автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы исследования устойчивости ребристых цилиндрических оболочек при кратковременных и длительных нагрузках

На правах рукописи

Аристов Дмитрий Иванович

Алгоритмы исследования устойчивости ребристых цилиндрических оболочек при кратковременных и длительных нагрузках

Специальность05 13 18-Математическоемоделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2007

003070160

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Карпов Владимир Васильевич

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Ильин Владимир Петрович,

доктор технических наук, профессор Соколов Евгений Васильевич

Ведущая организация ОАО «Санкт-Петербургский зональный

научно-исследовательский и проектный институт жилищно-гражданских зданий»

ОА

Защита состоится 29 мая 2007 г в 16 часов на заседании диссертационного совета К 212 223 01 при ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул , д 4, ауд 505 А

Телефакс (812)316-58-72

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат разослан «ДА » апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета канд физ -мат наук, доцент

В А Фролькис

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Цилиндрические оболочечные конструкции находят большое применение в ракетостроении, самолетостроении, судостроении, машиностроении и в строительстве Для придания большей жесткости они подкрепляются ребрами жесткости Любая конструкция должна быть устойчивой при воздействии нагрузок При длительном воздействии нагрузки на оболочку в материале могут проявиться свойства ползучести

Большое число публикаций, касающееся исследования устойчивости оболочек, относится к цилиндрическим оболочкам Это работы И Я Амиро и В А За-руцкого, Э И Григолюка и В В Кабанова, А С Вольмира, Н В Валишвили, А К Перцева и Э Г Платонова, В И Климанова и С А Тимашева, Л В Андреева, Н И Ободан, А Г Лебедева и многих других Однако полностью решенной эту проблему считать нельзя Так в работе Э И Грголюка и В В Кабанова для исследования устойчивости цилиндрических оболочек применяется подход Эйлера, когда задача сводится к отысканию собственных значений линейных уравнений нейтрального равновесия В работе Н В Валишвили применяется осесимметрич-ная постановка Так же часто в работах используется безмоментная теория В работе Л В Андреева, Н И Ободан, А Г Лебедева рассматриваются гладкие оболочки В работах А С Вольмира жесткость ребер "размазывается" по полю оболочки

Исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости оболочек в условиях ползучести материала проведено в работах И Г Терегулова, В С Гудрамовича и В П Пошивалова, Л М Куршина, В И Климанова и С А Тимашева, В В Карпова и В К Кудрявцева и др Однако в каждой работе исследуются некоторые частные проблемы

Таким образом, исследование устойчивости цилиндрических оболочек с учетом геометрической нелинейности, дискретного введения ребер, их одвиговой и крутильной жесткости, поперечных сдвигов, ползучести материала является актуальной задачей

Целью настоящей диссертационной работы является разработка алгоритмов решения геометрически и физически нелинейных задач для ребристых цилиндрических оболочек

Для достижения указанной цели необходимо осуществить решение следующих задач

1 Разработать математическую модель деформирования цилиндрической оболочки с учетом

• геометрической нелинейности,

• дискретного введения ребер;

• их сдвиговой и крутильной жесткости,

• поперечных сдвигов,

• возможности развития деформаций ползучести.

2 Разработать алгоритмы решения геометрически и физически нелинейных задач при статическом нагружении

3 Исследовать напряженно-деформированное состояние и устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при кратковременных и длительных нагрузках

Объектом исследования являются ребристые цилиндрические оболочки Предметом исследования являются математические модели и алгоритмы исследования устойчивости ребристых цилиндрических оболочек при кратковременных и дательных нагрузках

Общая методология исследования базируется на вариационных принципах механики и вариационных методах в сочетании с методом итераций Научная новизна полученных результатов заключается в следующем Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми Получены геометрически и физически нелинейные модели деформирования ребристых цилиндрических оболочек с учетом таких факторов, как сдвиговая и крутильная жесткость ребер, попереяные сдвиги, возможность развития деформаций ползучести Разработаны алгоритмы решения дважды нелинейных задач и составлена программа расчета на ЭВМ Проведено исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости ребристых цилиндрических оболочек и оценено влияние на критические нагрузки тех или иных факторов Основные положения, выносимые на защиту

1 Разработана более точная математическая модель деформирования ребристых цилиндрических оболочек, учитывающая

• геометрическую нелинейность,

• дискретное введение ребер,

• их сдвиговую и крутильную жесткость,

• поперечные сдвиги,

® возможность развития деформаций ползучести

2 Разработан алгоритм решения геометрически и физически нелинейных задач, основанный на методе Ритца и методе двойной итерации, который реализован в виде программного модуля для ЭВМ

3 Исследовано напряженно-деформированное состояние и устойчивость панелей ребристых цилиндрических оболочек при различных значениях параметров оболочки (угле разворота, числе подкреплений, радиуса) и выявлены характерные особенности Показано, что замкнутые цилиндрические оболочки могут терять устойчивость только по несимметричной форме

Достоверность и научная обоснованность результатов диссертации обеспечивается применением вариационных методов, сходимость и точность которых обоснована, сравнением результатов решения некоторых задач с результатами других авторов и с расчетами по комплексу SCAD

Практическая значимость результатов исследования заключается в исполь-

зовании полученных результатов в научных исследованиях, учебной работе и в проектных организациях, занимающихся расчетами и проектированием тонкостенных конструкций такого типа, например, ОАО СПб ЗНИИПИ жилищно-гражданских зданий Результаты исследования включены в курс лекций для студентов специальностей "Прикладная математика" и "Промышленное и гражданское строительство" СПбГАСУ

Результаты работы докладывались на 58-й и 59-й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (2005 г, 2006 г), на 63-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 2006 г) Полностью работа докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры Прикладной математики и информатики под руководством д ф -м н , проф Вагера Б Г. (апрель, 2007 г) Публикации

По теме диссертации опубликовано четыре научные работы Публикаций по перечню ВАК — 1

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 203 наименований, приложений Работа изложена на 137 страницах машинописного текста, содержит 25 рисунков Приложения занимают 29 страниц

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и основные задачи исследования, приведен обзор литературы по теме диссертации, приведены сведения о научной новизне, основных результатах, выносимых на защиту, их апробации и публикации

В первой главе выводятся математические модели деформирования ребристых цилиндрических оболочек при статическом нагружении

Рассматривается круговая цилиндрическая оболочка радиуса срединной поверхности г и толщины /г (рис 1)

Содержание работы

Рис 1

Срединная поверхность оболочки принимается за координатную поверхность Оси х, у ортогональной системы координат показаны на рис 1, ось г направлена ортогонально средней поверхности в сторону вогнутости Для замкнутой цилиндрической круговой оболочки параметры Ляме принимают вид А-1, В-г,

а кривизны — ЛГ = О, Ку = -' г

Деформации в координатной поверхности оболочки выражаются через перемещения £/, У, Ж вдоль осей х, у, г следующим образом

_дЦ 1 (д!¥-I 1(1 К) 2

ех~ 8х 2 [дх) ' ЕУ"г ду г 2 [г ду + г) '

_дУ \ 8Ц_+Ш_ (\ д]¥ У) О)

УхУ дх + г ду дх [г ду г)

Деформации в слое, отстоящем на г от координатной поверхности, при учете поперечных сдвигов имеют вид

(и^и + г м/х, У^Г + гцТу, =}У)

*х=ех+гХу£у=еу+* ХгГ%у=Уху+2 Щ2' (2)

и кроме того

д!Г) , „, ч ( \дУ ^

(3)

, ,/ ч I ЗИЛ , ,, ч ( \дУ Ул

Здесь

\jz_j, уу - углы поворота отрезка нормали у координатной поверхности в плоскостях Х02 и У02 соответственно,

/(г) - функция, характеризующая распределение напряжений 1Х,, вдоль оси г, к - константа

Функции изменения кривизн X]. Шг и кручен™ Хп принимают вид

& Лг'г ду '2Х12_ & +г ^Г (4)

Физические соотношения (связь напряжений и деформаций) для изотропного упругого тела имеют вид (закон Гука)

Е

Е

2(1 + ц)У^'Т(г 2 + 2 (l + ц)

e e

"fxz, T>. л . ..\7r ,

(5)

Здесь E, р. - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки Пусть со стороны вогнутости оболочка подкреплена перекрестной системой ребер параллельных осям координат Высоту и расположение ребер зададим функцией

т _ п п т

= + 2>VS(x-*j)Sly-yt), (6)

1 j=1

Здесь

hJ, rj, m — высота ребер параллельных оси у, их ширина и число ребер этого направления, /г', п — аналогично для ребер параллельных оси х,

E(x-xj), ё(у-у,) — единичные столбчатые функции, равные единице в местах присоединения ребер

Таким образом, толщина всей конструкции h + Н

h h

Интегрируя напряжения (5) по z в пределах от - — до — + Н, получим усилия,

моменты и поперечные силы, приведенные к срединной поверхности обшивки и приходящиеся на единицу длины сечения

N^G^h + F) е,+5 Ny = <%[(& + ?) Е2+^ V2|

W^GuKft + f) y^+S V12J.M*=G>

(h3 -1

S E¡ + — + J ^12 J Vi

(7)

(h3 -Л f/>3

£ II S e2 + — + J l12 J ц/2 , Mxy=G12 s + — + J J Vl2

Qx =k Gl3(h + F) ¡V, Qy = * Gn (h + F) [y, &

Здесь

1 8W V

Vi2=2 Xi2> G, =G7=-

1-ц

2 - i_r¡2 - G13 - G23 -

2 (l + ц)

/?> У —площадь поперечного или продольного сечения ребра, приходящаяся на единицу длины сечения, статический момент и момент инерции этого сечения, при этом

Л/2+Я А/2+Я Л/2+Я

Г= | с!г-, 5= | гск-, 7=

А/2 Л/2 А/2

Будем считать, что на оболочку действует поперечная нагрузка д(х, у) Функционал полной энергии деформации оболочки имеет вид (функционал Лагранжа)

Э = Л-Л (8)

где П — потенциальная энергия системы, А — работа внешних сил, те

а ь.

