автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Определение оптимальных форм пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане

На правах рукописи

КОЛЕСНИКОВ АЛЕКСАНДР ГЕОРГИЕВИЧ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ФОРМ ПОЛОГИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧЕК НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

11 3 Ж 2010

Москва, 2010

004601823

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Курский государственный технический университет».

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент

Ступишин Леонид Юлианович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Трушин Сергей Иванович

кандидат технических наук, доцент Клейн Владимир Георгиевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московская государственная

академия коммунального хозяйства и строительства»

Защита состоится «/¿» А/Р(/ 2010 года в Ноо часов на заседании диссертационного совета Д212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 129337 Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. ^¿¡70"

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан « ^ » О///)(?//#_2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Вопросы снижения стоимости несущих конструкций и повышения их эксплуатационных характеристик выходят в настоящее время на первый план.

Существенный вклад в решение этих задач вносит использование в конструкторских решениях элементов типа пологих оболочек, которые уже нашли широкое применение в строительстве, машиностроении и других областях техники. Развитие методов оптимального проектирования пологих оболочек, помогающих отыскать формы конструкций минимального веса, максимальной несущей способности и т.д., а так же внедрение их в практику позволит получить ощутимый экономический эффект и новые конструктивные решения.

Цель работы:

разработка методики определения критической нагрузки, напряжений и частот свободных колебаний для пологих изотропных и орготропных геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане переменной формы срединной поверхности при постоянной и переменной толщине;

- разработка методики определения оптимальных форм изотропных и ортотропных геометрически нелинейных оболочек переменной формы на прямоугольном плане постоянной и переменной толщины по критерию минимума объема (веса) и значений напряжений или максимума критической нагрузки и минимальной частоты свободных колебаний;

- решение новых задач определения оптимальных форм пологих оболочек по критерию минимума объема (веса) и значений напряжений или максимума критической нагрузки и минимальной частоты свободных колебаний.

Научная новизна работы:

- получены выражения для напряжений, критической нагрузки и нижних частот свободных колебаний изотропных оболочек переменной толщины как функций изменения формы срединной поверхности и функций изменения формы толщины оболочки и ортотропных оболочек постоянной толщины на прямоугольном плане как функций изменения формы срединной поверхности;

- исследованы функции напряжений, критической нагрузки и частот свободных колебаний для изотропных оболочек постоянной и переменной толщины, а так же ортотропных оболочек постоянной толщины на прямоугольном плане на всей области допустимых значений переменных параметров формы, что позволило судить о точности получаемых результатов исследования нелинейных задач оптимизации и достижении глобального экстремума исследуемых функций, а так же составить алгоритм и реализовать программный комплекс решения нелинейных задач оптимизации пологих оболочек;

- решены новые задачи оптимизации формы срединной поверхности изотропных оболочек переменной толщины, ортотропных оболочек постоянной толщины и переменной формы срединной поверхности на прямоугольном плане по критериям:

- минимума объема (веса) при ограничениях: на величину критической нагрузки, на значения напряжений, на величину нижней частоты свободных колебаний;

- максимума критической нагрузки при ограничениях: на объем, на значения напряжений, на величину нижней частоты свободных колебаний;

- минимума значений напряжений при ограничениях: на объем, на величину критической нагрузки, на величину нижней частоты свободных колебаний;

- максимума нижней частоты свободных колебаний при ограничениях: на объем, на величину критической нагрузки, на значения напряжений.

Достоверность результатов диссертационной работы основана на:

- корректности математических моделей, взятых в качестве основы разработанных методик и строгости используемого математического аппарата;

- сопоставлении результатов численных экспериментов с известными аналитическими решениями;

- решении двойственных задач.

Практическая ценность работы.

Разработанные алгоритмы и программы оптимизации формы оболочек могут быть использованы:

при проектировании облегченных конструкций типа пологих оболочек в строительстве, машиностроении, авиастроении и т.п. В качестве оптимальных проектов тонкостенных конструкций при проектировании систем минимального веса, воспринимающих максимальную критическую нагрузку или имеющих требования к собственным частотам колебаний;

- в научных исследованиях по оптимизации пологих геометрически нелинейных оболочек;

- в образовательных программах (курсах строительной механики для строительных и машиностроительных специальностей, проектировании строительных конструкций и др.).

Внедрение работы

Разработанное в рамках работы программное обеспечение внедрено:

- в составе комплекса программ для расчета конструкций на предприятии ОАО «Геомаш» (г.Щигры), ОАО «Курский завод КПД» (г.Курск);

- в учебный процесс ГОУ ВПО «КурскГТУ», в частности дисциплины «Строительная механика», «Численные методы и САПР объектов строительства» кафедры ГСХ и СМ.

Апробация работы состоялась на следующих конференциях и семинарах:

- семинарах кафедры городского строительства, хозяйства и строительной механики КурскГТУ в 2005, 2006, 2007, 2008, 2009 гг.;

- конференциях "Молодежь и XXI век" КурскГТУ в 2005, 2006, 2007, 2008 г.г.;

- конференции «Строительство - 2007», Рост. гос. строит, ун-т в 2007

- международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», СПб в 2009 г;

- семинаре кафедры сопротивления материалов МГСУ, 2010г.

- научно-практической конференции «Проблемы строительного производства и управления недвижимостью», КузГТУ, 2010г.

По материалам и результатам исследований опубликовано 2 статьи в реферируемых ВАК изданиях [1], [2].

На защиту выносятся:

- разработанные на основе метода Бубнова - Галеркина методики и алгоритмы определения значений напряжений, критических нагрузок и частот свободных колебаний для изотропных и ототропных пологих геометрически нелинейных оболочек переменной формы срединной поверхности постоянной и переменной толщины на прямоугольном плане;

- результаты численных исследований выражений критической нагрузки, напряжений, частот свободных колебаний и объема для изотропных и ототропных пологих геометрически нелинейных оболочек переменной формы срединной поверхности постоянной и переменной толщины на прямоугольном плане;

- разработанные методики и алгоритмы определения оптимальных форм оболочек минимального веса при ограничении на величину критической нагрузки, значение напряжения и значение нижних частот свободных колебаний при изменении параметров срединной поверхности и толщины оболочки;

- разработанные методики и алгоритмы определения оптимальных форм оболочек, воспринимающих максимальную критическую нагрузку, нижняя частота свободных колебаний в которых максимальна, напряжения в которых наименьшие при ограничении на объем при изменении параметров срединной поверхности и толщины оболочки.

Объем и структура. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 122 наименования и приложения, 134 страницы основного текста, 40 рисунков и 2 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается ее общая характеристика, формулируются основные цели и задачи исследования, обсуждается достоверность и научная новизна результатов работы, их практическая ценность.

В первой главе приводится краткий обзор литературы, отражающий современное состояние вопроса. Приведен анализ решений, полученных в области оптимального проектирования оболочечных конструкций Баничуком Н.В., Гриневым В.Б., Григорьевым В.Б., Лукашом П.А., Ржаницыным А.Р. и др.

Отмечено, что в большей части работ, посвященных вопросам оптимизации формы срединной поверхности и толщины оболочек, рассматриваются безмоментные оболочки вращения в геометрически линейной постановке, для которых отыскивается минимум веса или объема при ограничениях по жесткости (Н.В. Баничук, И.П. Дмитриенко, В.Д. Протасов, A.A. Филиппенко, А.Н. Шихранов), прочности (В.Д. Елин, В.И. Харитонов, Г.В. Иванов) или на частоту свободных колебаний (К.А. Одишвили).

