автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие метода конечных элементов в исследованиях линейного и нелинейного деформирования оболочек как двумерных и трехмерных упругих тел

На правах рукописи

Киселёв Анатолий Петрович

РАЗВИТИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ЛИНЕЙНОГО И НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК КАК ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

05 23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

ООЗ 1674-76

Волгоград 2008

003167476

Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии

Научный консультант - доктор технических наук, профессор

Николаев Анатолий Петрович

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич, ГОУ ВПО Московский государственный университет путей сообщений

- доктор технических наук, профессор Овчинников Игорь Георгиевич, ГОУ ВПО Саратовский государственный технический университет

- доктор технических наук, профессор Ким Алексей Юрьевич, ФГОУ ВПО Саратовский государственный аграрный университет им. Н. И Вавилова

Ведущая организация - ГОУ ВПО Московский государственный

строительный университет.

Защита состоится 22 мая 2008 года в 10 00 часов в аудитории Б-203 на заседании диссертационного совета Д 212 026 01 при Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете по адресу 400074, г Волгоград, ул Академическая, 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета

Автореферат разослан апреля 2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета

/

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Возможности внедрения новых высокоэффективных инженерных конструкций в строительстве, машиностроении и других отраслях хозяйства во многом зависит от точности расчетов на прочность, выполняемых на стадии проектирования В связи с этим в последнее время весьма перспективным в науке становится направление на развитие и совершенствование новых эффективных методов расчета конструкций на прочность, жесткость и устойчивость

Одним из наиболее популярных численных методов решения линейных и нелинейных задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов (МКЭ). Благодаря своей универсальности и возможности полной автоматизации вычислительного процесса с помощью ЭВМ, МКЭ стал практически одним из основных численных методов для решения широкого круга краевых задач механики сплошной среды МКЭ значительно расширяет возможности детального исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) изделий машиностроения и строительных конструкций.

Литература, посвященная теории и реализации МКЭ, довольно обширна, однако анализ современных научных публикаций, посвященных вопросам исследования процессов деформирования различных конструкций на основе МКЭ, позволяет заключить, что остается ряд весьма важных проблем, которые требуют нового подхода или принципиально нового решения Наиболее сложными проблемами в МКЭ являются учет смещения конструкции как жесткого целого и использование объемных высокоточных конечных элементов в расчетах геометрически линейных и нелинейных задачах строительной механики Поэтому задача дальнейшего развития теории линейного и нелинейного деформирования инженерных конструкций на основе МКЭ является, достаточно актуальной и представляет собой как теоретический, так и практический интерес

Цель диссертационной работы состоит в развитии метода конечных элементов в форме метода перемещений для решения задач строительной механики и механики деформируемого тела в линейной и нелинейной постановках с учетом смещения конструкции как жесткого целого, в разработке алгоритмов формирования матриц жесткости высокоточных четырех-, пяти- и шестигранных объемных конечных элементов, в

составлении комплекса программ применительно к персональному компьютеру, реализующих теоретические разработки и внедрение его в практику инженерных расчетов

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем

1 На основе соотношений теории упругости разработаны четырех-, пяти- и шестигранные объемные конечные элементы, за узловые неизвестные которых выбирались компоненты вектора перемещений и их первые производные (при размерах матриц жесткости 48x48, 72x72, 96x96 соответственно), с функциями формы на основе использования полиномов Эрмита в комбинации с полными двумерными полиномами,

2 Показана эффективность использования объемных конечных элементов в расчетах на прочность достаточно тонких оболочек, что позволяет учитывать поперечные и сдвиговые деформации без привлечения упрощающих гипотез,

3 Для разработанного шестигранного конечного элемента на линии сочленения двух непологих оболочек получены соотношения для выражения узловых неизвестных одной оболочки через соответствующие неизвестные другой оболочки, необходимые в исследовании напряженно-деформированного состояния в зоне сочленения элементов конструкций,

4 Для объемного конечного элемента шестигранной формы предложен векторный способ аппроксимации полей перемещений, позволяющий в полной мере учитывать смещения конечного элемента как жесткого целого,

5 Разработаны основы теории деформирования оболочек как трехмерного тела с учетом геометрической нелинейности при шаговом нагружении,

6 На основе разработанной теории реализован алгоритм формирования матрицы жесткости объемного элемента шестигранной формы в геометрически нелинейной постановке,

