автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Деформирование пологих ребристых оболочек в условиях физической нелинейности и ползучести бетона

На правах рукописи

Панин Александр Николаевич

ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛОГИХ РЕБРИСТЫХ

ОБОЛОЧЕК В УСЛОВИЯХ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 О ДЕК 2009

Санкт-Петербург 2009

003487888

Работа выполнена на кафедре «Прикладной математики и информатики» вГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Карпов Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Харлаб Вячеслав Данилович;

доктор технических наук, профессор Соколов Евгений Васильевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита диссертации состоится 17 декабря 2009 г. в 14.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.223.03 в ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 190005, г. Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4, ауд. 505 А.

Эл. почта: rector@spbgasu.ru

Телефакс: (812)316-58-72.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет».

Автореферат диссертации размещён на официальном сайте ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» www.spbgasu.ru.

Автореферат разослан « » ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

JI. Н. Кондратьева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Железобетонные оболочки разнообразных конструктивных форм достаточно часто используются в строительстве для покрытия большепролетных зданий и сооружений. Наибольшее применение получили длинные цилиндрические оболочки, панели-оболочки «на пролет здания», оболочки положительной гауссовой кривизны на квадратном и прямоугольном планах, а также висячие и составные оболочки. Так, например, только с применением сборных оболочек положительной гауссовой кривизны в России построено свыше 1 млн м2.

Тонкостенные оболочечные конструкции обладают достаточно высокой жесткостью. Для повышения жесткости железобетонные оболочки подкрепляются как промежуточными ребрами жесткости, так и опорным контуром в виде преднап-ряженного железобетонного пояса, как правило, армированного стальными канатами.

При длительном воздействии нагрузки в железобетонных оболочках может проявиться свойство ползучести материалов, т.е. происходит изменение во времени деформаций и напряжений при неизменной нагрузке, что может привести к потере прочности или даже устойчивости оболочки.

Учет физической нелинейности при расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) железобетонных оболочек позволяет наиболее точно исследовать процесс их деформирования. Поэтому исследование пологах железобетонных ребристых оболочек с учетом физической нелинейности и развития ползучести материалов является актуальным.

Степень научной разработанности проблемы

Современное состояние теории ребристых оболочек отражено в работах Н.П. Абовского, И.Я. Амиро, В.З. Власова, O.A. Грачева, Е.С. Гребня, А.Н. Гузя, J1.B. Енджиевского, П.А. Жилина, Б.Я. Кантора, В.В. Карпова, В.И. Климанова,

A.И. Лурье, А.И. Маневича, И.Е. Милейковского, Б.К. Михайлова, В. А. Постнова, О.И. Теребушко, С. А. Тимашева, Бискова и Хансена, С. Фишера и С. Берта и других авторов.

Методы решения задач для оболочек в условиях развития ползучести материала изложены в работах: A.C. Вольмира, И.И. Воровича, B.C. Гудрамовича и В.П. Пошивалова, В.И. Колчунова и J1.A. Панченко, JI.M. Куршина, И.Е. Проко-повича, Ю.Н. Работнова, И.Г. Терегулова и других авторов. Методы решения задач для других строительных конструкций в условиях ползучести материала отражены в работах Н.И. Безухова, JI.M. Качанова, H.H. Малинина, И.Е. Прокопо-вича, Ю.Г. Работнова, В.Д. Харлаба и других авторов.

Расчет НДС оболочек в условиях физической нелинейности материала отражены в работах В.И. Климанова и С.А. Тимашева, В.А. Крысько, Х.М. Муштари,

B.В. Петрова и других авторов. Устойчивость железобетонных оболочек с учетом физической нелинейности рассматривалась В.В. Улитиным, В.И. Колчуновым.

В настоящее время разработаны несколько теорий ползучести. Сведения о них можно найти в работах Н.Х. Арутюняна, Н.И. Безухова, Л.М. Качанова, В.И. Климанова и С.А. Тимашева, H.H. Малинина, И.Е. Прокоповича, Ю.Н. Ра-ботнова, А.Р. Ржаницына, В.Д. Харлаба и других авторов.

Основы теории упругой наследственности заложили Больцман и Вольтерра и развили впоследствии Н.Х. Арутюнян, Г.Н. Маслов, Ю.Н. Работнов, А.Р. Ржа-ницын и другие авторы.

Теорию старения разработали Дишингер и Уитли и развили Я.Д. Лившиц, И.И. Улицкий и другие авторы.

При решении прикладных задач широкое применение находит более сложная, но и более совершенная теория упруго-ползучего тела (наследственная теория старения). Основы ее, заложенные Н.Х. Арутюняном, В.М. Бондаренко и Г.Н. Масловым, развиты в трудах C.B. Александровского, A.A. Гвоздева, И.Е. Прокоповича, А.Р. Ржаницына и других авторов.

Целью настоящей работы является комплексное исследование НДС пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом физической нелинейности и возможности развития ползучести материала.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- вывод уравнений деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом ползучести материала и физической нелинейности;

- разработка алгоритма решения нелинейных задач для пологих железобетонных ребристых оболочек;

- исследование развития ползучести бетона при длительном нагружении;

- исследование влияния физической нелинейности на НДС пологих железобетонных ребристых оболочек.

Научная новизна работы:

- разработана математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, основанной на деформационной теории пластичности и возникновения ползучести материала на основе линейной теории наследственной ползучести;

- разработан алгоритм решения физически нелинейных задач и задач ползучести на основе метода Ритца и итерационных процессов;

- показано, что наличие ребер у оболочки существенно снижает ее прогибы и повышает допускаемую нагрузку;

- исследованы процесс роста прогибов оболочек при длительном нагружении, приводящий к потере устойчивости, а также особенности протекания этого процесса для пологих железобетонных ребристых оболочек;

- установлено снижение критической нагрузки со временем для железобетонных оболочек при различной кривизне и разном числе подкрепляющих оболочку ребер;

- исследовано влияние физической нелинейности на НДС железобетонных оболочек и показано, что учет физической нелинейности существенно меняет НДС оболочек и может привести к потере устойчивости.

Практическое значение работы состоит в том, что разработанная программа исследования НДС пологих железобетонных ребристых оболочек может быть использована в проектных организациях, научных исследованиях и учебном процессе. Результаты работы нашли внедрение в отчетах по гранту СПбГАСУ тема № ИН2-06 и по проекту «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.)» тема № 2.1.2/6146.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного расположения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, развития деформаций ползучести материала;

- методика исследования модели, основанная на методе Ритца и итерационных процессах и ориентированная на использование компьютерных технологий и программ расчета на ЭВМ напряженно-деформированного состояния рассматриваемых оболочек;

- исследование НДС оболочек при длительном нагружении и анализ потери устойчивости от ползучести для различных видов оболочек;

- исследование влияния физической нелинейности на НДС оболочек, приводящей к снижению допустимой нагрузки на них.

Достоверность научных положений подтверждается применением обоснованных соотношений теории пластичности и ползучести при получении модели деформирования оболочки и апробированных методов исследования модели, а также сравнением полученных результатов с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 60-й, 61-й и 62-й международных научно-технических конференциях молодых ученых «Актуальные проблемы современного строительства» (СПбГАСУ, 2007 г., 2008 г., 2009 г.), на 63-й, 65-й и 66-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 2006 г., 2008 г., 2009 г.). Полностью работа докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры Прикладной математики и информатики под руководством д-ра физ.-мат. наук, профессора Б.Г. Вагера (2009 г.).

Публикации. По результатам исследования опубликованы четыре научных статьи. Публикаций по перечню ВАК-1.

Структура и объем работы. Текст диссертации изложен на 118 страницах, состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 137 источников, в том числе 124 на русском языке, приложения на 3 страницах. Работа содержит 49 рисунков и 12 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературных источников по теме диссертации, сформулирована цель исследований, указана научная новизна, практическая

ценность и положения, выносимые на защиту, отражено краткое содержание диссертации.

В первой главе приводится математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного введения ребер, их размеров, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, ползучести материала на основе линейной теории наследственной ползучести и физической нелинейности на основе деформационной теории. Математическая модель записана в виде функционала полной энергии деформации в безразмерных параметрах относительно неизвестных функций перемещений.

Рассматриваются пологие оболочки двоякой кривизны, прямоугольные в плане, подкрепленные со стороны вогнутости перекрестной системой ребер жесткости, параллельных осям координат (рис. 1). Срединная поверхность обшивки оболочки (толщиной Л) принимается за координатную поверхность. Оси х,у ортогональной системы координат направлены по линиям главных кривизн оболочки, ось г - ортогональна координатной поверхности в сторону вогнутости оболочки.

3] X; В/

и

С| у< с!|

->

Ь'

Рис. 1. Общий вид пологой ребристой оболочки

Оболочка, закрепленная определенным образом по контуру, находится под действием статической поперечной нагрузки д(х,у).

Математическая модель деформирования оболочки состоит:

- из геометрических соотношений (связи деформаций и перемещений);

- физических соотношений (связи напряжений и деформаций);

- уравнений равновесия или функционала полной энергии деформации оболочки.

Геометрические соотношения в координатной поверхности при неучете геометрической нелинейности принимают вид:

ди г ш дУ к м/ ди J дУ

"'"аГ^ ''"фГ^^-^аГ О

Здесь и(х,у), У(х,у), IV(х,у) - перемещения точек координатной поверхности оболочки вдоль осей х,у,г, соответственно;

главные кривизны оболочки вдоль осей л- и у (Кх - —, Кг = -—,

Л, 1 лг

где /<,, К7 -- главные радиусы кривизны оболочки).

Деформации в слое, отстоящем на расстоянии г от срединной поверхности, принимают вид:

ел= Ел + ; е; = еу + г%2 ;у%=у„+2г%п. (2)

где

д7\у „ „ д21¥

Высоту и расположение ребер зададим функцией

Н<х.У) = Ь>'Ъ (х - -ъ ) + Ъ!'Ь(У - У,)- 12> - -V,) 5 (у - у, Л (4)

./■ I М /1,1

где ¡I1 ,г ,т - высота и ширина ребер, параллельных оси и число ребер этого

направления; -то же, для ребер, параллельных оси лг; =чпт{/;\/л'};

5(х-х1), б (у-у,) - единичные столбчатые функции переменной д-несоответственно, равные единице в местах присоединения ребер.

Физические соотношения теории оболочек зависят от того, какие свойства материала конструкции проявляются (упругие, пластические, свойства ползучести и т.д.). Материал нагруженной конструкции обладает свойством упругости, если дейст вующие напряжения в нем не превосходят некоторого определенного предела и сроки действия нагрузки невелики. В этом случае физические соотношения задаются линейным законом (законом Гука):

- ^к + к); --К); V --ф^т,, (5)

где Е, ц - модуль упругости и коэффициент Пуассона для изотропного материала.

