автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численное исследование задач статики и динамики пологих геометрически нелинейных изотропных и ортотропных оболочек вращения на основе смешанного метода

На правах рукописи

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ ПОЛОГИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ИЗОТРОПНЫХ И ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ НА ОСНОВЕ СМЕШАННОГО МЕТОДА

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Курский государственный технический

университет».

Научный руководитель:

кандидат технических наук, доцент Ступишин Леонид Юлианович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Трушин Сергей Иванович кандидат физико-математических наук, доцент Жаворонок Сергей Игоревич

Ведущая организация:

ЦНИИЭП зрелищных и спортивных сооружений им. Б.С. Мезенцева, г.Москва

Защита состоится 21 ноября 2006 года в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при Московском государственном строительном университете по адресу: 113114 Москва, Шлюзовая набережная, д.8, ауд. 608.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан «

2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

нохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Повышение экономичности и улучшение эксплуатационных свойств пространственных тонкостенных конструкций является актуальной задачей строительства, машиностроения и других отраслей промышленности. Учет нелинейной стадии деформирования конструкций позволяет выявить неиспользованные ресурсы несущей способности. При расчете пологих оболочек в некоторых случаях величины усилий и перемещений, полученные с учетом геометрической нелинейности, больше, чем полученные по линейной теории, и учет проявлений геометрической нелинейности является необходимой задачей.

Аналитические решения можно получить лишь для простейших нелинейных задач теории оболочек. В большинстве случаев для проведения расчетов приходится применять численные методы.

В настоящее время нет универсального метода, одинаково эффективного для решения каждой из задач. Поиск эффективных методов, позволяющих с максимальной точностью и минимальными затратами времени и усилий проектировщика осуществлять расчеты конструкций, остаётся актуальной задачей.

В практике проектирования часто встречаются оболочки из ортотропного материала: железобетона, полимерных материалов с армированием, навивные оболочки и т.п. Развитие методов расчета ортотропных оболочек в нелинейной стадии способствует более полному пониманию картины деформирования реальных конструкций.

При исследовании конструкций, испытывающих воздействие динамических нагрузок, учет геометрической нелинейности приводит к появлению особенностей в их работе, которые не наблюдаются при расчетах в линейной стадии. Такая ситуация возникает при определении частот и форм свободных колебаний конструкции относительно некоторого начального деформированного состояния, которое может быть обусловлено действием некоторой статической нагрузки, например, собственного веса конструкции, снеговой нагрузки и т.п.

Точное моделирование работы таких конструкций в рамках геометрически нелинейной теории является важной задачей. Цель работы:

■ построение на основе метода Бубнова-Галеркина в смешанной конечно-элементной формулировке новых математических моделей изотропных и орто-тропных геометрически нелинейных пологих оболочек вращения при статических и динамических воздействиях;

■ решение новых задач деформирования оболочек с целью установления рациональных параметров оболочек.

Научная новизна работы:

• построена математическая модель пологих геометрически нелинейных изотропных и ортотропных оболочек вращения на основе метода Бубнова-Галеркина в смешанной конечно-элементной формулировке;

• разработана новая методика для определения частот и форм малых свободных колебаний пологих изотропных и ортотропных оболочек вращения относительно начального геометрически нелинейного деформированного состояния на основе метода Бубнова-Галеркина в смешанной конечно-элементной формулировке.

Достоверность результатов диссертационной работы основана на:

• корректности математических моделей, взятых в качестве основы разработанных методик и строгости используемого математического аппарата;

• сопоставлении результатов численных экспериментов с известными аналитическими решениями.

Практическая ценность работы:

■ разработаны методики расчета и комплекс программ, позволяющие определять напряженно-деформированное состояние (НДС), частоты и формы малых свободных колебаний относительно начального деформированного состояния для пологих геометрически линейных и нелинейных оболочек вращения из изотропного или ортотропного материала с произвольной формой образующей, законом распределения нагрузки, упругоподатливыми закреплениями,

переменными вдоль образующей характеристиками материала и толщиной; методики и программа позволяют проводить анализ влияния геометрических и физических параметров оболочки, нагрузки и условий закрепления на НДС, значения частот и форм свободных колебаний;

■ решен ряд новых задач по исследованию НДС, частот и форм свободных колебаний пологих геометрически нелинейных изотропных и ортотропных оболочек вращения;

■ на их основе численных исследований НДС, частот и форм свободных колебаний пологих геометрически нелинейных изотропных и ортотропных оболочек вращения выработаны рекомендации для проектирования, касающиеся выбора рациональных форм и условий закрепления оболочек.

Внедрение работы

Разработанное в рамках работы программное обеспечение внедрено:

• в составе комплекса программ для расчета конструкций на предприятии ОАО «Геомаш» (гЛЦигры);

• в учебный процесс КурскГТУ, в частности дисциплины «Численные методы и САПР объектов строительства» кафедры ГСХ и СМ.

Апробация работы состоялась на следующих конференциях и семинарах:

• семинарах кафедры сопротивления материалов и строительной механики КурскГТУ в 2001, 2002, 2003, 2004, 2005г.г.;

• научном семинаре кафедры информатики и прикладной математики МГСУ, 2002г;

• конференциях инженерно-строительного факультета КурскГТУ, проходивших в 2002г. и 2003г.;

• конференции «Молодежь и ХХГ век» КурскГТУ, проходившая в 2004г.;

• семинаре кафедры теоретической механики и мехатроники КурскГТУ 2005г.;

• семинарах кафедры строительной механики МГСУ, 2005г., 2006г.

