автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Устойчивость пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении

На правах рукописи

Юлии Андрей Владимирович

¿И'

УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Игнатьев Олег Владимирович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Наумова Галина Алексеевна

доктор технических наук, профессор Овчинников Игорь Георгиевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет

Защита состоится 8 июня 2006 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.026.01 при ГОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, 1, ауд. Б 203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат разослан «6» мая 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.т.н., профессор Л.В. Кукса

>И02>3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Легкие и, в то же время, высокопрочные тонкостенные оболочечные конструкции широко применяются в различных областях: авиа- и ракетостроении, судостроении и строительстве. Такие конструкции могут быть как подкреплены ребрами жесткости, так и иметь различные вырезы. Поэтому их расчетную схему необходимо рассматривать с учетом ступенчато-переменной толщины оболочки. Поведение тонкостенных конструкций, имеющих ребра, накладки и вырезы, с учетом поперечных сдвигов, местной потери устойчивости и геометрической нелинейности при динамическом нагружении исследованы недостаточно в виду сложности учета перечисленных выше факторов и необходимости решения громоздких нелинейных краевых задач.

Если в статической постановке многие задачи устойчивости, как ребристых оболочек, так и оболочек, ослабленных вырезами, имеют решения, то в динамической постановке таких решений значительно меньше.

При рассмотрении местного усиления или ослабления необходимо привлекать более сложные модели, чем модель Кирхгофа - Лява. Кроме того, необходимо вместе с расчетами на прочность и устойчивость решать вопросы рационального выбора подкреплений и параметра кривизны. Поэтому разработка математических моделей поведения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, наиболее полно учитывающих их работу при динамическом нагружении, и проведение на их основе исследований устойчивости, а также выбора рациональных параметров конструкции, является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является исследование устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при действии изменяющейся во времени нагрузки с учетом геометрически нелинейного поведения конструкции.

Для достижения поставленной цели в ходе работы решались следующие задачи:

- построение геометрически нелинейной динамической математической модели пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающей дискретное расположение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткость ребер, а также поперечные сдвиги;

- построение геометрически нелинейной динамической математической мо-

дели для перфорированных оболочек и оболочек вафельного типа;

ЬИЬЛИиГЕКА С.-Петербург

ОЭ швыНЧЦ

- разработка методики решения нелинейных уравнений движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины и программы расчета на ЭВМ;

- исследование устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при различных параметрах оболочек и скорости нагружения;

- разработка методики выбора рациональных параметров оболочки (жесткости ребер, кривизны) при заданной форме динамического нагружения и ограничениях на ее напряженно-деформированное состояние.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- обобщена статическая геометрически нелинейная математическая модель пологих оболочек ступенчато-переменной толщины на область задач устойчивости при динамическом нагружении;

- разработана методика решения геометрически нелинейных уравнений движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины на основе методов Власова - Канторовича и Рунге - Кутта и составлена программа расчетов на ЭВМ;

- проведено исследование устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины и перфорированных оболочек при динамическом нагружении и установлен характер зависимости величины критической нагрузки от параметров оболочки и нагрузки;

- на основе вариационно-параметрического метода разработана методика выбора рациональных параметров оболочки при заданной форме динамического нагружения и ограничениях на ее НДС.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в разработке математического и программного обеспечения расчетов напряженно-деформированного состояния и устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении и выбора для них рациональных параметров при заданном виде нагрузки, которое может найти применение в проектных и конструкторских организациях при проектировании облегченных высокопрочных конструкций в авиастроении, судостроении, машиностроении, строительстве. Результаты работы нашли внедрение в ЗАО «Саратовский авиационный завод». Они используются также в учебном процессе Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета, в курсах «Теория оболочек», «Численные методы» для специальности «Промышленное и гражданское строительство» и Волгоградского государственного архитектурно-строительного

университета в курсах «Численные методы» для специальности «Информационные системы и технологии».

Основные положения, выносимые на защиту:

- нелинейные уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающие дискретность расположения ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткость ребер, поперечные сдвиги;

- методика выбора рациональных параметров оболочек ступенчато-переменной толщины (жесткости подкреплений, кривизны) при заданном параметре нагрузки и ограничениях на ее напряженно-деформированное состояние, основанная на вариационно-параметрическом методе;

- исследование устойчивости оболочек постоянной толщины, ребристых, с вырезами, перфорированных при динамическом нагружении, при различных параметрах оболочки и скорости нагружения.

Достоверность научных положений обеспечивается корректной математической постановкой задач исследования, выводом уравнений движения для оболочек вариационным методом, сравнепием результатов с результатами других авторов.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены на 58 - 60-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (2001, 2002, 2003, СПбГАСУ); на 5-й международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (2002, Череповец). Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры строительной механики ВолгГАСУ (ноябрь 2004).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 4 печатные работы.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 133 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 194 наименований и содержит 20 рисунков, 4 таблицы. Приложения приведены на 30 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературных источников по теме диссертации, сформулирована цель работы, указана научная новизна, практическая ценность и положения, выносимые на защиту, отражено краткое содержание диссертации.

Основные положения теории ребристых оболочек были сформулированы в конце 40-х годов 20-го века В.З. Власовым и А.И. Лурье. В их работах заложены два основных подхода к исследованию ребристых оболочек: контактная система, состоящая из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней (В.З. Власов) и единая система, состоящая из обшивки и ребер (А.И. Лурье). В конце 60-х годов П.А. Жилиным было предложено рассматривать ребристую оболочку как оболочку дискретно-переменной толщины. При этом учитывается, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не по линии.

Геометрически нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины была разработана В.В. Карповым. В его работах доказана эквивалентность подходов Власова В.З. и Лурье А.И. к ребристым оболочкам. Проведено исследование устойчивости в статической постановке ребристых оболочек и оболочек с вырезами с учетом многих факторов, которые раньше не учитывались (учет сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и т.д.). Дальнейшее развитие его подход получил в трудах О.В. Игнатьева и А.Ю. Сальникова.

Нелинейная динамика пластин и пологих оболочек рассматривается в трудах A.C. Вольмира, В.А. Крысько, В.И. Климанова, С.А. Тимашева и других авторов.

В работе Перцева АХ, Платонова Э.Г. для получения уравнений движения использовался вариационный метод. Получены уравнения движения для непологих оболочек (модель Тимошенко - Рейснера). Исследовано НДС ребристых цилиндрических оболочек и их устойчивость, но рассма!ривалась только устойчивость панелей между ребрами, а не вся оболочка.

В работе A.C. Вольмира рассматривается динамическая устойчивость пологих ребристых оболочек, но ребра (их характеристики) «размазываются» по всей оболочке (применен метод конструктивной анизотропии (МКА)).

Анализ устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении показал, что с ростом скорости нагружекия влияние дискретного размещения ребер увеличивается.

В работе Климанова В.И. и Тимашева С.А. применена оригинальная комбинация метода Власова-Канторовича и метода конечных разностей.

Наиболее распространенный способ решения задач устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении основан на применении МЬСА.

Значительное число исследований посвящено разработке методик и определению оптимальных параметров подкрепленных оболочек. При решении этой задачи в качестве функции цели, как правило, выбирается объем материала оболочки, а в качестве ограничений - условия, при которых обеспечивается заданный уровень напряжений в оболочке и ее устойчивость.

Многовариантный расчет, к которому приводятся все алгоритмы оптимизации, может быть выполнен до конца на современных ЭВМ, если 01раничение описывается достаточно простыми соотношениями. Но простые соотношения могут давать достоверные результаты только в узком диапазоне изменения параметров обшивки и ребер, а решение задачи оптимизации требует поиска решений при широком диапазоне изменения параметров.

В работе И.Я. Амиро и В.А. Заруцкого отмечается, что в целом обоснование достоверности результатов, получаемых при решении задач оптимизации, требует дальнейших исследовании.

В первой главе рассматриваются прямоугольные в плане пологие оболочки. Срединную поверхность оболочки толщиной А примем за координатную поверхность. Оси х, у направим по линиям главных кривизн оболочки, а ось г по нормали к срединной поверхности в сторону вогнутости.

Оболочка находится под действием поперечной нагрузки q(x,y,t), зависящей от пространственных координат х, у и от времени /.

Деформации удлинения гх, гу вдоль осей ОХ, ОУ и сдвига г^ в срединной

поверхности оболочки связаны с перемещениями соотношениями

\2 ,,,, , /-,„,\2

ди

£, =-

* дх

о)

^ дУ | дУ | д!У дУ ** ду дх дх ду ' где 1)(х,ул), У(х,у,1), ¡¥(х,у,1) - перемещения точек срединной поверхности оболочки

вдоль осей х, у, г соответственно; кх = — ,ку - - главные кривизны оболочки

Л, Я2

вдоль осей х и у К2- главные радиусы кривизны в направлении осей ж и у).

Со стороны вогнутости оболочка подкреплена ортогональной сеткой ребер, параллельных сторонам оболочки (рис. 1), высота и расположение которых задаются с помощью функции Н(х,у):

Н(х,у) = &Ь(х-х^ + ±ъЪ(у-у,)-ЪЪ9Ь(х-х]№-У,)- (2)

у=1 /=1 1=1 >1

Здесь И1, А' - высота ребер параллельных осям у л х соответственно; А" =/шл{й',А^}; 5(х-ху), 5(у-у,) - единичные столбчатые функции, равные единице в местах присоединения ребер и равные нулю вне таких мест.

Рис.1

Таким образом, толщина всей конструкции h+H. Если №0, то оболочка подкреплена ребрами или накладками, а если Н<О, то она ослаблена вырезами.

Будем считать, что h^ = const и h' = const. Ширина j-x ребер равна

г, г г

ri = bJ ~ar а ребер ri = di~ci> где aj=xj- 2' Ъ> = XJ+ 2 ' С'"= У' ~ 2'

1 П

Рассмотрим сначала модель оболочки, не учитывающую поперечные сдвиги (модель Кирхгофа - Лява).

Деформации в слое, отстоящем на расстояние z от срединной поверхности

оболочки, для модели Кирхгофа - Лява имеют вид

=>2

е'_е* 2~,2'еУ~еУ 2 а. 2

ас2

так как принимается: (У* = и -г , V2 \Уг = № .

