автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Напряженно-деформированное состояние оболочек вращения с ветвящимся меридианом с учетом физической нелинейности материала

а

На правах рукописи

Джабраилов Арсен Шахнавазович

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С ВЕТВЯЩИМСЯ МЕРИДИАНОМ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ МАТЕРИАЛА

Специальность 05 23 17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ООЗ159650

Волгоград 2007

003159650

Работа выполнена в ФГОУ сельскохозяйственная академия» Научный руководитель

Официальные оппоненты

«Волгоградская государственная

доктор технических наук, профессор

Клочков Юрий Васильевич доктор технических наук, профессор Пшеничкина Валерия Александровна кандидат технических наук, доцент Воронкова Галина Вячеславовна

Ведущая организация Волгоградский государственный

технический университет

Защита состоится 24 октября в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 026 01 в ГОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу 400074, г Волгоград, ул Академическая, д 1. оуа 203

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат разослан 21 сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

^-Л В Кукса

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Актуальность проблемы. На сегодняшний день оболочечные конструкции различной конфигурации находят широкое применение в различных отраслях промышленности Современный уровень развивающихся довольно быстрыми темпами отраслей нефтехимического и газового комплекса требует применения достаточно сложных оболочечных конструкций, в частности оболочек вращения с ветвящимся меридианом Это всевозможные емкости, резервуары, трубопроводы, сосуды, работающие под давлением и другие В процессе эксплуатации данные конструкции и их элементы испытывают воздействия как внутренних, так и внешних силовых факторов Наиболее актуальной является проблема оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) в зонах концентраций напряжений, то есть в зонах, непосредственно примыкающих к узлам ветвления меридиана

Целью работы является разработка корректных кинематических и статических условий сопряжения нескольких оболочек вращения, разработка алгоритмов расчета ветвящихся оболочек вращения при использовании конечных элементов (КЭ), матрицы жесткости которых формировались на основе векторного способа аппроксимации перемещений, учет физической нелинейности применяемого материала

Научная новизна работы заключается в следующем

- разработаны корректные кинематические и статические условия сопряжения для осесимметрично и произвольно нагруженных оболочек вращения с ветвящимся меридианом,

- разработаны алгоритмы расчета ветвящихся оболочек вращения при использовании КЭ одной мерности и дискретных элементов треугольной формы с различным числом узловых варьируемых параметров, матрицы жесткости которых формировались на основе векторного способа интерполяции перемещений,

- для ветвящихся оболочек вращения со значительными градиентами кривизны меридиана или допускающими в процессе эксплуатации жесткие смещения выполнен сравнительный анализ конечно-элементных решений, полученных при повариантном использовании векторной аппроксимации

перемещений и интерполяции компонент вектора перемещения как скалярных величин, доказана высокая эффективность векторного способа аппроксимации перемещений при расчете оболочек вращения с ветвящимся меридианом,

- на основе деформационной теории пластичности разработан алгоритм расчета ветвящихся оболочек вращения с учетом физической нелинейности применяемого материала,

- для оболочек вращения со значительной -кривизной меридиана и оболочек, допускающих смещения как жесткого целого выполнен сравнительный анализ конечно-элементных решений, полученных при использовании изопараметрических конечных элементов и конечных элементов, геометрические параметры которых вычислялись по точным формулам, описывающим срединную поверхность

Достоверность результатов диссертационной работы основывается на сопоставлении результатов тестовых примеров, полученных с помощью разработанного алгоритма, с результатами исследований, достигнутыми аналитическим путем по общеизвестным формулам, с результатами, полученными другими авторами, а также на основании анализа сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемых конструкций и различном числе шагов нагружения при решении физически нелинейной задачи

Практическая ценность диссертационной работы заключается в разработке корректных кинематических и статических условий сопряжения нескольких оболочек вращения, разработке алгоритмов расчета сболочечных конструкций с ветвящимся меридианом при использовании элементов дискретизации, матрицы жесткости которых формировались на основе векторной аппроксимации перемещений Математические алгоритмы, реализующие теоретические результаты диссертации, включены в программный комплекс для компьютеров класса Pentium по расчету на прочность нефтехимических аппаратов с учетом физической нелинейности материала, внедренный в Волгоградском представительстве ин кенерно-технологического предприятия ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ»

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной научно-практической конференции, посвященной 40-летию

эколого-мелиоративного факультета «Современные оросительные мелиорации-состояние и перспективы» (Волгоград, 2004), V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела» (г. Саратов, август 2005), на Международной молодежной научной конференции «XXXIII Гагаринские чтения» (г Москва, апрель 2007), на объединенном научном семинаре кафедры «Мелиоративное и водохозяйственное строительство» (ВГСХА г Волгоград,2007)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них три - в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК к

Структура и объем работы Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 193 наименований, содержит 15 рисунков, 15 таблиц Вся работа изложена на 195 страницах

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, формулируются ее основные цели и задачи, дается краткое описание отдельных глав, характеристика научной новизны, достоверности, обосновывается практическая ценность

В первой главе произведен краткий обзор развития метода конечного элемента в расчетах оболочек вращения

На основании анализа большого количества работ отечественных и зарубежных авторов выявлены основные проблемы и недостатки, с которыми приходится сталкиваться при анализе НДС оболочек вращения при различном характере нагружения Так, например применение высокоточных КЭ к расчету ветвящихся оболочек требует разработки соответствующих условий сопряжения В имеющихся публикациях, относящихся к данной тематике (например, Куранов Б А, Скопинский В Н ) в узле ветвления меридиана используются конечные элементы с уменьшенным числом узловых варьируемых параметров, что значительно снижает точность вычислений Широкое использование в конечноэлементном анализе оболочек изопараметрических конечных элементов обосновывается их способностью учитывать смещения элемента дискретизации как жесткого целого, что является не вполне корректным Отсутствуют работы по исследованию

напряженно-деформированного состояния оболочек вращения с большими градиентами кривизны меридиана

Во второй главе при использовании гипотезы прямых нормалей на основе тензорных уравнений механики сплошной среды получены соотношения для компонент тензора деформаций и искривлений точки срединной поверхности оболочки вращения

В третьей главе рассматривается алгоритм расчета осесимметрично нагруженных оболочек вращения с ветвящимся меридианом при использовании различных способов аппроксимации перемещений В данной главе описывается алгоритм формирования матрицы жесткости одномерного конечного элемента с различным Числом узловых варьируемых параметров, рассмотрены особенности вычисления геометрических величин в методе конечных элементов, приведены примеры решения тестовых задач

В качестве набора узловых варьируемых параметров выбирался столбец узловых перемещений в двух вариантах

КУ={КГ,к„П 0)

где буква п указывает вариант вектора узловых перемещений (п=1,2), {и ,}г = {к'ич;,и,'щ\ {™у,}т = к,;},"

{иу2}т = {и'ы'и,;и,<„,<,}' НзК = КЛ

и, , и,щ, ум, , м/,^ - меридиональные и нормальные компоненты вектора перемещения, их первые и вторые производные по локальной координате т\ соответственно

Компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности оболочки вращения можно выразить через столбцы узловых перемещений в традиционной формулировке

" = {фЛткЛ> ^=к,ГкЛ (2>

где фя и Ц1п- функции формы, определяемые полиномами Эрмита третьей и пятой степени соответственно

Ыт = №АК},{¥,}г = {ф,}г, (3)

КГ ={в1вг8з8*8*8«}> {¥2Г = {фг}7

При векторном способе аппроксимации перемещений столбцы двух вариантов векторных узловых неизвестных в локальной г/ и глобальной 5" системах координат представлялись следующим образом

у' у:ч У' у>: у Л

{у;2}т = {у' У' П ?:чщ к>„1 (4)

{у;2}т={у' у' у,: у,: к у/Л

где V - вектор перемещения точки срединной поверхности оболочки вращения,

VV, У,^- первая и вторая производные вектора перемещения по локальной ц и глобальной 5 координатам соответственно

Суть векторной аппроксимации заключается в использовании интерполяционного выражения для вектора перемещения произвольной точки конечного элемента в виде

у=Шт{у,:1 (5)

где элементами {фп} являются полиномы Эрмита

Связь между столбцами векторных узловых неизвестных в локальной и глобальной системах координат можно представить матричным соотношением

й=[а]й (6)

Размер матрицы \Ьп\ зависит от варианта столбца векторных узловых неизвестных В первом варианте он равен 4x4, во втором - 6x6

Столбец векторных узловых неизвестных в глобальной системе координат можно представить матричным произведением

{к МЛЫ О)

где |Ап\ - матрица, ненулевыми элементами которой являются узловые векторы базиса ё,0' , е°', а элементы столбца содержат многочлены, включающие в

себя компоненты вектора перемещения и их производные по соответствующим криволинейным координатам

Вектор можно выразить через обычный вектор узловых варьируемых

параметров {с/] .

