автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Разработка алгоритмов расчета осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов на основе МКЭ

На правах рукописи

Сорокина Елена Ивановна

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ИЗ НЕСЖИМАЕМЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ МКЭ

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

003170300

Волгоград - 2008

003170300

Работа выполнена в Федеральном Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия»

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Николаев Анатолий Петрович

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Пшеничкина Валерия Александровна, Волгоградский Государственный Архитектурно-строительный университет,

кандидат технических наук, доцент Макаров Александр Владимирович, Волгоградский Государственный Архитектурно-строительный университет

Ведущая организация - ГОУ ВПО Саратовский

государственный технический университет

Защита состоится "19" июня 2008 г в 1322 часов в аудитории Б-203 на заседании диссертационного совета Д 212 026 01 при ГОУ ВПО « Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет » по адресу 400074, г Волгоград, ул Академическая, 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета

Автореферат разослан "19" мая 2008 г

Ученый секретарь /1 ^

диссертационного совета с/^ 1

диссертационного совета с/ и ' Кукса Л В

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Известно, что многие упругие материалы деформируются практически без изменения объема Такие материалы относятся к несжимаемым упругим материалам Несжимаемыми упругими материалами являются натуральные и синтетические резины, полимеры и эластомеры

Из таких материалов изготовляют эластичные манжеты для уплотнения вращающихся валов в механических передачах (редукторах, коробках перемены передач) и двигателях внутреннего сгорания

Уплотнительные соединения из несжимаемых материалов являются ответственными узлами в современных станках, грузоподъемном оборудовании, в автомобилях и тракторах

Кроме того, так как деформирование несжимаемых материалов происходит без изменения объема, их характерной особенностью является то, что напряжения не однозначно определяются деформацией К напряжениям в деформированном состоянии несжимаемого материала можно добавить с произвольным множителем напряжения, которые обычно связаны с изменением объема, т е произвольное гидростатическое давление При этом деформации тела не изменяются Другими словами, дополнительное напряжение от действия гидростатического давления к несжимаемому материалу изменяет напряжения в нем, но не влияет на деформации или на величину энергии деформации

Хотя в некоторых точных решениях задач теории упругости предположение о несжимаемости материала приводит к ряду упрощений, при использовании метода конечных элементов этого не происходит Действительно, функция энергии деформации определяет напряжения в несжимаемых телах с точностью до скалярнозначной функции о0, называемой гидростатическим давлением, ко-

торое не совершает работы в процессе деформирования тела При конечно-элементном подходе гидростатическое давление является дополнительной неизвестной величиной

Поскольку широко распространенные в инженерной практике материалы (натуральные и синтетические резины, полимеры, эластомеры) являются несжимаемыми, исследование напряженно-деформированного состояния несжимаемых тел на основе метода конечных элементов является актуальной задачей

Цель диссертационной работы.

Целью работ является разработка для осесимметрично нагруженной оболочки вращения объемных конечных элементов четырехугольной и треугольной формы поперечного сечения с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных при учете несжимаемости материалов Цель работы определяет и основные задачи

1 Разработка алгоритма формирования матрицы жесткости объемного конечного элемента четырехугольного поперечного сечения при линейном распределении перемещений и постоянном значении гидростатического давления в поперечном сечении элемента

2 Разработка алгоритма формирования матрицы жесткости конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных при линейном законе изменения гидростатического давления по площади поперечного сечения элемента

3 Разработка объемных конечных элементов треугольной формы поперечного сечения при различных вариантах узловых перемещений и линейном распределении гидростатического давления по площади элемента

Создание конечных элементов позволит использовать их в программах для определения напряжено - деформированного состояния осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов

Работа выполнена на кафедре «Мелиоративное и водохозяйственное строительство» Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии

Основные научные положения1

- Алгоритм формирования матрицы жесткости объемного конечного элемента с поперечным сечением в виде четырехугольника для расчета осесимметрично нагруженных оболочек и тел вращения из несжимаемых материалов при различных вариантах аппроксимации перемещений и гидростатического давления

- Алгоритм формирования матрицы жесткости объемного конечного элемента треугольного поперечного сечения осесимметрично нагруженной оболочки вращения при различных вариантах аппроксимации перемещений и гидростатического давления

Научная новизна и достоверность.

Научная новизна заключается в реализации условий несжимаемости при разработке алгоритма формирования матрицы жесткости различных типов объемных конечных элементов для осесимметрично нагруженных тел вращения

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием соотношений теории упругости, закона равенства работ внешних и внутренних сил деформируемого элемента, численного метода Гаусса для решения системы уравнений, сходимостью результатов решения тестовых задач при измельчении сетки дискретизации конструкций

Практическое значение результатов исследования

Практическое значение проведенного исследования заключается в том, что разработанные элементы могут быть использованы в библиотеке прикладных программ применительно к персональным ЭВМ для определения напряженно-деформированного состояния осесимметрично загруженных оболочек и тел вращения при учете несжимаемости материала

Апробация работы, результаты исследований доложены и одобрены на ежегодных научно-практических конференциях Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии (2003 2007 г)

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения Содержание работы изложено на 118 страницах машинописного текста, рисунков 15, таблиц 16 Список литературных источников включает 114 наименований, в том числе - 37 иностранных

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, определены основные задачи исследования, отмечена научная новизна, изложены основные положения, выносимые на защиту Отмечена достоверность полученных результатов и указана практическая ценность выполненных исследований

В первой главе приведен краткий обзор исследования метода конечных элементов в расчетах прочности оболочек Отмечено, что использование МКЭ

при расчетах оболочек в трехмерном пространстве выполняется для сжимаемых материалов Известно, что многие материалы деформируются без заметного изменения объема Хотя в некоторых точных решениях задач теории упругости предположение о несжимаемости приводит к упрощению, при использовании метода конечных элементов этого не происходит Напряжения, возникающие в несжимаемом материале, не полностью определяются деформацией а лишь с точностью до скалярозначной функции а0, называемой гидростатическим давлением, которое не совершает работу в процессе деформирования тела В конечно-элементных предложениях гидростатическое давление является дополнительной неизвестной величиной в жесткостных соотношениях