1 Г

з = II - А = - / Д/^Е, + Ыуъу + Л^у^ + Мх%} +Мух2 + 2МхуХ\2 +

дх)~

1 д1Г V

пЬсс1у,

(9)

В выражении (9) Ъ-2% для замкнутой цилиндрической оболочки Введем безразмерные параметры

*-Х V, У а о

аЦ_ И3 '

КУ - Г - ■ г=т а= а Т' гЪ а гЪ'

гЬУ И2 II Чх А . гЬ 41 у А •

I--1 р- а><1 к' к2' V Ек'

(10)

При длительном нагружении в материале оболочки могут проявиться деформации ползучести Чтобы это учесть физические соотношения, используя линейную теорию наследственной ползучести, необходимо взять в виде

'о

1-Ц

Е

еу + - /Й' + Це^Мл

(И)

Е

_ / \ _ / \

Здесь кдг,т), К2\},%) - функции влияния (ядра релаксации; материала при растяжении (сжатии) и сдвиге Нагрузка, действующая на конструкцию, считается статической, тем не менее, деформации, а, следовательно, и перемещения считаются функциями не только пространственных переменных хиу,иои временной координаты I Запишем выражения напряжений в виде

т = тг — т т = т' ~ т

Х2 X* х- гс п'

(12)

где составляющие с индексом у будут иметь вид (5), а составляющие с индексом с (при учете ползучести материала) имеют вид

(13)

к н тт

Интегрируя напряжения (12) по г в пределах от - — до — + Н, получим Мх=Мух-Мсх, Му=Муу-Мсу, М^^МУу-М^,

£у = &у ^у'

0Х = <2?-0С„ Оу=гЯ-Оу,

где составляющие усилий и моментов с индексом у имеют вид (7), а составляющие с индексом с примут вид

К = у^т ) [(* + + Ц8,М(х, + КС: )]«■('.*>*,

^ <0

МУ = А1 К*++№,)+ + дх,)к('л)/т.

Е

М1

та'

. и 1

Е ' 2(1 +Ц)!

Р.^лУЬ,

сыч

V* /

Если рассматриваются упругие задачи, то функционал (9) можно записать в виде (введем индекс у)

( агУ Г 1

25[ед, + це.х, + ед, + це д, + 2ц,учх12]+

(15)

Если считается, что могут проявиться свойства ползучести материала конструкции, то функционал полной энергии деформации представляется в виде

Э = Эу-Эс, (16)

где Эу имеет вид (15), а Эс записывается в виде

Э =

2&Т

V- 100

- 25(ехх, + цед2 + Ед2 + ЦЕ д,)+ — + / + 2ДХ,Х2 + Х2)

Л,(/,т)|г сЬсЛуЛт.

Уравнения равновесия будут представлять собой громоздкую систему интеро-дифференциальных уравнений, решение которой вызывает серьезные затруднения Поэтому для исследования математической модели будет применяться метод минимизации функционала полной энергии деформации оболочки

В работе получена математическая модель деформирования рассматриваемых оболочек без учета поперечных сдвигов и выведены уравнения в смешанной форме для ребристых цилиндоических оболочек Получен упрощенный вариант модели для панелей ребристых цилиндрических оболочек, когда их можно считать пологими

Во второй главе рассматривается методика исследования устойчивости ребристых цилиндрических оболочек, основанная на методе Ритца и итерационных процессов

К функционалу полной энергии деформации ребристой цилиндрической оболочки (16), записанному в безразмерных параметрах, применяется метод Ритца

при аппроксимации искомых функций [/(§,т]), к(£,т|), т]), т]), л) в виде

_ N _ N _ N

и = ъи{1)х\{1)у\{1), V = Д У{1)Х2{1)У2{1), IV = £ И'(1)ХЗ(1)УЗ(1),

N N (18)

= м7у = ХШ(1)Х5(1)Г5(1)

Здесь

и([), Г(1), /), Рй(1), РМ([)—искомые числовые параметры для решения упругих задач и функции переменной I для задач ползучести, XI(/)-Х5(/) — известные аппроксимирующие функции переменной д, удовлетворяющие при 4 = 0, 5 = 1 заданным краевым условиям,

У1(/)-У5(/) — известные аппроксимирующие функции переменной т], удовлетворяющие при т) = 0, Т| = 1 для замкнутых оболочек условиям периодичности, а для панелей условиям закрепления

В результате получим систему нелинейных интегро-алгебраических уравнений

I [г/(/)а(/,/)+ у{/)сг2(1,{)+^(/)с/-"з(/,/)+

/=1

1=1

-£/ { [ и(1)С22(Г,1)+У(1)СР19(1,1)+}У(1Х СУ20(/,/)+

АГ»1_____________

+ [ U(I)C23(l,l)+ V(I)CF29(1,I)+ JV(/)Z W(K)CF3Q{1,I,K)+

___K=I__

+ PS{I)CS\ 9(1, /) + PN(l)CS20(l, l) ]/?,(г,т) }dx = 0,_

£ [U(!)CF2(I,!)+ V{I)C2{[J)+ W(l)CF6(l,l)+

/«I

+ /'л(¡y:si\i,/)+f/v í/jCo4(<*,/) j+£ £v/{iy/{K)cFi{t,i,к)-

I-1

-IÍ {\U(I)CF19{I,1)+V{I)C2A{I,1)+W{l)i CF23(l,!)+

ii0 -

+ £ fV(K)CF24(U, K))+PS(I)CS13(U)+ PN(/)CSl4(l,l)]R, (г,т)+ _

+ [ U{i)CF29{l,i)+ V(l)C25(l,l)+ W(l)fiW{K)CF32(},I,K)+

_ лги

+ /'¿"(/)C521(/,/) + PN(J)CS22{1, J) fofct) }A = 0, t [U(I)CF3(I,()+V(I)CF6{1.Í)+W{I)C5{I,1)+

/»I

+/>s(/)cio(/,/)+/w(/)cii(/,/) ]+£ v[ u{i)fv{K)C3{!,i,K)+

1=1 K-l

+ V(l)W(K)CA{[,l,K)+W{l\W{KyyC(ilJ,K)+ + fjV{L)C%Ll,K.L) )+PS(K)C&(I.I,K)+ PN{K)C9(l,l,K) ) ]-

¿M

-£j {И/Х )+

/«.i ,a -!_

+ F(/X CF23(/,/)+ £r(AT)CF24(/^))+r(/XC26(/,/)+

_ <=i_

_

+ i,W(L)C2S(l,l.K,L) )+ PS{K)C29{l,l,K)+PN(K)030{l,l,K)))+

L* 1 _

+ PS(/)CS15(/,/)+PJV(/)CS'16(/,/) ]Я,(/,т)+[ £/(/)£ »'(*0С31(/,/Ж)+

____

+ £W(K)C32(lJ,K) + lV(fX C33(/,/)+£ (tr(K)x

<T»I_AT=1

N

xJ^W(L)C34(l,l,K,L)+PS{K)C35(rj,K)+PN(K)C36(l,l,K)))+ ¿»1___

+ PS(l)CF35(lj)+ PN(i)CF36{1,I)]r2(г,т) }¿t = PCP(l),

£ [t/(/)CSl (/, /) +Г (/)CS3(;,/)+Г(/)С12(/,/) +

/-i

+ PS(l)Cl3(l,l)+PN(l)CJ2(l,l) ]+ jrw(/)lV(K)CS7(l,K,l)-

к=1 12

-i} {[ t/(7)CSl\{i,i)+v{i)csn{i,i)+ w(i\cs\5(l,l)+ (l9

+ ^W{k)cS\l{l,k,i) )+ ps(l)c3l(l,í)+ pn(i)cji(i,i) ]л,(/,т) +

K=1___

+ [ ü(l)CSl9(l,l)+ V(l)CS2\([ ,í)+ ¡Vj/X сF35(l,l) +

ts

+ £ W{k]CS22{I, K, /)) + PS(/')C3S(/ l) + PN(l)CJ\C)(/j) ]*í,(í t) ]dr = 0,

Л' =1_

/=1

+ps(i)cj2(1,1)+pn(i)c,\5(1,1) ]+£ £w(i)w(k)oss(i,k,i)-

I-l K=\

-£} {[ u(j)cs\2(l,l)+ v(¡)cs\4(l,l)+ v/(lfcs\6{l,l)+

/-! r0

+ £w(K)CS\&{l,K,l) )+PS{I)CJ7(l,l)+PN{I)C39(l,l) ]Л,(/,т)+ *:=!__

+ [ u(l)cs20(í,l)+ v(i)cs22{i,1)+ w(lt cf36(l,l)+ + £ w(k)cs2a(l,k,í))+ ps([)cj\ 0(f,l)+ pn(í)ca(l,l) ]x

K*)_____

xR2(í,x) }dx = O, / = 1,2,

Эту систему кратко можно записать в виде

F„(x)-P cp(j)=FH(x)+Fn(x), (20)

Для решения этой геометрически и физически нелинейной задачи применяется двойной метод итерации Начальными условиями для задачи ползучести при t = О является решение упругой задачи, итерационным методом Система (19) может быть записана в виде

£ [ U{l)c\{l,i)+ v(l)cf2(l,l)+ w(l)cf2{l,l) + /=1

+ ps{l)cs\{l,l)+ pn(l)cs2(l,j) ]=b{ + a¡;

