автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Свободные колебания тонкостенных криволинейных стержней произвольного профиля, загруженных параметрической нагрузкой

Введение. г.

Глава 1. История и современное состояние вопроса. Постановка задачи исследования и основные уравнения.

1.1. История и современное состояние теории расчета тонкостенных стержней.

1.1.1. Стержни открытого профиля.

1.1.2. Стержни замкнутого профиля.

1.1.3. Стержни комбинированного профиля.

1.1.4. Тонкостенные стержни с дискретными и распределенными депланационными связями.

1.1.5. Тонкостенные стержни с криволинейной осью.

1.1.6. Динамика тонкостенных стержней.

1.2. Постановка задачи исследования и основные уравнения.

1.2.1. Расчетная модель стержня.

1.2.2. Кинематические соотношения

1.2.3. Напряжения и соотношения упругости

1.2.4. Разрешающая система дифференциальных уравнений

1.2.5. Уравнения бифуркационных задач устойчивости

1.2.6. Уравнения движения и свободные колебания

Глава 2. Свободные изгибно-крутильные колебания незагруженных стержней.

2.1. Примеры вычисления геометрических характеристик поперечных сечений.

2.2. Учет инерции депланационных перемещений и поворота сечений.

2.3. Влияние податливости и места расположения депланационного шва, а также кривизны оси стержня.

2.4. Краткое изложение результатов главы 2.

Глава 3. Свободные изгибно-крутильные колебания стержней, загруженных параметрической нагрузкой

3.1. Стержень, загруженнный по схеме чистого изгиба.

3.2. Стержень, загруженный распределенной следящей нагрузкой

3.3. Влияние уровня приложения распределенной нагрузки на поведение частот.

3.4. Стержень, загруженный сосредоточенной силой.

3.5. Загружение стержня двупараметрической нагрузкой.

3.6. Краткое изложение результатов главы 3.

Тонкостенные стержни, будучи элементами конструкций, обладающими высокими характеристиками жесткости и прочности (при сравнительно низких весовых показателях), находят широкое применение в промышленном и гражданском строительстве, авиа - и судостроении, а также в машиностроении.

Как известно, тонкостенные стержни открытого профиля обладают низкой жесткостью на кручение. Для повышения жесткости такие стержни можно снабжать депланационными связями в виде поперечных планок (рис. 1.1 а) или раскосов (рис. 1.1 б). Таким образом, стержень обладает частично замкнутым контуром, что снижает степень депланации точек его сечений и, соответственно, повышает его крутильную жесткость.

К аналогичной расчетной схеме можно перейти от стержня с замкнутым профилем при наличии в нем отверстий (например, перфорированная тонкостенная балка, рис. 1.1 в).

Помимо перечисленных типов стержней в технике используются и стержни комбинированного профиля, когда в поперечном сечении одновременно имеются как замкнутые, так и открытые участки.

Широкое применение тонкостенных стержней вызывает необходимость в исследовании не только статических, но и динамических задач, в частности, задач о свободных изгибно-крутильных колебаниях.

Исследования динамического поведения тонкостенных стержней как прямолинейных, так и криволинейных (открытых и замкнутых) в литературе представлены довольно широко. Однако, такие задачи для криволинейных стержней произвольного профиля, загруженных параметрическими нагрузками в литературе практически не отражены. Известно, что наличие параметрической нагрузки существенно влияет на частоты собственных колебаний. Напомним, что "параметрическими" называются такие нагрузки, для которых возможна постановка задачи о бифуркации форм равновесия. В дифференциальные уравнения задачи эти нагрузки входят в качестве параметров при искомых функциях перемещений.

Модель криволинейного тонкостенного стержня встречается, например, в элементах мостовых, судовых и авиационных конструкций. Как известно, для таких конструкций динамический расчет (в частности, определение частот собственных колебаний) является обязательным. Поэтому исследование собственных изгибно-крутильных колебаний тонкостенных стержней произвольного профиля при наличии параметрической нагрузки является актуальным.

В настоящей работе рассматриваются конкретные задачи по определению частот свободных изгибно-крутильных колебаний тонкостенных стержней вышеуказанного типа и исследуется их поведение в зависимости от геометрических, физических характеристик, а также и от уровня параметрической нагрузки.