7 Разработан алгоритм дискретного продолжения решения по параметру на основе метода конечных элементов в окрестности предельной точки деформирования оболочки в геометрически нелинейной постановке

Практическая ценность диссертационной работы заключается

- в разработке алгоритмов формирования матриц жесткости объемных четырех-, пяти- и шестигранных конечных элементов, за узловые неизвестные которых выбирались перемещения и их первые производные,

- в создании программ для расчета на прочность оболочек и других инженерных конструкций в геометрически линейной и нелинейной постановках, которые могут эффективно использоваться научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, деятельность которых связана с проектированием и эксплуатацией сложных инженерных конструкций,

- в использовании программ для уточненного расчета на прочность конструктивных элементов нефтегазового и химического оборудования, что позволяет проектировать экономически наиболее выгодные конструкции с обеспечением их надежной эксплуатации,

в использовании материалов выполненного исследования, реализующих теоретические результаты диссертационной работы, в программах для РС по расчету на прочность конструктивных элементов нефтегазового и химического оборудования, в ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ», ОАО «ВОЛГОГРАДНЕФТЕМАШ», ОАО

«РЕМГАЗКОМПЛЕКТПОСТАВКА»

Основные научные положения

На защиту выносятся

- основы теории деформирования оболочки как трехмерного тела в геометрически нелинейной постановке при шаговом способе нагружения,

- векторный способ аппроксимации полей перемещений объемного шестигранного конечного элемента,

- новый вариант получения функций формы для четырехгранного и пятигранного конечных элементов, за узловые неизвестные которых выбирались компоненты вектора перемещений и их первые производные,

- алгоритмы формирования матриц жесткости четырех-, пяти- и шестигранных объемных конечных элементов, за узловые неизвестные которых выбирались компоненты вектора перемещений и их первые производные,

- методика определения напряженно-деформированного состояния пересекающихся оболочек с использованием объемных конечных элементов,

- алгоритм учета смещения конструкции как жесткого целого с использованием восьмиузлового шестигранного конечного элемента,

- алгоритм дискретного продолжения по параметру в окрестности предельной точки деформирования оболочек с использованием шестигранного конечного элемента в геометрически нелинейной постановке

Достоверность научных положений обеспечивалась корректной математической постановкой задач при использовании теории упругости, методов вычислительной математики и векторного анализа, сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных конечных элементов, с результатами исследований и экспериментальными данными других авторов Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции Кроме того, достоверность конечных результатов неоднократно была проверена независимо от автора по месту внедрения разработанных программ.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались

- на ежегодных научно-практических конференциях Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии 1999-2005 г г,

- на региональных конференциях молодых исследователей (г Волгоград, 1999-2001 г г),

- в Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии на совместном заседании кафедр «Сопротивление материалов», «Мелиоративное и водохозяйственное строительство», «Прикладная математика и основы научных исследований», «Высшая математика», «Эксплуатация машинно-тракторного парка» (г Волгоград, 2004 г),

- в Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете на расширенном заседании кафедры «Строительная механика» (г Волгоград, 2005 г ),

- на международной научно-практической конференции «Проблемы АПК» (г Волгоград, 2003 г ),

на международной научно-технической конференции «Информационные технологии в образовании, технике и медицине» (г Волгоград, 2000 г),

- на международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» (г Казань, 2000 г ),

- на международной научной конференции «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы (г Москва, 2001 г),

- на международной научно-технической конференции «Эффективные строительные конструкции теория и практика» (г Пенза, 2004 г )

Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертационной работы, опубликованы в 33 научных статьях Из совместных публикаций в диссертацию включены разработки, принадлежащие лично автору Список опубликованных работ приводится в конце данного реферата

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит титульный лист, оглавление, введение, шесть глав основного текста, заключение, список литературы, приложения, изложена на 256 страницах машинописного текста, содержит 14 таблиц и 65 рисунков, библиографический список содержит 343 наименования литературных источников

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность использования метода конечных элементов в исследованиях напряженно-деформированного состояния инженерных конструкций, формулируется цель выполненного исследования, ее научная новизна, практическая ценность и общая характеристика диссертационной работы

Отмечается вклад, который внесли в развитие метода конечных элементов отечественные и зарубежные авторы