Интегрируя напряжения (5) по , в пределах от - \ до \ +И с целью нрсоб-

разования задачи к двухмерной, получим усилия и моменты, приведенные к координатной поверхности и приходящиеся на единицу длины сечения

N =

1-Ц2 Е

[(/г + ^+ЦЕ^+^.+га;)];

Му = ТГТ^ + ^Хв, + V*,)+ 5(Х2 + ИХ,)];

N =

- 2(1+

М. =

ЛГ =

1-Ц2

' 1-ц2 Е

(6)

М„ =

4 2(1 + ц)

Гл3 7 12

Х|2

Здесь Г, Б, J ~ площадь поперечного или продольного сечения ребер жесткости, приходящаяся на единицу длины сечения оболочки, статический момент и момент инерции этого сечения, соответственно:

_ ><11*11 Ы2+Н НП+Н

/="= | (к; 5= I 2 (¡г; 7= \ггёг.

А/2 А/2 А/2

При исследовании ползучести теория, наиболее полно учитывающая особенности деформирования бетона, создана трудами Г.Н. Маслова, Н.Х. Арутюняна, А.А. Гвоздева, И.Е. Прокоповича, И.И. Улицкого, В.Д. Харлаба и других ученых. В соответствии с линейной теорией наследственной ползучести для старого бетона (как изотропного материала) физические соотношения можно принять в виде:

* 1-и2

е; + це+ 'ДвЦ (т) + це \ (т)) Д, (/, т>/х е; + це; + )(е; (Т) + це;(Т))/?,(/, тМ"

1-ц

(7)

г; + |г;(т)д2(?,т>/т

" 2(1 + ц)

Удобно минус перед функциями влияния Л,(/,т), Л2((,х) перенести в соотношения (7) и тогда

- т) = -Еус^'^'^.-Я^ -г) = 2~й,(/ - х). (8)

к*

Нагрузка, действующая на конструкцию, считается статической, тем не менее, деформации и перемещения считаются функциями не только пространственных переменных х и у, но и временной координаты /.

Функционал полной энергии деформации (функционал Лагранжа) пологой оболочки, находящейся под действием статической поперечной нагрузки д(х, у), имеет вид:

Э = \ + ",Е> + + Л/Д. + Мг*2 + 2д1¥]<Ыу> (9)

где а, Ь - линейные размеры оболочки вдоль осей х и у.

Если рассматриваются упругие задачи и изотропный материал, то функционал (9) для ребристой оболочки можно записать в виде (с введением индекса у):

Э' = ^Гц^ + ^ + 2ЦЕ'Е' + + + + 25[едх, + цвд2 + ед2 + цед, + 2ц,у,д 12]+

где ц, =0,5(1-ц).

Если могут проявляться свойства ползучести материала конструкции, то функционал (9) для ребристой оболочки представляется в виде:

э = э,-э,,

где Эу имеет вид (10), а Эс записывается в виде (аргументы у деформаций, модулей упругости и коэффициентов Пуассона опускаются):

/.з

+23{ехХ,+ЩХ2+Еу%2+11ВуХ1)+ — (х?+2ПХг+х1Ы^)+

(И)

Физические соотношения при нелинейно-упругом деформировании материала конструкции на основе деформационной теории пластичности принимают вид:

ол = + це; - ш(е,)(е; + це);.];

а у = + К - Ю(Б, )(Е;. + це);1

2(1+ цГ'"

При учете физическом нелинейности функционал полной энергии деформации оболочки принимает вид:

Э = Э„-Э„

(13)

Функционал Эу имеет вид (10), а Э„ принимает вид:

Э. =

Е" "

•« о/, ГТТТЛ^"^^ + +

^ V 1 Н /оо

+ 2/,(ед, + |лед2 +ед2 + цед, + 2ц,у,д,2) + + I+ 2Ц,х,Х2 + х1 + 4ц,Х?2)}гЫУ ■

Здесь 1к = |ю(е, )гк ¡<1г, /с --1,2, 3, где ю(е,) = )ИЕ,2, = а, (—)2.

Н/,

Интенсивность деформаций можно представить в виде:

(14)

где Л, = Е2 + Е2 + £,£,, +-у\у\

Ь, = 2ед, + 2ед2 + ед2 + е д, + у,д,.

Лз = х;+х2+х,х2 + Х?2-Теперь

4т

Л

3

4ш 3

4 т Т (— + У)Ь. + КЬ7 + (—+ мж 12 80 >

Уг+»

г; 5 = У = /С = М М м=

м

Во второй главе рассматривается алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом нелинейности деформирования и ползучести материала. Уравнения равновесия таких оболочек с учетом нелинейности деформирования и возможности развития деформаций ползучести представляют собой громоздкую систему интегро-диф-ференциальных уравнений восьмого порядка. Решение такой задачи вызывает серьезные математические трудности.

Наиболее удобный алгоритм решения поставленной задачи состоит в следующем: к функционалу Э =Эу-Э»-Эс, записанному в безразмерных параметрах, применяется метод Ритца и находится система нелинейных интегро-алгебра-ических уравнений. Нелинейность уравнений заключается в том, что напряжения нелинейно зависят от деформаций.

Применяется методика решения задачи, основанная на методе итераций:

- для уточнения начального упруго-линейного решения и получения нелинейно упругого решения при каждом значении параметра нагрузки;

- дня нахождения деформаций ползучести при каждом значении параметра нагрузки и известном начальном решении линейно- или нелинейно-упругой задачи при последовательном изменении времени t.

Введем безразмерные параметры:

д: = -. Л а 11 \= д ¿Г'

аи А2 ' к = ЬУ А2 ' ш

= Е

А '

К^, (15)

А А ;

7=4,

А А А2 А3 Ек4 В соответствии с методом Ритца представим искомые функции ¿/(¡;, т],/), Г(5.Ч.0 в виде:

и^Щ1)Х\{1)У\{1). У = -£У(/)Х2(1)¥2(1). (16)

^ = £ИЧ/)Л-3(/)ГЗ(/).

/»I

Здесь u(¡), V(l), W(¡) - неизвестные функции переменной Xl(l)~ X3(l) -известные аппроксимирующие функции переменной £, удовлетворяющие при £ = 0, £ = 1 заданным краевым условиям; К/(/)- Xí(/) - известные аппроксимирующие функции переменной т|, удовлетворяющие при ц = ti = 1 заданным краевым условиям.

Найдем производные от Э = Эу - Э„ - Эс по U(l), V(l), IV(l) и приравняем их к нулю. В результате получим систему нелинейных интегрально-алгебраических уравнений:

fp(l)CF-\{lj)+ y(¡)CF2(/,e) + lV(/)CF3(/j)]= Я, + F¡;

i-i

X[U{l)CF4{u)+V{l)CF5{l,e)+W{l)CF6(l,e)]= П2 + F2; (17)

í-i

jjU{l)CFl{l,i)+V(!)CF%{l,l)+ W(l)CF9([,e)]- CP(t)P = Я3 + iy /-i

где

n i

FI = S + K(/)CC2(/,£) + Ж^ССЗ^Яад.т) +

/о

+ [f/(/)CC4(/,0 + V(/)CC5(/J) + lV(/)CC6(/,¿)]R2(t,x)}dv, Fi = £ J{[t/(/)CC7(/,í) + K(/)CC8(/,¿) + +

(18)

+ [t/(/)CCl 0(/, + V(1)CC\ 1(7, i) + W{1)CC\ 2(IJ)]R2(t,z)}dx-,

^"ÉífiV(I)CC\2{I,í)+V(I)CC\4{IJ) + W{I)CC\5(I,e)]Rl(t,i) +

'=' i,.

+ [[/(/)CC16(/,£) + K(/)CC17(/,£) + r(/)CC18(/,í)]tf2(f,T)}¿T. Здесь

Я, = [j{/i[(2¡, + аг1у)Ь, + 2а3ухЛ1+ ^fe + агхг)Ь, + Аа^лЬ&Ч

о о

п2 = jjf«I(2e,s, +a2e,)b3 + 2в3у^4]+ 7a[(aaXi + + ^Хп^Ь&Ч (19)

о о

tfj = - Jf J^Í(2e.iCt +a1Kr¡zy)b¡ + (2а,МГ, + а2егЛГ<)05]+

о о

+ 72[(2jc, +a2x2)Kt¿s +(a2xl + a6X2)Kltbs+(2c,+a2Ey)¿>6 + (a2é, +a6ey)b7 +4д7у,д]+ +7з[(2х, + агх2)Ьь + (ад, + 2а,+8а,хЛ]^П>

где = ЛТ(0П(0, 63 =^2(г)У2'(^), ¿4 = A^Q^Í),

ь5 = лз(W3(e), = , ь7 = X3(¿)Y3"(i), ь, = хУ(е)П'(о.

Кратко систему (17) запишем в виде:

Fy(X)-fP=F„(X) + Fc(X), (20)

где Fy(x)-f Р- левые части системы (17); (77,,/72,/73/,■

F^-fF^Fj; X=[V(1),V{1),W{1)].

Для решения линейно-упругой задачи при Р= Р{, находится решение уравнения:

F,{x)-fPt= 0. (21)

Для нахождения нелинейно-упругого решения при некоторой нагрузке /> решается итерационная задача Fy(x,)~ f Р{= F^X^) до тех пор, пока предыдущее решение не будет отличаться от последующего на величину заданной погрешности. При этом за Х0 берется решение линейно-упругой задачи при Р,.

Рассмотрим теперь решение задачи в условиях ползучести. Представим Fc (X) в виде:

■ (22)

'о

Отрезок интегрирования [í0,/t] разобьем на частичные отрезки [',_,,/,] с шагом Л t (в дальнейшем шаг по t будем брать At = 1 сутки).

На каждом частичном отрезке интеграл вычислим приближенно по формуле прямоугольников

'{МХ(х)М(, т)+ Ф2(ЛГт)ХМ]Л *

Обозначим R, = /м)Ы,Яг=Яг(tk,/м.

Таким образом, Рс(х) ПРИ '= К будет иметь вид:

/-1

= Ф, (7»-|) Л, + Фг (Хк-1) = Рс(Ъ-0. (25)

где Хы = £Х(1МУ= *(/„) + ВД +.... +

¡-о

Аналогичный подход с заменой интеграла интегральной суммой при расчете • оболочек использовался в работах В.И. Климанова и С.А. Тимашева, В.К. Кудрявцева, В.М. Жгутова.

