автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Устойчивость ребристых конических оболочек при учете геометрической нелинейности

□030Б4509

На правах рукописи

Овчаров Алексей Александрович

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕБРИСТЫХ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ УЧЕТЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Специальность 05 23 17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 6 АВГ 2007

Санкт-Петербург 2007

003064509

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Карпов Владимир Васильевич

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Масленников Александр Матвеевич

доктор технических наук, профессор Соколов Евгений Васильевич

Ведущая организация

Петербургский государственный универсию! путей сообщения

Защита состоится 2007 г в ^"часов на заседании

диссертационного совета Д 212 223 03 при ГОУ ВПО

«Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул , д 4, ауд 505 А

Телефакс (812)316-58-72

С диссертацией можно ознакомиться в библиоеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строи тельный университет»

Автореферат разослан « 2f_» C/H>¿Jl 2007]

Ученый секретарь диссертационного совета к т н,доц

И С. Дерябин

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Конические оболочечные конструкции находят большое применение в ракетостроении, самолетостроении, судостроении и строительстве Для придания большей жесткости тонкостенная часть оболочки подкрепляется ребрами, при этом незначительное увеличение веса конструкции существенно повышает ее прочность, даже если ребра имеют малую высоту

Одной из первых работ по устойчивости конических оболочек была работа X М Муштари („Об устойчивости тонкостенных конических оболочек круглого сечения при кручении парами" - В кн. Сборник ночных трудов КАИ - Казань Издательство Казанского авиационного института, 1935 -с 39-40) Кроме этого следует отметить работы А В Саченкова, Н А Алумяэ, Э Н Григолюка, Н В. Валишвили, И Н Преображенского и В 3 Грищакидр

Многие задачи для конических оболочек остаются не решёнными из-за существенных математических трудностей, возникающих при решении исходных дифференциальных уравнений

При решении задач устойчивости конических оболочек в основном применяется метод Эйлера, и задача сводится к отысканию собственных значений Другой метод позволяет перейти от уравнений устойчивости конических оболочек к соответствующим уравнениям для цилиндрических оболочек Во многих работах используется полубезмоментная теория оболочек Кроме того применяются и методы приближённого решения нелинейных уравнений устойчивости Особую трудность вызывают задачи устойчивости подкреплённых конических оболочек в геометрически нелинейной постановке, решения для которых практически отсутствуют

Следовательно, разработка новых более совершенных математических моделей деформирования тонкостенных конических оболочечных конструкций, содержащих ребра, накладки и вырезы, при статическом и динамическом нагружении и новых более удобных алгоритмов их исследования всегда будет актуальной задачей

Цель диссертационной работы. Целью настоящей диссертационной работы является разработка наиболее точной математической модели деформирования конической оболочки и алгоритмов ее исследования Задачи диссертационного исследования.

1 Разработать математическую модель деформирования конической оболочки с учетом

• геометрической нелинейности,

• дискретного введения ребер,

• их сдвиговой и крутильной жесткости,

• поперечных сдвигов,

• инерции вращения

2 Разработать алгоритмы исследования устойчивости конических оболочек при статическом и динамическом нагружении

3 Исследовать напряженно-деформированное состояние и устойчивость ребристых конических оболочек.

Объектом исследования являются ребристые конические оболочки

Предметом исследования являются математические модели деформирования конических оболочек

Общая методология исследования базируется на вариационных принципах механики и вариационных методах

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем

Все результаты включенные в диссертацию являются новыми Получены геометрически нелинейные математические модели деформирования ребристых конических оболочек с учетом таких факторов как дискретное введение ребер, сдвиговая и крутильная жесткость ребер, поперечные сдвиги, инерция вращения Для динамических и статических задач исследования устойчивости разработаны алгоритмы и программные комплексы Проведено исследование напряженно-деформироваНного состояния и устойчивости панелей конических оболочек и усечённых замкнутых и выявлены характерные особенности

Основные положения, выносимые на защиту.

1 Разработана математическая модель деформирования конической оболочки с учетом

• геометрической нелинейности,

• дискретного введения ребер,

• их сдвиговой и крутильной жесткости,

• поперечных сдвигов,

• йнфции вращения.

2. Разработаны алгоритмы решения нелинейных задач для конических оболочек при динамическом нагружении на основе метода Л В Канторовича, Рунге-Кугта, Гаусса и при статическом нагружении на основе метода Рит-ца, метода итераций. Составлен программный модуль для исследования устойчивости ребристых конических оболочек

3 Исследованы особенности напряженно-деформированного состояния панелей ребристых конических оболочек при различных параметрах оболочки (протяженности, угла разворота, близости к вершине). Выявлено, что наибольшие прогибы и напряжения смещены к более широкой части оболочки, при приближении панели к вершине оболочки она становится жестче и критическая нагрузка возрастает, для слабо конических оболочек наблюдается концентрация напряжений вблизи угловых точек.

4 Исследована устойчивость панелей ребристых конических оболочек и выявлено влияние параметров оболочки (угла разворота, жесткости ребер) на критические нагрузки.

5 Исследована устойчивость ребристых конических оболочек при динамическом нагружении и показано, что с увеличением скорости нагружения критические нагрузки возрастают, а время наступления потери устойчивости уменьшается

Достоверность и научная обоснованность результатов диссертации обеспечивается корректной математической постановкой задач исследования, выво-

дом уравнений движения для оболочек ступенчато-переменной толщины вариационным методом, сравнением результатов, полученных автором по различным методикам и с результатами других авторов

Практическая значимость результатов исследования заключается в использовании полученных результатов в научных исследованиях, учебной работе и в проектных организациях, занимающихся расчётами и проектированием тонкостенных конструкций такого типа, например, ОАО СПб ЗНИИГТИ жилищно-граждан-ских зданий Результаты исследования включены в курс лекций для студентов специальностей «Прикладная математика» и «Промышленное и гражданское строительство» СПбГАСУ

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 58-й и 59-й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (2005 г., 2006 г), 63-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 2006 г) Полностью работа докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики под руководством д ф -м н, проф Вагера Б Г (апрель, 2007 г)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы

Одна работа - по перечню ВАК Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 183 наименований, приложений Работа изложена на 160 страницах машинописного текста, содержит 19 рисунков Приложения занимают 73 страницы.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, научные положения, выносимые на защиту, практическая ценность работы и дан обзор литературных источников по теме диссертации

В первой главе получены нелинейные математические модели деформирования ребристых конических оболочек при динамическом нагружении

Рассмотрим замкнутую круговую коническую оболочку с углом конусности 0 толщиной к (рис 1)

Срединная поверхность оболочки принимается за координатную поверхность Оси X, У ортогональной системы координат, направленных по линиям главных кривизн, показаны на рис 1,ось 2 направлена ортогонально срединной поверхности в сторону вогнутости

Для конической оболочки параметры Ляме принимают вид А = 1, В = лет 0,

а кривизны - к = 0, ку = Деформации в координатной поверхности

У V

оболочки выражаются через перемещения и,У,\¥ вдоль осей X, У, Ъ соответственно следующим образом

е -Ш. I (ЁЕ.)

дх+ 2 '

у лбшО дух х 2 ^дгвтб ду х

(1)

дУ

1

=_ _ дЦ У + д(У

^ дх дгвтб ду х дх

1

хеш9 ду

--+ —5—У

Рис 1

Деформации в слое, отстоящем на г от координатной поверхности при учете поперечных сдвигов имеют вид (и2 =и + гу2 = у + гц1у. IV2 = IV)

Ел=ех+г XI! у^=улу+2 г Хи (2) и кроме того

, ,/ ч ( 1 дХУ ^ (3)

* ^ лет в ду X;

Здесь - углы поворота отрезка нормали у координатной поверхности

в сечениях Х02 и УОХ соответственно, /(г) - функция, характеризующая распределение напряжений т^ и хуг вдоль оси г (будет пояснена ниже), к - константа

Функции изменения кривизн Х\,Хг и кручения Хп принимают вид

д\\)х__1_ ч^

дх '%2 «1П0 ду + 'х '

_ дц1у 1 дц, ч

XI2 — ~ + Г ""I

дх хбшО ду х

(4)

Физические соотношения (связь напряжений и деформаций) для изотропного упругого тела имеют вид (закон Гука)

а, = —^Ц-(е; + це*) ст,, = -^у (е"', + цс*) 1-ц 1-ц

= 2(Ч-ц)Г^'Ти= 2(1 + Т>2 ~ 2(1 + и)

Чу

(5)

Здесь Е, (.1 - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки Высоту и месторасположение ребер зададим функцией

т _ н _ п т _ _

;=1 1=1 1=1 7=1

А Л „

Интегрируя напряжения (5) по г в пределах от — — до — + л/, получим

усилия, моменты и поперечные силы, приведенные к срединной поверхности обшивки и приходящиеся на единицу длины сечения,