сю

Принимая во внимание (6), (7) и (8) выражение (5) можно записать в виде

>МфЛгЫ[АМ^;} (9)

В результате преобразований равенство (9) можно представить следующим образом

у-^ЛАЬЛ сю)

где ^ } = \Оп ][лф; }, а матрица ¡С?, ] удовлетворяет следующему условию

№]=№.! (п)

Матрица ] может быть представлена матричной суммой

[ЯЬгМ+г'к! (12)

Принимая во внимание (12) выражение (10) можно записать в виде

Г = (13)

Вектор перемещения произвольной точки срединной поверхности осесимметричной оболочки вращения может быть представлен в локальном базисе этой же точки следующим образом

У=иё°+ (14)

Таким образом, будет справедливым выражение

ие," + =Ы {e:\AlW\AltzJ (15)

Выполнив дифференцирование правой и левой частей выражения (15) и приравнивая выражения при соответствующих базисных векторах можно получить соотношения для компонент вектора перемещения и их производных по меридиональной координате

ЫЮ+ь», №„,}-ь, (16)

где к =

Таким образом, из (16) видно, что любая компонента вектора перемещения внутренней точки конечного элемента зависит от полного набора узловых варьируемых параметров в состав которого входят значения всех компонент

При традиционном способе интерполяции (2) каждая компонента вектора перемещения интерполируется только через свои же узловые значения и не зависит от других компонент

Для формирования матрицы жесткости и вектора сил используется принцип возможных перемещений, то есть условие равенства работ внешних и внутренних сил на возможном перемещении

Ш{*М=рУ{Р}<1А. (17)

V F

В качестве условий сопряжения п осесимметрично нагруженных оболочек вращения при первом варианте столбца узловых варьируемых параметров {£/*,} использовались инвариантность вектора перемещения узла ветвления и предположение о равенстве углов поворота нормалей в процессе деформирования При выборе второго варианта столбца узловых неизвестных {{У^} в качестве условия сопряжения дополнительно привлекалось статическое уравнение равенства нулю суммы моментов в узле ветвления меридиана

На следующих примерах показаны преимущества второго варианта столбца узловых варьируемых параметров {£/* г}

Пример №1. В качестве примера решена задача по определению НДС оболочечной конструкции, загруженной внутренним давлением интенсивностью q и состоящей из цилиндра, с примыкающими к нему двумя конусами Исходные

данные выбраны следующие я=5 МПа, Я=80 см, 1,=60 см, 12=60 см, 13=110 см, Е=2 10б МПа, У=0,3, 1=0,01 м, а =45°, ¡3=30° Результаты расчета представлены в таблице №1, в которой приведены значения меридиональных напряжений во внутренних волокнах и на срединной поверхности оболочки в характерных точках, в зависимости от числа элементов дискретизации п, каждой из трех сопрягаемых оболочек

Таблица №1

п э Напряжение, Координата X, см

МПа 60 0 111 96 137 78

4 о? 33,89 -0,02 0,91

8 ст" м 17,48 0,00 0,51

Л н I 16 12,04 0,00 -0,04

ей К си л 03 СЪ <и 32 11,05 0,00 -0,09

64 ст4" м 10,86 0,00 -0,04

О а: 4 11,92 0,00 0,81

II 8 О? 10,87 0,00 -0,15

16 сг" ы 10,86 0,00 0,00

Сравнительный анализ использования различных вариантов наборов узловых неизвестных, представленных в таблице №1, позволяет сделать вывод о предпочтительности использования в качестве основных узловых неизвестных компонент вектора перемещения, а также их первых и вторых производных по локальной координате Ц, то есть столбца |?У*21

Эффективность применения векторного способа аппроксимации перемещений при анализе НДС осесимметричных ветвящихся оболочек вращения подтверждена конкретными примерами

Пример №2. В качестве примера была решена задача по определению НДС оболочечной конструкции (рис 1), состоящей из цилиндра и примыкающих к нему двух оболочек, радиусы вращения срединных поверхностей которых задавались уравнениями

а г, = Ь^1а2 -х2 ! а, г2 = Е + х гф (18)

Бьши приняты следующие исходные данные д=5 МПа, 1^=90 см, 11=100 см, 12=60 см, 13=120см, Е=2 106 МПа, У=0,3,1=0,02 м, ¡3=30°, а=130 см, Ь=90 см

Расчет производился при различных вариантах интерполяции перемещений В первом варианте при формировании матрицы жесткости применялся .традиционный способ аппроксимации перемещений (2), а во втором варианте матрица жесткости была сформирована на основе векторной интерполяции перемещений (5) В качестве элемента дискретизации был использован линейный элемент, со столбцом узловых варьируемых параметров В крайней левой

точке конструкция имела пружинную опору, позволяющую оболочке смещаться в осевом направлении как абсолютно жесткое тело Результаты расчета данной конструкции представлены в таблице №2, В которой содержатся значения меридиональные напряжений на срединной поверхности и во внутренних волокнах, а также кольцевые напряжения на срединной поверхности оболочки в характерных точках при количестве элементов дискретизации каждой из сопрягаемых оболочек равном 12

Анализ данных, представленных в таблице №2 показывает, что при векторном способе аппроксимации перемещений наблюдается стабильность контролируемых

Рис 1

Таблица №2

Напряжение, МПа Варианты интерполяции перемещений

Независимая интерполяция Векторная интерполяция

* < 215,62 215,41 213,53 215,68 215,68 '215,68

■т о 1 4,16 4,09 3,56 4,20 4,20 4,20

л а 84,62 84,56 84,07 84,63 84,63 84,63

с; (Я >ч се <5™ и -3,82 -39,05 -340,30 0,06 0,06 0,06

и О 2 < -0,09 -1,25 -11,18 0,05 0,05 0,05

33 < 35,33 -407,29 -4192,2 84,33 84,33 84,33

Жесткое смещение, см 1,89 18,91 189,12 1,89 18,91 189,12

параметров НДС, несмотря на значительную величину жесткого смещения, достигающую 1,89 м Использование традиционной интерполяции компонент вектора перемещений как скалярных величин не дает возможности учитывать смещение оболочки как жесткого целого

В четвертой главе для п сочленяемых оболочек вращения при произвольном характере нагружения разработаны корректные кинематические и статические условия сопряжения на границе их пересечения Для этого столбец узловых варьируемых параметров одной из сопрягаемых оболочек (например, первой) необходимо принять в качестве основного Узловые неизвестные остальных (п-1) сопрягаемых оболочек необходимо выразить через компоненты столбца узловых варьируемых параметров основной оболочки В качестве элемента дискретизации выбирался треугольный конечный элемент с различным числом степеней свободы в узле В узлах ветвления меридиана вводились следующие столбцы узловых неизвестных

= ^«4;«4 V' <}, (19)

1x27

Ы" = ки'и*< О <,}> (20)

1x27 1x27

{с/';}; ={и'Н'иЧ; <«>;,■< <У <}, (22)

1x27

где {(У*}, {[/*„}- столбцы узловых варьируемых параметров основной оболочки в

системах {ё'1'} и {т>(1)} соответственно, {/У*}, {£/'*,}- то же самое для примыкающих

оболочек в системах {<?(,)} и /и^,- компоненты вектора

перемещения и их производные в соответствующих системах базисных векторов

При формировании матрицы жесткости и вектора сил треугольного КЭ основной оболочки в узлах, расположенных на границе их пересечения, осуществляется переход от столбца узловых неизвестных (19) к столбцу (20) Для примыкающих оболочек в узлах ветвления после формирования матрицы жесткости и столбца узловых нагрузок выполняются преобразования, обусловленные переходом от столбца узловых варьируемых параметров (21) к столбцу (22), а затем к столбцу (20) (рис 2)

При формировании матрицы жесткости использовалась векторная аппроксимация перемещений Столбцы векторных узловых неизвестных треугольных конечных элементов с размерами матриц жесткости 27x27 и 54x54 соответственно, выбирались в виде

{?;} = {грг'К; ?,{у:щ У/„ У,\}, (2з>

1x9

{у'\={у'у'у1у;., у,", у;.., у," у;- у/, у,1. }

Су) I' 'с > ' -II' > ' '»и' ч 'ъч 'чц)

1x18

Первым условием сопряжения п оболочек является условие инвариантности вектора перемещения узла сопряжения

уМ=уЫ= уи= =уЫ (24)

Из равенства (24) можно получить выражения для компонент вектора перемещения любой из примыкающих оболочек в виде

(25)

где под понимается любая из компонент вектора перемещения г-ой

примыкающей оболочки

Так как линией пересечения сопрягаемых оболочек является окружность, то

при выбранных системах базисных ортов (рис 2) будет справедливым выражение

Рис 2

дуМ /¿¡у« = -дуЮ /ауМ (26)

Из равенства (26) можно получить соотношения для производных компонент вектора перемещения по криволинейной координате При повторном

дифференцировании (26) можно получить выражения для вторых производных компонент вектора перемещения 1-ой сопрягаемой оболочки

дг? (,)/а?,№ =з2г(1)/д5,№ (27)

Третьим условием сопряжения п оболочек является предположение о том, что углы поворота нормалей в узлах ветвления меридиана в процессе деформирования остаются неизменными

(эки/ау,м) = -(дУ(,]/а^(1)) я(,) (28)

Из соотношения (28) можно получить выражение для первой производной нормальной компоненты вектора перемещения по дуге меридиана

(29)

В результате дифференцирования (29) по дуге кривой пересечения можно определить смешанную производную нормального перемещения любой из примыкающих оболочек

д2и>0)/з^'а^1 = /2({£/0!}) (зо)

В узлах ветвления также должны выполняться условия статики о равенстве нулю суммы сил и суммы моментов, которые можно представить следующим образом

Г(1) + Г(2) + +Г(,)+ +Гм=б, (31)

М01 + М(2) + +М(,)+ + М("> = б (32)

Из соотношений (31) и (32) можно выразить первую производную кольцевого перемещения и вторую производную нормального перемещения в направлении соответственно для 1-ой сопрягаемой оболочки

Остальные компоненты всех примыкающих оболочек остаются свободно варьируемыми, а матрицы жесткости и столбцы внешней нагрузки КЭ, в узлах, расположенных на кривой пересечения необходимо умножать матрицу преобразований, скомпонованную на основе разработанных условий сопряжений (24 32)

Пример№3. Был выполнен расчет оболочки вращения с ветвящимся меридианом, состоящей из цилиндра с примыкающими к нему двумя оболочками, радиусы вращения которых определялись следующим образом (рис 3)

г, = Ьл]а2 -х\ 1а, гг = Я_ + (15ш(х2 / с)

Оболочка загружалась внутренним давлением интенсивности я Исходные данные были приняты следующие а=1,3м, Ь=0,9м, Кг=0,9м,ё=0,3,С=0,12, Е=2 103 МПа, 1=0,02м, у=0,3, 4=5 МПа Осевая координата XI изменялась в пределах 0<Х1<1,2м, а х2-0<х2<0,06л м Расчеты выполнялись в двух вариантах В первом варианте использовалась традиционная аппроксимация перемещений, во втором

