автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.02, диссертация на тему:Применение обобщенных решений для проектирования балочных элементов конструкций самолета и формирования функциональных сплайнов

На правах рукописи

ПАВЛЕНКО Алексей Петрович

ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ БАЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ САМОЛЕТА И ФОРМИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ

05 07 02 - проектирование, конструкция и производство летательных аппаратов 05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□ОЗ1Б25Э6

Казань - 2007

003162596

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете им А Н Туполева

Научный руководитель кандидат технических наук, доцент Снигирев Виталий Филиппович

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор Бадриев Ильдар Бурханович

Ведущая организация ОАО «Казанский научно-исследовательский институт

Защита состоится 13 ноября 2007 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212 079 05 при Казанском государственном техническом университете им А Н Туполева по адресу 420111, г Казань, ул К Маркса, д 10 (E-mail kai@kstu-kai ru)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им А Н Туполева

С авторефератом можно ознакомиться на сайте http //www каг г и

Автореферат разослан 12 октября 2007 г

авиационной технологии»

Ученый секретарь диссертационного совета

Арасланов А М

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Проектирование авиационной и ракетно-космическои техники является наукоемким, трудоемким процессом и невозможно без применения систем автоматизированного проектирования (САПР), которые значительно повышают производительность труда при одновременном увеличении качества проектно-конструкторских работ В авиастроении особое внимание уделяется оптимизации конструкции по весовым и жесткостным характеристикам, а также оптимизации внешней формы, от которых существенно зависят функциональные и экономические показатели летательного аппарата (ЛА)

При моделировании произвольных поверхностей в авиастроении широко применяются сплайны В процессе решения геометрических задач и задач инженерного анализа появляется проблема преобразования геометрических моделей обводов и поверхностей, полученных различными методами, в универсальные геометрические модели, в которых применяются параметрические сплайны Несмотря на существенные достижения теории сплайнов при моделировании обводов и поверхностей с локальными изменениями формы, а также при аппроксимации обводов, сформированных другими признанными математическими методами, сплайны могут приводить к погрешностям аппроксимации у преобразованных обводов и поверхностей появляется волнистость

Первая часть диссертации посвящена развитию методов оптимального проектирования силовых конструкций максимальной жесткости, базирующихся на принципе минимума полной потенциальной энергии деформации конструкции Во второй части диссертации решены задачи формирования функциональных сплайнов, жесткостные коэффициенты которых являются их управляющими коэффициентами Управляющие коэффициенты таких сплайнов находятся из условия минимума полной энергии оператора определяющего сплайнового уравнения Разработанные сплайны позволяют существенно уменьшить погрешности аппроксимации волнообразного типа

В целом диссертация повящена актуальным областям исследования разработке математического и алгоритмического обеспечения, методов проектирования для выбора оптимальных облика и параметров, компоновки и конструктивно-силовой схемы, агрегатов, разработке методов, моделей для принятия оптимальных решений с целью исследования проектно-конструкторских задач при заданных ограничениях

Цель работы. Развитие методов оптимального проектирования авиационных конструкций максимальной жесткости, математического моделирования произвольных обводов и поверхностей ЛА, в которых применяются сплайны Развитие перечисленных методов ориентировано на повышение качества проектирования и производтва ЛА

Задачи работы. 1 Разработка алгоритма оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости, для вариантов аппроксимации функции изгибной жесткости кусочно-постоянной функцией и непрерывной кусочно-линейной функцией

2 Разработка алгоритма интерполирования обводов с локальными изменениями формы кубическими управляемыми сплайнами класса С'[а,Ь] и сплайнами класса С2 [а, Ъ] с непрерывной кусочно-линейной управляющей функцией

3 Разработка алгоритма математического моделирования поверхностей произвольной формы с применением предлагаемых управляемых сплайнов

4 Апробация разработанных алгоритмов при решении прикладных задач с реальными исходными данными

Методы исследования. При выполнении разработки применены математическая теория обобщенных решений операторных линейных уравнений, метод неопределенных множителей Лагранжа и методы численного анализа МКЭ, наискорейшего спуска (градиентный метод), а также вычислительные эксперименты на специально сформулированных тестовых задачах с целью сравнения численных решений с точным аналитическим решениями

Научная новизна. В диссертации представлены следующие новые методы

1 Метод оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости, базирующийся на результатах теории обощенных решений операторных линейных уравнений

2 Кубический управляемый сплайн класса С' [а, б] минимальной жесткости

3 Сплайн класса С2 [а, й] минимальной жесткости, содержащий полиномиальные и логарифмические базисные функции

4 Оптимизационный метод решения задачи параметризации для функциональных сплайнов

Практическая ценность. Практическую ценность работы составляют приложения разработанных методов и алгоритмов для решения задач оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости, задания и моделирования произвольных обводов ЛА

В частности решены задачи оптимального проектирования балочных элементов конструкций с применением КЭ постоянной и линейной жесткости, выполнены применения сплайнов минимальной жесткости для моделирования реальных обводов самолетов, подтверждающие их эффективность при сравнении с известными методами

Достоверность результатов. Достоверность задачи оптимального проектирования подтверждена сравнением численных результатов с известными аналитическими решениями и сопоставлением полученных результатов с результатами других авторов, анализом физического смысла тестовых результатов

Достоверность задач получения сплайнов минимальной жесткости обоснована применением теории обобщенных решений операторных уравнений, численными исследованиями сходимости на тестовых задачах и при моделировании реальных обводов

Положения, выносимые на защиту. 1 Метод и алгоритм оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости

2 КЭ с линейным изменением жесткости для анализа конструкций балочной расчетной схемы

3 Метод и алгоритм получения функциональных одномерных сплайнов минимальной жесткости

4. Метод и алгоритм решения задачи параметризации для таблично заданной кривой

5 Метод и алгоритм решения задачи параметризации для произвольной поверхности, заданной табличными обводами

Апробация работы. Результаты работы докладывались на XI Всероссийской молодежной научной конференции "Туполевские чтения" (Казань, 8-10 октября 2003 г), на XII Международной молодежной научной конференции "Туполевские чтения" (Казань, 10-11 ноября 2004 г), на VI Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 1 - 4 октября 2005 г), на научной конференции - семинаре "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 31 января - 4 февраля 2006 г )

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ, в том числе 5 статей и 2 тезиса докладов

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы Материал изложен на 185 страницах, включая 41 рисунок, 7 таблиц и список литературы из 140 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснованы актуальность темы разработки и направление исследований, определено научное и практическое значение решаемых задач

В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации, выделены нерешенные задачи, определены цели и поставлены задачи исследования, намечены пути их решения В обзоре отмечено, что задачи оптимального проектирования силовых конструкций максимальной жесткости рассматривались в публикациях Б Д Аннина, H В Баничука, В И Бирюка, В Г Гайнутдинова, А А Комарова, В А Комарова, А С Кретова, JIM Куршина, Е К Липина, К А Лурье, Л В Петухова, H В Пустового, Г И Расторгуева, А П. Сейраняна, В А Троицкого, В M Фролова, В Г Шатаева и других отечественных и зарубежных ученых Обзор показал, что одно из наиболее эффективных направлений решения этих задач основано на минимизации энергии деформации оптимизируемой конструкции Данный вывод позволил сформулировать вариант обобщенной постановки задач оптимизации для процессов, описываемых линейными уравнениями с симметричным положительным оператором В предлагаемой постановке задача оптимизации ставится формально, без рассмотрения физического смысла задачи В ней используется условие минимума полной энергии оператора исходного линейного уравнения, аналогичного условию минимума полной потенциальной энергии деформации конструкции Это позволяет объединить задачи анализа и оптимизации

В авиастроении методам геометрического моделирования посвящены работы С Р Айвазова, Р Т Айрапетяна, П Е Бабикова, В Е Барсукова, В К Белкина, В Д Вермеля, В К Исаева, Е И Калитина, Б И Квасова, В А Леуса, В В Мальчевского, В А Осипова, В В Сонина, В Ф Снигирева, А Д Тузова, Л И Шустовой, В И Якунина и других отечественных и зарубежных исследователей В современных модулях геометрического моделирования САПР, применяемых в авиастроении для моделирования произвольных поверхностей, часто применяются сплайны

Теория сплайнов развита в трудах В И Бердышева, В А Василенко, В В Вершинина, А И Гребенникова, А А Женсыкбаева, Ю С Завьялова, М И Игнатова, Н Н Калиткина, Б И Квасова, А П Колесникова, Н П Корнейчука, В Н Малоземова, В Л Мирошниченко, В А Морозова, Н Н Павлова, А Б Певный, С Б Стечкина, Ю Н Субботина, Н И Черных, Н Н Яненко и других отечественных и зарубежных математиков

Отмечено, что при задании обводов с локальными изменениями аэродинамической поверхности возникают трудности В настоящее время задачи такого класса решаются путем применения напряженных, рациональных и иррациональных сплайнов, б- аппроксимации кусочно-гладкими функциями с разрывом в первой производной, локально сглаживаемой в точке разрыва за счет мало! о параметра е , и некоторыми другими приемами Каждый из перечисленных методов имеет свою область применения

Во второй главе рассмотрена постановка задачи оптимизации для линейного процесса, анализ которого сводится к решению операторного уравнения

¿ч = р, (1)

