автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Деформирование пологих ребристых оболочек в условиях физической нелинейности и ползучести бетона

Папин Александр Николаевич

ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛОГИХ РЕБРИСТЫХ ОБОЛОЧЕК В УСЛОВИЯХ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

3 МАЙ 2012

Санкт-Петербург 2012

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Карпов Владимир Васильевич

доктор технических наук, профессор Харлаб Вячеслав Данилович

(Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет);

академик PA ACH

доктор технических наук, профессор Петров Владилен Васильевич

(Саратовский государственный технический университет)

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита диссертации состоится 24 мая 2012 г. в 16— часов на заседании диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.223.03 в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 190005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская ул., д. 4, зал заседаний диссертационного совета (ауц. 219).

Эл. почта: rector@spbgasu.ru

Телефакс: (812)316-58-72.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат разослан « » апреля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

/

Л.Н. Кондратьева

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Железобетонные оболочки разнообразных конструктивных форм достаточно часто используются в строительстве для покрытия большепролетных зданий и сооружений. Наибольшее применение получили длинные цилиндрические оболочки, панели-оболочки «на пролет здания», оболочки положительной гауссовой кривизны на квадратном и прямоугольном планах, а также висячие и составные оболочки. Так, например, только с применением сборных оболочек положительной гауссовой кривизны в России построено свыше 1 млн м2.

Тонкостенные оболочечные конструкции обладают достаточно высокой жесткостью. Для повышения жесткости железобетонные оболочки подкрепляются как промежуточными ребрами жесткости, так и опорным контуром в виде преднапряженного железобетонного пояса, как правило, армированного стальными канатами.

При длительном воздействии нагрузки в железобетонных оболочках может проявиться свойство ползучести материалов, т.е. происходит изменение во времени деформаций и напряжений при неизменной нагрузке, что может привести к потере прочности или даже устойчивости оболочки.

Учет физической нелинейности при расчете напряженно-деформиро-ван-ного состояния (НДС) железобетонных оболочек позволяет наиболее точно исследовать процесс их деформирования. Поэтому исследование пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом физической нелинейности и развития ползучести материалов является актуальным.

Степень научной разработанности проблемы

Наиболее значительный вклад в развитие теории оболочек внесли: С.А. Амбурцумян, В.В. Болотин, И.Н. Векуа, В.З. Власов, И.И. Ворович, А .Л. Гольденвейзер, Э.И. Григолюк, А.И. Лурье, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, П.М. Огибалов, С.П. Тимошенко, Э. Рейсснер и ряд других исследователей.

Основные идеи расчета ребристых оболочек были заложены в 40-ых годах В.З. Власовым А.И. Лурье.

Современное состояние теории ребристых оболочек отражено в работах Н.П. Абовского, С.А. Амбурцумяна, И.Я. Амиро и В.А. Заруцкого, O.A. Грачева, Е.С. Гребня, А.Н. Гузя, Л.В. Енджиевского, П.А. Жилина, В.П. Ильина, Б.Я. Кантора, В.В. Карпова, В.И. Кпиманова, А.И. Маневича, A.M. Масленникова, И.Е. Милейковского, Б.К. Михайлова, В.А. Постнова, О.И. Теребушко, С.А. Тимашева, Е. Бискова и Дж.С. Хансена, С.А. Фишера и C.B. Берта и других авторов.

Расчет НДС оболочек с учетом физической нелинейности материалов отражены в работах Л.В. Енджиевского, В.И. Климанова и С.А. Тимашева, В.А. Крысько, Х.М. Муштари, В.В. Петрова, С.И. Трушина, В.В. Шугаева и других авторов. Устойчивость железобетонных оболочек с учетом физической нелинейности рассматривалась В.И. Колчуновым, В.В. Улитиным.

Сведения о теориях ползучести, получивших наибольшее распространение на практике, можно найти в работах Н.Х. Арутюняна, Н.И. Безухова,

JI.M. Качанова, H.H. Малинина, Г.Н. Маслова, И.Е. Прокоповича, Ю.Н. Ра-ботнова, А.Р. Ржаницына, В.Д. Харлаба и других авторов.

Основы нелинейной механики были заложены В.Э. Вебером, Вика, Ф. Кольраушем, Г. Кирхгофом, А.Ж.К. Сен-Венаном и другими, основы теории ползучести — Д.К. Максвеллом, Л. Больцманом, В. Вольтерра, У. Кельвином, В. Фойгтом и другими исследователями.

Основные положения теории упругой наследственности разработали Л. Болыдман и В. Вольтерра и позднее развили Н.Х. Арутюнян, Г.Н. Маслов, Ю.Н. Работнов, А.Р. Ржаницын и другие авторы.

Основы теории старения заложили Дишингер и Уитли и развили впоследствии Я.Д. Лившиц, И.И. Улицкий и другие исследователи.

Основные положения теории упруго-ползучего тела разработали Н.Х. Арутюнян, В.М. Бондаренко и Г.Н. Маслов. Позднее теория упруго-ползучего тела нашла развитие в трудах C.B. Александровского, A.A. Гвоздева, И.Е. Прокоповича, А.Р. Ржаницына и других авторов.

Исследования напряженно-деформированного состояния оболочек в условиях развития ползучести материалов изложены в работах A.C. Вольмира, И.И. Воровича, B.C. Гудрамовича и В.П. Пошивалова, В.И. Климанова и С.А. Тимашева, В.И. Колчунова и Л.А. Панченко, Л.М. Куршина, И.Е. Прокоповича, Ю.Н. Работнова, И.Г. Терегулова и других авторов.

Методы решения задач для других строительных конструкций в условиях ползучести материала отражены в работах Н.И. Безухова, В.М. Бондаренко, Л.М. Качанова, H.H. Малинина, И.Е. Прокоповича, Ю.Г. Работнова, В.Д. Харлаба и других авторов.

Целью настоящей работы является комплексное исследование НДС пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом физической нелинейности и возможности развития ползучести материала.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- вывод уравнений деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом ползучести материала и физической нелинейности;

- разработка алгоритма решения нелинейных задач для пологих железобетонных ребристых оболочек;

- исследование прочности железобетонных ребристых оболочек из разных классов бетона и определение допускаемой нагрузки;

- исследование развития ползучести бетона при длительном нагружении;

- исследование влияния физической нелинейности на НДС пологих железобетонных ребристых оболочек.

Научная новизна работы:

- разработана математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, основанной на деформационной теории пластичности и возникновения ползучести материала на основе линейной теории наследственной ползучести;

- разработан алгоритм решения физически нелинейных задач и задач ползучести на основе метода Ритца и итерационных процессов;

- показано, что наличие ребер у оболочки существенно снижает ее прогибы и повышает допускаемую нагрузку;

- исследованы процесс роста прогибов оболочек при длительном нагру-жении, приводящий к потере устойчивости, а также особенности протекания этого процесса для пологих железобетонных ребристых оболочек;

- установлено снижение допускаемой нагрузки со временем для железобетонных оболочек при различной кривизне и разном числе подкрепляющих оболочку ребер;

- исследовано влияние физической нелинейности на НДС железобетонных оболочек и показано, что учет физической нелинейности меняет НДС оболочек и может привести к потере устойчивости.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного расположения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, развития деформаций ползучести материала;

- методика исследования модели, основанная на методе Ритца и итерационных процессах и ориентированная на использование компьютерных технологий и программа расчета на ЭВМ напряженно-деформированного состояния рассматриваемых оболочек [Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011613074 Ро1о§ОЬо1осЬка, 18 апреля 2011 г.];

- определение допускаемой нагрузки на ребристые железобетонные оболочки из разных классов бетона из условия прочности;

- исследование НДС оболочек при длительном нагружении и анализ потери устойчивости от ползучести для различных видов оболочек;

- исследование влияния физической нелинейности на НДС оболочек, приводящей к снижению допустимой нагрузки на них.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанная программа исследования НДС пологих железобетонных ребристых оболочек может быть использована в проектных организациях, научных исследованиях и учебном процессе. Результаты работы нашли внедрение в отчетах по гранту СПбГАСУ тема № ИН2-06 и по проекту «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.)» тема № 2.1.2/6146.

Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались на 60-й, 61-й, 62-й и 64-ой международных научно-технических конференциях молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов «Актуальные проблемы современного строительства» (СПбГАСУ, 2007 г., 2008 г., 2009 г., 2011 г.), на 63-й, 65-й, 66-й и 67-ой научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 2006 г., 2008 г., 2009 г., 2010 г.), на Х-ом Международном форуме ИАС ТОГУ «Новые идеи нового века» (Хабаровск, ТОГУ, 2010). Полностью работа докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики под руководством д-ра физ.-мат. наук, профессора

Б.Г. Вагера в 2009 г. и на расширенном научном семинаре этой же кафедры под руководством д-ра техн. наук, профессора С.Н. Никифорова в 2012 г.

Структура и объем работы. Текст диссертации изложен на 132 страницах, состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 138 источников, в том числе 130 на русском языке, приложения на 3 страницах. Работа содержит 54 рисунков и 13 таблиц.

Достоверность научных положений подтверждается применением обоснованных соотношений теории пластичности и ползучести при получении модели деформирования оболочки и апробированных методов исследования модели, а также сравнением полученных результатов расчетов оболочек с результатами расчетов других авторов.

Публикации. По результатам исследования опубликованы 9 научных статей. Публикаций по перечню ВАК - 3.

II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Во введении дан краткий обзор литературных источников по теме диссертации, сформулирована цель исследований, указаны научная новизна, практическая ценность и положения, выносимые на защиту, отражено краткое содержание глав диссертации.

/. Математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного расположения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, развития деформаций ползучести материала.

Математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек учитывает дискретное введение ребер, сдвиговую и крутильную жесткости ребер, ползучесть материала на основе линейной теории наследственной ползучести и физическую нелинейность на основе деформационной теории. Математическая модель записана в виде функционала полной энергии деформации в безразмерных параметрах относительно неизвестных функций перемещений.

Рассматриваются пологие оболочки двоякой кривизны, прямоугольные в плане, подкрепленные со стороны вогнутости перекрестной системой ребер жесткости, параллельных осям координат (рис. 1). Срединная поверхность обшивки оболочки (толщиной И) принимается за координатную поверхность. Оси х,у ортогональной системы координат направлены по линиям главных кривизн, ось г ортогональна координатной поверхности в сторону вогнутости оболочки.

Оболочка, закрепленная определенным образом по контуру, находится под действием статической поперечной нагрузки д{х,у).

Как известно, математическая модель деформирования оболочки состоит:

- из геометрических соотношений (связи деформаций и перемещений);

- из физических соотношений (связи напряжений и деформаций);

- уравнений равновесия или функционала полной энергии деформации оболочки.

Геометрические соотношения в координатной поверхности при неучете геометрической нелинейности принимают вид:

дх

ду

ду дх

Здесь 11(х,у), У(х,у), \\'(х,у) - перемещения точек координатной поверхности оболочки вдоль осей х, у, г, соответственно; Кх, Ку — главные кривизны

оболочки вдоль осей х и у ( Кг =—, К„ = —, где Л„ Л, - главные радиусы

Л, Л2

кривизны).

г.

Рис. 1. Общий вид пологой ребристой оболочки

Деформации в слое, отстоящем на расстоянии г от срединной поверхности, принимают вид:

где Х\---

d2W

d2W

дх1

=___ d2W

-;Х2 ^2 5 2*12 fafy-

(3)

Высоту и расположение ребер зададим функцией

т _ п _ п т ___

у-1 /-1 у-1

где И, г , т— высота и ширина ребер, параллельных оси у, и число ребер этого

направления; И, г, и-то же, для ребер, параллельных оси*, h'J = min {//'.А"'}; 6(х-Xj), 5(y-yi) - единичные столбчатые функции переменной х и у, соответственно, равные единице в местах присоединения ребер.

