автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов треугольной и четырехугольной формы в расчетах оболочек

На правах рукописи

Гуреева Наталья Анатольевна

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ТРЕУГОЛЬНОЙ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ В РАСЧЕТАХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград - 2004

Работа выполнена в Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии

Научный руководитель - доктор технических наук

Клочков Юрий Васильевич

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Пшеничкина Валерия Александровна кандидат технических наук, доцент Коновалов Олег Владимирович

Ведущая организация - Волгоградский государственный

технический университет

Защита состоится 23 декабря 2004 года в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.026.01 при Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете по адресу : 400074 , г. Волгоград, ул. Академическая, 1, ауд. Б-203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского архитектурно-строительного университета.

Авторефератразослан 23 ноября 2004 года.

Ученьй секретарь Диссертационного совета

Л.В.Кукса.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Оболочки различных конфигураций являются широко распространенными элементами инженерных конструкций различного назначения, т.к. благодаря своей криволинейной форме позволяют в полной мере использовать прочностные свойства применяемого материала. В настоящее время они широко используются в строительстве,! машиностроении, авиации и космонавтике. Широко применяются оболочки при создании современных летательных аппаратов, надводных и подводных морских судов, сосудов и аппаратов химического машиностроения, ядерных энергетических установок, и возможности, заключающиеся в практическом использовании оболочек, еще далеко не исчерпаны.

В процессе эксплуатации оболочки могут испытывать силовые воздействия от веса технологического оборудования, от давления соседних элементов конструкций, а также от температурных градиентов. Наличие вырезов различной формы, патрубков и кронштейнов приводит к тому, что в оболочках возникают локальные зоны концентрации напряжений. Причем, возникающие локальные напряжения могут достигать значительных величин, и поэтому требуется тщательное исследование напряженно — деформированного состояния оболочек в целях выработки наиболее рациональных конструктивных решений.

Получение аналитических решений для определения напряжений и деформаций в зонах их концентрации не представляется возможным. Поэтому задача дальнейшего развития теории деформирования оболочек на основе современных численных методов расчета остается одной из самых актуальных проблем строительной механики и представляет несомненный практический интерес.

Цель работы заключается в сравнительном анализе эффективности использования в расчетах изотропных тонких оболочек конечных элементов четырехугольной и треугольной формы при различных способах аппроксимации перемещений внутренних точек конечных элементен в определении

Рйс. иммоиляымя МКЛЯОТСКА

*

условий эффективного использования исследуемых конечных элементов в практике инженерных расчетов.

Научная новизна заключается в следующем:

Выполнен сравнительный анализ эффективности использования в расчетах оболочек вращения конечных элементов треугольной и четырехугольной формы с различным числом узловых варьируемых параметров при различных способах аппроксимации перемещений.

Проведена сравнительная оценка конечно--элементных решений произвольных непологих оболочек при использовании элементов дискретизации четырехугольной и треугольной формы с различным числом степеней свободы в узле при произвольных нагружениях и конфигурации срединной поверхности.

Выполнен сравнительный анализ результатов конечно--элементных решений оболочек вращения при использовании дискретных элементов с векторной аппроксимацией перемещений в различных системах координат.

Достоверность результатов работы обеспечивается корректностью теории тонких оболочек на основе гипотезы прямых нормалей, сравнением полученных результатов с результатами, полученными другими авторами при различных постановках задач.

Практическая ценность заключается в разработке алгоритмов и программ формирования матриц жесткости конечных элементов оболочек вращения и произвольных оболочек для использования в практических инженерных расчетах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных

семинарах Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии , на научном семинаре кафедры строительной механики и САПР Волгоградского архитектурно-строительного университета, под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ ,д.т.н., профессора ВАИгнатьева.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 8 научных статьях.

Реализация. Разработанные алгоритмы, реализующие теоретические результаты диссертационной работы, использованы в программном комплексе для персональных компьютеров класса Pentium по расчету на прочность нефтехимических сосудов и аппаратов в условиях термосиловых нагруже-ний, внедренном в Самарском филиале инженерно-технологического предприятия ОАО «Оргэнергонефть».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы из121 наименования. Общий объем диссертации составляет 158 страниц и включает 20 таблиц и 18 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведено обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследований, научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе выполнен обзор и критический анализ литературных источников по использованию метода конечных элементов при определении напряженно-деформированного состояния тонких оболочек.

Отмечается вклад в развитие метода конечных элементов зарубежных и отечественных ученых.

В заключение формулируется цель исследования, ее новизна, практическая ценность и представлена общая характеристика диссертационной работы.

Во второй главе приведены основные соотношения теории тонких упругих оболочек вращения. Положение произвольной точки срединной поверхности определено радиусом- вектором

где орты декартовой системы координат;

координата, отсчитываемая вдоль оси оболочки вращения;

г — радиус вращения срединной поверхности , являющийся функцией координаты х;

6 - угол, отсчитываемый от вертикального диаметра произвольного сечения оболочки вращения в направлении против часовой стрелки.

Дифференцированием (2.1) получаются векторы локального базиса произвольной точки касательные к срединной поверхности оболочки, а их векторным произведением определяется орт нормали к срединной поверхности а.

Производные базисных векторов представлены компонентами в том же базисе соотношениями

где Г"аР -символы Кристофеля второго рода;

и смешанные компоненты тензора кривизны

(греческие индексы здесь и ниже принимают значения 1 и 2).

Вектор перемещения V произвольной точки срединной поверхности оболочки представлен в ее локальном базисе

где V1, V2 —тангенциальные компоненты вектора перемещения вдоль меридиана и дуги кольца, соответственно;

перемещение вдоль нормали к срединной поверхности. Дифференцированием (2.3) по криволинейным координатам Б и в получаются производные вектора перемещения точки срединной поверхности.

где компоненты - представляют собой многочлены, содержа-

щие компоненты вектора перемещения V и их производные.

Положение точки произвольного слоя оболочки, отстоящего на расстоянии от срединной поверхности, определяется радиусом-вектором

а положение указанных точек в деформированном состоянии — радиусами-векторами в виде

где вектор перемещения точки произвольного слоя оболочки, определяемый на основании гипотезы прямых нормалей выражением

Здесь а*— орт нормали к деформированной срединной поверхности.

Локальные векторы базисов произвольного слоя оболочки в исходном и деформированном состояниях определяются дифференцированием (2.5) и (2.6)

Ковариантные компоненты тензора деформаций в точке произвольного слоя оболочки определяются соотношением

=2 (.ёа-У,р+ёр-УЛ

(2.9)

которое может быть представлено в виде Еав = £аВ + СХаВ '

где

(2.10)

Связь между напряжениями и деформациями принимается по закону

Гука

где — параметры Ламе; /, (&) — первый инвариант тензора деформации;

ар

% — контравариантные компоненты метрического тензора.

В третьей главе для расчета оболочки вращения использовались треугольные конечные элементы с различными числами степеней свободы и при различных способах аппроксимации перемещений.

Вариант Т1- конечный элемент треугольной формы с размером матрицы жесткости 27x27, при скалярной интерполяции перемещений.

В качестве конечного элемента принимается фрагмент срединной поверхности оболочки вращения треугольной формы с узлами

Для выполнения численного интегрирования по поверхности криволинейного треугольного элемента последний отображается на прямоугольный треугольник, локальные координаты которого х и у изменяются в пределах О < х, у й 1.

Связь между криволинейными координатами и локальными ко-

ординатами х,у определяется линейными соотношениями.

Столбцы узловых неизвестных в глобальной и локальной системах координат принимались в виде

где под д понимается любая из трех компонент вектора перемещения у',Г2ИЛИ V.

