автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет и оптимизация составных пологих оболочек со слоями переменной толщины

ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ЯКУБОВСКАЯ Светлана Васильевна

На правах рукописи

УДК 624.073

РАСЧЕТ И ОПТИМИЗАЦИЯ СОСТАВНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СО СЛОЯМИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Специальность 05.23.17—Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1992

Работа выполнена в Тюменском индустриальном институте имени Ленинского комсомола.

Научный руководитель — кандидат технических наук, профессор КУЧЕРЮК В. И.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

МИХАЙЛОВ Б. К.; кандидат технических наук, доцент ТАНАНАЙКО О. Д.

Ведущее предприятие — Сибирский научно-исследовательский и проектный институт газонефтепромыслового строительства (г. Тюмень).

Защита состоится « » декабря 1992 г. в 0 ч. 30 мин. в ауд. 2-303 на заседании специализированного совета К 114.03.02 по присуждению ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.23.17 — строительная механика при Петербургском институте- инженеров железнодорожного транспорта.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

ЯЛ

Автореферат разослан «.г . ¡> октября 1992 г.

Отзывы по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим направлять по адресу: 190031, Санкт-Петербург, Московский проспект, 9, ПИИТ, ученому секретарю совета института, тел. 168-84-89.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук,

доцент М. П. ЗАБРОДИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Снижение материалоемкости и стоимости конструкций при условии их надежности и долговечности является важной задачей повышения эффективности строительного производства, которая может быть решена путем применения конструкций из композиционных материалов. На строительных объектах нефтегазовых комплексов, химической промышленности и атомной энергетики применяются многослойные пластины и оболочки.

Такие системы обладают высокой прочностью и жесткостью при относительно малой массе, хорошими тепло- и звукоизоляционными свойствами и, следовательно, экономической эффективностью.

Слои конструкций соединяются между собой анкерами, которые допускают проскальзывание одного слоя по отношению к другому. В этом случае связи между отдельными элементами (слоями) имеют конечную жесткость. Такие конструкции следует рассматривать с позиции теории составных пластин и оболочек.

К настоящему времени вопросы исследования напряженно-деформированного состояния составных пластин И оболочек получили значительное развитие. Однако, несмотря на большое количество работ, посвященных решению этих задач, проблема расчета составных пологих оболочек со слоями переменной толщины продолжает оставаться актуальной. Обусловлено это тем, что эти конструкции обладают родом особенностей. При их работе распределение усилий и напряжений между слоями зависит от жесткости ивов. Введение переменной толщины каждого слоя усложняет решение поставленной га-дачи. Расчет составных конструкций в рамках существующих теорий является проблематичным.

Снижение стоимости конструкций при.соблюдении всех прочност-

ных и технологических требований также является важным условием ггри проектировании. Оптимизация составных пологих оболочек переменной конструктивной жесткости позволяет решить эту задачу.

Исследование напряженно-деформированного состояния составных конструкций со слоями переменной толщины в сочетании с конечной жесткостью связей сдвига мезду сложи представляет собой актуальную задачу строительной механики, решение которой способствует созданию конструкций, отвечающих современным требованиям надежности и экономичности.

Цель работы состоит в создании методики расчета составных пластин и пологих оболочек со слоями переменной толщины с учетом конечной жесткости связей сдвига между слоями; проведении расчета конкретных задач по определению напряженно-деформированного состояния, а также решении задач оптимизации реальных конструкций.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- развита теория изгиба составных пластин А.Р. Ржаницдаа в форме дифференциальных уравнений применительно к составным пологим оболочкам со слоями переменной толщины;

- разработана методика осреднения жесткости шва на сдвиг при дискретном соединении слоев;

- разработан алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния составных пологих оболочек сс слоями переменной толщины;

- решена задача о напряженно-деформированном состоянии трехслойной пологой оболочки с анкерным соединением слоев;

- на базе метода случайного поиска разработал алгоритм оптимизации составных пологих оболочек;

- решена задача оптимизации трехслойной оболочки с анкерным соединением слоев переменной толщины.

Достоверность результатов подтверждена сравнением полученных численных значений с решениями рдаа частных задач и экспериментальными исследованиями других авторов.

