автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Метод конечных и граничных элементов в динамике конструкций летательных аппаратов

33-49

На правах рукописи

ЛЕВИН Владимир Евгеньевич

МЕТОД КОНЕЧНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ДИНАМИКЕ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

05.07.03 — Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соисканне ученой степени доктора технических наук

Новосибирск - 2001

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный консультант: Заслуженный деятель науки

Российской Федерации, доктор технических паук, профессор P.E. Лампер

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор В.И. Трушляков

доктор физико-математических наук C.II. Коробейников

доктор технических наук В.В. Кузнецов

Ведущая организация: Государственное унитарное предприятие «Центральный аэрогидродинамический институт им. Н.Е. Жуковского », г. Жуковский.

Защита состоится 24 января 2002г. в 1500 на заседании диссертационного совета Д 212.173.07 в Новосибирском государственном техническом университете по адресу: 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20. -

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан " ^ " декабря 2001 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.173.07 доктор технических наук

Г.И. Расторгуев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. При проектировании ракет-носителей (РН) космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями (ЖРД) и при подготовке новых пусков решается задача обеспечения продольной устойчивости (задача ПОГО). На активном участке полета РН с ЖРД и при разделении ступеней могут возникнуть продольные колебания РИ с большими динамическими нагрузками на конструкцию. Опасны , низкочастотные продольные колебания, связанные с продольными, колебаниями тонкостенных топливных баков. Вопросы, рассмотренные в диссертационной работе, определились в процессе разработки метода уточненного расчета динамических характеристик продольных колебаний осесимметричных тонкостенных топливных баков. Необходимость в таком алгоритме возникла, поскольку существовавшим алгоритмам были свойственны отдельные недостатки. Например, возникали затруднения при анализе почти полных баков. Кроме того, появление новых компоновочных схем РН требует развития методик расчета агрегатов РН, включая и топливные баки. ,

Метод расчета топливных баков (с присоединенными элементами) построен на сочетании метода конечных , элементов (МКЭ) для описания деформирования оболочек бака , и метода граничных элементов (МГЭ) для представления жидкости. Поскольку МГЭ приводит к заполненным матрицам, которые могут быть обусловлены хуже матриц МКЭ, в целях сокращения конечномерной модели бака с топливом возникла необходимость в уточненном описании как геометрии бака, так и функций формы в МКЭ и МГЭ.

Разработанный автором метод аппроксимации плоской кривой (меридиана бака), основанный на использовании естественного параметра - длины кривой, получил развитие для случая пространственной кривой. В процессе дальнейшей работы появились обобщения, на основе которых были решены и другие актуальные проблемы, связанные с описанием и расчетом стержневых и тонкостенных конструкций. Решение этих проблем также может найти применение в авиационно — космической отрасли.

Основной целью работы является '

• разработка метода расчета динамических характеристик продольных колебаний осесимметричных тонкостенных топливных .баков РН с ЖРД на основе сочетания методов конечного и граничного элементов с возможностью расширения расчетной схемы при учете дополнительных конструктивных элементов; .

• разработка пакета прикладных программ; .

• решение практических задач динамики баков РН.

Для достижения основной цели работы предполагается решение следующих проблем

• разработка метода аппроксимации пространственной . ■ кривой -с использованием естественного параметра - длины кривой и < описания конечного поворота тройки ортов, связанных с точкой кривой;

разработка метода построения эффективных функций формы конечного элемента пространственного криволинейного стержня и конечного элемента оболочки вращения с использованием описания поворота тройки ортов; использование описания конечного поворота тройки ортов для записи уравнений нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня и построение численной процедуры интегрирования этих уравнений.

Научная новизна работы Разработан новый метод расчета динамических характеристик продольных колебаний тонкостенных баков с жидкостью при учете дополнительных конструктивных элементов. В его основе лежит консчноэлементное описание оболочек бака и граничноэлементное представление жидкости. Метод реализован в программном комплексе. Проведенное тестирование подтверждает хорошие описательные возможности метода. В частности, проанализированы предельные случаи заливки бака «под крышку», которые представляют определенные трудности для известных расчетных методов. Предложен новый метод аппроксимации участка пространственной кривой с использованием естественной параметризации по информации в узловых точках. Метод удобен при описании осевой линии независимого стержня или стержня как подкрепления тонкостенной конструкции. В более частном случае плоской кривой метод применяется в аппроксимации геометрических характеристик бака.

На основе соотношений, описывающих деформирование криволинейных стержней, построен метод, в рамках которого получены новые эффективные конечноэлементные аппроксимации в стержнях и оболочках. Использование таких аппроксимаций позволяет существенно сократить ' количество неизвестных в конечноэлементной модели стержня и оболочки. Для стержневой модели самолета с естественной круткой стержней построена методика расчета форм и частот колебаний. Приведены результаты тестирования.

Примененное в аппроксимации кривой описание поворота ее бесконечно малого элемента и использование глобальных компонентов векторных функций позволило записать в алгоритмичной форме уравнения нелннейного деформирования пространственного криволинейного стержня. Осевая линия стержня может иметь скачки кривизны и изломы. Для численного решения этих уравнений применен метод пристрелки. Получены решения ряда задач нелинейного деформирования стержней, иллюстрирующие достаточно широкие возможности используемой процедуры. Записаны уравнения обратной задачи нелинейного ■ деформирования стержня.

Методы исследований основаны на применении известных процедур конечно- и граничноэлементного редуцирования,

• реализации условий экстремума функционалов,

• использовании интегральных тождеств, "

• применении известных схем численного интегрирования и процедур численного решения задачи Коши,

• решении обобщенной проблемы собственных значений известными алгоритмами.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содерхсащихся в работе, основывается на

• корректном использовании исходных соотношений механики деформируемого твердого тела, применении известных численных итерационных алгоритмов,

• исследовании сходимости разработанных алгоритмов численного анализа,

• сопоставлении результатов расчета по методикам диссертационной работы с известными аналитическими и численными решениями, а также с известными экспериментальными данными.

Практическая значимость и реализация результатов исследований заключается во внедрении результатов исследований и пакетов прикладных программ вТКНПЦ им.М.В.Хруничева (г.Москва), НПО «Молния» (г.Москва),' ГУДИ КБ «Полет» (г.Омск). ,

Работа проводилась в соответствии с правительственной научно-технической программой «Икарус-МАП», программой Минвуза РСФСР «Полет», федеральной целевой программой «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки ».

На защиту выносятся

• метод расчета уточненных динамических характеристик тонкостенных топливных баков (с дополнительными элементами) при продольных колебаниях, основанный на конечноэлементном описании оболочек бака и граничноэлементном представлении жидкости;

• метод аппроксимации пространственной кривой с использованием естественной параметризации и вектора конечного поворота тройки ортов;

• метод построения эффективных функций формы конечного элемента пространственного криволинейного стержня и осесимметричной оболочки произвольного меридиана применительно к задачам динамики конструкций летательных аппаратов;

• методика расчета нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня, основанная на использовании метода пристрелки и уравнений относительно глобальных проекций векторных функций с описа-

, нием поворота на основе вектора конечного поворота. , ,

Апробация работы. Результаты работы докладывались на летней школе по механике жидкости (Киев, 1978, 1989гг.); на Всесоюзной школе-семинаре «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 1983 г.); на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент,1986г.); на Всесоюзной конференции, посвященной 30-летию факультета ДПА ЧПИ (Челя-

бинск, 1987г.); на семинарах по динамике упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью (Томск, 1983,1986гг.); на симпозиумах по колебаниям упругих конструкций с жидкостью (Новосибирск, 1979, 1982, 1985, 1988, 1991, 1994гг.); на Международных российско-корейских научно-технических конференциях CORUS « Научные основы высоких технологий» (Ульсан, Корея, 1997г., Томск, 1998г., Новосибирск, 1999г., Ульсан! Корея, 2000г.);. на юбилейной конференции в ЦАГИ (1993г.); на 1-м Международном симпозиуме «Аэрскосмическая индустрия и экология, проблемы конверсии и безопасности» (Днепропетровск, 1995г.); ,на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах » (Улан-Удэ-Томск, 1999г.); на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы механики машин» (Улан-Удэ-Томск, 2000г.); на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. МЛ; Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 1999, 2001гг.); на III и IV школах-семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1999, 2000гг.), на 1-м Российско-Корейском Международном симпозиуме по прикладной механике (Новосибирск, 2001г.), на объединенных семинарах '. кафедр ' прочности летательных аппаратов и самолето- и вертолетостроения НГТУ, на семинарах в Сибирском научно-исследовательском институте авиации им.С. А.Чаплыгина.

Публикации. По теме диссертации опубликована 31 печатная работа. Результаты исследований автора, выполненные по заказам КБ, отражены в научно-технических отчетах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения, списка использованных источников из 315 наименований. Объем диссертации 341с., включая 158 рисунков и 39 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

4Введение

Во введении кратко изложено основное содержание диссертационной работы. •>'•'

1. Актуальность проведенных в работе исследований. Обзор литературных источников.

В первом разделе на основе анализа литературных источников по тематике работы обоснована ее актуальность. *

К первым публикациям, посвященным вопросам динамики упругого тела с полостями, частично заполненными жидкостью! можно отнести работы В.В.Болотина, В.Е.БреСлавекого, Н.Н.Моисеева, Г.С.Нариманова, Б.И.Рабиновича, J.W. Miles. Постановка проблемы взаимодействия оболочек с жидкостью рассматривалась в работах Л.И.Балабуха, Э.И.Григолюка, Г'.Н.Микишева, Б.Н.Рабиновича, H.N.Àbramson. Определяющий вклад.в разработку основных расчетных методик в задачах взаимодействия конструкций'с заполняющей их жидкостью (расчет собственных колебаний жидкости в жсст-

кой полости, в упругой полости, учет вязкости жидкости, определение параметров демпферов и т.д.) внесли А.М.Анисимов, Л.И.Балабух, Ю.Г.Балакирев, И.Б.Богоряд, А.Д.Брусиловский, М.С.Галкин, В.А.Грибков, Э.И.Григолюк, И.А.Дружинин, К.С.Колесников, Р.Е.Лампер, О.С.Лимарченко, И.А.Луковский, Г.Н.Микишев, Н.Н.Моисеев, Г.С.Нариманов, М.С.Натанзон, Ю.Н.Новичков, Д.Е.Охоцимский, А.А.Пожалостин, Б.И.Рабинович, И.М.Рапопррт, В.В.Румянцев, В.А.Троценко, В.И.Трушляков, С.В.Чахлов, Ф.Н.Шклярчук, В.П.Шмаков, H.N.Abramsori, J.W.Mile's, J.H. Palmer, D.D. Капа, J.H.Pengelley и другие авторы. , В адаптации МКЭ к задачам взаимодействия упругих конструкций с жидкостью основные результаты получили В.Г.Григорьев,

B.П.Кандидов, В.В.Мокеев, В.А.Постнов, Р.В.Сиделышков,

C.А.Христочевский, Ф.Н.Шклярчук, В.В.Ямчук, W.Daniel, L.Kiefling, G.Feng, L.Pinson. и др. исследователи. Большой вклад в разработку и усовершенствование методик экспериментальных исследований тонкостенных конструкций с жидкостью внесли М.С.Галкин, Б.Л.Венедиктов, В.И.Борисенко, В.А.Грибков, Н.Я.Дорожкин, Р.Е.Лампер, О.А.Каменский, В З.Куликов, Г.Н.Микишев, В.С.Павловский, А.А.Пожалостин, А.А.Старостин, В.П.Шмаков и др.

Существующим алгоритмам расчета частот и форм собственных продольных колебаний топливных баков присущи свои ограничения. Практически для всех методик большие заливки баков (почти полные баки) являются сложным расчетным случаем. Создание алгоритма расчета динамических характеристик собственных колебаний тонкостенных упругих баков при наличии дополнительных конструктивных элементов с использованием современных методов дискретизации, представляет актуальную проблему.

Некоторые основополагающие идеи механики тонкостенных оболочек и стержневых конструкций, а также основные методы их расчета заложены в работах А.Л.Гольденвейзера, Л.И.Балабуха,: В.Л.Бидермана, В.З.Власова, В.В.Новожилова, Е.Н.Попова, И.М.Рабиновича, В.А.Светлицкого, А.Лява и многих других отечественных и иностранных ученых. В развитие МКЭ применительно к задачам деформирования тонкостенных и стержневых конструкций большой вклад внесли Ю.И.Бадрухин, З.И.Бурман, К.П.Горбачев, Я.М.Григоренко, Л.П.Железнов, В.И.Ивантеев, В.В.Кабанов, В.В.Киричевский, В.Н.Кислоокий, С.Н.Коробейников, В.В.Кузнецов, Б.А.Куранов, И.Ф.Образцов, В.А.Постнов, Л.А.Розин, Л.М.Савельев, А.С.Сахаров, Т.В.Снисаренко, А.Т.Турбаивский, Х.С.Хазанов, ИЛ.Хархурим, В.Д.Чубань, J.H, Argyris, O.C.Zienkiewicz и др. авторы. Успех применения МКЭ к решению практических задач во многом определяется задаваемыми функциями формы. Эти функции должны удовлетворять свойствам полноты. Обеспечение таких свойств для конечных элементов криволинейной формы всегда было сопряжено с определенными трудностями. Исследования в этом направлении являются актуальными.

Эффективное применение МКЭ к расчету" тонкостенных конструкций связано с уточненным описанием их геометрических характеристик. Решение этой задачи открывает возможность использования алгоритмов автоматической

разбивки на элементы, что упрощает исследование сходимости решения. С другой стороны, описание геометрии является самостоятельной проблемой. Несмотря на существование ряда алгоритмов аппроксимации кривых и поверхностей, развитых в работах отечественных и иностранных авторов Ю.С.Завьялова, М.С.Корнишина, В.Ф.Снигирева, В.Н.Паймушина, А.Фокса, М-Пратта . и др., проблема описания этих объектов не теряет своей актуальности. Основой аппроксимации порции поверхности является описание граничных пространственных кривых. Теоретически удобным представляется описание кривой параметрическими уравнениями, в которых роль параметра выполняет длина дуги кривой. Такие аппроксимации практически отсутствовали до настоящего времени. В диссертационной работе предложен метод . аппроксимации участка пространственной кривой на основе естественной параметризации и описания конечного поворота тройки ортов.

Основы теории стержней заложили Ст. КлгсЬЬооГГ, А.СЬЬбсЬ, Л.Ьоуе, Л.Эйлер, А.И.Лурье, В.А.Светлицкий, Е.Н.Попов и др. исследователи. Решение в специальных функциях удается записать только для ограниченного класса задач деформирования стержней при больших перемещениях. Основу здесь составляют численные методы. Наиболее существенные результаты получены только в рамках нелинейного варианта МКЭ. Результатов, полученных интегрированием уравнений, немного. К тому же, возможности таких методик расчета ограничены. Задача описания нелинейного деформирования пространственных криволинейных стержней также требует проведения дальнейших исследований.

В конце первого раздела формулируются цели диссертационной работы.

2. Способы представления геометрии кривой

Во втором разделе рассмотрены вопросы описания геометрии кривой по ограниченной исходной поузловой информации. Для упрощения задания и обработки исходных данных о геометрии желательно иметь единый алгоритм. При описании меридиана осесимметричного бака (оболочки вращения) возможно построение как гладкого контура, так и контура с угловыми точками (рис.1.). В этом случае целесообразно использование направлений нормалей к контуру в заданных точках. Пространственные кривые, как правило, описываются с помощью параметрической сплайн-аппроксимации. Если информация о кривой задана в точках, то в качестве параметра обычно берется накопленная длина вдоль хорд, соединяющих заданные точки. В

нориаяъ к контуру

Рис.1. Контур бака сложной формы

литературе по аппроксимации кривых практически не затрагивается параметризация по дуге кривой, хотя и отмечаются преимущества такого описания [например, с. 156 ]: « .:.параметр лучше всего было бы выразить через длину дуги, но на практике это ведет к трудностям: мы не можем установить длину дуги между точками, пока не вычислим кривую, а для того, чтобы вычислить кривую, нужно знать длину дуги... ». Тем не менее, в диссертации предложен метод построения аппроксимации кривой с использованием естественного параметра.

Будем считать, что пространственная кривая получается в результате деформирования отрезка определенной длины. С каждой точкой отрезка свяжем тройку ортов, ориентированную такхсе, как орты глобального базиса. (рис.2.). После деформирования отрезка эти орты повернутся. Орт ¡\, направленный вдоль отрезка, перейдет в орт й3, касательный к кривой.

