автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами, при конечных прогибах

ргв оа

2 2 ДЕК 2800

На правах рукописи

Катышевская Анна Константиновна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ УЗКИМИ РЕБРАМИ, ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ

Специальность 05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы н комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2000

»

- а

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном архитектурно-строительном университете на кафедре прикладной математики и информатики

Научный руководитель -

Научный консультант -

доктор технических наук, профессор Карпов В.В.

кандидат технических наук, профессор Коробейников А.В.

Официальные оппоненты — доктор технических наук,

профессор Михайлов Б.К. доктор технических наук, профессор Соколов Е.В.

Ведущая организация - ЛелНИИПроект

Защита диссертации состоится 27 декабря 2000 года в 15час. на заседании диссертационного совета К. 063.31.06 в Санкт-Петербургском государственном архитектурно- строительном университете по адресу: г. Санкт-Петербург, ул. 2-я Красноармейская, 4, ауд. 505 А.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного архитектурно- строительного университета.

Автореферат разослан 24.11.2000г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физико-математических

наук, доцент <fp /-Á /Фролькис В. А./

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Ребристые оболочки находят большое применение в различных областях техники - самолетостроении, судостроении, машиностроении, строительстве. Так как жесткость конструкции в большей степени зависит от высоты ребра, то, в основном, оболочки подкрепляются узкими ребрами, места расположения которых можно задать с помощью дельта-функций. При исследовании устойчивости таких оболочек (местной и общей) с учетом геометрической нелинейности, когда исследуется поведение конструкции в экстремальных условиях, особенно ярко проявляются неточности математической модели.

В известных моделях ребристых оболочек зачастую пренебрегают сдвиговой и крутильной жесткостью ребер, поперечными сдвигами. Отсутствует строгий вывод уравнений для ребристых оболочек в смешанной форме (на основе минимизации функционала энергии). Разработанные ранее методики исследования устойчивости ребристых оболочек не позволяют исследовать взаимосвязь местной и общей потери устойчивости.

Совершенствование математической модели для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, является актуальной задачей.

Цель диссертации состоит в

-разработке математической модели пологой оболочки, подкрепленной узкими ребрами, наиболее полно учитывающей особенности напряженно деформированного состояния (НДС) ребристых оболочек;

-проведении вычислительного эксперимента для анализа влияния различных факторов (сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов) на НДС ребристых оболочек и выбора наиболее точной математической модели таких оболочек.

Новыми научными результатами и основными положениями, выносимыми на защиту являются:

-на основе метода вариационных предельных преобразований вывод уравнений равновесия и уравнений в смешанной форме для оболочек, подкрепленных узкими ребрами (модель Кирхгофа-Лява);

-вывод уравнений равновесия для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, с учетом поперечных сдвигов (модель Тимошенко-Рейснера);

-анализ влияния различных факторов (учет сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов) на НДС и устойчивость ребристых оболочек;

-исследование местной и общей форм потери устойчивости ребристых оболочек.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением

научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений равновесия и в смешанной форме, использованием для решения полученных уравнений детально изученных методов. Сравнение с результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорит о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов

Разработанное математическое и программное обеспечение расчетов оболочек, подкрепленных узкими ребрами, при конечных прогибах может найти применение в научно-исследовательских, проектных и конструкторских организациях при расчетах устойчивости деталей машин, конструкций и сооружений оболочечного типа.

Все полученные в работе результаты численного эксперимента, приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций.

Результаты работы нашли внедрение в АО "Саратовский авиационный завод".

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на 57-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно- строительного университета (февраль 1999г.), на 53-й и 54-й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (май 1999г., май 2000).

Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры Прикладной математики и информатики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета под руководством д. ф.-м. н., профессора Б.Г. Ватера (май 2000г.).

Публикации Основное содержание диссертации опубликовано в четырех научных статьях.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 113 наименования и трех приложений. Работа изложена на ¿2$страницах машинописного текста, иллюстрирована 14 рисунками и содержит 2 таблицы. В приложение вынесены коэффициенты полученных в работе уравнений и программа расчета на ЭВМ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, сформулирована цель исследований, научна новизна, практическая ценность, отражено краткое содержание диссертации.

Основные идеи расчета ребристых оболочек были высказаны в конце 40-х годов А.И. Лурье и В.З. Власовым. В их работах считалось, что ребра с обшивкой имеют контакт по линии и рассматриваются задачи в линейной постановке. В такой же постановке задачи расчета ребристых оболочек рассматриваются в работах Е.С. Гребня, П.А. Жилина, ИЛ. Амнро и В.А. Заруцкого, Б.К. Михайлова. В геометрически нелинейной постановке задачи для ребристых оболочек рассматривались в работах И.Е. Милейковского и И.П. Гречанинова, О.И. Тере-бушко, С.А. Тимашева, В.В. Карпова, И.Н. Преображенского.

В большинстве работ не учитывалось влияние сдвиговой и крутильной жесткости ребер на НДС всей конструкции. Этот учет и сравнение с результатами экспериментов приводятся в работах С.А. Тимашева. Только в работах П.А. Жилина, В.В. Карпова, И.Н. Преображенского ребра вводятся не с помощью дельта-функций. Учет поперечных сдвигов при расчете ребристых оболочек (модель Тимошенко-Рейснера) с учетом геометрической нелинейности встречается только в работах В.В. Карпова.

При выводе уравнений в смешанной форме для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, вводятся упрощения, которые снижают точность математической модели.

Из анализа работ по теме диссертации следует, что полного анализа влияния различных факторов (учет сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов) на НДС ребристой оболочки и ее устойчивости не проведено. Кроме того, отсутствует вывод уравнений равновесия и уравнений в смешанной форме для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, вариационным методом, который дает наиболее корректную модель такой оболочки. Все это говорит об актуальности темы диссертационной работы.

В первой главе на основе метода вариационных предельных преобразований выводятся уравнения равновесия (модель Кирхгофа-Лява) и уравнения равновесия при учете поперечных сдвигов (модель Тимошенко-Рейснера) для оболочек, подкрепленных узкими ребрами. Суть метода вариационных предельных преобразований заключается в том, что для вывода уравнений используется вариационный метод (условие минимума функционала Лагранжа для получения уравнений равновесия и функционала Алумяэ для получения уравнений в смешанной форме).

Перед преобразованием вариационного уравнения так, чтобы под знаком двойного интеграла не было вариаций от производных искомых функций, область, занимаемая оболочкой, разбивается на части с постоянной толщиной, а изменяемость толщины задается с помощью ступенчатых функций.

В результате, после преобразования вариационного уравнения, получаются уравнения равновесия или уравнения в смешанной форме и, кроме краевых условий на контуре оболочки, еще краевые условия по линиям ступенчатого

изменения толщины. Учитывая эти условия и переходя к пределу от единичных столбчатых функций к дельта-функциям, получаем искомые уравнения.

Рассматриваем пологие оболочки прямоугольного плана, подкрепленные со стороны вогнутости перекрестной системой ребер параллельных сторонам оболочки (Рис. 1).

Срединная поверхность обшивки принимается за координатную поверхность. Оси х, у направлены по линиям главных кривизн. Ось OZ - ортогонально координатной поверхности в строну вогнутости.

Высоту и расположение ребер зададим с помощью единичных столбчатых

функций 5(л:-Ху) и.5{у->>,')

а/ Х1 Ь

С, уI ¿1

Рис. 1

т ._ л _ л т _

Н(Х,у) = 6(х -*,) + £ А'б(у - Л) -11 А»8(* - х^Цу - у,). у-1 1=1 »=1у=1

Здесь У ,грт - высота, ширина -х ребер параллельных оси у и их число;

Л'-' = шт|/г',/г-'|; 5(х - Ху), 5(у — у,-) - единичные столбчатые функции,

равные единице в местах присоединения ребер. Аналогичный смысл имеют

величины й' п.