Так же присутствуют работы, в которых (В.А. Столярчук) отыскивалась оптимальная форма оболочки вращения переменкой толщины нагруженной внутренним равномерным давлением. Вариационная задача минимизации веса оболочки решается методом локальных вариаций.

Вопросы проектирования оптимального распределения толщин геометрически нелинейных пластин и пологих оболочек при условии равнопрочности рассматривались в работах (М.А. Александров, М.С. Корнишин, H.H. Столяров).

Обоснована необходимость определения оптимальных форм срединной поверхности пологих геометрически нелинейных оболочек.

Во второй главе проводится исследование напряженно -деформированного состояния изотропных пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане. Проводится сравнение результатов, полученных по данной методике с результатами других авторов. Численно исследуются функции критической нагрузки, напряжений, нижних частот свободных колебаний и объема оболочки на прямоугольном плане.

Рассматривается пологая оболочка переноса, срединную поверхность которой можно описать уравнением вида:

, /2 - стрелы подъема опорных арок оболочки, £ - параметр формы срединной поверхности оболочки, изменяющийся

Дифференциальные уравнения пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане записаны в виде:

(1)

где /0 - стрела подъема в центре оболочки,

г Л

а = — - параметры, характеризующие форму оболочки,

о J о

в пределах (0,5;2].

д'ср

'V

d'w ^^ d'w | g'iró'w

дхду J

, 0 дг(р f , d'~w

— V!V>+/fc ^ + --+ 2

Eh ' дх ду2 ' дхду дх2 ду

дх2

дхду \

дхду )

К 1 d2f Ir d'F

где (р - функция усилии, w - прогиб, kt а—т,к к—- - кривизны

дх' ду

срединной поверхности оболочки, к

d2F дхду

кручение срединнои

поверхности оболочки, р = р{х, у) - уравнение срединной поверхности оболочки при начальном погружении.

Значения величин верхних критических нагрузок для различных видов закрепления краев оболочек находились с помощью метода Бубнова -Галеркина.

д(х,у) = Лы(х,у),п(х,у)= Вм>(х,у). (3)

Функция выбиралась таким образом, чтобы удовлетворялись условия для общего случая - упругой заделки по краям оболочки в отношении поворотов. Для этого использовались балочные функции. м/(х,у)=2х2). Введены обозначения

Jt = }j(v2V2vv)^£t¿y,

-a-b

г r(d2Fd2w d2F d2w ^d2Fd2w

i J J ~ ^ - , + - , 2

- wdxdy,

»-¿I dy dx ax dy dxdy dxdy)

_v__a h _

kwpvdxdy, JA = j jZwdxdy.

-a-b -a-b

Функция нагрузки Z представлялась в виде

z=p,Mx,y)>

где

рсг- коэффициент интенсивности критической нагрузки, q(x, у) - функция очертания нагрузки.

После ввода безразмерных переменных и новых обозначений:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Ег: 27

J>J,

2J

ЗУ, „ J:

Vi =—~> Уг =2—— IT J J

(9)

выражение для безразмерного коэффициента интенсивности критической нагрузки принимало вид:

как:

а\ = —Зв

' I

Эквивалентные напряжения, возникающие в оболочке определялись

(П)

я2 я2 \ Л2

12 [дх3 ' ' дх *ду2 ')

е ^Эу3 ду 'дх2 )

ех е/: л

5 а'

В = — (36С3С2С, + 108^С,2 - 8С\ + 12у13(4С'С, - С2 С? +18С3СгС1? +

6 С,

-27д2С;-4дС;]'гС,}'3-~(ЗСД -С2 )/(С,(36С3С3С, + 108,яС2 -8С' +

+ 12л/3(4С33С, -С32С2 +18С3С2С,д + 27^гС,2 -49С21)"2С,)" —

зс.

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

А = (17)

■Л

Объем пологой геометрически нелинейной оболочки постоянной толщины вычислялся по формуле:

ш

V-

Д'М

дх )

№ .ЭУ

с1хс1у.

(18)

Напряженно-деформированное состояние изотропной оболочки в процессе свободных колебаний описывалось двумя системами уравнений. Первая система задавала начальное напряженно-деформированное состояние оболочки (2), вторая система определяла состояние оболочки в процессе колебаний (19).

1 , d2w . d2w .

—V-V-m + k —r + k—-~2k-+ —--г

Eh W 1 дх2 л ду2 " дхay дх1 ду2

ду2 V ' дх2 J дх2

+ ph—г = о.

ot

3 w Jffli ,

к+—г 1+2—— кп.+- +

ду ) дхоу\ " дхду)

d2w дхду

= 0,

Для решения сначала необходимо определялось начальное напряженно-деформированное состояние по нелинейным уравнениям (2). Результатом решения являлись значения параметров А и В (15), (16), которые затем использовались для решения системы (19), описывающей состояние оболочки в процессе колебаний.

Выражение для определения значений квадрата безразмерных свободных частот колебаний принимало вид:

J,

J

— UB2 2J2J,B 1

а =, —— + —-—-—h ——?—L-rr— +-,

yj,jt J,J6 t 12(l-vj76 J,Jt

a 4_

где Jb = jjw'dxcfy,

(20)

Параметры J, - Jопределяются по формулам (5) - (7), В - по формуле (16).

Выражение для критической нагрузки, напряжений и нижних частот свободных колебаний изотропной пологой оболочки постоянной толщины исследовалось с помощью программного комплекса «Maple», что позволило сделать следующие выводы:

- экстремум функции критической нагрузки, частот свободных колебаний и напряжений достигается при параметре формы £«0,75 при любых способах опирания (рис.1).

а« ас а» 1 uuuu 2

xi

- агапьзицая задижа

------------------- тарифное опфам

------ ЖЕШкзацнаиае

0L4 Об ОД 1 1J 1.4 L6 1-8 2 d

Рисунок 1 - Зависимость критической нагрузки (а), напряжений (б) и частот свободных колебаний от параметра формы

- необходим расчет пологих оболочек как на устойчивость, так и на прочность в зависимости от параметров формы.

Например, для металлической оболочки при отношении стрелы подъема оболочки к меньшему размеру в плане £ = /0/а =(0;0.132] необходимо проводить расчет на устойчивость, при £ = [0.18;0.2) - расчет на прочность, при £ = (0.132;0.18) расчет как на прочность, так и на устойчивость (рис. 2), что говорит о необходимости проведения оптимизации при ограничении на оба параметра.

9

Рисунок 2 - Зависимость коэффициента напряжений оболочки от параметров формы <^и г

- при постоянной стреле подъема в центре оболочки изменение стрел подъема опорных арок не оказывает влияние на значение критической нагрузки и значения напряжений.

Ьм («■

Рисунок 3 - Зависимость критической нагрузки (а), напряжений (б) и частот свободных колебаний от относительной толщины

с увеличением значения относительной толщины т = И//0 значение критической нагрузки, нижних частот свободных колебаний и объема увеличивается, а значения напряжений уменьшается при любых способах опирания (рис.3).

В третьей главе проводится исследование напряженно -деформированного состояния изотропных пологих геометрически нелинейных оболочек переменной толщины. Численно исследуются функции критической нагрузки, напряжений, частот свободных колебаний и объема оболочки на прямоугольном плане в зависимости от параметров толщины оболочки.

