автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Устойчивость и деформационный расчет криволинейных тонкостенных стержней с распределенным депланационными связами

/ч .

^ , , * ' ' На правах рукописи

Мулляминова Рамзия Муратовна

Устойчивость и деформациотшй расчет криволинейных тонкостенных стержней с распределенным депланационными связями

Специальность 05.23,17 - Строительная механика •

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 1997 г.

Работа выполнена на' кафедре сопротивления материалов Санкт-Петербургского Государственного архитектурно-строительного Ушшерси-, тета

Научный руководитель - доктор технических наук,

. профессор Е. А. Бейлин.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, - профессор Г. И. Белый;

кандидат технических наук, доцент Б. М. Аллахвердов.

Ведущая организация - Г-ПИ "Ленпроектстальконструкцня".

Защита состоится фё/м^/Л 1997_ г. в 13 часг мин. на за-

седании специализированного совета К 063.31. 01 в Санкт-Петербургском архитектурно-строительном Унийерситете по. адресу: 198005, .Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4, ауд. . I •

I .. ' • " •

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Университета.

Автореферат разослан " 6 1997 года.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор.технических наук, профессор

, И. Морозов

V з ■ ■

Актуальность темы. В гражданском и промышленном строительстве, авиа- и судостроении широко распространены элементы конструкций, со* стоящие из тонкостенных стержней. Это связано с достижением существенной экономии материала при сохранении высокой прочности и жесткости.

Особенно широкое применение находят тонкостенные стержни открытого профиля; это связано с относительной простотой и* изготовления и удобством эксплуатации по сравнению со стержнями замкнутого профиля. Однако, стержни открытого профиля, обладая значительной жесткостью при действии продольных й изгибающих-'нагрузок, весьма слабо сопротивляются круЧению. • '

Для повышения крутильной жесткости стержней открытого профиля их. усиляют вдоль продольной оси рядом дискретных депланационных связей в виде поперечных планок или раскосов, частично замыкающих профиль - (рисЛ. 1, а). При достаточно частом'расположении упомянутых связей их * можно заменить в расчете сплошной пластиной на основе сдвиговой эквивалентности {рис.1.1, б).

Рис, 1,1, Расчетные схемы стержня; , -а - стержень с депланационными связями в виде поперечных планок; б - тот же стержень с заменой дискретных связей эквивалентной пластиной. - '

Существовавшие до последнего времени методики учета влияния де- , планашюнных связей на НДС при свободном и стесненном кручении обладали рядом недостатков: в частности, это влияние учитывалось только на величине сеи-венановой жесткости, а секториальиая жесткость и. положение центра изгиба принимались таким., „се, как у неусиленного стержня.

В данной Диссертации перенесена на криволинейные стержни новая методика (свободная от отмеченных недостатков), примененная ранее проф. / Е. А. Бейлиным и его учениками к расчету прямолинейных стержней. В ре-

гг 7'"--

4 ...

зультате, впервые дана оценка влияния депланационных связей на НДС и устойчивость тонкостенных стержней с плоской криволинейной осью. -.

Диссертационное исследование выполнено в соответствии с теиатиче- • ским аланом НИР СПбГАСУ по теме "Разработка методов решения краевых задач для тонкостенных строительных конструкций в линейной и нелинейной постановках". ' -

Целью работы является адекватный учет влияния депланационных связей на НДС в задачах недсформационного и деформационного, расчета, а также на потерю устойчивости, связанную с. появлением изгибно-крутильных деформаций тонкостенных криволинейных стержней.

Научная новизна .заключается в том, что впервые решены задачи недеформационного и деформационного расчета, а также задачи устойчивости бифуркационного характера для криволиие .лых тонкостенных стержней, обладающих распределенными по их длине дегошиционными связями.

Практическая ценность состоит в том, что получены как точные, так и . приближенные решения системы разрешающих дифференциальных уравнений поставленной задачи. Сказанное позволяет более адекватно, чем прежде использовать в практических расчетах модель тонкостенного стержня с криволинейной осыо. Полученные решения пригодны не только для стержней открытого, профиля, усиленных депланацпонными связями, но и'для стержней замкнутого профиля, ослабленных вдоль продольной оси радом отверстий. Многочисленные 1рафпки и таблицы облегчают использование полученных результатов в инженерной практик«. " Достоверность результатов' исследования базируется на хорошо впро- . бнрованных допущениях технических теорий тонкостенных стержней; на совпадении частных случаев с классическими решениями; на адекватном применении математического аппарата и вычислительной техники.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались на 53-й (февраль 1996 г.) и 54-й (февраль 1997 г.) научных конференциях СПбГАСУ. , ,

Структура и объем диссертации: она состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 87 наименований. Общий • объем диссертации 137 стр., в том числе 40 рисунков и 5-таблиц.

