автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Треугольный конечный элемент для расчета оболочек вращения с учетом смещений как жесткого целого



■У

А

/

Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия

На правах рукописи

УДК 539.3

Киселёв Анатолий Петрович

ТРЕУГОЛЬНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С УЧЕТОМ СМЕЩЕНИЙ КАК ЖЕСТКОГО ЦЕЛОГО

05.23.17- строительная механика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научные руководители:

доктор технических наук, профессор Николаев Анатолий Петрович

кандидат технических наук, доцент Клочков Юрий Васильевич

Волгоград 1999

3.7. Матрица жесткости треугольного конечного

элемента размером 54x54 ...................................... 91

3.8. Примеры расчета.............................................94

4. ТРЕУГОЛЬНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ С ВЕКТОРНОЙ

АППРОКСИМАЦИЕЙ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ................... 108

4.1. Матрица жесткости конечного элемента размером 54x54

с векторной аппроксимацией полей перемещений................ 108

4.2. Примеры расчета............................................ 117

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................128

ЛИТЕРАТУРА....................................................130

ПРИЛОЖЕНИЕ................................................ 147

тонких оболочек остается одной из актуальных проблем механики твердого деформируемого тела и представляет несомненный практический интерес.

Вопросам прочности тонких пологих и непологих оболочек посвящен ряд исследований отечественных и зарубежных ученых / 1,10,16,17,22,23,34,64,68, 91,97/.

Уравнения теории тонких оболочек довольно сложны /4,17,32,34,35/ и поэтому при решении практических задач часто используются приближенные и численные методы расчета / 16,47,56,57,65,68,72,93,94,96/.

Для исследования напряженно-деформированного состояния тонких оболочек среди других численных методов особую популярность приобрел метод конечных элементов (МКЭ), позволяющий достигать достаточно точных решений при расчете сплошных систем / 69,71,73,78,80,87/. Дискретная модель оболочки представляется в виде совокупности отдельных элементов, взаимодействующих между собой в конечном числе узловых точек, и проблема сводится к расчету упругой системы с конечным числом степеней свободы.

В сравнении с другими численными методами данный метод имеет ряд существенных преимуществ:

-возможность полной автоматизации с помощью электронно-вычислительных машин, процессов формирования матриц жесткости конструкций и решения систем линейных уравнений;

-легкость компоновки гибких алгоритмов расчета, позволяющих путем замены исходных данных изменять граничные условия и характер внешней нагрузки оболочечной конструкции;

- возможность учета физической и геометрической нелинейности оболочки, влияния температурных воздействий, возникающих в процессе эксплуатации.

Проблемы, связанные с учетом имеющихся в конструкции отверстий, переменной толщины и анизотропии материала при использовании МКЭ

становятся несущественными и решаются довольно просто в процессе общей вычислительной программы использования метода.

Цель работы заключается в совершенствовании математических алгоритмов формирования матриц жесткости высокоточных конечных элементов, используемых в расчетах на прочность тонких оболочек вращения, в разработке алгоритмов по учету смещений конечного элемента как жесткого целого для исследования напряженно-деформированного состояния конструкций из оболочек и внедрении разработанных алгоритмов в практику инженерных расчетов.

Научная новизна

Предложен новый вариант получения функций формы треугольного конечного элемента, представленных полными полиномами третьего или пятого порядков с использованием в локальной системе координат дополнительных смешанных производных высшего порядка с последующим выражением их через производные более низкого порядка методом конечных разностей.

Для учета смещений как жесткого целого в расчетах на прочность оболочечных конструкций предлагается использовать векторную аппроксимацию полей перемещений дискретного элемента, позволяющую учитывать смещения конечного элемента как жесткого целого без изменения его напряженно-деформированного состояния.

На основе предложенного способа аппроксимации разработан треугольный конечный элемент с матрицей жесткости размером 54x54, позволяющий решить проблему учета смещения непологих оболочек вращения как жесткого целого.

Практическая ценность заключается в разработке алгоритма и программного модуля формирования матрицы жесткости высокоточного

треугольного конечного элемента, который может быть эффективно использован в программных комплексах для исследования напряженно деформированного состояния тонких непологих оболочек вращения и их фрагментов.

Реализация

Математические алгоритмы, реализующие теоретические результаты диссертационной работы, включены в программу для ЭВМ по расчету на прочность нефтехимических аппаратов с учетом фактической геометрии корпуса и термосиловых условий нагружения, внедренную во Всесоюзном научно-исследовательском институте оборудования нефтеперерабатывающей и нефтехимической промышленности. Программы расчетного комплекса с использованием указанных алгоритмов позволяют выполнять уточненный расчет прочности сосудов и аппаратов нефтехимического производства, что обеспечивает их надежную эксплуатацию без дополнительных затрат на ремонт и сокращение простоя оборудования.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы (179 наименований), изложена на 102 страницах машинописного текста, содержит 23 рисунка и 14 таблиц.

