автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и алгоритмы исследования устойчивости и закритического поведения пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты

На правах рукописи

МОСКАЛЕНКО ЛЮДМИЛА ПАВЛОВНА

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И ЗАКРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ ПЕРЕМЕННОЙ ВЫСОТЫ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 7 ИЮМ 2072

Санкт-Петербург - 2012

005045328

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» на кафедре «Прикладная математика и информатика»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Карпов Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Бауэр Светлана Михайловна профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

кандидат технических наук, доцент Галишникова Вера Владимировна зав. кафедрой «Строительные конструкции и сооружения» ФГБОУ ВПО «Российский университет дружбы народов (РУДН)»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»

Защита состоится «26» июня 2012 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 218.008.06 на базе Петербургского государственного университета путей сообщения по адресу: 190031, Санкт-Петербург, Московский проспект, д. 9, ауд. 1-217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петербургского государственного университета путей сообщения.

Автореферат разослан « 55"» мая 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат технических наук, профессор

•^Я***^ Кудряшов Владимир Александрович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Оболочки, обладающие разнообразием форм и достаточно высокой жесткостью, находят применение в различных областях техники. Недостатком тонкостенных оболочечных конструкций является возможность потери ими устойчивости. Изначально для исследования устойчивости оболочек применялся метод, сводящий проблему к исследованию собственных значений и собственных векторов (метод Эйлера). С появлением нелинейной теории оболочек появилась возможность исследовать устойчивость таких конструкций с учетом нелинейных факторов. Среди методов решения нелинейных задач для пластин и оболочек наибольшее применение получил метод последовательных нагружений, разработанный В.В. Петровым, позволяющий свести решение нелинейной задачи к последовательности решения линейных задач. Этот метод является частным случаем метода продолжения решения по параметру, когда в качестве параметра принята нагрузка. Для нахождения критической нагрузки строится кривая «нагрузка - прогиб в какой-либо характерной точке». Нагрузка, соответствующая максимуму этой кривой, принимается за критическую.

Исследованию устойчивости оболочек посвящено большое число публикаций. Это монографии Григалюка Э.И. и Кабанова В.В., Товстика П.Е., Якушева В.Л., Петрова В.В., Амиро И.Я. и Заруцкого В.А., Андреева Л.В., Ободан Н.И., Лебедева А.Г., Рейсснера Е., Доннелла Л. Г. и др.

Теория оболочек в нелинейной постановке допускает существование нескольких состояний равновесия при одной и той же нагрузке. Поэтому кривых «нагрузка - прогиб» может быть несколько. Точки пересечения таких кривых называются точками бифуркации. В этих точках может быть переход с одной формы равновесного состояния на другую. Существование точек бифуркации и переход из одного равновесного состояния в другое исследованы недостаточно, поэтому весьма актуальным является анализ этой проблемы для конкретных видов оболочек.

Для повышения жесткости оболочки подкрепляются ребрами. Достаточно хорошо исследована устойчивость пологих оболочек, подкрепленных ребрами постоянной высоты, но мало исследованы оболочки, подкрепленные ребрами переменной высоты, что обеспечивает актуальность исследования устойчивости таких оболочек.

В строительстве при проектировании покрытий или перекрытий большепролетных сооружений чаще всего используются пологие оболочки прямоугольного плана. Подкрепление ребрами жесткости переменной высоты пологих оболочек позволяет снизить опасную концентрацию напряжений, что является весьма актуальной задачей строительства. В машиностроении, самолетостроении, ракетостроении необходимо знать

1

как верхние, так и нижние критические нагрузки, местные и общие формы потери устойчивости, понимать закритическое поведение конструкции, уметь определять точки бифуркации и связанное с ними бифуркационное поведение.

Таким образом, актуальным является исследование эффективности подкрепления оболочек ребрами переменной высоты, а также исследование докритического и закритическое поведения рассматриваемых оболочек с помощью разработанной математической модели. Поэтому актуальным является построение на основе предлагаемой модели алгоритма, основанного на методе продолжения решения по наилучшему параметру, а также его программная реализация.

Объектом диссертационного исследования являются пологие оболочки прямоугольного плана, подкрепленные ребрами переменной высоты (жесткости).

Предметом диссертационного исследования является докритическое и закритическое поведение пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты.

Целью настоящей работы является наиболее полное исследование прочности и устойчивости пологих ребристых оболочек, подкрепленных ребрами переменной жесткости.

В связи с этим ставятся следующие задачи исследования:

1. Разработка математической модели для исследования устойчивости ребристых пологих оболочек при переменной жесткости ребер.

2. Разработка алгоритмов исследования закритического поведения пологих ребристых оболочек.

3. Разработка программы для расчета устойчивости пологих ребристых оболочек.

4. Проведение исследований закритического поведения пологих ребристых оболочек.

5. Проведение исследований напряжено-деформированного состояния и устойчивости пологих ребристых оболочек при переменной жесткости ребер и обоснование эффективности такого подкрепления.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек при учете переменной жесткости ребер. Модифицирован метод конструктивной анизотропии, учитывающий сдвиговую и крутильную жесткость ребер. В модели учитывается геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.

2. Проанализировав несколько вариантов метода продолжения решения по параметру, был выбран наилучший параметр продолжения -длина дуги кривой в пространстве множества решений. Разработан

2

алгоритм исследования модели, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру, с использованием адаптивного выбора сетки. Алгоритм позволяет эффективно обходить особые точки, находить верхние и нижние критические нагрузки, местные и общие формы потери устойчивости, точки бифуркации.

3. Разработанный алгоритм реализован в виде программы «DefShell: strength and stability of thin shells» (свидетельство о регистрации в Реестре программ для ЭВМ №2012612774 от 19.03.2012 г.). С использованием данной программы было проведено исследование докритического и закритического поведения пологих оболочек, особых точек, их классификация, проведен анализ соответствующих бифуркационных проблем.

4. Показано, что для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, по сравнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты, существенно снижается уровень максимальных напряжений и поле напряжений становится более гладким.

Практическое значение работы состоит в том, что разработанная программа для исследования прочности и устойчивости пологих ребристых оболочек может быть использована в проектных организациях, научных исследованиях и учебном процессе.

Результаты работы внедрены в отчет по проекту №2.1.2/6146 «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 г.г.)», в отчет по проекту №2.1.2/10824 «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2011 г.г.)» и в учебный процесс.

Полученные результаты по деформированию оболочки при подкреплении ее ребрами переменной высоты использованы при расчете и проектировании покрытий и перекрытий большепролетных сооружений в проектно-конструкторском бюро «Ремарк».

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

1. Математическая модель деформирования пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, сводящая оболочку дискретно-переменной толщины к оболочке непрерывно-переменной толщины, с учетом геометрической нелинейности, поперечных сдвигов, сдвиговой и крутильной жесткости ребер.

2. Модифицированный алгоритм, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру, позволяющий исследовать прочность и устойчивость подкрепленных оболочек, их закритическое поведение, соответствующие бифуркационные проблемы, а также дающий возможность находить верхние и нижние критические

3

нагрузки.

3. Проведенный с помощью разработанной программы «DefShell: strength and stability of thin shells» анализ закритического поведения пологих ребристых оболочек и их особых точек.

