автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Деформационный расчет и устойчивость тонкостенных призматических стержней произвольного профиля сжатых с двухосным эксцентриситетом

дравайр|когшс

2 3 нов гт

Белый Александр Григорьев!«

Деформационный расчет и устойчивость тонкостенных призматических стержней произвольного профиля сжатых с двухосным эксцентриситетом

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2000 г

Работа выполнена на кафедре сопротиатення материалов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета.

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Е.А. Бейлин.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Мещеряков В.Б.

кандидат технических наук, Любаров Б.И.

Ведущая организация - ОАО " ПИ Ленпроектстальконструкция"

Защита состоится Ш^ЦиЛ 2000 г в час. Оо мин. на заседании специализированною совета К 063.31. 01 в Санкт-Петербургском государственном архитеюурно-строительном университете по адресу: 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4, зал заседаний совета.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан "51" иМклИ^ 2000 года.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор технических наук,

профессор

1Ш .ш Л .о

В.И. Морозов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Атуяльпосгь темы. В прсг гышлештом строительство, а так же во многих других отраслях техники тирошс применение шходят конструкции, выполненные из тонкостенных стержневых элементов. Поперечные сечен?« таких элементен можно разделить на три основных класса, открытые, замкнутые и комоиииро-ваппые. Иэ перечисленною класс;; стержней наименее изучены стержни комбинированного поперечного сечения, содержащего в себе как открытые, так и замкнутые участки Такие стержни зачастую усиляются депллнационными сютми в виде поперечных планок или раскосов.

Внецстрешюс сжатие с двухосным эксцентриситетом для таких стержней (например, двухвотвевых металлических колонн промыпиенных здании) яаляегся одним из основных видов пагружения. Поэтому, диссертационное исследование, посвященное деформационному расчету и устойчивости стержней комбинированного сечения при- наличии дспланаиконных связей и загруженных продольными силами с двухосным эксцентриситетом, относится к одной из актуальных проблем строительной механики.

Цель работы. Определение напряженно-деформированного состояния и устойчивости тонкостенных стержней произвольного профиля, сжатых с двухосным эксцентриситетом.

Методы исследования. Анали гический и экспериментальный.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые решены задачи деформа ционного расчета и устойчивости при внецентрешюм сжатии с двухосным ¡эксцентриситетом для тонкостенных прямолинейных стержней произвольного поперечного сечения.

Практическая ценность состоит в том, что получены решения системы дифференциальных уравнений задачи при точном удовлетворении разнообразным граничным условиям. Сказанное позволяет более адекватно, чем прежде использовать в практических расчетах модель тонкостенного стержня произвольного поперечного селения, сжатого с двухосным эксцентриситетом.

Достоверность результатов исследования базируется на достаточно хороню апробированных допущениях технической теории тонкостенных стержней; на совпадении частных случаев с классическими решениями; на адекватном применения математическою аппарата и вычислительной техники. Кроме тою, достоверность исследования подтверждается сопоставлением с экспериментальными данными.

Апробшцш р*(мггм. Основные наложения и результ аты диссертационного исследования доклады вались па 52-ой и 53-е?! международных научно-технических конференциях молодых ученых и студентов. СПб. пчуд. архитскт.-строит. универ. 1998, 1999: IV международной конференции "Проблемы прочности материалов л сооружении па транспорте" СПб. посуд, универ. путей сообщения. 1999, а так же на 56-ой и 57-ой научных конференциях профессоров, преподавателе!!, научных

работников, инженеров и аспирантов СПб. госуд. архитект.-строит. универ. 1999, 2000.

C ipvK-njKi 11 объем диссертации: она состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 122 наименования. Общий объем диссертации 114 страниц, в том числе 41 рисунок и 9 таблиц.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано две статьи.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе I приводится краткий исторический очерк развития теории тонкостенных стержней, современное состояние вопроса, а так ж, постановка задачи исследования. Отмечается, что становление и развитие теории с/ержней открыт0го и замкнутого профиля происходило независимо друг от друга. Это объясняется тем, что несмотря на наличие ряда общих положений, эти теории имеют существенное различие в одном из важных допущений: отсутствие сдвигов в срединной поверхности}' стержней открытого профиля, в то время как у стержней замкнутого профиля упомянутая деформация сдвига является основной.

Как известно, общепризнанной для стержней открытого профиля является теория В.3. Власова, а для стержней замкнутою профиля - теория A.A. Уманекош. Однако, в инженерной практике часто встречаются стержни комбинированного поперечного сечения (включающие в себя как открытые, так и замкнутые участки), поэтому' появилась необходимость в создании теории, пригодной для стержней произвольного профиля. До последнего времени стержни упомянутого типа были изучены недостаточно.

Наиболее существенным вкладом в этом напраатении нужно считать работу О.В. Лужина. Он предложил вариант недеформационного расчета, основанный на синтезе теорий В.З. Власова и A.A. У майскою.

Данное диссертационное исследование базируется на уравнениях деформационного расчета и устойчивости криволинейных и прямолинейных стержней произвольного профиля, предложенных Е. А. Бейлиным. В частных случаях из этих общих уравнений вытекают решения В.З. Власова, A.A. Уманского и О.В. Лужина.

Для стержней с прямой осью эти уравнения упрощаются и при отсутствии распределенных нагрузок, а так же без учета продольного обжатия стержня, они принимают вид:

+ EJ x\',v ±v"Ar° +0'(М® ± ах№)' + $'(М°у ±ах№) = 0, (х <->>>), (1)

EJaß"~GJäQ" + v"(M°y + ax№)+ti"(M°x -ayM°)-&'D' -ß'D = 0. (2) Символ (x <-> у) в (1) означает, что нижний знак соответствует аналогичному уравнению, получаемому взаимной заменой индексов х на у.

В три уравнения -(1), (2) входят четыре искомые величины: перемещения точек оси центра изгиба вдоль главных осей сечения u(z) и v(z), угол закручивания

'.!{» и мера дешюпации (5(г). Поэтому необходимо к (1) и (2) присоединить четвертое уравнение, связывающее утл закручивания с мерой деплаиации:

В уравнениях (1), (2) обозначено:

где:

¡1 = А А |(х2 + у2 + а] + а); рл = (и,,У1 \ (хг + уг)хЫз - ах; м (')

Р, ' ]>2 +у2)уЫ*-ау- рш =ЛГ' {(.х2 + у>&й.

(5)

(I) (»)

В (5): ¡а - полярный радиуе инерции, подсчитанный относительно центра изгиба; Р,, Р0, - характеристики асимметрии сечения, введенные В.З. Власовым; ал,- координаты центра изгиба в пивных центральных осях инерции.

В уравнении (3): направленный момент инерции, ц- коэффициент деплаиации; остальные обозначения традиционны.

Верхний индекс "ноль" в уравнениях (1), (2) означает, что соответствующие усилия отнесены к осям недеформированного состояния. Усилия в деформированном состоянии находятся после определения функций и, V, 0 и р из следующих соотнонгешш упругости:

= -к; у; Му = К/,«": дх = -Е/у-Оу=Е1у-Ва=-ЕГа Р'; (6)-

м: = + Ол = ./, +Jk)■

Необходимо отметить, что усилия (б) могут существенно превышать соответствующие усилия, найденные по недеформированной расчетной схеме (иногда в несколько раз).