. Публикации. По материалам диссертации опубликовано две статьи.

Общее содержание работы

. В первой главе приводится краткий нсторизеский одзор развития и анализ современного состояния вопросов устойчивости и деформационно-го'расчета тонкостенных стержней с прямой и криволинейной осбю. Обсуждаются различные методики учета влияния депланационных связей на НДС и устойчивость и обосновывается выбор наиболее адекватной методики. Здесь же излагаются постановка задачи и цель исследования. .

I ! I

• 5 ■

В этой же главе приводится полная система уравнений единой теории тонкостенных стержней открытого, замкнутого н частично замкнутого профилей, предложенная Е. А. Бейдиным, Для; плоскокриволинейного стержня, у которого главные оси инерции всех сечений X, У образуют угол V = const соответственно с нормалью и бинормалью к оси стержня (см. рис. .1.1; а), уравнения равновесия имеют вид: ;

N' + PxQy-PyQx+q^b] 0.1)

• гфЧЛ^Т^ЛО^+^О,, (1.2)

. (Мх + ayN)' ± ру Мг + Qv + m^q,ay = 0, (1.3).

М'г + рх (Му + ах А') - ру (Л/г - ау N) +

+{k,D'}j + {(3'D}2 + от. =0, ' - (1.4)

В' (1,1) -"(1.4) обозначено: рх - к^ + кх, ру ~ к^ + к,, - полное значение компонент кривизн деформированной оси "центров изгиба; ■ (Cj =sini{// R, к^, == cos ц/ I R - то же, а недеформированном состоянии;

к$ — х,у,г)-деформационные компоненты кривизн и кручения; -мера дспланации поперечных сечений, -

D = 2{ахМу -дуМх) + (агх + <флг + /(*2 +y7)a,5ds, (1.5)

. s -

ах, а у - координаты центра изгиба. •

Нижний знак в (1.2), (1.3) соответствует аналогичным уравнениям, получаемым взаимной заменой индексов .v, у. Знак "штрих" здесь и далее • означает производные по продольной координате г.

Фигурные скобки с индексом 1 и 2 означают дополнительные члены к уравнениям Кирхгофа-Клебша, появившиеся соответственно за счет учета различия наклонов и кривизн отдельных волокон.

К шести уравнениям статики (1.1)-(1.4) надо добавить седьмое уравнение, связанное со сверхетатнческнм фактором - бимоментом (2?та). Эта дополнительное уравнение основано на эквивалентности двух подходов к , определен! по полного крутящего момента А/., образованного касательными напряжениями г. В первом подходе г определяются с использованием уравнений равновесия. Второй подхп спязан с записью т с помощью закона Гука. В результате получена следующая связь между усилиями, характеризующими деформацию кручения: " . .

. Л/Д + Л/Гц/Х-О, ¿ = (1.6)

В (1.6) обозначено:

■ » = Х = 4 = = /</+./*. (1.7)

Входящие в (1.7) геометрические характеристики жесткости при свободном кручении отражают вклад касательных напряжений, распределенных по толщине стенок профиля соответственно равномерно й по линейному закону: /

= ' (1.6)

где П - удвоенная площадь, заключенная внутри замкнутого контура поперечного сечения; аэ,'б3- соответственно ширина и толщина эквивалентной пластины, замыкающей контур сечения (см. рис. 1.1, б); С, С - модули сдвига материала стержня и депланационных связей.

Все усилия, входящие в (1.1) - (1.6), выражаются через компоненты деформации оси стержня следующими соотношениями упругости:

N = ЕАе> Мх = Шхкх> Му = &1уку>дх = -Шук'у> Оу = Шхк'х,

• + К2, • (1.9)

где ( - .

. Г—2«. 7 — -

•4> =^.а>йбсйг, =т-/л-, -=.) — + —

. о "а^

главная приведенная секториальная координата. -

Компоненты деформации оси стержня к,(; = и е выражаются

через смещения точек его оси. Если обозначить компоненты смещения вдоль осей X, У, 2 соответственно через и, « и-, а угол закручивания через 8, то кинематические соотношения принимают вид: •

, изтш-исовш „ Г иЛ ■ 9 --■ . . К*88-" 8ЦИ|/+-С05Ч>.