Сформулирована цель исследования для определения напряжено-деформированного состояния осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов с поперечным сечением в виде четырехугольника и треугольника

Во второй главе приводятся основные зависимости теории упругости при осесиммметричном деформировании

соотношения Коши

и

Эи Эи 5и

(1)

г

дг' дг Эг'

закон Гука

-у(сг6$ +сггг)]+аДГ,

Е

Ь

1

=~ О00 )]+ аМ,

2(1 +у)

к Е

В соотношениях (1) и (2) обозначено Е - модуль упругости материала, V - коэффициент Пуассона,

ст0о, - радиальное, окружное и осевое напряжения, - деформация сдвига <7,2 - касательные напряжения

После добавления к правой части первого равенства (2) слагаемых уст^ и -уап получается

1

=-[сг„(1 + у)-Зуа0] + аД1, Е

<т0 = Iй инвариант напряженного состояния

откуда определяется напряжение а^

Е , V Е Е Л

а =-в_ + 3-ст0----ам

" 1 + у " 1 + у 1 + v 1 + v

Для остальных равенств соотношений (2) получается

Е

(3)

(4)

Е v Е

стоо =1-еее + ->"--

1 + У

Е ^ у СТ„ =--Б„ +3--сг„

1+у 1+у 1+у

Е Е Л,

аД1

(5)

1 + у 1+у 1+у 1+у Соотношения (1), (4), (5) можно представить матричными зависимостями

(6)

4*1 4x2 2x1

«= Р№}+3--Ю-Б, {М},

4x1 4x4 4x1 1 + У 4x1 4x1

где

=а-

1-2 V'

1+У

1

0

1 + у

0 0

0 0

О

0

1

1 + у О

О О

0

1

2(1 +у)

{sf = fc^e^}, fcrf = r„ }

К f = froffocro0}, = ^гдгдго},

[D] - матрица дифференциальных операций, frf = {uv} - вектор-строка перемещений

В третьей главе для расчета осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов разработаны объемные конечные элементы с поперечным сечением в виде четырехугольника Для выполнения численного интегрирования произвольный четырехугольник в системе координат г, z с узлами 1, j, k, I отображался на квадрат с локальными координатами г|, изменяющимися в пределах -1 <^,ц<1 Зависимость между координатами г, z и локальными координатами г] определялась билинейными соотношениями

r = <ffe^}T{ry}, z = {f(£,,ri)>T{z)r>, (7)

где {ry)TAzy)T - матрицы-строки координат узлов четырехугольника Дифференцированием соотношений (7) определялись производные глобальных координат г,г,л, z,n и локальных координат Г|,г, ri,z в глобальной системе координат

Четырехугольный конечный элемент разрабатывался в трех вариантах 1 Столбец узловых неизвестных содержит только перемещения и принимается в виде

(W,}T = {{u,}T{vy}T} = {uVu'u'vVvV}, (8)

где

um,vn - перемещения вдоль осей г и z соответственно в узловой точке ш (m = i,j,k, 1)

Каждая составляющая перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется через узловые неизвестные билинейными зависимостями (7)

Вектор-с олбец внутренней точки конечного элемента {\у}т = {и\'}т опре-целяется в м<' ричном виде выражением

М = ' 1]{шу}, (9)

где ,атрица [А] имеет вид

'Ш$.п))т (0}г

Деформации внутренней точки конечного элемента определяются в соот-1етс вии с (6) матричным выражением

{8} = [0]М = [0][А]{№у}=[В]<«у} (10)

Гидростатическое давление ст0 принимается постоянным по площади че-гырехугольника

2 Во втором варианте конечного элемента в каждом его узле в качестве [зловых неизвестных принимаются перемещения и их первые производные Вектор узловых неизвестных в локальной системе координат имеет вид К}Т={К»;}Т}, (11)

где

{ч">т = {и'и'и'и1!^ м,\ и,{ и,; и,; и,; и,; и,;} , {У;}т = {У'У'УЧЧ'^ у^ У^ У,' V,; у,; у,' у,1, >,

и,{)и,ч,у,{,у,ч - производные радиального и осевого перемещений в легальной системе координат

Перемещения внутренней точки конечного элемента определяются через 1екторы узловых перемещений в локальной системе координат соотношениями и = {<р&ч)}т{и;>, v = {ф(!;>т1)}>?}) (12)

12x1

где компонентами матрицы {<рй,п)}т , содержащей функции формы, яв-иются полиномы Эрмита третьей степени

№

/3

и

С использованием аппроксимирующих соотношений (12) формируется матричная зависимость (9) и (10)

Гидростатическое давление принимается постоянным по площади четырехугольника

3 В третьем варианте конечного элемента перемещения аппроксимировались соотношениями второго варианта, а гидростатическое давление считалось изменяющимся в зависимости от узловых значений по билинейному закону

а0 = {Щ,л)}тЮ, (13)

где

Для получения матрицы жесткости и векторов узловых усилий дискретных элементов при действии сил, распределенных по объему используется равенство работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях

|МГ (14)

V Б

где

= ЫвсксЬ - элементарный объем дискретного элемента,

{ЧГ = - вектор-строка составляющих поверхности сил

С использованием (6) равенство (14) принимает вид \{с)Т [С„ ]{в}пЬ + Э-2- \в,аапЬ -

1x4 4x4 4*1 1 + У |

-в, |{е}т {Д1}пЬ- Г[А]т{Ч}г<1з = 0, (15)

8 М 4,1 8

где

с1з - элементарная площадка поперечного сечения элемента.

