автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Трехслойные пологие оболочки с дискретным внутренним слоем как вариант оболочки ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах

На правах рукописи

РЫБАКОВА Ольга Владимировна

ТРЕХСЛОЙНЫЕ ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ С ДИСКРЕТНЫМ ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ

КАК ВАРИАНТ ОБОЛОЧКИ СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ

Специальность 05.23.17. - Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград 1999

Работа выполнена в Санкт-] строительном университете.

■Петербургском государственном архитектурно-

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Карпов В.В. кандидат технических наук, доцент Игнатьев О.В.

Научный консультант

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Бандурин Н.Г. кандидат технических наук, доцент. Клочков Ю.В.

Ведущая организация:

Территориальный проектный институт "Волгоградгражданпроекг".

Защита состоятся 23 июня 1999 года в -)0°° на заседании диссертационного совета К 064.63.02 в Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии по адресу: 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, 1, ауд. Г-901.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии.

Автореферат разослан 23 мая 1999г.

Ученый секретарь диссертационного совет кандидат технических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Борьба за уменьшение веса конструкций при достаточно V высокой их прочности в самолетостроении, судостроении, машиностроении и строительстве приводит к разработке легких, но высокопрочных элементов конструкций, которыми являются, в частности, тонкостенные ребристые оболочки и трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем (в виде системы пересекающихся ребер). Хотя трехслойные конструкции обладают большей прочностью, чем ребристые, при одинаковом весе, и их использование является более эффективным, но математические модели и расчетные схемы трехслойных оболочек являются более сложными и трудоемкими при исследовании этих конструкций на прочность и устойчивость. Поэтому разработка модели трехслойных оболочек как варианта оболочек ступенчато-переменной толщины с внутренними вырезами и исследование их напряженного деформированного состояния (НДС) и устойчивости с использованием этих моделей является актуальной задачей.

Лель работы состоит:

• в разработке математической модели трехслойных пологих оболочек с дискретным в!1утренгаш слоем как варианта оболочки ступенчато-переменной толщины с внутренними вырезами, при условии, что для всех слоев принимается единая нормаль;

• в выводе уравнешш равновесия для оболочек с внутренними вырезами;

• в разработке методики расчета НДС и устойчивости таких оболочек и исследовагаш конкретных оболочечных конструкций.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• в подходе к трехслойной оболочке с дискретным внутренним слоем как оболочке ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах;

• в разработке на основе оболочки с внутренними вырезами новой модели трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем, в которой гипотеза о недеформируемой нормали применяется ко всему пакету в целом;

• в выводе уравнений равновесия в перемещениях и в смешанной форме с учетом геометрической нелинейности, в которых учитываются краевые условия свободного края на боковой поверхности дискретного внутреннего слоя (на краю внутреннего выреза);

• в получении уравнений равновесия метода конструктивной анизотропии в перемещениях (при «размазывании» жесткостных характеристик внутреннего дискретного слоя);

• в разработке программного комплекса для решения задач расчета НДС и устойчивости трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем;

• в проведении исследования НДС и устойчивости конкретных трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем и доказательстве эффективности полученной модели и расчетных схем.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений равновесия для рассматриваемого вида оболочек, а также использованием для решения полученпых уравнений детально изученных методов. Сравнение с результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорят о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов. Разработанное математическое и программное обеспечение расчётов трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем при конечных прогибах может найти применение в научно-исследовательских, проектных, и конструкторских организациях при расчётах на прочность, устойчивость и оптимизацию деталей машин, аппаратов, конструкций и сооружений.

Все полученные в работе результаты численного эксперимента приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались:

• на 51-й, 52-й и 53-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (Санкт-Петербург, 1995, 1996, 1997гт.),

• на 2-й Саратовской международной летней школе по проблемам механики сплошной среды (Саратов, 1996г.).

Полностью работа докладывалась:

• на научном семинаре кафедры строительной механики ВолгГАСА под руководством академика, д.т.н., проф. Игнатьева В.А (Волгоград, январь 1998г.);

• на научном семинаре кафедры вычислительной математики СПбГАСУ под руководством д.ф.-м.н., проф. Ватера Б.Г. (Санкт-Петербург, май 1998г.).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы опубликовано в четырех научных статьях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 103 наименований и приложения. Работа изложена на 109 страницах машинописного текста, иллюстрирована 14 рисунками. В приложение вынесены коэффициенты, полученных в работе уравнений и программы расчёта на ЭВМ.

Содержание работы.

