автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет клиновидных складчатых систем по нелинейной теории

На правах рукописи

ЮССУФ БЕРТЕ

РАСЧЕТ КЛИНОВИДНЫХ СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

05.23.17 -строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Московском государственном строительном университете.

Научные руководители: кандидат технических наук, профессор [Портаев Владимир Львович}

доктор технических наук, профессор Габбасов Радек Фатыхович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич кандидат технических наук, профессор Леонтьев Андрей Николаевич

Ведущая организация: Московский архитектурный институт

(МАрхИ)

Защита состоится "19 " "октября" 2004г. в час. З^мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 в Московском

государственном строительном университете, по адресу: Шлюзовая набережная, д.8, ауд._409_

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан 0$ 03 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Призматические оболочки, включая слабо клиновидной формы, широко используются в строительстве и в различных областях техники. Примерами могут служить большепролетные мосты рамно-подвесной и рамно-консольной конструкции, а также некоторые конструкции самолета. Расчет этих конструкций в основном ведется в линейной постановке. Геометрически нелинейная теория может ввести существенные поправки к результатам. Поэтому тема представляется актуальной. Аналитические методы решения таких задач чрезвычайно сложны и трудоемки. Для их решения большой интерес представляет развитие численных методов. В частности, новых численных методов, базирующихся на разностных уравнениях метода последовательных аппроксимаций (МПА), которые можно использовать для решения задач, носящих исследовательский характер.

Цель и методы исследования Целью настоящей диссертационной работы являются:

• Вывести дифференциальные уравнения, учитывающие нелинейные зависимости между деформациями и перемещениями в оболочках слабо клиновидной формы.

• Получить как частный случай дифференциальные уравнения по геометрически нелинейной теории для призматических оболочек и сравнить их с известными уравнениями.

• Разработать методику численного решения задач по расчету слабо кклиновидных оболочек в линейной и нелинейной постановке по методу последовательных аппроксимаций (МПА).

• Сравнить полученные результаты решений с известными аналитическими решениями и с результатами метода конечных элементов (МКЭ).

Научная новизна работы состоит в следующем:

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ О Э 2«> а*т Ц

• получены разрешающие дифференциальные уравнения второго и четвертого порядка для расчета слабо клиновидных оболочек в геометрически нелинейной постановке;

• разработаны численные методы расчета слабо клиновидных оболочек постоянной и переменной толщины под действием статических нагрузок в

' линейной и нелинейной постановке с применением разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА), что представляет собой развитие предложенного на кафедре строительной механики МГСУ численного метода применительно к рассмотренным в диссертации задачам;

• разработаны алгоритмы расчета призматических оболочек в линейной и нелинейной постановке с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА);

• на базе разработанных алгоритмов составлены программы для ЭВМ. Достоверность изложенных в диссертационной работе результатов определяется их сравнением с известными аналитическими и численными решениями, а для впервые решаемых задач - численным исследованием сходимости решений на ряде вложенных одна в другую сеток с последовательным уменьшением шага сетки.

Практическая значимость работы состоит:

• в возможности использования разработанной методики при проектировании клиновидных складчатых систем;

• в разработке эффективных численных алгоритмов и программ для расчета на ЭВМ. слабо клиновидных оболочек постоянной или переменной толщин на различные статические нагрузки;

• предложенная методика дает возможность достаточно точно и просто определять напряженно-дефопмированное состояние реальных сооружений, что приводит к экономическому эффекту и обеспечивает гарантированную надежность конструкций.

Апробация работы. Основные положения диссертации были доложены и обсуждены на заседании кафедры строительной механики МГСУ 8 июня 2004 года.

Внедрение. Составленные программы используются в "Овен -Гражданпромпроекте". На защиту выносятся:

• полученные дифференциальные - уравнения для расчета клиновидных складчатых систем с учетом геометрически нелинейности;

• разработанные алгоритмы на базе разностных уравнений МПА, впервые примененных к расчету складчатых систем;

• результаты решения задач по расчету клиновидных и призматических оболочек в линейной и нелинейной постановках.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 185 наименований и приложения. Она изложена на 118страницах. Диссертация включает 30 рисунков и 14 таблиц.

Основное содержание работы. Во введении сформулированы цели и задачи работы, обоснована актуальность темы.

В первой главе дается обзор литературы по линейной и нелинейной теории расчета пространственных систем на прочность.

В обзоре работ по расчету систем типа призматических оболочек по линейной теории рассматриваются публикации, связанные с расчетом призматических, пирамидальных и клиновидных оболочек. Наиболее простой с точки зрения расчета является призматическая оболочка, затем следуют пирамидальная и клиновидная оболочки. В такой же последовательности возрастают трудности математического описания их работы под действием внешних нагрузок. Клиновидные оболочки по отношению к первым двум являются общим видом тонкостенных пространственных конструкций.

В настоящее время имеется довольно большое количество работ, посвященных расчету тонкостенных призматических и пирамидальных оболочек. Ведущая роль в создании общих методов расчета этих оболочек принадлежит российским ученым и в первую очередь В.З.Власову, И.Ф.Образцову, АЛ.Уманскому, Д.В.Бычкову, Р. А. Резникову, Ю.Г.Одинокову, И.Е.Милейковскому, Н.НЛеонтьеву, А.А. Амосову, БЛ. Коновалову и многим другим. Следует отметить, что зарубежные работы LH^Argyris, G.Davies, ILLamb, CShell и других авторов публиковались несколько позже, чем работы советских ученых и не внесли чего-либо принципиально нового по сравнению с работами, выполненными в России.

В отличие от призматических и пирамидальных клиновидным оболочкам посвящено лишь небольшое число исследований. В работах А.М. Афанасьва и С.С. Крестовкого разработан приближенный способ расчета клиновидной оболочки с жестким контуром путем замены ее ступенчатой в виде призматических отсеков постоянного сечения, равного среднему сечению заданной оболочки. Р.А. Резников, используя вариационный метод В.З.Власова-Л.В.Канторовича, получил решения для случая изгиба трапециевидного кессона, которые сравнивались с численными решениями. В работах B.C. Вольнова рассмотрено стесненное кручение тонкостенной коробчатой оболочки жесткого прямоугольного поперечного сечения, вытянутого по ширине, и с высотой, изменяющейся по линейному закону. ВЛЛортаевым на основе вариационного метода В.З.Власова получены общие дифференциальные уравнения для расчета клиновидных оболочек постоянной или переменной толщины в линейной постановке.

В обзоре работ, посвященных с исследованиям нелинейных оболочек, большое внимание уделено трудам, связанным с именами советских ученых в этой области. К ним относятся Власов В.З.. Вольмир А.С., Лукаш ПА, Петров В.В., Новожилов В.В., Муштари Х.М., Воробьев Л.Н., Райзер В.Д., Корнишин М.С., Ильюшин АЛ., Иванов С.П., Смирнов ВЛ. и многие другие.

Особо выделены работы, в которых задачи по расчету оболочек решались численными методами. Известными специалистами по расчету оболочек численными методами являются Вольмир А.С., Шапошников Н.Н., Варвак П.М., Габбасов Р.Ф., Трушин СИ., Смирнов В А, Постнов В.А., Золотое А.Б., Амосов А.А., Леонтьев Н.Н., Сидоров В.Н., Смирнов А.Ф., Галимов К.З., Вайнберг Д.В., Мондрус В.Л., Синицын СБ. и другие.

Во ВТОРОЙ главе формулируется поставленная задача, обосновываются принятые исходные предпосылки, и приводится вывод разрешающих дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях для клиновидной оболочки произвольного поперечного контура по нелинейной теории. В основу методики положены известные гипотезы теории тонких оболочек Кирхгофа-Лява. Считалось, что материал оболочки подчиняется закону Гука. Интенсивность напряжений и деформаций связывается отношением

а,=Ее,, (1)

где Е модуль упругости.