Таким образом, высота всей конструкции будет к + н. Основные соотношения для таких оболочек с учетом геометрической нелинейности, справедливости гипотез Кирхгофа-Ля ва, упругости изотропного материала и справедливости закона Гука будут иметь вид:

соотношения между деформациями и перемещениями в координатной

поверхности

ди

8У ; ш 1

у 2

дх л 2\дк ) * у ду

е -ди , дУ , №№. ** ду дх дх ду ' соотношения между напряжениями и деформациями

(1)

1-Й2 е

ех+\ау-г

дгШ д2^

дх"

-+11-

дуЧ

<т

' 1-Р2

е

(д2\у дЬг

еу -г

ду7

ах<

(2)

2(1+ ц)

8^-22

д2ГГ дхду

выражения для усилий и моментов( 0 - относится к обшивки, Л - к ребру) = Му = < + < + ЛГ*;

= +М=А/;^ = +А/Д

(3)

Здесь

Л® = С,/г£1; < = М» = ^<^4/,; = ^12/А|/12;(4)

12

л* = <=+ %12);

(5)

где

8| =£, VI

(д2№ д21¥Л

дх

2 + V

; = -2

йгф'

С] —-— --;

1-Н2 12 2(1+ ц)'

площадь поперечного или продольного сечения ребер, приходящаяся на единицу длины сечения, статический момент и момент инерции этого сечения. Например,

_ т п п т _ __

^ = (х-Х^ + ^ЫУ-У^Х^ЧХ-^ЖУ-УЛ, 7=1 /=1 ¿=1

причем = ^ Р = 0,25/г2/^' + 0,5Й(/Н)2 + V')3.

Аналогичный вид имеют

Усилия и моменты, действующие в ребре, разобьем на составляющие, действующие в поперечном сечении ребер (индекс ГШ) и в продольном сечении ребер другого (ортогонального) направления (индекс ВЛ) (рис. 2) Например,

XX /=1

т __я

= Ы? = Н{ -^ЧЪ{У-У1У, (6)

М /=1

Кроме того, обозначим ЛГХ = ДГ® +

Рис.2 8

Приравняв к нулю первую вариацию функционала полной энергии деформации получим вариационное уравнение, которое преобразуем таким образом, чтобы под знаком двойного интеграла не было вариаций от производных искомых функций перемещений, но в начале область, занимаемую оболочкой, разбиваем на части с постоянной толщиной. При этом, после преобразования вариационного уравнения, получим, учитывая что 5£/, 6V, ЙЖ произвольны, уравнения равновесия

дх дх

-+Г

м

дх

п дыт -

м дх

дЫ„ 9ДГ »дИ

Вг

ду дх ду

м дх

— д ТУ Ыхк, + + ЫК —=-

у у дх2

д2ш

д2Ж

=2гг Э2М Э2М0 т яг-мЩ

дх£

ду2 дхду

дх2

5(х-*,-) +

(7)

АЗЧ81

,=1 оу

/=1

дхду

ы дхду_ /=1^=1 дхду

= 0,

и, кроме краевых условий на контуре оболочки, краевые условия по линиям ступенчатого изменения параметра высоты оболочки, т.е. на боковой поверхности ребер

при х = ар х = ЬJ

дм^ » дМ1

\

ху

ду /=1 ду

Чу-у,-)

= 0:

(8)

0.

пр» У = с,; у = с1,

дМ

В1

дМ.

я/

ху

дх

/=1

Эх

5(х - )

0:

(9)

Если ребра узкие, то можно считать, что условия (8) выполняются при а. <х<Ь1} а условия (9) - при с < у < с/. Так как условия (8), (9) говорят о том, что составляющими усилий и моментов, действующих в продольном сечении ребер, можно пренебречь, то подчеркнутые члены в уравнениях равновесия (7) можно принять равными нулю и перейти к пределу от 5(х —Ху), Ь(у ~ у^ к дельта-функциям, совершив замену

й(х-л'у) * гу8(х - Ху), % ->>•)- г£(у - у,-). (10)

Таким образом уравнения равновесия для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, принимают вид (модель Кирхгофа-Лява)

дЫ х + дыух

дх ду

(

к + дх2,

дЫ„ дЫ.

дУ г

ху

дх

= 0;

■М

ку +

ду2)

дхду

(И)

д2мг д2м, д2м1

дх*

ду*

+ 2-

1ху

дхду

+ д=0.

Следует заметить, что в уравнениях (11) не учитывается крутильная жесткость ребер, т. е

М*=0.

В уравнениях (11) усилия и моменты, действующие в ребрах берутся в виде

/=1 М

п

М? = 2:01(5*6, +А/* = £С2(?Л:2 + 7Л|12)8(*-*|); (12)

•

;=1 /п

< = МгС^+^зЖ*-*/);

у=1

где - Э1 = г^; 7' Р <> = = (13)

N = дг" + л/л - ,, _ „ ,„

Если учитывать поперечные сдвиги (модель Тимошенко-Рейснера), то деформации ех, Еу, е^у в срединной поверхности будут иметь вид (1), а деформации в произвольной точке по толщине оболочки, принимают вид

2 _ дЧ}х 2 _

С у 2 ' ■_ ■ з С у € -у Н"

дУу ду'

Эу ЙС

(14)

где Ух' Уу - углы поворота нормали в сечениях плоскостями ХОХ и У02 соответственно.

Если через (Зх, Ру обозначить углы поворота отрезка нормали у срединной поверхности оболочки, связанные с деформацией сдвига, в соответствующих сечениях оболочки, причем

Я И7

то деформации сдвига будут иметь вид

Ж

(15)

Здесь функция /"(г) характеризует загон распределения напряжений сг^, Суг по толщине оболочки. Если принять для ребристой оболочки б

(Й+/Г)

то

2 = 5 6'

*2 =

Если материал оболочки считать изотропным и считать справедливым закон Гука, то напряжения, возникающие в точках ребристой оболочки, принимают вид

Е Е ух =-+ =-Т&У

г 2 Е№ о п

-к -р,., <у

2(1 +ц)Их'

уг

2(1 + 11) У

к ь и

Интегрируя напряжения (16) по г в пределах от ~~ до ~ + " получим

усилия и моменты, действующие в оболочке и ребрах, приведенные к координатной поверхности и приходящиеся на единицу длины сечения.

'д: \х

му=м°у+м*, мху=м%+м^,

у=м^му,

ху ху '

(17)

Здесь и в дальнейшем индекс 0 относится к оболочке (обшивке), индекс Я - к ребрам.

Если обшивка и ребра выполнены из одного изотропного материала, то

-ь

-ду й3 ^

12

(18)

Му=в 2

12

+ /

4^2

= вх2

уЛ

—+./ 12

¥12

ЭКГ

Здесь

'

дуу дц/х дух дц/ Е

ду дх ду ох 1-ц

^12 = 6\з = <5-

723

2(1 + ц)

Разобьем усилия и моменты, действующие в ребрах, на составляющие поперечного сечения (индекс ПК) и продольного сечения (индекс ВК) и введем обозначения

мх=м\ му = м°у мух = м%

(19)

мху=м%+м™.

Приравняем первую вариацию функционала полной энергии деформации нулю, получим вариационное уравнение, которое нужно преобразовать так, чтобы под знаком двойного интеграла не было вариаций от производных искомых

функций и, v, iv, Ц/^, у разбив в начале область на части с постоянной толщиной.

Так как вариации произвольны, то сомножители

при каждой из этих вариаций в двойном интеграле должны быть равны нулю. Отсюда получаем уравнения равновесия

дМг ЗЛГ

П дыт

„ ил ух —

дх ду у=1 ох

/=1

ду

дм,, дмnдN

В1

ал^' _

ду дх г=1 ду

М

г

Nxkx+Nyky +

дх

- дШ х дх 39 ду

+-

у ду ухдх

+

+

д<2х д<2 т

дх ду

дх{

81У

дх

• +

дЖ

ду.

+

301

дх

1=1

_9 ак

у ду ух дх

т

ду

ЧУ-Уд- о,

д

дм дМ,„ -

+ -г^-а + 1^-Нх-- л) = О,

йх су у_] ох ,=1 ду

7=1

Кроме этого получаем из вариационного уравнения краевые условия на кромке оболочки и на боковой поверхности ребер (условия свободного края) при x = aj> x~bj

м^о, „у^+^ЁЕ+е*^ (21)

= О, = 0; при у = с-{, у = <11

о, <=о, (22)

= Мв/ =0.