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, постановка задачи исследования, а также краткое содержание диссертации по главам.

Основы теории ребристых оболочек были заложены в работах В.З. Власова и А.И. Лурье. Они явились основателями двух главных подходов к исследованию ребристых оболочек, в которых считалось, что рёбра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматртаать как конструкцию, состоящую из оболочки (обшивки) и подкрепляющих её одномерных упругих элементов. В исследованиях использовалась и более простая модель ребристой оболочки, в которой дискретность размещения рёбер не учитывается, а в уравнения равновесия вводятся коэффициенты, учитывающие увеличение жёсткости всей конструкции за счет подкрепляющих её ребер (метод конструктивной анизотропии).

П.А. Жилиным было предложено учитывать тот факт, что контакт между оболочкой и рёбрами происходит по поверхности полосы, а не по линии, и он стал рассматривать ребристую оболочку как оболочку ступенчато-переменной толщины.

Аналогичный подход к ребристой оболочке при решении нелинейных задач применил В.В. Карпов. Им была разработана теория оболочек ступенчато-переменной толщины, уплывающая дискретность размещения рёбер, их ширину, совместную работу рёбер при пересечении и наличие в одной конструкции рёбер, вырезов и накладок.

Ежегодно публикуется большое число работ, относящихся к исследованию ребристых и многослойных оболочек. Однако подавляющее число этих публикаций относится к исследованию ребристых оболочек в лилейной постановке.

Анализ современного состояния теории пологих ребристых и многослойных оболочек показал следующее:

• достаточно полно исследованы оболочки в линейной постановке, большей частью цилиндрические;

• в геометрически нелинейной постановке проведены исследования также в основном цилиндрических оболочек, и при этом с использованием модели Кирхгофа-Лява. Рёбра в этих исследованиях рассматривались как упругие одномерные элементы, присоединенные к обшивке по линии;

• в большинстве работ, посвященных трехслойным оболочкам и пластинам, исследуются гладкие конструкции с разными жесткостными характеристиками слоев, и только в некоторых работах рассматриваются (в основном в линейной постановке) трехслойные пластины и оболочки, подкрепленные внутренним слоем ребер.

Анализ публикаций по теме диссертации позволяет сделать вывод, что трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем исследованы недостаточно полно, хотя такие конструкции находят широкое применение. Таким образом задача разработки математической модели трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем является актуальной.

В первой главе рассматривается модель трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем, в случае когда гипотеза Кирхгофа-Лява о недеформируемой нормали применяется ко всему пакету слоев в целом.

Для этого используется теория пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, разработанная В.В. Карповым, а именно: трехслойная оболочка с дискретным внутренним слоем рассматривается как пологая оболочка с внутренними прямоугольными вырезами (рис. 1.).

Рис. 1.

Рассмотрим тонкую прямоугольную в плане пологую оболочку положительной гауссовой кривизны, находящуюся под действием заданных внешних нагрузок интенсивно-

сгью Ра Ру, приложенных в направлении осей ОХ, ОУ, 02 соответственно. Срединную поверхность оболочки толщиной А примем за координатную поверхность.

Оси ОХ, ОУ - направлены по линиям главных кривизн оболочки, а ось 01 - по нормали к серединной поверхности в сторону вогнутости.

Для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочки ступенчато-переменной толщины используем теорию гибких пологих оболочек, в которой деформации удлинения ех, еу и сдвига е^ точек срединной поверхности оболочки задаются в виде:

ди , \(д*\г Зу , 1ГЗиЛ2

е. =--+ — ,с„ =--к.,м> + -\—I

<с) " ду

дх 1 2\дх) ' у ду * 2\ду,

ди ду дмды

е_ = —+ — +-,

ду дх дх ду

где перемещение точек срединной поверхности оболочки вдоль осей ОХ, ОУ, 02

соответственно;

' ~ ' = ~ главные «фившнь, оболочки вдоль осей ОХ и

ОУ(К, - главные радиусы кривизны).

Для модели Кирхгофа-Лява деформации в точках, отстоящих на 2 от срединной поверхности оболочки имеет вид

. 32и> . д. . 92И"

Напряжения, действующие в произвольной точке оболочки, выполненной из изотропного материала, исходя из закона Гука, вычисляются по формулам

(3)

ЗдесьЕ, /х- модуль упругости материала оболочки и коэффициент Пуассона. Чтобы получить модель трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем, сделаем внутри оболочки прямоугольные вырезы высотой А;<А (Рис. 1).