При решении задачи ползучести при определенной нагрузке Р вначале находится решение линейно-упругой или нелинейно-упругой задачи Л"(*0). Затем это решение подставляется в Рс(х) и решается опять-таки линейно- или нелинейно-упругая задача с известной правой частью в линейных алгебраических уравнениях. Итерационный процесс по временной координате / можно записать в виде:

РМУ/Ру = №„) +(26)

Процесс по временной координате I продолжается до тех пор, пока прогиб не начнет резко возрастать. Время, при котором это происходит, будет определено как критическое время 1кр .

Разработанный алгоритм расчета реализован в виде программного комплекса для ЭВМ.

В третьей главе рассматривается прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при линейно-упругом деформировании.

Так как все решения целесообразно проводить в безразмерных параметрах, в табл. 1 представлены размерные параметры для некоторых реальных вариантов оболочек и соответствующие им безразмерные параметры. Используя формулы перехода от безразмерных параметров к размерным, можно получить все характеристики НДС для конкретных вариантов оболочек и конкретных видов материала.

Втабл.1 а = =

Л к ИК,

В качестве примеров расчета были выбраны квадратные в плане пологие оболочки, имеющие шарнирно-неподвижное закрепление по контуру и находящиеся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Оболочки могут быть гладкими (без ребер) или подкрепленными 6 (по три ребра в каждом направлении) или 18 (по девять ребер в каждом направлении) регулярно расположенными ребрами жесткости высотой ЗА и шириной 2й, направленными параллельно осям координат.

№ Размерные параметры, м Безразмерные параметры Стрела

варианта R = Я, = R2 _ _ подъема

оболочки а = Ь h а = Ь Л = Л| =д2 К( = к, d

I 54 135,9 0,09

36 90,6 0,06

27 67,95 0,045 600 1510 238 29,75h

18 45,3 0,03

II 36 90,6 0,18

27 67,95 0,135 200 503 79,5 10h

18 45,3 0,09

III 27 67,95 0,27

18 45,3 0,18 100 251,5 39,76 5h

13,5 34 0,135

На рис. 2 в качестве примера с результатами расчета представлен график «нагрузка Р - прогиб IV» для одного из вариантов оболочек (варианта III).

Кривые с номером 1 на рис. 2 соответствуют оболочке без ребер,■ кривые 2 -оболочке, подкрепленной 6 ребрами, 3 - то же, подкрепленной 18 ребрами. Кривые без индекса соответствуют прогибу в центре оболочек, с индексом 1 -в четверти оболочки.

Как показали расчеты, наличие ребер в оболочках существенно понижает величину их прогиба. При подкреплении оболочки 18 ребрами снижение ее прогибов, по сравнению с прогибами оболочки без ребер, при одной и той же нагрузке, составляет для вариантов оболочек: варианта I - на 55 %, варианта II -на 65 %, варианта III - на 40 %.

Рис.2

Для анализа прочности бетона оболочек применяется условие прочности (критерий прочности) теории Кулона - Мора, как наиболее приемлемой для использования в программном комплексе расчета оболочек

где главные напряжения (Г,,а, находятся при г = -А/2 (на верхней поверхности оболочки). Так как при поперечной нагрузке оболочки испытывают преимущественно сжатие, допускаемое напряжение может быть вычислено по формуле

_ Яь

—Обобщенный коэффициент запаса прочности принимается к~2.

С использованием формулы перехода к безразмерным параметрам для на— 2

пряжения о =-найдены безразмерные значения допускаемых напряжений адо„

Е

для различных вариантов оболочек при разных классах бетона. Выборочные значения ст,)ОТ приведены в табл. 2.

Таблица 2

Класс бетона Модуль упругости бетона Е, МПа Допускаемое напряжение О Am при варианте оболочки

I II III

В55 4 х 104 135 15 3,75

В40 3,6 х 104 100 11.1 2,8

ВЗО 3,25 х 10" 85,8 9,5 2,4

Критическая нагрузка qKp (допускаемая нагрузка) находится из условия по-

ЁРкр

тери прочности оболочек с использованием формулы перехода Ч*Р = -4 .

а

В табл. 3 представлены некоторые результаты расчета критических нагрузок qKp для вариантов оболочек I, II, III, изготовленных из бетона класса В55 (в скобках показаны безразмерные критические нагрузки Ркр).

Определены значения qKp для оболочек вариантов I, II, III и для других классов бетона.

Наличие ребер в оболочках существенно повышает величину допускаемой нагрузки на нее, по сравнению с оболочками без ребер. Для оболочек, подкрепленных 6 ребрами, увеличение допускаемой нагрузки на нее составляет: для обо-

лочки варианта 1-76 %, для варианта II - 55 %, для варианта III - 56 %. При подкреплении оболочек 18 ребрами увеличение допускаемой нагрузки на нее составляет: для варианта 1-150 %, дня варианта II - 222 %, для варианта III - 219 %.

Таблица 3

Номер Число подкрепляющих

варианта оболочек оболочку ребер qKp, МПа(РгР )

I 0 3,33х10'2(144х103)

6 5,83х10"2 (252x103)

18 8,33х10"2 (З80х103)

II 0 5,8х10"2 (3,1x103}

б 8,98х10'2 (4,8х103)

18 18,7x10"2 (lOxlO3)

III 0 9,375х10"2 (312,5)

6 15x10"2 (500)

18 30x10'2 (1000)

Исследовано НДС пологих железобетонных ребристых оболочек в линейно-упругой постановке при различной толщине, кривизне оболочек, числе подкрепляющих оболочку ребер, изготовленных из разных классов бетона. С использованием критерия Кулона - Мора определены критические (допускаемые) нагрузки. Проведен анализ прогибов и напряжений по полю оболочки для выяснения наиболее опасных зон.

В четвертой главе приводятся результаты расчета напряженно-деформированного состояния пологих железобетонных ребристых оболочек при длительном нагружении с учетом развития деформаций ползучести бетона. Для различных параметров оболочек найдено критическое время (кр потери устойчивости от ползучести.

Исследуется неограниченная неустановившаяся ползучесть. Функции влияния (ядра релаксации) материала (старого бетона) возьмем в виде:

Л,(/-т) = Л2(/-Т) = 2|Д|(Г-Х), (28)

где у = 0,01—,£С„=3,С„ = 1хЮ-4-4г, £ = 3х104МПа-сут " МПа

В этом случае при Д г = - = 1 сут.

В результате развития ползучести бетона во времени начинается бурный рост прогибов оболочек (в 10... 15 раз превышающих прогибы при / = 0). Время, при котором это наступает, принимается за критическое время 1кр.

На рис. 3,4 представлены графики «IV », полученные при различных значениях нагрузки для оболочки варианта I.

На рис. 3 приведены зависимости «IV(0,25; 0,25)-/» для неподкрепленной оболочки. Кривая 1 соответствует нагрузке Р = 20х103, кривая 2 - нагрузке Р = 25х 10\ 3- Р = ЗОх 103,4-Р = 35 х 103, 5-р = 40х 103.

Рис.3

На рис. 4 даются зависимости « \У(0,5; 0,5) - (» для оболочки, подкрепленной 18 ребрами. Кривая 1 соответствует нагрузке /, = 50х103, кривая 2 - нагрузке 7* = 60x103,3 —~Р = 80x103 ,4 —Р = ЮОхЮ3, 5 —~Р = 120х103.

Рис.4

Па рис. 5 для нагрузки Г - 30 х 101 представлен характер изменения прогиба

1У и напряжения о,: - о, - --'-' а , по времени для неподкрепленнон ребрами обо-

ломки. При развитии ползучести материала оболочки со временем происходит не только рост прогибов и напряжении, по и перераспределение напряжении по ее полю. Так, например, максимум напряжений из угловых точек оболочки смещается по всему наружному контуру оболочки.

Рис. 5 19

Для рассматриваемых тонких оболочек (с h = ) потеря прочности проис-

ходит при / > /А/1.

В табл. 4 приведены зависимости «Р-1,р» для оболочки варианта I.

Таблица 4

Оболочка без ребер Оболочка с 18 ребрами

Р Р <кр (сут)

20000 250 50000 128

25000 135 60000 86

30000 90 80000 48

35000 70 100000 32

40000 55 120000 20

Для большей наглядности эти результаты расчета представлены графически (рис. 6).

Кривая 1 соответствует оболочке без ребер, кривая 2 - оболочке, подкрепленной 18 ребрами.

Для варианта оболочки III при развитии ползучести материала оболочки со временем происходит рост и перераспределение напряжений по полю оболочки. Потеря прочности происходит при t<typ (примерно при 0,6tKp).

Исследование пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом развития деформаций ползучести показало, что со временем происходит перераспределение напряжений по полю оболочки и максимум напряжений наблюдается вблизи контуров оболочки, происходит снижение критической нагрузки, что необходимо учитывать при проектировании конструкции.

В пятой главе исследуется напряженно-деформированное состояние пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом физической нелинейности для различных классов бетона.

Для старого бетона секущий модуль упругости можно принять в виде:

ЕС=Е( l-fflfe,)), . (29)

где са(е(.) = 0,11 l(-^-)2ef.

кь

На рис. 7 представлены зависимости « Р - W » для оболочки с параметрами а = b = 200, Кк= Кц = 79,5 без ребер, а на рис. 8 - для оболочки, подкрепленной 18 ребрами.

140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 О

50 100 150 200 250 300 t

Рис.6

2500 2000 1500 1000 500-I

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

W

Рис. 7

О 0.1 0,2 0,3__ 0,4 0,5

IV

Рис. X

Па рис. 9 представлены зависимости «/' - IV » дня оболочки без ребер с параметрами () = /) = ! 00, К ^ = Кп - 40.

500 400Н Т> зоо 200 100

к / У

У /

/ . ■

/ #

// Ч1-

#

/

0.06 0.1 0,15 0.2 (125 IV Рис. 9

0.3 0.35

Анализ приведенных результатов расчетов в геометрически линейной и физически нелинейной постановках показывает, что оболочки вариантов I и II, не подкрепленные ребрами, не теряют устойчивости. Оболочки варианта III, при тех же условиях, и оболочки варианта II, подкрепленные ребрами, теряют устойчивость, что для железобетонных оболочек недопустимо. Расчетами выявлено, что при учете физической нелинейности деформации существенно возрастают, а уровень напряжений при этом понижается.

Однако некоторые оболочки (варианты оболочек II и III) при нагрузке, меньше допустимой, найденной при линейно-упругом деформировании, теряют устойчивость.

Таким образом, учет физической нелинейности приводит к тому, что железобетонные оболочки могут утратить свою эксплуатационную пригодность из-за потери устойчивости задолго до достижения величины допустимой нагрузки, соответствующей линейно-упругому деформированию оболочки. Полученные в настоящей работе результаты достаточно хорошо согласуются с исследованиями оболочек рядом авторов, например, для железобетонных оболочек - В.В. Ули-тиным, для металлических оболочек - В.А. Крысько. .