В глапе 13 сначала рассмотрено несколько примеров определения сектори-лльных характеристик поперечного сечения стержней, имеющих депланационные снята. При этом дискретные связи (в виде поперечных планок или раскосов) заменены в расчете сплошной эквивалентной по сдвигу пластиной. Прослежено влияние податливости упомянутых связей не только на величину сен-всиаиовой жесткости свободного кручения, но и на величину секторнального момента инерции и положение центра изгиба. Показано, что с увеличением податливости связей, координаты центра изгиба возрастают, что влечет за собой увеличение секториального и направленного моментов инерции; при этом геометрическая жесткость

5

свободного кручения снижается.

Во параграфе 2, ¡лавы II приведено решение задачи деформационного расиста для гшецентренкого сжатия с двухосным оксцешрпситетом. Вначале предполагается. что на обоих торцах стержни имеются жесткие из своей плоскости диафрагмы, устраняющие дегшанацию торцевых сснений. Экеценгриситеп.Е сипы Р и условия закрепления па обоих концах стержня одинаковы (рис. 1 а, б).

Рис. I.

Входящие в систему уравнений (I), (2) усилия, •отнессаныс к недеформированному состоянию в данном случае равны:

А'° = -/>, Л/° =-Ре.. М1 =Рех, С/' = О,0 = О, М" --0, В"= 0. (7) С учетом (7), а так же зависимости (3) уравнения задачи примут вид:

у'1 + ^ -ах)¡У , к* =РШХ\ (8)

и"+кУ = к^еу-ау)\У, к;=Р/К1у-

}

- &7г;>р'"-0,/4У + /'[(ес -ах)у'-(еу-а^ч" + (Г; + *2р/',)|У| = 0. (10)

М

В (10) обозначено:

где: к- геометрические жесткости свободного кручения, соответетненпо связанные с равномерным (тс/) и линейным (хк) распределением касательных напряжений но толщине стенки (см. рис. 1 6). .

Система уравнений (3)-(10), вряд ли поддайся интегрированию в замкнутом виде. Поэтом^' из четырех искомых функций перемещений р'чтих уравнениях зададимся функцией угла закручивания:

0(г) = 'сое2 та П. (!?)

удовлетворяющей условиям: 0(±^/2) = 0, 0'(±//2) = 0. Остальные функции с помощью (12) находятся путем точною интегрирования.

Подставляя (12) в (3) и интегрируя при соблюдении граничных условий: Р(±// 2) = 0, найдем меру децланации:

, а2кП , 2 М^Л Ри) = Й8т2лг//; В = 1-——у-,; а =>7". (13)

а +4тс // ^и

Для определения прогибов у(г) и и(.г) обратимся к уравнениям (8), (9),

подставив чуда значение (Х'г) из (13).

Интефируя эти уравнения с учетом условий на концах стержня:

и = у = 0 =кгх(еу-ау), и" = к~(ех -ах). (14)

получим:

v(z)----(e„ -ау)

^ coskxz cask J/2

^ I ±B — (i? -at)x 2jt

k'i I cos k,z 4

1+—------x— + cas2zz/l

кг-4кг /l2{k;l2coskJ/2

(15)

Функция it(z) получается из (15) путем взаимной замены индексов х и у, и учетом нижнего знака перед константой В.

Из (15) следует, что (в отличие от недеформационного расчета) каждое из перемещений и, v зависит от эксцентриситетов силы относительно обеих главных осей. Это обстоятельство связано с неизбежным существованием кручения при внецентренном сжатии с двухосным эксцентриситетом.

Выражение (13) и (15) содержат в себе неизвестную пока константу В. Для ее определения используется метод Бубнова-Галеркина применительно к уравнению (10):

1/2

{l(p)0(z№ = 0. (16)

-1/2

В (16) оператор ЦР) есть левая часть уравнения (10) при подстановке в него функций ti(z) и v(z) из (15); 0(z) дается выражением (12), а функция Р(z) берется и ¡(13).

Найденные ранее функции г/(г), v(z) и P(z) удовлетворяют всем граничным условиям задачи, что обеспечивает достаточную точность решения при одночленном представлении аппроксимирующей функции 0(z).

Вычисляя (16) придем к следующему выражению для константы В\

Пп(Р -Р„)- Р[(ех - ах)% + (еу - Г Ту М'*

(17)

где:

1 ' * ' л >"-рД"4. К)' ( }

О = /; + 2РЛ + 2РЛ, Рщ =| +С7Л

1 /-ц

/О.

(19)

Выражения для Я),,Р>„Ту в (17) получается из (18) заменой индексов х на у.

Таким образом, получено полное решение задачи. Дадим краткий анализ результатов:

1. Структура формул (12), (13), (15) и (17) подтверждает, что в общем случае при внецентренном сжатии с двухосным эксцентриситетом имеет место пространственная форма искривления стержня, выражающаяся в изгибе в двух главных плоскостях инерции и кручении. В этом общем случае задача не носит бифуркационного характера. Это относится и к центральному сжатию стержня несимметричного профиля (ех ~еу=0, ах + О, «,. 0).

Из (17) также видно, что константа В нелинейно зависит от уровня силы Р. При стремлении Р к некоторому пределу Р значение В —> ос. При этом, как следует из (12), (13), (15), угловые и линейные перемещения неограниченно возрастают

(что свойственно решениям линеаризованных уравнений). Значение /' соответствует наименьшему корню трансцендентного уравнения, получаемого приравниванием нулю знаменателя в (17).

Неограниченное возрастание перемещений возможно и при уровне силы.

меньшем, чем Р\ ото возможно, если тСЕЗХИ2 <Р, либо я2£/у/72</\ -см. (15).

2. В частных случаях загружения и геометрии профиля кручение отсутствует. Формально это имеет место, когда в = 0, что возможно при равенстве нулю

числителя (17). При этом имеются следующие варианты (при Р <Р):

а) ех = ах, еу = ау (сила приложена в центре изгиба).

б) эксцентриситет ех при произвольном еу (или, наоборот, е = ау при произвольном ех). То есть, изгибающий момент на торцах действует в плоскости, проходящей через ось центров изгиба и пару ялельной одной из главных плоскостей инерции сечения.

N

в) Лх. = Ну, то есть J =./ . При этом нет косого изгиба и, как следствие, пет кручения.

г) ах = ау- 0, ех=1'у= 0. Стержень биеимметричного сечения при центральном сжатии.

3. Из (17) следует, что в случаях, рассмотренных в нункге 2, может быть и

В--г'- 0. Это возможно только тогда, когда одновременно с равенством пулю числителя в (17) равен нулю и знаменатель. 11ри этом появление крутильных, либо пзгцбпо-крутильных деформаций связано с достижением нагрузкой критических значений Р* в бифуркационной задаче устойчивости. Например, пусть сила Р

приложена в точке, совпадающей с центром изгиба (ех = ах, гу -- ах). Тогда из

равенства нулю знаменателя в (18) вытекает Р,0 = Рю, что соответствует критической силе при чисто крутильной форме потери устойчивости. Две другие критические силы, отвечающие эйлеровой потере устойчивости в изпгоной форме, получаются из (15) ц ТЛЯ. Так как у(г)*0, и(г) Ф 0, то необходимо, чтобы

кх1 = к, ку,1 = ж. Отсюда следует, что Р* = пгЕ/х /12, Р* = ж2Шу //2.

