автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование напряженно-деформированных состояний ортотропных цилиндрических оболочек при учете сдвига

На правах рукописи

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ ОРТОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ УЧЕТЕ СДВИГА

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тюмень - 2004

Работа выполнена на кафедре строительной механики Тюменской государственной архитектурно-строительной академии

Научный руководитель кандидат технических наук, доцент

Карпенко Юрий Иванович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Ведущая организация ОАО институт «Нефтегазпроект», г. Тюмень

Защита диссертации состоится 20 декабря 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 212.274.01 при Тюменском государственном университете по адресу 625003, г.Тюмень, ул. Перекопская, 15А, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Сысоев Юрий Георгиевич кандидат физико-математических наук, доцент Агеносов Леонид Геннадьевич

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию напряженного состояния ортотропных цилиндрических оболочек при учете деформации поперечного сдвига. В работе получены новые разрешающие уравнения в теориях как замкнутых, так и открытых оболочек, проведен асимптотический анализ соответствующих им характеристических уравнений, рассмотрены частные случаи напряженно-деформированного состояния.

Актуальность темы. Сочетание малого веса при высокой прочности позволяет широко применять строительные конструкции из ортотропных материалов в виде оболочек в различных областях. Однако, зачастую, такие материалы имеют меньшую по сравнению с металлами сдвиговую жесткость. Отказ от использования классической теории приводит к тому, что получение разрешающих уравнений зачастую представляет непреодолимую техническую трудность, выкладки становятся очень громоздкими и сопровождаются большим количеством ошибок. В настоящее время созданы программные системы символьной математики или компьютерной алгебры, существенно облегчающие проведение таких выкладок в аналитической форме. Это новое качество компьютеров позволяет теперь наряду с громадными вычислительными задачами выполнять и очень большие аналитические расчеты и преобразования. Поэтому становится возможным построение новых математических моделей физических процессов, в частности, новых теорий оболочек, построение которых раньше было невозможным из-за выкладок, которые не представляют теоретической сложности, но они непосильны для ручного исполне-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

ния. В результате удается поставить и решить задачу построения соотношений, аналогичных классической теории, но учитывающих сдвиг, при использовании современной вычислительной техники и математических систем.

Цель работы. Получение и исследование уравнений в теории ортотропных цилиндрических оболочек в случае нагружения по нормали при учете деформации поперечного сдвига, без использования промежуточных упрощающих гипотез и проведение асимптотического анализа полученных уравнений.

Основные задачи.

♦ Применяя пакеты символьной математики, получить разрешающие уравнения в теории замкнутых и открытых ортотропных цилиндрических оболочек без использования промежуточных упрощающих гипотез;

♦ Выполнить асимптотический анализ полученных разрешающих уравнений, на основе которого в качестве частных случаев получить как известные случаи напряженно-деформированных состояний с учетом и без учета сдвига, так и некоторые новые и установить их механический смысл;

♦ указать области применимости полученных уравнений;

♦ выполнить тестовые расчеты некоторых конкретных оболочек на основе теорий с учетом и без учета поперечного сдвига.

Научная новизна и практическая ценность.

1. Впервые получено общее разрешающее уравнение в теории ортотропных цилиндрических оболочек при учете деформации попе-

речного сдвига для нагружения оболочки по нормали без введения упрощающих гипотез.

2. Проведен асимптотический анализ соответствующего характеристического уравнения. Это позволило из общего напряженно-деформированного состояния (НДС) выделить частные случаи, дать асимптотические оценки приближенных уравнений.

3. Указан критерий выбора построенных теорий в зависимости от податливости оболочки на сдвиг. Данный критерий оказывается важным в ситуации, когда требуется установить, надо ли использовать теорию, учитывающую сдвиг, или можно обойтись без нее.

4. Асимптотический анализ позволил получить классификацию, по которой могут выбираться теории оболочек с учетом сдвига, построенную на анализе коэффициента податливости оболочки на сдвиг, характере изменяемости напряженно-деформированного состояния в окружном и продольной направлении.

5. На основе построенной классификации может быть осуществлен выбор расчетной модели в конкретной практической ситуации, что обеспечит безопасность с одновременной экономичностью конструкции.

Апробация. Основные положения работы публиковались и докладывались:

на научно-технической конференции ТюмГАСА (Тюмень, апрель, 1996); на конференции аспирантов и научных работников ТюмГАСА (Тюмень, апрель, 1998); на международной научной конференции молодых ученых (Ишим, февраль, 2001); на Всероссийской научно-технической конференции «Материалы и технологии XXI века»

(Пенза, май 2001); на VII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, апрель 2003); на научном семинаре студентов и аспирантов «Прикладные методы расчета элементов конструкций из композиционных материалов» под руководством Горбачева В.И., профессора, д.ф.-м.н. (МГУ, октябрь, 2003); на научном семинаре кафедры «Механика композитов» под руководством Победри Б.Е., профессора, д.ф.-м.н. (МГУ, декабрь 2003); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, май 2004); на конференции аспирантов и молодых ученых ТюмГАСА (Тюмень, октябрь 2004).

Публикации. Основные положения диссертации отражены в 8 публикациях. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, приложения. Объем диссертации составляет 157 страниц, в том числе 16 рисунков, 4 таблицы и список литературы, содержащий 102 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой проблемы, изложена цель работы, приведено краткое содержание пяти глав.

В первой главе дан краткий обзор работ по рассматриваемым вопросам, приведена постановка задачи, показана актуальность темы и практическая направленность диссертации.