Текст диссертации состоит из трех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе диссертации дан краткий исторический обзор развития теории тонкостенных стержней, анализ ее современного состояния и постановка задачи исследования.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию свободных изгибно-крутильных колебаний незагруженных стержней. В частности, исследуется влияние на величины частот степени податливости депланационных связей, величины угла раствора криволинейной оси стержня и типов концевых закреплений.

В третьей главе рассмотрены конкретные задачи по определению частот колебаний тонкостенных криволинейных стержней, загруженных различными видами параметрической нагрузки. 6 в Решения систем дифференциальных уравнений в ряде случаев получены точно, в других случаях - с помощью метода Бубнова-Галеркина.

Численный счет при составлении таблиц и построении графиков проводился с помощью программы «MathCAD» для ПК.

В конце каждой главы приведены краткие сводки результатов исследования.

В заключении диссертации даны общие выводы, вытекающие из результатов исследования настоящей работы.

Общий объем диссертации включает в себя: 127 страниц, 36 рисунков и 3 таблицы, а также список литературы из 130 наименований.

Основные выводы по результатам диссертационного исследования

1. В существующей технической литературе до последнего времени практически не рассмотрены задачи о свободных изгибно-крутильных колебаниях тонкостенных криволинейных стержней произвольного профиля, загруженных параметрической нагрузкой. Термин «произвольный профиль» включает в себя открытые, замкнутые, комбинированные, а также профили с деплана-ционными связями в виде поперечных планок или раскосов.

2. В данной диссертации впервые сделана попытка устранения указанного в пункте 1 пробела. При этом дискретные депланационные связи заменяются в расчете сплошной, эквивалентной по сдвигу пластиной. Допустимость такой замены была ранее подтверждена экспериментом.

3. На некоторых примерах проведен анализ влияния упругой податливости депланационных связей на расчетные характеристики сечения. Показано, что с ростом податливости связей сен-венанова характеристика жесткости снижается, а секториальный и направленный моменты инерции, наоборот, возрастают; существенно, что при этом изменяется и координата центра изгиба.

4. Подтвержден для криволинейных стержней необычный на первый взгляд эффект (обнаруженный ранее для прямолинейных стержней), согласно которому частоты одного из спектров изгибно-крутильных колебаний могут возрастать по мере ослабления жесткости депланационных связей. Дано объяснение отмеченному эффекту.

5. Впервые для определенных типов параметрического загружения криволинейных тонкостенных стержней получены точные и приближенные решения системы дифференциальных уравнений задач о свободных колебаниях. Дана оценка влияния геометрии стержня, уровня загружения, а также степени уп

114 ругой податливости депланациониых связей на величины частот собственных изгибно-крутильных колебаний.

6. Определены частоты колебаний криволинейного стержня, загруженного распределенной радиально направленной следящей нагрузкой. Установлено влияние коэффициента слежения упомянутой нагрузки на поведение частот. Найдены критические значения интенсивности следящей нагрузки в задачах о бифуркации форм равновесия. Показано, что в данной неконсервативной задаче результаты динамического и статического расчета приводят к одинаковым значениям критических нагрузок.

7. Решены задачи о свободных колебаниях и о потере устойчивости в из-гибно-крутильной форме при одновременном действии на криволинейный тонкостенный стержень двух типов параметрических нагрузок.

8. В диссертации все аналитические решения перечисленных выше задач представлены в виде таблиц и многочисленных графиков.

1. Абу Мансур М. Т. А., Бейлин Е. А. Изгибно-крутильные колебания загруженных криволинейных тонкостенных стержней при наличии упругих распределенных связей // Механика стержневых систем и сплошных сред. -Л., 1980.-С. 19-27.

2. Абу Мансур М. Т. А. Изгибно-крутильные колебания и устойчивость тонкостенных прямолинейных стержней в упругой среде // Механика стержневых систем и сплошных сред. Л., 1980 - С. 28-32.

3. Александров А. В. Исследование работы тонкостенных стержней при действии продольных сосредоточенных сил // Исследования по теории сооружений,- М., 1967. Вып. XV. - С. 53-64.

4. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1995. - 560 с.

5. Аникина И. В. Об устойчивости плоской формы изгиба тонкостенных стержней с распределенными связями // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Л., 1991. -С. 34-38.