4. Результаты исследования напряженно-деформированного состояния и устойчивости пологих оболочек, подкрепленных ребрами постоянной и переменной высоты.

Методы исследования: метод Ритца, метод продолжения решения по наилучшему параметру, метод Эйлера с адаптивным выбором сетки, метод Симпсона для вычисления интегралов.

Достоверность научных положений обеспечивается сравнением результатов тестовых задач с результатами, полученными другими авторами по другим алгоритмам, а также качественным согласованием с результатами эксперимента.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 67-ой и 68-ой научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ (3-5 февраля 2010 г., 2-4 февраля 2011 г.), на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (3-6 июня 2010 г., Самара), на десятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (9-11 декабря 2010 г., Санкт-Петербург), на XVII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (14-18 февраля 2011 г., Москва).

Полностью диссертация докладывалась в 2011 году на научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики под руководством д.т.н. Кирьянова Б.Ф. в Новгородском государственном университете, на межкафедральном научном семинаре факультета Городского строительства и жилищно-коммунального хозяйства СПбГАСУ, на 98 заседании объединенного семинара СПбГУ и ПГУПС «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (Computer Methods in Continuum Mechanics).

Публикации. По результатам исследования опубликовано 9 статей, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка основных обозначений и сокращений, четырех глав с краткими выводами, заключения, списка использованной литературы, включающего 108 наименований, и приложения. Работа изложена на 122 страницах, содержит 62 рисунка и 11 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, формулировку цели и задач исследования, научные результаты, выносимые на защиту, сведения об опубликовании и апробации результатов исследования, краткое содержание глав диссертации.

В первой главе представлена математическая модель деформирования пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты с учетом геометрической нелинейности, поперечных сдвигов.

Рассматривается пологая оболочка, подкрепленная ортогональной сеткой ребер, параллельных координатным линиям, высота которых переменна (рисунок 1). В срединной поверхности оболочки расположена ортогональная система координат: по линиям главных кривизн оболочки кх, ку направлены криволинейные координаты х и у, а в сторону

вогнутости оболочки, перпендикулярно срединной поверхности, направлена координата 2. Радиусы кривизны оболочки вдоль осей х, у —

= —, Л2 = —, размеры оболочки вдоль осей х, у, г - а, Ъ, И

кх ку

соответственно.

Рисунок 1 — Пологая оболочка, подкрепленная ортогональной сеткой ребер

В направлен™ оси х расположены п ребер шириной /-, высотой И'х(х), / = 1..и, в направлении оси у расположены т ребер шириной

высотой И 'у(у), j = 1 ..т. Расположение ребер задается функцией Н(х,у) " т — п т — —

Н(х, >) = !/<. (л-)8(.г+ (УШУ - У 1) -1]>>"5(* - Жу - yJ ),

)=\ 1=1 м

где Ъ'] = гшп{и'х(х,);(у])}; Ъ(х-х^), Ъ(у - у,) - единичные столбчатые функции, равные единице в местах присоединения ребер

П К Г; г,

(л, ~-^<х<х) + и равные нулю вне таких мест.

Математическая модель деформирования пологих оболочек состоит из геометрических, физических соотношений и функционала полной энергии деформации.

Геометрические соотношения (деформации удлинения вдоль осей X, у и деформации сдвига в плоскости Х'ОУ в срединной поверхности оболочки) для пологих оболочек при учете поперечных сдвигов берутся в виде, предложенном В.З. Власовым.

При этом неизвестными (искомыми) функциями перемещений точек срединной поверхности оболочки вдоль осей х, у, г являются функции II (х, у), У(х,у), IV(х, у) соответственно. Также неизвестными являются функции изменения углов поворота нормали в плоскостях Х02, УОТ. — УЛх.у), Ц/,(х,у).

Нормальные напряжения в направлении осей х, у и касательные напряжения в плоскостях, действующие в произвольной точке оболочки, выполненной из изотропного упругого материала, записываются по закону Гука.

Интегрируя эти напряжения по толщине оболочки по г в пределах от

— — до — + Н(х,у), получаются нормальные усилия вдоль осей х, у,

сдвиговые усилия в плоскости ХОУ\ изгибающие моменты в направлении осей х, у, крутящий момент, поперечные (перерезывающие) силы в плоскостях Х02, приведенные к срединной поверхности оболочки и приходящиеся на единицу длины сечения.

При этом полученные физические соотношения усложняются за счет учета переменной высоты ребер. В этих соотношениях используются площадь поперечного или продольного сечения ребра (Рх(х,у), (х,у)), приходящаяся на единицу длины сечения, статический момент (*,>'), Бу(х,у)) и момента инерции этого сечения (./_,. (х, 7), •/„(*,>>)), зависящие от координат* и у:

Г Л*, У) и ¡гМ3 А о ^ „•м т >1 'К{у)г} а < Ь аЬ ) 0 а

Ру{х,у) у Лу (у )г, ~Р а +1 /=1 Ъ V Р аЬ ) г, Ь '

Бх(х,у) fSUx)rf Ь т +1 7=1 Г ЯНУЪ а \ "ЯЧХ^УУ^, Ь аЬ Ч ч а

Sy{x,y) т S'(v)r " ]=\ а 1=1 S'Áx)rt Ъ т -Z /=1

■1х(х,у) _ ^ Jх (X)r¡ | ^ ы Ь ■J{Xy)r¡ а п -X 1=1

Jy{x,y) _ » JJy(y)rJ+ -м а ( J'Áxh Ъ V т -Z 7=1

ab

ab

ab

¡ .

b' r±.

a b '

Здесь

s'x(x) = 0,5/4(ф+К(x)}, S'y (y) = 0,5цсy)(h+ц (y)} j'x(x) = 0,25h2h'Jx) + 0,5h{K(x)f

j; O) = 0,25h2h'y (y) + 0,5h{hJy {y))2 + i [hJy (y)f; h'J(x,y) = min{tí,(xy,hJy(y)}, S''(x,y) = j4x,y) = mm{j'x(x);j >(}')}■

Функционал полной энергии деформации оболочки представляет собой сумму работ внутренних и внешних сил, его составляющими являются деформации, усилия и моменты. Учет переменной высоты ребер усложняет выражение усилий и моментов, тем самым усложняется и функционал полной энергии деформации.

Полученная математическая модель деформирования пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной толщины, в геометрически-нелинейной постановке, с учетом сдвиговой и крутильной жесткости ребер позволяет свести оболочку дискретно-переменной толщины к оболочке непрерывно-переменной толщины.

Во второй главе приведен модифицированный алгоритм, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру.

Для сведения вариационной задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений в работе применяется метод Ритца (N — приближение по методу Ритца). Искомые функции U(x,y), V(x,y), lV(x,y), \¡ijx,y), \\¡ у(х, у) представляются в виде линейной комбинации неизвестных числовых параметров [/(/), V(l), W(/), PS(I), PN(/) и известных аппроксимирующих функций Х1(х) - Х5(х), У Чу) - У5{у), подбираемых в зависимости от вида закрепления оболочки по контуру.