Публикации.

По материалам и результатам исследований опубликовано 4 статьи.

На защиту выносятся

• разработанные на основе метода Бубнова-Галеркина в смешанной конечно-элементной формулировке методики и алгоритмы для определения НДС, частот и форм свободных колебаний линейных и геометрически нелинейных изотропных и ортотропных оболочек вращения;

• результаты численных исследований НДС, частот и форм свободных колебаний линейных и геометрически нелинейных изотропных, ортотропных пологих оболочек вращения и результаты решения новых задач, реализованные на основе разработанных методик и алгоритмов;

• рекомендации по проектированию геометрически нелинейных изотропных и ортотропных пологих оболочек вращения, касающиеся выбора рациональных форм, условий закрепления оболочек вращения и физических характеристик ортотропного материала оболочек;

Объем и структура. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 132 наименования и приложения, 149 страниц основного текста, 70 рисунков и 1 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследования и формулируются цели диссертации.

В первой главе приводится краткий обзор литературы, отражающий современное состояние вопроса. Приведен анализ определяющих уравнений теории оболочек и решений задач в различных постановках (статических и динамических, из изотропного и ортотропного материала), полученных Б.Г. Галеркиным, И.Г. Бубновым, В.З. Власовым, Н.НЛеонтьевым, А.И. Лурье, В.В. Новожиловым, Х.М. Муштари, К.З. Галимовым, А.Л. Гольденвейзером, В.В. Пикулем, Э.И. Григолюком, Б.Я. Кантором, Н.В. Валишвили, О.Д. Ониашвили, В.И. Феодосьевым, В.В. Болотиным, П.М. Огибаловым,

A.C. Вольмиром, M.C. Корнишиным, B.B. Петровым, И.Г. Овчинниковым, Я.М. Григоренко, С.И. Трушиным, A.A. Амосовым, С.Г. Лехницким, С.А. Ам-барцумяном, Э. Рейсснером, В. Флюгге, Л. Доннеллом, Э. Мейсснером,

B. Церном и др.

Отмечено, что при расчетах оболочек сложной формы, работающих в геометрически нелинейной стадии деформирования, широко используются приближенные методы расчета. Это, например, метод Бубнова-Галеркина с использованием в качестве аппроксимирующих функций тригонометрических рядов, метод коллокаций (В.В.Рогалевич, С.Б.Косицин, Г.А. Мануйлов и др.), метод сведения к задаче Коши (Стриклин, Хейслер, Валишвили и др.), метод малого параметра (Э.И. Григолюк, И.И. Ворович и др.), метод конечных разностей (П.М. Варвак, A.C. Вольмир, Н.В. Валишвили и др.), вариационно-разностный метод (А.Б. Золотов, В.Н.Сидоров, С.И. Трушин и др.), метод конечных элементов (А.М. Масленников, Л.А. Розин, В.А. Постнов, H.H. Шапошников, С.Б.Косицин, М. Тернер, Р. Клафф, Г. Мартин, Л. Топп, Дж. Аргирис, В. Айронс, ТЛиан, O.K. Зенкевич и др.). При решении нелинейных уравнений часто используется метод линеаризации нелинейных уравнений (В.З. Власов, Петров В.В., Овчинников И.Г., Ярославский В.И.). Для решения нелинейной системы алгебраических уравнений, возникающей, при применении метода сеток или МКЭ, используются различные подходы. Наиболее часто для этих целей используются метод простой итерации (М.С. Корнишин, Стриклин, Хейслер и др.), метод Ньютона-Раффсона и различные его модификации.

При решении задач теории оболочек широкое распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). Обоснованы преимущества смешанного метода перед МКЭ в перемещениях. Описано развитие смешанного МКЭ в работах Л.Германна, П.Тонга, Т.Пиана, И.Бабушки, Дж.Одена, Дж. Ли, Л.А.Розина, Н.П.Абовского, Б.Я.Кантора, И.Е.Милейковского, В.И.Сливкера и др. Показаны достоинства метода Бубнова-Галеркина в форме МКЭ на основе работ И.Г.Бубнова, С.Г. Михлина, Г.И. Петрова, Дункана, Флетчера, О.Зенкевича,

К.Моргана и др. Отмечено, что на настоящий момент для решения геометрически нелинейных задач не существует единого наиболее эффективного метода. Каждый из приведенных в обзоре методов имеет свою область применения. Обосновано использование для решения поставленных задач метода Бубнова-Галеркина с конечными элементами в смешанной формулировке.

Во второй главе приводится постановка задач статики и динамики изотропных и ортотропных пологих оболочек вращения, описывается общая методика построения разрешающих уравнений и методика их решения.