дх ду

Напряжения, действующие в произвольной точке оболочки, выполненной из изотропного материала, исходя из закона Гука, вычисляются по формулам

(4)

Здесь Е, и ц - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболоч-

Интегрируя напряжения (4) по г в пределах от -А/2 до И/2 + Н, получим усилия и моменты, приведенные к срединной поверхности оболочки (обшивки) приходящиеся на единицу длины сечения:

1-ц2

Е

Г д2г д2(г

дх

Мх =

Му =

1-ц

IV

£

2 + %2 АггЛ

(д*1¥ д21У

ду'

- + ц

дх1

+(№,)-

{Иъ -т — + 3 12

2г,Л

1-ц2 Е

" 2(1+ц)

Е

——+ (1—— IV а2^

—Г- + Ц-г

ду2 дх2

дхду

И 7|Э У

12+ 1сЬс5у

(5)

Здесь - площадь поперечного или продольного сечения ребра, приходящаяся на единицу длины сечения, Б, J - статический момент и момент инерции этого сечения:

-=, гй/2+Я . ^ г Л/2+н , 7 гЛ/2+Я ^ = /А/2 5 = /й/2 ^ 3 = /л/2 2 ^

Если учитывать поперечные сдвиги (модель Тимошенко - Рейснера), то вместо соотношений (3) нужно принять

* * ~аГ' ду' +дх}' (6)

так как в этом случае

и'=и + гух, Уг=У+2уу,

Здесь у х, - углы поворота отрезка нормали в плоскостях Х02 и У02 соответственно, а функция^) характеризует закон распределения напряжений ст^ и по толщине ребристой оболочки. Если материал обшивки и ребер имеет близкие сдвиговые жесткости или, как в рассмотренном случае, одинаков, то можно принять

*)я-^з?ЫЬгн)итогда *24

Напряжения <ТХ, СТ^,, О^ для изотропного упругого материала с учетом (5) будут по-прежнему иметь вид (3) и дополнительно

-2 Е/(г) ( д1Г) ,2 £/(г) ( ЭйЛ

Интегрируя напряжения (4) с учетом (6) и (7) по координате г в пределах от -И/2 до И/2+Н, получим соотношения для усилий, моментов и поперечных сил (модель Тимошенко - Рейснера), аналогичные уравнениям (5).

Рассмотрим процесс движения на отрезке времени [<о, Истинные траектории движения точек системы для этого отрезка времени должны удовлетворять условию

'1

5](К-П + А)А = 0, (8)

<о

где К - кинетическая энергия системы; Л - потенциальная энергия системы,- А -

работа внешних сил.

Равенство (8) выражает известный принцип Гамильтона - Остроградского.

Для получения уравнений движения оболочки ступенчато-переменной толщины нужно преобразовать вариационное уравнение (8) таким образом, чтобы под знаком тройного интеграла (переменные х, у, /) не было вариаций от производных функций перемещений С/(х,_у,/), У{х,у^), Ж(х,у,(). В полученном вариационном уравнении приравниваем к нулю сомножители при 81/, 5 V, 8 ¡У в тройном интеграле. В результате получим уравнения движения:

Уравнения движения (9) учитывают дискретное расположение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткость ребер, взаимное влияние ребер в местах их пересечений, т.е. наиболее полно учитывают специфику ребристых оболочек. Как частный случай (Я = 0) из них следуют известные уравнения движения пологих оболочек, без ребер и вырезов.

Если учитывать поперечные сдвиги, то вариационное уравнение останется прежним (8), где после интегрирования по г в пределах от - Ы2 до /г/2 + Н кинетическая и потенциальная энергия будут иметь другой вид.

Преобразовав вариационное уравнение (8) таким образом, чтобы под знаком тройного интеграла не было вариаций от производных функций 1?, V, Ш, \\1Х, получим уравнения движения (модель Тимошенко - Рейснера):

-рМЗЧ

ду дх

дг

\

12

/

де

Уравнения движения (10) учитывают дискретное расположение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткость ребер, поперечные сдвиги и инерцию вращения.

В дальнейшем будем использовать введенные по обычным правилам безразмерные параметры.

В диссертационной работе получены уравнения движения для моделей Кирхгофа - Лява и Тимошенко - Рейснера в безразмерных параметрах, а также уравнения движения в смешанной форме для оболочек ступенчато-переменной толщины и уравнения для оболочек ослабленных вырезами и перфорированных оболочек.

Во второй главе излагается методика решения уравнений движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, основанная на применении метода Власова - Канторовича и метода Рунге - Кутта.

Для модели Кирхгофа - Лява уравнения движения (9), приведенные к безразмерному виду, представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно функций перемещений £/(!;,г|,/), ), ). При этом ставится смешанная задача: по пространственным

координатам г| задаются краевые условия, а по временной координате - начальные условия.

Так как уравнения движения содержат разрывные коэффициенты, то удобнее всего для сведения исходной смешанной задачи (задаются краевые и начальные условия) для систем дифференциальных уравнений в частных производных к начальной задаче по переменной I применить метод Власова - Канторовича.

В соответствии с методом Власова - Канторовича примем:

V = YJ2,(I)V,(^); W^YTbrflW^). (11)

/=1 /=i i=\

Здесь Uj(%,r\), r\), fVi(^,r\) - известные (аппроксимирующие) функции переменных 4 и т|, удовлетворяющие заданным краевым условиям, соответствующим виду закрепления контура оболочки; 74, 7*2, 73 - функции переменной Г, подлежащие определению.

В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 6N относительно функций 71, 72, 73. Приведя полученную систему к нормальному виду, применяем для ее решения метод Рунге - Кутта.

В работе представлена блок-схема алгоритма и программа расчета устойчивости оболочек ступенчато-переменной толщины на ЭВМ. Следует отметить, что предложенная методика не позволяет исследовать концентрации напряжений в местах ступенчатого изменения толщины оболочки.

В третьей главе исследовалась устойчивость пологих оболочек постоянной толщины, ребристых и ослабленных вырезами.

В качестве динамического критерия определения критической нагрузки был принят критерий, предложенный A.C. Вольмиром: быстрый рост прогиба при незначительном изменении нагрузки. Его достаточно просто использовать при проведении численного эксперимента. В качестве дополнительного критерия принимался момент появления пластических деформаций в оболочечной конструкции.

Нагрузка рассматривалась как равномерно распределенная по площади оболочки и линейно изменяющаяся по времени, т. е. q = A-\t. Параметр А\ - скорость на-гружения. В безразмерных параметрах нагрузка имеет вид P = At. Здесь и в дальнейшем, если это не оговорено специально, число членов разложения в методе Власова - Канторовича N бралось равным 9 и использовалось уравнение движения для модели Кирхгофа - Лява.

Исследована устойчивость гладких пологих оболочек различной кривизны, при различной скорости нагружения и кривизне, при жестком и шарнирном закреплении краев оболочек.

Как показали результаты вычислительного эксперимента при увеличении безразмерной скорости нагружения критическая нагрузка возрастает, но при переходе к размерным параметрам оказывается, что при большей размерной скорости

нагружения А\ потеря устойчивости происходит раньше (по времени). Критическая нагрузка увеличивается при увеличении кривизны оболочки и уменьшается при жестком закреплении краев оболочки (по сравнению с шарнирным). После того, как оболочка потеряла устойчивость (прохлопнулась), она совершает колебания около своего нового равновесного состояния.

На основании критерия Мизеса по полю напряжений контролировалось нахождение оболочки в упругой зоне до потери устойчивости. В случае появления пластических деформаций считалось, что оболочка потеряла устойчивость.

В вычислительном эксперименте были рассмотрены квадратные в плане пологие оболочки, закрепленные по контуру (жестко или шарнирно-неподвижно) и подкрепленные со стороны вогнутости различным числом ребер высотой 3к и шириной 2к. Параметр скорости нагружения принимается А = 1000 или А=100 при нагрузке Р = А?. Были проведены исследования зависимости критической нагрузки от: типа закрепления краев оболочки, кривизны оболочки, количества ребер (ортогональная сетка), скорости нагружения, толщины оболочки (а = 60А и а = 120А).

Для более тонких оболочек (при к = 32, а - 120А) при некоторых значениях нагрузки прогиб в четверти становится больше прогиба в центре, где пересекаются ребра. Это говорит о том, что возможна местная потеря устойчивости оболочек при динамической нагрузке.

Приведем некоторые результаты исследований. На рис. 2 представлены графики «Нагрузка Р - прогиб в центре оболочки ц?» для оболочек с параметром кривизны кс = кц =\6 (а = 60И), где номер кривой соответствует числу ребер, подкрепляющих оболочку. Кривые без индекса получены при скорости нагружения А = 100, с индексом 1 - при А = 1000.

Как видно из рис. 2, при подкреплении оболочки с параметром а - 60А четырьмя и более ребрами характерного перескока на новое равновесное состояние не происходит, а оболочка плавно проминается, а затем, при увеличении нагрузки, происходит очень малое увеличение прогиба.

В диссертации показано, что для более тонких оболочек {а ~ 120А) потеря устойчивости наблюдается при подкреплении оболочки описанными выше ребрами и при наличии 8 и 10 ребер.

На рнс.З представлены графики «Нагрузка Р - прогиб в центре оболочки» (пунктирные кривые соответствуют прогибу в четверти оболочки) для оболочек с параметрами ^=^=32, а = 120//, подкрепленных различным числом ребер. Обозначения кривых те же, что и на рис. 2 Индекс «0» соответствует оболочкам без ребер (гладким).

Как видно из графиков на рис. 3, с увеличением числа ребер, подкрепляющих оболочку, критическая нагрузка возрастает, амплитуда послекритических колебаний уменьшается, причем, она также уменьшается при уменьшении скорости на-гружения.

Для оболочек без ребер вначале происходит местная потеря устойчивости потом общая. Прогибы в центре оболочки при динамическом нагружении не так существенно превышают прогибы "периферийных" точек, как при статическом нагружении.

В работе проведены исследования оболочек, ослабленных вырезами. Были рассмотрены квадратные в плане оболочки с параметром кривизны

1с^ = кг]= К = 16, линейным размером а = 60А, шарнирно-неподвижно закрепленные по контуру. Параметр А берется равным 1000. Оболочки ослаблены регулярно расположенными квадратными отверстиями со стороной 6А. Нагрузка на вырезе не прикладывается.

На рис. 4 представлены графики «Нагрузка Р - прогиб ЦГъв центре оболочки. Номер кривой означает число вырезов. Как видно из этого рисунка, вырезы существенно снижают критическую нагрузку (как и при статическом нагружении). Для оболочки без выреза Р = 383, для ослабленной четырьмя вырезами -

Р = 378, для ослабленной шестнадцатью вырезами - />кр= 322.

Если оболочка ослаблена часто расположенными локальными сквозными вырезами, то для расчета устойчивости можно применить схему метода конструктивной анизотропии. При этом, зная напряженно-деформированное состояние сплошных оболочек, «подправив» нагрузку можно получить напряженно-деформированное состояние для перфорированных оболочек, т. е. нагрузку нужно умножить на величину 1-Лр>где Ар- относительная площадь вырезов. Рассматриваются квадратные в плане пологие оболочки с параметром кривизны

кц= К, линейным размером а = 60А, шарнирно-неподвижно закрепленные по

контуру. Оболочки ослаблены 16 квадратными регулярно расположенными вырезами со стороной б/г.

На рис. 5 представлены графики «нагрузка Р - прогиб Ж »в центре оболочки. Номер кривой на этих рисунках соответствует значению параметра кривизны К. Значение параметра А показано возле соответствующих кривых. Сплошные кривые соответствуют сплошным оболочкам (без вырезов), пунктирные - с вырезами. Значение величины 1 - Ар = 0,84.

Верификация полученных в работе расчетных схем была проведена путем сравнения результатов вычислительного эксперимента для гладких оболочек (нулевая высота ребра) с результатами других авторов (В.В.Карпов, В.А.Крысько).