Связь между деформациями и перемещениями принимается в форме Т.Кармана:

е + К +

Перемещения в продольном X, поперечном 5 и нормальном г направлениях выбираются в виде разложений по В.З.Власову:

/-из,.-«; Ы-ЦХ-.,,. (3)

Для вывода разрешающих дифференциальных уравнений использовался энергетический метод. Составлялась полная энергия системы. Из условий

совместности деформаций в местах соединений пластинчатой системы можно принять при * = Л

(4)

Угол между пластинами на стыке учитывается при выборе функции распределения перемещений ?/»(*)» Л (■*)•

Используя уравнения Эйлера-Лагранжа, с учетом выражения (4) записывались условия экстремума полной энергии. Откуда имеем общую систему разрешающих дифференциальных уравнений.

Разрешающие дифференциальные уравнения, описывающие деформированное состояние клиновидных оболочек произвольного деформируемого контура с переменной толщиной пластин, изменяющейся по степенному закону порядка вдоль оси по нелинейной теории

имеют вид:

- введенные Б.А Коноваловым функции порядков относительно контурной координаты

аг,рг - введенные Б.А. Коноваловым функции порядков относительно контурной координаты у, V, - коэффициент Пуассона,

V - порядок степенного закона изменения толщины. Выражения для вычисления внутренних усилий приводятся в диссертации.

рис.1

Кроме коэффициентов е^, екоторые учитывают действие изгибающего момента в продольном направлении, - учитывающих крутящий

момент остальные коэффициенты линейной части уравнений

определяются по В.Л.Портаеву. Упомянутые выше коэффициенты вычисляются по формулам:

У

1 = Я^М/.ТуМУК;

У

= ¡^Ш/^Ш;

г х

(7)

Правые части (5) и (6) учитывают геометрическую нелинейность

задачи:

(8)

ё,

ж

/ ;

+ "Е^лХ. -5Х/Х,+

где х£хе,°; Л^

ЛГ], = 0.5 х у, х <У х (1 - у)х + 0.5 х V, х х (1 - у)х е^,

Ыи =0.5хух^х(1-у>^, (9)

е°х>е%еи и е\,е\,е1а - соответственно продольные деформации и

деформации кручения срединной поверхности оболочки.

Полученные уравнения равновесия(5) и (6) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными

коэффициентами относительно искомых обобщенных - продольных !/,(*) и поперечных - перемещений. Из этой системы как частные случаи

получены разрешающие дифференциальные уравнения:

- для расчета призматических оболочек с учетом только геометрической нелинейности, опубликованные ранее С.Л. Ивановым;

- для призматических, пирамидальных и клиновидных оболочек в линейной постановке, полученные ранее соответственно В.З.Власовым, БАКоноваловым и В.Л.Портаевым.

В третьей главе строится алгоритм расчета клиновидных складчатых систем с применением одномерных разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА). Алгоритм разрабатывается так,

чтобы по общей программе можно было рассчитывать призматические и клиновидные оболочки постоянной или переменной толщин.

Дифференциальные уравнения(5) и (6) без правых частей перепишем в безразмерных величинах для случая I = j = 1;.И = к = 1. Переход к безразмерным величинам позволяет численно решать не одну задачу, а целый класс задач данного типа:

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка записывается в обобщенном виде относительно одной искомой функции

Здесь сг, у - коэффициенты, -правая часть.

Для аппроксимации дифференциального уравнения(13) использовались разностные уравнения МПА, полученные Р.Ф.Габбасовым, которые мы здесь запишем на равномерной сетке с шагом - для регулярной точки сетки

(15)

- для точки левого края расчетной одномерной сетки 2т(бу- то)а>] + фу+та)су, - 4(3у+го-)ю/+1 =

где /, // - номера одномерных элементов, примыкающих к точке ] сетки слева и справа (рис.2);

Разностные аппроксимации(Ю) и (11) выполняются с использованием приведенных выше разностных уравнений (14) и (15) по методике МПА. Для случая непрерывных и постоянных имеем:

в регулярной точке

в точке У левого края

ч

-{з-г^, -

• • I I

VI"

(19)

где

Система алгебраических уравнений типа(16), (17) решается совместно с учетом граничных условий на краях оболочки: диафрагма, жесткое закрепление или свободный край. Уравнения (18), (19) используются для алгебраического описания этих краевых условий.

Разработан алгоритм решения нелинейной задачи. Вначале решается задача в линейной постановке. По уравнениям (16)-(19) определяем перемещения в соответствующих точках и подставляя их значения в (9) и (8), вычисляем

нелинейные члены и Далее решается система разностных уравнений с

учетом найденных значений ¿у и Итерационный процесс продолжается до достижения наперед заданной точности. На каждом шаге используется для решения уравнений итерационный метод Гаусса-Зейделя.

С использованием приведенных выше разностных уравнений МПА составлена общая программа для ПЭВМ, которая позволяет вычислять перемещения призматических оболочек и оболочек в форме клина постоянной или переменной толщины в линейной и нелинейной постановке.

По разработанной программе были решены тестовые и новые задачи, рассмотренные в четвертой главе.

В четвертой главе изучалось напряженно-деформированное состояние призматических и клиновидных оболочек постоянной и переменной

толщины. Полученные результаты сравнивались с известными аналитическими и численными решениями в случае линейной постановки.

В качестве тестового примера рассчитана призматическая оболочка, опертая на тонкие диафрагмы (рис.3), в линейной постановке. Геометрические параметры оболочки по рис толщина пластин

Начало координат в середине пролета, число разбиений которого

обозначено через п. Вертикальные пластинки шарнирно оперты.

рис.3

Результаты расчета представлены в таблице 1. Они свидетельствуют о сходимости численного решения. В середине пролета оболочки при отличие наших результатов от аналитического решения Пастушихина В.Н. составило по значениям В закрепленных краях оно

составило -2.13% для 17нУ -1.11%. По сравнению с результатами по МКЭ с использованием комплекс-программы "ЛИРА.9" наши результаты превышают на 0.71% по и и на 1.61% - по V в середине пролета. На расстоянии 1/2 отличия составляют от результатов МКЭ 1.019% и 2.73% соответственно для продольного перемещения Нормальное

напряжение в средине пролете получено с применением разностных уравнений МПА; оно отличается от аналитического решения на 1.109%, а от решения по МКЭ на 2.73%. Из этих сравнений можно делать вывод о том, что решение с применением разностных уравнений МПА достаточно быстро сходится при расчете призматических оболочек и имеет высокую точность.

Таблица 1

п { Е 1/х-4-ЕЛ Е У В я

МПА- 16 33.3745 20.216 97.795 -70.78 10.1081

32 38.0215 21.382 99.982 -73.02 10.6911

64 38.4532 21.405 101.12 -73.56 10.82

МКЭ(1 ) 37.4343 21.252 99.488 -71.98 10.525

Пастушихин В.Н.ОП 39.2736 21.88 103.00 -7438 10.94

разница % поП -2.13 -2.22 -1.86 -1.11 -1.109

П01 1.019 0.71 1.61 2.15 2.73

В качестве второго примера рассматривалась та же оболочка в нелинейной постановке. В таблице 2 дается сравнение результатов, полученных по линейной теории, с результатами в нелинейной постановке. Геометрическая нелинейность значительно влияет на напряженно-деформированное состояние оболочки. Разница между результатами находится в интервалах 7.74 - 9.12% для решения по МПА и 9.03 - 9.80% по МКЭ.

Таблица 2

иг1 " Ей * Е а

МПА лин.теор 38.4532 21.405 101.12 -73.56 10.82

иел.теор 41.6792 23.483 111.27 -80.64 11.855

МКЭ лин.теор 37.4343 21.252 99.488 -71.98 10.525'

нел.теор 41.152 23.407 109.69 -79.80 11.643

МПА 7.74 3.85 9.12 8.78 8.73

% МКЭ 9.03 9.21 931) 9.80 9.60

В таблице 2: лин.теор. - расчет по линейной теории;

нел.теор. - расчет по нелинейной теории.