Ых = О, [(л + 5-) с, + ], Л^ = (72[(а + е) е2 + ^ ],

(/,3

5е, + [12 , ¥1

Г/г3 -Л

М>=С2 5Е2 + —+ У 12 \ / М'2

Г/г3

+ [12 J Ч'|2

,вх = №,3(/1 +г) [ Ч'г +

д №

^ гбпто ду х )

Здесь

е, =£, +(ле,,Е2 +це,,ц/| =%\ + МХг> Ч>2 = Хг +

Е Е VI2 = 2Х\2' С\ = °2 = --5". ^12 = «13 = С23 = :

1-ц2' 12 13"и23"2(1+ц)'

Г, 3 — площадь поперечного или продольного сечения ребер, приходящаяся на единицу длины сечения, статический момент и момент инерции этого сечения, причем

___ 11/2 + 11 _ к/ 2 + 11 _ А/2 + //

Е= | с/г, 5= { гск,3= \г2с!г

Л/2 Л/2 Л/2

Будем считать, что на оболочку действует поперечная нагрузка ц(х,у,1)

Значит искомые функции перемещений £/, V, И' и углов поворота нормали V]/ х, ц/^, будут функциями трех переменных х, У и /

Функционал полной энергии деформации оболочки имеет вид

/ = ¡(¡< - П + А)ск (8)

'о

Здесь К—кинетическая энергия системы, /7 —потенциальная энергия системы, А — работа внешних сил, где

а1,Уг>" Г •.

= | [(" У +{ру)г\хип0с1хс!усь =

2

"I" -уг

о

++ ч/' )]* и/10 (к (1у, (9)

1 " ЛГ

= ДЛ^с, (-Л^ + Л\;,у„ +Л/д2 +2МпХп +

^ I ЗИЛ ^ ( 1 т , -

ГБшО (1хс1у, (]0)

у

В выражении (9), р = — - плотность материала оболочки, точками обозначены производные по переменной Ь = 2п для замкнутой конической оболочки

Если усилия и моменты выразить через деформации, то выражение (10) можно представить в виде

11Д(А + ^де2 + г\ + 2це,Е, + щу^ + -щ| +— I +

Э =

2{Н?)

а, 0

д1ГГ

1 д\¥ сг&8,

6 I ххтЪ су х 1 1 '

+ — + J 12

(х? + х2 +2таг+^Лп)- 2(1 - ц2 )§ ^

х яшО с1х с1у,

(П)

где щ = •

1-Ц

Если оболочка замкнута в вершине, то а\ ~ 0. '

Рассмотрен вариант подкрепления оболочки узкими ребрами После перехода к безразмерным параметрам

, х у « а а о

ЬхятО 4 ^

К =

Ьх51пВУ '-1Г Ж

, —. V. = ——. Ч'у =

1 Т1 Ь

к

Ъх¿шву

Е — ^ А' " ЯА7' Г =

а ъ а Р -

а =—, /> =—г, Г = 4

(12)

^ А2' А3' получим

^ = I 1[(1+ р\и2 + ^2 + а2)+ 2х(им»л + Х2Кч?,)+

а о

(13)

; = )](! + Т^ё2 + + 2цХ.2ёЛ + ц,+ +

+ +2цх2х,х2 +4ИЛ2Х22)"

(14)

Получена нелинейная математическая модель деформирования оболочки без учета поперечных сдвигов и выведены уравнения в смешанной форме

9

Как частный случай получена нелинейная математическая модель деформирования ребристой конической оболочки при статическом нагружении

Таким образом, получена математическая модель деформирования конических оболочек ступенчато-переменной толщины при статическом и динамическом нагружении, учитывающая геометрическую нелинейность, дискретное введение рёбер, их сдвиговую и крутильную жёсткость, поперечные сдвиги и инерцию вращения

Во второй главе рассмотрены алгоритмы исследования полученных нелинейных математических моделей для ребристых конических оболочек Так как уравнения движения (равновесия) представляют собой сложные системы дифференциальных уравнений в частных производных, то все алгоритмы основаны на минимизации функционала полной энергии деформации оболочки

Для динамических задач трехмерный функционал с помощью метода Л В Канторовича сводится к одномерному по временной координате. Из условия минимума этого функционала (первая вариация функционала равна нулю) получены обыкновенные дифференциальные уравнения движения, для решения которых применен метод Рунге-Кутга

В соответствии с методом Л В Канторовича представим искомые

функции С7(^,т|,?), л, (), т!, I), ц,I), (4. П.') в виде V = Ъи{1)Х\{1)У\{1\ V = I К(/)Х2(/)У2(/),

¥ = I Ж(1)ХЗ(/)¥3(1), ух = I РБ(1)Х4(1)Г4(1\

/=1 /-1 (15)

Здесь

£/(/), Г(/), РБ{1), ЛУ(/)—искомые функции переменной 1\Х\{1)-Х5{1)~ известные аппроксимирующие функции переменной удовлетворяющие при £ = 0, 4 = 1 заданным краевым условиям, У1(/)-У5(/) — известные аппроксимирующие функции переменной г|, удовлетворяющие для замкнутых цилиндрических оболочек условиям периодичности

Подставив (15) в выражение Э (14) и выражение К (13) и выполнив интегрирование по переменным £ и Т|, придем к одномерному функционалу J, из условия минимума которого получим уравнения движения

£ [с/(/)е^24(/,У) + Р,у(/)с514(Л./) ]+ —лл(у)=0, /-1 2

У [У{1)СР25{Г^)+ ЛУ(/)СТб(/, У) ] + —Л77(/)=0,

2 (16)

£ ЛГЗ(./)=0,

/-1 2

¿ [{/(/)C513(/,y) + PS(/)C/4(7,y) ]+—AT4{j)=0,

2

—2

¿ [K{/)C51 S(l,J) + PN{l)CJ5(l,J) ]+уЛГ5(У) = О,

J = I, 2, ,7/ Здесь

n

AT\{J)=Y [U{I)CI{I,J)+ V(I)CF2{I,J)+ W(I)CFS(J,I)

+

/-1

+ /)+ PN(l)CS2(j,l) ]+ B,(J),

AT2{J) = £ [f/(/)CF2(/)y)+ F(/)C3(/,J)+ W{l)CFl3{j,l)+

Ы1

+ PS(l)CS3(j,l)+PN(l)C9(l,j) ]+52(J),

AT3(j)=jr [u(/)CF5(/,j)+V(l)CF13(/,j)+fV(/)Cl3(j,l)+

/=1

+ PS(l)C16(/,j)+PN(/}C17(/lj) CP(j)ß}(j)+B3(j),

AT4(J)=£ [[/(/)CS1(/,J)+V(/)CS3(/,J)+W(/}C18(/,J)+ i-i

+ PS{l)C\ 9(7, J)+ PN(l)CJ2{J, i) ] + В4 (j>,

Лr5(j) = 2 [С7(7)С52(7,У)+ V(l)C20(l,j)+ w(l)C21(/,У)+

/=i

+ PS(¡)CJ2(l, J)+ PN(l)C22(l, J) ]+ B, (j>

где

£ [v(iMk)cf3{j,i,k)+w(k)cf4{j,i,k))+

/»1 АГ=1

+ (F(7)W{K)CF(i{J, 1,К) I

/»1 íí=l

+ K(7X V(Kl C4(7,J,^)+¿ {V{L)C5(I,J,K,L)+

¿=1

+tfs^Jcs^/,A:,J)+PN(K)CS7(I,A:, J) )+ W(I)W(K\CFU{J,I,K)+

11

1,К,Ь) )+Р5(/Х^(/^)С5,4(7,/,А')+ + }У(К)С85^,1,К) )+

+ РЫ{1ХУ(к)С87^,1,К)+1¥(к)С8Ъи,1,К) ) I Д3(/)=£ Е К^)+1У{К)С{0(/,У,

/=1 А"=1

+ 2 0(/,и К, У)+ 1У(ь)СП2(1,))+

ы\

¿-1

+ Р5(£)С55(/,К,У) + Р^К)С58{1,А",У) )+ Ж(/Х^(А:ХС14(/, J,K)+

^'(¿)с15(/,У,к,ь) )+РЗ{К)СЗ\О{1,К^)+

¿=1

+ РМ{к)СБ12(1, ЛГ, У) )+ 0(У, /, АГ)+

/»1 К-1 1*1

Для задач статики нелинейные алгебраические уравнения равновесия будут иметь вид

ЛП(у) = 0; ЛГ2(у)=0, ЛГЗ(у) = 0, ЛГ4(у)=0, ЛТ5(у)=0 (18)