Объемная деформация в0, входящая в (15), определяется выражением

5и 1 д\ , ,т, . Е0 =Е„+Евз+Егг = — + -Ч + Т- = {9о) {'"у}

а г &

Принимая во внимание (6), (9), (10), (15) и (16) выражение (15) представим в виде

(17)

К}1 /[В]т[0н]№^у}+з-^-{ууу}т |{ф}{ф0}тга5{СТоу}-

Б ^ 3

-82{луу}т |[В]Т{Д(}гёз-{\уу}т |[А]Т{Ч}гёз = 0

Выполняя минимизацию функционала (17) по компонентам вектора {\уу}т и по компонентам узловых неизвестных гидростатического давления КУ}\ получим систему уравнений

МК} + [р]{стоу} = {и,

[ИК} = 0, (18)

где

М= /[В]т[Он][В>с[3,

Б

[Я = 3 ~^-\ШЫтгс1з,

i + v ^

Б Б

Систему (18) можно представить в традиционной конечно-элементной формулировке

[К']К> = {П, (19)

где

И {РЛ

[К"] =

{р}т [0]

- модифицированная матрица жесткости конечного эле-

мента,

(Г"}т = {{Г,,}т{0}т} - вектор узловых сил конечного элемента

{™"}т = {{\¥у}т{сгоу}т} - вектор узловых неизвестных конечного элемента При получении матриц жесткости в первом и втором вариантах конечных элементов матрица [0] соотношения (18) представляет собой столбец {0}

Модифицированная матрица жесткости [Кк] имеет размеры 9x9 - в первом варианте конечного элемента, 25x25 - во втором варианте и 28x28 - в третьем варианте

В качестве примера определено напряженно-деформированное состояние защемленной по торцам цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним

давление интенсивности 4=60^^, при следующих исходных данных внутрен-

слс

ний радиус 11=0,5 м, толщина стенки оболочки Ь=0,05 м, модуль упругости ма-

даН

териала Е = 2 105 смг коэффициент Пуассона г) = 0,5 расчет выполнялся в трех вариантах

В первом варианте использовался конечный элемент с узловыми неизвестными в виде радиального и осевого перемещения и

Гидростатическое давление ст0 принималось постоянным по площади четырехугольника Способ нумерации численных неизвестных представлен на рис 1, где числами обозначены номера перемещений, а числами в кружках даются номера величин о0, постоянных в пределах элемента

Во втором варианте расчет выполнен с использованием конечного элемента, узловыми неизвестными которого являлись перемещения и их первые производные Гидростатическое давление <у0 принималось постоянным по площади сечения объемного конечного элемента

Способ нумерации искомых неизвестных представлен на рис 2 В третьем варианте расчета использовался элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных Гидростатическое давле-

ние распределялось в поперечном сечении объемного конечного элемента по линейному закону

Способ нумерации неизвестных величин, подлежащих определению, дается на рис 3, где числами в кружках показаны номера гидростатических давлений в узлах

Численные значения окружных и осевых напряжений во внутренних и наружных волокнах в зависимости от осевой координаты ъ приведены в таблицах 1 и 2

На рисунке 4 построен график изменения осевых напряжений в зависи-моси от координаты г На рисунке 5 показан график изменения радиальных напряжений по толщине оболочек Как видно численные значения радиальных напряжений на внутренних и наружных волокнах цилиндрической оболочки соответствуют ее условиям нагружения

Таблица 1

гсм 20 30 40 46 50

сг^рдаН1см2 561,82 421,35 305,19 374,11 1702,74

а'^даН/см2 629,04 564,53 277,17 -61,57 -793,52

Таблица 2

2см 20 30 40 46 50

а™трдаН/смг 98,45 36,89 239,77 655,32 1662,23

а'^трдаН/см2 347,89 406,65 213,23 -211,72 -775,16

Рис. 2

У m Ы2 /9

у Í 1

Ш П" « m.....................

X

А ............i .,

j) 'i® ■г.ф

/te 3

Ряс 4

График изменения осевых напряжений

1 - внутренние волокна

2 - наружные волокна

-«о

ЬаН

I.

i i ■■ ■ ось 00010\\Ч

Рис 5

График изменения радиального напряжения по таблице оболочки

Анализ результатов показал хорошую сходимость вычислительного процесса и совпадение результатов по вариантам

Сравнительными расчетами установлено, что наилучшие результаты получаются при использовании конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных, а также гидростатических давлений (т е в третьем варианте)

В четвертой главе разработаны алгоритмы получения матрицы жесткости объемного конечного элемента, поперечное сечение которого является треугольником Произвольная точка треугольника с узлами, обозначенными латинскими буквами 1, з, к, определяется координатами гиг Для выполнения численного интегрирования треугольник с узловыми координатами г', г1, г1*, ¿, ■¿, гк отображается на прямоугольный треугольник, локальные координаты которого ^ и г| изменяются от нуля до единицы

Связь между глобальными координатами г, ъ и локальными координатами г) определяется линейными соотношениями

г = {\-!;-чУ +цг\ г = (\-1;-т,У +£' + щ" (20)

Дифференцированием (20) определяются соответствующие производные Разработаны алгоритмы получения матриц жесткости треугольного конечного элемента в трех вариантах

1 Компоненты вектора узловых неизвестных принимаются в виде перемещений, а гидростатическое давление считается постоянным по площади четырехугольника, состоящего из двух треугольников

Каждая составляющая вектора перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется через узловые неизвестные линейными соотношениями (20)

и = {Щ,ч)»у}, у = {£Хг;,Т1)}>у}, (21)

где

{иу}т ^и'и'и"}, {У1}т={уУук) - матрицы-строки узловых неиз-

вестных

2 Компонентами вектора узловых неизвестных принимаются перемещения и их первые производные

К}т={и'и'иЧ^и4и4 <и,Х}, {у;}т = {У'у'УЧ^ У4 V,; V,; V,'}. (22)

Для аппроксимации полей перемещений внутренних точек треугольного конечного элемента через узловые неизвестные используются выражения

и = {К(!;,л)}тК}, у = {Х(^г,)>т{у;}, (23)

