автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическая модель изгиба составных тонкостенных цилиндрических оболочек

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ДОНКОВА ИРИНА АДОЛЬФОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗГИБА СОСТАВНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных

исследованиях

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -доктор технических наук профессор Ю.Е.Якубовский

Тюмень -1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.......................................................................................................................4

Глава 1. Анализ математических моделей и методов решения напряженно - деформированного состояния многослойных оболочек.............................................8

1.1. Математические модели изгиба многослойных цилиндрических оболочек

1.2. Математические модели изгиба составных конструкций.............................21

1.3. Методы расчета тонкостенных цилиндрических оболочек..........................25

1.4. Постановка задачи диссертационной работы..................................................34

Глава 2. Математическая модель изгиба составной цилиндрической оболочки

2.1. Основные гипотезы и допущения....................................................................35

2.2. Определение интегральных характеристик жесткости ортотропных слоев составных цилиндрических оболочек.................................................................39

2.3. Дифференциальные уравнения изгиба тонкостенных составных цилиндрических оболочек........................................................................................................43

2.4.Математическая модель осесимметричной деформации составных цилиндрических оболочек...................................................................................................55

2.5.Результаты и их обсуждение..............................................................................59

Глава 3. Методика расчета составных цилиндрических оболочек и обоснование достоверности результатов.................................................................................60 ,

3.1. Решение осесимметричной задачи составной цилиндрической оболочки постоянной жесткости в тригонометрических рядах......................................61

3.2. Методика расчета задачи изгиба составной цилиндрической оболочки при произвольном нагружении................................■..................................................64

3.3. Обоснование достоверности............................................................................74

3.4. Результаты и их обсуждение............................................................................80

Глава 4. Расчет составных цилиндрических оболочек..........................................81

4.1. Напряженно - деформированное состояние осесимметрично нагруженных

составных цилиндрических оболочек при различных жесткостях межслой-ных связей..............................................................................................................81

4.1. Напряженно - деформированное состояние осесимметрично нагруженных составных цилиндрических оболочек при различных жесткостях межслойных связей..............................................................................................81

4.2. Исследование влияния геометрических параметров составной цилиндрической оболочки на ее поведение при осесимметричном нагружении.............................................................................................................88

4.3. Исследование влияния параметров составной цилиндрической панели на напряженно - деформированное состояние при произвольном нагружении.93

4.4. Результаты и их обсуждение...........................................................................100

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................101

Библиографический список литературы..........................................................102

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Многослойные конструкции типа оболочек нашли широкое применение практически во всех областях техники. Объясняется это, во-первых, тем, что оболочки в отличие от пластин и плоских перекрытий обладают выгодными упругими свойствами, которые при рациональном проектировании могут выдержать значительную нагрузку при минимальной толщине. Во-вторых, состаляющие слои конструкций образованы композиционными или разными конструкционными материалами, обладающими различными физико -механическими свойствами. Такое строение обеспечивает минимальную материалоемкость, легкость при высокой прочности и жесткости. Поэтому теория многослойных тонкостенных оболочек является одним из наиболее актуальных разделов строительной механики.

Практический интерес представляет расчет многослойных цилиндрических оболочек, в которых сочетаются преимущества обусловленные изогнутостью срединной поверхности, а также простотой и технологичностью изготовления. Такие оболочки используются в качестве защитных сооружений атомной энергетики и химической промышленности, в ряде конструкций, применяемых в машиностроении, строительстве гражданских и промышленных сооружений, объектов нефтегазопромышленного комплекса. Соединение отдельных слоев оболочек осуществляется связями конечной жесткости дискретного типа ( анкеры, болты, упоры и т.д.) или сплошными связями (клеевые швы). Под нагрузкой в этих конструкциях возможен сдвиг одного слоя по отношению к другому. Поэтому изучение таких систем необходимо производить с позиции многослойных конструкций с расслоениями.

К указанному научному направлению относится теория составных стержней и пластин А.Р. Ржаницына [106, 107]. Термин "составные " применяется для строительных конструкций типа стержней, пластин и оболочек, со-

единенных как упругоподатливыми связями, так и абсолютно жесткими. С позиции теории А.Р. Ржаницына под составными понимаются конструкции, состоящие из нескольких слоев, соединенных между собой связями конечной жесткости податливыми в продольном направлении и абсолютно жесткими в поперечном направлении. Учет работы швов осуществляется через касательные напряжения , возникающие в шве. Предлагаемый подход рассматривался только для составных стержней, пластин и пологих оболочек. Этим обстоятельством, а также необходимостью изучения напряженно - деформированного состояния составных цилиндрических оболочек с целью рационального проектирования и обеспечения необходимого уровня надежности при эксплуатации определяется актуальность данной работы.