Если ребра узкие, то приближенно можно считапгь, что условия (21) будут выполняться при а^ <х<Ъ}, а условия (22) при с,- <у <(1Г В этом случае уравнения равновесия (20) упрощаются, т.к. подчеркнутые члены обращаются в нуль. Кроме того в третьем уравнении вместо Ых, в первых двух слагаемых

будет Мх, а в четвертом и пятом вместо ()х, *2у будет ()х, {2у. Кроме того в выражениях силовых факторов, действующих в ребрах (индекс ПЯ) нужно от единичных столбчатых функций 5(л — ), 2 (у — у, ) перейти к дельта функциями Ь(х-х^,Ь(у-у^, используя соотношения (10). Тогда будут равны соответственно всей площади поперечного сечения г -го ребра, статическому моменту и моменту инерции этого сечения. Аналогичный смысл будут иметь

для /-го ребра.

Итак, уравнения равновесия для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, с учетом поперечных сдвигов будут иметь вид

QN dNvx dNv dNyv

дх ду дудх

йг ду дудх

(23)

Nr-+ Arrv-

х дх ** ду

д +—

ду

'я dW - д1¥л У~ду+ ух~дх j

+

Яхкх + Nyky 4 — öQx

дх ду

Следует заметить, что в этих уравнениях присутствуют члены учитывающие сдвиговую и крутильную жесткость ребер.

Для узких ребер момент инерции ребра на кручение Kj вычисляется по формуле

где ß - коэффициент, зависящий от отношения

г1

Если ребро имеет вид двутавра, то этот момент вычисляется по формуле (для высоких ребер берется ß = —)

■J т=1

Здесь lm,hm~ ширина и высота элементов двутавра.

и

Таким образом в выражениях Mw и Мух вместо J ,JJ, нужно брать

К^К].

Во второй главе приводится методика решений полученных в первой главе краевых задач.

Введем безразмерные параметры

а ' Ъ Ъ h h2,

к

ьЧ

_ У

— аЧ>х

А Л

^ А ' Як4

я2<*у / г» а 1-ц 1 + ц

(24)

После подстановки в уравнения (23) усилий и моментов с учетом (19) и (1) получим уравнения равновесия (модель Тимошенко—Рейснера) в перемещениях

в безразмерной форме относительно функций II ,}¥

t7l.2_.X73 _t.V7l.2V дЯ^ггЗ , хг5.6 . _П

дц

аг.

Т77 л-Х/Ъ-Ал.^ Ъ1 4.Х7Н , _ п

п г "арю г' т ~

*у

дП{„ ^х^уЗО^« ЗГ/ ^„15,18^, 5Г 16

- У^1 +1( + У£15)+

21^;

^

+ -----

^ ап

«23 +в24-тг

+

Эг] х

ЭЙГ^ Эп

О. Х726>27 Х726 пт - П-

1 , 1,12 , / Г711 ,^32 , ^30,31

Уц + Ур? + —— \а23 +

а^

+ а33Т)7 =0,

где

д2А 82 А

у«-™ 5А

Для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений (25) применим метод Бубнова—Галеркина и получим соответствующие системы нелинейных алгебраических уравнений, для линеаризации которых применяется метод последовательных нагружений.

В соответствии с методом Бубнова—Галеркина примем

и = £и(1)Х\{1)П(Г}, У = ^У{1)Х2{1)У2{1\ 1=1 7=1

/=1 (26)

= ¿Р5(/)^4(/)74(Л; = £ш(/)Х5(/)Г5(/), 1=1 у=1

где — неизвестные числовые параметры;

XI (/) -Х5(/)—

известные аппроксимирующие функции переменной , удовлетворяющие при % = 0, % = 1 заданным краевым условиям; 71(/)-У5(/)-известные аппроксимирующие функции переменной Т|, удовлетворяющие при Г| = 0, 1] = 1 заданным краевым условиям. После применения метода Бубнова-Галеркина к системе (25) получим систему нелинейных алгебраических уравнений, для решения которой применяется метод последовательных нагружений.

Приращения величин и нагрузки р на этапе нагружения

будем обозначать соответствующими малыми буквами. Их разложения в ряд будут иметь аналогичный (26) вид. только вместо

и(1), У{1), Р8(1\РЫ{1) будут

и{1),у(1), М1\РШ(1), РШ (/)•

Система линейных алгебраических уравнений на /-м этале нагружеиия относительно неизвестных параметров ы(/), у(/), и{/), Р£М(/), РИМ(1) будет иметь вид (индекс г опущен)

JV

s

u(l)C\(l,J)+v(/)C2(/,w(/) C3(/,/)-f Y,W(K)

l K=1 J

N

+ C4(I,K,J))

+ PSM(I)C5{I,J) + PNM(I)C6(I,J)

(C4(K,I,J) + = 0;

N

S

/=1

N

u(/)C7(/,J)+v(/)C8(/,./)+w(/) C9(/,/)+ (Г)(С1 ()(/:,/,./) +

V

+ C\Q(I,K,J))

+ RW(/)C1 !(/, /) + PNM{I)C\2(I,J) = 0;

M(/)ia3(/,j)+ ]+v{/ía5(/,j)+

\ K=\ ) \ K=l )

N

+ Ц/) Cl7(/,7)+ X (£/(/QC14(Ä:,/, j) + r(À')C16(/, ЛГ, J) + W{K)

к

Cl 8 (К, I, J) + Cl 8(7, K,J) + X W{L){CO{L, К, I, J) + CO(/, ÍT, I, У) +

V. к=\

+ CO(L,I,K,J))

+ PS(K)C2Q(T, J,K)+PN(K)C22{I, K,J))

( N + PSM{I) C19(/,J)+ ^W(K)C20(K,I,J)

\ к=i

+

(27)

f N >

+ /WM(/) C21(/,J)+ Y,W(K)C22(K,I,J) Ч *r=i У

= pC23(J);

N

X

7=1

/

w(/)C24(/, 7) + v(/)C25 H- Ч-Г)

C26(/,J)+ ~ZW(K){C27(K,J,J) +

к=i

+ C21{I,K,J)) + PSM(J)C28(I,J) + PNM(I)C29(I,J)

0;

y

N

I

/=1

и(1)С30{]^) + у(Г)С31 + н{1)

N

к=1

+СЗ 3(/, Р8ЩГ)С2Щ, I) +РМЩ1)С15(/, У)

-О 7 =

Система (27) на каждом этапе нагружения решается методом Гаусса.

По описанной методике составлена программа для ЭВМ.

В третьей главе проведено исследование НДС и устойчивости оболочек, подкрепленных узкими ребрами. Для выбора наиболее точной модели таких оболочек проведено исследование влияния сдвиговой и крутильной жесткости ребер на НДС и устойчивость ребристых оболочек. Показано, что при исследовании устойчивости ребристых оболочек учет сдвиговой и особенно крутильной жесткости ребер оказывает существенное влияние на нахождение критических нагрузок и это влияние увеличивается с увеличением числа ребер. Так как в уравнениях равновесия модели Кирхгофа-Лява отсутствуют члены, учитывающие крутильную жесткость ребер, и учет поперечных сдвигов для ребристых оболочек так же существенно сказывается на НДС и их устойчивости, то для исследований НДС и устойчивости оболочек, подкрепленных узкими ребрами необходимо использовать уравнения равновесия (25), учитывающие поперечные сдвига.

Если же исследуется поведение конструкции при малых перемещениях, то возможно использование уравнений модели Кирхгофа-Лява.

Следует заметить, что дельта-функции вводятся в соотношения для удобства обозначений и упрощения уравнений. Поэтому при исследовании НДС ребристых оболочек необходимо рассматривать и анализировать и напряжения, и силовые факторы, возникающие в ребрах.

Итак, все дальнейшие исследования в работе проведены с использованием уравнений (25).

Исследовано НДС для ребристых оболочек как в обшивке, так и в ребрах.

Рассматриваются квадратные в плане пологие оболочки (а = Ь = 60/г, = Щ = 225Й), шарнирно неподвижно закрепленные по контуру и находящиеся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки . Со стороны вогнутости оболочки подкреплены перекрестной системой ребер высотой ЗА и шириной И. На рис. 3 номер кривой означает число ребер, подкрепляющих оболочку.