В четвертой главе излагается вариационно-параметрический метод применительно к задачам динамики, который позволяет не только упростить процесс исследования устойчивости оболочек, но и подбирать рациональные параметры оболочек (жесткость ребер, кривизну) при заданном параметре нагрузок и ограничениях на напряженно-деформированное состояние оболочки.

Порядок производных искомых функций в уравнениях движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины в два раза выше, чем в функционале полной энергии деформации, поэтому конечные результаты исследования устойчивости и колебаний рассматриваемых оболочек, можно получить гораздо проще, если свести с помощью метода Канторовича трехмерный функционал к одномерному, затем из условия стационарности этого функционала получить обыкновенные дифференциальные уравнения движения.

Далее за параметр, в направлении которого ищется решение, можно брать не только нагрузку, но и жесткость ребер или кривизну. Смена параметров в процессе расчетов даст схему метода покоординатного спуска, удобную для нахождения рациональных параметров оболочки (жесткости ребер, кривизны) при заданном уровне нагрузки и ограничениях на ее напряженно-деформированное состояние (НДС) или частоту колебаний.

Используя метод Л.В. Канторовича, сведем трехмерный функционал к одномерному, и, найдя первую вариацию одномерного функционала и приравняв ее нулю, получим систему уравнений движения:

ZÜ{I)BU(!,J)=AT\{J)-, 2(1,J) = AT2(j); (12)

/=1 /«1

Y,W(I)B\5(I,J)= AT3(J) J = 1,2.....N.

1=1

При t = t, и вычисленных значениях U(I), V{T), Щ1) система (12) методом Гаусса разрешается относительно Ü(l),V{l),W(l)

Ü(I) = СП(/); V{l) = CT2{l); W{l) = СГЗ(/), /=1,2,..., N. (13) Введя обозначения Ú{l)=Q\{l), V(l)=Q2(l), W(l)=Q3(f), сведем систему (13) к нормальному виду

С/(/)=0(/); F(/)=62(/); W{l) = Q3(l);

б1(/)=СП(/); Q2{I)=CT2(I); ёз(/)=СП(/),/=1,2,....,ЛГ. (14)

Систему (14) кратко можно записать в виде

Т = F(t,r), . (15)

где Т = {U{l), V(l\ W(l), Ql(I), Q2(l), QXI)f, с начальными условиями

4='о=го-

Чтобы избежать потери устойчивости и разрушения оболочки необходимо выбрать рациональное подкрепление оболочки таким образом, чтобы при заданном значении нагрузки она не теряла устойчивости.

В процессе расчета НДС оболочек ступенчато-переменной толщины, можно при некотором уровне динамической нагрузки, т. е. при некотором фиксированном значении временной координаты t -tH = const, находить поправки к напряженно-деформированному состоянию оболочки при изменении параметра, характеризующего жесткость ребер (например, их высоты), или изменении параметра кривизны оболочки, используя методы последовательного наращивания ребер (МПНР) или последовательного изменения кривизны (МПИК). Таким образом, комбинируя расчет по параметрам нагрузки, жесткости ребер и кривизны (используя схему метода последовательного возмущения параметров), можно при заданном уровне нагрузки и заданных ограничениях на НДС оболочки находить рациональный вид конструкции (рациональное подкрепление и рациональную кривизну), т. е. избежать потери устойчивости оболочки.

Найденное значение НДС при некотором фиксированном значении theorist, т.е. U{I\ V{l), W{I\ [/(/) = 01(4 V{l)-Ql(l\ W(l)=Q3(/), представляет собой начальные условия для МПНР и МПИК.

Так как tH - const и Q\{l) = const, ß2(/)= const, Q3{l)= const, то

¿7(/)=ßl(/)=0, V(f)=Q2(l)=0, W(l) = Qi(l)=Q. При этом уравнения движения переходят в уравнения статики и к ним уже будут применяться МПНР и МПИК, подробно описанные в работах О.В. Игнатьева.

После того, как найдены поправки к напряженно - деформированному состоянию при локальном изменении жесткостных характеристик ребер или при изменении кривизны, т. е. найдены новые значения U{l\ V{l), W(l), можно, решая уравнения динамики, находить напряженно - деформированное состояние оболочки при изменении параметра нагрузки и соответственно изменении временной координаты t. При этом при первом изменении параметра t значения Ql(/), Q2(l), Q3{l) берутся такими, какими они были при t = tH.

Рассмотрим пример. Квадратная в плане пологая оболочка с параметром кривизны к^ = = 16, шарнирно-неподвижно закрепленная по контуру, находится

под действием динамической нагрузки Р = At, где А = 1000.

Требуется подобрать подкрепления из ребер высотой 3h и шириной 2h так, чтобы она при нагрузке Р = 580 не теряла устойчивости.

Результаты расчетов представлены на рис. 6. Графики получены при решении динамических уравнений. Сплошными линиями показаны результаты, которые получены начиная с начального ненагруженного состояния, пунктирные - начиная с того момента, когда МПНР найдено новое напряженно - деформированное состояние оболочки при наращивании 2 (кривая 2) или 4 (кривая 4) ребер (кривая 0 соответствует гладкой оболочке).

Выяснив, что при Р = 580 гладкая оболочка потеряет устойчивость, наращиваем при Р= 350 на нее с помощью МПНР два ребра (линия AB) и проведя динамический расчет (пунктирная кривая ВС), видим, что при нагрузке Р = 533 оболочка вновь теряет устойчивость. Поэтому наращиваем на гладкую оболочку четыре ребра (линия AD). Проведя далее динамический расчет, убеждаемся, что при таком подкреплении при нагрузке Р = 580 оболочка не теряет устойчивости.

Таким образом, рациональное подкрепление в данном случае состоит из четырех ребер.

Рис. 6.

Основные результаты и выводы:

1. На основе вариационного метода получены геометрически нелинейные математические модели движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, в которых учитывается дискретное размещение ребер и вырезов, их ширина, сдвиговая и крутильная жесткость ребер. Получены уравнения движения для оболочек, ослабленных вырезами и перфорированных. Разработана методика решения нелинейных уравнений движения для пологих оболочек ступснчаю-переменной толщины на основе методов Власова-Канторовича и Рунге-Кутта и составлена программа расчетов на ЭВМ.

2. Разработана методика выбора рационального подкрепления оболочек ребрами жесткости и рациональной кривизны на основе вариационно-параметрического метода и показана ее реализация на конкретных оболочечных конструкциях.

3. Исследована зависимость величины критической нагрузки от числа ребер, подкрепляющих оболочку, кривизны, типа закрепления краев оболочки и скорости нагружения. Установлено, что при некоторых параметрах оболочек потери устойчивости может и не произойти, а для более тонких оболочек происходит вначале местная потеря устойчивости, потом общая.

4. Характер напряжений, возникающих в оболочках при динамическом на-гружении, близок к тому, который наблюдается для аналогичных оболочек при статическом нагружении, но зависит от скорости нагружения.

5. Разработана методика определения критической нагрузки для перфорированной оболочки, на основе известной критической нагрузки для сплошной оболочки (при одинаковых геометрических параметрах).

6. Так как пластические деформации могут возникнуть в оболочке до момента потери устойчивости (прохлопывания), то необходимо использовать критерий Мизеса для их выявления. Отмечено, что наибольшие значения интенсивности напряжений возникают в обшивке между ребрами и на внешней части ребер.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Карпов В. В., Математические модели динамических задач для пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах / В.В. Карпов, А.Ю. Сальников, A.B. Юлин // Доклады 58-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета 4.1 / СПб ГАСУ. - СПб, 2001. - С. 33-35.

2. Карпов В. В., Уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах и методика их решения / В.В. Карпов, А.Ю. Сальников, A.B. Юлин // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ : межвуз. тематич. сб. тр. / СПб ГАСУ. -СПб. 2002. - С. 40-42.

3. Карпов В. В., Динамическая устойчивость пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах / В.В. Карпов, А.Ю. Сальников, A.B. Юлин // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте / ЧТУ. - Череповец, 2002. - С. 154-156.

4. Сальников А. Ю„ Устойчивость пологих ребристых оболочек при динамическом нагружении / А.Ю. Сальников, A.B. Юлин, О.В. Игнатьев // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ : межвуз. тематич. сб. тр. / СПб ГАСУ. - СПб, 2003. - С. 111-116.

Юлин Андрей Владимирович

УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать «25» апреля 2006 г. Формат 60х84'/н-Печать трафаретная. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1,6. Гарнитура Times New Roman. Тираж 100. Заказ № /02 Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Сектор оперативной полиграфии ЦИТ 400074, Волгоград, ул. Академическая, 1

MOSS

»1108 9

Введение. ф

Глава 1. Математические модели задач динамики пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах.

1.1. Основные соотношения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах.

1.2. Уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах. ф 1.2.1. Модель Кирхгофа - Лява.

1.2.2. Модель Тимошенко - Рейснера.

1.3. Уравнения движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины в перемещениях и безразмерном виде.

1.4. О краевых условиях на боковой поверхности ребер и краю вырезов.

1.5. Уравнения движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины в смешанной форме.

1.6. Уравнения движения для пологих оболочек, ф ослабленных сквозными вырезами.

1.7. Уравнения движения для пологих оболочек вафельного типа и перфорированных.

1.8. Выводы.

Глава 2. Методика решения уравнений движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах.

2.1. Применение метода Власова - Канторовича ф для сведения трехмерной задачи к одномерной.

2.2. Применение метода Рунге - Кутта к полученной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.3. Блок-схема алгоритма и программа расчета на ЭВМ.

2.4. Системы аппроксимирующих функций.

2.5. Выводы.

Глава 3. Устойчивость пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении.

3.1. О критериях потери устойчивости оболочек при динамическом нагружении.

3.2. Характер потери устойчивости оболочек постоянной толщины при различных значениях скорости нагружения, кривизны и различных видах закрепления краев.

3.3. Напряженно-деформированное состояние и устойчивость оболочек постоянной толщины, шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру, при динамическом нагружении.

3.4. Применение критерия Мизеса для анализа нахождения оболочки в упругой зоне.

3.4.1. О динамическом пределе текучести.

3.4.2. Анализ наступления пластических деформаций в оболочках на основе критерия Мизеса.

3.5. Устойчивость ребристых оболочек.

3.6. Устойчивость оболочек, ослабленных вырезами.

3.7. Устойчивость перфорированных оболочек.

3.8. Обоснование достоверности получаемых результатов.

3.9. Выводы.

Глава 4. Вариационно-параметрический метод исследования устойчивости, колебаний и выбора рациональных параметров пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении.

4.1. Сведение трехмерного функционала полной энергии деформации к одномерному и его минимизация.

4.1.1. Модель Кирхгофа - Лява.

4.1.2. Модель Тимошенко - Рейснера.

4.2. Методы последовательного наращивания ребер и последовательного изменения кривизны в динамических задачах.

4.3. Изменения жесткостных характеристик ребер • и кривизны в процессе нагружения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины.

4.4. Выводы.

