автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Нелинейные свободные колебания пологих оболочек ступенчато-переменной толщины

На правах рукописи

ЖГУТОВ Владимир Михайлович ^

НЕЛИНЕЙНЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Специальность 05.23.17- Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2003

Работа выполнена в Петербургском государственном университете путей сообщения.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Астафьев Дмитрий Олегович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Гордон Владимир Александрович;

Ведущая организация: ОАО «Санкт-Петербургский зональный научно-исследовательский и проектный институт» (СПбЗНИиПИ).

Защита состоится 26 декабря 2003 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.182.05 при Орловском государственном техническом университете по адресу: 302020, г.Орел, Наугорское шоссе, 29, ауд. 212.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Орловского государственного университета.

Отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью, просим выслать по указанному адресу.

Автореферат разослан_ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, доцент Прокуров Максим Юрьевич

д-р физ.-мат. наук, доцент

В. С. Шоркин

^о^ А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Оболочки как элементы строительных конструкций широко применяются в различных областях техники. Например, в промышленном и гражданском строительстве - это покрытия и перекрытия большепролетных сооружений (таких, как цирки, рынки, вокзалы, складские помещения и ангары), различного рода пандусы, навесы и козырьки; в подвижном составе железнодорожного транспорта -это кузова локомотивов, вагонов, цистерны.

Зачастую тонкостенная часть оболочки (далее - тонкая оболочка) подкрепляется ребрами жесткости в одном или в двух направлениях, а также имеет разнообразные отверстия, утолщения, вырезы.

Весьма существенно, что в тонких оболочках образуются прогибы, соизмеримые с толщиной самой оболочки, даже под воздействием нагрузок, далеких от критических.

Исследование работы таких оболочек, содержащих ребра, накладки и вырезы (далее - оболочки ступенчато-переменной толщины), представляет значительный интерес при проектировании соответствующих конструкций. Важнейшей задачей при этом является изучение нелинейного колебательного процесса указанных конструкций.

При исследовании свободных колебаний многие авторы рассматривают оболочку как систему с одной степенью свободы, что позволяет вывести аналитическую зависимость амплитуды от частоты колебаний, которая в этом случае представляет собой параболу. Но такая зависимость не отражает истинный колебательный процесс оболочки. Кроме того, ребра математически задают с помощью дельта-функций, не учитывая при этом сдвиговую и крутильную жесткости ребер.

Таким образом, исследование нелинейных свободных колебаний ребристых оболочек с учетом сдвиговой и крутильной жесткостей ребер и рассмотрение их как системы с п степенями свободы является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы являются: - разработка методики построения амплитудно-частотных характеристик нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, рассматриваемых как системы с п степенями свободы, основанной на более совершенных моделях динамики данных оболочек и учитывающей дискретное введение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости ребер;

- составление программы расчетов на ЭВМ;

- исследование нелинейных свободных колебаний пологих оболочек постоянной и ступенчато-переменной толщины при их различных параметрах.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

-получены нелинейные уравнения движения в перемещениях (модель Кирхгофа - Лява) для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающие дискретное введение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости ребер;

-разработана методика определения амплитудно-частотных характеристик нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, рассматриваемых как системы с п степенями свободы;

- исследован характер нелинейных свободных колебаний оболочек постоянной толщины, ребристых и ослабленных вырезами при различных их параметрах, и построены для таких оболочек амплитудно-частотные характеристики;

- изучена зависимость частоты свободных нелинейных колебаний в зависимости от вида и значения предварительной нагрузки и жесткости подкреплений.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в разработке математического и программного обеспечения проведения исследований нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, которое может найти применение при проектировании облегченных высокопрочных конструкций в авиа- и судостроении, в машиностроении, в строительстве. Результаты работы внедрены в научно-исследовательских и проектных организациях Санкт-Петербурга и ЗАО «Саратовский авиационный завод». Они используются также в Петербургском государственном университете путей сообщения (ПГУПС) в курсе «Теоретическая механика».

На защиту выносятся следующие основные научные положения.

1. Более совершенные нелинейные математические модели динамики пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, в которых учитываются дискретное размещение ребер и вырезов, их ширина, сдвиговая и крутильная жесткости ребер.

2. Методика определения амплитудно-частотной характеристики нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, рассматриваемых как системы с п степенями свободы.

3. Исследование характера нелинейных свободных колебаний оболочек постоянной толщины, ребристых, ослабленных вырезами в зависимости от вида и значения предварительной нагрузки, параметров оболочки, жесткости подкреплений, а также построение амплитудно-частотных характеристик для таких оболочек.

Достоверность и обоснованность научных положений обеспечены корректной математической постановкой задач исследования, выводом уравнений движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины вариационным методом, сравнением результатов, полученных автором, с результатами научных исследований и экспериментов, выполненных другими авторами.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на международной научной конференции «Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте» [Самара, Самарская государственная архитектурно-строительная академия (СамГАСА), сентябрь 2002 г.], на 60-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского архитектурно-строительного университета (СПбГАСУ), февраль 2003 г.

Полностью результаты работы были доложены на научном семинаре кафедры теоретической механики СПбГАСУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, лауреата премии Правительства РФ, д-ра техн. наук, профессора P.C. Санжаровского (апрель 2003 г.) и на научном семинаре кафедры теоретической механики ПГУПС под руководством д-ра техн. наук, профессора Д.О. Астафьева (апрель 2003 г.).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ [1-7].

Структура и объем работы. Текст диссертации изложен на 145 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 199 наименований и содержит 54 рисунка, 9 таблиц. Приложения 1-3 приведены на 32 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы диссертационной работы, цели и задачи исследований, научная новизна, достоверность результатов и дан краткий обзор литературных источников по теме диссертации.

Большинство работ, посвященных исследованию колебательного процесса оболочек, выполнено в линейной постановке. Ребра задавались по линиям - без учета влияния сдвиговой и крутильной жесткостей ребер на напряженно-деформированное состояние (НДС) всей конструкции. К числу таких работ можно отнести публикации В.А. Заруцкого и И.Я. Амиро.

Геометрически нелинейные решения приведены в работах С.А. Тимашева и В.И. Климанова, но ребра также задавались по линиям. В экспериментах, проведенных С.А. Тимашевым, выявлено весьма существенное влияние сдвиговой и крутильной жесткостей ребер на НДС всей конструкции.

В работах A.C. Вольмира исследованы нелинейные свободные колебания пологих гладких и подкрепленных ребрами оболочек посредством «размазывания» жесткостей ребер по поверхности оболочки. При этом амплитудно-частотные характеристики свободных колебаний получены при рассмотрении оболочки как системы с одной степенью свободы (имела место одночленная аппроксимация прогиба).

Следует отметить также работы В.В. Карпова и А.Ю. Сальникова в этой области.

Анализ работ по теме диссертации позволяет поставить и решить следующие задачи.

1. Разработать более совершенную модель колебаний оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающую сдвиговую и крутильную жесткости ребер.

2. Разработать методику исследования нелинейных свободных колебаний пологих оболочек, рассматривая их как системы с я степенями свободы (с помощью многочленной аппроксимации прогиба).

3. Провести исследования колебательных процессов оболочек и получить основные характеристики колебательного процесса.

В главе 1 выведены на основе вариационного метода нелинейные уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины.

Рассмотрены прямоугольные в плане пологие оболочки. Приняв срединную поверхность оболочки толщиной h за координатную поверх-

ность, оси дг, у направим по линиям главных кривизн оболочки, а ось г -по нормали к срединной поверхности в сторону вогнутости.

Оболочка находится под действием поперечной нагрузки q (х, у, /), зависящей не только от пространственных координат х, у, но и от времени Л

Деформации удлинения е^., гу вдоль осей Ох, Оу и сдвига г^ в срединной поверхности оболочки связаны с перемещениями соотношениями

б, = —--кЖ + -\-

х дх х 2\дх

ъу =

дУ ду

-ф + г

I ду

ди дУ д№ дЖ

е„ =-+-+---,

ду дх дх ду

где Щх, у, /), У(х, у, /), Щх, у, /) - перемещения точек срединной поверхности оболочки вдоль осей х, у и г\ кх = \!Я\, ку = 1//?2 - главные кривизны оболочки вдоль осей х и у /?2 - главные радиусы кривизны в направлении осей х и у).

Со стороны вогнутости оболочка подкреплена ортогональной сеткой ребер, параллельных сторонам оболочки (рис.!), высота и расположение которых заданы с помощью функции Н{х,у)\

т _ п _ п т _

Н(х,у) = £УЦх-ху) + £А'8(у

Здесь И1, И - высоты ребер, параллельных осям х и у; Лу = шт|А-/, А'|; 8(*-дгу), 5(>>-у,) - единичные ступенчатые функции, равные по определению единице в местах присоединения ребер и нулю - вне этих мест.

Таким образом, толщина всей конструкции равна И + Н. Если Н> 0, то оболочка подкреплена ребрами (накладками); если Н< 0, то она ослаблена вырезами.

Сначала рассмотрена модель оболочки, не учитывающая поперечные сдвиги (модель Кирхгофа - Лява).

о

Рис.1

Деформации в слое, отстоящем на величину 2 от срединной поверхности оболочки, в случае модели Кирхгофа - Лява имеют вид

£х~г* 2 дх2 ; 2 ду2 ; дхду' ( '

Напряжения, действующие в произвольной точке оболочки, которая выполнена из изотропного материала, в соответствии с законом Гука вычисляются по формулам

Е~2 к + к)' ау =7~2"(8^ + аху = ~^ГГГ7Леху ■ Ю

Здесь Е, \1 - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки соответственно.

Интегрируя напряжения из формулы (3) по г в пределах от -Л/2 до Л/2+Н, получаем усилия и моменты, приведенные к срединной поверхности оболочки (обшивки) и приходящиеся на единицу длины сечения:

(4)

Здесь Г, 3, ./ - соответственно площадь поперечного (или продольного) сечения ребра, приходящаяся на единицу длины сечения, статический момент и момент инерции данного сечения:

_ _ И12+И _ А/2+Н _ Л/2+Н ^ = \(к\ £ = \zdz-, I 2 ^г.

а/2 л/2 а/2

Для оболочек, ослабленных вырезами, значения высот ребер Л',

Л7 отрицательны (по модулю не превосходят Л). Если ребра и вырезы расположены с выпуклой стороны оболочки, то знак Б изменяется на

противоположный. Если имеют место локальные сквозные вырезы, то в

формуле (1) следует положить И' - У =0, И1 = И. При этом 1.9 =0 и выражения (4) упрощаются.

С помощью вариационного метода получены уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины (модель Кирхгофа - Лява):

|дМ^

дх ду

+ = 0;

дг

ду

дх

д(2

= 0;

Ыхкх + Муку +

дх

К,

ЭТУ дх

+ N.

ху

дф) ду) +

С

ду

д2Мг

дх2

д2М

д2М

+-г^ + 2-— + <7 - р (й + -у- = 0

ду-

дхду

Ы1

(5)

Здесь р = у / g, где у и g - удельный вес материала оболочки и ускорение свободного падения.