6. Бабий В. П. О влиянии статической нагрузки на поперечные колебания металлической балки, эксцентрично преднапряженной затяжкой // Динамика и прочность машин. 1971. - Вып. 14. - С. 33- 37.

7. Безухов Н. И., Лужин О. В. К расчету тонкостенных стержней на вынужденные колебания // Исследования по теории сооружений. М., 1957. -Вып. 7.-С. 7-41.

8. Бейлин Е. А. Вариант единой теории кручения тонкостенных стержней открытого, замкнутого и частично замкнутого профиля // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Л., 1991. - С. 57-74.

9. Бейлин Е. А. Влияние упругого стеснения депланации торцов на частоту изгибно-крутильных колебаний тонкостенных стержней // Изв. вузов. Машиностроение 1963- №4 - С. 47-57.

10. Бейлин Е. А., Мулляминова Р. М. Задачи деформационного расчета тонкостенных криволинейных стержней произвольного профиля // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. СПб., 1997-С. 26-35.

11. Бейлин Е. А., Егоров В. В. Изгибно-крутильные колебания и устойчивость тонкостенного криволинейного стержня, загруженного следящей нагрузкой // Исследования по механике строительных конструкций и материалов.-СПб., 2000. С. 50-55.

12. Бейлин Е. А. К теории деформационного расчета и устойчивости криволинейных и прямолинейных тонкостенных стержней // Механика стержневых систем и сплошных сред. Л., 1970. - С. 10-15. - (Сб. тр. Ленингр. инженер.-строит. ин-та; № 63).

13. Бейлин Е. А. О влиянии упругих депланационных связей и деформируемости профиля в тонкостенных криволинейных стержнях на изгибно-крутильные формы колебаний и потери устойчивости // Расчет пространственных конструкций. М., 1969. - Вып. 12. - С. 201-216.

14. Бейлин Е. А. Обобщение уравнений Кирхгофа-Клебша для тонких и тонкостенных стержней // Механика стержневых систем и сплошных сред. -Л., 1969. С. 5-19. - (Сб. тр. Ленингр. инженер.-строит. ин-та; № 60).

15. Бейлин Е. А. Общие уравнения деформационного расчета и устойчивости тонкостенных стержней // Строит, механика и расчет сооружений. 1969. - № 5. - С. 35-41.

16. Бейлин Е. А. Общие уравнения деформационного расчета и устойчивости тонкостенных стержней // Строит, механика и расчет сооружений. 1969. -№ 5. - С. 35—41.

17. Бейлин Е. А., Петрова И. Г. Определение частот свободных изгибно-крутильных колебаний тонкостенных стержней с частично замкнутым контуром сечения // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. -Л., 1990.-С. 26-33.

18. Бейлин Е. А. Приближенный вариант теории стесненного кручения стержней открыто-замкнутого профиля // Вопросы механики строительных конструкций и материалов. Л., 1984. - С, 61-69.

19. Бейлин Е. А. Прикладная теория деформационного расчета и устойчивости криволинейных тонкостенных стержней произвольного поперечного сечения // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. -СПб., 1995,-С. 4-13.

20. Бейлин Е. А. Статика и динамика тонкостенных криволинейных стержней произвольного профиля // Известия вузов. Строительство- 1997-№ 7 С. 19-26.

21. Белый Г. И. К определению частот свободных изгибно-крутильных колебаний металлических стержней, загруженных параметрическими нагрузками // Металлические конструкции и испытания сооружений- Л., 1959. -С. 29-37.

22. Беляев В. Н. К расчету пространственной коробчатой системы при действии закручивающих сил // Техника воз душ. флота. 1932. - № 4. -С. 350-356.

23. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гос-техтеориздат, 1956 - 600 с.

24. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. - 339 с.

25. Бычков Д. В. Испытание металлических балок на совместное действие изгиба и кручения // Строит, пром-сть. 1939. - № 11/12. - С. 103-107.

26. Бычков Д. В., Мрощинский А. К. Кручение металлических балок. -М.; JL: Стройиздат, 1944. 259 е.: ил.

27. Бычков Д. В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. М.: Госстройиздат, 1962. - 475 с.