В диссертационной работе выполнены следующие исследования;,

1. Разработана математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, основанной на деформационной теории пластичности и возникновения ползучести материала на основе линейной теории наследственной ползучести.

2. Разработан алгоритм исследования НДС и прочности пологих железобетонных ребристых оболочек при учете различных свойств бетона, основанный на методе Ритца и методе упругих решений A.A. Ильюшина, реализованный в виде программного комплекса для ЭВМ.

3. Исследовано НДС пологих железобетонных ребристых оболочек в линейно-упругой постановке, с учетам физической нелинейности, с учетом ползучести бетона при длительном нагружении при различной толщине и кривизне оболочек, при разном числе подкрепляющих оболочку ребер и для разных классов бетона.

Анализ результатов диссертационной работы позволяет сделать следующие выводы:

1. С использованием критерия Кулона - Мора определены критические нагрузки, соответствующие потере прочности оболочек при линейно-упругом деформировании для различной толщины и кривизны оболочек, разного числа подкрепляющих оболочку ребер, для разных классов бетона. Проведен анализ прогибов и напряжений по полю оболочки для выяснения наиболее опасных зон.

2. Показано, что наличие ребер существенно снижает величины прогибов оболочек и повышает допускаемую нагрузку на них, определяемую из условий прочности. Для оболочки, подкрепленной 18 ребрами, увеличение допускаемой

нагрузки составляет от 150 до 220 % по сравнению с гладкими оболочками.

3. Исследования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом развития деформаций ползучести показали, что со временем происходит перераспределение напряжений и максимум напряжений наблюдается вблизи контуров оболочки, происходит потеря устойчивости со временем, следовательно, критические нагрузки снижаются, что необходимо учитывать при проектировании конструкций, находящихся длительное время под нагрузкой.

4. При учете физической нелинейности бетона, когда зависимость а-е является криволинейной, деформации (а с ними и прогибы) существенно возрастают при одних и те же напряжениях по сравнению с линейно-упругим решением. Для некоторых оболочек до потери прочности наступает потеря устойчивости, что для железобетонных оболочек недопустимо, поэтому критические нагрузки, найденные при линейно-упругом деформировании, существенно понижаются.

5. Комплексные исследования НДС пологих железобетонных ребристых оболочек с использованием разработанного алгоритма позволяют более полно определить НДС конструкции и ее работоспособность и аргументированно задавать коэффициенты запаса прочности к. С использованием полученных результатов можно подбирать соответствующую толщину проектируемой оболочки, размеры и число подкрепляющих оболочку ребер, надлежащее армирование по полю оболочки.

Основные положения диссертации отражены в публикациях:

1. Панин, А.Н. Математические модели деформирования ребристых пологих железобетонных оболочек с учетом ползучести материала / А. Н. Панин // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвузовский тематический сборник трудов. Выпуск 13. СПбГАСУ. - СПб., 2007. -С. 44-49.

2. Панин, А.Н. Алгоритмы исследования прочности пологих железобетонных ребристых оболочек при учете физической нелинейности / А. Н. Панин // Вестник гражданских инженеров. - 2009. - № 1 (18).-С. 114-116. (Из списка ВАК)

3. Панин, А.Н. К определению критической нагрузки, соответствующей потере прочности пологих ребристых железобетонных оболочек / А.Н. Панин // Доклады 66-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета. Ч. II / СПбГАСУ. - СПб., 2009. -С. 145-146.

4. Панин, А.Н. Напряженно-деформированное состояние пологих железобетонных оболочек с учетом ползучести материала / А. Н. Панин // Развитие жилищной сферы городов. 7-я Международная научно-практическая конференция. -М., 2009.-С, 373-377.

Компьютерная верстка И. А. Яблоковой

Подписано к печати 12.11.09. Формат 60x84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 120экз. Заказ 13].

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4.

Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 5.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Математические модели деформирования пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности и ползучести бетона.

1.1. Основные соотношения для пологих ребристых оболочек.

1.2. Физические соотношения для упругих оболочек.

1.3. Физические соотношения теории оболочек при учете ползучести бетона.

1.4. Функционал полной энергии деформации пологой ребристой оболочки при длительном нагружении.

1.5. Уравнения равновесия пологой ребристой оболочки.

1.6. Некоторые виды аппроксимации секущего модуля.

1.7. Кратковременное нелинейное деформирование пологих железобетонных ребристых оболочек.

1.8. Теория прочности хрупких материалов.

1.9. Приведенный модуль упругости железобетонной оболочки.

1.10. О краевых условиях на контуре оболочки.

1.11. Выводы.

ГЛАВА 2. Алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния пологих ребристых оболочек при учете нелинейности деформирования и ползучести бетона.

2.1. Функционал полной энергии деформации пологой ребристой оболочки в безразмерных параметрах при учете нелинейности деформирования и ползучести бетона.

2.2. Применение метода Ритца для получения интегро-алгебраических уравнений для ребристых пологих оболочек.

2.3. Методика решения интегро-алгебраических уравнений.

2.4. Программа расчета пологих ребристых оболочек при учете ползучести и физической нелинейности бетона.

2.5. Выводы.

ГЛАВА 3. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при линейно-упругом деформировании.

3.1. Реальные варианты оболочек и их безразмерные параметры.

3.2. Критические нагрузки для различных вариантов оболочек.

3.3. Анализ распределения прогибов и напряжений по полю оболочки.

3.4. Выводы.

ГЛАВА 4. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при длительном нагружении.

4.1. Функции влияния для хрупких материалов.

4.2. Определение критического времени.

4.3. Влияние контурных ребер на напряженно-деформированное состояние оболочки при развитии ползучести бетона.

4.4. Выводы.

ГЛАВА 5. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при учете физической нелинейности бетона.

5.1. Напряженно-деформированное состояние пологих железобетонных ребристых оболочек.

5.2. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при учете физической нелинейности бетона.

5.3. Выводы.

Актуальность темы исследования. Железобетонные оболочки разнообразных конструктивных форм достаточно часто используются в строительстве для покрытия большепролетных зданий и сооружений. Наибольшее применение получили длинные цилиндрические оболочки, панели-оболочки «на пролет здания», оболочки положительной гауссовой кривизны на квадратном и прямоугольном планах, а также висячие и составные оболочки. Так, например, только с применением сборных оболочек положительной гауссовой кривизны в России построено свыше 1 млн м2.

Тонкостенные оболочечные конструкции обладают достаточно высокой жесткостью. Для повышения жесткости железобетонные оболочки подкрепляются как промежуточными ребрами жесткости, так и опорным контуром в виде преднапряженного железобетонного пояса, как правило, армированного стальными канатами.

Современное состояние теории ребристых оболочек отражено в работах Н.П. Абовского [1], И.Я. Амиро [5], В.З. Власова [19], O.A. Грачева [31], Е.С. Гребня [32], А.Н. Гузя [38], Л.В. Енджиевского [41], П.А. Жилина [45, 46], Б.Я. Кантора [58], В.В. Карпова [59, 63, 65], В.И. Климанова [69], А.И. Лурье [77], А.И. Маневича [79], И.Е. Милейковского [82], Б.К. Михайлова [83], В.А. Постнова [95], О.И. Теребушко [113], С.А. Тимашева [115], Бискова и Хансена [126], С.Фишера и С. Берта [130] и других авторов.

Хотя имеется большое число работ по исследованию ребристых оболочек, но, в основном, это работы, касающиеся цилиндрических оболочек, выполненные без учета нелинейных факторов и на основе модели Кирхгофа-Лява (без учета сдвиговых деформаций).

Основы теории ребристых оболочек были заложены еще в 40-х годах в работах В.З. Власова [19] и А.И. Лурье [77]. В их работах заложены два основных подхода к учету дискретности подкрепления в виде ребер. Ребристая оболочка представляется В.З. Власовым как контактная система, состоящая из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье обшивку и ребра рассматривает как одно целое, и для них на основе вариационного принципа получаются уравнения равновесия и граничные условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии. В дальнейшем большинство авторов следовало одному из этих двух подходов.

Третий подход к ребристым оболочкам основан на сведении их к конст-руктивно-ортотропной схеме, т.е. дискретно-подкрепляющие оболочку ребра заменяются путем их «размазывания» сплошным слоем постоянной толщины и в уравнения равновесия вводятся соответствующие жесткостные коэффициенты, учитывающие увеличение жесткости всей конструкции (метод конструктивной анизотропии).

В конце 60-х годов П.А. Жилиным [45, 46] было предложено рассматривать ребристую как оболочку ступенчато-переменной толщины. При этом автоматически учитывается, что контакт между обшивкой и ребрами происходит по всей поверхности полосы, а не по линии. Аналогичный подход к ребристой оболочке при решении нелинейных задач применил позже В.В. Карпов [60].

При длительном воздействии нагрузки в железобетонных оболочках может проявиться свойство ползучести материалов, т.е., происходит изменение во времени деформаций и напряжений при неизменной нагрузке, что может привести к потере прочности или даже устойчивости оболочки.

Методы решения задач для оболочек в условиях ползучести материала изложены в работах: A.C. Вольмира [21], И.И. Воровича [23], B.C. Гудрамовича и В.П. Пошивалова [37], В.И. Колчунова и J1.A. Панченко [70], JIM. Куршина [75], И.Е. Прокоповича [97], Ю.Н. Работнова [101], И.Г. Терегулова [114] и других авторов. Систему уравнений ползучести оболочек, ввиду нелинейности, нельзя проинтегрировать непосредственно, поэтому получают приближенные решения с использованием вариационных методов, метода конечных элементов, метода перемещений, метода Бубнова-Галеркина.

Методы решения задач для других строительных конструкций в условиях ползучести материала отражены в работах Н.И. Безухова [10], JI.M. Качанова [67], H.H. Малинина [78], И.Е. Прокоповича [97], Ю.Г. Работнова [101], В.Д. Харлаба [118-120] и других авторов.

Для описания поведения длительно загруженных тонкостенных оболочек можно использовать линейные теории упруго-ползучего тела и наследственности, соответственно.

Для конструкций из материалов с неограниченной ползучестью ставятся задачи определения (по различным критериям устойчивости) критического времени t . В конструкциях из материалов с ограниченной ползучестью задача устойчивости рассматривается на бесконечном интервале времени, при этом основным является установление длительной критической нагрузки qD. При нагрузках, меньших длительной критической, прогибы оболочки стабилизируются во времени. А в интервале нагрузок qD < q < qM в оболочке, несмотря на затухание скорости деформаций ползучести, могут накопиться большие перемещения, что со временем приведет к прощелкиванию. В этом случае также возможно определение критического времени t как момента смены форм равновесия.