где

Функции формы имеют вид

03(^П) = ЗП2-2Т11, О, Й,гО = ^ - 0,5^ - + - + 0,5^, 6,(6.4) = 4'+$',

О, Т1) = Л - 0,5^П - 2п2 + л' - 0,5^2г, + 0,51,1)2,

0,К,Л) = -Л2+Г13 (24)

Гидростатическое давление принималось постоянным по площади четырехугольника, состоящего из двух треугольников

3 В третьем варианте перемещения аппроксимировались соотношениями (23), а гидростатическое давление считалось изменяющимся по линейному закону в зависимости от вектора узловых значений

{СТоу}Т = {СГ0СТ0С0 }

Алгоритм формирования матриц жесткости реализуется по аналогии с алгоритмом, изложенным в третьей главе Модифицированные матрицы жесткости треугольного конечного элемента имеют размеры 7x7 - в первом варианте конечного элемента, 19x19 - во втором варианте и 21x21 -в третьем

В качестве примера определено напряженно-дефромированное состояние цилиндрической оболочки, рассмотренной в третьей главе Использовался объемный конечный элемент с треугольным сечением в двух вариантах

1 В первом варианте за узловые неизвестные конечного элемента принимались перемещения, а гидростатическое давление считалось постоянным по площади четырехугольника, состоящего из двух треугольников

2 Во втором варианте расчета исследовался треугольный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений, их первых производных и гидростатического давления Гидростатическое давление изменялось по площади треугольника по линейному закону

Анализ численных результатов показал хорошую сходимость вычислительного процесса и практическое совпадение с результатами, полученными при использовании объемных конечных элементов с поперечным сечением в виде четырехугольника

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Для расчета осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемого материала разработан объемный конечный элемент с поперечным сечением в виде четырехугольника Принимались следующие варианты узловых неизвестных

1 1 Перемещения и гидростатическое давление построенные по поперечному сечению

1 2 Перемещения, их первые производные и гидростатическое давление, построенное по поперечному сечению

1 3 Перемещения, их первые производные и гидростатическое давление в каждом узле

2 Сравнительными расчетами показано, что наилучшие результаты получаются при использовании конечного элемента в варианте 13с узловыми неизвестными в виде перемещений, их первых производных и гидростатического давления

3 Для расчета осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов разработаны объемные конечные элементы треугольного поперечного сечения с узловыми неизвестными в следующих вариантах

3 1 Неизвестными в узле являются перемещения, а гидростатическое давление является постоянной величиной по площади четырехугольника, состоящего из двух треугольников

3 2 Узловыми неизвестными являются перемещения, их первые производные и гидростатическое давление при линейном законе изменения гидростатического давления по площади каждого треугольника

4 Показано, что результаты расчета полученные при использовании разработанных конечных элементов находятся в хорошем соответствии

5 Из разработанных конечных элементов лучшие результаты получаются при использовании объемных элементов с узловыми неизвестными по вариантам (1 3) и (3 2)

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией

1 Козлова, Е И Использование МКЭ в осесимметричных задачах при учете несжимаемости материала / Е И Козлова, А П Николаев Н Известия вузов Серия Машиностроение -2005 -№-9 - С 120-124

2 Козлова, Е И Использование симплексного четырехугольного конечного элемента в расчетах осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов / Е И Козлова, А П Николаев // Известия вузов Технические науки / - 2005 - № - 4 - С 14-16

Публикации в других изданиях

3. Козлова, Е И Расчет осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемого материала с использованием треугольного конечного элемента / Е И Козлова, А П Николаев // ВГСХА Научные сообщения КДН / ВГСХА Волгоград, 2003 -№-14 - С 17-20.

4 Козлова, Е И Осесимметричное деформирование тел вращения из несжимаемых материалов на основе МКЭ / Е И Козлова, А П Николаев // ВГСХА Современные оросительные мелиорации - состояние и перспективы Международная практическая конференция посвященная 40-летию ЭМФ / ВГСХА - Волгоград, 2004 - С 222 - 224

5 Козлова, Е И Использование метода конечных элементов в расчетах прочности плоско деформированных тел из несжимаемых материалов / Е И Козлова, А П Николаев // ВГСХА Международная научно-практическая конференция посвященная 60-летию образования Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии / ВГСХА - Волгоград, 2004 - С 120-122

6 Козлова, Е И Учет несжимаемости материалов в расчетах осесимметрич-ных оболочек с использованием симплексного четырехугольного конечного элемента / Е И Козлова // ВГСХА Международная научно-практическая конференция посвященная 60-летию Победы (сборник) Актуальные проблемы развития АПК / ВГСХА - Волгоград, 2005 - С 162 - 164

7 Козлова, Е И Использование треугольного конечного элемента в расчетах прочности несжимаемых тел вращения / Е И Козлова // ВГСХА Научно-практическая конференция по итогам 2005 года / ВГСХА - Волгоград, 2006 -С 42 - 45

Сорокина Елена Ивановна

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ИЗ НЕСЖИМАЕМЫХ МАТЕРИАЛОВ

НА ОСНОВЕ МКЭ

Автореферат

Подписано к печати 13 05 2008 Формат 60x84 1/16 Уел печ л 1 Тираж 100 экз Заказ 300 Издательско-полиграфический комплекс ФГОУ ВПО ВГСХА «Нива» 400002, г Волгоград, Университетский пр-т, 26

Введение

Глава 1. Краткий обзор использование метода конечных элементов в расчетах прочности оболочек

Глава 2. Соотношение теории упругости

2.1. Основные соотношения напряженно-деформированного состояния тел вращения при осессиметричном нагружении

2.1.1. Выражения составляющих деформаций через перемещении

2.1.2. Выражения составляющих напряжений через деформации

2.1.3. Матричная форма представления основных соотношений теории упругости осесимметрично нагруженных несжимаемых тел вращения

Глава 3. Расчет осесимметрично нагруженных тел вращения с использованием четырехугольных конечных элементов при различных способах аппроксимации