В качестве исходных используются уравнения свободных осесимметрич-ных колебаний пологой геометрически нелинейной ортотропной оболочки вращения:

(г)аУ(г,о c2(r) d<p(r,t) [г д сН 1 дг2 г дг дг

дг2 г дг

дг \ дг дг J 2 5r i V дг

+ с ,д2<р(г, 0 ld<p(r,t)

дг2 г дг

\ д[ пе ,d2w(r,t) Р2(г) д^V(r,t) д( ,a2vv(r,Q „ ,

= 0

ror^ дг г дг dry дг or j

| i а ГазКг.одгсгП | i д p^oawCr)^ yhd2w(r) | Q

r dry дг дг J дг дг J g dt2 ^

где q> - функция напряжений, w - перемещения точек срединной поверхности вдоль оси z координат, /(г) - функция образующей, h - толщина оболочки, q -распределенная по поверхности нагрузка вдоль оси z координат, у- объемный вес материала оболочки, g - ускорение свободного падения, t - время, С( - жесткость оболочки при растяжении-сжатии (значение индекса /=1 соответствует радиальному направлению г, /=2 - окружному направлению Dt - цилиндрическая жесткость оболочки, DX1 = D2vl — Z),v2, Сар = Cpva = Cavp.

Для изотропной оболочки эти соотношения будут иметь вид:

1 1 д г

Ек г дг

д(1д( ЗрУГ) \д(ду»Щг)\ 1 ЭГЭиЛ2 От^йЛ дг))) гдгУдг дг ) 2гдг\дг)

р1 д(гд(1 Чг^ТЙ. 1 д(д9&(г)) а^^-ОГЛ

гдг{ дг[гдг{ дг))) гдгУдг дг ) г дг\дг дг ) 4 % Э/2

Е - модуль упругости, Б - цилиндрическая жесткость оболочки.

Введем безразмерные величины в уравнения (1), (2). Предполагая, что происходят малые колебания относительно некоторого геометрически нелинейного начального деформированного состояния, после проведения соответствующих математических преобразований, получаем систему уравнений:

<3>

Ф1, Р Ф ) р др

- ^(рЦ ^+ДА ^ + Ц2^+- *ф0 = + Л; (4)

Ф^ р др) р ер

-АГрД^ + Д в] + Д ^ + ^.ё-А-ф-Ф0ё-Фв0-ар = 0; (6)

Ф ) Ф Р

р|-[-|-(аР)1 = ш2Рё, (7)

Ф1РФ )

где р - безразмерная радиальная координата; Ф = Ф0 + 5Ф и 0 = 60 + 59 - безразмерные функции напряжений и углов поворота образующей соответственно; Ф0,80 - составляющие, описывающие начальное напряженно-деформированное состояние оболочки; 5Ф,59 - малые отклонения системы в процессе колебаний; К - безразмерная функция, пропорциональная производной от функции образующей оболочки по координате р; ¡л = А2 - константы интегрирования, величина которых зависит от граничных условий; Б! ~ безразмерная цилиндрическая жесткость при изгибе для /-го направ-

ления; Д2 = 02у1 = С1 - безразмерный коэффициент жесткости в /-м направлении; Сп =0^21(0 - безразмерная частота свободных колебаний;

дг-У^ РГ дМр,*)

' о.

ЭР

с1р - безразмерная функция инерционных сил.

Первые два уравнения (3), (4) системы (3) - (7) описывают начальное напряженно-деформированное состояние оболочки, вызванное действием некоторой начальной статической нагрузки <?. Поскольку эти уравнения могут быть решены независимо от уравнений (5) - (7), их можно использовать в тех случаях, когда необходимо определить только лишь напряженно-деформированное состояние пологой оболочки вращения с учетом геометрической нелинейности.

Уравнения (5) - (7) описывают малые свободные колебания оболочки относительно начального деформированного состояния.

В случае изотропной оболочки система уравнений, описывающая колебания оболочки, приобретает вид:

Эр

15, ..

--г-(рФо) .рф

д

Р7Г др

рэр

+ В0К-Ц-=АГ,

л/ц

- Ф0К + ФО0О = ^ \qopdp + Аг;

др

-т-(рф) _рф

+ 0А'-9О0 =0;

аР

.рф

д др

-Фл:+Ф0е + Фе0 + ар=о;

1 5 (- \ ,р0р

= со2р9.

(8)

(9)

(10) (П) (12)

Здесь так же, как и в случае ортотропной оболочки, первые два уравнения (8), (9) описывают начальное геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние, а уравнения (10) - (11) - малые свободные колебания оболочки относительно начального деформированного состояния. Урав-

нения имеют некоторые отличия в структуре от уравнений для ортотропной оболочке, что связано с использованием других безразмерных величин.

В подобной постановке, для сферической изотропной оболочки, задача формулировалась и решалась Н.В. Валишвили. Для решения дифференциальных уравнений использовался метод конечных разностей.

Для единообразного моделирования различных способов закрепления оболочки и проведения исследований их влияния на НДС, частоты и формы свободных колебаний оболочки, опирание оболочки принималось упруго-податливым.

В работе формулируются граничные условия и определяются значения констант интегрирования Ах, Аг:

• Д = 0 и а = 0 при любых условиях закрепления оболочки;

• для свободного края ортотропной оболочки в случае, если по его контуру действуют равномерно распределенные нагрузки в виде поперечной Qr, продольной силы Ыг и изгибающего момента Мг:

ф = р0, Ц ^+Ца—=, л2=-с^й Ро - С^КЛр0 ;

др Ро к

в случае изотропной оболочки:

эе е мгн . к2 ^ л/ц ^ -

Ек др р0 £> Ек

• в центре замкнутой в вершине ортотропной оболочки, при действии в этой точке сосредоточенной силы ¡2:

е = о, ф = о, л2 = ;

в случае изотропной оболочки Аг =--~7=б I

• для упругоподатливого закрепления опорного контура ортотропной обо-

лФ-рД—=0, «е-рД—=о,

Эр Эр

где п = Са - ^^ » /я = -Д2 - " коэффициенты условий закрепле-

ния; кх и к2 - жесткость опорного контура в отношении поворота и радиального смещения соответственно; р, - значение координаты р на опорном контуре; в случае изотропной оболочки:

эф ее .