Тонкостенные оболочечные конструкции находят большое применение в ракетостроении, самолетостроении, судостроении и строительстве. Для придания большей жесткости оболочки подкрепляются ребрами, при этом незначительное увеличение массы конструкции существенно повышает ее прочность даже в случае, когда ребра имеют малую высоту. По технологическим причинам оболочки могут иметь вырезы, которые зачастую подкрепляются ребрами. Таким образом, в одной конструкции могут быть и ребра, и вырезы, поэтому всю конструкцию необходимо рассматривать как оболочку ступенчато-переменной толщины. Такие конструкции могут подвергаться не только статическим нагрузкам, но и динамическим, и допускать прогибы, соизмеримые с толщиной. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания таких конструкций играют важную роль при проектировании современных машин и аппаратов. Тем не менее, поведение тонкостенных конструкций, имеющих ребра, накладки и вырезы, с учетом дискретности расположения ребер или вырезов, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и геометрической нелинейности исследованы недостаточно. Некоторые конструкции после потери устойчивости (местной) сохраняют несущую способность, а выявление различных форм потери устойчивости вызывает математические сложности.

Если в статической постановке многие задачи устойчивости как ребристых оболочек, так и оболочек, ослабленных вырезами, имеют решения, то в динамической постановке в виду сложности учета перечисленных выше факторов поиск решения затруднен, особенно, при исследовании нелинейных свободных и вынужденных колебаний, когда конструкцию необходимо рассматривать как систему со многими степенями свободы.

При рассмотрении местного усиления или ослабления необходимо привлекать более сложные модели, чем модель Кирхгофа - Лява. Кроме того, необходимо вместе с расчетами на прочность и устойчивость решать вопросы рационального выбора подкреплений и параметра кривизны. Поэтому разработка математических моделей поведения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, наиболее полно учитывающих их работу при динамическом нагружении, и проведение на их основе исследований устойчивости, а также выбора рациональных параметров конструкции, является актуальной задачей.

Основные идеи теории ребристых оболочек высказаны в конце 40-х годов прошлого века В.З. Власовым [24] и А.И. Лурье [117]. В их работах заложены два основных подхода к исследованию ребристых оболочек. В.З. Власов рассматривал ребристую оболочку как контактную систему, состоящую из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье рассматривал обшивку и ребра как одно целое. Используя вариационный принцип, получал уравнения равновесия и естественные краевые условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из оболочки (обшивки) и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов, либо тонкостенных стержней (В.З. Власов), либо стержней Кирхгофа - Клебша (А.И. Лурье). Третий подход к ребристой оболочке основан на сведении ее к конструктивно-ортотропной оболочке, путем «размазывания» жесткости ребер по всей оболочке.

В конце 1960-х годов П.А.Жилин [52, 53] заметил, что при втором подходе (подход А.И. Лурье) привлекаются две различные технические теории (теория оболочек и теория стержней), гипотезы которых не вполне совместимы. В связи с этим он предложил рассматривать ребристую оболочку как оболочку дискретно-переменной толщины. При этом учитывается, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не по линии.

Задание дискретного изменения толщины пластин и оболочек с помощью единичных функций и применяются в работах [3, 24, 50, 61, 65, 118, 145, 156]. В работе Д.В. Вайнберга, Н.З.Ройтфарба [19] рассматриваются задачи в линейной постановке (1965 г.). В работах Н.П. Абовского, Л.В. Енджиевского и других ученых Красноярского края [3, 50, 176, 177] задание дискретной переменности толщины для ребристых оболочек используются как для задач в физически нелинейной постановке, так и геометрически нелинейной. Причем путем задания локальной нулевой жесткости имитируются вырезы. Аналогичный подход к оболочкам с вырезами используется в работах Н.И. Преображенского [145].

Геометрически нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины (ребра, накладки, вырезы) разработана В.В. Карповым [75, 77,79, 81, 84, 94, 100]. Им доказана эквивалентность подходов В.З.Власова и А.И. Лурье к ребристым оболочкам. Проведено исследование устойчивости ребристых оболочек и оболочек с вырезами с учетом многих факторов, которые раньше не учитывались (учет сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и т.д.). Используя вариационный принцип им было доказано, что краевые условия на боковой поверхности ребер и на краю вырезов (свободный край) можно ввести в уравнения равновесия и при решении задачи добиться хорошего удовлетворения.

Современное состояние теории ребристых оболочек характеризуется работами Абовского Н.П., Алфутова Н.А., Амиро И.Я., Андреева Л.В., Бело-сточного Г.Н., Вайнберга Д.В., Власова В.З., Вольмира А.С., Гаврилен-коГ.Д., Грачева О.А., Гребня Е.С., Гречанинова И.П., Григолюка Э.Н., Гу-зя А.Н., Диаманта Г.Н., Енджиевского Л.В., Жигалко Ю.П., Жилина П.А., Заруцкого В.А., Кабанова В.В., Кантора Б.Я., Карпова В.В., Климанова В.И., КорнееваВ.С., Кохманюка С.С., Лесничей В.А., Лурье А.И., Малинина А.А., Малютина А.А., Маневича А.И., Масленникова A.M., Милейковского И.Е., Михайлова Б.К., Моссаковского В.Н., Назарова Н.А., Немировского Ю.В., ОбоданН.И., Постнова В.А., ПочманаЮ.М., Преображнского И.Н., Пшеничного Г.И., Рассудова В.М., Семенюка Н.П., Теребушко О.И., Тимаше-ва С.А., Чернышева В.Н., Бискова и Хагисона, By Р. и Уатмера Е., Зингера Д., Фишера С. и Берта С. и др.

Исследованию оболочек, ослабленных вырезами, посвящены работы Борзых Е.П., Григолюка Э.Н., ГузяА.Н., Енджиевского Л.В., Карпова В.В., Каюка Я.Ф., Кривошеева Н.И. и Корнишина М.С., Космомианского А.С., Малинина А.А., Пирогова И.М., Преображенского И.Н., Савина Г.Н., Филь-штинского Л.А., ЧерныхаК.Ф., Чернышенко И.С., Чехова В.Н., Шнеренко К.Н., Броутена Ф. и Олмроса Б. и др.

Исследования в области ребристых оболочек выполняются, как правило, с использованием для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) обшивки теории упругих тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа - Лява, а для описания НДС ребер - теории тонких стержней Кирхгофа - Лява. Во многих работах принимается, что ребра присоединены к обшивке вдоль линий главных кривизн и передают на обшивку реакции, распределенные по линиям. В линейной постановке используется статический критерий устойчивости и задача сводится к решению систем дифференциальных уравнений нейтрального равновесия. Большинство работ относится к исследованию оболочек вращения.

В геометрически нелинейной постановке для задач статики при определении критических нагрузок разыскивается предельная точка кривой «нагрузка-прогиб» оболочки.

Большинство работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами, посвящено статике оболочек.

В задачах динамики использованы положения теории, сформулированные при решении задач статики ребристых оболочек. Как и в задачах статики, при изучении динамики ребристых оболочек применяется два подхода, отличающихся по способу учета подкрепляющих оболочку ребер. Первый из них основан на замене рассматриваемой оболочки эквивалентной ей в известном смысле гладкой оболочкой (конструктивно-ортотропная модель). Второй подход основан на учете дискретного размещения ребер, что в ряде случаев позволяет обнаружить те специфические особенности поведения ребристых оболочек при динамическом нагружении, которые нельзя изучить с помощью первого подхода.

Подавляющее большинство работ, посвященных изучению динамики ребристых оболочек, выполнено с использованием расчетной схемы, основанной на прикладной теории оболочек Кирхгофа - Лява и теории стержней Кирхгофа - Клебша. В некоторых работах использована теория оболочек типа Тимошенко и лишь в работе [51] - уравнения пространственной задачи теории упругости. К сожалению, области применимости результатов, полученных на основе прикладных теорий, в большинстве случаев не оговариваются, и вопрос о достоверности результатов, полученных с помощью этих теорий, в особенности при решении нестационарных задач, остается открытым.

Постановки задач динамики ребристых оболочек при использовании в качестве расчетной схемы конструктивно ортотропных оболочек, в принципе, могут отличаться лишь способом вычисления жесткостных параметров эквивалентной гладкой оболочки. В рассмотренных здесь работах, как правило, используется способ приведения, при реализации которого жесткости ребер равномерно распределяются по соответствующему направлению оболочки.

При выводе уравнений движения ребристых оболочек с учетом дискретного размещения ребер, как правило, предполагается, что контакт оболочки и ребер осуществляется вдоль линии, хотя ребро имеет конечную ширину, учет которой может повлиять на характер изменения усилий в обшивке вблизи ребер; с другой стороны, учет ширины ребра может привести к существенному уточнению постановки задачи лишь в случае, если будет получено решение соответствующей контактной задачи теории упругости. В настоящее время, насколько нам известно, таких решений нет.

В наиболее общем виде построены уравнения движения ребристых цилиндрических оболочек [10, 49].

Точные решения задач устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении получены для некоторых частных случаев. Опять здесь наиболее полно изучены задачи устойчивости цилиндрических оболочек и в линейной постановке.

Изучению устойчивости ребристых цилиндрических оболочек при динамическом нагружении посвящены работы [6, 7, 51, 55, 70]. Под критическим состоянием в этом случае, как правило, понимается такое состояние, при котором увеличение нагрузок приводит к быстрому росту прогибов. В геометрически нелинейной постановке исследования проведены в работах [7, 49, 104, 189]. В результате этих исследований установлено, что с ростом скорости нагружения влияние дискретного размещения ребер на НДС оболочки возрастает.

В линейной постановке для описания деформаций в обшивке применялась модель типа С.П. Тимошенко в работах [65, 77, 163, 171, 180, 184]. В нелинейной постановке таких решений нет. В нелинейной постановке уравнения динамики решались по МКА в работах [28, 109], а учет дискретности размещения ребер в работах [48, 69]. В работе [159] рассматриваются такие классы задач о свободных колебаниях оболочек, для которых возможно построение практически точной и эффективной методики. Рассматриваются малые колебания оболочек, так что считаются справедливыми положения линейной теории. Получены зависимости для трех подходов: классической теории оболочек (модель Кирхгофа - Лява), теории оболочек с учетом поперечного сдвига (модель типа С.П. Тимошенко) и пространственной теории упругости.

С использованием энергетического метода и одночленной аппроксимации перемещений решены задачи определения частот и форм собственных колебаний цилиндрических оболочек, усиленных регулярной [7, 159] и двумя регулярными [69, 159] перекрестными системами ребер. Расчетные формулы получены для оболочек из изотропных [159] и анизотропных [160] материалов. Такой же путь решения задачи о собственных колебаниях пологих ребристых оболочек с прямоугольным планом использован в работах [145, 151, 164, 167]. Методика определения собственных частот колебаний ребристых оболочек вращения, основанная на энергетическом методе, приведена в [127, 177]. С помощью этого метода изучались собственные колебания ребристых цилиндрических и слабоконических оболочек с большими вырезами [105].

Нелинейные колебания ребристых цилиндрических оболочек изучались в [69, 119], причем в [69] использовалась методика работы [49], а в [119] - метод последовательных приближений.