Уравнения (5) учитывают геометрическую нелинейность, дискретное расположение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости ребер, взаимное влияние ребер в местах их пересечений, т.е. наиболее полно учитывают специфику ребристых оболочек. Как частный случай из них следуют известные уравнения движения пологих оболочек.

Подчеркнутые в уравнениях (5) члены являются инерционными.

Получены также уравнения движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов (модель Тимошенко - Рейснера) и инерции вращения.

Для модели Кирхгофа - Лява выведены уравнения движения в перемещениях и в безразмерной форме. Безразмерные параметры имеют вид:

£} = х1а,г\ = у1Ь,<1 = а1Ь,и =а1Л}12,У =ЬУ1}1,\У =УПК к^=а2кх1И, кп = Ь2ку/И, ¥ = а4д/ЕИ4,7 = И/ а2 -^Ц-/.

л ' л/ С1 - Ю2Р

Здесь а, Ъ - линейные размеры оболочки вдоль осей х, у.

Отдельно рассмотрены уравнения движения пологих оболочек, ослабленных вырезами.

В главе 2 предложена методика решения уравнений движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, суть которых состоит в применении к исходной системе (5) метода Власова - Канторовича при аппроксимации перемещений (после перехода к безразмерным параметрам):

_ N _ N _ N

и = £Г1(/)Ш(/); V = £Г2(/)П(7); 1Г = £П(/уП(/), (6) /=\ 1=1 1=1

где и\, ¥\, ¡VI - известные (аппроксимирующие) функции переменных ^ и т|, удовлетворяющие заданным краевым условиям, которые в свою очередь соответствуют виду закрепления контура оболочки; 74(7), 72(7) 73(7) - неизвестные функции переменной I, подлежащие определению.

В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка относительно функций Т\, 12, 73:

N

Т\"(1)А Т{1, /) = АК\у),

/=1 N

]Г Т2\1)ВТ{1, У) = АК2^), /=1 N

^ГЗ"(7)С7-(7,7) = АКЗ(.7), J = 1,2,..., N.

(7)

Здесь

АК\(Т)=(7)Щ7, Т)+Щ1)Щ1,1)+73(7) х /=1

N /=1

N

АЩ1) = £{Л(/)Д5(/,7)+72(7)7)6(7,.7)+73(7) х /=1

Щ7, ./)+^П{К)ЩК,1,1)

>(8)

/=1

N

7)9(7,У)+^73(707)10(^,7,7) к=\

+ Щ1)

7)11(7,7)+^73(707)12(Л:,7,У)

73(7)

N ( N

7)13(7, /)+^ТЗ(К) 7)1 4(К, 7, .7)+^ПЩЩЬ)

к=\

к=\

+ 7)15(У)Р.

у

Затем система уравнений (7) сводится к нормальному виду и решается методом Рунге - Кутта.

Подробно проанализирована методика исследования нелинейных свободных колебаний при рассмотрении оболочки как системы с п степенями свободы. Описана блок-схема алгоритма и программа расчетов на ЭВМ.

В главе 3 приведены результаты исследования нелинейных свободных колебаний оболочек постоянной толщины.

Как оказалось, характер свободных колебаний оболочек существенно зависит как от вида предварительной нагрузки (статическая или динамическая), так и от скорости предварительной динамической нагрузки. При статистической предварительной нагрузке, далекой от критической, характер свободных колебаний более плавный, близкий к гармоническому, а при динамической предварительной нагрузке он сущест-

венно усложняется. Различные точки оболочки колеблются с различной частотой, а порой и в противофазе.

Чем тоньше оболочка, тем характер ее свободных колебаний сложнее. Амплитудно-частотная характеристика, полученная для оболочки как системы с одной степенью свободы, не отражает истинного характера нелинейных свободных колебаний, так как априори считается, что все точки оболочки совершают колебания с одной и той же частотой. Следовательно, такая характеристика не реагирует на местную потерю устойчивости, не зависит от вида предварительной нагрузки.

Более точную зависимость амплитуды от частоты свободных нелинейных колебаний, приведенной к частоте линейных свободных колебаний, можно получить численно по методике, описанной в начале главы 3.

Тонкая оболочка даже при малых предварительных нагрузках имеет . весьма сложную форму изгибаемой поверхности, отличную от синусоидальной. При достаточно больших предварительных нагрузках (но не достигающих критического значения) максимум прогибов для некоторых оболочек смещается от центра к четверти. При колебании оболочки часть энергии тратится на изменение формы колебаний. Различные точки оболочки (например, точки, расположенные в центре оболочки и в четверти) не только имеют разную частоту колебаний, но и колеблются в противофазе.

Рассмотрим свободные нелинейные колебания оболочек постоянной толщины с предварительной динамической поперечной нагрузкой Р = А1. В разложении перемещений в ряды удерживалось 9 членов.

Квадратная в плане оболочка со стороной а = 60И и параметрами кривизны к^ = кц = к= 16 предварительно получила импульс от нагрузки ? = 1000/.

Характер колебаний при 1 = 0,0005 (что соответствует в случае металлической оболочки нагрузке <7 = 8,1-10"3 МПа и времени приложения / = 3,3-Ю-6 с) отражен на графиках «IV -7» (рис.2). Данное решение получено на первом шаге методом Рунге - Кутта, поэтому его можно принять за решение линейной задачи и с его помощью определить частоту собственных линейных колебаний сол как величину, обратную размерному периоду колебаний. (Размерный период колебаний равен безразмерному, поделен-

Рис.2

Зависимость безразмерного и размерного времени ( и / определяется по формуле

Определив период безразмерных колебаний Т , делим его на К\ и получаем размерный период колебаний Т, с:

При этом частота колебаний со, Гц

Параметр К\ зависит от размеров и материала оболочки. Для стали 40Х имеем

На рис.3 показана зависимость «амплитуда Н— частота v = со/сол» (где ю/сол - частота свободных колебаний со, приведенная к частоте линейных колебаний сол) для точек центральной (кривая 1) и расположенной в четверти (кривая 2), отвечающая оболочке с параметрами ¿=16, а = 60й. Сплошные линии соответствуют предварительной нагрузке

Р = 1001, штриховые- ? = 1000/.

Т/К, =Т.

Кх = 5432,32^/(3.

(9)

н 2

I

\

)

О

0,5

1 V = ю/ю.

'л

Рис.3

Как видно из рис.3, по характеру зависимость «Я-у = со/сол» существенно отличается от зависимости, получаемой при одночленной аппроксимации перемещений.

Для более тонких оболочек это различие еще заметнее.

На рис.4 представлены зависимости «Я-у = со/сол» для более тонких оболочек с параметрами кривизны к^ = кц = к = Ъ2 {а = 120/г) и предварительной нагрузкой Р = 100/. Здесь кривая 3 (рис.4, а) соответствует колебаниям центральной точки, а кривая 4 (рис.4, б) - точки, расположенной в четверти оболочки. Для данной оболочки при приближении к критической нагрузке прогиб в центре уменьшается, а в четверти увеличивается, поэтому такой сложный вид имеет кривая 3 на рис.4, а.

Как видно из рассмотрения рис.3 и 4, зависимость «Я- V = со/сол» реагирует на момент потери устойчивости оболочки. В этот момент или резко возрастает частота колебаний, или (см. кривую 3 на рис. 4, а) резко изменяется амплитуда.

Кроме зависимости «#-V = со/сол» интерес может представлять зависимость «Г -у = со/сол», которая показана на рис.5. Номера кривых имеют тот же смысл, что и на рис.3 и 4. Эта зависимость более наглядно характеризует процесс изменения частоты колебаний от времени приложения предварительной нагрузки Р =АЛ .

0,5 1 V = (о/сол

Рис.4

Рис.5 16

Исследована была и зависимость частоты нелинейных свободных колебаний для различных точек оболочки от значения предварительной нагрузки. Как показали исследования, с увеличением толщины оболочки частота свободных колебаний возрастает. С пропорциональным увеличением размеров оболочки (линейного размера и толщины) частота колебаний уменьшается.

В главе 4 рассмотрены нелинейные свободные колебания ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами.

Были проанализированы оболочки, подкрепленные со стороны вогнутости регулярным набором ребер высотой 3И и шириной 2И. Число ребер в каждом направлении одинаковое.

Рассмотрим сначала оболочки с параметрами а = 6ОН, к^ = кц = = к= 16, подкрепленные различным числом ребер. В зависимости от времени I и предварительной нагрузки Р =1000Г, строим кривые «IV - (» и определяем периоды колебаний ТА и Тв центральной точки А и точки В, расположенной в четверти, в случаях подкрепления оболочки двумя и шестью ребрами, а также точки с координатами \ - 0,333; г| = 0,333, т.е. точки, расположенной на пересечении ребер для оболочки, подкрепленной четырьмя ребрами. Вновь при I = 0,0005 (первый шаг предварительной нагрузки) получаем результаты решения линейной задачи. Так как при ^ =0,0005 колебания носят осциллирующий характер (колебания вокруг некоторой кривой), их частота на протяжении всего времени существенно изменяется, что позволяет рассчитать не только периоды первоначальных колебаний ТА и Тв, но и период приведенных колебаний ТА = ТВп =

= Тп , необходимый для построения амплитудно-частотных характеристик.

Далее были рассмотрены более тонкие оболочки, подкрепленные различным числом ребер, с параметрами а = 120/г, = кТ[ = к= 32. Для таких оболочек характер колебательного процесса усложняется.

При малой предварительной нагрузке из-за запаздывания реакции конструкции на динамическое воздействие и различной податливости (сопротивляемость изгибу) в разных точках оболочки характер колебательного процесса особенно сложный. Различные точки оболочки колеблются с разной частотой, а иногда и в противофазе. Колебательный процесс имеет осциллирующий характер.

С увеличением предварительной нагрузки, остающейся далекой от критической, колебательный процесс выравнивается и становится гармоническим. _

На рис.6-8 представлен ряд зависимостей «Иг - I» для случаев оболочек, подкрепленных:

-двумя ребрами при Р = 1000-0,08 и Р = 1000-0,12 (рис.6, а и б соответственно);

- четырьмя ребрами при Р = 1000-0,08 (рис.7);

- шестью ребрами при Р = 1000-0,08 (рис.8).

Рис.7

По мере приближения предварительной нагрузки к критическому значению колебательный процесс существенно изменяется.

Построены амплитудно-частотные характеристики нелинейных свободных колебаний ребристых оболочек при рассмотрении их как системы с п степенями свободы.

Сначала проанализируем оболочки с параметрами а = 60А, к^ = кп = к= 16, подкрепленные различным числом ребер высотой ЗА и шириной 2И. На рис.9, 10 и II представлены зависимости «//- v = со/мл» для оболочек, подкрепленных двумя, четырьмя и шестью ребрами соответственно. Штриховыми линиями показаны зависимости для приведенной частоты колебаний.