где I - симметричный положительный линейный оператор, и = {и,,и2, ,«,} -вектор искомых функций, описывающих рассматриваемый процесс, Р = {а.Рг> <Р<\ " вектор заданных функций

Для нахождения приближенного обобщенного решения уравнения (1) необходим функционал, стационарная точка которого реализуется при значении и = и0, где и0 - точное (классическое) решение уравнения (1) Функционал полной энергии оператора I имеет вид

^(и,г)=(£и,и)-2(р,и), (2)

где г = {г,,г2, ,гк) - вектор проектных параметров, (и,у) - скалярное произведение элементов и, V

Согласно методу Ритца или МКЭ приближенное обобщенное решение задачи анализа и, принимается в виде линейной комбинации системы базисных функций, принадлежащих области определения функционала (2)

и, =£>,<(.,, (3)

1де я,-{аи,а21, ,а„} - произвольные коэффициенты, <р1 - базисные функции из области определения функционала

В результате подстановки в функционал (2) и = и, (3) получается квадратичная форма, зависящая от вектора а, Из условий стационарности квадратичной формы следует система линейных алгебраических уравнений относительно вектора коэффициентов а

Ка = Р, ' (4)

где к, ={£(?„?>,)}, р, = {(?>,, р)}, а = {а,}

После получения функционала (2) возможна общая постановка задач оптимального проектирования, базирующаяся на отыскании его стационарной точки Для этого методом неопределенных множителей Лагранжа получен модифицированный функционал

^(и,г)= /г(и, г) + (х., ф(и, г)) = (£и, и)- 2(р, и)+(X, Ф(и, г)), (5)

где ф(и,г)={ф,(и,г),ф2(и,г)> ,Фк(и,г)} - вектор функционалов, определяющих условия проектирования для решаемой задачи, X = {л.,Дг,. Д4} - вектор скалярных множителей Лагранжа

После подстановки в функционал (5) и=и, согласно (3), получается приближенное значение функционала (5) Для нахождения стационарной точки функционала получается система нелинейных алгебраических уравнений относительно векторов искомых неизвестных а, г, X

^(»„г,Х) = 0, ^,(и„гД) = 0, ^Ц(и„гД) = 0 (6)

Таким образом, изложенный метод позволяет формулировать задачи оши-мизации для процессов, описываемых линейными операторными уравнениями вида (1), без рассмотрения соответствующих физических законов

По изложенной постановке разработан метод получения балочных конструкций максимальной жесткости, в котором для решения задачи анализа применен МКЭ Значения функции изгибной жесткости определяются в расчетных сечениях проектируемого элемента конструкции, внешний контур которого в плоскости изгиба констркции вписывается в заданный плоский контур Внешняя расчетная нагрузка задана Во всех расчетных сечениях балки напряжения одинаковые Интеграл от функции изгибной жесткости по длине силового элемента равен заданной величине Расчетные значения функции изгибнои жесткости больше, либо равны некоторому заданному положительному минимальному значению изгибной жесткости

изгибной жесткости для консольной балки изгибной жесткости для статически неопределимой балки

По изложенному методу получены численные решения двух задач конструкция, моделируемая консольной балкой, конструкция, моделируемая статически неопределимой защемленной'в крайних сечениях балкой На рис 1 показан график функции относительной изгибной жесткости Е1 (х)= £/,(£/„)"' V* е {хы,х,), ¡-1,2,..., п однородной консольной балки, имеющей клиновидную форму в плоскости изгиба, под действием постоянной погонной нагрузки, при числе КЭ « = 10, где £/„ - заданное осредненное значение функции изгибной жесткости балки, Е1, - значение функции жесткости го КЭ Пунктирной линией показан график функции Е1(х), вычисленной согласно точному аналитическому решению Максимальная погрешность численного решения равна 2,69% при значении х = 0,5 м Графики функций Е1(х), полученные при числе КЭ и = 10,20,40 для однородной защемленной в торцевых сечениях балки,

имеющей постоянную высоту в плоскости изгиба, под действием постоянной погонной нагрузки, представлены на рис 2

В третьей главе на основе соотношений (1) - (6) рассмотрена задача проектирования балочных элементов конструкций максимальной жесткости для варианта непрерывной кусочно-линейной функции изгибной жесткости

Уравнение поперечного изгиба балки переменной жесткости Е1(х) при действии поперечной внешней погонной нагрузки д(х) имеет вид.

£ф) = = <?(*) V* е (а, Ь), (7)

где у(х) - искомая функция прогибов оси балки

Функционал вида (2), оответствующий уравнению (7), запишется так

[[£/(хУ(х)]%(х>& -г^х^х^гх (8)

Для любой комбинации главных и естественных однородных краевых условий решения уравнения (7) из выражения (8) получается функционал

Е(у,Е/) = [Е1{хЬ"{х)УсЬс-г[*(х)}(х)ск (9)

Принято следующее условие распределения изгибной жесткости балки

Ф0 (Е1) = £ Е1(х)сЬс - Е1а (б - а) = 0 (10)

Принято условие равенства расчетных напряжений во всех поперечных сечениях балки (условие равнопрочности)

Ф1(у,х,5Ё)-ё(х](5(хУ(*]|-Й(г^|(гУ(^-0 У{х,х)е{а,Ь),х*х, (11) где |(х) ■ расстояние от нейтральной оси до расчетного или наиболее нагруженного элемента в произвольном сечении балки, Ё{х) - модуль упругости расчетного (наиболее нагруженного) элемента в рассматриваемом поперечном сечении, х - координата произвольного поперечного сечения балки, принятого в качестве базового сечения для сравнения значений расчетных напряжений

Согласно методу Лагранжа функционал (9) и условия проектирования (10), (11) позволяют записать модифицированный функционал

Е1, ?-„, 1,)= F(v, Е1)+\аФ0(Е1)+ л, фс, (12)

где Ла, Х,(х) - множители Лагранжа

Для получения приближенного решения задачи (7), (10), (11) с однородными краевыми условиями функция Е1(х) представлена в виде непрерывной кусочно-линейной функции

Е1(х)ге(х)=[(х-х,_1)е,~(х-х1)е,_,]/(!, Ухе ,х,), ¡ = 1,2,. ,«, (13) где е, - значение функции Е1(х) в ¡- м узле расчетной сетки Д, с!, = х, , 4 а = х0 < X) < <хп=Ь

Для уравнения (7) с функцией (13) при ?(х) = 0 Ухе (*,_,, хД у = 1,2, ,п известно точное решение (см Снигирев В Ф Построение вырождающихся сплайнов дЛя решения задач интерполирования функций и геометрического моделирования линий // Журнал вычислительной математики и математической физики - 1992 - 32 - № 7. - С 1142-1143)

= с, /{х)к^ + с,х1е{х\1п(е(х))-1\с]2 + с3иг{х)к-' +сА1 Ух е , х у = 1,2, „и,(14)

где с,^, с%1, сзи, с4>у - постоянные интегрирования, к1={е1-е^}/<11

Применение условий интерполирования Эрмита для нахождения постоянных в (14) позволяет представить функцию у(х) на участках балки в виде (3)

v(x)=SLa^Дx)sVl<P1,(д:)+vИ<P2^W+v^ФзyW+v>^^W УхеЦ.,,*,), 7 = 1,2, ,.,п (15) С учетом выражений (13), (15) функционал (12) принимает вид

Р, е, 1) = 2^1 УгК(е)У - УГР^ + ^ +«>, +

+о, {¿.ил*, ] - Ё^у&Л (16)

где согласно инженерному алгоритму МКЭ выделены к(е) - общая матрица жесткости, полученная из матриц жесткостей балочных КЭ с линейным изменением изгибной жесткости, Р - общий вектор эквивалентных узловых нагрузок балки, V - общий вектор узловых переменных, в котором учтены главные краевые условия балки, е = {<?„,«,,. ,еп) - вектор проектных параметров,

Х. = к0Д„ ..,>.„_,} - вектор множителей Лагранжа, X, = Г хАх\1х, ¡ = 1,2,. ,п-1,

«/-I

х, +х,)/2, }=\,2,.;П

После записи условий минимума функционала (16) получается система нелинейных алгебраических уравнений относительно V, е, X, которая аналогична системе (6) Для приближенной минимизации функционала (16) применен метод наискорейшего спуска При этом для получения решения нулевого приближения принята балка постоянной жесткости Е10 Структура условий минимума функционала (16) позволяет построить несложный итерационный процесс для уточнения У<<м) - вектора узловых переменных Если вектор проектных параметров принять известным из предыдущего приближения (е = е(*~'>), то условия минимума функционала дают систему линейных алгебраических уравнений для нахождения V'*' Далее, после нахождения V1*' для получения значения ем с учетом условий (10), (11) можно уточнять только вектор е<*-0

Отдельный раздел третьей главы Рис 4 Графики оптимальной кусочно-посвящен тестированию полученного линейной функции жесткости для стати-балочного КЭ с линейным законом чески неопределимой балки

2 4 б 8 10 X

Рис. 3 График оптимальной кусочно-линейной функции изгибной жесткости для консольной балки

изменения жесткости При этом для консольной балки переменной жесткости численное решение сравнивалось с решением в квадратурах Тестирование показало, что КЭ с линейным законом изменения жесткости обеспечивают более высокую скорость сходимости численного решения по сравнению с КЭ постоянной жесткости