; • ' • . (1-Ю)

0 , • , и'втш + о'созш

созу- —вту. кг = 6' +-:Х—-

л - К

Частные случаи полной системы уравнений (1.1) - ({-4), (1.6), (1.9) к (1.10) используются для решения,конкретных задач в последующих главах диссертации.

Вторая глава диссертации посвящена задачам недеформационного расчета, когда уравнения равновесия составляются по недеформированной расчетной схеме. > '

При этом, члены уравнений (1.1) - (1.4), содержащие произведения усилий на компоненты деформации, а также члены в фигурных скобках, исчезают. Кроме того, для стержня с плоской криволинейной осью далее принято, что ось X совпадает с направлением радиуса Е~соШ (т. е. чя=0).

Сначала рассматривается НДС для стержня с| круговой осью, загруженного по схеме рис. 2. 1, а. Поперечное сечение; представляет собой коробчатый профиль со стенками постоянной толщины (рис. 2. 1, б); депла-нацня обоих торцов стеснена. На одной из длинных сторон профиля имеется узкий'податливый на сдвиг шов, влияние которого на усилия и деформации исследуются ниже.

а <з

г - 1 к<

с

) к \ к

№

■ Рис. 2.1. Расчетные схемы для недеформационного расчета..

• В таблице 1 приведены значения основных характеристик сечения, (А=2&=20§8=1см), связанных с деформацией кручения, в зависимости от степени упругой податливости шва аэ / 8Э (материал стержня н шва принят одинаковым). Узкий шов практически не влияет на положение центра тяжести сечения и на величину изгибных характеристик жесткости.

Однако, он. существенно влияет на характеристики, связанные с кручением; из табл. 1 видно, что геометрическая жесткость свободного кручения с увеличением податливости шва падает, а секториальный и направленный моменты инерции Ут, . наоборот, возрастают. Весьма важно для дальнейшего анализа, что и координата центра изгиба'тоже при этом рае-тет.

Верхняя строка в табл. 1 относится к профилю без шва (а, = 0); нижняя строка - к открытому профилю, разрезанному вдоль стержня (8Э = 0).

Для сравнения, в табл. I приведены числа'в скобках, соответствующие методике 3. Власова, согласно которой Jta и ах не зависят от податли-

вости депланациоииых связей, а значения J¿ получаются существенно завышенными по сравнению с экспериментом.

Таблица 1

а», см см6 Л1 см4' СМ4

0 0 5580 •3000 2688 0,10

.20 3,0 - (12,0) 36670 (370000) . ■3360 2020 • (8020) . 0,40

100 "7,5 (12,0) 158330' (370000) 5000 1020 (1625) 0,80

500 - 10,7 (12,0) . 300400 - (370000) 7580 306 » (340) 0,96

со . 12,0 (12,0) 370000 (370000) 8760 20 (20) 1,00

Переходя к решению задачи, выпишем значения изгибающего моменте Мх и полного крутящего момента М2 в соответствии со схемой загруже-ния по рис. 2.1, а: . .

Мх - -Р/Ьтф, Мг = Р(Исо8(р + Я{)', Кх =Я+ах. (2.1) Доли полного крутящего момента М^ ', {Мг -- Ма + М4 +Мь) и бимомент Ва определяются только после нахождения деформаций. - ,

Уравнение-для определения меры депланации Р можно получить и? (1,6) с учетом (^отношений упругости и выражения для А/г по (2,1)

Э = соз<р+Ег) ¡ХЮт, (2.2)

Где точками обозначены производные по углу <р. ' '

Интегрируя (2.2) при соблюдении граничных условий Р(0) = Р(я) = О ', получим

Э(ф) -

тЩ Л ДЛ ^еЧЧ+г2 гУ

8Ьг(ф-ЗС) кЬлг

. ( Я ' ДЛ аЬгф ^ Дсоа.ф ( ДЛ м+г2 г2' вЬгя 1+г2 г2]' е

(2.3)

С помощью (2.3) ыожно найти яриращеше кручения да уравнения (1.6), преобразованного к шзду

II . Р/Пплжл^. РЛ

(2.4)

/ N йй Р(Дсозф+Д.)

