автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерное моделирование прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала

На правах рукописи

БАРАНОВА ДАРЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ УЧЕТЕ РАЗЛИЧНЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 5 ОКТ 2012

Санкт-Петербу

2012

005053989

005053989

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» на кафедре «Прикладная математика и информатика».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Карпов Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Прозорова Эвелина Владимировна, профессор кафедры параллельных алгоритмов ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

доктор технических наук, профессор Трушин Сергей Иванович, профессор кафедры строительной механики ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет»

Ведущая организация Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.»

Защита состоится «8» ноября 2012 г. в 13 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 218.008.06 на базе Петербургского государственного университета путей сообщения по адресу: 190031, Санкт-Петербург, Московский проспект, д. 9, ауд. 1-217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петербургского государственного университета путей сообщения.

Автореферат разослан «8» октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, профессор

Кудряшов Владимир Александрович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования.

Тонкостенные оболочечные конструкции широко используются в судостроении, самолетостроении, создании космических объектов, машиностроении, строительстве. Для придания большей жесткости они подкрепляются ребрами. При проектировании объектов и сооружений необходимо проводить исследование устойчивости этих конструкций.

Обладая разнообразием форм и существенно высокой жесткостью, оболочки используются в строительстве в качестве покрытия большепролетных строительных сооружений. Если пролет не превышает 40 метров, то используются панели цилиндрических, конических, тороидальных оболочек. Если пролет составляет более 40 метров, то используют составные оболочки.

Для уменьшения материалоемкости конструкции необходимо проводить комплексные расчеты их прочности и устойчивости. Поэтому актуальным является разработка наиболее точных математических моделей деформирования оболочек с учетом вязко-упругопластических свойств материала. Для проведения расчетов необходима разработка программного комплекса на основе современных средств программирования с учетом распараллеливания процесса вычисления.

Наиболее часто применяемые методики исследования устойчивости оболочек связаны с многократным решением систем линейных алгебраических уравнений: методика, основанная на методе Эйлера (работы Григолюка Э. И. и Кабанова В. В., Товстика П. Е. и др.); методика, основанная на линеаризации нелинейных уравнений равновесия методом продолжения решения по параметру (работы Петрова В. В., Григорюка Э. И., Шалашилина В. И., Милейковского И. Е., Трушина С. И., Карпова В. В. и др.). При программной реализации этих методик при решении конкретных задач устойчивости оболочек требуется существенное время на расчет. Методика, применяемая в данной работе, основана на градиентном методе, что позволяет существенно сократить время расчета. Кроме того, использование сплайнов для аппроксимации искомых функций позволяет учитывать произвольные краевые условия.

В данной работе разработаны математические модели деформирования подкрепленных ребрами жесткости оболочек вращения с учетом существенных факторов, которые ранее не учитывались ввиду сложности их учета (контакт ребра с обшивкой происходит по полосе, учитывается сдвиговая и крутильная жесткость ребер, учитываются поперечные сдвиги, кривая деформации задается точно, учитывается вязко-упругопластические свойства материала). Разработаны алгоритмы исследования полученной модели на основе градиентного метода и программный комплекс расчета прочности и устойчивости оболочек

покрытия строительных сооружений с возможностью параллельных вычислений, что является актуальным.

Так как для покрытия строительных сооружений чаще всего используются панели оболочек вращения, то в данной работе рассматриваются не только пологие оболочки прямоугольного плана, но и оболочки вращения.

Объектом диссертационного исследования являются подкрепленные ребрами оболочки вращения.

Предметом диссертационного исследования является нахождение критической нагрузки для различных видов оболочек при различных видах нагружения с учетом геометрической и физической нелинейности и ползучести материала.

Целью настоящей работы является исследование прочности и устойчивости оболочек покрытия строительных сооружений при учете различных свойств материала на основе более адекватных математических моделей и современных компьютерных технологий.

В связи с этим ставятся следующие задачи исследования:

1. Разработать математическую модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала.

2. Разработать алгоритм исследования устойчивости рассматриваемых оболочек на основе градиентного метода L-BFGS (limited-memory BFGS - Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno) и аппроксимации NURBS (неоднородный рациональный В-сплайн) поверхностями.

3. Разработать программный комплекс исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала с использованием параллельных вычислений.

4. Произвести исследования устойчивости подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала.

Методы исследования: градиентный метод L-BFGS, метод Симпсона для вычисления интегралов, аппроксимация сплайнами, аппроксимация NURBS-поверхностями.

Теоретическая основа н методологическая база исследования: труды отечественных и зарубежных ученых в области строительства, математики и программирования.

На защиту выносятся следующие научные результаты:

1. Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения, учитывающая геометрическую и физическую нелинейность, возможность развития деформации ползучести, поперечные сдвиги, сдвиговую и крутильную жесткость ребер, задание секущего модуля упругости непосредственно из кривой зависимости «а - £» при

решении нелинейно-упругих задач.

2. Алгоритм исследования модели на основе градиентного метода L-BFGS и аппроксимации NURBS поверхностями.

3. Программный комплекс на основе современных технологий, использующий параллельные вычисления, для исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения для решения линейно и нелинейно-упругих задач и задач ползучести.

4. Результаты исследования устойчивости различных оболочек вращения на основе разработанного программного комплекса.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. Разработана уточненная математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения, учитывающая геометрическую и физическую нелинейности, поперечные сдвиги, возможность развития деформации ползучести. Секущий модуль упругости при решении нелинейно-упругих задач задается непосредственно из кривой зависимости «о - е». Ребра вводятся по методу конструктивной анизотропии при учете их сдвиговой и крутильной жесткости.

2. Для минимизации функционала полной энергии деформации подкрепленных оболочек вращения применен новый алгоритм, основанный на градиентном методе L-BFGS. В этом случае с помощью итерационного процесса уточняются значения параметров искомых функций, что позволяет отказаться от решения обширных систем нелинейных алгебраических уравнений и существенно сократить время расчета одного варианта задачи на ЭВМ.

3. Для аппроксимации искомых функций использованы NURBS поверхности, позволяющие расширить возможные варианты закрепления контура оболочки и рассматривать непрямолинейные границы оболочек.

4. Разработан программный комплекс с использованием параллельных вычислений для исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения для решения линейно и нелинейно-упругих задач и задач ползучести.

5. На основе разработанного математического и программного обеспечения проведено комплексное исследование устойчивости различных оболочек вращения при различных свойствах материала.

Достоверность полученных научных результатов подтверждается сравнением полученных результатов для тестовых задач с результатами других авторов, полученных с использованием других алгоритмов, и с результатами экспериментов.

Практическая значимость работы состоит в проведении наиболее точных расчетов, возможности расчетов при произвольном закреплении, в уменьшении времени получения результатов за счет использования

оптимальных алгоритмов и параллельных вычислений.

Реализация результатов работы. Методика исследования устойчивости оболочек вращения при учете геометрической и физической нелинейности, ползучести материала и программное обеспечение расчетов прочности и устойчивости используется при расчетах и проектировании покрытий большепролетных строительных сооружений в проектно-конструкторском бюро «Ремарк».

Результаты работы внедрены в отчет по проекту №2.1.2/6146 «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 г.г.)», в отчет по проекту №2.1.2/10824 «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2011 г.г.)».

Апробация работы: Результаты работы докладывались на 67-ой и 68-ой научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ (3-5 февраля 2010 г., 2-4 февраля 2011 г.), на XVI Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (14-18 февраля 2010 г., Москва), на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (3-6 июня 2010 г., Самара), на десятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (9-11 декабря 2010 г., Санкт-Петербург). Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики СПбГАСУ под руководством д.т.н., доц. Никифорова С. Н. (28 июня 2011 г.) и на 96 заседании межвузовского семинара СПбГУ и ПГУПС «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (18 октября 2011 г.).

Публикации. По результатам исследования опубликовано 6 статей, 1 монография, публикаций в рецензируемых изданиях—3.

Структура диссертации. Текст диссертации изложен на 131 странице, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 186 наименований. Содержит 92 рисунка и 9 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, изложены цели и задачи исследований, отмечены научная новизна и практическая значимость работы, а также основные положения, выносимые на защиту. Также приведен краткий обзор литературных источников по теме диссертации.

В первой главе описана математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения с учетом геометрической и физической нелинейности, возможности развития деформаций ползучести, поперечных сдвигов. Ребра вводятся по методу конструктивной анизотропии с учетом их сдвиговой и крутильной жесткости, который был разработан Карповым В. В.

