автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Пологие оболочки с вырезами как вариант оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах

На правах рукописи

РГВ од

Сальников Антон Юрьевич а. У 203О

ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ С ВЫРЕЗАМИ КАК ВАРИАНТ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ

Специальность 05.13.- Теоретические основы математическою моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург

2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном архитектурно-строительном университете на кафедре прикладной математики и информатики

Научный руководитель - доктор технических наук, •

профессор Карпов В.В.

Научный консультант - кандидат технических наук,

доцент Игнатьев О.В.

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Тананайко О.Д., доктор технических наук, профессор Темно'в В.Г.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский институт

машиностроения

30

Защита диссертации состоится 2 марта 2000 года в 15 — час. на заседании диссертационного совета К. 063.31.06 в Санкт-Петербургском государственном архитектурно-строительном университете по. адресу: 198005, г. Санкт-Петербург, ул. 2-я Красноармейская, 4, ауд. 505^.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан 27.01.2000 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физико-математических наук, доцент ¿7}/у*~^^^ /Фролькис В.А./

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Тонкостенные оболочечные конструкции находят большое применение в различных областях техники — самолетостроении, судостроении, машиностроении и строительстве. Оболочки могут быть подкреплены ребрами жесткости'или по технологическим причинам ослаблены вырезами. Если применять для расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости оболочек с вырезами (сквозными) известны^ уравнения равновесия для сплошных оболочек, то необходимо кроме краевых условий на краю оболочки задавать еще краевые условия на краю вырезов. При этом область интегрирования уравнений равновесия будет многосвязной, что вызывает определенные сложности при решении таких задач. Для некоторых упрощенных задач в линейной постановке удается с помощью конформного отображения областей свести краевую задачу для многосвязной области к краевой задаче для односвязной области. Еще большая сложность возникает при решении задач устойчивости для оболочек, имеющих вырезы и подкрепленных ребрами жесткости, в.том числе подкрепленных ребрами жесткости перфорированных оболочек.

Разработка математической модели для оболочек с вырезами на основе подхода к такой оболочке, как оболочке ступенчато-переменной толщины с учетом геометрической нелинейности и получение уравнений равновесия, в которые входят краевые условия на границе вырезов, и, следовательно, при их решении будут выполнятся является актуальной задачей.

Цель диссертации состоит в

- разработке математической модели для пологих оболочек с вырезами (сквозными или нет) в виде краевой задачи для односвязной области с учетом выполнения краевых условий на краю_ выреза (свободный край);

- разработке математической модели для перфорированных оболочек, в частности, подкрепленных ребрами жесткости;

- исследовании устойчивости оболочек с вырезами различной формы (сквозными или нет), в том числе и подкрепленных ребрами жесткости.

Новыми научными результатами и основными положениями, выносимыми на защиту являются:

- подход к оболочкам с вырезами (сквозными или нет), как оболочкам ступенчато-переменной толщины;

- вывод уравнений равновесия для пологих оболочек с вырезами с учетом

геометрической нелинейности, в которые входят краевые условия на краю выреза (свободный край);

- уравнения равновесия в перемещениях для оболочек с вырезами для модели ' Кирхгофа-Лява, уравнения в перемещениях для модели Тимошенко—Рейснера, уравнения в перемещениях для перфорированных оболочек;

- исследование устойчивости оболочек с вырезами (сквозными или нет) при различном виде вырезов, перфорированных оболочек, оболочек с вырезами, подкрепленных ребрами жесткости. >

Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений равновесия, использованием для решения полученных уравнений детально -изученных методов и обоснованием точности выполнения краевых условий на границе вырезов. Сравнение с результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорит о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов.

Разработанное математическое и программное обеспечение расчетов пологих оболочек с вырезами при конечных прогибах может найти применение в'научно-исследовательских, проектных и конструкторских организациях при расчетах устойчивости деталей машин, конструкций и сооружений оболочечного типа.

Все, полученные в работе результаты численного эксперимента, приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в'практике проектирования конструкций.

Результаты работы нашли внедрение в АО "Саратовский авиационный завод".

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на 56-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (февраль 1999 г.), на 53-й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (май 1999 г.), на IV международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте" (СПГУПС, июнь 1999 г.). .

Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры строительной механики Волгоградской архитектурно-строительной академии под руководством академика д.т.н., профессора В. А. Игнатьева (сентябрь 1999 г.), на научном семинаре кафедры вычислительной математики Санкт-Петербургского государ-

ственного архитектурно-строительного университета под.руководством д.ф.-м'.н., профессора Б.Г. Вагера (ноябрь 1999 г.).

Публикации Основное содержание диссертации опубликовано в четырех научных статьях.

" Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 101 наименования и трех приложений. Работа изложена на 105 страницах машинописного текста, иллюстрирована 11 рисунками. В приложение вынесены коэффициенты полученных в работе уравнений и программа расчета на ЭВМ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, сформулирована цель исследований, научная новизна, практическая ценность, отражено краткое содержание диссертации.

Исследованию оболочек, ослабленных вырезами, посвящены работы Борзых Е.П., Григолюка Э.И., Гузя А.Н., Каюка Я.Ф., Кривошеева Н.И. и Корни-шина М.С., Космбдамианского A.C., Малинина A.A., Пирогова И.М., Преображенского И.Н., Савина Г.Н., Фильштинского JI.A., Чсрнмха К.Ф., Чернышенко И.С., Чехова В.Н., Шнеренко К.Н., Броутсна Ф. И., Олмроса Б. и др.

Традиционно в линейной постановке задачи для оболочек с вырезами (сквозными) рассматриваются так: НДС таких оболочек представляется как сумма НДС оснопнош состояния (без вырезов) и возмущенного (вызванного наличием вырезов). Основное состояние считается известным, а возмущенное носиг локальный хараюер, и для его описания пользуются теорией пологих оболочек. Локальность возмущенного НДС позволяет из всех решений выбран, те, которым соответствуют перемещения и напряжения, убывающие по модулю при удалении от зоны концентрации. Для удобства удовлетворения граничным условиям на границе вырезов переходят к таким криволинейным координатам на срединной поверхности оболочки, чтобы граница вырезов стала одной из координатных линий. При этом можно воспользоваться аппаратом конформных отображений.

При рассмотрении задачи устойчивости оболочек с отверстиями различают два класса задач: когда размеры отверстий одного порядка с минимальными внешними размерами оболочки и когда размеры отверстий значительно меньше минимальных внешних размеров оболочки. Если отверстия малы, то концентрация напряжений у контура отверстия не влияет на общую потерю устойчивости оболочки. .

Как следует из обзора литературных источников в основном рассматриваются цилиндрические оболочки с отверстиями в линейной постановке.

Исследования НДС и устойчивости оболочек, имеющих большие отверстия вызывают не малые сложности, т.к. задачу нужно решать для многосвязной области (кроме граничных условий на кромке оболочки должны быть заданы еще граничные условия на краю вырезов).

Для нелинейных задач появляются дополнительные сложности.

Исследование на прочность и устойчивость перфорированных пластин и оболочек, т.е. пластин и оболочек, ослабленных большим количеством отверстий, весьма важны в связи с развитием энергетических установок, химической аппаратуры, строительной техники. Большое значение в этой области имеют работы Григолюка Э.И. и Фильштинского J1.A., Гузя А.Н., Космодамианского A.C., Пир'огова И.М., Преображенского И.Н., Савина Г.Н. и др.