• 9 '

Определив компоненты деформации оси стержня, легко найти усилия из соотношений (1.9) и перемещения из (1.10). В таблице 2 показано как меняются значения усилий (Ви, Мт, I = М(! + Мк) в заделке и перемещений (и, 9) на свободном конце стержня в зависимости от степени податливости деплаиаииошшх связей (примято: Р =1кН, К - \0£> = 100 см, <3 -=0,4£= 0,8-Ю4 кН/см2). |

__ Таблица 2

яэ/8э яа(омо-\ кт, ¿(0), 1 «(ТС), 0(7С)-1О\

'кН-см* кН-см кН-см см . Рад

0 - -0,149 20,7 179,3 0,24 -0,77

20 -0,750 71,0 132,0 . 0,32 -1,10

(-2,268) (212.0) '(О) (ОД 2) (-0.50)

100 -3,613 ■ . ¡67,2 40,3 • 0,64 -1,75

(-4,962) (212,2) (0) (0,44) (-1,29)

500 -9,393 202,2 8,5 1,64 -3,48

(-10,140) (212,6) (0) (1,48) (-2,99)

00 -22,970 212,2 0,5 . 5,55 -5,82

(-22,970) (212,7) (0) (5,55) . (-5,82)

Как и прежде, в скобках приведены соответствующие значения, полученные по методике 13. 3. Власова; совпадение с результатами диссертации, как и следовало ожидать, имеет, место только для стержней открытого профиля (8Э = 0).

' Во второй главе приведены решения и ряда других задач недеформационного расчета, отличающихся друг от друга видом на^ружения и граничными условиями. Показано, что в зависимости от степени податливости депданационных связей происходит перераспределение усилий вдоль кри-. ' волин'ейиой оси стержня;

В третьей главе диссертации рассматриваются задачи устойчивости бифуркационного характера. Оценивается влияние депланационных связей на величину критических нагрузок, соответствующих потере устойчивости в изгибно-крутилыюи форме (иначе говоря, потере устойчивости плоской формы изгиба).

Как известно, бифуркационные задачи устойчивости являются частным случаем деформационного расчета, когда действуют только параметриче- . ские нагрузки, В реальной действительности, строго говоря, параметрическое загружение невозможно, ибо всегда- сушестуюг нсидеальности стержня геометрического характера и всевозможные случайные -»ксцентре-с'итеты нагрузок. Тем не менее, решения . легализированных задач устойчи- • вости необходимы, ибо критические величины нагрузок входят в качестве I параметре,., в уравнения деформационного расчета, отражающих более реальные случаи загружския.

Ю /

Отметим важное обстоятельство: ш общих уравнений деформационного расчета вытекают условия существования бифуркации равновесия, накладываемые на геометрию стержня и характер его загружения. В соответствии- с этими условиями,, бифуркация равновесия возможна только тогда, когда ось стержня представляет собой плоскую кривую, а поперечное ссчонне обладает осью симметрии, лежащей в плоскости начальной кривизны стержня. К сказанному необходимо добавить: все распределенные и сосредоточенные нагрузки обязательно должны действовать в плоскости симметрии стержня. .

При выполнении указанных условий; из общей системы уравнений . (1.1)-(1.4) выделяются три уравнения, соответствующие задаче об устойчивости плоской формы изгиба. Эти уравнения (в соответствии с тремя компонентами деформации стержня: к.5(з) е-помощью соотношений упругости и последующей процедуры линеаризации, принимают ввд: ; EjxK» -кх№ + (GJdKz -£4Р")'/я + - '

-кZ(M¡ +ак№у - PWy + axÑ°) + т'х = 0;' (3.Í)

EJJb"' - GJjk'x + kx(EJx ÍR - Мйу - axNü)~

i ' - ' . . -к^^-гр^у-р'й^-гр^-ш^.О; (3.2) . Kz = p-^m(i"/(nGJ„). (3.3)

В (3.2) символом обозначена известная характеристика асимметрии . сечения. Индекс "нолик" в (3.1), (3.2) означает, что соответствующие усилия записывается р оеях'недеформированного состояния. ' Сначала в диссертации рассмотрена задача об устойчивости плоской формы чистого изгиба (рис. 3.1), т. е;, когда в (3.1), (3.2)

Ыу -М -comí, ==0, Qx —.0. При этом три уравнения задачи сводятся к одному разрешающему уравнению ютоп> порядка относительно меры депланации p(z) : ' « -

- ' р' = 0, (3.4)

где . • '

2, (G7¿-2M¿)H 1 fi Ш) 0

. ' ш.,- -¥{1-ЖТ , (35)

• ¿A&á-mvL MR)

R2XEJa Д . EJJ

11

.3- 0.