Существенный вклад в теорию оболочек внесли такие ученые как С.А.Амбарцумян, В.З.Власов, А.С.Вольмир, И.И.Гольденблат, А.Л.Гольденвейзер, В.И.Королев, А.И.Лурье, В.В.Новожилов, Б.Л.Пелех, С.П.Тимошенко, К.Ф.Черных и др.

Одной из основных тенденций в современной технике является максимальное использование потенциальных возможностей применяемых материалов. Для этого необходимо не только качественно, но и количественно, с достаточной точностью учитывать особенности работы применяемых материалов в различных условиях нагружения. Расчеты по классической теории, зачастую, могут приводить к большим погрешностям.

Уточненные модели, построенные с использованием гипотез, характерны тем, что основным уточняющим фактором в них является учет деформаций поперечного сдвига. Наиболее распространенной стала гипотеза о прямолинейном элементе, согласно которой нормальный элемент оболочки после деформирования не остается перпендикулярным к деформированной срединной поверхности, а поворачивается на некоторый угол, не искривляясь и не изменяя своей длины.

Основная часть напряженно-деформированных состояний, возникающих в ортотропных оболочках, строилась исследователями путем введения дополнительных гипотез о характере данного состояния и его свойствах. В результате было построено значительное количество теорий ортотропных оболочек с учетом гипотезы Кирхгофа-Лява и теорий, с указанной выше модификацией этой гипотезы. Но, несмотря на большое количество работ в этой области, классифика-

ция применимости данных теорий в зависимости от параметра податливости оболочки на сдвиг, изменяемости напряженно-деформированного состояния в продольном и окружном направлениях остается актуальным вопросом. Это и определило направление исследований: получить разрешающие уравнение в случае нормального нагружения оболочки, выполнить их асимптотический анализ и установить значения некоторых параметров, которые будут соответствовать той или иной частной теории ортотропных оболочек с учетом сдвига.

Во второй главе приведены основные уравнения теории цилиндрических оболочек без учета сдвига. Разрешающее уравнение в этом случае известно. В данной главе это уравнение получено еще раз на основе применения пакета символьной математики Maple 7 для того, чтобы убедиться, что в более сложном случае ортотропных цилиндрических оболочек с учетом сдвига мы сможем получить разрешающее уравнение аналогичным способом.

Далее рассмотрена ортотропная цилиндрическая оболочка. Основные соотношения теории сводятся к известной системе пяти дифференциальных уравнений в частных производных относительно пяти неизвестных: компонентов перемещения u, v, w и углов поворота нормали после деформации Общий порядок системы равен десяти, в то время как аналогичная система уравнений равновесия классической теории цилиндрических оболочек, построенная на гипотезе Кирхгофа-Лява, имеет восьмой порядок.

С помощью операторного метода, известного по работам А.С.Амбарцумяна, В.З.Власова, А.Л.Гольденвейзера, А.И.Лурье, при

условии воздействия на оболочку нагрузки, распределенной по нормали, полученную систему можно свести к одному разрешающему дифференциальному уравнению десятого порядка относительно некоторой потенциальной функции Ф(а, Р) . Анализ литературы показывает, что операторный метод применяется, в основном, для расчетов изотропных или монотропных оболочек по классической теории. Использование этого метода при построении разрешающего уравнения в теории ортотропных оболочек с использованием сдвиговой модели затруднено большим количеством упругих независимых постоянных и неизвестных компонентов перемещения. При выводе этого уравнения приходится приводить подобные более чем в трех тысячах слагаемых, каждое из которых, к тому же, представляет собой некоторое аналитическое выражение. Это является непреодолимой технической трудностью для аналитических выкладок. Отметим, что и в более простых ситуациях теории оболочек эта техническая трудность, пусть в меньшей мере, но также имеет место. Она преодолевалась множеством авторов, но в данном случае это одна из основных причин того, что уравнение не было получено ранее. Использование Maple 7 позволяет в аналитическом виде получить искомое разрешающее уравнение в теории ортотропных цилиндрических оболочек:

[ Gl2a2 1 d10 , 4G12v1y2- Gnvx-2Exv2 1 д2 Э10 [ к Gn dai0 kvv G13 da8dj32

г

2G122V1V2(1 + 2V1V2)-4G122V12V2 -4G12v1v22g] +2Gnv\V2El

kGnvx2

2.. 2

E\ v2 kGnvx7

1 2 д -а

10

Gi3 ~ da6dß4

2GI22VIV2(1 + 2kiV2)-4GI22VI V22

- 4G12VIV22^I + 2G11V22EX + E\v2 kGnvx2

1 2 ö -a

10

Gi3 da4dß6

■ +

(1)

\Gnvxv2¿-GnvjL-2Exv2l 1 2 31U Gn v2¿ 2 &

2 G,3 da2dß& к V!2 Ô/?10

+

A:v

+

4 + a2+Efl2Vla2 к V\G\ 2

/ Gi2(l-VlV2)(16 + a2)+_gL^(4 + a2)_ l Ex \ > Gnv^ >

2v ^2,^(^1-2^1) 1 a2 2v2(£1-GI2r1) 1 2 I 2 7 ~ ' kvx G13 Jaa6ô/?2

*V

G13

v2 B£i2+ £iG) 2 [v!(з2 + a2 )- 2(12 + a2 )1 - 2Gi (1 - viv2 )(l 6 + a2 )

, v2 E\G\l a2 Gl22vl-3EiG]2viV2+2Gl22v2v2+El2v2 2v2 vi2 k2Gl32 kv\G\2V\ Gn

я8

da4dß4

+

v2 Glг2У\(1 -)(l 6 + q2)+ Щ2у2 2Ex-3Gnvx 2v22 ¿

G13

EtQ

v2

2 (

v\

к Gj3

1^12

\

kvi

da2dß6

$__v2 E\ (4 + a2 )+ 4G{2(1 - У1У2 ) 1__t.

dß* vx

da6

+

+

\ ^2 Ex2v2+ ExG12(2 -3v\v2) - 2G122vi(1 -v¡v2)

E\G\2

В третьей главе рассмотрено однородное дифференциальное уравнение десятого порядка, соответствующее теории ортотропных цилиндрических оболочек, на его основе получено характеристическое уравнение и проведено его асимптотическое исследование.