Среди численных методов решения линейных задач несимметричной деформации оболочек вращения широкое применение получили так называемые матричные методы: метод конечных элементов (МКЭ), методы блочной итерации или матричной прогонки, методы сведения к»задаче Коши и др.

Наиболее часто применяется конечно-разностный метод, который часто является единственным средством для получения приближенного решения.

Решение задач устойчивости для оболочек, ослабленных отверстиями, в геометрически нелинейной постановке приводится в работе Кривошеева Н.И. и Корнишина М.С. Решение получено методом конечных разностей (МКР).

В настоящее время наиболее подробно разработан численный метод решения задач устойчивости оболочек с прямоугольными вырезами, который представляет собой комбинацию вариационного подхода с двумерной конечно-разностной схемой.

Из анализа работ по теме диссертации становится ясным, что задачи концентрации напряжений и устойчивости для оболочек с отверстиями решены в основном для цилиндрических оболочек, причем в упрошенной постановке (без учета нелинейных факторов и зачастую при осесимметричном подходе).

Практически отсутствуют решения задач в геометрически нелинейной постановке для оболочек, имеющих не сквозные вырезы.

Таким образом, есть необходимость в совершенствовании математических моделей оболочек с вырезами и методов исследования их НДС и устойчивости.

Недостаточность исследований оболочек с вырезами и необходимость в таких исследованиях в связи с применением во многих областях техники пластин и оболочек, содержащих технологические вырезы, в том числе подкрепленных ребрами жесткости, подтверждают актуальность темы диссертации.

В первой главе рассматривается модель пологой оболочки с вырезами, которая является частным случаем модели оболочек ступенчато-переменной толщины, разработанной В.В. Карповым.

Рассматриваются прямоугольные в плане пологие оболочки с вырезами, допускающие прогибы соизмеримые с толщиной (Рис. 1).

Рис. 1

Срединная поверхность оболочки толщиной И принимается за коордшкгшую. Оси Ох, Оу направлены по линиям главных кривизн оболочки, ось Ог направлена ортогонально срединной поверхности в сторону вогнутости оболочки.

Наличие прямоугольных вырезов со сторонами параллельными осям координат и их расположение задаются функцией

П Ш _

Н(х,у) = -НХ1б(х-х^)5(у-у,). ¡=и=1 .

Здесь 5(х- х^ =,и(х-а^)- и(х-и 8(у-у() = и(у-с;)~ и(у — с1;) - разности двух соответствующих единичных функций; ш, п - число вырезов в направлении

Г; Г: Г:

осей Ох и Оу соответственно; aj = Xj-■^-, bj = Xj+y, —,

= У\ П _ ширина вырезов в направлении осей Ох и Оу соответственно.

Для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочки используется теория гибких пологих оболочек. Деформации удлинения ех, и

сдвига е точек срединной поверхности принимаются в виде

5и . 1 ( Злу

ех =--+ — —

дх 2 V дх

■ ду

--+ -

у ду у '2\.ду) '

1Г 5\у

Эи + Эу ху сЗу дх дх ду ' где и, V, - перемещения точек срединной поверхности оболочки вдоль осей Ох, Оу, Ог соответственно; кх, ку - главные кривизны оболочки вдоль осей Ох, Оу соответственно. . '

Деформации в слое, отстоящем на г от срединной поверхности оболочки для модели Кирхгофа-Лява имеют вид

г д2™ 2 _ _ Э2УУ г д2\у ,

Напряжения, действующие в произвольной точке оболочки, выполненной из изотропного материала, исходя из закона Гука, вычисляются по формулам

Е / , 7\ _ Е (_г . .- Е

(2)

= (£х + К), °у = +

'ху .

- - " ' 2(1+ Здесь Е, Ц. - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки.

Ь Ь „

Интегрируя напряжения (2) по г в пределах от - — до — + Н, получим усилия

и моменты, приходящиеся на единицу длины сечения и приведенные к срединной поверхности оболочки

Ых = N"(1 - А), Му = N^(1 - А),Мху = М°у (1 - А),

Мх = М°(1-А),Му=М°(1-А),Мху = М°у(1-А), ' (3)'

=0,^,, N° =02Ь82)'№ху =012Ьеху,

К = О,^,, М° = С2 М°ху = С_12 ^ч/12,

где

А= ЁЕ8(х-х^(у-уО; Е, =Ех + цеу, Е2 =£У + Ц£Х,

¡=и=1 .

VI =-

д2у} й2\\Л

ах2

зу2

у2

.¥,2 =-2

а2\у

дхду'

Е Е

в. =0, =-г-, С|т —-.

" 1-ц2 2(1 + ц)

Функционал полной энергии деформации оболочки с вырезами будет иметь

вид

аЬ

Э = 71|[КЕХ+1Ч,УЕУ+МХУЕ*

• м.

00

а2уу

а?

-м

Э*"\у

-2М„

д2ху ЭхЭу

-2РХ11-2Р у-2яж]с!х(1у.

(4)

Здесь Рх,Ру,Я - компоненты внешней нагрузки вдоль осей Ох, Оу, Ог соответственно. Поперечная нагрузка я на месте вырезов не прикладывается, т.е. Я = я, (1 - А). В дальнейшем примем Рх = Ру = 0.

Найдем первую вариацию функционала (4) и приравняем ее нулю

оЭ=Л

Эи

Э\у _ Э\у

Эх

Эх Эх

N. 5--к.5\у + —5— + N.. 5-—к„5\у +—5 —

.Эу

Эw . Эw

., , „ Ли „ Эу Э\У - Э\У Эw Э\У + N о — + о — + —5— + — 5-— 1 Эу Эх Эх Эу Эу Эх

оу М„5

Эу Эу

ЭЧу Эх2

- М„5

Э2\у

» ,2 Оу

■2Мху5^-ЭхЭу

~Я§\У

dxdy = 0.

(5)

Теперь преобразуем вариационное уравнение (5) так, чтобы под знаком двойного интеграла не было вариаций от производных функций перемещений. Здесь возможны два варианта: проводить преобразование вариационного уравнения (5) не разбивая область Б: {О < х < а, 0 < у < Ь} на части с постоянной толщиной и предварительно область О разбить на части с постоянной толщиной, выделив участки с нулевой толщиной, т.е. вырезы. В первом случае получим уравнения равновесия

^ + = ^У | ^«У - р.

Эх Эу Эу дх

N.

к. +

Э уу

Эх2

+ N.

V

, . д2\\ ку +—е у • Эу2

„х, д2™ ■

+ 2^у-+

дхду

(6)

00

г

з2мх 52му 52м

• дх2 ду2 дхду. _ '

и естественные краевые условия на кромке оболочки.

Таким образом для расчета НДС и устойчивости оболочки с вырезами получена краевая задача для односвязной области.

Во втором случае уравнения равновесия будут как для гладких оболочек, но кроме краевых условий на кромке оболочки, получим краевые условия на границе вырезов

при х = а^х = Ь^

¿№Х6(У-У!) = 0, ¿№хуб(у-у;) = о, + •

¡=1 ¡=1 ¡=1ч с*

ду дх ду при y = ci,y = di

5(У-У0 = 0, 1М°х5(у-у,)=Ь, 1 = 1

(7)

.И м

о ¿XV

о 5М" ЭМ

+ N"—4--- + 2-

о ялло ху

\

' ду ду дх

- т п- (8)

5(х-х]) = 0, £М°5(Х-Х;) = 0. ^

г'

Полученная таким образом краевая задача - это задача для многосвязной области. •

Так как проводились эквивалентные преобразования одного и того же вариационного уравнения (5),'то и получающиеся при этом разные краевые задачи эквивалентны. Следовательно, краевые условия (7), (8) входят в уравнения (6), а значит и будут выполнятся автоматически при решении этих уравнений.