Далее в главе II, параграфе 3 рассмотрен другой случай Бнецентренного сжатия с двухосным эксцентриситетом, когда сила приложена к открытым торцам стержня. Если точка приложения силы имеет ненулевую обобщенную сектори-альпую координату, то на торцах возникает нагрузка в виде'внешнего бимомента:

#"(+//2) = Р&р . Это обстоятельство отличает данную задачу от предыдущей, где

жесткие торцевые диафрагмы позволяют считать = 0 .

Для определения бимомента А®(г) = ~ШМР'(2) необходимо сначала определить функцию меры депланации из следующего уравнения:

тш,

В результате получим:

р" + а,2р = 0; (20)

0 Ра сИа^г

Уравнения (Я-. (9) используются далее без всяких дополнений, а уравнение (10) принимает вид:

£7а,Р" - О+ Р[у"(ех - Дд.) - н"(еу - ау)] - Р'О - 0'£>' = 0, (22) Сиона используем сочетание точного интегрирования с методом Бубнова-Галеркина, подчиняя решение следующим граничным условиям при г = ±1/2:

6=0, И=у = 0; = у"=к;(еу-ау), и"=к2у(ех-ах). (23)

(О

Функцию угла закручивания принимаем в виде:

0(2)= Лссвгаг//. (24)

Повторяя методику, изложенную в предыдущей задаче, получаем следующие выражения для меры депланации к линейных перемещений:

Р(*) =

/>со,

aEJ,лchal/2

í^гаz + 5sinJ^г//• В=-Л-

а*хП

% //* +а"

(25)

сояк^г созА',//2

'Юа(а2+к2)

1 + ~—

сов

а2 соьЫЛ

кхскаг агскаИ 2

_ кхВ(е -а ) + —, - сое яг /1. (%г/12-кх)к/1

(26)

Функция г'(г) получается из (26) путем взаимной замены индексов х, у и учетом нижнего знака перед слагаемыми, содержащими множитель (ех - ах). Входящая в (25), (26) константа В определяется с помощью алгоритма Бубнова-Галеркина (16). Теперь £(Р) дифференциальный оператор, соответствующий левой части уравнения (22), а 0(г) берется из (24). В результате вычислений получено:

Р

В

(ех-ах){еу-ау)21к(Сх~Су) +

2 ■ а ¡1 +4к

тс2//

+ Fa1/

где:

<&рЫ

'а

а2 +

РО

£УмсА(а//2)сА(а1//2)

+ PD--EJ¡¡¡^т-GJ¡l-F

2 21г 2

(27)

А'г

1

а1+к1[кЦ1-п1 а2/2 +ге2

С

'» К=к2х(ех-ах)2-

х к2!2-ж1'

%гИ2-к2:

а

,(« + «,)/ ,(а--а,)/

2 2 : сп--сп-------—

_ к // +а г т 2

}■ =------——; !■ = ------—+ ,-—,;

ог /"(а + с!])* /"(а-а,)*

0 = Г' + 2[3А + 2Рл,

Выражения для О , 'X, С , Е, получаются из (28) заменой индексов х на у.

Отметим, что данное решение отличается от предыдущей задачи (когда силы передавались через жесткую диафрагму) большей громоздкостью; это объясняется наличием внешнего бимомента на торцах стержня. Если положить в данном решении =0, то полученные формулы сильно упрощаются.

Общий анализ решения, приведенного в парафафе 3 качественно совпадает с анализом, проведенным в параграфе 2 главы II.

В параграфе 4, заключающем глав}' II, обседаются вопросы устойчивости.

Как уже упоминалось выше, бифуркация форм равновесия возможна только в частных случаях загружения и конкретных форм поперечных сечений.

Следует различать два типа критических сил: первый из них (Р) определяется из решения задачи деформационного расчета при условии, что все перемещения и усилия стремятся к бесконечности. Ордината асимптоты, к которой стремятся кривые зависимости "нагрузка - перемещение" представляет собой эти критические значения.

Второй тип критических сил р'оиределяется из условия возможности существования смежных с исходным состоянием форм равновесия (критерий Эйлера). В зависимости от соотношений парциальных крштгческих параметров (Рх , Ру, Р(л) может оказаться, что критические силы первою типа будут меньше критических бифуркационных сил.

В самом общем случае невозможно получить формулу,_из которой явно получается значение критической силы. Определить ее значение можно только с помощью численного счета, следя за ростом перемещений вшгагь до бесконечности.

Однако, в частных случаях, такие формулы получить можно. Например, если сила приложена в точке, совпадающей с центром изгиба, то имеет место три критические силы Рх, Ру, . Первые две силы отвечают эйлеровой потере устойчивости в изгибпой форме, а третья отвечает чисто крутильной форме потери устойчивости. Наименьшая из них определяет реальное критическое состояние.

Рассмотрим далее иной случай. Пусть при а,р =0 эксцентриситет ех=ах, при произвольном с,,, или = ау, при произвольном ех, (то есть изгибающий момент па горцах действует в плоскости проходящей через ось центров изгиба и параллельной одной из главных плоскостей инерции). В этом случае возможна потеря устойчивости плоской формы изгиба. Приравнивая нулю знаменатель в формуле (2.7) можно получить выражение дм критической силы Р*.

Пуст;., например, еу =«,., а эксцентриситет ех произволен, тогда формула дчя Р" принимает вид:

Рх + Ра ± ^¡{Р^ГРУ - 4РхРа[\ - (ех ~ах)\ Ю)

_2[1 -{ех-ахут\

Формально следует, что Рз = Р}., однако эту силу необходимо связывать не с появлением бифуркации, а со стремлением прогиба и(г) к бесконечности.

Рассмотрим еще один случай, когда стержень обладает одинаковыми главными моментами инерции последовательно, ах~ау~ 0. В

докритическом состоянии стержень подвергается только изгибу. Йзгибно-крутилыгая форма потери устойчивости может наступить только при достижении силой следующих критических значений:

Р3 + Ра ± ^(Р3 + РаУ -4/уу 1 - + е-)И'р I

(31)

кроме того, существует значение силы Р - Р9 = Рх = Ру, при котором прогибы стремятся к бесконечности.

Глава III посвящена численной реализации общих решений дня стержней конкретного вида. Сначала рассмотрен стержень, изображенный па рис. 2. Форма и размеры поперечного сечения соответствуют экспериментальному образцу. Нагрузка передается через жесткие диафрагмы. Денланационные связи в виде поперечных планок заменены эквивалентной пластиной, толщина которой определяется по сдвиговой эквивалентности.

= 300 СМ

= 7.44 см

Рис. 2.

Податливость деплацациошшх связей оценивается коэффициентом г-а3!Ъэ, где и , 6, - соответственно ширина и толщина эквивалентной пластины.