Практическая ценность работы. Разработанная методика расчета составных пологих оболочек со слоями переменной толщины может быть использована в проектных и научно-исследовательских организациях при проектировании составных конструкций.

Составлены программа расчета напряженно-деформированного состояния и программа оптимизации этих конструкций на ЭВМ.

Проведен анализ влияния параметров оболочки на напряженное состояние конструкции и ее стоимость.

Внедрение результатов. Некоторые результаты исследований в части определения величины жесткости связей между облицовкой и бетоном были использованы в проектной практике "Атомэнергодро-екта" при проектировании АЭС с ВВЭР-ЮОО и разработке "Инструкция по расчету облицовок герметичных помещений АХ".

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы и результаты исследований докладывались и обсуждались на П Всесоюзной научной конференции "Нефть и газ Западной Сибири" (Тюмень, 1989 г.); на Всесоюзной научно-практической конференции "Прогресс и. безопасность" ( Тюмень, 1990 г.); на научных семинарах кафедры сопротивления материалов ТюмИИ (1988-1992 гг.) и лаборатории механики вязко-упругих сред ИММС СО РАН (Тюмень, 1992 г.); на научном семинаре кафедры строительной механики ПИИТ (С.-Петербург, 1992 г.).

Публикации. Результаты выполненных исследований опубликова-

ны в 2-х статьях и 2-х тезисах докладов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы ■iOS страниц машинописного текста, страниц рисунков 2*¿ и страниц таблиц. Библиографический список содержит 120 наименований литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель, научная новизна и практическая ценность. Изложены основные положения, выносимые на защиту и содержание диссертации по главам.

В первой главе представлен обзор и анализ основных направлений в исследовании напряженно-деформированного состояния составных пластин и оболочек и методов их расчета; отмечены особенности расчета составных пластин и оболочек с дискретным соединением слоев; выполнен обзор методов оптимизации в задачах изгиба пластин и оболочек; поставлены цель и задача диссертации.

В развитие теории слоистых пластин и оболочек большой вклад внесли А.Я. Александров, С.А. Амбарщгмян, В.В. Болотин, В.В. Васильев, Э.И. Григолюк, Л,М. Куршин, Х.М. Муштари, Ю.В. Немиров-ский, Ю.Н. Новичков, В.Н. Паймушин, В.Г. Пискунов, A.B. Плеханов, А.П. Прусаков, А.0._ Рассказов, Э. Бэйсснер, А.Р. Ржаницын, А.Ф. Рябов, В.И. Самсонов, С.П. Тимошенко, Л.П. Хорошун и др.4

Анализ литературы показывает, что к настоящему времени имеется большое количество вариантов теории слоистых составных пластин и оболочек как в линейной, так и нелинейной постановке. Однако круг решенных задач, учитывающих переменную конструктивную

жесткость в сочетании с проскальзыванием между слоями, весьма ограничен. Исследованиям задач изгиба многослойных пластин и пологих оболочек с учетом работы ива посвящены работы В.П. Бочаго-ва, А.П. Васильева, Р.В. Боронкоза, Е.Е. Гибимэна, Л.Д. Дороги-на, П.Ф. Дроздова, S.E. Клженко, Д.П. Кириллова, В.И. Кучерюка, В.К. .""иу.айлсва, А.Р. Ряаницына, P.C. Сзда.аровского, C.U. Скоро -богатова, H.H. Стрелецкого, Э.Д. Чихладге и др.

Рассматриваются конструкции со сплошным и анкерным соединением слоев. При достаточно большом количестве исследований в области работы анкерных связей нет общепринятой методики осреднения их жесткости.

Анализ работ показал, что для расчета задач изгиба слоистых пластин и оболочек используются в основной численные методы. Однако в задачах изгиба составных пластин и оболочек со слоями переменноfi толщины количество разрешающих уравнений зависит от количества слоев и количества швов. Поэтому возникает проблема, связанная с решением системы уравнений высокого порядка.