Решены тестовые задачи оптимального проектирования консольной и защемленной балок, рассмотренных во второй главе Оптимальное распределение жесткости для консольной балки представлено на рис 3 Полученная функция относительной жесткости ё{х) = е(х\Е1„)'х практически совпадает с точным решением (см рис 1) При этом максимальная погрешность численного решения равна 0,17% при х = 0,5м Для защемленной балки (рис 4) при числе КЭ п = 10,20,40 наблюдается сходимость численных значений функции е(х) к некоторым предельным значениям

В четвертой главе рассмотрена задача получения функционального управляемого кубического сплайна минимальной жесткости

Кубический сплайн определяется единственным образом, если заданы его узловые значения и краевые условия При графическом моделировании поверхности самолета для участка обвода, имеющего локальное изменение формы, уже давно рекомендовано применение плазовой рейки с локальным уменьшением толщины (см Расчет и построение контуров самолета на плазе / Андреев В А , Зворыкин В А , Коноров Л А и другие / Под ред Ленькова С С - М Оборонгиз, 1960 - 492 с) При математическом моделировании таких обводов возможность автоматического определения управляющих коэффициентов кубического сплайна появляется при представлении его как функционального сплайна, получаемого из условия минимума функционала полной энергии оператора определяющего уравнения, соответствующего сплайну

Для получения сплайна определяющее уравнение записывается в виде

= =0 Чхе(а,Ь), (17)

где в(х) - непрерывная управляющая весовая функция

Функционал энергии оператора I уравнения (17) для получения кубическо-I о сплайна класса ¿(л:)е С1 [а,б] записывается в виде

(18)

где В = {В,}, / = 1,2, ,п - вектор значений управляющей функции

В(х) = В1 (*,_,,*,), г = 1,2, ,п (19)

Для элементов вектора В принято условие в виде

Ф(В)= (В(х)&-В0 -«) = £,'„ВД-В0(Ь-а) = 0, (20) где Ва - задаваемый коэффициент, = х, - , г = 1,2, , и

После модификации (18) с помощью условия (20) получается функционал

^(5,ВД)=^,В)+ХФ(В), (21)

где Я - искомый множитель Лагранжа

Для получения кубического сплайна минимальной жесткости далее необходимо рассмотреть задачу о безусловном минимуме функционала (21)

В качестве тестовой задачи для кубических управляемых сплайнов минимальной жесткости рассмотрено интерполирование функции

/(*) = !- ет _е-ж " (22)

на равномерной сетке Д *„ < хх < . < х10, х0 = 0, х10 = 1 Этот тест является одним

- Р

ч VI

аз о,* с.6 as

Рис. 6. Графики вычисленных функций

Рис. 5. График управляющей функции кубического сплайна минимальной жесткости

На рис 5 изображен график функции В(х), полученной в результате минимизации функционала (21) На рис 6 показаны графики 1 - кубического сплайна, 2 - кубического сплайна минимальной жесткости при В0 = 1, 3 - интерполируемой функции (22)

Численные результаты показывают, что по сравнению с кубическим сплайном у кубического сплайна минимальной жесткости значительно меньше осцилляции, и заметные отличия от интерполируемой функции (22) имеются только на последнем "сложном" участке При увеличении числа узлов интерполяции путем разбиения "сложного" участка 0,9 < х < 1,0 на четыре равных участка осцилляции кубического сплайна минимальной жесткости не наблюдаются, при этом общее число промежутков между узлами и = 13

ы

Рис 7 График управляющей функции Рис.8 Графики производных первых

для профиля координатных функций

Решена прикладная задача интерполирования параметрическим сплайном минимальной жесткости s(x)=e,í,(x)+e2i,(x) табличного крылового профиля П 226 - 9,5, примененного на самолете Ту — 214 При этом принималась параметризация по суммарной длине хорд График управляющей функции В(х), полученной при В0 -1; п = 56, изображен на рис 7 На участке графика, соответствующем окрестности носка профиля, получилось значительное уменьшение значений управляющих коэффициентов На рис 8, рис 9 для окрестности носка

профиля сплошной линией показаны соответственно графики производных dsi(x)/ilx, ds2(x)/dx Vx е [c,d\, где с = 1,005, d = 1,03 Для сравнения на этих рисунках пунктирной линией изображены графики производных, полученных при

применении параметрического кубического сплайна

Касательная в точке носка теоретического профиля параллельна оси координат По сравнению с кубическим сплайном, в этой точке кубический сплайн минимальной жесткости обеспечил уменьшение угла между теоретической касательной и касательной к интерполирующей линии на 5,8%

Для сплайнов, интерполирующих крыловой профиль П 226-9,5, вычислены значения функционала

(23)

который по структуре аналогичен удвоенной потенциальной энергии деформации балки

Для параметрического кубического сплайна Fc(s,B)= 179,015, где в формуле (23) принято В, = В„ = 1, 1 = 1,2, ,56 Для параметрического кубического сплайна минимальной жесткости FD(s,B)=31,381 Эти численные значения подтверждают факт уменьшения "жесткости" полученного кубического сплайна с управляющей функцией

В пятой главе рассмотрена задача получения функционального сплайна минимальной жесткости, непрерывного до вторых производных включительно

Вторая производная кубического сплайна минимальной жесткости имеет разрывы вследствие разрывов управляющей функции в узлах расчетной сетки Для получения функционального сплайна минимальной жесткости с непрерывными вторыми производными в функционале (18) управляющая функция в(х) принята в виде непрерывной кусочно-линейной (аффинной) функции

B(x) = e(x) = [(x-xl_l)el-(x-xl)eM]/d, Vx е (*,_„*,), i = 1,2, и, (24) где е(, у = 0,1, , п - узловые значения функции в(х)

При этом уравнение сплайна на участке с линейным изменением жесткости согласно выражению (24) получается из точного решения определяющего уравнения (17), которое представлено формулой (14) Уравнение (14) далее преобразовано к виду, аналогичному по структуре выражению (3)

ïW=S'.oi,»^(jr)= sj-iVoAx)+sjPiAx)+ Pj-i9>iAx)+ PjViA*) 7=1.2, , и, (25)

1де q>:, (x) - базисные функции для участка сплайна, s, -s(x,), i = 0,1, , п - узловые значения сплайна, р,, г = 0,1, , и - неизвестные коэффициенты сплайна Функционал вида (18) с управляющей функцией (24) запишется так

F(s,e) = (Ls,s) = {[e(x>"(x)fs(x>fe (26)

// ¿S

1 005 , 0! 1015 102 1 025 X

Рис 9. Графики производных вторых координатных функций

(28) (29)

где е = {е(}, } = 0,1,. , и - вектор узловых значений управляющей функции #(*)

Выражение (26) после преобразований с учетом промежуточных краевых условий, при которых оператор £ определяющего уравнения (17) симметричен, преобразуется в следующее

-рул ^

где Д, > 0, рп > 0, а, > 0, I = 0,1, , п - произвольные постоянные Для элементов вектора е, записано дополнительное условие

Ф(е) = Й0(6 - а). («м +еМ-В,(Ь-а) = 0

Функционал (27) и условие (28) позволяют записать функционал

где X - неопределенный множитель Лагранжа

Функционал (29) после подстановки в него функций (24), (25) принимает вид

Ъ & е, X) = Х',К,(е)Х, + а^ + аЛ2 - а0*„г - (р,р\ - роАг)+

+ (30)

где Х^ ={«,.,,} - вектор узловых переменных у - го участка сплайна, К Де) - матрица Грама ] - го участка сплайна

Для получения сплайна минимальной кусочно-линейной жесткости класса С2[а,ь\ далее аналогично рассматривается задача о безусловном минимуме функционала (30)

Следует отметить, что при выполнении равенства ем = е, для участка ; следует принимать полиномиальное уравнение как кубического сплайна В этом случае получается комбинированный сплайн класса С2[а,Ь

^ /

3

\

Рис 10 График управляющей функции комбинированного сплайна при п =10

Рис 11 Графики вычисленных функций при и = 10

Для тестирования рассмотренного комбинированного сплайна решена задача интерполирования функции (22) На рис 10 изображен график функции В(х), полученной при значениях £0 =1, и = 10 На отрезке 0<х<0,9, где интерполируемая функция (22) практически не изменяется, управляющая функция В(х) получилась постоянной с максимальными узловыми значениями На этом отрезке получаются участки кубического сплайна

На последнем "сложном" участке 0,9 < ж ¿1,0, где функция (22) локально убывает, получается уравнение вида (14) На рис 11 показаны графики вычисленных функций на "сложном" участке 1 - кубического сплайна, 2 - комбини-

рованного сплайна (участка сплайна минимальной кусочно-линейной жесткости), 3 — интерполируемой функции (22)

Видно, что комбинированный сплайн хорошо приблизился к интерполируемой функции (22) и, в отличие от кубического сплайна, не имеет осцилляций

т

у 0.» /

'V \\

V 0 \

02 04 0,6 08 *

ЙРО доз 404

Рис 12 График управляющей функции Рис 13 Графики вычисленных функций комбинированного сплайна при п = 13 при и = 13

При разбиении "сложного" участка на четыре равных участка получается график управляющей функции, представленный на рис 12, при этом п -13 На рис 13 показаны графики функций, вычисленных на "сложном" участке 1 - кубического сплайна, 2 - комбинированного сплайна При этом график комбинированного сплайна визуально совпал с интерполируемой функцией, а кубический сплайн заметно отличается от интерполируемой функции (22) и имеет осцилляции (см рис 13).