варианте - векторная Результаты расчетов данной конструкции при шарнирном опирании представлены в таблице №3, в которой приведены значения меридиональных напряжений во внутренних и наружных волокнах, а также на срединной поверхности оболочки в характерных сечениях (точки 1,2,3)

Анализ данных таблицы №3 позволяет сделать вывод о том, что при использовании традиционного способа аппроксимации перемещений требуется в несколько раз большее число дискретных элементов для достижения точного решения, полученного из условия равновесия Кроме того, векторный способ интерполяции полей перемещений позволяет получать приемлемые результаты при больших градиентах кривизны меридиана в отличие от традиционного способа, при котором достижение точного решения в этом случае не представляется возможным

В четвертой главе также рассматриваются особенности вычисления геометрических характеристик в треугольном конечном элементе Некоторые авторы отмечают, что проблему учета смещения КЭ как абсолютно твердого тела можно решить путем использования изопараметрических элементов дискретизации При изопараметрической аппроксимации геометрические параметры внутренней точки КЭ определяются через свои узловые значения по формулам подобным (2) При использовании треугольного конечного элемента размером 27x27 для радиуса вращения можно записать следующую интерполяционную зависимость

з

рис 3

г = {фГ {''/}> (зз)

где {г;}' ={г'г'гкг,[ г,{ г4 г}

Однако, если срединная поверхность оболочки вращения задается уравнением, вид которого известен (этот факт имеет место в подавляющем большинстве случаев), то геометрические параметры внутренней области КЭ могут

Таблица №3

Параметры НДС, МПа Вариант интерполяции точное решение

I 1 II

Количество элементов дискретизации

96 192 384 768 96 192 384

номера узловых точек 1 < 20,1 12,1 5,09 4,2 4,2 4,18 4,18 4,18

< 225,5 225,5 225,5 225,5 225,5 225,5 225,5 225,5

2 < 139,1 232,2 310,1 3203 297,5 314,9 319,7 320,9

< 46,6 -38,1 -109,6 -118,4 -111,5 -117,1 -118,6 -

3 < -2041,3 -4552,9 -1501,3 -302,3 57,5 6,0 0,08 0,00

К -592,8 -1101,9 36,9 424,0 533,8 518,7 517,1 -

быть вычислены по точным формулам, исчерпывающим неизбежную погрешность, возникающую при изопараметрической параметризации Многие другие тестовые задачи показали преимущество векторной аппроксимации перед изопараметрической

Пример №4. Был рассчитан эллипсоид вращения, нагруженный внутренним давлением интенсивности q Исходные данные принимались следующие Е=2 105 МПа, |Л=0 3, я=5 МПа, 1=0 02 м, параметры эллипса а=1 3 м, Ь=0 9 м, координата х изменялась в пределах 0<х<1 2м На правом краю оболочка имеет пружинные опоры, позволяющие ей смещаться в меридиональном направлении как абсолютно твердому телу под действием заданной нагрузки Расчет выполнялся в трех вариантах В первом варианте для дискретизации оболочки использовались изопараметрические конечные элементы, во втором и третьем вариантах геометрические характеристики в точке интегрирования вычислялись по аналитическим формулам, определяющим форму срединной поверхности рассчитываемой оболочки Второй и третий вариант различались способами

аппроксимации перемещений внутренней области треугольного конечного элемента Во втором варианте использовалась традиционная интерполяционная процедура, а в третьем варианте реализован векторный способ аппроксимации перемещений Для различных значений величины жесткого смещения были получены значения меридиональных и кольцевых напряжений в концевом сечении оболочки, которые отражены в таблице №4 Сетка узлов принималась равной 2x33 Анализ данных таблицы №4 показал, что в первых двух вариантах значения контролируемых параметров напряженно-деформируемого состояния эллипсоида значительно меняются в зависимости от величины смещения оболочки как жесткого целого В первом варианте напряжения возрастают на несколько порядков, во втором - кольцевые напряжения меняются как по величине, так и по знаку В третьем же варианте наблюдалась стабильность вычислительного процесса даже при достаточно больших значениях величины жесткого смещения

Таблица №4

х,м е, рад сг, МПа Вариант I Вариант II Вариант III

0,0 1,11 512,6 5408 0,16 -3,2 -31,7 0,21 0,21 0,21

1Д 168,5 290,2 1387 167,8 117,5 -335,3 167,8 167,8 167,8

к аи 1,06 553,1 5512,4 0,10 -2,19 -22,8 0,12 0,12 0,12

60 <тк 168,0 301,6 1502,2 167,8 117,7 -332,7 167,8 167,8 167,8

жесткое смещение 0,00 0,09 0,90 0,00 0,09 0,90 0,00 0,09 090

Таким образом, вычисление геометрических характеристик срединной поверхности оболочки в каждой точке интегрирования по аналитическим функциям в зависимости от глобальных координат, гораздо проще и эффективнее изопараметрической параметризации, которая не дает возможности в полной мере учитывать смещения оболочки как абсолютно твердого тела Наиболее эффективным является векторный способ аппроксимации перемещений

В пятой главе при расчете на прочность ветвящихся оболочек с учетом физической нелинейности материала использовались соотношения деформационной теории пластичности При формировании матрицы жесткости треугольного КЭ на шаге нагружения в качестве основных узловых неизвестных выбираются

приращения векторов перемещений, а так же их первых и вторых производных по локальным криволинейным координатам 5, и ц

{дк/}= {ау'аг'а?1'а?:,, ,дк,*,

М8 " (!4)

где АУ" (п=1,],ку приращения векторов перемещений узловых точек срединной поверхности оболочки вращения

Каждое приращение компоненты вектора перемещения и его производные в локальной системе координат можно выразить через обобщенный столбец узловых приращений компонент вектора перемещения

{дг/Н4ДЕ/Д ($5)

{аЧг}г = {л^д^лд'лд,'. АЧ,{ Ац,\ Аq,\

АА<?4 А(1'т А< А<?4 А<?4,

Здесь понимаются приращения Аи,Ау,Ам? и их производные в

локальной системе координат

Выражение равенства работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения запишется следующим образом

Я^ЛкЛ+КЛ^'7^ /{дс/да+М}**7. (16)

где {де^}ддсгар}, {ар} - столбцы приращений деформаций, напряжений и внешней

нагрузки на шаге нагружения соответственно

В результате преобразований равенство (36) можно представить в матричной форме следующим образом

и{д£/мдя} + ^}, (57)

где

{ДЯ} = \[л] \AP\dF-

вектор внешних нагрузок на шаге нагружения, {р'} = ¡[А] [Р^й*1 — Д/?] [/]' {ои1,}с1У - столбец невязок на шаге нагружения,

[АГ] = Дд] матрица жесткости конечного элемента

I

оболочки вращения на шаге нагружения, [А]- квазидиагональная матрица, содержащая интерполяционные полиномы

Пример №5. В качестве примера была решена задача по определению НДС оболочечной конструкции, загруженной внутренним давлением, интенсивности q и состоящей из цилиндра и примыкающих к нему двух оболочек вращения в форме конусов Конструкция имеет на одном из краев шарнирное опирание (рис 4) Материал оболочки - алюминиевый сплав Д16Т Исходные данные были приняты следующие Е=7,5 104 МПа, |Д=0,32, я=1,7 МПа, а=Ь=Ь=0,6 м, К2=0,8 м, толщина оболочки 1=0,01 м, а =45°, (3=30° В качестве элемента дискретизации рассчитываемой конструкции использовался треугольный КЭ с размером матрицы жесткости 54x54 Результаты расчета с учетом физической нелинейности материала представлены в таблице №5 В этой таблице отражены значения меридиональных напряжений во внутренних и во внешних волокнах оболочки в характерных точках (на левой границе конструкции и в зоне ветвления меридиана), в зависимости от числа шагов нагружения

Рис 4

Число элементов дискретизации для каждой из сопрягаемых оболочек принималось равным 8 Анализ данных, представленных в таблице №5, показал, что

при увеличении числа шагов нагружения наблюдается удовлетворительная сходимость вычислительного процесса

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы

Таблица №5

Координата Х,см а", Мпа Число шагов нагружения

5 10 20 30 40 50 60

0,0 а внуг -3,8 -5,1 -5,7 -5,9 -6,06 -6,12 -6,17

а пар -3,3 -4,5 -5,0 -5,2 -5,28 -5,34 -5,37

60,0 а внуг 236,8 369,8 282,4 285,7 287,2 288,1 288,8

а нар -263,0 -301,9 -314,1 -318,6 -320,9 -322,3 -321,3

Основные результаты работы состоят в следующем

1 Разработаны корректные кинематические и статические условия сопряжения нескольких оболочек вращения в узлах ветвления меридиана при осесимметричном и произвольном характере нагружения

2 Разработаны алгоритмы расчета ветвящихся оболочек вращения при использовании в качестве элементов дискретизации КЭ одной мерности и треугольных КЭ с различным числом узловых неизвестных, матрицы жесткости которых формировались на основе векторного способа интерполяции перемещений

3 Доказано, что при расчете ветвящихся оболочек вращения со значительными градиентами кривизны меридиана или допускающих жесткие смещения под действием заданной нагрузки необходимо использовать векторный способ аппроксимации перемещений, так как применение общеизвестной интерполяции компонент вектора перемещения как скалярных величин не приводит к достижению удовлетворительных результатов.