Рис. 3

—к —о

На Рис.3 приведены эпюры усилий Л^ (рис. 3, а)), Л^

(рис. 3, б))

f Eh* - ' дг = £iL дг 'у л J п V а

и моментов рис. 3, в)), (рис. 3, г))

Eh4 —

M = —г мп

а

{индекс R ~ соответствует силовому фактору в ребре, О-в

обшивке), приходящихся на единицу длины сечения, при Р = 150 вдоль ребра (параллельного оси У). Гак как эпюры усилий и моментов приведены вдоль ребра,

то для оболочек подкрепленных двумя ребрами - ребро расположено при £ = 0,5, для оболочек, подкрепленных четырьмя ребрами - при ^ = 0,35-

Как видно из рис. 3 в поперечном сечении ребра вдоль ребра возникают существенные усилия и моменты, в обшивке эти значения гораздо меньше. Вблизи края ребро испытывает сжатие, а далее растяжение. Там где ребра пересекаются, усилия уменьшаются. В обшивке наблюдается более плавное изменение усилий.

Следует заметить, что на месте присоединения ребер к обшивке углы

поворота Vx> M'y становятся практически равными нулю.

Проведено исследование устойчивости оболочек, подкрепленных различным числом ребер, и получена зависимость критической нагрузки от числа подкрепляющих оболочку ребер.

Рассматриваются квадратные в плане пологие оболочки с параметрами a~b-\2Qh, Rl = Rz=45Qh = = 32), шарнирно-неподвижно

закрепленные по контуру и находящиеся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки q, и подкрепленные различным числом ребер высотой 6h и шириной h.

На ркс. 4 номер кривой соответствует числу ребер, подкрепляющих оболочку (0 - соответствует гладкой оболочки).

На рис. 4, а представлены графики "нагрузка Р~ прогиб W в центре оболочки". Если оболочка подкреплена малым числом ребер (два или четыре), то в начале происходит местная потеря устойчивости ("прощелкивается" часть оболочки, находящаяся между ребрами), а потом наступает общая потеря . устойчивости. Для оболочек, подкрепленных шестью и более ребрами сразу наступает общая потеря устойчивости. Пунктирной кривой показаны результаты для оболочки с параметром а = 240/г, штрих пунктирной а — 400/г.

Рис. 4

На рис. 4, б представлена зависимость критической нагрузки Ркр от числа, подкрепляющих оболочку ребер

Так как все решения получены в безразмерной форме, то для того, чтобы исследовать устойчивость оболочек изготовленных из различных материалов, необходимо перейти к размерным параметрам, используя (24).

На рис. 4, в представлены зависимости критической размерной нагрузки

Икр от числа, подкрепляющих оболочку ребер для различных материалов.

Исследовалось нахождение конструкции при деформировании в упругой зоне путем сравнения напряжений а,- (интенсивность напряжений) с стг (предел текучести) для различных материалов. Путем перехода к размерным параметрам можно проанализировать при каком значении параметра а справедливы полученные исследования устойчивости.

Так как во многих работах при исследовании ребристых оболочек используются уравнения в смешанной форме, то в четвертой главе приводится вывод уравнений в смешанной форме для оболочек, подкрепленных узкими ребрами с помощью метода вариационных предельных преобразований. Дело в том, что такие уравнения традиционным способом получаются при некоторых упрощениях. Используем соотношения (3)-(5) и уравнения равновесия для оболочек ступенчато-переменной толщины модели Кирхгофа-Лява.

Ввёдем функцию напряжений в срединной поверхности оболочки Ф(лг, у) по правилу

хг ,д2Ф \г ,э2Ф АГ ,д2Ф ду2 У д.г2 дхду

Деформации имеют вид(1), а вх,Ёу,'ёху - деформации, выраженные

через усилия №х, Ыу, №ху и, в конечном счете (с учетом (28)), выраженные через функцию Ф » ¡V:

5 а2г

1 Гэ2ф дЧ)

Е Ц я 2 дх )

1 (д2Ф д2ф"

дх2 ' ду

дх2

5 аУ, ,2 '

1и-Р ду1 (29)

2(1 + ц)52Ф _ 5 д2Ш е =—ь—^-+2-=-;

** Е дхду И+Рдхду Моменты МХ,Му,Мху, исходя из (29) будут иметь вид

- дгФ

ез ?

ду2 1-ц2

а2Ф £7,

Му^г—5-4-

&с2 1-р2

дхг

д2Ш ду2 дх2

\

ду2 д2^

^ д2Ф К]2 д2Ш

(30)

1лу

дхду 1 + р. дхду'

где

£2

-у-

12

5

к

(31)

к+Р * и"1"1 Л + F

Для вывода уравнений в смешанной форме используем функционал Алумяэ I аЬ

00 _ _ (32)

+2Мхкх, -А/^,,+2Мук22 ~Мукг2 + -МхукХ2 ~2д№)фс<1у.

где Ых,Ыу,Ыху имеют вид(28); гх,£у,гху ~ вид(1); е^Е^е

у^ху

X ' "у ' "лу

•вид

12 :

*12=- 2

Э2Г

(29); Мх,Му,Мф -вид(30);

/ -Г ^ ^ г

Найдем первую вариацию функционала (32) и приравняем ее к нулю. До преобразования вариационного уравнения, в результате которого под знаком двойного интеграла не будет вариаций от производных искомых функций IV и ф, разобьем область занимаемую оболочкой на части с постоянной толщиной и введем обозначения, например для ё^,

Бх ~ ех + Ех > х Е

(д2Ф о2ф\ г/*2

ду2 ^ дх2

Е

д'Ф д'Ф ду2 Ц дх2

Р дЬУ

&г

г/1 _

в* + ; е" =

Й1 _ „!

1=1

6^ =

Б*

Е

ду'

—ц-

г*2

7=1

- £1

р/ Г а2лч =2

ег =

Е

д'Ф д'Ф -ц-

йс

„а2г, ^'(а^Ф аУ

(33)

+51 дх2'

=ех + ех •

После проведения преобразований вариационного уравнения, считая

бI/, 5У, 5Ж произвольными, из равенства нулю двойного интеграла получаем уравнения равновесия

* дх

(д2Ф д!У д2Фд1Г) д(в2ФдW д2Ф дЖ\ ду2 дх дхду ду ) ду! дх2 ду дх ду дх )

1

+ -к

д2Мх , д2Му |

дх'

ду1 дхду ]=1 дх2

" » д2М

м ду'

=1 дхду

т д2МП1 - » т д2М'; _

/=1 ,=1/=1 дгду

= 0;(34>

А,

дхду ду2 дх2 ду2 ду2 дхду м ду_м Ос_¿=1 юду_

т д2еП1 » т д2г^

и кроме краевых условий на контуре оболочки, получим еще краевые условия на боковой поверхности ребер

при X — , х — Ь^ при >- = сг, у = с1г-

ем*' дМ™

——+2—2--2У-~5(х-г>) = 0;

& ]Г > Му -и, Бх -и.

Если ребра узкие, то можно считать, что условия (35) выполняются при а} <х<Ьр а условия (36) - при с(<у<<В этом случае, для получения уравнений в смешанной форме для обсгаочех, подкрепленными узкими ребрами, нужно подчеркнутые члены в уравнениях (34) принять равными нулю и перейти

от — к дельта-функциям, используя соотношения (10).

Таким образом получим уравнения в смешанной форме, для оболочек, подкрепленных узкими ребрами

А Л ЛоЬс2ак2

и=1

у=1

/я

£

Iх 2 2 — Эх ду 0=1

=1

а4ж

у=1 ) дх /=1 ду у=1

с I дх ду

(37)

¿=1

) 1 Г а4Ф Г

) Е

/=1 У

а4<Ь т ~ • Л4<Ь "__

ЧУ у=1 йг ,=1

= 0.

Если ребра вводятся с помощью дельта функций, то деформации и моменты принимают вид

- 1

д'Ф д2Ф^

ду'

м

Р^(д2Ф д2Ф

а*2 11 аи2

+ £

1=1

дх =2

1

5 7

ду2 дх2

эта^ ---р

ау

дх1 11 ду2

д2№ д»

дх* ду~ ) ;=1 2

, а2Ф ш\ (дгж

а2^ а2г Ф2 ас2

■Ч—Г+ 2 1

. 1-ц2! щ

'а2^ а2^

—Т-Н1—Т

1Ф2

8(х-ху); (38)

5(х-ху);

д2Ш

о Щ^^Ф. мо ^

у Е дхду у дхду

1

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие

выводы:

1. Методом вариационных предельных преобразований получены уравнения равновесия для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами (введенных с помощью дельта-функций), с учетом геометрической нелинейности как с учетом поперечных сдвигов (модель Тимошенко-Рейснера), так и без учета поперечных сдвигов (модель Кирхгофа-Лява).