Рассмотрено также напряженно-деформированное состояние призматической оболочки, изображенной на рис.4. Оболочка кососимметрично загружена равномерно распределенной боковой нагрузкой и имеет следующие геометрические характеристики: пролет 1; ширина <1=1/20; толщина ¿ИЛ^О. Торцы оболочки свободны от закреплений, вертикальные пластины шарнирно закреплены. Начало координат в середине пролета.

рис.4

Рассмотренная оболочка является длинной (1Л1>10); её поперечное сечение показано на рис.5. Это сечение в середине оболочки в данном конкретном примере можно приближенно рассчитывать как раму.

рис.5

В таблице 3 представлены значения максимальных прогибов в ригеле и в стойке рамы. Показана разница между результатами, полученными с применением разностных уравнений МПА по линейной и нелинейной теории и по МКЭ.

Таблица 3

wc

обол. рама. обол. рама.

МПА линтеор 0.289 0.291 0 0068 0.0069

нелин теор 0.314 0.315 0.0074 0.0074

МКЭ линтеор 0.290 0.291 0.0066 0.0068

нелин теор 0.313 0.314 0.0071 0.0073

Разница % МПА 7.96 7.62 8.11 6.75

МКЭ 7.35 7.32 7.04 6.85

wc - наибольший прогиб верха стойки; v/p - наибольший прогиб четверти ригеля.

Рассчитывалась также клиновидная оболочка по линейной теории при изгибе под воздействием равномерно распределенной по всей площади нагрузки (рис.6). Толщина пластин принята постоянной по контуру и изменяющейся вдоль оси ох по степенному закону £(*)=£"[<У(у)+£(г)]. Вначале была рассчитана клиновидная оболочка постоянной толщины

М).

рис.6

Для рассматриваемой задачи i*j-3, к=к*3\ в этом случае функции щ и показатели степеней в/, аг, fit И ft примут следующие значения:

Система дифференциальных уравнений(5) и (6) при этом записывается в виде

' ' - (20)

(21)

Полученные нами результаты сравнивались с аналитическим решением В.Л. Портаева и численным решением по МКЭ (таблица.4).

Таблица 4

п «;х1(Г5 У^хЮ"4

МПА 8 0.530 -1.751 1.855

16 0.540 -1.809 1.89

32 0.545 -1.862 1.908

64 0.549 -1.890 1.92

МКЭ 0.523 -1.768 1.93

Портаев ВЛ. 0.554 -1.96 1.94

разница % Портаев -0.90 -3.70 -1.04

МКЭ 4.73 6.46 ■ -0.52

Сравнение результатов с применением разностных уравнений МПА при шаге показывает, что:

-поперечное перемещение, полученное по МПА, отличается от результатов аналитического решения на -3.70% и на 6.46% от МКЭ;

-продольное перемещение незначительно отличается от результата Портаева.ВЛ.: -0.90%, но заметно отличается от результата, полученного с

применяем МКЭ (на 4.73%); нормальное напряжение отличается -1.04% и на -0.52% соответственно от результатов Портаева В.Л и МКЭ.

Оболочка предыдущего примера рассматривалась в случае переменной толщины(\г=1). В данном случае система уравнений (5) и (6) принимает следующий вид:

(22)

(23)

Из численного решения этой системы получены искомые перемещения. В

таблице.5 представлены результаты расчета и также их отличия при »• = — от

64

аналитического решения В Л. Портаева. Из этой таблицы видно, что прогибы Vна свободном крае отличаются от решения Портаева ВЛ. на -4.76%, продольное перемещение на -2.18%, а нормальное напряжение на -2.24%.

Таблица .5

П 04| хЮ"4

МПА 8 0.536 -1.872 1.876

16 0.545 -1.947 1.909

32 0549 -2.043 1.920

64 0 549 -2.185 1.922

Портаев ВЛ. 0 561 1.965

разница % -2.18 -476 -2.24

Далее рассчитывались те же оболочки по нелинейной теории. В первую очередь была рассмотрена оболочка постоянной толщины. Дифференциальные уравнения (5) и (6) записываются в виде:

1

(25)

По описанной выше методике проводился расчет клиновидной оболочки с учетом геометрической нелинейности. В таблицах. 6 и 7 представлены полученные результаты соответственно для поперечных перемещений в сечении х=1] и нормальных напряжений в сечении х=1.

Из сравнения результатов, полученных в линейной и нелинейной постановке, замечено, что при наличии геометрической нелинейности поперечные перемещения увеличатся на 11.16% на крае, свободном от закрепления, а нормальные напряжения - на 11.46% в защемленном крае при

г =

1

64"

Таблица.6.

1*1 МПА МКЭ

8 16 32 64

по линейной теории -1.751 -1.809 -1.862 -1.89 -1.768

по нелинейной теории -1.946 -2.011 -2.070 -2.101 -1.960

Таблица 7

МПА Портаев

8 16 32 64

по линейной теосии 1.855 1.890 1.908 1.920 1.94

по нелинейной -теории 2.06' 2.10 2.12 2.14 —

В завершение рассматривалась оболочка переменной толщины с учетом геометрической нелинейности. Задача решается по методике, описанной для

расчета оболочки постоянной толщины. Сравнение результатов по линейной и нелинейной теории дается в таблице. 8 для поперечных перемещений на свободном крае и в таблице9 для нормальных напряжений.

Таблица.8

МПА

8 16 32 64

по линейной теосии -1.872 -1.947 -2 043 -2.185

но нелинейной теории -2.060 -2.142 -2.248 -2.404

Из сравнения результатов, полученных по линейной и нелинейной теории, видно, что при учете геометрической нелинейности поперечные перемещения увеличатся на 9.11,% а нормальное напряжение - на 10.18%. Это показывает, что геометрическая нелинейность значительно влияет на напряженно-деформированное состояние оболочки.

Таблица 9

МПА Портаев ВЛ

8 16 32 64

□о линейной теории 1.876 1.909 1.920 1.922 1.965

по нелинейной 2.09 2.12 114 2.14 —

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Получены разрешающие дифференциальные уравнения для расчетов складчатых систем типа слабо клиновидных и призматических оболочек на основе вариационного метода В.З.Власова-Л. Н. Канторовича.

2. Полученные дифференциальные уравнения позволяют - учитывать продольные, поперечные изгибающие и крутящие моменты в сечениях оболочек. Эти уравнения описывают деформированное состояние

клиновидных и призматических оболочек с учетом геометрической нелинейности.

3. Разработаны численные алгоритмы расчетов клиновидных оболочек постоянной и переменной толщины. Алгоритмы основываются на разностных уравнениях метода последовательных- аппроксимаций (МПА), позволяющего строить разрывные решения.

4. На базе разработанных алгоритмов составлены программы для ПЭВМ для статических расчетов складчатых систем. Программы позволяют рассчитывать упомянутые выше конструкции с учетом и без учета геометрической нелинейности.

5. Решены тестовые задачи, позволяющие сопоставить полученные результаты с известными аналитическими или численными решениями. Поскольку последние в большинстве своем являются приближенными, полученные нами численные решения имеют существенное значение.

6. Получены новые решения по расчету клиновидных и призматических оболочек по линейной и нелинейной теории с применением разностных уравнений МПА.

7. Исследовано влияние геометрической нелинейности на напряженно-деформированное состояние клиновидной оболочки при статическом нагружении.

8. Геометрическая нелинейность оказывает значительное влияние на напряженно-деформированное состояние клиновидных складчатых систем.

9. Решение тестовых задач показало, что разработанные программы обладает высокой точностью и сравнительно быстрой сходимостью.