При действии нагрузки на оболочку все ее точки получают перемещения £/(х,з>,г), У(х,у,:г), Ж(х,у,:) соответственно вдоль осей координат х, у, г. Ортогональные координаты х и у направлены вдоль линий главных кривизн оболочки в ее срединной поверхности, ось г направлена ортогонально срединной поверхности в сторону вогнутости. В каждой точке оболочки также будут возникать деформации растяжения-сжатия еХ(х,у,г), Еу(х,у,г) и сдвига у(.г, V,г). Кроме того, в каждой точке оболочки будут возникать силовые факторы: нормальные напряжения ах(х,усг1:(х,у,:) вдоль осей х, у, и касательные

напряжения т (х,у,~). Чтобы трехмерную задачу свести к двумерной

относительно деформирования срединной поверхности оболочки, применим гипотезу, согласно которой первоначально нормальный и прямолинейный элемент после деформирования остается прямолинейным, но необязательно нормальным. Поворот нормали, проведенной к срединной поверхности в плоскостях хог и уог, характеризующийся функциями "^(лг, т.'), (л, V) соответственно, учитывает поперечные сдвиги. Таким образом, для тонких оболочек принимается, что деформирование вдоль оси ъ происходит по линейному закону, и неизвестными функциями являются Щх,у), У(х,у), Ж(х,у), ,

Ч' (х,у). Перемещения, деформации и напряжения связаны между собой

определенными соотношениями. Связь деформации и перемещения -геометрические соотношения - учитывают геометрическую нелинейность и зависят от параметров Ляме А, В. Связь напряжений и деформаций — физические соотношения теории оболочек - зависят от проявляемых свойств материала. При линейно-упругом деформировании эти соотношения задаются законом Гука, при этом модуль упругости Е является константой. При нелинейно-упругом деформировании, согласно

деформационной теории пластичности, модуль упругости задается в виде секущего модуля упругости Ес = —, где а,, е, - интенсивности

напряжений и деформации соответственно. Обычно ст((с;) аппроксимируется некоторым аналитическим выражением исходя из кривой «а-е», найденной опытным путем для различных материалов. В данной работе кривая «сг — еу> задается графически, и при найденной е, в данной точке находится с, из заданной кривой, после чего вычисляется

Ес = —. Такой подход позволяет наиболее точно исследовать

деформирование оболочки при учете физической нелинейности. При учете ползучести материала к физическим соотношениям для линейно-упругого материала согласно линейной теории наследственной ползучести добавляются интегральные члены, учитывающие функцию влияния Rj(t,s), R2(t,s) и искомые функции уже становятся зависящими не только от х, у но и от t.

Оболочки считаются подкрепленными ребрами, направленными параллельно координатным линиям. При часто расположенных ребрах (а именно таким образом подкрепляются реальные оболочечные конструкции) учет жесткости ребер можно провести по методу конструктивной анизотропии, но с учетом сдвиговой и крутильной жесткости ребер.

Интегрируя напряжения по толщине оболочки, получим усилия и моменты, приходящиеся на единицу длину сечения и приведенные к срединной поверхности оболочки.

С учетом выбранных геометрических и физических соотношений записывается функционал полной энергии деформации оболочки, который и представляет собой математическую модель деформирования оболочки.

| ab j

Э = + Nyzy +-(Nxy + Nyxjyxy + MxZl +МуХ2 +

•¿0 0 ^ + (M^ + Мух)Х]2 + Qxiwx -0x) + Qy(vy-02)-2PXU-

-2PyV-2qW]ABdxdy. (1)

Из условий минимума этого функционала получаются уравнения равновесия. Но можно и непосредственно из условия минимума функционала, используя тот или иной метод, находить искомые функции.

Во второй главе приведен алгоритм исследования устойчивости подкрепленных оболочек вращения на основе метода L-BFGS и аппроксимации NURBS поверхностями.

Алгоритм основан на аппроксимации искомых функций NURBS поверхностями н нахождении параметров этих поверхностей при помощи метода L-BFGS поиска минимума функции многих переменных.

Этот алгоритм для решения задач устойчивости для оболочек применен впервые.

Итак, пусть дан функционал полной энергии деформации оболочки 3{u,V,W,Vx,4ry).

Неизвестные функции представляем в виде NURBS поверхностей:

т п

ZZ^W^Wu

ЩХгУ) = Ш±-,

\ / т п '

ZZ^to^OO

i=0 у=0 т п

ZZ M[y)VtJ Г(*> У) = -'

ZZ^w^oo

/=0 j=о

т п

ZZ Nt,p(x)Nj„(yWij

= ^-. (2)

ZZA^MA^W

/=0 j= о

т п

ZZ Ni.p{x)Nhq{y)PSiJ

s ч 1=0 /=о

V* <>'■>') = ——-'

ZZ NLp{x)N^(y) /=0 7=0 т п

, ч /=0 /= о

У.ЛХ'У) = ->

ZZ^w^oo

1=0 7=0

где Nlp(x),N базисные функции (многочлены, степени

которых могут быть любыми, и задаются пользователем в программе), UtJ, l'u, 1V:J, PS, j, PNjj - контрольные точки сплайнов, они являются неизвестными числовыми параметрами.

Подставив (2) в функционал (1), получим функцию, зависящую от искомых числовых параметров, для нахождения минимума которой, используем метод L-BFGS.

Начальное приближение выбирается нулевым, последующие приближения находятся по формулам

(3)

г)9

PNM = РА', -СГ'(РМ)-

dPN

Где G"1 - обратный гессиан.

В третьей главе описан разработанный программный комплекс и его интерфейс.

Программный комплекс реализован в виде приложения Windows с использованием среды Microsoft .NET Framework 2.0 и DirectX. Исходный текст написан на языке С#.

Возможности программного комплекса:

• Задание различных форм оболочек

• Получение на выходе 2-Змерных графиков

• Расчет напряженно деформированного состояния

• Расчет критической нагрузки

• Нахождение зависимости критической нагрузки от времени

• Расчет с использованием ребер жесткости

• Возможность использования различных форм нагрузки

• Учет физической нелинейности материала

• Возможность сохранения заготовленных видов материала для

дальнейшего использования в последующих расчетах

• Простое управление точностью расчета

• Возможность просмотреть результаты расчета на каждом шаге

в любое время

• Сохранение всего проекта полностью

• Вывод подсказок

• Использование многопоточных вычислений

На расчет задач прочности и устойчивости оболочек требуется большое количество времени и ресурсов, так как это очень сложная и громоздкая задача. Для большего комфорта при использовании программного комплекса в алгоритме используются параллельные вычисления, что значительно сокращает время расчета.

Две версии программы (с параллельными вычислениями и без) запускались на трех разных компьютерах. Компьютеры имеют следующие процессоры:

1. Один процессор Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU Т9900 @ 3.06GHz, 3067 МГц, ядер: 2, логических процессоров: 2.

2. Два процессора Intel(R) Xeon(R) CPU L5420 @ 2.50GHz, 2490 МГц, ядер: 4, логических процессоров: 4.

3. Один процессор Intel(R) Core(TM) i7 CPU 960 @ 3.20GHz, 3193 МГц, ядер: 4, логических процессоров: 8.

В таблице 1 видна разница во времени расчета при использовании параллельных вычислений и без них для каждого компьютера.

Таблица 1_Время вычислений для каждого из компьютеров

N комп-ра Время без параллельных вычислений Время с параллельными вычислениями

1 00:14:59 00:12:23

3 00:11:17 00:07:52

2 00:08:01 00:04:10

Из этой таблицы видно, что время расчета с параллельными вычислениями сокращается, а так же видно, что параметры компьютера влияют на разницу во времени между вычислениями с параллельными вычислениями и без.

В четвертой главе приведены результаты комплексных исследований устойчивости различных оболочек вращения на основе разработанного ПК.

Показана возможность комплексного исследования прочности и устойчивости различного вида подкрепленных оболочек вращения в зависимости от проявляемых свойств материала, размеров оболочки, ее толщины, кривизны, числа подкрепляющих ее ребер с помощью разработанной программы БЬеПСак.

Приведен расчет прочности и устойчивости стального ангара с ребрами в виде панели цилиндрической оболочки при снеговой нагрузке. При расчете учитывалась физическая нелинейность материала.

В следующих примерах принято, что все оболочки по контуру закреплены шарнирно-неподвижно и находятся под действием равномерно-распределенной поперечной нагрузки.