Физические соотношения теории оболочек зависят от того, какие свойства материала конструкции проявляются (упругие, пластические, свойства ползучести). Физические соотношения при линейно упругом деформировании оболочек из изотропного материала задаются линейным законом (законом Гука):

где Е, ц. - модуль упругости и коэффициент Пуассона.

h h

Интегрируя напряжения (5) по z в пределах от —— до ~ + " , с целью

преобразования задачи к двумерной, получим усилия и моменты, приведенные к координатной поверхности оболочки и приходящиеся на единицу ее длины Е

1-ц-

мг =

му =

1-ц-

2(1 + ц)

Е

г^+^ + ^Мбсг + мх/)]; [(ь + ^+г^С«]

Е

, г

(6)

Е

Г Иъ -

— + J

V12 у

(хг+га/)

Гй3 -1

5ухг + 2 —+ У I12 у Хп

Здесь Е, 5, 3 - площадь поперечного или продольного сечения ребер жесткости, приходящаяся на единицу длины сечения оболочки, статический момент и момент инерции этого сечения, соответственно:

_ Л/2+Я _ Л/2+Я _ Л/2+Я

Г= \ йг; 5= | 3= \ггск.

А/2 Л/2 Л/2

Теория ползучести, наиболее полно учитывающая особенности деформирования бетона, создана трудам и Г.Н. Маслова, Н.Х. Арутюняна, А.А. Гвоздева, И.Е. Прокоповича, И.И. Улицкого, В.Д. Харлаба и других ученых. В соответствии с линейной теорией наследственной ползучести для старого бетона (как изотропного материала) физические соотношения можно принять в виде:

1-Ц'

Е

£г +

" 1-Ц2

2(1 + ц)

+ + (т)) т)Л

'о

(7)

|у^(т)Я2(/,т)А

где /г1(/-т) = -£уС0О^,+£с»>('^;Д2('-^)=2-|д1(/-х). (8)

В дальнейшем удобно минус перед функциями влияния йД/д), /?2(<д) перенести в соотношения (7).

Нагрузка, действующая на конструкцию, считается статической, тем не менее, деформации и перемещения считаются функциями не только пространственных переменных х и у, но и временной координаты /.

Функционал полной энергии деформации (функционал Лагранжа) пологой оболочки, находящейся под действием статической поперечной нагрузки <7(х, у), имеет вид: о ь

Э = - | + МуЕу + Л^ + МхХх + Мухг + 2МхуХп ~ , (9)

о о

где а, Ь — линейные размеры оболочки вдоль осей х и у.

Если рассматриваются упругие задачи и изотропный материал, то функционал (9) ребристой оболочки записывается в виде (с введением индекса^):

='+2^хЕу+е2у+^+

+ 25^X1 + це*Х2 + ЬуШг + №УХ\ + ЩУ^Хп ]+ (10)

[х? + 2ЦХ;Х2 +Х2 +4Ц1Х?2]- \\У}(Ьс е*у,

ь

—+J 12

где ц,=0,5(1-ц).

Если могут проявляться свойства ползучести материала конструкции, то функционал (9) для ребристой оболочки представляется в виде:

Э = Эу-Эс, (11)

где Эу имеет вид (10), а Эс записывается в виде (аргументы у деформаций опускаются):

Ь I

+ 25(ех/, +цехх2 +ЕД2 + +2МСД2 + Х22)Ы''т)+ (12)

12

/ з \

- [(й + ^^ + 2з{21х1ухуХ12)+ ^ +1 |4Ц,Х?2 ]Й2(/,т)}& фА.

Физические соотношения при нелинейно-упругом деформировании материала конструкции на основе деформационной теории пластичности принимают вид:

Е

IV

[Ех + ЦЕ* - ш(£, )(Ех + це)* |

<* у +^Е)х]; (13)

При учете физической нелинейности функционал полной энергии деформации оболочки принимает вид:

э = эу~эп (14)

Функционал Эу имеет вид (10), а Э„ принимает вид:

Э „=-

2(1-ц2)

/

|Д/,(е2 + 2цех£>,+е2+ц,у^) +

+ /3(Х? +2ц,х,Х2 +Х2

ь/г+н

Здесь 1к = |ш(е, , к = 1,2,3 ,

(15)

-л/

£

где <й(е,) = ^е,2, ш = а,(—)2.

"А

Интенсивность деформаций можно представить в виде: 2_

Е; = — -Д +Ь22 + Ъъ12 ,

е2+„2,„„ ' .2 , ..2

где ¿1 =£* + £,+£*£_, +-Угу; Ь2 =2ехХ1 + 2ед2 + е*Х2 +£,Х1 + У^Х12;

¿з=Х(:+Х2+Х)Х2+Х12-

Параметры 1к принимают вид:

4/и

1Г

4/и

' /¡3 - _ И5 — (— + У)6, + КЬ2 +(— + М)Ь, 12 1 2 80 3

; /2 =

4т

5= К = |г3о!г; М=

Уг %. Уг Уг

2. Методика исследования модели, основанная на методе Ритца и итерационных процессах и ориентированная на использование компьютерных технологий и программ расчета на ЭВМ напряженно-деформированного состояния рассматриваемых оболочек.

Рассматривается алгоритм расчета НДС пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом нелинейности деформирования и ползучести материала. Уравнения равновесия таких оболочек с учетом нелинейности деформирования и возможности развития деформаций ползучести представляют собой громоздкую систему интегро-дифференциальных уравнений восьмого порядка. Решение такой задачи вызывает серьезные математические трудности.

10

Наиболее удобный алгоритмрешения поставленной задачи состоит в следующем: к функционалам Э = Эу-Эс или Э =Эу-Э„ , записанным в безразмерных параметрах, применяется метод Ритца и находится система нелинейных интегро-алгебраических или нелинейных алгебраических уравнений, соответственно. Нелинейность уравнений заключается в том, что напряжения нелинейно зависят от деформаций.

Применяется методика решения задачи, основанная на методе итераций:

- для уточнения начального упруго-линейного решения и получения нелинейно-упругого решения при каждом значении параметра нагрузки;

- для нахождения деформаций ползучести при каждом значении параметра нагрузки и известном начальном решении линейно-упругой задачи при последовательном изменении времени

Введем безразмерные параметры:

а Ь Ъ И2 И1 И

4 й 4 И А' И И й3 _ ЕИ4

В соответствии с методом Ритца представим искомые функции V (4, г|, /),

7{£,,ц,(), в виДе:

_ N _ N _ N

и = ]Г и{1)Х\(1)У\(1); К = ^К(/)Х2(/)У2(/); V? = £ 1У(1)ХЪ(1)УЗ(1). (16)

/=I /=1 1-Х

Здесь £/(/), У(/), - неизвестные функции переменной I;

Х/(/)- Х3{1) - известные аппроксимирующие функции переменной , удовлетворяющие при \ = О , ^ = 1 заданным краевым условиям; К/(/)- К?(/) -известные аппроксимирующие функции переменной л, удовлетворяющие при г| = 0 , т] = 1 заданным краевым условиям.

Найдем производные от Э = Эу-Э„ или Э = Эу-Эс по и((), У(£),

IV (<!) и приравняем их к нулю. В результате получим систему нелинейных интегро-алгебраических или нелинейных алгебраических уравнений:

N

[и(1)сг\(1, е)+ к(/)с^2(/, е)+ и7(/)с^з(/, е)] = и, (();

/=1

(17)

/=1

N _

^[и(1)сп(1,е)+ у{1)сг&(и)+ СР(С)Р =

¿ = 1,2...,^.

где £),•(€) = П¡(¿) , если решается физически-нелинейная задача, или 0,(£) = /^(О , если решается задача ползучести. При этом

N <

^ (0 = Е У:)СС1(/-еу+ (/(/)сс2(/' о+Щ1)ССЗ(1, (/, Т)+

/=1 «о

+ [С/(/)СС4(/, + К(/ )СС5(/, + 1Г(/)СС6(/, £)]я2 О, т )}Л;

= ^ |{[(У(/)СС7(/, 0 + К(/)СС8(/, а + 1У(/)СС9(1, о, т) + /=1'о (18)

+[(У (/)СС1 <хл о+к(/)са 1(/, (-)+1У(/)са 2(/, ¿)]я2 0= Т))А;

^з(£) = |{[С(/)СС13(/, £) + К(/)СС14(/, £) + И/(/)СС15(/, С, т) +

'о

+ [и(1)СС16(1,0 + К(/)СС17(/, £) + ^(/)СС18(/, £)]л2 т)}с?т.

Я, (О = Л(/1[(2£х + а2гу)Ьх + 2а3ухуЬ2 ]+/2[(2х, + а2х2)Ъ{ + 4а7х1262|^п; о о

0 о

11 _ ,

00

+/г[(2х, +а2х2)К^Ь5 +(а2х, +а6х2)К^Ь5 +(Ъ:Х +а2еу)Ь6 +{а2гх +афу)Ь1 + (19) +4л7ух>/%]+/з[(2х1 +а2у_2)Ь(> +(а2х, +2л,х2)&7 где А, = ЛТ(£)П(0, 62 ¿з = Х2(£)Г2'(0 , ЬЛ=Х2\е)Г2(е),

Ь5 = ХЗ(£)УЗ(£) , Ь6 = ЛГЗ"(ОКЗ(<), Ь7 = -О(^)УЗ"(<0, ¿>8 = ХЗ'(^)КЗ'(0. Кратко систему (17) запишем в виде:

Ру(х)-/Р = Р„(х). или РУ(Х)~/ Р = РС(Х), (20)

где Ру(х)—/ Р -левые части системы (17);

Р„{Х) = (П11П2.П3)Т; X = [£/(/),К(/уК(/)]г.

Для линейно-упругой задачи находим решение уравнения при : ^ (*)-//>,=<>. (21) Для нахождения нелинейно-упругого решения при нагрузке Р, решается итерационная задача Ру (X,)~ / А = до тех пор, пока предыдущее ре-

шение не будет отличаться от последующего на величину заданной погрешности. При этом за Х0 берется решение линейно-упругой задачи при Рх .

Рассмотрим решение задачи в условиях ползучести. Представим /ГС(Л') в виде:

1

Г-'с{х)= |[ф,(г, т)+ Ф2{Х(х))я2(/,т)]*. (22)

'о

Отрезок интегрирования [с0, ¡к ] разобьем на частичные отрезки с шагом А? (в дальнейшем шаг по / будем брать А/ = 1 сутки).

|[Ф,(Х(т))/?, {¡к, т)+ Фг{Х(х))К2 {¡к, т)]й «

- К ('*. ) + Ф2 (Щ-1 №г ('* ■)] А'-

(24)

Обозначим Я\ = , Л2 = Я2(гк,1^)М ■

Таким образом, /^(а-) при / = 1к будет иметь вид:

(25)

Аналогичный подход с заменой интеграла интегральной суммой при расчете оболочек использовался в работах В.И. Климанова и С.А. Тимашева, В.В. Карпова, В.К. Кудрявцева, В.М. Жгутова.