Перемещение внутренней точки элемента аппроксимировалось через узловые неизвестные соотношениями

Для определения функции форм gm(x,y) использовался полный двумерный полином третьей степени.

Для выражения вектора узловых неизвестных (3.3) через (3.2) использовалось соотношение

Вариант — конечный элемент треугольной формы с размером матрицы жесткости 27x27 при векторной интерполяции перемещений.

Столбцы узловых неизвестных в глобальной и локальной системах координат принимались в виде

Вектор перемещения внутренней точки треугольного конечного элемента выражается через столбец узловых неизвестных (3.7) с использованием функций форм, полученных для элемента Т1

Производные вектора перемещения внутренней точки конечного элемента получаются дифференцированием (3.8) по криволинейным координатам

Заменяя в (3.8) и (3.9) векторы локальных базисов узловых точек через векторы локального базиса внутренней точки, можно выразить компоненты вектора перемещения и их производные через все узловые неизвестные.

Вариант Т2 —конечный элемент треугольной формы с матрицей жесткости 54x54 при скалярной интерполяции полей перемещений.

Столбцы узловых неизвестных в глобальной и локальной системах координат принимались в виде

где ^нормаль к гипотенузе прямоугольного треугольника

Перемещение внутренней точки дискректного элемента аппроксимировалось через узловые величины выражением

ч = ЫХ,У)}т\ЯТ\ (3-13)

1x21

гУ

21x1

где

строка функции форм, для получения которых использовался двумерный полином пятого порядка, а под символом q понимается у',у2или V. Для выражения столбца узловых неизвестных (3.12) через столбец (3.11) использовались конечно-разностные соотношения

С учетом (3.14) формировались окончательные выражения функции формы, и перемещение внутренней точки конечного элемента определялось выражением

д = {<р(х,у)}гУ;). (3.15)

1x18

1 у 18x1

Вариант конечный элемент треугольной формы с матрицей

54x54 при векторной интерполяции полей перемещений.

Столбцы векторных узловых неизвестных в глобальной и локальной системах координат принимались в виде

}г=V I 0.16)

Вектор перемещения внутренней точки треугольного конечного элемента, аналогично (3.15) записывается в виде

Производные вектора перемещения определяются выражениями

Если в соотношениях (3.18) и (3.19) выразить локальные базисные векторы узловых точек через базисные векторы внутренней точки дискретного элемента, то можно получить выражения компонент вектора и его производных через узловые значения компонент векторов их производных.

С использованием описанных треугольных конечных элементов были выполнены конкретные расчеты.

Рассчитана цилиндрическая оболочка, загруженная вдоль образующей равномерно распределенной нагрузкой. На диаметрально противоположной образующей цилиндра относительно приложения линейной нагрузки располагались пружинные опоры переменной жесткости, позволяющие смещение оболочки вертикально вниз как абсолютно твердого тела.

Решена задача об определении напряженно-деформированного состояния открытой с торцов эллиптической оболочки, находящейся под воздействием внутреннего давления. На правом краю оболочка была закреплена уп-

ругими связями, допускающими смещение оболочки как абсолютно твердого тела в направлении оси х.

Анализ полученных результатов показал, что увеличение числа степеней свободы треугольного дискретного элемента при использовании интерполяционной процедуры перемещений как скалярных величин не позволяет учесть смещение элемента как жесткого целого, из-за получения неприемлемых результатов. Использование же интерполяции векторных полей перемещений позволяет учитывать указанные смещения автоматически и получать корректные результаты.

В четвертой главе для расчета оболочек вращения использовались четырехугольные конечные элементы при различных числах степеней свободы и различных способах аппроксимации перемещений.

Используемый четырехугольный конечный элемент является фрагментом срединной поверхности оболочки вращения, границы которого ориентированы произвольно и могут не совпадать с линиями главных кривизн. Узлы дискретного элемента обозначаются латинскими буквами Ати I. Для выполнения численного интегрирования криволинейный четырехугольник отображается на квадрат с локальными координатами интервалы изменения которых определяются неравенствами

Глобальные координаты 8,0 внутренней точки четырехугольного дискретного элемента связаны с локальными координатами билинейными зависимостями.

Использовались несколько вариантов конечных элементов.

Вариант Ч1- конечный элемент с 36-ю степенями свободы при скалярной интерполяции полей перемещений. Столбцы узловых неизвестных в локальной и глобальной системах координат принимались в виде

где под символом понимаются компоненты

Перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируются через соответствующие узловые неизвестные зависимостями

Ч = К(£)кхШ +М<Г)М'7)<7У + + +

+^(^(>7)9'+ кюьт' =

•ЫШЬ'Л

(4.3)

где функции Ь,(А.)- полиномы Эрмита третьей степени.

Вариант 41«,- конечный элемент с 36-ю степенями свободы при векторной интерполяции полей перемещений.

Столбцы узловых неизвестных в локальной и глобальной системах координат принимались в виде

Вектор перемещения внутренней точки конечного элемента выражался через узловые величины соотношением

где матрица-стрелка {$>}Г определялась по (4.3).

Производные вектора глобальным координатам получаются дифференцированием (4.5)

После замены базисных векторов узловых точек в (4.3) и (4.4) через базисные векторы внутренней точки конечного элемента можно получить выражения для компонент их производных через узловые значения этих величин. Отличительной особенностью полученных соотношений является

то, что каждая компонента V и V внутренней точки конечного элемента зависит от узловых значений всех трех компонент и их производных.

Вариант Ч2- конечный элемент с размером матрицы жесткости 72x72 при скалярной интерполяции полей перемещений.

Столбец узловых неизвестных, содержащий 72 величины, в локальной системе координат принимался в виде

> п1I I I * I

1 !

ГЧ Я (1лЧлЧаЧаЧлЧ:пЧ,,А

(4.7)

Аппроксимация каждой компоненты вектора перемещения внутренней точки конечного элемента через его узловые величины принималась в виде

где в матрице-строке использовались полиномы Эрмита пятой

степени.

Вариант Ч2„- конечный элемент с размером матрицы жесткости 72x72 при векторной интерполяции полей перемещений.

Элементами столбцов узловых, неизвестных являются векторы перемещений узловых точек, их первые и вторые производные

Вектор перемещения внутренней точки срединной поверхности элемента принимался по аналогии с (4.8) в виде

Дифференцированием (4.10) в глобальной системе координат получены производные

Выражая базисные векторы узловых точек дискретного элемента в (4.8) и (4.11) через базисные векторы внутренней точки, можно получить соотношения для компонент V™ и V и их производных через узловые значения этих величин.

Описанные конечные элементы использовались в следующих примерах расчетов.

Решена задача о напряженно-деформированном состоянии компенсатора, находящегося под действием внутреннего давления интенсивности q. Радиус вращения задавался функцией

Были приняты следующие исходные данные:

ц = 0.2 МПсг,А = 1.3 м\ В = 0.4л<;? = 0,01 м; Е = 2-Ю5 МПа\ V = 0,3.

Координата х изменялась в пределах 0< X 36 Л м. Расчеты выполнены в двух вариантах: в первом варианте использовался элемент Ч1, а во втором 41,,,.

Результаты расчета представлены в таблице 1, в которой приведены значения кольцевых (для точек 1,2,3 компенсатора) и меридионального (для точки 4) напряжений во внутренних волокнах оболочки в зависимости от числа элементов дискретизации в меридиональном направлении.