Одной из задач исследования оболочек является поиск критической нагрузки.

Точность получения qкp зависит от числа разбиений области,

занимаемой оболочкой на части. Выбор необходимого для достаточной точности числа точек разбиения п вдоль каждой из координат (общее число точек будет п2) был сделан на основе расчетов одной из пологих оболочек. Расчеты показали, что для хорошей точности нужно брать п=22.

Приводится сравнение результатов нахождения критических нагрузок для пологих оболочек с результатами других авторов и по другому алгоритму, и показано хорошее их совпадение, что говорит о достоверности получаемых результатов при использовании разработанного программного комплекса.

1. Линейно-упругие задачи

1.1. Цилиндрические панели

Рассматривается цилиндрическая панель с радиусом г =5,4 м и толщиной Ь = 0,01 м, а = 20л*, угол разворота^ = 1,57 .

На рис. I представлен график «нагрузка ¿7 - прогиб №'» оболочки в характерных точках (в центре, четверти и наибольший прогиб).

Зависимость прогиба от нагрузки

Рис. 1. График «нагрузка ц - прогиб IV» для варианта оболочки 3

Как видно из рис. 1 происходит несколько перескоков в новое равновесное состояние, после чего прогибы в разных точках начинают монотонно возрастать.

На рис. 2, 3 показаны формы прогиба до и после потери устойчивости.

Рис. 2. Форма прогиба до потери устойчивости

Рис. 3. Форма прогиба после потери устойчивости

Так же проводились расчеты задач для пологих, сферических, конических и тороидальных оболочек.

2. Нелинейно-упругие задачи 2.1. Панели сферических оболочек

Исследуем устойчивость стальных (Ст3, Е = 2.1 ■ 105 МПа, а1Щ = 200 МПа, сгг = 240 МПа, ая = 450 МПа) панелей сферических оболочек, которые практически можно рассматривать, как пологие оболочки прямоугольного плана.

Будем рассматривать три вида оболочек:

1. Я1 = 7?2 = 34 м, к = 0,09 м. 0.777 <х < 2.365;0 < у < 1.588 (для пологой оболочки а = Ъ = 54 м).

2. /?1 = Я2 = 136 м, /7 = 0,09 м, 1.373 < х < 1.769;0 <у< 0.397 (для пологой оболочки а = Ь = 54 м).

3. = Я2 = 20.25 м, И = 0,09 м, 1.438 <х < 1.704;0<>'<0.267 (для пологой оболочки а = Ь = 5.4 м).

В таблице 3 показана разница в значениях критической нагрузки при линейно-упругой и нелинейно-упругой задачах.

и

Таблица 3. Критическая нагрузка при линейно-упругих и нелинейно-

уп ругих задачах

N ЯкР (МПа) при лин.-упр. Якр (МПа) при нелин.-упр. К п, %

1 3,55 2,2 38%

2 0,133 0,12 9,8%

3 3,15 2,13 32%

Кп=щ /"" -100%- коэффициент снижения критической

Чкр

нагрузки при учете физической нелинейности по сравнению с линейно-упругим решением.

3. Задачи ползучести

Рассматривается сферическая оболочка с параметрами Г]=Г2=20.25м, й=0.09м, 1.438 < х < 1.704;0 < у < 0.267, материал - оргстекло.

Критическая нагрузка при линейно-упругом деформировании составила 0,051 МПа.

При учете ползучести материала при нагрузке <7=0,05 МПа оболочка теряет устойчивость через 10 суток. Этот процесс показан на рис. 4.

Зависимость прогиб« от домин

^«ут.

Рис. 4 Зависимость «Прогиб Ш-время Ь> при ¡7=0.05

Бурный рост прогибов соответствует потери устойчивости при ползучести материала. Из этого графика находим 1кр-= 10 суток.

Аналогичный расчет при нагрузке д=0.047 МПа показывает, что при 1кр=30 суток оболочка теряет устойчивость от ползучести.

При <7=0.045МПа /^=459 суток.

Таким образом, при длительном нагружении критическая нагрузка по сравнению с линейно-упругим решением уменьшается. Это необходимо учитывать при проектировании конструкций.

4. Расчет стального ангара, подкрепленного ребрами Высота ангара 5м, ширина Юм, длина 20м, толщина 1см. Вдоль оси у с внешней стороны подкреплен ребрами жесткости.

Рис. 5. Стальной ангар Критическая нагрузка составила 0,86 МПа (Рис. 6).

Заансямвсп. прогиб* С* нагрузки

0>» ; о.»!

І о.»

' і 0.3 ;

1 5 а.о

Рис. 6. Зависимость «Нагрузка q — прогиб IV»

Рис. 7. Функция прогиба при нелинейно-упругом деформировании при ¿¡г=0.85 МПа.

Рис. 4.70. Функция интенсивности напряжения сг при нелинейно-упругом деформировании при а=0.85 МПа.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Модифицирована математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения с учетом геометрической и физической нелинейности и ползучести материала, поперечных сдвигов. Ребра вводятся по методу конструктивной анизотропии с учетом их сдвиговой и крутильной жесткости. При решении нелинейно-упругих задач для подкрепленных оболочек вращения секущий модуль упругости при каждой нагрузке и в каждой точке (х, у, z) находится непосредственно из кривой «а - £», а не используется для этого приближенная аналитическая аппроксимация этой кривой. Это позволяет получить более точное значение критической нагрузки (от 2% до 15%, в зависимости от параметров оболочки) при исследовании устойчивости оболочек, когда учитывается и геометрическая, и физическая нелинейности.

2. Для минимизации функционала полной энергии деформации подкрепленных оболочек вращения разработан алгоритм, основанный на градиентном методе L-BFGS. В этом случае с помощью итерационного процесса уточняются значения параметров искомых функций, и не нужно многократно решать обширные системы нелинейных алгебраических уравнений, что позволяет существенно сократить время расчета одного варианта задачи на ЭВМ (для некоторых оболочек в разы). Для расширения возможных вариантов закрепления контура оболочки и рассмотрения непрямолинейной границы оболочки используется аппроксимация искомых функций с помощью NURBS поверхностей.

3. Разработан программный комплекс для ПЭВМ, на основе современных технологий программирования (современный язык программирования С#, многопоточные вычисления, трехмерная графика DirectX и др.). Он предназначен для исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения для решения линейно и нелинейно-упругих задач и задач ползучести.

4. Проведено исследование устойчивости различных оболочек вращения при различных параметрах. Показано, что комплексное исследование устойчивости оболочек при учете геометрической и физической нелинейности, ползучести материала позволяет наиболее точно исследовать поведение оболочек и аргументировано задавать коэффициент запаса прочности, что будет способствовать уменьшению материалоемкости конструкции.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

Статьи, опубликованные в рекомендованных ВАК изданиях:

1. Баранова Д. А., Волыннн А. Л., Карпов В.В. Сравнительный анализ расчета прочности и устойчивости подкрепленных оболочек на основе ПК Оболочка и ПК АК'БУБ// Изд. Сарат. ун-та. Нов. Сер. 2010, т.10. Математика. Механика. Информатика - 4с (23-27).

2. Баранова Д. А. Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала//Инженерный Вестник Дона, номер 2, 2012.

3. Баранова Д. А. Алгоритм исследования устойчивости подкрепленных оболочек вращения на основе метода Ь-ВРОБ/Шромышленное и гражданское строительство, номер 3, 2012. - с. 58-59.

Статьи, опубликованные в прочих изданиях:

4. Баранова Д. А., Беркалиев Р.Т., Карпов В. В. Программный комплекс исследования устойчивости подкрепленных оболочек// Материалы XVI международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред имени А.Г. Горшкова», Москва, 2010, т. 2 - С. 103-117.

5. Баранова Д. А., Карпов В. В. Алгоритмы исследования устойчивости оболочек, основанные на методе наискорейшего спуска// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Самара, СамГТУ, 2010. -С. 47-51.

6. Баранова Д. А. Исследование устойчивости подкрепленных оболочек вращения на основе программы БЬеН/ЯЗысокие технологии и фундаментальные исследования. Т.З: сборник трудов Десятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности». 0911.12.2010, Санкт-Петербург, Россия/под ред. А.П. Кудинова.-СПб.:Изд-во Политехи. Ун-та, 2010. С. 60-61.

7. Карпов В. В., Баранова Д. А., Беркалиев Р.Т. Программный комплекс исследования устойчивости оболочек// СПб.: СПбГАСУ, 2009 -102 с.