так как при статическом нагружении инерционные члены равны нулю, потому что все производные от искомых функций по переменной / равны нулю Уравнения равновесия (18) записываются в виде

Рд(х)-РСР^) = РИ{х), где

х = ([/(/), у{1\ \у{1), Р5(/); ри(1)У , (х)=(а, ,в2,в3,в4,в5)\

Для решения этой системы применяем метод итераций При нагрузке Р\, в начале решается линейная сииема /', (д-)~ЛС7'(/) = 0

Полученное решение подставляется в Bt ,В2, ¿?,, Bi, В} и решается итерационная задача

F,(X,)~P>CP{J)= Г„(Х, до тех пор, пока относительная погрешность не будет меньше заданной неличины Таким образом, при последовательном увеличении нагрузки стротся кривая

«нагрузка Р— прогиб IV» в какой-то точке оболочки, например, в центре оболочки Нагрузка, при которой процесс шераций расходится, соответствует

вершине кривой "р— ¡V" и принимается за критическую нафузку Рч, При

этой нагрузке наступает резкое увеличение прогибов, i е перескок на новое равновесное состояние

В ipeii.en главе приведены результант исследования напряженно- деформированного состояния и устойчивости ребристых конических оболочек при статическом нагруженип

Для анализа особенностей напряженно-деформированного состояния (НДС) панелей конических оболочек был проведен расчет различного вида панелей в

статической постановке при нагрузке (/=-3,7 10 'МГ1а

Панели закреплены по контуру шарнирно-неподвижпо и выполнены из

стали (£ = 2,1 105Л///«,// = 0,3) Толщина панелей /¡~(),01м

11а рис 2-5 представлены графики прогибов W (рис 2, 4) и ншснспвиости напряжений (Т1 (рис 3, 5) при различных параметрах панели (у1ле разворота yt,

размеров а{, а)

Значения входных параметров рашеров at, а , угла разворота у^, угла конусности 0 представлен!.] на рисунках

На рис 2-3 представлены результаты для слабоконичсских оболочек, которые практически совпадают с результатами для aiuuioi пчных цилиндрических оболочек

Характерным для панелей конических оболочек являеюя ю, чю наибольшие перемещения и напряжения смещены от цешра к более широкому краю оболочки По сравнению с панелями цилиндрических оболочек характер распределения прогибов и напряжений плавный, хотя вдоль окружной коордпна1ы при малом угле разворота наблюдается синусоидальная переменное! ь напряжении

<7 = 3,7•!()"% Е = 2.1 10* ,р = 0,3. А = 0,01, Л -

0,0038,я 1500.о - 1510

Рис. 1 Рис. 3

щ = 3,7 10"-. А" = 2,МО' ЛвО.О!, у, .0 = 0,003« ,,)! = №.«■= 70

МВОЩ»™« (СпйЕ.ЩЦ

Рис. <1 Рис. 5

Рассматривался панели конических оболочек шарнирно-неподвИЖНО закрепленные по контуру и находящиеся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки, подкрепленные ребрами высотой ЗА и шириной 2/?. Параметры оболочки, изготовленной из стали, имеют следующие значения: угол конусности © = 0,003588; размеры вдоль оси л я - 1500л», а =1510м (протяженность

оболочки 10 метров); утя разворота оболочки y^ -- .

На рис 6-7 представлены графики «нагрузка д—прогиб \¥» для гладкой оболочки (рис 6), для подкрепленной 4 ребрами по два в каждом направлении (рис. 7)

О 110 0100 0 090

ооао

0 070 0 060 0 050 0 040 0 030 0 020 0010 0 000

0 0000 0 0005 0 0010 00015 00020 00025 00030 00035

W

Рис 6

Зависимость прогиба от нагрузки

Po- W(0 5 0 5) -ЧЬ- W(0 25,0 25)"|

0 12 О 10 0 08 о- 0 06 0 04 0 02 0 00

0 0000 0 0005 0 0010 00015 00020 00025 00030 00035 00040

W

Рис 7

Зависимость прогиба от нагрузки

I-Q- W(0 5,0 5) -о- W(0 25,0 2571

Как видно из рис 6 — 7 подкрепление оболочки существенно увеличивает критическую нагрузку С увеличением угла разворота жесткость оболочки увеличивается и критические нагрузки возрастают Для стальной оболочки протяженностью Юм при толщине 1 см критические нагрузки получились нереально высокими, что говорит о том, что они практически не будут терять устойчивость Для оболочки из оргстекла критическая нагрузка для гладкой оболочки с углом

71

разворота ук =п составит цк =0,6 10~2 МПа, а с углом разворота Ук -

-^ = 0,13 10"2 МПа.

В четвертой главе исследуется устойчивость ребристых панелей конических оболочек при динамическом нагружении Безразмерная нагрузка берется в

виде Р = А I, где А характеризует скорость нагружения. Для анализа достоверности получаемых результатов был проведен расчет панели конической оболочки, отстоящей от вершины на большое расстояние и представляющей собой пластинку

Результаты, критические нагрузки, согласуются с результатами полученными другими авторами

На рис. 8 представлены графики «нагрузка Р—прогиб й7» в центре панели

конической оболочки с параметрами ах =4050 м, а =4059 м,

п

И =0,01 м; Ук~~2> 0 = 0,5235;

Кривая 1 - получена при/1=10, 2—при Л=100

Исследования устойчивости ребристых панелей конических оболочек при динамическом нагружении показали, что с увеличением скорости нагружения критические нагрузки существенно возрастают, а время наступления потери устойчивости сокращается При подкреплении оболочки критические нагрузки так же существенно возрастают

Рис 8

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1 Для конических оболочек разработана математическая модель деформи-рования с учетом

• геометрической нелинейности,

• дискретного введения ребер,

• их сдвиговой и крутильной жесткости,

• поперечных сдвигов;

• инерции вращения

2 Разработаны алгоритмы решения нелинейных задач для ребристых конических оболочек при статическом и динамическом нагружении, состоящие в применении для динамических задач метода Л В Канторовича и метода Рунге-Кутта, а для статических задач из метода Ритца и метода итераций

3 Выявлены особенности деформирования панелей ребристых конических оболочек, заключающиеся в том, что наибольшие напряжения и прогибы смещаются к более широкой части. Для слабоконических оболочек наибольшие напряжения находятся в областях близких к угловым точкам панели и характер деформирования является многоволновый

4 Исследована устойчивость панелей ребристых конических оболочек при различной жесткости подкреплений и различном угле разворота оболочки и показано, что при увеличении угла разворота панели ее жесткость увеличивается и критические нагрузки увеличиваются Наличие ребер существенно увеличивает критические нагрузки

5. Исследована потеря устойчивости замкнутых усеченных конических оболочек и показано, что при симметричной нагрузке и закреплении потеря устойчивости происходит только, если оболочке придать некоторые начальные несимметричные несовершенства

6 Исследования панелей ребристых конических оболочек при динамическом нагружении показали, что с увеличением скорости нагружения критические нагрузки возрастают (запаздывание реакции конструкции на воздействие нагрузки), а время наступления потери устойчивости уменьшается Наличие ребер жесткости существенно повышает критические нагрузки

Основное содержание диссертации изложено в публикациях:

1 Овчаров А А. Математическая модель конической оболочки ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении// Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Межвуз темат сб тр СПбГА-СУ. -СПБ , 2004 —с. 127 -132.

2 Карпов В. В, Овчаров А А Вариационно-параметрический метод исследования конических оболочек ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении// Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Межвуз темат сб тр СПбГАСУ -СПБ ,2004—с 132-138

3 Карпов В В , Аристов Д И , Овчаров А А Особенности напряженно-деформированного состояния панелей ребристых оболочек вращения при динамическом нагружении // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета, Томск, ТГАСУ, 2007. № 1 - с 94 - 102

4 Овчаров А А Компьютерные технологии исследования устойчивости панелей ребристых конических оболочек// Вестник гражданских инженеров СПб, СПб ГАСУ, вып 2(11), 2007 —с 104—111

Подписано к печати 25 04 07 Формат 60x84 1/16 Бум офсетная Уел печ л 1,25 Тираж 100 экз Заказ 77

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет 190005, Санкт-Петербург, ул 2-я Красноармейская, 4

Отпечатано на ризографе 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 5

Введение

Глава 1. Нелинейные математические модели конических оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов

1.1. Основные соотношения геометрически нелинейной теории конических оболочек с учетом поперечных сдвигов

1.2. Соотношения упругости для оболочек ступенчато-переменной толщины

1.3. Оболочки подкрепленные узкими ребрами

1.4. Функционал полной энергии деформации для конических оболочек ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении

1.5. Переход к безразмерным параметрам

1.6. Математическая модель конической оболочки ступенчато-переменной толщины без учета поперечных сдвигов (модель Кирхтофа-Ляве)

1.7. Уравнения движения в смешанной форме для конических оболочек ступенчато-переменной толщины

1.8. Функционал полной энергии деформации конической оболочки при статическом нагружении

1.9. Выводы

Глава 2. Методика решения задач устойчивости для конических оболочек ступенчато-переменной толщины

2.1. Сведение трехмерного функционала полной энергии деформации к одномерному с помощью метода JI.B. Канторовича динамические задачи)

2.2. Системы аппроксимирующих функций

2.3. Минимизация одномерного функционала и получение одномерных уравнений движения

2.4. Применение метода Рунге-Кутта для решения одномерных уравнений движения

2.5. Блок-схема алгоритма и программа расчета на ЭВМ

2.6. Нелинейные уравнения равновесия для конических оболочек ступенчато-переменной толщины

2.7. Методика решения нелинейных алгебраических уравнений равновесия (статические задачи)

2.8. Выводы

Глава 3. Напряжённо-деформированное состояние и устойчивость панелей ребристых конических оболочек

3.1. Характер напряжённо-деформированного состояния панелей конических оболочек

3.2. Обоснование достоверности результатов

3.3. Устойчивость панелей ребристых конических оболочек

3.4. Устойчивость замкнутых усеченных конических оболочек

3.5. Выводы

Глава 4. Устойчивость ребристых конических оболочек при динамическом нагружении

4.1. Неявная схема метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности

4.2. Обоснование достоверности динамических расчетов

4.3. Устойчивость панелей конических оболочек при динамическом нагружении

4.4. Выводы 69 Заключение 70 Список литературы 71 Приложения

Конические оболочечные конструкции находят большое применение в ракетостроении, самолетостроении, судостроении и строительстве. Для придания большей жесткости тонкостенная часть оболочки подкрепляется ребрами, при этом незначительное увеличение веса конструкции существенно повышает ее прочность, даже если ребра имеют малую высоту. По технологическим причинам оболочки могут иметь вырезы, которые зачастую подкрепляются ребрами. Таким образом, в одной конструкции могут быть и ребра, и вырезы, поэтому всю конструкцию необходимо рассматривать как оболочку ступенчато-переменной толщины. Такие конструкции могут подвергаться не только статическим нагрузкам, но и динамическим, и допускать прогибы, соизмеримые с толщиной. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания таких конструкций играют важную роль при проектировании современных машин и аппаратов. Тем не менее поведение тонкостенных конических оболочек, имеющих ребра, накладки и вырезы, с учетом дискретности расположения ребер или вырезов, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и геометрической нелинейности исследованы недостаточно, в виду сложности учета перечисленных выше факторов и решения громоздких нелинейных краевых задач. Поэтому разработка математической модели деформирования конических ребристых оболочек с учётом перечисленных факторов и исследование устойчивости таких оболочек в динамической постановке является актуальной задачей.

Одной из первых работ по устойчивости конических оболочек была работа X. М. Муштари („Об устойчивости тонкостенных конических оболочек круглого сечения при кручении парами". - В кн. Сборник научных трудов КАИ. - Казань: Издательство Казанского авиационного института, 1935. - с. 39-40.). Кроме этого следует отметить работу Муштари X. М. и Саченкова А. В. (Об устойчивости цилиндрических и конических оболочек круглого сечения при совместном действии осевого сжатия и внешнего нормального давления. / Прикладная математика и механика, 1954. т. XVIII, № 6, с. 667-674.)

Следует отметить так же работы Н. А. Алумяэ, Э. Н. Григолюка, X. М. Муштари, А. В. Саченкова, И. Н. Преображенского, Н. В Валишвили и др.

Многие задачи для конических оболочек остаются не решёнными из-за существенных математических трудностей, возникающих при решении исходных дифференциальных уравнений.

При решении задач устойчивости конических оболочек в основном применяется метод Эйлера, и задача сводится к отысканию собственных значений. Другой метод позволяет перейти от уравнений устойчивости конических оболочек к соответствующим уравнениям для цилиндрических оболочек. Во многих работах используется полубезмоментная теория оболочек. Кроме того применяются и методы приближённого решения нелинейных уравнений устойчивости. Особую трудность вызывают задачи устойчивости подкреплённых конических оболочек, решения для которых практически отсутствуют.

В работе Валишвили Н. В. [22] исследуется устойчивость конических оболочек на основе осесимметричной теории. В работе Преображенского И. Н., Грищак В. 3. [138] для исследования устойчивости конических оболочек используется упрощённая теория и получены оценки критической нагрузки qKp 5 qKp= 0,272/1-Е 2 tgO где в - угол конусности, - больший радиус кривизны оболочки

При рассмотрении местного усиления или ослабления необходимо привлекать более сложные модели, чем модель Кирхгофа-Лява. Кроме того, необходимо вместе с расчетами на прочность и устойчивость решать вопросы рационального выбора подкреплений и параметра кривизны. Так главная задача инженерных расчетов при проектировании оболочечных конструкций - избежать потери устойчивости, а это можно сделать путем повышения жесткости подкреплений или увеличения кривизны.

Основные идеи теории ребристых оболочек высказаны в конце 40-х годов прошлого века В.З. Власовым [26] и А.И. Лурье [107]. В их работах заложены два основных подхода к исследованию ребристых оболочек. В.З. Власов рассматривал ребристую оболочку как контактную систему, состоящую из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье рассматривал обшивку и ребра как одно целое. Используя вариационный принцип, получал уравнения равновесия и естественные краевые условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из оболочки (обшивки) и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов, либо тонкостенных стержней (В.З. Власов), либо стержней Кирхгофа-Клебша (А.И. Лурье). Третий подход к ребристой оболочке основан на сведении ее к конструктивно-ортотропной оболочке, путем «размазывания» жесткости ребер по всей оболочке.

В конце 60-х годов П.А. Жилин [57, 58] заметил, что при втором подходе (подход А.И. Лурье) привлекаются две различные технические теории (теория оболочек и теория стержней), гипотезы которых не вполне совместимы. В связи с этим он предложил рассматривать ребристую оболочку как оболочку дискретно-переменной толщины. При этом учитывается, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не по линии.

Задание дискретного изменения толщины пластин и оболочек с помощью единичных функций применяется в работах [3, 21, 54, 57, 58, 137, 176]. В работе Вайнберга Д.В., Ройтфарба И.З. [21] рассматриваются задачи в линейной постановке (1965 г.). В работах Абовского Н.П., Енджиевского Л.В. и других ученых Красноярского края [3, 54] задание дискретной переменности толщины для ребристых оболочек используются как для задач в физически нелинейной постановке, так и геометрически нелинейной. Причем путем задания локальной нулевой жесткости имитируются вырезы.

Аналогичный подход к оболочкам с вырезами используется в работах Преображенского И.Н. [137].

Геометрически нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины (ребра, накладки, вырезы) разработана Карповым В.В. [76-80]. Им доказана эквивалентность подходов Власова В.З. и Лурье А.И. к ребристым оболочкам. Проведено исследование устойчивости ребристых пологих оболочек и оболочек с вырезами с учетом многих факторов, которые раньше не учитывались (учет сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и т.д.). Используя вариационный принцип им было доказано, что краевые условия на боковой поверхности ребер и на краю вырезов (свободный край) можно ввести в уравнения равновесия и при решении задачи добиться их хорошего удовлетворения.

Современное состояние теории ребристых оболочек характеризуется работами Абовского Н.П., Алфутова Н.А., АмироИЛ., Андреева JI.B., Белосточного Г.Н., Вайнберга Д.В., Власова В.З., Вольмира А.С., Гаври-ленкоГ.Д., Грачева О.А., Гребня Е.С., Гречанинова И.П., Григолюка Э.Н., Гузя А.Н., Диаманта Г.Н., Енджиевского JI.B., Жигалко Ю.П., Жилина П.А., Заруцкого В.А., Кабанова В.В., Кантора Б.Я., Карпова В.В., Климанова В.И., Корнеева B.C., Кохманюка С.С., Лесничей В.А., Лурье А.И., Малинина А.А., Малютина И.С., Маневича А.И., Масленникова A.M., Милейковского И.Е., Михайлова Б.К., Моссаковского В.И., Назарова Н.А., Немировского Ю.В., ОбоданН.И., Постнова В.А., Почтмана Ю.М., Преображенского И.Н., Пшеничного Г.И., Рассудова В.М., Семенюка Н.П., Теребушко О.И., Тимашева С.А., Чернышева В.Н., Бискова и Хагисона, By Р. и Уатмера Е., Зингера Д., Фишера С. и Берта С. и др.