28. Вайнберг Д. В. Колебания и устойчивость арок, поддерживаемых упругими связями // Сб. тр. Ин-та строит, механики. 1949. - №11. - С. 32-42.

29. Вибрации в технике. Справочник в 6 т. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. — 352 с.

30. Власов В. 3. Избранные труды. В 3 т. Т.1. М.: Изд-во АН СССР, 1962.-528 с.

31. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз,. 1959568 с.

32. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. 2-е изд. -М.: Наука, 1967. - 984 с.

33. Воробьев JI. Н. Влияние сдвига срединной поверхности на величину деформаций и напряжений в тонкостенных стержнях открытого профиля с не-деформируемым контуром // Тр. / Новочеркаск. политехи, ин-т. 1955. -Т.26/40,-С. 92-111.

34. Воробьев Л. Н., Яицкий J1. В. К вопросу об изгибно-крутильных колебаниях тонкостенных стержней // Прочность, устойчивость и колебания инж. конструкций. Новочеркасск, 1972. - С. 43-50. - (Тр. Новочеркас. политехи, ин-та; Т. 233).

35. Воробьев Л. Н. О гипотезах технической теории тонкостенных стержней // Тр. / Новочеркаск. политехи, ин-т. 1972. - Вып. 255. - С. 20-29.

36. Воробьев Л. Н. Расчет открытой цилиндрической оболочки с учетом сдвига срединной поверхности // Тр. / Новочеркаск. политехи, ин-т. 1963. -Т. 136.-С. 3-9.

37. Гребень Е. С. К теории тонких стержней // Механика твердого тела-1967,-№5.-С. 67-72.

38. Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Наука, 1977.-455 с.

39. Голубев О. Б. Обобщение теории тонких стержней // Тр. / Ленингр. политехи, ин-т. 1963. - Вып. 226. - С. 83-92.

40. Григорьев Ю. П. К расчету кривых брусьев // Расчет пространственных конструкций. М., 1950. - Вып. 1. - С. 175-218.

41. Грюнберг Н. Я. Изгиб и кручение тонкостенных криволинейных стержней // Тр. Лаб. строит, механики Центр, науч.- исслед. ин-та подзем, стр-ва М„ 1949. - С. 130-157.

42. Джанелидзе Г. Ю. Пановко Я. Г. Статика упругих тонкостенных стержней. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. - 208 с.

43. Длугач М. И. Крутильная жесткость тонкостенного стержня, усиленного решеткой // Тр. Ин-та строит, механики АН УССР. 1949. - № 11. -С. 19-31.

44. Длугач М. И. О расчете тонкостенных стержней, усиленных решеткой или планками // Расчет пространственных конструкций. М., 1959. - Вып. 1С. 163-174.

45. Длугач М. И. Эксперементальное исследование устойчивости тонкостенных стержней, усиленных решеткой или планками // Тр. Ин-та строит, механики АН УССР. 1952. - № 17. - С. 36-46.

46. Егоров В. В. К вопросу определения частот свободных изгибно-крутильных колебаний криволинейных тонкостенных стержней комбинированного сечения // Труды молодых ученых / С.-Петерб. гос. архитектур.-строит. унт-СПб., 1999. 4.1. С. 92-97.

47. Еленевский Г. С. Строительная механика крыла переменного сечения. М.: Оборонгиз, 1954. - 126 с.

48. Кан С. Н., Пановко Я. Г. Элементы строительной механики тонкостенных кострукций. М.: Оборонгиз, 1952. - 162 с.

49. Карякин Н. И. Изгибно-крутильные колебания тонкостенных стержней // Сб. ст. Белорус, ин-та инженеров ж.-д. трансп., 1957. - Вып. 1. -С. 147-151.

50. Киселев В. Ф. Расчет на прочность многопоясной цилиндрической оболочки с жесткими диафрагмами // Тр. Центр, аэрогидродинам. ин-та. 1947. -Вып. 619.-С. 2-60.

51. Лазарев В. И. Уравнения колебаний тонкостенных стержней с замкнутым деформируемым контуром // Прикладная механика. 1977. - № 11. -С. 111-115.

52. Лакуткин И. В. Динамическая устойчивость тонкостенного предварительно-напряженного стержня с несимметричным открытым профилем // Тр. преподавателей и слушателей Тул. гор. ин-та науч.-техн. знаний. Вып. 23. -С. 7-15.