Для пологих оболочек прямоугольного плана, подкрепленных ребрами переменной жесткости, после применения метода Ритца к функционалу полной энергии деформации оболочки, получается система

7

нелинейных алгебраических уравнений, относительно £/(/), У(1), "/(/),

Коэффициенты системы представляют собой двойные интегралы от произведений коэффициентов функционала и аппроксимирующих функций метода Ритца.

Кратко полученную систему можно записать в векторной форме

Р(Х,Р) = 0, (!)

где векторX = (и(1),Г(1)Л(1),Р5(1),РЩ1)У , Р- нагрузка.

Известно, что в ненагруженном состоянии перемещения и углы поворота нормали равны нулю, т.е.

= .V0 =0, Р° =0 (2)

В некоторой окрестности А точки [а'°,.Рс] в виде прямоугольного параллелепипеда с центром в этой точке свойства решений системы (1) устанавливает теорема о неявных функциях.

Продифференцировав систему (1) по параметру нагрузки Р получим

с1Х

систему линеиных относительно —— уравнении

т^ п «л

J— + — = 0. (3)

ар дР

Здесь якобиан вектор-функции Р (определитель ск1(./) матрицы Якоби J)■ Точки, в которых выполняется условие с1е1(У) ^ 0, называются регулярными, а точки, в которых ёе1(./) = 0, — особыми. В особых точках возможность продолжения решения обычно сохраняется, но само продолжение может стать неоднозначным, т.е. появляется возможность разветвления кривой К множества решений системы. Если в особой точке наблюдается разветвление кривой К, то эта особая точка называется точкой бифуркации.

Если применить для решения полученной задачи Коши (2), (3) процедуру метода Эйлера, то получается расчетная схема

ХМ=Х,+АХ„ Рм =Р,+Д/% где АР, задается, а АЛ',, находится из уравнения

—(А,,Р, )АХ, + — (Л',,Р,)АР, =0.

дХ дР

Этот метод также называется методом последовательных нагружений, впервые предложенный Петровым В.В.

Основная сложность исследования устойчивости оболочек при использовании метода продолжения решения по параметру состоит в обходе особых точек. Один из способов такого обхода состоит в смене параметра продолжения. В диссертационном исследовании разработано

несколько алгоритмов, позволяющих автоматически производить смену параметра продолжения. При этом показано, что сам параметр продолжения можно выбрать не единственным способом. Поэтому возникает вопрос об оценке качества параметра и о выборе оптимального в некотором смысле параметре продолжения. В то же время в процессе решения все переменные и параметр задачи должны быть равноправными.

В настоящее время В.И. Шалашшшн и Е.Б. Кузнецов разработали вариант наилучшей параметризации, доказав следующую теорему: Для того, чтобы система линеаризированных уравнений была наилучшим образом обусловленной, необходимо и достаточно в качестве параметра продолжения решения системы нелинейных уравнений принять длину дуги X кривой К множества решений этой системы уравнений. Систему нелинейных уравнений (1) можно записать в виде ф(х)=0, (4)

где X = {U(l),V(I),W(I),PS(I),PN(I),P)r или в координатном представлении X = (Л',,Х2,Х3,Х4,Х5,Х6)Т. Здесь X, = U(I), Х2 = V(I), Х3 = W(I), X4 = PS(I), Хъ = PN(I), Х6 = P,I = 1-.JV.

Для обеспечения в каждой точке кривой К наилучшей вычислительной ситуации выбирается в качестве параметра продолжения длина дуги X, отсчитываемая вдоль кривой К. Тогда в окрестности текущей точки кривой К, выбранная дуга по направлению совпадает с

dX

касательной к этой кривой, т.е. с вектором ——.

dk

Параметр к не входит явно в систему уравнений (4) и связан с переменными задачи Л',, Х2, Х3, Х4, Х}, Х6 следующим образом

= (dX1 f+(dX2f+ (dX3 У + {,dX4 У + (dX5 )2 + {dXj )2.

Продифференцировав (4) по параметру л, считая X = Х{к), получим

-¿Y „

систему дифференциальных уравнении J—— = 0, с начальным условием

ак

Х(>,0) = 0, Х0 = 0. Здесь J --- расширенная матрица Якоби,

дХ

имеющая п строк и (и+1) столбцов.

Процесс продолжения решения по наилучшему параметру х системы нелинейных уравнений (4) на каждом шаге является решением задачи Коши

J

¿¿Y dk

dX dk

Система (5) относительно является нелинейной. Для решения

сГк

система линеаризуется и применяется итерационный процесс, в рамках

dX_ dk

\т

dX* _ dX

берется известный вектор -, олизкии к -,

dk dk

которого вместо

<&' „

где - — вектор, определенный в предыдущей точке (на предыдущем

сік

шаге) кривой К.

Итак, задача Коши для эволюции кривой К от А:-ой точки к (к+1 )-ой точке запишется в виде

J

dk

dX ~dk

Х{кк) = Хк, кк<Х<кк

Здесь

dX

dX

dk dk df.dk

Эта задача может быть решена с помощью любого из классических методов, например, метода Эйлера, модифицированного метода Эйлера, метода Рунге-Кутта.

Чем больше векторы на текущем и предыдущем шагах

непараллельны, тем хуже обусловленность матрицы системы и, следовательно, меньше устойчивость вычислительного процесса. В этой ситуации целесообразно применять адаптивный выбор сетки.

Проанализировав особенности различных алгоритмов, для программной реализации был выбран алгоритм, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру. Составлена программа «DefShell: strength and stability of thin shells», позволяющая исследовать напряженно-деформированное состояние и устойчивость пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты.

В третьей главе приводится методика исследования закритического поведения пологих ребристых оболочек и их особых точек

С использованием программы «DefShell: strength and stability of thin shells» были проведены исследования пологих оболочек с различными параметрами. Показано, что для оболочек большой кривизны (к тому же, достаточно тонких) характер распределения прогибов и особенно напряжений весьма сложный. Для оболочек малой кривизны наибольший прогиб наблюдается в ее центре, в любом сечении имеет синусоидальный характер, а поле напряжений гладкое с максимумом также в центре.

Например, для гладкой стальной пологой оболочки с параметрами а = ¿> = 5.4 м, = = 20.25 м, И = 0.09 м, шарнирно-неподвижно закрепленной по контуру и находящейся под воздействием равномерно-распределенной поперечной нагрузки, получена зависимость «нагрузка Р — максимальный прогиб И'», показанная на рисунке 2.

Из рисунка 2 видно, что имеется верхняя критическая нагрузка в точке А при Р = 3.1 МПа и нижняя критическая нагрузка в точке В при Р = 0.75 МПа. При этих нагрузках происходит «прощелкивание» оболочки, т.е. скачкообразный переход в новое равновесное состояние: из точки А в А ' и из точки В в В . Причем участок кривой А В, находящийся на нисходящей ветви кривых «нагрузка — прогиб», является физически нереализуемым (неустойчивое состояние), поэтому он показан пунктиром.

На рисунках 3-4 показаны поля прогибов и напряжений вблизи точки А, а на рисунках 5-6 поля прогибов и напряжений вблизи точки А '.

Как видно из рисунков 3-6, при «прощелкивании» оболочки мгновенно изменяется характер напряжений, при этом максимальные значения полей прогибов и напряжений увеличиваются скачкообразно.