Рассмотрены три частных случая: г=оо (6^=0), что соответствует открытом}' профилю; г=400 и г=0 (а = 0),что соответствует стержню комбинированного поперечного сечения при отсутствии депланационных связей. В табл. 1 приведены расчетные характеристики поперечного сечения для трех упомянутых значений коэффициента г.

Табл.1.

| :! л,! !| 1 ! см ■Л/. ем4 Л- ем4 Л' см4 •^х' см4 ■1г, см4 М- к V см Рл-А,, Ра

| ос !! 1170 0 0.434 - 44.22 260.2 1 ~1 5.54 0

400 | 979.03 4.79 0.435 95.01 44.86 260.4 0.950 ~1 5.51 0

0 ! 24.77 1 1 46.51 0.631 114.57 64.42 268.1 0.594 ~1 4.9 0

Па рис. 3 а, б даны зависимости прогиба и угла закручивания в середине пролета от уровня силы Р. Как обычно, в соответствии с деформационным расчетом, эти зависимости носят нелинейный характер. Асимптотами этих кривых является мша

Р, при которой линейные и угловые перемещения устремляются в бесконечность. Величина Р всегда меньше парциальных критических сил (Р , Р,, Ра), когда сила Р приложена в центре изгиб;1.

На рис. 4 а, б даны зависимости перемещения точек оси центра изгиба у(г) и изгибающего момента М х(2).

Наконец на рис. 4 в, г приведены эпюры усилий, связанных со стесненным кручением. Подчеркнем, что эти усилия недеформационным расчетом не обнаруж :ша ются.

Отметим, что со снижением податливости депланациоиных связей снижаются факторы НДС, связанные со стесненным кручением и , наоборот, увеличиваются факторы свободного кручения. Все кривые на рис. 3, 4 построены в предположении неограниченной упругости материала. На самом деле при силах

намного меньших, чем Р возможно появление пластических деформаций.

Исследование упруго-пластической стадии выходит за рамки данной диссертации. Кроме того необходимо учесть, что линеаризованные исходные уравнения задачи пригодны хотя и для конечных, но все же малых перемещений. Поэтому линеаризованные уравнения должны использоваться при нагрузках Р < (0.7 - 0.8)Р.

Далее в диссертации рассмотрен случай стержня, когда сила Р приложена к открытым его торцам. Поперечное сечение изображено на рис. 5.

б омб емб см

1. ЛК -0.4см

0.02

■ 18 см

Рис.5.

Длина стержня принята I = 600 см. В верхней полке сечения имеется эквивалентная пластина, заменяющая дискретные депланационные связи, податливость которых принята г = 300. Все геометрические характеристики поперечного сечения для данного случая приведены в табл. 2.

Рассмотрен с:[)-чай, когда сила Р движется по оси симметрии, занимая три

фиксированных положения (см. схему пагружении на рис. 6 а). В этом случае имеет место сжатие с изгибом в плоскости симметрии. Па графиках рис. 6а, б показаны зависимости перемещения среднего по длине стержня сечения и изгибающего момента в этом же сечении от уровня силы Р.

Табл. 2

г см см5 Л/. см4 ,/„ см4 Л, 4 СМ 4 см / 1 ° у ) 4 СМ Д X см

300 15.7 1.3-105 1821 1.89 8864 4282 2190 0.794 ~1 20.8

I 0*. Р,, Ро,

1 см см см2

} 6 -16.54 0

11а рис. б в, г даны зависимости изменения тех же факторов по длине стержня для силы /М).25-103 к11. Из всех представленных на рис. 6 графиков видно, как сущес твенно отличаются прогибы и изгибающие моменты в зависимости от места расположения точек приложения силы.

В рассмотренном случае изначально кручение отсутствует, то есть изогнутая ось стержня представляет плоскую кривую. Однако при определенных значениях силы Р плоская форма изгиба может оказаться неустойчивой. Это происходит тогда, когда сила Р дос гигает своего критического значения в задаче устойчивости плоской формы изгиба.

По формуле (30) подсчитаны эти критические значения:

- для силы в точке \'.Р' =1.16- Ю3 кН\

- для силы в точке 2'Р' =1.23-103кЯ;

- для силы в точке УР' =1.26-103 кН.

Рассмотрим далее, как меняются значения усилий и перемещений (в середине пролета) при различных положения силы, перемещающейся по стенке профиля, параллельной оси х (см. схему пагружеиия на рис. 7а).

Па графике 7а показана зависимость В,0(0) от уровня сил, приложенных в различных точках сечения, а на графике рис. 7 б зависимость 0(0) для тех же трех значений эксцентриситета е .

Видно, как резко возрастают значения этих факторов по мере приближения силы к некоторому критическому значению. Такое резкое увеличение углов закручивания может снизить величину прогибов и изгибающих моментов (и даже изменить их знак на обратный). Сказанное подтверждается графиками на рис. 8а, б.

а)

Р(кН)

2400

1440

480

6)

Р (кН)

2400

1440

— Р вт. 3

...... Р в т. 2

-Р в т. 1 460

20 *v(c»i)

M -10 (..Hiv,)

г (см)

-300 -150 0 ~ 150 300 •

Мх»10 (кНм) I

0.8 0.6 . О'" 0.2

г (см)

-300 -150 0 160 300

Рис. 6.

а)

0 Ви-103(кНм2)

-2 -1.3 -0.67 0 0* 10 (рад)

Рис. 7.

а) Р (кН)

б) Р (кН)

Р Р

1200 1200

800 / 800

400 / 400 / Мх-103(кНм)

-1

О 1 2 см)

а)

О 2.5 Рис. 8.

б)

V(0)

-jei- «V

v(0)

т/Х

Рис. 9.

Наглядная иллюстрация этою положения представлена на рис. 9 а, о. На первом из этих рисунков углы закручивания достаточно малы и поэтому перемещение v положительно; на втором рисунке утл закручивания увеличивается, что повлекло за собой изменение знака v.

В заключении обзора главы III отметим, что в диссертации исследованы и другие случаи приложения нагрузок с различными эксцентриситетами.

В главе IV приведены результаты экспериментального исследования, проведенного в механической лаборатории имени H.H. Листва Санкт-Петербургского государственного архитектурно-стротслыгого университета. Были испытаны на стесненное кручение два типа стержней комбинированного сечения с денлана-циониыми связями в виде поперечных планок и раскосов. Форма поперечного сечения представлена на рис. 2. Расчетная схема соответствовала консольному стержню длиной 1 метр, на свободном конце которого через жесткие диафрагмы прикладывался крутящий момент А/.

В эксперименте сопоставлялись углы закручивания свободного конца стержня с результатами полученными аналитически.

Аналитическое решение, учитывающее тип комбинированного сечения и наличие деиланационных связей имеет вид:

[ , 2(1-скх,/)|] с^Лос,/

где;

а" =------

Ы,,

а, =.-

уСгЛ^

(33)

Результаты эксперимента и аналитического решения сведены в табл. 3. Из таблицы следует, что эксперимент вполне удовлетворительно подтвердил аналитическое решение: максимальное расхождение составляет 16%.

Табл. 3.