В статически неопределимых задачах при постоянных по времени нагрузках изменение деформаций всегда связано с изменением напряжений и перераспределением их по объему оболочки. Поэтому и рассматривается неустановившаяся ползучесть. Неустановившаяся ползучесть проявляется для статически определимых задач, когда рассматриваются деформации при постоянных по времени напряжениях.

Расчет НДС оболочек при учете физической нелинейности отражены в работах В.И. Климанова и С.А. Тимашева [69], В.А. Крысько [73], Х.М. Муш-тари [85], В.В. Петрова [93] и других авторов. Устойчивость железобетонных оболочек с учетом физической нелинейности рассматривалась В.В. Улитиным [117], В.И. Колчуновым [70].

Учет физической нелинейности при расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) железобетонных оболочек позволяет наиболее точно исследовать процесс их деформирования. Поэтому исследование пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом физической нелинейности и ползучести материалов является актуальным.

В настоящее время разработаны несколько теорий ползучести. Сведения о них можно найти в работах Н.Х. Арутюняна [8], Н.И. Безухова [10], JI.M. Ка-чанова [68], В.И. Климанова и С.А. Тимашева [69], H.H. Малинина [78], И.Е. Прокоповича [96-98], Ю.Н. Работнова [100, 101], А.Р. Ржаницына [104, 105], В.Д. Харлаба [118] и других авторов.

Ползучесть материала зависит от многих факторов: типа материала, вида напряженного состояния, температуры и свойств окружающей среды, размеров образцов и др. Так для бетона и полимеров при длительном действии нагрузок и нормальной температуре характерно затухающее деформирование, для металлов при высоких температурах - незатухающее. В соответствии с этим, различают два типа материалов: с ограниченной ползучестью (полимеры, бетон) и неограниченной ползучестью (металлы).

Полная деформация при одноосном напряженном состоянии складывается из упругой деформации е , пластической деформации еи и деформаций ползучести ес: е = е>,+е„+ес.

Путем длительного испытания материала (образца) строится кривая ползучести (рис. В.1), которая может быть разделена на три участка.

Для первого участка (OjA) характерно, что здесь скорость деформации ползучести убывает (неустановившаяся ползучесть). На втором участке (AB) скорость деформации ползучести почти постоянна (установившаяся ползучесть). Это наиболее продолжительный по времени участок. Третий участок (ВС) с возрастающей скоростью деформации ползучести завершается разрушением.

Рис. В.1. Общий вид кривой ползучести

Для металлических конструкций ползучесть может развиваться только при больших температурах.

Для железобетонных конструкций на развитие ползучести оказывают существенное влияние уже другие факторы (например, возраст бетона). Для таких конструкций полная относительная деформация при простом сжатии или растяжении в момент вызванная единичным напряжением, действующим с момента времени, соответствующего возрасту бетона х, определяется зависимостью: ~~г + С(г,т).

Е( т)

Здесь —-— - упруго-мгновенная деформация бетона; С(^,т)- деформа-Е( т) ция ползучести к моменту Чем выше возраст бетона к моменту нагружения, тем выше модуль упруго-мгновенной деформации Е(х), который асимптотически приближается к постоянной величине Е - модулю упруго-мгновенных деформаций старого бетона.

Для описания процесса ползучести предложены различные механические модели деформируемого тела. Любая механическая модель деформируемого тела может быть представлена как некоторая система, состоящая из упругих и вязких элементов.

Пока не существует единой обобщенной теории ползучести, одинаково пригодной для всех конструктивных материалов. Все многообразие ее вариантов можно разделить на три укрупненные группы: варианты теории упругой наследственности, теории старения и теории упруго-ползучего тела. Основное отличие их состоит в подходе к вопросу об обратимости деформаций ползучести при частичной или полной разгрузке.

Основы теории упругой наследственности заложили Больцман и Воль-терра и развили впоследствии Н.Х. Арутюнян [8], Г.Н. Маслов [81], Ю.Н. Ра-ботнов [100], А.Р. Ржаницын [105] и другие авторы. Эта теория постулирует полную обратимость деформаций ползучести при разгрузках, поэтому ее варианты применимы лишь к бетону старого возраста. Эта теория достаточно хорошо отображает поведение деформируемых полимерных материалов.

Теорию старения разработали Дишингер и Уитли и развили Я.Д. Лившиц [76], И.И. Улицкий [116] и другие авторы. Классическая теория основана на предположении о полной необратимости деформаций ползучести при разгрузке и вследствие этого не может быть использована для описания длительных процессов с изменяющимися напряжениями и деформациями.

При решении прикладных задач широкое применение находит более сложная, но и более совершенная теория упруго-ползучего тела (наследственная теория старения). Основы ее, заложенные Н.Х. Арутюняном [8], В.М. Бон-даренко [13] и Г.Н. Масловым [81], развиты в трудах С.В. Александровского [3], A.A. Гвоздева [27], И.Е. Прокоповича [97], А.Р. Ржаницына [104] и других авторов. Теория упруго-ползучего тела, учитывающая частичную обратимость деформаций ползучести, наиболее пригодна для описания длительных деформаций бетона. В области эксплуатационных значений напряжений сг < 0,5Rb (где Rb - призменная прочность бетона) степень нелинейной зависимости деформаций ползучести бетона от напряжений невелика, поэтому можно ограничиться линейной теорией. Нелинейная теория ползучести нестареющего бетона разработана В.Д. Харлабом [120].

Исходя из наследственной теории старения, полная деформация записывается в виде (обозначения в формулах, касающихся ползучести бетона, взяты из работы [97]): е(0 = |^-/а(тЩ/-х)Л . (В.1)

Здесь

Зт Е{%)

В интервале т1 <х<£ К^ — х)<0, где т, — момент времени, соответствующий возрасту бетона к моменту начала приложения нагрузки.

При исследовании ползучести бетона также используется теория упругой наследственности, согласно которой полная деформация записывается в виде:

В.2)

Е ^ Эх

Учитывая, что деформации ползучести зависят от возраста бетона в момент приложения нагрузки х и продолжительности действия нагрузки I -т, Н.Х. Арутюнян [8] предложил меру ползучести бетона С(/, х) представить в виде: с(/,т) = е(т)/(*-т).

Функция 0(х), определяющая старение, в условиях постоянной влажности и температуры, должна при увеличении х монотонно убывать и стремиться к постоянной С0, характеризующей старый бетон. Функция /(/ - т) в промежутке 0 < /(/ - х) < оо должна удовлетворять неравенству 0 < /(/ - х) < 1.

В соответствии с этим, можно принять: А

9(х) = С0 + —; /(/-т) = 1-е х

-У('-Т) где коэффициенты С0,А подбираются экспериментально [97] (табл. В.1).

Таблица В.1

Размеры сечения образца у, 1/сут Со-105 см2/кг А • 10^ См2/Кг сут

10x10 см 0,009 0,68 1,29

7x7 см 0,014 1,02 0,82

Данные, приведенные в табл. В.1, получены при Т = 20° С и не изолированных на воздухе условиях хранения. Чем больше поперечное сечение образца, тем меньше проявляется в нем ползучесть.

По мере увеличения возраста бетона к моменту приложения нагрузки величина у уменьшается. Следует заметить, что на развитие ползучести бетона также влияет влажность среды.

Мера ползучести бетона С(£, т), предложенная И.Е. Прокоповичем [97] и

И.И. Улицким [116] имеет вид:

С(*, т) = С0 [1 - ¿ГГ1('-Х) ] + А[е~™ - ]. При у, = у2 = у получим:

С(*,т) = (С0 + Ае^)[1 - еГу('-т)]. (В.З)

Мера ползучести бетона при сжатии С(/,т) связана с мерой ползучести бетона при сдвиге ю(Г,т) при одинаковой ползучести при сжатии и растяжении соотношением: т) = 2С(Г,т).

Известно, что с точки зрения молекулярной теории строения твердых тел между напряжениями и деформациями существует нелинейная связь, а линейная связь является математическим упрощением ее.

Таким образом, очевидно, что более точная теория деформирования твердых тел должна учитывать нелинейность и длительность деформирования реальных материалов. Основы нелинейной механики были заложены еще в 19-ом веке Сен-Венаном, Г. Кирхгофом и другими, а основы теории ползучести - в конце 19-ом века и начале 20-го века Л. Больцманом, В. Вольтерра, В. Фойгтом и другими исследователями. Детальное изложение применительно к железобетону вопросов учета мгновенной нелинейности деформирования и длительности деформирования изложена в работе В.М. Бондаренко [13-15].

Нелинейность деформирования заключается в отсутствии пропорциональной связи между напряжениями и деформациями. Это относится как к деформациям ползучести, так и к упруго-мгновенным деформациям. Применительно к деформациям ползучести под непропорциональностью связи между напряжениями и деформациями понимается следующее: если несколько образцов-близнецов нагрузить различными силами, то деформации ползучести, накопленные образцами за равные промежутки времени, не пропорциональны этим силам.

Структурные изменения, происходящие синхронно с нагружением, относятся к мгновенным деформациям, происходящие с некоторым запаздыванием, относятся к деформациям ползучести. Изучению качественной стороны описываемого явления посвящены работы [8, 10, 27].

Сочетание бетона и арматуры в железобетоне обусловлено как возможностью их совместной работы в конструкциях, так и целесообразностью функционального использования различия в их механических свойствах.

В количественном отношении свойства деформаций бетона и арматурной стали существенно отличаются друг от друга. Все это обуславливает нестационарность напряженно-деформированного состояния железобетона, сложный характер перераспределения напряжений между арматурой и бетоном по мере роста усилий и во времени, существенно затрудняет исследование и расчет железобетонных конструкций.

Во времени и по мере увеличения нагрузок перечисленные свойства деформаций бетона и арматуры при совместной работе вызывают перераспределение напряжений между ними, уменьшают жесткость сечений вплоть до появления пластических шарниров и изменения статической схемы конструкции, увеличивают прогибы и обуславливают перераспределения усилий в статически неопределимых системах, влияют на режим колебаний, устойчивость конструкции и т.п.

Недостатки упруго-линейной постановки привели к созданию других методов расчета железобетонных конструкций. При этом наметилось два самостоятельных направления: первое - частичный учет нелинейности деформирования бетона и арматурной стали без учета реологических свойств деформаций и влияния режима и длительности загружения; второе - решение задачи в линейной, но неравновесной постановке, т.е., с учетом запаздывания деформаций и влияния режима и длительности загружения.

Наиболее широкое применение в современной теории железобетона нашла теория упруго-ползучего тела Г.Н. Маслова - Н.Х. Арутюняна. Решение нелинейных задач теории упруго-ползучего тела сводится к исследованию нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра второго рода, для решения которых используется метод малого параметра.