(1)

Поскольку г, = ё} = Мз)и ¡к, то г($) = г0 + ¡к ■ о

Если известны компоненты матрицы-функции поворота Хц (л) , то по формулам (1) можно найти ориентацию трехгранника ё1,ёг,ё) в любой точке кривой и восстановить радиус-вектор кривой. Задачи, в которых необходимо описание конечного поворота тройки ортов, возникают во многих областях механики. Орты могут быть связаны с твердым телом. Для описания конечного поворота тройки ортов используются углы Эйлера, параметры Родрига-Гамильтона (четыре параметра при одном условии связи) и т.д. Параметры Родрига-Гамильтона более удобны в аналитических исследованиях, но при численном решении задач приходится постоянно контролировать выполнение условия связи между ними. Более алгоритмично описание поворота тройки ортов в виде, вектора конечного поворота аУ (псевдовектора Аргириса). Этот вектор направлен вдоль оси вращения, а его длина равна углу поворота тела со относительно этой оси. В таком описании на поворот не накладывается никаких ограничений. Это представление поворота эффективно использовалось в варианте МКЭ для задач нелинейног о деформирования тонкостенных конструкций (работы С.Н.Коробейникова, В.В.Кузнецова).

Рис.2. Деформирование прямолинейного отрезка

Фокс А.. Пртпт М Вычислительная геометрия. Применение 1 1982.-304с.

проектировании и на производстве - М.: Мир,

Компоненты матрицы попорота имеют вид Л„ = \-В{со}(со] + &>*), Лу = Л(а>)а>к + В(о>)о}/б}- -А(л>)т1 + В(со)сохо1,

1-1.2.3; = = (2)

■ ■ • 0> ■ СО ' ' '

Вектор конечного поворота ¿5 = (й^ связан с классическими описаниями поворота. В диссертации предложен метод аппроксимации участка пространственной кривой по координатам граничных точек (0) и ), а также ориентациям трехгранников ё^0'и е^'', связанных с кривой в этих точках

• V .' = (3)

•Закон изменения вектора поворота вдоль кривой берется в виде

где компоненты вектора поворота восстанавливаются по ориентациям

узловых трехфанников. Неизвестные I- длина кривой и коэффициенты Ьх,Ьг определяются в результате численного решения системы нелинейных уравнений ' •

хт{£)= ¡\{<Ь(*,ЬиЬ2,е))]тс1* ; т = 1,2,3,

(5)

I о-0

где х,„{() относительные координаты точки (() в базисе

Проведенное тестирование показывает эффективность предложенного метода аппроксимации. Используемая параметризация решает проблему «спрямления» пространственной кривой. Вариант метода в случае плоской кривой полностью закрывает проблемы описания геометрии меридиана топливного бака. Метод позволяет описать не только саму кривую, но и связанный с ней трехгранник, что является основанием для его ■ . . . применения в описании естест-

венно закрученных стержней. На рис.3, приведен пример задания плоской кривой, проходящей через две заданные точки с заданными углами наклона.

1.

о.г а.6 0.4

од

-— А п N

7} /1 У

/ У

Рис.3. Пример восстановления . плоской кривой '> ,

3. Пространственное деформирование стержней. Конечноэлсментные

аппроксимации

В этом разделе диссертационной работы соотношения для поворотов тройки ортов, примененные в методе аппроксимации пространственной кривой, используется для описания деформирования кривой. Связанная с каждой точкой кривой тройка ортов = р ¿к(х)1к после деформации кривой

переходит в положение ё* = р^/д* = ; г/ =''; Л- матрица поворота

тройки ортов глобального базиса; векторы ё3, ё3 направлены вдоль кривой. Элемент кривой с1г = = хк ¡¡¡¿.ч после поворота займет положение с!г' = г = XjJ¡i¿ds = XJ,.Xjkikds. С учетом растяжения для производной

перемещения кривой линии получим 0:"=

х].АЛХ+е) ~х.

Глобальные координаты . точки пространственной кривой после деформирования связаны с координатами точки до деформирования соотношениями

¿/л- «/.Ч- ^ (Л Л ; ......

При использовании глобальных проекций векторных функций (вектор перемещения осевой линии, векторы внутренних сил и моментов, вектор конечного поворота тройки ортов, связанной с поперечным сечением криволинейного стержня) может быть записана система уравнений деформирования пространственного криволинейного стержня при больших перемещениях и поворотах

^-(1 + £)Х А -X X В =. ^

„ , ' ■.....МрРгЛР

В уравнения (7) не входя! кривизньт недеформированной осевой линии исходного стержня. Описание поворота на основе псевдовектора Аргириса не имеет ограничений на величину поворота. Из общей системы уравнений могут быть получены уравнения деформирования криволинейных стержней в част-

ныч случаях. Так, система линейных уравнений в векторной форме имеет вид - _ [fie ) С - -

и v Е Я,, 0), = -i-, Qs = -q, M s = -m - rs xQ, (g)

где С, = EJ,, Сг = EJ2, C3 = G7t - жесткости на изгиб и кручение.

. Уравнения (7) можно преобразовать к другому виду • сЛг, dx'k dx2 _ dx\ . dxy _ dx'k d(Xm„)d(ùj _ _

ds ds ds ds ds ds da>j ds EJ,

^Oî^Bß , ß _ '

dUj ds' "' '' EJ2 • dUj ds' m 2r GJk '

dO, dQ2 dQt dM, dx' „ dxl „

-JT = • - , V = • ТГ = -43,■-г- = -«i - -JÎÂ ■+ -TÖ2. . as a.? ds ds ds ds

dM-, dx 3 dx Г rfA/, dx', „ dx'-, Л

-rr = -'»2 - -TTfil + -ttGÎ . = - 7Ô2 + - jfô. (9)

ds ds ds ds ds ds

Уравнения (9) можно трактовать как уравнения обратной задачи нелинейного деформирования, когда известна конфигурация деформированного стержня, распределение внутренних сил и моментов в этой конфигурации, а нужно найти первоначальную форму ненагруженного стержня. В случае прямой задачи, как известно, интегрируются уравнения (7) при соответствующих краевых условиях, а для решения обратной задачи (уравнения (9)) решается задача Коши. ß разделе 4 приведены примеры решения обратной задачи.

При использовании формул, в которых перемещения выражаются через растяжение осевой линии стержня и повороты троек ортов, связанных с каждой точкой осевой линии, в диссертации предложен метод построения эффективных функций формы криволинейных стержневых конечных элементов.

Так, в задаче нелинейного изгиба горизонтального консолыю закрепленного прямолинейного стержня, нагруженного на свободном торце поперечной силой Р, получены следующие результаты: при Р£2/ EJ = 1 и Р(2 / EJ -1.9 максимальное отличие горизонтального перемещения свободного торца от точного значения составляет 5% для N=1 и 0.2% для N=2 (N-число конечных элементов). Вертикальное перемещение и угол поворота свободного торца вычисляются точнее.

В случае малых перемещений и поворотов для конструирования функций формы конечного элемента плоского криволинейного стержня используются следующие соотношения

Ui.,=£xi.,-&Xxv>ui,,=£x2j+&Xx[n (Ю)

где х,(i),х2(/)- уравнения осевой линии, t- параметр (в частности, это может быть н длина), е- деформация вдоль оси, Ду- угол поворота нормали к оси стержня при деформировании, Ut,U2- проекции перемещения точек оси на

глобальные оси. Конечный элемент имеет три степени свободы в каждом узле-две глобальных проекции перемещения и угол поворота нормали. Рассматривается два варианта построения функций формы. В первом варианте деформация е вдоль элемента в каждой его точке считается неизвестной и постоянной. Закон изменения угла поворота нормали задастся в виде, содержащем одну константу. Заданные неизвестные (константа и деформация) выражаются через узловые неизвестные. • Во втором варианте деформация, с вдоль элемента в каждой его точке принимается равной нулю (модель гибкого стержня). Закон изменения угла поворота нормали задается в виде, содержащем две константы. ' - ■

Проведено тестирование на различных задачах. В частности, рассматривалась задача о нагружении гибкого кругового стержня. Схема нагружения приведена на рис.4. Рассматривались различные углы раствора 1к. Для безразмерных единичных сил и изгибающего момента получены следующие результаты: при 1к = я максимальная ошибка в определении горизонтального

перемещения, свободного, торца' составляет 0.6% по сравнению с точным решением для одного конечного элемента ( при меньших 1к

ошибка еще меньше); при ' 1к — такая

ошибка составляет 10% для одного конечного элемента и 0.005% для двух конечных элементов.

При использовании точного решения в рассмотренной задаче (¡к — к) были построены точные функции формы и вычислена точная матрица жесткости К. Отличие точной и ■приближенной магрйц жесткости составило

Рис. 4. Расчетная схема

точ

=0.004, т,п = 1,2,..,6

Рис.5. Точное и приближенное распределение изгибающего момента

.Установлено, что одну и ту же ошибку п матрице, жесткости могут давать различные функции формы". Так, если в качестве функций формы угла поворота Нормали использовать

г а ? р

где а -амплитуда ошибки, -символ Кронекера, к = 1....6, то матрицы жесткости для всех не-

д хГ6л(0 = АхГ

'<0 + 8б

четных значений р > 3 получаются одинаковыми.

Узловые значения сил и моментов определяются матрицами жесткости свободных элементов. Распределение силовых факторов внутри конечного элемента обычно вычисляется через деформации. При вычислении деформаций дифференцируются функции формы. Таким образом, одной и той же приближенной матрице жесткости могут соответствовать различные функции формы. Следовательно, одним и тем же узловым перемещениям, силам, и моментам конечномерной модели могут соответствовать различные законы распределения силовых факторов, найденные дифференцированием различных функций форм, дающих одни и те же ошибки в. матрице жесткости конструкции. Этим и объясняется причина больших ошибок при вычислении силовых факторов внутри конечного элемента (рис.5.). Для нахождения силовых факторов нужно решать отдельную задачу. В частности, в случае криволинейного стержня можно воспользоваться правилами сопромата.

Тестирование в рамках той же расчетной схемы (рис.4.) было проведено дня случая действия распределенных нагрузок постоянной интенсивности: нормальной, касательной и изгибающего момента. Полученные результаты и в этом случае подтверждают хорошие аппроксимирующие свойства функций формы, построенных с использованием разработанного метода.

В качестве тестовой решалась задача о сжатии эллиптического кольца двумя 2 . противоположными силами (рассматри-

валась четверть - кольца, рис.6.). Численное интегрирование уравнений . краевой задачи методом пристрелки дает следующие значения перемещений точек ¿V 1 и 2: ?/,= - 0.02481, П2= 0.04904, где Рис.6. Сжатие U = U • EJ ■ Р'] . При использовании

эллиптического кольца одного разработанного конечного эле-

мента (N=1) получено СУ,= - 0.02467, 1/2 = 0.04903; для двух конечных элементов (N=2) найдено СУ, = - 0.02481, U2 = 0.04903. Лицензированный конечноэлементный комплекс COSMOS/M дает такую точность при N=30 элементах. Тестирование на задаче о нагружении стержня с осевой линией в виде четверти эллипса по схеме, подобной приведенной на рис.4., показало хорошие аппроксимирующие возможности разработанного конечного элемента. Результаты МКЭ - расчета сравнивались с результатами численного решения соответствующей краевой задачи методом пристрелки. Проведенное тестирование матриц жесткости и масс конечного элемента на задаче об изгибньгх колебаниях кругового кольца в своей плоскости также продемонстрировало высокую точность функций формы при решении задач динамики.

Метод построения функций фоэмы конечного элемента плоского стержня обобщен на случай пространственного криволинейного стержня. В процессе

построения. функций формы аппроксимируется вектор конечного поворота тройки ортов, связанной с точкой осевой линии стержня

й(х) = + + + В2£, (>)£., (5 )ё,, (11)

где = —«у)/?, ¿,(.5)= 1-£г{$)> ^-длина вдоль элемента; й^ и

векторы поворота троек ортов, связанных с узловыми точками конечного элемента] и ]+1 (рис.7.); ё, и ё2-орты, направленные вдоль главных осей инерции поперечного сечения стержня, орт ё3 направлен по касательной к оси. Деформация вдоль стержня £ принимается постоянной. Производные глобальных компонентов вектора Перемещений имеют вид , ., .

V»= Р^М + <• -Рн^Г -адЛА

+ В2/ЗиЬ,Ь2+ Вфз,.; I = 152,3\к = 2,3,1;от = 3,1,2; ёр

■ /у,

.(12)

Неизвестные параметры аппроксимации В1, Вг, В}=£ выражаются через узловые неизвестные. В качестве узловых неизвестных используются глобальные проекции перемещений узла и вектора поворота тройки ортов, связанной со стержнем в этом узле. В случае плоского стержня функции формы переходят в ранее.' полученные в рамках предложенного в диссертации метода. Для прямого стержня эти функции вырождаются в известные кубические и линейные при использовании локальных

проекций вектора перемещения.

Построенный элемент тестировался, в частности, на задаче о колебаниях -защемленной по торцам пространственной спирали со следующими парамет-' рами: угол подъема \(/ = 10 град., число витков К=4, коэффициент Пуассона V = 0.3. Результаты расчета восьми первых собственных чисел Л с помощью предлагаемого конечного элемента приведены в таблице 1 (№ число конечных элементов, в первом столбце приведены данные из справочника).

Таблица 1.

Рис. 7. Элемент пространственного стержня

[Справ] N=8 N=12 N=16 N=24 N=32 . N=48

1 8.1517 8.4152 8.2465 8.1883 8.1593 8.1533 8.1509

2 8.7899 8.8302 8.8254 8.8075 8.7942 8.7911 8.7895

3 8.8246 9.0498 8.8364 8.8236 8.8228 8.8226 8.8226

4 9.0740 9.3155 9.1560 9.1046 9.0807 9.0756 9.0733

5 11.2120 11.5471 11.3292 11.2581 11.2220 11.2144 11.2113 1 1.8 347

6 11.8370 12.1306 11.9038 11.8599 11.8407 11.8366

7 12.0710 12.2444 12.1203 12.0885 12.0730 12.0698 12.0684

8 12.3440 12.5543 12.4055 12.3660 12.3477 12.3438 12.3419

Собственные числа Л связаны с круговой частотой колебаний <в соотношением: Л"1 = рРсо2К/~' С*, I-характерный размер-длина спирали, рГ-погонная масса спирали, £/ - изгибная жесткость. Относительный радиус поперечного сечения гИ = 0.001.

4. Статика и динамика пространственных криволинейных стержней

Точные решения нелинейной задачи деформирования криволинейного стержня можно получить только в ограниченном числе частных случаев. Для организации численной процедуры решения лучше приспособлена запись задачи в глобальных координатах. В случае линейной задачи деформирования пространственного криволинейного стержня полученные уравнения (7), использующие глобальные проекции, интегрируются последовательно. Точность решения задачи в этом случае определяется точностью вычисления интегралов.

Система уравнений (7), описывающая деформирование криволинейных стержней при больших перемещениях и поворотах, обобщена на случай произвольного параметрического описания осевой линии стержня. В процессе решения краевой задачи для системы из 12 нелинейных уравнений применяется метод пристрелки, позволяющий свести решение этой задачи к решению серии задач Коши. Вектор разрешающих функций имеет вид

{Г(0}г ={С/1,С/2>С/з,«,,<и2,^,01,е2>0з,Л/|,Л/2,Л/5}. (13)

Суть метода пристрелки, как известно, состоит в подборе таких неизвестных краевых условий на одном конце интервала, чтобы выполнились заданные краевые условия па другом конце интервала. Эта задача решается методом последовательных приближений, в процессе которого заданное приближение уточняется методом Ньютона. Матрица производных в этом методе ищется приближенно. Для решения серии задач Коши применяется метод Рунге-Кутта 4 порядка. По этому алгоритму составлена программа и выполнены методические расчеты.

Решались следующие задачи. Нагружсние консольного стержня поперечной силой, приложенной на свободном торце. Решение сравнивалось с _точным, полученным с помощью

'] эллиптических интегралов. В

широких пределах изменения внешней силы отмечается хорошее совпадение результатов.

Для стержня с участками разной кривизны (рис.8.) решение получено методом пристрелки. Оно сравнивалось с решением по методу конечных элементов Рис.8. Стержень с участками (В.В.Кузнецов, С.В.Левяков).