№ п/п Тип депла-иационных связей. Коэффициент податливости связей г

при А/ =147Лм При М = 245Нм При М = 294Л.11 При М = 392Нм

1 Планки 39.15 0.99 1.15 1.16 0.94

2 Раскосы 42.03 0.88 1.01 0.99 1.04

Основные ныноды но результатам работы.

1. Впервые в общем виде решена задача деформационного расчета и устойчивости для стержней произвольного профиля (открытого, замкнутого и комбинированного) при действии продольной силы, приложенной с двухосным эксцентриситетом. Решение системы дифференциальных уравнений задачи проведено путем сочетания точного интегрирования с методом Бубнова-Галеркина.

2. Подтверждено, что сжатие с двухосным эксцентриситетом в общем виде не является бифуркационной задачей устойчивости. В частных случаях геометрии поперечного сечения и места приложения продольной силы бифуркация форм равновесия возможна.

3., Прослежено влияние уровня продольной силы на величину прогибов, углов закручивания и усилий в поперечных сечениях. В соответствии с положениями деформационного расчета упомянутое влияние носит нелинейных характер.

4. Рассмотрены задачи деформационного распета и устойчивости стержней произвольного профиля при наличии распределенных по длине стержня депла-национных связей. Показано, как меняются усилия, перемещения и критические силы в зависимости от податливости упругих депланащюнных связей.

5. Обнаружено, что с увеличением продольной силы линейные перемещения точек оси центра изгиба не только возрастают, но могут убывать, и даже менять знак на обратный. Дано объяснение этому явлению.

о. Все аналитические решения продета плены в виде многочисленных графиков, облегчающих применение результатов исследований в практике й'т.кенфь'ьг'. русистов.

7. Проведено экспериментальное исследование стесненного кручения гонкое геипич с теряя icii комбинированного профиля. при наличии допланациошшх Сг1':зеи в виде шнеречпых штапок и раскосов. Эксиерпмсиг достаточно хорошо шдгверди.ч аналитическое решении. Расхождение в углах закручивания не прс-вытачо )6%.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях: i ■ Бсйлип Е.Л., Белый Л.Г. Деформационный расчет тонкостенных стержней произвольного профиля сжатых с двухосным эксцентриситетом // Исследования по механике про пчельных конструкций и материалов: Мзжвуз. темат. сб. тр. / СГйГЛСУ. СПб.. 1990. - С. 3-8.

2. Белый А.Г. Лнализ.ИДС для тонкостенного стержня произвольного профиля, сжатого с двухосным эксцентриситетом // Тр. молодых ученых. 4.1. СПбГАСУ СПб.: 1999. - С. 88-91.

Белый Александр Григорьевич

Деформационный расчет н устойчивость тонкостенных призматических стержней лрошволыюго профиля сжатых с двухосным эксцентриситетом

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано к печати 24.05.00. Формат 60x84 1/16. Бум.газетная. Усл.печ.л. 1,25. Тираж 80. Заказ

Санкт-Петербургекггй государственный архитектурно-строительный университет. 198005, Санюг-Петербург, 2-я Красноармейская, 4 Ротапринт СПбГАСУ, 198005, Санкт-Петербург, ул.Егорова,5.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Краткий исторический очерк. Современное состояние вопроса. Постановка задачи исследования.

1.1 Краткий исторический обзор развития теории расчета тонкостенных стержней.

1.2 Современное состояние вопроса.

1.3 Постановка задачи исследования.

1.4 Основные положения и расчетный аппарат.

Глава П. Решения в общем виде задач деформационного расчета при сжатии с двухосным эксцентриситетом.

2.1 Методика определения секториальных характеристик поперечных сечений при наличии депланационных связей.

2.2 Внецентренное сжатие при наличии жестких диафрагм на торцах стержня.

2.3 Внецентренное сжатие, когда силы приложены к открытому торцу.

2.4 Бифуркационные задачи устойчивости.

Глава III. Анализ напряженно-деформированного состояния и устойчивости стержней конкретного типа.

3.1 Численный анализ задачи п. 2.2.

3.2 Численный анализ задачи п. 2.3.

Глава IV. Экспериментальное исследование.

Как известно,, тонкостенные стержни находят широкое применение в гражданском и промышленном строительстве, авиа- и судостроении, а так же во многих других областях техники.

Тонкостенные стержни можно разделить на два основных класса: стержни открытого и стержни замкнутого профиля. Преимущество стержней первого типа по сравнению со вторым заключается в простоте их изготовлении и удобстве эксплуатации. Однако известным недостатком стержней открытого профиля является их сравнительно низкая крутильная жесткость.

В инженерной практике часто используются дополнительные связи в виде поперечных планок или раскосов, которые уменьшают взаимные депланационные перемещения продольных краев стержне открытого профиля. Тем самым достигается снижение депланации поперечных сечений и увеличение крутильной жесткости стержня.

В стержнях замкнутого профиля встречается обратный эффект, когда наличие ряда отверстий, расположенных вдоль образующей стержня, приводит к ослаблению сопротивления кручению.

Исторически сложилось так, что теория стесненного кручения стержней открытого и замкнутого профиля развивалась независимо друг от друга. Общепризнанная теория стержней открытого профиля принадлежит В.З. Власову; а теория стержней замкнутого профиля получила развитие в работах А. А. Уманского.

В строительстве и машиностроении зачастую встречаются стержни комбинированного типа, поперечное сечение которых содержит как открытые, так и замкнутые участки. Наиболее приемлемый вариант теории для таких стержней разработал О. В. Лужин.

В данной диссертации рассматривается один из наиболее часто встречающихся в инженерной практике случаев нагружения - сжатие тонкостенных стержней с двухосным эксцентриситетом (например, в элементах конструкций промышленных зданий и сооружений). Такие задачи для стержней произвольного профиля и при наличии депланационных связей, насколько нам известно, рассматриваются впервые в данной диссертации. Решение таких задач основано на варианте теории, предложенной Е. А. Бейлиным. Уравнения деформационного расчета этой теории позволяют определять напряженно-деформированное состояние, и исследовать устойчивость.

Текст диссертации состоит из четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе диссертации дан краткий исторический обзор развития теории тонкостенных стержней, анализ её современного состояния и постановка задачи исследования.

Вторая глава диссертации посвящена общему решению задачи деформационного расчета и устойчивости для стержней произвольного профиля, усиленных депланационными связями и загруженных продольными силами с двухосным эксцентриситетом.

В третьей главе приведены конкретные решения для стержней различной формы поперечного сечения, с различными граничными условиями на торцах. Приведены многочисленные графики зависимости усилий и перемещений от эксцентриситетов силы, жесткости депланационных связей и геометрии профиля.

Четвертая глава содержит в себе результаты экспериментального исследования, проведенного автором диссертации.

В заключении диссертации даны общие выводы, вытекающие из результатов исследований настоящей работы. 5

Принята десятичная нумерация формул, рисунков и таблиц: первая цифра перед точкой означает номер главы, а числа после точки - порядковый номер в данной главе.

Диссертация содержит в себе 114 страницы машинописного текста, 41 чертеж, 9 таблиц и список литературы в количестве 118 наименования

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты теоретического и экспериментального исследования, полученные в данной диссертации, позволяют сделать следующие выводы:

1. Впервые в общем виде решена задача деформационного расчета и устойчивости для стержней произвольного профиля (открытого, замкнутого и комбинированного) при действии продольной силы, приложенной с двухосным эксцентриситетом. Решение системы дифференциальных уравнений задачи проведено путем сочетания точного интегрирования с методом Бубнова-Галеркина.