При решении задачи ползучести при определенной нагрузке Р] вначале находится решение линейно-упругой задачи Х(10). Затем это решение подставляется в Рс(х) и решается опять-таки линейно-упругая задача с известной правой частью в линейных алгебраических уравнениях. Итерационный процесс по временной координате I можно записать в виде:

Процесс по временной координате / продолжается до тех пор, пока прогиб не начнет резко возрастать. Время, при котором это происходит, будет определено как критическое время 'кр .

Разработанный алгоритм расчета реализован в виде программного комплекса для ЭВМ [Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, № 2011613074 Ро^ОЫосИка, 18 апреля 2011 г.].

3. Определение допускаемой нагрузки на пологие железобетонные ребристые оболочки из разных классов бетона из условия прочности.

Рассматривается прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при линейно-упругом деформировании.

Так как все решения целесообразно проводить в безразмерных параметрах, в табл. 1 представлены размерные параметры для некоторых реальных вариантов оболочек и соответствующие им безразмерные параметры. Используя формулы перехода от безразмерных параметров к размерным, можно получить все характеристики НДС для конкретных вариантов оболочек и конкретных классов бетона.

(26)

В табл. 1 принято я

а

И

Таблица I

Варианты рассматриваемых оболочек и их параметры

№ варианта оболочки Размерные параметры, м Безразмерные параметры Стрела

а = Ь Я = Л, = R2 h а-Ь Ii Ki'K, подъема d

I 54 135,9 0,09

36 90,6 0,06

27 18 67,95 45,3 0,045 0,03 600 1510 238 29,75h

II 36 90,6 0,18

27 67,95 0,135 200 503 79,5 10h

18 45,3 0,09

III 27 67,95 0,27

18 45,3 0,18 100 251,5 39,76 5h

13,5 34 0,135

В качестве примеров расчета были выбраны квадратные в плане пологие оболочки, имеющие шарнирно-неподвижное закрепление по контуру и находящиеся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Оболочки могут быть гладкими (без ребер) или подкрепленными, например, 6 (по три ребра в каждом направлении) или 18 (по девять ребер в каждом направлении) регулярно расположенными ребрами жесткости высотой 3h и шириной 2h , направленными параллельно осям координат.

На рис12 в качестве_примера с результатами расчета представлен график «нагрузка Р - прогиб IV » для оболочки варианта III.

Рис. 2. Зависимость « Р -W » для оболочек варианта III

Кривые с номером 1 на рис. 2 соответствуют оболочке без ребер, кривые 2 - оболочке, подкрепленной 6 ребрами, 3 - то же, подкрепленной 18 ребрами. Кривые без индекса соответствуют прогибу в центре оболочек, кривые с индексом 1 - прогибам в четверти оболочки.

Как показали расчеты, наличие ребер в оболочках существенно понижает величину их прогиба. При подкреплении оболочки 18 ребрами снижение ее прогибов, по сравнению с прогибами оболочки без ребер, при одной и той же нагрузке, составляет для вариантов оболочек: варианта I - на 55 %, варианта II - на 65 %, варианта III - на 40 %.

Для анализа прочности бетона оболочек применяется условие прочности (критерий прочности) теории Кулона - Мора, как наиболее приемлемое для использования в программном комплексе расчета оболочек

ст 1 - ^ адоп . (27)

кь

где главные напряжения ст,, а3 находятся при z = -А/2 (на верхней поверхности оболочки), размерное допускаемое напряжение может быть вычислено

по формуле о доп Коэффициент запаса прочности принимается к = 2 .

С использованием формулы перехода к безразмерным параметрам для -2

напряжения ст =- найдены безразмерные значения допускаемых напряже-

_ Е

ний <5доп для различных вариантов оболочек при разных классах бетона. Выборочные значения адоп приведены в табл. 2.

Таблица 2

Допускаемые напряжения для различных классов бетона

Класс бетона Модуль упругости бетона Е, МПа Безразмерные значения допускаемых напряжений стдоп для оболочек вариантов

I II III

В55 4 х 104 7,2 0,8 0,2

В40 3,6 х 10* 7,0 0,78 0,19

ВЗО 3,25 х 10" 6,65 0,74 0,18

Допускаемая нагрузка qàon находится из условия потери прочности бетона

ЕР доп

оболочек с использованием формулы перехода Ч <><>п ~ . В табл. 3 пред-

а

ставлены некоторые результаты расчета допускаемых нагрузок qdon для оболочек вариантов I, II, III (в скобках- безразмерные допускаемые нагрузки Рйоп ).

Как видно из табл. 3, допускаемые нагрузки, найденные из условий прочности, существенно ниже, чем критические нагрузки при потере устойчивости оболочки. Нагрузки, найденные из условия потери устойчивости для оболочек варианта I, составляют: для гладкой оболочки Ркр = 70100, для оболочки, подкрепленной 18 ребрами - Ркр= 160500. Например, для оболочек варианта I допускаемая нагрузка составляет 20 % от критической нагрузки для гладкой оболочки и 16 % для оболочки, подкрепленной 18 ребрами. Таким

образом, учитывать геометрическую нелинейность при исследовании железобетонных оболочек нецелесообразно.

Таблица 3

Допускаемые нагрузки для рассматриваемых оболочек

Номер Число ребер х10\МПа ( Pöon )

варианта оболочки для бетона класса В55 для бетона класса В40 для бетона класса ВЗО

I 0 1,80 (5832) 1,56 (5616) 1,33 (5304)

6 3,11 (10076) 2,72 (9792) 2,33 (9291)

18 4,44 (14386) 3,89(14004) 3,34(13319)

II 0 4,13 (1652) 3,63 (1613) 3,10 (1526)

6 6,40 (2560) 5,62 (2498) 4,80 (2363)

18 13,33 (5332) 11,70 (5200) 10,0 (4923)

1П 0 6,67(167) 5,70(158) 4,87(150)

6 10,67(267) 9,12(253) 7,80 (240)

18 21,33(533) 18,24 (507) 15,60(480)

Наличие ребер существенно повышает величину допускаемой нагрузки на оболочку, по сравнению с оболочками без ребер (для нахождения допускаемых и критических нагрузок использовалась программа PologObolochka). Для оболочек, подкрепленных 6 ребрами, увеличение допускаемой нагрузки составляет: для оболочки варианта I - 75 %, для варианта II - 55 %, для варианта III - 60 %. При подкреплении оболочек 18 ребрами рост допускаемой нагрузки составляет: для оболочки варианта I - 150 %, для варианта II - 222 %, для варианта III - 220 %.

Проведено исследование НДС пологих железобетонных ребристых оболочек в линейно-упругой постановке при различной толщине, кривизне оболочек, числе подкрепляющих оболочку ребер, изготовленных из разных классов бетона. С использованием критерия Кулона - Мора определены допускаемые нагрузки на оболочки. Проведен анализ прогибов и напряжений по полю оболочек для выявления наиболее опасных (напряженных) зон.

4. Исследование НДС оболочек при длительном погружении и анализ потери устойчивости от ползучести для различных вариантов оболочек.

Приводятся результаты расчета НДС пологих железобетонных ребристых оболочек при длительном нагружении с учетом развития деформаций ползучести бетона. Для различных параметров оболочек найдено критическое время tt:p потери устойчивости от ползучести.

Исследуется неограниченная неустановившаяся ползучесть. Функции влияния (ядра релаксации) материала (для старого бетона) принимаются в виде:

Я, (/ - т) = у£Сеое~1'(1+£Соо) ('-х), R2('~ т) = 2~ Л, (/ - т), (28)

где у = о,01—, ЕСа= 3, с =1хЮ-4—-—> Е = Зх\04МПа-сут МПа

В этом случае, при At = t, -/м = 1 сут.

В результате развития деформаций ползучести бетона во времени начинается бурный рост прогибов оболочек (в 10... 15 раз превышающих прогибы при I = 0 )• Время, при котором это наступает, принимается за критическое время 1кр.

На рис. 3,4 представлены графики «¡V - / », полученные при различных значениях нагрузки для оболочки варианта I.

Рис. 4. Зависимость «IV(0,5; 0,5) » для оболочки варианта I, подкрепленной 18 ребрами

На рис. 3 приведены зависимости « И'(0,25; 0,25)-/ » для неподкреплен-ной оболочки. Кривая 1 соответствует нагрузке р = 20х_103> кривая 2 - нагрузке = 25х 103> 3 - ~р_= 30х 103 > 4 - = 35х 103 > 5 - = 40х103 • На рис. 4 даются зависимости «IV(0,5; 0,5) —( » для_оболочки, подкрепленной 18 ребрами. Кривая 1 соответствует нагрузке Р = 50х103, кривая 2 - нагрузке Р = 60х 103, 3 - Р = 80х103,4-Р = 100х103, 5- Р = 120х103.

На рис. 5 для нагрузки р = 30 х 103 представлен характер изменения про-

гибов IV и напряжений аг=0]--— с>з во времени для гладкой оболочки.

ЯЬ

Т, сут Прогиб IV Напряжение ст8

Т = 0 5"уНКЦ*й_ПрОП1бЬ ж /Шш\

Т = 30 Функц 0 4| я_прогк6» иг 20Й

Т = 70 Функци 100 т

Ж йкя щ ■р

Т= 100 лМ у

Т= ¡18

А "ДА А

Рис. 5. Характер изменения прогибов и напряжений по полю оболочки при развитии деформаций ползучести в материале

Для рассматриваемых тонких оболочек ( й ) потеря прочности про-

исходит при ? > ¡кр .

В табл. 4 приведены зависимости « Р - 1кр » для оболочки варианта I.

Таблица 4

Зависимость « Р»для оболочки варианта I при развитии деформаций ползучести в бетоне

Оболочка без ребер Оболочка с 18 ребрами

Р Р МСУТ>

20000 250 50000 128

25000 135 60000 86

30000 90 80000 48

35000 70 100000 32

40000 55 120000 20

Для большей наглядности эти результаты расчета представлены графически (рис. 6).

Кривая 1 соответствует оболочке без ребер, кривая 2 - оболочке, подкрепленной 18 ребрами.

О 50 100 150 200 250 / 3

Рис. 6. Кривые снижения допускаемой нагрузки при развитии деформаций ползучести в бетоне

Исследование пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом развития деформаций ползучести показало, что со временем происходит перераспределение напряжений по полю оболочки и максимум напряжений наблюдается вблизи контуров оболочки, происходит снижение критической нагрузки, что необходимо учитывать при проектировании конструкции. Потеря прочности происходит при 1<1Кр (примерно при 0,61кр).

грузки, что необходимо учитывать при проектировании конструкции. Потеря прочности происходит при ¡<1кр (примерно при 0,б1кру

5. Исследование влияния физической нелинейности на НДС оболочек, приводящей к снижению допускаемой нагрузки на них

Исследуется напряженно-деформированное состояние пологих железобетонных ребристых оболочек, изготовленных из различных классов бетона, с учетом физической нелинейности.

Для старого бетона секущий модуль упругости можно принять в виде: ЕС = Е{ 1-сф,)), (29)

где со(£,) = ОД 1 .

ь _ _

На рис. 7 представлены зависимости « Р - IV » для оболочки с параметрами а = 6 = 200, = Кц= 79,5 без ребер, а на рис. 8 - для оболочки, подкрепленной 18 ребрами.

Рис. 7. Зависимость « р _ Ц' » для гладкой оболочки варианта II

Рис. 8. Зависимость « р _ » для оболочки варианта II, подкрепленной 18 ребрами

Анализ приведенных результатов расчетов в геометрически линейной и физически нелинейной постановках показывает, что при учете физической нелинейности деформации существенно возрастают, а уровень напряжений при этом понижается. Оболочки вариантов II и III при учете физической нелинейности могут потерять устойчивость даже при нагрузках, меньше допускаемых, найденных при линейно-упругом деформировании оболочек. Так, для оболочек варианта II из бетона класса В40, подкрепленных 18 ребрами, критическая нагрузка при потере устойчивости составляет величину 4260 (в безразмерном виде), при том, что допускаемая нагрузка для этих оболочек равна 5200.