2. Если не учитывать поперечные сдвиги, то в уравнениях равновесия отсутствуют члены, учитывающие крутильную жесткость ребер. При учете поперечных сдвигов, такие члены в уравнениях равновесия присутствуют.

3. Как показали исследования, учет сдвиговой и, особенно, крутильной жесткости ребер существенно сказывается на НДС и устойчивости ребристых оболочек. Кроме того, при исследовании устойчивости ребристых оболочек существенным становится учет поперечных сдвигов. Поэтому для исследования НДС и устойчивости оболочек, подкрепленных узкими ребрами, необходимо использовать уравнения равновесия, учитывающие поперечные сдвиги (модель Тимошенко-Рейснера).

4. Разработанная методика расчета оболочек, подкрепленных узкими ребрами, и составленный комплекс программ для ЭВМ позволяет исследовать местную и общую потерю устойчивости оболочки и их взаимосвязь, что и показано в работе на примере расчета конкретных ребристых оболочек.

5. Показано, что, если оболочка подкреплена малым числом ребер (2—4 ребра), то в начале происходит местная потеря устойчивости ("прохлопывание" панели между ребрами), затем - общая потеря устойчивости. Для оболочек, подкрепленных большим числом ребер (более 6), сразу происходит общая потери устойчивости.

6. Наличие местной потери устойчивости зависит не только от размеров панели между ребрами, но и от общих размеров оболочки, жесткости ребер, места нахождения этой панели и кривизны оболочки.

7. Проведено исследование влияния различных факторов на НДС и устойчивость ребристых оболочек и исследованы характерные особенности НДС ребристых оболочек.

8. Показано, что при выводе уравнений е смешанной форме для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, традиционным способом приходится вводить ряд упрощающих задачу предположений, что вносит определенную погрешность.

9. Методом вариационных предельных преобразований получены уравнения в смешанной форме для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах

1. Катышевская А.К., Коробейников A.B. Уравнения равновесия для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами // Труды молодых ученых, ч. 1. СПбГАСУ. СПб. 1999. с. 7-11.

2. Карпов В.В., Катышевская А.К. О погрешности, возникающей при введении ребер по линии // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. СПбГАСУ. СПб. 1999. с. 82-88.

3. Карпов В.В., Катышевская А.К. Распределение усилий и моментов вдоль ребер у пологих ребристых оболочек // Доклады 57-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, ч. I. СПбГАСУ. СПб. 2000. с. 38-39.

4. Карпов В.В., Катышевская А.К. Уравнения в смешанной форме для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами, при конечных прогибах // Труды молодых ученых, ч. 2. СПбГАСУ. СПб. 2000. с. 81-87.

Введение.

Глава 1. Математические модели пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами, при конечных прогибах.

1.1. Основные соотношения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах (модель Кирхгофа-Лява).

1.2. Два варианта краевых задач для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины (модель Кирхгофа-Лява).

1.3. Уравнения равновесия для оболочек, подкрепленных узкими ребрами (модель Кирхгофа-Лява).

1.4. Основные соотношения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах (модель Тимошенко-Рейснера).

1.5. Два варианта краевых задач для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины (модель Тимошенко-Рейснера).

1.6. Уравнения равновесия для оболочек, подкрепленных узкими ребрами (модель Тимошенко-Рейснера).

1.7. Выводы.

Глава 2. Методика решения уравнений равновесия для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами, при конечных прогибах.

2.1. Уравнения равновесия в перемещениях и безразмерной форме для оболочек, подкрепленных узкими ребрами.

2.2. Сведение решения краевой задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений с помощью метода Бубнова-Галеркина.

2.3. Метод последовательных нагружений для линеаризации систем алгебраических уравнений.

2.4. Программная реализация методики расчета напряженно деформированного состояния и устойчивости ребристых оболочек.

2.5. Выводы.

Глава 3. Выбор математической модели пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами, при исследовании местной и общей потери устойчивости таких оболочек.

3.1. Влияние учета сдвиговой и крутильной жесткости ребер на напряженно деформированное состояние и устойчивость ребристых оболочек.

3.2. Влияние учета поперечных сдвигов на напряженно деформированное состояние и устойчивость ребристых оболочек.

3.3. Выбор математической модели для оболочек, подкрепленных узкими ребрами.

3.4. Распределение нормальных усилий и изгибающих моментов вдоль ребер в ребристых оболочках.

3.5. Напряженно деформированное состояние и устойчивость ребристых оболочек при различном числе подкрепляющих ребер.

3.6. Анализ потери устойчивости ребристых оболочек при различных материалах их изготовления.

3.7. Характер распределения нормальных напряжений вдоль ребра в различных слоях ребристой оболочки по толщине.

3.8. Выводы.

Глава 4. Уравнения в смешанной форме для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами, при конечных прогибах.

4.1. Уравнения в смешанной форме для оболочек ступенчато-переменной толщины.

4.2. Некоторые замечания о выводе уравнений в смешанной форме для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, традиционным способом.

4.3. Вывод уравнений в смешанной форме для оболочек ступенчато-переменной толщины вариационным методом.

4.4. Применение дельта-функций как предельных функций в окончательном виде разрешающих уравнений для оболочек с разрывными параметрами.

4.5. Метод вариационных предельных преобразований вывода уравнений для оболочек с разрывными параметрами.

4.6. Вывод уравнений в смешанной форме для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, вариационным методом.

4.7. Выводы.

Ребристые оболочки находят большое применение в различных областях техники - самолетостроении, судостроении, машиностроении, строительстве. Так как жесткость конструкции в большей степени зависит от высоты ребер, то, в основном, оболочки подкрепляются узкими ребрами, места расположения которых задаются с помощью дельта-функций. При исследовании устойчивости таких оболочек с учетом геометрической нелинейности, когда исследуется поведение конструкции в экстремальных условиях, особенно ярко проявляются неточности математической модели. Хотя в большинстве работ, относящихся к исследованию напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости ребристых оболочек, рассматриваются узкие ребра, введенные с помощью дельта-функций, полного исследования влияния на устойчивость таких факторов как учет сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов не проведено. Уравнения в смешанной форме выведены при существенно упрощающих математическую модель допущениях. Не исследована взаимосвязь местной и общей потери устойчивости ребристых оболочек.

Поэтому совершенствование математической модели для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, и проведение исследований влияния различных факторов на устойчивость таких оболочек является актуальной задачей.

Основные идеи ребристых оболочек высказаны в конце 40-х годов В.З.Власовым [16] и А.И.Лурье [69]. В их работах заложены два основных подхода к исследованию ребристых оболочек. В.З. Власов рассматривал ребристую оболочку как контактную систему, состоящую из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье рассматривал ребра и обшивку как одно целое. Используя вариационный принцип, получал уравнения равновесия и естественные граничные условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из оболочки (обшивки) и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов, либо тонкостенных стержней (В.З. Власов), либо стержней Кирхгофа-Клебша (А.И. Лурье). Третий подход к ребристой оболочке основан на сведении ее к конструктивно-ортотропной схеме [85, 93].

В конце 60-х годов П.А. Жилин [30, 31] заметил, что при втором подходе (подход А.И. Лурье) привлекаются две различные технические теории (теория оболочек и теория стержней), гипотезы которых не вполне совместимы. В связи с этим он предложил ребристую оболочку рассматривать как оболочку ступенчато-переменной толщины. При этом учитывается, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не по линии. Аналогичный подход к ребристой оболочке применяется в работах В.В. Карпова [42-46]. Им разработана геометрически нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающая перекрестную работу ребер и наличие в одной конструкции ребер, вырезов и накладок, из которых можно получить все известные ранее подходы и уравнения равновесия.

Современное состояние теории ребристых оболочек характеризуется работами Абовского Н.П., Алфутова H.A., Амиро П.Я., Андреева Л.В., Вайнберга Д.В., Власова В.З., Грачева O.A., Гребня Е.С., Гречанинова И.П., Григолюка Э.И., Гузя А.Н., Енджиевского Л.В., Жилина П.А., Заруцкого В.А., Кабанова В.В., Кантора Б.Я., Карпова В.В., Климанова В.И., Корнеева B.C., Кохманюка С.С., Лесничей В.А., Лурье А.И., Малинина A.A., Малютина И.С., Маневича А.И., Масленникова A.M., Милейковского И.Е., Михайлова Б.К., Моссаковского В.И., Назарова H.A., Немировского Ю.В., ОбоданН.И., Постнова В.А., Преображенского И.Н., Пшеничного Г.И., Рассудова В.М., Семенюка Н.П., Теребушко О.И., Тимашева С.А., Чернышева В.Н., Бискова и Хагисона, By Р. и Уатмера Е., Зингера Д., Фишера С. и Берта С. и др.