«ф-р1-т-=о, те-р!—= 0, Эр Эр

где п = V--—, т = -V—" '

кг р,

Для решения поставленных в работе задач используется метод Бубнова-Галеркина в слабой постановке с конечными элементами в смешанной формулировке. Метод дает возможность в случае необходимости уточнять решение в определенной области за счет сгущения конечно-элементной сети. Использование метода Бубнова-Галеркина с конечными элементами позволяет обойтись без процедуры построения функционала задачи и решать ее уравнения в той форме, в которой они записаны. Это позволяет понизить порядок дифференциальных уравнений осесимметричной пологой оболочки вращения. В результате число неизвестных в выражениях для конечного элемента в рамках данной задачи оказывается меньшим, чем при построении его традиционными методами с использованием вариационных принципов.

Уравнения метода Бубнова-Галеркина в слабой формулировке при представлении оболочки набором конечных элементов записываются как:

т!+ ^(ВД'рЖЛ^Р))^] + + РЛГ) -

«и )

'Р—Ро

где N1, к = Щ + Я'2, ро, р[ - соответственно матрица, содержащая на главной

диагонали базисные функции конечного элемента, вектор невязки дифференциальных уравнений и координаты р для крайних точек /-го элемента; М — число элементов; Л, О - операторы интегрирования по частям, Лг - вектор невязки граничных условий; р = р0 и р = р1 - координаты р наиболее близкого к центру и наиболее уделенного от центра края оболочки.

Конечные элементы оболочки представляют собой кольцевые сегменты с прямолинейной образующей, имеющие два узла - по верхнему и нижнему краю. Представление образующей оболочки в виде набора конечных элементов показано на рис. 1.

Использование дифференциальных уравнений (3) - (7) и (8) - (12), записанных в смешанной форме, и применение слабой формулировки метода Буб-нова-Галеркина позволило использовать для конечных элементов линейные аппроксимирующие функции.

В третьей главе описывается методика построения и решения геометрически нелинейных уравнений статики пологих изотропных и ортотропных оболочек вращения при осесимметричном нагружении.

В качестве исходных уравнений для определения напряженно-деформированного состояния пологих изотропных оболочек вращения используются уравнения (8), (9), для ортотропных оболочек — уравнения (3), (4). По-

строение разрешающих конечно-элементных соотношений осуществляется согласно методике, описанной во второй главе.

Полученные в результате конечно-элементные соотношения можно записать в матричном виде:

К ¿ + = (13)

где <у - вектор узловых параметров, К, - матрица элемента, Р] - вектор нагрузок, (?, - вектор нелинейных составляющих элемента.

В качестве неизвестных узловых параметров конечного элемента выступают значения функций Ф0 и в0 в узлах, т.е. в каждом узле вычисляются два узловых параметра. В большинстве известных из литературных источников конечных элементах для расчета оболочек вращения присутствует как минимум по три узловых параметра в каждом узле.

Полученные матрицы и векторы конечного элемента имеют явный вид, при их вычислении не требуется численное интегрирование и, следовательно, более эффективны с вычислительной точки зрения.

На основе матриц и векторов К,, Рп (Зп с учетом граничных условий формируются обобщенная матрица оболочки К, обобщенный вектор нагрузок Р и обобщенный вектор нелинейных слагаемых (5. Их сборка осуществляется обычным для метода конечных элементов способом.

Граничные условия учитываются путем суммирования матриц и векторов К, и Р( элементов, прилегающих к границе, со специальными матрицами и векторами граничных условий.

Для решения полученной нелинейной алгебраической системы уравнений используется метод простой итерации.

С целью отработки алгоритмов решения, оценки достоверности получаемых результатов и последующего сравнения геометрически нелинейных и линейных решений также были разработаны и реализованы методики расчета изотропных и ортотропных оболочек на основе линейной теории.

Проведены исследования сходимости численных решений и подтверждена сходимость при увеличении числа конечных элементов вдоль образующей оболочки и возрастании числа итераций. Достоверность получаемых результатов демонстрируется путем сравнения полученных при решении задач определения НДС линейных и геометрически нелинейных оболочек результатов с известными решениями, полученными с использованием других аналитических и численных методов.

На основе сформированных математических моделей изотропных и ор-тотропных оболочек было проведено исследование влияния различных параметров оболочки на их напряженно-деформированное состояние.

В качестве варьируемых параметров выступали следующие величины:

• значение равномерно распределенной по поверхности оболочки нагрузки,

• отношение стрелы подъема к радиусу основания оболочки,

• отношение радиуса основания оболочки к толщине оболочки,

• параметр формы образующей,

• коэффициенты условий закрепления оболочки,

• соотношение модулей упругости материала в радиальном и тангенциальном направлении.