Таким образом, учет физической нелинейности приводит к тому, что железобетонные оболочки могут утратить свою эксплуатационную пригодность из-за потери устойчивости до достижения величины допускаемой нагрузки, соответствующей линейно-упругому деформированию оболочки. Полученные в настоящей работе результаты достаточно хорошо согласуются с исследованиями оболочек рядом авторов, например, для железобетонных оболочек -В.В. Улитиным, для металлических оболочек — В.А. Крысько.

III. ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

1. С использованием критерия Кулона - Мора определены допускаемые нагрузки, соответствующие потере прочности оболочек при линейно-упругом деформировании для различной толщины и кривизны оболочек, разного числа подкрепляющих оболочку ребер, для разных классов бетона. Проведен анализ прогибов и напряжений по полю оболочки для выявления наиболее опасных (нагруженных) зон.

2. Показано, что наличие ребер существенно снижает величины прогибов оболочек и повышает допускаемую нагрузку на них, определяемую из условий прочности. Для оболочек, подкрепленных 18 ребрами, увеличение допускаемой нагрузки составляет от 150 до 220 % по сравнению с гладкими оболочками.

3. Как показали исследования, допускаемые нагрузки при линейно-упругом деформировании оболочек, найденные из условия прочности, в несколько раз меньше критических нагрузок при потере устойчивости (например, для оболочки варианта I допускаемая нагрузка составляет ~20 % от критической нагрузки).

4. Исследования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом развития деформаций ползучести показали, что со временем происходит перераспределение напряжений и максимум напряжений наблюдается вблизи контуров оболочки; происходит потеря устойчивости со временем, следовательно, допускаемые нагрузки снижаются, что необходимо учитывать при проектировании конструкций, находящихся длительное время под нагрузкой.

5. При учете физической нелинейности бетона, когда зависимость ст-е является криволинейной, деформации (а с ними и прогибы) существенно возрастают при одних и тех же напряжениях, по сравнению с линейно-упругим решением. Для некоторых оболочек до потери прочности наступает потеря устойчивости, что для железобетонных оболочек недопустимо, поэтому допускаемые нагрузки, найденные при линейно-упругом деформировании, понижаются.

6. Комплексные исследования НДС пологих железобетонных ребристых оболочек с использованием разработанного алгоритма позволяют более полно определить НДС оболочек и ее работоспособность и аргументировано задавать коэффициенты запаса прочности к С использованием полученных результатов можно подбирать соответствующую толщину проектируемых оболочек, размеры и число подкрепляющих оболочки ребер, требуемое армирование и другие параметры оболочек.

IV. СПИСОК РАБОТ, В КОТОРЫХ ОПУБЛИКОВАНЫ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в рецензируемых изданиях, включаемых в список ВАК РФ

1. Панин А.Н. Алгоритмы исследования прочности пологих железобетонных ребристых оболочек при изгибе физической нелинейности / А.Н. Панин // Вестник гражданских инженеров. - 2009. - №1 (18).-С. 114-116.

2. Панин А.Н. Деформирование пологих ребристых оболочек в условиях физической нелинейности и ползучести бетона / А.Н. Панин // Интернет-Вестник ВолгГАСУ. Серия Политематическая. Выпуск 1 (20) / ВолгГАСУ. - Волгоград, 2012.

3. Панин А.Н. Устойчивость пологих железобетонных ребристых оболочек / А.Н. Панин // Вестник гражданских инженеров. -2012. - №2 (31). - С. 101-106.

Публикации в других изданиях

4. Панин А.Н. Математические модели деформирования ребристых пологих железобетонных оболочек с учетом ползучести материала / А.Н. Панин // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвузовский тематический сборник трудов. Выпуск 13. СПбГАСУ- СПб, 2007. - С. 44-49.

5. Панин А.Н. К определению критической нагрузки, соответствующей потере прочности пологих ребристых железобетонных оболочек / А.Н. Панин // Доклады 66-ой научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета. Ч. II, / СПбГАСУ - СПб, 2009. -С. 145-146.

6. Панин А.Н. Напряженно-деформированное состояние пологих железобетонных оболочек с учетом ползучести материала / А.Н. Панин // Развитие жилищной сферы городов. 7-ая Международная научно-практическая конференция. М.: 2009. - С. 373-377.

7. Карпов В.В., Панин А.Н. Влияние подкрепляющих пологие железобетонные оболочки ребер на величины допускаемых нагрузок / В.В. Карпов, А.Н. Панин // Новые идеи нового века / Материалы Х-го Международного форума НАС ТОГУ. Хабаровск: ТОГУ, 2010. - С. 38-42.

8. Панин А.Н. Прочность и устойчивость пологих железобетонных ребристых оболочек / А.Н. Панин // Новые идеи нового века / Материалы Х1-го Международного форума НАС ТОГУ. Том 2 / Хабаровск: ТОГУ, 2011. - С. 20-24.

9. Панин А.Н. Исследование прочности и устойчивости пологих железобетонных ребристых оболочек. / А.Н. Панин // Новые идеи нового века - 2012. Материалы ХН-ой Международной научной конференции ФАД ТОГУ. Том 2 / ТОГУ -Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2012. -С. 258-262.

Компьютерная верстка И. А. Яблоковой

Подписано к печати 17.04.12. Формат 60x84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 120 экз. Заказ 42. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.

190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 5.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Математические модели деформирования пологих ребристых оболочек при учете физической нелинейности и ползучести бетона.

1.1. Основные соотношения для пологих ребристых оболочек.

1.2. Физические соотношения для упругих оболочек.

1.3. Физические соотношения теории оболочек при учете ползучести бетона.

1.4. Функционал полной энергии деформации пологой ребристой оболочки при длительном нагружении.

1.5. Уравнения равновесия пологой ребристой оболочки.

1.6. Некоторые виды аппроксимации секущего модуля.

1.7. Кратковременное нелинейное деформирование пологих железобетонных ребристых оболочек.

1.8. Теория прочности хрупких материалов.

1.9. Приведенный модуль упругости железобетона.

1.10. О краевых условиях на контуре оболочки.

1.11. Выводы.

ГЛАВА 2. Алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния пологих ребристых оболочек при учете нелинейности деформирования и ползучести бетона.

2.1. Функционал полной энергии деформации пологой ребристой оболочки в безразмерных параметрах при учете нелинейности деформирования и ползучести бетона.

2.2. Применение метода Ритца для получения интегро-алгебраических уравнений для ребристых пологих оболочек при решении задач ползучести.

2.3. Применение метода Ритца для получения нелинейных алгебраических уравнений для ребристых пологих оболочек при решении нелинейно упругих задач.

2.4. Методика решения нелинейных алгебраических и интегро-алгебраических уравнений.

2.5. Программа расчета пологих ребристых оболочек при учете ползучести и физической нелинейности бетона.

2.6. Выводы.

ГЛАВА 3. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при линейно-упругом деформировании.

3.1. Реальные варианты оболочек и их безразмерные параметры.

3.2. Допускаемые нагрузки для различных вариантов оболочек.

3.3. Анализ распределения прогибов и напряжений по полю оболочки.

3.4. Обоснование принятой модели деформирования пологих железобетонных оболочек.

3.5. Выводы.

ГЛАВА 4. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при длительном нагружении.

4.1. Функции влияния для хрупких материалов.

4.2. Определение критического времени.

4.3. Влияние контурных ребер на напряженно-деформированное состояние оболочки при развитии ползучести бетона.

4.4. Выводы.

ГЛАВА 5. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при учете физической нелинейности бетона.

5.1. Напряженно-деформированное состояние пологих железобетонных ребристых оболочек.

5.2. Прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при учете физической нелинейности бетона.

5.3. Выводы.

Актуальность темы исследования. Железобетонные оболочки разнообразных конструктивных форм достаточно часто используются в строительстве для покрытия большепролетных зданий и сооружений. Наибольшее применение получили длинные цилиндрические оболочки, панели-оболочки «на пролет здания», оболочки положительной гауссовой кривизны на квадратном и прямоугольном планах, а также висячие и составные оболочки. Так, например, только с применением сборных оболочек положительной гауссовой кривизны в России построено свыше 1 млн м2 [39, 42, 45, 128].

Тонкостенные оболочечные конструкции обладают достаточно высокой жесткостью. Для повышения жесткости железобетонные оболочки подкрепляются как промежуточными ребрами жесткости, так и опорным контуром в виде предварительно напряженного железобетонного пояса, как правило, армированного стальными канатами [39, 42, 45, 105, 128].

Как известно, большая часть поверхности оболочек оказывается сжатой за счет криволинейности их формы. Вот почему бетон в железобетонных оболочках, хорошо работающий на сжатие, используется весьма рационально. Возникающие в приопорных зонах оболочек растягивающие усилия эффективно воспринимаются стальной арматурой. За счет этого, при возведении оболочек удается получить экономию бетона до 25 -ь 30% и стали - до 20 -г 25 %, соответственно.

К настоящему времени накоплено огромное число работ, сформировавшие стройную общую и частные теории оболочек. Наиболее значительный вклад в развитие теории оболочек внесли: С.А. Амбурцумян [4], В.В. Болотин [1], И.Н. Веку а [18], В.З. Власов [19], И.И. Ворович [23], А.Л. Гольденвейзер [29], Э.И. Григолюк [33], А.И. Лурье [73], Х.М. Муштари [84], В.В. Новожилов [85], П.М. Огибалов [86], С.П. Тимошенко [119], Э. Рейсснер [136] и ряд других исследователей [2, 21, 22, 86, 135].

Основные идеи расчета ребристых оболочек были высказаны еще в 40-ых годах В.З. Власовым [20] и А.И. Лурье [74]. За последние 70 лет появилось большое количество работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек. Это работы Н.П. Абовского [1], С.А. Амбурцумяна [4], И.Я. Амиро и В.А. Заруцкого [5, 6], O.A. Грачева [30], Е.С. Гребня [31], А.Н. Гузя [37], Л.В. Енджиевского [38], П.А. Жилина [43, 44], В.П. Ильина [46, 47], Б .Я. Кантора [53], В.В. Карпова [46, 47, 56, 57, 58], В.И. Климанова [65], А.И. Маневича [76], A.M. Масленникова [48, 77], И.Е. Милейковского [79], Б.К. Михайлова [80], В.А. Постнова [68], О.И. Теребушко [116], С.А. Тимашева [65, 118], Е. Бискова и Дж.С. Хансена [132], С.А. Фишера и C.B. Берта [133] и других авторов [7, 24, 40, 41, 43, 44, 69, 96, 102, 112, 126, 134, 136 и другие].

В.З. Власовым и А.И. Лурье были заложены два основных подхода к исследованию ребристых оболочек. Оба они считали, что подкрепляющие ребра (одномерные упругие) взаимодействуют с оболочкой (обшивкой) по линии. В.З. Власовым [19] ребристая оболочка представлялась как контактная система, составленная из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье [74] рассматривал обшивку и ребра как единое целое. Для них, с использованием вариационного принципа, А.И. Лурье получал уравнения равновесия и естественные граничные условия. Большинство исследователей в дальнейшем следовали одному из этих подходов.