2. Подтверждено, что сжатие с двухосным эксцентриситетом в общем виде не является бифуркационной задачей устойчивости. В частных случаях геометрии поперечного сечения и места приложения продольной силы бифуркация форм равновесия возможна.

3. Прослежено влияние уровня продольной силы на величину прогибов, углов закручивания и усилий в поперечных сечениях. В соответствии с положениями деформационного расчета упомянутое влияние носит нелинейных характер.

4. Рассмотрены задачи деформационного расчета и устойчивости стержней произвольного профиля при наличии распределенных по длине стержня депланационных связей. Показано, как меняются усилия, перемещения и критические силы в зависимости от податливости упругих депланационных связей.

5. Обнаружено, что с увеличением продольной силы линейные перемещения точек оси центра изгиба не только возрастают, но могут убывать и даже менять знак на обратный. Дано объяснение этому явлению.

1. Александров A.B. Исследование работы тонкостенных стержней при действии продольных сосредоточенных сил // Исследования по теории сооружений. - М., 1967. - Вып. XV. - С. 53-64.

2. Александров A.B., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1995. - 559 с.

3. Анану В.К. Определение дополнительных резервов устойчивости для сжатых тонкостенных стержней некоторых профилей // Исслед. по мех. строит, конструкций и матер. / С.-Петербург, гос. архит.-строит, ун-т. СПб, 1994. - С. 22-30.

4. Бейлин Е.А. Вариант единой теории кручения тонкостенных стержней открытого, замкнутого и частично замкнутого профилей // Исследования по механике строит, констр. и матер.: Межвуз. Темат. сб. тр. / Ленингр. инж.-строит. ин-т. Л. -1991. - С. 57-74.

5. Бейлин Е.А., Белый Г.И. Деформационный расчет и пространственные формы потери устойчивости тонкостенных криволинейных стержней // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, 1972. - Вып. 16. - С. 186-189.

6. Бейлин Е.А., Белый А.Г. Деформационный расчет тонкостенных стержней произвольного профиля сжатых с двухосным эксцентриситетом // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб. - 1999. - С. 3-8.

7. Бейлин Е.А., Мулляминова P.M. Задачи деформационного расчета тонкостенных криволинейных стержней произвольного профиля // Исслед. по мех. строит, конструкций и матер. / С.-Петербург, гос. ар-хит.-строит. ун-т. СПб., 1997. - С.26-35.

8. Бейлин Е.А. Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля при наличии продольных сдвиговых швов // Тр. XIV Всесоюз.конф. по теории пластин и оболочек (Кутаиси, 1987) / Тбилисский ун-т. Тбилиси, 1987. Т. 1. - С. 182-187.

9. Бейлин Е.А., Джонсон Р.Г. Кручение тонкостенных стержней с частично замкнутым контуром сечения // Строит, механика и расчет сооружений. -1991. №3. - С. 7-15.

10. Бейлин Е.А. К теории деформационного расчета и устойчивости криволинейных и прямолинейных тонкостенных стержней // Механика стержневых систем и сплошных сред. Л., - 1970. - Т.63. - С. 5-19.

11. Бейлин Е.А. Обобщение уравнений Кирхгофа-Клебша для тонких и тонкостенных стержней // Механика стержневых систем и сплошных сред. Л., - 1969. - Т.60. - С. 5-19.

12. Бейлин Е.А. Общие уравнения деформационного расчета и устойчивости тонкостенных стержней // Строит, механика и расчет сооружений. 1969. - №5. - С. 35-41.

13. Бейлин Е.А., Анану В.К. Определение дополнительных резервов устойчивости и прочности в центрально- и внецентренно-сжатых тонкостенных стержневых элементах конструкций // Изв. вузов. Ст-во. -1995.-№12.-С. 34-40.

14. Бейлин Е.А. Приближенный вариант теории стесненного кручения стержней открыто-замкнутого профиля // Вопросы механики строительных конструкций и материалов. Л., 1984. - С. 61-69.

15. Бейлин Е.А. Статика и динамика тонкостенных криволинейных стержней произвольного профиля // Известия высших учебных заведений. Ст-во. 1997. - №7. - С. 19-26.

16. Белый А.Г. Анализ НДС для тонкостенного стержня произвольного профиля, сжатого с двухосным эксцентриситетом // Тр. молодых ученых. 4.1. СПбГАСУ, СПб.: 1999. С. 88-91.

17. Белый Г.И. К расчету металлических стержней по деформированной схеме // Металлические конструкции и испытание сооружений. -Л., 1980. - С. 93-98.

18. Белый Г.И., Родиков H.H. О пространственной деформации тонкостенных стержней, сжатых с двухосными эксцентриситетами // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. -Л., 1982. С.30-36.

19. Белый Г.И. О расчете упругих стержней по деформированной схеме при действии активных и параметрических нагрузок // Механика стержневых систем и сплошных сред. Л., 1980. - С. 41-48.

20. Бидерман Б.Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. - 487 с.

21. Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. М.: Физ-матгиз, 1959. - 544 с.

22. Борисов М.Д. Кручение составных металлических балок // Тр. / Ленингр. технол. ин-т. 1951. - Вып. 21. - С.86-102.

23. Борисов М.Д. Расчет на кручение составных тонкостенных балок с учетом упругих деформаций соединительных планок // Тр. / Ленингр. технол. ин-т. 1953. - Вып.23. - С. 72-91. —

24. Броуде Б.М. Об устойчивости слегка искривленных и внецен-тренно нагруженных двутавровых балок. В кн.: Расчет пространственных конструкций. М.: Госстройиздат, 1958. - Вып.4. - С. 5-35.

25. Броуде Б.М. Об устойчивости стержней, сжатых с двухосным эксцентриситетом // Расчет пространственных конструкций. Л., 1959. -Вып.5. - С. 37-50.

26. Броуде Б.М. О линеаризации уравнений равновесия внецен-тренно-сжатого стержня // Исследования по теории сооружений. М., 1959. -Вып.8. - С. 205-223.

27. Броуде Б.М. О формах искривления стержня, нагруженного на концах // Строит, механика и расчет сооружений. 1959. - №30. - С. 3435.

28. Власов В.З. Кручение, устойчивость и колебание тонкостенных стержней // ПММ. Т.З. - Вып.1. - 1939. - С. 25-43.

29. Власов. В.З. Кручение и устойчивость тонкостенных профилей // Строительная промышленность. 1938. - №6. - С. 35-39.

30. Власов В.З. Новый метод расчета призматических балок из тонкостенных профилей на совместное действие изгиба и кручения // "Вестник ВИА"- 1939. №20. С.67-75.

31. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз, 1959. - 568 с.

32. Воробьев Л.Н. Деформационный расчет и устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля // Тр. / Новочерк. политехи, ин-т. 1958.-Т.69/63 -С. 3-48.

33. Воробьев Л.Н., Глазунова Н.Т. Экспериментальное определение деформаций при стесненном кручении трубы с узкой продольной щелью. // Изв. вузов. Стр-во и архитектура. 1959. - №3. - С. 15-26.