Для снижения материалоемкости и стоимости составных пластин и оболочек" необходимо исследовать конструкции на оптимальность. Вопросам оптимального проектирования пластин и оболочек посвящены работы Н.В. Баничука, В.В. Васильева, М.А. Каниболотского, К.А. Лурье, И.<5. Образцова, Л.С. Портнягина, Ю.М. Почтмана, В.Д. Райзера, М.И. Рейтмана, Ю.С. Уржумцева, Г.С. Шапиро и др. Анализ работ показал, что существует большое разнообразие методов решения задач оптимизации пластин и оболочек. Выбор метода зависит от того, каким образом и как полно он мокет учесть требования поставленной задачи.

Исходя из приведенного обзора работ,были поставлены следую-

щие задачи диссертационной работы: построение математической модели изгиба составных пологих оболочек со сложи переменной толщины с учетом сдвига между слоями; разработка алгоритма решения дифференциальных уравнений, описывающих изгиб составных оболочек с учетом переменной конструктивной жесткости; составление алгоритма оптимизации составных пологих оболочек; решение конкретных задач напряженно-деформированного состояния и оптимизации составных пологих оболочек с анкерными связями между слоями.

Во второй главе построена математическая модель изгиба составной пологой оболочки со слоями переменной толщины и описан метод расчета.

Здесь развивается теория составных пластин А.Р. Ржашцына к задачам изгиба составных пологих оболочек со слоями переменной толщины. Законы изменения толщины (^(у,^1)) каждого слоя и жесткости связей сдвига (1\х.у)) межДУ слоями описываются гладкими непрерывными функциями.

Составная конструкция представляет собой набор пологих оболочек переменной толщины, соединенных между собой непрерывно распределенными связями: в поперечном направлении связи абсолютно жесткие и препятствуют удалению или сближению слоев относительно друг друга по толщине; в продольном направлении связи упруго-податливые, они воспринимают сдвиговые усилия и между слоями допускается проскальзывание.

Общее число слоев равно (п + I), число промежутков между ними (щвов) равно п . Основные гипотезы, используемые при расчете составных пологих оболочек, состоят в следующем: для каждого

Главные кривизны каждого -го слоя - величины постоянные. Гауссова кривизна

<- -го слоя выполняется гипотеза Кирхгсфа-Лява; прогиб для всего пакета единый -МУ ); толщина каздого слоя переменная и

зависит от координат х и ^ ; касательные напряжения

в швах изменяются по закону

(I)

где ^ ^ ) (^.у) ~ K0ЭФФИЦИQHTЬ, жесткости связей сдвига в направлениях ■х и ^ соответственно; йИ1 , л!Л -разности смещений срединных поверхностей (¿+ 1)-го и с-го слоев в направлениях х. и у .

С учетом вышеперечисленных условий были получены дифференциальные уравнения равновесия для всего пакета, неразрывности деформаций для £-го слоя и уравнение работы с -го шва:

+эУ \ ^ П0(д\г + д\г л (Ьо __

1йг I дх3 +дкдц2) * ду, * ЪхдуЧ (• дхду

ЫуЬгЭу. V ¿7, 9уг/ £ д<с

L 2 \fàJC dJl) (ÈllJj^T

+

0-\rL)

EL

yjL-f

^if-^ftf

+2

ШдГ дт:'^

дГ'Л g дш дх. J. ' Ыг 1

dg. l dec дх /1 *{bf Ьхг '

(3)

2 .

2 ■

ti 1x2 Dxdf * Ц df * te

dx

ъ{Щ + дг \Щ) +дЩ)

df

diï df. №

2 2 . . „ . д-0! ^ Ъ-Uf^ + + Эс^ I dur + Зг</ j

ô^2 ; 4 Эх

14)

где А> - суммарная жесткость составной оболочки;

Р - коэффициент Пуассона и -го слоя; ^ - суммарная поперечная нагрузка; Сс - расстояние между срединными поверхностями слоев, лежащих по обе стороны I -го шва; £- модуль упругости 1-го рода для £ -го слоя; , А^-Е1^'- £у - раз-

ность деформаций срединной поверхности (I +1) -го и ¿-го слоя в направлениях , у ; ^^ - ^^ -разность сдвиговых

деформаций срединной поверхности (с +1] -го и ¿-го слоев; Срс - функция напряжений с -го слоя; Тс - потенциальная функция, учитывающая работу шва.