Третий подход к исследованию ребристых оболочек основывается на сведении оболочек к конструктивно-ортотропной схеме (с использованием метода конструктивной анизотропии). В.В. Карповым было предложено дискретно подкрепляющие оболочку ребра «размазывать» по всей площади оболочки с учетом сдвиговой и крутильной жесткости ребер [56, 60].

П.А. Жилин [43, 44] рассматривал подкрепленные ребрами оболочки как оболочки ступенчато-переменной толщины. При этом учитывалось, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по всей поверхности полосы, а не по линии. Задачи решались в линейной постановке. Аналогичный подход к ребристым оболочкам при решении нелинейных задач применил позже В.В. Карпов [48].

Несмотря на то, что известно большое число работ по исследованию ребристых оболочек, в них, в основном, рассматриваются цилиндрические оболочки из пластичных материалов, основанные на гипотезах Кирхгофа -Лява (без учета сдвиговых информаций). Лишь в отдельных работах учитываются нелинейные факторы деформирования ребристых оболочек и усложняющие эффекты [16, 24, 32, 36, 37, 51, 52, 125, 132, 138 и другие]. Очевидно, что более точная теория деформирования твердых тел должна учитывать нелинейность и длительность деформирования реальных материалов.

Известно, что железобетон является сложным композитным разномо-дульным материалом, свойства которого зависят не только от условий эксплуатации, но и меняются во времени. При длительном воздействии нагрузки в железобетонных оболочках проявляется свойство ползучести материалов, т.е., происходит изменение во времени деформаций и напряжений при неизменной нагрузке, что может привести к потере прочности или даже устойчивости оболочки [9, 26, 30, 71, 82, 109, 128 и другие]. Все это делает актуальным выявление резервов прочности пологих железобетонных ребристых оболочек посредством учета нелинейных свойств составляющих материалов на основе реальных диаграмм их работы и в соответствии с достигнутым напряженно-деформированным состоянием (НДС) оболочек в целом. Поэтому исследование пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом физической нелинейности и развития деформаций ползучести материалов является актуальным.

Расчет НДС оболочек с учетом физической нелинейности материалов отражены в работах Л.В. Енджиевского [38], В.И. Климанова и С.А. Тимаше-ва [65], В.А. Крысько [68], Х.М. Муштари [83], В.В. Петрова [97], С.И. Трушина [120], В.В. Шугаев [127, 128] и других авторов [35, 51, 52, 67, 81, 115 и другие]. Устойчивость железобетонных оболочек с учетом физической нелинейности рассматривалась В.И. Колчуновым [66], В.В. Улитиным [130].

В настоящее время известны несколько теорий ползучести. Сведения о теориях ползучести, получивших наибольшее распространение на практике, можно найти в работах Н.Х. Арутюняна [8], Н.И. Безухова [10], J1.M. Кача-нова [63], В.И. Климанова и С.А. Тимашева [65], Н.Н. Малинина [75], Г. Н. Маслова [78], И.Е. Прокоповича [99 ч- 101], Ю.Н. Работнова [103, 104], А.Р. Ржаницына [107, 108], В.Д. Харлаба [121] и других авторов [25, 27, 28, 95, 106, 129 и другие].

Основы нелинейной механики были заложены В.Э. Вебером, Вика, Ф. Кольраушем, Г. Кирхгофом, А.Ж.К. Сен-Венаном и другими, основы теории ползучести - Д.К. Максвеллом, Л. Больцманом, В. Вольтерра, У. Кельвином, В. Фойгтом и другими исследователями.

Процесс ползучести может быть описан с использованием различных механических моделей деформируемого тела, каждая из которых может быть представлена системой, состоящей из упругих и вязких элементов. В настоящее время нет единой обобщенной теории ползучести, одинаково приемлемой для большинства конструкционных материалов. Наиболее известные варианты теорий ползучести можно объединить в три укрупненные группы: варианты теории упругой наследственности, теории старения и теории упруго-ползучего тела. Основное отличие упомянутых групп теорий ползучести заключается в том, как они подходят к вопросу об обратимости деформаций ползучести при частичной или полной разгрузке.

Основные положения теории упругой наследственности разработали JI. Больцман и В. Вольтерра и позднее развили Н.Х. Арутюнян [8], Г.Н. Мас-лов [78], Ю.Н. Работнов [104], А.Р. Ржаницын [108] и другие авторы. Теория упругой наследственности предполагает полную обратимость деформаций ползучести при разгружении, поэтому варианты теории пригодны лишь к некоторым материалам, например, бетону старого возраста.

Основы теории старения заложили Дишингер и Уитли и развили впоследствии Я.Д. Лившиц [71], И.И. Улицкий [129] и другие исследователи. В основу классической теории старения положен принцип о полной необратимости деформаций ползучести при разгружении. По этой причине теория старения непригодна для описания длительных процессов с изменяющимися значениями деформаций и напряжений.

В настоящее время широкое распространение при решении практических задач получила более совершенная теория упруго-ползучего тела (наследственная теория старения). Основные положения теории разработали Н.Х. Арутюнян [8], В.М. Бондаренко [13] и Г.Н. Маслов [78]. Позднее теория упруго-ползучего тела нашла развитие в трудах C.B. Александровского [3],

A.A. Гвоздева [27], И.Е. Прокоповича [99], А.Р. Ржаницына [107] и других авторов.

Ползучесть материала зависит от многих факторов: типа материала, вида напряженного состояния, температуры и свойств окружающей среды, размеров образцов и др. Так для бетона и полимеров при длительном действии нагрузок и нормальной температуре характерно затухающее деформирование, для металлов при высоких температурах - незатухающее. В соответствии с этим, различают два типа материалов: с ограниченной ползучестью (полимеры, бетон) и неограниченной ползучестью (металлы).

В статически неопределимых задачах при постоянных во времени нагрузках изменение деформаций связано с изменением напряжений и перераспределением их по объему конструкции (оболочки). В связи с этим для рассматриваемых задач характерна неустановившаяся ползучесть. Неустановившаяся ползучесть проявляется и для статически определимых задач, когда рассматриваются деформации при постоянных по времени напряжениях.

Исследования напряженно-деформированного состояния оболочек в условиях развития ползучести материалов изложены в работах A.C. Вольми-ра [22], И.И. Воровича [23], B.C. Гудрамовича и В.П. Пошивалова [36],

B.И. Климанова и С.А. Тимашева [65], В.И. Колчунова и JI.A. Панченко [66], Л.М. Куршина [71], И.Е. Прокоповича [99], Ю.Н. Работнова [103], И.Г. Тере-гулова [117] и других авторов. Для решения системы интегродифференциальных уравнений равновесия оболочек при учете развития деформаций ползучести применяются приближенные методы.

Методы решения задач для других строительных конструкций в условиях ползучести материала отражены в работах Н.И. Безухова [10], В.М. Бондаренко [15], JI.M. Качанова [63], H.H. Малинина [75], И.Е. Проко-повича [99], Ю.Г. Работнова [103], В.Д. Харлаба [121 -s- 124] и других авторов [9, 11, 14, 25, 26, 28, 34, 66, 67, 72, 77, 79, 80, 95, 99, 106, 109 и другие].

Для описания длительных деформаций бетона наиболее приемлема теория упруго-ползучего тела (наследственная теория старения), которая позволяет учитывать частичную обратимость деформаций ползучести. Кроме того, для значений напряжений, не превышающих величину 0,5Rb (где Rb -расчетное сопротивление бетона сжатию), степень нелинейной зависимости деформаций ползучести бетона от достигнутого уровня напряжений еще относительно невелика и, следовательно, можно ограничиться рамками линейной теории упруго-ползучего тела. Варианты линейной и нелинейной теории упруго-ползучего тела исследовались В.Д. Харлабом [123, 124] и его учениками для нестареющего бетона.

Структурные изменения в конструкционных материалах, происходящие синхронно с нагружением, относятся к мгновенным деформациям; происходящие с некоторым запаздыванием, относятся к деформациям ползучести. Изучению качественной стороны описываемого явления посвящены работы [8, 10,27].

Детальное изложение применительно к железобетону вопросов учета мгновенной нелинейности деформирования и длительности деформирования изложена в работах В.М. Бондаренко [13 -ь 15], в которых нелинейность деформирования представляется в отсутствии пропорциональной связи между напряжениями и деформациями. Это относится как к деформациям ползучести, так и к упруго-мгновенным деформациям. Применительно к деформациям ползучести под непропорциональностью связи между напряжениями и деформациями понимается то, что накопленные при длительном нагружении деформации ползучести не пропорциональны величинам приложенных сил.

Полная относительная деформация бетона при простом сжатии или растяжении в контрольный момент времени вызванная единичным напряжением, действующим с момента времени, соответствующего возрасту бетона т, определяется зависимостью [8, 99, 101]:

8(М) = -^- + С(М). (В.1)

Е( т)

В формуле (В.1) —---упруго-мгновенная деформация бетона; Е(х)

Е( т) модуль упруго-мгновенной деформации; С(7,т) - деформация ползучести к моменту времени Л Чем выше возраст бетона к началу нагружения, тем выше модуль Е(т), который асимптотически приближается к некоторой постоянной величине Е - модулю упруго-мгновенных деформаций старого бетона.

Сочетание бетона и арматуры в железобетоне обусловлено как целесообразностью функционального использования положительных качеств их механических свойств, так и возможностью их совместной работы в железобетонных конструкциях.

В количественном отношении свойства деформаций бетона и арматурной стали существенно отличаются друг от друга. Все это обуславливает нестационарность напряженно-деформированного состояния железобетона, сложный характер перераспределения напряжений между арматурой и бетоном по мере роста усилий и во времени, существенно затрудняет исследование и расчет железобетонных конструкций.

Во времени и по мере увеличения нагрузок перечисленные свойства деформаций бетона и арматуры при совместной работе вызывают перераспределение напряжений между ними, уменьшают жесткость сечений вплоть до появления пластических шарниров и изменения статической схемы конструкции, увеличивают прогибы и обуславливают перераспределения усилий в статически неопределимых системах, влияют на режим колебаний, устойчивость конструкций и т.п.

Недостатки упруго-линейной постановки привели к созданию разных методов расчета железобетонных конструкций. При этом наметилось два самостоятельных направления: первое - частичный учет нелинейности деформирования бетона и арматурной стали без учета реологических свойств деформаций и влияния режима и длительности загружения; второе - решение задачи в линейной, но неравновесной постановке, т.е., с учетом запаздывания деформаций и влияния режима и длительности загружения.

Теория упруго-ползучего тела Маслова - Арутюняна является в настоящее время наиболее признанной среди специалистов в применении к железобетону. Решение нелинейных задач теории упруго-ползучего тела сводится к исследованию нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра второго рода, для решения которых используется метод малого параметра.

Описанные недостатки приводят к необходимости одновременно учитывать нелинейность деформаций ползучести и нелинейность упруго-мгновенных деформаций, а также принимать во внимание различие между механическими свойствами бетона при разных видах напряженного состояния. С другой стороны, встречающиеся на пути решения сложных систем нелинейных реологических интегро-дифференциальных и интегральных уравнений почти непреодолимые математические трудности потребовали разработки прикладных методов расчета, простых в физическом отношении и доступных при реализации в проектной практике. После алгебраизации поставленной задачи, система интегральных уравнений решается итерационным методом. Начальное приближение находится из решения упругой задачи.

Нелинейная постановка задач выдвигает ряд специфических проблем, среди которых ответственное место занимают вопросы аппроксимации нелинейной диаграммы материалов и разработки связанного с этой аппроксимацией аппарата расчета.