Рис. 3.1. Расчетные схемы для задачи об устойчивости плоской формы изгиба.

Решение уравнения (3.4) имеет вид ".

Р(г) = С} + С2 эт/кг + со эгкг+С4 зЬ иг+С3 сЬ?гг, (3.6) причем тип даются формулами ° ■ ' ' |

т■ ■■

(3.7)

■ ±л!-р2 /2 +^р4/4+Г1, ■

п = ±л1р2 12 + + По своему смыслу функция Р(г) должна быть' кососимметрична относительно середины пролета, поэтому, рассматривая симметричную форму потери"устойчивости (соответствующую минимуму критического момента) четные слагаемые в (3.6) можно опустить, г. е. принять Сх = С3 = С5 = 0. При этом приращение кривизны можно представить в форме

Л

Ш-ЕГ,

созл;г+С4«3 сЬпг)/(Л -

-(07,, - 2|3хА/)(С2тсо5даг + Сд/тсЬлг)]- 1 (3.8)

• Формула для критического момента получается из (3.7) с учетом обозначений (3.5)

М\7 =

I

2 т2П

где

= ?п2(пРШ^Х / д + - т'Ых.

(3.9) (ЗЛО)

12 . ' Из (3.7) также вытекает связь между т и п

п2-т2~р2. . (3.11)

Знак "плюс" перед радикалом в (3.9) соответствует направлению изгибающего момента М, увеличивающего начальную кривизну- стержня, знак "мииус" - моменту обратного направления. •■

Значения т и п, как обычно, определяются из трансцендентных уравнений устойчивости, вид которых зависит от граничных условий. Наиболее простым в вычислительном отнощеиии является случай, когда концы стержня обладают свободой поворота из плоскости начальной кривизны, а торцы стержня тоже свободно депланируют. Этому случаю отвечают граничные условия .

кт(//2) = 0, Р'(//2) = 0. (3.12)

^ Подчиняя этим условиям функции (З.б), (3.8) и приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при С2 и С4, после несложных преобразований, получим

соф»//2)== О, т = 1к11, (/=1,3...). (3.13)

При иных граничных условиях трансцендентные уравнения устойчивости-для определения т (или п) Имеют весьма громоздкую структуру. В этом свете, вместо решения задачи в замкнутом виде часто бывает предпочтительней получение приближенного решения, позволяющего представить выражение для критического параметра нагрузки в явном виде.

В диссертации такие решения получены с помощью метода Бубнова-Галеркина. Для граничных условий (3.12) приближенное решение полное-' тыо совпадает с точным, а для других граничных условий решение по Буб-нову-Галеркину, как обычно, дает несколько завышенные значения критических параметров.

Кроме задачи об устойчивости плоской формы чистого изгиба, в дис-. сертации приведены решена и для других случаев загружения криволинейных стержней как сосредоточенными, .так и распределенными нагрузками. В часшосга,. рассмотрена задача, когда в процессе потери устойчивости равномерно распределенная вдоль оси стержня нагрузка не сохраняет первоначально заданное направление (так называемые "следящие" нагрузки).

Во всех рассмотренных задачах дана оценка влияния степени упругой податливости и места расположения дегошнационных связей на величину критической нагрузки для стержней различной дайны и различного угла раствора. При этом отношение а3 15Э, характеризующее степень податливости связей, варьировалось от нуля (замкнутый профиль) до бесконечности (открытый профиль). -Проведенный анализ подтвердил наличие для криволинейных стержней странного, на первый взгляд, эффекта (обнаруженного ранее для прямых

стержней), согласно которому критические нагрузки могут возрастать по мере ослабления депланационных связей. Сказанное подтверждается графиками на рис. 3.2, построенными по формуле вида (3.9) для стержня с граничными условиями, соотаетстаукшшмй защемлению нз плоскости начальной криш.лпы и отсутствию деатанацик торцов. Отмеченный эф'фект имеет место тогда, когда депланашгонные езязи находятся в растянутой зоне поперечного сечения и проявляется сильнее с увеличением отношения ахП и уменьшением угла раствора 2а.

м'к •■ ■ ' .

м ь

и

1,о

Н

\ Ыо -0

V ' \

ч ~с-

4 ч.

а

«о

1 т -- - — —

1 ^ \ х • \ п

\ : и ок. , и

.. ... ■

<00 , ¿00

1оо

500

а,;в5

V*.