Анализ представленных в таблице 1 результатов расчета показывает, что в первом варианте расчета сходимость вычислительного процесса практически отсутствует даже при достаточно мелкой сетке конечных элементов. Во втором варианте можно наблюдать быструю сходимость вычислительного процесса при относительно небольшом количестве конечных элементов.

Таблица № 1

Координаты точек, м Варианты способа аппроксимации

I II

Количество элементов вдоль меридиана

48 60 72 90 108 120 49 60 72 90

т.1, 32,5 17,3 -4,9 -39,5 -65,2 -77,5 -136,1 -133,6 -132,9 -132,8

х=0 { 4

т.2, х=12 я -139,0 -127,4 -108,0 -63,7 -27,0 -9,2 49,6 49,4 49,2 49,0

т.З, х=24я" 203,7 269,9 > , 281,9 205,2 111,9 61,3 -136,1 -133,6 -132,9 -132,8

т.4, х=36л- -1193,2 -1356,1 -1355,8 -1099,5 -800,1 -634,7 -3,6 -1,9 -1,2 -0,6

Из таблицы 1 видно, что в первом варианте расчета меридиональное напряжение на правом краю компенсатора(последняя строка в таблице 1 ) остается весьма далеким от нулевого значения. Во втором варианте расчета меридиональное напряжение на правом краю оболочки монотонно приближается к нулю с увеличением числа элементов дискретизации.

Пример2. Для расчета компенсатора, рассмотренного в примере 1, использовались элементы 42 И Ч2у,. Результаты расчетов приведены в таблице 2, структура которой совпадает со структурой таблицы 1. Анализ результатов расчета показывает, что в первом варианте расчета наблюдается медленная сходимость вычислительного процесса Меридиональное напряжение на правом краю остаётся весьма далеким от нулевого значения даже при разбиении компенсатора на 90 конечных элементов в меридиональном направлении.

Таблица № 2

Координа-, ты точек, м Варианты способа аппроксимации

I II

Количество элементов вдоль меридиана

12 18 30 48 72 90 12 15 18 24

т.1, х=0 41,9 50,1 -32,8 -115,5 -130,4 -131,7 -139,3 -136,9 -136,9 -138,0

т2,х=12я- -68,6 -70,6 -7,2 -37,6 45,2 46,1 42,7 45,5 46,6 47,4

т.3, х=247Г -109,2 -106,6- -35,1 -116,1 -132,4 -133,3 -140,6 -138,7 -138,5 -138,7

т.4, х=36 7С -495,1 -1006,8 -230,7 -392,8 141,1 59,0 -12,2 -8,0 -4,2 -0,9

Во втором варианте можно отметить быструю сходимость вычислительного процесса при существенно меньшем количестве конечных элементов. Меридиональное напряжение на правом краю оболочки оказывается достаточно близким к нулю при сравнительно малом числе элементов дискретизации.

При увеличении частоты волн компенсатора в полтора раза (с=8м; 0< в первом варианте расчета сходимость вычислительного процесса исчезла. Во втором же варианте она осталась неизменной.

Основываясь на анализе табличного материала можно сделать вывод о том, что использование аппроксимации перемещений как скалярных величин в алгоритмах формирования матриц жесткости четырехугольных конечных элементов оболочек с большими градиентами кривизны срединной поверхности оказывается весьма неэффективным даже при большом числе узловых варьируемых параметров дискретного элемента.

Для корректного определения напряженно-деформированного состояния такого рода конструкций необходимо использование векторной аппроксимации полей перемещений.

Пример 3. Решена задача об определении напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки, загруженной вдоль образующей равномерно распределенной линейной нагрузкой интенсивности q. Исходные величины имели следующие Значения: Е=2.1х105МПа; К=Юсм;

В качестве элементов дискретизации использовались в первом варианте треугольные элементы а во втором- четырехугольные элементы

Результаты расчетов представлены в таблице 3, в которой приведены значения нормального перемещения V в точках с координатами «У, = 0 и

а также значения напряжений во внутренних волокнах. Расчетная схема была выбрана в виде одной полоски элементов

вдоль кольца, причем ширина полоски ÄS в первом случае была равна 1 см, во втором- ширина полоски была уменьшена в 10 раз и составила 0.1 см.

Анализ результатов, представленных в таблице 3 показывает, что изменение ширины полоски элементов оказало значительное влияние на результаты первого варианта расчета, полученные при использовании в качестве элементов дискретизации треугольных конечных элементов.

Анализ результатов, полученных при использовании в качестве элемента дискретизации четырехугольного конечного элемента показывает, что вычислительный процесс обладает быстрой сходимостью. Изменение ширины полоски не оказывает никакого влияния на результаты расчета, т. е. вычислительный процесс более стабилен.

Пример 4. Решена задача по определению напряжений в компенсаторе, загруженном внутренним давлением интенсивности q = 0,2 МПа. Радиус вращения вычислялся по (4.10). Были приняты следующие исходные данные: Е = 2*105 МПа; v = 0,3; h = 1,0 см; А = 130 см; В = 40 см; с = 48 см. Координата х изменялась в пределах -144 л £ X £ 144я. Задача как и в предыдущих примерах решалась в двух вариантах. Вследствие наличия осевой симметрии оболочки представлялась полоской элементов, ориентированной в меридиональном направлении.

Результаты расчетов представлены в таблице 4, в которой показаны меридиональные ам и кольцевые о, при сетке дискретизации 2x49. Ширина полоски элементов варьировалась

Анализ результатов, представленных в таблице 4 показывает, что в первом варианте расчета значения кольцевых напряжений различаются между собой на 14% при А9 = Jt/б и на 1,2% при Д0 =я/60.

В таблице точки 1,3 соответствуют координате в — 0; точки 2,4 -координате

Во втором варианте расчета изменение ширины полоски не оказывает никакого влияния на результаты расчета.

Таблица №3.

Сетка узлов № варианта

I II

АЗ=1,0 см Д£=0,1см А5=1,0см Д£=0,1 см

V' СМ V а1/см2 а2 кН V1 ^ кН о] кН 2 ' 2 <тя см V1 см V2 кН 1 ' 2 а„ см сг,2 кН V1 1 ' 2 а„ см сг] кН <т\'смг

2 9 2 а„ см , > СМ V 1 ' 2 <7И СМ 2 ' 2 <Г„ СМ 2 > СМ V

5x2 -4,066 -4,067 191,4 -141,5 195,8 -137,1 -4,047 -4,047 193,7 -138,7 193,8 -138,7 -4,047 -4,047 193,7 -138,7 193,7 -138,7 -4,047 -4,047 193,7 -138,7 193,7 -138,7

9x2 -4,439 -4,445 180,2 -171,7 176,4 -175,4 -4,244 -4,244 195,7 -184,8 195,8 -184,7 -4,244 -4,244 195,7 -184,7 195,7 -184,7 -4,244 -4,244 195,7 -184,7 195,7 -184,7

17x2 -4,965 -4,981 119,3 -113,7 107,9 -124,9 -4,252 -4,252 191,7 -190,4 191,7 -190,3 -4,251 -4,251 191,8 -190,4 191,8 -190,4 -4,251 -4,251 191,8 -190,4 191,8 -190,4

Ана-лити-чес-кое решение -4.250 190.81 190.81 -4.250 190.81 190.81 -4.250 190,81 190.81 -4.250 190.81 190.81

-4,250 -190,81 -190,81 -4,250 -190,81 -190,81 -4,250 -190,81 -190,81 -4,250 -190,81 -190,81

Таблица №4

Номер варианта

Коорди-' Напряжения, I II

нага х, см МПа = * 6 Ав = — 60 Ав=* 6 Ав = — 60

Х=0 11.68 13.57 12.34 12.19 12.32 12.32 12.32 12.32

-0.092 -0.029 -0.022 -0.022

Х=144я 0.018 0.011 -0.022 -0.022

17.46 17.56 17.52 17.52

17.70 17.57 17.52 17.52

Основываясь на анализе табличного материала, представленного в таблицах 3,4 можно сделать вывод, что треугольный дискретный элемент чувствителен к виду внешней нагрузки. При локальном приложении нагрузки результаты расчетов оказываются неустойчивыми. В том случае, когда нагрузки распределены по площади оболочки, результаты использования треугольных конечных элементов можно признать удовлетворительными.