Прямое решение указанных систем уравнений встречает большие математические трудности. Имеются только решения некоторых простейших частных задач, которые, однако, также оказались весьма сложными.

Описанные недостатки приводят к необходимости одновременно учитывать нелинейность деформаций ползучести и нелинейность упруго-мгновенных деформаций, а также принимать во внимание различие между механическими свойствами бетона при разных видах напряженного состояния. С другой стороны, встречающиеся на пути решения сложных систем нелинейных реологических интегро-дифференциальных и интегральных уравнений почти непреодолимые математические трудности потребовали разработки прикладных методов расчета, простых в физическом отношении и доступных при реализации в проектной практике. После алгебраизации поставленной задачи, система интегральных уравнений решается итерационным методом. Начальное приближение находится из решения упругой задачи.

Нелинейная постановка задач выдвигает ряд специфических проблем, среди которых ответственное место занимают вопросы аппроксимации нелинейной диаграммы материалов и разработки связанного с этой аппроксимацией аппарата расчета.

В связи с этим предлагается аппроксимация нелинейной зависимости кусочно-линейной функцией, описываемой единым образом на всем интервале непрерывности, и метод расчета с помощью такой аппроксимации до получения окончательных решений с использованием операторной оценки промежуточных корней.

Часто в литературе, например [15], применяются упрощенные выражения. В этом случае рекомендуется запись П.И. Васильева - С.Е. Фрайфельда:

3? = 1 + ти

С \"'к ст где , тк - параметры нелинейности деформирования; находятся из опытов.

Для каждого возраста нагружения 10 это выражение легко линеаризуется, что становится удобным при назначении параметров нелинейности деформирования по экспериментальным данным: е,= а

1 + Л,

С \>ч а

8.,

В.5) откуда

1п

С £ 1 ^ Е*— -1 ст 8, 1птц +тк 1п у \ ст

КкУ

Численные значения параметров нелинейности деформирования находятся из решения степенных линейных алгебраических уравнений типа (В.5). Параметр -л показывает степень увеличения меры деформации на момент разрушения материала по отношению к начальной мере деформации, а параметр т определяет качество нелинейности по мере увеличения напряжения. Чем меньше значение т, тем более плавно изменяется кривая ст - 8, а с ростом параметра т увеличивается начальный участок диаграммы ст - 8, на котором связь между направлениями и деформациями близка к линейной. Конкретные значения параметра т, относящегося ко всей диаграмме ст — е, следует уточнять из условия минимизации квадратичного абсолютного отклонения опытной и аппроксимирующей функций вдоль кривой а - с.

Обработка результатов соответствующих опытов показывает, что нелинейность деформирования главным образом зависит от прочности материала. Так, в частности, для бетона и строительной стали параметры т\ и т следующие [15]: для осевого сжатия бетона:

Г|Л(=37,5/^;тЛ(=5,7 + 0,05Д6; Г|„=45/Д6;т,1=5 + 0,07Д6; для осевого растяжения бетона: ц'Л1 = 0,3 + 0,37/Яь;т'м = 0,8 + 0,23 для арматурной стали:

Пи, = 55,8 *103 *1/Я3 -36,3; тш = 6,92 + 7,14*Ю10 * Щ3'19; т^ = -66,6 +16,6 * 1 / Д,;

-1,3 + 0,66*1/^. Основную закономерность, общую для бетона и стали, можно сформулировать так: с ростом прочности параметры г| и т уменьшаются, а нелинейность становится более плавной, регулярной. Такой подход к представлению деформирования соответствует признанию общей природы нелинейности и освобождает от необходимости выделять отдельно линейную и нелинейную части соответственно мгновенных и запаздывающих деформаций.

Мгновенные деформации условно разделяются на две части: линейную и нелинейную, соответствующие упругому и пластическому деформированию. Вместе с тем, учитывается единство мгновенного и пластического деформирования, а также наличие множителя г\м в функции нелинейности:

Здесь первый член отражает линейную (упругую) часть, а второй - нелинейную (пластическую) часть.

Силовыми запаздывающими деформациями являются деформации ползучести. Меру деформаций простой ползучести обычно обозначают С * (/ 0, /) и, несмотря на некоторую очевидную неточность, называют мерой ползучести [15]. Мера деформаций простой ползучести С * (/ 0, /) стареющего бетона к моменту наблюдения / зависит от возраста в момент начала нагружения /0, момента наблюдения I и продолжительности нагружения t — t0.

Аналогично мгновенным деформациям, запаздывающие деформации также традиционно описываются комплексно для двух условных частей, т.е., функция нелинейности состоит из первой линейной части, соответствующей так называемой необратимой деформации ползучести первого рода. Мера деформаций простой ползучести с учетом множителя "Пи(?0,0 едина для обеих частей.

С увеличением длительности нагружения / - /0 кривые меры простой ползучести растут, монотонно затухая во времени и асимптотически приближаясь при I—>со к некоторым предельным прямым, параллельным оси времени. Соответствующая предельная величина меры ползучести определена как предельная мера ползучести.

Как показал анализ, исследования напряженно-деформированного состояния пологих железобетонных ребристых оболочек, когда в них в эксплуатационной стадии проявляются такие свойства как физическая нелинейность, а также ползучесть материалов при длительном нагружении, проведены недостаточно. Таким образом, тема настоящей диссертационной работы актуальна.

Целью настоящей работы является комплексное исследование НДС железобетонных пологих ребристых оболочек с учетом физической нелинейности и возможности развития деформаций ползучести материала.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- вывод уравнений деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом ползучести материала и физической нелинейности;

- разработка алгоритма решения нелинейных задач для пологих железобетонных ребристых оболочек;

- исследование влияние ребер жесткости на НДС пологих железобетонных ребристых оболочек;

- исследование развития ползучести бетона при длительном нагружении;

- исследование влияния физической нелинейности на НДС пологих железобетонных ребристых оболочек.

Научная новизна работы:

- разработана математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, основанной на деформационной теории пластичности и возникновения ползучести материала на основе линейной теории наследственной ползучести;

- разработан алгоритм решения физически нелинейных задач и задач ползучести на основе метода Ритца и итерационных процессов;

- показано, что наличие ребер у оболочки существенно снижает ее прогибы и повышает допускаемую нагрузку;

- исследованы процесс роста прогибов оболочек при длительном нагружении, приводящий к потере устойчивости, а также особенности протекания этого процесса для пологих железобетонных ребристых оболочек;

- установлен факт снижения критической нагрузки со временем для железобетонных оболочек при различной кривизне и разном числе подкрепляющих оболочку ребер;

- исследовано влияние физической нелинейности на НДС железобетонных оболочек и показано, что учет физической нелинейности существенно меняет НДС оболочек и может привести к потере устойчивости.

Практическое значение работы состоит в том, что разработанная компьютерная программа исследования пологих железобетонных ребристых оболочек может быть использована в проектных организациях, научных исследованиях и в учебном процессе. Результаты работы нашли внедрение в отчетах по гранту СПбГАСУ тема № ИН2-06 и в проекте «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.)» тема № 2.1.2/6146.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, возникновения ползучести материала;

- методика исследования модели, основанная на методе Ритца и итерационных процессах и ориентированная на использование компьютерных технологий и программ расчета на ЭВМ напряженно-деформированного состояния рассматриваемых оболочек;

- исследование НДС оболочек при длительном нагружении и анализ потери устойчивости от ползучести для различных видов оболочек;

- исследование влияния физической нелинейности на НДС оболочек, приводящих к снижению величин допустимой нагрузки на них.

Достоверность научных положений подтверждается применением обоснованных соотношений теории пластичности и ползучести при получении модели деформирования оболочки и апробированных методов исследования модели, а также сравнения полученных результатов с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 60-й, 61-й и 62-й международной научно-технической конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современного строительства» (СПбГАСУ 2007 г., 2008 г., 2009 г.), на 63-й, 65-й и 66-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ 2006 г., 2008 г., 2009 г.). Полностью работа докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры Прикладной математики и информатики под руководством д-ра физ.-мат. наук, профессора Б.Г. Вагера (2009 г.).

Публикации. По результатам исследования опубликованы четыре научных статьи. Публикаций по перечню ВАК — 1.

Структура и объем работы. Текст диссертации изложен на 118 страницах, состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 137 источника, в том числе 124 на русском языке, приложения на 3 страницах. Работа содержит 49 рисунков и 12 таблиц.

5.3. Выводы

При учете физической нелинейности бетона, когда зависимость а - 8 является криволинейной, деформации (а с ними и прогибы) существенно возрасшах тают по сравнению с линейно-упругим решением. Значения ст , при одних и тех же нагрузках, будут меньшими, чем при линейно-упругом решении для варианта оболочек I и II и большими - для варианта оболочек III. Но до потери прочности наступает потеря устойчивости для некоторых вариантов оболочек, что для железобетонных оболочек недопустимо. Таким образом, критические нагрузки, найденные при линейно-упругом деформировании, существенно снижаются. Выявлено, что происходит перераспределение напряжений по полю оболочки (максимальные напряжения смещаются к контуру оболочки).

Заключение

В диссертационной работе проведены следующие исследования:

1. Разработана математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, основанной на деформационной теории пластичности и возникновения ползучести материала на основе линейной теории наследственной ползучести.

2. Разработан алгоритм исследования НДС и прочности пологих железобетонных ребристых оболочек при учете различных свойств бетона, основанный на методе Ритца и методе упругих решений A.A. Ильюшина, реализованный в виде программного комплекса для ЭВМ.

3. Определены критические нагрузки, соответствующие потере прочности оболочек разных вариантов при их линейно-упругом деформировании с использованием критерия прочности, основанного на теории Кулона - Мора.

4. Исследовано НДС разных вариантов пологих железобетонных ребристых оболочек в линейно-упругой постановке, с учетом физической нелинейности бетона, с учетом развития ползучести бетона при длительном на-гружении. В проведенных исследованиях варьировались толщина и кривизна оболочек, число подкрепляющих оболочку ребер, классы бетона.

Анализ результатов диссертационной работы позволяет сделать следующие выводы:

1. Проведен анализ распределения прогибов и напряжений по полю оболочек для выявления наиболее опасных зон при их линейно-упругом деформировании. Установлено, что на НДС пологих железобетонных ребристых оболочек существенно влияет изменение толщины или кривизны оболочки, числа подкрепляющих оболочку ребер, классов бетона.

2. Показано, что наличие ребер существенно снижает величины прогибов оболочек и повышает допускаемую нагрузку на них, определяемую из условий прочности. Увеличение допускаемой нагрузки, например, на оболочки, подкрепленные 18-ю ребрами, составляет от 150 % до 220 %, по сравнению с нагрузками на гладкие оболочки.