Изменение толщины оболочки от центра к краям задавалось в виде:

Нх,у) = }\

1 + к

1 + к

(21)

где г] - параметр формы изменения толщины оболочки, к - параметр, отвечающий за соотношение толщины оболочки на краю и в центре (при к < 0 толщина оболочки выпуклая, к > 0- толщина оболочки вогнутая, к — 0- толщина оболочки постоянна вдоль образующей) (рис.4), й„ - толщина оболочки в центре.

б

Рисунок 4 - Распределение толщин оболочки при К>0 (вогнутая толщина оболочки) (а), при К<0 (выпуклая толщина оболочки) (б)

Представим уравнение (2) в виде

1 , Э2и> , д2ц> , д2щм> д2м/д2ч> д2м>

+ 2

12(1 -V2) аА' дх2 ) дх2{у ду2

дхду\ "г дхду)

Выражение для безразмерного коэффициента интенсивности

критическои нагрузки принимало вид:

-■^к+'УзЛ2)

Где ц-1//5 определяются по (9), = 12(1-

J,-Ji- определяются по (5-7),

+ 2

' а2

„ {х,у)\ + 2\» 0{Х,у) дхду ) \ду

8

дх'ду

д' -I

у\ ТгЧ^у) I Ых,у}±сс/у.

дх

(24)

(25)

Эквивалентные напряжения, возникающие в оболочке, записывались

как:

отр а.

(26)

Где а определяется по формуле (12), учитывая, что

- в выражениях(15) И = , И = •

- в выражениях (16-17)определяется по (25), ./, - •/„- по (5-7). Систему (19), описывающей состояние оболочки в процессе колебаний

перепишем в виде:

1 „2гт2 1 . 32w , 82w d2w 82wd2w d2w

—V V-—<p + k.—- + k —r~2A„--+ —r—г--— = 0,

E h(x,y) * dx2 ' Sv2 "дхду дх 8y дхду

+1Щк +d'w

,8ca л + ph—— = 0.

и dt2

дхду ^ 4 дхду j

Начальное напряженно-деформированное состояние определялось по нелинейным уравнениям (22). Результатом решения являлись значения параметров А и В (16-17) с учетом (24-25), которые затем использовались для решения системы (27), описывающей состояние оболочки в процессе колебаний.

Выражение для критической нагрузки, напряжений и частот свободных колебаний изотропной пологой оболочки переменной толщины исследовалось с помощью программного комплекса «Maple», что позволило сделать следующие выводы:

для построения алгоритмов оптимизации функций объема, напряжений, критических нагрузок и частот свободных колебаний пологих оболочек переменной толщины можно применять методы выпуклого программирования, в частности градиентные методы.

- экстремум функции критической нагрузки, частот свободных колебаний и напряжений достигается у оболочек переменной толщины при параметре формы <f « 0,75 при любых способах опирания.

- параметры толщины оболочки г/ и К оказывают влияние на смещение границы расчета пологих оболочек на устойчивость и на прочность.

- значение коэффициента критической нагрузки максимально при значении параметра толщины J] = 0,7 для вогнутой толщины оболочки и минимально при /7 = 0,55 для выпуклой толщины оболочки. Значение коэффициента напряжений увеличивается с увеличением значения коэффициента 77 для вогнутой толщины оболочки и уменьшается для выпуклой при любых условиях опирания. Значение нижних частот свободных колебаний уменьшается при увеличении параметра толщины т] для вогнутой толщины оболочки и увеличивается для выпуклой толщины оболочки при любых условиях опирания.

В четвертой главе проводится исследование напряженно -деформированного состояния ортотропных пологих геометрически нелинейных оболочек постоянной толщины. Численно исследуются функции критической нагрузки, напряжений, частот свободных колебаний и объема оболочки на прямоугольном плане.

Представим уравнение (2) в виде

1 а' 1 а' V д4 К д4 1 д4

--— 0 +--~(р-----:--Ф--г--т—г(р-\---;--Ф

Еуду1 Еу дх Еу дх ду Ехдх2ду2 в дх2ду2

2.'., а?, аг„

/?ч

. д2м/ , Э2м? д2\ч д^юд2™ д2уу „

+ к —- + к,—- — 2к -+ —;--г---- = 0,

дх' ду дхду дх ду дхду

Г, 5< п п д* д> \

Г Л „2

су V с*" У

, а2-*

+ 2^Ц ,

а2И

4 дхду ,

Выражение для безразмерного коэффициента интенсивности критической нагрузки принимало вид:

¿>,4 -

(29)

Где -!//, определялись по (9),

1 а4

1 д4 - п а4 - V, а4 -

ИЕ а/ № а/ кЕ,дх2ду2 ИЕхдх2ду-

" -V

ТН» УИ&Ф,

■и* +

+ _1_

+ Ив'дх2ду2 )

аь( д4 — а* — а4 — а4 —

Л = Г П ——г—т^+И —-мл-О V —-—+

5 ¿Д х ах4 * ' дх2ду2 ' ду4 ' * дх2ду2

3 дх2ду2

\vdxdy,

Е, _ Е> _ ЕхЕу

~ 12(1 -у,УгУ °>~12{\-уууУ еА\ + У,)+Е,(1 + О'

(30)

(31)

(32)

ЕХ,ЕГ- модули упругости во взаимно перпендикулярных направлениях, у,,у,- коэффициенты Пуассона во взаимно перпендикулярных

направлениях.

Эквивалентные напряжения, возникающие в оболочке, приняли вид: р

—орт __ MJxJ 0

-ст.

(33)

Где ст определяется по формуле (12), учитывая, что ' ЕЙ' ' ЕЪ1

(34)

А, В - определяется по формуле по (16, 17) с учетом (30-32).

Система (19), описывающая состояние оболочки в процессе колебаний переписана в виде:

if i a4 i а4 к д* v а4 1 а4

---ф + ~--ф--'----ф---------ЮЛ---:--ф

h\E,dyA Еу дх* Егдх2ду2^ Ехдх2дуGdx2dy2*у

+ k л-k 2k +d2wd2w d2w ' dx2 " By2 v дхду дх2 ду2 дхду

мГ« д> ^ з4 _ 5' _ a4 i_ а4

Л А—-w + Dv—-—-w+Д.—-w+Dv,——i-w + -G

а*4 'гах2ду2 'ду' \'дх2ду2 з а*2ау2

aJw 1 , агш

e2Q , d2w) d'Q , ,d2w , ^d2Q

ЭД Sx ) & I Sy ) дхду{ y дхду)

k+-—\ + ph-zr = 0.

dt1

Начальное напряженно-деформированное состояние определялось по нелинейным уравнениям (28). Результатом решения являлись значения параметров А и В (16-17) с учетом (30-32), которые затем использовались для решения системы (35), описывающей состояние оболочки в процессе колебаний.

Выражение для критической нагрузки, напряжений и частот свободных колебаний ортотропной пологой оболочки постоянной толщины исследовалось с помощью программного комплекса «Maple», что позволило сделать следующие выводы:

- экстремум функции критической нагрузки достигается у ортотропных оболочек при параметре формы & = ЕХ/Еуъ 0,25 при любых способах опирания.

- параметр Q = EJEy оказывает влияние на смещение границы расчета

пологих оболочек на устойчивость и на прочность.

- с приближением значения параметра Q = EJEy к единице (к

изотропной оболочке) значение частот свободных колебаний и напряжений уменьшается при любых способах опирания.