Подписано к печати Печать — ризография Тираж 100 экз.

01.10.2012

Бумага для множит, апп. Заказ № 941.

Печ. л. 1,0 Формат 60x84 1/16

ПГУПС 190031, г. С-Петербург, Московский пр., 9

15

Введение.

Глава 1. Математические модели деформирования подкрепленных оболочек вращения.

1.1 Геометрические и физические соотношения нелинейной теории упругих оболочек общего вида.

1.2 Функционал полной энергии деформации оболочки.

1.3 Круговая цилиндрическая оболочка.

1.4 Сферическая оболочка.

1.5 Коническая оболочка.

1.6 Физические соотношения для нелинейно-упругой задачи и задач ползучести.

1.7 Функционал полной энергии деформации ребристых оболочек при учете различных свойств материала.

Глава 2. Алгоритмы исследования устойчивости подкрепленных оболочек вращения на основе метода L-BFGS и аппроксимации NURBS поверхностями.

2.1 Аппроксимация NURBS поверхностями.

2.2 Нахождение минимума функционала методом L-BFGS (limited-memory BFGS).

2.3 Методика исследования прочности оболочек.

2.4 Методика исследования устойчивости оболочек.

Глава 3. Программный комплекс ShellCalc.

3.1 Задание входных данных.

3.2 Задание вида нагрузки.

3.3 Задание кривой деформации.

3.4 Параллельные вычисления.

3.5 Описание интерфейса программы БИеПСак.

Глава 4. Комплексные исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения с помощью программного комплекса 8Ье11Са1с.

4.1 Линейно-упругие задачи.

4.1.1 Цилиндрические панели.

4.1.2 Панели конических оболочек.

4.1.3 Панели тороидальных оболочек, подкрепленные ребрами жесткости.

4.2 Нелинейно-упругие задачи.

4.2.1 Панели сферических оболочек.

4.3 Задачи ползучести.

4.3.1 Панели сферических оболочек.

4.5 Расчет прочности и устойчивости стального ангара с ребрами.

4.5 Сравнение результатов исследования устойчивости пологих оболочек по программе 8Ье11Са1с и программе Ро

§ОЬо1осЬ.

Тонкостенные оболочечные конструкции широко используются в судостроении, самолетостроении, создании космических объектов, машиностроении, строительстве. Для придания большей жесткости они подкрепляются ребрами. При проектировании объектов и сооружений необходимо проводить исследование устойчивости этих конструкций.

Обладая разнообразием форм и существенно высокой жесткостью, оболочки используются в строительстве в качестве покрытия большепролетных строительных сооружений. Если пролет не превышает 40 метров, то используются панели цилиндрических, конических, тороидальных оболочек (Рис. В.1). Если пролет составляет более 40 метров, то используют составные оболочки.

Рис. В. 1. Оболочки покрытия строительных сооружений

Для уменьшения материалоемкости конструкции необходимо проводить комплексные расчеты их прочности и устойчивости. Поэтому актуальным является разработка наиболее точных математических моделей деформирования оболочек с учетом вязко-упругопластических свойств материала. Для проведения расчетов необходима разработка программного комплекса на основе современных средств программирования с учетом распараллеливания процесса вычисления.

Наиболее часто применяемые методики исследования устойчивости оболочек основаны на многократном решении систем линейных алгебраических уравнений: методика, основанная на методе Эйлера (работы Григолюка Э. И. и Кабанова В. В., Товстика П. Е. и др.); методика, основанная на линеаризации нелинейных уравнений равновесия методом продолжения решения по параметру (работы Петрова В. В., Григорюка Э. И., Шалашилина В. И., Милейковского И. Е., Трушина С. И., Карпова В. В. и др.). При программной реализации этих методик при решении конкретных задач устойчивости оболочек требуется существенное время на расчет. Методика, применяемая в данной работе, основана на градиентном методе, что позволяет существенно сократить время расчета. Кроме того, использование сплайнов для аппроксимации искомых функций позволяет учитывать произвольные краевые условия.

В данной работе разработаны математические модели деформирования подкрепленных ребрами жесткости оболочек вращения с учетом существенных факторов, которые ранее не учитывались ввиду сложности их учета (контакт ребра с обшивкой происходит по полосе, учитывается сдвиговая и крутильная жесткость ребер, учитываются поперечные сдвиги, кривая деформации задается точно, учитывается вязко-упругопластические свойства материала). Разработаны алгоритмы исследования полученной модели на основе градиентного метода и программный комплекс расчета прочности и устойчивости оболочек покрытия строительных сооружений с возможностью параллельных вычислений, что является актуальным.

Большое количество литературных источников по данному направлению говорит о том, что исследованию оболочек уделяется большое внимание. Это связано с широким применением таких конструкций, обладающих высокой прочностью и жесткостью, а так же разнообразием конструктивных форм в различных областях техники.

В начале XX века из-за возникшей потребности кораблестроения, развития самолетостроения, стала развиваться геометрически нелинейная теория пластин и оболочек. Были разработаны основы нелинейной теории оболочек (пологие - Х.М. Муштари, JI. Донелл, В.З. Власов; непологие

B.В. Новожилов).

Большой вклад в разработку теории оболочек также внесли:

C.А. Амбарцумян, В.В. Болотин, И.Н. Векуа, A.C. Вольмир, И.И. Ворович,

A.J1. Гольденвейзер, Э.И. Григолюк, А.Н. Гузь, A.A. Илыошин, А.И. Лурье, Ю.Н. Работнов, С.П. Тимошенко, В.И. Феодосьев, К.Ф. Черных, К. Маргерр, Э. Рейснер и другие.

В конце 40-х годов XX века А.И. Лурье и В.З. Власовым были высказаны основные идеи расчета ребристых оболочек и заложены два основных подхода к расчету ребристых оболочек. И А.И. Лурье, и

B.З. Власов считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии. Второй подход к ребристой оболочке основан на «размазывании» жесткости ребер по всей оболочке. Введение ребер по линии, конечно, упрощает математическую модель оболочки, но при этом приводит к пренебрежению многими важными физическими факторами, что сказывается на точности получаемых решений.

Вместе с развитием теории упругих оболочек развивалась и теория упругопластических и упруговязких оболочек, основанная на соответствующих теориях пластичности и ползучести, основы которых были разработаны Н.И. Безуховым, В.В. Болотиным, A.A. Ильюшиным, H.H. Малининым, Ю.Н. Работновым и др.

Исследованию устойчивости оболочек посвящено большое число публикаций. Это монографии Григалюка Э.И. и Кабанова В.В., Товстика П.Е., Якушева B.JL, Петрова В.В., Амиро И.Я. и Заруцкого В.А., Андреева JI.B., Ободан Н.И., Лебедева А.Г. и др. Устойчивость пологих ребристых оболочек рассматривается в работе Карпова В.В., Игнатьева О.В., Сальникова А.Ю. Устойчивости пологих оболочек в условиях нелинейного деформирования посвящена работа Крысько В.А., а устойчивость пологих оболочек в условиях ползучести материала описана в работе Терегулова И.Г. Однако, комплексного исследования устойчивости подкрепленных оболочек с учетом различных свойств материала не проводилось.

Для уменьшения веса конструкции необходимо уточнить и усовершенствовать математическую модель конструкции, кроме того, необходимо выбрать устойчивый и наиболее точный алгоритм исследования этой модели. При этом существенно усложняется решение поставленной задачи исследования и требуется использование самой совершенной вычислительной техники для ее решения.

В настоящее время разработано достаточно большое количество программ для расчета прочности, устойчивости и колебания разнообразных строительных конструкций, которые обладают хорошим сервисом и отображают на экране весь процесс деформирования. Эти отечественные и зарубежные программы: LIRA, ANSYS, COSMOS-M, ROBOT, ArchiCAD и др. используют для получения решения метод конечных элементов (МКЭ), что позволяет исследовать не только конструкции сложной конфигурации, но и составные конструкции, и целые объекты.

Используя КЭ с большим числом степеней свободы, эти программы могут учитывать самые различные факторы, например, геометрическую и физическую нелинейность, дискретность расположения ребер в пластинах и оболочках и др. Однако, чем больше степеней свободы учитывает КЭ, тем больший порядок имеет система алгебраических уравнений. Это вызывает математические трудности, связанные с устойчивостью решения.

Эти обстоятельства привели к разработке иерархических подходов к расчету сложных конструкций типа метода подконструкций и других, позволяющих на каждом этапе расчета иметь дело с фрагментами конструкции, имеющими сравнительно небольшое число степеней свободы.