Задача расчета НДС и устойчивости оболочек с вырезами с помощью уравнений (6) существенно упрощается, т.к. это задача для односвязной области.

Если в уравнения (6) подставить выражения усилий и моментов (3) с учетом (1), то получим уравнения равновесия в перемещениях для оболочек с вырезами. После введения безразмерных параметров

у

а Ь Ь . I,2 1г и ^ ь ' 1 И '

р - А

г--^ они примут вид

ЕЬ

Ьи.1<М.>О5(и) + ь5.1О5.|О6(у) + Ц^):=0>

VI112-г|3(Т1) + ь1,8'19'1ш14 СV) + Ь6„ СW) = О,

12^(7, W) + L4(W) + V^•135 +

¿м —, ~__ахУ-ч __ _

+ 6 —+ 6 —Ш\Я','\У)+12Ц>У)+ гач

5г| ос, у '

+ У!^ + —У'|8137 + V—9'140 + 12(1 - |л2)Р .= 0. * д* ац *

В диссертации получены также уравнения в перемещениях с учетом поперечных сдвигов.

Пели оболочка ослаблена большим числом регулярно расположенных вырезов (перфорированные оболочки), то при решении задач приведения можно использовать схему метода конструктивной анизотропии, "размазав" нулевую жесткость вырезов по всей оболочке, как это делалось О.В. Игнатьевым для оболочек часто подкрепленных ребрами. При этом нужно принять

II т г Г:

¡=и=1 аЬ

Критерий применимости указанной схемы был также разработан О.В. Игнатьевым.

Теперь в усилиях и моментах (3) жесткостные характеристики оболочки будут иметь одинаковый постоянный сомножитель (1 — Ар), который можно вынести за скобки в уравнениях равновесия (6). В результате получим уравнения равновесия в виде

дх ду ду дх

х.о, хтО, дГхгО^ >т0 3 (. ,о о

+ > у + ч ~дх+ у ~ду) + ду I "^ГТ у "Зху + < 10>

дх2 • ду2 дхду 1-Ар

Таким образом, уравнения равновесия для перфорированных оболочек получаются такими же как для сплошных оболочек, но нагрузка по сравнению с заданной

__1_

Я увеличивается на величину 1 _ д

Лр

В работе также показано, что уравнения (10) можно использовать и для исследования ребристых оболочек, ослабленных большим числом вырезов, но тогда усилия и моменты с индексом "О" должны включать в себя не только усилия и моменты, действующие в обшивке, но и в ребрах.

Воч второй главе описана методика решения полученных в первой главе краевых задач для дифференциальных уравнений.

Система (9) - это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных восьмого порядка, коэффициенты которой содержат единичные функции, дельта-функции и их первые производные.

Применяя метод последовательных нагружений (МПН), сводим систему (9) к последовательному решению (на каждом ¡-м этапе нагружения) систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных (индекс ! опущен)

ЬУ.104Д05(11) + 15.105.10б(у)1+15А?(иг)= ^

ь125,И2Д13(и) + ь18,19.113.1Н(у) + ьбЛ11(^=Ь) ■ .

+ 6|^Е2 (Ш,+ иг) + (Ш, Ш) + 6 ^Е>А5(ИГ, и?) + (!!.)

от)

Здесь ■

— ■ Ь —• ь '-1 I. _• 1,

и' = 1ик, V' = W' = 1>\ Р' = Ерк .

к = 1 к = 1 к=1 . к = 1

Для решения линейных систем дифференциальных уравнений (1*1) применяем метод Бубнова - Галеркина. В соответствии с методом примем

u = £u(I)x1(I)yl(I), v = £ v(l)x2(I)y2(l), i=i • 1=1

w= £>(1)хЗ(1)уЗ(1), U= ZUl(I)xl(I)yl(I),. (12)

1=1 1=1

V= IVl(I)x2(I)y2(I), W= £Wl(I)x3(I)y3(I), i=i

где

U1(D= Z"kd). V1(I)= 5>k(I), wi(I)= Iwk(I) - накопленные к i-му этапу k=l k = l k = l

нагружения численные значения параметров разложения перемещений в ряды;

u(I), v(I), w(I) - искомые численные значения параметров разложения приращений

перемещений на i-том этапе нагружения в ряды; xl(I), х2(1), хЗ(1) - известные

аппроксимирующие функции переменной удовлетворяющие при ¡|=0, ^=1

заданным краевым условиям; у 1(1), у2(1), уЗ(1) - известные аппроксимирующие.

функции переменной л, удовлетворяющие при т|=0, Я=1 заданным краевым

условиям. '

Подставим (12) в (11), первое уравнение (11) умножим на xl(J)yl(J), второе-

на x2(J)y 2(J), третье - на x3(J)y 3(J) и проинтегрируем полученные равенства по с,

и г| (0<4<1, 0<i|< 1). В результате получим систему линейных алгебраических

уравнений относительно u(l), v(I), w(l) для каждого этапа нагружения

N

S

1=1

N

I

1=1

N

I

1 = 1

u(I)cl(I,J) + v(I)c2(I,J) + w(I)| c3(I,J) + £Wl(k)c4(k,U)

k=l

u(I)c5(I,J) + v(I)c6(I,J) + w(I)[ c7(I,J)+ |;wi(k)c8(k,I,J)

k = l '

= 0,

= 0,

u(I)[c9(I,J)~ lWl(k)clO(k,l,J)J + v(I)|cll(I,J)- (13)

N, ^ í N -- XWl(k)cl2(k,I,J) +w(I) cl3(I,J)- ¿(Ul(k)cl4(k,I,J) +

• k=l У V k=!

+ Vl(k)cl5(k,I,J) + Wl(k)(cl6(k,I,J) + £ Wl(L)cO(L))

L = 1

= HP1-C17(J)

Система (13) решается методом Гаусса.

В этой главе описана программа решения задач устойчивости для оболочек с вырезами, написанная на языке ПЛ/1 для ЕС-ЭВМ.

В третьей главе приведены результаты исследования различных оболочек с вырезами. В первую очередь была проанализирована точность и достоверность получаемых результатов. Точность решения нелинейной задачи МПН зависит от величины выбранного шага р. Для рассматриваемых видов оболочек В.В. Карповым было показано, что с достаточной степенью точности можно взять р=25. Количество членов разложения перемещений в ряд N, необходимое ддя достижения достаточной точности решения задачи, можно проанализировать на примере выполнения краевых условий на границе выреза, например, выполнения условия

мп=о

. а2М М„ = у

4 ЕЬ4

. Для этого рассмотрим квадратную пластинку со стороной

а=60Ь, шарнирно-неподвижно, закрепленную по контуру й находящуюся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. В центре пластинки находится квадратный вырез со стороной 0,25а.

На рис. 2 представлены графики "нагрузка р - прогиб в точке А"

(рис. 2, а), эпюры напряжений °ч

а2а

при г=0 (рис.2,6) и моментов

Мп (рис. 2, в) при р = 75 в сечении £=0,5. Кривые с номером 1 соответствуют пластинке с вырезом, а с номером 0 - без выреза. Индекс соотвегствует числу N.