За последние 50 лет появилось большое число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами. Однако, подавляющее число публикаций относится к исследованию оболочек в линейной постановке. Чаще всего рассматриваются замкнутые цилиндрические оболочки, решение для которых находится в виде рядов. В работах Амиро И .Я. и Заруцкого В.А. [8, 9] даны обзоры состояния исследования ребристых оболочек как при статической постановке, так и в динамической. Следует отметить еще обзор работ в области статики ребристых оболочек, составленный Кантором Б.Я. и др. [38]. К приведенным выше обзорам, на наш взгляд, следует добавить еще работы ученых Красноярского края: Абовского Н.П., Еджиевского JI.B. и др. [1-3, 29, 103], а также работы Карпова В.В. [42-49], кроме того работы Тимашева С.А. [96] и Климанова В.И. [62].

Исследования в области устойчивости ребристых оболочек, как правило, выполняются с использованием для описания НДС обшивки теории упругих тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, а для описания НДС ребер - теории тонких стержней Кирхгофа-Клебша. Почти во всех работах принимается, что ребра присоединены к обшивке вдоль линий главных кривизн и передают на обшивку реакции, распределенные вдоль этих линий. В линейной постановке используется статистический критерий устойчивости, и задача сводится к решению систем дифференциальных или интегральных уравнений нейтрального равновесия.

С целью упрощения задачи в конкретных исследованиях пренебрегается некоторыми факторами. Зачастую пренебрегается влиянием сдвиговой и крутильной жесткости ребер на НДС конструкции.

В работе Коротенко H.A. [63] в линейной постановке проводится расчет оболочек с учетом влияния ребер на кручение. Показано, это влияние существенно.

В геометрически нелинейной постановке при определении критических нагрузок разыскивается предельная точка кривых нагрузка-прогиб оболочки [20, 36, 37, 42, 43, 62, 56, 94-96, 100]. В работах Грачева O.A. [23] рассматриваются сферические оболочки в линейной постановке с учетом сдвиговых деформаций (модель типа Тимашенко). Исследовано влияние сдвиговых деформаций на критические нагрузки в зависимости от эксцентриситета ребер. В работе Климанова В.И. и ТимашеваС.А. [62] дан вывод нелинейных уравнений и условий сопряжения для гибких пологих ортотропных оболочек на прямоугольном плане с учетом упругих и неупругих деформаций, линейной и нелинейной ползучести материала, несовершенств формы поверхности. В детерминированной и стохастической постановках решены новые задачи нелинейного изгиба, устойчивости, закритического поведения и динамики пологих оболочек, скрепленных с опорными ребрами и оболочек, подкрепленных ортогональной сеткой ребер. Эта работа является естественным продолжением работы Тимашева С.А. [96].

Единичные функции для задания дискретности толщины пластин и оболочек применяются в работах [2, 29, 30, 36, 42, 83]. Причем, в работах Абовского Н.П., Еджиевского JI.B. и др. ученых Красноярского края [2, 29, 101, 103] задание дискретной переменности толщины используются как для задач в физически нелинейной постановке, так и геометрически нелинейной. Это работы Чернышева В.Н. [101] и др. При этом могут рассчитываться как оболочки, подкрепленные ребрами, так и ослабленные вырезами. Уравнения пространственной задачи теории упругости для ребристой оболочки в линейной постановке получены в работе [113].

Рассмотрение задачи расчета ребристой оболочки, как контактной задачи в геометрически нелинейной постановке, посвящены работы Теребушко О.И. [94, 95]. Рассматривается часть оболочки между i — m и / +1 — т продольным и j — т и j + 1 —т. поперечным ребрами. На выделенный участок оболочки действует поперечная поверхностная нагрузка q, а по краям действуют силы взаимодействия соседних участков оболочки и подкрепляющих ребер. Используя условие совместности деформаций оболочки и ребра в точках контакта записываются граничные условия для края оболочки, опирающейся на / — е продольное ребро.

В работах Карпова В.В. [42-49] устойчивость ребристых оболочек рассматривается с позиции геометрической нелинейности. Для сведения нелинейных уравнений к последовательности решения линейных уравнений применяется метод последовательных нагружений [76]. При этом определяется и местная, и общая потеря устойчивости во взаимосвязи.

Методам расчета пластин и оболочек посвящено большое число публикаций [7, 12, 31, 35, 36, 41, 48, 49, 76, 82]. Умение применять современные методы, особенно машинно-ориентированные методы, для расчета конструкций настолько стало важным моментом исследования, что все учебники по строительной механике содержат главы, посвященные методам расчета, например [35].

На основе численных методов решены задачи устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек, как с учетом моментности докритического состояния, так и без учета. Основной вывод проведенных исследований сводится к тому, что с увеличением числа ребер влияние моментности докритического состояния оболочек снижается [80].

В работе Постнова В.А., Корнеева В.С. [80] за отдельный элемент принят усеченный конус, что позволяет с успехом решать задачи устойчивости для оболочек вращения.

В работах Карпова В.В. для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных - уравнений равновесия ребристых оболочек используется метод последовательных нагружений (МЛН) в сочетании с методом Бубнова-Галеркина. Карповым В.В. предложен метод последовательного наращивания ребер, являющийся разновидностью метода продолжения решения по параметру, где за параметр взята высота ребер [48]. Таким образом, зная НДС оболочки при некотором значении параметра нагрузки, можно находить поправки к НДС в зависимости от изменения высоты ребер, т.е. в зависимости от изменения жесткостных характеристик оболочки. Причем, этот метод может быть применим и для расчета оболочек с вырезами.

Как показал анализ работ, большинство задач для ребристых оболочек, рассматривается в линейной постановке, а те, что решены в геометрически нелинейной постановке, не учитывают поперечные сдвиги. Так как при проектировании облегченных, но высокопрочных конструкций, необходимо наиболее точно исследовать НДС и устойчивость облегченных конструкций, содержащих ребра, то разработка математической модели для оболочек, подкрепленных узкими ребрами с учетом сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и проведение исследования на основе этой модели НДС и устойчивости таких конструкций является актуальной задачей.

Цель диссертации состоит в

- разработке математической модели пологой оболочки, подкрепленной узкими ребрами, наиболее полно учитывающей особенности напряженно деформированного состояния (НДС) ребристых оболочек

- проведении вычислительного эксперимента для анализа влияния различных факторов (сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов) на НДС ребристых оболочек и выбора наиболее точной математической модели таких оболочек.

Новыми научными результатами и основными положениями, выносимыми на защиту являются:

- на основе метода вариационных предельных преобразований вывод уравнений равновесия и уравнений в смешанной форме для оболочек, подкрепленных узкими ребрами (модель Кирхгофа-Лява);

- вывод уравнений равновесия для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, с учетом поперечных сдвигов (модель Тимошенко-Рейснера);

- анализ влияния различных факторов (учет сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов) на НДС и устойчивость ребристых оболочек;

- исследование местной и общей форм потери устойчивости ребристых оболочек.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений равновесия и в смешанной форме, использованием для решения полученных уравнений детально изученных методов. Сравнение с результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорит о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов

Разработанное математическое и программное обеспечение расчетов оболочек, подкрепленных узкими ребрами, при конечных прогибах может найти применение в научно-исследовательских, проектных и конструкторских организациях при расчетах устойчивости деталей машин, конструкций и сооружений оболочечного типа.

Все полученные в работе результаты численного эксперимента, приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций.

Результаты работы нашли внедрение в АО «Саратовский авиационный завод».

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на 57-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (февраль 1999г.), на 53-й и 54-й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ май 1999г., май 2000).

Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры Прикладной математики и информатики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета под руководством д. ф.-м. н., профессора Б.Г.Вагера (май 2000г.).

Публикации Основное содержание диссертации опубликовано в четырех научных статьях.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 113 наименования и трех приложений. Работа изложена на 128 страницах машинописного текста, иллюстрирована 14 рисунками и содержит 2 таблицы. В приложение вынесены коэффициенты полученных в работе уравнений и программа расчета на ЭВМ.