10.Сравнения результатов показали, что для расчета клиновидных складчатых систем по нелинейной (Теории метод последовательных аппроксимаций (МПА) рационален.

КОПИ - ЦЕНТР св.7:07:10429 тираж 100 экз Тел. 185-79-54 г. Москва м.Бабушкинская ул. Енисейская 36 комната №1 (Экспериментально-производственный комбинат)

# 1 6 055

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА /. Обзор исследований тонкостенных складчатых систем. Обзор работ по расчету систем типа призматических оболочек.

L2. Обзор существующих исследований нелинейной теории расчета тонкостенных конструкций.

I.3. Выводы по первой главе.

ГЛАВА II. Основные дифференциальные уравнения расчета клиновидных складчатых систем при больших перемещениях.

II.1. Основные гипотезы и допущения.

II.2. Вывод разрешающих дифференциальных уравнений.

-Формулировка граничных условий.

II.4. Выводы по второй главе.

ГЛАВА III. Алгоритмы расчетов складчатых клиновидных систем и призматических оболочек с применением разностных уравнений МПА.

III. 1. Сущность метода последовательных аппроксимаций.

111.2. Аппроксимация дифференциального уравнения второго порядка разностным уравнением МПА.

111.3. Алгоритм расчета складчатых систем по МПА.

111.4. Выводы по третьей главе.

ГЛАВА IV. Примеры расчетов клиновидных и призматических оболочек

IV.1. Расчет призматических оболочек.

IV.2. Расчет клиновидных оболочек.

1V.3. Выводы по четвертой главе.

Республика Мали одна из развивающихся стран, она находится на западе Африки. Ее площадь 1.240.000 км2, в Мали живет 12.000.000 человек, почти 25% населения - в столице Бамако. В последние годы рост капитального строительства увеличился в 2 раза по сравнению с прошлыми годами. Для решения этой проблемы необходима государственная программа строительства. При этом государство Мали обратило серьезное внимание на снижение стоимости строительства, сокращение сроков возведения сооружений, повышение качества строительных работ и на максимальную экономию строительных материалов.

В связи с этим большое значение приобретают вопросы надежности и долговечности, что требует повышения качества расчетов, выявления скрытых резервов прочности за счет более достоверного описания законов распределения напряжений и деформаций в процессе эксплуатации строительных конструкций. Последнее в значительной степени относится к пространственным системам типа оболочек, которые благодаря своей универсальности и технологичности широко используются в промышленном, гражданском и сельском строительстве.

Оболочкой в теории упругости называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми, называемое толщиной оболочки, мало по сравнению с другими размерами.

В диссертационной работе рассматривается расчет клиновидных складчатых систем по нелинейной теории.

В настоящее время во многих областях техники применяют тонкостенные складчатые системы, работающие под воздействием статических и динамических нагрузок. Современные многоэтажные здания представляют собой многосвязные пластинчатые системы. Как оболочки можно рассматривать и пустотные панели перекрытий.

С начала 80-х годов ХХ-го века в качестве конструктивной схемы нашли применение здания большой высотности "труба с ядром". Несущая система их состоит из железобетонного ствола, имеющего вид замкнутой односвязной призматической оболочки. При большой высоте таких сооружений в них вполне могут развиваться перемещения, сравнимые с толщиной оболочки. Значит, возникает необходимость в учете геометрической нелинейности при расчете оболочек.

Большинство процессов и явлений в природе и технике по своему характеру является нелинейным. Только при достаточно малых нагрузках можно приближенно считать, что строительные конструкции деформируются по линейным законам. Явления, изучаемые строительной механикой, вообще говоря, описываются нелинейными, законами. В: первом приближении эти нелинейные законы можно заменить линейными. Это позволяет в ряде случаев с помощью линейной теории упругости или линейной строительной механики описать наиболее существенные стороны исследуемого явления. Наиболее существенный недостаток линейной теории связан с тем, что она своими уравнениями не в состоянии даже качественно описать многие интересные и важные стороны изучаемого явления.

В основу линейной строительной механики положены два вида линеаризации. Первый основан на предположении, что перемещения и деформации весьма малы (геометрическая линеаризация), второй - что напряжения и деформации связаны линейной зависимостью, определяемой законом Гука (физическая линеаризация).

Отказ от этих предположений в нелинейной строительной механике, с одной стороны, усложняет решение поставленных задач, но, с другой - дает обширное поле для исследований.

Большие объемы транспортного, гидротехнического, промышленного и гражданского строительства требуют создания более экономичных конструкций этих сооружений. В народном хозяйстве увеличивается удельный вес тонкостенных, гибких конструкций (мембран, пластинок и оболочек). Легкость, достаточная жесткость и прочность делают их незаменимыми при строительстве сооружений, в авиастроении, судостроении и ракетостроении, в химической и нефтегазодобывающей промышленности, в машиностроении.

Для более точной установки коэффициента запаса прочности вышеуказанных конструкций необходимо дальнейшее развитие теории расчета. Важное место занимает вопрос расчета пространственных конструкций на прочность, устойчивость при учете геометрической нелинейности.

Основными задачами нелинейной теории являются:

1. Объяснение и исследование явлений, которые принципиально не могут быть описаны с помощью линейной теории.

2. Установка новых явлений, связанных с углубленным исследованием нелинейных зависимостей.

3. Определение пределов применимости решений, полученных на основании линейной теории.

Актуальность темы.

В настоящее время существуют достаточно мощные вычислительные комплексы на базе МКЭ, как, например " Лира, ANSYS, Cosmos, Structure cad, Robot, Radius, САПР" и многие другие. В основном эти программы предназначены для расчетов на базе линейной теории. При этом учет новой расчетной модели материала и составление нового конечного элемента являются достаточно трудоемким процессом. Несмотря на его достоинство МКЭ имеет некоторые недостатки. Эти недостатки связаны: -со сложностью МКЭ и трудоемкостью алгоритмов при решении новой задачи;

- с меньшей точностью при малом числе разбиений.

Все это указывает на необходимость обратиться к другим современным численным методам, свободным от подобных недостатков и позволяющим получать решения задач, имеющих исследовательский характер, в частности, при расчете клиновидных складчатых систем по нелинейной теории. К ним относится метод последовательных аппроксимаций (МПА), разработанный на кафедре строительной механики МГСУ.

Вышеназванные программные комплексы МКЭ не всегда дают обоснованные результаты при расчетах с учетом геометрической нелинейности, о чем подробнее говорится ниже в последней главе диссертации. Это обстоятельство требует дополнительных исследований поведения сложных систем типа клиновидных складчатых систем при больших перемещениях.

Вышесказанное определяет актуальность выбранной для исследования проблемы.

Цель и методы исследования.

Целью настоящей диссертационной работы являются:

- вывод системы дифференциальных уравнений для расчета складчатых систем по геометрически нелинейной теории;

- решение дифференциальных уравнений в частном случае изгиба клиновидных складчатых систем с учетом геометрической нелинейности и с применением разностных уравнений МПА; разработка приближенных способов исследования напряженно-деформированного состояния пространственных систем типа призматических оболочек по геометрически нелинейной теории;

- построение эффективных алгоритмов расчета тонкостенных складчатых систем на статические воздействия и разработка вычислительных программных средств;

- сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней получена система нелинейных дифференциальных уравнений для расчета на прочность (до потери устойчивости) тонкостенных складчатых систем с учетом геометрической нелинейности;

- разработаны алгоритмы расчета изгибаемых тонкостенных слабо клиновидных оболочек постоянной и переменной толщины на действие статических нагрузок в линейной и нелинейной постановках с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА); разработаны алгоритмы расчета призматических оболочек с использованием разностных уравнений МПА в линейной и нелинейной постановках;

- на базе разработанных алгоритмов составлены программы для ЭВМ.

Практическая значимость работы состоит: в возможности использования разработанной методики при проектировании пространственных тонкостенных конструкций;

- разработке эффективных численных алгоритмов и программ для расчета на ЭВМ слабо клиновидных оболочек постоянной или переменной толщин на различные статические нагрузки.