Рис. 3. 2. Зависимость критическое о момента от степени податливости де-планациониых связей: сплошные линии для моментов, увеличивающих начальную кривизну стержня; пунктирные линии для моментов обратного направления. . ,

Необычному изменению'величины критических моментов можно дать следующее объяснение. Делй в том, что при увеличении податливости де-пЛанационных связей на устойчивость стержня влияют два одновременно действующих фактора. Первый - это снижение крутильной жестеости сечений, что само по себе понижает устойчивость стержня. Второй фактор связан с изменением эффективной жесткости стержня из-за увеличения координаты центра изгиба ах. Остановимся более подробно на влияние второго фактора.

На рис. 3.3 в качестве юшюстращш приведено сечение со швом на верхней полке; при этом имеем ах>0. На этом же рисунке изображены две возможные формы потери устойчивости (в соответствии с двумя возможными направлениями момента М) и показанЬ1 обобщенные внутренние силы и моменты, соответствующие линейным и угловым перемещениям сечения.

14 / ' •'.

Видно, что при вращении вокруг

центра 0| (М <0 по формуле (3.9)) , оба обобщенных силовых фактора дают моменты относительно центра изгиба, направленные в одну сторону, а при вращении вокруг ценгр'а Ог

(Л/ >0) - упомянутые моменты имеют разные направления. Иначе говоря, эффективная жесткость стержня в лгрвом случае уменьшается, а во втором - увеличивается с ростом координаты

Таким образом, сочетание первого

А

и второго факторов при М <0 всегда влечет за собой снижение устойчивости, а сочетание обоих факторов при.'

М* > 0 может привести, как к повы-. шенню устойчивости, так н к ее понижению (в зависимости от того, какой из факторов превалирует). Аналогичное объяснение можно провести и при расположении депланационных связей на нижней полке. •

Рассмотренные в треть-1 главе задачи сами по себе представляют определенный интерес, но, кроме того, найденные в этой главе критические значения нагрузок используются'далее для решения задач деформационного расчета. . •

В четвертой главе диссертации представлены решения ряд. новых задач деформационного расчета. Для тонкостенных стержней, деформационный расчет особенно актуален при одновременном действии параметрических и активных не грузок. При этом найденные с помощью деформационного расчета перемещения точек оси стержня, а также усилия и напряжения в поперечных сечениях могут для достаточно гибких стержней значительно отличаться с аналогичных величин, определенных по недеформнрован-ной расчетной схеме (иногда в несколько раз).

Рассмотрим сначала задачу, решение которой удатся провести в замх-нутоу виде.,Стержень с плоской криволинейной осью (рис. 4.1), загружен на концах моментами М, действующими в продольной плоскости симметрии стержня (параметрическая нагрузка) и моментом Мк, действующем-в середине пролета перпенхлкулярно к плоскости начальной кривизны (активная нагрузка).

Рис. 3. 3. Два вида потери ул-той-чивоста плоской формы изгиба.

Мь . й

Рис. 4,1, "Расчетные схемы для задачи деформационного расчета,

.Уравнения данной задачи деформационного расчета совпадают с урав-- нениями задачи об устойчивости <3.1>—(3.3>, если в них положить

<2® - 0, № - б. Для того, чтобы ввести в эту систему в явном виде активную нагрузку Мк, проинтегрируем (3,1) один раз по г и найдем константу интегрирования из условия М,(0)= М^ 12. Далее (как и в задаче -об устойчивости) систему трех уравнений можно свести к одному относительно функции Р(г). При этом (з соответствии с существом деформационного расчета) вместо однородного уравнения (3.4) придем к следующему неоднородному уравнению: : V

. . р" А/К/£7^)ц/(2Й2Х£/ю), (4.1)

где р2, г2 даются формулами (3.5).

. .Решение уравнения (4.1) имеет вид °

: > р(^) = Сх зЬ П2 + С2сЬт-г С3 ышт+С4 созт л-

+Мк (1 - Л-т/ Юх)\1 / (2Л2г2Шв). . (4.2)

Параметры шипи связь между ними представлены, соответственно выражениями (3.1) и (3.11).

Приведем решение для случая шарнирного закрепления концов и их свободной депланации; этому случаю отвечают следующие граничные условия: . .