разной кривизны

Отмечается хорошее совпадение. . Спираль Архимеда, нагруженная распределенной нагрузкой с/,, рассматривалась в книге В.А.Светлицкого и О.С.Нарайкина (рис.9). Для конфигураций спирали, приведенных на рис.9., момент в заделке равен М = 0.047162 для = -24 и Л/= 7.100238 для = -240. Длина спирали и изгибная жесткость равны единице. ■

В рамках такого алгоритма при постановке соответствующих краевых условий решена нелинейная задача о деформировании лука. Решение этой задачи для лука прямолинейной формы и постоянной изгибной жесткости в эллиптических интегралах приведено в книге В.И. Феодосьева. Решение по методу пристрелки и по методу эллиптических интегралов

0.1

-0,1

} ч

/ I

—Т- \ V4

-0.6

-0.5 -0.4 -о.з

-0.2 -0.1

0.1

Рис.9. Спираль Архимеда

0.4

0.2

f 7Г —^

( д (Р ------

2 2 2 1 2 Р 2 1

-0.4

0.4

0.8

Рис. 10. Формы изогнутого стержня

совпадают с высокой степенью точности. Метод пристрелки может быть применен для стержня переменной жесткости произвольной конфигурации.

Уравнения (7) могут применяться для анализа устойчивости и закритического поведения стержней.

Рассматривалась задача о нагружении продольной сжимающей силои прямого гибкого стержня, шарнирно опертого по концам. Хотя эта задача относится к разряду классических, в ней совсем недавно методом конечных элементов в нелинейной постановке обнаружена возможность вторичной потери устойчивости (работы С.Н.Коробейникова, В.В.Кузнецова, С.В.Левякова).

При увеличении сжимающей силы Р от нулевого уровня в момент р = р стержень теряет устойчивость. При дальнейшем увеличении нагрузки опоры 1 и 2 сначала сближаются, а затем расходятся. Равновесные формы представляют собой перехлестнутые петли (рис.10.). Они могут быть получены с применением эллиптических интегралов и методом пристрелки. Критическая сила выявляется как сила, при которой малые начальные отклонения формы от Прямолинейной (они задаются краевыми условиями) после решения задачи приводят к равновесной конфигурации, отличной от прямолинейной. Так, при

численном решении различаются следующие значения сжимающеи силы Р = /'£2/£/ = -9.8696043 (форма равновесия прямолинейная) и Р - 9.8696044 (форма равновесия отлична от тривиальной прямолинейной). Дальнейшее увеличение сжимающей "силы приводит к тому, что при Р - -21.549088 опоры совпадут. В численном решении при сближении опор ухудшается сходимость решения. Указанное значение сжимающей силы, приводящей к слиянию опор, было получено из решения вспомогательной задачи при наперед заданной симметрии деформирования. Численным экспериментом показано, что решением системы уравнений является любая петля, полученная -..,.•' р _

II 1.4 1.6 11

Рис. 11. Расчетная схема со смещенной опорой

Рис. 12. Кривые «перемещение-нагрузка»

Рис.13. Нагружен ие в плоскости

Рис. 14. Нагружение из плоскости '

наклоном симметричной петли при совпадающих опорах. Таким образом, симметричное положение петли является граничным, разделяющим '".другие возможные равновесные формы изогнутого стержня —перехлестнутые и наклонные петли.

Понять механизм вторичной потери

устойчивости стержня помогает следующая постановка задачи. Опора 2 (рис.11.) приподнимается вверх по вертикали относительно опоры 1 на расстояние с и перемещается в горизонтальном направлении. Задача решалась методом пристрелки. На рис. 12. показана зависимость перемещение - нагрузка. Сжимающая сила увеличивается по модулю до точки В, а затем уменьшается. Каждому значению величины рассогласования опор с соответствует своя кривая и точка В на этой кривой. Эта задача допускает и аналитическое решение в эллиптических интегралах с анализом устойчивости равновесных конфигураций по знаку второй вариации полной энергии. Такое решение приведено в диссертационной работе. Вплоть до малых значений величины рассогласования опор, определяемых точностью вычислений, методом эллиптических интегралов выявляется конфигурация стержня в момент потери устойчивости (точки В на рис.12.). Устойчивые изгибные формы равновесия существуют только до соответствующего значения критической силы. При превышении этого значения силы стержень распрямляется.

Система уравнений (7) допускает прямое описание стержня с изломом осевой линии. Рассматривался стержень с осевой линией Г-образного вида, описанный по участкам. Дополнительных мер по обеспечению стыковки разных участков не требуется. На рис.13, показаны формы изогнутого стержня при нагружении в плоскости, на рис.14, одна из проекций стержня при его нагружении из плоскости.

Применение методики численного интегрирования к расчету нелинейного деформирования пространственной спирали также демонстрирует хорошие возможности системы уравнений и численного алгоритма (рис.15.). Описание поворота тройки ортов, используемое в диссертационной работе, не имеет ограничений. Поэтому возможно отслеживать деформирование для достаточно больших перемещений торца спирали (расчеты проводились, в частности, для С/3 = 8.86Я, И -радиус намотки спирали). Вычислительный алгоритм при этом работает устойчиво.

. В качестве примера применения уравнений (9) рассмотрена следующая обратная задача. Защемленный на торце нагруженный постоянным давлением стержень

имеет' форму полуокружности. Какую форму примет стержень при разгрузке?

На рис. 16. показаны конфигурации недеформиро-ванного стержня, которые при давлениях р = 0.1, р = 0.3,

/5 = 0.5 принимают форму гюлукруга (р = рК3/Е7). Параметрические уравнение криволинейной оси записываются в замкнутом виде. Полученные результаты проверялись следующим образом. Соответствующая конфигурация бралась за исходщую и решалась нелинейная задача о нагружении стержня

Рис.15. Деформирование спирали

нормальным давлением. При достижении заданного давления стержень принимает форму полукруга.

В нелинейных задачах деформирования стержней возможны разные равновесные конфигурации, соответствующие одинаковым приложенным силам. На рис. 17. приведены две конфигурации исходно прямолинейного консольно , закрепленного стержня. Решение методом пристрелки дает для верхней конфигурации стержня значение изгибающего момента М20 = 2.838624 , а для ниж-

РисЛб. Обратная задача

Рис.17. Формы равновесия

Рис. 18. Динамическая модель самолета

фигурациям, соответствует различное распределение сил и моментов. Обратные уравнения для верхней и нижней конечной деформиро-■ ванной конфигурации восстанавливают прямолинейную исходную форму стержня.

При исследовании динамики самолета часто используется расчетная схема в виде системы связанных перекрестных балок с сосредоточенными массами (рис.18.). В качестве приложения разработанного конечного элемента пространственного криволинейного стержня в диссертации было рассмотрено описание такой расчетной схемы в рамках более общего алгоритма. Стыковка стержневых элементов осуществляется автоматически вследствие описания элемента в глобальных координатах. Кроме описания геометрии и логики соединения пространственных стержней необходимо описание

упруго-массовых характеристик вдоль стержней. В работе предложен алгоритм восстановления таких характеристик на участке стержня по их значениям в узлах. Он основан на правдоподобии аппроксимации. Такое приближенное описание в некоторых случаях оказывается точным (например, для прямоугольного сечения с разными линейными законами изменения его

размеров по длине стержня). Этот алгоритм описания упруго- массовых характеристик и использование описания геометрии криволинейного стержня по методу, разработанному в диссертации, позволяют сократить объем исходной информации, а также упростить параметрические исследования.' Здесь возможно представление естественно закрученных стержней, что позволяет смоделировать крутку крыла. Проведены расчеты динамических характеристик собственных колебаний методической модели самолета с целью определения импульсов, приходящих на опорные точки (узлы крепления шасси) на каждой форме колебаний. Такая информация нужна для анализа влияния упругости, планера самолета на нагруженность шасси при посадке самолета.

5. Консчноэлемеитные аппроксимации при осссиммстричном деформировании оболочек вращения.

Граничноэлементкос описание гидродинамического воздействия

жидкости

В этом разделе при построении конечного элемента оболочки вращения используется подход, примененный в разделе 3 для описания стержня.

Представление перемещения линии через поворот тройки ортов, связанных с этой линией и растяжение вдоль линии может быть применено и в оболочках. Поворот тройки ортов, связанных с бесконечно малым элементом срединной поверхности оболочки, описывается матрицей-функцией двух параметров A(í,,í2). Добавляя растяжение вдоль каждой стороны элемента г, и е2, а также учитывая возможность нарушения ортогональности векторов, лежащих в плоскости (матрица а), можно получить связь производных перемещения срединной поверхности О оболочки с введенными параметрами деформирования .

' ^- = \c¿^i+c„)fiJkxb,:-pm]jn:m=ia (и)

т

При осесимметричном деформировании оболочки вращения координатная сетка на оболочке остается ортогональной. В этом случае описанный подход приводит к известным соотношениям. Формулы связи радиального и осевого перемещения с деформацией и углом поворота нормали аналогичны формулам, которые используются в плоских криволинейных стержнях. В случае малых деформаций и поворотов формулы упрощаются

dUr dUr . 1

—f- = -zAX>—r = 2,se2 + rtAx, e, = ~Ur, as as r

г Ду

д*, =*;-*, ^-¿-¿.м, =*;-*, =-дх,*> (i5)

r ■ ■ • .

В соотношениях (15) r(s),z(s) - параметрические уравнения мериднана; U., U, - проекции перемещения на продольное и радиальное направления; -

угол поворота нормали к меридиану; - деформации вдоль окружной ко-

ординаты и вдоль меридиана; ДАг,, Ак2-приращения кривизн. Соотношения (15) являются основными при построении функций формы и записи энергии криволинейного конечного элемента оболочки вращения.

Для тестирования полученных конечных элементов интегрировались уравнения равновесия оболочки, записанные в глобальных проекциях искомых функций. В целях гарантированного получения результатов краевую задачу деформирования оболочки вращения необходимо интегрировать специальными методами, например методом дискретной ортогонализации С.К.Годунова. В этой работе такой цели не ставилось, а для сопоставлений брались расчетные случаи, в которых решение удавалось получить методом пристрелки.

Одной из прикладных задач диссертационной.работы является задача расчета динамических характеристик продольных колебаний топливных баков. Такие баки входят в конструкцию ракет-носителей космических аппаратов. Они, как правило, имеют осесимметричную форму и набираются из фрагментов оболочек вращения. Процедура получения функций формы конечного элемента оболочки вращения практически повторяет последовательность получения функций формы конечного элемента плоского стержня с постоянной деформацией вдоль его оси. Записана потенциальная энергия конечного элемента орто-тропной оболочки вращения и энергия деформаций кругового шпангоута при осесимметричном деформировании. Получена также кинетическая энергия конечного элемента оболочки и шпангоута.

Проводилось тестирование конечного элемента на задаче о собственных колебаниях. В случае осесимметричных колебаний пластины полученные собственные числа сравнивались с точными. В расчетах осесимметричных колебаний шарнирно опертой цилиндрической оболочки рассматривалось три типа оболочек: короткая, средней длины и длинная. Для длинных оболочек спектр достаточно густой. Для этих оболочек получены достоверные собственные числа, о чем свидетельствуют результаты сопоставления с известными решениями.

криволинейные элементы

Рис. 19. Первая форма колебаний защемленной полусферы

Расчет колебаний усеченной конической оболочки демонстрирует возможности конечного элемента по воспроизведению ■ форм колебаний большой изменяемости вдоль меридиана. Для ; рассмотренной оболочки получены собственные

числа, которые ненамного отличаются от собственных чисел, найденных асимптотическим интегрированием дифференциальных уравнений колебаний оболочки.

Рассматривалась полусферическая оболочка'. Ее геометрия описывалась двумя способами: точным и приближенным, при котором меридиан заменяется ломаной линией, вписанной в окружность. В последнем случае оболочка составлена из усеченных конических поясов. Для этих двух расчетных случаев решалась задача о собственных колебаниях защемленной по экватору полусферы. В схеме с точным описанием геометрии применялся разработанный криволинейный конечный элемент. При N=20 конечных элементах первые пять собственных чисел, найденные двумя способами, различаются незначительно, а схема с коническими элементами дает более высокие собственные числа. При меньших значениях N в схеме с грубым описанием геометрии оболочки возможно появление меньших собственных чисел по сравнению с более точной схемой, что свидетельствует о меньшей жесткости такой модели оболочки (рис.19.). Проведенное сравнение позволяет оценить границы применимости конечных элементов в виде конических поясов для расчета рассмотренной оболочки. '

В задаче о продольных колебаниях упругого осесимметричного бака с жидкостью, как правило, используется модель несжимаемой невязкой жидкости. В такой модели жидкости ее малые перемещения определяются потенциалом перемещений <р. Этот потенциал удовлетворяет краевой задаче: Д(р = 0 в объеме V, <р = 0 на свободной поверхности жидкости (для неполного бака), дц>/дп — и> на смоченной поверхности оболочки; поверхностные волны не учитываются. В рассматриваемой задаче неизвестны нормальные

перемещения оболочки' м> и распределение потенциала,

перемещений <р по ее смоченной поверхности. Если связать потенциал перемещений Ф на смоченной поверхности бака с нормальными перемещениями этой поверхности 8<р/дп, то можно исключить жидкость из задачи о колебаниях бака; воздействие жидкости будет учтено связью <р и д<р/дп. В диссертационной работе такая связь ищется в рамках прямого метода граничных элементов (ПМГЭ). Реализация ПМГЭ основана на применении интегральной теоремы Грина для двух гармонических в области V функций: искомого потенциала (р и фундаментального решения уравнения Лапласа для осесимметричного течения жидкости. Фундаментальное решение задастся в таком виде, чтобы получаемое по ПМГЭ решение для потенциала перемещений

г _ Им >' - -п==¡V?

Рис.20. Осесимметричная область, Занятая жидкостью

удовлетворяло условию на свободной поверхности жидкости точно. Геометрически более наглядной является схема представления фундаментального решения, изображенная на рис.20. В рассматриваемой задаче фундаментальное решение имеет вид ■.-...

£Хх,х(0) = ) - и(х,х0)),

лг, I 'Т)

1-

.2

(16)

где АГ(...)- полный эллиптический интеграл первого рода. В формуле Грина интегрирование проводится по смоченной поверхности. Схема получения разрешающих соотношений ПМГЭ стандартна при использовании граничных элементов с постоянным распределением неизвестных граничных функций. В этом случае точки коллокации берутся в середине каждого элемента, а для согласования граничноэлементной и конечноэлементной схем на каждом конечном элементе берется по два граничных элемента. Сингулярные интегралы вычисляются по специальной квадратурной формуле, содержащей логарифмы, обычные интегралы — по схеме Гаусса. В результате разрешения системы уравнений ПМГЭ относительно неизвестных узловых значений потенциала <р функция кинетической энергии жидкости (кинетическая энергия без множителя о)1- квадрата круговой частоты) сводится к квадратичной форме неизвестных узловых значений д<р/дп, которые в свою очередь выражаются через узловые значения обобщенных перемещений конечноэлементной схемы бака. При использовании в качестве д<р!дп соответствующих функций формы оболочки проблема стыковки МКЭ и МГЭ схем решается автоматически.

Окончательному выбору ПМГЭ как основного варианта представления жидкости в задаче о колебаниях бака способствовала, в частности, следующая тестовая задача о двумерном течении жидкости в области с угловой точкой. Область ограничена частью окружности единичного радиуса и хордой (рис.21.).

Решение для потенциала <р имеет особенность, обусловленную как наличием угловой точки границы области, так и сменой типа граничного условия. Аналогичная ситуация возникает и при расчетах топливных баков. Рассмотренная задача сводится к задаче Неймана и решается построением конформного отображения области на круг единичного радиуса. Вместе с тем, задача решалась двумя вариантами метода граничных элементов: прямым и непрямым. Граница области аппроксимировалась многоугольником с -

У

=-1 /"

! 1 о \ 1 г

\ ' фЮ4- ! С а /

V х

ла | N. .

скр/Зп»!

Puc.fr 1. Тестовая задача. Область с угловой точкой.

равными сторонами. При а > 0.5 лучшие результаты дает ПМГЭ. Это подтверждает известное положение о большей чувствительности ПМГЭ к представлению границ области. В связи с этим в данной работе предпочтение отдано прямому методу граничных элементов.