Через И] и А^ обозначены высоты внешних слоев оболочки, причем А=А;+А2+А> Чтобы жесткость оболочки на вырезе равнялась нулю, нужно от общей жесткости, отнесенной к толщине оболочки А, отнять жесткость, отнесенную к толщине А/, но только в тех местах, где есть вырезы, т.е. место расположения вырезов высотой А; задавать

функцией А, = £ £ ~ *> ~ ~ 2\)< где

/«1 /»1

~ Уi) = ~ci)~ ^У — разности двух соответствующих единичных функций (единичные столбчатые функции);

а -X.-—, b =х,.+ —, C^V.-—, d,=y+—; j 2 J 2 2 2

Г),т- ширина вырезов в направлении оси ОХ и их число; г„п - ширина вырезов в направлении оси OY и их число.

Для получения усилий и моментов, приведенных к срединной поверхности оболочки и приходящихся на единицу длины сечения, нужно проинтегрировать напряжения (3) по г в пределах от — ^ до % > У*™03*™® прежде их на сомножитель (l — h^j. В результате получим

N, = G,[(А + F)e, + Svt/,], N„ = Ои[(й + F)E^ + Sv^}

Mr-=G,

Se, +f—+J ' U2 Г1

= G2[(h + F)z, + Svy2], M, = G2

У

Здесь E

}

(4)

(aV 3V\

V2 = H

d2w 82W

d2w

где

Gl=Gj=rv

Выражения (4) можно представить в виде:

Nt = №х + N?, N^ = + N*, Mx = M°t+M«, M„y = M]y + M*, Ny=Nl + N*, My = M°y + MRy,

К = G,As,, A^G^Fe. + Sij/,),

G'2 = 2(1 + M)-

(5)

л3

№у =С2/ге2,

М°у=С2—у2,

12

Здесь жесткостные характеристики И + Р, 5, — + У получаются в результате вычисления следующих интегралов: %

¡(1 -и1)сь=\(к- | -Я -"А

%

.М^л) 2

~/г

т п

га Л = ££5(х-х,)5(;у-;>>().

¡=1

Для получеши уравнений равновесия рассмотренного варианта трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем приравняем нулю первую вариацию функционала полной энергии деформагрш

Мх 8е, + + - Мх8 0 - Му 5 0 •

-2А/ 8-Р8и--^ * дхду х "

(Ыу=0.

(б)

Здесь Рх>Ру, Я - компоненты поверхностной нагрузки вдоль осей ОХ, 07, 02 соответственно.

Подставив вместо Ву, их выражения через перемещения (1) и преобразовав вариационное уравнение (6) таким образом, чтобы под знаком вариации не было произ-

водных от функций перемещений, из условия равенства нулю двойного интеграла получим уравнения равновесия:

-21+Р= о, ->- +-0,

дх ду х дудху

»г 7 х, , <3 (.. дю д (.. дъ> ., 5нЛ

+ — — + А/— +— Ы, — + ЛГ— + (7)

11 '' аЛ 1 дх ^ ду) дуК у ду * дх) .

д7мх д2му. дгмч

+--+ —— + о = 0.

дх ду2 дхду

После преобразований вариационного уравнения (6) появятся еще и одномерные интегралы. Из условия равенства их нулю получаются естественные краевые условия на кромке оболочки.

Если теперь в уравнения (7) подставить усилия и моменты (5) с учетом (1), то получим уравнения равновесия в перемещениях

Так же получены уравнения равновесия в сметанной форме для рассматриваемого варианта трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем.

В случае когда оболочка ослаблена большим числом регулярно расположенных вырезов, что соответствует большой частоте сетки внутреннего дискретного слоя в виде системы пересекающихся ребер, нулевую жесткость этих вырезов можно «размазать» по всей оболочке. В диссертации получены уравнения равновесия в перемещениях при «размазывании» жесткости внутри дискретного слоя.

Во второй главе разработан алгоритм решения краевой задачи для рассматриваемого варианта трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем. Полученные в первой главе уравнения равновесия (7) представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных 10-го порядка, которая с помощью метода последовательных нагружений (МПН) сводится к последовательному решению линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Для сведения систем дифференциальных уравнений к линейной системе алгебраических уравнений применялся метод Бубнова-Галеркина.