Использование уравнения (1) в общем и неупрощенном виде является затруднительным. Этим объясняется стремление к упрощению уравнений посредством пренебрежения некоторыми величинами. В случае замкнутых цилиндрических оболочек решение разрешающего уравнения (1) ищется при помощи разложения потенциальной функции Ф{а,/3) в тригонометрические ряды. Окружной координатой рассматриваемой оболочки является координата , поэтому по

этой координате применяется разложение в тригонометрический ряд. Это объясняется тем, что условия возврата (требования, чтобы после обхода контура поперечного сечения усилия, моменты, перемещения и углы поворота вернулись к своему прежнему значению) автоматически выполняются в каждом члене разложения

Ф(сг;/?) = £К1(«)со5«у9 + Фи2(а)8тп/?] (2)

где каждому п-му члену разложения соответствует некоторое НДС. Подстановка (2) в (1) приводит к тому, что обе функции Фп удовлетворяют одному обыкновенному дифференциальному уравнению десятого порядка с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения представляется для любого п в виде

Аналитическое решение полученного характеристического уравнения представляет собой сложную задачу. Поэтому это характеристическое уравнение упрощается за счет подбора комбинаций некоторых характерных параметров. Необходимо оценить, каким образом на корни характеристического уравнения оказывают влияние параметры тонкостенности и податливости оболочки на сдвиг

Величина ^ ^ (где h - толщина оболочки, R - радиус), входящая в коэффициенты характеристического уравнения, мала и

всегда меньше единицы, т.е. считается, что удовлетворяется неравенство 0<я«1.

Корни характеристического уравнения к зависят от его коэффициентов, которые в свою очередь зависят от комбинаций геометрических и физических величин. Более конкретно, эта зависимость в

общем случае имеет вид к-к

Г h Е\ Gn Л

Искомые

Ех Gn

корни к, а также величины п,-^—,-^- представляются в виде раз-

<713 ' С13

ложения по степеням малого параметра а, в предположении, что разложение начинается с некоторой степени

Для отыскания корня уравнения в первом приближении выражения (3) подставляются в характеристическое уравнение. Все члены

уравнения умножаются на д', где t - это наименьшая степень малого параметра в уравнении.

Так как корни любого алгебраического уравнения являются непрерывными функциями его коэффициентов, то ф0 = Hm ф являет-

ся корнем предельного при уравнения, если эти корни сущест-

вуют и отличны от нуля. В соответствии с работами Н.Г.Чеботарева и Д. Граве, значения параметров подбираются так, чтобы

соответствующее предельное уравнение существовало, не обращалось в тождество и имело отличные от нуля корни. Таким образом, должны быть таковыми, что все степени параметра были бы неотрицательными и находились при разных степенях

В работе получены тринадцать комбинаций параметров что соответствует условию Случай

рассмотрен отдельно в пятой главе диссертационной работы. Подстановка соответствующих комбинаций в характеристическое уравнение приводит к его упрощению, получается 13 различных характеристических уравнений. Из сопоставления с исходным характеристическим уравнением сделан вывод о порядке отбрасываемых величин. Каждой комбинации параметров соответствует некоторое напряженно-деформированное состояние, математическая модель которого является следствием исходного разрешающего уравнения. Следовательно, именно комбинация параметров и является той характеристикой, которая определяет область применимости упрощенной математической модели.

В четвертой главе для некоторых комбинации параметров оставаясь в рамках асимптотической погрешности, выписаны выражения для перемещений, усилий, моментов, компонентов деформации через разрешающую функцию. Для этих комбинаций в работе реализовано обращение задачи, при котором после процедуры

асимптотического анализа восстановлено разрешающее дифференциальное уравнение в частных производных.

Все модели напряженно-деформированных состояний орто-тропной цилиндрической оболочки разбились на две группы. В первой компоненты НДС находятся при использовании теории без учета сдвига для материалов жестких и более податливых на сдвиг. Показано, что частными случаями полученных уравнений являются уравнения в классической теории изотропных оболочек, что может служить тестом для проверки правильности предлагаемого подхода.

Для нахождения компонентов НДС второй группы используется теория для материалов с малой сдвиговой жесткостью, учитывающая деформацию поперечного сдвига. В свою очередь все напряженно-деформированные состояния обеих групп разбились на основное напряженное состояние (безмоментная теория), обобщенное основное напряженное состояние и краевой эффект (полубезмоментная теория), состояние с большой изменяемостью (теория пологих оболочек) и некоторые упрощенные теории, соответствующие перечисленным.

Так, одной из комбинаций при весьма больших п соответствует упрощенная теория построения напряженного состояния с большой изменяемостью. Но, в отличие от классической теории, в нашем случае не произошло разбиения на две несвязанные между собой группы соотношений. И в этом случае получено одно дифференциальное уравнение в частных производных для разрешающей функции.