В пятой главе решаются задачи об определении формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема, оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку, оболочки с максимальным значением низших частот свободных колебаний, а также, оболочки, имеющей минимальные напряжения на всем множестве допустимых форм срединных поверхностей и толщин оболочек.

Для изотропных оболочек постоянной толщины решались следующие задачи с ограничениями первого рода:

У(<?,т)->тт,£ев,тев. (36)

р(%,т) -> max,£ е G,r е G. (37)

<т(£, г) min, £ е G, г е G. (38)

<а(£, г) —> max, £ е G, г е G. (39)

G = {£: 0,5 < £ < 2, i = Цй; г: 0,001 < г} < 0,1, j = Цп}. (40)

Для изотропных оболочек переменной толщины задачи с ограничениями первого рода решались в постановке:

F(£,77,z\A:)-»min,£ е G,rj е G,r е G,k eG. (41)

р(<%,т],г,к)-*тах,д е б е С,к еб. &(<!;,г],т пнп,£ еС,т] еС,т ей,к ей. ц, т, к) тах,£ еС,7} еС,т еС,к еС. £:0,5<£, <2,г' = Пй;?7:0,5<^1 <2,у = \,1;

____ „, . — , , , /]_ /2в"

. 10 V /7

г: 0,001 < г, < 0,1,7 = 1,»»,*::-1 < А, <

(42)

(43)

(44)

(45)

Для ортотропных оболочек постоянной толщины рассмотрены оптимизационные задачи с ограничениями первого рода:

/?(£,©)-> тах,£ <=(?,©£<?. (46)

ст(£,0)->тт,£еС,0еа (47)

й>(<?,®)-»тах,£еС,0еа (48)

в = \§: 0,5 < £ <2,1= Гп;0 < ©,, < 1 ,у = 1к]. (50)

Рассмотрены задачи об определении формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема при ограничении на критическую нагрузку, величину напряжений, величину частот свободных колебаний, а также, оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку, оболочки с максимальным значением низших частот свободных колебаний или значения напряжения в которой минимальны при ограничении на величину объема.

Для изотропных оболочек постоянной толщины решались следующие прямые задачи с ограничениями второго рода:

(51)

(У(£,т)-У0<0,£еС,теС.

\у(£,т)-У0<0,<*еС,геО.

(7 определяется по(40).

Для изотропных оболочек переменной толщины рассмотрены прямые оптимизационные задачи с ограничениями второго рода:

{Г(к,г,£,гг)-У0 <0,кеС,теС,460,т]еС. М*, г,

[У(к,т,^,т])-У0<0,кеС,т е еС^ев.

(7 определяется по(45).

(57)

(58)

(59)

Для ортотропных оболочек постоянной толщины прямые задачи с ограничениями второго рода решались в постановке:

гР(£0)->А«,

Ы<?,©)->сг„„, ГЙ>(£ г)->©„„,

С определяется по(50). А так же решены обратные задачи:

Для изотропных оболочек постоянной толщины решались следующие обратные задачи с ограничениями второго рода:

[о{£,т)-а0<0,<*еС,тев.

.р{£,т)-р,*0,4ев,гев, (63)

С определяется по(40).

Для изотропных оболочек переменной толщины обратные задачи с ограничениями второго рода решались в постановке:

\р(к,т,£,11)-р0 > 0,к е в,г е в,4 е в,п е С.

\а(к,1,^,гт)-а<0,к еС,гев^ев^е <7.

\а{к^,^,г1)-а> 0,к е е в^ев^ е в.

■ р(к,т^,г})-Ро >0,кеО,тев,{еС,чеС, (67)

о(к,и£,т))-сгйО,к е С,? е е(5,/7 е С. б определяется по(45).

(60) (61) (62)

(64)

(65)

(66)

- для ортотропных оболочек постоянной толщины рассмотрены обратные оптимизационные задачи с ограничениями второго рода:

б определяется по(50).

По результатам проведенных исследований можно сделать выводы:

В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при заданной критической нагрузке, экономия объема (веса) составила 20%.

В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при заданном значении напряжений, экономия объема (веса) составляет 6%.

В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при заданном значении частот свободных колебаний, экономия объема (веса) составляет 1-6%.

В задачах оптимизации формы оболочек, воспринимающих максимальную критическую нагрузку при заданной величине объема, возрастание критической нагрузки составляет 38%.

В задачах оптимизации формы оболочек, имеющих минимальные напряжения при заданной величине объема, уменьшение напряжений составляет 6%.

В задачах оптимизации формы оболочек, имеющих максимальные значения нижних частот свободных колебаний при заданной величине объема, увеличение значений частот свободных колебаний составляет 7%.

В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при заданном значении напряжений и критической нагрузки, экономия объема (веса) составляет 38%.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Для пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане получены выражения частот свободных колебаний, напряжений и верхних критических нагрузок как функций их формы. Применение метода Бубнова - Галеркина позволило для частот свободных колебаний , напряжений и критической нагрузки найти аналитические выражения.

(68)

(70)

(69)

■ р{{,в)-Ро<0,£еС,&еС, ст(£,0)-сто<О,£еС,®е&

(71)

Выражения частот свободных колебаний , напряжений и критических нагрузок найдены для изотропных и ортотропных оболочек на прямоугольном плане, толщина которых постоянна вдоль срединной поверхности, но меняется по величине вместе с параметром формы, а так же для изотропных оболочек переменной вдоль образующей толщины.

Построены зависимости функций частот свободных колебаний , напряжений и критических нагрузок ог параметров формы оболочки. Определены основные закономерности изменения этих функций.

Дана постановка задач оптимизации формы изотропных и ортотропных оболочек постоянной и переменной толщины по критерию максимальной критической нагрузки и низших частот свободных колебаний, минимума значений напряжений в центре оболочки и минимума объема (веса), как задач нелинейного математического программирования.

С учетом особенностей функций объема, напряжений, критической нагрузки и частот свободных колебаний построен алгоритм оптимизации формы пологих геометрически нелинейных оболочек, в основе которого лежит модификация одного из методов случайного поиска, включающего в себя комбинацию градиентного и случайного поиска, а так же метод "оврагов".

Решены новые задачи оптимизации формы изотропных и ортотропных оболочек постоянной и переменной толщины по критерию максимальной критической нагрузки, минимума значений напряжений в центре оболочки, частот свободных колебаний и минимума объема (веса).

ОСНОВНЫЕ ПОЛДОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Колесников, А.Г. Исследование напряженно-деформированного состояния пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане [Текст]: А.Г. Колесников, Л.Ю. Ступишин // Промышленное и гражданское строительство: ежемесячный научно-технический и производственный журнал, 2009 г.-№1.- С.24-25.

2. Колесников, А.Г. Исследование оптимальных форм пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане [Текст]: А.Г. Колесников, Л.Ю. Ступишин // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Обзорно-аналитический и научно-технический журнал, 2009 г..-№3-С.66-70.

3. Колесников, А.Г. Численное исследование нелинейных задач напряженно-деформированного состояния пологих оболочек переменной толщины [Текст]: А.Г. Колесников, Л.Ю. Ступишин // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Труды XXIII Международной конференции. ВЕМ&РЕМ-2009,- СПб: т.2,- С.429-435.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7:07:10429 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д.Зб тел.: 8-499-185-7954,8-906-787-7086

Введение.

Глава 1 Анализ литературных источников. Обоснование актуальности 12 исследования.