В соответствии с методом было принято:

И = х </)Х1(/)У1(/), V = £ v(^)X2(^)}'2(/),

N

w

= и = ^и\{1)х\{1)У\{1\ (8)

¡-1 ¡=1

F = ]TV1(/)X2(/)V2(IX PF = ]Tm(I)X3(Î)Y3(f),

U\{I) = ][>t(/), V\{I) = ]>>,(/), w\{l) = £>t(/) - накопленные к /-му этапу t=i t=i t=i

кагружения численные значения параметров разложения перемещений в ряды; u(I), v(I), »■(!) -искомые численные значения параметров разложения перемещении на /-м этапе на-гружения в ряды; Х1(1), Х2(1), Х3(1) - известные аппроксимирующие функции переменной £, удовлетворяющие при ¿f=i заданным краевым условиям; Yl(7). Y2(I), Y3(I) — известные аппроксимирующие функции переменной г] , удовлетворяющие при 77=0, ц-1 заданным краевым условиям.

В результате была получена система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных u(I), v(I), -w(I) для каждого этапа нагружения:

V(/)C2(/, J)+К/Хсз(/, /, J) I = о,

¿[«(/)С5(/,/)+ v(/)C6(/,J) + Ч/)(С7(/, J)+ l,J)

/-1 JM

¿U/)fc9(/, +v(/Xai(/,j)- и

/«11_ v r-i '

- X W\{K)C\2(К,I, J)j + мЩ Cl3(1, J)-]T(U\{K)C\4{K, I, J) +

\Y

- V](K)C15(K, I,J) + W\(K{C\6(K, I,J) + ¿04(l)CO(£)j)

= Я01-СТ7(7)

У=Л2.....N.

Коэффициенты С данной системы представляют собой сложные выражения, зависящие от физических и геометрических параметров конструкции, параметров, описывающих жесткость системы ребер среднего слоя и интегралов от аппроксимирующих функций.

Для решения системы (9) применялся метод Гаусса.

1-1

В тлеть ей главе на основании разработанной методики исследовались НДС и устойчивость трехслойных оболочек при различном числе ребер внутреннего дискретного слоя, при различной их высоте и толщине.

Для обоснования эффективности применения предлагаемой модели и расчетной схемы трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем были рассмотрены две равновеликие по объему квадратные в плане оболочки со стороной а-60А, где А — толщина обшивки, шарнирно неподвижно закрепленные по контуру и находящиеся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки (рис. 2.).

Трехслойная оболочка имеет общую толщину ЗА и толщину внутреннего дискретного слоя ребер А , ширина ребра 4А. Для ребристой оболочки ширина ребер равна 7,4Л, высота 2А. Объем подкреплений ребристой оболочки равен 483 5И3, объем внутреннего дискретного слоя и нижнего слоя обшивки трехслойной оболочки 4896Л3. Кривизны обеих оболочек к$=кп=16 (Л1=Й2=225А). На рис. 3. представлены графики нагрузка Р - прогиб IV -в центре оболочки и эпюры напряжений о, вдоль оси Ог] при Р=300, £=0,1,

Из графиков на рис. 3 видно, что трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем обладают существенно большей жесткостью, чем равновеликие им по объему ребристые оболочки. При этом сложность расчета по предложенной методике такая же как и у ребристых оболочек.

Далее рассматривались квадратные в плане трехслойные оболочки со стороной а=601г с дискретным внутренним слоем шарнирно- неподвижно закрепленные по контуру и находящиеся под действием равномерно- распределенной поперечной нагрузки.

Рис. 2.

Рис. 3.

На рис. 4-5 приведены зависимости нагрузка Р — прогиб IV в центре оболочки и згпоры напряжений о* на внешней стороне оболочки вдоль оси От/ при х=0,2, причем на рис. 4 при Р=300, а на рис. 5 при Р=1000. Номер кривой на всех рисунках означает число ребер внутреннего дискретного слоя.

На рис. 4 штрих означает, что внутренний дискретный слой имеет высоту И1=2И, для всех остальных кривых высота слоев принималась равной А (Л1=йг=Аз=й ).

На рис. 5 индекс умноженный на А соответствует толщине ребер.

Из рис. 4 и 5 видно, что число ребер внутреннего дискретного слоя оказывает существенное влияние на НДС оболочки, но еще большее влияние оказывает высота ребер, а также их ширина.

Также рассматривались квадратные в плане трехслойные оболочки со стороной а=1201г. На рис. 6 и рис. 7 представлены графики нагрузка Р— прогиб IV в центре обо-

лочкн и эпюры напряжений о* на внешней стороне оболочки вдоль оси От] при х=0,2 и х=0,5 при Р = 1000.

Из рис. б видно, что такие оболочки теряют устойчивость при нагрузке более 4500 и число ребер оказывает меньшее влияние, чем для оболочек со стороной а^бОИ.

