автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вариационно-параметрический метод расчета трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем при конечных прогибах

На правах рукописи

Вахрушева Марина Юрьевна

ВАРИАЦИОННО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ТРЕХСЛОЙНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ДИСКРЕТНЫМ ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ

специальность 05.13.18. - Теоретические основь1 математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном архитектурно-строительном университете на кафедре Вычислительной математики.

доктор технических .наук, профессор Карпов В .В. кандидат технических наук, доцент Игнатьев О.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, •

профессор Жилин П.А., доктор технических наук, профессор Темнов.В. Г.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский

государственный университет путей сообщения

Защита состоится 28 октября 1998 года в 13 час. на заседании диссертационного совета К 063.31.06 в Санкт-Петербургском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 198005, г. Санкт-Петербург, ул. 2-ая Красноармейская, 4, Зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан " сентября 1998г.

Научный руководитель: Научный консультант:

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Петухова Н.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

Большинство конструкций в авиастроении, кораблестроении, машиностроении и строительстве представляют собой оболочечные конструкции, подкрепленные сеткой ребер, что обеспечивает им высокую прочность при малом весе. Одцако еще большей прочностью обладают конструкции, представляющие собой трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем.

Трехслойным пластинам и оболочкам посвящено большое число публикаций. Однако большинство из нщь относится к гладким конструкциям с разными жесткостными характеристиками слоев. И только малое число работ относится к трехслойным пластинам и оболочкам, подкрепленными ребрами. Причем задачи рассматриваются в основном в линейной постановке, а исследования по трехслойным пластинам и оболочкам с дискретным внутренним слоем сводятся к упрощенным моделям. Поэтому актуальным является:

♦ разработка такой математической модели трехслойной оболочки с •дискретным внутренним слоем, которая наиболее точно описывала бы работу конструкции;

♦ разработка методики расчета НДС и устойчивости таких конструкций.

Цель работы состоит:

♦ в разработке математической модели для трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем с учетом поперечных сдвигов разных в каждом слое при конечных прогибах;

♦ в разработке методики расчета напряженно- деформированного состояния (НДС) и устойчивости таких оболочек на основе вариационно-параметрического метода.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- получен функционал полной энергии деформации для трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем с учетом поперечных сдвигов разных в каждом слое при конечных прогибах, когда прогибы во всех слоях считаются одинаковыми; -

- после применения метода Ритца к функционалу полной энергии деформации трехслойных оболочек с учетом поперечных сдвигов разных в каждом слое получена система нелинейных алгебраических уравнений, которая методом продолжения решения по параметру линеаризована;

- на основе составленного комплекса программ расчётов на ЭВМ проведены . исследования НДС и устойчивости рассматриваемых конструкций при различной жесткости внутреннего несущего слоя;

- получена математическая модель и после применения вариационно-параметрического метода соответствующая система линейных алгебраических уравнений для трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем, когда прогибы внешних слоев могут быть разными.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений вариационно-параметрического метода, а также использованием для решения полученных уравнений детально изученных методов. Сравнение с результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорят о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов. Разработанное математическое й программное обеспечение расчётов трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем при конечных прогибах на основе вариационно-параметрического метода может найти применение в Научно-исследовательских, проектных и конструкторских организациях'при расчётах на прочность, устойчивость и оптимизацию деталей машин, аппаратов; конструкций и сооружений. Работа получила внедрение в АО "Саратовский авиационный завод".

Все подученные в диссертацирнной работе результаты численного эксперимента приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций.

Апробация работы. ~

Основные результаты диссертационной работы докладывались: • ♦ на 52-й, 53-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (Санкт-Петербург 1995, 1996гг.),

♦ на 2-й Саратовской международной летней школе по проблемам механики сплошной среды (Саратов 1996г.).

Полностью работа докладывалась:

♦ на научном семинаре кафедры строительной механики ВолгГАСА под руководством академика, д.т.н., проф. Игнатьева В.А. (январь 1998г.),

♦ на научном семинаре кафедры вычислительной математики СПбГАСУ под руководством д.физ.-мат. н., проф. Вагера Б.Г. (май 1998г.) . Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в четырех

научных статьях. -

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 97 наименований и приложения. Работа изложена на 145 страницах машинописного текста, иллюстрирована 9 рисунками. В приложение вынесены коэффициенты уравнений, полученные в работе, и программы расчёта на ЭВМ. -

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор литературных источников по теме диссертации, сформулирована цель, указана научная новизна, практическая ценность и положения, выносимые на защиту, отражено краткое, содержание диссертации.

Трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем обладают еще большей прочностью, чем оболочки, подкрепленные ребрами, при сравнительно малом весе конструкции. Поэтому они имеют большое примените в различных областях техники.

В работе Михайлова Б.К., Каратеева Л.П., Овчинникова М.А. исследуется трехслойная пластина с дискретным ребристым заполнением, которую авторы рассматривают как статически неопределимую систему, состоящую из однослойной плиты с ребром и другой однослойной плиты с ребром, но направленным в противоположную сторону. Основная система получается из исходной путем разделения ребра по средней линии. Таким образом, задача расчета трехслойной плиты с внутренним ребристым заполнением сводится к расчету двух реберных однослойных плит.

Методам расчета трехслойных пластин и оболочек симметричного строения по толщине посвящена работа Водяного Л.Ф., в которой вариационным методом получены уравнения изгиба непологой трехслойной оболочки, а также решена задача . об изгибе трехслойной оболочки с жестким заполнителем под действием равномерно распределенной нагрузки в случаях щарнирно-неподвижного опирания и заделки, кромок. В работе также рассмотрен изгиб подкрепленных трехслойных оболочек и пластинок под действием поперечной нагрузки с учетом дискретного расположения ребер жесткости. .