Проводилось тестирование алгоритма ПМГЭ в осесимметричной задаче. Задавалось точное решение уравнения Лапласа, по которому на заданном контуре вычислялось распределение потенциала перемещений и его нормальной производной. Затем в рамках ПМГЭ восстанавливался потенциал в точках коллокации на границе и сравнивался с точными значениями. Рост числа граничных элементов приводит к ухудшению определенности матриц МГЭ, поэтому принципиальное значение . приобретает сделанное в диссертационной работе более качественное описание 1раниц области и законов распределений неизвестньк функций. Это позволяет сократить размерность матриц за счет уточненных аппроксимаций. Более полное тестирование осуществлялось при решении конкретных задач динамики баков.

6. Метод конечных и граничных элементов в динамике тонкостенных топливных баков.

Основной прикладной задачей диссертационной работы является построение метода расчета , динамических характеристик собственных продольных колебаний тонкостенных осесимметричных баков с жидкостью на основе МКЭ и МГЭ. Результаты решения этой задачи используются при составлении динамической схемы корпуса РН. В этой схеме бак, как правило, заменяется своим эквивалентом - механическим аналогом-системой, состоящей из масс, соединенных пружинами. Величины масс и жесткостей пружин определяются в рамках известной методики с использованием результатов расчета собственных продольных колебаний определенным образом закрепленного бака. Составленная из аналогов схема корпуса используется для решения ряда задач динамики, одной из которых является задача обеспечения продольной устойчивости РН..

Многолетний расчетный опыт применения различных методик подтвердил правомерность ряда гипотез, закладываемых в расчетную схему бака при решении задачи о собственных колебаниях. Жидкость принимается несжимаемой и невязкой, а ее движения потенциальными, пренебрегается спектром поверхностных волн в поле тяжести. К такой модели жидкости применим граничноэлементный подход, описанный в разделе 5, в рамках которого воздействие жидкости на оболочку при колебаниях моделируется матрицей присоединенных масс. Расчетная схема оболочек бака составляется из криволинейных конечных элементов, круговых шпангоутов, упругих опор, а также дополнительных конструктивных элементов, которые могут быть внесены в конструкцию бака для изменения его частотных свойств. В расчетной схеме бака учитывается инерция его оболочек, шпангоутов и других кон-

структивных элементов, например подвешенной массы, которая имитирует ЖРД.

Задача о собственных колебаниях бака с жидкостью формулируется как ' обобщенная проблема собственных значений

(|ПЯ]-Л.'|7",г . /ц]){)'}- 0, ' (17)

где [П„],[Г/(]- матрицы жесткости и масс сухого бака; [гж.]- матрица присоединенных масс жидкости, определяемая по ПМГЭ; {>'} - вектор обобщенных узловых перемещений; со- круговая частота. Задача (17) решается методом итераций в подпространстве. После решения основной задачи нахождения частот собственных колебаний и соответствующих собственных векторов конечномерной модели может быть решена задача графического представления каждой формы колебаний бака: перемещения оболочек и распределение давления. При необходимости может быть построен механический аналог бака. Разработанную методику отличают от существующих более точные аппроксимаций геометрии и функций формы в МКЭ и МГЭ. Это расширяет возможности численного анализа.

Классическим примером для проведения сравнений при расчетах по различным методикам является бак сферической формы. Такой бак рассматривался в большом количестве публикаций. Проведенные сравнения результатов расчетов по разработанной методике с известными результатами подтвердили достоверность полученных результатов. На рис.22, показаны формы колебаний свободного и жестко опертого сферического бака при большой заливке. В известных методиках расчета случаи заливки бака под крышку представляются традиционно трудными для расчета. Разработанный метод работает надежно и при предельно больших заливках. Обозначим радиус зеркала жидкости г. В диссертации показано, что частота низшего тона, связанного с объемным расширением бака, при малых г л, = 1.оз4 имеет асимптотику а- ■Гг . Такая асимптотика низшего тона 'выявляется и в расчете'по МКЭ-ПМГЭ алгоритму. При г —> 0 частота низшего тона также стремится к нулю, а остальные частоты стремятся к частотам полного бака. -

Проводилось, в частности, сравнение результатов расчета колебаний полусферической оболочки с жидкостью с известными экспериментальными данными.' .

• ,. • . . .' ■.•■-.' Одним из принципиаль-

ных вопросов являлся вопрос о представлении решения по ПМГЭ в длинной

.Рис.22. Формы колебаний сферического бака.

области типа цилиндра. В этом случае должно быть представлено воздействие точек, расположенных достаточно далеко от точки наблюдения и описано течение жидкости вдоль цилиндра, как трубы. В работе этот вопрос решался в рамках численного эксперимента с гипотетическим баком, имеющим цилиндрическую обечайку и сферические днища. Длина обечайки в 10 раз превышает ее радиус. При N=120 граничных элементах последовательное двукратное обращение матрицы [л] приводит практически к исходной матрице (связь между узловыми значениями потенциала <р и его нормальной производной д<р/дп имеет вид \_А\{(р} - /£>«}). Анализ правдоподобия и сходимости результа-

тов подтверждает их достоверность. Топливные баки большего удлинения, как правило, не применяются.

В некоторых конструкциях РН применяются баки тороидальной и тороцилиндрической форм. Хотя такие конструкции баков расширяют

возможности компоновки РН, они требуют особого внимания с точки зрения динамики, поскольку для таких оболочек, характерен низкий тон колебаний. Причина существования такого тона объясняется геометрией поверхности тороидальной оболочки. У такой поверхности есть линии, разделяющие зоны с разными знаками Гауссовой кривизны. Если не закрепить од-Рис.23. Формы колебаний повременно внутренний и внешний экваторы тороидального бака такой оболочки, то в спектре появляется час-

тота, достаточно низкая по сравнению с другими частотами. Ей соответствует форма колебаний, похожая на смещение двух жестких фрагментов, границами которых являются указанные линии. Разработанный метод описывает деформирование такого типа в случае сухих и заполненных жидкостью баков такой формы. На рис.23, показана две формы колебаний закрепленного по внутреннему экватору тороидального бака. Частота первого тона в приведенном расчетном случае в 14 раз меньше частоты второго тона и составляет несколько герц. При заливке тороидального бака «под крышку» свободная поверхность стягивается в окружность, а в расчете, как и в случае со сферой, обнаруживается форма колебаний с почти постоянным давлением. Частота этого тона также низка, но она выше частоты чисто «тороидального» тона вплоть до почти полных заливок. По результатам расчета бак может быть заменен аналогом, который воспроизводит нужные динамические свойства бака в точках его крепления к носителю. Схема аналога' неоднозначна и выбирается расчетчиком. Возможны различные варианты построения аналога.

Иногда на последних этапах проектирования РН возникают задачи частотной доводки. В этом случае можно управлять только распределением масс и жесткостей внутри конструкции. Рассмотрим эту задачу на примере

тороцилиндрического бака, который является частью разгонного блока. Такой бак, закрепленный только по внутреннему шпангоуту, имел очень низкую первую частоту колебаний по сравнению с другими частотами спектра упругих колебаний. Обладая такой низкой частотой, бак мог бы стать динамическим

демпфером по отношению ко всей РН. Этот режим опасен для блока, начиненного аппаратурой. Для выведения блока' из нежелательного частотного диапазона в конструкцию бака были введены стержни, с равным шагом распределенные по окружности.

. тороцилиндрический бак

Рис.24. Способ повышения . " ■ ' жесткости бака

Мл=0.0ШТ

Рис.25. Механический аналог бака

1 тон

Рис. 26. Бак сложной формы

ЭффективЕюсть установки таких стержней (рис.24.) оценивалась по разработанной методике. Такой мерой удается повысить частоту первого упругого тона бака в 12-15 раз (как сухого, так и с топливом).

В некоторых конструктивных схемах к нижнему шпангоуту бака может крепиться двигатель. В этом случае для учета в общей динамической, схеме дополнительной' массы можно поступать по разному. Один из вариантов — построить механический аналог бака без двигателя, закрепленного по двум

Л, = 1.750 ' Лг =2.770 = 3.496

Рис. 2 7. Гладкое днище

Рис.29. Аналог бака и формы колебаний

Рис. 28. Днии!е измененной фор,мы

шпангоутам, а затем добавлять массу двигателя. Другой вариант - учесть подвижную массу, имитирующую двигатель, в общем алгоритме расчета бака. При использовании двух расчетных вариантов в диссертации проанализирован вопрос о точности построения аЕгалога. Установлено, что основеюс влияние на параметры аналога, построенного по двум тонам, оказывает суммарная жесткость бака между опорными шпангоутами Г и 2 (рис.25.). Формы реальных баков могут быть самыми различными. В первых ступенях используются удлиненные баки с ■ цилиндрической обечайкой. Днища, как правило имеют форму, близкую к сферической. В некоторых случаях используются так называемые фигурные днища. Разработанный метод позволяет описать геометрию достаточно ' сложного меридиана в рамках единого алгоритма. Па рис.26. показаны формы колебаний и эквивалентные массы трех тоеюв (подвижные массы аналога) продольных колебаний бака оживальной формы.

В расчетной практике возникала задача оценки влияния изменения формы днища на частоты и формы колебаний бака. Такое конструктивное решение, показанное на рис.28., использовалось с целью получить более полный

расход топлива. Расчет проводился в рамках разработанного метода. Результаты расчета (три формы колебаний и собственные числа, пропорциональные частотам) приведены на рис.27., 28. Показано полное перемещение. Такое изображение форм колебаний представляется в этом случае более наглядным, чем построение нормальных перемещений, отложенных в направлении нормали к контуру. На рис.29, показан результат расчета цилиндрического бака со сферическими днищами. -

Разработанный метод расчета бака, построенный на сочетании МКЭ и МГЭ работает достаточно надежно, о чем свидетельствует опыт решения тестовых задач и расчетов реальных конструкций.

В процессе' разработки метода удалось решить некоторые важные проблемы описания геометрии, деформирования стержней и построения эффективных стержневых и оболочечных конечных элементов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Разработан новый метод уточненного расчета динамических характеристик продольных колебаний тонкостенных осесимметричных упругих топливных баков. Метод основан на использовании конечных элементов для описания упругих обечаек бака и граничных элементов для представления жидкости. Он имеет более широкие возможности по сравнению с существующими методами, что определяется более развитым описанием геометрии бака и уточненными функциями формы в МКЭ и МГЭ.

2. В разработанном методе предусмотрена возможность учета в расчетной схеме бака дополнительных конструктивных элементов, таких как двигатель, прикрепленный к баку, и внутрибаковые стержни,, вводимые в конструкцию бака для повышения его жесткости без изменения внешних очертаний ( выведение частот бака из нежелательного диапазона).

3. Создан пакет программ расчета динамики реальных конструкций тонкостенных баков. Достоверно описываются традиционно трудные для других методов заливки бака «под крышку» и малые заливки, а также угловые точки контура бака.

4. Проводились расчеты по заказам КБ. Пакет программ и результаты расчетов используются в проектной практике при разработке новых и доводке существующих изделий в ГКНПЦ им.М.В.Хруничева (г.Москва), НПО «Молния» (г.Москва), ГУДП КБ «Полет» (г.Омск).;

5. Как обобщение алгоритма описания геометрии бака разработан новый метод аппроксимации участка . пространственной кривой, основанный на описании поворота тройки ортов вектором конечного поворота и использовании естественной параметризации.

6. Метод применяется к описанию осевой линии пространственного криволинейного стержня в задаче о колебаниях динамической модели Л А в виде системы пространственных перекрестных балок и к описанию меридиана

оболочки вращения в задаче о продольных колебаниях тонкостенных баков с жидкостью.

7. Предложен новый метод построения эффективных стержневых конечных элементов и конечных элементов оболочки вращения, основанный на использовании соотношения, связывающего поворот элемента кривой линии с его перемещениями и деформацией.

8. Метод применяется в задачах о колебаниях пространственных стержней и колебаниях динамической модели ЛЛ, '• а также в задаче о собственных колебаниях- баков с жидкостью (построение конечных и граничных элементов). '

9. Получена удобная для численного интегрирования форма записи системы уравнений нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня. В ее основе лежит описание поворота бесконечно малого элемента оси стержня с использованием вектора конечного поворота и разложение искомых векторных функций на компоненты в глобальном базисе. В уравнения не входит'начальная кривизна стержня, что ослабляет требования к гладкости его осевой линии. '

10. С применением к полученной системе уравнений метода пристрелки построен эффективный алгоритм численного анализа нелинейного деформирования пространственных криволинейных стержней. Его возможности продемонстрированы на ряде задач.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Балгеймер Г.Л., Левин В.Е. Об учете особенности течения жидкости на вертикальной стенке // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью/ Сб. трудов научн. семинара -Томск. — 1984 .- С. 10 - 14.

2. Левин В.Е. Построение базовых решений в задаче о бакс с неправильностью формы // Колебания упругих конструкций с жидкостью / Сб. научн. докл. симпозиума,- М.: ЦНТИ "Волна",1984.-С.161 - 163;

3. Лампер P.E., Левин В.Е. Собственные колебания упругого сосуда, близкого к осесимметричному с произвольным контуром // Аннотации докл. VI Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике. - Ташкент.-1986. - С.408.

4. Левин В.Е. Расчет колеба'ний сферического бака с учетом особенности течения жидкости в окрестности угловой точки // Динамика и прочность элементов авиационных .конструкций / Межвузовский сборник научных трудов. — НЭТИ. - 1986, - С.бб - 69. • •;; >

ЪЛевин В.Е. Влияние отклонений от основной формы на колебания баков // Динамика упругих и твёрдых тел, взаимодействующих с жидкостью/ Тез. докл. научн. семинара.-Томск. - 1986.-С.30-31.

6. Левин В.Е. Собственные колебания бака, близкого к осесимметричному // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов - НЭТИ. - 1987. - С.65-71.

7. Лам пер P.E.. Ленин В.Е. Колебания оболочек с жидкостью, близких к осе-симметричиым // Известия AI I Армянской ССР. - Сер. Механика. - 1987. -

№- С.52-57.

8. Лампер P.E.. Левин В.Е. Применение.метода Ритца с варьируемым параметром к расчету поперечных колебаний консольного бака // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов. -НЭТИ. - 1989. -С.6-9.

9. Ковалев Г.П. , Лампер P.E., Левин В.Е., Самуилов В.Ф. Сопоставление модальных и волновых представлений в задачах о продольной устойчивости типа ПОГО // Колебания упругих конструкций с жидкостью / Сб. научн. докл. симпозиума. - Новосибирск. - 1990. — С.84 - 87. ■

10. Левин В.Е. Колебания жидкости в прямом и обратном упругом коническом баке // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов . - НЭТИ. - 1990. - С.73 - 76.

11. Лампер P.E.,. Левин В.Е. Разработка и внедрение метода расчета продольных колебаний топливных баков // Юбилейный сборник научных трудов СибНИА им. С. А. Чаплыгина.- Основные этапы научной деятельности 1941 -1991гг. — 4.1. — Новосибирск. - 1991. - С. 145 - 149.

12. Ивлиев C.B., Левин В.Е.-К вопросу о сходимости метода Ритца в задаче о колебаниях бака с жидкостью // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов — НЭТИ. — 1992. - С.7 - 9.

13. Левин В.Е. К расчету динамики баков методом конечных и граничных элементов // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб.трудов симпозиума. - Новосибирск. - 1992. - С. 135 - 142.

.14. Левин В.Е. Расчет продольных колебаний бака методом конечных и граничных элементов // Колебания упругих конструкций с жидкостью / Сб.трудов симпозиума.-Новосибирск. - 1995.*-С.41-49.

15. Levin V.Е. Use of the finite and boundary element methods in the elastic tank oscillation analysis // The Fouth Russian-Chinese Scientifical Conference of the problems of aircraft stregth. - Novosibirsk. - 1995. - P.162 - 167.

.. 16. Лампер P.E., Левин B E. Расчет и моделирование продольных колебаний аэрокосмических систем //Научные основы высоких технологий/ Сб. тр. Меж-дунар. научно-техн. конф. - 1997.-Т.4.- С.207-208.... .......

17. Лампер P.E., Левин В.Е. Расчет топливного бака с внутренними конструктивными элементами // Научные основы высоких технологий / Сб. тр. Меж-дунар. научно-техн. конф. - 1997. - Т.4. - С209 - 214.