53. Лакуткин И. В., Федунец И. И. О пространственных колебаниях тонкостенной крановой балки замкнутого трапециевидного сечения // Подъемно-транспортные машины Тула, 1976. - С. 16-25.

54. Лужин О. В. Динамический расчет тонкостенных стержней замкнутого профиля // Вестн. тр. воен.-инженер, акад. им. В. В. Куйбышва. 1958. -№ 123.

55. Лужин О. В. К определению частот свободных крутильных колебаний тонкостенных стержней // Строит, механика и расчет сооружений. 1959-№ 6,- С. 43-46.

56. Лужин О. В. Кручение тонкостенных стержней комбинированного поперечного сечения // Проблемы расчета пространственных конструкций. -М., 1980. Вып. 2. - С. 79-89.

57. Лужин О. В. Определение частот собственных колебаний тонкостенных стержней закрытого и открытого профилей // Исследования по теории сооружений. М., 1959. - Вып. 8. - С. 27-36.

58. Любаров Б. И. Кручение тонкостенных стержней открыто-закрытого профиля // Исследования по строительным конструкциям. Л., 1972. -С. 92-98.

59. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: Гостехиздат, 1935. - 674 с.

60. Мазурмович 3. Н. Общее решение устойчивости и устойчивой прочности тонкостенных криволинейных стержней // Сб. тр. Ин-та строит, механики АН УССР,- 1956. № 21. - С. 5-13.

61. Малкина Р. Л. К теории тонкостенных криволинейных стержней // Инженер, сб. АН СССР 1951. - Т. 9. - С. 201-208.

62. Мещеряков В. В. Влияние деформаций сдвига на частоты и формы свободных колебаний тонкостенных стержней // Тр. / Моск. ин-т инженеров ж.-д. трансп. 1975.- Вып. 476. - С. 88-94.

63. Мещеряков В. В. Влияние сдвигов и внутреннего трения на спектры частот свободных колебаний тонкостенных стержней // Тр. / Моск. ин-т инженеров ж.-д. трансп. 1971. - Вып. 343. - С. 42-47.

64. Мещеряков В. В. Вынужденные колебания тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов и внутреннего трения // Тр. / Моск. ин-т инженеров ж.-д. трансп. 1971. - Вып. 343. - С. 36-41.

65. Мещеряков В. В. Изгибно-крутильные колебания и динамическая устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвига // Тр. / Моск. ин-т инженеров ж.-д. трансп. 1970. - Вып. 311 - С. 75-81.

66. Мещеряков В. Б. О влиянии сдвигов на работу тонкостенных стержней //Инженер, журн. 1965,- Т. 5.; Вып. 1. - С. 121-123.

67. Мещеряков В. Б. О кручении тонкостенных стержней // Тр. / Моск. инт инженеров ж.-д. трансп. 1967. - Вып. 236. - С. 77-85.

68. Мещеряков В. Б. О напряженном состоянии тонкостенных стержней открытого профиля // Тр. / Моск. ин-та инженеров ж.-д. трансп. 1984. -Вып. 193.-С. 216-223.

69. Мещеряков В. Б. Общие уравнения теории тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов // Тр. / Моск. ин-т инженеров ж.-д. трансп. 1968. - Вып. 260. - С. 82-93.

70. Мещеряков В. Б. Устойчивость и колебания тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов // Тез. докл. Всесоюз. конф. по проблемам устойчивости в строит, механике. Вильнюс, 1967. - С. 22.

71. Мещеряков В. Б. Устойчивость тонкостенных стержней при сложных нагрузках // Строит, механика и расчет сооружений. 1959. - № 3 - С. 29-33.

72. Моргаевский А. Б. Устойчивость тонкостенных бесшарнирных круговых арок // Исследования по теории сооружений. М.; 1957. - Вып. 7. -С.223-231.

73. Мулин С. М. Пространственная устойчивость нелинейно упругих тонкостенных стержней // Науч. тр. Ом. ин-та ж.-д. трансп. 1967 - Вып. 80. -С. 3-108.

74. Мулин С. М. Три статьи по вопросам устойчивости и деформационного расчета // Тр. / Том. электромех. ин-т ж.-д. трансп. 1959. - Вып. 28. -С. 3-21.