34. Воронцов Г.В. Прочность и устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля // Современные методы расчета стержней, стержневых систем и пластин на устойчивость. Новочеркасск, 1979. -С. 57-77.

35. Вязьменский С.П. О пространственной деформации гибких тонкостенных стержней. // Сб. трудов / ЛИСИ. 1957. - Вып.26. - С. 270313.

36. Гастев В.А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1959. - 423 с.

37. Гольденвейзер А.Л. О теории тонкостенных стержней // Прикл. математика и физика. 1949. - Т.13. - Вып.6. - С. 561-596.

38. Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. М. - Л.: Госстройиздат. - 1948. - 208 с.

39. Длугач М.И. Крутильная жесткость тонкостенного стержня, усиленного решеткой // Тр. / Ин-т строит, механики АН УССР. 1949. -№11. -С. 19-31.

40. Дроздов П. Д. Конструирование и расчет несущих систем многоэтажных зданий и их элементов. М.: Стройиздат, 1977. - 224 с.

41. Зарифьян А.З. К вопросу о деформационном расчете внецен-тренно-сжатых тонкостенных стержней открытого профиля // Тр. / Но-вочерк. политехи, ин-т. 1958. - Т.49/63. - С. 60-76.

42. Зарифьян А.З., Артемов В.В. Экспериментально-теоретическое исследование работы тонкостенных стержней при внецентренном сжатии // Прочность, устойчивость и колебания инженерных конструкций. -Новочеркасск, 1972. Т.233. - С. 57-64.

43. Злочевский А.Б. Экспериментальные методы в строительной механике. -М.: Стройиздат, 1983. 192 с.

44. Касандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. М.: Наука. - 1970. - 104 с.

45. Кобец Л.Г. Основные уравнения напряженно-деформированного состояния упругих незамкнутых тонкостенных стержней при больших углах закручивания // Тр. /Харьковск. инж. строит, ин-та. 1957. - Вып.5. - С. 45-58.

46. Кузьмин И.Л., Лукаш П.А., Милейковский И.Е. Расчет конструкций из тонкостенных стержней и оболочек. М.: Госстройиздат, -1960.-241 с.

47. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз. - 1962. - 349 е.: черт.

48. Лужин О.В. Кручение тонкостенных стержней комбинированного поперечного сечения // Пробл. расчета пространств, конструкций. М. 1980. Вып.2. - С. 79-89.

49. Лужин О.В. Об одной аналогии в теориях стесненного кручения тонкостенных стержней // Строительная механика и расчет сооружений. -1960. №4. - С. 13-14.

50. Любаров Б.И. Кручение тонкостенных стержней открыто-замкнутого профиля // Исследования по строительным конструкциям: Матер. IV науч. конф. молодых ученых-строителей. Л., 1972. - С. 9298.

51. Мещеряков В.Б. О влиянии сдвигов на работу тонкостенных стержней // Инженерный журнал, 1965, Т.5. Вып.1. - С. 121-123.

52. Мещеряков В.Б. Общие уравнения теории тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов // Тр. / Моск. ин-т инжен. тансп., 1968. - Вып. 260. - С. 82-98.

53. Мещеряков В.Б. О напряженном состоянии тонкостенных стержней открытого профиля // Тр. / Моск. ин-т инжен. тансп. «Вопросы прикладной механики», 1984. - Вып. 193. - С. 216-223.

54. Мищенко П.Д. К оценке влияния сдвига на величину деформаций и напряжений в тонкостенных стержнях открытого профиля // Тр. / Алтайск. политехи, ин-т. 1973. - Вып.27. - С. 29-36.

55. Мищенко П.Д. Расчет тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвига срединной поверхности // Тр. / Новочерк. политехи. ин-т. 1958. - Т.42(56). - С. 54-84.

56. Пановко Я.Г., Бейлин Е.А. Тонкостенные стержни и системы, составленные из тонкостенных стержней // Строит, механика в СССР 1917 1967 гг. - М., 1969. - С. 75-98.

57. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. 352 с.

58. Пиковский А. А. Статика стержневых систем со сжатыми элементами. М.: Физматгиз, 1961. - 394 е.: ил.

59. Подольский Д.М. Пространственный расчет зданий повышенной жесткости. М.: Стройиздат, 1975. - 158 с.

60. Подольский Д.М. Расчет объемных элементов жесткости зданий повышенной этажности // Строит, механика и расчет сооружений. -1968. -№1. С. 5-8.

61. Ржаницын А.Р. Об определении секториальных геометрических характеристик сечения тонкостенного стержня // Тр. / Лаб. строит, механики. ЦНИИпром. сооружений. -1941. С. 133-138.

62. Ржаницын А.Р. Сложное сопротивление тонкостенных профилей в пределах и за пределами упругости // Тр. / Лаб. строит, механики. ЦНИИпром. Сооружений. -1941. С. 97-133.

63. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластины. М.: Стройиз-дат, 1986.-314 с.

64. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибепризм. М.: Физматгиз, 1961. - 518с.

65. Соболевский Г.П. Расчет тонкостенных стержней открытого профиля, усиленного решетками // Тр. / Тул. горн. ин-т. -1961. №3. -С. 68-77.

66. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений // Под ред. A.A. Уманского. М.: Гос-стройиздат, 1960. - 1040 с.

67. Справочник. Прочность, устойчивость, колебания // Под общей ред. И.А. Биргера и Я.Г, Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - 831 с.

68. Ставраки JI.H. Основы расчета тонкостенных стержней по деформированной схеме. Прикл. механика. 1960. - Т.6. - Вып.2. - С. 143153.

69. Ставраки JI.H. Уравнения устойчивости стержней при пространственной нагрузке // Изв. вузов. Ст-во и архитектура. 1960. - №5. -С. 18-26.

70. Тимошенко С.П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки под влиянием сил, действующих в плоскости её наибольшей жесткости // Изв. СПб. политехи, ин-та. 1905. - Т.4. - Вып.3-4 -С. 151-220.

71. Тимошенко С.П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки под влиянием сил, действующих в плоскости её наибольшей жесткости // Изв. СПб. политехи, ин-та. 1906. - Т.5. - Вып. 1-2 - С. 3-34; Вып.3-4. - С. 263-292.

72. Уманский A.A. О нормальных напряжениях при кручении крыла самолета // Техника воздушного флота. 1940. - N12. - С- 48-65.

73. Урбан И.В. Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций. М.: Трансжелдориздат, 1955. - 192 с.

74. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела: В Зт. М.: Наука. 1975 - 1981. - Т.2. - 1978. - 616 с.

75. Холопцев В.В. К расчету балок из разрезных прокатных двутавров по теории составных балок // Судостроение и судоремонт. Одесса, 1968.-Вып.2.-С. 17-27.

76. Холопцев В.В. Метод расчета балок с отверстиями в стенке // Тр. / Одес. ин-т инженеров мор. флота, 1958. Вып. 16. - С. 112-130.

77. Холопцев В.В. Метод расчета тонкостенных стержней с дискретными связями на стесненное кручение // Одес. ин-т инженеров мор. флота. Одесса, 1983. - 187 с.