В последние годы внимание исследователей все больше привлекают вопросы, непосредственно связанные с изучением напряженно-деформированного состояния ребристых оболочек при динамическом нагружении. Наиболее подробно рассмотрены вынужденные колебания оболочек при гармоническом нагружении. И здесь, как и при решении задачи о собственных колебаниях, точные решения уравнений получены только для цилиндрических оболочек, усиленных ребрами в одном направлении [7]. Числовые результаты для оболочек вращения имеются в работах, в которых используется асимптотический метод; на его основе обнаружено существенное влияние дискретного размещения ребер на усилия и моменты в оболочке. Такие же результаты получены при изучении вынужденных колебаний ребристых конических оболочек, где уравнения движения решались методом Бубнова -Галеркина при аппроксимации перемещений двойными тригонометрическими рядами.

В работе А.К.Перцева, Э.Г.Платонова [137] для получения уравнений движения использовался вариационный метод. Получены уравнения движения для модели Тимошенко - Рейснера для непологих оболочек. Исследованы НДС ребристых цилиндрических оболочек и их устойчивость, но рассматривается устойчивость панелей между ребрами, а не вся оболочка.

Разработке методов определения напряженно-деформированного состояния ребристых оболочек при ударе и импульсном нагружении посвящены работы [28, 48, 49, 69, 107].

Для решения задач используются в основном численные методы. На основе аналитических методов решены задачи в [69]. Как правило, рассматривались деформации оболочек в упругой области; В большинстве работ, задачи решены в геометрически линейной постановке. Геометрически нелинейная постановка использована в [28, 103]. В ряде работ изучено также влияние среды [48]. Анализ результатов исследований, выполненных на основе рассмотренных методик расчета, показывает, что большинство опубликованных работ посвящено изучению собственных частот колебаний, причем наиболее подробно рассмотрены шарнирно опертые по краям ребристые цилиндрические оболочки.

Свободные колебания гладких оболочек в линейной постановке исследуются в работе [172]. Приводятся основные положения и уравнения, описывающие свободные колебания оболочек в рамках классической и уточненной теории оболочек, а также на основе пространственной теории упругости. Рассматриваются такие классы задач о свободных колебаниях оболочек, для которых возможно построение практически точной и эффективной методики решения.

Для круговых замкнутых цилиндрических оболочек, усиленных регулярно размещенными продольными ребрами, возможны принципиально различные типы собственных колебаний: колебания общего вида, при которых частоты зависят от всех жесткостных характеристик ребер (форма колебаний такова, что расстояния между ребрами не кратны длине полуволны в окружном направлении); колебания, при которых частоты зависят только от жест-костей ребер на изгиб в радиальной плоскости и на растяжение-сжатие или только от их жесткостей на изгиб в плоскости, касательной к срединной поверхности обшивки и при кручении (узловые линии прогиба совпадают с осями ребер); чисто продольные колебания, при которых формы не зависят от продольной координаты, а частоты - от жесткости ребер. При этом частоты колебаний могут быть ниже соответствующих частот собственных колебаний гладкой оболочки, если ребра находятся в пучностях форм колебаний и играют роль присоединенных масс или равны им, когда ребра располагаются в узлах соответствующих форм колебаний.

Для круговых замкнутых цилиндрических оболочек, усиленных только кольцевыми ребрами, частоты собственных колебаний зависят либо от всех жесткостей ребер, когда расстояние между ребрами некратно длине волны формы колебаний в продольном направлении, либо только от жесткостей ребер на изгиб в касательной плоскости и при кручении, когда длина волны формы колебаний в продольном направлении равна или меньше в целое число раз расстояния между ребрами.

В работе А.С. Вольмира [28] рассматривается динамическая устойчивость пологих ребристых оболочек, но ребра «размазываются» по всей оболочке (применен метод конструктивной анизотропии).

Анализ устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении показал [7, 103], что с ростом скорости нагружения влияние дискретного размещения ребер увеличивается.

Использование для нужд строительной механики математической схематизации различного рода разрывных процессов и состояний в виде импульсивных функций начато Н.Г. Герсевановым [34], с именем которого связано введение так называемых функциональных прерывателей и продолжено работами К.С. Завриева [54], А.Г. Назарова [128], В.В.Новицкого [132], Г.А. Ван Фо Фы [22], Д.В. Вайнберга и И.З. Ройтфарба [19] и др.

Для линейных задач статики разработаны методы решения, основанные на использовании свойств импульсных функций. Это методы, разработанные Б.К.Михайловым [124], И.Ф.Образцовым и Г.Г.Онановым [136], В.М. Рассудовым [151]. В работе А.М.Масленникова [122] для плит и оболочек, подкрепленных ребрами, разработан матричный алгоритм расчета. Получены матрицы жесткости для сложных элементов в виде ортотропных плит, окаймленных эксцентрично расположенными относительно срединной плоскости плиты стержнями. При использовании МКЭ потенциальная энергия деформации определяется с помощью жесткости отдельных элементов. В рассматриваемом случае за отдельный элемент принимается прямоугольная плита с ребрами по контуру.

В работе В.А.Постнова, В.С.Корнеева [142] за отдельный элемент принят усеченный конус, что позволяет с успехом решать задачи устойчивости для оболочек вращения.

В работе В.И.Климанова и С.А.Тимашева [103] применена оригинальная комбинация методов Власова - Канторовича и метода конечных разностей. С помощью первого метода исходные нелинейные дифференциальные уравнения (и граничные условия) в частных производных преобразуются в систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая затем методом конечных разностей приводится к системе нелинейных алгебраических уравнений, решаемых на ЭВМ. Такое сочетание методов очень эффективно, поскольку позволяет существенно сократить число совместно решаемых нелинейных алгебраических уравнений по сравнению, например, с обычным методом сеток. С другой стороны, комбинация указанных методов позволила реализовать достаточно сложные условия сопряжения гибкой пологой оболочки с прямолинейными и криволинейными опорными ребрами при решении как статических, так и динамических задач.

В данной монографии изложены новые методы решения характерных задач статистической динамики оболочек как дискретных, так и распределенных систем, основанные на методе спектральных представлений Фурье, интеграла Фурье - Стилтьеса и на методе Монте-Карло.

Методика решения задач о свободных колебаниях оболочек, рассмотренная в работах [159, 160], основана на сведении исходной двумерной (трехмерной) задачи динамики к последовательности одномерных задач и численного их решения. На первом этапе искомое решение аппроксимируется обобщенными рядами Фурье. На втором этапе численно решаются задачи на собственные колебания для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Используется метод ортогональной прогонки.

Наиболее распространенный способ решения задач по устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении основан на применении МКА. Прогиб при этом задается в виде одночленного выражения по пространственным координатам. Далее применяется метод Бубнова - Галеркина, который сводит исходную задачу к задаче Коши по временной координате. В качестве критерия потери устойчивости является резкое возрастание прогиба.

С использованием численных методов рассмотрены, в основном, задачи о собственных колебаниях оболочек вращения, усиленных кольцевыми ребрами [131], а также о напряженно-деформированном состоянии шпанго-утных цилиндрических оболочек, подверженных действию импульсных нагрузок [172]. Среди других приближенных подходов следует отметить методики, основанные на замене ребристой оболочки системой панелей, опертых на упругие ребра и на замене панелей между ребрами пластинами.

Точные аналитические решения уравнений движения получены только для цилиндрических оболочек, усиленных ребрами в одном направлении (продольными [7] или кольцевыми [7]) и для пологих оболочек с прямоугольным планом, также усиленных ребрами в одном направлении [7], причем, в подавляющем большинстве работ использованы упрощенные уравнения (принимается, что на оболочку передаются только радиальные реакции ребер или что ребра работают только на изгиб в радиальной плоскости и растяжение-сжатие.

Эти точные решения определяются в форме тригонометрических рядов по координате, ортогональной ребрам.

Для изучения колебаний ребристых оболочек и их устойчивости при динамическом нагружении используются и экспериментальные методы. Собственные колебания, как правило, изучаются на основе резонансного метода [56]. Определение характеристик деформированного состояния оболочек осуществляется на основе динамического тензометрирования [36]. Этот метод находит применение при экспериментальном изучении устойчивости ребристых оболочек [12].

Экспериментальные исследования, как правило, выполнялись с целью обоснования достоверности расчетных формул, полученных на основе приближенных схем. Однако ряд результатов имеет самостоятельное значение.

В отличие от данных теоретических исследований экспериментальное изучение собственных колебаний ребристых цилиндрических [7, 9, 49] и конических оболочек свидетельствует, что для оболочек, усиленных шпангоутами, различие собственных частот колебаний оболочек с наружными и внутренними ребрами с ростом числа окружных волн увеличивается; обнаружено также, что теоретические и экспериментальные значения минимальных собственных частот колебаний оболочек, усиленных продольными ребрами, могут различаться в пределах 20 %.

Анализ указанных отличий собственных частот колебаний проведен в работе [9]. Показано, что из рассмотренных факторов наиболее существенно влияют на собственные частоты начальные прогибы в экспериментальных оболочках и недостаточно полный учет дискретного размещения шпангоутов в теории.

Изучено влияние начальных прогибов на собственные частоты колебаний. Прогибы замерялись с помощью специальной установки, затем определялись собственные частоты обмеренных оболочек. Результаты сравнения показали, что учет в расчетных формулах начальных прогибов приводит к сближению значений собственных частот колебаний.

При изучении нелинейных колебаний ребристых цилиндрических оболочек показано, что в рассматриваемом обычно диапазоне амплитуд прогибов влияние нелинейности на собственные частоты колебаний мало.

В целом анализ результатов сопоставления расчетных значений минимальных собственных частот колебаний с экспериментальными данными, в том числе для оболочек, несущих присоединенные упругие или жесткие элементы, свидетельствует об их удовлетворительном совпадении.

Значительное число исследований посвящено разработке методик и определению оптимальных параметров подкрепленных оболочек. При решении этой задачи в качестве функции цели, как правило, выбирается объем материала оболочки, а в качестве ограничений - условия, при которых обеспечивается заданный уровень напряжений в оболочке и ее устойчивость. С одной стороны, многовариантный расчет, к которому приводятся все алгоритмы оптимизации, может быть выполнен до конца на современных ЭВМ, если ограничение описывается достаточно простыми соотношениями, а с другой стороны, простые соотношения могут давать достоверные результаты только в узком диапазоне изменения параметров обшивки и ребер, а решение задачи оптимизации требует поиска решений при широком изменении параметров.

В работе И.Я. Амиро и В.А. Заруцкого [8] отмечается, что в целом обоснование достоверности результатов, получаемых при решении задач оптимизации, требует дальнейших исследовании. Видимо, отмечают И.Я. Амиро и В.А. Заруцкий, наиболее достоверные задачи оптимизации ребристых оболочек можно получить тогда, когда речь идет о выборе лучшего проекта из числа однотипных.

Задачи оптимизации параметров ребристых цилиндрических оболочек при ограничениях на минимальные собственные частоты рассмотрены в [56, 159]. В [56], в частности, показано, что оптимальной по весу является оболочка, усиленная только кольцевыми ребрами. Изучалось влияние эксцентриситета ребер на оптимальный проект оболочки. Показано, что знак эксцентриситета продольных ребер относительно слабо влияет на оптимальные параметры оболочки.