р(0) = 0, р'(//2) = 0, Мг (0) Мк 12, кх(1/2) = 0. /4.3)

Подчинив функцию (4.2), а также полный крутящий момент А1г и приращение кривизны к-л (последние две функции тоже выражаются через Р) условиям (4,3), получим

м>

16

сЬ л(//2-

г) соз«:(//2-2)

+Т

Qh.nl! 2 сое /??(// 2 -г)

со%тпИ2

соз тИ 2

}

где

1

т2Т+-

Г=

(4.4)

(4.5)

После определения функции ¡}(г) можно легко найти бимомент и ю-гибио-крутящий момент

ёт

(4-6)

а также ¡все остальные усилия, связанные с кручением и изгибам стержня.

Перемещения определяются из кинематических соотношений (1.10). В . автореферате приведено лишь выражение для полного угла закручивания сечений 01, который равен сумме собственно угла закручивания 9 и дополнительного угла, вызванного горизонтальным смещением и:

61(2) = 0 +

К

1 +

5

вЬя(// 2-г)

+ Г

исЬи//2

\ , тгЫт

1

ц(7/н

&тт(1/ 2-

&\птп(1/2-£) тшш//2 .

г)

) йгсозш//2

и

(4Л)

Полученное в замкнутом виде решение задачи деформационного расчета позволяет оценить взаимное влияние параметрической и активной нагрузок (М и МА) на НДС криволинейного стержнй. Величину параметрического момента М удобно задавать в долях от его критического значения Л/*.

В качестве иллюстрация приведены расчеты для конкретного стержня (рис. 4.1.) при граничных условиях (4.3) и следующих геометрических данных: сс=Л! 6, / =10/!, й=2$=20 см, 5- 1 см. •

Методика расчета такова:, сначала надо задаться величиной

Л/=/ М (05/ < 1), по которой определяются величины р, г из (3.5), затем из (3.7) находятся параметры тип, с помощью которых вычисляются все функции НДС - см., например, (4.4), (4.6), (4.7). ' -'

Нчсмотря на то, что при решении задач деформационного расчета используются линейные (вернее, - линеаризованные) уравнения,-все факторы НДС нелинейно зависят от параметрической нагрузки. Это видно из того, что параметрическая нагрузка входит в выражения для факторов НДС в виде аргументов тригонометрических и гиперболических функций.

X

Как известно, "ннеаризацкя исходных уравнений приводит к тому, что при 1=1 все усилия и перемещения стремятся к бесконечности, поэтому достоверность полученных решений ограничивается условием 15 (0,8 + 0,9). На графике рис. 4.2 (см. сплошные линии) приведены в безразмерных координатах, потроенныс по (4.7) зависимости полного угла'закручивания среднего сечения стерши от уровня загружения моментом М, Числа на правой шкале графика означают ординаты асимптот, соответствующих

критическим значениям Мк 0-5

0.3 0.2 0.1 0 .-0.1 -0,2 -0.3

г/ i

¡1 * 1 1 (\ ( i i

\3

V 2 '

i

0.355 0.J3S

-0.0137

>-0.202

BJX

■ Mkh

Рис, 4.2. Зависимость полного угла закручивания 9](0) , от величины момента Мпри Мк = const: 1 - замкнутый профиль (а, = 0); ' • -2 - частично замкнутый профиль (а,/Зэ = 200); 3- открытый профиль (6Э =0)

. Из графзжа слгдует, что вря одном п том же значении М угол ззитруан-¿щяа растет яо м«р»' ужшчтия иодйтяизостда дешяшдаонных' екязеЯ. Следует обратить внимание на .характерную' особенность изийккйя >тгл зшфучиванщ (а также, как пшзшш «шиз, лжейных'першещений и устий) при возратнкн п^аиетрзяесиого момента М Дело в т ¡м, чт» при М > 0 (когда мс&здт уветшвает шчажку?о 5ср5иизну стгржш?) разрастание А/ приводят не к росту 6j (как, на первый взгляд следовало Сы . ошздать), s к уменшшш» угла Si- на пф&гя&чялшом arms загружая; я лша> после достижения моментом М олр'ейеленмой »якм угол чкгания нвчиксст воур^стзта. При М < 0 стме-чешвя особенность отсутствует: возрастание модульного значения М течет за собой монотонное увеличение перемещений и усилий.

18 ' '

Приведенный выше пример деформационного расчета основан на точном интегрировании уравнений задачи. Однако, для более сложной на-гружения и произвольных граничных условий решение задачи в замкнутом виде провести не удается и приходится обращаться к различным приближенным методам.

В свете сказанного предлагается использовать приближенную формулу, полученную ранее Е. А. Бейлиным и Г. И. Белым по методу Бубнова-Галеркина. Эта формула позволяет заменить решение достаточно сложной задачи деформационного расчета решением двух более простых, а иногда к известных задач: задачи об устойчивости и задачи при действии только активного нагружения.