18. Lamper R.E., Levin V E. Account of vibrations of almost full tanks with fuel by method, of boundary and finite elements // The Second Russian-Korean International Symposium on Science and Technology. - Tomsk Polytechnic University. Rus-, sia.'-1998.-P.23. . .. ; :

19. Левин В.Е. Приложение метода конечных и граничных элементов к расчету топливных баков // Динамика сплошной среды Математические проблемы механики сплошных сред/ Сб. научн. тр. — Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН. - 1999. Вьм. 114. - С.175 - 178.

20. Лампер Р.Е., Левин B E. К определению параметров аналога топлнвного бака по результатам его расчета методом граничного и конечного элементов.// Научный вестник НГТУ. - 1999.-№2(7). -С. 171 - 176.

21. Левин В.Е. Уравнения равновесия гибкого криволинейного стержня при больших перемещениях // Математическое моделирование процессов в еннерге-тических системах / Тр. Всероссийской научн. конф. - Улан-Удэ-Томск: Изд-во Том. ун-та. - 1999. - С.203 - 205.

22. Levin V.E. То construction of curve finite element form's functions// The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology .-Novosibirsk State Technical University. Russia. - 1999. - VI. - P.336.

23. Лампер P.E., Левин В.Е. Применение различных аппроксимаций в методах конечных и граничных элементов для решения прикладных задач статики и динамики упругих тел // Научный вестник НГТУ. - 2000. - №2(9). - С.76-90.

24. Левин В.Е. Нелинейный конечный элемент плоского криволинейного стержня // Математическое моделирование процессов в синергетичсских системах / Тр. Всероссийской научн. конф. - Улан-Удэ. - 2000. -Т.1, - С.70 - 75.

25. Левин В.Е. Функции формы конечного элемента криволинейного стержня. // Динамика сплошной среды / Математические проблемы механики сплошных сред / Сб. научн. тр. - Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН. - 2000. Вып. 116. -С.191 - 193.

26. Levin V.E. То calculation nonlinear deformation of a flexible rod. //Proceeding of the 4-th Russian-Korean International Symposium on Science and Technol-ogy.Ulsan: Printed in Republic of Korea Technical Communication Service-2000. -V.3. -P.43-46.

27. Левин В.Е. Применение вектора поворота твердого тела в аппроксимации пространственной кривой // Сибирский журнал индустриальной математики. -2001.-№1(7). -С. 120- 128.

28. Lamper R.E., Levin V.E. То account of axial symmetric oscillations of rotation shells with curvilinear finite element use // The First Russian Korean International Symposium on Applied Mechanics. - Novosibirsk - 2001. - P.45 - 48.

29. Левин В.Е. Конечный элемент пространственного криволинейного стержня // Математические проблемы механики сплошных сред/ Сб. научн. тру-дов.-Новосибирск. - Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН - 2001.- Вып.118.-С.173- 177.

30. Левин В.Е. К описанию конечного поворота твердого тела //Современные проблемы механики деформируемого твердого тела/ Сб. научн. трудов.-Повоси-бирск. - Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН - 2001.- Выи. 119- С.73 - 76.

31. Лампер Р.Е., Левин В.Е: Динамическая конечноэлементпая модель пространственной системы перекрестных балок с сосредоточенными массами // Научный вестник НГТУ. - 2001. - №2( 11 ). - С.89-108.

Владимир Евгеньевич Левин

МЕТОД КОНЕЧНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ДИНАМИКЕ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

Подписано в печать 30.11.2001. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 130 экз. Уч.-изд. Л. 2 Печ.л. 2,25 Заказ № 606

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр.К. Маркса, 20 ,

ВВЕДЕНИЕ.

1. АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОВЕДЕННЫХ В РАБОТЕ ИССЛЕДОВАНИЙ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ.

1.1. Задача о взаимодействии конструкции и жидкости.

1.2. Вопросы конечно- и гранично-элементной аппроксимации.

1.3. Проблема задания геометрии.

1.4. Деформирование криволинейных стержней.

Выводу по разделу 1. Цель диссертационной работы.

2. СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ КРИВОЙ.

2.1. Задание геометрии участка плоской кривой.

2.2. Вариант описания кривой.

2.3. Описание поворота тройки ортов.

2.4. Метод аппроксимации пространственной кривой.

2.5. Аппроксимация плоской кривой.

Выводы по разделу 2.

3. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕЙ. КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ.

3.1. Деформирование пространственной кривой.

3.2. Деформирование стержней.

3.2.1. Уравнения деформирования пространственного стержня при больших перемещениях и поворотах.

3.2.2. Нелинейные уравнения деформирования плоского стержня

3.2.3. Линейные уравнения деформирования пространственного стержня.

3.2.4. Линейные уравнения деформирования плоского стержня

3.3. Конечноэлементные аппроксимации.

3.3.1. Пример нелинейного конечного элемента.

3.3.2. Конечные элементы стержневого типа.

3.3.2.1. Конечный элемент плоского криволинейного стержня.

3.3.2.2. Конечный элемент пространственного криволинейного стержня.

Выводы по разделу 3.

4. СТАТИКА И ДИНАМИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ.

4.1. Точные решения.

4.2. Решения численным методом.

4.2.1. Интегрирование нелинейных уравнений деформирования пространственного криволинейного стержня методом пристрелки Л

4.2.2. Консольно закрепленный стержень.

4.2.3 Составной криволинейный стержень с участками разной кривизны.

4.2.4. Стержень переменной кривизны. Спираль Архимеда.

4.2.5. Задача о деформировании лука.

4.2.6. Закритическое деформирование продольно сжатого шарнирно опертого стержня.

4.2.7. Расчет составного стержня с изломом оси.

4.2.7.1. Нагружение в плоскости.

4.2.7.2. Нагружение из плоскости.

4.2.8. Примеры решений обратной задачи нелинейного деформирми-. рования стержней.

4.2.9. Расчет деформирования пространственной спирали.

4.3. Динамическая конечноэлементная модель планера самолета как системы пространственных перекрестных балок.

Выводы по разделу 4.

5. КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ ОСЕСИМ-МЕТРИЧНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ. ГРАНИЧНОЭЛЕМЕНТНОЕ ОПИСАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ЖИДКОСТИ.

5.1. Кинематика деформирования оболочки вращения.

5.2.Уравнения равновесия оболочки.

5.3. Конечный элемент оболочки вращения при осесимметричном деформировании.

5.3.1. Расчет колебаний круглой пластины.

5.3.2. Расчет колебаний цилиндрической оболочки.

5.3.3. Расчет колебаний конической оболочки.

5.3.4.Расчет колебаний полусферической оболочки.

5.4. Граничноэлементное представление воздействия жидкости на оболочку.

5.4.1.Основные соотношения для осесимметричного течения жидкости.

5.4.2. Тестирование граничноэлементной процедуры.

Выводы по разделу 5.

6. МЕТОД КОНЕЧНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ДИНАМИКЕ ТОНКОСТЕННЫХ ТОПЛИВНЫХ БАКОВ.

6.1. Исходные соотношения и последовательность расчет.а.

6.2. Тестовые расчеты

6.2.1. Бак сферической формы.

6.2.2. Длинный бак.

6.3. Расчет тороидального бака.

6.4.Аналог бака с жидкостью.

6.5.Установка дополнительных конструктивных элементов.

6.6. Расчеты некоторых баков.

Выводы по разделу 6.

Актуальность темы диссертации. При проектировании ракет-носителей (РН) космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями (ЖРД) и при подготовке новых пусков решается задача обеспечения продольной устойчивости (задача ПОГО). На активном участке полета РН с ЖРД и при разделении ступеней могут возникнуть продольные колебания РН с большими динамическими нагрузками на конструкцию. Опасны низкочастотные продольные колебания, связанные с продольными колебаниями тонкостенных топливных баков. Вопросы, рассмотренные в диссертационной работе, определились в процессе разработки метода уточненного расчета динамических характеристик продольных колебаний осесимметричных тонкостенных топливных баков. Необходимость в таком методе возникла, поскольку существовавшим алгоритмам были свойственны отдельные недостатки. Например, возникали затруднения при анализе почти полных баков. Кроме того, появление новых компоновочных схем РН требует развития методик расчета агрегатов РН, включая и топливные баки.

Метод расчета топливных баков (с присоединенными элементами) построен на сочетании метода конечных элементов (МКЭ) для описания деформирования оболочек бака и метода граничных элементов (МГЭ) для представления жидкости. Поскольку МГЭ приводит к заполненным матрицам, которые могут быть обусловлены хуже матриц МКЭ, в целях сокращения конечномерной модели бака с топливом возникла необходимость в уточненном описании как геометрии бака, так и функций формы в МКЭ и МГЭ.

Разработанный автором метод аппроксимации плоской кривой (меридиана бака), основанный на использовании естественного параметра- длины кривой, получил развитие для случая пространственной кривой. В процессе дальнейшей работы появились обобщения, на основе которых были решены и другие актуальные проблемы, связанные с описанием и расчетом стержневых и тонкостенных конструкций. Решение этих проблем также может найти применение в авиационно - космической отрасли.

Диссертация состоит из шести разделов и излагается в следующем порядке.

В первом разделе на основе литературных источников дан краткий анализ проблем, близких к рассмотренным в диссертационной работе:

• описание динамического взаимодействия тонкостенных конструкций с находящейся в них жидкостью,

• вопросы конечно- и граничноэлементной аппроксимации,

• аппроксимация кривых и поверхностей,

• расчет деформирования криволинейных стержней при больших перемещениях.

Ввиду того, что обозначенным проблемам посвящено большое количество публикаций, пришлось ограничиться ссылками лишь на некоторые работы, важные, по мнению автора, для определения места диссертационной работы. На основе проведенного анализа сделаны выводы об актуальности вопросов, решаемых в работе, и сформулированы цели работы.

Во втором разделе излагаются вопросы, связанные с представлением геометрии кривой в виде, удобном для применения ЭВМ. Рассмотрены различные варианты, в том числе, предложен метод аппроксимации участка пространственной кривой, использующий естественную параметризацию. Он основан на представлении поворота тройки ортов вектором конечного поворота (псевдовектором Аргириса). В частном случае плоской кривой метод применяется к описанию меридиана топливного бака.

В третьем разделе рассмотрено описание деформирования пространственной кривой с использованием описания поворота тройки ортов, изложенного в разделе 2. На основе этого составлена система уравнений деформирования пространственного криволинейного стержня при больших перемещениях и поворотах. Записаны уравнения обратной задачи нелинейного деформирования стержня. Изложен метод построения эффективных функций формы конечного элемента плоского и пространственного криволинейного стержня. Объяснена причина больших ошибок при вычислении силовых факторов внутри конечного элемента.

В четвертом разделе уравнения, полученные в разделе 3, используются для решения краевых задач нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня с применением алгоритма пристрелки. Показаны возможности численной методики применительно к расчетам больших перемещений и к задачам потери устойчивости стержней. Приведены примеры решения обратной задачи нелинейного деформирования криволинейного стержня. Рассмотрено практическое приложение конечного элемента пространственного криволинейного стержня к динамической модели планера самолета как системы пространственных перекрестных балок.

В пятом разделе рассмотрена кинематика деформирования оболочки. Для конечного элемента оболочки вращения в случае осесимметричного деформирования получены эффективные функции формы. Обоснован выбор прямого метода граничных элементов в качестве основного для представления динамики жидкости в задаче о собственных колебаниях тонкостенного топливного бака и получено граничноэлементное представление жидкости. Предложены пути улучшения аппроксимаций в методе граничных элементов.

В шестом разделе с использованием результатов, полученных во втором, третьем и пятом разделах, излагается разработанный метод расчета динамических характеристик продольных собственных колебаний тонкостенных осесимметричных топливных баков. Метод основан на конечноэлементном описании оболочек и граничноэлементном представлении жидкости. Приводятся результаты тестовых расчетов и результаты применения разработанного метода к реальным задачам.

Основной целыо работы является

• разработка метода расчета динамических характеристик продольных колебаний осесимметричных тонкостенных топливных баков РН с ЖРД на основе сочетания методов конечного и граничного элементов с возможностью расширения расчетной схемы при учете дополнительных конструктивных элементов;

• разработка пакета прикладных программ;

• решение практических задач динамики баков РН.

Для достижения основной цели работы предполагается решение следующих проблем

• разработка метода аппроксимации пространственной кривой с использованием естественного параметра - длины кривой и описания конечного поворота тройки ортов, связанных с точкой кривой;

• разработка метода построения эффективных функций формы конечного элемента пространственного криволинейного стержня и конечного элемента оболочки вращения с использованием описания поворота тройки ортов;

• использование описания конечного поворота тройки ортов для записи уравнений нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня и построение численной процедуры интегрирования этих уравнений.

Научная новизна работы

• Разработан новый метод расчета динамических характеристик продольных колебаний тонкостенных баков с жидкостью при учете дополнительных конструктивных элементов. В его основе лежит конечноэлементное описание оболочек бака и граничноэлементное представление жидкости. Метод реализован в программном комплексе. Проведенное тестирование подтверждает хорошие описательные возможности метода. В частности, проанализированы предельные случаи заливки бака «под крышку», которые представляют определенные трудности для известных расчетных методов.

Предложен новый метод восстановления участка пространственной кривой с использованием естественной параметризации по информации в узловых точках. Метод удобен при описании осевой линии независимого стержня или стержня, как подкрепления тонкостенной конструкции. В случае плоской кривой метод применяется для описания геометрических характеристик бака.

На основе соотношений, описывающих деформирование криволинейных стержней, построен метод, в рамках которого получены новые эффективные конечноэлементные аппроксимации в стержнях и оболочках. Использование таких аппроксимаций позволяет существенно сократить количество неизвестных в конечноэлементной модели стержня и оболочки. Для стержневой модели самолета с естественной круткой стержней построена методика расчета форм и частот колебаний. Приведены результаты тестирования.

Примененное в аппроксимации кривой описание поворота ее бесконечно малого элемента и использование глобальных компонентов векторных функций позволило записать в алгоритмичной форме уравнения нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня. Осевая линия стержня может иметь скачки кривизны и изломы. Для численного решения этих уравнений применен метод пристрелки. Получены решения ряда задач нелинейного деформирования стержней, иллюстрирующие достаточно широкие возможности используемой процедуры. Записаны уравнения обратной задачи нелинейного деформирования стержня.

Методы исследований основаны на применении известных процедур конечно- и граничноэлементного редуцирования, реализации условий экстремума функционалов, использовании интегральных тождеств,

• применении известных схем численного интегрирования и процедур численного решения задачи Коши,

• решении обобщенной проблемы собственных значений известными алгоритмами.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на

• корректном использовании исходных соотношений механики деформируемого твердого тела, применении известных численных итерационных алгоритмов,

• исследовании сходимости разработанных алгоритмов численного анализа,

• сопоставлении результатов расчета по методикам диссертационной работы с известными аналитическими и численными решениями, а также с известными экспериментальными данными.

Практическая значимость и реализация результатов исследований заключается во внедрении результатов исследований и пакетов прикладных программ в ГКНПЦ им.М.В. Хруничева (г.Москва), НПО «Молния» (г. Москва), ГУДП КБ «Полет» (г. Омск).

Работа проводилась в соответствии с правительственной научно-технической программой «Икарус-МАП», программой Минвуза РСФСР «Полет», федеральной целевой программой «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки ».

На защиту выносятся

• метод расчета уточненных динамических характеристик тонкостенных топливных баков (с дополнительными элементами) при продольных колебаниях, основанный на конечноэлементном описании оболочек бака и граничноэлементном представлении жидкости;

• метод аппроксимаций пространственной кривой с использованием естественной параметризации и вектора конечного поворота тройки ортов;

• метод построения эффективных функций формы конечного элемента пространственного криволинейного стержня и осесимметричной оболочки произвольного меридиана применительно к задачам динамики конструкций летательных аппаратов;

• методика расчета нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня, основанная на использовании метода пристрелки и уравнений относительно глобальных проекций векторных функций с описанием поворота на основе вектора конечного поворота.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на летней школе по механике жидкости (Киев, 1978, 1989гг.); на Всесоюзной школе-семинаре «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 1983г.); на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986г.); на Всесоюзной конференции, посвященной 30-летию факультета ДПА ЧПИ (Челябинск, 1987г); на семинарах по динамике упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью (Томск, 1983,1986гг.); на симпозиумах по колебаниям упругих конструкций с жидкостью (Новосибирск, 1979, 1982, 1985, 1988, 1991, 1994гг.); на Международных российско-корейских научно-технических конференциях CORUS « Научные основы высоких технологий» (Ульсан, Корея, 1997г., Томск, 1998г., Новосибирск, 1999г., Ульсан, Корея, 2000г.); на юбилейной конференции в ЦАГИ (1993г.); на 1-м Международном симпозиуме «Аэрокосмическая индустрия и экология, проблемы конверсии и безопасности» (Днепропетровск, 1995г.); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах » (Улан-Удэ-Томск, 1999г.); на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы механики машин» (Улан-Удэ-Томск, 2000г.); на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН ( Новосибирск, 1999, 2001г.); на III и IV школах-семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1999, 2000гг.), на 1-м Российско-Корейском Международном симпозиуме по прикладной механике (Новосибирск, 2001г.), на объединенных семинарах кафедр прочности летательных аппаратов и самолето- и вертолетостроения НГТУ, на семинарах в Сибирском научно-исследовательском институте авиации им.С.А.Чаплыгина.