Исследования в области устойчивости ребристых оболочек, как правило, выполняются с использованием для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) обшивки теории упругих тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, а для описания НДС ребер - теории тонких стержней Кирхгофа-Клебша. Во многих работах принимается, что ребра присоединены к обшивке вдоль линий главных кривизн и передают на обшивку реакции, распределенные по линиям. В линейной постановке используется статический критерий устойчивости и задача сводится к решению систем Дифференциальных уравнений нейтрального равновесия. Большинство работ относится к исследованию оболочек вращения.

В геометрически нелинейной постановке для задач статики при определении критических нагрузок разыскивается предельная точка кривой «нагрузка-прогиб» оболочки.

Подавляющее число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами, посвящено статике оболочек.

В задачах динамики использованы положения теории, сформулированные при решении задач статики ребристых оболочек. Как и в задачах статики, при изучении динамики ребристых оболочек применяется два подхода, отличающихся по способу учета подкрепляющих оболочку ребер. Первый из них основан на замене рассматриваемой оболочки эквивалентной ей в известном смысле гладкой оболочкой (конструктивно-ортотропная модель). Второй подход основан на учете дискретного размещения ребер, что в ряде случаев позволяет обнаружить те специфические особенности поведения ребристых оболочек при динамическом нагружении, которые нельзя изучить с помощью первого подхода.

Подавляющее большинство работ, посвященных изучению динамики ребристых оболочек, выполнено с использованием расчетной схемы, основанной на прикладной теории оболочек Кирхгофа-Лява и теории стержней Кирхгофа-Клебша. В некоторых работах использована теория оболочек типа Тимошенко и лишь в работе [35] - уравнения пространственной задачи теории упругости. К сожалению, области применимости результатов, полученных на основе прикладных теорий, в большинстве случаев не оговариваются, и вопрос о достоверности результатов, полученных с помощью этих теорий, в особенности при решении нестационарных задач, остается открытым.

При выводе уравнений движения ребристых оболочек с учетом дискретного размещения ребер, как правило, предполагается, что контакт оболочки и ребер осуществляется вдоль линии, хотя ребро имеет конечную ширину, учет которой может повлиять на характер изменения усилий в обшивке вблизи ребер; с другой стороны, учет ширины ребра может привести к существенному уточнению постановки задачи лишь в случае, если будет получено решение соответствующей контактной задачи теории упругости. В настоящее время, насколько нам известно, таких решений нет.

В наиболее общем виде построены уравнения движения ребристых цилиндрических оболочек [8, 56].

Точные решения задач устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении получены для некоторых частных случаев. Опять здесь наиболее полно изучены задачи устойчивости цилиндрических оболочек и в линейной постановке.

В работе Перцева А.К., Платонова Э.Г. [130] для получения уравнений движения использовался вариационный метод. Получены уравнения движения для модели Тимошенко-Рейснера для непологих оболочек постоянной толщины. Исследовано НДС ребристых цилиндрических оболочек и их устойчивость, но рассматривается устойчивость панелей между ребрами, а не вся оболочка.

В работе А.С. Вольмира [31] рассматривается динамическая устойчивость пологих ребристых оболочек, но ребра «размазываются» по всей оболочке (применен метод конструктивной анизотропии).

Анализ устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении показал [8, 60], что с ростом скорости нагружения влияние дискретного размещения ребер увеличивается.

Использование для нужд строительной механики математической схематизации различного рода разрывных процессов и состояний в виде импульсивных функций начато Н.М. Герсивановым [37], с именем которого связано введение так называемых функциональных прерывателей и продолжено работами К.С. Завриева [59], А.Г. Назарова [119], В.В. Новицкого [123], Г.А. Ван Фо Фы [24], Д.В. Вайнберга и И.З. Ройтфарба [21] и др.

Для линейных задач статики разработаны методы решения, основанные на использовании свойств импульсных функций. Это методы, разработанные Михайловым Б.К. [114], Образцовым И.Ф. и ОнановымГ.Г. [127], Рассудовым В.М. [142]. В работе А.М.Масленникова [112] для плит и оболочек, подкрепленных ребрами, разработан матричный алгоритм расчета. Получены матрицы жесткости для сложных элементов в виде ортотропных плит, окаймленных эксцентрично расположенными относительно срединной плоскости плиты стержнями. При использовании МКЭ потенциальная энергия деформации определяется с помощью жесткости отдельных элементов. В рассматриваемом случае за отдельный элемент принимается прямоугольная плита с ребрами по контуру.

Точные аналитические решения уравнений движения получены только для цилиндрических оболочек, усиленных ребрами в одном направлении (продольными или кольцевыми [8]) и для пологих оболочек с прямоугольным планом, также усиленных ребрами в одном направлении [8], причем, в подавляющем большинстве работ использованы упрощенные уравнения (принимается, что на оболочку передаются только радиальные реакции ребер или что ребра работают только на изгиб в радиальной плоскости и растяжение-сжатие.

В настоящее время разработано достаточно большое количество пакетов прикладных программ для расчета разнообразных строительных конструкций на прочность, устойчивость и колебания, которые обладают хорошим сервисом и отражают на экране дисплея весь процесс деформирования. Это отечественные и зарубежные программные комплексы (ПК) - ЛИРА, ANSYS, SCAD, COSMOS-M, ROBOT, ArchiCAD и другие используют для получения решения метод конечных элементов (МКЭ), что позволяет исследовать конструкции не только сложной конфигурации, «но и составные конструкции и целые объекты.

Используя КЭ с большим числом степеней свободы, эти комплексы могут учитывать самые различные факторы, например, геометрическую и физическую нелинейность, дискретность расположения ребер в пластинах и оболочках и другие.

Может сложиться впечатление, что разработка новых математических моделей деформирования пластин и оболочек и алгоритмов их исследования не имеет перспектив, что эти ПК «все могут». Однако, это не так.

Из анализа промышленных программных комплексов следует, что они ориентированы на решение обширного круга инженерных задач, поэтому все типы расчета основаны на классических инженерных представлениях и концепциях.

Следовательно, разработка новых более совершенных математических моделей деформирования тонкостенных оболочечных конструкций, содержащих ребра, накладки и вырезы, при статическом и динамическом нагружении и новых более удобных алгоритмов их исследования всегда будет актуальной задачей.

Цель диссертационной работы. Целью настоящей диссертационной работы является разработка наиболее точной математической модели деформирования конической оболочки и алгоритмов ее исследования.

Задачи диссертационного исследования.

1. Разработать математическую модель деформирования конической оболочки с учетом

• геометрической нелинейности;

• дискретного введения ребер;

• их сдвиговой и крутильной жесткости;

• поперечных сдвигов;

• инерции вращения.

2. Разработать алгоритмы исследования устойчивости конических оболочек при статическом и динамическом нагружении.

3. Исследовать напряженно-деформированное состояние и устойчивость ребристых конических оболочек.

Объектом исследования являются ребристые конические оболочки. Предметом исследования являются математические модели деформирования конических оболочек.

Общая методология исследования базируется на вариационных принципах механики и вариационных методах.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем: Все результаты включенные в диссертацию являются новыми. Получены геометрически нелинейные математические модели деформирования ребристых конических оболочек с учетом таких факторов как дискретное введение ребер, сдвиговая и крутильная жесткость ребер, поперечные сдвиги, инерция вращения. Для динамических и статических задач исследования устойчивости разработаны алгоритмы и программные комплексы. Проведено исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости панелей конических оболочек и усечённых замкнутых и выявлены характерные особенности.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработана математическая модель деформирования конической оболочки с учетом

• геометрической нелинейности;

• дискретного введения ребер;

• их сдвиговой и крутильной жесткости;

• поперечных сдвигов;

• инерции вращения.

2. Разработаны алгоритмы решения нелинейных задач для конических оболочек при динамическом нагружении на основе метода JI. В. Канторовича, Рунге-Кутта, Гаусса и при статическом нагружении на основе метода Ритца, метода итераций. Составлен программный модуль для исследования устойчивости ребристых конических оболочек.

3. Исследованы особенности напряженно-деформированного состояния панелей ребристых конических оболочек при различных параметрах оболочки (протяженности, угла разворота, близости к вершине). Выявлено, что наибольшие прогибы и напряжения смещены к более широкой части оболочки; при приближении панели к вершине оболочки она становится жестче и критическая нагрузка возрастает; для слабо конических оболочек наблюдается концентрация напряжений вблизи угловых точек.

4. Исследована устойчивость панелей ребристых конических оболочек и выявлено влияние параметров оболочки (угла разворота, жесткости ребер) на критические нагрузки.

5. Исследована устойчивость ребристых конических оболочек при динамическом нагружении и показано, что с увеличением скорости нагружения критические нагрузки возрастают, а время наступления потери устойчивости уменьшается.