Шестая глава посвящена разработке оптимизационного метода изогеомет-рической параметризации для функциональных сплайнов

В модулях геометрического моделирования САПР для задания или аппроксимации произвольных линий, как правило, применяются параметрические сплайны Это обусловлено, в основном, универсальностью математических моделей таких линий, пригодных в этих модулях для решения инженерных геометрических задач и геометрических задач, необходимых для реализации инженерного анализа проектируемой конструкции, а также для задач машинной графики и визуализации Для получения параметрического уравнения линии необходима сетка интерполяционных узлов, которая неизвестна Задачу нахождения этой сетки часто называют задачей параметризации Анализ обзора известных методов решения задачи параметризации (см Квасов Б И Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами - М Физматлит, 2006 - 360 с), показывает, что точность аппроксимации табличных кривых существенно зависит от сетки интерполяционных узлов, а универсальные простые для реализации методы параметризации не обеспечивают достижения максимально возможной точности моделирования табличных кривых Для повышения точности аппроксимации таблично задаваемых кривых необходимо разрабатывать методы, максимально учитывающие специфику решаемой задачи и требования, предъявляемые к свойствам интерполирующей кривой. Такую постановку решения задачи параметризации позволяет выполнить постановка оптимизационных задач, изложенная во второй главе

Для решения задачи параметризации шаг узлов интерполяционной сетки принимается в качестве искомых параметров, а условия для их нахождения формулируются как условия минимума функционала вида (5) Условие, обеспечивающее расположение узлов сетки в области определения моделируемой кривой, записано в виде

«>(«0 = 514-(*-«)=о, (31)

где <1 = } - искомый вектор значений шага узлов интерполяционной сетки узлов Д , <1, = х, - > 0, г = 1,2, ., п, а,'Ь - назначаемые значения для фиксации узлов сетки Д в области определения моделируемой кривой, Ъ > а

С учетом условия (31) функционал вида (27) преобразуется в следующий модифицированный функционал

^(8,а,Л.) = ^,е)+ХФ(а), (32)

где \ - неопределенный множитель Лагранжа

За счет модификации определяющего сплайнового функционала (27) методом неопределенных множителей Лагранжа можно учитывать и другие дополнительные условия распределения узлов интерполяционной сетки Д. Условия минимума функционала (32) имеют вид

8<1,

дк

дР, —,

и дают систему нелинейных уравнений для нахождения Д

Решение задачи параметризации целесообразно получать в результате пря-

1 1 2 3 4 5

< 0,19964 0,19977 0,20119 0,19977 0,19964

«с 0,19752 0,20031 0,20432 0,20031 0,19752

В качестве теста рассмотрено интерполирование параметрическим кубическим сплайном кусочно-постоянной жесткости дуг окружности и эллипса, заданных уравнением

г = с,е, соз(ях)+с2е2 яи(гос) Ухе[о,1], (33)

на равномерной сетке Д х0 < х, < <х$, где х0 = 0, х, = и?, г = 1,2,..., 5, = 0,2

При генерировании исходных дргаых в выражении (33) принято с, =сг=\ -для окружности, с, =5, с2 = 1 - для эллипса Следует отметить, что на дуге окружности заданные точки расположены равномерно по длине дуги, а на дуге эллипса неравномерно Для обеих кривых приняты три начальные интерполяционные сетки Итерационный процесс минимизации функционала (32) независимо от начальной сетки интерполяционных узлов с одной точностью приближается к равномерной сетке Д, принятой при формировании исходных данных согласно уравнению (33)

Результаты вычислений представлены в таблице, где с1' - длины промежутков между узлами интерполяционной сетки Д", полученной для дуги окружности, сV' - длины промежутков между узлами интерполяционной сетки Д", полученной для дуги эллипса

Решена прикладная задача параметризации для крылового аэродинамического профиля П 226 — 9,5

/

^ ч у

> 2

У

0 10 20 30 40 10 I

Рис. 14 Графики функций изменения параметра от номера точки профиля

На рис 14 изображены 1 - график функции изменения параметра от номера точки профиля для интерполяционной сетки узлов Д, полученной при параметризации по суммарной длине хорд, 2 - аналогичный график для интерполяционной сетки узлов Д, полученной при параметризации предложенным методом Для сплайнов, интерполирующих рассмотренный крыловой профиль, значения функционала (23) следующие ^ (в, В) =10,866 на сетке Д, (в, В)= 179,015 на сетке Д, где принято В, = В0 = 1, г = 1,2, , 56, так как применялись кубические сплайны Эти численные значения подтверждают факт уменьшения энергии оператора I в уравнении (17), а, следовательно, и "жесткости" полученной кривом

Решена задача параметризации для внешней поверхности П откидной части фонаря истребителя Су-27, заданной точками в плоских базовых сечениях Поверхность П представляет собой криволинейный четырехугольник В каждом из восьми базовых сечений задано по 25 точек, координаты которых вычислены по некоторому непараметрическому уравнению поверхности

Основные процедуры алгоритма решения задачи параметризации для поверхности п следующие Сначала по координатам точек в каждом базовом сечении выполнена параметризация по суммарной длине хорд Далее в пределах отрезка [о, б] в каждом базовом сечении по изложенному методу находится сетка интерполяционных узлов для параметра хг По найденным сеткам интерполяционных узлов выполнена процедура, сходная с процедурой распластывания поверхности В результате этого получается а - предварительная область определения параметрического уравнения поверхности П (рис 15), где ОХ, = Ох, -строительная горизонталь самолета Затем в результате аффинного преобразования из области О получена область определения поверхности П в виде прямоугольника П, у которого длина вертикального отрезка контурной линии области О равна длине отрезка [а,Ь\ (рис 16) В результате в базовых сечениях определяются параметрические кубические интерполяционные сплайны первого направления (семейства)

Рис 15 Область изменения параметров с криволинейной верхней границей

Рис 16. Прямоугольная область изменения параметров

Затем в пределах отрезка [а, б] выбирается расчетная сетка, в узлах которой по сплайнам первого направления вычисляются координаты точек поверхности

для получения параметрических кубических интерполяционных сплайнов второго направления (семейства)

Параметризованная поверхность П откидной части фонаря с двумя семействами гладких линий показана на рис 17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дисертационной работе получены следующие результаты

1 Предложен вариант постановки оптимизационных задач, описываемых уравнениями с линейным положительно определенным оператором

2 Разработан метод оптимального проектирования балочных элементов конструкций максимальной жесткости, основанный на применении условия минимума полной потенциальной энергии деформации конструкции

3 Разработан балочный конечный элемент с линейным законом изменения жесткости, повышающий точность решения задач анализа конструкций на основе балочной расчетной модели

4 Разработан функциональный кубический сплайн минимальной жесткости, непрерывный до первых производных включительно, позволяющий моделировать обводы с локальными изменениями формы

5 Разработан функциональный комбинированный сплайн минимальной жесткости, непрерывный до вторых производных включительно, позволяющий моделировать обводы с локальными изменениями формы

6 Разработан оптимизационный метод решения задачи изогеометрической параметризации при задании обводов сплайнами

7 Предложен метод параметризации для поверхностей, заданных тблич-ными обводами

5 Решены прикладные задачи на основе предложенных сплайнов решена задача параметризации для крылового профиля П 226 - 9,5, на онове предложенных алгоритмов и сплайнов выполнено моделирование внешней поверхности откидной части фонаря истребителя Су - 27

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих раболах.

1 Павленко А П Численный метод перераспределения жесткостей конечных элементов балочной конструкции для решения задачи проектирования // XI Туполевские чтения Всероссийская (с международным участием) молодеж-

ная научная конференция, Казань, 8-10 октября 2003 года Тезисы докладов Том I Казань Изд-во Казан гос техн ун-та 2003 - С 17

2 Павленко А П Вариационный метод получения кубического интерполяционного сплайна наименьшей кривизны и его применение для моделирования обводов // XII Туполевские чтения. Международная молодежная научная конференция, Казань, 10-11 ноября 2004 года Материалы конференции Том I -Казань Изд-во Казан гос техн ун-та 2004 — С 29 — 30

3 Павленко А П , Кретов А С , Снигирев В Ф Вариационный метод получения кубического интерполяционного сплайна наименьшей приведенной кривизны // Сеточные методы для краевых задач и приложения Материалы Шестого Всероссийского семинара — Казань Казан гос ун-т, 2005. - С 153 - 157

4. Павленко А П, Кретов А С , Снигирев В Ф Функциональный кубический интерполяционный сплайн минимальной приведенной кривизны // Известия Института математики и информатики Вып 2 (36) - Ижевск УдГУ, 2006 -С 189-192

5 Павленко А П , Снигирев В Ф , Завьялов О Ю Точные общие решения для балок с полиномиальными законами изменения изгибной жесткости // Проектирование и исследование технических систем Межвузовский научный сборник Вып 8 - Набережные Челны Изд-во ИНЭКА, 2006 - С 142-147

6 Павленко А П , Кретов А С , Снигирев В Ф Вариант постановки задач оптимального проектирования силовых конструкций // Известия высших учебных заведений Авиационная техника -2007 -№1 -С 9-14

7 Павленко А П, Кретов А С , Снигирев В Ф Интерполяционный кубический сплайн минимальной жесткости // Вестник КГТУ им А H Туполева -2007 -№2 - С 5 - 8

Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Печ л 1,0 Уел печ л 0,93 Уел кр отг 0,93 Уч-изд л 1,0 Тираж 100 Заказ К 161

Типография Издательства Казанского государственного технического университета 420111 Казань, К Маркса, 10

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ВЫПОЛНЕННЫХ РАБОТ.