Каждый такой фрагмент требует предварительного расчета, который может быть выполнен только на основе исследований в области аналитических и полуаналитических решений для плоских или объемных конструкций как фрагментов более сложных конструкций.

На сегодняшний день существует практически общепринятая точка зрения, что только дальнейшее развитие и совершенствование аналитических и полуаналитических методов обеспечивает дальнейший прогресс в развитии численных методов. Поэтому задача дальнейшего развития методов нелинейного деформирования тонкостенных оболочечных конструкций ступенчато-переменной толщины является, несомненно, весьма актуальной и представляет как теоретический, так и практический интерес.

Существуют некоторые трудности при использовании промышленных пакетов программного обеспечения для расчета оболочек. Первая трудность состоит в том, что достаточно тяжело задать оболочку, особенно не имея никакой подготовки. Есть четыре основных способа задания поверхностей в этих программных пакетах: по формуле; введение точек поверхности вручную; вырезание куска из трехмерной фигуры; через трехмерный графический редактор.

При первом способе нужно, как минимум, знать формулу, но, далее если вы ее знаете, вводить формулу в текстовое поле - не самое приятное занятие.

Второй способ занимает слишком много времени.

При третьем способе, вырезая кусок сферы, в качестве оболочки, нельзя получить разные кривизны по направлениям х, у, так как у сферы радиус постоянен. При задании сферы надо ввести следующие данные: радиусы кривизны, причем R=r; Н-ширина оболочки; угол вращения, который необходимо рассчитать; количество элементов вдоль и поперек оболочки. Дальше нужно выбрать форму элементов, из которых состоит оболочка. Пусть оболочка состоит из прямоугольных пластин. После чего задаем жесткость оболочки и толщину в зависимости от материала, из которого она состоит. После задания жесткости, строится поверхность оболочки.

Так как прямоугольная в плане пологая оболочка задается частью сферической поверхности, то по границам оболочка не будет прямоугольной, т.е. расчеты будут приближенными.

При четвертом способе нужно хорошо уметь работать с трехмерными редакторами, научиться этому не так просто, нужно пройти длительные не бесплатные курсы.

А если вспомнить, что чаще всего оболочечные конструкции подкреплены ребрами, то все эти трудности задания оболочек можно сразу умножить на два.

Вторая трудность возникает при попытке определения критической нагрузки в некоторых программах. Например, в SCAD для ее нахождения приходится самостоятельно увеличивать постепенно нагрузку и следить при какой нагрузке произойдет скачок в прогибах, т.е. оболочка "прохлопнется". Это занимает много времени и сил, приходится постоянно вмешиваться в процесс и производить часть расчетов самому, то есть отсутствует автоматизация процесса расчета критической нагрузки.

Есть еще один недостаток вышеупомянутый программных пакетов: они используют недостаточно точную математическую модель, ребра водятся без учета сдвиговой и крутильной жесткости.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что современные программные комплексы расчета строительных конструкций, рассчитанные на широкий круг задач, не в состоянии с достаточной точностью проводить исследования прочности и устойчивости такого сложного объекта, как подкрепленные оболочки, а значит, возникает необходимость в создании программных продуктов на основе наиболее точных моделей и оптимальных алгоритмов, позволяющих проводить эти исследования с учетом геометрической и физической нелинейностей, возможности развития деформации ползучести при длительном нагружении, дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов.

Поэтому в рамках данной работы был разработан программный комплекс БЬеНСак (Номер свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ: № 2011613073), который предназначен для исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала. В него заложена наиболее точная математическая модель оболочек, используются оптимальные алгоритмы. В программный комплекс уже заложены существующие виды оболочек, поэтому построение модели происходит максимально быстро. Нужно только выбрать тип оболочки и задать ее размеры.

Итак, диссертация посвящена разработке математического и программного обеспечения расчетов прочности и устойчивости подкрепленных ребрами жесткости оболочек покрытия строительных сооружений при учете различных свойств материала, что является актуальным. Так как для покрытия строительных сооружений чаще всего используются панели оболочек вращения, то в данной работе рассматриваются не только пологие оболочки прямоугольного плана, но и оболочки вращения.

Объектом диссертационного исследования являются подкрепленные ребрами оболочки вращения.

Предметом диссертационного исследования является нахождение критической нагрузки для различных видов оболочек при различных видах нагружения с учетом геометрической и физической нелинейности и ползучести материала.

Целью настоящей работы является исследование прочности и устойчивости оболочек покрытия строительных сооружений при учете различных свойств материала на основе более адекватных математических моделей и современных компьютерных технологий.

В связи с этим ставятся следующие задачи исследования:

1. Разработать математическую модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала.

2. Разработать алгоритм исследования устойчивости рассматриваемых оболочек на основе градиентного метода L-BFGS (limited-memory BFGS -Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno) и аппроксимации NURBS (неоднородный рациональный В-сплайн) поверхностями.

3. Разработать программный комплекс исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала.

4. Произвести исследования устойчивости подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала.

Методы исследования: градиентный метод L-BFGS, метод Симпсона для вычисления интегралов, аппроксимация сплайнами, аппроксимация NURBS-поверхностями.

Теоретическая основа и методологическая база исследования: труды отечественных и зарубежных ученых в области строительства, математики и программирования.

На защиту выносятся следующие научные результаты:

1. Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения, учитывающая геометрическую и физическую нелинейность, возможность развития деформации ползучести, поперечные сдвиги, сдвиговую и крутильную жесткость ребер, задание секущего модуля упругости непосредственно из кривой зависимости «а - 8» при решении нелинейно-упругих задач.

2. Алгоритм исследования модели на основе градиентного метода L-BFGS и аппроксимации NURBS поверхностями.

3. Программный комплекс на основе современных технологий для исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения для решения линейно и нелинейно-упругих задач и задач ползучести.

4. Результаты исследования устойчивости различных оболочек вращения на основе разработанного программного комплекса.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. Разработана уточненная математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения с учетом геометрической и физической нелинейности, поперечных сдвигов, возможности развития деформации ползучести. При решении нелинейно-упругих задач секущий модуль упругости задается непосредственно из кривой зависимости «а - е». Ребра вводятся по методу конструктивной анизотропии при учете их сдвиговой и крутильной жесткости.

2. Разработан алгоритм, основанный на градиентном методе L-BFGS для минимизации функционала полной энергии деформации подкрепленных оболочек вращения. В этом случае с помощью итерационного процесса уточняются значения параметров искомых функций, и не нужно многократно решать обширные системы нелинейных алгебраических уравнений, что позволяет существенно сократить время расчета одного варианта задачи на ЭВМ.

3. Для расширения возможных вариантов закрепления контура оболочки и рассмотрения непрямолинейной границы оболочки используется аппроксимация искомых функций с помощью NURBS поверхностей.

4. Разработан программный комплекс, на основе современных технологий для исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения для решения линейно и нелинейно-упругих задач и задач ползучести.

5. На основе разработанного математического и программного обеспечения проведено комплексное исследование устойчивости различных оболочек вращения при различных параметрах и свойствах материала.

Достоверность полученных научных результатов подтверждается сравнением полученных результатов для тестовых задач с результатами других авторов, полученных с использованием других алгоритмов, и с результатами экспериментов.

Практическая значимость работы состоит в проведении наиболее точных расчетов, возможности расчетов при произвольном закреплении, в уменьшении времени получения результатов за счет использования оптимальных алгоритмов и параллельных вычислений.

Реализация результатов работы. Методика исследования устойчивости оболочек вращения при учете геометрической и физической нелинейности, ползучести материала и программное обеспечение расчетов прочности и устойчивости используется при расчетах и проектировании покрытий большепролетных строительных сооружений в проектно-конструкторском бюро «Ремарк».

Результаты работы внедрены в отчет по проекту №2.1.2/6146 «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 г.г.)», в отчет по проекту №2.1.2/10824 «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2011 г.г.)».

Апробация работы: Результаты работы докладывались на 67-ой и 68-ой научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ (3-5 февраля 2010 г., 2-4 февраля 2011 г.), на XVI Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (14-18 февраля 2010 г., Москва), на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (3-6 июня 2010 г., Самара), на десятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (9-11 декабря 2010 г., Санкт-Петербург). Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики СПбГАСУ под руководством д.т.н., доц. Никифорова С. Н. (28 июня 2011 г.) и на 96 заседании межвузовского семинара СПбГУ и ПГУПС «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (18 октября 2011 г.).Публикации. По результатам исследования опубликовано 7 статей, публикаций в рецензируемых изданиях - 3, монографий - 1.