Многие авторы уделяют внимание многослойным пологим оболочкам. Кабуловым В.К. и Бабамурадовым К.Ш. разработана'программа численного решения для пологих трехслойных оболочек, испытывающих конечные прогибы под действием внешних сил. Методике решения нелинейных задач строительной механики посвящена работа Краснова A.A. Данная методика рассматривается в применении к расчету многослойных, несимметрично армированных, гладких и подкрепленных пологих оболочек и пластин, позволяющая по единому алгоритму определять компоненты НДС конструкций и критическую нагрузку при статических и динамических воздействиях. Юркевичем A.A. доказана теорема существования решения задач для геометрически нелинейных пологих трехслойных оболочек с граничными условиями типа защемления и шарнирного опирания для общего случая естественных граничных условий, а также для случая двухслойной оболочки.

Авторами Григолюком Э.И., Куликовым Г.М. уделяется большое внимание

геометрической нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко, построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения для касательных напряжений. Кроме того, рассматриваются геометрически нелинейный варианты теории многослойных анизотропных оболочек с учетом локальных эффектов. :

Многослойным оболочкам вращения также- уделяется внимание исследователей. Тимониным A.M. получена разрешающая система уравнений, состоящая из десяти нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка

- в частных производных с переменными коэффициентами, и сформулированы соответствующие граничные условия для этой системы.

Многослойные конструкции, выполненные в виде комбинации оболочек вращения с произвольной формой меридиана, в том числе разветвленной и

- многосвязной, являются предметом исследований Игнатьевой Э.В.' В основу численных алгоритмов расчета НДС положен полуаналитический вариант метода конечных элементов, который применяют вместе с методами прямого численного интегрирования для расчета .НДС конструкций при нестационарном нагружении. Разработана эффективная методика и расчет НДС многослойных пологих оболочек из композиционных материалов с промежуточными упругими опорами, включая выбор и обоснование варианта теории оболочек в соответствии с особенностями рассматриваемого класса задач и свойствами многослойных материалов с новым типом ячеистого заполнителя.

Анализ'публикаций по теме диссертации позволяет сделать вывод, что трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем исследованы недостаточно, хотя такие конструкции находят широкое применение. Таким образом, возникает необходимость в разработке математической модели для трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем с учетом поперечных сдвигов разных в каждом слое при конечных прогибах и создания эффективного алгоритма исследования такой модели.

В первой главе рассматривается модель пологой трехслойной оболочки, учитывающей поперечные сдвиги различные в каждом слое, но с одинаковым прогибом в слоях при конечных перемещениях. На основе вариационного принципа получены'уравнения равновесия таких оболочек. ;..

Рассмотрим модель пологой трехслойной оболочки, учитывающую поперечные сдвиги, различные в каждом слое, но нормальные перемещения (прогибы) одинаковые для каждого слоя (Рис.1).

Рис. 1.

Поверхность контакта между первым и вторым слоями принимается за координатную поверхность. Через Ъг А, обозначим толщины слоев.

Перемещения произвольной точки нормали к координатной поверхности 50 в слое (к) зададим в виде:

= к = 1,2,3;

и" = (и*V*" = к = 1,2;

гк %

,,, А, г-А, Ъ,

2, 23 21

Введем обозначения

^=±(и1-и„-ку11)), (1)

г, 4

г3

Причем г]*1 имеют определенный геометрический смысл. Так,

Теперь с учетом (1) перемещения в слое (к) будут иметь вид:

и(к) =и0+гу/{к>, V'" = + , к = ¡,2; и'3^и0+ь,(Чг'х'>-¥'х»)^гу'х3>, ; ■ (2)

Используя соотношения (2), и, учитывая геометрическою нелинейность, можно записать выражения для деформаций удлинения ех, е, вдоль осей координат ОХ, 01' соответственно и сдвига уХ!:

& . %

М" (V „ .

. - 43' = + а» -. 4 = «>+ +

Г„. ^ + & Л

у<3,^е л В + гГ + ' )

4» + ^ = Д + ьш

А V

где

Здесь

■Л/'" дш13> ¿У'У ¿Г?'

— Л; Г----+----—-)■

3 " Л Л Зс

до, ,• 1 , сХ<0 дч0 <Аес

через и обозначены главные кривизны оболочки.

Напряжения, действующие в произвольной точке каждого слоя через деформации на основе закона Гука находятся по формулам:

, " ¡-к

^ + А) • ^ ^

Здесь = 1,2.3)- модули упругости материала слоев оболочки,

= 1.2.3)- коэффициент Пуассона материала слоев оболочки; /(г) - функция, характеризующая распределение напряжений вдоль г. Для описания дискретности внутреннего слоя используем единичные столбчатые функции, .сдавая толщину этого слоя с помощью функции фис. 2):

т п ч я? _

Ъ,(х.у)^к15<х-х^)+ > - XX 1>1%У ~ - .Ту к

Рис.2.

Этот слой будем рассматривать как систему пересекающихся ребер высотой А

Интегрируя напряжения по г в пределах каждого слоя, и, учитывая дискретность внутреннего слоя, можно получить усилия, моменты, приведенные к координатной поверхности Усилия и моменты через деформации выражаются так:

дгГЧ __

АП

Ы'к> =

1-А Е,

1-А 2(1 +А)

(ех +//,ег)Зк +

-— + А»-—

(А Л

Л

- + /4 -

Л+Л^ ■

Здесь

м[\> = - . Еч......

" 3(1+Р,)

2(} + /лк)\а: .

к = 1,2,3;

■ . 2

А, = О,

А?

5, = -

2

-А;

3

а2 = о,

сЭс

<3с

5 ;'зг+2/,Л 3 2

Л - з

N

^ =0, в2 = О,

^

Аналогично записываются выражения для

Во второй главе приводится методика расчета НДС и устойчивости рассмотренных конструкций на основе вариационно-параметрического метода. К функционалу полной энергии деформации применяется метод Ритца. В результате получается система нелинейных алгебраических уравнений. Для линеаризации этой нелинейной системы применяется метод продолжения решения по параметру, когда - за параметр берется нагрузка (т.е. метод последовательных нагружений). В результате получается система линейных алгебраических уравнении.