Предложенная методика дает возможность достаточно точно и просто определять напряженно-деформированное состояние реальных сооружений, что приводит к экономическому эффекту и обеспечивает гарантированную надежность конструкций.

Достоверность изложенных в диссертационной работе результатов определяется их сравнением с известными аналитическими и численными решениями, а для впервые решаемых-задач. - численным исследованием сходимости решений на ряде вложенных одна в другую сеток с последовательным уменьшением шага сетки.

Внедрение. Составленные программы переданы для решения задач практики в проектную фирму "Овен гражданпром проект".

Апробация работы. Обсуждение доклада по теме диссертации на заседании кафедры строительной механики МГСУ 8 июня 2004 г.

На защиту выносятся:

- полученные дифференциальные уравнения для расчета клиновидных складчатых систем с учетом геометрически нелинейности;

- разработанные алгоритмы на базе разностных уравнений МПА, впервые примененных к расчету складчатых систем;

-результаты решения задач по расчету клиновидных и призматических оболочек в линейной и геометрически нелинейной постановках.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 185 наименований и приложения. Она изложена на 118 страницах. Диссертация включает 30 рисунков и 14 таблиц.

IV.3. Выводы по четвертой главе.

С применением разностных уравнений МПА рассчитаны:

- клиновидные оболочки с постоянной и переменной толщиной по линейной и нелинейной теории;

- призматические оболочки в линейной и нелинейной постановке.

С использованием комплекса программы "Лира" проводились расчеты:

- клиновидных оболочек постоянной толщины по линейной и нелинейной теории;

- призматических оболочек по линейной и нелинейной теории.

Сравнивались результаты, полученные с применением разностных уравнений МПА, с результатами, полученными по МКЭ в линейной постановке для призматических оболочек и клиновидных оболочек постоянной толщины и - в нелинейной постановке для клиновидных оболочек постоянной толщины. Также сравнивались наши результаты с результатами, полученными Портаевым B.JI. аналитическим методом по линейной теории для клиновидных оболочек постоянной и переменной толщины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены разрешающие дифференциальные уравнения для расчетов складчатых систем типа слабо клиновидных и призматических оболочек на основе вариационного метода В.З.Власова-Л.В.Канторовича.

2. Полученные дифференциальные уравнения позволяют учитывать продольные, поперечные изгибающие и крутящие моменты в сечениях оболочек. Эти уравнения описывают деформированное состояние клиновидных и призматических оболочек с учетом геометрической нелинейности.

3. Разработаны численные алгоритмы расчетов клиновидных оболочек постоянной и переменной толщины. Алгоритмы основываются на разностных уравнениях метода последовательных аппроксимаций (МПА), позволяющего строить разрывные решения.

4. На базе разработанных алгоритмов составлены программы для ПЭВМ для статических расчетов складчатых систем. Программы позволяют рассчитывать упомянутые выше конструкции с учетом и без учета геометрической нелинейности.

5. Решены тестовые задачи, позволяющие сопоставить полученные результаты с известными аналитическими или численными решениями. Поскольку последние в большинстве своем являются приближенными, полученные нами численные решения имеют существенное значение.

6. Получены новые решения по расчету клиновидных и призматических оболочек по линейной и нелинейной теории с применением разностных уравнений МПА.

7. Исследовано * влияние геометрической нелинейности на напряженно-деформированное состояние клиновидной оболочки при статическом нагружении.

8. Геометрическая нелинейность оказывает значительное влияние на напряженно-деформированное состояние клиновидных складчатых систем.

9. Решение тестовых задач показало, что разработанные программы обладает высокой точностью и сравнительно быстрой сходимостью.

10. Сравнения результатов показали, что для расчета клиновидных складчатых систем по нелинейной теории метод последовательных аппроксимаций (МПА) рационален.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1973,с.205.

2. Абовский Н.П., О применении метода конечных элементов совместно с другими методами. Пространственные конструкции в Красноярском крае, 1975, в.8, с.215-219.

3. Абовский Н.П., Чернышев В.Н., Павлов А.С. Гибкие ребристые пологие оболочки. Красноярск: Изд-во Красноярск, политех. ин-та, 1975. 128с.

4. Абрамова Г.Я. Стесненное кручение кессона при неполной заделке. Тр/Моск. Авиа. ин-та, 1971, вып.226, ч.З, с.193-197.

5. Абрамян Б.Л., Арутюнян Н.Х, Кручение призматических стержней с поперечным сечением в виде трапеции. Прикладная математика и механика, 1951, Т.15, №1, с.97-102.

6. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных подкрепленных конструкций. Учебное пособие / М; Изд. АСВ, 152с.

7. Ададуров Р.А. Напряженное состояние в четырехпоясной призматической прямоугольной коробке, загруженной на торцах. -Доклады Академии наук СССР, 1951, т.79, №3, с.407-410.

8. Ададуров Р.А. Определение касательных напряжений в тонкостенных конструкциях вблизи заделки. Тр/Центр. Аэрогидродинамич, Ин-та, 1947, вып.614. -13.С.421-653.

9. Айнола JI.Я. О возможностях формулировки вариационной задачи в нелинейной теории упругих оболочек. Науч. тр./ Таллин. Политех, инта, 1957, сер.А, №104,с.109-115.

10. Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н., Смирнов А.Ф. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М.: Стройиздат, 1976, ч.1, -248с.

11. Александров А.В. Метод перемещений для плитно-балочных конструкций. В кн.: Строит, механика. М.: изд. МИИТ, 1963, вып. 174. с.4-18.

12. Алумяэ Н.А. Вариационные формулы исследования гибких пластин и оболочек. Тр. Конференции по расчету гибких пластин и оболочек М.: Изд-во ВВИА им. Жуковского, 1952с.

13. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояния равновесия упругих тонкостенных оболочек в послекритической стадии// ПММ. Т. 13. 1949. вып.1,с.27-31.

14. Алумяэ Н.А. Одна вариационная формулировка для исследования упругих тонкостенных оболочек в послекритической стадии // ПММ. Т.14. 1950. вып.2,с.88-92.

15. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. В кн.: Теория ребристых оболочек. Киев: Наук. Думка, 1980, т.2. 368с.

16. Афанасьев А.М, Расчет замкнутых оболочек на изгиб и кручение. -Тр./Воен. Воздуш; Инж. Акад., 1952, вып.440. -108с.

17. Балабух Л.И. Изгиб и кручение конических оболочек. ТрУЦентр. Аэрогидродинамич. Ин-та, 1946, вып.577.-62с.

18. Балабух Л.И. Расчет на прочность конических кессонов. Тр./Центр. Аэрогидродинамич. Ин-та, 1947, вып.640, -56с.

19. Безухов Н.И. Основы теории сооружений, материал которых не следует закону Гука // Труды Московского автодорожного института. -М.: Гострансиздат, 1936. №4.- с.7-80.

20. Безухов Н.И. Основы тоерии упругости, пластичности и ползучести. -М.: высш. Школа, 1968,-512с.

21. Беляев В.Н. К расчету пространственной коробчатой системы при действии закручивающих сил. Техника воздушного флота, 1932, №4, с.350-356.

22. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности Прикл. механика, 1951, т. 15, вып.6, С765-770.

23. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980, 372с.

24. Бубнов И.Г. Строительная механика коробля. с. - Пб, тип. Морск. Мин-ва, 1914, ч.2,191с.

25. Бурман З.И., Лукашенко В.И., Тимофеев М.Т. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек методом конечных элементов с применением ЭЦВМ. Казань: Изд-во Казан,1973,с.75-780

26. Бычков Д.В. Расчет тонкостенных стерней односвязного замкнутого профиля. -Тр./Моск. Ин-та инж. гор. строит. Мосгорисполкома, 1958, вып.8, с.5-42.

27. Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. М.: Госстройиздат, 1962. - 475с.

28. Вайнберг Д.В., Геращенко В.М., Ройтфарб И.З., Синявский ОЛ. Вывод сеточных уравнений изгиба пластин вариационным методом. В кн.: Сопротивление материалов и теории сооружений. Киев: Буд1вельник, 1965, вып.3,с.64-69.

29. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976,278с.

30. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М., Стройиздат, 1977, 154с.

31. Васильев В.З. Осесимметричная деформация элементов строительных конструкций. Л.: Стройиздат. Ленингр. Отд-ние,1988. - 87с.:

32. Введение в нелинейную строительную механику: Учебное пособие / ОЛ.Рудых, Г.П. Соколов, В.П. Пахомов; под ред. ОЛ.Рудых. М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 1998.- 103с.

33. Власов В.З. Избранные труды. М., Наука, т.1, 1962,с.14-19. т.2, 1963,с.43-48. т.З 1964,с.25-31.

34. Власов В.З. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней. Изв. АН СССР. ОТН, 1949, №6. с.819-838.

35. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек // Строительная промышленность. 1932. №11. с.33-37; №12. с.21-26.

36. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.; Л.: Гостехиздат, 1949, 784с.

37. Власов В.З. Расчет тонкостенных призматических оболочек. -Прикладная математика и механика, 1944, т.8, №5, с.33-38, №12, с.21-26.

38. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Госстройиздат, 1958. - 502с.

39. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматгиз, 1959. - 568с.

40. Виноградов Г.Г. Расчет строительных пространственных конструкций. Л.: Стройиздат. Ленингр. Отд-ние, 1990. - 264с.

41. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М., Гостехиздат, 1956, 419с.

42. Вольнов B.C. Кручение коробчатых пролетных строений мостов. М.: "Транспорт", 1978. -136с.

43. Вольное B.C. О стесненном кручении тонкостенных коробчатых балок переменной высоты. Строительная механика и расчет сооружений, 1975, №6, с.53-54.

44. Габбасов Р.Ф. Применение метода последовательных аппроксимаций к нелинейным задачам. Строительная механика и расчет сооружений, 1991, №2. с. 11-13.

45. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами. Дисс. на соискание ученой степени д.т.н. М.-1987. 339с.

46. Галеркин Б.Г. Упругие тонкие плиты. М.: Гостроийздат, 1933, 371с.

47. Танеева М.С. О некоторых приближениях при решении задач изгиба пластин и оболочек с учетом физической и геометрической нелинейности. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1972, вып. 9,с.33-38.

48. Гастев В.А., Китовер К.А, К определению упругих характеристик ребристых пластин. Строит, механика и расчет сооружений, 1961, №6. 280с.

49. Генки Г. Пространственная задача упругого и пластического равновесия. Изв. АН СССР. ОТН, Механика, 1937, №2, с.76-81.

50. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек, методы их решения: Учеб. пособие / В.В. Карпов; Изд-во АСВ; СПБГАСУ. М.; СПБ., 1999.-154с.

51. Годзевич Г.В., Годзевич Э.В. Условия сопряжения цилиндрической оболочки с контурным ребром за пределом упругости. Строит, механика и расчет сооружений, 1979, №6, с.98-102.

52. Гребень Е.С. Основные уравнения теории ребристых оболочек и тонкостенных стержней // Изв. АН СССР. ОТН. 1949. №6. с.819-838.

53. Григолюк Э.И., Кабанов В.В., Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 359с.

54. Григолюк Э.И., Шалашили В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого тела. М.: Наука, 1988. 232с.

55. Григорьев А.С. Изгиб круглых и кольцевых пластин переменной и постоянной толщины за пределами упругости. Инж. Сб., 1954, т.20,с.203-215.

56. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений. // ДАН СССР. Т.88. 1953. вып. 4, с.579-582.

57. Друккер Д. Пластические методы расчета. Преимущества и ограничения. Механика, 1960, №1, с.69-73.

58. Еленевский Г.С., Даревский В.М. Кручение двухлонжеронного пирамидального крыла с непрерывно расположенными жесткими на изгиб нервюрами. Тр. \Центр. Аэрогидродинамич. ин-та, 1937, вып.292. -44с.

59. Енджиевский Л.В., Ларионов А.А. Нелинейные деформации ребристых оболочек. Красноярск: Изд-во Красноярск, ун-та, 1982. 295с.

60. Заруцкий В.А. До разрахунку цилиндричних оболонок, шдсиленых стршгерами. Прикладна мехашка, 1962, т.8, вып.3,с.25-30.

61. Заруцкий В.А., Корут В.И. О влиянии малых упруго-пластических деформаций на напряженно-деформированное состояние ребристых цилиндрических оболочек. Приклад, механика, 1969, т.5, вып.10,с.42-46.

62. Заруцкий В.А. Уравнения равновесия ребристых цилиндрических оболочек. Тр.И Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. (Львов, 1961). Киев: Изд-во АН СССР, 1962,с.301-306.

63. Иванов С.П. Развитие теории расчета нелинейных пластинчатых систем. Дисс. на соикание ученой степени доктора технических наук. Москва-2002,-225с.

64. Ильюшин А.А. Связь между теорией Сен Венана-Леви-Мизеса и теорией малых упругопластических деформаций //Прикл. математика и механика. 1945.- Т.9. вып.З. - с.207-218.

65. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат,1948. -376с.

66. Иноземцев В.К. Исследования упруго-пластических деформаций гибких многослойных оболочек. — В кн.: Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во, Саратов, ун-та,1979, вып.6,с.126-129.

67. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев: Наук. Думка, 1971,с. 114-119.

68. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М. - Л.: Физматиздат,1962.-709с.

69. Канторович Л.В. Один прямой метод приближенного решения задач о минимуме двойного интеграла // Изв. АН СССР, ОМЕН, 1933. №5,с.503-514.

70. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.М. Фролов А.Н.

71. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение,1975,с.28-32.

72. Карпунин В.Г., Клешев С. И., Корнишин М.С. К расчету пластин и оболочек с учетом общей коррозии. Тр.Х Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мецниереба, 1975.с. 192-196.

73. Карякин Н.И. Основы расчета тонкостенных конструкций. — М.: "Высшая школа", I960.- 240с.

74. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

75. Качанов Л.М. Упруго-пластические задачи теории оболочек и пластинок. Тр. У1 Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966,156с.

76. Колев Д. Р. Основные соотношения при упруго-пластической деформации оболочек вращения, подкрепленной системой продольных и поперечных ребер. КН.9. София: Пьтища, 1971, №10,с.71-75.

77. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М., Высшая школа, 1963,206с.

78. Колчунов В.И., Панченко JI.A. Расчет составных тонкостенных конструкций. М.: Изд-во АСВ, 1999. - 281с.

79. Коновалов Б.А. К вопросу расчета конических оболочек на основе вариационного метода проф. В.З.Власова. Известия высших учебных заведений, серия авиационная техника, 1958, №4, с.51-61.

80. Коновалов Б.А. К расчету конических оболочек вариационным методом В.З. Власова. Тр/Моск. Авиац. Ин-т, 1960, вып.130, с.19-56.

81. Корнишин М.С. Болыцие прогибы прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек из нелинейно-упругого материала / М.С.Корнишин, Н.Н.Столяров, Н.И.Дедов // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1972. - с. 136-142.

82. Королев В.И. К расчету подкрепленных пластин и оболочек. Инж. Сб. 1958, т.28,с.37-45

83. Краснопеев Б.М., Абовский Н.П., Енджиевский JI.B. Ребристые параллелограммные плиты: Учеб. пособие по расчету методом сеток. -Красноярск: изд. КПИ, 1968,108с.