3.1. Основные операции метода конечных элементов

3.2. Системы координат четырехугольного конечного элемента

3.3. Четырехугольный конечный элемент с перемещениями в качестве узловых неизвестных

3.3.1. Аппроксимация перемещений

3.3.2. Матрица жесткости конечного элемента

3.3.3. Вектор узловых усилий при действии распределенных поверхностных нагрузок

3.4. Четырехугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных

3.4.1. Узловые неизвестные и аппроксимация перемещений

3.4.2. Матрица жесткости конечного элемента и вектор узловых усилий

3.4.3. Вектор узловых усилий от распределенных нагрузок на контуре элемента

Глава 4. Треугольный конечный элемент осесимметрично нагруженной оболочки вращения

4.1. Геометрия элемента

4.2. Треугольный конечный элемент с перемещениями в качестве узловых неизвестных

4.2.1. Аппроксимация перемещений

4.2.2. Матрица жесткости конечного элемента

4.3. Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных

4.3.1. Функции формы для перемещений

4.3.2. Матрица жесткости конечного элемента с производными перемещений в узловых точках

4.3.3. Вектор узловых усилий в треугольном элементе от распределенных по поверхности нагрузок

Актуальность темы

Известно, что многие упругие материалы деформируются практически без изменения объема. Такие материалы относятся к несжимаемым упругим материалам. Несжимаемыми упругими материалами являются натуральные и синтетические резины, полимеры и эластомеры.

Из таких материалов изготовляют эластичные манжеты для уплотнения вращающихся валов в механических передачах (редукторах, коробках перемены передач) и двигателях внутреннего сгорания.

Уплотнительные соединения из несжимаемых материалов являются очень ответственными узлами в современных станках, грузоподъемном оборудовании, в автомобилях и тракторах.

Кроме того, что деформирование несжимаемых материалов проходит без изменения объема, их характерной особенностью является то, что напряжения не полностью определяются деформацией. К напряжениям в деформированном состоянии несжимаемого материала можно добавить с любым множителем напряжения, которые обычно связаны с изменением объема, т.е. произвольное гидростатическое давление. При этом деформация тела не изменяется. Другими словами, дополнительное добавление напряжения гидростатического давления к несжимаемому материалу изменяет напряжения в нем, но не влияет на деформации, или на величину энергии деформации.

Хотя в некоторых точных решениях задач теории упругости предположение о несжимаемости материала приводит к ряду упрощений, при использовании метода конечных элементов этого не происходит. Действительно функция энергии деформации определяет напряжения в несжимаемых телах с точностью до скалярнозначной функции а0, называемой гидростатическим давлением, которое не совершает работы в процессе деформирования тела. В конечно-элементных приложениях гидростатическое давление является дополнительной неизвестной величиной.

Поскольку широко распространенные в инженерной практике материалы (натуральные и синтетические резины, полимеры, эластомеры) являются несжимаемыми, исследование напряженно-деформированного состояния несжимаемых тел на основе метода конечных элементов является актуальной задачей.

Цель работы

Целью работ является разработка для осесимметрично нагруженной оболочки вращения объемных конечных элементов четырехугольной и треугольной формы поперечного сечения с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных при учете несжимаемости материалов. Цель работы определила и основные задачи:

1. Разработка алгоритма формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента при линейном распределении перемещений и постоянном значении гидростатического давления в элементе.

2. Разработка алгоритма формирования матрицы жесткости конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных при линейном законе изменения гидростатического давления, по площади элемента.

3. Разработка конечных элементов треугольной формы при различных вариантах узловых перемещений и линейном распределении гидростатического давления по площади элемента.

Разработка названных конечных элементов позволит использовать их в программах определения напряжено - деформированного состояния осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов.

Работа выполнена на кафедре «Мелиоративное и водохозяйственное строительство» Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии.

Основное содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Выводы по 4 главе.

1. Разработаны для расчета осесимметрично нагруженных оболочек вращения объемные конечные элементы с узловыми неизвестными в двух вариантах:

1.1. Неизвестными в узле являются перемещения, а гидростатическое давление является постоянным в площади четырехугольника, состоящего из двух треугольных элементов.

1.2. Неизвестными в узле являются перемещения, их первые производные и гидростатическое давление при его линейном распределении по площади элемента.

2. Сравнение результатов решения конкретных задач показало удовлетворительное совпадение в результатах, полученных с использованием разработанных элементов для осесимметрично загруженных тел вращения из несжимаемых материалов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для расчета осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемого материала разработан объемный конечный элемент с поперечным сечением в виде четырехугольника. Принимались следующие варианты узловых неизвестных:

1.1. Перемещения и гидростатическое давление, построенное по поперечному сечению.

1.2. Перемещения, их первые производные и гидростатическое давление, постоянное по поперечному сечению.

1.3. Перемещения, их первые производные и гидростатическое давление в каждом узле.

2. Сравнительными расчетами показано, что наилучшие результаты получаются при использовании конечного элемента в варианте 1.3 с узловыми неизвестными в виде перемещений, их первых производных и гидростатического давления.

3. Для расчета осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов разработаны объемные конечные элементы треугольного поперечного сечения с узловыми неизвестными в следующих вариантах:

3.1. Неизвестными в узле являются перемещения, а гидростатическое давление является постоянной величиной по площади четырехугольника, состоящего из двух треугольников.

3.2. Узловыми неизвестными являются перемещения, их первые производные и гидростатическое давление (при линейном законе изменения гидростатического давления по площади каждого треугольника).

4. Показано, что результаты расчета полученные при использовании разработанных конечных элементов находятся в хорошем соответствии.

5. Из разработанных конечных элементов лучшие результаты получаются при использовании объемных элементов с узловыми неизвестными по вариантам (1.3) и (3.2).

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга. М.: Наука, 1978.-287 с.

2. Аргирис, Дж. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформации поперечного сдвига на основе метода конечных элементов / Дж. Аргирис, Д. Шарпф // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Т. 1. -Л., 1974.-С. 179-210.