Функционал полной энергии деформации трехслойной оболочки с ' дискретным внутренним.слоем имеет вид:

Э - П - А, (3)

где ■ ^

г + N.,4, + Л-ТЧ + м'х

о

дс

- м{к>

Мк>

А>

у { <ь> ¿у

ь1 + ы'х:

ф ф А А

А - работа внешних сил. Если на конструкцию действует только поперечная

нагрузка, то

о 4

= 11 игдсЬсс/у.

о о

Применяя к функционалу (3) метод Ротца, в соответствии с которым неизвестные функции представляются в виде рядов

й = ¿С/(/)Л'1(7)П<7), Й» = ¿ЯП(/)ЛГ4(/)У4(/),

N ■ N

V = ^ГЩХ2(1)У20), йг>=]£РХ2(/)Х5(/)У5(/),

/-1 .

Г*2>(/)ЛГЗ(/)ГЗ(/), Й3'=|;ЯА-3(/)Л'6(ЛГ6(/), • (4)

у/»' = ¿РУ1(/)Х7(/)У7(/),

я

=]ГРП(/)Х9(/)Г9<7),

и, приравнивая к нулю производные от функционала (3) по неизвестным числовым • параметрам 11(1), ¡71), П'(1), РХ1(1), РХ2(1), РХЗ(1), РП(1), РУ2(Т), РУЗ(1), получаем систему нелинейных алгебраических уравнений, которая будет иметь вид:

N N . 4

^[и(1)а(1,1) +У(1 )С2(1,1) + Щ!){ С3(1,1) + £Ш(К)С4(1,К,1)\ +

+ РХ1(!)С5(1,1)±РХ2(1)С6(1,!) + РХЗ(1)С7(1,1) + РГ1(1)С8(1,1) + + РГ2(1)С9(1,!) + РГЗ(1)СЮ(1,1) ] = 0, 1=1,2,. ...ЛГ;

»V N

^[и(1)С11(1,1)+У(1)С!2(1,1) + Щ1){С13(1.1)+ } +

/»/ ■ ■ . г»;

+ рх1(/)С15</)г)+яА'2(/)С1б(/,о+та'з(/)С17(;,/)+р}'1(/)С18(/,о+ + Р¥2(1 )С19(1,1) + РУЗ(1 )С20(1,1) 7 = 0; 1=1,2,.

'Я ■ Ы N

Щ1 ){С21(1,1)+^'(К)С22(1 ,К,1) }+1'(1){С23(1,1) + "]ГЩК)С24(1.К,1) } +

^W(l)\C25(l,l) + ^lr(K)(C2б(l,KJ)+'£W(J)C■27(l,K.J.I))} + ■

к-I ■ :=1

■V . N

+ РХ1(!){С2г«/,г)+'£ПГК)С29(/,К,0 РХ2(1 ){С30(1>С31(1 Х,!)]*

!;•! Ы1-

+ РХЗ(/){С32<1.1)+ ^Г(К)СЗЗ(1,К.1)} + РГК1)\С34(1.1)+^У(К)С35(1.К.1)} + '

л' л'

+ РГ2(1){С36(П)т'£П'(К>С37(1,К.1)} + РУЗ(1){С38(1,1)+ ^И-7 К )С39(1, К. II \]

К'!

= (1-ц: )ЩСР(1), 1=1,2,...,<\г;

Я ' N

1^[1!{Г)С40(! ,1)+\-(1)С41(1 Л> + и'(1 ){С.42(1,1) + К )С43(1 ,К,1) }+ (5)

+ РХ1(1)С44(1,1) + РХЗ(1)С45(1,1) + РУ1(1)СЩ1,1) + РУЗ{1)С41(1,Щ~ О,

■У и

£ /1/(7 )С 48(1.1 ) + У( 1 )С 49(1.1) -г 1\'(1 ){С50(1, /) + £ IV ( К)С-51(1, К.1) } +

: V. -- /

+ РЛ"2(/)С52(Д/) + ЯГ2(7)С53(/,/)] = 0, • 1=1,2.....У;

„V N ■

^[1и1)С54(1,1)+Г'(1 )С55(1.1)+\Г(1 ){С56( 1.1 К )С37( 1. К,!) } -к

+ РХ 1(1 )С5в( 1,1) + РХЗ(1 )С59(1,!)+ РУ!(1)С60(1.1)+ РУ 3( 1 )С61( 1,1)] = 0.

1=1,2.....К; ■ ■

У[и(ПС62(1.1)гГ(11С63(1.П + 11'(1){С64(1,1) + ^\\'(К)С65(1,К,1). } + + РХ 1( 1)С66( 1.1) + РХ3(1 )С67(1.1) + РУ 1(1 )С68(1.1)+ РУ3(1 /С69(1.1)] = 0. Ь-1,2,...,К; ^[!Г(1)С~>0(и) ¡¡'(1 КУ1( 1.1)+ 1\'(1 )\а2(1.1) + К73(1 .К.1) } +

1=1 ¿=1

+ РХ2(1)С14(1,1) + РУ2(1)С15(1.1)] = 0. • 1=1,2,....У: .

л7 * :г

^[и(1)С76(1,1)+У(1)С77(1,!)+П'(1^С78(1,1)+'£и'(К)С791(1,К.1) })

+ РХ\(1)СЩ1.1) + РХЗ(1)Сщи) + РУ\(1)С82{],1) + + РУЗ(1)С83(1,1)] = 0, ' 1-1,2, ...,Л'.

Коэффициенты полученной системы нелинейных уравнений представляют собой интегралы от известных функций. В них также входят все' параметры рассматриваемой конструкции. Полные выражения этих коэффициентов здесь не приводятся в виду их 1ромоздкости.