Рис.9

Н 1,5

1,0

0,5

0,5 1 V = ю/о)л

Рис.10

/

1,2

н

/

1,2

N

1,0

/

2

0,5

0

-V

0,5

1 V = 0)Л»

'л

Рис.11

Как видно из рис.9, 10 и 11, в случае подкрепления оболочки двумя ребрами зависимость «Я- v = ю/сол» для точки А (точки пересечения ребер) похожа на классическую, которая получается при рассмотрении оболочки как системы с одной степенью свободы. С увеличением числа ребер, подкрепляющих оболочку, частота колебаний практически не зависит от амплитуды, поскольку такие оболочки не теряют устойчивости. Мы видим также, что амплитудно-частотная характеристика ребристых оболочек реагирует на момент потери их устойчивости, при которой частота колебаний начинает возрастать (см. рис.9). Если же потеря устойчивости не имеет места, то амплитудно-частотная характеристика носит монотонный характер (не имеет точек перехода от возрастания к убыванию), как это и отражено на рис. 10 и 11.

Примечательно, что более тонкие оболочки (<з= 120А, к^ = кц = = к = 32) теряют устойчивость при их подкреплении и четырьмя, и шестью ребрами и даже большим их числом. Для таких оболочек амплитудно-частотная характеристика имеет весьма специфический вид: переходит от убывания к возрастанию. А для оболочки, подкрепленной двумя ребрами, таких переходов два, поскольку данные оболочки перед общей потерей устойчивости имеют местную потерю ее («прощелкиваются» четыре панели между ребрами и краем оболочки).

На рис.12, 13 и 14 представлены зависимости «Я-у = со/сол» для случаев оболочек, подкрепленных двумя, четырьмя и шестью ребрами соответственно. Штриховыми линиями показаны зависимости для приведенной частоты линейных колебаний.

Н 10 ■■

8

6 •

4 ■■

2 --

; -1-1-

0,5 1,0 у = (о/а>„

Рис. 12

Н

Рис.13 22

н

6 4 2

/

N \

\ / \

\\

0,5 Рис.14

1,0 у = со/а>л

Построенные зависимости частоты нелинейных свободных колебаний от значения предварительной динамической нагрузки Р = АТ показали, что если оболочка не теряет устойчивость, то указанная зависимость практически является линейной. Если же оболочка теряет устойчивость, то при соответствующей нагрузке происходит резкое увеличение частоты колебаний.

На рис. 15 и 16 эта зависимость показана для центральной точки оболочки: оболочки с параметрами а = 60/г, = кц = к = 16 - на рис.15; для более тонких оболочек с параметрами а = 120/г, к$ = кп = к= 32 - на со, Гц рис.16. В случаях, когда они теряют устойчивость при подкреплении их шестью или более ребрами, зависимость со от Р существенно усложняется.

Подчеркнем, что номера кривых здесь означают число подкрепляющих оболочку ребер; нуль соответствует оболочке без ребер.

700

600

500

400

200

400 Рис.15

600 800 Р

(о, Гц

Рис.16

На рис.16 кривая 2 отражает два момента резкого увеличения частоты со, поскольку оболочка перед общей потерей устойчивости имеет местную потерю - «прохлопывают-ся» панели между ребрами и контуром оболочки.

В этой же главе даны обоснование достоверности результатов исследования и сравнение их с результатами других авторов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В работе получены нелинейные уравнения движения (модель Кирхгофа - Лява) оболочек ступенчато-переменной толщины, в которых учитываются геометрическая нелинейность, дискретное расположение ребер и вырезов, сдвиговая и крутильная жесткости ребер.

Так как эти уравнения в перемещениях имеют инерционные члены по всем трем направлениям, то с их помощью можно исследовать оболочки, находящиеся под действием динамической и ударной нагрузок.

Разработана и реализована на ЭВМ методика определения амплитудно-частотной характеристики нелинейных свободных колебаний для оболочки, рассматриваемой как система с л степенями свободы.

При этом форма начальной изогнутой поверхности (начальные условия для колебательного процесса) находится из решения динамической задачи при определенном значении возмущающей силы. Частота колебаний в различных точках находится из решения динамической задачи при нулевом значении возмущающей силы и найденном значении начальной формы изогнутой поверхности (получаются зависимость «IV-1», период, а затем и частота колебаний для различных точек оболочки).

Как показали расчеты, частота нелинейных свободных колебаний в различных точках оболочки является функцией от входных параметров (значения возмущающей силы и ее вида, жесткостных парамет-

ров, определяющих начальную форму изгиба поверхности оболочки, координат точки оболочки).

Податливость (сопротивляемость изгибу) в различных точках оболочки неодинакова, отсюда различие и в запаздывании реакции на воздействие динамической возмущающей силы. Поэтому при кратковременном возмущении колебательный процесс тонкостенных конструкций имеет сложный вид.

Различные точки оболочки колеблются с разной частотой, а иногда и в противофазе. При статическом возмущении колебательный процесс упрощается. Наличие ребер и вырезов изменяет податливость в различных точках оболочки (так как жесткость оболочки меняется в некоторых областях дискретно), что усложняет колебательный процесс.

Проведенные исследования показали следующее.

1. С увеличением толщины оболочки частота нелинейных свободных колебаний возрастает.

2. При пропорциональном увеличении размеров оболочки (линейного размера а и толщины И) частота нелинейных свободных колебаний уменьшается.

3. Амплитудно-частотная характеристика нелинейных свободных колебаний оболочки «Я- V = со/сол», построенная при рассмотрении ее как системы с я степенями свободы, зависит от данной точки на оболочке, скорости возмущающей силы, параметров оболочки (линейных размеров, толщины, кривизны), жесткости ребер и их числа. Эта зависимость имеет сложный вид, весьма далекий от параболы. При потере устойчивости наблюдается экстремум по оси Н.

4. Зависимость частоты нелинейных свободных колебаний от значения возмущающей силы реагирует на момент потери устойчивости оболочки резким увеличением частоты колебаний. Эта зависимость различна для разных точек оболочки.

С увеличением числа подкрепляющих оболочку ребер частота нелинейных свободных колебаний возрастает (исключением является лишь начальный мало длящийся по времени начальный возмущающий импульс).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах

\.ЖгутовВ.М., СальниковА.Ю. Математическое моделирование свободных нелинейных колебаний пологих упругих оболочек // Сборник науч. тр. Междунар. науч.-техн. конф. «Современные проблемы совершенство-

вания и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте». Самара: СамГАСА, 2002. - С.144-146.

2. Жгутов В.М., Сальников А.Ю. Математическое моделирование свободных нелинейных колебаний пологих упругих оболочек: Тез.докл. // Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте: Материалы Междунар. науч.-техн. конф. 23-26 сентября 2002 г. Самара: СамГАСА, 2002. - С.63.

3. Жгутов В.М., Сальников А.Ю. Зависимость частоты нелинейных свободных колебаний от величины предварительной нагрузки // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвузов, темат. сб. тр. Вып. 9. СПб.: СПбГАСУ, 2003. - С.90-93.

4. Жгутов В.М., Сальников А.Ю. О характерной особенности напряженно-деформированного состояния пологих оболочек при ударных нагрузках // Сейсмическое строительство - Безопасность сооружений -2003. - № 2. - С.55-56.

5. Карпов В.В., Жгутов В.М., Сальников А.Ю. Амплитудно-частотная характеристика свободных нелинейных колебаний пологих ребристых оболочек // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвузов, темат. сб.тр. Вып.9. СПб.: СПбГАСУ, 2003. -С.93-95.

6. Карпов В.В., Жгутов В.М., Сальников А.Ю. Амплитудно-частотные характеристики нелинейных свободных колебаний упругих пологих оболочек // Сборник науч. тр. Междунар. науч.-тех. конф. «Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте». Самара: СамГАСА, 2002. -С. 147-150.

7. Карпов В.В., Жгутов В.М., Сальников А.Ю. Амплитудно-частотные характеристики нелинейных свободных колебаний упругих пологих оболочек: Тез. докл. // Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте: Материалы Междунар. науч.-техн. конф. 23-26 сентября 2002 г. Самара: СамГАСА, 2002. - С.64.

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 12.11.2003. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная Печ.л. 1,1Бум.л. 0.55. тир. 100 экз. Заказ №164 Издательский центр ООО «Ривьера» 193015. Санкт-Петербург, ул Пролетарской диктатуры, д. 6

.»г-

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

1.1. Основные соотношения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах.

1.2. Нелинейные уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной ч толщины.

1.2.1. Модель Кирхгофа - Лява.

1.2.2. Модель Тимошенко - Рейснера.

1.3. Нелинейные уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины в перемещениях и в безразмерном виде.

1.4. О краевых условиях на боковой поверхности ребер и на краю вырезов.

1.5. Нелинейные уравнения движения пологих оболочек, ослабленных сквозными вырезами.

1.6. Выводы.

Глава 2. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

2.1. Применение метода Власова - Канторовича для сведения трехмерной задачи к одномерной.

2.2. Применение метода Рунге - Кутта для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.3. Методика исследования нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины.

2.4. Системы аппроксимирующих функций.

2.5. Блок-схема алгоритма исследования нелинейных свободных колебаний оболочек и программа расчетов на ЭВМ.

2.6. Выводы.

Глава 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ.

3.1. Характер нелинейных свободных колебаний пологих оболочек постоянной толщины в зависимости от характера предварительной нагрузки.

3.2. Нелинейные свободные колебания пологих оболочек постоянной толщины при различных значениях кривизны и предварительной нагрузки.

3.3. Амплитудно-частотные характеристики нелинейных свободных колебаний пологих оболочек постоянной толщины.

3.3.1. Амплитудно-частотная характеристика при рассмотрении оболочки как системы с одной степенью свободы.

3.3.2. Амплитудно-частотная характеристика при рассмотрении оболочки как системы с п степенями свободы.

3.4. Зависимость частоты нелинейных свободных колебаний оболочки постоянной толщины от значения предварительной нагрузки.

3.5. Выводы.

Глава 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

4.1. Общая характеристика колебательного процесса ребристых оболочек.

4.2. Амплитудно-частотная характеристика нелинейных свободных колебаний ребристых оболочек.

4.3. Зависимость частоты нелинейных свободных колебаний от значения предварительной нагрузки для ребристых оболочек.

4.4. Свободные колебания оболочек, ослабленных вырезами.

4.5. Сравнение результатов исследований пологих оболочек, находящихся под действием динамических нагрузок, с результатами других авторов и результатами экспериментов.

4.6. Выводы.

Тонкостенные оболочечные конструкции (тонкие оболочки) находят широкое применение в ракето-, самолето- и судостроении, в машиностроении и в строительстве. Для придания большей жесткости тонкостенная часть оболочки подкрепляется ребрами, что существенно повышает ее прочность при незначительном увеличении массы конструкции, даже если ребра имеют малую высоту. По технологическим требованиям оболочки могут иметь вырезы, которые зачастую также подкрепляются ребрами.

Таким образом, в одной конструкции могут быть и ребра, и вырезы, следовательно, всю конструкцию необходимо рассматривать как оболочку ступенчато-переменной толщины. Указанные конструкции могут подвергаться не только статическим, но и динамическим нагрузкам, допуская прогибы, соизмеримые с толщиной оболочки.