Анализ современного состояния теории пологих ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами, при динамическом нагружении показал следующее:

В геометрически нелинейной постановке проведены исследования в основном для цилиндрических оболочек и при этом с использованием модели Кирхгофа - Лява. Ребра в этих исследованиях рассматривались как одномерные упругие элементы, присоединенные к обшивке по линии. Введены упрощающие задачу допущения. Например, не учитывается ширина ребер и влияние их сдвиговой и крутильной жесткости на НДС конструкции. Не исследовано влияние поперечного сдвига на НДС конструкции. Подход к исследованию форм потери устойчивости ребристой оболочки в линейной постановке не применим для исследования оболочек, допускающих большие прогибы.

Исходя из анализа состояния исследований динамики оболочек постоянной толщины, ребристых, с вырезами целью диссертационной работы является исследование устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при действии изменяющейся во времени нагрузки с учетом геометрически нелинейного поведения конструкции.

Для достижения поставленной цели в ходе работы решались следующие задачи:

- построение геометрически нелинейной динамической математической модели пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающей дискретное расположение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткость ребер, а также поперечные сдвиги;

- построение геометрически нелинейной динамической математической модели для перфорированных оболочек и оболочек вафельного типа;

- разработка методики решения нелинейных уравнений движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины и программы расчета на ЭВМ;

- исследование устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при различных параметрах оболочек и скорости нагружения;

- разработка методики выбора рациональных параметров оболочки (жесткости ребер, кривизны) при заданной форме динамического нагружения и ограничениях на ее напряженно-деформированное состояние.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- обобщена статическая геометрически нелинейная математическая модель пологих оболочек ступенчато-переменной толщины на область задач устойчивости при динамическом нагружении;

- разработана методика решения геометрически нелинейных уравнений движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины на основе методов Власова - Канторовича и Рунге - Кутта и составлена программа расчетов на ЭВМ;

- проведено исследование устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины и перфорированных оболочек при динамическом нагружении и установлен характер зависимости величины критической нагрузки от параметров оболочки и нагрузки;

- на основе вариационно-параметрического метода разработана методика выбора рациональных параметров оболочки при заданной форме динамического нагружения и ограничениях на ее НДС.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в разработке математического и программного обеспечения расчетов НДС и устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины и выбора для них рациональных параметров при заданном уровне нагрузки и ограничениях на ее НДС, которое может найти применение в проектных и конструкторских организациях при проектировании облегченных высокопрочных конструкций в авиастроении, судостроении, машиностроении, строительстве. Результаты работы нашли внедрение в ЗАО «Саратовский авиационный завод». Они используются также в учебном процессе Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета, Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета (в курсах «Теория оболочек», «Численные методы» для специальности «Промышленное и гражданское строительство»).

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- нелинейные уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающие дискретность расположения ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткость ребер, поперечные сдвиги;

- методика выбора рациональных параметров оболочек ступенчато-переменной толщины (жесткости подкреплений, кривизны) при заданном параметре нагрузки и ограничениях на ее НДС, основанная на вариационно-параметрическом методе;

- результаты исследования динамической устойчивости оболочек постоянной толщины, ребристых, с вырезами, перфорированных при различных параметрах оболочки и скорости нагружения.

Достоверность научных положений обеспечивается корректной математической постановкой задач исследования, выводом уравнений движения для оболочек вариационным методом, сравнения результатов, полученных автором, с результатами других авторов.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены на 58-й и 60-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ (2001, 2002, 2003); на 5-й международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (2002, Череповец); полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры строительной механики ВолгГАСУ под руководством доктора технических наук, профессора В.А. Игнатьева (ноябрь 2004).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 4 печатные работы.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 128 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 194 наименований и содержит 20 рисунков, 4 таблицы. Приложения приведены на 30 страницах.

4.4. Выводы

Сведение трехмерного функционала полной энергии деформации при динамическом нагружении к одномерному с последующей его минимизацией для получения уравнений движений позволяет существенно упростить вычисление коэффициентов этих уравнений. В этом можно убедиться, если сравнить прил. 2 и прил. 4.

При фиксированном значении координаты t уравнения движения превращаются в уравнения равновесия статики и к ним могут быть применены МПНР и МПИК, что позволит находить при заданном параметре динамической нагрузки и найденном НДС оболочек поправки к НДС, связанные с локальным изменением ее жесткостных характеристик или кривизны, что, в свою очередь, позволит находить рациональный вид конструкции при заданном уровне нагружений и заданных ограничениях на ее НДС и уровень колебательного процесса.

Использование ВПМ позволяет гораздо проще находить НДС оболочек ступенчато-переменной толщины, чем применение методики решения задач смешанного типа (при наличии краевых и начальных условий) для уравнений движения, и позволяет находить рациональные значения параметров оболочки (жесткости ребер, кривизны).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1. На основе вариационного метода получены геометрически нелинейные математические модели движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, в которых учитывается дискретное размещение ребер и вырезов, их ширина, сдвиговая и крутильная жесткость ребер. Получены уравнения движения для оболочек, ослабленных вырезами и перфорированных. Разработана методика решения нелинейных уравнений движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины на основе методов Власова-Канторовича и Рунге-Кутта и составлена программа расчетов на ЭВМ.

2. Разработана методика выбора рационального подкрепления оболочек ребрами жесткости и рациональной кривизны на основе вариационно-параметрического метода и показана ее реализация на конкретных оболочеч-ных конструкциях.

3. Исследована зависимость величины критической нагрузки от числа ребер, подкрепляющих оболочку, кривизны, типа закрепления краев оболочки и скорости нагружения. Установлено, что при некоторых параметрах оболочек потери устойчивости может и не произойти, а для более тонких оболочек происходит вначале местная потеря устойчивости, потом общая.

4. Характер напряжений, возникающих в оболочках при динамическом нагружении, близок к тому, который наблюдается для аналогичных оболочек при статическом нагружении, но зависит от скорости нагружения.

5. Разработана методика определения критической нагрузки для перфорированной оболочки, на основе известной критической нагрузки для сплошной оболочки (при одинаковых геометрических параметрах).

6. Так как пластические деформации могут возникнуть в оболочке до момента потери устойчивости (прохлопывания), то необходимо использовать критерий Мизеса для их выявления. Отмечено, что наибольшие значения интенсивности напряжений возникают в обшивке между ребрами и на внешней части ребер.

1. Абоеский Н.П. Смешанные вариационные уравнения для пологой ребристой оболочки // Строительная механика и расчет сооружений. -1969.-№4.-С. 20-22.

2. Абоеский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев., А.П. Деруга ; под ред. Н.П. Абовского. М.: Наука, 1978. - 228 с.

3. Абоеский Н.П. Гибкие ребристые пологие оболочки : учеб. пособие для вузов / Н.П. Абовский, В.Н. Чернышов, А.С. Павлов. Красноярск, 1975.-128 с.

4. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояния равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // ПММ. -Т. 13.-1949.-Вып. 1.-С. 95-107.

5. Алумяэ Н.А. Одна вариационная формулировка для исследования тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // ПММ. -Т. 14. 1950. - Вып. 2. - С. 197-203.

6. Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки / И.Я. Амиро, В.А. Заруцкий, П.С. Поляков. Киев: Наукова думка, 1973. - 248 с.

7. Андреев JI.B. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации / JI.B. Андреев, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедев. М.: Наука, 1988. -208 с.

8. Андреев JI.B. Экспериментальные исследования влияния параметров оболочки и подкрепления на величину критической нагрузки при импульсном внешнем давлении / JI.B. Андреев, А.В. Павленко // Гидроаэромеханика и теория упругости. 1975. - № 19. - С. 147-150.

9. Бакунин В.Н. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек / В.Н. Бакунин, И.Ф.Образцов, В.А. Потапахин. М. : Наука, 1998.-456 с.

10. Безухое Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. -М. : Высшая школа, 1968. 512 с.

11. Бердичевский В.Я. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М. : Наука, 1983. 448 с.

12. Борзых Е.П. Алгоритмы численного расчета пологой ортотропной оболочки на прямоугольном плане с прямоугольным отверстием // Тр. / ЦНИИСК. 1970. - Вып. 9. - С. 104-109.

13. Броутен Ф. Потеря устойчивости цилиндрических оболочек с отверстиями / Ф. Броутен, Б. Олмрос // Ракетная техника и космонавтика. -1970.-Т. 8.-№2.-С. 56-62.

14. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. Ч. 1-2. СПб., 1912, 1914.

15. Вайнберг Д.В. Расчет пластин и оболочек с разрывными параметрами / Д.В. Вайнберг, И.З. Ройтфарб // Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1965. - Вып. 10. - С. 39-80.

16. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М. : Машиностроение, 1976.-278 с.

17. Валишвили Н.В. Применение метода прямых для решения нелинейных задач динамики пологих оболочек / Н.В. Валишвили, В.Б. Силкин // МТТ. 1970. -№ 3. - С. 140-143.

18. Ван Фо Фы Г.А. Приложение функций Матье и функций Дирака к исследованию пластин и оболочек // Прикладная механика. 1958. - Т. 2. -Вып. 3.

19. Власов В.З. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней // Изв. АН СССР. ОТН. 1949. - № 6. - С. 819-838.

20. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек // Строительная промышленность. 1932. № 11. С. 33-37; № 12.-С. 21-26.

21. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М. ; JI.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

22. Волъмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. М. : Гостехиздат, 1956. — 419 с.

23. Волъмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М. : Наука, 1972.-432 с.

24. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. - 376 с.

25. ВуР.У. Аналитические и экспериментальные исследования нелинейных нестационарных деформаций подкрепленных панелей / Р.У. By, Е.А. Уитмер // Ракетная техника и космонавтика. 1975. - Т. 13. -№9.-С. 53-62.

26. Гавриленко Г.Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии // Устойчивость пластин и оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1981.-С. 20-22.

27. Галиев Ш.У. Напряженное состояние периодически подкрепленного полого цилиндра при действии подводной волны // ДАН УССР. Сер. А. 1976.-№4.-С. 325-329.

28. Герсеванов Н.М. Функциональные прерыватели в строительной механике и их приложение к расчету ленточных фундаментов // ВИОС «Основания и фундаменты». М. : Стройиздат, 1933. - Сб. № 1. -С. 7-15.

29. Глухова Т.В. Уравнения движения пологих ребристых оболочек // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. JI. : ЛИСИ.- 1986.-С. 38-42.

30. Голда Ю.Л. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями / Ю.Л. Голда, И.Н. Преображенский, B.C. Штукарев // Прикладная механика. 1973. - № 1. - С. 27-32.

31. Гольденвейзер А.А. Теория упругих тонких оболочек. М. : Гостехиз-дат, 1953.

32. Грачев О.А. О влиянии эксцентриситета ребер на устойчивость оболочек при внешнем давлении // Прикладная механика. 1985. - Т. 21. -№ 1.-С. 53-60.

33. Грачев О.А. Об устойчивости трансверсально-изотропных ребристых оболочек вращения / О.А. Грачев, В.И. Игнатюк // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - № 3. - С. 61-64.

34. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - № 3. - С. 81-92.