Для линеаризации системы нелинейных алгебраических уравнений применяем • 12 -

метод продолжения решения по параметру, когда за параметр берется нагрузка {т.е. метод последовательных нагружений). В результате получаем на каждом этапе нагружения систему линейных алгебраических уравнений:

¿/ы*7 1С 1(1.1) +171)С2(1,и+ \Г(ГЮ1(М)+РК1(1)С5(].П +

¡-1

+ РК2(1 )С6<1.1)+ РКЗ(1 >С7(1,1) г РХ(1 )С8(1.!) + РХ2(1К"9(!,1) + РХЗ(1 )С10(1,!)/=0,

1=1,2,.„Л:

£ [к(/)С11(7. /) +г(/)С12(/, /) + и '(/)И2(/, I) + РК\(1)С15(1,1) + РК2(1 )С 16(1,1) +

+РК 3(])С Щ1,1)-УРХ1(!)СЩ1,1) +РХ Х_Г)С 19(/, /)+Т'Л' 3(/ )С 20(7. /)] = 0.

1=1,2.....Л',-

N

У^[и(1Ю?(1,1>+п1Ю4(1,1)+ж(1Ю5(1,1)+ РК1(1 Ю6(1.1)-г РК2(1)В7< 1,1) + +- РКЗ(!)В8(1.1) + РХ¡(1 )В9( 1 ,1) + РХ2(I)010(!,1) + РХ3(1)ОИ(!.1)] = ЛЦСРЦ),

1-1,2,..'.Л;

Л'

£[«(/)С40(/,0+К/)С41(/./)+«Ш^

/-1 ■■

+ РХ1(1 )С46(1,1) ( РХЗ(1)С47(1,1)] = О,

1=1,2,...Л;

£ [к(/)С48( Л 0 +К/)С49(/,0 + ><■( /)£>13(7,/)+ РК2(1 )С52(1.1) + ;С.5^7, /. У = О, (6)

.....V; ■

N ' ...

ш7 )С54( 1.1) +У,1 )С55(1,1) + иг / Ю14( 1.1) + РК1(1 )СЩ1, /) + РКЗ/1 )С59(1.1) +

+ РМ(1 )С60(1,1)_ + РАТ3(!)С6!( 1.1)7 = а . /=7Д...,-ЛГ;

••V ■ ' ' ■ '

5><7)С62(7 /) +У(/)С63(/. /) + и'(/)/Л5(Л /) + />Л-/( / /Сб^/.О + /V..

■+ РХ1(!)С68(1.1)\- РХЗ(1)С69(1,1)] = 0, 1.2.....Л';

.V •

2>'(/)С70(/./) +г(/)С71(/,|) + 4(1)0X6(1,1) + ,РА'2(/)С74(/./) +Р.\ГУГ>:7\[. /)] = 0,

I 1,2,...Л; '

¿|и(/)С7б(/./) +у(1)С77(1,1) + мЦ)й\1(1,1)+ РК1{1 )С80(1,1) + РКЗ(1 )С81( I,!) +

+ РХ1(!)С82(1,1)~ РХ3(1 )С83( 1,1)] ~о, 1=1,2.....Лг;

где

N

Dl(J,l) = C3(I,l)+1£W(K)(C4(I,K,l)+C4(K,I,!)), к-/

1

. D2(I ,l) = C13(I,l)+Yj W(K)(C14(I, К, lb C¡4(K, I, I)),

г.ч

D3(},l) = C21(I,l)+^W(K)C22(l,K,¡),

кч ■

• N

D4(I,l) -- C23(I,l)+ £ W(K)C24(I,К, I),

1СЧ

D5(I,lbC25(I,lb f,{U(K)C22(K,I,l)+V(K)C24(f:,I,l)+PXl(K)C29(K,r,I)+ .

K-J

+ PX2(K)C31(K,U) + РХЗ(К)СЗЗ(К,1,1) + РГ1(К)С35(К,1,1М

+ PY2(K)C37(K,l,l) + PY3(K)C39(K,I,l)b W(K)(C26(I,K,l)+C26(K,I,l)+

N •>

+ 4£lV(J)(C27(I,K,J,l) + C27(K,l,J,I)+C27(J,K,I,l))},

j-i

N

D6(l ,1) = C28(I ,I)+^TiW(K)C29(l ,К,Г),

N ' ' ' ' -

D7(I,¡) = С30(1, ЩК)С31(1, К, I),

к=;

м

D8(J,1) = C32(I,¡)+ Yj>V(K)C33(l,K,l),

x-i ■

С

N

D9(U) = C34(I,l)^W(K)C35(l,K,l),

N

DlO(I,l) = C36(l,lb^^(K)C37(I,K,l),

N

Dll(I,l) = C38(J,l)+^W(KX^39(],K,l),

K'I

к

D12(I,l) = C42(¡,lbJ^^(K)(C43(I,K,l) + C43(K,l,l)), *

r. i

N

Dl3(l,l) = C50(I,¡bYlw(K)(C51<l,K,l)*C51(K,J,l)),

í'j и

D14(l,l) = C56(l,l)+'£iW(KXCS7(J,K,lbCÍ7(KJM

K-l '

N

015(1.1)=С64(1,1)+'£\1-(К)(С65(1,К.1)+Сб5(К,и)), ' . . .

К-1 N

О! 6(1,1) = С72(1,1) + ^ IV (АТ )(С73(1, К,1)+ С73( К,1,!)),

* N

£4 7( 1,1) = С78(!, I) + ]Г \У(К )(С79(]. К, 1) + С79(К .1,1)).

Здесь и,\\м\РК1,РК2,РКЗ, PN1.PN2.PN3 - неизвестные параметры, а и, У,1У, РХ1,РХ2,РХЗ, PY1.PY2.PY3 - накопленные значения на предыдущих этапах нагружения. Эта система линейных алгебраических уравнений решается методом Гаусса.

По рассмотренной методике составлен программный комплекс-для ПЭВМ и проведены расчеты НДС и устойчивости оболочек с различной жесткостью внутреннего слоя.

В третьей главе приводятся результаты исследования напряжённо-деформированного состояния (НДС) и устойчивости трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем при различной жесткости внутреннего дискретного слоя.