¿ [ u{l)CF2{l,l)+V{l)C2{l,l)+W{l)CF6{l,l) + /=1

+ ps(l)cs3(l,l)+ pn(l)csa(l,l) ]= b2 + a2;

£ [ и(1)сеъ(г,1)+у(1)сгб(1,1)+№(г)с5(г,!) +

/=1

+ ду(/)с10(/,/)+ рм{1)с\ 1(1,1) ]=въ + аъ + рср(1),

N

V Г ии)с8\(1.1)+ у(/•)С53(/,/)+ \у{1)с\2{],1)+

/=1

+ ду(/)с13(/,/)+ ри(1)сл(1,1) ]=я4 + /¡4;

X [ [/(/)С5'2(/,/)+к(/)С5'4(/,/)+Г(/)С14(/)/) +

/=1

+ Р5(/)С/2(/,/)+ РД/(/)С15{/,/) ]= В5 +

где а1-а5 — это подчеркнутые выражения в (19),

в\-в5 — эго нелинейные члены системы (19)

Интегралы по переменной 1 на отрезке [г0, л ] разбиваются на сумму интегралов по частичным отрезкам [г,последние заменяются интегральной суммой Так как функции влияния зависят от / - х, то на частичных отрезках длиной Лг они будут постоянными По разработанному алгоритму составлен программный модуль для ЭВМ

В третьей главе приведены результаты исследования напряженно-деформированного состояния и устойчивости упругих ребристых цилиндрических оболочек, на основе решения геметрически нелинейных задач Обосновывается достоверность получаемых результатов

Рассматривались панели стальных цилиндрических оболочек, шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру и находящихся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки, с параметрами а = Юм, г = 5,4м, А = 0,01м при различном угле разворота оболочки ук и различном подкреплении ребрами высотой 3/г и шириной 2 Л

На рис 2-5 представлены графики "нагрузка q - прогиб РК"

71

На рис 2-4 результаты для оболочки с углом разворота У к = —, при отсутствии

подкреплений (рис 2), при подкреплении 4 ребрами по 2 в каждом направлении (рис 3) и подкреплении 12 ребрами по 6 в каждом направлении (рис 4) На рис 5 результаты для неподкрепленной оболочки с углом разворота ук = я

0 0000 0 0005 0 0010 0 0015 0 0020 0 0025 0 0030

У7

Рис 2

Зависимость прогиба от нагрузки

1Л/

VI

Рис 4

Зависимость прогиба от нагрузки

VI

Как видно из приведенных рисунков, при увеличении угла разворота у^ критическая нагрузка увеличивается При подкреплении оболочки ребрами критическая нагрузка существенно увеличивается, даже при незначительной жесткости ребер

Для стальной оболочки (£ = 2,1 105МПа) при протяженности а = 20м и

т

толщине п = 1 см критические нагрузки очень иольшие (</ = 0,1 МПа-10—у), 1 с

м

оболочки практически не будут терять устойчивость, так как реальные нагрузки будут существенно ниже Если оболочка изготовлена из оргстекла, то для

рассматриваемой оболочки при угле разворота Ук~ ~ критическая нагрузка для

гладкой оболочки будет 0,3 10~2МПа, а для подкрепленной 12 ребрами 0,8 10-2МПа

Исследования проводились с большой точностью, так как в разложении искомых функций (18) удерживалось 121 член (N=121) Характер напряжений и прогибов многоволновой, а в областях, близких к угловым наблюдались наибольшие напряжения

Исследования устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек показало, что при симметричной нагрузке и закреплении, оболочка теряет устойчивосгь(п-роисходит смена равновесных состояний) только, когда задаются некоторые нес-симетричные несовершенства вдоль окружной координаты

В четвертой главе исследуется устойчивость ребристых панелей цилиндрических оболочек при длительном нагружении

Расчеты проводились при использовании уравнений (19) при разложении искомых функций в ряды (18) с удержанием 9 членов (n-9) Рассматриваемый

материал оргстекло (£~ о,33 104 МПа, ¡я = 0,354) Все расчеты проводились в безразмерных параметрах (10)

ч и Р Р I, 1, ь

А

к Я Я ук к к к Е к4'

Л— радиус кривизны цилиндрической оболочки, а — линейный размер оболочки в направлении оси х)

Если частичный отрезок по временной координате А/ взять равным 1 сутки, то

| Л. (7 т » 0,02694 | 0,01317

» I ^ у ^ А I

При учете ползучести материала при определенной нагрузке в начале решается упругая задача и находятся прогибы оболочки, затем при развитии ползучести, прогибы начинают расти и при некотором времени 1кр прогибы резко возрастают в течение короткого времени в 10 - 20 Р33 Это время принимается за критическое время

На рис 6 представлены зависимости "нагрузка р —прогиб iv " в центре панели

Кривые 1-6 на этом рисунке соответствуют следующим вариантам панелей

1 а =60, Кц=\6, Я. = 1, Я = 225 /г, ^ = 0,266 рад,

2 а =90, К^=16, К = 1,5, Л = 225й, ук = 0,266 рад,

3 а=60, Кц= 24, ¿. = 1, Я = 150/г, .у* = 0,266 рад,

4 а = 90, Кц= 24, Я. = 1,5, Л = 150/г, ук = 0,266 рад,

5 д=100, ^=40, Х = 1, Л = 250к, ук = 0,4 рад,

6 а =150, ^=40, А. = 1,5, /? = 250/г, Л= 0,4 рад

Если перейти к размерным параметрам, то для варианта 5 дКр = 1,18 10 МПа, а для варианта 6 = 0,7 10~2 МПа

Зависимость Р-\У

w

На рис 7 представлены зависимости прогиба \у от времени / (в сутках) для варианта панели 1, характеризующие развитие ползучести в материале При некоторой нагрузке р из решения упругой задачи находится начальное значение прогиба в центре панели (при / = о), затем со временем прогиб начинает расти в результате развшия ползучести и время бурного роста прогибов соответствует моменту "прощелкивания оболочки" ¡кр

Кривые 1-4 на этом рисунке соответствуют нагрузкам р = 20,40,60,80 Так, при I = 0 критическая нагрузка была ркр~ 85, при t - 83 сут ркр = 40

1В-

8

Б

VI

4

2

211 43 Г,Э ВО 1!» 120

I

Рис 7

Таким образом, при длительном нагружении вследствие развития ползучести в материале критические нагрузки существенно снижаются

Основные результаты

1 Разработаны математические модели деформирования цилиндрических оболочек с учетом

• геометрической нелинейности,

• дискретного введения ребер,

• их сдвиговой и крутильной жесткости,

• поперечных сдвигов,

• возможности развития деформаций ползучести, позволяющие наиболее точно исследовать устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при кратковременных и длительных нагрузках

2 Разработаны алгоритмы решения задач устойчивости для ребристых цилиндрических оболочек, основанные на методе Ритца и итерационных процессах (один итерационный процесс для решения нелинейной упругой задачи, и другой для решения задачи ползучести) Составлен программный модуль для ЭВМ

19

3 Исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости панелей ребристых цилиндрических оболочек в упругой постановке показало, что

« характер напряжений и прогибов многоволновой, и в областях, близких к угловым, наблюдаются наибольшие напряжения,

• при увеличении угла разворота оболочки жесткость и, соответственно, критические нагрузки увеличиваются,

• при подкреплении оболочки ребрами сравнительно небольшой жесткости существенно увеличиваются критические нагрузки

4 Замкнутые цилиндрические оболочки при симметричной нагрузке и закреплении теряют устойчивость по несимметричной форме, те только в том случае, когда имеют место некоторые несимметричные несовершенства формы

5 Исследование устойчивости панелей ребристых цилиндрических оболочек при длительном нагружении показало, что при развитии ползучести в материале критические нагрузки существенно уменьшаются

Основные результаты опубликованы в следующих работах

1 Аристов Д И Компьютерные технологии исследования устойчивости панелей ребристых цилиндрических оболочек при кратковременном и длительном нагружении // Вестник гражданских инженеров СПб, СПбГАСУ, 2007 №2(11), -с 85-89

2 Аристов Д И, Карпов В В , Сальников А Ю Вариационно-параметрический метод исследования цилиндрических оболочек ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Межвуз Темат Сб тр СПбГАСУ - СПб, 2004 - с 143-148

3 Аристов Д И , Сальников А Ю Математическая модель цилиндрической оболочки ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Межвуз Темат Сб тр СПбГАСУ - СПб , 2004 - с 138-143

4 Карпов В В , Аристов Д И , Овчаров А А Особенности напряженно-деформированного состояния панелей ребристых оболочек вращения при динамическом нагружении // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета Томск, 2007 - с 94-102

Подписано к печати 23 04 07 Формат 60x84 1/16 Бум офсетная Уел печ л 1,25 Тираж 100 экз Заказ 69

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

190005, Санкт-Петербург, ул 2-я Красноармейская, 4

Отпечатано на ризографе 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 5

Введение

Глава 1. Нелинейные математические модели цилиндрических оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов

1.1. Основные соотношения геометрически нелинейной теории цилиндрических оболочек с учетом поперечных сдвигов

1.2. Соотношения упругости для оболочек ступенчато-переменной толщины

1.3. Оболочки, подкрепленные узкими ребрами

1.4. Функционал полной энергии деформации для цилиндрической оболочки ступенчато-переменной толщины при статическом нагружении

1.5. Переход к безразмерным параметрам

1.6. Математическая модель цилиндрической оболочки ступенчато-переменной толщины без учета поперечных сдвигов модель Кирхгофа-Ляве)

1.7. Упрощенный вариант математической модели для панелей цилиндрической оболочки ступенчато-переменной толщины. Уравнения в смешанной форме.