5"

Рис. 2 15

Как видно из рис. 2 с достаточной степенью точности можно ограничится

N=16 (так как М^ «0), хотя чем больше вырезов, тем большее значение N нужно

брать. Результаты расчета для линейного варианта задачи хорошо согласуются с результатами, полученными с помощью программного комплекса СОБМОБ/М, основанного на использовании метода конечных элементов. Для оболочек число N приходится брать еще большим, чем для пластинок. Большое число N нужно брать для определения напряжений, а при решении задач устойчивости можно ограничится N=16.

Следует заметить, что здесь и в дальнейшем р представляет собой безразмерное значение интенсивности нагрузки (на единицу площади), а не суммарную нагрузку по всей площади оболочки. В данном примере суммарная нагрузка для сплошной оболочки будет больше, чем для оболочки с вырезом, так как на вырезе нагрузка не прикладывается.

Рассмотрим устойчивость квадратных в плане пологих оболочек со стороной а = 60Ь, шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру и находящихся под действием равномерно распределенной поперечной-нагрузки. Радиусы кривизны оболочки Л, - К2 =225Ь. Оболочки ослаблены различным числом квадратных вырезов. Размеры вырезов и их расположение показаны на рис. 3. Некоторые оболочки со стороны вогнутости подкреплены ребрами жесткости высотой ЗЬ и шириной 2Ь, их располо+жение показано также на рис. 3 (варианты 6, 8-10).

На рис. 4 представлены графики "нагрузка р - прогиб \у в точке А" и эпюры

' Ь

напряжений оп при р=125,г|=0,5,2=-— вдоль оси Номер кривой соответствует

номеру варианта оболочки, изображенного на рис. 3.0- означает, что оболочка сплошная (без вырезов), индекс у номера означает число подкрепляющих оболочку ребер.

3)

С)

«1 Î ■ i ISk ï u Bt

л

1' Ï I

D

Hi a □ D □ Г If, □ D □ a í

□ D p D tí a P a

□ P П a □ a □

D □ □ D Q □ 0 a

1 '1 1

ih a h □ i

-tr n P" и п

о p с a

I

H

ь а □ □

□ а Ü

d а D □

□ □ D □

1

ik

lh.

Рис. 3

1

S

о

о

Рис. 4

Пунктирные кривые и кривые с индексом р будут пояснены ниже. Как бледует из рис. 4 (кривые 0, 1 - 5, 7) наиболее опасны вырезы в центре оболочки, т.к. она теряет устойчивость раньше,, чем оболочка с аналогичными по площади вырезами, расположенными не в центре. Чем больше площадь вырезов, тем раньше оболочка теряет устойчивость.

Постановкой даже слабых ребер около выреза можно существенно нейтрализовать его ослабляющее действие.

На рис. 4 кривая 5 соответствует оболочке, имеющей в центре квадратный вырез со стороной 0,25а, а кривая 6 - оболочке, у которой такой вырез подкреплен четырьмя ребрами. Эта кривая (6) близка к кривой О4, которая соответствует сплошной оболочке (без выреза), подкрепленной такими же ребрами, и существенно отличается от кривой 5. Как видим, вблизи выреза наблюдается увеличение напряжений.

Для оболочек, ослабленных большим числом вырезов - перфорированных оболочек (варианты 7-10, рис. 3) были получены уравнения метода конструктивной анизотропии, когда нулевая жесткость вырезов "размазывалась" по всей оболочке. Расчеты показали, что решения, полученные для перфорированных оболочек с использованием метода конструктивной анизотропии, практически совпадают с темп, которые получаются при дискретном учете этих вырезов. На рис. 4 - это кривые 7 и 7Р. Индекс р говорит о том, что результат получен при "размазывании" вырезов но оболочке.

Как было показано ранее уравнения равновесия для перфорированных оболочек отличаются от уравнений равновесия сплошных оболочек (гладких или с ребрами) только числовым сомножителем у нагрузочного члена (уравнения (12)). Поэтому, зная зависимость прогиба V/ от нагрузки Р для сплошных оболочек, можно получить зависимость \У от нагрузки для перфорированных оболочек, уменьшив значение рна величину относительной площади вырезов,'т.е. приняв

Р, = Р(1- Ар). Для рассматриваемых в работе перфорированных оболочек (варианты 7-10 на рис. 3) 1-Ар =0,84. На рис. 4 пунктирные кривые получены для

соответствующих оболочек именно таким образом. Для оболочек без ребер сплошная кривая 7 и пунктирная кривая 7 практически совпадают.

Таким образом, для перфорированных оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, разработана сравнительно простая-методика исследования устойчивости (но не определения концентрации напряжений).

В четвертой главе рассматриваются пологие оболочки, ослабленные не сквозными вырезами как локально расположенными, так и расположенными по

всей длине (или ширине) оболочки. В этом случае расположение и глубина вырезов задаются функцией 1 • ■

л) ____п л т _ _

Н(х,у)=Х^5(х-хр+Х11'5(у-у1)-1111и5(х-х])5(у-у^. ¡=1 ¡=и=1

При этом Ь', И3, Ьи должны быть отрицательными и по модулю меньше Ь Усилия и моменты (3) теперь принимают вид

N. = С1((Ь+Р)£, + 8у1), Ыху =С12((Ь + Р)гху + 8М/|2),

МХ=С,

. Мху =С12

Г ь3 Л

(14)

_ Ь/2 + Н _ Ь/2 + Н _ Ь/2+Н где Р = |с1г, 5= \ гйг, 3 = \г2Аг-.

И/2 И/2 Ь/2

Аналогично можно записать выражения для Ыу, Му.

Для получения уравнений равновесия для таких оболочек нужно выражения (14) подставить в (6). И опять краевые условия на краю вырезов (свободный край) будут входить в уравнения равновесия и при их решении выполняться. Для решения полученных уравнений применялась та же методика, что и для уравнений (9).

Проводилось сравнение результатов, полученных по принятой в работе методике и на основе метода конечных элементов (МКЭ).

Проанализирована устойчивость оболочек при различном числе локально расположенных вырезоь и вырезов, расположенных вдоль всей оболочки. Было показано, что наиболее опасны вырезы, расположенные с разных сторон оболочки. На рис. 5 представлены результаты расчета, графики "нагрузка Р - прогиб в центре оболочки" для квадратных в плане пологих оболочек, со стороной а=60Ь , радиусами кривизны И,=К2 =225Ь, шарнирно-подвижно закрепленных по контуру и находящихся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Оболочки ослаблены вырезами, расположенными от одного края до другого, глубиной 0,ЗЬ и шириной 12Ь.

р

2

Рис. 5

Номер кривой на рис. 5 соответствует виду ослаблений, показанному на этом же рисунке.

Как видно из рис. 5 наиболее опасны двусторонние вырезы, а вырезы со стороны выпуклости оболочки менее всего снижают критическую нагрузку.

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1. Для пологих оболочек, ослабленных вырезами, получена математическая модель в виде краевой задачи для односвязной области путем внесения в уравнения равновесия краевых условий на границе выреза (свободный край).

2. При этом получены уравнения равновесия в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява и в перемещениях для модели Тимошенко-Рейснера.

3. Показано, что точность выполнения краевых условий на границе вырезов зависит от точности решения полученных'краевых задач.

'4. Для перфорированных оболочек получены уравнения равновесия в перемещениях на основе метода конструктивной анизотропии, которые представляют собой уравнения для сплошных оболочек с увеличенной на постоянный сомножитель (зависящий от относительной площади вырезов) нагрузкой.