- В начале доказывается достоверность получаемых результатов. Для этого был проведен расчет пластинки, когда высота внутрешгего дискретного слоя и нижнего, сплошного слоя много меньше высоты верхнего сплошного слоя. Сравнение результатов расчета НДС такой конструкции, приближенно представляющей собой гладкую пластинку, проводился с результатами расчета пластин, проводимым Карповым В.В., и показало хорошее совпадение.

Для доказательства эффективности применения конструкций в виде трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем по сравнению с-равновешкими им но объему однослойными ребристыми оболочками проводился расчет НДС трехслойных оболочек и ребристых оболочек квадратных в плане со стороной 60И {к - толщина обшивки ребристой оболочки и толщина верхнего сплошного слоя трехслойной оболочки), шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру и находящихся под действием равномерно распределешгой поперечной нагрузки. Высоты слоев трехслойной оболочки принимались =А ,=Л ,=й, ширина ребер внутреннего слоя бралась 6к и оболочка имела шесть пересекающихся регулярно расположенных ребер. Для ребристой оболочки, которая подкреплена шестью регулярно расположенными ребрами, высота ребер бралась 2к, а ширина 7.4к Для обеих оболочек, не считая верхнего слоя трехслойной и обшивки ребристой оболочки, объем; подкреплений составил 4835ИРадиус кривизны обеих оболочек брался Л, = Л'2 = 225Л .На рисунке 3 представлены графики - "нагрузка

— Д4<7 II' ' aV

p - —2— прогиб в центре оболочки W = — "и эшоры напряжений о,. = —•--

Eh ' h Elfi

вдоль оси т) (ri = —) при 4 = 0.1 = —) и Р = 300 на внешней стороне оболочек. Ь а

Номер кривой означает: 1 - трехслойная оболочка, 2 - ребристая оболочка.

Пунктиром показан результат, полученный Карповым В.В. и Рыбаковой О.В., для

варианта трехслойной оболочки с дискретным внутренним, когда ко всем слоям

берется единая нормаль (упрощенная модель). -

Рис. 3. 16

Как видно из рисуйка 3 трехслойная оболочка с дискретным внутренним слоем является более жесткой, чем равновеликая ей по объему ребристая оболочка. Поэтому такие конструкции предпочтительнее для создания легких и высокопрочных машин, аппаратов и сооружений.

Анализировалось влияние числа ребер внутреннего дискретного слоя трехслойной оболочки, их ширины и высоты на НДС конструкции для квадратньк в плане со стороной а=60И, шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру оболочек, находящихся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Радиус кривизны оболочки выбирался Н1=Я2 = 225/) и оболочка имела 4, 6, 8 регулярно расположенных внутренних ребер шириной 2к Принималось

-5* о,г, р=зоо

Рис. 4.

На рисунке 4 представлены графики - "нагрузка р - прогиб в центре оболочки IV " и эпюры напряжений при §=0.2 и ^ = 300 на внешней стороне оболочки. Номер кривой означает число ребер внутреннего слоя, индекс 1 означает, что высота =2И, Как видно из рисунка 4 число ребер оказывает существенное

влияние на НДС конструкции, но высота, внутреннего дискретного слоя оказывает на НДС еще большее влияние. '

. Применяя метод продолжения решения по параметру к нелинейной системе алгебраических уравнений (5), и, беря за параметры нагрузку, жесткостные характеристики, кривизну, получим системы линейных алгебраических уравнений, у которых левые части будут одинаковые (как у системы (6)). Варьируя этими параметрами (метод покоординатного спуска) можно подбирать рациональный вид конструкции.

В четвёртой главе рассматривается более сложная- модель трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем, когда прогибы внешних слоев в некоторых местах оболочки могут не совпадать. Получен функционал полной энергии деформации для таких оболочек и после применения вариационного-параметрического метода - система нелинейных алгебраических уравнений и соответственно система линейных алгебраических уравнений с помощью метода последовательных нагружений. .

Для того чтобы учесть различия в прогибах внешних слоев, перемещения зададим в виде ,

и(к> + гу/хк>, + к=1,2;

и<3> = и„ + ИМ" -У,") + ^ • =+ ~ V',3' > + гV',3' - у'" = "о + V, ■

Функция уг определяет разницу в прогибах внешних слоев. При этом выражения деформации для первого и второго слоя не изменяются, а деформации в третьем

слоем будут иметь вид: ^ ^

& & ) А

ГДС (3) ¿Ь^ ¡(ЯуЛ1 е. ' -е.-к.ч>, +--— + - ——

' " & Л 2\ & У

П\

■ А ф ф Л ¿к

в1;\

Аналогично записываются выражения для

Подчеркнутые члены в (7) - это добавки к деформациям, рассмотренным выше, при учете разницы в прогибах внешних слоев. Так как выражение деформации

для третьего слоя содержит дополнительные слагаемые, то дополнительные слагаемые будут присутствовать и в выражениях для усилий и моментов третьего слоя:

1-Я

Й{!> = М'» + !ЬЬ(Н>+2Ь'> (е? + МзеП.

. 0-^1)2 ' ' ■

4(1 +А) "

где

'Уг. & & 2\ ¿Ьс )

ду 2\еу) ¿V ¿Уг ¿V г?(уг ¿Уг

" <Эс ду дх. <к ду Аналогично записываются выражения для Я™, Л7'3'.

В выражении функционала полной энергии деформации (3) для рассматриваемой конструкции появятся дополнительные члены, такие как, например,

л, е, = пх ех +N1 е, + Ь1(е* +ц3ле>)ех +

I л 'О з~<3>

-ЬДе» е, 1вя +N,411

Н

Ь^вх еГ^Ь

"Ух

1% ЙГ

Здесь, подчеркнутые члены - это добавки к функционалу.