1.8. Физические соотношения для цилиндрических оболочек при учете ползучести материала

1.9. Функционал полной энергии деформации для панелей цилиндрической оболочки ступенчато-переменной толщины при учете деформаций ползучести

1.10. Выводы

Глава 2. Алгоритмы решения задач устойчивости для ребристых цилиндрических оболочек при кратковременном и длительном нагружении

2.1. Методика решения упругих задач для ребристых цилиндрических оболочек

2.2. Системы аппроксимирующих функций

2.3. Применение метода итераций для решения нелинейных алгебраических уравнений равновесия

2.4. Методика решения задач ползучести для ребристых цилиндрических оболочек

2.5. Программа расчета ребристых цилиндрических оболочек при кратковременных и длительных нагрузках

2.6. Выводы

Глава 3. Напряженно-деформированное состояние и устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при кратковременных нагрузках

3.1. Характер напряженно-деформированного состояния панелей цилиндрических оболочек

3.2. Обоснование достоверности получаемых результатов

3.3. Устойчивость панелей ребристых цилиндрических оболочек

3.4. Устойчивость замкнутых цилиндрических упругих оболочек

3.5. Выводы

Глава 4. Устойчивость панелей ребристых цилиндрических оболочек при длительном нагружении

4.1. Влияние ползучести материала на снижение критической нагрузки для панелей гладких цилиндрических оболочек

4.2. Влияние ползучести материала на снижение критической нагрузки для панелей ребристых цилиндрических оболочек

4.3. Выводы 83 Заключение 84 Список литературы 86 Приложения

Цилиндрические оболочечные конструкции находят большое применение в ракетостроении, самолетостроении, судостроении, машиностроении и в строительстве. Для придания большей жесткости они подкрепляются ребрами жесткости. Любая конструкция должна быть устойчивой при воздействии нагрузок. При длительном воздействии нагрузки на оболочку в материале могут проявиться свойства ползучести.

Большое число публикаций, касающееся исследования устойчивости оболочек, относится к цилиндрическим оболочкам. Это работы И.Я. Амиро и В.А. Заруцкого [8, 9, 10], Э.И. Григолюка и В.В.Кабанова [45], А.С. Вольмира [31], Н.В. Валишвили [22], А.К. Перцева и Э.Г. Платонова [147], В.И. Климанова и С.А. Тимашева [109], JI.B. Андреева, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедева [11] и многих других. Однако полностью решенной эту проблему считать нельзя. Так в работе Э.И. Грголюка и В.В. Кабанова для исследования устойчивости цилиндрических оболочек применяется подход Эйлера, когда задача сводится к отысканию собственных значений линейных уравнений нейтрального равновесия. В работе Н.В. Валишвили применяется осесимметричная постановка. Так же часто в работах используется безмоментная теория. В работе Л.В. Андреева, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедева рассматриваются гладкие оболочки. В работах А.С. Вольмира жесткостьребер "размазывается" по полю оболочки.

Исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости оболочек в условиях ползучести материала проведено в работах И.Г. Терегулова [176], B.C. Гудрамовича и В.П. Пошивалова [50], Л.М. Куршина [119], В.И. Климанова и С.А. Тимашева [109],

В.В. Карпова и В.К. Кудрявцева [85] и др. Однако в каждой работе исследуются некоторые частные проблемы.

Таким образом, исследование устойчивости цилиндрических оболочек с учетом геометрической нелинейности, дискретного введения ребер, их сдвиговой и крутильной жесткости, поперечных сдвигов, ползучести материала является актуальной задачей.

При рассмотрении местного усиления или ослабления необходимо привлекать более сложные модели, чем модель Кирхгофа-Лява. Кроме того, необходимо вместе с расчетами на прочность и устойчивость решать вопросы рационального выбора подкреплений и параметра кривизны. Так главная задача инженерных расчетов при проектировании оболочечных конструкций - избежать потери устойчивости, а это можно сделать путем повышения жесткости подкреплений или увеличения кривизны.

Пока не существует единой обобщенной теории ползучести, одинаково пригодной для всех конструктивных материалов.

Основы теории наследственности заложили Больцман и Вольтерра и развили впоследствии Ю.Н. Работнов, М.И. Розовский, Г.Н. Маслов, Н.Х. Арутюнян, А.Р. Ржаницын. Эта теория достаточно хорошо отображает поведение деформируемых полимерных материалов.

Для конструкций и материалов с неограниченной ползучестью ставятся задачи определения критического времени tk, которое соответствует моменту резкого возрастания прогибов, т.е. моменту "прощелкивания" оболочки.

Основные идеи теории ребристых оболочек высказаны в конце 40-х годов прошлого века В.З. Власовым [26] и А.И. Лурье [107]. В их работах заложены два основных подхода к исследованию ребристых оболочек. В.З. Власов рассматривал ребристую оболочку как контактную систему, состоящую из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье рассматривал обшивку и ребра как одно целое. Используя вариационный принцип, получал уравнения равновесия и естественные краевые условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из оболочки (обшивки) и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов, либо тонкостенных стержней (В.З. Власов), либо стержней Кирхгофа-Клебша (А.И. Лурье). Третий подход к ребристой оболочке основан на сведении ее к конструктивно-ортотропной оболочке, путем «размазывания» жесткости ребер по всей оболочке.

Задание дискретного изменения толщины пластин и оболочек с помощью единичных функций применяется в работах [3, 21, 54, 57, 58, 137, 176]. В работе Вайнберга Д.В., Ройтфарба И.З. [21] рассматриваются задачи в линейной постановке (1965 г.). В работах Абовского Н.П., Енджиевского Л.В. и других ученых Красноярского края [3, 54] задание дискретной переменности толщины для ребристых оболочек используются как для задач в физически нелинейной постановке, так и геометрически нелинейной. Причем путем задания локальной нулевой жесткости имитируются вырезы. Аналогичный подход к оболочкам с вырезами используется в работах Преображенского И.Н. [137].

Геометрически нелинейная теория пологих оболочек ступенчато-переменной толщины (ребра, накладки, вырезы) разработана Карповым В.В. [76-80]. Им доказана эквивалентность подходов Власова В.З. и Лурье А.И. к ребристым оболочкам. Проведено исследование устойчивости ребристых пологих оболочек и оболочек с вырезами с учетом многих факторов, которые раньше не учитывались (учет сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и т.д.). Используя вариационный принцип, им было доказано, что краевые условия на боковой поверхности ребер и на краю вырезов (свободный край) можно ввести в уравнения равновесия и при решении задачи добиться их хорошего удовлетворения.

Исследования в области устойчивости ребристых оболочек, как правило, выполняются с использованием для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) обшивки теории упругих тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, а для описания НДС ребер - теории тонких стержней Кирхгофа-Клебша. Во многих работах принимается, что ребра присоединены к обшивке вдоль линий главных кривизн и передают на обшивку реакции, распределенные по линиям. В линейной постановке используется статический критерий устойчивости, и задача сводится к решению систем дифференциальных уравнений нейтрального равновесия. Большинство работ относится к исследованию оболочек вращения.

В геометрически нелинейной постановке для задач статики при определении критических нагрузок разыскивается предельная точка кривой "нагрузка-прогиб" оболочки.

Подавляющее число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами, посвящено статике оболочек.

В задачах динамики использованы положения теории, сформулированные при решении задач статики ребристых оболочек. Как и в задачах статики, при изучении динамики ребристых оболочек применяется два подхода, отличающихся по способу учета подкрепляющих оболочку ребер. Первый из них основан на замене рассматриваемой оболочки эквивалентной ей в известном смысле гладкой оболочкой (конструктивно-ортотропная модель). Второй подход основан на учете дискретного размещения ребер, что в ряде случаев позволяет обнаружить те специфические особенности поведения ребристых оболочек при динамическом нагружении, которые нельзя изучить с помощью первого подхода.

Постановки задач динамики ребристых оболочек при использовании в качестве расчетной схемы конструктивно ортотропных оболочек, в принципе, могут отличаться лишь способом вычисления жесткостных параметров эквивалентной гладкой оболочки. В рассмтренных здесь работах, как правило, используется способ приведения, при реализации которого жесткости ребер равномерно распределяются по соответствующему направлению оболочки.

При выводе уравнений движения ребристых оболочек с учетом дискретного размещения ребер, как правило, предполагается, что контакт оболочки и ребер осуществляется вдоль линии, хотя ребро имеет конечную ширину, учет которой может повлиять на характер изменения усилий в обшивке вблизи ребер; с другой стороны, учет ширины ребра может привести к существенному уточнению постановки задачи лишь в случае, если будет получено решение соответствующей контактной задачи теории упругости. В настоящее время, насколько нам известно, таких решений нет.

В наиболее общем виде построены уравнения движения ребристых цилиндрических оболочек [8, 56].

Точные решения задач устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении получены для некоторых частных случаев. Опять здесь наиболее полно изучены задачи устойчивости цилиндрических оболочек и в линейной постановке.

Изучению устойчивости ребристых цилиндрических оболочек при динамическом нагружении посвящены работы [10, 8, 60, 176]. Под критическим состоянием в этом случае, как правило, понимается то, при котором увеличение нагрузок приводит к быстрому росту прогибов. В геометрически нелинейной постановке исследования проведены в работах [10, 35, 94, 159, 176]. В результате этих исследований установлено, что с ростом скорости нагружения влияние дискретного размещения ребер на НДС оболочки возрастает.

С использованием энергетического метода и одночленной аппроксимации перемещений решены задачи определения частот и форм собственных колебаний цилиндрических оболочек, усиленных регулярной [8, 149] и двумя регулярными [70, 136] перекрестными системами ребер. Расчетные формулы получены для оболочек из изотропных [149] и анизотропных [136] материалов. Такой же путь решения задачи о собственных колебаниях пологих ребристых оболочек с прямоугольным планом использован в работах [118, 120, 122, 156]. Методика определения собственных частот колебаний ребристых оболочек вращения, основанная на энергетическом методе, приведена в работах [108, 151]. С помощью этого метода изучались собственные колебания ребристых цилиндрических и слабоконических оболочек с большими вырезами [96].