84. Краснопеев Б.М., Енджиевкий М.В., Абовский Н.П. Расчет ребристых параллелограммных плит методом сеток. Изв. Вузов. Стр-во и архитектура, 1969, №3,с.601-606

85. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та,1976,216с.

86. Кудрявцев С.Г. Расчет конструктивно-нелинейных пластин и оболочек из нелинейно-упругих материалов: дисс.на соиск. к.т.н. -М.: 1987с.

87. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М. - Л.: ГТТЛ, 1951,342с.

88. Курылев В.Ф. К постановке задачи об упруго-пластическом деформировании ребристых оболочек. Науч.трУ МИСИ, 1969, вып.63,с.49-54

89. Ларионов А.В. Алгоритмы численного решения нелинейных задач строительной механики и нестационарной термоупругости на основе метода стандартной области: дисс. на соиск. уч. степени к.т.н: М., 1991.-187с.

90. Леонтьев А.Н., Леонтьев Н.Н., Бен Хелал Монсеф. Расчет тонкостенных пространственных систем, взаймодействующих с упругой средой: Сб. ст./ МГСУ. М., 2000. - с.46-50.

91. Леонтьев Н.Н. Обобщенный вариант вариационного метода Власова-Канторовича и его применение к решению двухмерных задач теории пластин и оболочек. В кн.: Проблемы расчета пространственных конструкций. - М.: МИСИ, 1980. - Т.2,с.5-14

92. Лепик Ю.Р. Равновесие гибких пластинок за пределом упругости.-ГММ, 1975, т.21, вып.6,с.28-34

93. Лепик Ю.Р. Равновесие упруго-пластических и жесткопластических пластин и оболочек: Обзор. Инж., 1964, т.4, вып.3,с.

94. Лещенко А.П. Новые начала строительной механики тонкостенных конструкций. М.: Стройизд, 1995, - 720с.

95. Ломакин В.А., Юмашева М.А. О зависимостях между напряжениями и деформациями при нелинейном деформировании ортотропных стеклопластиков. Механика полимеров, 1965, №4,с.83-91

96. Лукаш П.А. Инженерные задачи нелинейной теории упругости. Дисс. на соиск. уч. степени, д.т.н: М., 1963,336с.

97. Лукаш П.А., Левитская Н.Д. Эксперименталное исследование пологих цилиндрических оболочек при больших прогибах. Науч. Тр./ МИСИ, 1970, №84,с.

98. Лукаш П.А. О нелинейной строительной механике. В кн.: Исследования по теории сооружений. - М.: Стройиздат,1974, вып.20.с.

99. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978.-204с.

100. Лукаш П.А. Расчет пологих оболочек и плит с учетом физической и геометрической нелинейности / П.А.Лукаш // Тр. / ЦНИИСК. 1961.-Вып. 7. - с,29-35.

101. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ. Т.4. 1940. вып.2,с.

102. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М. - Л.: Гостройиздат, 1947,252с.

103. Марданов Г.А. Исследование нарпяженно-деформированного состояния пологих оболочек из нелинейно-деформируемого материала. -Строительная механика: дисс. на соиск. уч. степени к.т.н., 1981.227с.

104. Масленников A.M. Численный метод решения задач теории пластин и оболочек, подкрепленных ребрами: Автореферат. дис.д-ра техн. наук. /ЛИСИ, Л., 1970.275с.

105. Милейковский И.Е., Райзер В.Д., Достанова С.Х. Нелинейные задачи расчета оболочек покрытий. М.: Стройиздат, 1976. 145с.

106. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин // ДАН СССР.1957. ТЛИ. №5. с.968-971.

107. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957,431 с.

108. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложениями к решению задач устойчивости упругого равновесия // ПММ. 1939. Т.2. №4. с.439-456.

109. Муштари Х.М. Работа казанских ученых по нелинейной теории оболочек после Великой Октябрькой социалистической революции. — Изв. Казанск. Филиала АН СССР, 1958.- Вып.2 с.89-102.

110. Ш.Муштари X.M., Суркин Р.Г. Средний изгиб пологой сферической панели, квадратной в плане, при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями. Журн. Прикл. механики и техн. науки. Физики, 1960, №2,с.68-74.

111. Назаренко М.Г. Изгиб пологих оболочек с учетом физической и геометрической нелинейности. Строит.механика и расчет сооружений, 1970, №1,с.352-358.

112. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. -Л.- М.: Стройиздат, 1966.-302с.

113. Новицкий В.В. Расчет скошенных конических оболочек. В кн.: расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1958, вып.4, с. 333-360.

114. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948 132с.

115. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромиздат, 1962. 432с.

116. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М.: "Машиностроение", 1966. - 392с.

117. Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла. М.: Оборонгиз, 1960. - 312с.

118. Образцов И.Ф. Некоторые вопросы расчета на прочность тонкостенных конструкций самолета. Тр./Моск. Авиац. Ин-т,1957, вып.79. - 176с.

119. Образцов И.Ф., Онапов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем.-М.: "Машиностроение", 1973. -659с.

120. Одинец А.В. О симметричной упруго-пластической деформации конструктивно-ортотропных цилиндрических оболочек. Науч. Тр./Киев. Инж. - строит, ин-та, 1962, вып.20,с.111-116.

121. Одиноков Ю.Г. Напряжения и деформации в тонкостенных конструкциях переменного сечения. — ТрЛСазан. авиац. Ин-т, 1948, вып. 20, с.3-15.

122. Одиноков Ю.Г. Расчет самолета на прочность. М.: "Машиностроение", 1973.-392с.

123. Ольшак В., Савчук А. Неупругое поведение оболочек. М.: Мир, 1969,286с.

124. Пастушихин В.Н. Расчет призматических оболочек. Метод, указания./ Моск. инж- сроит, ин-т им.В.В.Куйбышева, М., 1989,48с.

125. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Научные доклады вышей школы: Строительство. 1959. №1,с.78-84.

126. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975,119с.

127. Писаренко Г.С., Можатовский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие. — Киев: Наукова думка, 1981. -493с.

128. Портаев B.JI. Изгиб и кручение тонстенных клиновидных оболочек. Материалы ХХХУ научно-технической конференции МИСИ им. В.В. Куйбышева в области промышленного, гражданского и гидротехнического строительства. М., 1976, с.24.

129. Портаев В.Л. Изгиб клиновидной оболочки. Рукопись депонирована в ЦИНИС, 1976, НТЛ, раздел "Б", вып.7, №421. -7с.

130. Портаев В.Л. Исследование напряженно-деформированного состояния тонкостенных клиновидных оболочек. Дисс. на соиск. уч. степени к.т.н.-М., 1979, -130с.

131. Портаев В Л. Кручение тонкостенных клиновидных оболочек с жестким контуром, применяемых в краностроении. В кн.: подъемно-транспорные машины. Тула, 1978, с.44-48.

132. Портаев В.Л. Стесненное кручение клиновидной оболочки с жестким контуром. -Рукопись депонирована в ЦИНИС, 1976, НТЛ, раздел "Б", вып.7, №420. -8с.

133. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977.277с.

134. Рассудов В.М. Расчет пологих оболочек, подкрепленных ребрами. -Уч. зап. / Сарат. ун-т, 1956, 157с.

135. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1986. -400с.

136. Резников Р.А. Применение вариационного метода В.З Власова к расчету тонкостенных систем (кессонов) из трапециевидных пластинок. -Инженерный сборник, 1961, №31, с. 108-118.

137. Резников Р.А. Решение задач строительной механики на ЭВМ. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1948. -192с.

138. Ростовцев Г.Г. Продольно-поперечный изгиб гибкой прямоугольной пластинки, соединенной на контуре с ребрами. Инж. сб, 1950, т.8,с.531-540.

139. Рудных Г.Н. Прочность цилиндрической авиационной оболочки в области длинного выреза (открытое сечение). Прочность цилиндрической авиационной оболочки возле выреза (закрытое сечение). -Науч. Тр./ЦАГИ, 1959, вып. 732,с.209-308.