Рисунок 2 - Зависимость максимального прогиба оболочки от нагрузки

Рисунок 3 - Поле прогибов в точке А

Рисунок 4 - Поле напряжений в точке А

Рисунок 5 - Поле прогибов в точке А'

Рисунок 6 - Поле напряжений в точке А'

На рисунке 7 показан график зависимости Якобиана () от нагрузки и максимального прогиба.

Из рисунка 7 следует, что при нагрузках Р = ЗА МПа и Р = 0.75 МПа Якобиан обращается в ноль, эти точки соответствуют верхней и нижней критической нагрузке. Других точек, в которых определитель равен нулю (необходимое условие наличия точки бифуркации), нет, следовательно, точки бифуркации отсутствуют для данного варианта оболочек.

На рисунке 8 показана зависимость «нагрузка Р - максимальный прогиб РУ» для гладкой стальной шарнирно-неподвижно закрепленной по контуру пологой оболочки с параметрами а = ¿ = 10.8 м, = Я2 =40.5 м, И = 0.09 м, находящейся под воздействием равномерно-распределенной поперечной нагрузки.

Как видно из рисунка 8, имеется первая верхняя критическая нагрузка в точке А при Р = 0.82 МПа, нижняя критическая нагрузка в точке В при Р = 0.75 МПа и вторая верхняя критическая нагрузка в точке С при Р = 0.89 МПа. Данная оболочка не может прийти в новое устойчивое состояние равновесия и, «прохлопываясь», колеблется, то есть

(Я» I Оецу

до-кГ

Рисунок 7 - График «1)е1:(./) — нагрузка - прогиб И7^ »

появляется подобие бифуркационного цикла.

Рисунок 8 - График «нагрузка Р— максимальный прогиб Жпих »

Для обоснования точности вычислений проведено сравнение результатов при различном числе аппроксимирующих функций в методе Ритца и различных величинах параметра продолжения х.

Для обоснования достоверности результатов расчета проведено сравнение решения эталонных задач с работами других авторов и показано хорошее совпадение, а также качественное согласование с результатами эксперимента.

В четвертой главе представлены результаты исследования напряженно-деформированного состояния и устойчивости пологих оболочек, подкрепленных ребрами постоянной и переменной высоты.

Проведенные исследования устойчивости пологих ребристых оболочек показали, что для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, по с равнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты, существенно снижается уровень максимальных напряжений и характер напряжений выравнивается. При этом величина критической нагрузки несущественно уменьшается.

Так для стальной пологой подкрепленной оболочки, шарнирно-неподвижно закрепленной по контуру и находящейся под воздействием равномерно-распределенной поперечной нагрузки, с параметрами а = Ь = 600/? м, Л, = II, = 1510А м, И = 0.09 м были получены результаты,

показанные в таблице 1.

Рассматривалось два вида подкрепляющих оболочку ребер шириной

г. = г, =2И: постоянной толщины И'х = к'у = Зй и переменной толщины

/г' (х) = 1^х2_— х + 5И- Н1(у) = ^-у2 - + при этом объем

а2 а у Ъ2 Ъ

подкреплений одинаковый.

Таблица 1 - Сравнение эффективности подкрепления оболочки ребрами постоянной и переменной высоты__

Параметр Ребра постоянной высоты Ребра переменной высоты

Критическая нагрузка 0.273 МПа 0.271 МПа

Поле прогибов при />=0.27 МПа А Ль к А

Щт ■Щ *

Поле напряжений при />=0.27 МПа 1 А Ж® Л , / т -- § % т

Максимальное значение поля 289.13 МПа 260.21 МПа

напряжении

При нагрузке Р= 0.20 МПа максимальный прогиб оболочки составил 0.077 м при подкреплении пологой оболочки ребрами переменной высоты и при подкреплении ребрами постоянной высоты, а максимальные напряжения — 0.164 МПа при подкреплении пологой оболочки ребрами переменной высоты и 0.211 МПа при подкреплении ребрами постоянной высоты, то есть уменьшились почти на 25%.

Концентрация напряжений вблизи угловых точек и точек контура оболочки при подкреплении оболочки ребрами переменной высоты существенно понижается по сравнению с неподкрепленными оболочками или оболочками, подкрепленными ребрами постоянной высоты. При этом увеличивается нагрузка, при которой оболочка теряет прочность.

В заключении работы приводятся основные результаты, полученные в процессе диссертационных исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек при учете переменной жесткости ребер. Использован метод конструктивной анизотропии, учитывающий сдвиговую и крутильную жесткость ребер. Учитываются геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.

Модифицирован алгоритм, основанный на методе продолжения решения по параметру с учетом наилучшей параметризации. Алгоритм позволяет находить верхние и нижние критические нагрузки и точки бифуркации.

Разработана программа «DefShell: strength and stability of thin shells», реализующая представленный алгоритм, а также методика исследования особых точек, которая позволяет определять: а) точки, соответствующие критическим нагрузкам, при которых оболочка теряет устойчивость; б) точки бифуркации, в которых возможен переход на другую ветвь равновесных состояний.

Рассмотрено поведение гладких пологих оболочек в докритическом и закритическом состоянии. Показано, что для тонких оболочек с большим радиусом кривизны распределения прогибов и особенно напряжений по полю оболочки имеет сложную структуру.

Исследования устойчивости пологих ребристых оболочек показали, что при использовании ребер переменной высоты существенно снижается уровень максимальных напряжений (до 25%), а характер напряжений выравнивается по сравнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в рекомендованных ВАК РФ изданиях:

1. Карпов ВВ., Москаленко JI.IJ. Алгоритм решения задач устойчивости подкрепленных оболочек, основанный на методе продолжения решения по параметру // Вестник гражданских инженеров №4(25), 2010., С. 40-42.

2. Москаленко Л.П. Эффективность подкрепления пологих оболочек ребрами переменной высоты // Вестник гражданских инженеров №3(28), 2011, С. 46-50.

3. Москаленко Л.П. Методика исследования устойчивости пологих ребристых оболочек на основе метода продолжения решения по наилучшему параметру // Вестник гражданских инженеров №4(29), 2011, С. 161 - 164.

Статьи, опубликованные в других научных изданиях:

4. Карпов В. В., Москаленко Л.П.. Математические модели деформирования ребристых оболочек при переменной высоте ребер // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: межвуз. темат. сб. тр. Вып. 16 / СПбГАСУ. - СПб., 2010. С. 192 -207.

5. Москаленко Л.П. Пологие оболочки, подкрепленные ребрами переменной высоты // Труды 67-ой научной конференции профессоров,

преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ, 2010, С. 15 - 21.

6. Москаленко Л.П. Математическая модель деформирования пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты. // Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. — Самара: СамГТУ, 2010. С. 215-219.

7. Москаленко Л.П., Семенов A.A. Алгоритм нахождения точек бифуркации для тонкостенных оболочек // Высокие технологии и фундаментальные исследования. Т.4 : сборник трудов Десятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности». 0911.12.2010, Санкт-Петербург, Россия / под ред. А.П. Кудинова. — СПб. : Изд-во Политехи, ун-та, 2010. С. 215 — 216.