Нелинейные колебания ребристых цилиндрических оболочек изучались в [61, 105], причем в [61] использовалась методика работы [31], а в [105] — метод последовательных приближений.

В работе Перцева А.К., Платонова Э.Г. [130] для получения уравнений движения использовался вариационный метод. Получены уравнения движения для модели Тимошенко—Рейснера для непологих оболочек постоянной толщины. Исследовано НДС ребристых цилиндрических оболочек и их устойчивость, но рассматривается устойчивость панелей между ребрами, а не вся оболочка.

Для круговых замкнутых цилиндрических оболочек, усиленных регулярно размещенными продольными ребрами, возможны принципиально различные типы собственных колебаний: колебания общего вида, при которых частоты зависят от всех жесткостных характеристик ребер (форма колебаний такова, что расстояния между ребрами некратны длине полуволны в окружном направлении); колебания, при которых частоты зависят только от жесткостей ребер на изгиб в радиальной плоскости и на растяжение-сжатие или только от их жесткостей на изгиб в плоскости, касательной к срединной поверхности обшивки и при кручении (узловые линии прогиба совпадают с осями ребер); чисто продольные колебания, при которых формы не зависят от продольной координаты, а частоты — от жесткости ребер. При этом частоты колебаний могут быть ниже соответствующих частот собственных колебаний гладкой оболочки, если ребра находятся в пучностях форм колебаний и играют роль присоединенных масс или равны им, когда ребра располагаются в узлах соответствующих форм колебаний.

Для круговых замкнутых цилиндрических оболочек, усиленных только кольцевыми ребрами, частоты собственных колебаний зависят либо от всех жесткостей ребер, когда расстояние между ребрами некратно длине волны формы колебаний в продольном направлении, либо только от жесткостей ребер на изгиб в касательной плоскости и при кручении, когда длина волны формы колебаний в продольном направлении равна или меньше в целое число раз расстояния между ребрами.

В работе А.С. Вольмира [31] рассматривается динамическая устойчивость пологих ребристых оболочек, но ребра "размазываются" по всей оболочке (применен метод конструктивной анизотропии).

Анализ устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении показал [8, 60], что с ростом скорости нагружения влияние дискретного размещения ребер увеличивается.

Использование для нужд строительной механики математической схематизации различного рода разрывных процессов и состояний в виде импульсивных функций начато Н.М. Герсивановым [37], с именем которого связано введение так называемых функциональных прерывателей и продолжено работами К.С. Завриева [59], А.Г. Назарова [119], В.В. Новицкого [123], Г.А. Ван Фо Фы [24], Д.В. Вайнберга и И.З. Ройтфарба [21] и др.

Для линейных задач статики разработаны методы решения, основанные на использовании свойств импульсных функций. Это методы, разработанные Михайловым Б.К. [114], Образцовым И.Ф. и ОнановымГ.Г. [127], Рассудовым В.М. [142]. В работе A.M. Масленникова [112] для плит и оболочек, подкрепленных ребрами, разработан матричный алгоритм расчета. Получены матрицы жесткости для сложных элементов в виде ортотропных плит, окаймленных эксцентрично расположенными относительно срединной плоскости плиты стержнями. При использовании МКЭ потенциальная энергия деформации определяется с помощью жесткости отдельных элементов. В рассматриваемом случае за отдельный элемент принимается прямоугольная плита с ребрами по контуру.

В работе Постнова В.А., Корнеева В.С.[135] за отдельный элемент ^ принят усеченный конус, что позволяет с успехом решать задачи устойчивости для оболочек вращения.

В работе КлимановаВ.И. и ТимашеваС.А. [94] применена оригинальная комбинация методов Власова-Канторовича и метода конечных разностей. С помощью первого метода исходные нелинейные дифференциальные уравнения (и граничные условия) в частных производных преобразуются в систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая затем методом конечных разностей приводится к системе нелинейных алгебраических уравнений, решаемых на ЭВМ. Такое сочетание методов очень эффективно, поскольку позволяет существенно сократить число совместно решаемых нелинейных алгебраических уравнений по сравнению, например, с обычным методом сеток. С другой стороны, комбинация указанных методов позволила реализовать достаточно сложные условия сопряжения гибкой пологой оболочки с прямолинейными и криволинейными опорными ребрами при решении как статических, так и динамических задач.

В данной монографии изложены новые методы решения характерных задач статистической динамики оболочек как дискретных, так и распределенных систем, основанные на методе спектральных представлений Фурье, интеграла Фурье-Стилтьеса и на методе Монте-Карло.

В основном аналитические решения задач расчета оболочек получены в форме тригонометрических рядов [8], но применяется и энергетический метод для решения линейных задач [8, 70, 96, 108, 118, 120, 122, 136, 151], а также численные методы [99, 163]. Для решения нелинейных задач применяются только численные методы: метод конечных разностей, МКЭ, метод Бубнова-Галеркина.

Наиболее распространенный способ решения задач по устойчивости ребристых оболочек основан на применении МКА. Прогиб при этом задается в виде одночленного выражения по пространственным координатам. Далее применяется метод Бубнова-Галеркина, который сводит исходную задачу к задаче Коши по временной координате. В качестве критерия потери устойчивости является резкое возрастание прогиба.

Точные аналитические решения уравнений движения получены только для цилиндрических оболочек, усиленных ребрами в одном направлении (продольными или кольцевыми [8]) и для пологих оболочек с прямоугольным планом, также усиленных ребрами в одном направлении [8], причем, в подавляющем большинстве работ использованы упрощенные уравнения (принимается, что на оболочку передаются только радиальные реакции ребер или что ребра работают только на изгиб в радиальной плоскости и растяжение-сжатие.

Эти точные решения определяются в форме тригонометрических рядов по координате, ортогональной ребрам.

Для изучения колебаний ребристых оболочек и их устойчивости при динамическом нагружении используются и экспериментальные методы. Собственные колебания, как правило, изучаются на основе резонансного метода [53, 70, 149]. Определение характеристик деформированного состояния оболочек осуществляется на основе динамического тензометрирования [33]. Этот метод находит применение при экспериментальном изучении устойчивости ребристых оболочек [12].

Экспериментальные исследования, как правило, выполнялись с целью обоснования достоверности расчетных формул, полученных на основе приближенных схем. Однако ряд результатов имеет самостоятельное значение.

Значительное число исследований посвящено разработке методик и определению оптимальных параметров подкрепленных оболочек. При решении этой задачи в качестве функции цели, как правило, выбирается объем материала оболочки, а в качестве ограничений — условия, при которых обеспечивается заданный уровень напряжений в оболочке и ее устойчивость. С одной стороны, многовариантный расчет, к которому приводятся все алгоритмы оптимизации, может быть выполнен до конца на современных ЭВМ, если ограничения описываются достаточно простыми соотношениями, а с другой стороны, простые соотношения могут давать достоверные результаты только в узком диапазоне изменения параметров обшивки и ребер, а решение задачи оптимизации требует поиска решений при широком изменении параметров.

В работе И.Я. Амиро и В.А. Заруцкого [7] отмечается, что в целом обоснование достоверности результатов, получаемых при решении задач оптимизации, требует дальнейших исследований. Видимо, отмечают И.Я. Амиро и В.А. Заруцкий, наиболее достоверные задачи оптимизации ребристых оболочек можно получить тогда, когда речь идет о выборе лучшего проекта из числа однотипных.

Задачи оптимизации параметров ребристых цилиндрических оболочек при ограничениях на минимальные собственные частоты рассмотрены в работах [52, 136]. В [52], в частности, показано, что оптимальной по весу является оболочка, усиленная только кольцевыми ребрами. Изучалось влияние эксцентриситета ребер на оптимальный проект оболочки. Показано, что знак эксцентриситета продольных ребер относительно слабо влияет на оптимальные параметры оболочки.

В настоящее время разработано достаточно большое количество пакетов прикладных программ для расчета разнообразных строительных конструкций на прочность, устойчивость и колебания, которые обладают хорошим сервисом и отражают на экране дисплея весь процесс деформирования. Это отечественные и зарубежные программные комплексы (ПК) — ЛИРА, ANSYS, SCAD, COSMOS-M, ROBOT, ArchiCAD и другие используют для получения решения метод конечных элементов (МКЭ), что позволяет исследовать конструкции не только сложной конфигурации, «но и составные конструкции и целые объекты.

Используя КЭ с большим числом степеней свободы, эти комплексы могут учитывать самые различные факторы, например, геометрическую и физическую нелинейность, дискретность расположения ребер в пластинах и оболочках и другие.

Может сложиться впечатление, что разработка новых математических моделей деформирования пластин и оболочек и алгоритмов их исследования не имеет перспектив, что эти ПК "все могут". Однако, это не так.

Из анализа промышленных программных комплексов следует, что они ориентированы на решение обширного круга инженерных задач, поэтому все типы расчета основаны на классических инженерных представлениях и концепциях.

Следовательно, разработка новых более совершенных математических моделей деформирования тонкостенных цилиндрических оболочечных конструкций, содержащих ребра, накладки и вырезы, при кратковременном и длительном нагружении и новых более удобных алгоритмов их исследования всегда будет актуальной задачей.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка алгоритмов решения геометрически и физически нелинейных задач для ребристых цилиндрических оболочек.

Для достижения указанной цели необходимо осуществить решение следующих задач:

1. Разработать математическую модель деформирования цилиндрической оболочки с учетом

• геометрической нелинейности;

• дискретного введения ребер;

• их сдвиговой и крутильной жесткости;

• поперечных сдвигов;

• возможности развития деформаций ползучести.