Глава 2 Исследование напряженно-деформированного состояния и геометрических параметров изотропных пологих 20 оболочек постоянной толщины с переменной формой срединной поверхности.

2.1 Виды форм срединной поверхности пологих оболочек. Исследование функций объема оболочки.

2.2 Определение критической нагрузки изотропных пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане с постоянной толщиной и переменной формой срединной поверхности.

2.2.1 Исследование выражения для критической нагрузки в 31 изотропных пологих геометрически нелинейных оболочках на прямоугольном плане постоянной толщины с переменной формой срединной поверхности, и сравнение полученных значений с 34 результатами других работ

2.3 Определение напряжений в изотропных пологих геометрически нелинейных оболочках на прямоугольном плане с постоянной толщиной и переменной формой срединной поверхности.

2.3.1 Исследование выражения для вычисления напряжений в изотропных пологих геометрически нелинейных оболочках на прямоугольном плане постоянной толщины с переменной формой срединной поверхности, и сравнение полученных значений с результатами других работ.

2.4 Определение нижней частоты малых свободных колебаний 46 пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане с переменной формой срединной поверхности.

2.4.1 Исследование выражения для вычисления нижней частоты малых свободных колебаний в изотропных пологих геометрически 50 нелинейных оболочках на прямоугольном плане постоянной толщины с переменной формой срединной поверхности, и сравнение 50 полученных значений с результатами других работ

2.5 Выводы.\.

Глава 3 Исследование напряженно-деформированного состояния и геометрических характеристик изотропных пологих оболочек с переменной толщиной и формой срединной поверхности.

3.1 Виды форм толщин пологих оболочек. Исследование функции объема

3.2 Определение критической нагрузки пологих геометрически нелинейных оболочек с переменной толщиной и формой срединной поверхности

3.2.1 Исследование выражения для критической нагрузки пологих геометрически нелинейных оболочек с переменной 70 толщиной и формой срединной поверхности

3.3 Определение напряжений в пологих геометрически 71 нелинейных оболочках с переменной толщиной и формой срединной 76 поверхности

3.3.1 Исследование выражения для вычисления напряжений в 78 пологих геометрически нелинейных оболочках переменной толщины и формы срединной поверхности.

3.4 Определение нижней частоты малых свободных колебаний 78 пологих геометрически нелинейных оболочек с переменной толщиной и формой срединной поверхности

3.4.1 Исследование выражения для вычисления нижней частоты малых свободных колебаний оболочек с переменной толщиной и формой срединной поверхности

3.5 Выводы.

Глава 4 Исследование напряженно-деформированного 82 состояния ортотропных пологих оболочек постоянной толщины с переменной формой срединной поверхности

4.1 Определение критической нагрузки ортотропных пологих геометрически нелинейных оболочек постоянной толщины с переменной формой срединной поверхности

4.1.1 Исследование выражения для критической нагрузки ортотропных пологих геометрически нелинейных оболочек с постоянной толщиной и переменной формой срединной 90 поверхности.

4.2 Определение напряжений в ортотропных пологих 90 геометрически нелинейных оболочках с постоянной толщиной и переменной формой срединной поверхности

4.2.1 Исследование выражения для вычисления напряжений в ортотропных оболочках с постоянной толщиной и переменной формой срединной поверхности

4.3 Определение нижней частоты малых свободных колебаний ортотропных пологих геометрически нелинейных оболочек с 121 постоянной толщиной и переменной формой срединной поверхности.

4.3.1 Исследование выражения для вычисления нижних частот малых свободных колебаний ортотропных оболочек с 129 постоянной толщиной

4.4 Выводы.

Глава 5 Исследование оптимальных форм пологих геометрически нелинейных оболочек с переменной формой 131 срединной поверхности

5.1 Постановка задач определения оптимальных форм оболочек и выбор метода ее решения.

5.2 Исследование оптимальных форм изотропных пологих геометрически нелинейных оболочек с постоянной толщиной и переменной формой срединной поверхности

5.3 Исследование оптимальных форм изотропных пологих геометрически нелинейных оболочек с переменной толщиной и формой срединной поверхности

5.4 Исследование оптимальных форм ортотропных пологих геометрически нелинейных оболочек с постоянной толщиной и переменной формой срединной поверхности

5.5 Применение программ нахождения оптимальных форм и толщин пологих геометрически нелинейных оболочек при проектировании элементов строительных и машиностроительных конструкций.

5.5.1 Определение оптимальной формы пологой оболочки защитного кожуха самоходной бурильной установки.

5.5.2 Определение оптимальной формы пологой оболочки покрытия спортивного комплекса.

5.6 Выводы.ч.

Вопросы снижения стоимости несущих конструкций и повышения их эксплуатационных характеристик выходят в настоящее время на первый план.

Существенный вклад в решение этих задач вносит использование в конструкторских решениях элементов типа пологих оболочек, которые уже нашли широкое применение в строительстве, машиностроении и других областях техники. Развитие методов оптимального проектирования пологих оболочек, помогающих отыскать формы конструкций при различных критериях оптимизации, а также внедрение их в практику позволит получить ощутимый экономический эффект и получить новые конструктивные решения.

В практике проектирования часто встречаются оболочки из ортотропного материала моделирующие работу железобетона, полимерных материалов с армированием, навивные оболочки и т.п. Развитие методов оптимального проектирования ортотропных оболочек, работающих в геометрически нелинейной стадии деформирования, способствует более полному пониманию картины деформирования реальных конструкций.

Важным направлением исследований является отыскание оптимальных проектов конструкций, совершающих свободные колебания относительно некоторого начального деформированного состояния. Это начальное деформированное состояние может соответствовать моменту появления малых конечных перемещений от действия некоторой статической нагрузки, например, собственного веса конструкции, снеговой нагрузки и т.п. В случае оболочки, имеющей переменную форму срединной поверхности и толщину, важно знать взаимосвязь параметров формы оболочки и малых собственных частот колебаний, для правильного выбора алгоритма решения задачи нелинейного программирования.

Целями работы являются:

- разработка методики определения критической нагрузки, напряжений и нижней частоты малых свободных колебаний для пологих изотропных и ортотропных геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане, имеющих переменную форму срединной поверхности при постоянной и переменной толщине;

- разработка методики определения оптимальных форм изотропных и ортотропных геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане, имеющих переменную форму срединной поверхности, постоянную и переменную толщину по критериям минимума объема (веса), минимума значений напряжений, максимума критической нагрузки и максимума нижней частоты малых свободных колебаний;

- решение новых задач определения оптимальных форм изотропных и ортотропных геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане имеющих переменную форму срединной поверхности, постоянную и переменную толщину по критериям минимума объема (веса), минимума значений напряжений, максимума критической нагрузки и максимума нижней частоты малых свободных колебаний.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- получены выражения для критической нагрузки, напряжений и нижней частоты малых свободных колебаний изотропных геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане как функций изменения формы срединной поверхности и функций изменения толщины оболочки, а также ортотропных геометрически нелинейных оболочек постоянной толщины на прямоугольном плане, как функций изменения формы срединной поверхности;

- исследованы функции критической нагрузки, напряжений и нижней частоты малых свободных колебаний для изотропных геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане как функций изменения формы срединной поверхности и функций изменения толщины оболочки, а также ортотропных геометрически нелинейных оболочек постоянной толщины на прямоугольном плане переменной формы срединной поверхности на всей области допустимых значений переменных параметров проектирования. Проведено численное исследование нелинейных задач оптимизации, показана возможность достижения глобального экстремума исследуемых функций цели, а также составлен и реализован эффективный алгоритм решения нелинейных задач оптимизации пологих оболочек;

- решены новые задачи оптимизации формы срединной поверхности изотропных геометрически нелинейных пологих оболочек переменной толщины, ортотропных геометрически нелинейных пологих оболочек постоянной толщины на прямоугольном плане по критериям:

- минимума объема (веса) при одном из ограничений: на величину критической нагрузки; на значение напряжения в центре оболочки; на значение нижней частоты малых свободных колебаний;

- максимума критической нагрузки при ограничении на объем;

- минимума значений напряжений при ограничении на объем;

- максимума нижней частоты малых свободных колебаний при ограничении на объем.