4 На основе деформационной теории пластичности разработан алгоритм формирования матрицы жесткости на шаге нагружения при расчетах ветвящихся оболочек вращения с учетом физической нелинейности материала

5 Сделан вывод о неадекватности изопараметрической параметризации и о предпочтительности использования векторного способа интерполяции перемещения с применением при вычислениях геометрических характеристик в точке интегрирования точных аналитических формул, при расчетах конструкций со значительными градиентами кривизны меридиана или допускающих смещения как жесткого целого

6 Разработан пакет прикладных программ, позволяющий эффективно определять напряженно-деформированное ' состояние ветвящихся оболочек вращения с целью внедрения их в расчетную инженерную практику

Основные результаты диссертационной работы отражены в десяти публикациях

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей Аттестационной Комиссией России

1 Джабраилов, А Ш Особенности вычисления геометрических величин в методе конечных элементов при расчетах тонкостенных оболочечных конструкций [Текст]/ Ю В Клочков, А П Николаев, А Ш Джабраилов // Известия вузов Сер Машиностроение - 2005. - №8 С 24-31

7 Джабраилов, А Ш К вопросу о неадекватности изопараметрической параметризации в методе конечных элементов [Текст]/ Ю В Клочков, А П Николаев, А Ш Джабраилов // Вычислительные технологии Новосибирск -2006 -№4 Том 11-С 54-64

! Джабраилов, А Ш Коненчноэлементная аппроксимация векторных полей в криволинейных системах координат [Текст]/ Ю В Клочков, А П Николаев, А Ш Джабраилов, С С Марченко // Известия вузов Авиационная техника Казань - 2007 -№■2-С 1-4

Публикации в других изданиях

4 Джабраилов, А Ш Использование МКЭ для расчета осесимметрично-загруженных тонкостенных конструкций водохозяйственных систем [Текст]/ А Ш Джабраилов // Материалы VII-VIII региональных конференций молодых исс ледователей Волгоградской области Волгоград, 2004 - С 112-113

5 Джабраилов, АШ Численный анализ напряженно- деформированного

состояния конструкций мелиоративных систем [Текст]/ Ю В Клочков, А Ш Джабраилов // Современные оросительные мелиорации - состояние и перспективы Материалы международной научно-практической конференции, посвященной 40-летию эколого-мелиоративного факультета Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии / ВГСХА - Волгоград, 2004 - С -143-145

6 Джабраилов, АШ Применение МКЭ к расчету сочлененных оболочечных конструкций водохозяйственных систем [Текст]/ А Ш Джабраилов // Актуальные проблемы развития АПК Материалы научно-практической конференции посвященной 60-летию Победы в Великой Отечественной войне / ВГСХА -Волгоград,2005 -С 148-150

7 Джабраилов, А Ш Численный анализ напряженно-деформированного состояния оболочек вращения с ветвящимся меридианом [Текст]/ Ю В Клочков, А Ш Джабраилов // Смешанные задачи механики деформируемого тела материалы V Российской конференции с международным участием / СГУ, Саратов, 2005 -С 189-190

8 Джабраилов, А Ш Численный анализ напряженно-деформированного состояния в узле ветвления меридиана [Текст]/ Ю В Клочков, А Ш Джабраилов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений Научно-технический журнал / РУДН -Москва, 2005 -№1 С 123-126

9 Джабраилов, А Ш Численный анализ напряженно-деформированного состояния ветвящихся оболочек на основе МКЭ [Текст]/ АШ Джабраилов // Современные проблемы развития АПК Материалы научно-практической конференции / ВГСХА - Волгоград,2006 -С -162-165

10 Джабраилов, А Ш Численный анализ ветвящихся оболочек вращения с учетом физической нелинейности материала [Текст]/ А Ш Джабраилов // XXXIII Гагаринские чтения сб трудов международной молодежной научной конференции / МАТИ - Москва, 2007 - Том 1С 101-102

- ?// ^ ; / /

Личный вклад соискателя по опубликованным в соавторстве научным работам

В работах 2,4,5 обсуждение построения конечно-элементной модели оболочечной конструкции проводилось совместно с ЮВ Клочковым Разработка алгоритма расчета, создание пакета прикладных программ и выполнение численного анализа НДС оболочек с ветвящимся меридианом является личным вкладом Джабраилова А Ш

Джабраилов Арсен Шахнавазович

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С ВЕТВЯЩИМСЯ МЕРИДИАНОМ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ МАТЕРИАЛА

Автореферат

Подписано к печати 18 09 07 Формат 60x841/16 Уел печ л 1,0 Уч-изд л 1,0 Тир 100 Зак 403 Типография Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии 400002, г Волгоград, пр-т Университетский, 26

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ТОНКИХ

ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

2.1. Геометрия произвольной оболочки вращения в исходном состоянии.

2.2. Геометрия произвольной оболочки вращения в деформированном состоянии.

2.3. Основные соотношения осесимметрично нагруженных оболочек вращения.

2.4. Физические соотношения оболочки вращения в линейной постановке.

3. РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

С ВЕТВЯЩИМСЯ МЕРИДИАНОМ.

3.1. Последовательность основных операций метода конечных элементов.

3.2. Варианты интерполяции перемещений и геометрических величин в методе конечных элементов.

3.2.1. Традиционный способ интерполяции перемещений.

3.2.2. Интерполяция векторов перемещений.

3.3. Вывод матрицы жесткости одномерного конечного элемента при аппроксимации компонент вектора перемещения как независимых величин.

3.4. Матрица жесткости одномерного конечного элемента с использованием векторной интерполяции перемещений.

3.5. Особенности вычисления геометрических величин в методе конечных элементов.

3.6. Напряженно-деформированное состояние осесимметричной оболочки вращения в зоне ветвления меридиана.

3.6.1. Условия сопряжения нескольких оболочек вращения при использовании одномерного конечного элемента с матрицей жесткости 8x8.

3.6.2. Соотношения на границе соединения п оболочек вращения при использовании одномерного конечного элемента с матрицей жесткости 12x12.

3.7. Примеры расчета.

4. РАСЧЕТ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С ВЕТВЯЩИМСЯ МЕРИДИАНОМ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА.

4.1. Треугольный конечный элемент с размером матрицы жесткости 27x27 при использовании независимой аппроксимации перемещений.

4.2. Матрица жесткости треугольного конечного элемента размером 27x27 на основе векторной интерполяции перемещений.

4.3. Треугольный конечный элемент с размером матрицы жесткости 54x54 с использованием независимой аппроксимации перемещений.

4.4. Формирование матрицы жесткости треугольного конечного элемента размером 54x54 на основе векторного способа аппроксимации перемещений.

4.5. Интерполяция геометрических величин и перемещений в треугольном конечном элементе.

4.6. Пример расчета.

4.7. Определение напряженно-деформированного состояния произвольно нагруженных оболочек вращения в зоне ветвления меридиана.

4.8. Условия сопряжения нескольких оболочек вращения при использовании конечного элемента с матрицей жесткости 27x27.

4.9. Соотношения на границе соединения п оболочек вращения при использовании конечного элемента с матрицей жесткости 54x54.

4.10. Пример расчета.

5. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С

ВЕТВЯЩИМСЯ МЕРИДИАНОМ С УЧЕТОМ

ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ МАТЕРИАЛА.

5.1. Основные соотношения теории малых упруго-пластических деформаций.

5.2. Зависимости между приращениями и деформациями на шаге нагружения.

5.3. Формирование матрицы жесткости треугольного конечного элемента на шаге нагружения.

5.4. Пример расчета.

В настоящее время оболочки вращения различной конфигурации являются одними из наиболее распространенных элементов инженерных конструкций. Эффективность данного рода элементов заключается в их способности полностью использовать прочностные свойства применяемого материала, оставаясь в то же время легкими и устойчивыми. На сегодняшний день оболочки вращения используются в строительстве, машиностроении, авиации и космонавтике. Это всевозможные котлы, сосуды, емкости, резервуары, трубопроводы, работающие под давлением и другие.

В процессе эксплуатации оболочки вращения подвергаются действию внешних и внутренних нагрузок, воздействию со стороны соседних элементов конструкции. Действие внешних нагрузок при наличии патрубков, кронштейнов, разветвлений различной конфигурации носит ярко выраженный местный характер. Причем возникающие локальные напряжения могут достигать значительных величин и поэтому требуется тщательное исследование напряженно-деформированного состояния оболочки в целях выработки наиболее рациональных конструктивных решений. Ввиду сложности и трудоемкости определения напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций возможности, заключающиеся в их практическом применении, далеко не исчерпаны. Поэтому задача дальнейшего развития теории деформирования оболочек вращения на основе современных численных методов расчета остается одной из самых актуальных проблем механики твердого тела и представляет значительный практический интерес.

На данный момент создана достаточно совершенная теория оболочек, в развитие которой значительный вклад внесли отечественные ученые [12, 19, 20, 21, 22, 18, 30, 31, 32, 33, 67, 68, 90, 94, 126, 133, 101, 102, 103, 48, 69]. Однако практическое применение разрешающих уравнений теории оболочек остается весьма затруднительным ввиду их сложности [53,

56, 133, 95, 96], поэтому для решения прикладных задач использовались упрощенные и приближенные методы [57, 129, 130, 132]. С возникновением и развитием компьютеров все большее значение приобретают численные методы расчета [1, 2,3, 5, 6, 10, 17, 34, 35, 52, 37, 38, 79, 80, 81, 82, 83, 84].

Одним из наиболее популярных численных методов, используемых при расчете оболочек является метод конечных элементов (МКЭ) [26, 34, 40, 47, 51, 59, 70, 76, 95, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 114]. Основанный на мысленном представлении сплошного тела в виде совокупности дискретных элементов, взаимодействующих между собой в конечном числе узловых точек [104], МКЭ в сравнении с другими численными методами обладает рядом существенных преимуществ:

- возможностью полной автоматизации с помощью компьютера процессов формирования матриц жесткости конструкций и решения систем линейных уравнений, достигающих порядка нескольких десятков тысяч;

- легкостью компоновки гибких алгоритмов расчета, позволяющих путем замены исходных данных изменять граничные условия и характер внешней нагрузки оболочечной конструкции;

- возможностью учета физической и геометрической нелинейностей оболочки, а также влияния температурных деформаций, возникающих в процессе эксплуатации реальных объектов [108, 95, 9].