Решение составной пологой оболочки со слоили переменной толщины сводится к решению 2 Сп +1) дифференциальных уравнений С 2, 3,4) относительно № , Ц><-, Тс при соответствующих граничных условиях.

Выделяются две группы граничных условий: на контуре и на торце оболочки. На контуре опирания граничные условия определяются для всего пакета в целом и соответствуют классической теории изгиба пластин и оболочек.

На торце составной оболочки были рассмотрены следующие варианты граничных условий: диафрагмы, не препятствующие дополнительному сдвигу слоев, и диафрагмы, которые препятствуют сдвигу слоев в той или иной плоскости.

Возможны различные варианты комбинирования условий опирания на контуре и на торцах составных пластин и оболочек.

При решении системы дифференциальных уравнений составных пологих оболочек возникают математические трудности, связанные с устойчивостью репения. Это обусловлено тем, что количество разрешающих уравнений и неизвестных, зависит от количества слоев и

швов составной конструкции.

В диссертационной работе для решения системы дифференциальных уравнений был применен метод последовательной ликвидации невязок. Суть его заключается в том, что уравнения разрешаатся относительно неизвестных с удержанием одного члена ряда на каждом этапе. То есть, от системы дифференциальных уравнений перешли к алгебраической с треугольной матрицей.

Для обоснования достоверности расчетов проведено сравнение результатов расчета с решениями других авторов. Рассматриваемая конструкция учитывает следующую совокупность параметров: пере-

женил между слоями ¿ь . Достоверность расчетов обосновывалась на частных задачах при раздельном влиянии отих параметров. Была рассчитана однослойная пластина переменной толщины, и результат сопоставлен с числами, полученными в работе В.В. Рогалевича. Мая-

Проведен расчет однослойной оболочки постоянной жесткости и составной трехслойной пластины. Сравнение результатов с■известными решениями показало, что по прогибу расхождение - О,ЕЙ, по сдвигающим напряжениям в шве - 1,55?, по нормальным напряжениям в слоях - 1,7%.

Выполнен расчет реда составных пластин и оболочек со слоями переменной толщины. В частности, рассчиТ:Ша трехслойная составная пологая оболочка (рис. I), иарнирно опертая по контуру, под действием равномерно распределенной нагрузки. Толщина внешних слоев принималась постоянной, изменение толщины 2-го слоя было задано:

менную толщину слоев

сдвигающие напря-

симальное отличие численных результатов по "тох составляет 155.

ч ч\ S V) t

cw' \\ \ •-s \

5J-tt 4

§

I

tsr

I

?s

I • 1 1 1 Wr \ -.V «vi M •5. ЧЛ

«JJ- \ \ \ \ i

\

\

<0

"Sa s-Г

"о "ÏT

£

У-£

Л

«S?

\ H \ n H ¿Ü

*

a л

V

ск ê

§ Ca-

I

где в - размеры оболочки в плане, - толщина слоя по контуру; - амплитуда изменения толщины; ^ - текущие

координаты.

Результаты расчета (рис. I) составной оболочки показали, что жесткость связей^) между слоями существенно влияет на напряженно-деформированное состояние конструкции (рис. 1а, б). Здесь приведены зависимости перемещений Ж и напряжений в первом слое от нагрузки . Картина распределения напряжений в первом и втором слоях оболочки при различных величинах ^ отражена на рис. 1в, г. Было установлено, что изменение жесткости шва вше определенной величины практически не ведет к изменению напряженного состояния конструкции.

В третьей главе разработана методика, позволяющая перейти от жесткости анкерных связей на сдвиг к осредненной жесткости этих связей, используя экспериментальные денные. Необходимость.установления такой зависимости связана с тем, что в реальных конструкциях кроме сплошного с клеевого) соединения слоев применяются дискретные связи С анкера, болты и т.д.), а в дифференциальных уравнениях коэффициенты жесткости шва и ^ представляют собой осредненную характеристику.