Цель работы - развитие математической модели изгиба составных цилиндрических оболочек, позволяющей изучить влияние параметров и видов нагружения на напряженно - деформированное состояние конструкции.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• разработана математическая модель теории составных конструкций в форме дифференциальных уравнений для составных цилиндрических панелей и круговых составных цилиндрических оболочек;

• представлена математическая модель осесимметричной деформации составных цилиндрических оболочек;

• решены задачи деформирования двухслойных замкнутых цилиндрических оболочек при осесимметричной нагрузке и трехслойных цилиндрических панелей при произвольном нагружении;

• изучено влияние жесткости межслойных связей составной цилиндрической оболочки при различных параметрах конструкции на ее напряженно - деформированное состояние.

Практическая ценность работы.

• Полученная математическая модель может быть использована для расчета конструкций магистральных трубопроводов, защитных сооружений объектов атомной энергетики, а также для дальнейшего развития теории составных цилиндрических оболочек, например, с учетом переменной жесткости, физической нелинейности и т.д.

• На основе созданной математической модели разработана программа расчета составных цилиндрических оболочек, позволяющая оценить влияние геометрических параметров конструкции и жесткостей межслойных связей на ее поведение под нагрузкой; определены предельные величины жесткостей шва.

• Решение задач деформирования составных цилиндрических оболочек рекомендуется к использованию в проектных и научно - исследовательских организациях для расчета многослойных конструкций.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались:

• на 55-й научно - технической конференции профессорско - преподавательского состава Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Новосибирск, 1998 г.);

• на ХУН-й научно- исследовательской конференции, посвященной 35-летию Тюменского государственного нефтегазового университета ( ТюмГНГУ, Тюмень, 1998 г.);

• на научно-методических семинарах кафедры " Теоретическая и прикладная механика" ТюмГНГУ (1995 - 1999 г.);

• на расширенном заседании кафедр: "Строительная механика" Тюменской государственной архитектурно- строительной академии (ТГАСА), " Общетехнических дисциплин" филиала Московского военно-инженерного университета, "Теоретическая и прикладная механика" ТюмГНГУ (Тюмень, 1999 г);

• на научном семинаре кафедры "Строительная механика" ТГАСА (Тюмень, 1999 г);

• на научном семинаре кафедры "Строительная механика" Уральского государственного технического университета (Екатеринбург, 1999г).

Публикации.

По результатам диссертационной работы опубликованы три научные статьи и тезисы доклада.

На защиту выносятся следующие вопросы:

• математическая модель составной цилиндрической оболочки при осесим-метричном и произвольном нагружениях;

• методика и алгоритм расчета напряженно - деформированного состояния составной цилиндрическом оболочки;

• результаты расчета двухслойных и трехслойных цилиндрических составных оболочек.

Достоверность полученной математической модели обоснована сравнением с известными математическими моделями изгиба однослойных цилиндрических оболочек при осесимметричном и произвольном нагружениях. При нулевой жесткости межслойных связей система дифференциальных уравнений осесимметричной деформации сводится к дифференциальному уравнению однослойных цилиндрических оболочек. Дифференциальные уравнения задачи изгиба открытой составной цилиндрической оболочки при малой кривизне вырождаются в математическую модель теории составных пологих оболочек. Достоверность расчетов обоснована проверкой численных результатов на частных задачах для предельных величин жесткости межслойных связей Выполнена оценка сходимости численных результатов в сравнении с точными решениями теории однослойных конструкций. Для открытых составных цилиндрических панелей при малой кривизне оболочки проведено сравнение с решениями составных пологих оболочек.

Глава 1. АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК

Данная глава посвящена описанию основных математических моделей однослойных и многослойных цилиндрических оболочек, построенных на основе классических теорий с использованием гипотез Кирхгофа - Лява, сдвиговых теорий типа Тимошенко и других . Обзор работ многослойных конструкций представлен в трех направлениях: модели, описанные с позиции монослоя, дискретные модели и модели слоистых оболочек с учетом несовершенств связей контактирующих слоев (расслоений и дефекта контакта слоев). Рассмотрен вопрос об оценке погрешностей классических теорий. Проведен анализ методов расчета цилиндрических оболочек.

1.1. Математические модели изгиба многослойных цилиндрических оболочек

Вопросам построения уравнений теории оболочек посвящены работы Л.И. Балабуха, В.З. Власова, К.З. Галимова, А.Л. Гольденвейзера, Х.М. Мушта-ри, В.В. Новожилова, С.П. Тимошенко, С.П. Черных и многих других ученых. Математическое моделирование задач деформирования оболочек можно производить в двух направлениях [3,5,32,33,34,41, 92,93]: без привлечения дополнительных допущений, используя аппарат теории упругости и. с помощью упрощений, которые называются гипотезами.