3. Исследования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом развития деформаций ползучести показали, что со временем происходит: а) перераспределение напряжений по полю оболочки и максимум напряжений наблюдается вблизи ее контуров; б) потеря устойчивости оболочки, следовательно, критические нагрузки на оболочку снижаются, что необходимо учитывать при проектировании конструкций, находящихся длительное время под нагрузкой.

4. При учете физической нелинейности бетона, когда зависимость ст - г является криволинейной, деформации (а с ними и прогибы) существенно возрастают при одних и те же напряжениях по сравнению с линейно-упругим решением. Для некоторых оболочек до потери прочности наступает потеря устойчивости, что для железобетонных оболочек недопустимо. Следовательно, критические нагрузки на оболочки в условиях физической нелинейности бетона, существенно понижаются по сравнению с критическими нагрузками, найденными при линейно-упругом деформировании.

5. Комплексные исследования НДС пологих железобетонных ребристых оболочек с использованием разработанного алгоритма позволяют более полно определить НДС конструкции и ее работоспособность и аргументированно задавать коэффициенты запаса прочности к. С использованием полученных результатов, можно подбирать соответствующую толщину проектируемой оболочки, размеры и число подкрепляющих оболочку ребер, надлежащее армирование по полю оболочки.

1. Абовский, Н. П. Смешанные вариационные уравнения для пологой ребристой оболочки / Н. П. Абовский // Строительная механика и расчет сооружений. 1969. - № 4. - С. 20-22.

2. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга. М.: Наука, 1978. - 228 с.

3. Александровский, С. В. Экспериментальные исследования ползучести бетона / С. В. Александровский, П. И. Васильев // Ползучесть и усадка бетона / НИИЖБ Госстроя СССР. М.: Стройиздат, 1976. - С. 97-152.

4. Алумяэ, Н. А. Одна вариационная формулировка для исследования тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии / Н. А. Алумяэ // Прикладная математика и механика. 1950. - Т. 14, вып. 2. - С. 197-203.

5. Амиро, И. Я. Методы расчета оболочек / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий // Теория ребристых оболочек. Киев, 1980. - Т. 2. — 368 с.

6. Амиро, И. Я. Ребристые цилиндрические оболочки / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий, П. С. Поляков. Киев: Наукова думка, 1973. - 248 с.

7. Арутюнян, Н. X. Некоторые вопросы теории ползучести / Н. X. Арутю-нян. -М.: Гостехиздат, 1952. 323 с.

8. Беглов, А. Д. Теория расчета железобетонных конструкций на прочность и устойчивость. Современные нормы и стандарты / А. Д. Беглов, Р. С. Санжаров-ский. М.: АСВ, 2006. - 221 с.

9. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н. И. Безухов. М.: Высш. шк., 1968. - 512 с.

10. Берг, О. Я. К учету нелинейной связи напряжений и деформаций ползучести бетона в инженерных расчетах / О. Я. Берг, Е. Н. Щербаков // Изв. высш. учеб. заведений. Стр-во и архитектура. — 1973. № 12. — С. 14-21.

11. Бердичевский, В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды / В. Л. Бердичевский. М.: Наука, 1983. - 448 с.

12. Бондаренко, В. М. Некоторые вопросы нелинейной теории железобетона / В. М. Бондаренко. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1968. - 323 с.

13. Бондаренко, В. М. Расчетные модели силового сопротивления железобетона / В. М. Бондаренко. М.: АСВ, 2004. - 472 с.

14. Бондаренко, В. М. Инженерные методы нелинейной теории железобетона / В, М. Бондаренко, С. В. Бондаренко. М.: Стройиздат, 1982. - 287 с.

15. Бурлаков, А. В. Ползучесть тонких оболочек / А. В. Бурлаков, Г. И. Львов, О. К. Морачковский. Харьков: Вища школа, 1977 — 330 с.

16. Васильев, П. И. Нелинейные деформации ползучести бетона / П. И. Васильев // Изв. ВНИИГ. 1971. - Т. 95. - С. 59-69.

17. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ / Н. В. Валишвили. М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

18. Власов, В. 3. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней / В. 3. Власов // Изв. АН СССР. ОТН. 1949. - № 6. - С. 819-838.

19. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике / В. 3. Власов. М.;Л.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

20. Вольмир, А. С. Гибкие пластины и оболочки / А. С. Вольмир. М.: Гостехиздат, 1956. - 419 с.

21. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А. С. Вольмир. -М.: Наука, 1972. 432 с.

22. Ворович, И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И. И. Ворович. М.: Наука, 1989. - 376 с.

23. Гавриленко, Г. Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии / Г. Д. Гавриленко // Устойчивость пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 1981. - С. 20-22.

24. Галустов, К. 3. Нелинейная теория ползучести бетона и расчет железобетонных конструкций / К. 3. Галустов. М.: ФМ, 2006. - 248 с.

25. Гвоздев, А. А. Прочность, структурные изменения и деформации бетона / А. А. Гвоздев и др.. М.: Стройиздат, 1978. - 229 с.

26. Голда, Ю. JI. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями / Ю. JI. Голда, И. Н. Преображенский, B.C. Штукарев // Прикладная механика. — 1973. № 1. - С. 27-32.

27. Гольденблат, И. И. Теория ползучести строительных материалов / И. И. Гольденблат, Н. А. Николаенко. М.: Гостехиздат, 1960. - 256 с.

28. Гольденвейзер, А. А. Теория упругих тонких оболочек / А. А. Гольденвейзер. -М.: Наука, 1976. 512 с.

29. Грачев, О. А. Об устойчивости трансверсально-изотропных ребристых оболочек вращения / О. А. Грачев, В. И. Игнатюк // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. — № 3. — С. 61-64.

30. Гребень, Е. С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек / Е. С. Гребень // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - № 3. - С. 81-92.

31. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов. -М.: Наука, 1978. 359 с.

32. Григолюк, Э. И. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин / Э. И. Григолюк, Г. М. Куликов. М.: Машиностроение, 1988. -287 с.

33. Григолюк, Э. И. Перфорированные пластины и оболочки / Э. И. Григолюк, Л. А. Филыптинский. М.: Наука, 1970. - 556 с.

34. Григолюк, Э. И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформированного тела / Э. И. Григолюк, В. И. Шалашилин. М.: Наука, 1988. -232 с.

35. Гудрамович, В. С. Выпучивание оболочек в условиях ползучести / В. С. Гудрамович, В. П. Пошивалов // Прочность и надежность элементов конструкций. Киев: Наукова Думка, 1982. - С. 49-58.

36. Гузь, А. Н. Концентрация напряжений около отверстий в тонких оболочках: обзор / А. Н. Гузь // Прикладная механика. Киев, 1969. - Т. 5, вып. 3. - С. 1-17.

37. Давыденко, Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений / Д. Ф. Давыденко // Докл. АН СССР. М.?., 1953. - Т. 88, вып. 4.

38. Дыховичный, Ю. А. Пространственные составные конструкции / Ю. А. Дыховичный, Э. 3. Жуковский. М.: Высш. шк., 1989. - 288 с.

39. Енджиевский, Л. В. Нелинейные деформации ребристых оболочек / Л. В. Енджиевский. Красноярск: Изд-во Красноярск, ун-та, 1982. -295 с.

40. Жгутов, В. М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала / В. М. Жгутов // Изв. Орловского гос. техн. ун-та. Строительство. Транспорт. -2007.-№4.-С. 20-23.

41. Жгутов, В. М. Математическая модель и алгоритм исследования прочности и устойчивости ребристых оболочек с учетом различных свойств материала / В. М. Жгутов // Инженерные системы 2008: тр. Всерос. науч-практ. конф. / РУДН. - М., 2008. - С. 341-346.

42. Железобетонные оболочки покрытий общественных зданий. М.: Гос-стройиздат СССР, 1974. - 73 с.

43. Жилин, П. А. Линейная теория ребристых оболочек / П. А. Жилин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1970. - № 4. - С. 150-162.

44. Жилин, П. А. Общая теория ребристых оболочек / П. А. Жилин // Прочность гидротурбин: тр. / ЦКТИ. Л., 1971. - Вып. 88. - С. 46-70.

45. Жуковский, Э. 3. Оболочки двоякой кривизны в гражданском строительстве Москвы / Э. 3. Жуковский, В. Ф. Шабля. М.: Стройиздат, 1980. - 112 с.

46. Игнатьев, В. А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем / В. А. Игнатьев. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. 296 с.

47. Игнатьев, О. В. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины / О. В. Игнатьев, В. В. Карпов, В. Н. Филатов. Волгоград: ВолгГАСА, 2001. - 210 с.

48. Ильин, В. П. Связанность форм потери устойчивости ребристых оболочек / В. П. Ильин, В. В Карпов // Тр. XIV Всесоюзн. конф. по теории пластин оболочек. Кутаиси, 1987.

49. Ильин, В. П. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях / В. П. Ильин, В. В. Карпов. Л.: Стройиздат, 1986. - 168 с.

50. Ильин, В. П. Численные методы решения задач строительной механики / В. П. Ильин, В. В. Карпов, А. М. Масленников. Минск: Вышейшая школа, 1990.-349 с.

51. Ильюшин, А. А. Пластичность. Основы общей математической теории пластичности / А. А. Ильюшин. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.

52. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин. М., 1998. - 215 с.

53. Кабанов, В. В. Устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек / В. В. Кабанов. М.: Машиностроение, 1982. - 253 с.

54. Кантор, Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек /Б. Я. Кантор. Киев: Наукова думка, 1971. - 136 с.

55. Кантор, Б. Я. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 197280 гг. / Б. Я. Кантор, С. И. Катарянов, В. В. Офий; Ин-т проблем машиностроения АН УССР. 1982. - № 167. - 78 с.

56. Карпов, В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек / В. В. Карпов; СПбГАСУ. СПб., 2006. - 330 с.

57. Карпов, В. В. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования / В. В. Карпов, О. В. Игнатьев, А. Ю. Сальников; СПбГАСУ. М.; СПб.: АСВ, 2002. - 420 с.

58. Карпов, В. В. Исследование несимметричной потери устойчивости пологих оболочек на прямоугольном плане / В. В. Карпов, И. С. Кривошеин, В. В. Петров //Тр. X Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мецниереба, 1975. - С. 628-634.

59. Карпов, В. В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек / В. В. Карпов, В. В. Петров // Изв. АН СССР. Сер. МТТ. 1975. -№ 5. - С. 189-191.