Во введении обосновывается актуальность использования метода конечных элементов в качестве расчетного для исследования напряженно-деформированного состояния тонких оболочек, формулируется цель исследования, ее научная новизна, практическая ценность и представлена общая характеристика диссертационной работы.

В первой главе изложен краткий обзор исследований, выполненных по расчету на прочность тонких оболочек й пластин методом конечных элементов.

Во второй главе на основе теории механики сплошной среды /10,32,81/ с использованием гипотезы прямых нормалей /22,97/ записаны основные соотношения теории тонких оболочек вращения.

В третьей главе для расчета оболочек вращения и их фрагментов разработан алгоритм формирования матрицы жесткости треугольного непологого конечного элемента, являющегося частью срединной поверхности оболочки. За узловые неизвестные принимались компоненты вектора перемещения и их производные. Каждая компонента вектора перемещения внутренней точки дискретного элемента аппроксимировалась с помощью двумерного полинома третьего или пятого порядков через узловые значения этой же компоненты и ее производные.

При определении неизвестных коэффициентов аппроксимирующих полиномов предложен новый вариант получения функций формы треугольного конечного элемента с использованием в локальной системе координат дополнительных смешанных производных высшего порядка с последующим выражением их через производные более низкого порядка методом конечных разностей. С использованием полученных функций формы сформированы матрицы жесткости элемента размером 36x36 и 54x54. Приводятся примеры расчета.

В четвертой главе для исследования напряженно деформированного состояния тонкостенных оболочек вращения, в процессе эксплуатации которых возможны значительные смещения их как жесткого целого, предлагается использовать векторную аппроксимацию полей перемещений треугольного конечного элемента. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента размером 54x54 с использованием векторной аппроксимации полей перемещений. В качестве узловых неизвестных конечного элемента выбирались векторы перемещений узловых точек их первые и вторые производные. При формировании матрицы жесткости вектор-

столбец узловых неизвестных преобразовывался к обычному вектору узловых компонент и их производных.

На численных примерах расчета тонких оболочек вращения, имеющих пружинные опоры, за счет которых оболочечная конструкция могла смещаться как жесткое целое, показана эффективность использования векторной аппроксимации полей перемещений конечного элемента, так как использование традиционной независимой аппроксимации приводило к ошибочным результатам.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии, в частности с темой «Напряженно-деформированное состояние тонких оболочек с учетом физической и геометрической нелинейностей» /Номер государственной регистрации №01.84.0.000459/.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ОБОЛОЧЕК

Применение классических аналитических методов к решению дифференциальных уравнений, описывающих процесс деформирования сложных пространственных систем, в практических случаях ввиду неоднородности поля напряжений в элементах конструкций часто затруднительно / 26,51,58,59,66,91,167/, а большей частью и совсем невозможно. Поиск сравнительно простых и приемлемых по точности численных методов расчета континуальных систем привел к идее замены исходной конструкции с бесконечным числом внутренних связей ее дискретной моделью с конечным числом степеней свободы / 2,76,98,107,108,109,110,111/. В итоге проблема расчета сводится к обычной задаче строительной механики. Численный метод расчета дискретной системы с конечным числом степеней свободы получил название метода конечных элементов.

Наиболее ранние работы по исследованию напряженно-деформированного состояния сплошных сред, в которых в качестве расчетного применялся метод конечных элементов, принадлежат Дж. Аргирису / 105,106/ О. Зенкевичу/179/, Р. Клафу /126/.

Конструкция может быть идеализирована совокупностью конечных элементов самых разнообразных форм и размеров. Наиболее часто для анализа напряженно-деформированного состояния тонких пластин и оболочек, испытывающих деформации изгиба используются конечные элементы треугольной и четырехугольной формы / 5,7,15,39,42,44,113,159,63,43,150/.

Следует отметить, что расчет оболочек является одной из наиболее сложных проблем, решаемой методом конечных элементов / 21,86,145,28/. В настоящее время существует достаточно много разработанных элементов оболочек, позволяющих получать достаточно точное решение задачи.

Наиболее простые элементы треугольной и четырехугольной формы используются для расчета пологих оболочек / 77,117,127,3,106/. Криволинейная поверхность оболочки в этом случае представляется в виде системы плоских прямоугольных или треугольных граней.

Для реализации метода конечных элементов в расчете тонких оболочек в /24/ используется вариационный принцип Рейсснера с использованием в качестве конечного элемента плоской треугольной пластины. Узловыми неизвестными являются перемещения в вершинах треугольника и нормальные моменты в серединах каждой из сторон треугольного элемента.

Прямоугольный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений, их первых производных и смешанной производной каждого перемещения с размером матрицы жесткости 48x48 исследован для расчета пологих оболочек в / 138/.

Обосновывается возможность использования плоских конечных элементов к анализу деформирования тонких оболочек в /29/. Элементом дискретизации при расчете произвольных и цилиндрических оболочек являлись плоские треугольник и прямоугольник. За узловые неизвестные принимались перемещения и первые производные нормального перемещения.