5. Показано, как, зная зависимость прогиба от нагрузки для сплошных оболочек, втом числе и подкрепленных ребрами жесткости, получить зависимость прогиба от нагрузки для перфорированных оболочек (тем самым решать задачи устойчивости для таких оболочек).

6. Исследования устойчивости оболочек с вырезами показали, что наиболее опасны вырезы в центре оболочки.

7. Постановкой даже слабых ребер около выреза можно существенно нейтрализовать ослабляющее действие выреза.

Основное содержание диссертации отражено в работах

1. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Модель пологой о.болочки с вырезами в виде краевой задачи для односвязной области // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Сб. трудов СПбГАСУ. 1999, С. 67-72.

2. Сальников А.Ю. Удовлетворение краевым условиям на краю выреза при рассмотрении оболочки с вырезами как оболочки ступенчато-переменной толщины // Доклады 56-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета. • СПбГАСУ. Ч. 1. 1999. С. 40-41. •

3. Сальников А.Ю. Устойчивость пологих оболочек с вырезами при конечных прогибах / Труды молодых ученых. 4.1. СПбГАСУ. - СПб. 1999! С. 19-23.

4. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальников А.Ю. Устойчивость перфорированных пологих оболочек, допускающих прогибы соизмеримые с толщиной // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте. Тезисы докладов, представленных на IV Международную конференцию. ПГУПС. СПб. 1999. С. 118-120.

Введение.

Глава 1. Основные соотношения и дифференциальные зависимости для пологих оболочек с вырезами при конечных прогибах.

1.1. Основные соотношения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины.

1.2. Оболочки, ослабленные вырезами.

1.3. Два варианта краевых задач для оболочки с вырезами.

1.4. Уравнения равновесия для оболочек с вырезами в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява.

1.5. Уравнения равновесия для оболочек с вырезами в перемещениях с учетом поперечных сдвигов.

1.6. Уравнения равновесия в перемещениях для перфорированных оболочек.

1.7. Выводы.

Глава 2. Методика решения уравнений равновесия для оболочек с вырезами.

2.1. Линеаризация уравнений равновесия методом последовательных нагружений.

2.2. Сведение краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных к системе линейных алгебраических уравнений.

2.3. Программа расчета на ЭВМ.

2.4. Выводы.

Глава 3. Исследование устойчивости оболочек со сквозными вырезами.

3.1. Выбор числа приближений в методе Бубнова-Галеркина для обоснования точности полученных решений.

3.2. Устойчивость оболочек, ослабленных различным числом локально расположенных вырезов.

3.3. Устойчивость перфорированных оболочек.

3.4. Оболочки, подкрепленные по краям вырезов ребрами жесткости.

3.5. Выводы.

Глава 4. Пологие оболочки, ослабленные не сквозными вырезами.

4.1. Расчетная схема для пологих оболочек, ослабленных не сквозными вырезами.

4.2. Сравнение результатов расчета пластинки с вырезами, полученных на основе разных методик.

4.3. Оболочки, ослабленные пересекающимися и локально расположенными вырезами.

4.4. Оболочки, ослабленные различными вырезами, расположенными вдоль всей оболочки.

4.5. Выводы.

Тонкостенные оболочечные конструкции находят большое применение в различных областях техники - самолетостроении, судостроении, машиностроении и строительстве. Оболочки могут быть подкреплены ребрами жесткости или по технологическим причинам ослаблены вырезами. Если применять для расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости оболочек с вырезами (сквозными) известные уравнения равновесия для сплошных оболочек, то необходимо кроме краевых условий на краю оболочки задавать еще краевые условия на краю выреза. При этом область интегрирования уравнений равновесия будет многосвязной, что вызывает определенные сложности при решении таких задач. Для некоторых упрощенных задач в линейной постановке удается с помощью конформного отображения областей свести краевую задачу для многосвязной области к краевой задаче для односвязной области. Еще большая сложность возникает при решении задач устойчивости для оболочек, имеющих вырезы и подкрепленных ребрами жесткости, в том числе и подкрепленных ребрами жесткости перфорированных оболочек.

Разработка математической модели для оболочек с вырезами на основе подхода к такой оболочке, как к оболочке ступенчато-переменной толщины с учетом геометрической нелинейности и получение уравнений равновесия, когда краевые условия на краю вырезов входят в уравнение равновесия и, следовательно, при их решении будут выполнятся, является актуальной задачей.

Исследованию оболочек, ослабленных вырезами, посвящены работы Борзых Е.П., Григолюка Э.И., Гузя А.Н., Каюка Я.Ф., Кривошеева Н.И. и Корнишина М.С., Космодамианского A.C., Малинина A.A., Пирогова И.М., Преображенского И.Н., Савина Г.Н., Филыптинского JI.A., Черныха К.Ф., Чернышенко И.С., Чехова В.Н., Шнеренко К.Н., Броутена Ф. И, Олмроса Б. и др.

Рассмотрим традиционную постановку задач для оболочек, ослабленных отверстиями в линейной постановке [90]:

Пусть оболочка с отверстиями, нагружена произвольной системой сил и моментов по ее поверхности и на границе Ьк(к=0,1,.т). В силу линейности поставленной задачи представим общее НДС такой оболочки в виде суммы основного и возмущенного. Основным будем считать состояние оболочки, не ослабленной отверстиями, а возмущенным -состояние, вызванное наличием отверстий в оболочке. В дальнейшем основное состояние будем считать известным. Из экспериментальных и теоретических исследований известно [82],что возмущенное состояние носит локальный характер, поэтому для его описания можно воспользоваться теорией пологих оболочек [14]. Локальность возмущенного НДС позволяет из всех решений выбрать лишь те, которым соответствуют перемещения и напряжения, убывающие по модулю при удалении от зоны концентрации. Таким образом приходят к условиям затухания на бесконечности. Для удобства удовлетворения граничным условиям на границе Ьк переходят к таким криволинейным координатам, чтобы кривая Ьк стала одной из координатных линий. При этом можно воспользоваться аппаратом конформных отображений теории функций комплексных переменных. Иногда получаемые краевые задачи приводят к контурным интегральным уравнениям.

При рассмотрении задачи устойчивости оболочек с отверстиями различают два класса задач: когда размеры отверстий одного порядка с минимальными внешними размерами оболочки и когда размеры отверстий значительно меньше минимальных внешних размеров оболочки.

Как следует из обзора литературных источников, в основном рассматриваются цилиндрические оболочки с отверстиями в линейной постановке.

При исследовании устойчивости цилиндрических оболочек с вырезами было установлено [90], что отверстия можно считать малыми, если концентрация напряжений у контура отверстия не влияет на общую потерю устойчивости оболочки. Тогда радиус отверстия, которое можно не учитывать при определении устойчивости, представим в виде TTR Г°~п(к + \У где п - число полуволн в окружном направлении; к — безразмерный коэффициент, характеризующий отношение длины волны /в зоны повышенных напряжений у контура отверстия к радиусу последнего г0;

R - радиус оболочки.

Получается, что отверстие можно считать малым, если r0min< 0,86л/ж, ß где h - толщина стенки. Для оболочки с — = 300 h r0min< 0,057?, что согласуется с выводами работы [101], где на основании экспериментальных исследований утверждается, что малыми можно считать отверстия с соотношением < 0,05. R

Исследования НДС и устойчивости оболочек, имеющих большие отверстия, вызывают не малые сложности, т.к. задачу нужно решать для многосвязной области (кроме граничных условий на кромке оболочки должны быть заданы еще граничные условия на краю вырезов).