75. Николаи Е. Л. Об устойчивости кругового кольца и круговой арки, сжатых равномерно распределенным нормальным давлением // Изв. Первого Петрогр. политехи, ин-та. 1918. - Т.27, Вып. 1. - С. 323-378.

76. Павилайнен В. Я. Исследование НДС при изгибном кручении тонкостенных арок и формулы для практического расчета // Пространственные конструкции в СССР. Л.; М„ 1964. - С. 137-189.

77. Пановко Я. Г., Бейлин Е. А. Тонкостенные стержни и системы, составленные из тонкостенных стержней // Строительная механика в СССР (1917-1967).-М., 1969. -С. 75-98.

78. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля. 4.2. Т.2. М.: Судпромгиз, 1941 - 960 с.

79. Пратусевич Я. А. Вариационные методы в строительной механике. -М.: Гостехиздат, 1948. 400 с.

80. Пратусевич Я. А. О колебаниях упругих арок // Тр. / Моск. ин-т инженеров ж.-д. трансп. -1952. Вып. 76. - С. 141-159.

81. Пратусевич Я. А. О малых деформациях и пространственной устойчивости криволинейных стержней и арок // Тр. 7 Моск. ин-т инженеров ж.-д. трансп. 1952. - Вып. 76. - С. 42-71.

82. Ромашевский А Ю. Методы расчета и экспериментальное исследование лонжерона типа кессона // Тр. Центр, аэрогидродинам, ин-та 1937. - Вып. 310.-С. 78-196.

83. Ржаницин А. Р. Об определении секториальных геометрических характеристик сечения тонкостенного стержня // Тр. Лаб. строит, механики ЦНИИ пром. сооружений. 1941. - С. 133-138.

84. Ржаницин А. Р. Составные стержни и пластины. М.: Строийиздат, 1986,-315 с.

85. Ржаницин А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М.: Гостехиздат, 1955. - 476 с.

86. Смирнов А. Ф., Александров А. В., Монахов Н. И. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1975. - 480 с.

87. Смирнов А. Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1947. - 307 с.

88. Соболевский Г. П. Расчет тонкостенных стержней, усиленных поперечными планками. Киев: Изд-во Акад. архитектуры УССР, 1953. - 28 с.

89. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3 т. Т.З. / Под ред. И. А. Биргера, Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - 567 с.

90. Справочник проектировщика. В 2 т. Т.2. Расчетно-теоретический / Под ред. А. А. Уманского М. Стройиздат, 1973.-415с.

91. Тер-Мкртчьян А. Н., Юрченко Д. А. Пространственные колебания тонкостенные предварительно напряженных балок открытого профиля // Подъемно-транспортные машины. Тула, 1973. - Вып. 1. - С. 3-10.

92. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967444 с.

93. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / Под ред. Григолюка. М.: Наука, 1971. — 808 с.

94. Торяник Н. С. Пространственная устойчивость арок с упругими связями. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1965. - 139 с.

95. Уманский А. А. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций. -М.: Оборонгиз, 1939. 112 с.

96. Уманский А. А. О нормальных напряжениях при кручении крыла самолета // Техника воздуш. флота. 1940. - № 12. - С. 48-65.

97. Урбан И. В. Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций. -М.: Трансжелдориздат, 1955. 192 с.

98. Федунец И. И. Собственные колебания призматической тонкостенной крановой балки с учетом депланации при кручении // Подъемно-транспортные машины. Тула, 1979. - С. 137-139.

99. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986.512 с.

100. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. В 3 т. Т. 2.-М.: Наука, 1978. 616 с.

101. Хмыров А. Ф. Приведенные геометрические характеристики кривых тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля // Методы и алгоритмы расчета сооружений и конструкций. Воронеж, 1992. - С. 24-43.

102. Холопцев В. В. Стесненное кручение тонкостенных стержневых с распределенными по длине упругими связями сдвигами // Прикладная механика. 1984.-№ 4.-С. 121-125.

103. Шаншиашвили А. М. К определению крутильной жесткости стальных колонн и балок с частично замкнутым контуром // Тр. / Груз, политехи, инт. 1955. -№ 4(39). - С. 231-238.