Таким образом для выбора оптимального внутреннего дискретного слоя удобно применять метод последовательного наращивания ребер в специальной форме (увеличивается не только высота ребер, но и их ширина).

¡H.2 4=0,5

О 0,5 in

Р

Рис. 5.

£=0.2 2=0,5

Рис. 6.

Для обоснования точности и достоверности результатов было проведено сравнение результатов расчета оболочек, ослабленных внутренними вырезами, полученных по предлагаемой в работе методике и полученных В.А. Андроновым по методике В.А. Игнатьева, основанной на методе конечных элементов (МКЭ).

Рассматривалась квадратная в плане пластинка шарнирно - неподвижно закрепленная по контуру и находившаяся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Пластинка ослаблена девятью регулярно расположенными квадратными вырезами. Расчеты проводились в геометрически линейной постановке.

Результаты расчета показали, что в прогибах достигается почти полное совпадение, в моментах расхождение не превышает 15%. Таким образом, результаты, получаемые по описанной в работе методике, можно считать достоверными.

Рис. 7.

Основные результаты и выводы.

1. На основе модели оболочки ступенчато-переменной толщины с внутренними вырезами разработана модель трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем для случая, когда гипотеза о недеформируемой нормали применяется ко всему пакету в целом.

2. Для разработанной модели получены уравнения равновесия в перемещениях и в смешанной форме с учетом геометрической нелинейности, в которых учитываются краевые условия свободного края на боковой поверхности дискретного внутреннего слоя.

3. Получены уравнения равновесия в перемещениях метода конструктивной анизотропии (при «размазывании» жесткостных характеристик внутреннего дискретного слоя при большой частоте сетки его ребер).

4. Составлен комплекс программ для решения задач исследования НДС и устойчивости трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем при различных параметрах нагрузки, жесткостных характеристик ребер и кривизны.

5. Проведены исследования устойчивости конкретных трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем и доказана эффективность их использования по сравнению с ребристыми оболочками.

6. Результаты работы могут быть использованы при проектировании конструкций, представляющих собой пологие трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем.

Основное содержаний диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Вариационно-параметрический метод расчета трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем // Проблемы механики сплошной среды: Тезисы докладов, представленных на П Международную школу по механике сплошной среды. Саратов, 1996, с. 24-27.

2. Трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин, т.З. Саратов, 1997, с. 83-87.

3. Эффективность применения трехслойных оболочек с дискретным внутренним стаем по сравнению с ребристыми оболочками // Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы международной научно-технической конференции, ч.2. / ВолгГАСЛ. - Волгоград, 1998, с. 113-115.

4. Модель трехслойной пологой оболочки с дискретным внутренним слоем как вариант оболочки ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах II Труды молодых ученых. 2.1, СПб., СПбГАСУ, 1998 г., с. 16-22.

61

99-5/20ГЗ- ?

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию

Волгоградская государственная архитектурно- строительная

^ академия

1»

ч ,

" \

на правах рукописи

• -К

'Л

Рыбакова Ольга Владимировна

УДК 539.3

ТРЕХСЛОЙНЫЕ ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ С ДИСКРЕТНЫМ ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ КАК ВАРИАНТ ОБОЛОЧКИ СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЬ

ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ

специальность 05.23.17 -Строительная механика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Карпов В.В.

Научный консультант: кандидат технических наук Игнатьев О.В.

Волгоград -1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 4

1. Построение модели пологой трехслойной оболочки с дискретным 15 внутренним слоем при конечных прогибах

1.1 Основные соотношения для пологих оболочек ступенчато-переменной 15 толщины

1.2 Оболочки, ослабленные внутренними вырезами, как модель трехслойной 19 оболочки с дискретным внутренним слоем

1.3 Вывод уравнений равновесия с использованием функционала полной энергии 23 деформации.

1.4Уравнения равновесия в перемещениях 27

1.5 Уравнения в смешанной форме 31

1.6 Уравнения метода конструктивной анизотропии в перемещениях для случая 34 большой частоты сетки внутреннего слоя

1.7 Выводы 36

2. Методика решения уравнений равновесия рассматриваемой модели 37 трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем

2.1. Линеаризации уравнений равновесия с помощью 37

метода последовательных нагружений

2.2 Применение метода Бубнова- Галеркина для решения линейной системы 39

дифференциальных уравнений. .