Для нелинейных задач появляются дополнительные сложности. Исследование на прочность и устойчивость перфорированных пластин и оболочек, т.е. пластин и оболочек, ослабленных большим количеством отверстий, весьма важны в связи с развитием энергетических установок, химической аппаратуры, строительной техники. Большое значение в этой области имеют работы Григолюка Э.И. и Фильштинского JI.A. [24], Гузя А.Н. [27], Космодамианского A.C. [52, 53], Пирогова И.М. [76], Преображенского И.Н. [79, 80], Савина Г.Н. [82] и др.

В строгой постановке расчет на прочность и устойчивость перфорированной конструкции основывается на решении соответствующей краевой задачи для многосвязной области. Обычно необходимо знать локальные свойства НДС, т.е. распределение напряжений в опасных зонах, кроме того, можно оценить жесткость такой конструкции в целом при решении задач устойчивости. Определение жесткости перфорированной оболочки составляет задачу приведения. Для этого находятся приведенные упругие параметры сплошной оболочки, обладающей той же жесткостью, что и перфорированная. Весьма важное значение имеет проблема подкрепления перфорированных оболочек [24].

Среди численных методов решения линейных задач несимметричной деформации оболочек вращения широкое применение получили так называемые матричные методы: метод конечных элементов (МКЭ), методы блочной итерации или матричной прогонки, методы сведения к задаче Коши и др.

Наиболее часто применяется конечно-разностный метод, который часто является единственным средством для получения приближенного решения.

Решение задач для оболочки, ослабленной отверстиями, в геометрически нелинейной постановке приводится в работе Кривошеева Н.И. и Корнишина М.С. [54]. Решение получено методом конечных разностей (МКР).

Вопросы распределения напряжений около отверстий рассмотрены в геометрически нелинейной постановке в работах [31, 48, 54, 56]. В работе [48] задачи концентрации напряжений около круглого отверстия в оболочках вращения при осесимметричном подходе исследованы с использованием нелинейных уравнений Кармана, предложен метод ускорения сходимости при решении геометрически нелинейных задач.

В настоящее время наиболее подробно разработан численный метод решения задач устойчивости оболочек с прямоугольными вырезами, который представляет собой комбинацию вариационного подхода с двумерной конечно-разностной схемой [7].

В ряде экспериментальных исследований напряжений в оболочках с отверстиями используются в основном, методы тензометрирования, фотоупругих покрытий и исследование на моделях, изготовленных из оптически активного материала. Большинство результатов относится к решению линейно-упругих задач. Методом фотоупругих покрытий проведены исследования для цилиндрических оболочек, ослабленных круглыми, квадратными и прямоугольными отверстиями.

Экспериментальные исследования показали, что наиболее полно проблема устойчивости оболочек с отверстиями в теоретическом плане может быть решена только с учетом начальных неправильностей формы срединной поверхности оболочки в зоне отверстия.

Из анализа работ по теме диссертации становится ясным, что задачи концентрации напряжений и устойчивости для оболочек с отверстиями решены в основном для цилиндрических оболочек, причем, в упрощенной постановке (без учета нелинейных факторов и зачастую при осе-симметричном подходе).

Практически отсутствуют решения задач в геометрически нелинейной постановке для оболочек, имеющих не сквозные вырезы.

Таким образом, есть необходимость в совершенствовании математических моделей оболочек с вырезами и методов исследования их НДС и устойчивости.

Одна из существенных трудностей при исследовании оболочек с отверстиями заключается в том, что приходится решать краевые задачи для многосвязной области.

Попытки избежать этого предпринимались. Так И.Н. Преображенским [80] отверстия представлялись в виде области с нулевой жесткостью, Б.К. Михайловым [64] отверстие имитировалось четырьмя разрезами. Но при этом не обращалось внимание на то, что на границе выреза должны выполнятся краевые условия (свободный край), т.е. не анализировалось выполнение краевых условий на краю выреза. Кроме того задачи решались в линейной постановке.

Задание ступенчато-переменной толщины оболочки с помощью единичных функций применялось в работах [2, 10, 28, 29, 30, 92, 95].

Карповым В.В. была разработана нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины [34]. Таким образом, в одной конструкции могут быть и ребра, и отверстия, и не сквозные вырезы.

Наша работа является дальнейшим развитием разработанной В.В. Карповым теории оболочек ступенчато-переменной толщины, распространенной на исследование оболочек с вырезами.

Недостаточность исследований оболочек с вырезами и необходимость в таких исследованиях в связи с применением во многих областях техники пластин и оболочек, содержащих технологические вырезы, в том числе, подкрепленных ребрами жесткости, подтверждают актуальность темы диссертации.

Цель диссертации состоите

- разработке математической модели для пологих оболочек с вырезами (сквозными или нет) в виде краевой задачи для односвязной области с учетом приближенного выполнения краевых условий на краю выреза (свободный край);

- разработке математической модели для перфорированных оболочек, в частности, подкрепленных ребрами жесткости;

- исследовании устойчивости оболочек с вырезами различной формы (сквозными или нет), в том числе и подкрепленных ребрами жесткости.

Новыми научными результатами и основными положениями, выносимыми на защиту, являются:

- подход к оболочкам с вырезами (сквозными или нет), как оболочкам ступенчато-переменной толщины;

- вывод уравнений равновесия для пологих оболочек с вырезами с учетом геометрической нелинейности, в которые входят краевые условия на краю выреза (свободный край);

- уравнения равновесия в перемещениях для оболочек с вырезами для модели Кирхгофа-Лява, уравнения в перемещениях для модели

Тимошенко-Рейснера, уравнения в перемещениях для перфорированных оболочек;

- исследование устойчивости оболочек с вырезами (сквозными или нет) при различном виде вырезов, перфорированных оболочек, оболочек с вырезами, подкрепленных ребрами жесткости.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений равновесия, использованием для решения полученных уравнений детально изученных методов и обоснованием точности выполнения краевых условий на границе вырезов. Сравнение с результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорит о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов.

Разработанное математическое и программное обеспечение расчетов пологих оболочек с вырезами при конечных прогибах может найти применение в научно-исследовательских, проектных и конструкторских организациях при расчетах устойчивости деталей машин, конструкций и сооружений оболочечного типа.

Все, полученные в работе результаты численного эксперимента, приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций.

Результаты работы нашли внедрение в АО "Саратовский авиационный завод".

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на 56-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (февраль 1999 г.), на 53-й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (май 1999 г.), на IV международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте" (СПГУПС, июнь 1999 г.).

Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры строительной механики Волгоградской архитектурно-строительной академии под руководством академика д.т.н., профессора В.А. Игнатьева (сентябрь 1999 г.), на научном семинаре кафедры вычислительной математики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета под руководством д.ф.-м.н., профессора Б.Г. Вагера (ноябрь 1999 г.).

Публикации Основное содержание диссертации опубликовано в четырех научных статьях.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 101 наименования и трех приложений. Работа изложена на 105 страницах машинописного текста, иллюстрирована 11 рисунками. В приложение вынесены коэффициенты полученных в работе уравнений и программа расчета на ЭВМ.

4.5. Выводы

При рассмотрении оболочек, ослабленных не сквозными вырезами, глубину и расположение вырезов необходимо задавать функцией (1.1).

При этом к1, У, И? будут отрицательными, но по модулю не превосходящими к. Теперь £ ^ О.