Все суммарные добавки к функционалу (3) будут иметь место только в тех местах, где нет внутреннего дискретного слоя, т.е. между ребрами этого слоя. Поэтому функционал должен содержать множитель вида

К =

1-1 1-1 - 1.1 1-1 ]

Тагам образом, для рассматриваемой модели в дополнение к функционалу (3) появится еще. выражение следующего вида

II -V' е* +Ъ,(ех + (1}Х е, )(е*+е, ) + Ь,(ег + {¡¡£е} )!н

о о

су/, оу/х

I ^

4е

I л ''' Л 1

- \ еу-, &У

" '"' ¿Ъ(1)~г ,''«/- '-г -г ¿-г, ЬЛ*\ и,е* +Л'е'Лк., ,, * ХЫ, е,.*Ь,Х(е, + Ле, )■¥ 'г\пз, , I ^ Л}

„— (!) яГ<3

ёу/1 ду\ суу

.-г ,2-Г.ду, .2, ~Г ,2-Г^Г

+ а„(вх + р31е, ) + а,4Л (^¡е, + Ле, )——

дг)

+

и [ -С« «V,

1 фщ.

" Щ ) ' ёп Щ К. Теперь, в соответствии с методом Ритца нужно в дополнение к (4) принять

Г, = Ъщ1)ХЮ(тО(1). ■ /-1 .

Чтобы получить добавки к уравнениям нелинейной системы (5), нужно взять частные производные по искомым числовым параметрам от выражения (8) и приравнять их к нулю. Кроме того, т.к. появилась новая неизвестная функция то появится и еще одно уравнение

ЛУР

Таким образом, получена система нелинейных алгебраических уравнений и для этой сложной модели трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем, которая учитывает разницу в прогибах внешних слоев в тех местах, где нёг внутренного слоя. Для линеаризации последней применяем метод продолжения решения по параметру. После чего получаем систему линейных алгебраических уравнений, которая решается методом Гаусса.

Основные результаты и выводы....

1. . Разработаны модели трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем с учетом поперечных сдвигов разных в каждом слое, как с одинаковыми прогибами в слоях, так и с различными прогибами внешних слоев.

2. На основе вариационно-параметричесюго метода разработан алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем.

3. Составлен комплекс программ для ПЭВМ, позволяющий вести расчёты прочности и устойчивости рассматриваемых конструкций при изменении параметров нагрузки, жесткостных характеристик рёбер и кривизны.

4. Проведены исследования, которые показали эффективность таких конструкций по сравнению с однослойными оболочками, подкрепленными ребрами. Проанализировано атияние числа ребер внутреннего слоя, их ширины и высоты на НДС конструкции.

5. Показана возможность выбора рациональной конструкции (жесткости ребер внутреннего слоя, кривизны) путем варьирования параметрами нагрузки, жесткостных характеристик ребер, кривизн»!.

Основное содержании диссертации опубликовано в работах:

1. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Вахрушева М.Ю.^ Рыбакова О.В. Трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем.// Труды ХУШ Международной конференции по теории оболочек и пластин, т.З, Саратов, 1997г.,с.83-87.

2. Вахрушева М.Ю. Применение вариационно-параметрического метода для получения линейной системы алгебраических уравнений при расчете трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем. //Математическое моделирование, численные методы'и комплексы задач. Сб. трудов СПбГАСУ, 1998п, с.63-71,

3. Вахрушева М.Ю. Применение вариационно-параметрического метода для получения линейной системы алгебраических уравнений при расчете трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем при учете различия в прогибах внешних слоев.//Материалы XIX научно-технической конференции. Труды Братского индустриального института. Братск, 1998г., с.75-78.

4. Карпов В.В., Вахрушева М.Ю. Модель трехслойной пологой оболочки с дискретным внутренним слоем с учетом различия в прогибах внешних слоев при конечных прогибах.//Труды молодых ученых. Часть 1. СПбГАСУ, 1998г., с.8-11.

Вахрушева Марина Юрьевна

ВАРИАЦИОННО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИИ МЕТОД РАСЧЕТА ТРЕХСЛОЙНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ДИСКРЕТНЫМ ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ

05.13.18- Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати . .98. Формат 60*64 1/16. Бум, газетная. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 80 экз. Заказ № ^,

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 198005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская, 4. Ротапринт СПбГАСУ. 198005, Санкт-Петербург, ул. Егорова, 5.

/

///УУ-У/ /¿"-0

Санкт-Петербургский государственный архитектурно- строительный

университет

на правах рукописи

Вахрушева Марина Юрьевна

ВАРИАЦИОННО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ТРЕХСЛОЙНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ДИСКРЕТНЫМ ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ ПРИ

КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ

специальность 05.13.18 -Теоретические основы математического

моделирования, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Карпов В.В.

Научный консультант: кандидат технических наук Игнатьев О.В.

Санкт-Петербург - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.............................4

Глава 1. Основные зависимости и соотношения для трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем, допускающих прогибы соизмеримые с толщиной.................12

1.1. Основные соотношения для трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем......................12

1.2. Переход к безразмерным параметрам...............19

1.3. Уравнения равновесия для трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем......................23

1.4. Выводы...........................25

Глава 2. Вариационно-параметрический метод расчета трехслойных

оболочек с дискретным внутренним слоем..........26

2.1. Полная энергия деформации трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем.......................26

2.2. Применение метода Ритца для получения нелинейной системы алгебраических уравнений для трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем.......................29

2.3. Методы продолжения решения по параметру для линеаризации полученной нелинейной системы алгебраических уравнений.....33

2.4. Алгоритм и программный комплекс расчета НДС и устойчивости трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем........38

2.5. Выводы...........................41

Глава 3. Расчет НДС и устойчивости трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем, находящихся под действием поперечной нагрузки.................