Разыскивалось линейное и геометрически нелинейное решение. В работе приведены графики изменения усилий, изгибающих моментов и прогибов оболочки при различных сочетаниях указанных выше параметров. Исследование проводилось для оболочек, образующая которых описывалась степенной функцией /(р) = /шахр2 с параметром формы Ъ.

На основе полученных результатов сделаны выводы по рациональным значениям параметров оболочки. Показано, что при прочих равных условиях для оболочек с формой, близкой к сферической, наблюдается уменьшение значений усилий, изгибающих моментов и прогибов. Это позволяет утверждать, что оболочки такой формы являются более рациональными, чем оболочки дру-

гих форм (рис. 2). Сравнение геометрически нелинейных и линейных решений показало, что при прочих равных условиях для оболочек с формой, близкой к сферической, влияние геометрической нелинейности будет меньше, чем для оболочек других форм.

Анализ влияния условий закрепления на НДС оболочки показывает, что максимальные значения усилий, моментов и прогибов наблюдаются при шар-нирно-подвижной в радиальном направлении опоре. При таких условиях закрепления оболочки наблюдается максимальное влияние геометрической нелинейности на величину продольных усилий, моментов и прогибов (рис 3).

0.8

0.6

0.4

---- линеиное решение

- -геометрически

нелинейное решение

0.5 1 1.5 2 2.5 3 2 Рис. 2 График изменения максимального Рис. 3 График влияния параметров за-значения прогиба й> для оболочек с раз- крепления оболочки т и п на относи-личными формами образующей тельную разницу ^ между значениями

прогибов V?, определенных по нелинейной и линейной теории.

Минимальные значения продольных усилий наблюдаются при жестком закреплении опорного контура в отношении поворота, прогибов — при минимальной жесткости опоры в отношении поворота. Установлено, что наиболее рациональным способом закрепления оболочки с точки зрения уменьшения величин усилий, моментов и прогибов является неподвижная в радиальном направлении опора.

Проведенные численные исследования влияния соотношения © модулей

упругости в радиальном и тангенциальном направлении на НДС оболочки показывают, что абсолютные значения изгибающих моментов минимальны при соотношении равном 1,2..1,4. С отклонением от этих значений изгибающие моменты в оболочке возрастают (рис. 4). Величины продольных усилий и перемещений уменьшаются с увеличением соотношения модулей упругости (рис. 5);

Установлено, что для уменьшения величин усилий, моментов и прогибов необходимо увеличение жесткости материала в радиальном направлении по отношению к тангенциальному направлению. Для получения минимальных значений изгибающих моментов, отношение модуля упругости в радиальном направлении к модулю упругости в тангенциальном направлении должно быть равным 1,2.. 1,4.

Сравнение геометрически нелинейных и линейных решений показало, что различие между значениями усилий, моментов и перемещений, полученных в рамках геометрически нелинейной и линейной теории, растет с уменьшением соотношения модулей упругости.

Рис. 4 График изменение максималь- Рис. 5 График изменение максимально-ного значения Мг при изменении со- го значения продольного усилия отношения модулей упругости О. при изменении соотношения 0.

Четвертая глава посвящена малым свободным осесимметричным коле-

баниям пологих изотропных и ортотропных оболочек вращения относительно начального геометрически нелинейного деформированного состояния.

В качестве исходных уравнений для ортотропной оболочки выступают уравнения (8) - (12) и (3) - (7) - для изотропной оболочки. Построение разрешающих конечно-элементных соотношений ведется согласно общей методике, описанной во второй главе.

Полученные в результате уравнения, описывающие начальное деформированное состояние оболочки, в точности совпадают с уравнениями, описывающими начальное деформированное состояние оболочки, полученными в третьей главе. При решении задач на свободные колебания сначала решаются эти уравнения. Затем решаются уравнения, описывающие свободные колебания оболочки. Конечно-элементные соотношения для них записываются в матричном виде:

= (14)

где со - безразмерная частота свободных колебаний, К. - матрица элемента, М, - матрица масс элемента. В качестве неизвестных узловых параметров конечного элемента выступают значения безразмерных функций напряжений Ф, углов поворота в и инерционных сил а . Полученные матрицы конечного элемента имеют явный вид, для их вычисления не требуется численное интегрирование.

Формирование обобщенных векторов и матриц оболочки осуществляется обычным для метода конечных элементов способом. Для решения полученной обобщенной задачи на собственные значения (14) используется метод ОЪ разложения.

Была разработана и реализована методика расчета линейных изотропных и ортотропных оболочек с целью отработки алгоритмов, оценки достоверности получаемых результатов и сравнения геометрически нелинейных и линейных решений. Проведено сравнение результатов расчетов, полученных на основе разработанной методики, с результатами, полученными с использованием дру-

гих методов, для тех случаев, когда подобные решения имелись. Сравнение продемонстрировало их близость.

Исследовалась сходимость вычислительных алгоритмов и программ расчета. Исследование показало сходимость результатов расчетов при увеличении числа конечных элементов вдоль образующей оболочки.