Достаточно хорошее совпадение результатов расчета пластинки, ослабленной девятью регулярно расположенными не сквозными квадратными вырезами, полученных по нашей методике, и с помощью МКЭ В. А. Андроновым, говорит о достоверности получаемых результатов.

Как видно из результатов расчета оболочек, локально расположенные не сплошные вырезы мало понижают критическую нагрузку, а вырезы, расположенные по всей длине оболочки, существенно влияют на устойчивость оболочек. Наиболее опасны вырезы, расположенные с разных сторон оболочки, а менее опасны - внутренние вырезы и вырезы, расположенные с внешней стороны оболочки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1. Для пологих оболочек, ослабленных вырезами, получена математическая модель в виде краевой задачи для односвязной области путем внесения в уравнения равновесия краевых условий на границе выреза (свободный край).

2. При этом получены уравнения равновесия в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява и в перемещениях для модели Тимошенко-Рейснера.

3. Показано, что точность выполнения краевых условий на границе вырезов зависит от точности решения полученных краевых задач.

4. Для перфорированных оболочек получены уравнения равновесия в перемещениях на основе метода конструктивной анизотропии, которые представляют собой уравнения для сплошных оболочек с увеличенной на постоянный сомножитель (зависящий от относительной площади вырезов) нагрузкой.

5. Показано, как, зная зависимость прогиба от нагрузки для сплошных оболочек, в том числе и подкрепленных ребрами жесткости, получить зависимость прогиба от нагрузки для перфорированных оболочек.

6. Исследования устойчивости оболочек с вырезами показали, что наиболее опасны вырезы в центре оболочки.

7. Постановкой даже слабых ребер около выреза можно существенно нейтрализовать ослабляющее действие выреза.

1. Абоеский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Под ред. Абовского Н.П.: Наука, 1978. 228 с.

2. Абоеский Н.П., Чернышов В.П., Павлов A.C. Гибкие ребристые пологие оболочки: Учеб. пособие для вузов. Красноярск, 1975. 128 с.

3. Андронов В.А. Применение метода дискретных конечных элементов к решению задач статики и динамики сложных стержневых систем регулярной и квазирегулярной структуры: Дисс. . канд. техн. наук: Волгоград, 1986, 187 с.

4. Борзых Е.П. Алгоритмы численного расчета пологой ортотропной оболочки на прямоугольном плане с прямоугольным отверстием // Тр./ЦНИИСК. 1970. Вып.9. С. 104-109.

5. Броуген Ф., Олмрос Б. Потеря устойчивости цилиндрических оболочек с отверстиями // Ракетная техника и космонавтика 1970. т. 8, № 2. С. 5662.

6. Броуген Ф., Форсберг К., Смит С. Динамическое поведение цилиндрической оболочки с вырезом // Ракетная техника и космонавтика. 1969. Т.7, № 5. С. 130-141.

7. Бурмистров Е.Ф. Симметричная деформация конструктивно-орто-тропных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1962. 108 с.

8. Вайнберг Д.В., Ройтфарб КЗ. Расчет пластин и оболочек с разрывными параметрами // Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1965. Вып. 10. С. 39-80.

9. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

10. Валишвили Н.В. Об одном алгоритме решения нелинейных краевых задач // Прикл. математика и механика. 1968. Т. 32. Вып. 6. С. 10891092.

11. Веку а КН. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. 288 с.

12. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М., Л.: Гостехиздат, 1949. 784 с.

13. Власов В.З. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней // Изв. АН СССР. ОТН. 1949. № 6. С. 819-838.

14. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. 419 с.

15. Гавриленко Г Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии // Устойчивость пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. С. 20-22.

16. Ганиев Н.С. Разностный метод решения задач устойчивости ортотропных оболочек вращения // Исследование по теории пластин и оболочек. Казань, 1984. № 17/2. С. 55-65.

17. Герсеванов Н.М. Функциональные прерыватели в строительной механике и их приложение к расчету ленточных фундаментов // ВИОС "Основания и фундаменты". Стройиздат 1933. Сб. № 1. С.7-15.

18. Голда Ю.Л., Преображенский КН., Штукарев B.C. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями // Прикладная механика. 1973. № 1. С. 27-32

19. Грачев O.A. Исследование влияния параметров подкреплений на устойчивость ребристых сферических оболочек // Прикладная механика. 1983. Т. 19, № 5. С. 49-55.

20. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек / / Изв. АН СССР. Сер. "Механика". 1965. № 3. С. 81-92.

21. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М: Наука, 1978. 359 с.

22. Григолюк Э.И., Филыитинский JI.A. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. 556 с.

23. Григолюк Э.И., Шалашшин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформированного тела. М.: Наука. 1988. 232 с.

24. Гузь. А.Н. Концентрация напряжений около отверстий в тонких оболочках (обзор). // Прикладная механика. 1969. Т.5. Вып. 3. С. 1-17.

25. Гузь А.Н., Закора C.B., Чехов В.Н. и др. Методика расчета упругих оболочек с отверстиями на ЭВМ . Киев: Наукова Думка, 1982. 59 с.

26. Енджиевский JI.B. Нелинейные деформации ребристых оболочек. Красноярск: Изд. Красноярск, ун-та, 1982. 295 с.

27. Жилин U.A. Линейная теория ребристых оболочек. // Изв. АН СССР. "Механика твердого тела", 1970. № 4. С. 150-162.

28. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек. // Прочность гидротурбин: Труды/ЦКТИ. Л., 1971. Вып. 88. С. 46-70.

29. Зацепина М.В., Хазанов X. С. Напряженное состояние цилиндрической оболочки с круговым отверстием с учетом геометрической нелинейности. В кн.: Материалы научно-техн. конф. Куйбышевского авиационного ин-та. Куйбышев, 1970. 4,2. 22-23 с.

30. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. С. 296.

31. Игнатьев О.В. Конструктивно-ортотропная схема ребристой оболочки, учитывающая сдвиговую и крутильную жесткость ребер, и ее применение к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины: Дисс. канд. техн. наук: Волгоград. 1993. 204 с.

32. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. Л.: Стройиздат. Ленингр. отд-ние, 1986. 168 с.

33. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек, допускающих большие прогибы // II Всесоюзн. симпозиум "Устойчивость в механике деформируемого твердого тела": Тез. докл. Калинин, 1986. С. 159.

34. Ильин В.П., Карпов В.В, Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. Минск. Вышейшая школа. 1990. 349 с.

35. Кантор Б.Я., Катарянов С.И., Офий В.В. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 1972-80 г. / Институт проблем машиностроения АН УССР, 1982. № 167. 78 с.

36. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев: Наукова думка, 1971. 136 с.

37. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.

38. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР, сер. МТТ. 1975. № 5. С. 189-191.

39. Карпов В.В. Анализ напряженно-деформированного состояния гибких ребристых оболочек и их устойчивости при различных подходах к введению ребер. // Исследование по механике строительных конструкций и материалов.: Межвуз. темат. сб. тр. Л., 1986. С. 30-37.

40. Карпов В.В. Некоторые варианты уравнений гибких пологих оболочек дискретно-переменной толщины, полученные вариационным методом // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Мезвуз. темат. сб. тр. Л., 1986. С. 26-34.

41. Карпов В.В., Кривошеий И.В., Петров В.В. Исследование несимметричной потери устойчивости пологих оболочек на прямоугольном плане. // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Тбилиси. Изд-во "Мецниереба". 1975. С. 628-634.

42. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Модель пологой оболочки с вырезами в виде краевой задачи для односвязной области // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб. 1999. С. 67-72.