140. Савин Г.Н., Флейшман Н.П. Пластинки и оболочки с ребрами жесткости. Киев: Наукова думка, 1964,205с.

141. Сбитнев В.Ф. Кручение конической оболочки односвязного прямоугольного профиля с деформируемым контуром. Тр./Моск. инж. - строит. Ин-та, 1969, вып.62, №1, с. 100-106.

142. Сбитнев В.Ф.Стесннное кручение тонкостенных конических стержней, имеющих замкнутый прямоугольный деформируемый контур и переменную толщину. В кн.: Прочность и жесткостьмашиностроительных конструкций. Челябинск: Южно-Уралькое кн. Изд-во, 1975, с.24-30.

143. Смирнов А.Ф. Строительная механика и вычислительная техника. — Строительная механика и расчет сооружений. 1967, №5, с.8-12.

144. Смирнов В.А. Численный метод решения некоторых краевых задач теории упругости для дифференциальных уравнений в частных производных. Исследования по теории сооружений 1969. -Вып.ХУ11. -с. 111-123.

145. Смирнов В.А. Численный метод решения краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных на примере устойчивости ортотропной пластин. Тр./ НИИЖТ. 1970. - Вып.96. -с.374-379.

146. Смирнов В.А. Расчет Г-образной ортотропной платинки.Тр./ Моск. Архит. Ин-т. 1972. - Вып.4 -с.75-96.

147. Синицын.С.Б., Строительная механика в методе конечных элементов стержневых систем/ Учеб. пос.для техн. вузов М.:Издательство ABC, 2002. с.320.

148. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1946.-423С.

149. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. Учебник под ред. Г.С. Варданяна М., изд-во АСВ, 1995. -568с.

150. Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей) под ред. Варвака П.М. и Рябова А.Ф. Киев, «Буд1вельник», 1971,418с.

151. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.- 7-е изд., стереотип. М.: Физматгиз, 1958, - 468с.

152. Стрельбицкая А.И., Голобородько С.А. Пластические деформации пологих оболочек с разной величиной стрелы подъема. Прикл. механика, 1976, т. 12, вып. 12,с.75-96.

153. Стрельбицкая А.И. Упруго-пластические деформации и несущая способность пологих оболочек: Обзор Прикл. механика, 1973, т.9, вып.8,с.112-119.

154. Стрельбицкая А.И. Упруго-пластическая работа пологих оболочек при равномерной нагрузке. Прикл. механика, 1975, Т.П, вып.10,с.82-93.

155. Строительная механика в методе конечных элементов стержневых систем/ учеб. пособ. Для техн. Вузов/ С.Б.Синицын М.: Издательство АСВ,2002-320с.

156. Тимошенко С.П., Войновский- Кригер С. Пластинки и оболочки, перев. С англ. М.: Наука, 1966.-635с.

157. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. -569с.

158. Уманский А.А. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций, М -Л., Оборонгиз, 1969.346с.

159. Уманский А.А. Пространственные системы. М.: Стойиздат, 1948. -304с.

160. Уманский А.А. Строительная механика тонкостенных конструкций. -М.: Оборонгиз, 1961, -529с.

161. Угодчиков А.Г., Коротких Ю.Г. Некоторые методы решения на ЭВМ физически нелинейных задач теории пластин и оболочек. — Киев. Науков думка, 1971,316с.

162. Феофанов А.Ф. Строительная механика тонкостенных конструкций. -М.: Оборонгиз, 1958, -330с.

163. Феодосьев В.И. Упругие элементы точного приборостроения. Теория и расчет. М.: Оборогиз, 1949. 343с.

164. Фиртыч А.А. Исследования деформирования пластин и оболочек. В кн.: Строит, механика, газоаэромеханика и производство летат. аппаратов. Воронеж: изд. Воронеж. Инж. - строит. ин-та,1970, вып.1.с.145-153.

165. Фомичев В.И., Пухонто JI.M., Бедов А.И. и др. Расчет и конструирование тонкостенных покрытий одноэтажных зданий производственного назначения: Учеб. пособие. М.: МИСИ, 1988,с.510-515.

166. Хитров В.Н. Напряженно-деформированное состояние оболочек, подкрепленных ребрами в двух направлениях: Автореф. дис. на соиск. учен. степ, канд.техн. наук.- Киев, 1971,21 с.96-102.

167. Цурков И.С. К вопросу об интегрировании уравнений теории тонких неупругих оболочек. Науч.тр. /МИСИ, 1965, №47,с.202-220.

168. Цурков И.С. К построению теории равновесия нелинейно-упругих оболочек вращения. Науч. Тр. /МИСИ, 1967, №54,с.28-36.

169. Цурков И.С. О равновесии гибких пологих оболочек из физически нелинейных материалов. В кн.: Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1975, вып.21,с.100-106.

170. Цурков И.С. О расчете гибких пластинок и пологих оболочек, материал которых не следует закону Гука. В кн.: Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1974, вып.20,с.57-60.

171. Цурков И.С. Упруго-пластическое равновесие пологих оболочек при малых деформациях. Изв. АН СССР. ОТН, 1957, №6,с.249-270.

172. Цурпан И.А., Шульга Н.А. Основные уравнения теории тонких пологих оболочек с учетом физической нелинейности. ПММ, 1965, т.1, вып. 12.-е. 131-139.

173. Шапиро Г.С. О поведении пластинок и оболочек за пределами упругости. Тр. II Всесоюз. съезда по теории, и прикл. механике (Москва, 1964). М.: Наука, 1966,с.54-72.

174. Шапошников.Н.Н., Расчет пластинок и коробчатых конструции методом конечных элементов. Исследования по теории сооружений, 1976, в,XXII. - М.: Стройиздат, с.134-146.

175. Шевченко Ю.Н., Борисюк О.Т. Учет сжимаемости материала в задачах теории малых упруго-пластических деформаций для тонких оболочек. Докл. АН СССР, Сер. А. физико-техн. математ. науки. -Киев: Наукова думка, 1981, т.З.с.97-102.

176. Штаерман И.Я. К теории симметричных деформаций анизотропных упругих оболочек. -В кн.: Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1950, вып. I, с.54-72

177. Штаерман И.Я. О применении метода асимптотического интегрирования к расчету упругих оболочек. Известия Киевского политехи, и сельско-хозяейственного ин-тов, 1924, кн.1 вып. 2, с.75-99.

178. Karman, Т. Festigkeit sprobleme im Maschinenbau, Encycl / Т. Karman // der math. Wiss. IV(4),1910.

179. Kleiber M. Nieliniowa, statyczna I dynamizcna analiza poweok metoda element ow skonczonych. "Konstz. Powl., teor., I zastosow. 2 konf., Golun,1978. Ref. probl." S.l.s.a.

180. Maquoi, R. teorie non lineaire de la resistance poscritique des grandes poutres en caisson raidies / R. Maquoi,m C. Massonet // Mem. Assoc. int. ponts et charp. - 1971. №12.c.

181. Naruoka M., Ohmura H. Uber die Berechnung der Einfluskoefizienten fur Durchbiegung und Biegemoment der orthotropen Parallelogramm-platte. Stahlbau, 28,1959, N 7.c.

182. Naruoka M. tJber die Berechnung schiefer anisotroper Platten. Bauingenieur, 37, 1962, N 1 I.e.

183. Siepak, J.S. Past-buckling bahaviour jf steel box-girders in beading and shear// J.S.Siepak, M.Piekarczyk/ Arch. Civ. Eng. -1993. -№3. -C.275-2951. СПРАВКА О ВНЕДРЕНИИ

184. Дана аспиранту МГСУ Юсуфу Берте в том, что разработанная им программа и результаты исследований по теме: «Расчет клиновидных складчатых систем по нелинейной теории» были использованы при проектировании складчатыхясомплексов.I