3. Бандурин, Н. Г. К расчету оболочек вращения методом конечных элементов. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Известия. Вузов. Серия. Машиностроение. 1981. - № 5. - С. 26 - 31.

4. Бандурин, Н. Г., Применение четырехугольного элемента с матрицей жесткости 36*36 к расчету непологих произвольных оболочек / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Проблемы прочности. -1980.-№ 5.-С. 104- 108.

5. Бандурин, Н. Г., Применение произвольного элемента к расчету тонкостенных оболочек вращения / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, И. К. Торунов // Прикладная механика. 1980. - Т. 16. - № 3. - С. 50 - 55.

6. Бате, К., Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Э. Вилсон: перевод с английского. — М.: Стройиздат, 1982. — 448 с.

7. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. М.: Наука, 1975. — 631 с.

8. Беляев, Н. М. Сопротивление материалов /Н. М. Беляев. М.: Наука, 1976. -607 с.

9. Березин, И. С. Методы вычислений Т.1 / И. С. Березин, Н. П. Жидков. -М.: Наука, 1966.-632с.

10. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций / В. Л. Бидерман. — М.: Машиностроение, 1977. — 488 с.

11. Богнер, Ф. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов / Ф. Богнер, Р. Фокс, JI. Шмит // Ракетная техника и космонавтика. 1967. - № 4. - С. 170 - 175.

12. Бронштейн, И. Н., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. М.: Наука, 1980. - 973 с.

13. Вайнберг, Д. В., Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Д. В. Вайнберг, А. С. Городецкий, В. В. Киричевский // Прикладная механика. 1972. - Т.8. - №8. - С. 3 - 28.

14. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ / Н.В. Валишвили. -М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

15. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. М.: Мир , 1987. - 542 с.

16. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы. Перевод с английского / Р. Галлагер. М.: Мир, 1984. - 428 с.

17. Голованов, А. И. Расчет тонкостных конструкций МКЭ с учетом геометрической и физической нелинейности / А. И. Голованов, О. Н. Тюленева, С. А. Якушин // Проблемы. Прочности и пластичности. -2002. -№ 64. С. 36 - 40.

18. Голованов, А. И. Исследование устойчивости тонких оболочек изопараметрическими конечными элементами / А. И. Голованов // Строительная механика и расчет сооружений. 1992. - №2. - С. 51 - 55.

19. Голованов, А. И. Новый конечный элемент для расчета произвольных тонких оболочек / А. И Голованов // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - №4. - С. 21 - 23.

20. Голованов, А. И. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / А. И. Голованов, Д.В. Бережной. Казань: ДАС, 2001.-300 с.

21. Григоренко, Д. М. К расчету оболочных конструкций методом конечного элемента / Д. М. Григоренко, С. С. Кокошин // Прикладная механика. -1979.-Т. 15.-№7.-С. 3-10.

22. Григоренко, Я. М. Решение задач теории оболочек на ЭВМ / Я. М. Григоренко, П. П. Мукоед. Киев: Высшая школа, 1979. - 280 с.

23. Дарков, А. В. Строительная механика / А. В. Дарков, Н. Н. Шапошников М.: Высш. шк., 1986, - 607 с.

24. Деклу, Ж. Метод конечных элементов / Ж. Деклу. М.: Мир, 1976.-96 с.

25. Демидович Б. П. Основы вычислительной механики / Б. П. Демидович, И. А. Марон. М.: Гос. издательство физ. - мат. лит., 1960. — 659 с.

26. Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э.З. Шувалова. М.: Наука, 1967. - 368с.

27. Длугач, М. И. Метод конечных элементов в применении к расчету цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями / М. И. Длугач // Прикладная механика. 1973. - Т. 11. - № 11. - С. 35 - 41.

28. Зенкевич, О. Применение метода конечных элементов в технике: пер. с англ. / О. Зенкевич. М.: Мир, 1975. - 541 с.

29. Игнатьев, В. А., Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры / В.А. Игнатьев, О.Л. Соколов, И. Альтенбах, В. Киссинг. -М.: Стройиздат, 1966. — 560 с.

30. Кабанов, В. В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолета / В. В. Кабанов // Вопросы, прочности и долговечности элементов авиационной конструкции. 1979. - № 25. - С. 35 - 43.

31. Кано, С. Н. Строительная механика оболочек / С. Н. Кано. М.: Машиностроение, 1966. — 508 с.

32. Кей, С. В. Расчет тонких оболочек на основе метода конечных элементов / С. В. Кей, 3. Е. Бейсенджер // Расчет упругих конструкций сиспользованием ЭВМ: сборник / пер. с англ. Д., 1974. -Т.1.-С. 151 -178.

33. Киселев, В. А. Строительная механика. Общий курс / В.А. Киселев. М.: Стройиздат, 1986. - 520 с.

34. Клочков, Ю. В. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 72 * 72 для расчета обол очечных конструкций / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // Строительство. 1998. - № 4 — 5.-С. 36-41.

35. Клочков, Ю. В. Решение проблемы учета смещения конечного элемента как жесткого целого на основе векторной интерполяции полей перемещений / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // Известия вузов. Серия. Машиностроение. 1998. - №1 - 3. - С. 3-8.

36. Козлова, Е. И. Расчет осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемого материала с использованием треугольного конечного элемента / Е. И. Козлова, А. П. Николаев // Научные сообщения КДН/ ВКДН. Волгоград, 2005. - С. 17-20.

37. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1970. - 720 с.

38. Киселев, А. П. Восьмиугольный конечный элемент для расчета толстостенных оболочек вращения / А. П. Киселев, А. П. Николаев, В. Н. Юшкин // Сб. трудов междунар. научно-техн. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 2000. -С. 27-30.

39. Кханна .Сравнение и оценка матриц жесткосткости / Кханна (J. Khanna), Гули // Ракетная техника и космонавтика. 1966. - № 2. - С. 31 - 39.