В пятой главе проводится асимптотическое исследование корней характеристического уравнения в теории открытых (незамкнутых в окружном направлении) цилиндрических оболочек. Для этого разложение разрешающей функции в ряд представляется таким образом:

Р{а,р)=Ъ¥п(Р)втЛпа. (5)

п=1

Такого рода решение подходит только в тех случаях, когда на поперечных краях оболочки осуществлен определенный способ закрепления, например, шарнирное опирание. Асимптотический анализ полученного уравнения для открытых ортотропных цилиндрических оболочек проводится аналогично анализу уравнения для замкнутых оболочек. Процедура подбора комбинаций параметров 5, ц, х, t сохраняется той же, что и в первом случае. Таким образом, найдены одиннадцать комбинаций. Для каждой комбинации записывается разрешающее и характеристическое уравнения, а также указывается его асимптотическая погрешность. Далее через понятие приведенной длины оболочки описываются напряженно-деформируемые состояния, соответствующие полученным характеристическим уравнениям.

Таким образом, как для замкнутых, так и для открытых цилиндрических оболочек становится возможным заменить характеристическое уравнение, соответствующее разрешающему, одним из приближенных уравнений, полученных в работе, отбрасывая те слагаемые, которые выходят за пределы асимптотических погрешностей, допущенных при переходе к приближенным уравнениям.

Шестая глава посвящена рассмотрению случая п=0 для замкнутых ортотропных цилиндрических оболочек с учетом деформации поперечного сдвига. При этом

Ф{а\Р) = £[ф„1(а)со8 пр + Фп2{а)ыппр]= Ф0\а), (6)

следовательно, все искомые компоненты вектора перемещений, деформации, усилия и моменты являются функциями только а. При этом общее разрешающее уравнение существенно упрощается. Наиболее распространенным является случай осесимметричного загруже-ния оболочки. Если цилиндрическая оболочка подвержена действию нормальной нагрузки интенсивности q, разрешающее уравнение, вытекающее из общего случая, будет иметь известный в литературе вид

В работе была рассмотрена задача о нагружении оболочки равномерно распределенными на торце изгибающими моментами и перерезывающими силами <2о • Тогда выражение для прогиба будет иметь вид

Аналогично в работе были рассмотрены случаи ¡р" = А2 и > Л.2.

В случае в работе решена задача об изгибе длинной

цилиндрической оболочки под нагрузкой, равномерно распределенной по круговому сечению. Получены выражения для прогиба, усилий и моментов, возникающих в оболочке. Показано, что параметры тонкостенности и податливости оболочки на сдвиг значительно влияют на прогиб оболочки и изгибающий момент.

При анализе результатов выявлено, что с увеличением параметра податливости оболочки на сдвиг максимальный прогиб, вычисленный без учета сдвига, может достигать отличия от значения максимального прогиба, вычисленного по теории, учитывающей сдвиг, порядка 20%. При вычислении максимального значения изгибающего момента это отличие может достигать порядка 33%.

В работе также решены некоторые контактные задачи для цилиндрической ортотропной оболочки по теории с учетом сдвига, взаимодействующей с жестким бандажом. Были определены выражения для компонентов напряженно-деформированного состояния внутри и вне области действия бандажа, контактное давление и размер области контакта. Решение этой задачи позволяет рассмотреть более частные случаи, задавая конкретный вид поверхности сопри-

косновения оболочки с бандажом. Аналогично в работе решена задача, о взаимодействии оболочки с жестким кольцевым бандажом, имеющем угловые точки.

Качественная картина распределения контактных давлений совпадает с результатами, представленными в работах Б.Л.Пелеха,

М.А.Сухорольского, посвященных расчету трансверсально-изотропных оболочек с учетом сдвига. Приведенное в диссертационной работе исследование позволяет определить компоненты напряженно-деформированного состояния оболочки, как в зоне действия бандажа, так и вне нее.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получено новое разрешающее уравнение, соответствующее общему напряженному состоянию, в теориях замкнутых и открытых ортотропных цилиндрических оболочек при учете деформации поперечного сдвига.

2. Реализована процедура асимптотического анализа характеристического уравнения при помощи пакета Maple 7. Получено 13 комбинаций параметров для замкнутой и 11 для открытой, каждой из которых соответствует некоторое напряженно-деформированное состояние. Отдельные напряженно-деформированные состояния относятся к известному случаю ортотропных оболочек без учета сдвига, другие - с учетом сдвига.

3. Записаны асимптотические оценки точности теорий и указаны области их применения.

4. На основе асимптотического анализа рассмотрены некоторые комбинации параметров, описаны напряженно-деформированные состояния, им соответствующие.

5. При помощи введения параметра %, характеризующего податливость оболочки на сдвиг в процедуре асимптотического

анализа производится учет податливости анизотропной оболочки на поперечный сдвиг.

6. Для демонстрации разработанного подхода из общего разрешающего уравнения в результате асимптотического анализа была сформулирована задача о нагружении ортотропной оболочки по кольцу, о взаимодействии цилиндрической оболочки с жестким бандажом с угловыми и без угловых точек. Полученные результаты были сопоставлены с известными результатами в теориях ортотропных оболочек без учета сдвига и трансверсально-изотропных оболочек с учетом сдвига.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кутышева (Орлова) Е.Б. Получение характеристического уравнения в теории ортотропных цилиндрических оболочек // Сборник тезисов докладов научно-технической конференции Тюм-ГАСА. - Тюмень, 1996. - С.78-80.