Цель работы заключается в разработке кинематических и статических условий сопряжения нескольких оболочек вращения при формировании матриц жесткостей конечных элементов одной мерности и треугольных дискретных элементов при различном характере нагружения, в составлении комплекса программ, реализующих теоретические разработки, и внедрении его в расчетную инженерную практику.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем 1. Разработаны корректные кинематические и статические условия сопряжения для осесимметрично и произвольно нагруженных оболочек вращения с ветвящимся меридианом.

2. Разработаны алгоритмы расчета ветвящихся оболочек вращения при использовании конечных элементов одной мерности и дискретных элементов треугольной формы с различным числом узловых варьируемых параметров, матрицы жесткости которых формировались на основе векторного способа интерполяции перемещений.

3. Для ветвящихся оболочек вращения со значительными градиентами кривизны меридиана или допускающими в процессе эксплуатации жесткие смещения выполнен сравнительный анализ конечно-элементных решений, полученных при повариантном использовании векторной аппроксимации перемещений и интерполяции компонент вектора перемещения как скалярных величин. Доказана высокая эффективность векторного способа аппроксимации перемещений при расчете оболочек вращения с ветвящимся меридианом

4. На основе деформационной теории пластичности разработан алгоритм расчета ветвящихся оболочек вращения с учетом физической нелинейности применяемого материала.

5. Для оболочек вращения со значительной кривизной меридиана или допускающих смещения как жесткого целого выполнен сравнительный анализ конечно-элементных решений, полученных при использовании изопараметрических конечных элементов и конечных элементов, геометрические параметры которых вычислялись по точным формулам, описывающим срединную поверхность.

Практическая направленность работы заключается в разработке алгоритмов и программных модулей, реализующих кинематические и статические условия сопряжения оболочек вращения с ветвящимся меридианом с учетом физической нелинейности применяемого материала.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в разработке алгоритмов и создании пакета прикладных программ для расчета на прочность оболочек вращения с ветвящимся меридианом с учетом физической нелинейности материала, которые могут быть использованы научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, деятельность которых связана с проектированием и эксплуатацией сложных оболочечных конструкций.

Достоверность научных положений обеспечивается корректной математической постановкой задач, сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных конечных элементов, с результатами исследований других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции. Достоверность полученных результатов была проверена также независимо от автора по месту внедрения разработанных программ.

Реализация

Математические алгоритмы, реализующие теоретические результаты диссертационной работы, включены в программный комплекс для персональных компьютеров класса Pentium по расчету на прочность нефтехимических аппаратов с учетом физической нелинейности используемого материала внедренную в Самарском филиале инженерно-технологического предприятия ОАО «Оргэнергонефть». Программы расчетного комплекса с использованием указанных алгоритмов позволяют выполнять уточненный расчет прочности сосудов и аппаратов нефтехимического производства, что обеспечивает их надежную эксплуатацию без дополнительных затрат на ремонт и сокращение простоя оборудования.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы (193 наименований) и приложения, изложена на 195 страницах машинописного текста, содержит 15 рисунков и 15 таблиц.

Основные результаты и выводы диссертационной работы состоят в следующем:

1. Разработаны корректные кинематические и статические условия сопряжения нескольких оболочек вращения в узлах ветвления меридиана при осесимметричном и произвольном характере нагружения.

2. Разработаны алгоритмы расчета ветвящихся оболочек вращения при использовании в качестве элементов дискретизации КЭ одной мерности и треугольных КЭ с различным числом узловых неизвестных, матрицы жесткости которых формировались на основе векторного способа интерполяции перемещений.

3. Доказано, что при расчете ветвящихся оболочек вращения со значительными градиентами кривизны меридиана или допускающих жесткие смещения под действием заданной нагрузки необходимо использовать векторный способ аппроксимации перемещений, так как применение общеизвестной интерполяции компонент вектора перемещения как скалярных величин не приводит к достижению удовлетворительных результатов.

4. На основе деформационной теории пластичности разработан алгоритм формирования матрицы жесткости на шаге нагружения при расчетах ветвящихся оболочек вращения с учетом физической нелинейности материала.

5. Сделан вывод о неадекватности изопараметрической параметризации и о предпочтительности использования векторного способа интерполяции перемещения с применением при вычислениях геометрических характеристик в точке интегрирования точных аналитических формул, при расчетах конструкций со значительными градиентами кривизны меридиана или допускающих смещения как жесткого целого.

6. Разработан пакет прикладных программ, позволяющий эффективно определять напряженно-деформированное состояние ветвящихся оболочек вращения с целью внедрения их в расчетную инженерную практику.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек Текст. / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Дерюга - М.: Наука, 1978.-288 с.

2. Александров, А. В. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек Текст. / А. В. Александров // Тр. Моск. ин-та инж. транспорта. 1971. - вып. 364. - С. 3-10.

3. Александров, А. В. Об использовании дискретной модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических машин Текст. / А. В. Александров, Н. Н Шапошников // Тр. Моск. Ин-та инж. транспорта. -1966.-Вып. 194.- С. 50-67.

4. Анкянец, Е. К. Собственные колебания цилиндрической оболочки с двухслойными кольцевыми ребрами Текст. / Е. К. Анкянец // Прикл. механика. 2005. - №8. - С. 105-110.

5. Аргирис, Дж. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечных элементов Текст. / Дж. Аргирис Д. Шарпф // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ.-Л., 1974.-т. 1.-С. 179-210.

6. Баженов, В. Г. Вычислительные модели нелинейных задач динамики пространственных конструкций Текст. / В. Г. Баженов, Д. Т. Чекмарев // Тр. международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» Казань, 2000г. - С. 50-64.

7. Бандурин, Н. Г. К расчету оболочек вращения методом конечных элементов Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Изв. вузов сер. Машиностроение. 1981. - №5. - С. 26-31.

8. Бандурин, Н. Г. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента к расчету тонкостенных оболочек вращения Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, И. К. Торунов // Прикл. механика. 1980. - т. 16. - №3. - С. 50-55.

9. Бандурин Н. Г. К применению МКЭ для расчета оболочеквращения с учетом пластических свойств материала Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев // Изв. вузов, сер. Строительство и архитектура. 1985. -№3. -С. 24-27.

10. Бахвалов, Н. С. Численные методы Текст. / Н. С. Бахвалов М. : Наука, 1975.-631 с.

11. Белкин, А. Е. Простейшие конечные смешанного типа для задачи изгиба пластин Текст. / А. Е. Белкин // Вестник МГТУ. Сер. : Машиностроение. 2003г., №2 С. 15-36.

12. Бидерман, В. Л. Механика тонкостенных конструкций Текст. / В. Л. Бидерман-М.: Машиностроение. 1977. - 488с.

13. Богнер, Ф. К. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов Текст. / Ф. К. Богнер, Р. Л. Фокс, Л. А. Шмит // Ракетная техника и космонавтика. 1967. - №4. - С. 170-175.

14. Борискин, О. Ф. Нелинейные трехмерные модели в расчетах колебаний оболочек на базе смешанной аппроксимации перемещений Текст. / О. Ф. Борискин, О. О. Барышникова // Изв. вузов. Сер. : Машиностроение. 2000г., №4 -С. 23-31.

15. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Текст. / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев М. : Наука, 1980.-973 с.

16. Вагин, П. П. Напряженно деформированное состояние упругих гибких многослойных оболочек. Текст. / П. П. Вагин, Н. В. Иванова, Г. А. Шинкаренко // Прикл. Мех. (Киев). - 1998 - 34, №8. - С. 94-102.

17. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ Текст. / Н. В. Валишвили М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

18. Векуа, И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек Текст. / И. Н. Векуа М.: Наука, 1982г. - с.288.

19. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике Текст. / В. 3. Власов М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

20. Вольмир, А. С. Гибкие пластинки и оболочки Текст. / А. С.

21. Вольмир М.: Гостехиздат, 1956. - 420 с.

22. Вольмир, А. С. Современные проблемы теории пластинок и оболочек в летательных аппаратах Текст. / А. С. Вольмир // Актуальные пробл. авиац. науки и техники. М., 1984. - С. 77-87.

23. Галимов, К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек Текст. / К. 3. Галимов // Казань : Изд. Казан, гос. ун-та, 1975. - 326 с.

24. Галимов, К. 3. Некоторые вопросы нелинейной теории тонких оболочек Текст. / К. 3. Галимов // Исслед. по теории пластин и оболочек. -Казань, 1981.-№6.-С. 7-29.

25. Танеева, М. С. Деформирование оболочек вращения отрицательной и положительной гауссовой кривизны под действием неосесимметричного нагружения Текст. / М. С. Танеева, В.Е. Моисеева // Пробл. прочн. и пластич. 2002. - №64. - С. 46-50.

26. Голованов, А. И. Новый конечный элемент для расчета произвольных тонких оболочек Текст. / А. И. Голованов // Строит, механика и расчет сооружений. 1986. - №4. - С. 21-23.

27. Голованов, А. И. Введение в метод конечного элемента статики тонких оболочек Текст. / А. И. Голованов, М. С. Корнишин Казань : Изд-во Казан, ун-та. 1990г. 269 с.

28. Голованов, А. И. Расчет тонкостенных конструкций МКЭ с учетом геометрической и физической нелинейности Текст. / А. И. Голованов, О. Н Тюленева, С.А. Якушин // Проблемы прочности и пластичности. 2002. - №64. - С. 36-40.

29. Голованов, А. И. Нахождение динамических характеристик сложных оболочечных конструкций МКЭ Текст. / А. И. Голованов, А.Ф.

30. Шигабутдинов // Мат. 10 Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» Ярополец, 2004г., Т. 1. - М : Изд-во. МАИ. 2004. -С. 72-73.

31. Гольденвейзер, А. А. Теория упругих тонких оболочек Текст. /

32. A. А. Гольденвейзер М.: Наука, 1976. - 512 с.

33. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек Текст. / Э. И. Григолюк,

34. B. В. Кабанов М.: Наука, 1978. - 360 с.

35. Григолюк, Э. И. Регулярные кусочно- однородные структуры с дефектами Текст. / Э. И. Григолюк, JI. А. Филынтинский М. : Физматлит., 1994.- 135 с.