Использование четырехугольного конечного элемента позволяет получать результаты, отличающиеся достаточно быстрой сходимостью и стабильностью вычислительного процесса. Поэтому при расчете оболочек с локальным приложением нагрузки использование четырехугольного конечного элемента предпочтительнее.

Пример 5. Решена задача об определении напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки, загруженной в середине двумя диаметрально противоположными сосредоточенными силами при следующих исходных данных: 12,58 см; длина цилиндра Ь = 26,29 см; Р = 453,6 Н.

Для дискретизации оболочки использовались треугольные и

четырехугольные конечные элементы.

Результаты расчетов представлены в таблице 5, в которой приведены значения нормального перемещения точки приложения нагрузки и приведены известные решения.

Таблица № 5

Сетка узлов Треугольный КЭ 54x54 Четырехугольный КЭ 72x72

2x2 -0.28108 -0.27973

3x3 -0.30081 -0.28466

4x4 -0.31849 -0.28661

5x5 -0.32514 -0.28750

7x7 -0.33022 -0.28819

9x9 -0.33231 -0.28839

Известные решения -0.28862 рауе] -0.28931 [Сап^у] -0.28880 [А5с1те11]

Анализ табличного материала показывает, что результаты численного решения обладают удовлетворительной сходимостью как при использовании треугольного, так и четырехугольных конечных элементов. Однако при использовании четырехугольного конечного элемента получаются результаты, практически совпадающие с известными решениями, что делает этот тип элемента более предпочтительным.

Использование треугольного КЭ менее эффективно, так как погрешность расчета более значительна.

Пример 6. Была рассчитана цилиндрическая оболочка, загруженная вдоль образующей равномерно распределенной линейной нагрузкой интенсивности q при использовании выше названных конечных элементов. Были приняты следующие исходные данные:

Г = 10,0 см; q — 0,1 "^/см. Вследствие наличия плоскостей симметрии в расчетной схеме рассматривалась ^ часть оболочки, которая представлялась одной полоской конечных элементов, ориентированной в кольцевом направлении. Ширина полоски варьировалась от 0,1 до 1,0 см. Результаты расчета представлены в таблице 6, в которой приведены значения нормального перемещения v, а также кольцевых напряжений С„ во внешних волокнах и С„ во внутренних волокнах точек 1 и 2 в зависимости от густоты сетки узлов и ширины полоски элементов В нижней части таблицы представлены результаты, полученные по формулам строительной механики.

Анализ табличного материала показывает, что при использовании в качестве элемента дискретизации треугольного конечного элемента результаты зависят от ширины полоски Д в. С уменьшением ширины полоски элементов до см результаты становятся достаточно близкими к точным.

Анализ значений расчетных величин, полученных в результате использования четырехугольного конечного элемента, показывает, что изменение ширины полоски не оказывает практически никакого влияния на значения напряжений.

Основываясь на анализе табличного материала, можно сделать вывод о том, что при использовании треугольного элемента с матрицей жесткости 54 х 54 необходимо уменьшать ширину полоски. Использование четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 72 х 72 для дискретизации рассчитываемой оболочки позволяет получать стабильные результаты, что делает этот тип конечного элемента более предпочтительным при расчете оболочек вращения.

В пятой главе конечные элементы треугольной и четырехугольной формы использовались для расчета произвольных непологих оболочек,

Таблица № 6

Сетка узлов Треугольный КЭ Четырехугольный КЭ

Д£=1,0 см ЛЯ =0,1 см АЗ=1,0 см Д5=0,1 см

V1 СМ V <т\ кН с2. кН 2 ' 2 а„ см V1 —, см V с?1 кН 1 ' 2 а„ см сг.2 кН 2 ' 2 а„ смг V1 -Т, см V а1/см2 £ ^ 2 ' 2 <тн см V1 —, см V сг1 кН <т2 кН

а1/см2 1 ' 2 ан см 2 ' 2 ан см

2x2 4240 -4,240 187,1 -216,6 187.1 -216,6 -4,239 -4,239 187,2 -216,6 187,2 -216,6 -4,236 -4,236 202,1 -209,0 202,1 -209,0 -4,235 -4,235 202,0 -208,9 202,0 -208,9

3x2 -4,252 -4,252 190,3 -193,7 190,1 -193,3 -4,253 -4,253 190,1 -193,6 190,1 -193,6 -4,251 -4,251 190,0 -193,1 190,0 -193,1 -4,252 -4,252 190,1 -193,1 190,1 -193,1

5x2 -4,263 -4,263 195,4 -195,0 188,5 -188,4 -4,252 -4,252 190,95 -191,1 190,95 -191,1 -4,25} -4,251 191,0 -191,1 191,0 -191,1 -4,255 -4,255 191,1 -191,2 191.1 -191,2

9x2 -4,366 -4,368 231,5 -224,9 166,6 -171,6 -4,252 -4,252 191,0 -191,0 191,0 -191,0 -4,251 -4,251 191.0 -191,1 ЖО -191,1 -4,253 -4,253 191.0 -191,1 191.0 -191,1

Точ ное решение -4.250 190.81 190.81 -4.250 190.81 190.81 -4.250 190.81 190.81 -4.250 190.81 190.81

-4,250 -190,81 -190,81 -4,250 -190,81 -190,81 -4,250 -190,81 -190,81 -4,250 -190,81 -190,81

срединная поверхность которых определялась в декартовой системе координат радиусом - вектором.

Матрицы жесткости конечных элементов формировались на основе геометрических соотношений теории непологих оболочек и физических соотношений в виде (2.12).

В качестве примера решена задача об определении напряженно-деформированного состояния усеченного коноида, загруженного внутренним давлением интенсивности q, срединная поверхность которого определялась радиусом — вектором

Были приняты следующие исходные данные: q = 0,0293 Н/см2; Ь — 365,7 см; 1 = 182,88 см; Е = 394990 да Н/см2; V = 0,15; 1= 1,27 см; 80,01 см;

(I = 243,84 СМ. По контуру коноид был жестко защемлен.

Расчеты коноида при использовании в качестве элементов дискретизации треугольных конечных элементов были выполнены в двух вариантах: в первом варианте использовался треугольный конечный элемент с матрицей жесткости 27 х 27; во втором варианте применялся высокоточный треугольный конечный элемент с матрицей жесткости 54 х 54.

Анализ результатов расчета показал, что в первом варианте сходимость вычислительного процесса наблюдается лишь в промежуточных точках. В крайних узлах, соответствующих координатам х = 0 и х = 1 (данные узлы входят в защемленный контур коноида) сходимость вычислительного процесса неудовлетворительная. Во втором варианте расчета наблюдается удовлетворительная сходимость вычислительного процесса при достаточно редкой сетке дискретизации.

Расчет коноида с использованием четырехугольных конечных элементов также выполнялся в двух вариантах: в первом использовался элемент с матрицей жесткости 36 хЗб, во втором - с матрицей 72 х 72.