Публикации. По теме диссертации опубликована 31 печатная работа. Результаты исследований автора, выполненных по заказам КБ, отражены в научно-технических отчетах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения, списка использованных источников из 315 наименований. Объем диссертации 341с., включая 158 рисунков и 39 таблиц.

Выводы по разделу 6

По изложенному методу расчета, основанному на конечноэлементном описании оболочек бака и граничноэлементном представлении жидкости, составлен программный комплекс расчета динамических характеристик собственных колебаний тонкостенных топливных баков.

Проведены сопоставления результатов расчета частот и форм собственных колебаний тонкостенных баков с жидкостью, выполненного по предлагаемой методике, с известными расчетными и экспериментальными данными. Проведены тестовые расчеты длинных баков, которые показали работоспособность МКЭ-ПМГЭ метода и в этом случае.

Предлагаемый метод отличают от существующих более точные аппроксимации в границах и функциях формы методов конечного и граничного элементов. Это расширило возможности численного анализа. Примером тому являются исследования по большим заливкам баков. В расчете удается достоверно смоделировать динамические свойства баков, подобных как сфере, так и тору, при вырождении свободной поверхности жидкости.

Предусмотрена возможность определения вместе с характеристиками собственных колебаний также и параметров механического аналога бака. Такой аналог, построенный по результатам расчетов собственных колебаний бака, заменяет бак как сложную конструкцию в общей динамической схеме.

Метод располагает возможностями прямого учета в расчетной схеме дополнительных конструктивных элементов, которые иногда вводят в конструкцию бака для изменения его частотных свойств. Это позволяет наиболее просто, через аналог бака, учитывать динамику дополнительных элементов в общей динамической схеме конструкции ракеты-носителя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Разработан новый метод уточненного расчета динамических характеристик продольных колебаний тонкостенных осесимметричных упругих топливных баков. Метод основан на использовании конечных элементов для описания упругих обечаек бака и граничных элементов для представления жидкости. Он имеет более широкие возможности по сравнению с существующими методами, что определяется более развитым описанием геометрии бака и уточненными функциями формы в МКЭ и МГЭ.

2. В разработанном методе предусмотрена возможность учета в расчетной схеме бака дополнительных конструктивных элементов, таких как двигатель, прикрепленный к баку, и внутрибаковые стержни, вводимые в конструкцию бака для повышения его жесткости без изменения внешних очертаний ( выведение частот бака из нежелательного диапазона).

3. Создан пакет программ расчета динамики реальных конструкций тонкостенных баков. Достоверно описываются традиционно трудные для других методов заливки бака «под крышку» и малые заливки, а также угловые точки контура бака.

4. Проводились расчеты по заказам КБ. Пакет программ и результаты расчетов используются в проектной практике при разработке новых и доводке существующих изделий в ГКНПЦ им.М.В.Хруничева (г.Москва), НПО «Молния» (г.Москва), ГУДП КБ «Полет» (г.Омск).

5. Как обобщение алгоритма описания геометрии бака разработан новый метод аппроксимации участка пространственной кривой, основанный на описании поворота тройки ортов вектором конечного поворота и использовании естественной параметризации.

6. Метод применяется к описанию осевой линии пространственного, криволинейного стержня в задаче о колебаниях динамической модели ЛА в виде системы пространственных перекрестных балок и к описанию меридиана оболочки вращения в задаче о продольных колебаниях тонкостенных баков с жидкостью.

7. Предложен новый метод построения эффективных стержневых конечных элементов и конечных элементов оболочки вращения, основанный на использовании соотношения, связывающего поворот элемента кривой линии с его перемещениями и деформацией.

8. Метод применяется в задачах о колебаниях пространственных стержней и колебаниях динамической модели ЛА, а также в задаче о собственных колебаниях баков с жидкостью (построение конечных и граничных элементов).

9. Получена удобная для численного интегрирования форма записи системы уравнений нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня. В ее основе лежит описание поворота бесконечно малого элемента оси стержня с использованием псевдовектора Аргириса и разложение искомых векторных функций на компоненты в глобальном базисе. В уравнения не входит начальная кривизна стержня, что ослабляет требования к гладкости его осевой линии.

10. С применением к полученной системе уравнений метода пристрелки построен эффективный алгоритм численного анализа нелинейного деформирования пространственных криволинейных стержней. Его возможности продемонстрированы на ряде задач.

1. Абрамов Г Д. К исследованию пространственной устойчивости и колебаний некруговых арок // Изв. ОТН. -1958. №4. - С.110 - 113.

2. Абрамович М.(ред) Справочник по специальным функциям.- М.: Наука, 1979.-638с.

3. Александрович Л.И., Лампер P.E. Собственные колебания упругого осесимметричного сосуда произвольного контура // Труды VI Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок.- М.: Наука, 1966.-С.25-27.

4. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем.-М.: Машиностроение, 1978.-310 с.

5. Анисимов A.M. Применение конечно-разностных методов к расчету осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью // Изв. Высш .учебных заведений. -Авиационная техника 1968-№3- С.23 -31.

6. Анисимов A.M. Осесимметричные колебания сферического сосуда, частично заполненного жидкостью // Изв. высш. учебных заведений. -Авиац. Техника 1969.-№2.-С.5-10.

7. Антонов В.Н. Применение метода суммарных представлений при исследовании колебаний оболочек с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума М.: ЦНТИ Волна, 1976.-С.22-26.

8. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. -1968 М.: Изд-во лит-ры по стр-ву.-242с.

9. Бадрухин Ю.И., Кабанов В.В. Уравнения криволинейных стержней. // Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1982.—С.115-123.

10. М.Балакирев Ю.Г. Осесимметричные колебания пологой сферической оболочки с жидкостью // Инж. ж МТТ.-1967- №5.-С.16 - 23.

11. Балгеймер Г.Л., Левин В.Е. Об учете особенности течения жидкости на вертикальной стенке // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью/ Сб. научн. трудов семинара. -Томск.-1984 .-С. 10-14.

12. Хб.Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов М: Стройиздат, 1982 - 446с.

13. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках-М.: Мир, 1984.-494с.

14. Богоряд КБ. К решению задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей полость, вариационным методом // Прикл. матем. и мех-1962.-Т.26-вып. 6.-С. 1122-1127.

15. Богоряд КБ., Дружинин И.А., Дружинина Г.З., Либин Э.Е. Введение в динамику сосудов с жидкостью. Томск: изд.ТГУ.- 1977 - 142с.

16. Богоряд КБ., Дружинин К.А. Расчет нелинейных колебаний идеальной жидкости в сферическом сосуде. // Материалы 5-й научн. конф. по матем. и мех. Томск, ун-т. Т.2.- Томск- 1975.-С.166 167.

17. Богоряд КБ. Динамика вязкой жидкости со свободной поверхностью-Томск: Изд. ТГУ.- 1980.- 102с.

18. Болотин В.В. О движении жидкости в колеблющемся сосуде // Прикл. матем. и мех 1956 - Т.20 - вып. 5 - С.293 - 294.

19. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем- М.: Гостехиздат,1965- 600с.

20. Борисенко В.К, Павловский B.C. Экспериментальные исследования колебаний цилиндрической оболочки, содержащей жидкость //

21. Прикладная механика.- 1969- Т.5.- №8.-С.57- 62.

22. Бреббия К, Уокер С. Применение граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982.-248с.

23. Бреббия К, Темес Ж, Вроубел JI. Методы граничных элементов М.: Мир, 1987.-524с.

24. Ъ2.Бреславский В.Е. Колебания цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью// IV Всесоюзн. конф. по теор. оболочек и пластин/ Сб. научн. трудовМ.: АН СССР 1964.- С.255-261.

25. Брусиловский А.Д., Шмаков В.П., Яблоков В.А. Метод расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек вращения, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью // Изв. АН СССР. -МТТ. №3. -1973. -С.99 -110

26. ЪА.Букачук A.M., Трушляков В.И. К задаче о формировании динамических характеристик твердого тела, имеющего присоединенные осцилляторы // Колебания упругих конструкций с жидкостью. М.: ЦНТИ Волна, 1980.-С.48-51.

27. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Захрин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах М.: Машиностроение, 1988—256с.

28. ЪЪ.Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. -М.:

29. Машиностроение -1976.-278с.

30. Васин C.B., Тамуров Н.Г. Влияние сжимаемости вязкой жидкости на свободные колебания упругой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с жидкостью // Прикладная механика-1983.-Т.19.-№7.-0.48-54.

31. Венедиктов Б.Л., Ракитин В.В. К вопросу об оценке нагрузок на стенки сосудов с жидкостью, движущихся с ускорением // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума. -Новосибирск.-1976.-С.93-98.

32. АХ.ВласовВ.З. Избранные труды.-М.: АН СССР, 1962.-Т.1.-528с.

33. Волъмир A.C. Устойчивость деформируемых систем-М.: Наука, 1967-984с.

34. A3.Волъмир A.C., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур.-М.: Машиностроение, 1989.-247с.

35. АА.Вороненок Е.Я., Палий О.М., Сочинский C.B. Метод редуцированных элементов для расчета конструкций. -Л.'Судостроение, 1990.—220с.

36. Галкин М.С. Теория колебаний упругих тел с деформируемыми полостями, частично заполненными сжимаемой жидкостью // Ученые записки ЦАГИ- 1977.-Т.8.-№2.-С.90-96.

37. Аб.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы.- М.: Мир, 1984 428с.

38. АТ.Гилой В. Итерактивная машинная графика: Структуры данных, алгоритмы, языки .- М.: Мир, 1985 384с.

39. А^.Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук 1961.-Т. 16-вып. 3 (99)—С.171—174.

40. А9.Гольденвейзер A.JJ. Теория упругих тонких оболочек.- М.: Наука, 1976-512с.

41. Гольденвейзер A.JJ., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек .- М.: Наука, 1979- 384с.51 .Гонткевич B.C. Собственные колебания оболочек в жидкости. Киев.: Наукова думка,1984-104с.

42. Горбачев К.П. Метод конечных элементов в расчетах прочности.- JL: Судостроение.-1985.-156с.

43. Гордиенко Б.А. Теория пространственно-криволинейных упругих •стержней // ПММ-1979.-Т.43.- Вып.2.-С.374 380.

44. Горшков А.Г., Дробышевский Н.И. Применение метода граничных элементов к задаче о проникновении тел в жидкость // Изв. АН. МТТ-1995.-№6- С.99-103.

45. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.-592с.

46. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение).-!!.: Судостроение,1976.-200 с.

47. Григолюк Э.И., Шклярчук Ф.Н. Уравнения возмущенного движения тела с тонкостенной упругой оболочкой, частично заполненной жидкостью // ПММ.-1970.-Т.34.-ВЫП.5.-С.401-411.

48. Григорьев В.Г. Применение метода конечных элементов к расчету колебаний упругих оболочечных конструкций содержащих жидкость// Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью / Труды научн. семинара -ТГУ.-1978.-С.55-60.

49. Дадунашвили С.Ш., Слезкин Д.В. Динамика сложных аэрокосмических структур с жидкостью // Труды 1-й Российской конференции пользователей продуктов МБС Москва.-1998.-С.56-127.

50. Елисеев В.В. Теория упругости стержней, основанная на модели оснащенной кривой // Изв. АН СССР. -МТТ-1976. №1.-С. 163-166.

51. Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости.-JI.: Судостроение, 1984-240с.

52. Ефимкин В.П., Лампер P.E. Особенности течения в двух задачах о низшей частоте осесимметричных колебаний баков // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума.-Новосибирск-1973 .-С.71-78.

53. Железное Л.П., Кабанов В.В. Функции перемещений конечных элементов оболочек вращения как твердых тел.// МТТ.-1990.-№1-С.131-136.

54. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Избр. Сочинения -М.: Гостехиздат,1948.-Т1.-С.31-153.

55. Иванов Ю.И. Метод совместного расчета подконструкций // Уч. зап. ЦАГИ.-1976.-Т.7.-№1 .-С.75-79.

56. ЪЪ.Ивантеев В.И, Чубань В.Д. Некоторые вопросы построения упруго-массовых схем самолетов с использованием метода конечных элементов. // В сб. Динамич. нагруж. самолетных конструкций. Вып.2405.-Труды ЦАГИ.-1988.-С.36-48.

57. Ивлиев C.B., Левин В.Е. К вопросу о сходимости метода Ритца в задаче о колебаниях бака с жидкостью // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов- НЭТИ 1992-С.7-9.

58. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ-М.: Наука, 1969.-184с.

59. Илюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней.- Киев: Наук. Думка, 1979.-216с.

60. Кандидов В.П., Христочевский С.А. Анализ колебаний оболочки, частично заполненной сжимаемой жидкостью, методом конечных элементов // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб научн. трудов симпозиума.-М.-ЦНТИ Волна.-1980.-С.136-141.

61. Кармишин A.B., Лясковец A.B., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций.-М.: Машиностроение, 1975-376с.

62. Кобычкин B.C., Шмаков В.П., Яблоков В.А. Осесимметричные колебания полусферической оболочки, частично заполненной жидкостью // Инж. журнал МТТ.-1968-№3.-С.133-140.

63. Колесников КС. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным двигателем.- М: Машиностроение, 1971- 270с.9(¡.Колесников КС., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. Динамика топливных систем ЖРД. -М.: Машиностроение, 1975.-172с.

64. Колесников КС. Динамика ракет. М.: Машиностроение.-1980.-376с.

65. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1987.-256с.

66. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Тр. Моск. матем. об-ва.-1967-Т16.-С.209- 292.

67. Коннор Дж., Бреббия К. Метод конечных элементов в механике жидкости.-JL: Судостроение, 1979-263с.

68. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений-М.:ИЛ.- 1963-406с.

69. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек.- М.: Наука, 1989 208с.

70. Коробейников С.Н. Геометрически нелинейный анализ оболочек с учетом больших приращений поворотов // Моделирование в механике: Сб. Науч. Тр. / Вычислит, центр, Ин-т теор. и прикл. механики. АН СССР. Сиб. отд. Новосибирск.-1990. -Т4(21).- №4.-С.119 126.

71. Коробейников С.Н. Вторичная потеря устойчивости сжатого шарнирно опертого стержня // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике / Тез. докл. IV междунар. конф. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН.- 1995.- С. 104.

72. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел-Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000 262с. .

73. Коротаева Т.А., Шашкин А.П. О построении сложной поверхности на множестве опорных точек // Моделир. в мех. -1992.-Т.6.-№2-С.100-107.

74. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов: Аналитические методы-М.: Наука, 1985. -288с.

75. Kpueouieeea Т.Н., Юдин A.C. Моделирование сложных оболочек в задачах вибрации // Совр. пробл. мех. сплошн. среды / Сб. тр. 5-й междунар. конф Ростов-на-Дону.- 2000 - С. 129- 133.

76. Кубенко В.Д. Проникание упругих оболочек в сжимаемую жидкость.- Киев: Наукова думка, 1981.-160с.

77. Кузнецов B.B. К определению вращений в трехмерном пространстве на основе понятия вариации вектора//Изв. АН СССР- МТТ.- 1987 -№ 4.- С.58- 60.

78. Кузнецов В.В., Сойников Ю.В. Метод конечных элементов в задачах нелинейного деформирования подкрепленных оболочек произвольной формы // Изв. АН СССР.- МТТ.- 1988.- N 3.- С. 136 143.