Структура диссертации. Текст диссертации изложен на 131 странице, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 186 наименований. Содержит 92 рисунка и 9 таблиц.

Заключение

Была разработана математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения с учетом геометрической и физической нелинейности и ползучести материала, поперечных сдвигов. Ребра вводятся по методу конструктивной анизотропии с учетом их сдвиговой и крутильной жесткости.

При решении нелинейно-упругих задач для подкрепленных оболочек вращения секущий модуль упругости находится при каждой нагрузке и в каждой точке (х, у, z) непосредственно из кривой «а - в», а не используется для этого приближенная аналитическая аппроксимация этой кривой. Это позволяет получить более точное значение критической нагрузки (от 2% до 15%, в зависимости от параметров оболочки) при исследовании устойчивости оболочек, когда учитывается и геометрическая, и физическая нелинейности.

Для минимизации функционала полной энергии деформации подкрепленных оболочек вращения впервые разработан алгоритм, основанный на градиентном методе L-BFGS. В этом случае с помощью итерационного процесса уточняются значения параметров искомых функций, и не нужно многократно решать обширные системы нелинейных алгебраических уравнений, что позволяет существенно сократить время расчета одного варианта задачи на ЭВМ (для некоторых оболочек в разы).

Для расширения возможных вариантов закрепления контура оболочки и рассмотрения непрямолинейной границы оболочки используется дискретная аппроксимация искомых функций с помощью NURBS поверхностей.

Был разработан программный комплекс для ПЭВМ, основанный на современных технологиях программирования (использовалось объектно-ориентированное программирование, современный язык программирования С#, многопоточные вычисления, трехмерная графика DirectX и др.). Он предназначен для исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения для решения линейно и нелинейно-упругих задач и задач ползучести. В программе разработана система визуализации процесса вычислений.

Было проведено исследование устойчивости различных оболочек вращения при различных параметрах, и показано, что комплексное исследование устойчивости оболочек при учете геометрической и физической нелинейности, ползучести материала позволяет наиболее точно исследовать поведение оболочек и аргументировано задавать коэффициент запаса прочности, что будет способствовать уменьшению материалоемкости конструкции.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., ДеругаА.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Под ред. Н.П. Абовского. М.: Наука, 1978. - 228 с.

2. Абовский Н.П., Чернышов В.Н., Павлов A.C. Гибкие ребристые пологие оболочки: Учеб. пособие для вузов. Красноярск, 1975.-128 с.

3. Абовский Н.П. Смешанные вариационные уравнения для пологой ребристой оболочки // Строительная механика и расчет сооружений. 1969. - № 4. - С. 20-22.

4. Алфутов H.A. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной поперечным силовым набором и нагруженной внешним равномерным давлением // Инженерный сборник. 1956. Т. 23. С. 36-46.

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Физматлит, 1987. - 360с.

6. Алумяэ H.A. Дифференциальные уравнения состояния равновесия тонкостенных упругих оболочек в после критической стадии // ПММ. Т. 13. 1949. Вып. 1. С. 95-107.

7. Алшро И.Я., Заруцкий В.А., Поляков П.С. Ребристые цилиндрические оболочки. Киев: Наукова думка, 1973. - 248 с.

8. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. Т. 2. Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1980. - 368 с.

9. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области устойчивости ребристых оболочек // Прикладная механика. 1983. Т. 19. № 11.-С. 3-20.

10. Баранова Д. А. Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала // Инженерный Вестник Дона, номер 2, 2012.

11. Баранова Д. А. Алгоритм исследования устойчивости подкрепленных оболочек вращения на основе метода L-BFGS // Промышленное и гражданское строительство, номер 3, 2012. С. 58-59.

12. Баранова Д.А. Программа Shell для исследования устойчивости подкрепленных оболочек вращения. // Десятая международная научно-практическая конференция исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности

13. Баранова Д.А, Волынин А.Л., Карпов В.В. Сравнительный анализ расчета прочности и устойчивости подкрепленных оболочек на основе ПК Оболочка и ПК Ansys. // Изв. Сарат. ун.-т.Нов.сер.20Ю Т10. Математика.Механика.Информатика.Выпуск4, С. 3-7.

14. Безухое Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. -М.: Высшая школа, 1968. -512 с.

15. Био M. Вариационные принципы в теории теплообмена. -М.: Энергия, 1975.-208 с.

16. Бондаренко В.М., Бондаренко C.B. Инженерные методы нелинейной теории железобетона. -М.: Стройиздат, 1982.-288 с.

17. Борзых Е.П. Алгоритмы численного расчета пологой ортотропной оболочки на прямоугольном плане с прямоугольным отверстием // Тр. ЦНИИСК, 1970. Вып. 9. С. 104-109.

18. Броутен Ф., Олмрос Б. Потеря устойчивости цилиндрических оболочек с отверстиями // Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т. 8. № 2. С. 56-62.

19. Бурова И.Г., Демьянович Ю. К. Алгоритмы параллельных вычислений и программирование (курс лекций). // СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. 206 с.

20. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

21. Валишвили Н.В., Силкин В.Б. Применение метода прямых для решения нелинейных задач динамики пологих оболочек // МТТ. 1970. -№3. -С. 140-143.

22. Векуа H.H. Некоторые общие методы построения теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 286 с.

23. Власов В.3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

24. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек // Строительная промышленность. 1932. № 11. С. 33-37. № 12.-С. 21-26.

25. Власов В.З. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней // Изв. АН СССР. ОТН. 1949. № 6 С. 819-939.

26. Водяной Л.Ф. Некоторые задачи изгиба гладких и подкрепленных трехслойных пластин и оболочек: Автореферат дис. . канд. техн. наук. Днепропетровск, 1974. - 16 с.

27. Волынин A.JI. Сравнительный расчет прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения по ПК Оболочка и ПК ANS YS // Вестник гражданских инженеров 2010. №2(23). С. 38-43.

28. ВольмирА.С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.

29. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. -М.: Наука, 1972.-432 с.

30. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука. 1989. - 376 с.

31. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек // Изв. АН СССР. Сер. Математика. Т. 19. 1955. № 4. -С.203-206.

32. Гавриленко Г.Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии // Устойчивость пластин и оболочек. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1981.-С. 20-22.

33. Голда Ю.Л., Преображенский H.H., Штукарев B.C. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями // Прикладная механика. 1973. № 1. С. 27-32.

34. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953.

35. Грачев O.A., ИгнатюкВ.И. Об устойчивости трансверсально-изотропных ребристых оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. № 3. М.: Стройиздат. - С. 61-64.

36. Грачев O.A. О влиянии эксцентририситета ребер на устойчивость оболочек при внешнем давлении // Прикладная механика. 1985. Т. 21. № 1.-С. 53-56.

37. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 3. С. 81-92.

38. Григолюк Э.И., Шалашплин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988.-232 с.

39. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-359 с.

40. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. -287 с.

41. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. -М.: Машиностроение, 1973. -215 с.

42. Григолюк Э.К, Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. - 556 с.

43. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. Т. 88. 1953. Вып. 4.

44. Дыховичный Ю. А.,Жуковский Э.З. Пространственные составные конструкции. -М.: Высшая школа, 1989. 288 с.

45. Енджиевский JI.B. Нелинейные деформации ребристых оболочек. Красноярск: Изд.-во Красноярск, ун-та, 1982. - 295 с.

46. Жгутов В.М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала // Известия Орловского гос. техн. ун-та.

47. Серия «Строительство, транспорт». -2007. №4. С. 20-23.116

48. Железобетонные оболочки покрытий общественных зданий. М.: Госстройиздат СССР, 1974. - 73 с.

49. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: Труды ЦКТИ. Л., 1971. Вып. 88. - С. 46-70.

50. Жуковский Э.З., Шабля В.Ф. Оболочки двоякой кривизны в гражданском строительстве Москвы. -М.: Стройиздат, 1980. 113 с.

51. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979.-С. 296.

52. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филиппов Д.С. Местная и общая потеря устойчивости ребристых пологих оболочек // Труды молодых ученых / СПбГАСУ. СПб., 2000. - С. 87-89.

53. Игнатьев О.В., Игнатьева И.А., Карпов В.В. Вариационно-параметрический подход к расчету пологих оболочек ступенчато-переменной толщины // Исследования по механике материалов и конструкций. Вып. 9 / ПГУПС. СПб., 1996. - С. 44-54.