Анализ результатов численных решений показал, что в обоих вариантах расчета наблюдается удовлетворительная сходимость вычислительного процесса. Однако для достижения аналогичного уровня точности в первом варианте требуется большее количество элементов, чем во втором.

Сопоставительный анализ конечно-элементных решений показал, что при расчете оболочек с отрицательной гауссовой кривизной предпочтительнее применять четырехугольные конечные элементы для дискретизации рассчитываемой оболочки. Эффективное исследование НДС такого рода оболочек с помощью треугольных конечных элементов возможно лишь при использовании высокоточных дискретных элементов с восемнадцатью степенями свободы в узле.

На примере определения НДС фрагмента сферической оболочки, загруженного внутренним давлением интенсивности q показано, что векторная интерполяция полей перемещений, позволяющая учитывать смещение оболочки как жесткого целого, обладает инвариантностью к различным системам координат.

Данный факт также подтверждает высокую эффективность векторной интерполяции перемещений и необходимость ее широкого использования с целью повышения качества современных вычислительных комплексов и расширения круга решаемых задач.

Заключение

Основные результаты и выводы диссертации в следующем.

1. Выполнен сравнительный анализ эффективности использования в расчетах оболочек вращения треугольных и четырехугольных конечных элементов различными числами узловых варьируемых параметров при различных способах аппроксимации перемещений. Определено, что векторная ин-

терполяция полей перемещений во всех элементах позволяет выполнить учет смещений как жесткого целого.

2. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента произвольной непологой оболочки с девятью и восемнадцатью степенями свободы в узле.

3. Проведена сравнительная оценка конечно-элементных решений произвольных непологих оболочек при дискретизации конечными элементами треугольной и четырехугольной формы. Показано, что при расчете оболочек отрицательной гауссовой кривизны предпочтительнее использовать четырехугольные конечные элементы. Эффективное использование НДС такого рода оболочек с использованием треугольных оболочек возможно лишь при наличии восемнадцати степеней свободы в узле.

4. Сравнительным анализом результатов конечно-элементных решений оболочек показана инвариантность векторной аппроксимации полей перемещений и различным видам систем координат.

5. Выполнен сравнительный анализ конечно-элементных решений оболочек вращения с различными видами внешней нагрузки и конфигурацией срединной поверхности. Показано, что треугольные КЭ чувствительны к характеру внешней нагрузки. При локальных (точечных) силовых воздействиях расчеты, выполняемые с использованием треугольных КЭ, обладают существенно большей погрешностью по сравнению с конечно-элементными решениями, полученными на основе использования четырехугольных КЭ.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Клочков Ю. В. Совершенствование расчетов оболочек МКЭ в нелинейной постановке / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, Н. А. Гуреева // Изв. вузов. Машиностроение. 2003. № 5. С. 15-22.

2. Клочков Ю. В. Сравнительная оценка точности конечно-элементных решений оболочек при использовании высокоточных конечных элементов

треугольной и четырехугольной форм / Ю. В. Клочков,А.П.Николаев, Н.А. Гуреева//Изв. вузов. Машиностроение.2003.№ Ю.С.3-10.

3. Клочков Ю. В. Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов треугольной и четырехугольной форм в расчетах оболочек вращения/Ю. В. Клочков, А.П.Николаев, Н.А.Гуреева//Изв. вузов. Строительство. 2004.№3. С. 103-109.

4. Клочков Ю. В. Использование конечных элементовчетырехугольной и треугольной форм в расчетах оболочечных конструкций/Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, Н. А. Гуреева // Материалы научно-технической конференции. Эффективные строительные конструкции,2003г.Пенза,2003.С. 120-123.

5.Клочков Ю. В. Расчет осесимметричной оболочки с учетом смещения как жесткого целого / Ю. В. Клочков, Н. А. Гуреева // Вестник Волгоградского гос. арх.- строит.ун-та. Сер. Естеств. науки.2004. Вып. 3 (10). С.38-41.

6. Клочков Ю. В. Применение дискретных элементов различной конфигурации в конечно-элементном анализе тонкостенных конструкций водохозяйственных объектов/Ю. В. Клочков,Н. А. Гуреева//Основы достижения устойчивого развития сельского хозяйства : материалы международной научно-практической конференции, 2004г. Волгоград. 2004. С. 117-118.

7. Клочков Ю. В. Сравнительный анализ результатов использования векторной аппроксимации перемещений в различных системах координат/Ю. В. Клочков,А.П.Николаев,Н.А.Гуреева//Изв. вузов. Машиностроение. 2004.№3.С.3-8.

8. Клочков Ю. В. Расчет оболочек отрицательной Гауссовой кривизны с использованием МКЭ/Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, Н.А. Гуреева//Изв. вузов. Строительство. 2004. № 8. С. 27-32.

Р24287

Подписано к печати 19.1104.Формат60х84 1/16. Уч.-изд.л. 1. Тираж 100. Зак. 303. Типография Волгоградской государсггвенной сел ьскохозяйственной академии 400002, г. Волгоград,ул. Институтская, 8

288

ВВЕДЕНИЕ.

1. Краткий обзор использования метода конечных элементов в расчетах оболочек.

2. Основные соотношения теории тонких оболочек вращения.

2.1. Геометрия оболочки вращения в исходном состоянии.

2.2. Геометрия оболочки вращения в деформированном состоянии.

2.2.1. Перемещение точки срединной поверхности.

2.2.2. Перемещение точки произвольного слоя оболочки.

2.3. Деформации произвольного слоя оболочки и ее срединной поверхности.

2.4. Соотношения между напряжениями и деформациями' в пределах упругости.

3. Расчет оболочек вращения с использованием треугольных конечных элементов при различных способах аппроксимации.

3.1. Последовательность основных операций метода конечных элементов

3.2. Треугольный конечный элемент оболочки вращения.

3.2.1. Геометрия элемента.

3.2.2. Узловые неизвестные и выбор функций формы.

3.2.3. Матрица жесткости треугольного конечного элемента размером 27x27 при использовании традиционной интерполяционной процедуры.

3.2.4. Матрица жесткости треугольного конечного элемента с использованием векторной интерполяции перемещений.

3.2.5. Матрица жесткости высокоточного конечного элемента с 18 степенями свободы в узле при использовании традиционного способа интерполяции перемещений.

3.2.6. Матрица жесткой высокоточного конечного элемента при использованием четырехугольных конечны* пособах аппроксимации перемещений. энечный элемент с 36-ю степенями свободь пособе аппроксимации перемещений. нечный элемент с 36-ю степенями свободы i ции вектора перемещения внутренней точке эры узловых перемещений.

Оболочки различных конфигураций являются широко распространенными элементами инженерных конструкций различного назначения, так как благодаря своей криволинейной форме, позволяют в полной мере использовать прочностные свойства применяемого материала. В настоящее время они широко используются в строительстве, машиностроении, авиации и космонавтике. Широко применяются оболочки при создании современных летательных аппаратов, надводных и подводных морских судов, сосудов и аппаратов химических установок, и возможности, заключающиеся в практическом использовании оболочек, еще далеко не исчерпаны.

В процессе эксплуатации оболочки могут испытывать силовые воздействия от веса технологического оборудования, от давления соседних элементов конструкции, а также от температурных градиентов. Наличие вырезов различной формы, патрубков и кронштейнов приводит к тому, что в оболочках возникают локальные зоны концентрации напряжений. Причем, возникающие локальные напряжения могут достигать значительных величин и поэтому требуется тщательное исследование напряженно-деформированного состояния оболочек в целях выработки более рациональных конструктивных решений.