Речь вдет о формуле

/(г) =--(4-8)

где: /(г) - любой фактор .НДС определяемый при одновременном

действии активных и параметрических сил; /°(г) - то же самое, при действии только активного загружения; Р - параметр заданной параметрической нагрузки; Ру - модульная величина критического значения Р

при заданном его направлении; Р± - тоже самое, при Изменении направления сил Р на обратное, но при неизменном месте их приложения.

В применении к рассмотренной выше задаче (ем. рис. 4.1) формула (4.8) принимает вид ..'',-'

О (г) = 91<г) (4 9ч

{\~М/М1*Х\+М/М2*)' V

На рис.4.2 пунктиром показаны кривые, построенные по (4 Ч) при г=0 видно, что точность приближенного решения достаточно удовлетвори тельна. Однако, необходимо отметить, что точность формулы (4.8) пру . определении усилий снижается - сказываются операции Дифференцирова ния при переходе о» перемещений к усилиям.

Применение приближенной формулы (4.8) показано только для схемь загружения по рис. 4.1. Однако, результаты второй и третьей глав (гд - рас смотрены соответственно задачи недеформационного расчета и устойчи вости) позволяют Использовать формулу (4.8) и для других случаев затру жения. При этом графики зависимости перемещений (.или усилий) от уров ня параметрического загружения агэлогичны графику на рис, 4.2.

В заключении диссертации сформулированы следующие основные вь вода: .

1. Для усиления крутильной жесткости тонкостенных стержней открытот профиля их часто снаожают дешшшигонными связями в виде поперечны

планок или расколов, частично замыкающих контур поперечных сечений. Однако, в существующей технической литературе до последнего времени не дано оценок влияния упомянутых связей на напряженно-деформированное состояние и устойчивость тонкостенных стержней с криволинейной ос>-ю. . . ' ■

2. В данной диссертации впервые сделана попытка устранения указанного в пункте I пробела. При этом дискретные депланационные связи заменяются в расчете, сплошной, эквивалентной, по сдвигу пластиной. Допустимость такой замены была ранее подтверждена экспериментально.

3. На ряде примеров проведен анализ влияния упругой податливости де-планационных связей на расчетные характеристики сечения. Показано, что с ростом податливости' связей сеи-венанова характеристика жесткости снижается, а секторйальный и направленный моменты инерции, наоборот, возрастают; существенно, что при этом растет и координата центра изгибе.

4. Впервые для определенного класса загружений криволинейных тонкостенных стержней получены точные решения системы дифффенциальных уравнений задач недеформационного и деформационного расчета,"а также бифуркационных задач устойчивости. Дана оценка влияния депланацион-ных связей на перемещения, усилия и критические параметры нагрузки. 5; Подтвержден для криволинейных стержней необычный на первый взгляд эффект (обнаруженный ранее для прямолинейных стержней), согласно которому критические моменты могут возрастать по мере ослабления жесткости депланационных связей. Дано объяснение отмеченному эффекту, ■

6. Показано на конкретных примерах решения зада1! деформационного

' расчета и устойчивости плоской формы изгиба, что эффективная жесткость стержней повышается, когда, депланационные связи расположены не в сжатой, а в растянутой части лоперечного сечения. . ;

\ / ' * *

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях; '

!. Мулляминова Р. М. Некоторые задачи расчета тонкостенных криволинейных стержней частично замкнутого профиля / / Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Межвуз. Темат. сб. тр. / СПбГАСУ.Спб. 1995.С.14-25,

2. Бешшн Е. А., Мулляминова Р. М. Задачи деформационного расчета тонкостенных криволинейных стержней произвольного профиля. / / Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Межвуз, темат. сб. тр. /СПбГАСУ.Спб. 1997. С. 26-35. •

Муллямииова Рамзия Муратовна

! Устойчивость и деформационный расчет ' криволинейных тонкостенных стержней с распределенными депланационными связями

Специальность 05.23.17 - строительная механика •

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

л ■

Подписано к печати . Печать офсетная. Формат 60x84 1/16.

Усл.печ.л. ^¿¿Т . Тираж 80 экз. Заказ

Санкт-Петербургский государственный арх'.ггектурно-сгроителышй университет. . 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4. Ротапринт СПбГАСУ, 198005, Спб., ул. Егорова, 5.

' «е