36. Григолюк, Э. Н. Нелинейное деформирование тонкостенных конгструкций Текст. / Э. Н. Григолюк, В. И. Мамай М. Наука : Физматлит., 1997.-272 с.

37. Григоренко, Я. М. К расчету оболочечных конструкций методом конечного элемента Текст. / Я. М. Григоренко, С. С. Кокошин // Прикладная механика 1979.-т. 15. -№7.-С. 3-10.

38. Григоренко, Я. М. Решение задач теории оболочек на ЭВМ Текст. / Я. М. Григоренко, А. П. Мукоед Киев : Вища школа, 1979. - 280 с.

39. Григоренко, Я. М. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек Текст. / Я. М. Григоренко, А. Т. Василенко М. : Наука 1992г. 336 с.

40. Гузь, А. Н. Сферические днища, ослабленные отверстиями / А. Н. Гузь, И. С. Чернышенко, К. И. Шнеренко Киев : Наук. Думка, 1970. - 324 с.

41. Гузь, А. Н. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями Текст. / А. Н. Гузь, И. С. Чернышенко, В. И. Чехов Киев : Наук. Думка, 1980.-635 с.

42. Гуляр, А. М. Влияние учета физической и геометрической нелинейностей на оценку критической нагрузки оболочек вращения сложной формы Текст. / А. М. Гуляр, А. С. Сахаров // Сопротивление материалов и теория сооружений Киев, 1980. -№37.-С. 8-11.

43. Деклу, Ж. Метод конечных элементов Текст. / Ж. Деклу М. : Мир, 1976.-96 с.

44. Евзеров, И. Д. Сходимость плоских конечных элементов тонкой оболочки Текст. / И.Д. Евзеров, B.C. Здоренко // Строит, механика и расчет сооружений. 1984. - №1. - С. 35-40.

45. Ельшмуратов, С. К. Численное исследование тонких оболочек Текст. / С. К. Ельшмуратов // Материалы Международной научно-технической конференции. Омск, 2005. - С. 247-251.

46. Железнов, J1. П. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении методом конечных элементов Текст. / Л.П. Железнов, В. В. Кабанов // Изв. АН СССР, МТТ. 1981. -№3.-С. 49-54.

47. Железнов, Л. П., Функции перемещений конечных элементов оболочки вращения как твердых тел Текст. / Л. П. Железнов, В. В. Кабанов //Изв. Ан СССР. МТТ. 1990г., №1, С. 131-136.

48. Завьялов, В. Н., Деформирование прямоугольных пластин за пределами упругости Текст. / В. Н. Завьялов, Е. А. Мартынов, В. М. Романовский // Материалы Международной научно-технической конференции. Омск, 2005. Кн. 1: Изд-во СибАДИ. -2005. - С. 247-251.

49. Зенкевич, О. М Метод конечных элементов в технике Текст. / О. М. Зенкевич М.: Мир, 1975. - 542 с.

50. Зубчанинов, В. Г. Основы теории упругости и пластичности Текст. / В. Г. Зубчанинов М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.

51. Зуев, Б. И. Сравнение некоторых моделей конечных элементов при анализе тонкостенных пространственных конструкций Текст. / Б. И.

52. Зуев, С.А. Капустин, Л. К Киселев, В. А. Трубицын // В сб. : Метод конеч. элем, в строит, мех. Горький, 1975.-С. 149-163.

53. Игнатьев, В. А. Расчет стержневых пластинок и оболочек Текст. / В. И. Игнатьев Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1988. - 180 с.

54. Игнатьев, В. А. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах строительной механики Текст. / В. А. Игнатьев, А. В. Игнатьев, А. В Жеделев : Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. Волгоград : ВолГАСУ, 2006. -172 с.

55. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды Текст. / А. А. Ильюшин М. : Изд. Моск. ун-та, 1978. - 288 с.

56. Кабанов, В. В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолета Текст. / В.В. Кабанов // Вопросы прочности и долговечности элементов авиац. конст. Куйбышев, 1979. - №25. - С. 35-43.

57. Кабанов, В. В., Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при изгибе силой через накладкуТекст. / В. В. Кабанов Л. П. Железнов // Прикл. механика. 1989. - Т.25. - №8. - С. 126-130.

58. Кан С. Н. Строительная механика оболочек Текст. / С. Н. Кан -М. : Машиностроение, 1966. -508 с.

59. Кармишин А. В. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций Текст. / А. В. Кармишин В.А. Лясковец, В. И. Мяченков- М. : Машиностроение, 1975.-376 с.

60. Кей, С. В. Расчет тонких оболочек на основе метода конечных элементов Текст. / С. В. Кей, 3. Е. Бейсенджер // В сб. : Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л., 1974. - т. 1. - С. 151-178. (пер. с англ.).

61. Клочков, Ю. В. Деформирование осесимметричной оболочки на основе МКЭ с учетом смещения как жесткого целого Текст. / Ю. В. Клочков, Н. А. Гуреева // Вестник ВолгГАСУ сер. естеств. н. 2004, № 3.- С. 38-41.

62. Клочков, Ю. В. О функциях формы в треугольных конечных элементах Текст. / Ю.В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // Изв. вузов сер. строительство. 1999, № 10. - С. 103-109.

63. Клочков, Ю. В. Расчет оболочек отрицательной гауссовой кривизны с использованием МКЭ Текст. / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев Н. А. Гуреева // Изв. вузов сер. строительство.- 2004. №8. - С. 27-32.

64. Клочков, Ю. В. К вопросу о неадекватности изопараметрической параметризации в методе конечных элементов Текст. / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, А. Ш. Джабраилов // Вычислительные технологии. Том 11. -2006. -№4. С.54-64.

65. Клочков, Ю. В. Численный анализ напряженно-деформированного состояния оболочек в узле ветвления меридиана Текст. / Ю. В. Клочков, А. Ш. Джабраилов // Строительная механика инженерных сооружений. М : -2005 № 1. - С. 123-126.

66. Корнишин, М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения Текст. / М.С. Корнишин М.: Наука, 1964. -192 с.

67. Корнишин, М. С. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта МКЭ Текст. / Н. М Якупов, М. С. Корнишин // Прикл. механика. -1989. №8. -т. 25. - С. 53-60.

68. Крысько, В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек Текст. / В. А. Крысько Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1976. -213 с.

69. Кузнецов, В. В. Кинематические группы и конечные элементы в механике деформируемого тела. Текст. / В. В. Кузнецов, С. В. Левяков // Изв. АН. МТТ. 1994г., №3, С. 67-82.

70. Куранов, Б. А. Температурные напряжения в резервуаре для хранения сжиженного газа Текст. / Б. А. Куранов, Н. И. Кончаков. // Расчеты на прочность. 1980. - №3. -С. 38-41.

71. Куранов, Б. А., Исследование устойчивости подкрепленных оболочек методом конечных элементов Текст. / Б. А. Куранов, А. Т. Турбаивский // Строит, механика и расчет сооружений. 1980. - №3. -С. 3841.

72. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести Текст. / Н. Н. Малинин М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

73. Маркол, Р. В. Определение больших прогибов упругопластических оболочек вращения Текст. / Р. В. Маркол // Ракетная техника и космонавтика. 1970. -№9.-С. 113-121.

74. Масленников, А. М. Расчет тонких плит МКЭ Текст. / А. М. Масленников // Сборник трудов ЛИСИ. 1968. - Т. 57. - С. 186-193.

75. Муртазалиев, Г. М. Деформирование пологих оболочек вращения при несимметричной нагрузке Текст. / Г. М. Муртазалиев, М. М. Пайзулаев

76. Изв. Вузов Сев-Кавк. регион. Техн. н. 2005. - №1. -С. 20-22,108.

77. Мяченков, В. И. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ Текст. / В. И. Мячников, И. В. Григорьев М. : Машиностроение, 1981.-111 с.

78. Мяченков, В. И. Алгоритм вычисления матриц жесткости оболочечных конечных элементов в геометрически нелинейной постановке Текст. / В. И. Мяченков, 3. Б. Губелидзе, Т. Г. Гардаихадзе // Строит. Механика и расчет сооружений. 1989. - №5. - С. 61-65.

79. Наваратана, Д. Б. Расчет устойчивости оболочек вращения методом дискретных элементов // Ракетная техника и космонавтика Текст. / Д. Б. Наваратана, Т. Н. Пиан, Е. А. Уитмер 1968. - №5. - С. 196-203.

80. Неверов, В. В. Метод вариационных суперпозиций в теории оболочек Текст. / В. В. Неверов Саратов: Изд-во Саратовск. гос. ун-та, 1984.- 128 с.

81. Неверов, В. В. Фундаментальная периодическая система вычислительных методов анализа в теории оболочек Текст. / В. В. Неверов // Пробл. теории пластин, оболочек и стержневых систем. Саратовск. политехи, ин-т. - Саратов, 1992. - С. 4-29.

82. Немировский, Ю. В. Рациональное и оптимальные проекты гибридных композитных оболочек и пластин Текст. / 10. В. Немировский // Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин. -Саратов, 1997г., Т. 3, С. 142-152.

83. Немировский, Ю. В. Ползучесть однородных и композитных оболочек Текст. / Ю. В. Немировский // Труды международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» Казань, 2000г., С. 42-49.

84. Никифоров А. К. Четырехугольный плоский конечный элемент оболочки Текст. / А.К. Никифоров // Тр. ЦАГИ. 2004. - № 2664. - С. 199206.

85. Николаев, А. П. Новый эффективный способ интерполяцииперемещений в конечноэлементном анализе оболочек Текст. / А. П. Николаев, Н. Г Бандурин., Ю. В. Клочков // Строит, мех. и расчет сооружений. -1991. №1. - С. 62-66.