60. Карпов, В. В. Некоторые варианты расчета гибких пологих ребристых оболочек / В. В. Карпов, В. В. Шацков // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: межвуз. темат. сб. тр. /ЛИСИ.-Л., 1986.-С. 34-38.

61. Карпов, В. В. Устойчивость ребристых пологих оболочек при длительном нагружении / В. В. Карпов, В. К. Кудрявцев // Вестн. ВолгГАСУ. Стр-во и архитектура. 2006. -Вып. 6 (21). - С. 160-168.

62. Качанов, Л. М. Теория ползучести / Л. М. Качанов. М.: Физматгиз, 1960.-455 с.

63. Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. М.: Наука, 1969.-420 с.

64. Климанов, В. И. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек / В. И. Кли-манов, С. А. Тимашев. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985.-291 с.

65. Колчунов, В. И. Расчет составных тонкостенных конструкций / В. И. Кол-чунов, Л. А. Панченко. М.: АСВ, 1999. - 281 с.

66. Корнишин, М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения / М. С. Корнишин. М.: Наука, 1964. - 192 с.

67. Коротенко, Н. А. Закритические деформации пологой цилиндрической панели, подкрепленной тонкостенными ребрами / Н. А. Коротенко // Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструк-ций. Л., 1983.-С. 62-69.

68. Крысько, В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек / В. А. Крысько. Саратов: Сарат. ун-т, 1976. - 216 с.

69. Куршин, Л. М. К расчету на устойчивость оболочек в условиях ползучести по теории старения / Л. М. Куршин // Проблемы устойчивости в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965. - С. 280-287.

70. Лившиц, Я. Д. Расчет железобетонных конструкций с учетом ползучести и усадки бетона / Я. Д. Лившиц. Киев: Вища школа, 1971. - 232 с.

71. Лурье, А. И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости / А. И. Лурье. Л., 1948. - 28 с.

72. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Ма-линин. М.: Машиностроение, 1986. - 400 с.

73. Маневич, А. И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек / А. И. Маневич. Киев; Донецк: Вища школа, 1979. - 152 с.

74. Масленников, А. М. Численный метод решения задач теории пластин и оболочек, подкрепленных ребрами: дис. . д-ра техн. наук: 05.23.17 / Масленников Александр Матвеевич; ЛИСИ. Л., 1970. - 275 с.

75. Маслов, Г. Н. Термическое напряжение бетонных массивов при учете ползучести / Г. Н. Маслов // Тр. ВНИИГ. 1940. - № 28. - С. 175-188.

76. Милейковский, И. Е. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек / И. Е. Милейковский, И. П. Гречанинов // Расчет пространственных конструкций: сб. ст. -М., 1969. Вып. 12. - С. 168-176.

77. Михайлов, Б. К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами / Б. К. Михайлов. Л.: ЛГУ, 1980.-196 с.

78. Моисеенко, М. О. Исследование нелинейных деформаций и устойчивости пологих оболочек при нагружении равномерно распределенной нагрузки / М. О. Моисеенко // Вестн. Томск, гос. архитектурно-строит. ун-та. 2008. - № 2.-С. 115-120.

79. Муштари, X. М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложениями к решению задач устойчивости упругого равновесия / X. М. Муштари // ПММ. 1939. - Т. 2, № 4. - С. 439-456.

80. Муштари, X. М. Нелинейная теория упругих оболочек / X. М. Муштари, К. 3. Галимов. — Казань: Таткнигоиздат, 1957. 431 с.

81. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. JI.: Суд-промиздат, 1962. — 431 с.

82. Панин, А. Н. Алгоритмы исследования прочности пологих железобетонных ребристых оболочек при учете физической нелинейности /А. Н. Панин // Вестн. гражд. Инженеров / СПбГАСУ. СПб., 2009. - № 1 (18). - С. 114-116.

83. Панин, А. Н. Напряженно-деформированное состояние пологих железобетонных оболочек с учетом ползучести материала / А. Н. Панин // Развитие жилищной сферы городов: 7-я Междунар. науч.-практ. конф. М., 2009. - С. 373377.

84. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек / В. В. Петров // Саратов: Изд-во Сарат. политехи, ин-та, 1975.-119 с.

85. Петров В. В. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала / В. В. Петров, Н. Г. Овчинников, В. И. Ярославский. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. — 136 с.

86. Постнов В. А. Изгиб и устойчивость оболочек вращения / В. А. Постнов, В. С. Корнеев // Тр. X Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мецниереба, 1975. - С. 635-644.

87. Постнов В. А. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек / В. А. Постнов, В. С. Корнеев // Прикладная механика. 1976. - № 1. - С. 27-35.

88. Прокопович, И. Е. Расчет цилиндрических оболочек и призматических складок / И. Е. Прокопович, И. Н. Слезингер, М. В. Штейнберг. Киев: Буд1вельник, 1967. - 240 с.

89. Прокопович, И. Е. Влияние длительных процессов на напряженное и деформированное состояние сооружений / И. Е. Прокопович. М.: Госстройиз-дат, 1963.-260 с.

90. Прокопович, И. Е. Прикладная теория ползучести / И. Е. Прокопович, В. А. Зедгенидзе. М.: Стройиздат, 1980. - 240 с.

91. Пшеничное Г. И. К расчету пологих упругих ребристых оболочек / Г. И. Пшеничнов, И. Г. Тагиев // Строительная механика и расчет сооружений. 1986.-№ 1.-С. 21-24.

92. ЮО.Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работ-нов. М.: Наука, 1988. - 712 с.

93. Работнов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов. -М.: Наука, 1966. □-752 с.

94. Рекомендации по расчету подкрепленных оболочек положительной кривизны на устойчивость / Госстрой СССР. — Свердловск, 1974. 76 с.

95. Рекомендации по учету ползучести и усадки бетона при расчете бетонных и железобетонных конструкций / НИИ бетона и железобетона. М.: Стройиз-дат, 1988.- 199 с.

96. Ржаницын, А. Р. Теория ползучести / А. Р. Ржаницын. М.: Стройиздат, 1968.-416 с.

97. Ржаницын, А. Р. Строительная механика / А. Р. Ржаницын. М.: Высш. шк, 1982.-400 с.

98. Санжаровский, Р. С. Теория расчета строительных конструкций на устойчивость и современные нормы / Р. С. Санжаровский, А. А. Веселов. СПб.; М.: АСВ, 2002. - 128 с.

99. СНиП 52-01-2003. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения / Госстрой России. М., 2004. - 24 с.

100. СНиП 2.03.01-84 . Бетонные и железобетонные конструкции / ЦИТП Госстроя СССР. М., 1989. - 88 с.

101. Соколов, Е. В. Напряжения и деформации в элементах пространственных конструкций / Е. В. Соколов // Тр. ПИМаш. СПб., 1997. - Вып. 7.-104 с.

102. СП 52-117-2008. Железобетонные пространственные конструкции покрытий и перекрытий. 4.1. Методы расчета и конструирование / НИИЖБ, ФГУП ЦПП.-М., 2008.-98 с.

103. СП 52-101-2003. Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры / НИИЖБ: ФГУП ЦПП. М., 2004. - 54 с.

104. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А. В. Кармишин и др. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

105. Теребушко, О. И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами / О. И. Теребушко // Расчет пространственных конструкций: сб. ст. М., 1964. - Вып. 9. - С. 131-160.

106. Терегулов, И. Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести / И. Г. Терегулов. М.: Наука, 1969. - 206 с.

107. Тимашев, С. А. Устойчивость подкрепленных оболочек / С. А. Тимашев. — М.: Стройиздат, 1974. 256 с.

108. Пб.Улицкий, И. И. Ползучесть бетона / И. И. Улицкий. Киев; Львов: Гос-техиздат Украины, 1948. — 133 с.

109. Улитин, В. В. Физически нелинейный анализ устойчивости оболочек / В. В. Улитин. СПб.: ГИОРД, 2007. - 96 с.

110. Харлаб, В. Д. К общей линейной теории ползучести / В. Д. Харлаб // Изв. ВНИИГ. 1961. - Т. 68. - С. 217-240.

111. Харлаб, В. Д. Энергетическая теория нелинейной ползучести и длительной прочности хрупко разрушающихся материалов / В. Д. Харлаб // Механика стержневых систем и сплошных сред.: межвуз. темат. сб. тр. / ЛИСИ. Л., 1981.-Вып. 14.-С. 11-17.

112. Харлаб, В. Д. Новый вариант теории нелинейной ползучести и длительной прочности нестареющего бетона / В. Д. Харлаб // Вестн. гражд. инженеров / СПбГАСУ. СПб., 2009. - № 3 (20). - С. 24-28.

113. Черных, К. Ф. Общая нелинейная теория упругих оболочек / К. Ф. Черных, С. А. Кабриц. СПб.: Изд-во СПб ун-та, 2002. - 388 с.

114. Чернышов, В. Н. Расчет гибких ребристых пологих оболочек: автореф. дис. канд. техн. наук / В. Н. Чернышов. Новосибирск, 1980. - 19 с.

115. Шугаев, В. В. Инженерный метод в нелинейной теории предельного равновесия оболочек / В. В. Шугаев. М.: Готика, 2001. - 386 с.

116. Шугаев, В. В. Железобетонные пространственные конструкции покрытий и перекрытий зданий и сооружений (опыт проектирования и строительства) / В. В. Шугаев // Монтажные и специальные работы в строительстве. 2006. -№ 1.-С. 12-16.

117. Bakouline N. Ignatiev O. Karpov V. Variation parametric research technique of variable by step width shallow shells with finite deflections // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. — V. I / Issue 3. 2000, pp. 1-6.

118. Byskov E., Hansen J.C. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction // J. Struct. Mech., 1980. 8. №2.-P. 205-224.

119. Campbell J.D. The dinamic yielding of mild stell / Acta Metallurgia. Vol. 6., 1953. № 6.

120. Chrobot B. Mathematical models of ribbed shells, Studia Geotechnica et Mechanics Vol. IV. 1982. №. 3-4. P. 55-68.

121. Karman Th. and Shen Tsien H. The buckling of spherical shells by external pressure // J. Acron. Sei. 7, 1939.

122. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Machinenbau // Enzyklopaedie der Vathe-matischen Wissenshaften. Bd. LV. Teilband IV. 1910. S. 349.

123. Richer T.R., Chao Tung-Lai. Minimum weight design of stiffend fiber composite cylinder // C.J. Aircraft, 1971. T. 8. № 7. P. 562-569.

124. Koiter W.T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures. // WTHD Report. № 590. August 1976.

125. Marguerre K. Zur Teorie der gekremmten Platte grosser Formänderung / Jahz-buch 1939?deutseher Luftfahrtsforchung. Bd. 1. Berlin: Ablershof Buecherei, 1939.