В связи с этим предлагается аппроксимация нелинейной зависимости кусочно-линейной функцией, описываемой единым образом на всем интервале непрерывности, и метод расчета с помощью такой аппроксимации до получения окончательных решений с использованием операторной оценки промежуточных корней.

Часто в литературе для аппроксимация нелинейной зависимости применяются упрощенные выражения [14, 17], например, рекомендуется запись П.И. Васильева - С.Е. Фрайфельда:

С \щ ст

Л;

В.2) где г\к, тк - числовые параметры нелинейности деформирования, определяемые из опытов.

Для каждого возраста нагружения конструкции t0 это выражение легко линеаризуется, что становится удобным при назначении параметров нелинейности деформирования по экспериментальным данным [14, 17]: ек = ст

1 + Л| \щ

СТ

8*. откуда

1п ст 5, Л

- 1пг|£ + тк 1п У г \ ст

В.З)

В.4)

Параметры нелинейности деформирования могут быть найдены из решения степенных линейных алгебраических уравнений типа (В.З). Параметр т определяет качество нелинейности по мере повышения напряжения, а параметр г) представляет собой степень изменения меры деформации по отношению к начальной мере деформации на момент разрушения материала. Кривая ст - с будет изменяться более плавно при уменьшении численного значения параметра т, ас ростом последнего будет удлиняться начальный участок диаграммы ст - б , на котором, как известно, зависимость между напряжениями и деформациями приближается к линейной. Конкретные числовые значения параметра т, относящегося ко всей диаграмме ст - в, необходимо корректировать на разных уровнях достигнутых напряжений из условия минимизации квадратичного абсолютного отклонения опытной и аппроксимирующей функций зависимости ст-е [13, 14].

Анализ результатов соответствующих опытов показывает, что нелинейность деформирования зависит, главным образом, от прочности материала. Так, в частности, для бетона и арматурной стали параметры г| и т следующие [13, 14]: при осевом сжатии бетона:

Лж =37,5/ К.ь',тм =5,7 + 0,05Лй; Ли = 45/Лл; тя = 5 + 0,07Л4; при осевом растяжении бетона: т[м = 0,3 + 0,37/< = 0,8 + 0,23 ц'я=1,5; т'п «10; при осевом растяжении (сжатии) арматурной стали:

Л„ = 55,8 *103* 1/^-36,3; тш = 6,92 + 7,14 * 1010 * Д;3'79; цзп = -66,6 +16,6 * 1 / Л,; т„=-1,3 + 0,66*1/^, где Яь - расчетное сопротивление бетона осевому сжатию (призменная прочность); ^-расчетное сопротивление стали.

Для бетона и стали можно сформулировать общую основную закономерность, что с увеличением прочности бетона и стали численные параметры г| и т уменьшаются, а нелинейность кривой а - в будет становиться более регулярной и плавной. Предложенный подход к представлению деформирования материалов соответствует признанию их общей природы нелинейности. Такой подход упрощает решение задачи, так как не требует отдельно выделять линейную и нелинейную составляющие мгновенных и запаздывающих деформаций, соответственно [14].

Мгновенные деформации условно разделяются на линейную и нелинейную составляющие, соответствующие упругому и пластическому деформированию. «Учитывая единство мгновенного и пластического деформирования, а также наличие множителя г\м в функции нелинейности им соотносят единую меру мгновенных упругопластических деформаций. Здесь первый член отражает линейную, упругую часть, а второе слагаемое -нелинейную, пластическую часть» [14].

Деформации ползучести являются силовыми запаздывающими деформациями. Мерой ползучести обычно называют, несмотря на некоторую очевидную неточность, меру деформаций простой ползучести, которую обозначают как С*(/0,/) [14, 99, 101, 103 и другие]. Мера деформаций простой ползучести С * (/ 0, /) для стареющего бетона для расчетного времени / зависит от возраста бетона в момент начала нагружения /0, расчетного времени / и длительности нагружения (

Аналогично мгновенным деформациям, запаздывающие деформации также, как правило, описываются для двух условных составляющих, т.е., функция нелинейности включает первую линейную составляющую, соответствующую упругому последействию, и вторую нелинейную составляющую, представляющую собой необратимую деформацию ползучести первого рода. Мера деформаций простой ползучести С*(/ О,0с учетом множителя Г|„(А)>0 еДина Ддя обеих составляющих [14, 99, 101, 103].

С увеличением продолжительности нагружения диаграмма для меры простой ползучести растет, монотонно затухая во времени и асимптотически приближаясь при ¿->со к некоторым предельным прямым, параллельным оси времени. Соответствующая предельная величина меры ползучести определена как предельная мера ползучести [14].

В.5)

В.6)

Поведение железобетона, как и поведение обычного бетона, можно описывать при определенных условиях формулами упруго-ползучей однородной среды [122, 129]. Допускается, что реологические свойства железобетона подчиняются линейной теории наследственной ползучести. Деформационные характеристики железобетона могут быть введены модулем упругости бетона Еь и двумя мерами ползучести железобетона Сы,См [122]: 1 т А с( е,т)

ОД т)

0, (В. 7)

В, (В. 8)

Т> \ гей г 5С(7, 9) где кыу,т) - резольвента ядра-Еь-; кму,т) - резольвента ядра

А дО дС&6) , ,

-Еь-; А гей - приведенные площадь сечения и момент инер

I дв ции арматуры; 6 - момент времени, соответствующий возрасту бетона.

Как показал анализ работ, исследования напряженно-деформированного состояния пологих железобетонных ребристых оболочек, когда в них в эксплуатационной стадии проявляются такие свойства как физическая нелинейность, а также развивается ползучесть материалов при длительном на-гружении, проведены недостаточно. Таким образом, тема настоящей диссертационной работы актуальна.

Целью настоящей работы является комплексное исследование НДС железобетонных пологих ребристых оболочек с учетом физической нелинейности и возможности развития деформаций ползучести материала.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- вывод уравнений деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом развития деформаций ползучести материала;

- вывод уравнений деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом физической нелинейности материала;

- разработка алгоритма решения нелинейных задач для пологих железобетонных ребристых оболочек;

- исследование прочности пологих железобетонных ребристых оболочек из разных классов бетона и определение допускаемой нагрузки на них;

- исследование влияния на НДС пологих железобетонных ребристых оболочек развития деформаций ползучести бетона при длительном нагруже-нии;

- исследование влияния физической нелинейности на НДС пологих железобетонных ребристых оболочек.

Научная новизна работы:

- разработана математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, основанной на деформационной теории пластичности и развития деформаций ползучести материала на основе линейной теории наследственной ползучести;

- разработан алгоритм решения физически нелинейных задач и задач ползучести на основе метода Ритца и итерационных процессов;

- показано, что наличие ребер у оболочки существенно снижает ее прогибы и повышает допускаемую нагрузку на них;

- исследованы процесс роста прогибов оболочек при длительном на-гружении, приводящий к потере устойчивости, а также особенности протекания этого процесса для пологих железобетонных ребристых оболочек;

- установлено снижение допускаемой нагрузки со временем для пологих железобетонных ребристых оболочек при различной кривизне и разном числе подкрепляющих оболочку ребер;

- исследовано влияние физической нелинейности на НДС железобетонных оболочек и показано, что учет физической нелинейности меняет НДС оболочек и может привести к потере устойчивости.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного расположения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, развития деформаций ползучести материала;

- методика исследования модели, основанная на методе Ритца и итерационных процессах и ориентированная на использование компьютерных технологий и программа расчета на ЭВМ напряженно-деформированного состояния рассматриваемых оболочек [Получено «Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011613074 Ро1о§ОЬо1осЫса», 18 апреля 2011 г.];

- определение допускаемой нагрузки на пологие железобетонные ребристые оболочки из разных классов бетона из условия обеспечения прочности;

- исследование НДС оболочек при длительном нагружении и анализ потери устойчивости от ползучести для различных вариантов оболочек;

- исследование влияния физической нелинейности на НДС оболочек, приводящих к снижению величин допускаемой нагрузки на них.

Практическое значение работы состоит в том, что разработанная компьютерная программа исследования пологих железобетонных ребристых оболочек Ро^ОЬо1ос11ка может быть использована в проектных организациях, научных исследованиях и в учебном процессе. Результаты работы нашли внедрение в отчетах по гранту СПбГАСУ тема № ИН2-06 и в проекте «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.)» тема №2.1.2/6146.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 60-й, 61-й, 62-й и 64-ой международных научно-технических конференциях молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов «Актуальные проблемы современного строительства» (СПбГАСУ, 2007 г., 2008 г., 2009 г., 2011 г.), на

63-й, 65-й, 66-й и 67-ой научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 2006 г., 2008 г., 2009 г., 2010 г.), на Десятом Международном форуме НАС ТОГУ «Новые идеи нового века» (Хабаровск, ТОГУ, 2010). Полностью работа докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры Прикладной математики и информатики под руководством д-ра физ.-мат. наук, профессора Б.Г. Вагера в 2009 г. и на расширенном научном семинаре этой же кафедры под руководством д-ра техн. наук, профессора С.Н. Никифорова в 2012 г.

Структура и объем работы. Текст диссертации изложен на 132 страницах, состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 138 источников, в том числе 130 на русском языке, приложения на 3 страницах. Работа содержит 54 рисунков и 13 таблиц.

5.3. Выводы

При учете физической нелинейности бетона, когда зависимость а - в является криволинейной, деформации (а с ними и прогибы) оболочек существенно возрастают по сравнению с линейно-упругим решением. Значения тах наибольших безразмерных напряжений а , при одних и тех же нагрузках, будут меньшими, чем при линейно-упругом решении для оболочек вариантов I и II, и большими - для оболочек варианта III. Но до потери прочности наступает потеря устойчивости для некоторых вариантов оболочек, что для железобетонных оболочек недопустимо. Таким образом, критические нагрузки, найденные при линейно-упругом деформировании, существенно снижаются. Выявлено, что происходит перераспределение напряжений по полю оболочки (максимальные напряжения смещаются к контуру оболочки).

112

Заключение

В диссертационной работе проведены следующие исследования:

1. Разработана математическая модель деформирования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, физической нелинейности, основанной на деформационной теории пластичности и возникновения ползучести материала на основе линейной теории наследственной ползучести.

2. Разработан алгоритм исследования НДС и прочности пологих железобетонных ребристых оболочек при учете различных свойств бетона, основанный на методе Ритца и методе упругих решений A.A. Ильюшина, реализованный в виде программного комплекса для ЭВМ.

3. Определены допускаемые нагрузки, соответствующие потере прочности оболочек разных вариантов при их линейно-упругом деформировании с использованием критерия прочности, основанного на теории Кулона - Мора.

4. Исследовано НДС разных вариантов пологих железобетонных ребристых оболочек в линейно-упругой постановке, с учетом физической нелинейности бетона, с учетом развития деформаций ползучести бетона при длительном нагружении. В проведенных исследованиях варьировались толщина и кривизна оболочек, число подкрепляющих оболочку ребер, классы бетона.

Анализ результатов диссертационной работы позволяет сделать следующие выводы:

1. Проведен анализ распределения прогибов и напряжений по полю оболочек для выявления наиболее опасных зон при их линейно-упругом деформировании. Установлено, что на НДС пологих железобетонных ребристых оболочек существенно влияет изменение толщины или кривизны оболочки, числа подкрепляющих оболочку ребер, классов бетона.