3.1. Обоснование точности и достоверности полученных результатов расчета НДС и устойчивости трехслойных оболочек с дискретным внутренним

слоем............................42

3.2. Обоснование эффективности конструкций в виде трехслойных

оболочек с дискретным внутренним слоем.............44

3.3. Расчет НДС и устойчивости трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем при различном числе ребер внутреннего слоя

и их жесткости.........................47

3.4. Рациональный выбор высоты внутреннего дискретного слоя.....51

3.5. Выводы...........................53

Глава 4. Трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем при учете

•различия в прогибах внешних слоев.............54

4.1. Основные соотношения для трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем при учете различия в прогибах внешних слоев .... 54

4.2. Разрешающие уравнения для трехслойных оболочек с дискретным

внутренним слоем при учете различия в прогибах внешних слоев ... 61

4.3. Выводы...........................75

Заключение...........................76

Список литературы........................77

Приложения ..........................86

Введение

Большинство конструкций в авиастроении, кораблестроении и строительстве представляют собой оболочечные конструкции, подкрепленные сеткой ребер, что обеспечивает им высокую прочность при малом весе. Однако еще большей прочностью обладают конструкции, представляющие собой трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем.

Основные идеи ребристых оболочек заложены в работах В.З. Власова [13,14] и А.П. Лурье [61]. В своих работах и В.З. Власов и А.П. Лурье рассматривали ребра как одномерные упругие элементы, присоединенные к обшивке по линии. В дальнейшем П.А. Жилин [27,28] предложил рассматривать ребристую оболочку, как оболочку ступенчато переменной толщины. Аналогичный подход к ребристой оболочке применяется в работах Карпова В.В. [40,51]. Им разработана теория оболочек ступенчато-переменной толщины, в которой учитывается совместная работа ребер в местах их пересечения, и которую можно использовать даже при наличии в одной конструкции ребер, вырезов и накладок. Эта теория обобщает все известные ранее подходы к ребристым оболочкам и позволяет получить уравнения равновесия и движения оболочек ступенчато-переменной толщины. Переменность толщины задается с помощью единичных столбчатых функций.

За последние 50 лет появилось большое число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами. Однако подавляющее число публикаций относится к исследованию оболочек в линейной постановке. Чаще всего рассматриваются замкнутые цилиндрические оболочки, решение которых находится в виде рядов. В работах Амиро И.Я. и Заруцкого В.А. [5,6] даны обзоры состояния исследования ребристых оболочек как в статической, так и в динамической постановке. Следует отметить также обзор работ в области статики ребристых оболочек, составленный Кантором Б.Я. и др. [39]. К приведенным выше обзорам, на наш взгляд, следует добавить еще работы Абовского Н.П., Енджиевского Л.В. и др. [1-3,26,85,86], а также работы Карпова В.В. [40 - 44,51,52,54], Тимашева С.А. [75,81] и Климанова В.И. [52,55]. Единичные функции для задания дискретности толщины пластин и оболочек применяются в работах [2,26,27,28,85]. Следует отметить при этом, что в работах Абовского Н.П., Енджиевского Л.В. и других ученых Красноярской школы

[2,26,85,86] задание дискретной переменности толщины используется как для задач в физически нелинейной постановке, так и геометрически нелинейной. Это позволяет рассчитывать оболочки, подкрепленные ребрами, так и ослабленными вырезами.

В работе Михайлова Б.К., Каратаева Л.П., Овчинникова М.А. [66] исследуется трехслойная пластина с дискретным ребристым заполнением, которая .рассматривается авторами как статически неопределимая система, состоящая из однослойной плиты с ребром и другой однослойной плиты с ребром, но направленным в противоположную сторону. Основная система получается из исходной путем разделения ребра по средней линии. Таким образом, задача расчета трехслойной плиты с внутренним ребристым заполнением сводится к расчету двухреберных однослойных плит с последующим определением неизвестных из канонических уравнений, число которых равно числу ребер.

Методам расчета трехслойной пластины и оболочек симметрического строения по толщине посвящена работа Водяного Л.Ф. [15], в которой вариационным методом получены уравнения изгиба непологой трехслойной оболочки, а также решена задача об изгибе трехслойной оболочки с жестким заполнителем под действием равномерно распределенной нагрузки в случаях шарнирно-неподвижного опирания и заделки кромок. В работе также рассмотрен изгиб подкрепленных трехслойных оболочек и пластинок под действием поперечной нагрузки с учетом дискретного расположения ребер жесткости.

Многие авторы уделяют внимание многослойным пологим оболочкам [37,57,90]. Например, Кабуловым В.К. и Бабамурадовым К.Ш. [37] разработана программа численного анализа решения для пологих трехслойных оболочек, испытывающих конечные прогибы под действием внешних сил. Методике решения нелинейных задач строительной механики посвящена работа Краснова [57]. Данная методика рассматривается в применении к расчету многослойных, несимметрично армированных, гладких и подкрепленных пологих оболочек и пластин позволяет по единому алгоритму определять компоненты НДС конструкций и критическую нагрузку при статических и динамических воздействиях. Юркевичем A.A. [90] доказана теорема существования решения

задач для геометрически нелинейных пологих трехслойных оболочек с граничными условиями типа защемления и шарнирного опирания для общего случая естественных граничных условий, а также для случая двухслойной оболочки.

Авторами Григолюком Э.И., Куликовым Г.М. [22] уделяется большое внимание геометрической нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко, построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения касательных напряжений. Рассматривается уточненная теория пологих многослойных оболочек. Получена система разрешающих уравнений относительно силовой функции F, функции перемещений и функции сдвига, совпадающих по форме записи с нелинейными уравнения трехслойных оболочек Э.И.Григолюка-П.П.Чулкова [23]. Здесь же исследуется модель армированного слоя, позволяющая определять механические свойства материала на основании свойств составляющих его компонентов, а также геометрически нелинейный варианты теории многослойных анизотропных оболочек с учетом локальных эффектов. На основе разработанных программ представлен детальный анализ эффекта анизотропии в перекрестно армированных оболочках.