Расчеты на прочность, колебания и устойчивость таких конструкций играют важную роль при проектировании современных аппаратов, машин и сооружений. Тем не менее поведение тонкостенных конструкций, содержащих ребра, накладки и вырезы, которое учитывало бы дискретность расположения ребер и вырезов, сдвиговую и крутильную жесткости ребер, поперечные сдвиги и геометрическую нелинейность, исследовано недостаточно. Причины тому — сложность учета упомянутых факторов и необходимость решения громоздких нелинейных краевых задач. Кроме того, некоторые конструкции после потери местной устойчивости сохраняют несущую способность, выявление же различных форм потери устойчивости вызывает математические сложности.

Если в статической постановке многие задачи устойчивости оболочек, как содержащих ребра, так и ослабленных вырезами, имеют решения, то в динамической постановке дело обстоит иначе, особенно при исследовании нелинейных свободных и вынужденных колебаний, когда конструкцию необходимо рассматривать как систему с п степенями свободы.

При рассмотрении местного усиления или ослабления оболочек необходимо привлекать более сложные модели, чем модель Кирхгофа - Лява. Кроме того, совместно с расчетами на прочность и устойчивость следует решать задачи рационального выбора подкреплений и параметров кривизны. Поэтому разработка математических моделей поведения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, наиболее полно учитывающих их работу при динамических нагрузках, и проведение на их основе исследований устойчивости и колебаний, а также выбора рациональных параметров конструкции, являются актуальными задачами.

Основные идеи теории оболочек, подкрепленных ребрами (ребристых оболочек) высказаны в конце 40-х годов двадцатого века В.З. Власовым [26] и А.И. Лурье [122]. В их работах заложены два основных подхода к исследованию данных оболочек. В.З. Власов рассматривал ребристую оболочку как контактную систему, состоящую из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье рассматривал оболочку (обшивку) и ребра как единое целое. Использовав вариационный принцип, он получал уравнения равновесия и естественные краевые условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из обшивки и подкрепляющих ее упругих одномерных элементов либо из тонкостенных стержней (В.З. Власов), либо из стержней Кирхгофа - Клебша (А.И. Лурье).

Третий подход к рассмотрению ребристой оболочки основан на сведении ее к конструктивно ортотропной оболочке, путем «размазывания» жесткости ребер по всей оболочке.

В конце 60-х годов П.А. Жилин [57, 58] заметил, что при втором подходе (подход А.И. Лурье) привлекаются две различные технические теории (теория оболочек и теория стержней), основные положения которых не вполне совместимы. В связи с этим он предложил рассматривать ребристую оболочку как оболочку дискретно-переменной толщины, учитывая при этом, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не вдоль линии.

Задание дискретного изменения толщины пластин и оболочек с помощью единичных функций применяется в работах [3, 20, 52, 57, 58, 70, 150, 181]. В работе Д.В. Вайнберга и И.З. Ройтфарба [20] рассматриваются задачи в линейной постановке (1965 г.). В работах Н.П. Абовского, JI.B. Енджиевского и других ученых из Красноярского края [3, 52, 182] задание дискретного изменения толщины ребристых оболочек используется для задач как в физически, так и в геометрически нелинейной постановке. При этом с помощью задания локальной нулевой жесткости имитируются вырезы. Аналогичный подход к оболочкам с вырезами используется в работах И.Н.Преображенского [150, 151].

Геометрически нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины (ребра, накладки, вырезы) разработана В.В. Карповым [80-87]. Им доказана эквивалентность подходов В.З. Власова и А.И.Лурье к ребристым оболочкам. Проведено исследование устойчивости ребристых оболочек и оболочек с вырезами с учетом многих факторов, которые раньше не принимались во внимание (влияние сдвиговой и крутильной жесткостей ребер, поперечных сдвигов и т.д.). С помощью вариационного принципа, В.В.Карповым было доказано, что краевые условия на боковой поверхности ребер и на краю вырезов (свободный край) можно ввести в уравнения равновесия и при решении задачи добиться хорошего их удовлетворения.

Современное состояние теории ребристых оболочек отражено в работах Н.П. Абовского, Н.А. Алфутова, И.Я. Амиро, J1.B. Андреева, Г.Н. Белосточного, Д.В. Вайнберга, В.З. Власова, А.С. Вольмира, Г.Д. Гавриленко, О.А. Грачева, Е.С. Гребня, И.П. Гречанинова, Э.И. Григолюка, А.Н. Гузя, Г.И. Диаманта, Л.В. Енджиевского, Ю.П. Жигалко, П.А. Жилина, В.А. Заруцкого,

B.В. Кабанова, Б Я. Кантора, В.В. Карпова, В.И. Климанова, B.C. Корнеева,

C.С. Кохманюка, В.А. Лесничей, А.И. Лурье, А.А. Малинина, А.А. Малютина,

A.И. Маневича, A.M. Масленникова, И.Е. Милейковского, Б.К. Михайлова,

B.Н. Моссаковского, Ю.В. Немировского, Н.И. Ободан, В.А. Постнова, Ю.М. Почтмана, И.Н. Преображенского, Г.И. Пшеничнова, В.М. Рассудова, Н.П. Семенюка, О.И. Теребушко, С.А.Тимашева, В.Н. Чернышева, И. Бискова и Дж. Хансена, P. By и Е. Уатмера, Д. Зингера, С. Фишера и С. Берта и других.

Исследованию оболочек, ослабленных вырезами, посвящены работы Е.П. Борзых, Э.И. Григолюка, А.Н. Гузя, JI.B. Енджиевского, В.В. Карпова, Я.Ф. Каюка, Н.П. Кривошеева и М.С. Корнишина, А.С. Космомианского, А.А. Малинина, И.М. Пирогова, И.Н. Преображенского, Г.Н. Савина, JI.A. Филынтинского, К.Ф. Черных, И.С. Чернышенко, В.Н. Чехова, К.Н. Шнеренко, Ф. Броутена и Б. Олмроса и других.

Исследования в области ребристых оболочек выполняются, как правило, с использованием теории упругих тонких оболочек (основанной на гипотезах Кирхгофа — Лява) для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) обшивки и теории тонких стержней Кирхгофа — Клебша для описания НДС ребер. Во многих работах допускается, что ребра присоединены к обшивке вдоль взаимно ортогональных линий главных кривизн поверхности обшивки и передают на нее реакции, распределенные по этим линиям. В линейной постановке используется статический критерий устойчивости, и задача сводится к решению систем дифференциальных уравнений нейтрального равновесия. Большинство работ посвящено исследованию оболочек, представляющих собой отсеки поверхностей вращения.

В геометрически нелинейной постановке для задач статики при определении критических нагрузок находится предельная точка кривой «нагрузка -прогиб» оболочки.

Подавляющее число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами, посвящено статике оболочек.

В задачах динамики использованы положения теории, сформулированные при решении задач статики ребристых оболочек. Как и в задачах статики, при изучении динамики ребристых оболочек применяются два подхода, различающихся по способу учета подкрепляющих оболочку ребер. Первый основан на замене рассматриваемой оболочки эквивалентной ей в известном смысле гладкой оболочкой (конструктивно-ортотропная модель); второй - на учете дискретного размещения ребер, что в ряде случаев позволяет обнаружить те специфические особенности поведения ребристых оболочек при динамических нагрузках, которые нельзя изучить с помощью первого подхода.

Большинство работ, посвященных изучению динамики ребристых оболочек, выполнено с применением расчетной схемы, основанной на прикладной теории оболочек Кирхгофа - Лява и теории стержней Кирхгофа - Клебша. В некоторых работах использована теория оболочек, предложенная С.П. Тимошенко, и лишь в работе Ш.У. Галлиева [33] приведены уравнения пространственной задачи теории упругости. К сожалению, области применимости результатов, полученных на основе прикладных теорий, в большинстве случаев не оговариваются, и вопрос о достоверности результатов, полученных с помощью этих теорий, в особенности при решении нестационарных задач, остается открытым.

Постановки задач динамики ребристых оболочек при использовании в качестве расчетной схемы конструктивно-ортотропных оболочек, в принципе, могут различаться лишь способом вычисления жесткостных параметров эквивалентной гладкой оболочки. В рассмотренных выше работах, как правило, использован способ приведения, при реализации которого жесткости ребер равномерно распределяются по соответствующему направлению оболочки.

При выводе уравнений движения ребристых оболочек с учетом дискретного размещения ребер, как правило, предполагается, что контакт оболочки и ребер осуществляется вдоль линии, хотя ребро имеет конечную ширину, учет которой может повлиять на характер изменения усилий в обшивке вблизи ребер; в то же время учет ширины ребра может привести к существенному уточнению постановки задачи лишь в случае, если будет найдено решение соответствующей контактной задачи теории упругости. В настоящее время, насколько нам известно, таких решений нет.

В наиболее общем виде получены уравнения движения ребристых цилиндрических оболочек [8, 56].

Точные решения задач устойчивости ребристых оболочек при динамических нагрузках найдены для отдельных частных случаев. И в этих случаях наиболее полно изучены задачи устойчивости цилиндрических оболочек и в линейной постановке.

В линейной постановке для описания деформаций в обшивке применялась модель С.П. Тимошенко [113, 169, 178]. В нелинейной постановке таких решений нет. В нелинейной постановке уравнения динамики решались по методу конструктивной анизотропии (МКА), описанному в работах [29, 119, 172], а дискретность размещения ребер учтена в публикациях [36, 60, 93]. В работе [164] рассматриваются такие классы задач о свободных колебаниях оболочек, для которых возможно построение практически точной и эффективной методики, а также малые колебания оболочек, позволяющие считать справедливыми положения линейной теории. Получены зависимости для трех подходов: классической теории оболочек (модель Кирхгофа — Лява), теории оболочек с учетом поперечного сдвига (модель Тимошенко) и пространственной теории упругости.

С использованием энергетического метода и одночленной аппроксимации перемещений решены задачи определения частот и форм собственных колебаний цилиндрических оболочек, усиленных одной регулярной [8, 164] и двумя регулярными [74, 149] перекрестными системами ребер. Расчетные формулы получены для оболочек из изотропных [164] и анизотропных [149] материалов. Такой же путь решения задачи о собственных колебаниях пологих ребристых оболочек с прямоугольным планом использован в работах [132, 134, 136, 172]. Методика определения собственных частот колебаний ребристых оболочек вращения, основанная на энергетическом методе, приведена в публикациях [124, 166]. С помощью этого метода изучались собственные колебания ребристых цилиндрических и слабоконических оболочек с большими вырезами [110].

Нелинейные колебания ребристых цилиндрических оболочек изучались в работах [61, 120], причем В.А.Заруцким и Ю.А.Толбатовым [61] использовалась методика из книги А.С.Вольмира [29], а В.А.Лесничей [120] - метод последовательных приближений.