Достоверность результатов диссертационной работы основана на

- корректности математических моделей, взятых в качестве основы разработанных методик и строгости используемого математического аппарата;

- сопоставлении результатов численных экспериментов с известными аналитическими решениями;

- решении двойственных задач.

Практическая ценность работы.

Разработанные алгоритмы и программы оптимизации формы оболочек позволяют

- проектировать облегченные конструкции типа пологих оболочек в строительстве, машиностроении, авиастроении и т.п.;

- вести научные исследования по оптимизации пологих геометрически нелинейных оболочек при различных критериях и ограничениях;

- применять их в образовательных программах (курсах строительной механики для строительных и машиностроительных специальностей, проектировании строительных конструкций и др.).

При сравнении вариантов реализуемых проектных решений, полученные в работе оптимальные проекты тонкостенных конструкций, могут служить эталонными вариантами.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения.

5.6 Выводы

Сформулированы новые задачи оптимизации формы оболочек по критерию максимальной критической нагрузки, минимума значений напряжений в центре, максимума значений нижней частоты колебаний оболочки и минимума объема (веса), как задач нелинейного математического программирования.

Построен алгоритм оптимизации формы пологих геометрически нелинейных оболочек с учетом особенностей функций объема, напряжений, нижней частоты свободных колебаний и критической нагрузки.

Решены новые задачи оптимизации формы срединной поверхности изотропных геометрически нелинейных пологих оболочек постоянной и переменной толщины, ортотропных геометрически нелинейных пологих оболочек постоянной толщины на прямоугольном плане по критериям:

- минимума объема (веса) при одном из ограничений: на величину критической нагрузки; на значение напряжения в центре оболочки; на значение нижней частоты малых свободных колебаний;

- максимума критической нагрузки при ограничении на объем;

- минимума значений напряжений при ограничении на объем;

- максимума нижней частоты малых свободных колебаний при ограничении на объем.

Программный комплекс, разработанный на основе алгоритма оптимального проектирования, использован при проектировании реальных строительных и машиностроительных конструкций.

Заключение

Построена методика определения аналитических выражений для нижней частоты малых свободных колебаний, напряжений и критической нагрузки в пологих геометрически нелинейных оболочках на прямоугольном плане, имеющих переменную форму срединной поверхности и толщину.

Получены выражения критических нагрузок, нижних частот малых свободных колебаний, напряжений для изотропных и ортотропных оболочек на прямоугольном плане, толщина которых постоянна вдоль срединной поверхности, но меняется по величине вместе с параметром формы, а таюке для изотропных оболочек с переменной толщиной вдоль срединной поверхности.

Исследованы зависимости функций критических нагрузок, напряжений и нижних частот малых свободных колебаний от параметров формы срединной поверхности и толщины оболочки. Определены основные закономерности изменения этих функций, что позволило выбрать метод и построить алгоритм решения нелинейных задач оптимизации.

Дана постановка нелинейных задач оптимизации формы изотропных оболочек постоянной и переменной толщины и ортотропных оболочек постоянной толщины первого и второго рода как задач нелинейного математического программирования.

Приведены постановки двойственных (или обратных) задач оптимизации с ограничениями второго рода.

Решены новые задачи оптимизации формы срединной поверхности изотропных геометрически нелинейных пологих оболочек постоянной и переменной толщины, ортотропных геометрически нелинейных пологих оболочек постоянной толщины на прямоугольном плане по критериям:

- минимума объема (веса) при одном из ограничений: на величину критической нагрузки; на значение напряжения в" центре оболочки; на значение нижней частоты малых свободных колебаний;

- максимума критической нагрузки при ограничении на объем;

- минимума значений напряжений при ограничении на объем;

- максимума нижней частоты малых свободных колебаний при ограничении на объем.

Впервые получены результаты решения двойственных задач.

Результаты решения задач оптимизации показывают значительный резерв экономии материала, увеличения критических нагрузок, увеличения значений нижних частот малых свободных колебаний или уменьшения значений напряжений в центре оболочки по сравнению с оболочками традиционно используемых форм. Еще большего эффекта можно добиться, используя оптимальное распределение толщины по поверхности оболочки.

Программный комплекс, разработанный на основе алгоритма оптимального проектирования, использован при проектировании реальных строительных и машиностроительных конструкций.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 287с.

2. Александров М.А. Расчет близких к равнопрочным гибких пластин и оболочек. Текст. / М.А. Александров, М.С. Корнишин, H.H. Столяров // Прикладная механика, 1978. Вып. 10. - С.41-46.

3. Алмазова C.B. Использование Методов голономной механики для определения собственных частот и форм колебаний системы упругих тел. Текст.: автореф. дис. канд. физ математ. наук / С.В.Алмазова. - Санкт -Петербург: СПГУ, 2008. - 16с.

4. Алумяэ H.A. О представлении основных соотношений нелинейной теории оболочек. // ПММ. 1956. Т.20, вып. 1. с. 136-129.

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. - 384 с.

6. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания. М.: Наука, 1987. - 360 с.

7. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Паламарчук В.Г. Динамика ребристых оболочек. Киев: Наук, думка, 1983. - 204с.

8. Амосов A.A. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек. // Стр. мех. и расчет сооружений. 1987. №5. с.37г42.

9. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.:Изд-во АСВ, 2002. -228с.

10. Андрианов И.В., Холод Е.Г. Промежуточные асимптотики в нелинейной динамике оболочек // Изв. РАН. Механика твердого тела, 1993. -№2. с. 172-177.

11. Баничук Н.В. Некоторые задачи оптимизации формы и распределения толщин оболочек на основе генетического алгоритма/ Н.В. Баничук, С.Ю. Иванова, Е.В. Макеев// Известия Российской академии наук.

12. Механика твердого тела, 2007.- №6.- С. 137-146.

13. Баничук Н.В. Оптимизация формы безмоментных оболочек вращения / Н.В. Баничук// Доклады Академии наук, 2005.- том 405.- С. 338342.

14. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. Текст./ Н.В. Баничук.-М.: Наука, 1980, -256с.

15. Богомольный В.М. Оптимизация многослойных цилиндрических полимерных оболочек с вырезами, работающих при высоком внутреннем давлении/ В.М. Богомольный, С. Н.Родивилов// Конструкции из композиционных материалов, 2009.- №4.-С. 25-33.

16. Болотин В.В. О плотности собственных частот колебаний тонких упругих оболочек // ПММ. 1963. -т.27, вып.2. - с.362-364.

17. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. М: ГИТТЛ, 1953. - 424с.

18. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

19. Валишвили Н.В., Силкин В.В. Применение метода прямых для решения нелинейных задач динамики равновесия пологих оболочек. // Известия вузов. Механика твердого тела, 1970. №3. - с. 140-143.

20. Васильков Г.В., Аль-Халаби М. Об одном методе определения критических нагрузок для нелинейных тонких пологих оболочек при динамическом нагружении. // Рост, инж.-строит. ин-т. Ростов-на-Дону, 1991. - 15с. Деп. в ВИНИТИ 24.04.91, №1714. - В91.

21. Власов В.З. Избранные труды. В 3-х т. М.: Изд-во АН СССР, т. 1, 1963.-528с.

22. Власов B.B. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. Текст./В.В. Власов.-М.:Гостехиздат, 1949.-812с.

23. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М: Физматгиз, 1960. -492с.

24. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972, 432 с.

25. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек // ПММ, 1956, 20, №4, с.449-474.

26. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989.-373

27. Гайдайчук В.В. Обратная задача нелинейной устойчивости сферической оболочки переменной толщины. Текст. /В.В. Гайдайчук, Е.А. Гочуляк, В.И. Гуляев// Прикладная механика, 1977. Вып.2. - С.9-14.

28. Галимов К.З. Основания нелинейной теории оболочек. Казань: ФЭН, 1996.-215 с.

29. Танеева М.С. Равнопрочные упругие оболочки вращения. Текст. / М.С. Танеева, М.С. Корнишин, В.Г. Малахов // Труды семинара по теории оболочек.- Казань, 1973. С. 92-106.

30. Гениев Г.А., Чаусов Н.С. Некоторые вопросы нелинейной теории устойчивости пологих металлических оболочек. // Научное сообщение ЦНИПС. Вып. 13. -М.: Госстройиздат, 1954. - 51 с.

31. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек: 2-е изд. перераб. М.: 1979.-519 с.

32. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек. Справочник. К.: Наукова думка, 1964. 288с.

33. Грибов А.П. Расчет гибких пологих упруго-пластических оболочек прямым методом граничных элементов. Текст.: А.П. Грибов, В.Г. Малахов // Вестник Ульяновского государственного технического университета, №3(15).-2001, С.72-76.

34. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Механика деформирования сферических оболочек. М.: Изд-во МГУ, 1983. 114 с.

35. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. -М.: Наука. Физматлит, 1997. 272 с.

36. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. -М.: Наука. Гл.ред. физ-мат.лит., 1988. 232 с.

37. Григоренко Я.М. Некоторые подходы к численному решению линейных и нелинейных задач теории оболочек в классической и уточненных постановках. // Прикладная механика. -1996. т.32. - №6. - с.3-39.

38. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания элементов обол очечных конструкций. К.: Наук, думка, 1986.- 172с.

39. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992. - 336с.

40. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Решение задач и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропных неоднородных оболочек (обзор). // Прикладная механика, 1997. т. 33. - №11. -с.3-39.

41. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища шк., 1983. 286 с.

42. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов C.JI. Прикладные задачи теории линейных колебаний механических систем. М.: Высш. шк., 1989. -383 с.

43. Деннис Дж.мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. - 440с.

44. Дмитриенко, И.П. Оптимальная форма оболочки вращения, нагруженной внутренним давлением и подверженной действию температурного поля. Текст. / И.П. Дмитриенко, В.Д. Протасов, A.A. Филиппенко // Механика полимеров, 2004. Вып. 6. - С. 1119-1122.

45. Дубинин В. В. Разработка экспериментального метода определения параметров колебаний оболочки после удара телом. Тезисы докладов научно-технической конференции.Текст./ В. В. Дубинин, С. Н. Банников. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - с. 38.

46. Жаворонок С.И. Редукции плоской задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач: Дис. на соискание степени канд. физ.-мат. наук. М.: 1998. - 124с.

47. Елин В.Д. Определение оптимальных размеров тонкостенных сосудов. Текст. / В.Д. Елин, В.И. Харитонов // Работы по механике сплошной среды,- Тула, 1977. Вып. 3. - С. 107-112

48. Иванов A.C., Трушин С.И. Разработка и оценка вычислительных алгоритмов исследования устойчивости нелинейно деформируемых оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1991, №5, с.53-58.

49. Иванов, Г.В. Оптимизация переменной толщины оболочек вращения. Текст. / Г.В. Иванов // Теория оболочек и пластин.- М, 1973. С. 691-695.

50. Игнатьев В.А. Динамика сооружений. Текст./ В.А.Игнатьев.-Волгоград.: ВолгПИ, 1988.-84с.

51. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики: Справочное пособие. Минск: Вышэйшая школа, 1990. -349с.

52. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев: Наук, думка, 1971. 136 с.

53. Кантор Б.Я., Катаржнев С.И. Вариационно-сегментный метод в нелинейной теории оболочек. Киев: Наук, думка, 1982. 135 с.

54. Кармишин A.B., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. -376с.

55. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин иоболочек и методы их решения. СПб: АСВ, 1999. 105 с.

56. Каюк Я.Ф. Геометрически нелинейные задачи теорий пластин и оболочек. АН УССР. Киев: Наук, думка, 1987. 207 с.

57. Кислов В.М. Поперечные колебания физически нелинейных анизотропных прямоугольных пластин. Текст.: В.М.Кислов // Известие высших учебных заведений. Строительство и архитектура.- 1981.- №5.- С. 51-53

58. Климанов В.И., Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1985 291с.

59. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. Текст./ Н.В. Колкунов.- М.: Высш. шк, 1987.-255с.

60. Коннор Дж. и Морин Р. Метод возмущений в расчете геометрически нелинейных оболочек // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л.: Судостроение, 1974, т.2,с. 186-202.

61. Корнишин М.С. Алгоритм расчета гибких пластин и пологих оболочек наименьшего веса. Текст. / М.С Корнишин, М.А. Александров // Статика и динамика оболочек.- Казань, 1977. — Вып.8. — С.47-56.

62. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения Текст./ М.С. Корнишин.- Москва, 1964, -192с.

63. Коробко В.И. Оценка свободных колебаний пластинок. Текст.: В.И.Коробко // Известие высших учебных заведений. Строительство и архитектура.- 1979.-№10.- С. 33-38

64. Кочемасова Е.И. Расчет напряженно-деформированного состояния многослойных анизотропных оболочек по методу Власова Текст. / Е.И. Кочемасова, Н.П. Тютюнников, Ф.Н. Шклярчук// Механика композиционных материалов и конструкций, 2005. №2. - С. 266-275.

65. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216 с.

66. Кукуджанов С.Н. Влияния меридиональных усилий на собственные колебания и динамическую устойчивость оболочки вращения, близкой по форме к цилиндрической // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2005, № 1. С. 161-173.

67. Ландман И.М. Асимптотический анализ колебаний вращающихся оболочек вращения. Текст.: автореф. дис. канд. физ — математ. наук / И.М.Ландман. Санкт - Петербург: СПГУ, 2008. - 16с.

68. Лехницкий Л.С. Анизотропные пластинки. М.: Гостехтеориздат, 1957. - 463с.

69. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. Текст./ П.А. Лукаш.- М.: Стройиздат, 1978.-204с.

70. Лурье А.И. Статика тонкостенных оболочек. М., Л.: Гостехтеориздат, 1947. — 252 с.

71. Малахов В.Г. Алгоритм комплексного поиска в задачах весовой оптимизации оболочек вращения. Текст. / В.Г. Малахов // Прочность и устойчивость оболочек.- Казань, 1980. Вып. 13. - С.67-74.