2. Карпенко Ю.И., Орлова Е.Б. Построение теории простого краевого эффекта ортотропных цилиндрических оболочек с малой сдвиговой жесткостью // Материалы международной научной конференции молодых ученых. - Ишим, 2001. - С. 148-150

3. Орлова Е.Б. Учет влияния малой сдвиговой жесткости на напряженно-деформированное состояние при нагружении по кольцу ортотропной цилиндрической оболочки // Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции «Материалы и технологии XXI века».- Пенза, 2001. - Часть 2. - С 9-11.

4. Карпенко Ю.И., Орлова Е.Б. Построение теории простого краевого эффекта ортотропных цилиндрических оболочек с малой сдвиговой жесткостью // Вестник Тюменского государственного университета. - Тюмень, 2001. - №2. - С.201-204.

5. Орлова Е.Б. Применение математической системы MAPLE 7 к расчету цилиндрических оболочек на локальные нагрузки // Сборник материалов VII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование». - Томск, 2003. - С. 38-42.

6. Орлова Е.Б. Анализ разрешающего уравнения в теории ортотропных цилиндрических оболочек // Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». - Самара, 2004. - С. 152-154.

7. Орлова Е.Б. Взаимодействие анизотропной цилиндрической оболочки с жестким кольцевым бандажом при учете сдвига // Известия ВУЗов. Нефть и газ. -Тюмень, 2004. - №5. - С.151-155.

8. Орлова Е.Б. Применение Пакета Maple 7 при анализе уравнений в теории ортотропных цилиндрических оболочек // Математическое и информационное моделирование. - Вып.6. - Тюмень, 2004.-С. 275-279.

Подписано в печать 15.11.2004 г. Формат 60 х 84/16. Усл. печ. л. 1,39 Уч. изд. л. 1,20. Тираж 100 экз. Зак. 328. Отпечатано в ООО «РИА «Блиц-пресс», 625048, г. Тюмень, ул. Республики, 133.

№22 98 9

Введение.

Глава 1. Постановка задачи и обзор методов ее решения.

1.1. Теории анизотропных оболочек.

1.2. Постановка задачи и основные результаты.

1.3. Основные обозначения.

Глава 2. Основные уравнения в теории ортотропных цилиндрических оболочек.

2.1. Вывод разрешающего уравнения в теории изотропных цилиндрических оболочек как пример тестирования Maple 7.

2.2. Основные соотношения теории ортотропных цилиндрических оболочек при учете сдвига.

2.3. Новое разрешающее уравнение задачи о равновесии ортотропной цилиндрической оболочки.

2.4. Некоторые известные теории оболочек как частные случаи разрешающего уравнения.

Глава 3. Методы построения различных математических теорий замкнутых ортотропных цилиндрических оболочек на основе асимптотических подходов.

3.1. Асимптотическое исследование характеристического уравнения.

3.2. Вывод предельных и характеристических уравнений для различных асимптотических случаев.

3.3. Сопоставление моделей напряженно-деформированного состояния по асимптотике корней.

Глава 4. Некоторые частные случаи напряженно-деформированного состояния, вытекающие из общего разрешающего уравнения.

4.1. Вывод и исследование уравнения полубезмоментной теории ортотропных цилиндрических оболочек с учетом деформации поперечного сдвига как частного случая общего разрешающего уравнения.

4.2. Методы анализа простого краевого эффекта, вытекающие из асимптотического исследования разрешающего уравнения.

4.3. Построение модели напряженно-деформированного состояния с большой изменяемостью и некоторые упрощенные теории.

4.4. Вывод разрешающих уравнений теории ортотропных цилиндрических оболочек без учета деформации поперечного сдвига как частного случая общего разрешающего уравнения.

Глава 5. Методы построения различных математических теорий открытых ортотропных цилиндрических оболочек на основе асимптотических подходов.

5.1. Вывод характеристического уравнения.

5.2. Вывод предельных и характеристических уравнений для различных асимптотических случаев.

5.3. Сопоставление моделей напряженно-деформированного состояния между собой по асимптотике корней.

Глава 6. Сопоставление расчета цилиндрических оболочек по различным моделям на локальные нагрузки.

6.1. Основные соотношения при осесимметричном нагружении оболочки с учетом деформации поперечного сдвига.

6.2. Загружение ортотропной оболочки на торце.

6.3.Сопоставление расчетов цилиндрической оболочки под нагрузкой, равномерно распределенной по круговому сечению, по моделям с учетом и без учета сдвига.

6.4. Контактные задачи для ортотропной цилиндрической оболочки, взаимодействующей с жестким бандажом, при учете деформации поперечного сдвига.

Тонкостенные элементы в виде оболочек и пластин широко применяются в различных отраслях современной техники. Интерес к такого рода объектам объясняется тем, что оболочки обладают весьма выгодными упругими свойствами и при рациональном проектировании могут выдержать значительные нагрузки при минимальной толщине. В этом отношении они гораздо выгоднее пластин и плоских перекрытий и дают конструктору примерно те же преимущества, что при замене балок арками. Данное свойство оболочек позволяет создать из них конструкции весьма легкие при достаточной прочности и способствует широкому применению подобных конструкций в судостроении, самолетостроении, словом, везде, где малый вес является необходимым.

В различные отрасли техники интенсивно внедряются новые материалы, в частности, синтетические материалы и армированные пластики, для которых характерна ярко выраженная анизотропия механических свойств. Поэтому применение методов расчета на прочность и деформируемость, разработанных для изотропных материалов, исключается.