Достоверность и научная обоснованность результатов диссертации обеспечивается корректной математической постановкой задач исследования, выводом уравнений движения для оболочек ступенчато-переменной толщины вариационным методом, сравнением результатов, полученных автором по различным методикам и с результатами других авторов.

Практическая значимость результатов исследования заключается в использовании полученных результатов в научных исследованиях, учебной работе и в проектных организациях, занимающихся расчётами и проектированием тонкостенных конструкций такого типа, например, ОАО СПб ЗНИИПИ жилищно-гражданских зданий. Результаты исследования включены в курс лекций для студентов специальностей «Прикладная математика» и «Промышленное и гражданское строительство» в СПб ГАСУ и Волг ГАСУ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 58-й и 59-й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (2005 г., 2006 г.), 63-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 2006 г.). Полностью работа докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики под руководством д.ф.-м.н., проф. Вагера Б. Г. (апрель, 2007 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Одна работа - по перечню ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 183 наименований, приложений. Работа изложена на 161 страницах машинописного текста, содержит 19 рисунков. Приложения занимают 73 страницы.

4.4. Выводы

Исследования панелей ребристых конических оболочек при динамическом нагружении показали, что с увеличением скорости нагружения критические нагрузки возрастают (запаздывание реакции конструкции на воздействие нагрузки), а время наступления потери устойчивости уменьшается. Наличие ребер жесткости существенно повышает критические нагрузки по сравнению со статическими нагрузками. При малой скорости нагружения (А < 10) критические нагрузки, найденные при динамическом нагружении, практически совпадают с критическими нагрузками при статическом нагружении. Учет инерции вращения не оказывает влияние на устойчивость оболочки.

Заключение

По работе можно сделать следующие выводы

1. Для конических оболочек разработана математическая модель деформирования с учетом

• геометрической нелинейности;

• дискретного введения ребер;

• их сдвиговой и крутильной жесткости;

• поперечных сдвигов;

• инерции вращения.

2. Разработаны алгоритмы решения нелинейных задач для ребристых конических оболочек при статическом и динамическом нагружении, состоящие в применении для динамических задач метода JI. В. Канторовича и метода Рунге-Кутта, а для статических задач из метода Ритца и метода итераций.

3. Выявлены особенности деформирования панелей ребристых конических оболочек, заключающиеся в том, что наибольшие напряжения и прогибы смещаются к более широкой части. Для слабоконических оболочек наибольшие напряжения находятся в областях близких к угловым точкам панели и характер деформирования является многоволновый.

4. Исследована устойчивость панелей ребристых конических оболочек при различной жесткости подкреплений и различном угле разворота оболочки и показано, что при увеличении угла разворота панели ее жесткость увеличивается и критические нагрузки увеличиваются. Наличие ребер существенно увеличивает критические нагрузки.

5. Исследована потеря устойчивости замкнутых усеченных конических оболочек и показано, что при симметричной нагрузке и закреплении потеря устойчивости происходит только, если оболочке придать некоторые начальные несимметричные несовершенства.

6. Исследования панелей ребристых конических оболочек при динамическом нагружении показали, что с увеличением скорости нагружения критические нагрузки возрастают (запаздывание реакции конструкции на воздействие нагрузки), а время наступления потери устойчивости уменьшается. Наличие ребер жесткости существенно повышает критические нагрузки. При малой скорости нагружения (А < 10) критические нагрузки при статическом и динамическом нагружении практически совпадают. Оказалось, что учет инерции вращения не оказывает влияния на напряженно-деформированное состояние и устойчивость ребристых конических оболочек.

1. Абовский Н.П. Смешанные вариационные уравнения для пологой ребристой оболочки // Строительная механика и расчет сооружений. 1969.№4.-С. 20-22.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Под ред. Н. П. Абовского М.: Наука, 1978.-228 с.

3. Абовский Н.П., Чернышов В.Н., Павлов А.С. Гибкие ребристые пологие оболочки: Учеб. пособие для вузов. Красноярск, 1975. - 128 с.

4. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояния равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // ПММ. Т. 13. 1949. Вып. 1.-С. 95-107.

5. Алумяэ Н.А. Одна вариационная формулировка для исследования тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // ПММ. Т. 14. 1950. Вып. 2. С. 197-203.

6. Алфутов Н.А. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной поперечным силовым набором и нагруженной внешним равномерным давлением // Инженерный сборник. 1956. Т. 23. С. 36-46.

7. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области динамики ребристых оболочек // Прикладная механика. 1981. Т. 17. № 11. С. 3-20.

8. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. Т. 2. Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1980. - 368 с.

9. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Экспериментальное и теоретическое определение собственных частот колебаний подкрепленных цилиндрических оболочек // Прикладная механика. 1977. Т. 13. № 10. -С. 6-13.

10. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Поляков П.С. Ребристые цилиндрические оболочки. Киев: Наукова думка, 1973. - 248 с.

11. Андреев Л.В., Ободан Н.И., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука, 1988. - 208 с.

12. Андреев JI.B., Павленко А.В. Экспериментальные исследования влияния параметров оболочки и подкрепления на величину критической нагрузки при импульсном внешнем давлении // Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск. 1975. № 19. С. 147-150.

13. Бакунин В.Н., Образцов И.Ф., Потапахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек. М.: Наука, 1998. - 456 с.

14. Безухое Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. -М.: Высшая школа, 1968. 512 с.

15. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-448 с.

16. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. М.:Наука,1983. - 328 с.

17. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956.

18. Борзых Е.П. Алгоритмы численного расчета пологой ортотропной оболочки на прямоугольном плане с прямоугольным отверстием // Тр./ЦНИИСК, 1970. Вып.9. С. 104-109.

19. Броутен Ф., Олмрос Б. Потеря устойчивости цилиндрических оболочек с отверстиями // Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т. 8. № 2. С. 56-62.

20. Бубнов КГ. Строительная механика корабля. Ч. 1-2. СПб., 1912,1914.

21. Вайнберг Д.В., Ройтфарб И.З. Расчет пластин и оболочек с разрывными параметрами // Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1965. Вып. 10. - С. 39-80.

22. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976.-278 с.

23. Валишвили Н.В., Силкин В.Б. Применение метода прямых для решения нелинейных задач динамики пологих оболочек // МТТ. 1970. №3. -С.140-143.

24. Ван Фо Фы Г.А. Приложение функций Матье и функций Дирака к исследованию пластин и оболочек // Прикладная механика. 1958. Т.2. Вып. 3.

25. Власов В.З. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней // Изв. АН СССР. ОТН. 1949. № 6. С. 819-838.

26. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек // Строительная промышленность. 1932. № 11. С. 33-37; №12.-С. 21-26.

27. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.; JL: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

28. Волошенко-Климовицкий Ю.А. Динамический предел текучести. М.: Наука, 1965.

29. Волъмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. -419 с.

30. Волъмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

31. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. - 376 с.

32. ВуР.У., УитмерЕ.А. Аналитические и экспериментальные исследования нелинейных нестационарных деформаций подкрепленных панелей // Ракетная техника и космонавтика. 1975. Т.13. № 9. С. 53-62.

33. Гавриленко Г.Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии // Устойчивость пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981.-С. 20-22.

34. Галиев Ш.У. Напряженное состояние периодически подкрепленного полого цилиндра при действии подводной волны // ДАН УССР. Сер. А. 1976. №4.-С. 325-329.

35. Герсеванов Н.М. Функциональные прерыватели в строительной механике и их приложение к расчету ленточных фундаментов // ВИОС «Основания и фундаменты». -М.: Стройиздат, 1933. Сб. № 1. С. 7-15.

36. Глухова Т.В. Уравнения движения пологих ребристых оболочек // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Л., ЛИСИ. 1986. - С. 38-42.

37. Глухова Т.В. Устойчивость гибких пологих ребристых оболочек при динамическом нагружении. Автореф. дисс. канд. техн. наук. ЛИСИ. Л., 1989. 22 с.

38. Голда Ю.Л., Преображенский КН., Штукарев B.C. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями // Прикладная механика. 1973. № 1. С. 27-32.

39. Гольденвейзер А.А. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953.

40. Грачев О.А. О влиянии эксцентриситета ребер на устойчивость оболочек при внешнем давлении // Прикладная механика. 1985. Т. 21. № 1. С. 53-60.

41. Грачев О.А., Игнатюк В.И. Об устойчивости трансверсально-изотропных ребристых оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. № 3. М.: Стройиздат. - С. 61-64.

42. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 3. С. 81-92.

43. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. -359 с.

44. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин. М., Машиностроение, 1988. - 287 с.

45. Григолюк Э.И., Фильштинский JI.A. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. - 556 с.

46. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. -М.: Машиностроение, 1973. 215 с.

47. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформированного тела. М.: Наука. 1988.-232 с.

48. Гузъ А.Н. Концентрация напряжений около отверстий в тонких оболочках (обзор) // Прикладная механика. Киев, 1969. Т.5. Вып. 3. -С. 1-17.

49. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. Т. 88. 1953. Вып. 4.

50. Диамант Г.И., Заруцкий В.А., Санченко JT.A. . Оптимизация параметров ребристых цилиндрических оболочек по минимальной собственной частоте // Строительные материалы и теория сооружений. 1978. № 32. -С.48-50.

51. Диамант Г.И., Заруцкий В.А., СивакЭ.Ф. Исследование влияния ребер на собственные частоты и формы колебаний цилиндрических оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1978. № 3. С. 48-50.

52. Енджиевский JI.B. Нелинейные деформации ребристых оболочек. Красноярск: Изд-во. Красноярск, ун-та, 1982. 295 с.

53. Жгутов В.М., Сальников А.Ю. О характерной особенности напряжённо-деформированного состояния пологих оболочек при ударных нагрузках // Сейсмическое строительство Безопасность сооружений. 2003. - № 2. -с. 55-56.

54. Жигалко ЮЛ. Некоторые вопросы динамики подкрепленных оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. 1979. Вып. 14. С. 172— 184.

55. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1970. № 4. С. 150-162.

56. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: Труды ЦКТИ. Л., 1971. Вып. 88. - С. 46-70.

57. ЗавриевК.С. Основы теории функциональных прерывателей в применении к строительной механике // Тр. Тбилисского ин-та инж. ж.-д. транспорта. 1938. Вып. 6. С. 19-75.

58. Заруцкий В.А., Мацнер В.И. Устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при импульсном нагружении // Применение численных методов в строительной механике корабля. Л.: Судостроение, 1976. -С. 63-67.

59. Заруцкий В.А., Толбатое Ю.А. О влиянии уровня возбуждения на собственные частоты колебаний ребристых цилиндрических оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1978. № 33. -С. 18-33.

60. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. - С. 296.

61. Игнатьев О.В., Игнатьева И.А., Карпов В.В. Вариационно-параметрический подход к расчету пологих оболочек ступенчато-переменной толщины // Исследования по механике материалов и конструкций. Вып. 9 / ПУПС. СПб., 1996. -С. 44-54.

62. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филатов В.Н. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины. Волгоград: ВолгГАСА, 2001. - 210 с.

63. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филиппов Д.С. Местная и общая потеря устойчивости ребристых пологих оболочек // Труды молодых ученых. СПбГАСУ. СПб., 2000. - С. 87-89.

64. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. JL: Стройиздат. Ленингр. отд-ние, 1986. - 168 с.

65. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. Минск: Вышейшая школа, 1990. - 349 с.

66. Исследование влияния осевых сжимающих сил на частоты и формы колебаний ребристых цилиндрических оболочек / П.И. Галана,

67. B.А. Заруцкий, П.Г. Капля и др. // Прикладная механика. 1975. Т. 11. №8. -С. 41-48.

68. Кабанов В.В. Устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек.-М.: Машиностроение, 1982. 253 с.

69. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев: Наукова думка, 1971. - 136 с.

70. Кантор Б.Я., Катарянов С.И, Офий В.В. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 1972-80 гг. // Институт проблем машиностроения АН УССР, 1982. № 167. 78 с.

71. Канторович JI.B. Один прямой метод приближенного решения задач о минимуме двойного интеграла // Изв. АН СССР, ОМЕН, 1933, № 5.1. C. 647-652.

72. Кармишин А.В., Скурлатов Э.Д., Старцев В.Г., Фельдштейн В.А. Нестационарная аэроупругость тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1982.

73. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. Изд-во АСВ; СПбГАСУ. М.; СПб., 1999. - 154 с.

74. Карпов В.В. Метод последовательного наращивания ребер и его применение к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте. М.: Транспорт, 1990.-С. 162-167.

75. Карпов В.В. Численная реализация метода продолжения по параметру в нелинейных задачах пластин и оболочек. Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности.-Волгоград: ВолгИСИ, 1990. С. 121-122.

76. Карпов В.В., Игнатьев О.В. Метод последовательного изменения кривизны // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 1996. -С.131-135.

77. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Игнатьева И.А. Непологие оболочки ступенчато-переменной толщины // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Тезисы докладов, представленных на III Международную конференцию. СПб. 1995. - С. 72-74.

78. Карпов В.В., Кривошеий КС., Петров В.В. Исследование несимметричной потери устойчивости пологих оболочек на прямоугольном плане // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. -Тбилиси: Мецниереба, 1975. С. 628-634.

79. Карпов В.В., Михайлов Б.К. Исследование влияния жесткости ребер на устойчивость пологих оболочек с учетом нелинейности деформаций // Численные методы в задачах математической физики.: Межвуз. темат. сб. тр./ЛИСИ.-Л., 1983.-С. 135-142.

80. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР, сер. МТТ. 1975. № 5. С. 189-191.

81. Карпов В.В., Сальников А.Ю., Юлин А.В. Динамическая устойчивость пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте / Череповец. ЧГУ, 2002. С. 154-156.

82. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Устойчивость и колебания пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах. СПб., СПбГАСУ, 2002. - 124 с.

83. Карпов В.В., Филиппов Д. С. Уравнения равновесия в перемещениях для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах и методика их решения // Труды молодых ученых. Ч. 1. / СПбГАСУ. СПб., 1999. - С. 3-6.

84. Климанов В.К, Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. - 291 с.

85. Ковалъчук Н.В. Исследование устойчивости ребристых цилиндрических оболочек с большими прямоугольными отверстиями // Прикладная механика. 1978.14. № 10. С. 57-63.

86. Колебания продольно сжатых цилиндрических и слабоконических оболочек / А.С. Пальчевский, А.А. Прядко, П.Г. Капля и др. // Прикладная механика. 1980. Т. 16. № 9. С. 56-63.

87. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. 192 с.

88. Коротенко Н.А. Закритические деформации пологой цилиндрической панели, подкрепленной тонкостенными ребрами. // Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструкций. JI. 1983. С. 62-69.

89. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. -Киев: Наукова думка, 1980. 232 с.

90. Кривошеее Н.И., Корнишин М.С. К выводу сеточных уравнений изгиба пластин с отверстиями и пластин ступенчато-переменной жесткости // Изв. вузов, раздел «Строительство и архитектура». Новосибирск, 1970, №8,-С. 50-54.

91. Крысъко В.А., Губа Г.М. Динамическая потеря устойчивости пологих сферических оболочек // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1988. № 3. -С. 25-27.

92. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216 с.

93. Кузнецов В.В. Об использовании метода продолжения решения по длине отрезка интегрирования при расчете круглых гофрированных пластин // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1993. № 2. -. С. 189-191.

94. Лакштмжантам, Цуй. Динамическая устойчивость подкрепленных в продольном направлении неидеальных цилиндрических оболочек при ступенчатом продольном нагружении // Ракетная техника и космонавтика. 1974. Т. 12. № 2. С. 46-54.

95. Лесничая В.А. Асимптотическое исследование нелинейных колебаний подкрепленных оболочек // Теоретические и экспериментальные исследования прочности, устойчивости и динамики конструкций. -Днепропетровск, 1973.-С. 103-107.

96. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ. Т. 4. 1940. Вып. 2.

97. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. Л., 1948. - 28 с.

98. Малинин А.А. Колебания и устойчивость оболочек вращения с дискретными включениями и отверстиями // Прикладная механика. 1973. Т. 9. № 10.-С. 29-34.

99. Малинин А.А. Колебания оболочек с отверстиями // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1971. № 7. С. 22-26.

100. Маневич А.И. К теории связанной потери устойчивости подкрепленных тонкостенных конструкций // Прикл. математика и механика, 1982. 46. №2.-С. 337-345.

101. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. Киев; Донецк: Вища школа, 1979. - 152 с.

102. Масленников A.M. Численный метод решения задач теории пластин и оболочек, подкрепленных ребрами: Дис. . д-ра техн. наук /ЛИСИ. Л., 1970.-275 с.

103. Милейковский И.Е., Гречанинов И.П. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. М.: Стройиздат, 1969. Вып. 12. С. 168-176.

104. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. JL: Изд-во ЛГУ, 1980. - 196 с.

105. Муштари Х.М., Галимов КЗ. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957. 431 с.

106. Назаров А.А. Бублик Б.Н. Свободные колебания пологой оболочки, подкрепленной ребрами жесткости // Расчет пространственных конструкций. М.: 1959. Вып. 5. С. 549-555.