В первой главе изложен краткий исторический обзор развития численного метода конечных элементов в задачах исследования напряженно-деформированного состояния инженерных конструкций по опубликованным материалам отечественных и зарубежных авторов

Анализ работ показывает, что к настоящему времени для расчета инженерных конструкций на основе МКЭ используется весьма широкий набор типов конечных элементов с различным количеством узловых варьируемых параметров и видом аппроксимирующих функций Приведенные конкретные примеры расчета на прочность и устойчивость конструкций, для которых имеются аналитические решения или результаты экспериментальных данных, позволяют сделать вывод о достаточной точности разработанных конечных элементов, используемых в инженерной

практике В то же время остается ряд весьма важных проблем, которые требуют принципиально новых решений

Большинство встречающихся на практике оболочек принадлежит к числу тонких оболочек, что позволяет для их прочностного расчета использовать классическую теорию тонких оболочек При классическом подходе к построению теории деформирования оболочечного тела судят по деформированию срединной поверхности, что приводит к решению задачи в двумерной постановке

Использование классической теории в оболочках, у которых толщина стенок не мала по сравнению с радиусом, приводит к значительным погрешностям в расчетах. Значительную трудность представляет собой использование теории тонких оболочек в исследовании напряженно-деформированного состояния оболочек из композитного материала и оболочек ступенчатой толщины, так как в этом случае приходится учитывать деформации сдвига Более совершенной с точки зрения физического смысла является теория, основанная на представлении оболочки как трехмерного тела, так как такое представление оболочки будет более полно отражать ее реальные свойства

Одной из проблем МКЭ является проблема учета смещений конструкции как жесткого целого Учет жесткого смещения дискретных элементов в явной форме предлагался путем построения соответствующих интерполяционных полиномов, посредством разложения функций деформаций и перемещений в степенной ряд с последующим выделением членов ряда, определяющих жесткое смещение элемента Такие приемы и подобные им имеют достаточно узкий диапазон использования и не могут претендовать на общее решение проблемы

При построении функций формы треугольных областей конечных элементов (двумерный треугольный конечный элемент, тетраэдр, конечный элемент в виде треугольной призмы) на основе полных полиномов третьей и пятой степени возникает проблема несоответствия количества узловых варьируемых параметров количеству искомых коэффициентов полных полиномов Для решения этой проблемы используются различные способы такие, как включение дополнительных неизвестных, ограничение степени интерполяционных функций и другие

В подавляющем числе работ отечественных и зарубежных авторов используются дискретные элементы, узловыми неизвестными которых

выбираются компоненты вектора перемещения для объемных конечных элементов и компоненты вектора перемещения с первыми производными для двумерных поверхностей, в то же время ряд исследований указывает на эффективность использования в расчетах более сложных элементов

Геометрические характеристики во внутренних точках элемента аппроксимируются через узловые значения с помощью интерполяционных полиномов, а не вычисляются по точным формулам

Имеется незначительное число опубликованных работ по исследованию напряженно деформированного состояния достаточно тонких оболочек в трехмерной постановке, оболочек со ступенчатым изменением толщины стенок, с учетом накладок, с несовершенством геометрии формы и тп Актуальной задачей по прежнему остается исследование НДС в зоне пересечения оболочек Мало работ по расчету на прочность оболочек с большими градиентами кривизны срединной поверхности и отрицательной гауссовой кривизны

Указанные обстоятельства требуют дальнейшего развития теории метода конечных элементов в исследованиях напряженно деформированного состояния инженерных конструкций в линейной и нелинейной постановках, создания алгоритмов формирования матриц жесткости высокоточных объемных конечных элементов, внедрения разработанных алгоритмов в практику инженерных расчетов

В заключении главы сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе

Во второй главе представлен вывод основных соотношений произвольных непологих оболочек, используемых при формировании матриц жесткости треугольных и четырехугольных криволинейных конечных элементов

Срединная поверхность произвольной непологой оболочки в исходном состоянии задавалась в декартовой системе координат х', л2, х3 векторным уравнением

Г =хк(9"Ук, (к= 1,2,3, а=] 2), (1)

где

Я°- радиус-вектор описывающий срединную поверхность оболочки, хк,1к - соответственно координаты и орты декартовой системы координат,

в" - криволинейные координаты, определяющие положение точек срединной поверхности.