35. Григолюк ЭЛ. Устойчивость оболочек / Э.И. Григолюк, В.В. Кабанов. -М. : Наука, 1978.-359 с.

36. Григолюк Э.И. Многослойные армированные оболочки : расчет пневматических шин / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов. М. : Машиностроение, 1988.-287 с.

37. Григолюк Э.И. Перфорированные пластины и оболочки / Э.И. Григолюк, JI.A. Филыптинский. М. : Наука, 1970. - 556 с.

38. Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек / Э.И. Григолюк, П.П. Чулков. М.: Машиностроение, 1973. - 215 с.

39. Григолюк Э.И. Проблемы нелинейного деформирования : метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформированного тела / Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. М. : Наука, 1988.-232 с.

40. Гузь А.Н. Концентрация напряжений около отверстий в тонких оболочках (обзор) // Прикладная механика. Киев, 1969. - Т. 5. - Вып. 3. -С. 1-17.

41. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. Т. 88. - 1953. - Вып. 4.

42. Диамант Г.И. Оптимизация параметров ребристых цилиндрических оболочек по минимальной собственной частоте / Г.И. Диамант, В.А. Заруцкий, JI.A. Санченко // Строительные материалы и теория сооружений. 1978. - № 32. - С. 48-50.

43. Диамант Г.И. Исследование влияния ребер на собственные частоты и формы колебаний цилиндрических оболочек / Г.И. Диамант,

44. B.А. Заруцкий, Э.Ф. Сивак // Строительная механика и расчет сооружений. 1978. - № 3. - С. 48-50.

45. Енджиевский JI.B. Нелинейные деформации ребристых оболочек. Красноярск : Изд-во. Красноярск, ун-та, 1982. 295 с.

46. Жигалко ЮЛ. Некоторые вопросы динамики подкрепленных оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. 1979. - Вып. 14.1. C. 172-184.

47. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1970. - № 4. - С. 150-162.

48. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек // Прочность гидротурбин : труды ЦКТИ. Л., 1971. - Вып. 88. - С. 46-70.

49. Завриев К.С. Основы теории функциональных прерывателей в применении к строительной механике // Тр. Тбилисского ин-та инж. ж.-д. транспорта. 1938. - Вып. 6. - С. 19-75.

50. Заруцкий В.А. Устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при импульсном нагружении / В.А. Заруцкий, В.И. Мацнер // Применение численных методов в строительной механике корабля. Л. : Судостроение, 1976. - С. 63-67.

51. Заруцкий В.А. О влиянии уровня возбуждения на собственные частоты колебаний ребристых цилиндрических оболочек / В.А. Заруцкий, Ю.А. Толбатов // Сопротивление материалов и теория сооружений. -1978.-№33.-С. 18-33.

52. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1979. - С. 296.

53. Игнатьев О.В. Конструктивно-ортотропная схема ребристой оболочки, учитывающая сдвиговую и крутильную жесткость ребер, и ее применение к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины : дис. . канд. техн. наук. Волгоград, 1993. 204 с.

54. Игнатьев О.В. Вариационно-параметрический подход к расчету пологих оболочек ступенчато-переменной толщины / О.В. Игнатьев, И.А. Игнатьева, В.В. Карпов // Исследования по механике материалов и конструкций. Вып. 9 / ПУПС. СПб., 1996. - С. 44-54.

55. Игнатьев О.В. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины / О.В. Игнатьев, В.В. Карпов, В.Н. Филатов ; ВолгГАСА. Волгоград, 2001. - 210 с.

56. Игнатьев О.В. Местная и общая потеря устойчивости ребристых пологих оболочек / О.В. Игнатьев, В.В. Карпов, Д.С. Филиппов // Труды молодых ученых. СПбГАСУ. СПб., 2000. - С. 87-89.ff

57. Игнатьева Э.В. Расчет многослойных конструкций при нестационарном нагружении : автореф. дис. . канд. техн. наук. М., 1990. - 16 с.

58. Ильин В.П. Связанность форм потери устойчивости ребристых оболочек / В.П. Ильин, В.В. Карпов // Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин оболочек. Кутаиси, 1987.

59. Ильин В.П. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях / В.П. Ильин, В.В. Карпов JI.: Стройиздат, 1986. - 168 с.

60. Ильин В.П. Устойчивость ребристых оболочек, допускающих большие прогибы / В.П. Ильин, В.В. Карпов // II Всесоюзн. симпозиум «Устойчивость в механике деформируемого твердого тела» : тез. докл. Калинин, 1986.-С. 159.

61. Ильин В.П., Карпов В.В. Численные методы решения задач строительной механики / В.П. Ильин, В.В. Карпов, A.M. Масленников. Минск : Вышейшая школа, 1990. - 349 с.

62. Исследование влияния осевых сжимающих сил на частоты и формы колебаний ребристых цилиндрических оболочек / П.И. Галана, В.А. Заруцкий, П.Г. Капля и др. // Прикладная механика. 1975. -Т. 11. №8. -С. 41-48.

63. Кабанов В.В. Устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек. -М. : Машиностроение, 1982. 253 с.

64. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев : Наукова думка, 1971. - 136 с.

65. Кантор Б.Я. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 197280 гг. / Б.Я. Кантор, С.И. Катарянов, В.В. Офий // Институт проблем машиностроения АН УССР. 1982. - № 167. - 78 с.

66. Канторович JI.B. Один прямой метод приближенного решения задач о минимуме двойного интеграла // Изв. АН СССР, ОМЕН. 1933. - № 5. - С. 647-652.

67. Нестационарная аэроупругость тонкостенных конструкций / А.В. Кармишин, Э.Д. Скурлатов, В.Г. Старцев, В.А. Фельдштейн. М.: Машиностроение, 1982.

68. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. М. : Изд-во АСВ; СПб. : СПбГАСУ, 1999. -154 с.

69. Карпов В.В. Метод последовательного наращивания ребер и его применение к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте. М. : Транспорт, 1990.-С. 162-167.

70. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек // Расчет пространственных систем в строительной механике. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1972. - С. 3-7.

71. Карпов В.В. Различные схемы конструктивно-ортотропных оболочек и их применение к расчету оболочек дискретно-переменной толщины // Исследования по механике строительных конструкций и материалов : межвуз. темат. сб. тр. / ЛИСИ. Л., 1988.

72. Карпов В.В. Численная реализация метода продолжения по параметру в нелинейных задачах пластин и оболочек. Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности. -Волгоград : ВолгИСИ, 1990. С. 121-122.

73. Карпов В.В. Конструктивно-ортотропная схема ребристой оболочки, учитывающая сдвиговую и крутильную жесткость перекрестной системы ребер / В.В. Карпов, О.В. Игнатьев ; ВолгИСИ. Волгоград, 1992. - 8 е.: Деп. в ВИНИТИ 07.07.92 № 2172 - В 92.

74. Карпов В.В. Метод последовательного изменения кривизны / В.В. Карпов, О.В. Игнатьев // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ : межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 1996.-С. 131-135.

75. Карпов В.В. Расчет устойчивости ребристых оболочек с применением специального метода конструктивной анизотропии / В.В. Карпов, О.В. Игнатьев ; ВолгИСИ. Волгоград, 1992. - 8 е.: Деп. в ВИНИТИ 20.11.92 №3209-В 92.

76. Карпов В.В. Исследование несимметричной потери устойчивости пологих оболочек на прямоугольном плане / В.В. Карпов, И.С. Кривошеин, В.В. Петров // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Тбилиси : Мецниереба, 1975. - С. 628-634.

77. Карпов В.В. Исследование влияния жесткости ребер на устойчивость пологих оболочек с учетом нелинейности деформаций /В.В. Карпов, Б.К. Михайлов // Численные методы в задачах математической физики : межвуз. темат. сб. тр. / ЛИСИ. Л., 1983. - С. 135-142.

78. Карпов В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек /В.В. Карпов, В.В. Петров // Изв. АН СССР, сер. МТТ. 1975.-№ 5. - С. 189-191.

79. Карпов В.В. Модель пологой оболочки с вырезами в виде краевой задачи для односвязной области /В.В. Карпов, А.Ю. Сальников // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ : межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 1999. - С. 67-72.

80. Карпов В.В. Некоторые варианты расчета гибких пологих ребристых оболочек /В.В. Карпов, В.В. Шацков // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики : межвуз. темат. сб. тр./ЛИСИ.-Л., 1986.-С. 34-38.

81. Каюк Я.Ф. Концентрация напряжений в тонких оболочках при больших прогибах // Концентрация напряжений. Т. 2. Киев : Наукова думка, 1968.

82. Климанов В.И. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек /

83. B.И. Климанов, С.А. Тимашев. Свердловск : УНЦ АН СССР, 1985. -291 с.

84. Ковальчук Н.В. Исследование устойчивости ребристых цилиндрических оболочек с большими прямоугольными отверстиями // Прикладная механика. 1978. - 14. № 10. - С. 57-63.

85. Колебания продольно сжатых цилиндрических и слабоконических оболочек / А.С. Пальчевский, А.А. Прядко, П.Г. Капля и др. // Прикладная механика. 1980. - Т. 16. № 9. - С. 56-63.

86. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. 192 с.

87. Коротенко Н.А. Закритические деформации пологой цилиндрической панели, подкрепленной тонкостенными ребрами. // Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструкций. JI. 1983.1. C. 62-69.

88. Кохманюк С.С. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках / С.С. Кохманюк, Е.Г. Янютин, Л.Г. Романенко. -Киев : Наукова думка, 1980. 232 с.

89. Краснов А.А. Прямые методы интегрирования уравнений движения нелинейных многослойных пологих оболочек и пластин : автор, дис. . .канд. техн. наук. Ростов-на-Дону. 1995. 24 с.

90. Кривошеее Н.И. К выводу сеточных уравнений изгиба пластин с отверстиями и пластин ступенчато-переменной жесткости // Изв. вузов, раздел «Строительство и архитектура» / Н.И. Кривошеев, М.С. Корнишин. -1970.-№ 8.-С. 50-54.

91. Крысько В.А. Динамическая потеря устойчивости пологих сферических оболочек / В.А. Крысько, Г.М. Губа // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1988. -№ 3. - С. 25-27.

92. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216 с.

93. Кузнецов В.В. Об использовании метода продолжения решения по длине отрезка интегрирования при расчете круглых гофрированных пластин // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1993. - №2. - С. 189191.

94. Лакштмикантам Цуй. Динамическая устойчивость подкрепленных в продольном направлении неидеальных цилиндрических оболочек при ступенчатом продольном нагружении // Ракетная техника и космонавтика. 1974. - Т. 12. - № 2. - С. 46-54.

95. Лесничая В.А. Асимптотическое исследование нелинейных колебаний подкрепленных оболочек // Теоретические и экспериментальные исследования прочности, устойчивости и динамики конструкций. -Днепропетровск, 1973.-С. 103-107.

96. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ. 1940. -Т. 4. - Вып. 2.

97. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. Л., 1948. - 28 с.

98. Малинин А.А. Колебания и устойчивость оболочек вращения с дискретными включениями и отверстиями // Прикладная механика. 1973. -Т. 9. -№ 10.-С. 29-34.