выводы:

1. Методом вариационных предельных преобразований получены уравнения равновесия для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами (введенных с помощью дельта-функций), с учетом геометрической нелинейности как с учетом поперечных сдвигов (модель Тимошенко-Рейснера), так и без учета поперечных сдвигов (модель Кирхгофа-Лява).

2. Если не учитывать поперечные сдвиги, то в уравнениях равновесия отсутствуют члены, учитывающие крутильную жесткость ребер. При учете поперечных сдвигов, такие члены в уравнениях равновесия присутствуют.

3. Как показали исследования, учет сдвиговой и, особенно, крутильной жесткости ребер существенно сказывается на НДС и устойчивости ребристых оболочек. Кроме того, при исследовании устойчивости ребристых оболочек существенным становится учет поперечных сдвигов. Поэтому для исследования НДС и устойчивости оболочек, подкрепленных узкими ребрами, необходимо использовать уравнения равновесия, учитывающие поперечные сдвиги (модель Тимошенко-Рейснера).

4. Разработанная методика расчета оболочек, подкрепленных узкими ребрами, и составленный комплекс программ для ЭВМ позволяет исследовать местную и общую потерю устойчивости оболочки и их взаимосвязь, что и показано в работе на примере расчета конкретных ребристых оболочек.

5. Показано, что, если оболочка подкреплена малым числом ребер (2-4 ребра), то в начале происходит местная потеря устойчивости («прохлопывание» панели между ребрами), затем - общая потеря устойчивости. Для оболочек, подкрепленных большим числом ребер (более 6), сразу происходит общая потери устойчивости.

6. Наличие местной потери устойчивости зависит не только от размеров панели между ребрами, но и от общих размеров оболочки, жесткости ребер, места нахождения этой панели и кривизны оболочки.

7. Проведено исследование влияния различных факторов на НДС и устойчивость ребристых оболочек и исследованы характерные особенности НДС ребристых оболочек.

8. Показано, что при выводе уравнений в смешанной форме для оболочек, подкрепленных узкими ребрами, традиционным способом приходится вводить ряд упрощающих задачу предположений, что вносит определенную погрешность.

9. Методом вариационных предельных преобразований получены уравнения в смешанной форме для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек // Под ред. Абовского Н.П.: Наука, 1978.- 228 с.

2. Абовский Н.П., Чернышов В.Н. Павлов A.C. Гибкие ребристые пологие оболочки: Учеб. пособие для вузов. Красноярск: Краснояр. политех, ин-т, 1975. - 128 с.

3. Абовский Н.П. Смешанные вариационные уравнения для пологой ребристой оболочки // Строительная механика и расчет сооружений.-1969.-№4/-с. 20-22.

4. Алумяэ H.A. Применение обобщенного вариационного принципа Кастильяно к исследованию послекритической стадии оболочек. Прикл. матем. и механ., 1950, т. 14, №1, с. 93-98.

5. Алфутов H.A. Устойчивость цилиндрической оболочки подкрепленной поперечным силовым набором и нагруженной внешним равномерным давлением // Инженерный сборник, 1956. т. 23. - с. 36-46.

6. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Поляков П.С. Ребристые цилиндрические оболочки, Киев: Наукова думка, 1973. 248 с.

7. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Методы расчета оболочек. Т.2. Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1980. 368 с.

8. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области устойчивости ребристых оболочек // Прикл. механика. 1983. - 19, № 11, - с. 3-20.

9. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области динамики ребристых оболочек // Прикладная механика. 1981. т. 17. № U.c. 3-20.

10. Андреев Л.В., ОбоданН.И., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек при неосимметричном деформировании. М.: Наука, 1988. 208 с.

11. Борзых Е.П. Алгоритмы численного расчета пологой ортотропной оболочки на прямоугольном плане с прямоугольным отверстием // Тр. ЦНИИСК. 1970. вып. 9. С.104-109.

12. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976.-278 с.

13. Валишвили Н.В., СилкинВ.Б. Применение метода прямых для решения нелинейных задач динамики пологих оболочек. // МТТ 1970.-N3-C.140-143.

14. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек // Строительная промышленность 1932. №11. С. 36-37; №12. С. 21-26.

15. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике М. Л.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

16. Власов В.З. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней. // Изв. АН СССР. ОТН. 1949.- №6 - С.819-938.

17. Вольмир A.C. Устойчивость деформированных систем. М: Наука, 1967.-984 с.

18. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

19. ВоровичИ.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 376 с.

20. Гавриленко Г.Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии. // Устойчивость пластин и оболочек. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1981. -С.20-22.

21. ГолдаЮЛ., Преображенский И.Н., ШтукаревВ.С. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями. // Прикладная механика. 1973. №1. с. 27-32.

22. Грачев O.A., Игнатюк В.И. Об устойчивости трансверсально изотропных ребристых оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений. 1986, - №3 М.: Стройиздат. с. 61-64.

23. Грачев O.A. О влиянии эксцентририситета ребер на устойчивость оболочек при внешнем давлении. // Прикладная механика.-1985.—Т21,№ 1-С.53-6

24. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек// Известия АН СССР. Серия "Механика" 1965. - N3. -С.81-92.

25. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: метод продолжения решения в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. 232 с.

26. Григолюк Э.И., Филыитинский JI.A. Перфорированные пластины и оболочки. М. Наука. 1970. 556 с.

27. Гузь А.Н. Концентрация напряжений около отверстий в тонких оболочках (обзор). // Прикладная математика 1953. - Т.5. вып. 3. - С.1-17.

28. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении системы нелинейных уравнений // Укр. мат. журнал 1953. - Т.5, № 2. С. 196-206.

29. Енджиевский JI.B. Нелинейные деформации ребристых оболочек. Красноярск: Изд. Красноярск, ун-та, 1982. 295 с.

30. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек. // Изв. АН СССР. "Механика твердого тела", 1970. С. 15-162.

31. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек. // Прочность гидротурбин: Труды ЦКТИ.-Л, 1971 вып.88.-С.46-70.

32. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статистически неопределимых стержневых систем. Саратов.: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. С.296.

33. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. Минск: Вышейшая школа. 1990. 349 с.

34. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. JL: Стройиздат. Ленигр. отделение, 1986.-168 с.

35. Ильин В.П., Карпов В.В. Связанность форм потери устойчивости ребристых оболочек. // Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. -Кутаиси. 1987.

36. Кантор Б.Я., Катарянов С.И., ОфийР.Р. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 1972-80г. // Институт проблем машиностроения АН УССР, 1982. -№ 167.-78 с.

37. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев.: Наукова думка, 1971. 136 с.

38. Конторович Л.В. Один прямой метод приближенного решения задач о минимуме двойного интеграла // Изв. АНСССР, ОМЕН, 1933. №5.

39. Карпов B.B. Петров B.B. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР, сер. МТТ. -1975. -N .-С.189-191.

40. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. Изд-во АСВ; СПбГАСУ. М.; СПб., 1999. 152 с.

41. Карпов В.В. Геометрически нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины // Труды молодых ученых, ч. 5 СПбГАСУ. СПб., 1999. С. 3-17.

42. Карпов В.В. Математические модели оболочек ступенчато-переменной толщины // Совершенствование методов расчета и исследование новых типов железобетонных конструкций: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб, 1999. С. 3-17.

43. Карпов В.В. Некоторые варианты уравнений гибких пологих оболочек дискретно-переменной толщины, полученные вариационным методом. // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр. -Л., 1986.-С.26-34.

44. Карпов В.В. Различные схемы конструктивно-ортотропных оболочек и их применение к расчету оболочек дискретно-переменной толщины. // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Межвуз. темат. сб. трудов Л. ЛИСИ, 1988.

45. Карпов В.В. Метод последовательного наращивания ребер и его применения к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины. // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте. М. Транспорт. 1990. С. 162 167.

46. Карпов B.B, Игнатьев O.B. Метод последовательного изменения кривизны // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз.темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 1996. вып.2. С.131-135.

47. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек. // Расчет пространственных систем в строительной механике. Саратов.: Изд-во Сарат. ун-та, 1972. -С.3-7.