Поочередным дифференцированием (1) по криволинейным координатам да можно получить ковариантные векторы локального базиса ßxk -

al = Raa=^-h (2)

В (2) нижние символы после запятой обозначают дифференцирование по соответствующей координате, а индексы 1,2 соответствуют направлениям ^и в2

Орт нормали к срединной поверхности произвольной оболочки определяется векторным произведением касательных векторов локального базиса

Ковариантные компоненты метрического тензора определяются скалярными произведениями базисных векторов

a«ß=aßa = a« aß (3)

Контравариантные компоненты метрического тензора и контравариантные векторы взаимного базиса

a0aß=^, (4)

Ковариантные и смешанные компоненты тензора кривизны

Ъ1>=а*»Ъ1 (5)

Дифференцированием (2) по криволинейным координатам 9а можно получить производные векторов локального базиса

Положение точки, расположенной на расстоянии С, от срединной поверхности оболочки, определяется радиус-вектором

R0<~R0 + Cа", (б)

где

С, - является переменной величиной, определяющей положение точки в пределах толщины оболочки

В результате дифференцирования (6) можно получить ковариантные векторы базиса

gl = R* = (R° + = % - (7)

Ко- и контравариантные компоненты метрического тензора в исходном состоянии равны

О _ -?0 -0 Оаа _

Saß ~ Sa §ß ' S

« (при аф), (8)

где gD=g°,g¡г-g"гg»

Радиус-вектор, определяющий положение точки срединной поверхности после деформации будет представлен суммой векторов

Я = + (9)

где V - вектор, характеризующий перемещение точки срединной поверхности, определяемый в исходном базисе векторов

V = ма,0 + + -юа0 (10)

Величины и,у,м> являются компонентами вектора перемещений вдоль координатных линий в', в2 и нормали, соответственно

В результате дифференцирования (10) можно получить производные вектора перемещений V по криволинейным координатам &

Ковариантные вектора локального базиса в деформированном состоянии определяются из выражения

зв = Дв = а° + ^ (и)

Положение точки, расположенной на расстоянии С, от срединной поверхности деформированной оболочки, с учетом гипотезы Кирхгофа о прямолинейности нормалей в исходном и деформированном состояниях, определяется радиус-вектором

& = + (12) Дифференцированием (12) по криволинейным координатам 0*можно получить выражения для базисных векторов в деформированном состоянии

+ (13)

где а а производная орта нормали

Ковариантные компоненты тензора деформаций для точки срединной поверхности определяются с использованием соотношений механики сплошной среды

е&^Ъ^-а^У (14)

Деформации в точке, расположенной на расстоянии ¿Г от срединной поверхности оболочки будут равны

е.

( _

= <g«p-s:ßy 2 (15)

Входящие в (15) ковариантные компоненты метрического тензора в деформированном gaß и исходном glß состояниях определяются скалярными произведениями соответствующих базисных векторов

Принимая во внимание (14) и (15) можно записать

£ар ^ХаР '

^аЦ^^ав+СХаЦ, (16)

где

= & Ке + К* КУ2'

Хар=&1 {т

, , г.ОЛ-0

+ ах + ьа ах арУ 2

Контравариантные компоненты тензора напряжений в любой точке оболочки выражаются через ковариантные компоненты тензора деформаций соотношением

где

ст* = + (18)

^(е^ - первый инвариант тензора деформаций,

л, ¡и - параметры Ламе

На основе соотношений (18) можно записать матричное выражение &}=№), (19)

где

{а}= £г",о-22,сг'2 вектор напряжений, ^ }= ( ~ вектор деформаций произвольного слоя оболочки,

[С] — матрица упругости, размером 3x3

С использованием соотношений теории тонких оболочек разработаны алгоритмы формирования матриц жесткости двумерных треугольных и четырехугольных конечных элементов, за узловые неизвестные которых принимались компоненты вектора перемещений их первые и вторые производные, с размерами матриц жесткости 54x54 и 72x72, соответственно

В качестве примера исследовалось напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки конечной длины при действии в вертикальной плоскости в середине пролета двух равных по величине и противоположных по направлению сосредоточенных сил, приложенных по концам одного диаметра

Рассчитывалась достаточно длинная цилиндрическая оболочка с круговым неподкрепленным отверстием на боковой поверхности, растянутая равномерно распределенной по ее торцам нагрузкой. Результаты расчетов сравнивались с экспериментальными данными других авторов