78. Холопцев В.В. Расчет на изгиб двутавровых балок с одним рядом овальных (круглых, квадратных и прямоугольных) отверстий в стенке // Судостроение и судоремонт. Одесса, 1970. - Вып.4. - С. 171178.

79. Холопцев В.В. Расчет на стесненное кручение тонкостенных стержней с дискретными связями по методу начальных параметров // Одес. ин-т инженеров мор. флота. Одесса, 1983. - 211 с.

80. Холопцев В.В. Стесненное кручение тонкостенных стержневых систем с распределенными по длине упругими связями сдвига // Прикл. механика. 1984. - №4. - С. 121-125.

81. Холопцев В.В. Стесненное кручение тонкостенных стержней, снабженных планками // Судостроение. Киев-Одесса, 1983. - С. 23-30.

82. Холопцев В.В. Стесненное кручение тонкостенных стержней с поперечными планками // Стр-во и архитектура. 1983. - N1. - С. 44-49.

83. Холопцев В.В. Экспериментальное исследование плоского изгиба сварных балок с отверстиями в стенке // Тр. / Одес. ин-та инженеров мор. флота. 1957. - Вып. 13. - С. 235-251.

84. Худобец-Шереминский Б.И. О выводе уравнений деформации и устойчивости внецентренно-сжатого тонкостенного стержня // Трение, смазка и износ машин. Ростов-на-Дону, 1970. - С. 24-42.

85. Чувикин Г.М. Экспериментальное исследование устойчивостивнецентренно-сжатых стальных одностенчатых стержней при двухосном эксцентриситете. В кн.: Расчет пространственных конструкций. М.: Госстройиздат, I960,- Вып.5. г С. 57-78.

86. Чувикин Г.М. Экспериментально-теоретическое исследование устойчивости внецентренно-нагруженных двутавровых балок. Отчет ЦНИИПроектстальконструкция. М., 1954. №1319.- С 89-95.

87. Шаншиашвили A.M. К определению крутильной жесткости стальных колонн и балок с частично замкнутым контуром // Тр. / Груз, политехи, ин-т. 1955. - №4.(39). - С. 231-238.

88. Шаншиашвили A.M. К расчету стальных колонн и балок с частично замкнутым контуром // Тр. / Груз, политехи, ин-т. 1955. - 4(39). -С. 43-56.

89. Шаншиашвили A.M. Расчет тонкостенных составных стержней на кручение // Исследование по вопросам теории и проектирования тонкостенных конструкций. -М., 1950. С. 105-113.

90. Элиашвили Д.Г. О единой прикладной теории прямых тонкостенных стержней// Тр. /Ленингр. ин-т ж.-д. транспорта. 1967. -Вып.267. - С. 3-14.

91. Элиашвили Д.Г. О технической теории стесненного кручения призматических тонкостенных стержней // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1967. -№5. - С. 149-154.

92. Вязьменский С.П. О расчете тонкостенных стержней по деформированному состоянию при малых упругих деформациях. Автореф. дис. . канд. техн. наук. ЛИСИ. - 1954. - 23 с.

93. Кобец. Л.Г. Нелинейная теория упругих незамкнутых тонкостенных стержней. Автореф. дис. . канд. техн. наук Харьков, 1955. -23 с.

94. Кругленко И.В. Изгиб и стесненное кручение тонкостенных стержней произвольного поперечного сечения: Дис. . канд. техн. наук.: 01.02.03. Л. - 1988. - 148 е.: ил.

95. Холопцев В.В. Исследование балок судового набора с отверстиями в стенках. Автореф. дис. . канд. техн. наук. - Одесса, 1955. -16 с.* *

96. Aggawal H.R. and CranchK.T. A theory of torsional in thin-walled open section beams // Journal of Applied Mechanics. 1967. - Vol.34. N2. -P. 90-97.

97. Bach-Baumann. Elastizität and Festigkeit. Berlin, - VDI, 1924. -P.268-271, 369-381.

98. Bach-Baumann. Elastizität and Festigkeit. Berlin, - VDI, 1909. -T.53 - P.1710.

99. Bach-Baumann. Elastizität and Festigkeit. Berlin, - VDI, 1910. -Т.54,- P.385.

100. Brunei M. Theorie du 1 et 2 ordre des barres lonques a profil mince ouvert soumises un chargement. Lyon. - 1976. - 181 p.

101. Chwalla E. Einige Ergebnisse der Theorie der aussermittig gedruckten stabes mit dünnwändigem, offenem Querschnitt. Forschungshefte aus dem Gebiete des Stahlbaus. Hefte 6. Springer-Verlag. Berlin. - 1943. -S. 85-115.

102. Dabrowski R. Dünnwandige unter sweiachsig aussermittigen Druck//Der Stahlbau. -1961. -N12. S. 360-365.

103. Dabrowski R. Gekrümmte dünnwandige Träger. Theorie und Berechnung. Berlin, Springer. - 1968. - 160 s.

104. Guo Zhong-heng. A united theory of thin-walled elastic structures //J. Struct. Mech. 1981. Vol.9. -N2. - P.179-197.

105. Hancook G.T., Harrison H.B. A general method of analysis ofstresses in thin-walled sections with open and closed parts // Civ. Eng. Trans. Inst. Austral. 1972. Vol.14 - N2. - P. 181-188

106. Hoysosh R .J. The properties of thin-walled sections // SAE Preprint s.a. N700126. 1970. -lip.

107. Kanok-Nukulchai W. and Givakumar M. Degenerate Elements for combined Flesenal and torsional analysis of thin-walled structures // Journal of structural Engineering (USA). 1988. - Vol.114.N3. - P. 657-674.

108. Meissner F. Beiträge zum Kipp-Problem. Thesis.- Brünn. 1944. -250 s.

109. Michell A.G. On the elastic stability of long beams under transverse forces // Philosophical Magazine and Journal of Sciences. -London; Edinrurg: Dublin, 1899. Ser.5, Vol.48, №292 P. 42-68.

110. Nylander H. Torsional and lateral Buckling of eccentrically compressed I and T columns // Acta polytechnica, N28. - Göteborg. -1949,-P. 58-86.

111. Pettersson O. Combined Bending and Torsion of simply suported Beams of Bisymmetrical Cross Section // Acta politechnica. Göteborg, 1949.-N29.-P.235.

112. Prandtl L. Kipp-Ercheinugen Ein Fall von instabilen elastishem gleichgewict//Dissertation der Universität. München, 1899. - S.305.

113. Schmied R. Die Gessamtstabilität von zweiachsig außermittig gedruckten dünnwandigen I-Stäben unter Berück Sichtigung der Querschittsverformung nach der nichtlineazen Plattentheorie // Der Stalbau. -1967. -H.1 - S.l -12, H.2. - S. 50-60.

114. Usuki Tsuco. Ein Beitrang zur Theorie dünnwandigen prismatischer Stabe mit offen-geschlossenem Profil aus vier Scheiben // Bautechnik. 1983. - vol.60. - N1. - S. 14-23.

115. Weber C. Biegung and schub in der aten balhen // ZAMM. 1924. -T.4.- 1926.-T.6.-159 s.