2.3. Программная реализация на ЭВМ методики решения уравнений равновесия 43 для рассматриваемого варианта трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем

2.4 Выводы 45

3. Напряженно деформированное состояние и устойчивости трехслойных 46 пологих оболочек с дискретным внутренним слоем

3.1. Преобразование входных и выходных параметров конструкции для перехода 46 от однослойной оболочки с внутренними вырезами к трехслойной оболочке с дискретным внутренним слоем

3.2. Эффективность использования предложенной модели трехслойной оболочки 52

3.3. Обоснование точности и достоверности получаемых результатов 56

3.4 Напряженно-деформированное состояние и устойчивость трехслойных 58 оболочек при различном числе ребер внутреннего дискретного слоя и их высоте и толщине

3.5. Выводы 65

Заключение 66

Список литературы 67

Приложение 1 77

Приложение 2 83

Приложение 3

97

ВВЕДЕНИЕ

Необходимость уменьшения веса конструкций при сохранении достаточно высокой прочности в строительстве и различных областях машиностроения приводит к разработке легких, но высокопрочных элементов конструкций, которыми являются, в частности, тонкостенные ребристые оболочки и трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем (в виде системы пересекающихся ребер). Хотя трехслойные конструкции обладают большей прочностью, чем ребристые, при одинаковом весе, и их использование является более эффективным, но математические модели и расчетные схемы трехслойных оболочек являются более сложными и трудоемкими при исследовании этих конструкций на прочность и устойчивость.

Рассмотрим основные подходы к исследованию ребристых оболочек, существующие в настоящее время в теории ребристых оболочек.

Основы этой теории были заложены в работах В.З. Власова [12, 13, 90] и А.И. Лурье [61]. Они явились основателями двух главных подходов к исследованию ребристых оболочек, в которых считалось, что рёбра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из оболочки (обшивки) и подкрепляющих её одномерных упругих элементов. В дальнейшем большинство авторов следовало одному из этих подходов.

В других исследованиях использовалась и более простая модель ребристой оболочки, в которой дискретность размещения рёбер не учитывается, а в уравнения равновесия вводятся коэффициенты, учитывающие увеличение жёсткости всей конструкции за счет подкрепляющих её ребер (метод конструктивной анизотропии).

П.А. Жилиным [27, 28] было предложено учитывать тот факт, что контакт между оболочкой и рёбрами происходит по поверхности полосы, а не по линии, и он стал рассматривать ребристую оболочку как оболочку ступенчато-переменной толщины.

Аналогичный подход к ребристой оболочке при решении нелинейных задач применил В.В. Карпов. В его работах [40, 51] этот подход получил свое дальнейшее развитие. Им была разработана нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающая дискретность размещения рёбер, их ширину и совместную работу в местах пересечения, наличие в одной конструкции рёбер, вырезов и накладок. Эта теория обобщает все известные ранее подходы к ребристым оболочкам и позволяет получить уравнения равновесия и движения оболочек ступенчато-переменной толщины. Переменность толщины в ней задается с помощью единичных столбчатых функций.

За последние годы появилось большое число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек. Однако подавляющее число публикаций относится к исследованию ребристых оболочек в линейной постановке.

Наиболее общий обзор работ, посвященных устойчивости подкрепленных пластин и оболочек, приведен в работе Маневича А.И. [62]. Традиционная линейная постановка задач устойчивости для оболочек, ослабленных отверстиями, использована в работе [89]. В силу линейности задач общее НДС оболочки представляется в виде суммы основного (для оболочки не ослабленной отверстиями) и возмущенного (вызванного наличием отверстий), носящего локальный характер. Детальное исследование перфорированных пластинок и оболочек приведено в монографии Григолюка Э.И. и Филынтинского Л.А. [22].

Наиболее полно рассмотрены цилиндрические оболочки. Для задач динамики ребристых оболочек в наиболее общем виде уравнения движения построены для цилиндрических оболочек [7, 27].

В работах Амиро И.Я. и Заруцкого В.А. [5, 6] даны обзоры состояния исследования ребристых оболочек как в статической, так и в динамической постановке. Следует отметить также обзор работ в области статики ребристых оболочек, составленный Кантором Б.Я. и др. [39].

К приведенным выше обзорам, на наш взгляд, следует добавить еще работы Абовского Н.П., Енджиевского Л.В. и др. [1-3, 25, 85, 86], а также работы Карпова В.В. [40 -44, 51, 52, 54], Тимашева С.А. [75, 81] и Климанова В.И. [52, 55].