48. Карпов В.В., Михайлов Б.К. Исследование влияния жесткости ребер на устойчивость пологих оболочек с учетом нелинейности деформаций // Численные методы в задачах математической физики.: Межвуз. темат. сб. тр. -Л., 1983. -С.135-142.

49. Карпов В.В., Машков В.А., Филатов В.Н. Термоупругость пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз.темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 1994. С.99-104.

50. Карпов В.В., Филиппов A.C. Выбор шага наращивания ребер при расчете ребристых оболочек методом последовательного наращивания ребер. // Исследования по строительной механике, вып. 6. ПГУПС. СПб. 1993С37-43.

51. Карпов В.В, Игнатьев О.В. Многослойные оболочки, имеющие нерегулярности по толщине // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: Сборник научных докладов / ПГУПС. СПб. 1997. С.109-115.

52. Карпов B.B, Шацков B.B. Некоторые варианты расчета гибких пологих ребристых оболочек. // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр. -JI. 1986. С.34-38 с.

53. Карпов В.В., Катышевская А.К. Уравнения в смешанной форме для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами, при конечных прогибах // Труды молодых ученых, ч. 2. СПбГАСУ. СПб. 2000. С.81-87.

54. Карпов В.В., Катышевская А.К. О погрешности, возникающей при введении ребер по линии // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб. 1999. С.82-88.

55. Катышевская А.К., Коробейников A.B. Уравнения равновесия для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами // Труды молодых ученых, ч. 1. СПбГАСУ. СПб, 1999. С.7-11.

56. КлимановВ.И. Комбинирование методов В.З. Власова и конечных разностей при расчете гибких панелей с ребрами. // Инженерные проблемы строительной механики. -М.: Моск. инж.-строит. ин-т, 1980. -С.33-41.

57. Климанов В.И, Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск.: УНЦ АН СССР, 1985. -291 с.

58. Коротенко H.A. Закритические деформации пологой цилиндрической панели, подкрепленной тонкостенными ребрами // Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструкций., JL1998. С.62-69.

59. Космодамианский A.C. К вопросу определения напряженного состояния упругой среды с криволинейными отверстиями // Прикладная механика. 1966. Т.2. №8. С.40-46.

60. Космодамианский A.C. О напряженном состоянии изотропной пластинки, ослабленной бесконечным рядом эллинтических отверстий // Изв. АН СССР. Механика. 1965. №4. С. 145-147.

61. Кривошеев Н.И., Корнишин М.С. К выводу сеточных уравнений изгиба пластин с отверстиями и пластин ступенчато-переменной толщины. // Изв. Вузов. Строительство и архитектура. Новосибирск. 1970. №8. С.50-54.

62. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, -216 с.

63. Кузнецов В.В. Об использовании метода продолжения решения по длине отрезка интегрирования при расчете круглых гофрированных пластин // Изд. АН СССР Механика твердого тела № 2 -1993. С. 189-191.

64. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. -Л., 1948. -28 с.

65. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. Киев: Донецк: Вища школа, 1979. -152 с.

66. Маневич А.И. К теории связанной потери устойчивости подкрепленных тонкостенных конструкций. // Прикл. математиика и механика, 1982. -42, N2 -С.337-345.

67. Милейковский И.Е., Гречанинов И.П. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек. // Расчет пространственных конструкций: сб. статей. -М.: Стройиздат, 1969. Вып. 12С.168-176.

68. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. Л.: Изд-во. ЛГУ 1980. -432 с.

69. Мупггари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 431 с.

70. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL: Судпромиздат, 1962. 431 с.

71. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. -119 с.

72. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах / Научн. доклад высшей школы. // Строительство -1959 № 1 С.27-35.

73. Перцев А.К., Постнов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1987.316 с.

74. Пирогов И.М. Концентрация напряжений в области отверстия в цилиндрическом резервуаре, испытывающем гидростатическое давление. // Изв. Вузов. Машиностроение. 1963. №7 С.56-61.

75. Постнов В.А., Корнеев B.C. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек. // Прикл. механика, 1976г. -12 № 1 С.27-35.

76. Постнов В.А., Корнеев B.C. Изгиб и устойчивость оболочек вращения. // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. -Тбилиси. Изд-во "Мецниереба", 1975, С.638-644.

77. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. -270 с.

78. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981.-191 с.

79. Приближенное решение операторных уравнений. // М. А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. М. Наука. 1969. 456 с.

80. Прокопов В.К. Скелетный метод расчета оребренной цилиндрической оболочки // Научно-техн. информ. бюллетень -JL: Изд-во ЛПИ, 1957. №12. С. 13-15.

81. Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин. М.: Наука, 1982. 352 с.

82. Рассудов В.М. Деформации пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. // Учен. зап. сарат. ун-та, Саратов, 1956. Т.52. С.51-91.

83. Рекомендации по расчету подкрепленных оболочек положительной кривизны на устойчивость. // Госстрой СССР и др. Свердловск, 1974. С.76.

84. Рикардос Р.Б., Голдманис М.В. Оптимизация ребристых оболочек из композиторов, работающих на устойчивость при внешнем давлении. // Механика композитных материалов., 1980, №3. С.468-475.

85. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев. Наукова Думка, 1968. 887 с.

86. Самарский А.А. Введение в численные методы. // учебн. пособие для вузов. М. Наука. 1987. -288 с.

87. Соломенко Н.С., Абрамян К.Г., Сорокин В.В. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса. Л. Судостроение 1967. -488 с.

88. Статистика и динамика тонкостенных оболочек конструкций. / КармишинАВ., Лясковец В А, Мяченков В.И., Фролов А.Н. -М: Машиностроение, 1975. -376 с.

89. Теребушко О.И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами. // Расчет пространственных конструкций. Сб. статей. -М.: Стройиздат., 1964. -Вып. С.131-160.

90. Теребушко О.И. Устойчивость и оптимальное проектирование пластин, подкрепленных ребрами. // Прикладная механика., 1982., 18., №6. С.69-74.

91. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек. М.: Стройиздат., 1974.-256 с.

92. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука. 1955, 320 с.

93. Филин А.П. Приближенные методы математического анализа, используемые в механике деформируемых тел. Л. Судостроение., 1971.-160 с.

94. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. 384 с.

95. Филиппов Д.С. Влияние учета поперечных сдвигов на устойчивость ребристых оболочек // Доклады 57—й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, ч. 1. СПбГАСУ. СПб. 2000. С.44-46.

96. Чернышенко И.С. К расчету оссимметричных оболочек вращения переменной толщины с учетом физической и геометрической нелинейности. // В кн.: Теория пластин и оболочек. М.: Наука. 1971. С.279-284.

97. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых пологих оболочек. // Автореферат диссерт. на соиск. уч. ст. к.т.н. -Новосибирск., 1980. -19 с.

98. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых оболочек с отверстиями. // Пространственные конструкции в Красноярском крае. -Красноярск. 1981 -С.169-175.

99. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки. // Изв. АН СССР, МТТ, 1979, №4, С. 178-184.

100. Шалашилин В.И., Костриченко А.Б. Об оптимизации параметра продолжения решения нелинейных уравнений. // Тр. 1 Всесоюзн. Симпозиум «Нелинейная теория тонкостенных конструкций и биомеханика». -Кутаиси. 1985. С.482-485.

101. Шереметьев М.П, ПелехБ.Л. К построению уточненной теории пластин. // Инж. журнал -М, 1964. Т.4, вып.З. С.504-509.

102. ByskovE, HansesJ.C. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction. J. Struct. Mech, 1980, 8, № 2, p 205-224.

103. ChrobotB. Mathematical models of ribbed Shells. Studia Geotechnica et Nechanica, vol IV, 1982, № 3 -4 p 55-68.

104. Fisher C.A, Bert C.W. Dynamic buckling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers. Trans ACME. Ser, E, 1973, 40, № 3, p 736-740.

105. KicherT.P, Chao Tung -Lai. -Minimum weight design of stiffened fiber composite cylinders. J. Aircraft, 1971, t.8. № 7, p 562-569.

106. Koiter W.T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures. WTHD Report № 590. August 1976.

107. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells -a review of experiment and theory. Contr. Theory Aircraft struct / Delft, 1972. p.325-357.

108. TennysonR.C. The effects of unreinforced circular cutouts on the buckling of circular cylindrical shells under axial compression. J. of Engineering for industry. Trans ASME, 1968, 90, ser. B, 4.