99. Малинин А.А. Колебания оболочек с отверстиями // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1971. - № 7. - С. 22-26.

100. Маневич А.И. К теории связанной потери устойчивости подкрепленных тонкостенных конструкций // Прикл. математика и механика. 1982. -46,-№2.-С. 337-345.

101. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. Киев ; Донецк : Вища школа, 1979. - 152 с.

102. Масленников A.M. Численный метод решения задач теории пластин и оболочек, подкрепленных ребрами : дис. . д-ра техн. наук / ЛИСИ. Л., 1970.-275 с.

103. Милейковский И.Е. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек / И.Е. Милейковский, И.П. Гречанинов // Расчет пространственных конструкций : сб. ст. М. : Стройиздат, 1969. Вып. 12. - С. 168— 176.

104. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. Л. : Изд-во ЛГУ, 1980.-196 с.

105. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложениями к решению задач устойчивости упругого равновесия // ПММ. 1939. - Т. 2. - № 4. - С. 439-456.

106. Муштари Х.М., Галимов КЗ. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань : Таткнигоиздат, 1957.-431 с.

107. Назаров А.А. Свободные колебания пологой оболочки, подкрепленной ребрами жесткости / А.А. Назаров, Б.Н. Бублик // Расчет пространственных конструкций. М. : 1959. - Вып. 5. - С. 549-555.

108. Назаров А.Г. Импульсные функции в приложении к задачам строительной механики // Исследования по теории сооружений. М. : Стройиздат, 1949. - Вып. 4. - С. 216-227.

109. Назаров Н.А. О колебаниях пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Прикладная механика. 1965. - Т.1. - № 3. - С. 53-58.

110. Неверов В.В. Метод вариационных суперитераций в теории оболочек. -Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1984. 128 с.

111. Немчинов Ю.И. Свободные колебания пологих цилиндрических оболочек, подкрепленных ребрами жесткости / Ю.И. Немчинов, Ю.А. Толбатов // Строительная механика и расчет сооружений. -1975.-№3.-С. 55-57.

112. Новицкий В.В. Решение некоторых задач строительной механики с помощью 5-функций // Научно-методический сборник. ВВИА. 1957. -№ 13.-С. 95-128.

113. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL : Судпромиздат, 1962. -431с.

114. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М. : Гостехиздат, 1948.-212 с.

115. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1966. - 392 с.

116. Образцов И.Ф. Строительная механика скошенных тонкостенных систем / И.Ф. Образцов, Г.Г. Онанов. М. : Машиностроение, 1973. -659 с.

117. Перцев А.К. Динамика оболочек и пластин / А.К. Перцев, Э.Г. Платонов. JI. : Судостроение, 1987. - 316 с.

118. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Науч. доклады высшей школы. Строительство. 1959. -№ 1. С. 27-35.

119. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов : Изд-воСарат. ун-та, 1975.-119 с.

120. Пирогов ИМ. Концентрация напряжений в области отверстия в цилиндрическом резервуаре, испытывающем гидростатическое давление // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1963. - № 7. - С. 56-61.

121. Постное В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. JI. : Судостроение, 1977. 277 с.

122. Постное В.А. Изгиб и устойчивость оболочек вращения / В.А. Постнов, B.C. Корнеев // Труды X Всесоюз. конференции по теории оболочек и пластин. Тбилиси : Мецниереба, 1975. - С. 635-644.

123. Постнов В.А. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек / В.А. Постнов, B.C. Корнеев // Прикладная механика. 1976. - № 1. - С. 27-35.

124. Почтман Ю.М. Динамическая оптимизация многослойных цилиндрических оболочек, подкрепленных двумя регулярными системами ребер

125. Ю.М. Почтман, О.В. Тугай // Прикладная механика. 1980. - Т. 16. -№ 1. - С. 47-54.

126. Преображенский И.Н Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981.-191 с.

127. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания конических оболочек / И.Н. Преображенский, В.З. Грищак. М. : Машиностроение, 1986. -240 с.

128. Приблиэ1сенное решение операторных уравнений // М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. М.: Наука, 1969. - 456 с.

129. Пшеничное Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин. М. : Наука, 1982. - 352 с.

130. Пшеничное Г.И. К расчету пологих упругих ребристых оболочек / Г.И. Пшеничнов, И.Г. Тагиев // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - № 1. - С. 21-24.

131. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М. : Наука, 1988.-712 с.

132. Рассудов В.М. Деформации пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Учен. зап. Сарат. ун-та. Саратов, 1956. - Т. 52. — С. 5191.

133. Рекомендации по расчету подкрепленных оболочек положительной кривизны на устойчивость // Госстрой СССР и др. Свердловск, 1974-С. 76.

134. Рикардс Р.Б. Оптимизация ребристых оболочек из композитов, работающих на устойчивость при внешнем давлении / Р.Б. Рикардс, М.В. Голдманис // Механика композитных материалов. 1980. - №3 - С. 468-475.

135. Сальников А.Ю. Вариационно-параметрический метод в нелинейных задачах динамики пологих оболочек ступенчато-переменной толщины

136. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ : межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 2002. - С. 93-99.

137. Сальников А.Ю. Устойчивость перфорированных пологих оболочек при динамическом нагружении // Труды молодых ученых. 4.1. / СПбГАСУ. СПб., 2001. - С. 65-66.

138. Свободные колебания ребристых цилиндрических оболочек / П.И. Галана, В.А. Заруцкий, В.И. Мацнер и др. // Прикладная механика. 1974. - Т. 10. - № 7. - С. 49-55.

139. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций // Я.М. Григоренко, ' Е.И. Беспалов, А.Б. Китайгородский, А.И. Шинкарь. Киев : Наукова думка, 1986. - 172 с.

140. Семенюк Н.П. Собственные колебания подкрепленных цилиндрических оболочек, нагруженных неравномерным внешним давлением // Прикладная механика. 1978. - Т. 14. - № 7. - С. 37-42.

141. Скворцов В.Р. Деформирование существенно неоднородных тонкостенных конструкций и его анализ в рамках концепции оболочек со структурой : дис. .д-р техн. наук. / СПбГМТУ. СПб., 1992. - 335 с.

142. Соломенко Н.С. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса / Н.С. Соломенко, К.Г. Абрамян, В.В. Сорокин. JI. : Судостроение, 1967.-488 с.

143. Cnupo В.Е. Устойчивость произвольных ортотропных оболочек вращения, подкрепленных кольцевыми ребрами с учетом поперечного сдвига // Труды НТО судостроительной промышленности. Л., 1971. - Вып. 154.-С. 116-160.

144. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А.В. Кармишин, В.А. Лясковец, В.И. Мяченков, А.Н. Фролов. М. : Машиностроение, 1975. - 376 с.

145. Теребушко О.И. О влиянии параметров подкрепления на динамическую устойчивость цилиндрической оболочки // Прикладная механика. -1977. 13. - № 3. - С. 10-16.

146. Теребушко О.И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами // Расчет пространственных конструкций. Сб. статей. М. : Стройиздат, 1964. - Вып. 9. -С. 131-160.

147. Теребушко О.И. Устойчивость и оптимальное проектирование пластин, подкрепленных ребрами // Прикладная механика. 1982. - 18. - № 6. -С. 69-74.

148. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек. М. : Стройиздат, 1974.-256 с.

149. Tumohuh A.M. Напряженное состояние многослойных ортотропных оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности и деформации сдвига : автореф. дис. .канд. наук. Киев, 1982. - 19 с.

150. Филин А.П. Элементы теории оболочек. JI.: Стройиздат, 1987. - 384 с.

151. Филиппов Д.С. Влияние учета поперечных сдвигов на устойчивость ребристых оболочек // Доклады 57-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных сотрудников, инженеров и аспирантов университета. Ч. 1 / СПбГАСУ. СПб., 2000. - С. 44-46.

152. Филиппов А.П. Деформирование конструкций под действием ударных и импульсных нагрузок / А.П. Филиппов, С.С. Кохманюк, Е.Г. Яню-тин. Киев : Наукова думка, 1978. - 184 с.

153. Цилиндрические оболочки ослабленные отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, Вал. Н. Чехов и др. / под общей ред. А.Н. Гузя. -Киев : Наукова думка, 1974. 272 с.

154. Черных К. Ф. К проблеме определения концентрации напряжений возле отверстия в оболочке (в линейной постановке) // Концентрация напряжений. Киев : Наукова думка, 1965. - Вып. 1. - С. 312-317.

155. Чернышенко И.С. К расчету осесимметричных оболочек вращения переменной толщины с учетом физической и геометрической нелинейности //Теория пластин и оболочек.-М. : Наука, 1971. С. 279-284.

156. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых оболочек с отверстиями // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск, 1981.-С. 169-175.

157. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых пологих оболочек : автореф. дис. .канд. техн. наук. Новосибирск, 1980. - 19 с.

158. Шалаишлин В.И. Алгоритмы метода продолжения по параметру для больших осесимметричных прогибов оболочек вращения // Численные и экспериментальные методы исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций. М.: МАИ, 1983. - С. 68-71.

159. Шалаишлин В.И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. - № 4. - С. 178-184.

160. Шереметьев МЛ. К построению уточненной теории пластин / М.П. Шереметьев, Б.Л. Пелех // Инж. журнал. 1964. - Т. 4. - Вып. 3. -С. 504-509.

161. Byskov E. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction / E. Byskov, J.C. Hansen // J. Struct. Mech. 1980. - 8. - № 2. - P. 205-224.

162. Chrobot B. Mathematical models of ribbed shells, Studia Geotechnica et Mechanica. Vol. IV. - 1982. - №. 3-4. - P. 55-68.

163. Donell L.N. A new theory for buckling of thin cylinders under axial compression and bending // Trans. ASME. 1934. - 56 p.

164. Fisher С. A. Dynamic buckling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers / C.A. Fisher, C.W. Bert // Trans ACME. Ser. E. 1973. -40, № 3. - P. 736-740.

165. Karman Th. The buckling of spherical shells by external pressure / Th. Karman, Tsien H. Shen II J. Acron. Sci. 7. 1939.

166. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Machinenbau // Enzyklopaedie der Vathematischen Wissenshaften. Bd. LV. - Teilband IV. - 1910. - S. 349.

167. Kicher T.R. Minimum weight design of stiffend fiber composite cylinder / T.R. Kicher, Tung-Lai Chao II C.J. Aircraft. 1971. - T. 8. - № 7. -P. 562-569.

168. Koiter W.T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures // WTHD Report. № 590. - August 1976.

169. Marguerre К Zur Teorie der gekremmten Platte grosser Formanderung / Jahzbuch 1939 deutseher Luftfahrtsforchung. Bd. 1. - Berlin : Ablershof Buecherei, 1939.

170. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells a review of experiment and theory. Contr. Theory Aircraft struct/Delfi, 1972. - P. 325-357.

171. Tennyson R.C. The effects of unreinforsed circular cutouts on the buckling of circular cylindrical shells under axial compression // J. of Engeneering for industry. Trans ACME. 1968. - 90. - Ser. B, 4.

172. Campbell J.D. The dynamic yielding of mind stell // Acta Metallurgica. -1953.-Vol. 6. —№6.