2. Разработать алгоритмы решения геометрически и физически нелинейных задач при статическом нагружении.

3. Исследовать напряженно-деформированное состояние и устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при кратковременных и длительных нагрузках.

Объектом исследования являются ребристые цилиндрические оболочки.

Предметом исследования являются математические модели и алгоритмы исследования устойчивости ребристых цилиндрических оболочек при кратковременных и длительных нагрузках.

Общая методология исследования базируется на вариационных принципах механики и вариационных методах в сочетании с методом итераций.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Получены геометрически и физически нелинейные модели деформирования ребристых цилиндрических оболочек с учетом таких факторов, как сдвиговая и крутильная жесткость ребер, попереяные сдвиги, возможность развития деформаций ползучести.

Разработаны алгоритмы решения дважды нелинейных задач и составлена программа расчета на ЭВМ. Проведено исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости ребристых цилиндрических оболочек и оценено влияние на критические нагрузки тех или иных факторов.

Основные положения, выносимые на защиту: 1. Разработана более точная математическая модель деформирования ребристых цилиндрических оболочек учитывающая

• геометрическую нелинейность;

• дискретное введение ребер;

• их сдвиговую и крутильную жесткость;

• поперечные сдвиги;

• возможность развития деформаций ползучести.

2. Разработан алгоритм решения геометрически и физически нелинейных задач, основанный на методе Ритца и методе двойной итерации, который реализован в виде программного модуля для ЭВМ.

3. Исследовано напряженно-деформированное состояние и устойчивость панелей ребристых цилиндрических оболочек при различных значениях параметров оболочки (угле разворота, числе подкреплений, радиуса) и выявлены характерные особенности. Показано, что замкнутые цилиндрические оболочки могут терять устойчивость только по несимметричной форме.

Достоверность и научная обоснованность результатов диссертации обеспечивается применением вариационных методов, сходимость и точность которых обоснована, сравнением результатов решения некоторых задач с результатами других авторов и с расчетами по компелексу SCAD.

Практическая значимость результатов исследования заключается в использовании полученных результатов в научных исследованиях, учебной работе и в проектных организациях, занимающихся расчётами и проектированием тонкостенных конструкций такого типа, например, ОАО СПб ЗНИИПИ жилищно-гражданских зданий. Результаты исследования включены в курс лекций для студентов специальностей "Прикладная математика" и "Промышленное и гражданское строительство" СПбГАСУ. Апробация работы

Результаты работы докладывались на 58-й и 59-й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (2005 г., 2006 г.), на 63-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 2006 г.). Полностью работа докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры Прикладной математики и информатики под руководством д.ф.-м.н., проф. Вагера Б.Г. (апрель, 2007 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано четыре научные работы. Публикаций по перечню ВАК — 1.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 203 наименований, приложений. Работа изложена на 137 страницах машинописного текста, содержит 25 рисунков. Приложения занимают 29 страниц.

4.3. Выводы

При долговременном нагружении в материале оболочки происходит вследствие развития ползучести резкое увеличение прогибов и как следствие этого — потеря устойчивости. Критическая нагрузка по сравнению с мнгновенной критической нагрузкой может уменьшаться в разы.

Заключение

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1. Разработаны математические модели деформирования цилиндрических оболочек с учетом

• геометрической нелинейности;

• дискретного введения ребер;

• их сдвиговой и крутильной жесткости;

• поперечных сдвигов;

• возможности развития деформаций ползучести, позволяющие наиболее точно исследовать устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при кратковременных и длительных нагрузках.

2. Разработаны алгоритмы решения задач устойчивости для ребристых цилиндрических оболочек, основанные на методе Ритца и итерационных процессах (один итерационный процесс для решения нелинейной упругой задачи, и другой для решения задачи ползучести). Составлен программный модуль для ЭВМ.

3. Исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости панелей ребристых цилиндрических оболочек в упругой постановке показало, что

• характер напряжений и прогибов многоволновой, и в областях, близких к угловым, наблюдаются наибольшие напряжения;

• при увеличении угла разворота оболочки жесткость и, соответственно, критические нагрузки увеличиваются;

• при подкреплении оболочки ребрами сравнительно небольшой жесткости существенно увеличиваются критические нагрузки.

4. Замкнутые цилиндрические оболочки при симметричной нагрузке и закреплении теряют устойчивость по несимметричной форме, т.е. только в том случае, когда имеют место некоторые несимметричные несовершенства формы.

5. Исследование устойчивости панелей ребристых цилиндрических оболочек при длительном нагружении показало, что при развитии ползучести в материале критические нагрузки существенно уменьшаются.

1. Абовский Н.П. Смешанные вариационные уравнения для пологой ребристой оболочки // Строительная механика и расчет сооружений. 1969. №4.-С. 20-22.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Под ред. Н. П. Абовского -М.: Наука, 1978.-228 с.

3. Абовский Н.П., Чернышов В.Н., Павлов А.С. Гибкие ребристые пологие оболочки: Учеб. пособие для вузов. Красноярск, 1975. -128 с.

4. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояния равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // ПММ. Т. 13. 1949. Вып. 1. С. 95-107.

5. Алумяэ Н.А. Одна вариационная формулировка для исследования тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // ПММ. Т. 14. 1950. Вып. 2. С. 197-203.

6. Алфутов Н.А. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной поперечным силовым набором и нагруженной внешним равномерным давлением // Инженерный сборник. 1956. Т. 23.-С. 36-46.

7. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области динамики ребристых оболочек // Прикладная механика. 1981. Т. 17. № 11. С. 3-20.

8. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. Т. 2. Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1980. - 368 с.

9. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Экспериментальное и теоретическое определение собственных частот колебаний подкрепленныхцилиндрических оболочек // Прикладная механика. 1977. Т. 13. № 10.-С. 6-13.

10. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Поляков П.С. Ребристые цилиндрические оболочки. Киев: Наукова думка, 1973. - 248 с.

11. Андреев Л.В., Ободан Н.И., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука, 1988. - 208 с.

12. Аристов Д.И. Компьютерные технологии исследования устойчивости панелей ребристых цилиндрических оболочек при кратковременном и длительном нагружении // Вестник гражданских инженеров. СПб., СПбГАСУ, 2007. №2(11), с. 85-89

13. Безухое Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. -М.: Высшая школа, 1968. 512 с.

14. Блехман КН., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. М.:Наука,1983. - 328 с.

15. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956.

16. Борзых ЕЛ. Алгоритмы численного расчета пологой ортотропной оболочки на прямоугольном плане с прямоугольным отверстием // Тр./ЦНИИСК, 1970. Вып.9. С. 104-109.

17. Броутен Ф., Олмрос Б. Потеря устойчивости цилиндрических оболочек с отверстиями // Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т. 8. № 2. С. 56-62.

18. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. Ч. 1-2. СПб., 1912, 1914.

19. Вайнберг Д.В., Ройтфарб КЗ. Расчет пластин и оболочек с разрывными параметрами // Расчет пространственных конструкций. -М.: Стройиздат, 1965. Вып. 10. С. 39-80.

20. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

21. Валишвили Н.В., Силкин В.Б. Применение метода прямых для решения нелинейных задач динамики пологих оболочек // МТТ. 1970. №3.-С. 140-143.

22. Ван Фо Фы Г.А. Приложение функций Матье и функций Дирака к исследованию пластин и оболочек // Прикладная механика. 1958. Т.2. Вып. 3.

23. Власов В.З. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней // Изв. АН СССР. ОТН. 1949. № 6. С. 819-838.

24. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек // Строительная промышленность. 1932. №11. -С. 33-37;№ 12.-С. 21-26.

25. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. -М.; Л.: Гостехиздат, 1949. 784 с.

26. Волошенко-Клгшовицкий Ю.А. Динамический предел текучести. М.: Наука, 1965.

27. Волъмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. -419 с.

28. Волъмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

29. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. - 376 с.

30. ВуР.У., УитмерЕ.А. Аналитические и экспериментальные исследования нелинейных нестационарных деформаций подкрепленных панелей // Ракетная техника и космонавтика. 1975. Т.13.№9.-С. 53-62.

31. Гавриленко Г.Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии // Устойчивость пластин и оболочек. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. С. 20-22.

32. Галиев Ш.У. Напряженное состояние периодически подкрепленного полого цилиндра при действии подводной волны // ДАН УССР. Сер. А. 1976. № 4. С. 325-329.

33. Герсеванов Н.М. Функциональные прерыватели в строительной механике и их приложение к расчету ленточных фундаментов // ВИОС «Основания и фундаменты». М.: Стройиздат, 1933. Сб. № 1.-С. 7-15.

34. Глухова Т.В. Уравнения движения пологих ребристых оболочек // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Л., ЛИСИ. 1986. - С. 38-42.

35. Глухова Т.В. Устойчивость гибких пологих ребристых оболочек при динамическом нагружении. Автореф. дисс. канд. техн. наук. ЛИСИ. Л., 1989.22 с.

36. Голда Ю.Л., Преображенский И.Н., Штукарев B.C. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями // Прикладная механика. 1973. № 1. С. 27-32.

37. Гольденвейзер А.А. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953.

38. Грачев О.А. О влиянии эксцентриситета ребер на устойчивость оболочек при внешнем давлении // Прикладная механика. 1985. Т. 21. № 1.-С. 53-60.

39. Грачев О.А., Игнатюк В.И. Об устойчивости трансверсально-изотропных ребристых оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. № 3. М.: Стройиздат. - С. 61-64.

40. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Механика. 1965. №3. С. 81-92.

41. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-359 с.

42. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин. М., Машиностроение, 1988.-287 с.