Многослойным оболочкам вращения также уделяется внимание исследователей. Тимониным A.M. [82] получена разрешающая система уравнений, состоящая из десяти нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных с переменными коэффициентами, и сформулированы соответствующие граничные условия для этой системы. По разработанной методике построен и реализован алгоритм численного решения задач о нелинейной деформации слоистых ортотропных оболочек вращения с малой сдвиговой жесткостью, находящихся под воздействием несимметричных и локальных краевых и поверхностных нагрузок и температурных полей. Многослойные конструкции, выполненные в виде комбинации оболочек вращения с произвольной формой меридиана, в том числе разветвленной и многосвязной, являются предметом исследований Игнатьевой Э.В. [34]. В основу

численных алгоритмов расчета НДС положен полуаналитический вариант метода конечных элементов, который применяют вместе с методами прямого численного интегрирования для расчета НДС конструкций при нестационарном нагружении. Разработана эффективная методика и расчет НДС многослойных пологих оболочек из композиционных материалов с промежуточными упругими опорами, включая выбор и обоснование варианта теории оболочек в соответствии с особенностями рассматриваемого класса задач и свойствами многослойных материалов с новым типом ячеистого заполнителя.

Проанализировав выше упомянутые работы, посвященные трехслойным оболочкам и пластинам, можно сделать вывод, что большинство из них относится к гладким конструкциям с разными жесткостными характеристиками слоев [22,37,82,90]. И только малое число работ относится к трехслойным пластинам и оболочкам, подкрепленным ребрами [15,32,60,66]. Причем задачи рассматриваются ' в линейной постановке. В геометрической нелинейной постановке решены задачи для трехслойных оболочек в работах [22,37,57,90]. Трехслойная пластина с внутренними ребрами рассматривается в работе [66]. Причем рассматривается упрощенная модель.

Мощный импульс развитию нелинейной теории пластин и оболочек дал метод продолжения решения по параметру, основные положения которого применительно к задачам механики были изложены Э. И. Григолюком и В.И. Шалашилиным в монографии [24]. Наиболее известным и распространенным стал, однако, вариант этого метода, предложенный В.В. Петровым в 1959 г. в работе [67] и получивший название метода последовательного нагружения (МПН). Этот метод получил дальнейшее развитие и применение в работах как самого Петрова В.В. [68], так и его учеников [42,52,58,59,63 и др.]. Так В.В. Кузнецовым за последовательно изменяющийся параметр приняты размеры оболочки [7], а в работах В.В. Карпова за изменяющийся параметр принимается высота ребер [49,50-53,42 и др.] или кривизна оболочки [45]. В зависимости от изменяющегося параметра приняты названия методов:

МПНР - метод последовательного наращивания ребер;

МПИК - метод последовательного изменения кривизны. Применение этих методов в сочетании с методом Бубнова - Галеркина [16,17] позволило В.В. Карпову рассмотреть сложные задачи устойчивости ребристых

оболочек с позиций геометрической нелинейности и определить местную и общую потерю устойчивости таких оболочек во взаимосвязи. Следует отметить при этом, что предложенные В.В. Карповым модели и методы позволяют учесть такие факторы, как влияние перекрестной системы ребер на поперечные сдвиги и кручение обшивки, а также производить расчет оболочек, ослабленных вырезами.

Разработка Карповым В.В. [54], Игнатьевым О.В. и Филипповым A.C. [3537] метода последовательного наращивания ребер (МПНР) и создание на базе МПНР и МПН варианта метода покоординатного спуска дало возможность сравнительно просто выбирать рациональные варианты подкрепления оболочек ребрами жесткости. Такой подход к выбору рациональной кривизны на базе метода последовательного изменения кривизны (МПИК) и МПН предложен в работе [45].

В последние годы большое значение приобрели приближенные методы, основанные на вариационных постановках задач математической физики. Задачи, допускающие вариационную постановку, позволяют максимально ослабить математические ограничения, накладываемые на разыскиваемое решение. Кроме того, вариационная формулировка предоставляет возможность взаимосвязи с задачами оптимизации и выбора рациональных параметров. Вариационно-параметрический метод рассмотрен в работах Карпова В.В., Игнатьева О.В., Игнатьевой И.А. [30]. Наша задача рассмотреть этот метод для трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем.

Цель диссертационной работы состоит:

• в разработке математической модели для трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем с учетом поперечных сдвигов разных в каждом слое при конечных прогибах;

• в разработке методики расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости таких оболочек на основе вариационно-параметрического метода.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- получен функционал полной энергии деформации для трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем с учетом поперечных сдвигов

разных в каждом слое при конечных прогибах, когда прогибы во всех слоях считаются одинаковыми;

- после применения метода Ритца к функционалу полной энергии деформации трехслойной оболочки с учетом поперечных сдвигов разных в каждом слое получена система нелинейных алгебраических уравнений, которая методом продолжения решения по параметру линеаризована;

- на основе составленного комплекса программ и расчётов на ЭВМ проведены исследования НДС и устойчивости рассматриваемых конструкций при различной жесткости внутреннего несущего слоя;

- получена математическая модель и после применения вариационно-параметрического метода соответствующая система линейных алгебраических уравнений для трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем, когда прогибы внешних слоев могут быть разными.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений вариационно-параметрического метода, а также использованием для решения полученных уравнений детально изученных методов. Сравнение с результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорят о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов. Разработанное математическое и программное обеспечение расчётов трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем при конечных прогибах на основе вариационно-параметрического метода может найти применение в научно-исследовательских, проектных, и конструкторских организациях при расчётах на прочность, устойчивость и оптимизацию деталей машин, аппаратов, конструкций и сооружений. Результаты работы получили внедрение в АО «Саратовский авиационный завод».

Все полученные в диссертации результаты численного эксперимента приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались:

♦ на 52-й, 53-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (Санкт-Петербург 1996, 1997гг.);

♦ на 2-й Саратовской международной летней школе по проблемам механики сплошной среды (Саратов 1996г.);

Полностью работа докладывалась:

♦ на научном семинаре кафедры строительной механики ВолгГАСА под руководством академика, д.т.н., проф. Игнатьева В.А. (январь 1998г);

♦ на научном семинаре кафедры вычислительной математики СПбГАСУ под руководством д.физ.-мат. н., проф. ВагераБ.Г. (май 1998г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в четырех научных статьях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 97 наименова