Основу решения такого расчета должны составлять теории, учитывающие анизотропию материала и значительную податливость на сдвиг. Поэтому исследование напряженно-деформированных состояний в оболочках из анизотропных материалов является актуальным. Диссертационная работа посвящена развитию метода расчленения напряженно-деформированного состояния в цилиндрической оболочке, предложенного А.Л.Гольденвейзером, на случай оболочки из ортотропного материала при использовании сдвиговой модели. В работе впервые получено общее разрешающее уравнение в теории ортотропных цилиндрических оболочек при учете деформации поперечного сдвига при за-гружении по нормали без введения упрощающих гипотез. Проведен асимптотический анализ соответствующего характеристического уравнения. Это позволило из общего напряженно-деформированного состояния (НДС) выделить частные случаи, дать асимптотические оценки приближенных уравнений. Указан критерий выбора построенных теорий в зависимости от податливости оболочки на сдвиг. Данный критерий оказывается важным в случае, когда требуется установить, надо ли использовать теорию, учитывающую сдвиг, или можно обойтись без нее. Асимптотический анализ позволил получить классификацию, построенную на анализе некоторых характерных параметров, по которой могут выбираться теории оболочек с учетом сдвига. На основе построенной классификации может быть осуществлен выбор расчетной модели в конкретной практической ситуации, что обеспечит безопасность с одновременной экономичностью конструкции.

Основные положения и результаты работы докладывались и публиковались на следующих семинарах и конференциях: научно-исследовательском семинаре кафедры строительной механики ТюмГАСА под руководством д.ф.-м.н., профессора Мальцева JI.E. (1996); научно-технической конференции ТюмГАСА (1996); конференции аспирантов и научных работников ТюмГАСА (1998); международной научной конференции молодых ученых (Ишим, 2001); Всероссийской научной конференции «Материалы XXI века» (Пенза, 2001); 52 Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, 2003); научном семинаре «Прикладные методы расчета элементов конструкций из композиционных материалов» под руководством д.ф.-м.н., профессора Горбачева В.И. (МГУ, 2003); научном семинаре кафедры Механики композитов под руководством д.ф.-м.н., профессора Победри Б.Е. (МГУ, 2003); Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004).

Результаты исследований опубликованы в статьях [54], [74], [75].

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получено новое разрешающее уравнение, соответствующее общему напряженному состоянию, в теориях замкнутых и открытых ортотропных цилиндрических оболочек с учетом деформации поперечного сдвига при нагружении оболочки по нормали.

2. Реализована процедура асимптотического анализа характеристического уравнения при помощи пакета Maple 7.

3. Получено 13 комбинаций параметров для замкнутой и 11 для открытой, каждой из которых соответствует некоторое напряженно-деформированное состояние. В работе показано, что отдельным комбинациям соответствует применение теории ортотропных оболочек без учета сдвига, другим - с учетом сдвига.

4. В работе показано, что переход к упрощенным разрешающим уравнениям возможен от общего разрешающего уравнения при использовании результатов асимптотического анализа характеристического уравнения.

5. При помощи введения параметра х в процедуре асимптотического анализа производится учет податливости ортотропной цилиндрической оболочки на поперечный сдвиг.

6. В работе показано, что в случае Xе [0> l] компоненты напряженно-деформированных состояний, соответствующие данным комбинациям параметров, записываются без учета сдвига. При значениях % > 1 в компоненты напряженно-деформированных состояний, соответствующих данным комбинациям, входят слагаемые, вносимые учетом деформации поперечного сдвига.

7. Записаны асимптотические оценки точности теорий и указаны области их применения.

8. На основе асимптотического анализа рассмотрены некоторые комбинации параметров, описаны напряженно-деформированные состояния, им соответствующие.

9. Получена классификация, построенная на анализе параметра податливости оболочки на сдвиг, характере изменяемости напряженно-деформированного состояния в окружном и продольной направлении, по которой могут выбираться теории оболочек с учетом сдвига.

10.Для демонстрации разработанного подхода из общего разрешающего уравнения в результате асимптотического анализа была сформулирована задача о нагружении ортотропной оболочки по кольцу, о взаимодействии цилиндрической оболочки с жестким бандажом с угловыми и без угловых точек. Полученные результаты были сопоставлены с известными результатами в теориях ортотропных оболочек без учета сдвига и трансвер-сально-изотропных оболочек с учетом сдвига.

1. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука: Физматлит, 1997. - 414 с.

2. Айнола Л.Я. О возможности формулировки вариационной задачи в нелинейной теории упругих оболочек. Таллин, изд-во Таллин, политехи, ин-та, 1957.-31 с.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физматизд., 1961.-384 с.

4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука , 1974.-446 с.

5. Аргатов И.И. Метод осреднения в контактной задаче для системы штампов // Прикл. математика и механика 2004 - т. 68 - В. 1. - с. 105-118.

6. Аргатов И.И., Назаров С.А. Контактная задача для узкого кольцевого штампа. Неизвестная область контакта // Прикл. механика и техн. физика 2000 - т. 41 - В.6. - С. 184-192.

7. Бабич И.Ю., Гузь А.Н., Ченушенко И.И., Шульга Н.А. Об оценке точности теорий устойчивости цилиндрических оболочек при внешнем давлении // Прикладная механика, 1974, т. 10, сЛ 6-21

8. Бажанов В.Л., Гольденблат И.И., Копнов В.А., Поспелов А.Д., Си-нюков A.M. Пластинки и оболочки из стеклопластиков. М.: Высшая школа, 1970-407 с.

9. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.

10. Биргер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М.: Оборон-гиз, 1961 368 с.

11. Бурмистров Е.Ф. Симметрическая деформация конструктивно-ортотропных оболочек вращения. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1962.

12. Ванин Г.А., Семенюк Н.П., Емельянов Р.П. Устойчивость оболочек из армированных материалов. Киев: Наукова думка, 1978. - 211с.