Приводится пример расчета напряженно деформированного состояния осесимметрично нагруженного объемного тела вращения с использованием кольцевых конечных элементов четырехугольного сечения Работа выполнялась по заказу ОАО «Волгограднефтемаш»

В третьей главе с использованием уравнений механики сплошной среды представлен вывод основных соотношений трехмерного тела в линейной постановке, необходимых для формирования матриц жесткости объемных конечных элементов в виде тетраэдра, треугольной призмы и шестигранного восьмиузлового элемента

Положение произвольной точки сплошной трехмерной среды в исходном недеформированном состоянии в декартовой системе координат может быть определено векторным уравнением (рис 1)

В.о=хк<0тХ, 0с,т =1,2,3), (20)

где к - радиус-вектор,

хк ,1к - соответственно переменные и орты декартовой системы координат,

0" - переменные криволинейной системы координат, отличной от декартовой

деформации

Из (20) путем поочередного дифференцирования по криволинейным координатам 9 "' определяются ковариантные векторы локального базиса в исходном состоянии

а 5°

(21)

' дв' ^ *

Ковариантные компоненты метрического тензора определяются скалярными произведениями базисных векторов

„О _ -О -О /т->\

«,у =а} (22)

Производные векторов локального базиса (21) определяются из выражения

= « О»)

Символы Кристоффеля второго рода из (23) определяются через символы Кристоффеля первого рода

Г1к = а Г1,А=Гк}> (24)

где

Г" =-

1/Эя: да.\

* + 'ТТ--!= ^ " символы Кристоффеля первого рода

'с

. ,дх1 ' дх' дх'

Положение точки сплошной среды после деформации будет определяться радиус-вектором К, определяемым как сумма векторов

Л = + К (25)

Ковариантные векторы локального базиса в деформированном состоянии определяются путем дифференцирования (25)

(26)

В результате скалярного произведения (26) определяются компоненты метрического тензора

я, = а,а} = + + + + + (27)

Вектор перемещений произвольной точки сплошной среды может быть определен

Г = 5>+й°у + й>, или У = и"а1, (28)

где и" - проекции вектора перемещений на направления криволинейной системы координат в" (т=1,2,3)

Производные вектора перемещений V в криволинейной системе координат

+ (к=1,2,3), (29)

где //,//,// многочлены, содержащие компоненты вектора перемещений и их первые производные

Ковариантные компоненты тензора деформаций определяются на основе соотношения механики сплошной среды

(3°)

Контравариантные компоненты тензора напряжений для упругого гела определяются через ковариантные компоненты тензора деформаций из уравнения механики сплошной среды

0-4' = Л']тпБтп, (м,т,п= 1,2,3) (31)

где А'1т =Ха0,1а0т + ц <я0шя0" + (32)

а"'' - контравариантные компоненты метрического тензора полученные для исходного состояния

На основе (31) можно записать матричную зависимость между вектором контравариантных компонент тензора напряжений и вектором ковариантных компонент тензора деформаций

М=РМ (33)

где

{о-}= ^ ], о"22°"3з»2 > °"2з > °"31 }Г - вектор напряжений, {е}= {еи,е1г,£13,2е12>2е21,2е„,}Т -вектор деформаций; [С]- матрица упругости размером 6x6

Разработаны алгоритмы формирования матриц жесткости объемных конечных элементов в виде тетраэдра, призмы с треугольным основанием и шестигранного восьмиузлового конечного элемента, за узловые неизвестные которых выбирались компоненты вектора перемещений и их первые производные Предложены новые варианты формирования функций формы для четырехгранного элемента и конечного элемента в виде призмы с треугольным основанием

Объемный конечный элемент в виде произвольного тетраэдра с четырьмя узловыми точками или 1,2,3,4 в глобальной системе

координат х , х2, х3 (рис 2) представляется в локальной системе координат ■ц, С,, изменяющимися в пределах от 0 до +1 (рис 3)

Соотношения между глобальной системой координат х', хг, х3 конечного элемента и локальной системой координат определяется выражением

=< + с*; - *г X+- <У>+<*? - < (34)

где

х" ,х",хЦ - координаты узловых точек в системех1, х2, х3, а - поочередно принимает значения 1,2,3