В последние годы внимание исследователей все больше привлекают вопросы, непосредственно связанные с изучением НДС ребристых оболочек при динамических нагрузках. Наиболее подробно рассмотрены вынужденные колебания оболочек при гармонических нагрузках. И здесь, как и при решении задачи о собственных колебаниях, точные решения уравнений получены только для цилиндрических оболочек, усиленных ребрами в одном направлении [8]. Численные результаты для оболочек вращения имеются в работах, в которых используется асимптотический метод; на его основе обнаружено существенное влияние дискретного размещения ребер на усилия и моменты в оболочке. Такие же результаты получены при изучении вынужденных колебаний ребристых конических оболочек, где уравнения движения решались методом Бубнова - Галеркина при аппроксимации перемещений двойными тригонометрическими рядами.

В работе А.К. Перцева и Э.Г. Платонова [142] для получения уравнений движения по модели Тимошенко - Рейснера для непологих оболочек использовался вариационный метод. Исследованы НДС ребристых цилиндрических оболочек и их устойчивость, но рассматривалась устойчивость панелей между ребрами, а не всей оболочки.

Разработке методов определения НДС ребристых оболочек при ударных и импульсных нагрузках посвящены работы [29, 33, 34, 56, 113, 178].

Для решения задач используются преимущественно численные методы. На основе аналитических методов решены задачи в работе [56]. Как правило, рассматривались деформации оболочек в упругой области. В большинстве работ задачи решены в геометрически линейной постановке. Геометрически нелинейная постановка использована в публикациях [29, 34]. В ряде работ изучено также влияние среды [33]. Анализ результатов исследований, выполненных на основе рассмотренных методик расчета, показывает, что большинство опубликованных работ посвящено изучению собственных частот колебаний, причем наиболее подробно рассмотрены ребристые цилиндрические оболочки, шарнирно опертые по краям.

Свободные колебания гладких оболочек в линейной постановке исследуются в работе [165], где приводятся основные положения и уравнения, описывающие свободные колебания оболочек в рамках классической и уточненной теории оболочек, а также на основе пространственной теории упругости. Рассматриваются такие классы задач о свободных колебаниях оболочек, для которых возможно построение практически точной и эффективной методики решения.

Для круговых замкнутых цилиндрических оболочек, усиленных регулярно размещенными продольными ребрами, возможны принципиально различные типы собственных колебаний:

- колебания общего вида, при которых частоты зависят от всех жест-костных характеристик ребер (форма колебаний в этом случае такова, что расстояния между ребрами не кратны длине полуволны в окружном направлении);

- колебания, при которых частоты зависят только от жесткостей ребер на изгиб в радиальной плоскости и на растяжение-сжатие или же только от их жесткостей на изгиб в плоскости, касательной к срединной поверхности обшивки и при кручении (узловые линии прогиба совпадают с осями ребер);

- чисто продольные колебания, при которых формы не зависят от продольной координаты, а частоты - от жесткостей ребер. При этом частоты колебаний могут быть ниже соответствующих частот собственных колебаний гладкой оболочки в случае, когда ребра находятся в пучностях форм колебаний и играют роль присоединенных масс либо равны им или когда ребра располагаются в узлах соответствующих форм колебаний.

Для круговых замкнутых цилиндрических оболочек, усиленных только кольцевыми ребрами, частоты собственных колебаний зависят: 1) от всех жесткостей ребер в случае, когда расстояние между ребрами не кратно длине волны формы колебаний в продольном направлении; 2) только от жесткостей ребер на изгиб в касательной плоскости и при кручении в случае, когда длина волны колебаний в продольном направлении равна целому числу раз расстояния между ребрами или меньше его.

Использование математической схематизации различного рода разрывных процессов и состояний в виде импульсивных функций для нужд строительной механики начато И.М. Герсевановым [35], с именем которого связано введение так называемых функциональных прерывателей, и продолжено работами К.С. Завриева [59], А.Г.Назарова [133], В.В.Новицкого [137], Г.А. Ван Фо Фы [23], Д.В. Вайнберга и И.З. Ройтфарба [20] и других.

Для линейных задач статики разработаны методы решения, основанные на использовании свойств импульсных функций. Это - методы, разработанные Б.К.Михайловым [129], И.Ф.Образцовым и Г.Г. Онановым [141], В.М. Рассудовым [156]. В работе A.M. Масленникова [127] для плит и оболочек, подкрепленных ребрами, разработан матричный алгоритм расчета. Получены матрицы жесткости для сложных элементов в виде ортотроп-ных плит, окаймленных эксцентрично расположенными относительно срединной плоскости плиты стержнями. При использовании метода конечных элементов (МКЭ) потенциальная энергия деформации определяется с помощью жесткости отдельных элементов. В рассматриваемом случае за отдельный элемент принимается прямоугольная плита с ребрами по контуру.

В работе В.А. Постнова и B.C. Корнеева [147] за отдельный элемент принят усеченный конус, что позволяет с успехом решать задачи устойчивости для оболочек вращения.

В работе В.И. Климанова и С.А. Тимашева [108] применена оригинальная комбинация методов Власова - Канторовича и метода конечных разностей. С помощью первого метода исходные нелинейные дифференциальные уравнения (и граничные условия) в частных производных преобразуются в систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая затем методом конечных разностей приводится к системе нелинейных алгебраических уравнений, решаемых на ЭВМ. Такое сочетание методов очень эффективно, поскольку позволяет существенно сократить число совместно решаемых нелинейных алгебраических уравнений по сравнению, например, с обычным методом сеток. С другой стороны, комбинация указанных методов позволила реализовать достаточно сложные условия сопряжения гибкой пологой оболочки с прямолинейными и криволинейными опорными ребрами при решении как статических, так и динамических задач.

Методика решения задач о свободных колебаниях оболочек, рассмотренная в работах [164, 165], основана на сведении исходной двухмерной (трехмерной) задачи динамики к последовательности одномерных задач и численного их решения. На первом этапе искомое решение аппроксимируется обобщенными рядами Фурье. На втором этапе численно решаются задачи собственных колебаний для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Используется метод ортогональной прогонки.

В основном аналитические решения задач динамики получены в форме тригонометрических рядов [8], но для решения линейных задач применяются и энергетический метод [8, 74, 110, 124, 132, 134, 136, 149, 166], и численные методы [113, 178]. Для решения нелинейных задач используются только численные методы: конечных разностей (МКР), конечных элементов (МКЭ) и Бубнова - Галеркина.

С помощью численных методов рассмотрены в основном задачи о собственных колебаниях оболочек вращения, усиленных кольцевыми ребрами [170], а также о НДС шпангоутных цилиндрических оболочек, подверженных действию импульсных нагрузок [34, 113, 178]. Среди других приближенных подходов следует отметить методики, основанные на замене ребристой оболочки системой панелей, опертых на упругие ребра, и замене панелей между ребрами пластинами.

Точные аналитические решения уравнений движения получены только для цилиндрических оболочек, усиленных ребрами в одном из направлений (продольном или кольцевом [8]), а также для пологих оболочек с прямоугольным планом, усиленных ребрами в одном из направлений [8]. В подавляющем большинстве работ при этом использованы упрощенные уравнения (принимается, что на оболочку передаются только радиальные реакции ребер или что ребра работают только на изгиб в радиальной плоскости и растяжение-сжатие).

Эти точные решения находятся в форме тригонометрических рядов по координате, ортогональной ребрам.

Для изучения колебаний ребристых оболочек и их устойчивости при динамической нагрузке используются также и экспериментальные методы. Собственные колебания, как правило, изучаются на основе резонансного метода [51, 74, 164]. Определение характеристик деформированного состояния оболочек осуществляется на основе динамического тензометрирования [31]. Этот метод находит применение при экспериментальном изучении устойчивости ребристых оболочек [11].

Экспериментальные исследования, как правило, выполнялись с целью обосновать достоверность расчетных формул, полученных на основе приближенных схем. Однако ряд результатов имеет самостоятельное значение.

В отличие от данных теоретических исследований, экспериментальное изучение собственных колебаний ребристых цилиндрических [8, 51, 75, 164] и конических оболочек свидетельствует о том, что для оболочек, усиленных шпангоутами, различие собственных частот колебаний оболочек с наружными и внутренними ребрами с ростом числа окружных волн увеличивается; обнаружено также, что теоретические и экспериментальные значения минимальных собственных частот колебаний оболочек, усиленных продольными ребрами, могут различаться в пределах 20%.

Анализу указанных отличий собственных частот колебаний посвящена работа [7]. Показано, что из рассмотренных факторов наиболее существенно влияют на собственные частоты начальные прогибы в экспериментальных оболочках и теоретически недостаточно полный учет дискретного размещения шпангоутов.

Изучено влияние начальных прогибов на собственные частоты колебаний. Прогибы измерялись с помощью специальной установки, затем определялись собственные частоты обмеренных оболочек. Результаты сравнения показали, что учет в расчетных формулах начальных прогибов приводит к сближению значений собственных частот колебаний.

При изучении нелинейных колебаний ребристых цилиндрических оболочек [61] выявлено, что в рассматриваемом обычно диапазоне амплитуд прогибов влияние нелинейности на собственные частоты колебаний мало.

В целом анализ результатов сопоставления расчетных значений минимальных собственных частот колебаний с экспериментальными данными, в том числе для оболочек, несущих присоединенные упругие или жесткие элементы, свидетельствует об их удовлетворительном совпадении.

Задачи оптимизации параметров ребристых цилиндрических оболочек при ограничениях на минимальные собственные частоты рассмотрены в работах [50,

149]. В публикации [50], в частности, показано, что оптимальной по массе является оболочка, усиленная только кольцевыми ребрами. Изучалось влияние эксцентриситета ребер на оптимальный проект оболочки. Показано, что знак эксцентриситета продольных ребер относительно слабо влияет на оптимальные параметры оболочки.

Анализ современного состояния теории пологих ребристых оболочек показал следующее. Достаточно полно исследованы оболочки в линейной постановке, большей частью цилиндрические при статической предварительной нагрузке.

В геометрически нелинейной постановке проведены исследования также в основном цилиндрических оболочек с использованием модели Кирхгофа -Лява. Ребра в этих исследованиях рассматривались как одномерные упругие элементы, присоединенные к обшивке по линии. Введены упрощающие задачу допущения. Например, не учитываются ширина ребер и влияние их сдвиговой и крутильной жесткости на НДС конструкции. Не исследовано влияние поперечного сдвига на НДС конструкции.

Амплитудно-частотные характеристики свободных нелинейных колебаний пологих оболочек постоянной толщины строятся при рассмотрении оболочки как системы с одной степенью свободы [29], что не отражает истинного характера колебательного процесса.