1.1. Методы решения задачи оптимального проектирования конструкций максимальной жесткости.

1.2. Методы решения задачи анализа конструкций.

1.3. Применение метода конечных элементов для анализа конструкций.!

1.4. Методы геометрического моделирования сплайнами.

1.5. Применение параметрических сплайнов для задания обводов.

1.6. Сплайны переменной жесткости.

2. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ БАЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ МАКСИМАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ.

2.1. Анализ известных постановок задач оптимального проектирования конструкций максимальной жесткости.

2.2. Обобщенная математическая постановка задачи оптимального проектирования для процессов, описываемых линейными операторными уравнениями.

2.3. Анализ балочной конструкции методом конечных элементов.

2.4. Функционал полной энергии оператора дифференциального уравнения деформации балки.

2.5. Функционал для балки кусочно-постоянной жесткости.

2.6. Оптимальное проектирование конструкции максимальной жесткости, моделируемой балкой кусочно-постоянной жесткости.

2.7. Результаты решения тестовых задач оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости.

3. ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ БАЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ МАКСИМАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ЛИНЕЙНЫМ ЗАКОНОМ ИЗМЕНЕНИЯ ЖЕСТКОСТИ.

3.1. Вводные замечания.

3.2. Точное однородное решение для участка балки с линейным законом изменения жесткости.

3.3. Функционал для балки с кусочно-линейным законом изменения жесткости.

3.4. Точная матрица жесткости балочного конечного элемента с линейным законом изменения жесткости.

3.5. Вектор узловых усилий балочного конечного элемента с линейным законом изменения жесткости.

3.6. Балочный конечный элемент с линейным законом изменения жесткости.

3.7. Результаты тестирования балочного конечного элемента с линейным законом изменения жесткости.

3.8. Оптимальное проектирование конструкции, моделируемой балкой с кусочно-линейным законом изменения жесткости.

3.9. Решение задач оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости с применением конечных элементов с линейным законом изменения жесткости.

4. КУБИЧЕСКИЙ СПЛАЙН МИНИМАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ.

4.1. Кубический сплайн кусочно-постоянной жесткости.

4.2. Функционал полной энергии оператора сплайнового дифференциального уравнения.

4.3. Функционал для кубического сплайна кусочно-постоянной жесткости.

4.4. Функциональный кубический сплайн кусочно-постоянной жесткости.

4.5. Кубический сплайн минимальной жесткости.

4.6. Вариант параметрического вектор-сплайна.

4.7. Результаты решения тестовой и прикладной задач с применением кубического сплайна минимальной жесткости.

5. СПЛАЙН МИНИМАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ, НЕПРЕРЫВНЫЙ ДО ВТОРЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВКЛЮЧИТЕЛЬНО.

5.1. Вводные замечания.

5.2. Точные общие решения исходного сплайнового уравнения.

5.3. Сплайн кусочно-линейной жесткости.

5.4. Функционал для сплайна кусочно-линейной жесткости.

5.5. Сплайн минимальной кусочно-линейной жесткости.

5.6. Результаты решения тестовых задач для комбинированного сплайна.

6. МЕТОД ИЗОГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ДЛЯ ЗАДАНИЯ ОБВОДОВ И ПОВЕРХНОСТЕЙ СПЛАЙНАМИ.

6.1. О задаче изогеометрической параметризации. Постановка задачи параметризации, основанная на применении теории обобщенного решения краевой задачи.

6.2. Нахождение узлов сетки для параметрического кубического сплайна кусочно-постоянной жесткости.

6.3. Нахождение узлов сетки для параметрического сплайна кусочно-линейной жесткости.

6.4. Интерполирование поверхностей сплайнами.

6.5. Параметризация поверхности в виде криволинейного четырехугольника.

6.6. Регуляризация параметризованной поверхности.

6.7. Результаты решения тестовой и прикладных задач параметризации.

Современная авиационная техника создается в условиях ограниченных материальных ресурсов и сроков разработки. Повышается сложность и стоимость проектов, а также требования к их качеству. Проектирование в данной отрасли является трудоемким и наукоемким процессом, и уже немыслимо без применения высокоэффективных средств проектирования, значительно повышающих производительность труда конструкторов при одновременном увеличении качества проектно-конструкторских работ. В этих целях широко применяются различные системы автоматизированного проектирования (САПР), дополняемые пакетами конечно-элементного анализа.

Развитие САПР актуализирует проблему создания новых методов проектирования и конструирования, математического и программно-алгоритмического обеспечения для выбора оптимальных параметров Ш конструктивно-силовой схемы агрегатов летательных аппаратов (JIA) с учетом неопределенности реализации проектных решений, так как для сокращения затрат целесообразно проводить поиск оптимальных конструкторских решений еще на ранних стадиях проектирования J1A.

Конкуренция на международном рынке заставляет постоянно корректировать разрабатываемые проекты под новые требования. Также все чаще возникают задачи оптимизации по различным направлениям уже спроектированных конструкций. В авиастроении особое внимание уделяется оптимизации по весовым и жесткостным характеристикам, а также по внешним геометрическим формам, от которых существенно зависят подавляющее большинство функциональных показателей JTA. Необходимость улучшения летных характеристик и снижения расхода топлива приводит к повышению требований к заданию обводов. При этом также возникают задачи оптимизации элементов балочных конструкций. Как правило, направления оптимизации конструкции зачастую противоречат друг другу. Также при оптимизации накладываются различные противоречивые ограничения. Поэтому требуется т разработка методов, моделей и программного обеспечения для принятия оптимальных решений с целью исследования проектно - конструкторских задач при заданных ограничениях с учетом их компромиссного характера.

Современные высокоэффективные методы проектирования предполагают применение ЭВМ и развиваются в направлении комплексной автоматизации на всех этапах проектирования. Разрабатываемые методы для САПР должны быть формализованы в алгоритмы проектирования и запрограммированы, как правило, на алгоритмических языках. Удачные и эффективные алгоритмы без больших затрат могут быть перенесены в САПР для появляющихся более современных компьютерных аппаратных платформ. Алгоритмические языки также имеют преемственность, поэтому возможен эффективный перевод алгоритмов (в том числе автоматизированный или автоматический), даже если имеет совершенствование или изменение языка программирования. Не * формализуемые методы часто отбрасываются как не эффективные при использовании САПР. Это обусловливает интенсификацию работ по созданию формализованных методов проектирования, алгоритмы которых записаны на языках программирования или находятся в виде программ для ЭВМ.

Разработка и применение таких методов значительно снижает затраты на проектирование и технологическую подготовку производства объектов авиационной, ракетной и космической техники за счет снижения сроков их разработки. Данные методы предполагают использование систем и средств автоматизированной подготовки производства, позволяющих автоматизировано разрабатывать технологические процессы проектирования, программирования и информационное обеспечение при производстве JIA, включая технологию и средства размерной увязки агрегатов и изготовления технологических поверхностей, оснастки и деталей на оборудовании с ЧПУ и, следовательно, проводить опережающую подготовку производства.

Данная работа посвящена дальнейшему развитию метода определения проектных параметров конструкций максимальной жесткости, предложенного и развитого в работах Б.Д. Аннина, Н.В. Баничука, В.И. Бирюка, А.А. Комарова, В.А. Комарова, А.С. Кретова, JI.M. Куршина, Е.К. Липина, К.А. Лурье, Л.В. Петухова, Н.В. Пустового, Г.И. Расторгуева, А.П. Сейраняна, В.А. Троицкого, В.М. Фролова, Шатаева В.Г. и многих других, который заключается в безусловной минимизации функционала потенциальной энергии деформации конструкции. В предлагаемой работе задача оптимального проектирования конструкции максимальной жесткости сформулирована на основе результатов теории обобщенных решений операторных линейных уравнений и состоит в отыскании проектных параметров, удовлетворяющих определенным условиям, зависящих от цели оптимизации (в том числе и условия минимума энергетического функционала). Обобщение выполнено в двух направлениях: выполнена минимизация функционала полной потенциальной энергии конструкции, приводящая к совместной системе уравнений для анализа и проектирования конструкции, а также разработан общий метод получения функционала полной энергии линейного операторного уравнения с симметричным положительным оператором для формальной постановки и решения задач без жесткой привязки к физическому смыслу. Здесь модифицированный дополнительными условиями проектирования по методу неопределенных множителей Лагранжа функционал безусловно минимизируется по методу Ритца, согласно которому на обобщенных многочленах, взятых в качестве пробных функций, функционал становится формой искомых параметров. Разработанный метод применен для оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости с кусочно-постоянной и кусочно-линейной функциями жесткости.