72. Малахов В.Г. Расчет гибких пластин и пологих оболочек. Текст.: В.Г. Малахов, А.Н. Ширханов//Актуальные проблемы механики сплошной среды. Сборник, посвященный 10-летию ИММ.- 2001. С. 159-169.

73. Мартышенко В.А. Уравнения состояния свободных колебаний круглой и кольцевой пластины. Текст.: В.А.Мартышенко // Известие высших учебных заведений. Строительство и архитектура.- 1981.- №9.- С. 37-42

74. Марченко В.А. Динамика неоднородных пологих сферических оболочек. Диссертация на соискание степени кандидата технических наук. Самара, 2000.

75. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций. -М.: Стройиздат, 1989. 200 с.

76. Моисеенко Р. П. Оптимизация ребристой пластины привынужденных колебаниях / Известия высших учебных заведений. Строительство, 2008.- №6.- С. 123-126.

77. Мондрус B.JI. Вероятностные методы оценки сейсмических воздействий на сооружения. Дис. на соиск. учен. степ, д-ра техн. наук. М.: МГСУ, 1994. 336с.

78. Муштари Х.М. Нелинейная теория оболочек. Сборник научных трудов. -М.: Наука, 1990. 223 с.

79. Назаров A.A. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. Д.: Стройиздат, 1966. - 304 с.

80. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л.,М.: Гостехтеориздат, 1948. - 333 с.

81. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. - 656 с.

82. Новые направления оптимизации в строительном проектировании. Текст.: Э. Атрек [и др.].- М.: Стройиздат, 1989.- 592 с.

83. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-воМГУ, 1969.-695 с.

84. Одишвили К.А. Оптимальный закон изменения толщины пологой оболочки вращения. Текст. / К.А. Одишвили // Исследования по строительным конструкциям.- М, 1971. С. 31-49.

85. Ониашвилли О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. М.: изд. АН СССР, 1961. - 195с.

86. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. Текст./ Я.Г.Пановко.-Машиностроение, 1967.

87. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин (нестационарные задачи). Л.: Судостроение, 1987. - 316с.

88. Петров В.В., Овчинников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластин и оболочек из нелинейно-упругого материала / Под ред. Петрова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. 133с.

89. Пикуль B.B. Общая техническая теория тонких упругих пластин и пологих оболочек. М.: Наука, 1977. 151с.

90. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. -JL: Судостроение, 1977. 279 с.

91. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3 т. Том 3. под ред. Биргера И.А. и Пановко Я.Г. М: Машиностроение. - 554 с.

92. Ржаницын Ф.Р. Расчет упругих оболочек. Текст./ Ф.Р. Ржаницын.- М.: Изд. МИСИ им. В.В. Куйбышева, 1977.-103с.

93. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. - 224 с.

94. Салий Е.Е. Математические модели динамики пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности. Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. Саратов 2001.

95. Саченко A.B. Определение частот свободных колебаний пологих сферических оболочек и плоских пластинок на основании мембранной аналогии. Текст./A.B.Саченко.-Прикладная механика, 1965.-№1

96. Скоков В.А. Некоторый вычислительный опыт решения задач нелинейного прокламирования. Текст./ В.А.Скоков // Математические методы исследования экономических задач.- М, 1977,- Вып.7.- С. 51-48.

97. Станкевич А.И., Евкин А.Ю., Веретенников С.А. Устойчивость тонких сферических оболочек при динамическом нагружении // Прикладная механика. Киев: 1993. - 29, №1. - с.42-48.

98. Столярчук В.А. Минимум веса оболочек вращения переменной толщины, нагруженных внутренним равномерным давлением. Текст. / В.А. Столярчук // Прикладные проблемы прочности и пластичности,- Горький, 1980. Вып. 15. - С. 111-115.

99. Столярчук В.А. Проектирование оболочек минимального веса и заданного объема. Текст. / В.А. Столярчук // Прикладные проблемы прочности и пластичности.- Горький, 1980. Вып. 15. — С. 111-115.

100. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 352 с.

101. Стриклин, Хейслер, Риземан. Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и (или) геометрией // Ракетная техника и космонавтика, 1973, т.11, №3, с.46-56.

102. Ступишин Л.Ю. Определение оптимальных форм пологих геометрически нелинейных оболочек. Диссертация на соискание степени кандидата технических наук. Москва, 1984. 131с.

103. Ступишин Л.Ю. Приближенный способ определения оптимальной формы пологих геометрически нелинейных оболочек вращения при условии устойчивости. Текст.: Л.Ю. Ступишин // Известие высших учебных заведений. Строительство и архитектура.- 1989.- №9.- С. 28-32

104. Терегулов И.Г. Нелинейные задачи теории оболочек и определяющие соотношения: Избранные труды. Казань: ФЭН. 2000, 335 с.

105. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и-оболочки. -М.: Физматгиз, 1963, 636 с.

106. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. — М.: Машиностроение, 1985. 472 с.

107. Трушин С.И. Теория и расчет нелинейно-деформируемых многослойных оболочек вращения // Численные методы расчета и оптимизации строительных конструкций. Труды ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко, 1989, с.157.

108. Трушин С.И. Решение задач устойчивости гибких упруго-пластичных оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига. Дис. на соиск. уч. ст. доктора техн. наук. 1999.

109. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987.384 с.

110. Филиппов, А.П. Колебания механических систем. Текст./ А.П.Филиппов.- Киев:Науковая думка, 1965.

111. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М: Мир, 1988.-352 с.

112. Хейслер, Стриклин, Стеббинс. Разработка и оценка методов решения геометрически нелинейных задач строительной механики // Ракетная техника и космонавтика, 1972, т. 10, №3, с.32-44.

113. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

114. Чирас А.А. Строительная механикаг^Теория и алгоритмы. М.: Стройиздат, 1989. - 255с.

115. Шалабанов А.К. Исследования собственных колебаний конических оболочек теоретико экспериментальным методом. Текст.: автореф. дис. канд. физ - математ. наук / А.К.Шалабанов - Санкт -Петербург: СПГУ, 1987. - 6с.

116. Шапошников Н. Н., Иванов-Дятлов В. И., Трубаев А. С. Вычислительная механика. М.: МИИТ, 2005-: ПИК ВИНИТИ, 121с.

117. Шихранов А.Н. К оптимизации гибких пологих оболочек вращения по критерию жесткости Текст.: А.Н. Шихранов // Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 15-летию ИММ КазНЦ РАН. Казань: Казанский государственный университет.- 2006. С.261-267.

118. Kalnins A. Effect of bending on vibrations of spherical shell // J/Acoust/ Soc/ America. 1964. v.36. #1. p.74-81.

119. Reissner E. Variational considerations for elastic beams and shells. -J.eng. meth. div.ASCE, 1962, EMI, №88, p.23-57.

120. Sathyamoorthy M. Vibrations of moderately thick shallow spherical shells at large amplitudes. // J. Sound and vibr. 1994. - 172, №1 - p.63-70.

121. Striclin J.A., Haisler W.E., MacDougal H.R., Stebbins F.J. Nonlinear Analysis of shell of revolution by the matrix displacement method // AIAA Journal. 1968. -N12. - pp. 2306-2312.

122. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Toop L.P. Stiffness and deflection analysis of complex structures. J. Aeron. Sci., 1956, v.23, #9, pp.305323.