79. Кузнецов В.В., Левяков C.B. Геометрически нелинейные модели гибких стержней // Строительная механика и расчет сооружений-1991-№5.-С.7- 10.

80. ИЗ. Кузнецов В.В., Левяков C.B. О вторичной потере устойчивости эйлерова стрежня//ПМТФ- 1999.-Т.40.-№6.-С.184- 185.

81. Курзин В.Б. Гидроупругие колебания активной части системы индуктивного источника энергии // Изв. РАН .- МТТ.- 1994. № 2.-С 151-158.

82. Кэнтин Г., Клауф Р.В. Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки // Ракетн. техн. и косм.-1968.-Т.6.-№6 С. 82- 88.

83. Лаврентьев М.А., Шабат В.Б. Методы теории функций комплексного переменного .- М.: Наука, 1987 688с.

84. Лампер P.E. К расчету собственных колебаний баков методом Ритца с варьируемым параметром // Труды УП Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок- М.: Наука, 1970, С.351-354.

85. Лампер P.E., Левин В.Е. Собственные колебания упругого сосуда, близкого к осесимметричному с произвольным контуром // Аннотации докл. VI Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике .- Ташкент-1986.-С.408.

86. Лампер P.E., Левин В.Е. Колебания оболочек с жидкостью, близких к осесимметричным // Известия АН Армянской ССР, сер. Механика.-1987-№ 5.-С.52-57.

87. Лампер P.E., Левин В.Е. Применение метода Ритца с варьируемым параметром к расчету поперечных колебаний консольного бака // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудовНЭТИ,- 1989 С.6 - 9.

88. Лампер P.E., Левин В.Е. Расчет и моделирование продольных колебаний аэрокосмических систем // Научные основы высоких технологий / Сб. тр. международной научно-технической конференции 1997.-Т.4.-С.207-208.

89. Лампер P.E., Левин В.Е. Расчет топливного бака с внутренними конструктивными элементами // Научные основы высоких технологий / Сб. тр. международной научно-технической конференции- 1997-Т.4.-С.209-214.

90. Лампер P.E., Левин В.Е. К определению параметров аналога топливного бака по результатам его расчета методом граничного и конечного элементов.// Научный вестник НГТУ.- 1999- №2 (7) -С.171-176.

91. Лампер P.E., Левин В.Е. Применение различных аппроксимаций в методах конечных и граничных элементов для решения прикладных задач статики и динамики упругих тел // Научный вестник НГТУ. -2000. №2(9). - С.76 - 90.

92. Лампер P.E., Левин В.Е. Динамическая конечноэлементная модель пространственной системы перекрестных балок с сосредоточенными массами // Научный вестник НГТУ. 2001. - №2( 11). - С. - .

93. Лампер P.E., Милеев Д.Д., Тесленко А.Л. О механическом аналоге для продольных колебаний осесимметричного упругого бака // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума Новосибирск.- 1973.- С. 115- 123.

94. Левин В.Е. Построение базовых решений в задаче о баке с неправильностью формы // Колебания упругих конструкций с жидкостью / Сб. научн. трудов симпозиума М.: ЦНТИ "Волна", 1984.-С.161-163.

95. Левин В.Е. Расчет колебаний сферического бака с учетом особенности течения жидкости в окрестности угловой точки // Динамика и прочность элементов авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов. НЭТИ.-1986 - С.66- 69.

96. Левин В.Е. Влияние отклонений от основной формы на колебания баков // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью/ Тез. докл. научн. семинара. Томск - 1986.-С.30 -31.

97. Левин В.Е. Собственные колебания бака, близкого к осесимметричному // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов .- НЭТИ.- 1987- С.65- 71.

98. Левин В.Е. Колебания жидкости в прямом и обратном упругом коническом баке // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов.- НЭТИ 1990 - С.73 - 76.

99. Левин В.Е. К расчету динамики баков методом конечных и граничных элементов // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума.- Новосибирск.- 1992 С.135 - 142.

100. Левин В.Е. Расчет продольных колебаний бака методом конечных и граничных элементов // Колебания упругих конструкций с жидкостью / Сб. научн. трудов симпозиума. Новосибирск. - 1995 - С.41 - 49.

101. Левин В.Е. Уравнения равновесия гибкого криволинейного стержня при больших перемещениях // Математическое моделирование процессов в синергетических системах / Тр. Всероссийской научн. конф.- Улан-Удэ-Томск .: Изд-во Том. ун-та.-1999 С.203 - 205.

102. Левин В.Е. Нелинейный конечный элемент плоского криволинейного стержня // Математическое моделирование процессов в синергетических системах / Тр. Всероссийской научн. конф.- Улан-Удэ.-2000.-Т.1.-С.70 75.

103. Левин В.Е. Приложение метода конечных и граничных элементов к расчету топливных баков // Динамика сплошной среды / Математические проблемы механики сплошных сред/ Сб. научн. тр. -Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН-1999. Вып.114-С.175 -178.

104. Левин В.Е. Функции формы конечного элемента криволинейного стержня. // Динамика сплошной среды / Математические проблемы механики сплошных сред/ Сб. научн. тр. Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН-2000. Вып.116.-С.191 - 193.

105. Левин В.Е. Применение вектора поворота твердого тела в аппроксимации пространственной кривой // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. - №1(7). - С. 120-128.

106. Левин В.Е. К описанию конечного поворота твердого тела // Сборник ин- та гидродинамики СО РАН, посвященный 75-летию О.В. Соснина (в печати) 2001

107. Левин В.Е. Конечный элемент пространственного криволинейного стержня // Математические проблемы механики сплошных сред., сб.научн. трудов.-Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН -2001.-Вып. 118.-С. 173 - 177.

108. Лимарченко О.С. Моделирование нестационарных движений осесимметричного резервуара с жидкостью // Прикладная механика-1994.- ТЗО.- №5 .-С- 63 68.

109. Лукашенко В.И., Сладкое A.B. Технология фрагментарного представления расчетных моделей при исследовании тонкостенных подкрепленных оболочек. // Изв. Вузов. Авиац. техн.- 1999 №3.-С.20-22.

110. Луковский H.A. Об одном приближенном методе определения гидродинамических коэффициентов уравнения возмущенного движения твердого тела с полостями, частично заполненными // В кн. Гидромеханика.- Харьков.-ХГУ 1965 - С.62-72.

111. Луковский H.A. Нелинейные колебания жидкости в сосудах сложной геометрической формы. Киев.: Наукова думка, 1975 - 136с.

112. Луковский И.А., Барняк М.Я., Комаренко А.Н. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости-Киев: Наукова думка, 1984. -232с.

113. Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими жидкость Киев.: Наукова думка, 1990-296с.

114. Луковский И.А., Троценко В.А., Усюкин В.И. Взаимодействие тонкостенных упругих элементов с жидкостью в подвижных полостях- АН УССР. Ин-т математики.- Киев: Наук, думка, 1989.-240с.

115. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.-824с.

116. Ляв А. Математическая теория упругости М.; Л.: ОНТИ,1935-674с.

117. Мамай В.И., Кудрина Т.Д., Ананченко Т.Н., Корнейчук А.Г., Кулаков A.A. Сплайн-функции в задачах теории оболочек неканонической формы // Препр. МГУ. Ин-т мех. -1994 - №7.- С. 1- 52.

118. Мейбен, Стриклин. Неявное представление жесткого смещения в случае криволинейного конечного элемента // Ракетная техника и космонавтика.-1971.- Т.9.- №2 С.206 - 208.

119. Микишев Т.Н., Дорожкин Н.Я. Экспериментальные исследования свободных колебаний жидкости в сосудах // Известия ОТН -1961-№4-С.48-53.

120. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью.- М.: Машиностроение, 1968. -532с.

121. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость- М.: Машиностроение, 1971 -563с.

122. Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978 - 248 с.

123. Моисеев H.H. Некоторые вопросы теории колебаний сосудов с жидкостью // Инженерный журнал.- 1954 Т. 19 - С. 167- 170.

124. Моисеев H.H. К теории колебаний упругих тел, имеющих жидкие полости // ПММ 1959 - Т.23 - вып.5 - С.862- 878.

125. Моисеев H.H., Петров A.A. Численные методы расчета собственных частот ограниченного объема жидкости М.: ВЦ АН СССР, 1966.— 270с.

126. Моисеев H.H., Румянцев B.B. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965 - 440с.

127. Мокеев В.В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и газом методом конечных элементов // Изв. РАН МТТ.- 1998 - №6-С.166- 174.

128. Мокеев В.В., Павлюк Ю.С. О приближенном учете сжимаемости жидкости в задачах гидроупругости // Проблемы машиностр. и надежн. машин 1999.-№ 5.- С.85 - 91.

129. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981.- 216с.

130. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982 - 294с.

131. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью // Прикл. матем. и мех.-1956. Т.20-вып. 1.-С.21-38.

132. Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский H.A. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. М.-Машиностроение-1977.-208с.

133. Натанзон М.С. Продольные автоколебания жидкостной ракеты-М.: Машиностроение, 1977-206с.

134. Николаев А.П., Бандурин И.Г., Клочков Ю.В. Применение метода конечных элементов с векторной интерполяцией перемещений к расчету осесимметричных оболочек вращения.// Прикл. механика-1990.-Т.26.-№ 11.-С. 110 114.

135. Новичков Ю.Н. Исследование спектров частот собственных колебаний цилиндрических оболочек, содержащих сжимаемую жидкость // Tp.VI Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок-М.-Наука.-1966 С.600 - 606.

136. Новожилов B.B. Теория тонких оболочек Л.: Судпромгиз,1962. -431с.

137. Образцов И.Ф., Иванов Ю.И., Нерубайло Б.В. О построении эффективных моделей деформирования тонкостенных конструкций // Прикладная механика.- 1985 №6 - С.61- 67.

138. Образцов И.Ф., Савельев JI.M., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов-М.: Высшая школаД 985-392с.

139. Ониашвили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. М.: Изд. АН СССР, 1957.- 196с.

140. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей. М.: Машиностроение, 1979 - 248с.

141. Осипов ИЛ. Восстановление поверхности, обладающей непрерывной кривизной и заданной на плоском точечном многообразии // Ж. выч. матем. и матем. физ. 1992- Т.32.-№9-С.1387- 1399.

142. Остроградский М.В. Мемуар о распространении волн в цилиндрическом бассейне // М.В. Остроградский. Избранные труды-Изд. АН СССР-1958-С.111 130.

143. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью// ПММ. -1956. -Т.ХХ. -вып.1. С.3-20.

144. Павлов В.А., Михайлов С.А., Гайнутдинов В.Г. Теория больших перемещений стержней// Изв Вузов.- Авиац. техн.-1985.-№3.-С 55 -58.

145. Павлов H.A., Чернягин А.Г. Осевая податливость замкнутых тонкостенных тороидальных оболочек // Уч. зап. ЦАГИ- 1985.-16-№6.-С.121- 126.

146. Перехрест В.И., Улитин Г.М., Шевченко В.И Влияние волновых движений жидкости на упругие колебания цилиндрической оболочки //

147. Теор. и прикл. механика.- Киев- Донецк.: Вища школа,1980 №11-С.83-87.

148. Перехрест В.К, Улитин Г.М. Об оценке приближенных теорий гидроупругости частично заполненных цилиндрических оболочек на основе точных решений // Теор. и прикл. механика.- Киев-Донецк.-1985.-№16-С. 99- 104.

149. Петров A.A. Приближенный метод расчета собственных колебаний жидкости в сосудах произвольной формы и потенциалы Жуковскогодля этих сосудов // ЖВМ и МФ- 1963 -Т.З.-№5.- С.958- 964.

150. Петров А.Г. Вариационные методы в динамике несжимаемой жидкости . -М.: МГУ, 1985 104 с.

151. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Научн. докл. высшей школы. Строительство.- 1959-№1- С.27- 35.

152. Пилипенко В.В., Задонцев В.А., Григорьев Ю.Е., Белецкий A.C. Оценка амплитуд продольных колебаний ракет-носителей космических аппаратов // Механика в авиации и космонавтике. М.-1995- С.27-34.

153. Погорелое A.B. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974-176с.

154. Пожалостин A.A. Определение параметров механического аналога для осесимметричных колебаний упругого цилиндрического сосуда с жидкостью. //Инж. журнал-MIT 1966-С. 157- 159.

155. Пожалостин A.A. Точные решения задачи о колебаниях двусвязных оболочек с жидкостью// Сб. тр. МВТУ.-№306 1979 - С.20 - 30.

156. Пожалостин A.A. Экспериментальное определение частот и форм осесимметричных колебаний упругого бака с жидкостью //Изв. вузов-Авиац. техн.-1970.-№3.-С.148-151.

157. Попов Е.П. Теория и расчет гибких стержней М.: Наука, 1986-296с.

158. Постное В.А., Дмитриев С.А., Емышев Б.К., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчете инженерных сооружений.-JI.: Судостроение, 1979.-288с.

159. Постное В.А., Петров Ю.А. Новый метод расчета колебаний осесимметричных оболочек в жидкой среде при гармоническом возбуждении.// Судостроительная промышленность- Сер. Проектирование судов-1991 .-№ 17.- С.38- 45.

160. Постное В.А., Тарануха H.A. Метод модуль- элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение - 1990 - 320с.

161. Пустовой Н.В., Матвеев К.А. Основы расчета на устойчивость деформируемых систем. Новосибирск.: Изд-во НГТУ.-1997 - 370с.

162. Рабинович Б.И. Об уравнениях упругих колебаний тонкостенных стержней с жидким заполнением при наличии свободной поверхности. // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение - 1959. - №4- С.63-68.

163. Рабинович Б.И. Об уравнениях поперечных колебаний оболочек с жидким заполнителем. // Изв. АН СССР. -Механика и машиностроение 1964- 1-Н.-№1.-С.166- 169.

164. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975-416с.

165. Рапопорт ИМ. Колебания упругой оболочки частично заполненной жидкостью. -М.: Машиностроение, 1967.-360 с.

166. Розин JI.A. Вариационные постановки смешанных задач теории упругости в форме наименьших квадратов. // Изв. Вузов, сер. Строит-во-1999- №8 С.22 - 28.

167. Самойлов Е.А., Павлов Б.С. Колебания полусферической оболочки, заполненной жидкостью // Известия Вузов Авиац. техн.-№3- 1964-С.79-86.

168. Сахаров A.C., Кислоокий В.Н., и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел Киев: Вища школа, 1982.-478 с.

169. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей- М.: Наука, 1978.-222 с. .

170. Светлицкий В.А. Нелинейные задачи статической устойчивости стержней // Расчеты на прочность- М.: Машиностроение-1986-Вып.27 С. 155 - 170.

171. Светлицкий В.А., Нарайкин О. С. Упругие элементы машин.-М.: Машиностроение, 1989 264с.

172. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов- М.: Мир, 1979.-392с.

173. Сиделъников Р.В., Ямчук В.В. К вопросу расчета колебаний осесимметричных конструкций с жидкостью методом конечных элементов // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб научн. трудов симпозиума М - ЦНТИ Волна - 1980 - С.272- 275.

174. Сиделъников Р.В., Ямчук В.В. Особенности применения МКЭ к расчету колебаний оболочек с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб научн. трудов симпозиума М.- ЦНТИ Волна.- 1984.-С.240-243.

175. Слепян JI.K, Сорокин С.В. Метод граничных интегральных уравнений в гидроупругости // Инж. журн. МТТ.- №4- 1989 С. 166176.

176. Сорока A.C., Трушляков В.И. О расчете коэффициентов диссипации в подвижных полостях // Колебания упругих конструкций с жидкостью/Сб научн. трудов симпозиума Новосибирск.-1974.-С.202-204.

177. Соустий Б.П., Tecmoedoe H.A., Рудометкин A.A., Алькин A.B. Наземные динамические испытания космических аппаратов. Красноярск .- Изд-во НИИ ИПУ.- 1999 202с.

178. Справочник "Прочность, устойчивость, колебания" М.: Машиностроение, 1968.-Т. 1.-832с.

179. Справочник "Вибрации в технике" М.: Машиностроение, 1980-Т.3.-544с.

180. Старостин A.A. Исследование поведения жидкости в сосуде при действии на него отрицательных перегрузок // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб научн. трудов симпозиума М,- ЦНТИ Волна.-1984.-С.257-262.

181. Тесленко A.A. Продольные колебания упругих конструкций с жидкостью. // Изв. АН СССР. -МТТ.- 1976.-№5.- С. 195- 196.