8. Москаленко Л.П. Бифуркационные проблемы для тонкостенных оболочек // Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.1. -М.: ООО «ТР-принт», 2011. - С. 149-150.

9. Москаленко Л.П. Бифуркационные проблемы теории оболочек // Труды 68-ой научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ, 2011, С. 59 -63.

Подписано к печати 17.05.2012 г. Печ.л. 1,0

Печать — ризография. Бумага для множит, апп. Формат 60x84 1/16 Тираж 100 экз. Заказ 520.

ПГУПС 190031, г. С-Петербург, Московский пр., 9

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ ПЕРЕМЕННОЙ ВЫСОТЫ.

1.1 Пологие оболочки прямоугольного плана.

1.2 Математическая модель пологих оболочек постоянной толщины.

1.2.1 Геометрические соотношения.

1.2.2 Физические соотношения.

1.2.3 Функционал полной энергии деформации и краевые условия.

1.3 Пологие оболочки ступенчато-переменной толщины.

1.3.1 Задание расположения ребер.

1.3.2 Метод конструктивной анизотропии для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты.

1.3.3 Функционал полной энергии деформации оболочек пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты.

1.4 ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ ПЕРЕМЕННОЙ ВЫСОТЫ, НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ.

2.1 Метод Ритца для сведения вариационной задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений.

2.2 Метод непрерывного продолжения решения по параметру для решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

2.3 Методики реализации метода продолжения решения по параметру.

2.3.1 Методика, основанная на смене параметра продолжения.

2.3.2 Метод ортогонализации.

2.3.3 Методика, основанная на наилучшем параметре продолжения.

2.3.4 Особые точки траектории нагружения.

2.4 Система нелинейных алгебраических уравнений и система линейных алгебраических уравнений.

2.5 Программная реализация.

2.6 Выводы.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ДОКРИТИЧЕСКОГО И ЗАКРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК.

3.1 Варианты пологих оболочек.

3.2 докритическое и закритическое поведение оболочек.

3.2.1 Гладкие оболочки, квадратные в плане.

3.2.2 Гладкие оболочки, прямоугольные в плане.

3.3 Достоверность полученных результатов.

3.3.1 Сравнение с натурным экспериментом.

3.3.2 Сравнение с другими программными комплексами.

3.4 Точность вычислений.

3.5 Выводы.

ГЛАВА 4. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ ПЕРЕМЕННОЙ ВЫСОТЫ.

4.1 Варианты подкрепленных пологих оболочек.

4.2 Устойчивость подкрепленных пологих оболочек.

4.3 Поля прогибов и напряжений.

4.4 Выводы.

Актуальность темы исследования.

Тонкостенные оболочечные конструкции — это наиболее современный и оптимальный тип конструкций, так как он позволяет спроектировать конструкцию максимальной жесткости, но наименьшего веса. При этом они обладают разнообразием форм и находят применение в самых различных областях: в строительстве (для перекрытий промышленных сооружений), в самолетостроении (крыло и фюзеляж самолета), в кораблестроении (корпус надводного и подводного корабля), в ракетостроении (ракеты).

Недостатком тонкостенных конструкций является возможность потери ими устойчивости. Изначально для исследования устойчивости оболочек применялся метод, сводящий проблему к исследованию собственных значений и собственных векторов (метод Эйлера). С появлением нелинейной теории оболочек появилась возможность исследовать устойчивость таких конструкций с учетом нелинейных факторов.

Среди методов решения нелинейных задач для пластин и оболочек наибольшее применение получил метод последовательных нагружений, разработанный В.В. Петровым, позволяющий свести решение нелинейной задачи к последовательности решения линейных задач. Этот метод является частным случаем метода продолжения решения по параметру, когда за параметр принята нагрузка. Для нахождения критической нагрузки строится кривая «нагрузка - прогиб» в какой-либо характерной точке. Нагрузка, соответствующая максимуму этой кривой, принимается за критическую.

Исследованию устойчивости оболочек посвящено большое число публикаций. Это монографии Григолюка Э.И. и Кабанова В.В., Товстика П.Е., Якушева В.Л., Петрова В.В., Амиро И.Я. и Заруцкого В.А., Андреева Л.В., Ободан Н.И., Лебедева А.Г., Власова В.З., Карпова В.В. и др.

Решение нелинейной задачи неоднозначно. Может существовать несколько форм равновесных состояний при одной и той же нагрузке. Поэтому и кривых «нагрузка - прогиб» может быть несколько. Точки пересечения таких кривых называются точками бифуркации. В этих точках может быть переход с одной формы равновесного состояния на другую. Бифуркационная проблема исследована недостаточно, поэтому актуальным является исследование этой проблемы для конкретных видов оболочек.

Для повышения жесткости оболочки подкрепляются ребрами. Достаточно хорошо исследована устойчивость пологих оболочек, подкрепленных ребрами постоянной толщины. Проведенные ранее исследования показали, что при деформировании оболочек характер напряжений имеет сложный вид, и наибольшие напряжения зачастую наблюдаются вблизи контура оболочки и углов. Поэтому целесообразно оболочки подкреплять ребрами переменной высоты, а исследование устойчивости пологих ребристых оболочек при учете переменной жесткости ребер является актуальной задачей.

В строительстве при проектировании покрытий или перекрытий большепролетных сооружений чаще всего используются пологие оболочки прямоугольного плана. Подкрепление пологих оболочек ребрами жесткости переменной высоты позволяет снизить концентрацию напряжений, что также является весьма актуально.

В машиностроении, самолетостроении, ракетостроении необходимо исследовать как верхние, так и нижние критические нагрузки, местные и общие формы потери устойчивости, закритическое поведение конструкции, исследовать бифуркационные проблемы.

Поэтому актуальным является исследования эффективности подкрепления оболочек ребрами переменной высоты, а также докритического и закритического поведения оболочек на основе программной реализации на основе разработанной математической модели и алгоритма, основанного на методе продолжения решения по наилучшему параметру.

История развития тематики работы.

Теория оболочек является одним из достаточно для инженерной практики изученным разделом механики. История ее развития насчитывает почти 200 лет. Однако, несмотря на кажущуюся проработанность, в теории оболочек в настоящее время еще остаются некоторые нерешенные проблемы.

В развитии нелинейной теории пологих оболочек И.И. Ворович в 1989 г. [16]отмечает несколько этапов. Основы этой теории восходят к трудам И. Г. Бубнова[6] и Т. фон Кармана [97]. И.Г. Бубновым впервые была поставлена задача о хлопке искривленной пластины и введен сам термин «хлопок». Т. Карманом были впервые составлены уравнения «среднего изгиба» для пластины. Работы этих двух ученых составляют исходный этап в развитии нелинейной теории пологих оболочек.

В 30-х г.г. двадцатого века Л.Г. Доннелл [95] впервые сформулировал идею пологости, выраженную в предположении о возможности пренебречь в уравнениях тангенциального напряженного состояния оболочки перерезывающими усилиями. В работах Х.М. Муштари [68] эта идея получила широкое развитие, и с ее использованием были решены многие задачи устойчивости оболочек. В работах Л.Г. Доннелла и Х.М. Муштари идея пологости использовалась лишь в линейных задачах теории оболочек.