13. Василенко А.Т. О численном решении краевых задач статики анизотропных оболочек вращения с учетом деформации поперечного сдвига // Вычислительная и прикладная математика. 1976. - Вып. 19. - С. 118-123.

14. Василенко А.Т., Голуб Г.П. О численном решении задач статики незамкнутых оболочек вращения, поддающихся поперечному сдвигу // Вычислительная и прикладная математика. 1984. - Вып. 53. - С. 73-79.

15. Василенко А.Т., Голуб Г.П., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. О влиянии сдвиговой жесткости на деформацию анизотропных оболочек // Труды VIII Всесоюзой конференции по теории оболочек и пластин. Тбилиси, Мец-ниереба, 1975. - С. 499-508.

16. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 288 с.

17. Виноградов А.Ю. Численное решение задач механики деформирования пластин и оболочек на основе уравнений с четными производными // труды 16 международной конференции по теории оболочек и пластин. -Н.Новгород, 1993. С. 53-57.

18. Власов В.З. Общая теории оболочек и ее приложения в технике. -М.: Л.: Гостехиздат, 1949. 784 с.

19. Волчков Ю.М., Дергилева JI.A. Уравнения упругого анизотропного слоя // Прикл. механика и техн. физика 2004 - т.45 - В.2. - С. 188-198.

20. Волчков Ю.М., Дергилева JI.A., Иванов Г.В. Численное моделирование напряженных состояний в плоских задачах упругости методом слоев // Прикл. механика и техн. физика 1994 - т.35 - В.6. - С. 129-135.

21. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.:Наука, 1972. 432 с.

22. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 373 с.

23. Ворович И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости.- М.: Наука, 1974. 455 с.

24. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М., 1966. - т.З. - С. 116-136.

25. Галимов К.З. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. Изд-во Казанского университета, 1977. 212 с.

26. Галимов Ш.К. Уточненные теории пластин и оболочек. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1990. - 134с.

27. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоу пру гости. М.: Наука, 1980.-303 с.

28. Галиньш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории оболочек и пластин. Казань: Изд-во Казанского унта, 1970. - Вып. 6/7. - С. 23-64.

29. Гейзен Р.Е. Асимптотический анализ уравнений и устойчивость конструктивно полубезмоментных цилиндрических оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 1976. -С.140-148.

30. Голуб Г.П. Расчет напряженно-деформированного состояния ортотропных слоистых оболочек вращения сложной формы по уточненной модели // Прикл. механика. 1980. - 16, №6. - С. 103-107.

31. Гольденвейзер A. JI. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1962 - т.26. - В.4.- С .668-686.

32. Гольденвейзер A.JT. Погранслой и его взаимодействие с внутренним напряженым состоянием тонкой оболочки // Прикладная математика и механика. 1969 - т.ЗЗ - В.6. - с. 996-1028.

33. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1979.-512 с.

34. Граве Д. Элементы высшей алгебры. Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1914.-С. 67-71.

35. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-405 с.

36. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. - 411 с.

37. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992. 336 с.

38. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Решение задач статики оболочек вращения в уточненной постановке на ЕС ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1982.-70 с.

39. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Численное решение задач статики слоистых оболочек вращения в уточненной постановке // Вычислительная и прикладная математика. 1982. - Вып. 47. - С. 70-78.

40. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев, Наукова Думка, 1987. -216 с.

41. Грин А.Б. Уравнения пограничной зоны в линейной теории упругих тонких оболочек.// Механика. Сб. пер. 1963 - №2. с. 15-148.

42. Гузь А.Н., Бабич И.Ю., Пелех Б.Л., Тетере Г.А. Об области применимости прикладных теорий в задачах устойчивости стержней и пластинок с низкой сдвиговой жесткостью в случае одноосного сжатия.// Механика полимеров, 1969, №6, с. 1124-1126.

43. Гуляев В.И. Баженов В.А., Лизунов П.П.Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач. Львов: Изд-во Львов, ун-та, 1978. - 192 с.

44. Даревский В.М. Основы теории оболочек. М.: Наука, 1998. - 196с.

45. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. 567с.

46. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/ R4/ R5. М.: «Солон», 1998. 400 с.

47. Елпатьевский А.Н., Васильев В.В. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов. М.: Машиностроение, 1972. 168 с.

48. Елпатьевский А.Н., Фирсов В.В. Краевое напряженное состояние цилиндрической оболочки // Прочность конструкций 1977 - №2. - С 15-22.

49. Зверяев Е.М. Анализ гипотез, используемых при построении теории балок и плит // Прикл. математика и механика 2003 - т.67 - В.З. - С. 472481.

50. Ибраев Г.К. Асимптотические методы в нелинейных задачах теории тонких оболочек. Пермь, 1975. 196 с.

51. Канн С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966.-508 с.

52. Карпенко Ю.И. Асимптотический анализ характеристического уравнения в теории цилиндрических оболочек // Методы механики сплошной среды в задачах исследования строительных конструкций: Сб. научных трудов. Тюмень. 1984. - С. 121-127.

53. Карпенко Ю.И., Орлова Е.Б. Построение теории простого краевого эффекта ортотропных цилиндрических оболочек с малой сдвиговой жесткостью // Вестник Тюменского государственного университета. Тюмень, 2001. -№2.-С. 201-204.

54. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М.: Машиностроение, 1965. 271 с.

55. Кравчук А.С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения // Приют, математика и механика 1980 - т.44 -В.1.-С. 122-129.

56. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982334 с.

57. Куликов Г.М. О влиянии анизотропии на напряженное состояние многослойных армированных оболочек// Прикл. механика, 1986 - т.22 - №12 - С. 66-72.