Единичные функции для задания дискретности толщины пластин и оболочек применяются в работах [2, 25, 27, 28, 85]. Следует отметить при этом, что в работах Абовского Н.П., Енджиевского Л.В. и других ученых Красноярской школы [2, 25, 84, 85] задание дискретной переменности толщины используется как для задач в физически нелинейной постановке, так и геометрически нелинейной. Это позволяет рассчитывать оболочки, подкрепленные ребрами, так и ослабленными вырезами.

Большое число работ посвящено исследованию трехслойных пластин и оболочек.

Большой интерес вызывает подход, предложенный в работе Михайлова Б.К., Каратаева Л.П., Овчинникова М.А. [66], исследования трехслойной пластины с дискретным ребристым заполнением. Разделением ребра по средней линии трехслойная пластина распадается на две однослойные плиты с ребрами, направленными в противоположные стороны по отношению друг к другу. Таким образом, задача расчета трехслойной плиты с внутренним ребристым заполнением сводится к расчету двух однослойных ребристых плит с последующим определением неизвестных из канонических уравнений, число которых равно числу ребер.

Методам расчета трехслойной пластины и оболочек симметрического строения по толщине посвящена работа Водяного Л.Ф. [14], в которой вариационным методом получены уравнения изгиба непологой трехслойной оболочки, а также решена задача об изгибе трехслойной оболочки с жестким заполнителем под действием равномерно распределенной нагрузки в случаях шарнирно-неподвижного опирания и заделки кромок. В работе также рассмотрен изгиб подкрепленных трехслойных оболочек и пластинок под действием поперечной нагрузки с учетом дискретного расположения ребер жесткости.

Многие авторы уделяют внимание многослойным пологим оболочкам [37, 57, 91]. Например, Кабуловым В.К. и Бабамурадовым К.Ш. [37] разработана программа численного решения для пологих трехслойных оболочек, испытывающих конечные прогибы под действием внешних сил. Методике решения нелинейных задач строительной механики посвящена работа Краснова [57]. Данная методика рассматривается в применении к расчету многослойных, несимметрично армированных, гладких и подкрепленных пологих оболочек и пластин позволяет по единому алгоритму определять компоненты НДС конструкций и критическую нагрузку при статических и динамических воздействиях. Юркевичем A.A. [91] доказана теорема существования решения задач для геометрически нелинейных пологих трехслойных оболочек с граничными условиями типа защемления и шарнирного опирания, а также для случая двухслойной оболочки.

Авторами Григолюком Э.И., Куликовым Г.М. [21] уделяется большое внимание геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко, построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений, поперечных и касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения для касательных напряжений. Рассматривается уточненная теория пологих многослойных оболочек. Получена система разрешающих уравнений относительно силовой функции F, функции перемещений и функции сдвига, совпадающих по форме записи с нелинейными уравнения трехслойных оболочек Э.И.Григолюка - П.П.Чулкова [22]. Здесь же исследуется модель армированного слоя, позволяющая определять механические свойства материала на основании свойств составляющих его компонентов, а также геометрически нелинейный вариант теории многослойных анизотропных оболочек с учетом локальных эффектов. На основе

разработанных программ представлен детальных анализ эффекта анизотропии в перекрестно армированных оболочках.

Многослойным оболочкам вращения также уделяется внимание исследователей. Тимониным A.M. [83] получена разрешающая система уравнений, состоящая из десяти нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных с переменными коэффициентами, и сформулированы соответствующие граничные условия для этой системы. По разработанной методике построен и реализован алгоритм численного решения задач о нелинейной деформации слоистых ортотропных оболочек вращения с малой сдвиговой жесткостью, находящихся под воздействием несимметричных и локальных краевых и поверхностных нагрузок и температурных полей. Многослойные конструкции, выполненные в виде комбинации оболочек вращения с произвольной формой меридиана, в том числе разветвленной и многосвязной, являются предметом исследований Э.В.Игнатьевой [34]. В основу численных алгоритмов расчета НДС положен полуаналитический вариант метода конечных элементов, который применяют вместе с методами прямого численного интегрирования для расчета НДС конструкций при нестационарном нагружении. Разработана эффективная методика и расчет НДС многослойных пологих оболочек из композиционных материалов с промежуточными упругими опорами, включая выбор и обоснование варианта теории оболочек в соответствии с особенностями рассматриваемого класса задач и свойствами многослойных материалов с новым типом ячеистого заполнителя.