104. Шаншиашвили А. М. К расчету стальных колонн и балок с частично замкнутым контуром // Тр. / Груз, политехи, ин-т. 1955. - № 4(39). - С. 43-56.

105. Шаншиашвили А. М., Серингулян В. В. Экспериментально-теоретическое исследования устойчивости стальных колонн с частично замкнутым контуром // Изв. вузов. Стр-во и архитектура. 1958. - № 7. - С. 21-29.

106. Щигель В. А., Заневский И. Ф. Определение собственных частот тонкостенного стержня с сосредоточенными параметрами // Динамика и прочность машин. Харьков, 1979, - № 30. - С. 127-130.

107. Щигель В. А., Заневский И. Ф. Определение собственных частот изгибно-крутильных колебаний тонкостенных стержней методом Рэлея-Ритца // Динамика и прочность машин. Харьков, 1979: - С. 121-127.xxx

108. Anheuser L., Beitrag zur Berechnung des Kreistragers mit offenem dunn-wendigem Profil // Techn. Hochscule Stuttgart 1964.

109. Dabrowski R. Gekrümmte dünnwandige Trager // Theorie und Berechnung. Berlin, Springer. - 1968.

110. Chu Kuang-Han, Longinow A. Torsion section with open and closed parts // J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1967. - Vol. 93, № 6. -P. 213-227.

111. Guo Zhong-heng. A united theory of thin-walled elastic structures // J. Struct. Mech. 1981 - Vol. 9, №2, - P. 179-197.

112. Hancock G. J., Harrison H. B. A general method of analysis of stress in thinwalled section with open and closed parts // Civ. Eng. Trans. Inst. Eng. Austral-1979,-Vol. 14,№2.-P. 181-188.

113. Kollbrunner C., Hajdin N. Betrachtungen zur Theorie dar dünnwandigen Stabe und Inrer Anwendung in Bauwesen // Schweizerishe Baureitung. 1966. -№41,- S. 714-719.

114. Michell A. G. On the elastic stability of long beams under transverse forces // Philos. Mag. and J. of Sciences. Ser. 5. (London, Edinburg, Dublin) 1899. -Vol. 48,№292.-P. 42-68.

115. Norzi Livio. Instabilita delle forme aperte // Costruz. metall. 1976. -Vol. 19, № 1.

116. Nowinski J. Theory of thin-walled bars // Appl. mechanics rev. 1959. -Vol. 12, №4.-P. 219-227.

117. Prandtl L. Kipp-Erchenugen Ein Fall von instabilen elastishem gleichgewict: Diss, der Universität. München. - 1899. - 305 s.

118. Wagner H. Verderhung und Knichung von offenem profilen // Festschrift 25 Jahre Techn. Hochschule. Danzig, - 1929.

119. Washizu К. Some considerations on a naturally curved and twisted slenden beam // J. Math and Phys. 1964. - №2.1. XXX

120. Абу Мансур Мд. T. A. Свободные колебания загруженных стержней при наличии распределенных и дискретных упругих связей: Дис. канд. техн. наук.: 01.02.03. Л., 1981. - 184 е.: ил.

121. Джонсон Г. Р. Стесненное кручение тонкостенных стержней при наличии распределенных упругих депланационных связей: Дис. канд. техн. наук.: 05.23.17. Л., 1989. - 155 е.: ил.

122. Мулляминова Р. М. Устойчивость и деформационный расчет криволинейных стержней с распределенными связями: Дис. канд. техн. наук.: 05.23.17. СПб.,1997. 137с.: ил.

123. Петрова И. Г. Свободные изгибно-крутильные колебания тонкостенных стержней с частично замкнутым контуром: Дис. канд. техн. наук.: 05.23.17.-Л., 1990.-118 е.: ил.

124. Кругленко И. В. Изгиб и стесненное кручение тонкостенных стержней произвольного поперечного сечения: Дис.канд. техн. наук: 01.02.03. -Л., 1988.-148с: ил.xxx

125. Кругленко И. В. Изгиб и кручение тонкостенных стержней произвольного поперечного сечения / Ленингр. инженер.-строит, ин-т. Л., 1988. -13 е.: ил. - Деп. во Всерос. ин-те науч. и техн. информ. 05.04.88., № 2595-В88.