Исходя из анализа состояния исследований свободных нелинейных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, автором ставятся следующие основные задачи исследования, которые составляют цель диссертационной работы:

-разработка методики построения амплитудно-частотных характеристик нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, рассматриваемых как системы с п степенями свободы, основанной на более совершенных моделях динамики пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, которые учитывают дискретное расположение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости ребер;

- составление программы расчетов на ЭВМ;

- исследование нелинейных свободных колебаний пологих оболочек постоянной и ступенчато-переменной толщины при различных их параметрах.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- получены нелинейные уравнения движения в перемещениях (модель Кирхгофа - Лява) для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающие дискретное введение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости ребер;

-разработана методика определения амплитудно-частотной характеристики нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при рассмотрении оболочки как системы с п степенями свободы;

- исследован характер нелинейных свободных колебаний оболочек постоянной толщины, ребристых и ослабленных вырезами при различных их параметрах и построены для таких оболочек амплитудно-частотные характеристики;

- исследована зависимость частоты свободных нелинейных колебаний в зависимости от вида и значения предварительной нагрузки и жесткости подкреплений.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в разработке математического и программного обеспечения проведения исследований нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, которое может найти применение при проектировании облегченных высокопрочных конструкций в авиа- и судостроении, в машиностроении, в строительстве. Результаты работы внедрены в научно-исследовательских и проектных организациях Санкт-Петербурга, частности, в ЗАО «НПО Геореконструкция - фундаментпроект», и в ЗАО «Саратовский авиационный завод». Они используются также в Петербургском государственном университете путей сообщения (ПГУПС) в курсе «Теоретическая механика».

На защиту выносятся следующие основные научные положения:

- более совершенные нелинейные математические модели динамики пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, в которых учитываются дискретное размещение ребер и вырезов, их ширина, сдвиговая и крутильная жесткости ребер;

-методика определения амплитудно-частотной характеристики нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, рассматриваемых как системы с п степенями свободы; исследование характера нелинейных свободных колебаний оболочек постоянной толщины, ребристых, ослабленных вырезами, в зависимости от характера предварительной нагрузки, параметров оболочки, жесткости подкреплений и построение амплитудно-частотной характеристики для таких оболочек.

Достоверность и обоснованность научных положений обеспечивается корректной математической постановкой задач исследования, выводом уравнений движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины вариационным методом, сравнением результатов, полученных автором, с результатами научных исследований и экспериментов, выполненных другими авторами.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на международной научной конференции «Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте» [Самара, Самарская государственная архитектурно-строительная академия (СамГАСА), сентябрь 2002 г.], на 60-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов [Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский архитектурно-строительный университет (СПбГАСУ), февраль 2003 г.] и на VI международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, ПГУПС, январь 2004 г.).

Полностью результаты работы были доложены на научном семинаре кафедры теоретической механики СПбГАСУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, лауреата премии Правительства РФ, д-ра техн. наук, профессора Р.С. Санжаровского (апрель 2003 г.) и на расширенном заседании кафедры теоретической механики ПГУПС под руководством д-ра техн. наук, профессора Д.О. Астафьева (апрель 2003 г.) и на расширенном заседании кафедры строительных конструкций и материалов Орловского государственного технического университета (ОрелГТУ) под руководством члена-корреспондента РААСН, д-ра техн. наук, профессора В.И.Колчунова (октябрь 2003 г.).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 8 печатных работ [53-55, 97-99].

Структура и объем работы. Текст диссертации изложен на 145 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 199 наименований и содержит 54 рисунка, 9 таблиц. Приложения приведены на 32 страницах.

4.6. выводы

Колебательный процесс ребристых оболочек при кратковременной начальной предварительной нагрузке носит осциллирующий характер. Далее с увеличением предварительной нагрузки он выравнивается и становится тем ближе гармоническому, чем большим числом ребер подкреплена оболочка.

Амплитудно-частотная характеристика нелинейных свободных колебаний «Н— со/сол», построенная при рассмотрении оболочки как системы с п степенями свободы, реагирует на момент потери устойчивости оболочки. При этом вдоль оси Н кривая имеет минимум. Если оболочка не теряет устойчивость, то характер кривой «Н— со/сол» - монотонный.

При наличии местной потери устойчивости вдоль оси Н будут иметь место два минимума (см. рис.4.19). С увеличением предварительной нагрузки частота колебаний © оболочки убывает (до некоторого значения, соответствующего моменту потери устойчивости, если такой момент наступает).

С увеличением числа ребер, подкрепляющих оболочку, частота колебаний со возрастает, а зависимость от значения предварительной нагрузки становится незначительной (при достаточно же большом числе ребер зависимость «со - Р » становится постоянной).

С увеличением линейного размера а (а = 60/г и а - 120И) частота колебаний со уменьшается.

Частота колебаний разных точек оболочки (например, центральной точки и точки, находящейся в четверти) различна. Частота колебаний оболочек, ослабленных вырезами, увеличивается по сравнению с частотой колебаний оболочек постоянной толщины, особенно ребристых.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе использована модель оболочки, учитывающая геометрическую нелинейность, дискретное расположение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости ребер. Кроме того, получены соответствующие уравнения движения, что позволяет наиболее полно охарактеризовать колебательный процесс оболочек ступенчато-переменной толщины и как частный случай оболочек постоянной толщины.

Показано, что прогиб тонкостенной оболочки имеет весьма сложный вид, различный по характеру при разной возмущающей силе. Форма этого прогиба (при шарнирном закреплении края) определяется линейной комбинацией синусоидальных гармоник, а не отдельными их значениями. Вследствие этого частота нелинейных свободных колебаний также определяется не отдельными значениями из спектра собственных частот, а представляет собой линейную комбинацию частот этого спектра.

Весьма существенно, что в разных точках оболочки проявляются различные составляющие из данного спектра.

Для того чтобы получить наиболее полное представление о колебательном процессе оболочки, ее необходимо рассматривать как систему с п степенями свободы. При одночленной же аппроксимации прогиба априори полагается, что все точки оболочки колеблются синхронно и с одинаковой частотой (что, вообще говоря, не имеет места).

Разработана и реализована на ЭВМ методика определения амплитудно-частотных характеристик нелинейных свободных колебаний при рассмотрении оболочки как системы с п степенями свободы.

При этом форма начальной изогнутой поверхности (начальные условия колебательного процесса) находится из решения динамической задачи при определенном значении возмущающей силы. Частота колебаний в разных точках определяется из решения динамической задачи при нулевой возмущающей силе и найденном значении начальной формы изогнутой поверхности (определяется зависимость «W — Г», находятся период колебаний для разных точек оболочки, а затем и частота колебаний).

Как показали расчеты, частота нелинейных свободных колебаний в разных точках оболочки является функцией от входных параметров (значения возмущающей силы и ее характера, жесткостных параметров, которые определяют начальную изогнутую форму поверхности оболочки, координат точки оболочки).

Податливость (сопротивляемость изгибу) в разных точках оболочки различна, отсюда различно и запаздывание реакции на воздействие динамической возмущающей силы. Поэтому при кратковременном возмущении колебательный процесс тонкостенных конструкций имеет сложный вид.

Разные точки оболочки колеблются с различной частотой, а иногда и в противофазе. При статическом возмущении колебательный процесс упрощается. Наличие ребер и вырезов изменяет податливость в различных точках оболочки (так как жесткость оболочки меняется дискретно в некоторых областях), что усложняет колебательный процесс.

Проведенные исследования показали следующее.

1. С увеличением толщины оболочки частота нелинейных свободных колебаний возрастает.

2. При пропорциональном увеличении размеров оболочки (линейного размера а и толщины И) частота нелинейных свободных колебаний уменьшается.

3. Амплитудно-частотная характеристика нелинейных свободных колебаний оболочки «Я - V», построенная при рассмотрении ее как системы с п степенями свободы, зависит от данной точки на оболочке, скорости возмущающей силы, параметров оболочки (линейных размеров, толщины, кривизны), жесткости ребер и их числа. Эта зависимость имеет сложный вид, весьма далекий от гиперболы. При потере устойчивости имеет место экстремум по оси Н.

4. Зависимость частоты нелинейных свободных колебаний от значения возмущающей силы реагирует на момент потери устойчивости оболочки резким увеличением частоты. Эта зависимость различна для разных точек оболочки.

С увеличением числа подкрепляющих оболочку ребер частота нелинейных свободных колебаний возрастает (исключением является лишь начальный длящийся по времени мало начальный возмущающий импульс).

При написании диссертации автор получал одобрение и поддержку коллективов кафедр теоретической механики и прикладной математики и информатики СПбГАСУ.

Автор хотел бы выразить глубокую благодарность заслуженному деятелю науки и техники РФ, лауреату премии Правительства РФ, д-ру техн. наук, профессору Р.С.Санжаровскому и д-ру техн. наук, профессору В.В.Карпову, консультациям и помощи которых он весьма обязан.

125

1.Абовский НИ Смешанные вариационные уравнения для пологой ребристой оболочки // Строительная механика и расчет сооружений. 1969. -№4.-С. 20-22.

2. Абовский Н.Л., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Под ред. Н.П.Абовского М.: Наука, 1978.-228 с.

3. Абовский Н.П., Чернышев В.Н., Павлов А.С. Гибкие ребристые пологие оболочки: Учеб. пособие для вузов. Красноярск, 1975. - 128 с.

4. А.Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояния равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // Прикладная математика и механика. 1949.-Т.13.-Вып. 1.-С. 95-107.

5. Алумяэ Н.А. Одна вариационная формулировка для исследования тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // Прикладная математика и механика. 1950. - Т. 14. - Вып. 2. - С. 197-203.

6. Алфутов Н.А. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной поперечным силовым набором и нагруженной внешним равномерным давлением // Инж. сб. 1956. - Т.23. - С. 36-46.

7. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Экспериментальное и теоретическое определение собственных частот колебаний подкрепленных цилиндрических оболочек//Прикладная механика. 1977.-Т. 13.-№ 10.-С. 6-13.

8. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек Т.2: Теория ребристых оболочек. Киев: Наук, думка, 1980. - 368 с.

9. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области динамики ребристых оболочек // Прикладная механика. 1981. - Т. 17. - № 11. - С. 3-20.

10. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Поляков П.С. Ребристые цилиндрические оболочки. Киев: Наук, думка, 1973. - 248 с.

11. Андреев J1.B., Павленко А.В. Экспериментальные исследования влияния параметров оболочки и подкрепления на величину критической нагрузки при импульсивном внешнем давлении // Гидроаэромеханика и теория упругости.- 1975. -№ 19.-С. 147-150.

12. Андреев JI.B., Ободан Н.И., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука, 1988. - 208 с.

13. Астафьев Д.О. Теория и расчет реконструируемых железобетонных конструкций. Дис. д-ра техн. наук. СПб., 1995. - 435 с.

14. Бакунин В.Н., Образцов И.Ф., Потапахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек. М.: Наука, 1998. - 456 с.

15. Безухое Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. -М.: Высш. шк., 1968. 512 с.

16. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 448 с.

17. Борзых Е.П. Алгоритмы численного расчета пологой ортотропной оболочки на прямоугольном плане с прямоугольным отверстием // Труды ЦНИИСК. 1970. - Вып. 9. - С. 104-109.

18. Броутен Ф., Олмрос Б. Потеря устойчивости цилиндрических оболочек с отверстием // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - Т.8. — № 2. — С. 56-62.

19. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. 4.1-2. СПб., 1912,1914.

20. Важберг Д.В., Ройтфарб ИЗ. Расчет пластин и оболочек с разрывными параметрами // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. Вып. 10.-М.: Стройиздат, 1965-С. 39-80.

21. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. -М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

22. Валишвили Н.В., Силкин В.Б. Применение метода прямых для решения нелинейных задач динамики пологих оболочек // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1970. - № 3. - С. 140-143.

23. Ван Фо Фы Г. А. Приложение функций Матье и функций Дирака к исследованию пластин и оболочек // Прикладная механика. 1958. - Т.2. -Вып.З.

24. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек // Строительная промышленность. 1932. - № 11-12. №11-С. 33-37; № 12-С. 21-26.

25. Власов В.З. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. 1949. - № 6. - С. 819-838.

26. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. -М.; JL: Гостехиздат, 1949. 784 с.

27. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.-419 с.

28. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

29. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. - 376 с.

30. By Р. У., Уитмер Е.А. Аналитические и экспериментальные исследования нелинейных нестационарных деформаций, подкрепленных панелей // Ракетная техника и космонавтика. — 1975. Т. 13. - № 9. - С. 53-62.

31. Гавриленко Г.Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии //

32. Устойчивость пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. - С. 20-22.

33. Галлиев Ш.У. Напряженное состояние периодически подкрепленного полого цилиндра при действии подводной волны // ДАН УССР. Сер. А. -1976.- № 4. — С.325-329.

34. Герсеванов И.М. Функциональные прерыватели в строительной механике и их приложение к расчету ленточных фундаментов // Основания и фундаменты. Сб. 1. М.: Стройиздат, 1933. - С. 7-15.

35. Глухоеа Т.В. Уравнения движения пологих ребристых оболочек // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. J1.: ЛИСИ.- 1986.-С. 38-42.

36. Глухоеа Т.В. Устойчивость гибких пологих ребристых оболочек при динамическом нагружении: Автореф. дис. . канд. техн. наук. JI., 1989.-22 с.

37. Голда Ю.Л., Преображенский И.Н., Штукарев B.C. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями // Прикладная механика. 1973. - № 1. - С. 27-32.

38. Гольденвейзер А.А. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостех-издат, 1953.

39. Грачев О.А. О влиянии эксцентриситета ребер на устойчивость оболочек при внешнем давлении // Прикладная механика. 1985. - Т.21. -№ 1. - С. 53-60.

40. Грачев О.А., Игнатюк В.И. Об устойчивости трансверсально-изотропных ребристых оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - № 3. - С. 61-64.

41. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Сер. Механика. 1965. - № 3. - С. 81-92.

42. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-359 с.

43. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. - 287 с.

44. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. - 556 с.

45. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. -М.: Машиностроение, 1973. 215 с.

46. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформированного тела. М.: Наука, 1988. - 232 с.

47. Гузь А.Н. Концентрация напряжений около отверстий в тонких оболочках: Обзор // Прикладная математика. 1969. - Т.5. - Вып. 3. - С. 1-17.

48. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. 1953. - Т.88. - Вып. 4.

49. Диамант Г.И., Заруцкий В.А., Санченко JI.A. Оптимизация параметров ребристых цилиндрических оболочек по минимальной собственной чистоте // Строительные материалы и расчет сооружений. 1978. - № 32. - С. 48-50.

50. Диамант Г.И. Заруцкий В.А., Сивак Э.Ф. Исследование влияния ребер на собственные частоты и формы колебаний цилиндрических оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1978. - № 3. - С. 48-50.

51. Енджиевский Л.В. Нелинейные деформации ребристых оболочек. -Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1982. 295 с.

52. Жгутов В.М., Сальников А.Ю. О характерной особенности напряженно-деформированного состояния пологих оболочек при ударных нагрузках // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2003. — № 2. -С. 55-56.

53. Жигалко Ю.П. Некоторые вопросы динамики подкрепленных оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. 1979. - Вып. 14. С. 172-184.

54. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1970. - Вып. 4. - С. 150-162.

55. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек // Прочность гидротурбин. Д., 1971. - С. 46-70. (Труды ЦКТИ; Вып. 88).

56. Завриев К.С. Основы теории функциональных прерывателей в применении к строительной механике // Труды Тбилисского ин-та инженеров железнодорожного транспорта. 1938. - Вып. 6. - С. 19-75.

57. Заруцкий В.А., Мацнер В.И. Устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при импульсном нагружении // Применение численных методов в строительной механике корабля. Л.: Судостроение, 1976. - С. 63-67.

58. Заруцкий В.А., Толбатов Ю.А. О влиянии уровня возбуждения на собственные частоты колебаний ребристых цилиндрических оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1978. - № 33. - С. 63-67.

59. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статических неопределенных стержневых систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. - С. 296.

60. Игнатьев О.В. Конструктивно-ортотропная схема ребристой оболочки, учитывающая сдвиговую и крутильную жесткость ребер, и ее применение к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины: Дис. . канд. техн. наук. Волгоград, 1993. - 204 с.

61. Игнатьев О.В., Игнатьева И.А., Карпов В.В. Вариационно-параметрический подход к расчету пологих оболочек ступенчато-переменной толщины // Исследования по механике материалов и конструкций. Вып. 9-СПб.: ПУПС, 1996. С. 44-54.

62. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филатов В.Н. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной величины.- Волгоград: ВолгГАСА, 2001.-210 с.

63. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филиппов Д.С. Местная и общая потеря устойчивости ребристых пологих оболочек // Труды молодых ученых,-СПб., СПбГАСУ, 2000. С. 87-89.

64. Игнатьева Э.В. Расчет многослойных конструкций при нестационарном нагружении: Автореф. . дис. канд. техн. наук. -М., 1990. 16 с.

65. Ильин В.П., Карпов В.В. Связанность форм потери устойчивости ребристых оболочек // Труды XIV Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. Кутаиси, 1987.

66. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. JI.: Стройиздат. Ленингр. отд-ние, 1986. - 168 с.

67. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек, допускающих большие прогибы // II Всесоюз. симпоз. «Устойчивость в механике деформируемого твердого тела»: Тез. докл. Калинин, 1986. - С. 159.

68. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики Минск: Вышэйш. шк., 1990. - 349 с.

69. Ильин В.П., Карпов В.В. , Михайлов Б.К. Нелинейные деформации пологих оболочек, эксцентрично подкрепленных ортогональной сеткой ребер // Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов: Тез. докл. М., 1983. - С. 24.

70. Исследование влияния осевых сжимающих сил на частоты и формы колебаний ребристых цилиндрических оболочек / П.И. Галана, В.А. Заруцкий, П.Г. Капля и др. // Прикладная математика. 1975. - Т. 11. - № 8. - С. 41-48.

71. Кабанов В.В. Устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек. М: Машиностроение, 1982. - 253 с.

72. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев: Наукова думка, 1971. - 136 с.

73. Кантор Б.Я., Катарянов С.И., Офий В.В. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 1972-80 гг. / АН СССР. Ин-т проблем машиностроения. Киев, 1982. - 78 с.

74. Канторович JI.B. Один прямой метод приближенного решения задач о минимуме двойного интеграла // Изв. АН СССР. Отд-ние мат. и естеств. наук.- 1933.-№ 5.-С. 647-652.

75. Нестационарная аэроупругость тонкостенных конструкций / Л.В.Кармишин, Э.Д.Скурлатов, В.Г.Старцев, В.А.Фельдштейн М.: Машиностроение, 1982.

76. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек // Расчет пространственных систем в строительной механике. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1972.-С. 3-7.

77. Карпов В.В. Различные схемы конструктивно-ортотропных оболочек и их применение к расчету оболочек дискретно-переменной толщины // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр.-Л.: ЛИСИ, 1988.

78. Карпов В.В. Метод последовательного наращивания ребер и его применение к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте. М.: Транспорт, 1990. -С. 162-167.

79. Карпов В.В. Численная реализация метода продолжения по параметру в нелинейных задачах пластин и оболочек // Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности. Волгоград: ВолгИСИ, 1990.-С. 121-122.

80. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения М.; СПб.: Изд-во АСВ; СПбГАСУ, 1999. - 154 с.

81. Карпов В.В., Игнатьев О.В. Расчет устойчивости ребристых оболочек с применением специального метода конструктивной анизотропии. -Волгоград: ВолгИСИ, 1992. 8 е.: Деп. в ВИНИТИ 20.11.92, № 3209-В 92.

82. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Модель пологой оболочки с вырезами в виде краевой задачи для односвязной области // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. Вып. 3. СПб.: СПбГАСУ, 1999. - С. 67-72.

83. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Устойчивость и колебания пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах. СПб.: СПбГАСУ, 2002.- 124 с.

84. Карпов В. В., Филиппов Д.С. Уравнения равновесия в перемещениях для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах и методика их решения // Труды молодых ученых. 4.1. СПб.: СПбГАСУ, 1999. - С. 3-6.

85. Карпов В.В., Шацков В.В. Некоторые варианты расчета гибких пологих ребристых оболочек // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр. JL: ЛИСИ. 1986. -С. 34-38.

86. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальников А.Ю. Устойчивость перфорированных пологих оболочек, допускающих прогибы соизмеримые с толщиной // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Тез. докл. СПб.: ПГУПС, 1999. - С. 118-120.

87. Карпов В.В., Кривошеий И.С., Петров В.В. Исследование несимметричной потери устойчивости пологих оболочек на прямоугольном плане // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 1. Тбилиси: Мецниереба, 1975. - С. 628-634.

88. Каюк Я.Ф. Концентрация напряжений в тонких оболочках при больших прогибах // Концентрация напряжений. Т.2. Киев: Наук, думка, 1968.

89. Климате В.И., Тимашев С. А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985.-291 с.

90. Ковалъчук Н.В. Исследование устойчивости ребристых цилиндрических оболочек с большими прямоугольными отверстиями // Прикладная механика. 1978. - Т. 14. - № 10. - С. 57-63.

91. Колебания продольно сжатых цилиндрических и слабоконических оболочек / А.С. Пальчевский, А.А. Прядко, П.Г. Капля и др. // Прикладная механика. 1980. - Т. 16. -№ 9. - С. 56-63.

92. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

93. Коротенко Н.А. Закритические деформации пологой цилиндрической панели, подкрепленной тонкостенными ребрами // Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструкций. J1., 1983. - С. 62-69.

94. Кохманюк С.С., Янкютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. Киев: Наук, думка, 1980.-232 с.

95. Красное А.А. Прямые методы интегрирования уравнений движения нелинейных многослойных пологих оболочек и пластин: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Ростов-на-Дону, 1995. - 24 с.

96. Кривошеее Н.П., Корнишин М.С. К выводу сеточных уравнений изгиба пластин с отверстиями и пластин ступенчато-переменной жесткости // Изв. вузов. Сер. Строительство и архитектура. — 1970. — № 8. С. 50-54.

97. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216 с.

98. Крысько В.А., Губа Г.М. Динамическая потеря устойчивости пологих сферических оболочек // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1988. - № 3. -С. 25-27.

99. Кузнецов В.В. Об использовании метода продолжения решения по длине отрезка интегрирования при расчете круглых гофрированных пластин // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1993. - № 2. - С. 180-191.