Анализируя работы, посвященные трехслойным оболочкам и пластинам, можно заметить, что большинство из них относится к гладким конструкциям с разными жесткостными характеристиками слоев[21, 37, 82, 91]. И только малое число работ относится к трехслойным пластинам и оболочкам, подкрепленным ребрами [14, 32, 60, 66], причем

w и Т"* и w и

задачи рассматриваются в линеинои постановке. В геометрической нелинейной постановке

решены задачи для трехслойных оболочек в работах [21, 37, 57, 91]. Упрощенная модель трехслойной пластины с внутренними ребрами рассматривается в работе [66].

Одним из важнейших достижений в нелинейной теории пластин и оболочек явился метод продолжения решения по параметру, предложенный Э.И. Григолюком и В.И.Шалашилиным в их совместной монографии [23]. Этот метод был применен ими к задачам механики.

Однако более известен метод последовательного нагружения (МПН), предложенный В.В. Петровым в 1959 г. в работе [66], который является вариантом метода продолжения по параметру. Этот метод получил дальнейшее развитие и применение в работах как самого Петрова В.В. [68]., так и его учеников [42, 52, 58, 59, 63 и др.]. В дальнейшем появились модификации МПН. Например, В.В. Кузнецовым за последовательно изменяющийся параметр был принят размер оболочки в плане [7]. В работах В.В. Карпова был предложен метод последовательного наращивания ребер (МПНР), когда за изменяющийся параметр принимается высота ребер [49, 50-53, 42 и др.] и метод последовательного изменения кривизны (МПИК), когда за изменяющийся параметр принимается кривизна оболочки [47].

Применение этих методов в сочетании с методом Бубнова - Галеркина [15, 16] позволило В.В. Карпову рассмотреть сложные задачи устойчивости ребристых оболочек с позиций геометрической нелинейности и определить местную и общую потерю устойчивости таких оболочек во взаимосвязи. Следует отметить при этом, что предложенные В.В. Карповым модели и методы позволяют учесть такие факторы, как влияние перекрестной системы ребер на поперечные сдвиги и кручение обшивки, а также производить расчет оболочек, ослабленных вырезами.

Разработка Карповым В.В. [54], Игнатьевым О.В. и Филипповым A.C. [35-37] метода последовательного наращивания ребер (МПНР) и создание на базе МПНР и МПН варианта метода покоординатного спуска дало возможность сравнительно просто выбирать

рациональные варианты .подкрепления оболочек ребрами жесткости. Такой подход к выбору рациональной кривизны на базе метода последовательного изменения кривизны (МПИК) и МПН предложен в работе [47].

В последние годы большое значение приобрели приближенные методы, основанные на вариационных постановках задач математической физики. Задачи, допускающие вариационную постановку, позволяют максимально ослабить математические ограничения, накладываемые на разыскиваемое решение. Кроме того, вариационная формулировка предоставляет возможность взаимосвязи с задачами оптимизации и выбора рациональных параметров. Вариационно-параметрический метод рассмотрен в работе Карпова В.В., Игнатьева О.В., Игнатьевой И.А. [30].

Анализ современного состояния теории пологих ребристых и многослойных оболочек показал следующее:

• достаточно полно исследованы оболочки в линейной постановке, большей частью цилиндрические;

• в геометрически нелинейной постановке проведены исследования также в основном цилиндрических оболочек, и при этом с использованием модели Кирхгофа-Лява. Рёбра в этих исследованиях рассматривались как упругие одномерные элементы, присоединенные к обшивке по линии;

• в большинстве работ, посвященных трехслойным оболочкам и пластинам, исследуются гладкие конструкции с разными жесткостными характеристиками слоев, и только в некоторых работах рассматриваются (в основном в линейной постановке) трехслойные пластины и оболочки, подкрепленные внутренним слоем ребер.

Анализ публикаций по теме диссертации позволяет сделать вывод, что трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем исследованы недостаточно полно, хотя такие конструкции находят широкое применение. Таким образом задача разработки

математической модели трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем

является актуальной.

Цель работы состоит:

• в разработке математической модели трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем как варианта оболочки ступенчато-переменной толщины с внутренними вырезами, при условии, что для всех слоев принимается единая нормаль;

• в выводе уравнений равновесия для оболочек с внутренними вырезами;

• в разработке методики расчета НДС и устойчивости таких оболочек и исследовании конкретных оболочечных конструкций.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• в подходе к трехслойной оболочке с дискретным внутренним слоем как оболочке ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах;

• в разработке на основе оболочки с внутренними вырезами новой модели трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем, в которой гипотеза о недеформируемой нормали применяется ко всему пакету в целом;

• в выводе уравнений равновесия в перемещениях и в смешанной форме с учетом геометрической нелинейности, в ко