Следующий этап развития нелинейной теории оболочек связан с именами К. Маргерра, В.З. Власова, Чен Вей-Цанга, В.И. Феодосьева и др. авторов. В основном труде К. Маргерра 1938 г. распространена идея Т. Кармана на случай собственно пологой оболочки, а сами уравнения К. Маргерра записаны в декартовых координатах на плоскости. В исследованиях В. 3. Власова [12, 13] и Чен Вей-Цанга [93, 94] краевые задачи теории пологих оболочек были записаны в произвольных криволинейных координатах на плоскости. В 1946 г. В. И. Феодосьевым был предложен вариант нелинейной теории пологих оболочек вращения, который получил широкое распространение при решении практических задач. В работах К. Маргерра, В.З. Власова, Чен Вей-Цанга, В.И.

Феодосьева использовались предположения «среднего изгиба», то есть деформацией со средними углами поворота, и пологости.

Важное значение для развития нелинейной теории непологих оболочек имеет монография В. В. Новожилова [72], в которой содержится последовательный вывод уравнений Т. Кармана с анализом их погрешностей и пределов применимости.

Новый этап в развитии теории связан с работами Э. Рейсснера [104-108] и H.A. Алумяэ [2], в которых основные краевые задачи выводились без предположения «среднего изгиба», а углы поворотов считались конечными. В середине 60-х г.г. XX века в этом же направлении появились труды В.Т. Койтера, И. Сандерса, И. Саймондса, Д. Даниельсона, где разрабатывалась нелинейная теория оболочек, свободная от предположения «среднего изгиба».

Большой вклад внес В.З.Власов в создание теории расчета тонкостенных оболочек, в его трудах [12, 13] заложены фундаментальные основы построения математических моделей механики деформирования тонкостенных элементов, приводятся различного уровня совершенства математические модели теории пластин и оболочек классических форм, предлагаются различные методы решения дифференциальных уравнений и основы алгоритмов решения краевых задач, решаются прикладные задачи строительной механики. Среди учеников и последователей В.З. Власова были И.Е. Милейковский [63, 64], В.В. Петров [75, 76], H.H. Леонтьев, Д.Н. Соболев и другие ученые, успешно развивавшие его идеи в своих трудах.

Идея продолжения решения известна и используется в математике и механике давно. Именно она лежит в основе известного метода возмущений (метода малого параметра), первые применения которого встречаются в работах У. Леверье (1886 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.). Эта идея также неоднократно использовалась для доказательства существования решений нелинейных уравнений.

Первое использование идеи продолжения решения по параметру в вычислительных целях принадлежит М. Лаэю[103] (1934 г.). Он дал пример построения шагового процесса по параметру, в котором реализуется главный для метода продолжения решения принцип: использовать на каждом шаге информацию о решении, полученную на предыдущем шаге. Для итерационного уточнения решения он применял метод Ньютона-Рафсона, но возможна реализация шаговых процессов по параметру с применением и других итерационных процессов, например модифицированного метода Эйлера.

Другую форму метода продолжения решения по параметру предложил Д.Ф. Давиденко [31, 32] (1953 г.). Он был первым, кто осознал процесс продолжения решения как процесс движения и применил к нему адекватный математический аппарат дифференциальных уравнений. Продифференцировав исходную систему нелинейных уравнений по параметру и учитывая исходное решение, он сформулировал задачу отыскания множества решений системы как задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Такой подход открыл возможность использования для построения решения различных и хорошо исследованных схем интегрирования начальных задач. Например, метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, методы Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и др. Эти схемы в рамках метода продолжения решения по параметру исследовались и использовались в статьях [33, 101, 102] и в целом ряде других работ.

Многие методы решения прикладных нелинейных задач можно понимать как частные случаи метода продолжения решения по параметру. Так, в механике твердого деформируемого тела известен метод последовательных нагружений, сформулированный В.З. Власовым и В.В. Петровым в 1959 г. в статьях [75, 76] на примере нелинейных уравнений Феппля-Кармана для прогиба пластин. Алгоритм этого метода является алгоритмом интегрирования уравнений продолжения методом Эйлера.

Рассмотренные формы метода продолжения решения по параметру предполагают, что в рассматриваемом интервале значений параметра определитель матрицы Якоби системы уравнений отличен от нуля. Использование метода в окрестности особых точек, где определитель обращается в нуль, и для обхода этих точек необходимо использовать прием смены параметра продолжения. В задачах механики такие смены параметров продолжения обычно приходится делать несколько раз. Таким образом, встает вопрос о выборе наилучшего параметра продолжения, при этом он должен обеспечивать системе уравнений наилучшую обусловленность. В [30, 89, 90] доказано, что наилучшим параметром продолжения является длина дуги кривой множества решений системы уравнений.

Целью настоящей работы является наиболее полное исследование прочности и устойчивости пологих ребристых оболочек, подкрепленных ребрами переменной жесткости.

В связи с этим ставятся следующие задачи исследования:

1 Разработка математического и программного обеспечения для исследования устойчивости ребристых пологих оболочек при переменной жесткости ребер.

2 Разработка алгоритмов исследования закритического поведения пологих ребристых оболочек.

3 Разработка программного обеспечения расчетов устойчивости пологих ребристых оболочек.

4 Проведение исследований напряжено-деформированного состояния и устойчивости пологих ребристых оболочек при переменной жесткости ребер и обоснование эффективности такого подкрепления.

5 Проведение исследований закритического поведения пологих ребристых оболочек.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1 Разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек при учете переменной жесткости ребер. Модифицирован метод конструктивной анизотропии, учитывающий сдвиговую и крутильную жесткости ребер. В модели учитывается геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.

2 Проанализировав несколько вариантов метода продолжения решения по параметру, был выбран наилучший параметр продолжения - длина дуги кривой множества решений. Разработан алгоритм исследования модели, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру, с использованием адаптивного выбора сетки. Алгоритм позволяет эффективно обходить особые точки, находить верхние и нижние критические нагрузки, местные и общие формы потери устойчивости, точки бифуркации.

3 Проведено исследование докритического и закритического поведения пологих оболочек, особых точек кривой «нагрузка - прогиб» и их классификация и бифуркационных проблем. По данному алгоритму разработана и реализована программа «DefShell: strength and stability of thin shells», позволяющая исследовать устойчивость пологих ребристых оболочек (свидетельство о регистрации в Реестре программ для ЭВМ № 2012612774 от 19.03.2012 г.).

4 Проведенные исследования устойчивости пологих ребристых оболочек показали, что для оболочек, подкрепленных ребрами постоянной высоты, наибольшие концентрации напряжений наблюдаются вблизи угловых точек и контуре ребер оболочки, а для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, по сравнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты, существенно снижается уровень максимальных напряжений и характер напряжений выравнивается.

Практическое значение работы состоит в том, что разработанная компьютерная программа для исследования прочности и устойчивости пологих ребристых оболочек может быть использована в проектных организациях, научных исследованиях и учебном процессе. Результаты работы внедрены в отчет по проекту №2.1.2/6146 «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 г.г.)», в отчет по проекту №2.1.2/10824 «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2011 г.г.)» и в учебном процессе. Полученные результаты по деформированию оболочки при подкреплении ее ребрами переменной высоты использованы при расчете и проектировании покрытий и перекрытий большепролетных сооружений в проектно-конструкторском бюро «Ремарк».