2. Показано, что наличие ребер существенно снижает величины прогибов оболочек и повышает допускаемую нагрузку на них, определяемую из условий прочности. Увеличение допускаемой нагрузки, например, на оболочки, подкрепленные 18 ребрами, составляет от 150 % до 220 %, по сравнению с гладкими оболочками.

3. Как показали исследования, допускаемые нагрузки, найденные из условия прочности, в несколько раз меньше, чем критические нагрузки при потере устойчивости (например, для варианта оболочек I допускаемые нагрузки составляют 20 % от критических нагрузок).

4. Исследования пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом развития деформаций ползучести показали, что со временем происходит: а) перераспределение напряжений по полю оболочки и максимум напряжений наблюдается вблизи ее контуров; б) потеря устойчивости оболочки со временем; следовательно, допускаемые нагрузки на оболочку снижаются, что необходимо учитывать при проектировании конструкций, находящихся длительное время под нагрузкой.

5. При учете физической нелинейности бетона, когда зависимость а - с является криволинейной, деформации (а с ними и прогибы) существенно возрастают при одних и тех же напряжениях по сравнению с линейно-упругим решением. Для некоторых оболочек до потери прочности наступает потеря устойчивости, что для железобетонных оболочек недопустимо. Следовательно, критические нагрузки на оболочки в условиях физической нелинейности бетона, понижаются по сравнению с критическими нагрузками, найденными при линейно-упругом деформировании.

6. Комплексные исследования НДС пологих железобетонных ребристых оболочек с использованием разработанного алгоритма позволяют более полно определить НДС конструкции и ее работоспособность и аргументировано задавать коэффициенты запаса прочности к. С использованием полученных результатов, можно подбирать соответствующую толщину проектируемой оболочки, размеры и число подкрепляющих оболочку ребер, надлежащее армирование по полю оболочки.

1. Абовский, Н. П. Смешанные вариационные уравнения для пологой ребристой оболочки / Н. П. Абовский // Строительная механика и расчет сооружений. 1969. - № 4. - С. 20-22.

2. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга. М.: Наука, 1978. - 228 с.

3. Александровский, С. В. Экспериментальные исследования ползучести бетона / С. В. Александровский, П. И. Васильев // Ползучесть и усадка бетона / НИИЖБ Госстроя СССР. М.: Стройиздат, 1976. - С. 97-152.

4. Амбарцумян, С. А. Теория анизотропных оболочек / С. А. Амбарцумян. -М.: Физматгиз, 1961. 384 с.

5. Амиро, И. Я. Ребристые цилиндрические оболочки / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий, П. С. Поляков. Киев: Наукова думка, 1973. - 248 с.

6. Амиро, И. Я. Методы расчета оболочек / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий // Теория ребристых оболочек. Киев, 1980. - Т. 2. - 368 с.

7. Арутюнян, Н. X. Некоторые вопросы теории ползучести / Н. X. Арутюнян. М.: Гостехиздат, 1952. - 323 с.

8. Беглов, А. Д. Теория расчета железобетонных конструкций на прочность и устойчивость. Современные нормы и стандарты / А. Д. Беглов, Р. С. Санжаровский. М.: АСВ, 2006. - 221 с.

9. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н. И. Безухов. М.: Высш. шк., 1968. - 512 с.

10. Берг, О. Я. К учету нелинейной связи напряжений и деформаций ползучести бетона в инженерных расчетах / О. Я. Берг, Е. Н. Щербаков // Изв. высш. учеб. заведений. Стр-во и архитектура. 1973. - № 12. - С. 14-21.

11. Болотин, В. В. О теории армированных тел / В. В. Болотин // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1965. № 1. - С. 74-80.

12. Бондаренко, В. М. Некоторые вопросы нелинейной теории железобетона / В. М. Бондаренко. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1968. - 323 с.

13. Бондаренко, В. М. Инженерные методы нелинейной теории железобетона / В. М. Бондаренко, С. В. Бондаренко. М.: Стройиздат, 1982. - 287 с.

14. Бондаренко, В. М. Расчетные модели силового сопротивления железобетона / В. М. Бондаренко. М.: АСВ, 2004. - 472 с.

15. Бурлаков, А. В. Ползучесть тонких оболочек / А. В. Бурлаков, Г. И. Львов, О. К. Морачковский. Харьков: Вища школа, 1977 - 330 с.

16. Васильев, П. И. Нелинейные деформации ползучести бетона / П. И. Васильев // Изв. ВНИИГ. 1971. - Т. 95. - С. 59-69.

17. Векуа, И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек / И. Н. Векуа. М.: Наука, 1982. - 285 с.

18. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения в технике / В. 3. Власов. М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

19. Власов, В. 3. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней / В. 3. Власов // Изв. АН СССР. ОТН. 1949. - № 6. - С. 819-838.

20. Вольмир, А. С. Гибкие пластины и оболочки / А. С. Вольмир. М.: Гостехиздат, 1956. -419 с.

21. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А. С. Вольмир. М.: Наука, 1972. - 432 с.

22. Ворович, И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И. И. Ворович. М.: Наука, 1989. - 376 с.

23. Гавриленко, Г. Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии / Г. Д. Гавриленко // Устойчивость пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. - С. 20-22.

24. Галустов, К. 3. Нелинейная теория ползучести бетона и расчет железобетонных конструкций / К. 3. Галустов. М.: ФМ, 2006. - 248 с.

25. Гвоздев, А. А. Прочность, структурные изменения и деформации бетона / А. А. Гвоздев и др.. М.: Стройиздат, 1978. - 229 с.

26. Гольденблат, И. И. Теория ползучести строительных материалов / И. И. Гольденблат, Н. А. Николаенко. М.: Гостехиздат, 1960. - 256 с.

27. Гольденвейзер, А. А. Теория упругих тонких оболочек / А. А. Гольденвейзер. М.: Наука, 1976. - 512 с.

28. Грачев, О. А. Об устойчивости трансверсально-изотропных ребристых оболочек вращения / О. А. Грачев, В. И. Игнатюк // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - № 3. - С. 61-64.

29. Гребень, Е. С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек / Е. С. Гребень // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - № 3. - С. 8192.

30. Григолюк, Э. И. Перфорированные пластины и оболочки / Э. И. Григолюк, Л. А. Филыптинский. -М.: Наука, 1970. 556 с.

31. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов. -М.: Наука, 1978.-359 с.

32. Григолюк, Э. И. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин / Э. И. Григолюк, Г. М. Куликов. М.: Машиностроение, 1988.-287 с.

33. Григолюк, Э. И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформированного тела / Э. И. Григолюк, В. И. Шалашилин. М.: Наука, 1988.-232 с.

34. Гудрамович, В. С. Выпучивание оболочек в условиях ползучести / В. С. Гудрамович, В. П. Пошивалов // Прочность и надежность элементов конструкций. Киев: Наукова Думка, 1982. - С. 49-58.

35. Гузь, А. Н. Концентрация напряжений около отверстий в тонких оболочках: обзор / А. Н. Гузь // Прикладная механика. Киев, 1969. - Т. 5, вып. З.-С. 1-17.

36. Енджиевский, JI. В. Нелинейные деформации ребристых оболочек / J1. В. Енджиевский. Красноярск: Изд-во Красноярск, ун-та, 1982. -295 с.

37. Дыховичный, Ю. А. Пространственные составные конструкции / Ю. А. Дыховичный, Э. 3. Жуковский. М.: Высш. шк., 1989. - 288 с.

38. Жгутов, В. М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала / В. М. Жгутов // Изв. Орловского гос. техн. ун-та. Строительство. Транспорт. 2007. - № 4. - С. 20-23.

39. Жгутов, В. М. Математическая модель и алгоритм исследования прочности и устойчивости ребристых оболочек с учетом различных свойств материала / В. М. Жгутов // Инженерные системы 2008: Тр. Всерос. науч-практ. конф. / РУДН. - М., 2008. - С. 341-346.

40. Железобетонные оболочки покрытий общественных зданий. М.: Госстройиздат СССР, 1974. - 73 с.

41. Жилин, П. А. Линейная теория ребристых оболочек / П. А. Жилин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1970. - № 4. - С. 150-162.

42. Жилин, П. А. Общая теория ребристых оболочек / П. А. Жилин // Прочность гидротурбин: тр. / ЦКТИ. Л., 1971. - Вып. 88. - С. 46-70.

43. Жуковский, Э. 3. Оболочки двоякой кривизны в гражданском строительстве Москвы / Э. 3. Жуковский, В. Ф. Шабля. М.: Стройиздат, 1980. -112 с.

44. Ильин, В. П. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях / В. П. Ильин, В. В. Карпов. Л.: Стройиздат, 1986. - 168 с.

45. Ильин, В. П. Связанность форм потери устойчивости ребристых оболочек / В. П. Ильин, В. В Карпов // Тр. XIV Всесоюзн. конф. по теории пластин оболочек. Кутаиси, 1987.

46. Ильин, В. П. Численные методы решения задач строительной механики / В. П. Ильин, В. В. Карпов, А. М. Масленников. Минск: Вышейшая школа, 1990.-349 с.

47. Ильюшин, А. А. Пластичность. Основы общей математической теории пластичности / А. А. Ильюшин. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.

48. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин. М., 1998. - 215 с.

49. Кабанов, В. В. Устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек / В. В. Кабанов. М.: Машиностроение, 1982. - 253 с.

50. Кантор, Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек / Б. Я. Кантор. Киев: Наукова думка, 1971. - 136 с.

51. Кантор, Б. Я. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 197280 гг. / Б. Я. Кантор, С. И. Катарянов, В. В. Офий; Ин-т проблем машиностроения АН УССР. 1982. - № 167. - 78 с.

52. Карпенко, Н. И. Общие модели механики железобетона / Н. И. Карпенко. М.: Стройиздат, 1996. - 414 с.

53. Карпов, В. В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек / В. В. Карпов, В. В. Петров //Изв. АН СССР. Сер. МТТ. 1975. - № 5. - С. 189-191.

54. Карпов, В. В. Некоторые варианты расчета гибких пологих ребристых оболочек / В. В. Карпов, В. В. Шацков // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: межвуз. темат. сб. тр. / ЛИСИ. Л, 1986. - С. 34-38.

55. Карпов, В. В. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования / В. В. Карпов, О. В. Игнатьев, А. Ю. Сальников; СПбГАСУ. М.; СПб.: АСВ, 2002. - 420 с.

56. Карпов, В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек / В. В. Карпов; СПбГАСУ. СПб., 2006. - 330 с.

57. Карпов, В. В. Устойчивость ребристых пологих оболочек при длительном нагружении / В. В. Карпов, В. К. Кудрявцев // Вестн. ВолгГАСУ. Стр-во и архитектура. 2006. - Вып. 6 (21). - С. 160-168.

58. Карпов В. В. Влияние подкрепляющих пологие железобетонные оболочки ребер на величины допускаемых нагрузок / В.В. Карпов,

59. A.Н. Панин // Новые идеи нового века / Материалы Десятого Международного форума ИАС ТОГУ. Хабаровск: ТОГУ, 2010. С. 38-42.

60. Качанов, JI. М. Теория ползучести / JI. М. Качанов. М.: Физматгиз, 1960.-455 с.

61. Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. М.: Наука, 1969.-420 с.

62. Климанов, В. И. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек / В. И. Климанов, С. А. Тимашев. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985.-291 с.

63. Колчунов, В. И. Расчет составных тонкостенных конструкций / В. И. Колчунов, Л. А. Панченко. М.: АСВ, 1999. - 281 с.

64. Корнишин, М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения / М. С. Корнишин. М.: Наука, 1964. - 192 с.