40. Макеев, Е. Г. Эффективный конечный элемент для тонких пластин и оболочек / Е.Г. Макеев // Автоматизация проектирования авиационных конструкций. Куйбышев, 1982. - С. 45 - 54.

41. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. — М.: Наука, 1977.-454 с.

42. Мебейн. Неявное представление жесткого смещения в случае криволинейных конечных элементов / Мебейн, Стриклин // Ракетная техника и космонавтика. 1971. - №2. - С. 206 - 208.

43. Метод конечных элементов в механике твердых тел. / под общ. ред. А.С. Сахарова, И.И. Альтенбаха. Киев: Высшая школа, 1982. - 480 с.

44. Николаев, А. П., Применение произвольного четырехугольного конечного элемента с матрицей 48*48 для расчета оболочек вращения / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин // Строительство и архитектура. 1980. - № 5.-С. 44-48.

45. Николаев, А. П., К расчету оболочек методом конечных элементов / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин // Строительная механика и расчет сооружений. 1980. - № 5. - С. 21 - 25.

46. Николаев, А. П., Особенности формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента размером 54*54 / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Строительство. 1988. - №2. - С. 32 - 37.

47. Николаев А. П. Осесимметричное деформирование тел вращения из несжимаемых материалов на основе метода конечных элементов / А.П.

48. Николаев, Е. И. Козлова // Современные оросительные мелиорации -состояние и перспективы: материалы международной научно — практической конференции / ВГСХА - Волгоград, 2004. -С. 222-224.

49. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. Л.: Судиромгиз, 1962. - 432 с.

50. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: пер. с англ. / Дж. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

51. Пикуль, В. В. Теория и расчет оболочек вращения / В. В. Пикуль. М.: Наука, 1982.-158 с.

52. Постнов, В. А. Численные методы расчета судовых конструкций/ В. А. Постнов. Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

53. Постнов, В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим. Л.: Судостроение, 1974. -344 с.

54. Рикирдс, Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р. Б. Рикирдс. Рига: Зинанте, 1988. - 284 с.

55. Розин, Л. А. Численные методы гидротехнических сооружений на ЭЦВМ: метод конечных элементов / Л. А. Розин. М.: Энергия, 1971. - 214 с.

56. Савельев, Л. М Простой четырехугольный конечный элемент произвольной тонкой оболочки / Л. М. Савельев // Вопросы, прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. 1979. - №5. — С. 58 -63.

57. Самарский, А. А., Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. -М.: наука, 1989.-432 с.

58. Самуль, В. И. Основы теории упругости / В. И. Самуль. М.: Высшая шк., 1982.-264 с.

59. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А. С. Сахаров, В. Н. Кислоокий, В. В. Киричевский. Киев: Высшая школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферпаг, 1982. -479с.

60. Секулович, М. Метод конечных элементов / М. Секулович, пер. с серб. Ю. Н. Зуева; под ред. В. Ш. Барбакадзе. М.: Стройиздат, 1993. — 664 с.

61. Сегерленд, Л. Применение конечных элементов в технике: пер. с англ. / Л. Сегерленд. М.: Мир, 1975. - 514 с.

62. Скопинский, В. Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четехугольных криволинейных элементов / В. Н. Скопинский // Известия вузов. Серия. Машиностроение. 1983. - №5. — С. 16-21.

63. Стренг, Г. Теория методов конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. -М.: Мир, 1977. 350с.

64. Филин, А. П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела / А. П. Филин. Л.: Стройиздат, 1974. -411с.

65. Филин, А. П. Элементы теории оболочек / А. П. Филин. Л.: Стройиздат, 1975.-256с.

66. Хейслер, Стриклин. Перемещение деформированных криволинейных элементов в расчетах оболочек матричным методом перемещений / Хейслер, Стриклин // Ракетная техника и космонавтика. 1967, №8. — С. 207-209.

67. Хечумов, Р. А., Применение метода конечных элементов к расчету конструкций / Р. А. Хечумов, X. Кепплер, В. Н. Прокофьев. М.: Изд-во АСВ.- 1994.-351 с.

68. Чернина, В. С. Статика тонкостенных оболочек вращения / В. С. Чернина. -М.: Наука, 1966.-455 с.

69. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек / К. Ф. Черных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1962.-Т. 1.-374 с.

70. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек / К. Ф. Черных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1964.-Т. 2.-395 с.

71. Черных, К. Ф. Нелинейная теория в машиностроительных расчетах / К. Ф. Черных. Л.: Машиностроение, 1986.- 336 с.

72. Шмит. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием дискретных элементов пластин и оболочек / Шмит, Богнер, Фокс // Ракетная техника и космонавтика. -1968.-N5.-С. 17-28.

73. Aditya А. К., Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method / A.K. Aditya. // Comput. And Stuct. 1989. - Vol. 32. - N 2 - P. 423 - 432.

74. Ahmand Sohrabuddin. Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements / Ahmand Sohrabuddin, Irons Bruce M., Zienkivicz О. C. // Int. J. Numer. Meth. End. 1970. - Vol. 2. - N 3. - P. 419 - 451.

75. Anderheggen, E. A conforming triangular finite element plate bending Solution / E.A. Anderheggen // Int. J. Num. Meth. End. 1970. - Vol. 2. - P. 259 - 264.

76. Basar Yavuz. Finite element formulation of the Ogden material model with application to rubber-like shells / Basar Yavuz // Numer. Meth. End. 1998. -Vol. 42, N7.-P. 1273 -1305.

77. Batoz, J. L., Buckling behavior of shells using axissymmetrical element and triangular element / J. L. Batoz, G. Dhatt, J. P. Prost // 3-rd Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol. London, 1975. - Vol. 5. - Port. V. Amsterdam ea. 1975.

78. Bond, T. J. A comparison of some curved two dimensional finite elements / T. J. Bond, Swannel, K.D. Heshell, G. B. Warburton // J. Strain Anal. 1973. -Vol. 8. - №3 - P. 182-190.