Осредненное сдвигающее напряжение Т записано через сдвигающее усилие на анкер Р . При неравном шаге анкеровки вдоль осей X и ^ жестко„ть шва будет

Ъ-Р/ииЩ I); 1гР/ичЩ <6

/аг , I

где , Ъд - шаг в направлениях х и .

Используя экспериментальные данные, опубликованные в трудах

НИИ наземного строительства ( г. Прага), была получена корреляционная зависимость жесткости от диаметра ( с1), шага анкеровки ({]х ) > модуля упругости материала ( £"<0 , в который внедрены анкера:

%т -Щ1Х ; Ь' ц^^ • С7)

где ( 1/мм ) - коэффициенты; ( Н/мм3), ^ ( Ц/км3],

(/(юл), Е$ ( МПа), < мл), ^ ( ).

Для обоснования возможности применения зависимости '7> при расчете реальных конструкций с анкерным соединением слоев проведено сравнение с результатом эксперимента НИИ наземного строительства ( г. Прага). Эксперимент был проведен на двухслойных сталебетонных балках, для расчета которых использована нелинейная математическая модель. Результаты расчетов и эксперимента показали, что максимальное расхождение по перемещениям составляет

Четвертая глава посвящена оптимизации составных пологих оболочек со слоями переменной толщины. В работе рассматривалась прямая задача, где отыскание оптимальных параметров осуществлялось при заданных функциях проектирования. ,

Критерием оптимальности (функцией цели") являлась стоимость материалов конструкции

где; (- нп - стоимость единицы объема материала С -го слоя;

г1

1- л - стоимость единицы объема анкерных элементов и -го шва;

Ун*т ' ^л ~ °^ъем материала ¿ -го слоя и анкерных элементов

1-го шва.

Задачей оптимизации является подбор параметров конструкции таким образом, чтобы стоимость ее материалов была минимальной при выполнении установленных ограничений.

В качестве ограничений выступают: условие равнопрочности; геометрические ограничения; ограничение по устойчивости сжатого слоя; ограничение по прочности анкерных связей.

Для решения рассматриваемой задачи оптимизации использован метод случайного поиска, который применен в форме, разработанной В.А. Сушковым.

Был разработан алгоритм оптимизации составной пологой оболочки (рис. 2). Выбор искомых параметров осуществлялся по формуле:

П = ЧпЧп (щтм - XI) ) 19)

где ^ - искомые параметры; СС^ах , 'ХЬтСа. - интервал поиска, - случайное число.

Далее определяется напряженно-деформированное состояние кон-с.грукции в соответствии с уравнениями С2,3,4), проверяются ограничения. Если они не выполняются, то происходит новый выбор сочетания параметров и процесс повторяется заданное количество раз, затем выбирается минимальная стоимость конструкции.

Расчет проводился по разработанной программе на языке РОЯТ/? М на ЭВМ ЕС-1045. Рассматривалась трехслойная оболочка, шарнирно опертая по контуру. Материал слоев изотропный, упругий с линейными механическими характеристиками. Верхний и нижний слои стальные постоянной толщины. Изменение толщины среднего слоя (бе-

Рис. 2

тон) описывается формулой ( 5). Соединены они с помощью анкеров.

В соответствии с алгоритмом оптимизации осуществлялось варьирование независимых параметров в заданном интервале. При численной- реализации представленной здесь задачи количество таких параметров равнялось двум. Это толщина верхнего листа и амплитуда изменения высоты среднего слоя. Выбор параметров осуществлялся при фиксированном количестве анкерных связей = 5; II; 21; ...

81. При этом для каждого количества анкеров проводилась серия расчетов с заданными интервалами поиска. Остальные параметры конструкции фиксировались: p4>=2i.li> ; d- = 18 им; /0 = 10 мм;

Es = о,34-I04 МПа; Еет = 2,1-Ю5 МПа; ¡Г1'"= 0,3; 0,2.

Оболочка размером и. х ё = 5,0 хб,0 м^ рассчитывалась при равномерно распределенной нагрузке интенсивностью ^ = 0,05; 0,025; 0,01 МПа.