Из (34) можно получить производные глобальных координат в локальной системе и производные локальных координат в глобальной системе

К

Рис 2 Объемный конечный элемент в виде произвольного тетраэдра в глобальной системе координат х, хг, х3

Рис 3 Тетраэдр в локальной системе координат Е,, Г), С

В каждом узле конечного элемента неизвестными величинами выбирались компоненты вектора перемещений и, V и м> в направлениях осей координатх\ х2 и х3 их первые производные и¡, и2, и,* V¡, V2, V3, V,;, м>2, и>з Вектор перемещений узловых точек конечного элемента в глобальной системе координат имел вид

{'у! - V,ик,и',и\,и\,и\,и\,и'г,и\,ик2,и'г,

' (35)

Для аппроксимации поля перемещений точек внутри конечного элемента использовался полный трехмерный полином третьего порядка 4 = /с, + + къ7) + + к£г + к6%7] + кУ4£ + кгт]2 + к9г/£ + кюС2 + кпе + к^т, + V + ЫП1 + КШ + к^С + к„Лг + (36)

Км1+ ^20 С >

где ки к2, , к2о — искомые коэффициенты

При использовании конечного элемента в виде тетраэдра с первыми производными число неизвестных узловых перемещений будет равно шестнадцати Поэтому для корректного определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующих полиномов в вектор перемещений, кроме узловых компонент вектора перемещений и их первых производных были дополнительно включены четыре смешанные производные второго порядка по направлению нормали к грани 2-3-4, определяемые

выражением

(37)

где

V = Я'е + Ч\ + Ч'с >

q - любая из трех компонент вектора перемещений и, V и м>, п - направление нормали к наклонной плоскости тетраэдра 2-3-4, 1=1,2,3,4 - номера узлов конечного элемента

Вектор узловых неизвестных в локальной системе координат будет иметь вид

Решением системы из двадцати уравнений определяются выражения двадцати аппроксимирующих функций

Производные /г (, И п, И ( из (37), пользуясь методом конечных разностей, можно представить выражениями й^ = й2-й\ й^=й3-й\ й'^ = й4 - й1,

к\=Нг-И\ Ь\=к>-к\ й'=А4-й2,

А (38)

/*3=й2-й3, Ъ\=Ъг-к\ Н\ =А4-й3, '

А4=й2-/г4, й'7=й3-й4, й^=й4-й'

Вектор узловых неизвестных \ содержащий двадцать компонент с учетом (39) можно выразить через вектор с шестнадцатью компонентами

чу > \т чУ(39)

20x1 20x16 16x1

где

Чу ) = Ч1 ,Чк,Я1 Л>^г>ч'л>У*' '9,*=,Я,с,.Чкс,^ ] Используя (39) выражение для любой компоненты вектора перемещения можно представить

(40)

где

UyJ> 1x16 16^1

%/f - вектор-строка шестнадцати аппроксимирующих функций

ЙЛ6

ри представлении трехмерного континуума дискретнои моделью часто возникает необходимость использования элементов в виде треугольной призмы (рис 4) Для выполнения численного интегрирования по объему конечного элемента произвольная треугольная призма в глобальной системе координат х', х2, х3 отображается на треугольную призму в локальной системе координат £ г/, ¿¡, (рис 5) с координатами узлов i(0,0,-l), j(l,0,-1), к(0,1,-1), 1(0,0,1), т(1,0,1), п(0,1,1) Зависимость между координатами х', х2, х' и локальными £ 7, С конечного элемента определяется соотношением

ill (41)

«Л е чО + О «Л + О * о + о + < (1 - £ - +x +

где х", ,х°- координаты узловых точек в системе х1, х2, х\ а= 1,2,3

Из (41) определяются производные х',х2,х3- координат в локальной системе координат и производные локальных координат в

координатной системе x',xz,x3

За узловые неизвестные конечного элемента выбирались компоненты вектора перемещений и, v и w в направлениях осей координат х', х и х3 их первые производные uh и2, п,з, vj, v>2, v3, wj, w,2, в угловых точках Таким образом, вектор перемещений узловых точек конечного элемента в глобальной системе координат будет иметь вид

Yyi = V ,uJ ,ик ,м' ,ит ,и" ,и\,и{,и1,и\,и1}и\,

1X72 ' ' (42)