Получение аналитических решений для определения напряжений и деформаций в зонах их концентрации не представляется возможным. Поэтому задача дальнейшего развития теории деформирования оболочек на основе современных численных методов расчета остается одной из самых актуальных проблем строительной механики и представляет несомненный практический интерес.

В настоящее время разработана достаточно совершенная теория деформирования оболочек в линейной и нелинейной постановках, в развитие которой значительный вклад внесли отечественные ученые [1, 15, 16, 19, 22, 24, 28, 37, 65, 66, 68, 86]. Однако получение результатов на основе разрешающих уравнений разработанной теории из-за их сложности оказалось возможным лишь для некоторых частных задач [14, 17, 27, 84, 88], поэтому при решении прикладных задач разрабатывались упрощенные и приближенные методы [1,9, 25, 47, 57, 83]. С развитием электронной вычислительной техники стали разрабатываться и приобретать все большее значение численные методы расчета оболочек [2, 7, 8, 9, 12, 18, 43, 69, 70, 71, 87].

Наиболее популярным и широко распространенным численным методом расчета тонкостенных оболочек на прочность является метод конечных элементов (МКЭ) [20, 29,33, 67, 70, 71, 72, 73, 78, 81, 85, 90, 101].

Широкое распространение МКЭ объясняется возможностью использования автоматизации с помощью персональных компьютеров трудоемких процессов составления и решения систем алгебраических уравнений. Большим достоинством МКЭ является простота учета условий закрепления рассматриваемой конструкции и закона распределения внешней нагрузки [33,70,71,78]. Без принципиальных затруднений возможен учет температурных воздействий и упругопластического состояния материала [33,70,71,73, 95, 100].

Цель работы заключается в сравнительном анализе эффективности использования в расчетах изотропных тонких оболочек конечных элементов четырехугольной и треугольной формы при различных способах аппроксимации перемещений внутренних точек конечных элементов и в определениях условий эффективного использования исследуемых конечных элементов в практике инженерных расчетов.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы (121 наименование), изложена на 159 страницах ма

Основные результаты и выводы диссертации в следующем.

1. Выполнен сравнительный анализ эффективности использования в расчетах оболочек вращения треугольных и четырехугольных конечных элементов различными числами узловых варьируемых параметров при различных способах аппроксимации перемещений. Определено, что векторная интерполяция полей перемещений во всех элементах позволяет выполнить учет смещений как жесткого целого.

2. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента произвольной непологой оболочки с девятью и восемнадцатью степенями свободы в узле.

3. Проведена сравнительная оценка конечно-элементных решений произвольных непологих оболочек при дискретизации конечными элементами треугольной и четырехугольной формы. Показано, что при расчете оболочек отрицательной гауссовой кривизны предпочтительнее использовать четырехугольные конечные элементы. Эффективное использование НДС такого рода оболочек с использованием треугольных оболочек возможно лишь при наличии восемнадцати степеней свободы в узле.

4. Сравнительным анализом результатов конечно-элементных решений оболочек показана инвариантность векторной аппроксимации полей перемещений и различным видам систем координат.

5. Выполнен сравнительный анализ конечно-элементных решений оболочек вращения с различными видами внешней нагрузки и конфигурацией срединной поверхности. Показано, что треугольные КЭ чувствительны к характеру внешней нагрузки. При локальных (точечных) силовых воздействиях расчеты, выполняемые с использованием треугольных КЭ, обладают существенно большей погрешностью по сравнению с конечно-элементными решениями, полученными на основе использования четырехугольных КЭ.

Министерство энергетики Российской Федерации

Инженерно-технологическое предприятие ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ»

САМАРСКИЙ ФИЛИАЛ о внедрении результатов диссертационной работы Гуреевой Н.А. «Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов различных форм и способов аппроксимации при расчете оболочек».

Конечные элементы треугольной и четырехугольной формы, описанные и исследованные в диссертационной работе Гуреевой Н.А., использовались в пакетах прикладных программ в Самарском филиале ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ» при расчетах на прочность аппаратов химического и нефтегазового оборудования.

Экономический эффект от внедрения диссертационных разработок обеспечивается за счет повышения точности оценки напряженно-деформированного состояния конструктивных элементов нефтехимического оборудования, что позволяет гарантированно продлить срок эксплуатации

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. - 287с.

2. Александров А.В., Шапашников Н.Н. Об использовании дискретной модели при расчёте пластинок с применением цифровых автоматических машин // Труды Моск. Ин-та инж. транспорта. 1966. - Вып. 194. - с. 90-67.

3. Бате К., Вилсон Э. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Перевод с английского. М.: Стройиздат, 1982. - 448с.

4. Бандурин Н.Г., Николаев А.П. Торунов И.К. Применение произвольного четырёхугольного конечного элемента к расчёту тонкостенных оболочек вращения // Прикладная механика. 1980,- Т. 16. - № 3. - С. 50-55.

5. Бандурин Н.Г., Николаев А.П. К расчёту сочлененных оболочек с помощью четырёхугольного конечного элемента с матрицей жёсткости 36x36 // Расчёты на прочность. М.: Машиностроение, 1981. - Вып. 21. - С. 225 - 236.

6. Бандурин Н.Г., Николаев А.П., Апраксина Т.И. Применение четырёхугольного конечного элемента с матрицей жёсткости 36 х 36 к расчёту произвольных непологих оболочек. // Пробл. прочности. — 1980. № 5. - с. 104-108.

7. Бидерман B.JI. Механика тонкостенных конструкций. — М.: Машиностроение, 1977. 488 с.

8. Богнер (К. Bogner), Фокс (R.L.Fox), Шмит (L.A. Schmit). Расчёт цилиндрической оболочки методом дискретных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1967. - № 4 . - С. 170-175.

9. Бурман З.И., Баязитов Ф.Ф., Лукашенко В.И. Анализ напряжённого состояния цилиндрической подкреплённой оболочки на основе использования МКЭ // В сб.: Строительная механика.- Л., 1975. С. 29-35.

10. Баслык К.П., Попов Б.Г. Треугольный шестиузловой конечный элемент с 36 степенями свободы // Ввести МТГУ. Сер. Машиностроение. 2002, № 3 С. 3-14.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. - 631с.

12. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. -М.: Наука, 1976. — 607с.

13. Бакельман И.Я. Высшая геометрия. М: Просвещение, 1967. - 387 с.

14. Валишвили Н.В. Методы расчёта оболочек вращения на ЭЦВМ,-М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

15. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложения в технике.- М.: Гостехиздат.1949.-784 с.

16. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем .- М.: Наука, 1963.-879 с.

17. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек.- М.: Наука, 1982.- 288 с.

18. Вольмир А.С. Современные проблемы теории пластинок и оболочек в летательных аппаратах II Актуальные проблемы авиационной науки и техники.- М„ 1984.- с. 77-87.

19. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек.- Казань: Издательство Казанского ун-та, 1975.- 326 с.

20. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.- М.: Наука, 1978.- 360 с.

21. Гольдейвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек-М.: Наука, 1976.-512 с.

22. Голованов А.И., Бережной Д.В. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел.- Казань: ДАС. 2001, 300 с.

23. Григорян С.С. Прикладные проблемы механики тонкостенных конструкций: Сб. науч. ст. Ин-т мех. МГУ. М.: Изд-во МГУ. 2000, 330 с.

24. Голованов А.И. Новый конечный элемент для расчёта произвольных тонких оболочек // Строительная механика и расчёт сооружений.- 1986.- № 4.-с.21-23.

25. Горшков А.П., Колесников И.Ю. Конечные элементы на основе полного семейства неполиномиальных определяющих функций формы для произвольного числа граничных узлов // Изв. АН. МТТ. 1998.- №1. -С. 116-128.

26. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.- М.: Наука,1978.-360 с.

27. Григоренко Я.М., Кокошин С.С. К расчёту оболочечных конструкций методом конечного элемента // Прикл. мех.- 1979.- Т.15.- № 7.- с.3-10.

28. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ.- Киев: Вища школа, 1979.- 280 с.

29. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов Вал.И. и др. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями.- Киев': Наук. Думка, 1980.- 635 с.

30. Деклу Ж. Метод конечных элементов.- М.: Мир, 1976.- 96 с.

31. Длугач М.И. Метод конечных элементов в применении к расчёту цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями // Прикл. механика. -1973.-t.il.-№ и . с.35-41.

32. Железное Л.П., Кабанов В.В. Функции перемещений конечных элементов оболочки вращения как твёрдых тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1990, № 1.- с.131- 136.

33. Зенкевич О. Применение метода конечных элементов в технике. Пер. с англ.- М.:Мир, 1975.- 541 с.

34. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Гуреева Н.А. Сравнительный анализ результатов использования векторной аппроксимации перемещений в различных системах координат // М.: Машиностроение, №3, 2004 г., с. 117-118.

35. Кабанов В.В., Железнов Л.П. Исследования устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном напряжённом состоянии методом конечных элементов // Прикл. механика.- 1978.- т. 14.- № 3. с.45-52.

36. Кан С.Н. Строительная механика оболочек.- М.: Машиностроение, 1966.- 508 с.

37. Кантон (G. Cantin), Клауф(11.\\^С1о1щЬ) Искривлённый дискретный элемент цилиндрической оболочки // Ракетная техника и космонавтика.-1968.-№ 6.- с.82-87.

38. Кирмишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций.- М. Машиностроение, 1975.376 с.

39. Киричевский В.В., Сахаров А.С., Исаханов Г.В. Реализация метода канечных элементов на ЭВМ БЭСМ- 6 в расчёте нетонких пластин и оболочек сложной геометрии // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1976.-Выпуск 28.-с.148-162.

40. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчёту на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолёта // Вопр. прочности и долговечности элементов авиац. констр. Куйбышев, 1979.- № 25,- с. 35- 43.

41. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. -М:Машиностроение, 1966.-508 с.

42. Кей С.В., Бейсенджер З.Е. Расчёт тонких оболочек на основе метода конечных элементов // В сб.: Расчёт упругих конструкций с использованием ЭВМ.- Л., 1974.- т. 1.- с. 151- 178. (пер.с англ.).

43. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1970.-720с.

44. Кхана (J. Khanna), Гули (R. F. Hooley). Сравнение и оценка матриц жёсткости // Ракетная техника и космонавтика.- 1966.-№ 2.-С.31-39.

45. Макеев Е.Г. Эффективный конечный элемент для тонких пластин и оболочек.// Автомат, проект, авиац. конструкций.-Куйбышев, 1982.-С.45-54.

46. Масленников A.M. Расчёт тонких плит МКЭ // Сборник трудов ЛИСН.- 1968.- Т.57.- с.186 -193.

47. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчёт составных оболочечных конструкций на ЭВМ М.: Машиностроение, 1981.- 111 с.

48. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек.- Л.: Судпромгиз, 1962.- 432с.

49. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Торунов И.К. Применение четырёхугольного конечного элемента с матрицей 48x48 для расчёта оболочек вращения // Изв. вузов Сер. Строительство и архитектура.- 1980.- № 5.- с.44-48.

50. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Клочков Ю.В. К расчёту осесиммет-ричных оболочек с ветвящимся меридианом методом конечных элементов // Проблемы прочности.- 1987.- № 12.- с. 66-69.

51. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Клочков Ю.В. Применение МКЭ к расчёту оболочек вращения с ветвящимся меридианом // Строит, механика и расчёт сооружений.- 1988.- № 3. с. 14- 17.

52. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Клочков Ю.В. Применение конечных элементов с векторной интерполяцией перемещений к расчёту осесимметрич-ных оболочек вращения // Прикл. механика. 1990.- т.26.- № 11.-е. 110-114.

53. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Клочков Ю.В. Новый эффективный способ интерполяции перемещений в конечно-элементном анализе оболочек // Строит, механика и расчёт сооружений. 1991.- № 1.- с. 62-66.

54. Николаев А.П., Клочков Ю.В., Киселёв А.П. Особенности формирования матрицы жёсткости треугольного конечного элемента размером 54х 54 // Изв. вузов. Сер. Строительство. 1998.- № 2. - с. 32-37.

55. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины.- М.: Изд-во МГУ, 1969.- 695 С.

56. Постнов В.А., Хархурин И.Я. Метод конечных элементов в расчётах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. - 344 с.

57. Пикуль В.В. Теория и расчёт оболочек вращения.- М.: Наука, 1982. —158 с.

58. Постнов В.А. Численные методы расчёта судовых конструкций. JL: Судостроение, 1977.- 280 с.

59. Пикуль В.В. Современное состояние теории оболочек и перспективы её развития // Изв. АН МТТ.- 2000.- № 2.- с. 153-168.

60. Постнов В.А., Корнеев B.C. Использование методов конечных элементов в расчётах подкреплённых оболочек // Прикл. механика.- 1976.- т. 12.-№ 5.- с. 44- 49.

61. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин.- Рига: Зинанте, 1988.- 284 с.

62. Рикардс Р.Б., Чате А.К. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко // Мех. композит, материалов.- 1981.-№ 3.- с. 453- 460.

63. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.:Мир, 1977.-350 с.

64. Скопинский В.Н. Расчёт оболочечных конструкций с применением четырёхугольных криволинейных элементов // Изв. вузов Сер. Машиностроение.- 1983.-№5.- с. 16-21.

65. Садовский В.М. Методы решения вариационных задач механики. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 1998, 184 С.

66. Савельев JI.M. Простой четырёхугольный конечный элемент произвольной тонкой оболочки // Вопр. прочности и долговечности элементов авиационных конструкций.- Куйбышев,- 1979.- № 5.- с. 58- 63.

67. Сахаров А.С., Соловей И.А. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек // В сб.: Пространств, конструкции зданий и сооружений- М.- 1977.- Вып.З.- с. 10-15.

68. Сегерминд Л. Применение метода конечных элементов в технике.-М.: Мир, 1975.- 514 с. (перев. с англ.).

69. Серазутдинов Н.М., Губаев P.P. Построение конечно-элементных функций произвольной степени аппроксимации и их использование для расчёта оболочек // Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин.- Саратов, 1997.- т.2.- с. 112-116.

70. Тимошенко С.П., Войновский- Кригер С. Пластинки и оболочки.- М.: Физматгиз, 1963. — 635 с.

71. Филин А.П. Элементы оболочек.- JL: Стройиздат, 1975.- 256 с.

72. Хечумов Р.А., Кепплер X., Прокофьев В.Н. Применение метода конечных элементов к расчёту конструкций,- М.: Изд-во АСВ.- 1994.-351 с.

73. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1962.-Ч.1.-374 е.- 1964.- Ч.2.-395 с.

74. Чеботаревский Ю.В., Крысько В.А. Механика оболочек и пластин в XXI веке: Межвуз. науч. сб. Саратов, гос. техн. ун-т. Саратов: Изд-во СГТУ, 194 с.

75. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения.- М.: Наука, 1968.- 455 с.

76. Шапошников Н.Н. Расчёт пластинок на изгиб по методу конечного элемента // Труды Моск. Института инженеров транспорта. 1968.- Вып. 260.-с. 134- 144.