Несколько типов простых дискретных элементов с различными порядками аппроксимирующих функций анализировались в /31/. На примере расчета цилиндрической оболочки установлено, что применение плоских конечных элементов позволяет получить удовлетворительное по точности решение при использовании линейных функций перемещений. Увеличение порядка аппроксимирующих функций для перемещений приводит к существенному уточнению решения.

В работе /178/ при исследовании напряженно-деформированного состояния пластин и цилиндрических оболочек с учетом физической нелинейности, в качестве элемента дискретизации использовался

четырехугольный не плоский элемент, составленный комбинацией четырех плоских треугольных элементов.

Плоский треугольный элемент для расчета прочности тонких неосесимметричных оболочек в физически и геометрически нелинейных постановках применялся в /89/. Используется шаговая схема нагружения. Перемещения внутри конечного элемента изменялись по линейному закону.

Однако во многих практических случаях использование плоских конечных элементов, аппроксимирующих криволинейную срединную поверхность оболочки, не позволяет достигать удовлетворительной точности вычислений. Результаты расчетов оказываются значительно заниженными при расчете оболочек с зонами концентрации напряжений возникающих в местах приложения сосредоточенных нагрузок, вокруг отверстий и др.

В ряде работ / 8,44,121,116,103,112/ для исследования напряженно-деформированного состояния оболочек вращения предлагались криволинейные элементы, являющиеся частью срединной поверхности оболочечной конструкции.

Использование метода конечных элементов в формулировке метода перемещений для расчета прочности оболочек вращения в линейной постановке осуществлено в / 30,91,125,141,166,176/. В качестве конечного элемента принималась часть оболочки, выделенная плоскостями, параллельными оси вращения. За узловые неизвестные обычно принимались осевое и поперечное перемещения узловых точек и угол поворота нормали. Для аппроксимации тангенциального перемещения по окружной координате при неосесимметричном нагружении привлекались тригонометрические ряды.

Задача исследования напряженно-деформированного состояния оболочки вращения на основе метода конечных элементов в смешанной формулировке приведена в /114/. В качестве конечного элемента принимался круговой элемент оболочки с криволинейным меридианом и узловыми неизвестными в виде перемещений и моментов.

Расчет пологих незамкнутых цилиндрических оболочек рассматривался в / 129,130/. Конечными являлись прямоугольные элементы, представляющие собой кольцевые полоски с различными степенями свободы. В /132/ приводится расчет фрагмента цилиндрической оболочки опертой на диафрагмы, в качестве конечного элемента использовалась криволинейная полоска с шестнадцатью степенями свободы.

Широко используются в расчетах оболочек вращения криволинейные конечные элементы треугольной и четырехугольной формы различного порядка точности.

Довольно простые треугольные элементы с тремя узловыми точками и шестью степенями свободы в узле использованы для расчета упругих линейных оболочек в / 143,162/. В /138/ использован треугольный элемент с девятью узлами, в каждом из которых неизвестными считались только перемещения.

Простой треугольный элемент с пятью степенями свободы в узле использовался в /149/. Элемент треугольной формы с шестью узлами выбран для анализа изгиба тонких оболочек в /154,158/ с общим числом степеней свободы равным 27. В узловых точках за неизвестные принимались перемещения и углы поворотов, а в серединах сторон - перемещения и поворот в направлении нормали к стороне элемента.

В работе / 115/ исследуется поведение линейных упругих оболочек цилиндрической, сферической и конической формы при использовании криволинейного треугольного дискретного элемента с 27 степенями свободы в узле.

Криволинейный треугольный дискретный элемент цилиндрической оболочки использован в / 156/ для двух версий размеров матрицы жесткости 15x15 и 27x27. Показано, что более быстрая сходимость вычислительного процесса наблюдается при использовании элемента с 27 степенями свободы.

Для анализа тонких пологих оболочек использовались дискретные элементы треугольной формы с различными размерами матрицы жесткости 38x38 в / 23/, 45x45 в / 139/, 54x54 в / 131/ и 63x63 в /177/.

Треугольный конечный элемент для расчета цилиндрических оболочек описан в / 152/. За узловые неизвестные принимались перемещения и первые производные для тангенциальных компонент, представленных кубическими полиномами и перемещение по нормали с первыми и вторыми производными, ограниченное полиномом пятого порядка.

Ряд работ / 158,161/ посвящен исследованию процессов деформирования произвольных оболочек, подвергающихся изгибу. В качестве конечных элементов используются криволинейные элементы оболочек треугольной формы с различными числами степеней свободы в узле.

Трехузловой обо л очечный конечный элемент с непрерывностью типа С° предлагался в / 120/ для нелинейного расчета напряженно-деформированного состояния тонких упругих балок, пластин и оболочек. Для интерполяции геометрических параметров оболочки и ее перемещений использовались лине