65. Крысько, В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек /

66. B. А. Крысько. Саратов: Сарат. ун-т, 1976. - 216 с.

67. Кудрявцев, В. К. Напряженно-деформированное состояние и устойчивость ребристых пологих оболочек с учетом ползучести материала: дис. . к-та техн. наук: 05.23.17 / Кудрявцев Василий Константинович; СПб ГАСУ. СПб., - 2006. - 147 с.

68. Куршин, Л. М. К расчету на устойчивость оболочек в условиях ползучести по теории старения / Л. М. Куршин // Проблемы устойчивости в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965. - С. 280-287

69. Лившиц, Я. Д. Расчет железобетонных конструкций с учетом ползучести и усадки бетона / Я. Д. Лившиц. Киев: Вища школа, 1971. - 232 с.

70. Лукаш, П.А. Основы нелинейной строительной механики / П.А. Лукаш. М.; Стройиздат, 1978. - 208 с.

71. Лурье, А. И. Общая теория упругих тонких оболочек / А. И. Лурье // ПММ. 1940. 4, вып. 2. С. 7-34.

72. Лурье, А. И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости / А. И. Лурье. Л., 1948. - 28 с.

73. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. М.: Машиностроение, 1986. - 400 с.

74. Маневич, А. И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек / А. И. Маневич. Киев; Донецк: Вища школа, 1979.- 152 с.

75. Масленников, А. М. Численный метод решения задач теории пластин и оболочек, подкрепленных ребрами: дис. . д-ра техн. наук: 05.23.17 / Масленников Александр Матвеевич; ЛИСИ. Л., 1970. - 275 с.

76. Маслов, Г. Н. Термическое напряжение бетонных массивов при учете ползучести / Г. Н. Маслов // Тр. ВНИИГ. 1940. - № 28. - С. 175-188.

77. Милейковский, И. Е. Расчет тонкостенных конструкций / И. Е. Милейковский, С. И. Трушин // М.: Стройиздат, 1989. 200 с.

78. Михайлов, Б. К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами / Б. К. Михайлов. Л.: ЛГУ, 1980. - 196 с.

79. Моисеенко, М. О. Исследование нелинейных деформаций и устойчивости пологих оболочек при нагружении равномерно распределенной нагрузки / М. О. Моисеенко // Вестн. Томск, гос. архитектурно-строит. ун-та. -2008.-№2.-С. 115-120.

80. Мусабаев, Т. Т. Нелинейная теория расчета железобетонных оболочек и пластин: дис. . д-ра техн. наук: 05.23.17 / Мусабаев Турлыбек Туркбенович; СПб ГАСУ. СПб, - 1999. - 421 с.

81. Муштари, X. М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложениями к решению задач устойчивости упругого равновесия / X. М. Муштари // ПММ. 1939. - Т. 2, № 4. - С. 439-456.

82. Муштари, X. М. Нелинейная теория упругих оболочек / X. М. Муштари, К. 3. Галимов. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 431 с.

83. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. Л.: Судпромиздат, 1962. -431 с.

84. Огибалов, П. М. Оболочки и пластины / П.М. Огибалов, М.А. Колтунов. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. 695 с.

85. Панин, А. Н. Алгоритмы исследования прочности пологих железобетонных ребристых оболочек при учете физической нелинейности / А.Н. Панин // Вестник гражданских инженеров / СПбГАСУ. СПб., 2009. -№ 1 (18).-С. 114-116.

86. Панин, А. Н. Напряженно-деформированное состояние пологих железобетонных оболочек с учетом ползучести материала / А.Н. Панин // Развитие жилищной сферы городов. 7-ая Международная научно-практическая конференция. М.: 2009. С. 373-377.

87. Панин, А. Н. Прочность и устойчивость пологих железобетонных ребристых оболочек / А.Н. Панин // Новые идеи нового века / Материалы Одиннадцатого Международного форума ИАС ТОГУ. Хабаровск: ТОГУ, 2011.-С. 20-24.

88. Панин, А. Н. Деформирование пологих ребристых оболочек в условиях физической нелинейности и ползучести бетона / А.Н. Панин // Интернет-Вестник ВолгГАСУ. Серия Политематическая. Выпуск 1 (20) / ВолгГАСУ. -Волгоград, 2012.

89. Панин, А. Н. Устойчивость пологих железобетонных ребристых оболочек / А.Н. Панин // Вестник гражданских инженеров / СПбГАСУ. -СПб., 2012. № 2 (31). - С. 101-106.

90. Петров, А. Н. Нелинейная модель ползучести железобетона и ее приложение к расчету плосконапряженных элементов / А. Н. Петров. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2003. 252 с.

91. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек / В. В. Петров // Саратов: Изд-во Сарат. политехи, инта, 1975.- 119 с.

92. Петров, В. В. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала / В. В. Петров, Н. Г. Овчинников, В. И. Ярославский. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 136 с.

93. Постнов, В. А. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек / В. А. Постнов, В. С. Корнеев // Прикладная механика. 1976. - № 1. - С. 27-35.

94. Прокопович, И. Е. Влияние длительных процессов на напряженное и деформированное состояние сооружений / И. Е. Прокопович. М.: Госстройиздат, 1963. - 260 с.

95. Прокопович, И. Е. Расчет цилиндрических оболочек и призматических складок / И. Е. Прокопович, И. Н. Слезингер, М. В. Штейнберг. Киев: Буд1вельник, 1967. - 240 с.

96. Прокопович, И. Е. Прикладная теория ползучести / И. Е. Прокопович, В. А. Зедгенидзе. М.: Стройиздат, 1980. - 240 с.

97. Пшеничное Г. И. К расчету пологих упругих ребристых оболочек / Г. И. Пшеничнов, И. Г. Тагиев // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. -№ 1.-С. 21-24.

98. Работнов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов. -М.: Наука, 1966.-752 с

99. Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. М.: Наука, 1988. - 712 с.

100. Рекомендации по расчету подкрепленных оболочек положительной кривизны на устойчивость / Госстрой СССР. Свердловск, 1974. - 76 с.

101. Рекомендации по учету ползучести и усадки бетона при расчете бетонных и железобетонных конструкций / НИИ бетона и железобетона. -М.: Стройиздат, 1988.- 199 с.

102. Ржаницын, А. Р. Теория ползучести / А. Р. Ржаницын. М.: Стройиздат, 1968. - 416 с.

103. Ржаницын, А. Р. Строительная механика / А. Р. Ржаницын. М.: Высш. шк., 1982.-400 с.

104. Санжаровский, Р. С. Теория расчета строительных конструкций на устойчивость и современные нормы / Р. С. Санжаровский, А. А. Веселов. -СПб.; М.: АСВ, 2002. 128 с.

105. СНиП 52-01-2003. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения / Госстрой России. М., 2004. - 24 с.

106. СНиП 2.03.01-84*. Бетонные и железобетонные конструкции / ЦИТП Госстроя СССР. М., 1989. - 88 с.

107. Соколов, Е. В. Напряжения и деформации в элементах пространственных конструкций / Е. В. Соколов // Тр. ПИМаш. СПб., 1997. -Вып. 7.-104 с.

108. СП 52-117-2008. Железобетонные пространственные конструкции покрытий и перекрытий. Ч. 1. Методы расчета и конструирование / НИИЖБ, ФГУП ЦПП. М., 2008. - 98 с.

109. СП 52-101-2003. Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры / НИИЖБ: ФГУП ЦПП. М., 2004. -54 с.

110. Статика и динамика тонкостенных обол очечных конструкций / А. В. Кармишин и др. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

111. Теребушко, О. И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами / О. И. Теребушко // Расчет пространственных конструкций: сб. ст. М., 1964. - Вып. 9. - С. 131-160.

112. Терегулов, И. Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести / И. Г. Терегулов. М.: Наука, 1969. - 206 с.

113. Тимашев, С. А. Устойчивость подкрепленных оболочек / С. А. Тимашев. М.: Стройиздат, 1974. - 256 с.

114. Тимошенко, С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С. П. Тимошенко. М.: Наука, 1971. - 808 с.

115. Трушин, С. И. Численное решение нелинейных задач устойчивости пологих оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига // С. И. Трушин/ Исследования по строительным конструкциям. М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1984. - С. 46-52 .

116. Харлаб, В. Д. К общей линейной теории ползучести / В. Д. Харлаб // Изв. ВНИИГ.-1961.-Т. 68.-С. 217-240.

117. Харлаб, В.Д. Задача линейной механики упруго-ползучей среды о равновесии системы тел с возрастающим числом связей: дис. . к-та техн. наук: 05.23.17 / Харлаб Вячеслав Данилович; ЛИСИ. Л., - 1963. - 90 с.

118. Харлаб, В. Д. Энергетическая теория нелинейной ползучести и длительной прочности хрупко разрушающихся материалов / В. Д. Харлаб // Механика стержневых систем и сплошных сред.: межвуз. темат. сб. тр. / ЛИСИ.-Л, 1981.-Вып. 14.-С. 11-17.

119. Харлаб, В. Д. Новый вариант теории нелинейной ползучести и длительной прочности нестареющего бетона / В. Д. Харлаб // Вестн. гражд. инженеров / СПбГАСУ. СПб, 2009. - № 3 (20). - С. 24-28.

120. Черных, К. Ф. Общая нелинейная теория упругих оболочек / К. Ф. Черных, С. А. Кабриц. СПб.: Изд-во СПб ун-та, 2002. - 388 с.

121. Чернышов, В. Н. Расчет гибких ребристых пологих оболочек: автореф. дис. канд. техн. наук / В. Н. Чернышов. Новосибирск, 1980. - 19 с.

122. Шугаев, В. В. Инженерный метод в нелинейной теории предельного равновесия оболочек / В. В. Шугаев. -М.: Готика, 2001. 386 с.

123. Шугаев, В. В. Железобетонные пространственные конструкции покрытий и перекрытий зданий и сооружений (опыт проектирования и строительства) / В. В. Шугаев // Монтажные и специальные работы в строительстве. 2006. - № 1. - С. 12-16.

124. Улицкий, И. И. Ползучесть бетона / И. И. Улицкий. Киев; Львов: Гостехиздат Украины, 1948. - 133 с.

125. Улитин, В. В. Физически нелинейный анализ устойчивости оболочек / В. В. Улитин. СПб.: ГИОРД, 2007. - 96 с.

126. Bakouline N., Ignatiev O. Karpov V. Variation parametric research technique of variable by step width shallow shells with finite deflections // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. V. I / Issue 3. 2000, pp. 1-6.

127. Byskov E., Hansen J.C. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction // J. Struct. Mech., 1980. 8. №2.-P. 205-224.

128. Fisher C.A., Bert C.W. Dynamic buckling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers // Trans ACME. Ser., E, 1973. 40, №3.-P. 736-740.

129. Chrobot B. Mathematical models of ribbed shells, Studia Geotechnica et Mechanica. Vol. IV. 1982. №. 3-4. P. 55-68.

130. Koiter W.T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures. // WTHD Report. № 590. August 1976.

131. Reissner E. Linear and Nonlinear Theory of Shells // Thin-shell structures: theory, experiment and Design, Prentice Hall i nc., 1974. P. 29^14.

132. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells a review of experiment and theory. Contr. Theory Aircraft struct / Delft, 1972. - P. 325-357.

133. Tennyson R.C. The effects of unreinforsed circular cutouts on the buckling of circular cylindrical shells under axial compression // J. of Engeneering for industry. Trans ACME, 1968, 90, ser. B, 4.