43. Григолюк Э.И., Филъштинский JI.A. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. - 556 с.

44. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.-М.: Машиностроение, 1973.-215 с.

45. Григолюк Э.И., Шалашилш В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру внелинейных задачах механики твердого деформированного тела. -М.: Наука. 1988.-232 с.

46. Гудрамович В.С, Пошивалов В.П. Выпучивание оболочек в условиях ползучести. В кн.: Прочность и надежность элементов конструкций. Киев: Наукова Думка, 1982. С. 49-58.

47. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. Т. 88. 1953. Вып. 4.

48. Диамант Г.И., Заруцкий В.А., Санченко JI.A. . Оптимизация параметров ребристых цилиндрических оболочек по минимальной собственной частоте // Строительные материалы и теория сооружений. 1978. № 32. С. 48-50.

49. Диамант Г.И., Заруцкий В.А., СивакЭ.Ф. Исследование влияния ребер на собственные частоты и формы колебаний цилиндрических оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1978. № 3. С. 48-50.

50. Енджиевский JI.B. Нелинейные деформации ребристых оболочек. Красноярск: Изд-во. Красноярск, ун-та, 1982. 295 с.

51. Ершов Н.Ф., Попов А.Н. Прочность судовых конструкций при локальных динамических нагружениях. Л.: Судостроение, 1989. -200 с.

52. Жигалко Ю.П. Некоторые вопросы динамики подкрепленных оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. 1979. Вып. 14. С. 172-184.

53. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1970. № 4. С. 150-162.

54. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: Труды 1ДКТИ. Л., 1971. Вып. 88. - С. 46-70.

55. ЗавриевК.С. Основы теории функциональных прерывателей в применении к строительной механике // Тр. Тбилисского ин-та инж. ж.-д. транспорта. 1938. Вып. 6. С. 19-75.

56. Заруцкий В.А., Мацнер В.И. Устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при импульсном нагружении // Применение численных методов в строительной механике корабля. Л.: Судостроение, 1976. - С. 63-67.

57. Заруцкий В.А., Толбатов Ю.А. О влиянии уровня возбуждения на собственные частоты колебаний ребристых цилиндрических оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1978. №33.-С. 18-33.

58. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статически неопределимых• стержневых систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. - С. 296.

59. Игнатьев О.В. Конструктивно-ортотропная схема ребристой оболочки, учитывающая сдвиговую и крутильную жесткость ребер, и ее применение к расчету оболочек ступенчато-переменной• толщины: Дис. канд. техн. наук. Волгоград, 1993. 204 с.

60. Игнатьев О.В., Игнатьева И.А., Карпов В.В. Вариационно-параметрический подход к расчету пологих оболочек ступенчато-переменной толщины // Исследования по механике материалов и конструкций. Вып. 9 / ПУПС. СПб., 1996. - С. 44-54.

61. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филатов В.Н. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины. Волгоград: ВолгГАСА, 2001. - 210 с.

62. Игнатьев О.В., Карпов В.В., ФилипповД.С. Местная и общая потеря устойчивости ребристых пологих оболочек // Труды молодых ученых. СПбГАСУ. СПб, 2000. - С. 87-89.

63. Игнатьева Э.В. Расчет многослойных конструкций при нестационарном нагружении: Автореф. дис. канд. техн. наук. М., 1990.- 16 с.

64. Ильин В.П., Карпов В.В. Связанность форм потери устойчивости ребристых оболочек // Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин оболочек. Кутаиси, 1987.

65. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. JL: Стройиздат. Ленингр. отд-ние, 1986. -168 с.

66. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек, допускающих большие прогибы // II Всесоюзн. симпозиум «Устойчивость в механике деформируемого твердого тела»: Тез. докл. Калинин, 1986. - С. 159.

67. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. Минск: Вышейшая школа, 1990.-349 с.

68. Исследование влияния осевых сжимающих сил на частоты и формы колебаний ребристых цилиндрических оболочек / П.И. Галана, В.А. Заруцкий, П.Г. Капля и др. // Прикладная механика. 1975. Т. 11. №8.-С. 41-48.

69. Кабанов В.В. Устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек. М.: Машиностроение, 1982. - 253 с.

70. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев: Наукова думка, 1971. - 136 с.

71. Кантор Б.Я., Катарянов С.И., Офий В.В. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 1972-80 гг. // Институт проблем машиностроения АН УССР, 1982. № 167. 78 с.

72. Канторович JI.B. Один прямой метод приближенного решения задач о минимуме двойного интеграла // Изв. АН СССР, ОМЕН, 1933, №5.-С. 647-652.

73. Кармишин А.В., Скурлатов Э.Д., Старцев ВТ., Фелъдштейн В.А. Нестационарная аэроупругость тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1982.

74. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. Изд-во АСВ; СПбГАСУ. М.; СПб., 1999.- 154 с.

75. Карпов В.В. Метод последовательного наращивания ребер и его применение к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте. -М.: Транспорт, 1990.-С. 162-167.

76. Карпов В.В, Кудрявцев В.К. Устойчивость ребристых пологих оболочек при длительном нагружении // Вестник ВолгГАСУ, сер. "Строительство и архитектура", вып. 6(21). Волгоград, ВолгГАСУ, 2006. -с. 160-168.

77. Карпов В.В. Различные схемы конструктивно-ортотропных оболочек и их применение к расчету оболочек дискретно-переменной толщины // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр. / ЛИСИ. Л., 1988.

78. Карпов В.В. Численная реализация метода продолжения по параметру в нелинейных задачах пластин и оболочек. Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности. Волгоград: ВолгИСИ, 1990. - С. 121-122.

79. Карпов В.В., Игнатьев О.В. Конструктивно-ортотропная схема ребристой оболочки, учитывающая сдвиговую и крутильную жесткость перекрестной системы ребер / ВолгИСИ. Волгоград, 1992. - 8 е.: Деп. в ВИНИТИ 07.07.92 № 2172 - В 92.

80. Карпов В.В., Игнатьев О.В. Метод последовательного изменения кривизны // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 1996.-С. 131-135.

81. Карпов В.В., Игнатьев О.В. Расчет устойчивости ребристых оболочек с применением специального метода конструктивной анизотропии / ВолИСИ. Волгоград, 1992. - 8 е.: Деп. в ВИНИТИ 20.11.92 № 3209 - В 92.

82. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Игнатьева И.А. Непологие оболочки ступенчато-переменной толщины // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Тезисы докладов, представленных на III Международную конференцию. СПб. 1995. - С. 72-74.

83. Карпов В.В., Кривошеий И.С., Петров В.В. Исследование несимметричной потери устойчивости пологих оболочек на прямоугольном плане // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мецниереба, 1975. - С. 628-634.

84. Карпов В.В., Михайлов Б.К. Исследование влияния жесткости ребер на устойчивость пологих оболочек с учетом нелинейности деформаций // Численные методы в задачах математической физики.: Межвуз. темат. сб. тр. / ЛИСИ. Л, 1983. - С. 135-142.

85. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР, сер. МТТ. 1975. №5.-С. 189-191.

86. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Модель пологой оболочки с вырезами в виде краевой задачи для односвязной области // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 1999. - С. 67-72.

87. Карпов В.В., Сальников А.Ю., Юлин А.В. Динамическая устойчивость пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте / Череповец. ЧГУ, 2002. С. 154-156.

88. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Математические модели и алгоритмы исследования свободных нелинейных колебаний оболочек ступенчато-переменной толщины // Вестник Херсонского гос. техн. ун-та. Вып. 2(15). Херсон. ХГТУ. 2002. С. 210-213.

89. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Устойчивость и колебания пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах. СПб., СПбГАСУ, 2002. - 124 с.

90. Каюк Я.Ф. Концентрация напряжений в тонких оболочках при больших прогибах // Концентрация напряжений. Т. 2. Киев: Наукова думка, 1968.

91. Климате В.И., Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985.-291 с.

92. Ковалъчук Н.В. Исследование устойчивости ребристых цилиндрических оболочек с большими прямоугольными отверстиями // Прикладная механика. 1978. 14. № 10. С. 57-63.

93. Колебания продольно сжатых цилиндрических и слабоконических оболочек / А.С. Пальчевский, А.А. Прядко, П.Г. Капля и др. // Прикладная механика. 1980. Т. 16. № 9. С. 56-63.

94. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. 192 с.

95. Коротенко Н.А. Закритические деформации пологой цилиндрической панели, подкрепленной тонкостенными ребрами. // Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструкций. Л. 1983. С. 62-69.

96. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. -Киев: Наукова думка, 1980. 232 с.

97. Крысько В.А., Губа Г.М. Динамическая потеря устойчивости пологих сферических оболочек // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1988. №3,-С. 25-27.

98. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216 с.

99. Куршин JJ.M. К расчету на устойчивость оболочек в условиях ползучести по теории старения. В кн.: Проблемы устойчивости в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965. - с. 280-287.

100. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ. Т. 4. 1940. Вып. 2.

101. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. JI., 1948. - 28 с.

102. Малшин А.А. Колебания и устойчивость оболочек вращения с дискретными включениями и отверстиями // Прикладная механика. 1973. Т. 9.№ 10.-С. 29-34.

103. Малинин А.А. Колебания оболочек с отверстиями // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1971. № 7. С. 22-26.

104. Маневич А.И. К теории связанной потери устойчивости подкрепленных тонкостенных конструкций // Прикл. математика и механика, 1982. 46. № 2. С. 337-345.

105. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. Киев; Донецк: Вища школа, 1979. - 152 с.

106. Масленников A.M. Численный метод решения задач теории пластин и оболочек, подкрепленных ребрами: Дис. . д-ра техн. наук /ЛИСИ. Л., 1970.-275 с.