79. Brebbia, C. A. Analysis of plates and shells using finite elements / C. A. Brebbia, H. A. Hadid // Pev. roum. sci techn. ser. mec. appl.- 1973. Vol. 18. -N15. -P.939-962.

80. Cantin, G. Rigid body motions in curved finite elements / G. Cantin // AIAA. — 1970. -N8. -P.1252.

81. Cantin G. A curved cylindrical shell finite element / G. Cantin, R. W. Clough // AIAA. 1968. -N6. - P. 1057-1062.

82. Choi, Chang-Koon. Nonconforming finite element analysis of shells / Chang-Koon Choi, William C. Schnobrich // Eng. 1975. Vol. 101.- N4. - P.447-464.

83. Clough, R. W. The finite element method in plane stress analysis / R. W. Clough // J. Struct. Div.,Asce Proc. 2-d conf. Electronic computation. P.345-378.

84. Cowper, G. R. A shallow shell finite of triangular shape / G. R. Cowper, G. M. Lindberg, M. D. Olson // Int. J. Solids Struct. 1970. -N6. - P.l 13.

85. Dawe, D. J. High-order triangular finite element for shell analysis / D. J. Dawe // Int. J. Solids and Struct. 1975. - 11. - N10. - P. 1097-1110.

86. Dawe, D. J. Static analysis of diaphragm-supported cylindrical shells using a curved finite strip / D. J. Dawe // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1977. - Vol. 11. -P.1347-1364.

87. Delpak, R. A. Linearized analysis of buckling of thin rotational shells using the finite element method / R. A. Delpak // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. -Vol. 20. - N12. - P.2235-2252.

88. Faria, A. R. Finite element analysis of the dynamic response of cylindrical panels under travesing loads / A. R. Faria // Eur. J. Mech. A. 2004. - Vol. 23, N4.-P. 677-687.

89. Gellert, M. A new high-precision stress finite element for analysis of shell structures / M. A. Gellert, M. E. Laursen // Int. J. Solids and Struct. 1977. -Vol. 13. — N7. - P.683-697.

90. Hauptmann, R. Solid shell elements with linear and quadratic shape functions at large deformations with nearly incompressible materials / R. Hauptmann, Dolls, M. Harman, K. Schweizerhof// Comput. and Struct. - 2001. - Vol. 79. -N 18.-P. 1671-1685.

91. Herpai, B. Analysis of axisymmetrically deformed shells by the finite element displacement method / B. Herpai, I. Paczelf // Acta techn. Acad. Sci. hung. -1977. Vol. 85. - N1-2. - P.93-122.

92. Jones Rembert, F. Jr. A curved finite element for general thin shell structures / „

93. F. Jr. Jones Rembert // Nucl. Eng. And Des. 1978. - Vol. 48. - N2-3. - P.415-425.

94. Kanok-Nukulchai, Worsak. A simple and efficient finite element for general shell analysis / Kanok-Nukulchai Worsak // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1979. — Vol. 14. - N2. - P. 179-200.

95. Kikuchi, F. On the validity of an approximation available in the finite element shell analysis / F. Kikuchi // Comput. and Struct. 1975. - Vol. 5. - N1. - P. 18.

96. Kikuchi F. A new variational functional for the finite element method and its application to plate and shell problems / F. Kikuchi, Y. Ando // Nucl. Eng. Design. -1972. -N25. P.95-113.

97. Lannoy, F. G. Triangular finite elements and numerical integration / F. G. Lannoy // Comput. And Struct. 1977. -N 7. - P. 613-625.

98. Lindberg, G. M. A high-precision triangular cylindrical shell finite element /

99. G. M. Lindberg, M. D. Olson // AIAA. J. 1971. - N 9. - P. 530 -542.

100. May, B. Gekrummte Dreieckelement fur kreiszylinder schalen / B. May // Finite elem. Static. Berlin, 1973. - P. 230-241.

101. Mohr, G. A. Numerically integrated triangular element for doubly curved thin shells / G. A. Mohr // Comput. and. Struct. 1980. - N 11. - N6. - P. 565571.

102. Mohr, G. A. On triangular displacement elements for the bending of thin plates / G. A. Mohr // Proc. Int. Conf. Finite Element Methods. Sydney, 1979. -461.

103. Morley, L.S.D. Bending of bilinear quadrilateral shell elements / L.S.D. Morley // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - Vol. 20. -N8. - P.1373-1378.у/л

104. Nelson, R. L. An algorithm for programming the element matrices of doubly curved quadrilateral shell finite elements / R. L. Nelson // Int. J. Numer. Meth. Eng.-1982.-Vol. 18.-N3.-P. 421 -434.

105. Peano, A. Efficient high order finite elements for shells / A. Peano // Mechanica. 1976. - Vol. 11. - N11. - P. 42 - 47.

106. Rao, K. Singa. A note on the cylindrical shell finite element / K. Singa Rao, G. Venkateswara Rao, J. S. Raju // Jnt. J. Numer. Meth. Eng. 1975. - Vol. 9. -Nl.-P. 245-250.

107. Samuel, W. Key The analysis of thin shells with a doubly curved arbitrary quadrilateral finite element / W. Key Samuel // Computers Struct. 1972. -Vol. 2,-N4.-P. 637-673.

108. Sander G. Family of conforming finite elements for deep shell analysis / G. Sander, S.A. Idelsohn // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982. - Vol. 18. - N3. - P. 263-380.

109. Soh, Ai Kah. A new twelwe DOF quadrilateral element for analysis of thick and thin plates / Soh Ai - Kah, CenSong // Eur. J. Mech. A. - 2001. -Vol. 20.-N2,-P. 299-326.

110. Stolarski, H. A simple triangular curved shell element / H. Stolarski, T. Belytschko, N. Carpenter // Eng. Comput. 1985. - Vol. 1. - N3. - P. 210 -218.

111. Yang, T. Y. High order reotaangular shallow shell finite element / T. Y. Yang, A. M. Asce // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1973. -Vol. 99.-Nl.-P. 157-181.