86. Николаев, А. П. О принципе возможных перемещений в нелинейных задачах расчета конструкций Текст. / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин, Ю. В. Клочков // Изв. вузов. Сер.: Строительство и архитектура. -1991.-№4.-С. 20-22.

87. Николаев, А. П. Четырехугольный конечный элемент произвольной оболочки с векторной интерполяцией полей перемещений Текст. / А. П. Николаев Ю. В. Клочков. // Волгоград, 1993. - 15с. - Деп. в ВИНИТИ 28. 04. 93, № 1137 - В. 93.

88. Николаев, А. П. Особенности формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента размером 54x54 Текст. / А. П. Николаев,

89. A. П. Киселев Ю. В. Клочков // Строительство. 1998. - №2. - С. 32-37.

90. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек Текст. / В. В. Новожилов Л.: Судпромгиз, 1962. - 432 с.

91. Новожилов, В. В. Основы нелинейной теории упругости Текст. /

92. B. В. Новожилов М.: Едиториал УРСС, 2003.-214 с.

93. Овчинников, И. Г. Расчет напряженного состояния и долговечности цилиндрической оболочки при наличии коррозийного износа Текст. / И. Г. Овчинников, X. А. Сабитов // Статика и динамика сложных строительных конструкций. 1984. - С. 89-95.

94. Огибалов, П. М. Оболочки и пластины Текст. / Огибалов П. М, М. А. Колтунов,- М.: Изд-во. МГУ, 1969. 695 с.

95. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошныхсред : перев. с англ. Текст. / Дж. Оден М. : 1976. - 464 с.

96. Паймушин, В. Н. Соотношения теории тонких оболочек типаТимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета Текст. /

97. B. Н. Паймушин // ПММ. 1978. - т. 42. - №4. - С. 753-758.

98. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек Текст. / В. В. Петров Саратов : Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1975. - 120 с.

99. Петров, В. В. Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного материала Текст. / В. В. Петров, И. Г Овчинников, В. К. Иноземцев Саратов : Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1989. -158 с.

100. Петров, В. В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек Текст. / В. В. Петров, В. К. Иноземцев, Н. Ф. Синева Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1996г.,1. C. 312.

101. Петряня, Е. Н. Построение конечного элемента сложной формы для дискретизации строительных конструкций Текст. / Е. Н. Петряня, А. А. Петрянин //Изв. вузов, сер. Строительство. 2004.- № 11. - С. 9-15.

102. Пикуль, В. В. Теория и расчет оболочек вращения Текст. / В. В. Пикуль-М. : Наука, 1982.- 158 с.

103. Пикуль, В. В. Теория и расчет сложных конструкций Текст. / В.В. Пикуль-М. : Наука, 1985.- 183 с.

104. Пикуль, В. В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития Текст. / В. В. Пикуль // Изв. АН МТТ. 2000г., №2, с. 153-168.

105. Постнов, В. А., Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций Текст. / В.А. Постнов, И. Я. Хархурим J1. : Судостроение, 1974.-344 с.

106. Постнов, В. А. Использование метода конечных элементов в расчетах устойчивости подкрепленных оболочек Текст. / В. А. Постнов, В.

107. С. Корнеев // Прикл. механика. 1976. - т. 12. - №5. - С. 44-49.

108. Постнов, В. А. Численные методы расчета судовых конструкций Текст. / В. А. Постнов JT.: Судостроение, 1977. - 280 с.

109. Постнов, В. А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных конструкций Текст. / В. А. Постнов, С. А. Дмитриев JI. : Судостроение, 1979.-288 с.

110. Постнов, В. А. Учет физической и геометрической нелинейности в задачах изгиба оболочек вращения Текст. / В. А. Постнов, М. Г. Слезина // Изв. АН СССР, МТТ. 1979. - №6. - С. 78-85.

111. Рикардс, Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин Текст. / Р. Б. Рикардс Рига : Зинатне, 1988. - 284 с.

112. Рикардс, Р. Б. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко Текст. / Р. Б. Рикардс, А. К. Чате // Мех. композит, материалов. 1981. - №3. - С. 453460.

113. Розин, JI. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ: метод конечных элементов Текст. / J1. А. Розин М.: Энергия, 1971. - 214 с.

114. Савула, Я. Г. Расчет криволинейных трубчатых оболочек полуаналитическим методом конечных элементов Текст. / Я. Г. Савула, Г. А Шинкаренко // Изв. АН СССР, МТТ. 1980. - №2. - С. 168-173.

115. Сарбаев, Б. С. Расчет оболочек вращения с учетом физической нелинейности Текст. / Б. С. Сарбаев // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. -1984,- №6. -С. 20-24.

116. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел Текст. / А. С. Сахаров, В. Н. Кислоокий, В. В. Киричевский Киев : Вища школа; Лейпциг : ФЕБ Фахбухферпаг, 1982. - 479 с.

117. Сахаров, А. С. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек Текст. / А. С. Сахаров, И. А. Соловей // В сб. : Пространств, конструкции зданий и сооруж. М., 1977. -Вып. 3. - С. 10-15.

118. Седов, JI. И. Механика сплошной среды Текст. / Л. И. Седов -М.: Наука, 1976.-т. 1.-536 с.; 1976.-т. 2.-574 с.

119. Семенюк, Н. П. Об устойчивости цилиндрических оболочек из волокнистых композитов с одной плоскостью симметрии Текст. / Н. П. Семенюк, В. М. Трач, А. В. Подворный // Прикл. мех. 2005. - №6. - С. 113120.

120. Серазутдинов, М. Н. Критерии прочности тонких оболочек при пластических деформациях Текст. / М. Н. Серазутдинов, Р. X. Зайнулин, О.

121. A. Перелыгин, В. Г. Малахов // Механика оболочек и пластин : Сб. докладов 20 Международной конференции по теории оболочек и пластин Н. Новгород : Изд-во НН-ГУ. 2002, С. 281-287.

122. Сидоров, В. Н. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий, сооружений Текст. / В. Н. Сидоров, А. Б. Золотов, П. А. Акимов // Изв. вузов сер. Строительство. 2004.- №10. - С. 8-14.

123. Скопинский, В. Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четырехугольных криволинейных элементов Текст. / В. Н. Скопинский // Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1983. - №5. - С. 16-21.

124. Скопинский, В. Н. Об особенностях напряженного состояния в области пересечения цилиндрических оболочек Текст. / В. Н. Скопинский // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - №2. - С. 19-22.

125. Скопинский, В. Н. Расчетное и экспериментальное исследование напряженного состояния коленных соединений трубопроводов Текст. / В.Н. Скопинский, Г. М. Меллерович // Пробл. прочности. 1988. - №12. -С. 73-76.

126. Стриклин, Дж. А. Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке Текст. / Дж. А. Стриклин,

127. B. Е. Хеслер, X. Р. Макдуголл, Ф. Дж. Стебинс // Ракетная техника и космонавтика. 1968. - №12. - С. 82-85.

128. Сухомлинов, Л. Г. Численное решение задач о больших пластических деформациях тонких неосесимметричных оболочек поддействием заданных нагрузок Текст. / Л. Г. Сухомлинов, Е. В. Генин // Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1990. - №1. -С. 16-21.

129. Съярле, Д. Метод конечных элементов для эллиптических задач Текст. / Д. Съярде М.: Мир, 1980. - 512 с.

130. Тимошенко, С. П. Пластины и оболочки Текст. / С. П. Тимошенко-М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

131. Товстик, П. Е. Устойчивость тонких оболочек Текст. / П. Е. Товстик -М.: Наука, Физматлит, 1995г., 320 с.

132. Тюкалов, Ю. Я. Расчет цилиндрических оболочек методом конечных элементов в напряжениях Текст. / Ю .Я. Тюкалов // Изв. Вузов сер. Строительство.- 2004. №7. - С. 33-38.

133. Филин, А. П. Элементы теории оболочек Текст. / А. П.Филин -Л. : Стройиздат, 1975.-256 с.

134. Филин, А. П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела Текст. / А. П. Филин Л. : Стройиздат, 1974.-411 с.

135. Хейслер В. Е. Перемещения недеформируемых криволинейных элементов в расчетах оболочек матричным методом перемещений Текст. / В. Е. Хейслер, Дж. А. Стриклин // Ракетная техника и космонавтика. 1967. -№8.-С. 207-209.

136. Чернина, В. С. Статика тонкостенных оболочек вращения Текст. / В. С. Чернина-М.: Наука, 1968.-455 с.

137. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек Текст. / К. Ф. Черных Л.: Изд-во ЛГУ, 1962.-т. 1.-374 с.1964.-т. 2.-395 с.

138. Шапошников, Н. Н. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного элемента Текст. / Н. Н. Шапошников // Тр. Моск. Института инженеров транспорта. 1968.-Вып. 260.-С. 134-144.

139. Шмит, Л. А. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием дискретных элементов пластин и оболочек Текст. / Л. А. Шмит, Ф.К. Богнер, Р. Л. Фокс // Ракетная техника и космонавтика. 1968.5.-С. 17-28.

140. Эдельман, Б. М. Точность вычисления напряжений методом конечных элементов Текст. / Б. М. Эднельман, Д. С. Казеринес, В. С. Уолтон // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №3. - С. 102-103.

141. Эремадзе, Н. В. Расчет остаточных деформаций железобетонных оболочек типа гиперболического параболоида под импульсной нагрузкой Текст. / Н. В. Эремадзе // Теория сооружений и сейсмостойкость. 2004. -№4.-С. 150-156.

142. Эусебио, Н. О. Основные соотношения МКЭ треугольного конечного элемента для расчета прямоугольной пластинки в многопараметрической постановке Текст. / Н. О. Эусебио // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2005. - №1. - С. 126128.

143. Якупов, Н. М. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии Текст. / Н. М. Якупов, М. Н. Серазутдинов Казань : ИМН РАН, - 1993.-206 с.