58. Ленько О.Н. Расчет на прочность цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением и осевым сжатием с учетом краевого эффекта // Труды Рижс. ин-та инж. гражд. воздуш.флота. 1960. - Вып.2.

59. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977.-368 с.

60. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М.: Мир, 1982.-542с.

61. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.- Л., Гос-техиздат, 1947. 252 с.

62. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

63. Лысак А.Г., Умушкин Б.П. Критерий оценки цилиндрической оболочки из ортотропного материала //Авиационные двигатели: Проблемы совершенствования и прогнозирования технического состояния. М.: Изд-во Моск. ин-та инж. гражд. авиации, 1992. - С. 32-38.

64. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: Л.: ОНТИ, 1935.674 с.

65. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление жестких полимерных материалов. Рига, Зинатне, 1972. 498 с.

66. Маневич Л.И., Павленко А.В., Коблик С.Г. Асимптотические методы в теории упругости ортотропного тела. Киев; Донецк: Вища школа, 1982. -153 с.

67. Меньшиков В.М. О приближенном методе расчета круговых цилиндрических оболочек // Прикл. математика и механика 1960 - т.24 - В.4. -С. 691-702.

68. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. -JL: М.: Стройиздат, 1966. 303 с.

69. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек, JL: Судостроение, 1962.431 с.

70. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969.-695 с.

71. Огибалов П.М., Колтунов М.А., Тюнева И.М. Экспериментально-теоретические методы определения вязкоупругих характеристик стеклопластиков.// Упругость и неупругость. 1971. - вып.2.

72. Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. Механика полимеров. М.: Изд-во МГУ, 1975.-528 с.

73. Орлова Е.Б. Взаимодействие анизотропной цилиндрической оболочки с жестким кольцевым бандажом при учете сдвига// Известия ВУЗов. Нефть и газ. Тюмень, 2004. - №5. - С. 151-155.

74. Орлова Е.Б. Применение Пакета Maple 7 при анализе уравнений в теории ортотропных цилиндрических оболочек// Математическое и информационное моделирование. Вып.6. - Тюмень, 2004. - С. 275-279.

75. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Оболочки из стекла: расчет НДС. -М.: Машиностроение, 1993. 208 с.

76. Палий О.М., Спиро В.Е. Анизотропные оболочки в судостроении. Л.: Судостроение, 1977. 392 с.

77. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев, Наукова Думка, 1973. 248 с.

78. Пелех Б.Л. Некоторые вопросы развития теории и методов расчета анизотропных оболочек и пластин с конечной сдвиговой жесткостью // Механика полимеров. 1975. №2. - С. 269-284.

79. Пел ex Б. JI., Сухорольский М.А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек. Киев, Наукова Думка, 1980. 217 с.

80. Пикуль В.В. Теория и расчет оболочек вращения. М.: Наука, 1983. -288 с.

81. Писаренко Г.С., Стрижало В.А. Экспериментальные методы в механике деформируемого твердого тела. Киев, Наукова Думка, 1986. 264 с.

82. Полубаринова А.И. Об одном методе решения уравнений в частных производных при помощи дифференцируемых тригонометрических рядов Фурье // Прикл. математика и механика— 1986 т.50 - В.6. - С. 1036-1040.

83. Рассказов А.О., Соколовская И.И. Изгиб замкнутых круговых цилиндрических оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. -1980. В.37. - С. 44-47.

84. Рассказов А.О., Соколовская И.И., Шульга Н.А. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек. Киев, Вища школа, 1986. 192 с.

85. Ридель В.В., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука,1990.

86. Родионова В.А. Теория тонких анизотропных оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 116 с.

87. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Прочность армированных пластиков. М.: Химия, 1982.-213 с.

88. Солодовников В.Н. К теории нормального контакта твердых тел // Прикл. механика и техн. физика 2000 - т.41 - В.1. - С. 128-132.

89. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига./ Науч. ред. Галимов К.З. Казань, КГУ, 1977. - 209 с.

90. Терегулов И.Г. К построению уточненных теорий пластин и оболочек // Прикл. математика и механика. 1962. - 26, №2. - С. 486-492.

91. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматизд, 1963. 635 с.

92. Ульяшина А.Н. Уравнения технической теории ортотропных оболочек с учетом сдвиговой и нормальной поперечных деформаций.// Механика полимеров. 1977. - №2. - С.270-276.

93. Филин А.П. Элементы теории оболочек. JL: Стройиздат, 1975. 260с.

94. Хома И.Ю. Обобщенная теория анизотропных оболочек. Киев, Наукова Думка, 1986. 172 с.

95. Чеботарев Н.Г. Многоугольник Ньютона и его роль в современном развитии математики. // Исаак Ньютон: Сб. статей к 300-летию со дня рождения, М.- Л., 1943. С. 99-126.

96. Чеботарев Н.Г. Теория алгебраических функций. М.- Л., 1948. С. 234-243.

97. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Изд-во ЛГУ, 1962. 274 с.

98. Черных К.Ф. Ведение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988.190 с.

99. Ни Hai-Chang. On the three-dimensional problems of the theory of elasticity of a transversely isotropic body. Acta Sci. Sinica, 1953. V.2, №2. - P. 145151.

100. Lu Pin, Huang Mao-guang. Calculation of the fundamental solution for the theory of shallow shells considering shear deformation //Appl. Math, and Mech-1992.-13, №6.-C. 537-545.

101. Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells / Quart. Appl. Math. -1957.- 14, N4.-P. 369-380.