В настоящее время при моделировании поверхностей широко применяются кубические сплайны. Кубические сплайны представляют собой точное решение дифференциального уравнения балки при специальных краевых условиях - многоточечной краевой задачи. Поэтому постановки г оптимальных задач механики можно применять для получения сплайнов. Задачи механики и задачи получения сплайнов аналогичные, поскольку сплайны получаются из уравнений механики балок. В данной работе также выполнено развитие методов получения функциональных сплайнов минимальной жесткости с кусочно-постоянной и кусочно-линейной функцией жесткости из условий минимума функционалов энергии исходного сплайнового однородного дифференциального уравнения. Обобщение методов формирования функциональных сплайнов заключается в применении метода С.Г. Михлина для получения квадратичного функционала энергии оператора решаемого дифференциального уравнения.

При моделировании поверхностей сплайны нужно применять в параметрической форме, а для этого нужно иметь сетку интерполяционных узлов, которая не известна. Вариационная постановка, предложенная Э.Ю.

Курчатовым и В.Ф. Снигиревым для задачи нахождения сетки интерполяционных узлов, которую часто называют задачей параметризации, позволяет также определить и оптимальные сплайны. Поэтому решение задачи параметризации можно находить также как и решение задачи оптимизации. Все эти разработки могут быть приведены к теории обобщенных решений С.Г. Михлина.

Таким образом, в работе предложена общая постановка задачи для оптимизации балочных элементов конструкций максимальной жесткости и получения функциональных сплайнов минимальной жесткости с целью совершенствования и развития методов оптимального проектирования авиационных конструкций и методов математического моделирования произвольных аэродинамических поверхностей J1A. Эти постановки и разработанные по ним методы позволяют лучше решить следующие задачи: - разработки методов проектирования, математического обеспечения для выбора оптимальных параметров элементов конструкции агрегатов и обводов

JIA при заданных ограничениях с учетом их компромиссного характера и неопределенности реализации проектных решений на ранних стадиях проектирования ЛА, а также при оптимизации готовых проектов или изделий; - применения конструкторско-технологических решений, использующих системы и средства автоматизированной подготовки производства, позволяющие проводить опережающую подготовку производства, автоматизировано разрабатывать технологические процессы проектирования, программирования и информационное обеспечение при производстве летательных аппаратов, включая технологию и средства размерной увязки агрегатов и изготовления технологических поверхностей, оснастки и деталей на оборудовании с ЧПУ.

Для решения поставленных задач использовалась математическая теория обобщенных решений операторных уравнений и методы численного анализа: метод конечных элементов, метод Ритца, метод неопределенных множителей Лагранжа, метод наискорейшего спуска (градиентный метод), вычислительный эксперимент на специально построенных задачах сравнения с известным аналитическим решением.

Научную новизну работы составляют разработанные методы:

1. Метод оптимального проектирования балочной конструкции максимальной жесткости, обобщающий известные методы для случая малых прогибов;

2. Получен балочный конечный элемент с линейным изменением жесткости в пределах конечного элемента;

3. На основе теории обобщенных решений предложен метод получения функциональных одномерных сплайнов минимальной жесткости;

4. На основе теории обобщенных решений предложен метод решения задачи параметризации для одномерных сплайнов.

Практическую ценность работы составляют приложения разработанных методов и алгоритмов для решения задач оптимального проектирования балочных конструкций и задания обводов:

1. Решены задачи оптимального проектирования балочных элементов конструкций с применением конечных элементов постоянной и линейной жесткости;

2. Выполнены применения сплайнов минимальной жесткости для моделирования реальных обводов самолетов, подтверждающие их эффективность при сравнении с известными методами.

Достоверность задачи оптимального проектирования обусловлена сравнением с известными аналитическими решениями, сопоставлением с результатами, полученными ранее другими авторами, анализом физического смысла тестовых результатов.

Достоверность задач получения сплайнов минимальной жесткости обоснована применением теории обобщенных решений операторных уравнений, численными исследованиями сходимости на тестовых задачах и при моделировании реальных обводов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обобщенный метод оптимального проектирования балочных конструкций максимальной жесткости;

2. Балочный конечный элемент с линейным изменением жесткости;

3. Метод получения одномерных сплайнов минимальной жесткости;

4. Метод решения задачи параметризации;

5. Алгоритм математического моделирования поверхностей произвольной формы с применением предлагаемых сплайнов.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы (140 наименований).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Выполнено развитие известного метода определения проектных параметров конструкций наибольшей жесткости, основанного на условии минимума потенциальной энергии деформации: для решения задачи проектирования конструкции наибольшей жесткости предложено выполнять минимизацию функционала полной потенциальной энергии конструкции, а не функционала потенциальной энергии конструкции, как в известной постановке. В результате получается совместная система уравнений для анализа и проектирования конструкции. Также предложен общий метод получения функционала полной потенциальной энергии решаемой задачи для задач, описываемых линейными операторными уравнениями с симметричным положительно определенным оператором. ,

2. Получен балочный конечный элемент с линейным изменением ф. жесткости по своей длине, аппроксимирующий функцию изгибной жесткости конструкции кусочно-линейной функцией, а не кусочно-постоянной как известный балочный конечный элемент постоянной жесткости, что повышает точность оценки напряженно-деформированного состояния при тех же вычислительных затратах. Выполнена реализация алгоритма метода конечных элементов для анализа балочной конструкции переменной жесткости с использованием конечного элемента с линейным изменением жесткости по своей длине.

3. Разработанные методы применены для анализа и проектирования балочной конструкции наибольшей жесткости: выполнена реализация алгоритма для проектирования балочной конструкции наибольшей жесткости, моделируемой балкой с кусочно-постоянной и кусочно-линейной функцией жесткости. В математическом алгоритме для решения задачи анализа применен метод конечных элементов с использованием известного и разработанного балочных конечных элементов. А также проведены вычислительные эксперименты для исследования алгоритма проектирования балочной '4 конструкции наибольшей жесткости. На примерах показана практическая сходимость получившегося численного решения.

4. Выполнено развитие метода получения функциональных сплайнов из условий минимума функционала полной энергии оператора исходного сплайнового уравнения. Данный функционал полной энергии оператора сплайнового уравнения равен удвоенному функционалу потенциальной энергии деформации неразрезной многоопорной балки при заданных смещениях ее опор, если исходное сплайновое уравнение принять в качестве уравнения деформирования неразрезной многоопорной балки переменной изгибной жесткости.

5. Из условий минимума функционала полной энергии оператора исходного сплайнового уравнения предложено получать кубический сплайн минимальной жесткости и сплайн минимальной кусочно-линейной жесткости,

0- Для нахождения управляющих коэффициентов участков кубического сплайна кусочно-постоянной жесткости и узлов сплайна кусочно-линейной жесткости можно формулировать и другие дополнительные условия в зависимости от целей исходной прикладной задачи, в алгоритме реализации которой решено применить рассматриваемые сплайны. Также выполнена реализация алгоритмов вычисления кубического сплайна минимальной жесткости, сплайна минимальной кусочно-линейной жесткости и комбинированного сплайна. На примерах проведены исследования сходимости решения задачи интерполирования с применением полученных сплайнов. В частности, решена прикладная задача интерполирования линии аэродинамического крылового профиля П226 - 9,5 самолета Ту - 214.

6. Выполнено развитие метода нахождения узлов сетки для параметрических сплайнов из условий минимума функционала полной энергии оператора исходного сплайнового уравнения, предложенного в работах В.Ф.Снигирева и Э.Ю.Курчатова. Разработанный метод применен для нахождения узлов сетки для параметрических кубического сплайна кусочно-постоянной жесткости и сплайна кусочно-линейной жесткости.

7. Выполнено развитие численного метода решения обратной задачи параметризации для точечной математической модели поверхности при расположении ее точек в плоских сечениях, не пересекающихся в пределах рассматриваемой поверхности, с применением сплайнов, предложенного в работах Снигирева В.Ф. В разработанном методе в качестве параметризации выполнена параметризация, полученная из условий минимума функционала полной энергии оператора исходного сплайнового уравнения, а не равномерная, что позволяет повысить качество задания поверхности.

8. На примерах проведены исследования сходимости решения задачи параметризации с применением разработанных методов для кубического сплайна кусочно-постоянной жесткости. В частности, решены прикладные задачи параметризации профиля П226 - 9,5 крыла самолета Ту - 214 и поверхности откидной части фонаря истребителя Су - 27.

1. Альберг Дж. Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. Пер. с англ.-М.: Мир, 1972.-318 с.

2. Бабиков П.Е. Модифицированная версия комплекса программ для вычисления геометрических характеристик таблично заданных поверхностей сложной конфигурации (АРГОЛА, вып. 13А) // Тр. ЦАГИ. Вып. 2134.-М.: Изд. ЦАГИ, 1982. 67 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 632 с.

4. Бирюк В.И., Липин Е. К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов. М.: Машиностроение, 1977. - 232 с.

5. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. Пер. с англ. М.: Мир, 1974. - 128 с.

6. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. -Новосибирск: Наука, 1983.-216 с.

7. Василенко В.А., Переломов Е.М. Сплайн-интерполяция в прямоугольнойобласти с хаотически расположенными узлами // Машинная графика и ее применения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. - С. 96 - 103.

8. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность. Казань: Татар, кн. изд., 1975. - 212 с.

9. Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. М.: Вузовская книга, 2000. - 320 с.

10. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. - 248 с.

11. Голованов А.И., Песошин А.В., Тюленева О.Н. Современные конечно-элементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций. -Казань: КГУ, 2005. 442 с.

12. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 208 с.

13. Гриценко В.И., Расторгуев Г.И. Определение пластической зоны вокруг подкрепленного отверстия в пластине // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд-во НЭТИ, 1992.-С. 47-54.

14. Дьяконов В.П. Maple 7: Учебный курс. СПб.: Питер, 2002. - 672 с.

15. Завьялов О.Ю., Снигирев В.Ф. Точный метод нахождения ориентированной касательной плоскости к аэродинамической поверхности, заданной кубическими вектор-сплайнами // Изв. вузов. Авиационная техника. 1996. - № 1. - С. 16-20.

16. Завьялов Ю.С. Проблемы автоматизации обработки геометрической информации в технике // Сплайн-функции в инженерной геометрии. -Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1981. С. 3 - 8 (Вычисл. системы; Вып. 86).

17. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. -М.: Наука, 1980.-352 с.

18. Завьялов Ю. С., Леус В. А., Скороспелов В. А. Сплайны в инженернойгеометрии. М. Машиностроение, 1985. - 224 с.

19. Ц 22. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.-544 с.

20. Интегрированная электротехнология в модельном производстве / В.П. Ситников, В.И Полянин, В.К. Исаев, И.Г. Каримуллин // Тез. докл. конф. Гибкие производственные системы в электротехнологии (ГПС ЭМО-88). -Уфа: 1988.-С. 65-66.

21. Исаев В.К. Геометрическая информатика интегрированных систем электротехнологии // Тез. докл. конф. Гибкие производственные системы

22. Щ в электротехнологии (ГПС ЭМО-88). Уфа: 1988. - С. 67 - 68.

23. Исаев В.К., Григорьев Е.А. О граничных условиях для параметрических кубических сплайнов // Тез. докл. семинара Современные достижения в области механической обработки криволинейных поверхностей на станках с ЧПУ. Ленинград: 1983. - С. 37 - 42.

24. Исаев В.К. Малахов А.И. О задаче интерполяции таблично заданной в R3 кривой // В кн.: Методы сплайн-функций (Вычислительные системы), вып. 93. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1982. - С. 61 - 65.

25. Исаев В.К. Методы управляемого геометрического проектирования в теории ГПС // Тез. докл. VI Международной конф. по гибким производственным системам (Пула, СФРЮ). М.: 1989. - С. 35 - 37.

26. Исаев В.К., Плотников С.А. Обратная задача чебышевского приближения на классе сплайнов первой степени // В кн.: Сплайн-аппроксимация и численный анализ (Вычислительные системы), вып. 108. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1985. - С. 44 - 62.

27. Исаев В.К., Хмелев А.К. О задачах формирования плоских кривых общеговида в режиме диалога // В кн.: Методы сплайн-функции в численном Ш анализе (Вычислительные системы), вып.98. Новосибирск: 1983. - С.131 133.

28. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

29. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Перевод с нем. М.: Наука, 1971. - 576 с.

30. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 360 с.

31. Квасов Б.И. О краевых условиях при интерполяции параболическими сплайнами // Методы сплайн-функций. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1981. - С. 11 - 17 (Вычисл. системы; Вып. 87).

32. Комаров А.А. Основы проектирования силовых конструкций. -Куйбышев, 1965. -88 с.

33. Комаров В.А. Проектирование конструкций с наивыгоднейшим Щ распределением материала // Труды КуАИ. Вып.54. 1971. - С. 3 - 8

34. Конструкция самолетов: Учебник для вузов / О.А. Гребеньков, В.П. Гоголин, А.И. Осокин, В.Ф. Снигирев, В.Г. Шатаев: Под ред. О.А.Гребенькова. Казань: Изд-во КГТУ, 1999. - 320 с.

35. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. - 208 с.

36. Корнишин М.С., Паймушин В.Н. К вопросу о параметризации срединной поверхности пластин и оболочек со сложной границей // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. Вып. IX. - Казань, 1977. - С. 17-25.

37. Корнишин М.С., Паймушин В.Н. Соотношения теории среднего изгиба тонких пластин и пологих оболочек с формой в плане в виде косоугольного четырехугольника. Казань: Казан, физ.-техн. ин-т КФ АН СССР, 1977. - С. 5 - 18 (Тр. семинара; Вып. 8).

38. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Андреев С.В. К вариационным методам ф исследования устойчивости тонких оболочек сложной геометрии // Тр.

39. XII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин: В 3 т. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1980. - Т.1. - С. 67 - 72.

40. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Фирсов В.А. К решению двумерных задач механики деформирования оболочек сложной геометрии // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1980. - Вып. 60. - С. 70 - 79.

41. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Якупов Н.М. К расчету гибких двусвязных пластин сложного очертания // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. -Казань: Казан, авиац. ин-т, 1980. С. 48 - 52.

42. Корнишин М.С., Якупов Н.М. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта МКЭ //ф1 Прикладная механика. 1989. - Т.25, Т.8. - С. 53 - 60.

43. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Сплайновый вариант МКЭ в сферических координатах // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация научных исследований. Горький, 1988.-С. 74-80.

44. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Сплайновый вариант метода конечных элементов для расчета оболочек сложной геометрии // Прикладная механика. 1987. - Т.23, Т.З. - С. 38 - 44.

45. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы: В 2 т. М.: Наука, 1976. Т.1. 304 с.

46. Крылова Т.В., Лигун А.А. Выбор узлов сплайна для приближенного решения дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1985. -№9.-С. 27-31

47. Курчатов Э.Ю., Снигирев В.Ф. Наилучший выбор узлов сплайна приавтоматизации проектирования обводов // Математические и Р экспериментальные методы синтеза технических систем. Казань, 1989. 1. С. 38-43

48. Куршин J1.M., Расторгуев Г.И. О подкреплении контура отверстия в пластинке // Известия АН СССР. МТТ. 1979. - №6. - С. 94 - 102

49. Лигун А.А., Сторчай В.Ф. О наилучшем выборе узлов при приближении функций локальными эрмитовыми сплайнами // Украинский математический журнал. 1980. - Т.32. - №6. - С. 828 - 834

50. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Сплайн-аппроксимация функций. М.: Высшая школа, 1983. - 80 с.

51. Малинин М.Ю., Снигирев В.Ф. Конечный элемент слоистой произвольной оболочки типа Тимошенко // Актуальные проблемы механики оболочек: Тез. докл. II Всесоюз. совещания-семинара молодых ученых. Казань: Казан, инж.-строит. ин-т, 1985. - С. 126.

52. Малинин М.Ю., Снигирев В.Ф. Треугольный конечный элемент пологой оболочки типа Тимошенко // Механика композит, материалов. 1985. -№5.-С. 873-877.

53. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. -456 с.

54. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно сеточные методы. -М.: Наука, 1981.-416 с.

55. Методы оптимизации авиационных конструкций / Н.В.Баничук, В.И.Бирюк, А.П.Сейранян и др. М.: Машиностроение, 1989. - 296 с.

56. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. - 576 с.

57. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления неограниченного оператора // Журн. вычисл. математики и мат. физики. -1971.-Т.П.-№3.-С. 545-548.

58. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB.

59. М.: Изд. дом "Вильяме", 2001. 720 с.0 66. Мяченков В.И., Мальцев В.П., Майборода В.П. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник. М.: Машиностроение, 1989. - 520 с.

60. Никольский С.М. Обобщенная производная // Мат. энцикл. 1982. - Т.З, Коо-Од.-С. 1103- 1104.

61. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей. -М.: Машиностроение, 1979. -248 с.

62. Осипов В.А. Теоретические основы формирования системы машинной геометрии и графики. -М.: МАИ, 1983. 34 с.

63. Павлов Н.Н. О граничных условиях в задаче сглаживания кубическими сплайнами // Методы сплайн-функций. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1981. - С. 53 - 61 (Вычисл. системы; Вып.87).

64. Павлов Н.Н., Скороспелов В.А. Моделирование кривых и поверхностей в системе автоматизации геометрических расчетов // Сплайн-функции в инженерной геометрии. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1981. - С. 44 - 59 (Вычисл. системы; Вып.86).

65. Паймушин В.Н. Задача параметризации срединной поверхности оболочексо сложным контуром в плане и об одном методе ее решения // Исследования по теории оболочек. Казань: Казан, физ.-техн. ин-т КФ АН СССР, 1978. - С. 66 - 78 (Тр. семинара; Вып. 10).

66. Паймушин В.Н. К задаче параметризации срединной поверхности оболочки сложной геометрии // Прочность и надежность сложных систем. Киев: Наук, думка, 1979. - С. 26 - 33.

67. Паймушин В.Н. К проблеме расчета пластин и оболочек со сложным контуром // Прикл. механика. 1980. - Т. 16. - №4. - С. 63 - 70.

68. Паймушин В.Н. Некоторые задачи статики незамкнутых оболочек сложной формы и об одном методе их численного решения // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1979. -С. 61- 74.

69. Погорелов А.В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука, 1967. - 280 с.

70. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. 6-е изд., стер. М.: Наука, 1974.- 176 с.

71. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: "Судостроение", 1974. - 344 с.

72. Принципы автоматизации программирования технологических процессов. / В.Е. Зайцев, В.К. Исаев, С.В. Скородумов, С.В. Сухов // Тез. докл. Всесоюзной конференции по программному обеспечению. Ярополец: 1987.-С. 21.

73. Пустовой Н.В., Расторгуев Г.И., Шлыкова О.Н. Оптимальное распределение толщины вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Научный вестник НГТУ. 1999. - №1. - С. 64 - 73.

74. Расторгуев Г.И. Исследование пластических зон вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Сб. трудов Межвуз. научной конференции "Численно-аналитические методы решения краевых задач".

75. Новокузнецк: Издательство филиала Кемеровского гос. ун-та в Щ г.Новокузнецке.- 1998.-С. 62-64.

76. Расторгуев Г.И. К решению задачи оптимизации формы сечения призматического стержня с продольной полостью, изготовленного из анизотропного материала // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1989.-№8.-С. 27-31.

77. Расторгуев Г.И. Определение формы сечения анизотропного призматического стержня с продольной полостью из условия максимума крутильной жесткости // Динамика и прочность авиационных конструкций. Новосибирск: Изд - во НЭТИ. - 1989. - С. 56 - 61.

78. Расторгуев Г.И. Оптимальное распределение жесткости подкрепления вдоль края отверстия в пластине при упругопластическом поведении материала // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. -№2. - С. 140 - 153

79. Расторгуев Г.И. Оптимизация жесткостей тонких ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей, в изгибаемой пластине // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1987. - №6. - С. 23 - 27.

80. Расторгуев Г.И. Оптимизация жесткостей тонких ребер, расположенных вдоль концентрических окружностей, в растянутой пластине // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. -Новосибирск: Изд-во НЭТИ. 1987. - №6. - С. 34 -43.

81. Расторгуев Г.И. Оптимизация форм поперечных сечений стержней с круговой продольной полостью // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд - во НЭТИ. -1986.-С. 82-88.

82. Расторгуев Г.И. Оптимальное подкрепление края отверстия в пластине // Научный вестник НГТУ. 1996. - №2. - С. 89 - 98.

83. Расторгуев Г.И. Оптимизация распределений жесткостей тонких ребер впластинах при изгибе // Математическое моделирование процессов в синергетических системах / Тр. Всероссийской науч. конф. Улан-Удэ -Томск: Изд-во ТГУ, 1999. - С. 208 - 212.

84. Расторгуев Г.И. Пластические зоны вокруг подкрепленных отверстий в пластинах // Динамика сплошной среды / Математические проблемы механики сплошных сред. Сб. науч. тр. Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН. - 1999.-Вып. 114. - С. 192 - 195.

85. Расторгуев Г.И. Подкрепление кругового отверстия в пластине равнодеформированным стержнем // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - №2. -С. 167- 172.

86. Расторгуев Г.И., Шлыкова О.Н. Применение отображающих функций комплексного переменного при построении сетки конечных элементов // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. -Новосибирск: Изд-во НЭТИ. 1992. - С. 93 - 99.

87. Расторгуев Г.И., Уваровский Д.С. К решению упругопластических задач методом граничных элементов // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1994.-С. 30-37.

88. Расторгуев Г.И., Уваровский Д.С. Упругопластический расчет ортотропных пластин методом граничных элементов / Тез. докл. Междунар. научно-техн. конф. "Расчетные методы механики деформируемого твердого тела". Новосибирск: Изд-во СГАПС. - 1995. -С. 61.

89. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. -М.: Мир, 1985.-590 с.

90. Садовничий В.А. Теория операторов. 4-е изд., испр. и доп. М.: Дрофа, 2001.-384 с.

91. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

92. Снигирев В.Ф. Алгоритмы построения кубического сплайна, не требующие задания краевых условий // Исследование операций и аналитическое проектирование в технике. Казань: КАИ, 1984. — С. 51 — 56.

93. Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в численных методах анализа оболочек // Актуальные проблемы механики оболочек: Тез. докл. II Всесоюз. совещ.-семинара молодых ученых. Казань: Казан, инж.-строит. ин-т, 1985.-С. 198- 199.

94. Снигирев В.Ф. Вычисление параметров пологой оболочки сложнойгеометрии методами сплайн-функций // Прочность и колебания авиационных конструкций. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1984. - С. 73 -76.

95. Снигирев В.Ф. Вычисление параметров срединной поверхности оболочки методами сплайн функций // Актуальные проблемы механики оболочек. -Казань, КАИ, 1985.-С. 113-121.

96. Снигирев В.Ф. К задаче аналитического построения поверхностей летательных аппаратов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1983. - №4. -С. 100-102.

97. Снигирев В.Ф. К задаче вычисления параметров пологой оболочки // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. -Казань: Казан, авиац. ин-т, 1982. С. 84 - 86.

98. Снигирев В.Ф. К задаче построения рабочей поверхности пуансона гибочной оснастки // Пластическое формообразование деталей авиационной техники. Казань: КАИ, 1983. - С. 80 - 85.

99. Снигирев В.Ф. К построению оптимальных сеток для численного решения задач механики пластин и оболочек // Пятая Всесоюз. конф. по управлению в механических системах: Тез. докл. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1985.-С. 125.

100. Снигирев В. Ф. Неклассический вариант краевых условий для кубического вектор-сплайна // Журнал вычислительной математики и математической физики. Том 36. №12. М.: Наука, 1996. - С. 23 - 27.

101. Снигирев В. Ф. О краевых условиях для кубического сплайна // Исследование операций и аналитическое проектирование в технике. -Казань, 1987. С. 37 -42.

102. Снигирев В.Ф. Параметризация для точечной математической модели фрагмента обвода // Изв. вузов. Авиационная техника. 1994. - № 3. - С. 7-14.

103. Снигирев В.Ф. Построение вырождающегося сплайна для Я геометрического моделирования обводов // Изв. вузов. Авиационнаятехника. 1991. - №2. - С. 66 - 70.

104. Снигирев В.Ф. Построение поверхности оболочки методом сплайн-функций // Прочность и долговечность элементов конструкций летательных аппаратов. Куйбышев: КуАИ, 1984. - С. 47 - 54.

105. Снигирев В.Ф. Построение функциональных сплайнов для проектирования и задания обводов летательных аппаратов // Исследование операций и аналитическое проектирование в технике.

106. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1988. С. 15-21.

107. Снигирев В. Ф. Применение сплайнов для задания обводов летательных аппаратов. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1986. - 74 с. i

108. Снигирев В.Ф. Применение функциональных сплайнов для построения поверхностей летательных аппаратов // Изв. вузов. Авиационная техника, 1984,-№4.-С. 77-80.

109. Снигирев В.Ф. Численное решение задачи параметризации для оболочек // Пластичность и устойчивость в механике деформируемого твердого тела. Калинин: Калининский ун-т, 1984. - С. 102 - 109.

110. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976.-248 с.

111. Сегерлинд J1. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

112. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. - 455 с.

113. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. -349 с.

114. Субботин Ю.Н. Сплайн // Мат. энцикл. 1985. - Т.5, Слу - Я. - С. 143.

115. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостехниздат, 1952.-344 с.

116. Фиников С.П. Теория поверхностей. М.; - JL: ОНТИ, 1934. - 285 с.

117. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 304 с.

118. Херхагер М., Партоль X. Mathcad 2000: полное руководство: Пер. с нем. -К.: Издательская группа BHV, 2000. 416 с.

119. Шенен П., Коснар М., Гардан И., Робер Ф., Робер И., Витомски П., Кастельжо П. Математика и САПР: В 2 кн. Кн. 1. Основные методы. Теория полюсов; Пер. с фр. М.: Мир, 1988. - 208 с.

120. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. М.: МАИ, 1981. - 86 с.

121. Яненко Н.Н., Квасов Б.И. Итерационный метод построения поликубических . сплайн-функций // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1970. -Т.1. -№3. - С. 84-89.

122. Foley Т.A., Nielson G.M. Knot selection for parametric spline interpolation // Mathematical Methods in Computer Aided Geometric Design. T. Lyche, L.L. Schumaker (eds.). Boston: Academic Press, 1989. -P. 261 -271.

123. Greiner G. Variational design and fairing of spline surfaces // Computer Graphics Forum. 1994. - V. 13. - №3. - P. 144 - 154.

124. Hoschek J. Intrinsic parametrization for approximation // Computer Aided Geometric Design. 1988. - V.5. - P. 27 - 31.

125. Lee E T.Y. Choosing nodes in parametric curve interpolation // Computer Aided Design. 1989. - V.21. - P. 363 - 370.

126. Marin S.P. An approach to data parametrization in parametric cubic spline interpolation problems I I J. Approx. Theory. 1984. - V.41. -P.64 - 66.

127. Sapidis N., Farin G. Automatic fairing algorithm for B-splines curves // Computer Aided Design. 1990.-V.22.-P. 121 - 129.

128. Spath H. Spline Algorithms for Curves and Surfaces. Winnipeg: Utilitas Mathematica Publishing Inc., 1974.

129. Zhou D., Cheung Y.K. The free vibration of a type of tapered beams // Computer methods in applied mechanics and engineering. 2000. - №188. - P. 203 -216.