43. Карпов В.В., Игнатьев О.В. Метод последовательного изменения кривизны. // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб. 1996. С. 131-135.

44. Карпов В.В. Метод последовательного наращивания ребер и его применение к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины. // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте. М. Транспорт. 1990. С. 162-167.

45. Каюк Я.Ф. Концентрация напряжений в тонких оболочках при больших прогибах. В кн. Концентрация напряжений, 2. Киев: Наукова думка. 1968.

46. Климате В.И, Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. 291 с.

47. Ковалъчук Н.В. Исследование устойчивости ребристых цилиндрических оболочек с большими прямоугольными отверстиями // Прикладная механика, 1978,14, № 10. С.57-63.

48. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. С. 192.

49. Космодамианский A.C. К вопросу определения напряженного состояния упругой среды с криволинейными отверстиями // Прикладная механика, 1966. Т. 2, № 8. С. 40-46.

50. Космодамианский A.C. О напряженном состоянии изотропной пластинки, ослабленной бесконечным рядом элиптических отверстий // Изв. АН СССР. Механика, 1965. № 4. С. 145-147.

51. Кривошеее Н.И., Корнишин M.C.K выводу сеточных уравнений изгиба пластин с отверстиями и пластин ступенчато-переменной жесткости //

52. Изв. ВУЗов, раздел "Строительство и архитектура". Новосибирск, 1970, № 8, С. 50-54.

53. Крысъко В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. 216 с.

54. Куземко A.M., Шаталов В.И. О концентрации напряжений около отверстий пологих оболочек с геометрической нелинейностью // Самолетостроение и техника воздушного флота. 1970. 20. С. 76-79.

55. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. JI. 1948, 28 с.

56. Лурье А.И. Концентрация напряжений в области отверстия на поверхности кругового цилиндра // ПММ, 1946. Т. 10, вып. 3. С, 397406.

57. Малинин A.A. Колебания оболочек с отверстиями // Изв. ВУЗов "Машиностроение" 1971. № 7. С. 22-26.

58. Малинин A.A. Колебания и устойчивость оболочек вращения с дискретными включениями и отверстиями // Прикладная механика, 1973. Т. 9.,№ 10. С. 29-34.

59. Маневич А.И. К теории связанной потери устойчивости подкрепленных тонкостенных конструкций. // Прикл. математика и механика, 1982. 46, № 2. С. 337-345.

60. Мшейковский И.Е., Гречанинов И.П. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек // Расчет пространственных конструкций: сб. статей. М.: Стройиздат, 1969. Вып. 12. С. 168-176.

61. Милейковский И.Е., Кальмейер А.Ф. Расчет пологой оболочки с большим прямоугольным отверстием. // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: "Будивельник", 1972. Вып. 16. С. 12-15.

62. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. 196 с.

63. Михайлов Б.К., Кипиани Г.О., Москалева В.Г. Основы теории и методы расчета на устойчивость трехслойных пластин с разрезами. Мецниереба. Тбилиси. 1991. 189 с.

64. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. 432 с.

65. Муштари Х.М., Галимов КЗ. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 431 с.

66. Назаров А.Г. Импульсивные функции в приложении к задачам строительной механики. // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1949. Вып. 4. С. 216-227.

67. Новицкий В. В. Решение некоторых задач строительной механики с помощью ô-функции. // Научно-методический сборник ВВИА, 1957. № 13. С. 93-128.

68. Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике. // Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат. 1962. Вып. 8. С. 207-244.

69. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромиздат, 1962. 431 с.

70. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М.: Машиностроение. 1966. 392 с.

71. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 119 с.

72. Пирогов И.М., Юматов В.И О распределении напряжений возле квадратного выреза в стеклопластиковой цилиндрической оболочке. // В кн.: сб. трудов Всесоюзного заочного политехи, ин-та. Вып. 59. "Высшая школа". М.: 1970. С. 82-86.

73. Пирогов И.М. Концентрация напряжений в области отверстия в цилиндрическом резервуаре, испытывающем гидростатическое давление //Изв. ВУЗов, сер. Машиностроение, 1963. № 7. С. 56-61.

74. Постное В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. 279 с.

75. Преображенский КН., Грищак В.З. Устойчивость и колебания конических оболочек. М.: Машиностроение, 1986. 240 с.

76. Преображенский КН. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981. 191 с.

77. Преображенский H.H. Устойчивость оболочек и пластинок с отверстиями. В кн.: Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. С. 239-333.

78. Пшеничное Г.И., Тагиее И.Г. К расчету пологих упругих ребристых оболочек. // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. № 1. С 21-24.

79. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова Думка, 1968. 887 с.

80. Сальников А.Ю. Устойчивость пологих оболочек с вырезами при конечных прогибах. / Труды молодых ученых. 4.1. СПбГАСУ. СПб. 1999. С. 19-23.

81. Сизов Е.К. Исследование изгиба и устойчивости нерегулярно подкрепленных пластин методом конечных элементов: Дисс. канд. техн. наук. Санкт-Петербург. 1999. 134 с.

82. Соломенко Н.С., Абрамян КС., Сорокин В.В. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса. Л.: Судостроение, 1967. 488 с.

83. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / Кармишин A.B., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. М.: Машиностроение, 1975. 376 с.

84. Теребушко О.И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко раставленными ребрами // Расчет пространственных конструкций. Сб. статей. М.: Стройиздат, 1964. Вып. 9. С. 131-160.

85. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек. М.: Стройиздат, 1974. 256 с.

86. Цилиндрические оболочки ослабленные отверстиями / Гузъ А.Н., Чернышенко И.С., Чехов Вал. И., Чехов Вик. Н., Шнеренко К.И. Под общей редакцией Гузя А.Н. К.: Наукова Думка, 1974. С. 272.

87. Черных К. Ф. К проблеме определения концентрации напряжений возле отверстия в оболочке (в линейной постановке). В кн.: Концентрация напряжений. К.: Наукова Думка, 1965. Вып. 1. С. 312-317.

88. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых пологих оболочек. Автореферат диссерт. на соис. уч. ст. к.т.н. Новосибирск, 1980. 19 с.

89. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых оболочек с отверстиями. // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск. 1981. С. 169-175.

90. Численные методы в теории упругости и теории оболочек / Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченков В.И. Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та, 1986. 384 с.

91. Юдин А. С. Устойчивость сферической оболочки ступенчато-переменной жесткости. / Физико-математические исследования. Ростов Н/Д.: Изд-во Рост, ун-та, 1972. С. 46-51.

92. Byskov Е., Hansen J.С. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction. J. Struct. Mech., 1980, 8, №2, P. 205-224.

93. Chrobot B. Mathematical models of ribbed shells, Studia Geotechnica et Mechanica, vol. IV, 1982, NO. 3-4 P. 55-68.

94. Fisher C.A., Bert C.W. Dynamic buckling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers. Trans ACME. Ser., E, 1973, 40, N 3, P. 736-740.

95. Kicher T.P., Chao Tung-Lai. Minimum weight design of stiffend fiber composite cylinder. C.J. Aircraft, 1971, T. 8, N 7, P. 562-569.

96. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells a review of experiment and theory. Contr. Theory Aircraft struct / Delft, 1972. P. 325357.

97. Tennyson R.C. The effects of unreinforsed circular cutouts on the buckling of circular cylindrical shells under axial compression. J. of Engeneering for industry, Trans ACME, 1968, 90, ser. B, 4.