Результаты расчетов показали (рис. 3), что при сохранении размеров оболочки в плаке, но при различных величинах интенсивности нагрузки имеет место различное сочетание оптимальных параметров. Для оболочек при этих нагрузках выявлены рабочие зоны для анкеров i рис. 36, г) и определена минимальная стоимость. При одной нагрузке минимальная стоимость определяется задачей устойчивости сжатого слоя (рис. За, б), при другой - прочностью анкеров (рис. Зв, г). Увеличение количества анкерных связей после определенного значения не приводит к изменению напряженного состояния.

Достоверность численных результатов обосновывалась на смоделированной тестовой задаче.

о s JLH5 -y ы

F i

I Й F î !

e.l ^ 1 H 1 к 1 ï

N f о---

« s

S- í Er «5)

-с ч чг

V

%

чГ

•V

Ii â

f

4 1

1 i §! \ ^ -rt V

У

\ \

N \ !

a

Co ->-

vr «sT

!

ti <=> "о 5а S. Д- vf

'0

^ S

- crf -, ■_

^r I «

1 о X s Ims.L ! о Sj T ■«î—

«r> CN О cá* И i \

A / X 1

4

I %

i\ 1

1 V 4/ / г

1 1 1 \ / / Г

1 1 J / \ \

1 1 \ \

Q ча-

са

Cs

es

_l_

«Si

Q.

a- >o <s»

OO -=r

У cr

S- ^

•л

<o

à

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Разработанная математическая модель в форме дифференциальных уравнений позволила исследовать задачи изгиба составных пологих оболочек со слоями переменной толщины с учетом конечной жесткости связей между слоями.

2. Представленная методика осреднения жесткости связей между слоями дала возможность использовать полученную систему дифференциальных уравнений для решения задач изгиба составных пологих • оболочек с анкерным соединением слоев.

3. Достоверность алгоритма расчета напряженно-дефоргкмрован-ного состояния составных пологих оболочек со слоями переменной толщины подтверждена сопоставлением численных значений частных задач с соответствующими расчетными и экспериментальными данными других авторов.

4. Доведенные расчеты составных'пологих оболочек показали, что при переменной толщине отдельных слоев имеем более равномерное распределение напряжений по поверхности слоя. Ортотропия жесткости шва при сохранении общего количества анкерных связей не привела к существенному изменению напряженно-деформированного состояния всей конструкции. Определено необходимое количество анкерных связей между слоями, выше которого напряженно-деформированное состояние в слоях не-меняется.

5. Разработанный алгоритм оптимизации составных пологих оболочек на базе метода случайного поиска позволил определить оптимальные параметры, обеспечить минимум стоимости материалов конст-

рукции при выполнении установленных ограничений.

6. Результата исследований в части определения величины жесткости связей псхду облицовкой и бетоном были использованы при проектировании АЭС с ВВЭР-ЮОО и разработке "Инструкции по расчету облицовок герметичных помещений АЭС".

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Якубовская C.B. Оптимальное проектирование составных плит/Тюменск. индустр. ин-т. - Тюмень, 1988. - 23 е.: ил. - Деп. в ВИНИТИ 10.10.88, № 7306-В88.'

2. Якубовская C.B. Расчет и оптимальное проектирование трехслойных составных плиг//Нефть и газ Западной Сибири: Тез. докл. П Всесоюзн. научн. конф. 25-27 алр.1989 г. - Т.2. - Тюмень, 1989. - С. 142-143.

3. Якубовская C.B., Утелев K.M. Оптимальное проектирование и вопросы устойчивости составных плит с анкерным соединением слоев/УПрогресс и безопасность: Тез. докл. Всесоюзн. научно-' практ. конф. 20-22 ноябр.1990 г. - Тюмень, 1990. - С. I29-I3I.

4. Якубовская C.B. Расчет составных пологих оболочек со слоями переменной толщины//Изв. вузов. Строительство и архитек-

Подписано к печати 23 .10.92 г. Бесплатно. Печать ойсетная Бумага для цнонит, апп. Форма! 60x84- 1/16 Объем 1,25п.л. Тирак 100 экз. Заказ й

РТП шта С-Петербург, IS003I , Московский пр.,9

тура. - 1991. - № 12. - С. 22-25