На основе сформированных математических моделей было проведено исследование влияния различных параметров оболочки на значения минимальных частот и форм свободных колебаний изотропных и ортотропных оболочек вращения. Исследовалось влияние тех же параметров, что и в задачах статики, рассмотренных в третьей главе. На рисунках 6 и 7 показаны графики изменения минимальных частот и форм свободных колебаний оболочек в зависимости от параметра формы образующей Ъ при жестком закреплении оболочки. 35"] а, рад/с

30 25 20 15 10

---- линейное решение

— - с учетом геометрической нелинейности

4 о

Рис. 7 Изменение формы колебаний,

0.5 1 1.5 2 2.5 3 г Рис. 6 График изменения минимальной частоты свободных колебаний со' соответствующей минимальной частоте

свободных колебаний при изменении параметра формы 2

для оболочек с различными формами образующей

Анализ влияния условий закрепления на значение минимальной частоты свободных колебаний оболочки показывает, что частоты колебаний возрастают с увеличением жесткости опорного контура. Максимальные значения частот колебаний наблюдаются при жестком опорном контуре, минимальные - при шарнирно-подвижном в радиальном направлении опорном контуре.

Результаты исследования влияния формы образующей на значения минимальных частот свободных колебаний оболочки показывают, что:

для оболочки с шарнирно-подвижном закреплении опорного контура, при значениях параметра формы оболочки 2 = 2,8 значения частот колебаний максимальны. Оболочка такой формы изображена на рис. 8;

для оболочки с шарнирно-неподвижным опиранием, жестком закреплении и с подвижном в радиальном направлении жестком опорном контуре, при значениях параметра формы % = 1,8..2 (форма, близкая к сферической - рис. 8) значения частот колебаний максимальны;

Рис. 8 Формы образующей оболочки при Z=L8, Ъ=2 и Z=2.8 Проведено исследование влияния соотношения модулей упругости в радиальном и тангенциальном направлении на частоты и формы свободных колебаний оболочки, которое показывает, что значение частоты свободных колебаний уменьшается при увеличении жесткости материала в радиальном направлении по отношению к тангенциальному направлению (см. рис. 9).

Рис. 9 Изменение минимальной частоты свободных колебаний в зависимости от соотношения модулей упругости материала 0.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

• построены численные методики для определения напряженно-деформированного состояния геометрически нелинейных изотропных и орто-тропных пологих оболочек вращения. Методики применимы к оболочкам с произвольной формой образующей, упругоподатливым закреплением, переменной толщины и физико-механическими свойствами материала;

• в смешанной форме получены линеаризованные дифференциальные уравнения малых свободных колебаний пологой ортотропной оболочки вращения относительно начального геометрически нелинейного деформированного состояния;

• построены численные методики для определения частот и форм малых свободных колебаний пологих изотропных и ортотропных оболочек вращения относительно начального геометрически нелинейного деформированного состояния. Методики применимы к оболочкам с произвольной формой образующей, упругоподатливым закреплением и переменной толщиной и физико-механическими свойствами материала;

• методики реализованы на основе новых эффективных с вычислительной точки зрения смешанных конечных элементов, имеющих меньшее число степеней свободы по сравнению с известными конечными элементами оболочек вращения. При вычислении их матриц и векторов не требуется использование численного интегрирования;

• в полученных конечно-элементных соотношениях имеется возможность задать жесткость оболочки в отношении растяжения-сжатия и в отношении изгиба независимо друг от друга. Это позволяет использовать данный конечный элемент для расчета ребристых, многослойных и железобетонных оболочек после вычисления их приведенных характеристик;

• на основе разработанных методик сформированы численные модели линейных и геометрически нелинейных, изотропных и ортотропных оболочек вращения. Написан комплекс компьютерных программ для определения на-

пряженно-деформированного состояния, частот и форм свободных колебаний оболочек.

• на геометрически нелинейных и линейных моделях изотропных и орто-тропных оболочек исследовано влияние нагрузки, геометрических параметров (стрелы подъема, толщины оболочки), формы образующей, условий закрепления, соотношения жесткостей материала в радиальном и тангенциальном направлениях на НДС, значения минимальных частот и форм свободных колебаний. Проведен анализ их влияния на отклонение геометрически нелинейных решений от линейных решений.

• определены оптимальные формы оболочки и виды закрепления опорного контура, выработаны практические рекомендации по проектированию оболочек.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Ступишин Л.Ю., Никитин К.Е. Расчет геометрически пологой нелинейной оболочки вращения методом конечных элементов в смешанной формулировке // Сварка и родственные технологии в машиностроении и электронике. Региональный выпуск научных трудов. Вып. №4. - Курск: Изд-во КГТУ, 2002. - с.69-76.

2. Ступишин Л.Ю., Никитин К.Е., Хечумов А.Р. Расчет пологой оболочки вращения методом конечных элементов в смешанной формулировке // Известия Курского государственного технического университета №1(10). -Курск: Изд-во КГТУ, 2003. - с.18-22.

3. Ступишин Л.Ю., Никитин К.Е. Смешанный конечный элемент пологой оболочки вращения // Известия вузов. Строительство. №8. - Новосибирск: НГАСУ, 2003.-с. 17-20.

4. Ступишин Л.Ю., Никитин К.Е. Смешанный конечный элемент ортотроп-ной геометрически нелинейной осесимметричной пологой оболочки вращения. // Известия вузов. Строительство. №6. - Новосибирск: НГАСУ, 2004.-c.8-12.

тел. 185-79-54

г. Москва м. Бабушкинская ул. Енисейская 36 комната №1 (Экспериментально-производственный комбинат)

ВВЕДЕНИЕ.

1. Современное состояние вопроса. Цели и задачи иследования.