107. Назаров А.Г. Импульсные функции в приложении к задачам строительной механики // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1949. Вып. 4. - С. 216-227.

108. Назаров Н.А. О колебаниях пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Прикладная механика. 1965. Т.1. № 3. С. 53-58.

109. Неверов В.В. Метод вариационных суперитераций в теории оболочек. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1984. 128 с.

110. Немчинов Ю.И, ТолбатовЮ.А. Свободные колебания пологих цилиндрических оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Строительная механика и расчет сооружений. 1975. № 3. С. 55-57.

111. Новицкий В.В. Решение некоторых задач строительной механики с помощью 8-функций // Научно-методический сборник. ВВИА. 1957. № 13.-С. 95-128.

112. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромиздат, 1962. -431с.

113. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. - 212 с.

114. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1966. - 392 с.

115. Образцов И.Ф., ОнановГ.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. - 659 с.

116. Овчаров А.А. Математическая модель конической оболочки ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении // математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. СПбГАСУ. -СПб., 2004. с. 127-132.

117. Овчаров А.А. Компьютерные технологии исследования устойчивости панелей ребристых конических оболочек. // Вестник гражданских инженеров, СПб., СПб ГАСУ, вып. 2(11), 2007,—с. 104—111.

118. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1987. - 316 с.

119. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах / Науч. доклады высшей школы // Строительство. 1959. № 1. С. 27-35.

120. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек.-Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975.- 119 с.

121. Постное В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. JL: Судостроение, 1977. 277 с.

122. Постное В.А., Корнеев B.C. Изгиб и устойчивость оболочек вращения // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин-Тбилиси: Мецниереба, 1975. С. 635-644.

123. Постное В.А., Корнеев B.C. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек // Прикладная механика. 1976. № 1. С. 27-35.

124. Почтман Ю.М., Тугай О.В. Динамическая оптимизация многослойных цилиндрических оболочек, подкрепленных двумя регулярными системами ребер // Прикладная механика. 1980. Т. 16. № 1. С. 47-54.

125. Преображенский КН. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. -М.: Машиностроение, 1981. 191 с.

126. Преображенский КН., Грищак В.З. Устойчивость и колебания конических оболочек. М.: Машиностроение, 1986. - 240 с.

127. Пшеничное Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин. -М.: Наука, 1982.-352 с.

128. Пшеничное Г.И., Тагиев КГ. К расчету пологих упругих ребристых оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. № 1. С. 21-24.

129. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.-712 с.

130. Рассудов В.М. Деформации пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Учен. зап. Сарат. ун-та. Т. 52. Саратов, 1956. - С. 51-91.

131. Рекомендации по расчету подкрепленных оболочек положительной кривизны на устойчивость // Госстрой СССР и др. Свердловск, 1974-С. 76.

132. Рикардс Р.Б., Голдманис М.В. Оптимизация ребристых оболочек из композитов, работающих на устойчивость при внешнем давлении // Механика композитных материалов. М., 1980. № 3 - С. 468^475.

133. Савин Т.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. - 287 с.

134. Сальников А.Ю., Игнатьев О.В., Юлин А.В. Устойчивость пологих ребристых оболочек при динамическом нагружении // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр / СПбГАСУ. -СПб, 2003. с. 94-97.

135. Свободные колебания ребристых цилиндрических оболочек / П.И. Галана, В.А. Заруцкий, В.И. Мацнер и др. // Прикладная механика. 1974. Т. 10. №7.-С. 49-55.

136. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций // Я.М. Григоренко, Е.И. Беспалов, А.Б. Китайгородский, А.И. Шинкарь. -Киев: Наукова думка, 1986. 172 с.

137. Семенюк Н.П. Собственные колебания подкрепленных цилиндрических оболочек, нагруженных неравномерным внешним давлением // Прикладная механика. 1978. Т. 14. № 7. -С. 37-42.

138. Скворцов В.Р. Деформирование существенно неоднородных тонкостенных конструкций и его анализ в рамках концепции оболочек со структурой. Дис. д-р техн. наук. СПбГМТУ. СПб, 1992. - 335 с.

139. Соломенко Н.С., Абрамян К.Г., Сорокин В.В. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса.—Л.: Судостроение, 1967.-488 с.

140. Cnupo В.Е. Устойчивость произвольных ортотропных оболочек вращения, подкрепленных кольцевыми ребрами с учетом поперечного сдвига // Труды НТО судостроительной промышленности. Л, 1971. Вып. 154.-С. 116-160.

141. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А.В. Кармишин, В.А. Лясковец, В.И. Мяченков, А.Н. Фролов. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

142. Теребушко О.И. О влиянии параметров подкрепления на динамическую устойчивость цилиндрической оболочки // Прикладная механика. 1977. 13. № 3. С. 10-16.

143. Теребушко О.И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами // Расчет пространственных конструкций. Сб. статей. М.: Стройиздат, 1964. Вып. 9. -С. 131-160.

144. Теребушко О.И. Устойчивость и оптимальное проектирование пластин, подкрепленных ребрами // Прикладная механика. 1982. 18. № 6. С. 6974.

145. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек. М.: Стройиздат, 1974.-256 с.

146. Tumohuh A.M. Напряженное состояние многослойных ортотропных оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности и деформации сдвига: Автореф. дис. канд. наук. Киев, 1982. - 19 с.

147. Филин А.П. Элементы теории оболочек.-JI.: Стройиздат, 1987. 384 с.

148. Филиппов Д.С. Влияние учета поперечных сдвигов на устойчивость ребристых оболочек // Доклады 57-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных сотрудников, инженеров и аспирантов университета. Ч. 1 / СПбГАСУ. СПб., 2000. - С. 44-46.

149. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Янютин Е.Г. Деформирование конструкций под действием ударных и импульсных нагрузок. Киев: Наукова думка, 1978. - 184 с.

150. Цилиндрические оболочки ослабленные отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, Вал. Н. Чехов, Вик. Н. Чехов, К.И. Шнеренко / Под общей ред. А.Н. Гузя. Киев: Наукова думка, 1974. - 272 с.

151. Чернышенко И.С. К расчету осесимметричных оболочек вращения переменной толщины с учетом физической и геометрической нелинейности//Теория пластин и оболочек. -М.: Наука, 1971. С. 279284.

152. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых оболочек с отверстиями // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск, 1981.-С. 169-175.

153. Шалашилин В.И. Алгоритмы метода продолжения по параметру для больших осесимметричных прогибов оболочек вращения // Численные и экспериментальные методы исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций. М.: МАИ, 1983. - С. 68-71.

154. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №4. С. 178-184.

155. Шереметьев М.П., ПелехБ.Л. К построению уточненной теории пластин // Инж. журнал. 1964. Т. 4. Вып. 3. М., - С. 504-509.

156. Bakouline N., Ignatiev О. Karpov V. Variation parametric research technique of variable by step width shallow shells with finite deflections I I International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. V. I / Issue 3. 2000, pp. 1-6.

157. Byskov E., Hansen J.C. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction // J. Struct. Mech., 1980. 8. №2.-P. 205-224.

158. Campbell J.D. The dinamic yielding of mild stell / Acta Metallurgia. Vol. 6., 1953. №6.

159. Chrobot B. Mathematical models of ribbed shells, Studia Geotechnica et Mechanica. Vol. IV. 1982. №. 3-4. P. 55-68.l%Donell L.N. A new theory for buckling of thin cylinders under axial compression and bending // Trans. ASME, 1934. 56 p.

160. Fisher C.A., Bert C.W. Dynamic buckling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers // Trans ACME. Ser., E, 1973. 40, №3.-P. 736-740.

161. Karman Th. and Shen Tsien H. The buckling of spherical shells by external pressure//J. Acron. Sci. 7,1939.

162. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Machinenbau // Enzyklopaedie der Vathematischen Wissenshaften. Bd. LV. Teilband IV. 1910. S. 349.

163. Kicher Т.К., Chao Tung-Lai. Minimum weight design of stiffend fiber composite cylinder // C.J. Aircraft, 1971. T. 8. № 7. P. 562-569.

164. Koiter W.T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures. // WTHD Report. № 590. August 1976.

165. Marguerre К Zur Teorie der gekremmten Platte grosser Formanderung / Jahzbuch 1939 deutseher Luftfahrtsforchung. Bd. 1. Berlin: Ablershof Buecherei, 1939.

166. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells a review of experiment and theory. Contr. Theory Aircraft struct/Delft, 1972. - P. 325-357.

167. Tennyson R.C. The effects of unreinforsed circular cutouts on the buckling of circular cylindrical shells under axial compression // J. of Engeneering for industry. Trans ACME, 1968,90, ser. B, 4.