Наибольшую точность при расчете напряженно - деформированного состояния упругих тел дает теория упругости. Однако даже применительно к однородным телам многие задачи теории упругости в точной постановке оказываются практически неразрешимыми [88]. При переходе к слоистым конструк-

циям сложность решения задач значительно возрастает. Учитывая трудоемкость решения уравнений теории упругости, при построении канонических уравнений деформирования оболочек предпочтение отдается аппарату прикладной теории. Тем не менее, теория упругости считается фундаментом современных методов расчета, ее решения могут служить эталоном точности для прикладных теорий. Обзор применения методов теории упругости для построения математических моделей деформирования оболочек содержится в работе [3].

Прикладные теории могут быть получены из общих уравнений механики деформируемого твердого тела путем введения дополнительных допущений. При этом вносится погрешность либо в уравнения равновесия, либо в уравнения состояния и, возможно, в уравнения сплошности. Уравнения равновесия нарушаются, если принимаются упрощения относительно моментов либо усилий. Приближенное удовлетворение уравнений равновесия приводит к нарушению закона сохранения энергии. Уравнения состояния могут быть нарушены при введении упрощений через деформации и напряжения.

Выбор гипотез определяется строением конструкции, условиями ее работы и характером нагружения. Наибольшее распространение при построении теорий оболочек получили гипотезы Кирхгофа - Лява. Такие теории часто называют классическими. Напряженно - деформированное состояние по этим теориям полностью определяется тремя компонентами вектора перемещений точек срединной поверхности, общий порядок уравнений равен восьми.

Согласно гипотезам Кирхгофа - Лява:

1) Нормали к срединной поверхности оболочки не искривляются и остаются перпендикулярными к деформированной срединной поверхности;

2) Нормальные напряжения в площадках, параллельных срединной поверхности, считаются равными нулю.

Из кинематической гипотезы следует, что деформации поперечного сдвига не учитываются. В результате принятия данного предположения нарушаются уравнения закона Гука, связывающие поперечные компоненты тензора деформаций с соответствующими компонентами тензора напряжений. В случае, если поперечные напряжения и соответствующие уравнения состояния не оказывают значительного влияния на напряженно - деформированное состояние конструкции, тогда во внутренней области расчет конструкции осуществляется достаточно точно. Для однородных оболочек классические теории излагаются, например, в работах В.В. Новожилова [83,84], В.З. Власова [ 30 ], К.Ф. Черных [124 ], а так же [ 119, 136 ].

Как указано в работах [5,31, 118],в некоторых случаях существенным является учет деформаций поперечного сдвига. При построении теорий оболочек, учитывающих деформации поперечного сдвига, также часто используется метод введения дополнительных гипотез. Такие теории называются теориями типа Тимошенко. Они излагаются в работах С.А. Амбарцумяна [ 5 ], К.З. Га-лимова [118 ], Б.П. Пелеха [90], Э. Рейснера [106] и др.

Обычно теории типа Тимошенко применяются в следующих задачах :

а) расчет относительно толстых пластин и оболочек h/L, h/R =1/20;

б) определение динамических характеристик при быстроменяющихся нагрузках;

в) расчет оболочек и пластин с резко выраженной анизотропией;

г) задачи взаимодействия тонкостенных элементов с жестким штампом.

Напряженно - деформированное состояние оболочки в простейших вариантах этих теорий определяется пятью независимыми величинами: тремя компонентами вектора перемещений и двумя углами поворота срединной поверхности, общий порядок уравнений равен десяти. Поэтому теории типа Тимошенко считаются более сложными, чем классические теории, и реже применяются в расчетах.

В общем случае расчет как на основе классической теории, так и на основе теории типа Тимошенко , представляет сложную математическую задачу. Поэтому широко используются различные упрощенные варианты, среди которых наибольшее распространение получили полубезмоментная (техническая) теория [30, 75, 76, 77, 136 ], безмоментная теория [ 30, 63, 83 ].

При построении математических моделей цилиндрических оболочек используют упрощения , связанные с соотношением размеров оболочки. Например, варьирование длиной определяет следующее подразделение цилиндрических оболочек [63, 83 ]:

а) весьма длинные оболочки, у которых длина во много раз превосходит среднее значение радиуса кривизны или максимальный размер поперечного сечения;

б) длинные оболочки, у которых длина в несколько раз превосходит средний радиус кривизны;

в) оболочки средней длины, у которых длина сравнима со средним радиусом кривизны;

г) короткие оболочки, у которых длина в несколько раз меньше среднего радиуса кривизны.

Для оболочек длинных и весьма длинных В.З. Власовым была предложена полубезмоментная теория , основанная на пренебрежении в уравнениях равновесия элемента оболочки изгибающим и крутящим моментами Мь Н и перерезывающим усилием Nj. Используя дополнительные допущения о пренебрежении удлинением 8j и сдвигом уи , В.З. Власовым расчет цилиндрической оболочки бы