2. Постановка задач статики и динамики изотропных и ортотропных пологих оболочек вращения. Общая методика их решения.

2.1. Основные соотношения теории пологих геометрически нелинейных оболочек.

2.1.1. Уравнения пологой оболочки вращения в безразмерном виде.

2.1.2. Выражения для определения усилий, моментов и перемещений через безразмерные функции напряжений и углов поворота.

2.1.3. Граничные условия.

2.1.4. Определение констант интегрирования уравнений оболочки.

2.2. Общая методика решения системы дифференциальных уравнений геометрически нелинейной пологой оболочки.

2.2.1. Исходные положения методики.

2.2.2. Выбор базисных функций.

2.2.3. Ансамблирование и решение системы алгебраических уравнений

3. Задачи статики пологих оболочек вращения.

3.1. Методика решения задачи определения напряженно-деформированного состояния линейной изотропной пологой оболочки вращения.

3.2. Исследование точности и сходимости разработанной вычислительной процедуры.

3.3. Методика решения задачи определения напряженно-деформированного состояния геометрически нелинейной изотропной пологой оболочки вращения.

3.4. Исследование точности и сходимости вычислительной процедуры.

3.8. Исследование влияния параметров изотропной пологой оболочки на ее напряженно-деформированное состояние.

3.8.1. Исходные положения.

3.8.2. Анализ влияния величины нагрузки на напряженно-деформированное состояние оболочки.

3.8.3. Анализ влияния формы образующей на напряженно-деформированное состояние оболочки.

3.8.4. Анализ влияния геометрических параметров на напряженно-деформированное состояние оболочки.

3.8.5. Анализ влияния условий закрепления оболочки на напряженно-деформированное состояние оболочки.

3.9. Методика решения задачи определения напряженно-деформированного состояния линейной ортотропной пологой оболочки вращения.

3.10. Исследование точности и сходимости разработанной вычислительной процедуры.

3.11. Методика решения задачи определения напряженно-деформированного состояния геометрически нелинейной ортотропной пологой оболочки вращения.

3.12. Анализ влияния соотношения жесткостей ортотропной оболочки ортотропной оболочки на напряженно-деформированное состояние оболочки.

3.13. Выводы.

4. Свободные колебания пологих оболочек вращения относительно начального деформированного состояния.

4.1. Методика решения задачи на свободные колебания для линейной изотропной пологой оболочки вращения.

4.2. Исследование точности и сходимости разработанной вычислительной процедуры.

4.3. Методика решения задачи на свободные колебания геометрически нелинейной изотропной пологой оболочки вращения.

4.4. Исследование точности разработанной вычислительной процедуры

4.5. Анализ влияния параметров оболочки на минимальные частоты и соответствующие им формы свободных колебаний.

4.5 Л. Основные положения.

4.5.2. Исследование влияния величины нагрузки, определяющей начальное деформированное состояние оболочки на значения частот и форм свободных колебаний оболочки.

4.5.3. Исследование влияния геометрических параметров оболочки на значения частот свободных колебаний.

4.5.4. Исследование влияния условий закрепления на значения частот и форм свободных колебаний оболочки.

4.5.5. Исследование влияния формы образующей оболочки на значения частот и форм свободных колебаний оболочки.

Повышение экономичности и улучшение эксплуатационных свойств пространственных тонкостенных конструкций является актуальной задачей строительства, машиностроения и других отраслей промышленности. Учет нелинейной стадии деформирования конструкций позволяет выявить неиспользованные ресурсы несущей способности. При расчете пологих оболочек в некоторых случаях величины усилий и перемещений, полученные с учетом геометрической нелинейности, больше, чем полученные по линейной теории, и учет проявлений геометрической нелинейности является необходимой задачей.

Аналитические решения можно получить лишь для простейших нелинейных задач теории оболочек. В большинстве случаев для проведения расчетов приходится применять численные методы.

В настоящее время нет универсального метода, одинаково эффективного для решения каждой из задач. Поиск эффективных методов, позволяющих с максимальной точностью и минимальными затратами времени и усилий проектировщика осуществлять расчеты конструкций, остаётся актуальной задачей.

В практике проектирования часто встречаются оболочки из ортотропного материала: железобетона, полимерных материалов с армированием, навивные оболочки и т.п. Развитие методов расчета ортотропных оболочек в нелинейной стадии способствует более полному пониманию картины деформирования реальных конструкций.

При исследовании конструкций, испытывающих воздействие динамических нагрузок, учет геометрической нелинейности приводит к появлению особенностей в их работе, которые не наблюдаются при расчетах в линейной стадии. Такая ситуация возникает при определении частот и форм свободных колебаний конструкции относительно некоторого начального деформированного состояния, которое может быть обусловлено действием некоторой статической нагрузки, например, собственного веса конструкции, снеговой нагрузки и т.п. Точное моделирование работы таких конструкций в рамках геометрически нелинейной теории является важной задачей.

Целью настоящей работы является:

• построение на основе метода Бубнова-Галеркина в смешанной конечно-элементной формулировке новых математических моделей изотропных и орто-тропных геометрически нелинейных пологих оболочек вращения при статических и динамических воздействиях;

• решение новых задач деформирования оболочек с целью установления рациональных параметров оболочек.