144. Aditya, А. К. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method / A. K. Aditya, J. N. Bandyopadhyany // Comput. and Struct. 1989. - 32. - N2. - P. 423-432.

145. Argyris, J. H. Energy theorems and structural analysis./ J. H Argyris-London. Batterworth. 1960.

146. Argyris, J. H. Matrix methods of structural analysis / J. H Argyris // Proc. 14-th meeting of AGARD. AGARDograph. 1962. - p. 72.

147. Asokendu Samanta. Free vibration analisis of shells by the finite element technique / Mukhopadhyay Madhujit // Eur. J. Mech. A. 2004. - 23.- №1. -P. 159-179.

148. Bathe Klaus Jurgen, Bolourchi Soid A geometric and material non - linear plate and shell element // Comput. and Struct. - 1980. - 11. - №1. - P. 2348.

149. Bottasso, C. L. Geometric invariance. / C. L Bottasso // Trainellil. Comput. Mech. 2002. - №2. - P. 163-169.

150. Choi Chang-Koon. Nonconforming finite element analysis of shells. / Choi Chang-Koon. Schnobrich William C. // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1975. 101. - N4. - P. 447-464.

151. Choi Chang Koen. A conoidal shall analysis by modified isoparametric element // Computers and Structures/ - 1984 year., Vol / 18, №5, P. 921-924.

152. Clough, R.W. The finite element method in plane stress analysis / R. W Clough // J. Struct. Div.,Asce Proc. 2-d conf. Electronic computation. P. 345378.

153. Cook, W. A. A finite element model vor nonlinear shells of revolution / W. A. Cook // Trans. Shh. Int. Conf. Struct. Mech. Reacht. Technol. Berlin, 1979. - Vol. M. - Amsterdam e-a. 1979. - m. 4.5/1 - m 4.5/10.

154. Dawe, D. J. High-order triangular finite element for shell analysis/ D. J. Dawe // Int. J. Solids and Struct. 1975. - 11. - N10. - P. 1097-1110.

155. Delpak, R. A finite element assement of natural frenquencies of undampend elastic (rotational shells ) // Appl. Math. Modell. 1980. - 4. - №2. -p.367-368.

156. Dzygadio, Z. Nowotarski I. Finite element strength analysis of relating shell-plate structures // J. Techn. Phys. 1981. - 22. - N3. - p.243-257.

157. Faria, A. R. Finite element analysis of the dynamic response of cylindrical panels under traversing loads / A. R Faria // Eur. J. Mech. A. 2004. -23. - №4.-P. 677-687.

158. Green Seth. Secondorder accurate constraint formulation for subdivision finite element simulation of thin shells // Int. J. Numer. Meth. Eng. -2004.- 61. №3. -p.380-405.

159. Han, K. J. Shells of revolution with local deviations / P. L Gould // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - 20. - N2. - P. 305-313.

160. Haugeneder, E. A new penalty function element for thin shell analysis // Numerical Meth. in Eng. 1982. - 18. - N6. - P. 845-861.

161. Hong Chul Hwa. A partial assumed strain formulation for triangular solid shell element // Finite. Elem. Anal. & Des. 2002. - 38. - №4. - P. 375-390.

162. Hsiao Kuo-Mo. Large defection analysis of shell structure by using corotational toallagrangian formulation / Hung Hung Chan// Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1989. - 73, №2. - P. 209-225.

163. Kim, Jong H. Three-node macro triangular shell element based on the assumed natural strains / Yong H. Kim // Comput. Mech. 2002. - 29. -№6. - P. 441-458.

164. Kikuchi, F. On the validity of an approximation available in the finite element shell analysis / F. Kikuchi // Comput. and Struct. 1975. - 5. - N1. - P. 18.

165. Kim, Seing Jo. Viscol m- lastic model of finitely deforming rubber and its finite element analysis./ Kim Kyeong Su, Cho Jin Yeon // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1997. - 64, №24. - P. 835-841.

166. Kutulowski, Ryszard. Das gekrummte, isoparametrische rind viereckige finite Element in der Analyse von Rotationsschalen / Kutulowski, Ryszard. Myslecki Kazimierz // Bau technick. - 1984. - 61. - №7. - p.224-247.

167. Liu, M. L. A further study of hybrid strain based three - node triangular shell elements.// Finite elem. Anal. And Des. - 1991. - 31, №2. P. 135152.

168. Lochner, N. Die Anwendung des Schalenelements SHEBA // Finite Elem. Statik. e. a. 1973. -P. 353-372.

169. Melosh, R. J. Basis vor derivation of matrices for the direect stiffness method / R. J. Melosh // AIAA Journal. 1963. - 1. - №7. - P. 1631-1637.

170. Minnetyan Levon. Finite deformations for thin shells of revolution Wilson James F // Dev. Theor. And Appl. Mech. Vol. 8, s.l., s.a., P.7 7-86.

171. Mohr, G. A. Numerically integrated triangular element for doubly curved thin shells / G. A. Mohr // Comput. and. Struct. 1980. - 11.- N6. — p.565-571.

172. Morley L.S.D. Bending of bilinear quadrilateral shell elements // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. -20. - N8. - p. 1373-1378.

173. Nath B. Analysis of anisotroie shells by a mapping finite element method // Eng. Appl. New Composites. Int. Symp. COMP' 86, Patras, Aug., 1986. -Oxon, 1988.-P. 144-152.

174. Nelson R. L. An algorithm for programming the element matrices of doubly curved quadrilateral shell finite elements / R. L. Nelson // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982. -18. - N3. - P.421-434.

175. Nelson R. L. Stresses in shell structures // J. Sound and Vibr. 1981. -79.-N3.-P. 397-414.

176. Panda, S. C. Finite element analysis of laminated shells of revolution / S. C. Panda, R. Natarajana // Comput. and Struct. 1976,- 6. - №1. - P. 61-64.

177. Parich, H. Geometrical non linear analysis of shells // Copput. Meth. Appl. Mach. And Eng. 1978. - 14. -№2. - P. 159-178.

178. Rao, G. Buckling of shells by finite element method / Venkateswara, Raju J. S. Radhamahan S. K. // J. Eng. Mech. Div., Prac. Amer., Soc. Siv. Eng. -1974. 100. - №5. - P. 1092-1096.

179. Rao, K. A note on the cylindrical shell finite element / Singa, Rao G. Venkateswara, Raju J.S. // Jnt. J. Numer. Meth. Eng. 1975. - 9. - N1. - P. 245250.

180. Rao, K. Venkateswara Explicit formula for the stifness matrix of a conical shell finite element / Rao K. Singa, Rao G // J. Aeronaut. Soc. India. -1976.-28. №3. - P. 339-342.

181. Rhiu, J. J. A nine node finite element for analysis of geometrically non-linear sells / J. J. Rhiu, S. W. Lee // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - 26. -N9.-P. 1945-1962.

182. Sabir A. B. The application of finite element to the large defectiongeometrically nonlinear Bhavior of cylindral shells / A. B. Sabir, A. S. Lock // Var. Meth. Eng. Vol. 2 Prac. Int. Conf. Univ. Southampton. 1973. - 7/66 - 7/75.

183. Samuel, W. Key. The analysis of thin shells with a doubly curved arbitrary quadrilateral finite element / W. K. Samuel // Computers Struct. 1972. -Vol. 2.-N4.-P. 637-673.

184. Sandeep K. Nonlinear analysis of unsymmetrically laminated moderately thick axisymmetres structures / Sandeep K. Nath Y. // Int. J. Nonlinear Sci. and Numer. Simul. 2000. 1, № 4 -p.215-223.

185. Sarraz|n Mauricio. Axisymmetric shells for non axisymmetric loads an exact conical element approach / Sarrazin Mauricio // Adv. Eng. Software. - 1984.-6. -№3. - P. 148-155.

186. Sen Subir K., Gould Philip L. Free vibration of shells of revolution using FEM // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer., Soc. Civ. Eng. 1974. - 100. - №2. -P. 283-303.

187. Sheng H. Y. A state space finite element for laminated composite plates. // Comput. Mech. Appl. Mech & Eng. 2002. - 191.- №37-38.- P. 425-427.

188. Skopinsky, V. N. Stress analysis of shell intersections with torus transition under internal pressure leading. / V. N. Skopinsky // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. 1997. - 119, №3. - P. 288-292.

189. Surana Harau S. Geometrically nonlinear formulation for the axisymmetric shells elements // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982. - 18. - №4. -p.477-502.

190. Takezono Shigeo., Tao Katsumi., Gonda Takeshi. Dynamic response of poroelastic moderately thick shells of revolution saturated in viscous fluid // Int. J.A. 2002. - 45.- №3.- p.339-347.

191. Tessler Alexander. An efficient conforming axisymmetric shell element including transverse shear and rotary inertia // Comput. and Struct. 1982. -15. -N5. -p.567-574.

192. Tessler Alexsander, Spiridigliozzi Luciano. Resolving membrane and shear locking phenomena in curved shear deformable axisymmetric shellelements // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - 26. - №5. - p. 1071-1086.

193. To C. W.S., Wang B. Hybrid strain based geometrically nonlinear laminated composite triangular shell finite elements. // Finite elem. Anul. and Das. 1999. - 33, №2. - p.83-124

194. Turner, M. J. Stiffness and defection analysis of complex structures / M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp // J. Aero. Sci. 1958. - 23. -№1.-P. 805-823.

195. Wennerstrom, Hans. Nonlinear shell analysis performed with flat elements / Hans Wennerstrom // Finite Elem. Nonlinear Mech. Trondheim, 1978. -Vol.1.-P. 285-301.

196. Yuan, K. Y. Nonlinear analysis of an axisymmetric shell using tree noded degenerated isoparametric shell elements / C. C. Liang, K. Y. Yuan // Comput. And Struct. 1989. - 32. - №6. - P. 1225-1239.

197. Zienkiewicz, O. C. Finite elements in the solution of field problems / O. C. Zienkiewicz, Y. K. Cheung // The Engineering 1965. - Vol.220. - P. 507510.