182. Тимошенко СЛ. Колебания в инженерном деле М.: Наука, 1967-444с.

183. Тузов АД. Поверхности на непрямоугольном каркасе// Изв Вузов.-Авиац. Техн-1985.- №3.- С 66 70.

184. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. М.: Машиностроение, 1988 - 392с.

185. Феодосъев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1973 - 400с.

186. Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И., Докучаев Л.В. Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных полостях.- Киев -Наукова думка 1969 - 250с.

187. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела-Т.Ш.-М.:Наука,1981.-480с.

188. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве -М.: Мир, 1982.- 304с.

189. Фондер Г.А., Клау Р.В. Явное добавление смещений тела как жесткого целого в криволинейных конечных элементах. //. Ракетн. техн. и косм 1973- Т.11-№3 - С. 111-117.

190. Фролов К.В., Антонов В.Н. Колебания оболочек в жидкости.-М-Наука,1983- 144с.

191. Хеш У. Метод подконструкций в программе общего назначения для динамического расчета конструкций // Конструирование и технология машиностроения / Тр. Амер. общ. инж.-мех. 1985.- №1- С.1 13.

192. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986.- 336с.

193. Шибанов P.A. Уравнения собственных колебаний конструкции с варьируемыми массовыми характеристиками // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума. -Новосибирск- 1976.- С.380- 385.

194. Шаманский В.Е. Методы решения нелинейных краевых задач на ЭЦВМ. -Киев.-Наукова Думка.- 1966 196с.

195. Шклярчук Ф.Н О вариационных методах расчета осесимметричных колебаний оболочек вращения, частично заполненных жидкостью // Тр. VI Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок .-М.: Наука-1966.-С.835-840.

196. Шклярчук Ф.Н Динамические характеристики упругих тонкостенных баков с жидкостью при продольных колебаниях // Изв. АН СССР,- МТТ.-1971.- №5.- С. 131- 141.

197. Шклярчук Ф.Н. О влиянии сжимаемости жидкости при продольных колебаниях цилиндрического бака // Колебания упругих конструкций с жидкостью / Сб научн. трудов симпозиума. Новосибирск.- 1973— С.291-313.

198. Шклярчук Ф.Н., Инденбаум В.М. Итерационный метод расчета собственных осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью //Нелинейные проблемы аэрогидроупругости /Тр. семинара -вып.Н -Казанск. физ-техн. ин-та -КФАНСССР -Казань-1979.-С.115-125.

199. Шклярчук Ф.Н. Применение метода конечных элементов к расчету неосесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума.- М.- ЦНТИ Волна 1984 - С.284- 289.

200. Шклярчук Ф.Н. К расчету осесимметричных колебаний тонких оболочек вращения методом итераций. // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных конструкций. МАИ- 1978- вып. 467-С.60-65.

201. Шклярчук Ф.Н Обыкновенные дифференциальные уравнения в канонической форме для задач о малых колебаниях жидкости внутри упругой оболочки вращения //.Изв. РАН- МТТ:- 1994 №2 - С.138 -150.

202. Шкутин ЛИ. Механика деформаций гибких тел. Новосибирск-Наука- 1988.- 128с.

203. Шмаков В.П. Об одном приеме, упрощающем применение метода Бубнова-Галеркина к решению краевых задач// Инж. журн. МТТ-1967.-№5-С. 129-136.

204. Шмаков В.П. Некоторые задачи осесимметричных колебаний сферической оболочки // В сб. Исслед. по теор. сооруж.- М 1969.-вып. 12-С. 33-47.

205. Шмаков В.П. Метод синтеза динамических характеристик упругих модульных конструкций // Веста. МГТУ- сер. Машиностроение.-1991.-№1.-С.4- 10.

206. Эделыитейн С.Л. Оценки квазиполиномов и быстросходящиеся методы решения эллиптических задач в областях с углами // ДАН СССР.- Т.250,- № 1.- С.42- 46.

207. Эйдельмен Г., Кэтеринес Д., Уолтон Дж. Точность вычисления напряжений методом конечных элементов// Ракетная техника и космонавтика 1970.-Т.8-№3-С.102- 109.

208. Эйлер Л. Методы нахождения кривых линий- М., Л.: ГТТИ-1934,-С.447-572.

209. Ясько H.H. Использование прямого и непрямого методов граничных элементов для расчета нестационарных осесимметричных течений со свободными границами //Гидромеханика и теория упругости / Межвуз. сборник -Днепропетровск 1989 - С.40- 46.

210. Abramson H.N. Dynamic Behavior of Liquid in Moving Container // Appl. Mech. Reviews.- 1963.-V.16.-№17.-P.501- 506.

211. Abramson H.N., Chu W.-H., Ransleben G. E. Representation of fuel sloshing in cylindrical tanks by an equivalent mechanical model // ARS J.-1961.- XII.-V.31.-№12.-P. 1697-1705.

212. Advani S. H. and Lee Y.-C. Free vibrations of fluid-filled spherical shells //J-l of Sound and Vibration-1970-V12.-№4.-P. 453-462.

213. Argyris J.H. An excursion into large rotations. // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.-1982.- V.32. № l.-P. 85 - 155.

214. Bajpai K., Karade T.M. On Eulerian angles// Indian J. Pure and Appl. Math. -1992. -V.23.- №7.- p.509- 530.

215. Bauer H.F., Eidel W. Axisymmetric natural damped frequencies of a viscous liquid in a curcular cylindrical container. An alternative semi-analytical solution.//Forsh. Ingenieur. 1999-V.65.-№7.-P.191-199.

216. Bauer H. F., Wang James T.S., Chen P.Y. Axisymmetric hydroelastic sloshing in a circular cylindrical container // Aeronaut.J- 1972- 76-№744.-P.704-712.

217. Bickford W. B. Vibration of plane curved beams // J-l of Sound and Vibration.- 1975.-V.39.-№2.-P. 135- 138.

218. Calhoun P.R., Da Deppo D.A. Nonlinear finite element analysis of clamped arches//J. Struct. Eng.-1983-V.109.-№3.-P.599-612.

219. Chen H. C., Taylor R. L. Vibration analysis of fluid-solid systems using a finit element displacement formulation//Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1990-V.29.- №4.-C.683-698.

220. Chen P.C., Jadic I. Interfacting of fluid and structural models via innovative structural boundary element method // AIAA Journal-1998-V.36 №2.-P.282- 287.

221. Christopher C.F. Hydroelastic analysis of incompressible fluids using SDRC I-DEAS and MSC/NASTRAN./ MSC/NASTRAN World User's Conference/ SDRC Engineering Serviceis Division Inc. San Diego.-California.- 1992.

222. Clebsch A. Theore der Elasticityt fester Ko rper. -Leipzig.-l862.-P. 176.

223. Coppolino R.N. Exact hydroelastic solution for an ideal fluid in hemispherical container // J. of spacecraft and rockets.—1973.— V.10 — P.612-613.

224. Daniel W.J.T. Modal methods in finite element fluid-structure eigenvalue problems // Int. J. Num. Meth. Eng.-1980.-V.15.-№ 8.-P.l 161- 1175.

225. De Sampaio P.A.B., Moreira M.L. A new finite element formulation for both compressible and nearly incompressible fluid dynamics.// Int. J. Numer. Meth. Fluids.- 2000.- V.32.- № 1.- P.51- 78.

226. Dimaggio F.L. Recent research on the dynamic response of fluid-filled shells // The Shock and Vibration Digest.- 1978.- V.10.- № 7.- P.15- 19.

227. Dimaggio S.J., Bieniek M.P. Nonlinear dynamics of flexible structures: A finite element approach.// Int. J. Solids and Struct- 1995 V32 - № 8-P.l 179-1193.

228. Dubigeon S., Pesenx B. Dynamic condensation // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1994.-V.37.-№20.-P.3521-3543.

229. Dzygadro Z., Braszczyk J. Numerical analysis of natural, coupled, longitudinal- lateral vibrations of an asymmetric aeroplane // J. Techn. Physics.- 1982.- V.23- №2 P.l 19- 139.

230. Gordon W.J., Hall C.A. Constraction of curvilinear coordinate systems and applications to mesh generation // Int. J. for Numer. Meth. eng.-1973.-V.7.-P.461-477.

231. Grooms H.R. Algorithm for matrix bandwidth reduction / J. of Structural division.- 1972.- V.98.- NST1.- P.203- 214.

232. Haktanir V. The complementary functions method for the element stiffness matrix of arbitrary spatial bars of helicoidal axes // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1995.-V.38.-№6.-C.1031- 1056.

233. Happier G. R., Sharf I., Hansen J. S. Basis Functions for Axisymmetric shell elements which satisfy Rigid-Body Requirements // AIAA J-l 1986.-V. 24.-№ 12.-P.270-278.

234. Hearn G.E., Donati E. A new fluid-structure interaction analysis based on higher-order boundary elements // Int. J-l Numer.Meth.Fluids .-1988-V.8.-№ 2.- P.199- 225.

235. Hess J. L. Improved solutions for potential flow about arditrary axisymmetric bodies by the use of a higher order surface source method // Comp. Meth. in Appl. Mech. Eng.- 1975.- V.5.- P. 297- 308.

236. Hudli A. V., Pidaparti R.M.V. Analysis of truss structures using distributed object- oriented methods // Comput. Mech.-1996.-V.18 .-№4.-P.314-320. . ■

237. Hunt D.A. Discrete element idealization of an incompressible liquid for vibration analysis // AIAA Journal-1970- №6 P. 1001- 1004.

238. Gossard M. L. Axisymmetric dynamic response of liquid-filled, hemispherical, thin-walled elastic tanks // AIAA Symposium on Structural Dynamics and Aeroelasticity-New York-1965-P. 177- 188.

239. Kalnins A. Free vibrations of rotatically symmetric shells. // J. Acoust. Soc. America.- 1964.-V.36.- P.1365 -1380.

240. Kana D. D., Gormley J. E. Longitudinal vibration of a model space vehicle propellant tank // J. of Spacecraft and Rockets.-V.4 №12.- 1967-P. 1585- 1591.

241. Kiefling L., Feng G.C. Fluid-structure finite element vibration analysis //AIAA Journal. -1976. -V.15. -№2. -P.199 203.

242. Kirchhojf G. Über das Gleichgewicht und gie Bewegung Lines unendlich diinnen elastishen. Stahes.J.fiir Math. Bd. 56.-1859

243. Vorlesungen über mathematishe Physic. Bd.l. Mechanik.-Leipzig- 876.-P.12.

244. Kohsetsu Y. Simplified method of analysis of structural vibrations of asymmetric rokets // JSME Int. J.C. -1998.-V.41.- №4-P.695-703.

245. Kuang J.,H., Tsuei Y.,G. A more general method of substructure mode synthesis for dynamic analysis // AIAA J.- 1985 V.23 - №4.-P. 618 -623.

246. Lamper R.E., Levin V.E. Account of vibrations of almost full tanks with fuel by method of boundary and finite elements // The Second Russian-Korean International Symposium on Science and Technology.- Tomsk Polytechnic University. Russia 1998.-P.23.

247. Lamper R.E., Levin V.E. To account of axial symmetric oscillations of rotation shells with curvilinear finite element use // The First Russian Korean International Symposium on Applied Mechanics.- Novosibirsk-2001.-P.45-48. ~

248. Levin V.E. Use of the finite and boundary element methods in the elastic tank oscillation analysis // The Fouth Russian-Chinese Scientifical Conference of the problems of aircraft stregth- Novosibirsk 1995 .-P. 162 - 167.

249. Levin V.E. To construction of curve finite element form's functions// The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology.-Novosibirsk State Technical University. Russia 1999-V.l.-P.336.

250. Levin V.E. To calculation nonlinear deformation of a flexible rod. //Proceeding of the 4-th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology. Ulsan: Printed in Republic of Korea Technical Communication Service- 2000.-V.3.- P.43- 46.

251. Ligget J.A., Salmon J.R. Cubic spline boundary elements // Int. J. Numerical Methods Eng.-1981-№17-P.543-556.

252. Lindcholm V.S., Chu W.N., Kana D.D., Abramson H.N. Bending vibration of a circular cylindrical shell witrh an internal liquid having a free surface//AIAA Journal.- 1963.- V.l-№9.-P.101- 110.

253. Lo S.H. Automatic mesh generation over intersecting surfaces // Int.J.Numer.Meth.Eng.- 1995.- V.38.-№6.-P. 943-954.

254. Miles J. W. On the sloshing of liquid in a flexible tank // J.Appl.Mech-1959.- V.25- № 6.- P.277- 283.

255. Mirovitch L., Hale A. L. A general dynamic synthesis for structures with discrete substructures // J 1 of Sound and Vibration.- 1982 - V.85 - № 4P. 445-457.

256. Mistry J., Menezes J. C. Vibration of cylinders partially-filled with liquids // Trans. ASME. J. Vibr. And Acoust. -1995.-V.117.- № 1.-P.87-93.

257. Mottershead J.E., Friswell M.I. Model updating in structural dynamics: A survey // J. Sound and vibr.- 1993.- V. 167.- №2.- P.347- 375.

258. Palmer J.H. Calculation of Axisymmetric Longitudinal Modes for Fluid-Elastic Tank-Ullafe Gas Systems and Comparison with Model Test Results // AIAA Symposium on Structural Dynamics and Aeroelasticity.-AII-1965.-P.189-193.

259. Parkus H. Modes and frequencies of vibrating liquid-filled cylindrical tanks//Int. J. Eng. Sci 1982,.-V20.-№ 2.-P. 319-326.

260. Pengelley C.D. Natural frequency of londitudinal modes of liquid propellant space launch vehicles // Journal of Spacecraft and Rockets.-1968.-V.5.-№ 12.-P.1425- 1431.

261. Pinson L. D., Brown C. G. A finite element for nonaxisymmetric vibrations of pressurised shells of revolution partially filled with liquid // AIAA Pap.- 1973.- № 399.- 30 PP.

262. Qu Zu-Qing, Selvam R.P. Dynamic superelement modeling method for compound dynamic systems/ AIAA Journal 2000- V.38.-№ 6.-P.1078-1083.

263. Rand R., Di Maggio F. Vibrations of Fluid-Filled Spherical and Spheroidal Shells // Journal of the Acoustical Society of America 1967-V.42.-№ 6.-P.1278- 1286.

264. Rivera L.M. Liquid rocket booster feasibility study for Space Shuttle // AIAA Pap.- 1995.- № 0007.- P. 1-9.

265. Rubin S. Analysis of POGO stability // Astronautical Research.-1972.-Boston USA - P. 113-127.

266. Rubin S. Improved component-mode representation for structural dynamic analysis // AIAA J-l.-1975.-V.13.- № 8.- P. 34- 50.

267. Sederbery T. W., Nishita T. Geometric Hermite approximation of surfaces patch intersection curves // Comput. Aid. Geom. Des. 1991. -V.8.-№2.-P.97- 114.

268. Simon H.D. The Lanzosh algorithm with partial reorthogonalisation // Math.ofComput.-V.42-1984.-P. 115-142.

269. Taigbenu A. E. The Green element method // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1995-V.3 8-№13-P.2241-2263.

270. Schmidt R., Da Deppo D.A. A survey of literature on large deflections of nonshalloq arches of finite deflections of straight and curved beams, rings 1 and shallow arches //J. Industr. Mathem. Soc.-1971.-V.21.-№2.-P,91-l 14.

271. Thomas D.L. Errors in natural frequency calculations using eigenvalue economization // Int. J. Num. Meth. Eng. -1982.- V.18 №10.-P.1521-1527.

272. Watanable M., Furukama N., Sawai S., Kakazu Y.i Optimum representation of free-formed curves and surfaces in accordance with the Kullback-Leibler criterion // J. Asahikama Techn. Coll. -1992 №29-P.81- 100.

273. Yamaki N., Tani J. Free vibration of a clamped-clamped circular cylindrical shell partially filled with liquid // J-l of Sound and Vibration.-1984.-V.94.-№4.-P. 531-550.

274. Zienkiewich O.C., Kelly D.W., Bettess P. The coupling of the finite element method and boundary solution procedures // Int.J.Numer. Meth. Eng.- 1977.- V.l 1. P.355- 375.

275. Yamamoto K, Kawahara M. Structural oscillation control using tuned liquid damper// Comput. And Struct 1999 - V.71№ 4. - P. 435 - 446.