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1 Математическая модель деформирования пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, сводящая оболочку дискретно-переменной толщины к оболочке непрерывно-переменной толщины, с учетом геометрической нелинейности, поперечных сдвигов, сдвиговой и крутильной жесткости ребер.

2 Алгоритм исследования модели, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру, позволяющий исследовать прочность и устойчивость подкрепленных оболочек, их закритическое поведение, бифуркационные проблемы, находить верхние и нижние критические нагрузки.

3 Результаты исследования закритического поведения пологих ребристых оболочек, анализ их особых точек.

4 Результаты исследования напряженно-деформированного состояния и устойчивости пологих оболочек, подкрепленных ребрами постоянной и переменной высоты.

Достоверность научных положений обеспечивается сравнением результатов тестовых задач с результатами, полученными другими авторами по другим алгоритмам, а также качественным согласованием с результатами эксперимента.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 67 и 68 научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ (3-5 февраля 2010 г., 2-4 февраля 2011 г.), на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (3-6 июня 2010 г., Самара), на десятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (9-11 декабря 2010 г., Санкт-Петербург), на XVII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (14-18 февраля 2011 г., Москва).

Полностью диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики под руководством д.т.н. Кирьянова Б.Ф. в Новгородском государственном университете, на межкафедральном научном семинаре факультета Городского строительства и жилищно-коммунального хозяйства СПбГАСУ, на 98 заседании объединенного семинара СПбГУ и ПГУПС «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (Computer Methods in Continuum Mechanics).

Публикации. По результатам исследования опубликовано 6 статей, публикаций по перечню ВАК - 3.

Структура и объем работы. Текст диссертации изложен на 122 страницах, состоит из введения, списка основных обозначений и сокращений, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

4.5 Выводы

Проведенные исследования устойчивости пологих ребристых оболочек показали, что для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, по сравнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты, существенно снижается уровень максимальных напряжений (до 25%) и характер напряжений выравнивается. При этом величина критической нагрузки несущественно уменьшается.

Концентрация напряжений вблизи угловых точек и точек контура оболочки, характерная для неподкрепленных оболочек или подкрепленных ребрами постоянной высоты, при подкреплении оболочки ребрами переменной высоты существенно понижается, что будет увеличивать нагрузку, при которой оболочка теряет устойчивость.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек при учете переменной жесткости ребер. Использован метод конструктивной анизотропии, учитывающий сдвиговую и крутильную жесткость ребер. Учитывается геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.

Разработан алгоритм исследования модели, основанный на методе продолжения решения по параметру с учетом наилучшей параметризации. Алгоритм позволяет находить верхние и нижние критические нагрузки и точки бифуркации. Разработана программа для ЭВМ «DefShell: strength and stability of thin shells», реализующая этот алгоритм, свидетельство о регистрации в Реестре программ для ЭВМ № 2012612774 от 19.03.2012 г.

Разработана методика исследования особых точек, которая позволяет определять точки, соответствующие критическим нагрузкам, при которых оболочка теряет устойчивость, и точки бифуркации, в которых возможен переход на другую ветвь равновесных состояний.

Были произведены исследования пологих оболочек с различными параметрами, исследовано докритическое и закритическое поведение гладких пологих оболочек. Показано, что для тонких оболочек большой кривизны характер распределения прогибов и особенно напряжений по полю оболочке имеет сложный характер.

Проведенные исследования устойчивости пологих ребристых оболочек показали, что для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, по сравнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты, существенно снижается уровень максимальных напряжений (до 25%) и характер напряжений выравнивается.

1. Абровский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Под ред. Н.П. Абовского. М.: Наука, 1978.-228 с.

2. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояния равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекритическо стадии // ПММ. 1949. - Т. 13, №1.-С. 95-107.

3. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. Т. 2. Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1980. - 368 с.

4. Андреев Л.В., Ободан Н.И., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -208 с.

5. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. -М.: Высшая школа, 1968. 512 с.

6. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. С.Петербург: Издание морского министерства. Ч. 1, 1912. - С. 1-330; Ч. 2, 1914. - С. 331-640.

7. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. М.: Гостехиздат, 1953. - С. 101-308.

8. Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.

9. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. -278 с.

10. Васидзе К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности.: Пер. с англ. М.: Мир., 1987. - 542 с.

11. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения теории оболочек. -М.: Наука, 1982.-286 с.

12. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // ПММ. 1944. - Т. 8, вып. 2. - С. 109-140.

13. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М. -Л.: Гостехиздат, 1949. - С. 475-478.

14. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.

15. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

16. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 376 с.

17. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек // Изв. АН СССР. Сер. Математика. Т. 19. 1955. № 4. С. 203-206.

18. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Тр. II Всес. съезда по теоретической и прикладной механике. (Москва, 1964). Обзорные доклады, вып. 3. Механика твердого тела. М.: Наука, 1966.-С. 116-136.

19. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 5., С. 894-901.

20. Галишникова В.В. Унифицированный и общий подход к геометрически нелинейному расчету строительных конструкций // Вестник Волгогр. гос. архит.-строит. ун-та. сер.: Техн. науки. 2006. вып. 6(20). С. 42— 66.

21. Галишникова В.В. Продолжение решения по длине дуги в геометрически нелинейном расчете конструкций по МКЭ // Математические методы в технике и технологиях : сборник тр. XXI междунар. науч. конференции / СГТУ. Саратов, 2008. Т. 4. с. 191—195.

22. Гольденблатт И.И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. М. : Гостехиздат, 1955.

23. Гольденблатт И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969.

24. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953.

25. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 3. С. 81-92.

26. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-359 с.

27. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные прогибы, устойчивость и закритическое поведение тонких пологих оболочек. М.: МГТУ «МАМИ», 2004. -162 с.

28. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. О методе непрерывного продолжения решения по параметру // Доклады РАН. 1994. Т. 335. №5. С. 582585.

29. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Уточнение решения нелинейных уравнений в окрестности точки бифуркации // Пространства жизни. К 85-летию Б.В. Раушенбаха. М.: Наука, 1999. С. 192-199.

30. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. - 232 с.

31. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. 88. №4. С. 601-602

32. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Укр. Мат. Журн. 1953. Т. 5. №2. С. 196-206.

33. Давиденко Д.Ф.О применении метода вариации параметра к построению итерационных формул повышенной точности для определения численных решений нелинейных интегральных уравнений // ДАН СССР. 1965. Т. 162. №3. С. 499-502.

34. Енджиевский Л.В. Нелинейные деформации ребристых оболочек. -Красноярск: Изд.-во Красноярск, ун-та, 1982. 295 с.

35. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: Труды ЦКТИ. Л., 1971. Вып. 88. - С. 46-70.

36. Жуковский Э.З., Шабля В.Ф. Оболочки двоякой кривизны в гражданском строительстве Москвы. -М.: Стройиздат, 1980. 113 с.

37. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филатов В.Н. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины. Волгоград: ВолгГАСА. 2001. -210 с.

38. Ильин В.П. Численные методы решения задач строительной механики: Учебное пособие / В.П. Ильин, В.В. Карпов, A.M. Масленников. -М.: Изд-во АСВ; СПб.: СПбГАСУ, 2005. 425 с.

39. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. JI.: Стройиздат. Ленигр. отд-ние, 1986. - 168 с.

40. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики: Учебное пособие. М.: Изд-во АСВ; СПб.: СПбГАСУ, 2005. - 425 с.

41. Калинин B.C., Постнов В.А. Основы теории оболочек. Л.: ЛКИ, 1974.-200 с.

42. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Л.: Физматгиз. 1962. - 708 с.

43. Карпов В.В. Способ улучшения решения, полученного методом последовательных нагружений // Волжский матем. сборник. Куйбышев, 1973. Вып. 15. С. 106-111.

44. Карпов В.В. О погрешности линеаризации при расчете гибких оболочек // Механика деформируемых сред: Сб. статей. Вып. 4. Саратов, 1976. С. 102 -108.

45. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. Изд-во АСВ; СПбГАСУ. М.; СПб., 1999. -154 с.

46. Карпов В.В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек. -СПб.: СПбГАСУ, 2006.-330 с.

47. Карпов В.В., Баранова Д.А., Беркалиев Р.Т. Программный комплекс исследования устойчивости оболочек. СПб.: СПбГАСУ, 2009. - 102 с.

48. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальников А.Ю. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования. М.: Изд-во АСВ; СПб.:СПбГАСУ, 2002. - 420 с.

49. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР, сер. МТТ. 1975. №5.-С. 189-191.

50. Карпов В.В., Рябикова Т.В. Комплексный расчет элементов строительных конструкций в среде МАТЪАВ: учеб. пособие / СПбГАСУ. -СПб., 2009.- 136 с.

51. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций: учеб. пособие / СПбГАСУ. СПб., 2009. - 75 с.

52. Карпов В.В., Филатов В.Н. Закритические деформации гибких пластин в температурном поле с учетом изменения свойств материала от нагревания // Труды VII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. М.: Наука, 1970. - С. 276-279.

53. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы: Пер. с англ. М.: Мирб 1982, - 216 е., ил.

54. Каюк Я.Ф. Концентрация напряжений в тонких оболочках при больших прогибах // Концентрация напряжений. Т. 2. Киев: Наукова думка, 1968.

55. Климанов В.И., Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985.-291 с.

56. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1974. - 831 с.

57. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

58. Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения и наилучшая параметризация. М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2010.- 160 с.

59. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ. Т. 4. 1940. Вып. 2.

60. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. Л., 1948. - 28 с.

61. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. М.: МИР. 1969. - 582 с.

62. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. Киев; Донецк: Вища школа, 1979. - 152 с.

63. Милейковский И.Е., Гречанинов И.П. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. -М.: Стройиздат, 1969.Вып. 12.-С. 168-176.

64. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций. М.: Стройиздат. 1989. - 200 с.

65. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. -Л.: Изд. ЛГУ, 1980. 196 с.

66. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.

67. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

68. Муштари Х.М. Некоторые обощения теории тонких оболочек // Изв. физ.-мат. о-ва при Казанском ун-те. 1938. - Т. 11, серия 8. - С. 71-150.

69. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с применениями к решению задач устойчивости упругого равновесия // ПММ.-1939. Т. 2, вып. 4. - С. 439-456.

70. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957. -431 с.

71. Муштари Х.М. К вопросу обоснования теории тонких пологих оболочек // Прикладная механика. 1969. - Т. 5, вып. 1. -С. 109-113.

72. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.; Л.: Гостехиздат, 1948., 59 с.

73. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромиздат, 1962. -431 с.

74. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных пространственных конструкций. -М.: Машиностроение. 1966.

75. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Научн. докл. высшей школы. Строительство. 1959. №1. С. 27-35.

76. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. -119 с.

77. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука., 1988.-712 с.

78. Теребушко О.И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. -М.: Стройиздат, 1964. Вып. 9. С. 131-160.

79. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек. М.: Стройиздат, 1974. - 256 с.

80. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, Физматгиз, 1971. 807 с.

81. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М: Наука. Физматлит, 1995. - 320 с.

82. Томпсон Дж. M. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике: Пер. с англ. M.: Мир., 1985. - 254 е., ил.

83. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Издание 3-е, стереотипное. Спб.: Издательство «Лань», 2002. - 736 с.

84. Феодосьев В.И. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. // Труды VI всесоюзн. конф. По теории оболочек и пластин. М. : Наука, 1966.

85. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. -384 с.

86. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 280 е., ил.

87. Черных К.Ф., Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ., 2002.-388 с.

88. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Наилучший параметр продолжения решения // Доклады РАН. 1994. Т. 334. №5. С. 566-568.

89. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация (в прикладной математике и механике). М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 224 с.

90. Якушев В.Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 2004. - 276 с.

91. Abbott, J. P. An Efficient Algorithm for the Determination of certain Bifurcation Points // J. Comp. Appl. Math. 1978, № 4. Pp. 19-27.

92. Chien Wei-Zang. The intrinsic theory of thin shells and plates // Quart. Appl. Math. 1943. -V. 1, № 1. - P. 297-927.

93. ChienWei-Zang. The intrinsic theory of thin shells and plates // Quart. Appl. Math. 1944. - V. 2, № 1-2. - P. 120-135.

94. Donnell L. Stability of thin-walled tubes under torsion // Nat. Adv. Corn. forAeron. Per. 1934. - P. 479.

95. Galishnikova V.V., Pahl P.J. A general method for the geometrically nonlinear analysis of structures // Asian Journal of Civil Engineering (Building and Housing). 2006. Vol. 7, No. 4. Pp. 411—428.

96. Joss, G. Joseph D. Element Stability and Bifurcation Theory. Springer. Berlin, Heidelberg, New-York. 1980.

97. Keller, H.B., Antman, S.A. Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems. W. A. Benjamin, New York, 1969.

98. Kisner W. A numerical method for finding solutions of nonlinear equations // SIAM J. Appl. Math. 1964. V. 12. P. 424-428.

99. Kleinmichel H. StetigeAnaloge und Iterationsverfaher fuer nichtlinear Gleichungen in Banachraeumen // Math. Nach. 1968. V. 37. P. 313-314.

100. Lahaye M.E. Unemetode de resolution d'unecategorie d'equations transcendentes // Compter Rendushebdomataires des séances de L'Academie des sciences. 1934. V. 198. № 21. P. 1840-1842.

101. Reissner E. On the theory of thin elastic shells // H. Reissner. Anniversary Volume: Contributions to Applied Mechanics / I.W. Edwards, Ann. Arbor. -Michigan, 1949. P. 231-247.

102. Reissner E. On axisymmetrical deformations of thin shells of revolution // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, 1950. P. 27-52.

103. Reissner E. On the equations for finite symmetrical deflections of thin shells revolution // Progress in Applied mechanics the Prager Anniversary Volume, 1963.-P. 171-178.

104. Reissner E. On the equations of non-linear shallow shell theory // Studies Appl. Math., 1969.-V. 48.-P. 171-175.

105. Reissner E. A note on generating generalized two-dimensional plate and shell theories // J. of Appl. Math, and Phys. (ZAMP). 1977. - V. 28. - P. 633-642.