100. Лакштмикантам, Цуй. Динамическая устойчивость подкрепленных в продольном направлении неидеально цилиндрических оболочек при ступенчатом продольном нагружении // Ракетная техника и космонавтика. -1974. Т.12. - № 2. - С. 46-54.

101. Лесничая В.А. Асимптотическое исследование нелинейных колебаний подкрепленных оболочек // Теоретические и экспериментальные исследования прочности, устойчивости и динамики конструкций. Днепропетровск, 1973.- С. 103-107.

102. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // Прикладная математика и механика. 1940. - Т.4. - Вып. 2.

103. Лурье А.И. Общая теория оболочки, подкрепленной ребрами жесткости.-Л., 1948.-28 с.

104. Малинин А.А. Колебания оболочек с отверстиями // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1971. - № 7. - С. 22-26.

105. Малинин А.А. Колебания и устойчивость оболочек вращения с дискретными включениями и отверстиями // Прикладная механика. 1973. - Т.9. -№ 10.-С. 29-34.

106. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек Киев; Донецк: Выща шк., 1979. - 152 с.

107. Маневич А.И. К теории связанной потери устойчивости подкрепленных тонкостенных конструкций // Прикладная математика и механика. -1982. Т.46. - № 2. - С. 337-345.

108. Масленников A.M. Численный метод решения задач теории пластин и оболочек, подкрепленных ребрами: Дис. . д-ра техн. наук. Л.: ЛИСИ, 1970.-275 с.

109. Милейковский И.Е., Гречанинов И.П. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. Вып. 12. -М.: Стройиздат, 1969.-С. 168-176.

110. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. 196 с.

111. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложениями к решению задач устойчивости упругого равновесия // Прикладная математика и механика. 1939. - Т.2. - № 4. - С. 439-456.

112. Муштари Х.М., Галимов Г.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 431 с.

113. Назаров А.А., Бублик Б.Н. Свободные колебания пологой оболочки, подкрепленной ребрами жесткости // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. Вып.5. М.: Стройиздат, 1959. - С. 549-555.

114. Назаров А.Г., Бублик Б.Н. Импульсные функции в приложении к задачам строительной механики // Исследования по теории сооружений. Вып.4.-М.: Стройиздат, 1949. С. 216-227.

115. Назаров Н.Г. О колебаниях пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Прикладная механика. 1965. - Т. 1. - № 3. - С. 53-58.

116. Неверов В.И. Метод вариационных суперитераций в теории оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1984. - 128 с.

117. Немчинов Ю.И., Толбатов Ю.А. Свободные колебания пологих цилиндрических оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Строительная механика и расчет сооружений. 1975. - № 3. - С. 55-57.

118. Новицкий В.В. Решение некоторых задач строительной механики с помощью д-функций // Научно-методический сб. Военно-воздушной инж. акад.-1957.-№ 13.-С. 95-128.

119. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. — М.: Гос-техиздат, 1948. 212 с.

120. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромиздат, 1962.-431 с.

121. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1973. - 653 с.

122. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. - 659 с.

123. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1987. - 316 с.

124. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах: Науч. докл. высш. шк. // Строительство. 1959. -№ 1. - С. 27-35.

125. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - 119 с.

126. Пирогов ИМ. Концентрация напряжений в области отверстия в цилиндрическом резервуаре, испытывающем гидростатическое давление // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1963. -№ 7. - С. 56-61

127. Постное В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. -Л.: Судостроение, 1977. 277 с.

128. Постное В.А., Корнеев B.C. Изгиб и устойчивость оболочек вращения // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. -Тбилиси: Мецниереба, 1975. С. 637-644.

129. Постное В.А., Корнеев B.C. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек // Прикладная механика. 1976. -№ 1. - С. 27-35.

130. Почтман Ю.М., Тугай О.В. Динамическая оптимизация многослойных цилиндрических оболочек, подкрепленных двумя регулярными системами ребер // Прикладная механика. 1980. - Т. 16. - № 3. - С. 47-54.

131. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. -М.: Машиностроение, 1981. 191 с.

132. Преображенский И.Н., Грищак В.З. Устойчивость и колебания конических оболочек. М.: Машиностроение, 1986. - 240 с.

133. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. М.: Наука, 1969. - 456 с.

134. Пшеничное Г. И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин. М.: Наука, 1982. - 352 с.

135. Пшеничное Г.И., Тагиее И.Г. К расчету пологих упругих ребристых оболочек. // Строительная механика и расчет сооружений. 1985. - № 1. -С. 21-24.

136. Работное Ю.М. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.-712 с.

137. Рассудое В.М. Деформация пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Учен. зап. Сарат. ун-та. 1956. - Т.52. - С. 51-91.

138. Рекомендации по расчету подкрепленных оболочек положительной кривизны на устойчивость / Госстрой СССР и др. Свердловск, 1974. - 76 с.

139. Рикардс Р.Б., Голдманис М.В. Оптимизация ребристых оболочек из композитов, работающих на устойчивость при внешнем давлении // Механика композитных материалов. 1980. - № 3. - С. 468-475.

140. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наук, думка, 1968. - 287 с.

141. Сальников А.Ю. Устойчивость перфорированных пологих оболочек при динамическом нагружении // Труды молодых ученых. 4.1. — СПб.: СПбГАСУ, 2001. С. 65-66.

142. Сальников А.Ю., Игнатьев О.В., Юлин А.В. Устойчивость пологих ребристых оболочек при динамическом нагружении // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. СПб.: СПбГАСУ, 2003. С. 95-98.

143. Свободные колебания ребристых цилиндрических оболочек / П.И. Галана, В.А. Заруцкий, В.И. Мацнер и др. // Прикладная механика. -1974. Т. 10. - № 7. - С. 49-55.

144. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций // Я.М. Григоренко, Е.И. Беспалов, А.Б. Китайгородский, А.И. Шинкарь. — Киев: Наук, думка, 1986. 172 с.

145. Семенюк Н.П. Собственные колебания подкрепленных цилиндрических оболочек, нагруженных неравномерным внешним давлением // Прикладная механика. 1978. - Т. 14. - № 7. - С. 37-42.

146. Скворцов В.Р. Деформирование существенно неоднородных тонкостенных конструкций и его анализ в рамках концепции оболочек со структурой: Дис. . д-ра техн. наук-СПб.: СПбГМТУ, 1992.-335 с.

147. Соломенко Н.С., Абрамян К.Г., Сорокин В.В. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса. JL: Судостроение, 1967.-488 с.

148. Cnupo В.Е. Устойчивость произвольных ортотропных оболочек вращения, подкрепленных кольцевыми ребрами с учетом поперечного сдвига // Труды НТО судостроительной промышленности. 1971. - Вып. 154. -С. 116-160.

149. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А.В. Кармишин, В.А. Лясковец, В.И. Мяченков, А.Н. Фролов. М.: Машиностроение, 1975.-376 с.

150. Теребушко О.И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко поставленными ребрами // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. Вып. 9. М.: Стройиздат, 1964.- С. 131-160.

151. Теребушко О.И. О влиянии параметров подкрепления на динамическую устойчивость цилиндрической оболочки // Прикладная механика. -1977. -Т.13. -№ 3. С. 11-16.

152. Теребушко О.И. О влиянии параметров подкрепления на динамическую устойчивость цилиндрической оболочки // Прикладная механика. -1982. Т. 18. - № 6. - С. 60-74.

153. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек. М.: Стройиздат, 1974. - 256 с.

154. Tumohuh A.M. Напряженное состояние многослойных ортотропных оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности и деформации сдвига: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Киев, 1982. - 19 с.

155. Филин А.П. Элементы теории оболочек. JL: Стройиздат, 1987. -384 с.

156. Филиппов Д.С. Влияние учета поперечных сдвигов на устойчивость ребристых оболочек // Доклады 57-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета. Ч.1.- СПб.: СПбГАСУ, 2000. С. 44-46.

157. Флиппов А.П., Кохманюк С.С., ЯнютинЕ.Г Деформиование конструкций под действием ударных и импульсных нагрузок. Киев: Наук, думка, 1978.- 184 с.

158. Цилиндрические оболочки, ослабленные отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, В.Н. Чехов, К.И. Шнеренко. Киев: Наук, думка, 1986. - 172 с.

159. Черных К.Ф. К проблеме определения концентрации напряжений возле отверстия в оболочке (в линейной постановке) // Концентрация напряжений. Киев: Наук, думка, 1978. - 184 с.

160. Чернышев В.Н. Расчет гибких ребристых пологих оболочек: Авто-реф. дис. канд. техн. наук. Новосибирск, 1980. - 19 с.

161. Чернышев В.Н. Расчет гибких ребристых оболочек с отверстиями // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск, 1981. - С. 169-175.

162. Чернышенко И. С. К расчету осесимметричных оболочек вращения переменной толщины с учетом физической и геометрической нелинейности // Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. - С. 279-284.

163. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1979. - № 4. - С. 178-184.

164. Шалашилин В.И. Алгоритмы методов продолжения по параметру для больших осесимметричных прогибов оболочек вращения // Численные и экспериментальные методы исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций. М.: МАИ, 1983. - С. 68-71.

165. Шереметьев М.П., Пелех Б.Л. К построению уточненной теории пластин // Инж. журн. 1964. - Т.4. - Вып. 3. - С. 504-509.

166. Bakouline N., Ignatiev О., Karpov V. Variation parametric research technique of variable by step width shallow shells with finite deflections // Intern, j. computational civil and structural eng. 2000. - Vol. 1. - Iss. 3 - P. 1-6.

167. ByskovE., Hansen J. C. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction // J. struct, mech. 1980. -№ 2. - P. 205-224.

168. Chrobot В. Mathematical models of ribbed shells // Studia Geotechnica et Mechanica. 1982. - Vol. IV. - № 3-4. - P. 55-68.

169. Donell L.N. A new theory for buckling of thin cylinders under axial compression and bending: Trans. ASME, 1934. 56 p.

170. Fisher C.A., Berit C. W. Dynamic buckling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers // Trans. ASME. Ser. E. 1973. -Vol. 40. - № 3. - P. 736-740.

171. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Machinenbau // Enzykl. Mathema-tischen Wiss. 1910. - Bd. LV. - Т. IV. - S. 349

172. Karman Th., Shen Tsien H. The buckling of spherical shells by external pressure I I J. Acron. Sci. 1939. - № 7.

173. Richer T. R., Chao Tung-Lai. Minimum weight design of stiffened fiber composite cylinder // C. J. Aircraft. 1971. - T.8. - № 7. - P. 562-569.

174. Koiter W.T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures // WTHD Rep. August 1976. - № 590.

175. MarguerreK. Zur Teorie der gekruemmten Platte grosser Formaenderung / Jb. deutscher Luftfahrtsforchung. 1939. - Bd. 1.

176. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells a review of experiment and theory. Contr. Theory Aircraft struct / Delft. - 1972. - P. 325-357.

177. Tennyson R.C. The effects of unreinforsed circular cut-outs on the buckling of circular cylindrical shells under axial compression // J. Eng. industry. -1968. (Trans. ASME. Ser. B. Vol. 90. -№ 4).14 б