107. Милейковский И.Е., Гречанинов И.П. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. М.: Стройиздат, 1969. Вып. 12. С. 168— 176.

108. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.- 196 с.131 .Морозов Н.Ф. Нелинейные колебания тонких пластинок с учетом инерции вращения. Дифф. уравн., 4, № 5, 1969. С. 932-937.

109. Myuimapu Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложениями к решению задач устойчивости упругого равновесия // ПММ. 1939. Т. 2. № 4. С. 439-456.

110. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957.-431 с.

111. Назаров А.А. Бублик Б.Н. Свободные колебания пологой оболочки, подкрепленной ребрами жесткости // Расчет пространственных конструкций. М.: 1959. Вып. 5. С. 549-555.

112. Назаров А.Г. Импульсные функции в приложении к задачам строительной механики // Исследования по теории сооружений. -М.: Стройиздат, 1949. Вып. 4. С. 216-227.

113. Назаров НА. О колебаниях пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Прикладная механика. 1965. Т. 1. № 3. С. 5358.

114. Неверов В.В. Метод вариационных суперитераций в теории оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1984. - 128 с.

115. Немчинов Ю.И., Толбатов Ю.А. Свободные колебания пологих цилиндрических оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Строительная механика и расчет сооружений. 1975. № 3. С. 55-57.

116. Новицкий В.В. Решение некоторых задач строительной механики с помощью 5-функций // Научно-методический сборник. ВВИА. 1957. № 13.-С. 95-128.

117. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромиздат, 1962.-431 с.

118. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. - 212 с.

119. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1966. - 392 с.

120. Образцов И.Ф., ОнановГ.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. - 659 с.

121. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1987. - 316 с.

122. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах / Науч. доклады высшей школы // Строительство. 1959. № 1. С. 2735.

123. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек.-Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975.-119с.

124. Пирогов И.М. Концентрация напряжений в области отверстия в цилиндрическом резервуаре, испытывающем гидростатическоедавление // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1963. № 7. С. 5661.

125. Постное В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. 277 с.

126. Постное В.А., Корнеее B.C. Изгиб и устойчивость оболочек вращения // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин Тбилиси: Мецниереба, 1975. - С. 635-644.

127. Постное В.А., Корнеее B.C. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек // Прикладная механика. 1976. № 1. С. 27-35.

128. Почтман Ю.М., Тугай О.В. Динамическая оптимизация многослойных цилиндрических оболочек, подкрепленных двумя регулярными системами ребер // Прикладная механика. 1980. Т. 16. № 1. С. 47-54.

129. Преображенский И.П. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981. - 191 с.

130. Преображенский КН., Грищак В.З. Устойчивость и колебания конических оболочек. М.: Машиностроение, 1986. - 240 с.5А. Приближенное решение операторных уравнений // М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. М.: Наука, 1969.-456 с.

131. Пшеничное Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин. М.: Наука, 1982. - 352 с.

132. Пшеничное Г.И., Тагиее И.Г. К расчету пологих упругих ребристых оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. № 1.-С. 21-24.

133. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.-712 с.

134. Рассудов В.М. Деформации пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Учен. зап. Сарат. ун-та. Т. 52. Саратов, 1956. -С. 51-91.

135. Рекомендации по расчету подкрепленных оболочек положительной кривизны на устойчивость // Госстрой СССР и др. Свердловск, 1974-С. 76.

136. Рикардс Р.Б., Голдманис М.В. Оптимизация ребристых оболочек из композитов, работающих на устойчивость при внешнем давлении // Механика композитных материалов. М., 1980. № 3- С. 468^75.

137. Савин ГЛ. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. - 287 с.

138. Сальников А.Ю. Устойчивость пологих ребристых оболочек при динамическом нагружении // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 2002. - С. 93-96.

139. Сальников А.Ю. Свободные колебания ребристых пологих оболочек // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 2002. -С. 39-44.

140. Сальников А.Ю., Игнатьев О.В., Юлин А.В. Устойчивость перфорированных пологих оболочек при динамическомнагружении // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб., 2002.-С. 45-51.

141. Свободные колебания ребристых цилиндрических оболочек / П.И. Галана, В.А. Заруцкий, В.И. Мацнер и др. // Прикладная механика. 1974. Т. 10. №7.-С. 49-55.

142. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций // Я.М. Григоренко, Е.И. Беспалов, А.Б. Китайгородский, А.И. Шинкарь. Киев: Наукова думка, 1986. - 172 с.

143. Семенюк ИЛ. Собственные колебания подкрепленных цилиндрических оболочек, нагруженных неравномерным внешним давлением // Прикладная механика. 1978. Т. 14. № 7. -С. 37-42.

144. Скворцов В.Р. Деформирование существенно неоднородных тонкостенных конструкций и его анализ в рамках концепции оболочек со структурой. Дис. . д-р техн. наук. СПбГМТУ. СПб., 1992.-335 с.

145. Соломенко Н.С., Абрамян К.Г., Сорокин В.В. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса. JL: Судостроение, 1967.-488 с.

146. Спиро В.Е. Устойчивость произвольных ортотропных оболочек вращения, подкрепленных кольцевыми ребрами с учетом поперечного сдвига // Труды НТО судостроительной промышленности.- JI., 1971. Вып. 154.-С. 116-160.

147. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А.В. Кармишин, В.А. Лясковец, В.И. Мяченков, А.Н. Фролов. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

148. Теребушко О.И. О влиянии параметров подкрепления на динамическую устойчивость цилиндрической оболочки // Прикладная механика. 1977. 13. № 3. С. 10-16.

149. Теребушко О.И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами // Расчетпространственных конструкций. Сб. статей. -М.: Стройиздат, 1964. Вып. 9.-С. 131-160.

150. Терегулое И.Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести. М.: Наука, 1960. -206 с.

151. Тимашее С. А. Устойчивость подкрепленных оболочек. М.: Стройиздат, 1974. - 256 с.

152. Тимонин A.M. Напряженное состояние многослойных ортотропных оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности и деформации сдвига: Автореф. дис. . канд. наук. Киев, 1982. -19 с.

153. Филин А.П. Элементы теории оболочек. JL: Стройиздат, 1987. -384 с.

154. Филиппов Д. С. Влияние учета поперечных сдвигов на устойчивость ребристых оболочек // Доклады 57-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных сотрудников, инженеров и аспирантов университета. Ч. 1 / СПбГАСУ. СПб., 2000. - С. 4446.

155. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., ЯнютинЕ.Г. Деформирование конструкций под действием ударных и импульсных нагрузок. -Киев: Наукова думка, 1978. 184 с.

156. Цилиндрические оболочки ослабленные отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, Вал. Н. Чехов, Вик. Н. Чехов, К.И. Шнеренко / Под общей ред. А.Н. Гузя. Киев: Наукова думка, 1974. - 272 с.

157. Черных К.Ф. К проблеме определения концентрации напряжений возле отверстия в оболочке (в линейной постановке) // Концентрация напряжений. Киев: Наукова думка, 1965. Вып. 1. -С. 312-317.

158. Чернышенко И.С. К расчету осесимметричных оболочек вращения переменной толщины с учетом физической и геометрической нелинейности // Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. -С. 279-284.

159. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых оболочек с отверстиями // Пространственные конструкции в Красноярском крае. -Красноярск, 1981.-С. 169-175.

160. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых пологих оболочек: Автореферат дис. канд. техн. наук. Новосибирск, 1980. - 19 с.

161. Шалашилин В.И. Алгоритмы метода продолжения по параметру для больших осесимметричных прогибов оболочек вращения // Численные и экспериментальные методы исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций. М.: МАИ, 1983. - С. 6871.

162. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №4. С. 178-184.

163. Шереметьев М.П., Пелех Б.Л. К построению уточненной теории пластин // Инж. журнал. 1964. Т. 4. Вып. 3. М., - С. 504-509.

164. Bakouline N., Ignatiev О. Karpov V. Variation parametric research technique of variable by step width shallow shells with finite deflections // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. V. I / Issue 3. 2000, pp. 1-6.

165. Byskov E., Hansen J.C. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction // J. Struct. Mech., 1980. 8. № 2. P. 205-224.

166. Campbell J.D. The dinamic yielding of mild stell / Acta Metallurgia. Vol. 6., 1953. № 6.

167. Chrobot В. Mathematical models of ribbed shells, Studia Geotechnica et Mechanica. Vol. IV. 1982. №. 3-4. P. 55-68.

168. Donell L.N. A new theory for buckling of thin cylinders under axial compression and bending // Trans. ASME, 1934. 56 p.

169. Fisher C.A., Bert C.W. Dynamic buckling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers // Trans ACME. Ser., E, 1973. 40, №3.-P. 736-740.

170. Karman Th. and Shen Tsien H. The buckling of spherical shells by external pressure // J. Acron. Sci. 7, 1939.

171. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Machinenbau // Enzyklopaedie der Vathematischen Wissenshaften. Bd. LV. Teilband IV. 1910. S. 349.

172. Kicher T.R., Chao Tung-Lai. Minimum weight design of stiffend fiber composite cylinder // C.J. Aircraft, 1971. T. 8. № 7. P. 562-569.

173. Koiter W.T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures. // WTHD Report. № 590. August 1976.

174. Marguerre К Zur Teorie der gekremmten Platte grosser Formanderung / Jahzbuch 1939 deutseher Luftfahrtsforchung. Bd. 1. Berlin: Ablershof Buecherei, 1939.

175. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells a review of experiment and theory. Contr. Theory Aircraft struct/Delft, 1972. - P. 325-357.

176. Tennyson R.C. The effects of unreinforsed circular cutouts on the buckling of circular cylindrical shells under axial compression // J. of Engeneering for industry. Trans ACME, 1968, 90, ser. B, 4.