Научная новизна работы:

• построена математическая модель пологих геометрически нелинейных изотропных и ортотропных оболочек вращения на основе метода Бубнова-Галеркина в смешанной конечно-элементной формулировке;

• разработана новая методика для определения частот и форм малых свободных колебаний пологих изотропных и ортотропных оболочек вращения относительно начального геометрически нелинейного деформированного состояния на основе метода Бубнова-Галеркина в смешанной конечно-элементной формулировке.

Достоверность результатов диссертационной работы основана на:

• корректности математических моделей, взятых в качестве основы разработанных методик и строгости используемого математического аппарата;

• сопоставлении результатов численных экспериментов с известными аналитическими решениями.

Практическая ценность работы: ■ разработаны методики расчета и комплекс программ, позволяющие определять НДС, частоты и формы малых свободных колебаний относительно начального деформированного состояния для пологих геометрически линейных и нелинейных оболочек вращения из изотропного или ортотропного материала с произвольной формой образующей, законом распределения нагрузки, упруго-податливыми закреплениями, переменными вдоль образующей характеристиками материала и толщиной; методики и программа позволяют проводить анализ влияния геометрических и физических параметров оболочки, нагрузки и условий закрепления на НДС, значения частот и форм свободных колебаний; решен ряд новых задач по исследованию НДС, частот и форм свободных колебаний пологих геометрически нелинейных изотропных и ортотропных оболочек вращения; на их основе численных исследований НДС, частот и форм свободных колебаний пологих геометрически нелинейных изотропных и ортотропных оболочек вращения выработаны рекомендации для проектирования, касающиеся выбора рациональных форм и условий закрепления оболочек.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения.

Основные результаты и выводы диссертационной работы состоят в следующем:

• построены численные методики для определения напряженно-деформированного состояния геометрически нелинейных изотропных и ортотропных пологих оболочек вращения. Методики применимы к оболочкам произвольной формой образующей, упругоподатливым закреплением и переменной толщины и физико-механическими свойствами материала;

• в смешанной форме получены линеаризованные дифференциальные уравнения малых свободных колебаний пологой ортотропной оболочки вращения относительно начального геометрически нелинейного деформированного состояния;

• построены численные методики для определения частот и форм малых свободных колебаний пологих изотропных и ортотропных оболочек вращения относительно начального геометрически нелинейного деформированного состояния. Методики применимы к оболочкам произвольной формой образующей, упругоподатливым закреплением и переменной толщиной и физико-механическими свойствами материала;

• методики реализованы на основе новых эффективных с вычислительной точки зрения смешанных конечных элементов, имеющих меньшее число степеней свободы по сравнению с известными конечными элементами оболочек вращения. При вычислении их матриц и векторов не требуется использование численного интегрирования;

• в полученных конечно-элементных соотношениях имеется возможность задать жесткость оболочки в отношении растяжения-сжатия и в отношении изгиба независимо друг от друга. Это позволяет использовать данный конечный элемент для расчета ребристых, многослойных и железобетонных оболочек после вычисления их приведенных характеристик;

• на основе разработанных методик сформированы численные модели линейных и геометрически нелинейных, изотропных и ортотропных оболочек вращения. Написан комплекс компьютерных программ для определения напряженно-деформированного состояния, частот и форм свободных колебаний оболочек;

• проведен анализ сходимости вычислительных процедур для определения напряженно-деформированного состояния, частот и форм свободных колебаний оболочек. Продемонстрирована сходимость результатов расчетов при увеличении числа конечных элементов вдоль образующей оболочки и числа итераций при решении нелинейных уравнений. Уже при сравнительно небольшом числе элементов удается достичь хорошей точности получаемых результатов;

• на геометрически нелинейных и линейных моделях изотропных и ортотропных оболочек исследовано влияние нагрузки, геометрических параметров (стрелы подъема, толщины оболочки), формы образующей, условий закрепления, соотношения жесткостей материала в радиальном и тангенциальном направлениях на НДС, значения минимальных частот и форм свободных колебаний. Проведен анализ их влияния на отклонение геометрически нелинейных решений от линейных решений;

• определены оптимальные формы оболочки и виды закрепления опорного контура, выработаны практические рекомендации по проектированию оболочек.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 287с.

2. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики. М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

3. Алумяэ Н.А. О представлении основных соотношений нелинейной теории оболочек. //ПММ. 1956. Т.20, вып. 1. с. 136-129.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.-384 с.

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания. М.: Наука, 1987. - 360 с.

6. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Паламарчук В.Г. Динамика ребристых оболочек. Киев: Наук, думка, 1983. - 204с.

7. Амосов А.А. Приближенная трехмерная теория нетонких упругих оболочек и плит. Диссертация на соискание степени доктора технических наук. М.: ЦНИИСК им. В.А. Курченко, 1990. 336 с.

8. Амосов А.А. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек. // Стр. мех. и расчет сооружений. 1987. №5. с.37-42.

9. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. -М.:Изд-во АСВ, 2002. -228с.

10. Андрианов И.В., Лесничая В.А., Маневич Л.И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 224с.

11. Андрианов И.В., Холод Е.Г. Промежуточные асимптотики в нелинейной динамике оболочек // Изв. РАН. Механика твердого тела, 1993. №2. -с. 172-177.

12. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М., 1968. - 240с.

13. Астраханцев Г.П. О смешанном методе конечных элементов в задачах теории оболочек // Журнал вычисл. матем. и математич. физики, 1989.1417