin, 1939. P. 413-418.

238. Meng Wenyuan, Zheng Hengxiang. Solution of large deformities with imperfection sparse rib shell by method of weight residues // Zhengzhou daxue xuebao. Zirpn kexue ban J. Zhengzhou Univ. Natur. Sei. Ed. - 1997. - 29, № 3. -P. 54-58.

239. Modeling vertically mechanically laminated lumber / Bohnhoff David R., Cramer Steven M., Moody Russll C., Cramer Calvin 0. // J. Struct. Eng. (USA). 1989. - 115, № 10. - P. 2661-2679.

240. Morelle P., Fonder G. Shakedown and limit analysis ofshells a variational and numerical approach // Lect. notes eng. 1987. - № 26. - P. 381-405.

241. Nigord M.K., Bergan P.G. An uncovetional class of elements for nonlinear shell analysis // Lect. nates eng. -1987. 26. - P. 369-380.

242. Pietraszkiewicz W. Deformational boundary quantities in the nonlinear theory of shells with transverse shears // Int. J. Solids and Struct. 1998. - 35, № 7-8. - P. 687699.

243. Poddar B., Mukherjee S. An integral equation analysis of inelastic shells // Comput. mech. 1989. - 4, № 4. - P. 261-275.

244. Qian Rengji. A modified Hellinger-Reissner variational functional including only two independent variables for large displacement of thin shallow shell // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 1997. - 18, № 7. - P. 663-670.

245. Qin Zhohg, Chen Zhida. Large deformation analysis of shells with finite element method based on the S-R decomposition theorem // Comput. and struct. 1988. - 30, № 4. -P. 957-996.

246. Ravichandron R.V., Spidharan S., Gould P.L. A local global-model for the non-linear analysis of locally defective shells of revolution // In f. J. Numer. Meth. Eng. -1994. 37, № 18. - P. 3057-3074.

247. Schmusser David W. Nonlinear stress-strain and strength response of axisymmetric bimodulus composite material shells // AIAA Journal, 1983. Vol. 21, № 2. - P. 17421747.

248. Sichov Andrei. Eine verbesserte Schalentheorie und ihre Anwendung auf Problem der Kriechmechanik // Mitt. Inst. Mech. / Ruhr-Univ., Bochum. 1998. - № 114. - P. 63-66.

249. Teng J.G., Rotter J.M. Elastic-plastic large defection analysis of axisymmetric shells // Comput. and struct. -1989. 31, № 2. - P. 211-233.

250. Toi Yutaka, Masaoka Norio, Kawai Tadahiko. Nonlinear analysis of plate and shell structures by using bilinear degenerate shell element // CoiicaH kohkk) = Mon. J. Jisn. ind. SCI univ. Tokio. 1986. - 36, № 5. - P. 225-228.

251. Valid Roger. Une nouvelle methode de calcul des coques non lineaine en composites stratities // C. r. Acad. Sci. Ser. 2. Fasc. b. 1995. - 320, № 2. - P. 51-56.

252. Xie Yu, Xi Zhicheng. The solution of axisymmetrical shells with finite deformation // D^Hxya flacios ciooOao = J. Tsin-ghua univ. 1987. - 27, № 5. - P. 33-45.

253. Math, and Mech. Engl. Ed. 1995. - 16, № 7. - P. 667-674.

254. СниП 2.01.07-85*. Нагрузки и воздействия. М. : Минстрой РФ, 1996. - 44 с.

255. А.с.1321794 AI СССР, ГКИО Е 04 В 7/10. Сборная сферическая оболочка / Мухин Б.Г., Гвамичава A.C., Царапкин О.Н., Зедгинидзе Г.Г.; ЦНИПИ строит, металлоконструкций и ЛенЗНИИЭП. № 401448029-33; Заявлено 29.01.86; Опубл. 07.07.87, Бюл. № 25. - 4 с.322