54. Игнатьев О.В., Рыбакова О.В. Модель трехслойной пологой оболочки ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах // Труды молодых ученых. Ч. 1 / СПбГАСУ. СПб., 1998. - С. 16-22.

55. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филатов В.Н. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины. Волгоград: ВолгГАСА. 2001. - 210 с.

56. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. Минск: Вышейшая школа, 1990.-349 с.

57. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. JL: Стройиздат. Ленигр. отд-ние, 1986. -168 с.

58. Ильин В.П., Карпов В.В. Связанность форм потери устойчивости ребристых оболочек // Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Кутаиси. 1987.

59. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат. 1948. 376с.

60. Кабулов В.К, Бабамурадов К.Ш. Расчет трехслойных оболочек на ЭВМ // ФАН, 1970. 164 с.

61. Калинин B.C., Постное В.А. Основы теории оболочек. — Л.: ЖИ, 1974.-200 с.

62. Кантор Б.Я., Катарянов С.И., ОфийР.Р. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 1972-80 г. // Институт проблем машиностроения АН УССР, 1982. № 167. 78 с.

63. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек // Киев.: Наукова думка, 1971. 136 с.

64. Канторович Л.В. Один прямой метод приближенного решения задач о минимуме двойного интеграла // Изв. АН СССР, ОМЕН, 1933, № 5. С. 647-652.

65. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.; Л.: Физматгиз., 1962. - 708 с.

66. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР, сер. МТТ. 1975. № 5. С. 189-191.

67. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальннков А.Ю. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования. М.: Изд-во АСВ; СПб.% СПбГАСУ, 2002. - 420 с.

68. Карпов В.В., Михайлов Б.К. Исследование влияния жесткости ребер на устойчивость пологих оболочек с учетом нелинейности деформаций // Численные методы в задачах математической физики.: Межвуз. темат. сб. тр. / ЛИСИ. Л., 1983. - С. 135-142.

69. Карпов В.В., Баранова Д.А., Беркалиев Р. Т. Программный комплекс исследования устойчивости оболочек. СПб.: СПбГАСУ, 2009. 102 с.

70. Карпов В.В., Кудрявцев В.К Устойчивость пологих ребристых оболочек при длительном нагружении/Вестник ВолгГАСУ, сер. Строительство и архитектура. Вып. 6(21), 2006. С. 51-57.

71. Карпов В.В., Уравнения равновесия для оболочек вращения в единой системе координат // Вестник гражданских инженеров. СПб.: СПбГАСУ., 2010, №1(22). С. 173-179.

72. Карпов В.В., Рябикова Т.В. Оболочки вращение в единой системе координат // Вестник гражданских инженеров. СПб.: СПбГАСУ., 2010, №2(23). С. 44-47.

73. Карпов В.В., Волынин А.Л., Мухин Д.Е. Несимметричные формы потери устойчивости пологих ребристых оболочек при линейно и нелинейно-упругом деформировании // Успехи строительной механики и теории сооружений / Саратов. СГТУ., 2010. - С. 105-112.

74. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения: в 2 ч. 4.1: Нелинейный модели деформирования подкрепленных оболочек вращения и алгоритмы исследования их прочности и устойчивости. -М: Физматлит, 381 с.119

75. Карпов В.В., Панин А.Н. Влияние подкрепляющих пологие железобетонные оболочки ребер на величины допускаемых нагрузок // Новые идеи нового век / Материалы Х-ого международного форума ИАСТОГУ. Хабаровск.: ТОГУ, 2010. С. 38-42.

76. Карпов В.В., Филатов В.Н. Закритические деформации гибких пластин в температурном поле с учетом изменения свойств материала от нагревания // Труды VII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. М.: Наука, 1970. - С. 276-279.

77. Карпов В.В., Кривошенин И.С., Петров В.В. Исследование несимметричной потери устойчивости пологих оболочек на прямоугольном плане / Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 1. Тбилиси: Мецниереба, 1975. - С. 628-634.

78. Карпов В.В. Численная реализация метода продолжения по параметру в нелинейных задачах пластин и оболочек // Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности. Волгоград: ВолгИСИ, 1990. - С. 121-122.

79. Карпов В.В. Метод вариационных предельных преобразований в теории оболочек, имеющих нерегулярности. Вестник гражданских инженеров. СПб.- СПбГАСУ, 2005, №4(5) с. 37-42.120

80. Карпов В.В. Компьютерные технологии расчета покрытий строительных сооружений оболочечного типа // Вестник гражданских инженеров. СПб.: СПбГАСУ, 2005. Вып. 2. - С. 17-25.

81. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек // Расчет пространственных систем в строительной механике. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1972. - С. 3-7.

82. Карпов В.В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек. -СПб.: СПбГАСУ, 2006. 330 с.

83. Карпов В.В. Метод последовательного наращивания ребер и его применения к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте. М.: Транспорт, 1990.-С. 162-167.

84. Карпов В.В. Различные схемы конструктивно-ортотропных оболочек и их применение к расчету оболочек дискретно-переменной толщины // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр. / ЛИСИ. Л., 1988.

85. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. Изд-во АСВ; СПбГАСУ. М.; СПб., 1999.- 154 с.

86. Карпов В. В., Баранова Д.А.,. Беркалиев Р.Т. Программный комплекс исследования устойчивости оболочек СПб:СПбГАСУ, 2009, -102 с.

87. Карпов В.В., Игнатьев О.В. Многослойные оболочки, имеющие нерегулярности по толщине // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте. Тезисы докладов, представленных на III Международную конференцию. СПб., 1995. - С. 74-76.

88. Карпов В.В., Игнатьев О.В. Метод последовательного изменения кривизны // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб.тр. Вып. 2 / СПбГАСУ. -СПб., 1996.-С. 131-135.

89. Карпов В.В., Филатов В.Н. Математические модели термоупругости пологих оболочек переменной толщины при учете различных свойств материала // Вестник гражданских инженеров. СПб.: СПбГАСУ, вып. 3(8), 2006. с. 42-45.

90. Карпов В.В., Салышков А.Ю. Устойчивость и колебания пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах. СПб.: СПбГАСУ 2002. - 124 с.

91. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Вахрушева М.Ю., Рыбакова О.В. Трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем / Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 3. Саратов, 1997. - С. 83-87.

92. Карпов В.В., Игнатьев О.В. Многослойные оболочки, имеющие нерегулярности по толщине // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте / ПГУПС. СПб., 1997. - С. 109-115.

93. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальников А.Ю. Устойчивость перфорированных пологих оболочек, допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте / Тезисы докладов. ПГУПС. СПб., 1999. - С. 118-120.

94. КаюкЯ.Ф. Концентрация напряжений в тонких оболочках при больших прогибах // Концентрация напряжений. Т. 2. Киев: Наукова думка, 1968.

95. Климанов В.И., Тимашев С. А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985.-291 с.

96. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наукова думка; 1970.-306 с.

97. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1974. - 831 с.

98. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

99. Краснов A.A. Прямые методы интегрирования уравнений движения нелинейных многослойных пологих оболочек и пластин: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Ростов-на-Дону, 1995. -24 с.

100. Кривошеее Н.П., Корнишин М.С. К выводу сеточных уравнений изгиба пластин с отверстиями и пластин ступенчато-переменной толщины // Изв. ВУЗов, Строительство и архитектура. Новосибирск. 1970, № 8. С. 50-54.

101. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд.-во Сарат. ун-та, 1976. - 216 с.

102. Кузнецов В.В. Об использовании метода продолжения решения по длине отрезка интегрирования при расчете круглых гофрированных пластин // Изд. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1993. №2.- С. 189-191.

103. Лерман Л.Б. Напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек с промежуточными упругими элементами: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Киев, 1989. - 18 с.

104. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. Д., 1948. - 28 с.

105. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. Киев; Донецк: Вища школа, 1979. - 152 с.

106. Маневич А.И. К теории связанной потери устойчивости подкрепленных тонкостенных конструкций // Прикл. математика и механика, 1982. 42. № 2. С. 337-345.

107. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностороение, 1968. - 400 с.

108. Милейковский И.Е., Гречанинов И.П. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. -М.: Стройиздат, 1969. Вып. 12. С. 168-176.

109. Милейковский И.Е., Трушин С.И Расчет тонкостенных конструкций. М: Стройиздат, 1989. - 200 с.

110. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. Л.: Изд. ЛГУ, 1980. - 196 с.

111. Михайлов Б.К, Каратаев Л.П., Овчинников М.А. Конструкции и расчет трехслойных панелей из древесины и синтетических материалов: Учеб. пособие / СПбГАСУ. СПб., 1996. -72 с.

112. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. -М.: Наука, 1966.

113. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. - 512 с.

114. Муштари Х.М., Галимов КЗ. Нелинейная теория упругих оболочек.-Казань: Таткнигоиздат, 1957. -431 с.

115. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложениями к решению задач устойчивости упругого равновесия // ПММ. 1939. Т. 2. № 4. С. 439-456.

116. Неверов В.В. Метод вариационных суперитераций в теории оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1984. - 128 с.

117. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромиздат, 1962.-431 с.

118. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1948. 212 с.

119. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных пространственных конструкций. М.: Машиностроение. - 1966.

120. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. -Л.: Судостроение, 1987. -316 с.

121. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975.-119 с.

122. Петров В.В., Овчинников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 136 с.

123. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах / Научн. доклады высшей школы // Строительство. 1959. № 1. -С. 27-35.

124. Петров В.В., Иноземцев В.К., Синева Н.Ф. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек. Саратов: СГТУ, 1996. - 312 с.

125. Постное В. А., Корнеев B.C. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек // Прикладная механика. 1976. № 1. С. 27 -35.1ZD

126. Постное В.А., Корнеев B.C. Изгиб и устойчивость оболочек вращения // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мецниереба, 1975. - С. 637-644.

127. Постное В.В. Численные методы расчета судовых конструкций. JL: Судостроение, 1977. - 277 с.

128. Пирогов КМ. Концентрация напряжений в области отверстия в цилиндрическом резервуаре, испытывающем гидростатическое давление // Изд. вузов. Сер. Машиностроение. 1963. № 7.-С. 56-61.

129. Приближенное решение операторных уравнений // М. А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. М.: Наука, 1969. -456 с.

130. Преображенский КН. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981. - 191 с.

131. Преображенский И.И., Гршцак В.З. Устойчивость и колебания конических оболочек. М.: Машиностроение, 1986. - 240 с.

132. Прозорова Э. В. Вычислительные методы механики сплошной среды: Учеб. пособие. СПб, Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1999, 88 с.

133. Пшеничное Г.К. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин. М.: Наука, 1982. - 352 с.

134. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1988.-712 с.

135. Рассудов В.М. Деформации пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Учен. зап. Сарат. ун-та. Саратов, 1956. Т. 52.-С. 51-91.

136. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания вусловиях высоких температур / Н.Н. Безухов, B.JI. Бажанов, И.И.izo

137. Гольденблатт, H.А. Николаенко, А.М. Синюков, М.: Машиностроение, 1965, 567 с.

138. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высшая школа. 1982. -400с.

139. Рихтер Дж. CLR via С#. Программирование на платформе Microsoft .NET Frame work 2.0 на языке С#. Мастер класс. / Пер. с англ. — 2 е изд., исправ. —М. : Издательство «Русская Редакция» ; СПб. : Питер , 2008. —656 с.

140. Сальников А.Ю. Устойчивость перфорированных пологих оболочек при динамическом нагружении // Труды молодых ученых. Ч. 1 / СПбГАСУ. СПб., 2001. - С. 65-66.

141. Самарский А.А. Введение в численные методы: Учебн. пособие для вузов. М.: Наука, 1987. - 288 с.

142. Скворцов В.Р. Деформирование существенно неоднородных тонкостенных конструкций и его анализ в рамках концепции оболочек со структурой. Дис. . д-р техн. наук. СПбМТУ. -СПб., 1992.-335 с.

143. Соломенко КС., Абрамян К.Г., Сорокин В.В. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса. JL, Судостроение, 1967.-488 с.

144. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций // А.В. Кармишин, В.А Лясковец, В.И. Мяченков, А.Н. Фролов М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

145. Старовойтов Э.Н., Яровая A.B., Леоненко Д.В. Деформирование трехслойных элементов конструкций на упругом основании. М.: Физматлит, 2006. 379 с.

146. Старовойтов Э.И. Вязкоупругопластические слоистые пластины и оболочки. Гомель: БелГУТ, 2002. - 344 с.

147. Тананайко О.Д. Сходимость метода перекрестных полос в задачах расчета тонких оболочек / Механика твердого тела. М., 1977. №4.-С. 189-192.

148. Теребушко О.И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. -М.: Стройиздат, 1964. Вып. 9.-С. 131-160.

149. Теребушко О.И. Устойчивость и оптимальное проектирование пластин, подкрепленных ребрами // Прикладная механика. 1982. 18. № 6. С. 69-74.

150. Терегулов ИГ. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести. М.: Наука, 1969. - 206 с.

151. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек. — М.: Стройиздат, 1974. 256 с.

152. TuMOuuH A.M. Напряженное состояние многослойных ортотропных оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности и деформации сдвига: Автореф. дис. канд. техн. наук. Киев, 1982. - 19 с.

153. Тимошенко С.П. К вопросу о деформации и устойчивости цилиндрических оболочек // Изв. Петроградского электротехнического института. 1914. № 11. С. 267 - 287.

154. Трушин С.И. Численное решение нелинейных задач устойчивости пологих оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига//Исследования по строительным конструкциям. М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1984. - С. 46-52.

155. Филиппов Д. С. Влияние учета поперечных сдвигов на устойчивость ребристых оболочек // Доклады 57-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных сотрудников инженеров и аспирантов университета. Ч. 1. СПбГАСУ. СПб., 2000. - С. 44-46.

156. Харлаб В Д. Выражения напряжений через деформации в нелинейной теории нестареющего бетона // Усепхи строительной механики и теории сооружений / Саратов. СГТУ., 2010. - С. 113-115.

157. Чернышев В.Н. Расчет гибких ребристых пологих оболочек: Автореферат дис. канд. техн. наук. Новосибирск, 1980. - 19 с.

158. Чернышев В.Н. Расчет гибких ребристых оболочек с отверстиями // Пространственные конструкции в Красноярском крае. -Красноярск, 1981.-С. 169-175.

159. Шалаишлин В.И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 4. С. 178-184.

160. Шалаишлин В.И. Алгоритмы метода продолжения по параметру для больших осесимметричных прогибов оболочек вращения // Численные и экспериментальные методы исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций. М.: МАИ, 1983. - С. 68-71.

161. Цилиндрические оболочки, ослабленные отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, В.Н. Чехов, К.Н. Шнеренко. Киев.: Наукова думка, 1974.-272 с.

162. Якушев B.JI. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 2004. - 276 с.

163. Byskov E., Hanses J.C. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction // J. Struct. Mech., 1980, 8, № 2, p. 205-224.

164. Chrobot B. Mathematical methods of ribbed Shells // Studia Geotechnica et Mechanica, vol. IV, 1982, № 3-4, p. 55-68.

165. Donell L.N. A new theory for buckling of thin cylinders under axial compression and bending / Trans. ASME. 1934. 56.

166. Fisher C.A., Berit C.W. Dynamic buck ling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers. // Trans ACME. Ser., E, 1973, 40, № 3, p. 736-740.

167. Karman Th. and Shen Tsien H. The buckling of spherical shells by external pressure. J. Acron. Sci. 7. 1939.

168. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Machinenbau // Enzyklopaedie der Vathematischen Wissenshaften. Bd. LV. Teilband IV. 1910. S. 349.

169. Koiter W.T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures //WTHD Report № 590. August 1976.

170. Marguerre K. Zur Teorie der gekremmten Platte grosser Formänderung / Jahzbuch 1939 deutseher Luftfahrtsforchung. Bd. 1. Berlin: Ablershof Buecherei. 1939.

171. Reissner H. Spannungen in Kuegelschale (Kuppeln). Festschrift Muller Breslau, 1912, s. 181.

172. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells a review of experiment and theory. // Contr. Theory Aircraft struct / Delft, 1972. p. 325-357.

173. Tennyson R.C. The effects of unreinforced circular cutouts on the buckling of circular cylindrical shells under axial compression. J. of Engineering for industry // Trans ASME, 1968, 90, ser. B, 4.

174. Campbell J.D. The dynamic yielding of mild shell // Acta Metallurgica. Vol. 6. 1953. № 6.и1. Эемар

175. Рук. расчётной группы, к.т.н. /Самсонов А.В./Г