77. Argyris J.H., Mleignek Н.Р., Buhlmeier J., Mai M.M. Finite elements in linear statics and dynamiks the natural approach // Isd- Ber 1974 . № 174. - p. 152.

78. Anderheggen E. A conforming triangular finite element plate bending solution // Int. J. Num. Meth. Eng.- 1970.- 2.- p. 477- 480.

79. Batoz J.L., Zheng C.L., Hammadi F. Formulation and evaluation of new triangular, quadrilateral, pentagonal and hexagonal discrete Kirchoff plate / shell elements // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2001. 52, № 5-6, c. 615-630.

80. Bilotta A., Casciaro R. Assumed stress formulation of high order quadrilateral elements with am improved in plane bending behavior // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 2002. 191, № 15-16, c. 1523-1540.

81. Basar Yavuz, Its Rov Mikhail. Finite element formulation of the Ogden material model with application to rubber- like shells // Numer. Meth. Eng.- 1998.42, №7.-p. 1273- 1305.

82. Boisse P., Daniel J.L., Getin J.C. A threenode shell element for nonlinear struktural analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1994.- 37.- № 14- p. 2339-2364.

83. Brebbia C.A., Hadid H.A. Analysis of plates and shells using finite elements// Pev. roum. sci techn. ser. mec. apple. 1973. - 18.- № 15.- p. 939 - 962.

84. Cantin G., Clough R.W. A curved cylindrical shell finite element // AIAA. 1968. - №6. - p. 1057 - 1062.

85. Cowper G.R., Lindberg G.M., Olson M.D. A shallow shell finite of triangular shape // Int. J. Solids Struct. 1970. - № 6. - p. 113.

86. Dave D.J. High order triangular finite element for shell analysis // Int. J. Solids and Struct. - 1975. - 11. -№10. - p. 1097 - 1110.

87. Gran C.S., Yang T.J. Doubly curved membrane shell finite element // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng.- 1979.- 105.- № 4.- p. 567-584.

88. Harbord R., Schroder R. Finite Element Methode zur Berechnung dunnwandiger Behalter// Schallenban.- 1978.- 47.- № 3.- p. 90-96.

89. Herpai В., Paczelf I. Analysis of axisymmetrically deformed shells by the finite element displacement method // Acta techn. Acad. Sci. hung.- 1977.- 85.- № 1-2.- p. 93-122.

90. Jones Rembert F. Jr. A curved finite element for general thin shell structures // Nucl. Eng. And Des.- 1978.- 48.- № 2-3.- p. 415- 425.

91. Kanok Nukulchai Worsak. A simple and efficient finite element for general shell analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1979.- 14.- № 2.- p. 179-200.

92. Kikuchi F., Ando Y. A new variational functional for the finite element method and its application to plate and shell problems // Nucl. Eng. Design.- 1972.-№25.- p.95-113.

93. Kutulowski Ryszard, Myslecki Kazimierz. Das gekrummte, iso-parametriche rind viereckige finite Element in der Analyse von Rotationsschalen // Bautechnick. -1984.- 61.- № 7.- p. 224- 247.

94. Lee Phill- Sereng, Bathe Klaus- Jiirgen. On the asymptotic behavior of shell structures and the evaluation in finite element solution // Comput. and Struct. 2002. 80, № 3*4, c.235-255.

95. Lakshmiarayanga H.V. Finite element analysis of laminated composite shell junctions // Comput. and Struct.- 1976.- 8.- № 1.- p.l 1- 15.

96. Lannoy F.G., Triangular finite elements and numerical integration// Comput. and Stsuct. 1977. - 7.p. 613 - 625.

97. Linberg G. M., Olson M.D. A high precision triangular cylindrical shell finite element// AIAA. J. - 1971. - 9. - p. 530 - 542.

98. LochnerN. Die Anwendung des Schalenelements SHEBA//Finite Elem. Statik. e.a. 1973. - p. 353 - 372.

99. Loganathan K., Chand S.C., Gollagher R.H., Abel J. F. Finite element representation and pressure stiffness in shell stability analysis// Int. Numer. Meth. Eng. 1979. - 14. - № 9. - p. - 1413 - 1420.

100. May B. Gekrummte Dreieckelement furkreiszylinder schalen //Finite elem. Static. Berlin e.a., 1973. - p. 230-241.

101. Mohan P., Kapania Rakesh K. Updatet Lagrangian formution of a flat triangular element for thin laminated Shells//AIAA Jourudl. 1998. - 36. - № 2. - p. 273-281.

102. Mohr G. A. Numerically integrated triangular element for doubly curved thin shells //Comput. and Struct /-1980.-11 № 6. - p. 565-571.

103. Moore C. J., Yand T.Y., Anderson D.C. A new 48 D.O.F. quadrilateral shell element with variable order polynomial and rational В - spline geometries with rigid body modes // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1984. - 20.- II. - p. 2121 -2141.

104. Morley L.S.D. Bending of bilinear quadrilateral shell elements // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - 20. № 8. - p. 1373 - 1378.

105. Morley L. S. D. Ixtensional bending of a shell triangular element in quadratik parametric representation // Int. J. Solids and Struct. 1982. - 18. - № 11. -p. 919-935.

106. Nelson R.L. An algoritm for programming the element matrices of doubly curved guadrilateral shell finite elements // Int. J. Numer. Meth, Eng. 1982. -18. - № 3. - p. 421 -434.

107. Peano A. Efficient high order finite elements for shells // Mechanica. -1976. 11. - № 11.-p. 42-47.

108. Rao K, Singa, Rao G. Venkateswara, Raju J. S. A note on the cylindrical shell finite element // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1975. - 9. - № 1. - p. 245-250.

109. Rao К., Singa, Rao G. Venkateswara. Explicit formula for the stifness matrix ofa conical shell finite element // J. Aeronaut. Soc. India. 1976. - 28. - № 3. -p. 339-342.

110. Soh Ai Kah, Ling Chen. An improved discrete Kirchoff triangular element of bending, Vibration and buckling analyses //Eur. J. Mech. A. 2000.- 19,- № 5,-c. 891-910.

111. Soh Ai Kah, Cen Song, Long Yu - Qiu, Long Zhi-Fei. A new twelve DOF quadrilateral element for analysis of thick and thin plates // Eur. J. Mech. A.2001. 20,- № 2,- c. 299-326.

112. Salem Ahmed Z. I., Canann Scott A., Saigal Sunil. Mid node admissible spaces for quadratic triangular 2D finite elements with one edge curved // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2001. -50,- № 1,- c. 181-197.

113. Shaoyan Zhang, Cheung Y.K., Wanji Chen. Stability analysis of cylindrical shells Using refined nonconforming rectangular cylindrical shell elements. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2001. 50, № 12, c. 2707 2726.

114. Sabir A.B. Strain — based finite element for the analysis of cyliders with holes and normally intersecting cylinders // Nuch. Eng. And Des. 1983. - 76. - № 2. — p. 111-120.

115. Samanta Asokendi, Mikhopadhyay Madhijit. Finite element static analysis of stiffened shells // Appl. Mech. and Eng. 1998. - 3. -№ 1. - p. 55-87.

116. Samuel W. Key. The analysis of thin shells with a doubly curved arbitrary quadrilateral finite element // Computers Struct. — 1972. Vol. 2. - № 4. — p. 637- 673.

117. Stolarski H., Belytshko Т., Carpenter N. A simple triangular curved shell element//Eng. Comput. 1985. - 1. - № 3. - p. 210-218.

118. Yang T.Y., Asce A.M. High order rectangular shallow shell finite element // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1973. - 99. - № 1. - p. 157 -181.