Рис 5 Конечный элемент в виде треугольной призмы в системе координат 7, С,

Для аппроксимации поля перемещений внутренней точки конечного элемента через его узловые значения в треугольной призме используются два типа функций формы

Для аппроксимации полей перемещений внутренних точек в координатах £ т\ конечного элемента использовался полный алгебраический полином третьей степени, который в этом случае будет содержать десять членов

г,) = к, + + кгг, + к£г + кДу + кдг + ' + + к£гЧ + к£т1г где к,, ,км — неизвестные коэффициенты

Для получения дополнительного условия, необходимого для определения всех коэффициентов аппроксимирующих функций в вектор узловых неизвестных, кроме узловых перемещений и их первых производных добавлялась смешанная производная перемещения узла

Вектор узловых неизвестных в этом случае будет иметь следующую структуру

)= Ч'л1 л" ), (44)

1*10

В результате количество неизвестных оказывалось равным числу уравнений полученной системы

Перемещение внутренней точки элемента можно выразить через узловые неизвестные матричным соотношением

Ч = (45)

1*10 ¡„и,

Смешанную производную перемещения первого узла с

использованием метода конечных разностей в локальной системе координат можно выразить через первые производные узловых перемещений

(46)

С использованием (46) вектор-столбец узловых перемещений с десятью компонентами $ можно определить через вектор-столбец

1чЮ

•&Д = } имеющий только девять составляющих

!т»

компонент

(47)

1*10 10*9 9*1

где [/,] - матрица преобразования

Принимая во внимание (47) выражение (45) примет вид Я = (48)

1*9 9x1

где {<р}т = {§■/ {!]

1*10 10*9

Перемещение внутренней точки (48) в развернутом виде будет определяться выражением

?=<?,<&»/)?' + +ол,лУ1к +

+ ОД,^ + ОМ,IX + + (49)

где С,, , О» - аппроксимирующие функции для треугольной области конечного элемента

С учетом (49) перемещение внутренних точек призматического конечного элемента с треугольным основанием в локальной системе координат будет определяться через перемещения узловых точек

9 = О?'+о^шя+ом^ШЪ" +

+ с?4<£,77^(0?;, + + + (50)

+ оллШЪл + а&чъвуд + о6(ё,пУь(£У1", +

п

+

(51)

+ С7(£,77)М0?,;++ о^лШХ, + + + ^(^УьСО^ + +

+ е^ЖСО^ + о^ШУ]" + о^шСЖс,

где 3(0^4<0 полиномы Эрмитатретьей степени

4 4

В качестве объемного шестигранного конечного элемента выбирался произвольный восьмиузловой элемент с узловыми точками 1(1), 2(]),3(к), 4(1), 5(т), 6(п), 7(р), 8(к) (рис 6) Положение узловых точек конечного элемента определялось тремя координатами - х1, х2, х3

Для выполнения численного интегрирования по объему конечного элемента произвольный восьмиузловой элемент отображался на куб в системе координат Е,, (рис 7) Локальные координаты кубического элемента изменялись в пределах -1< < 1

Зависимость между глобальными координатами х',х2,х3 и локальными 4 п> С конечного элемента определяется выражением

г« {хл+оъ-т-о ^

.0+00+17)0-0, ..О-ОО+^О-О,

+ X.--Н X,--г

8 ' 8

0-00-77)0 + 0, .0-00-77)0+0,

-г Хм--г X--г

0-00-77)0 + 0 0-00-77)0+0

+ л„--н х.-,

(52)

где а= 1,2,3,

х",х",х",х"х" - координаты узловых точек конечного элемента в глобальной системе координат

Дифференцированием (52) определялись производные х ,х2,х3 -координат в локальной системе координат и производные локальных координат в глобальной системе

Рис 6 Произвольный восьмиузловой конечный элемент в системе координат х', х2, х3

Рис 7 Восьмиузловой конечный элемент в системе координат

Вектор перемещений узловых точек конечного элемента в глобальной системе координат будет иметь вид

9бд ' ' (53)

Перемещения внутренних точек конечного элемента определяются через перемещения узловых точек с помощью аппроксимирующих функций <7 = <ИЧД (54)

1132 32*1

где - вектор-строка тридцати двух аппроксимирующих функций,

1г32

основанных на полиномах Эрмита третьей степени

Матрицы жесткости выше перечисленных объемных конечных элементов формировались на основе условия равенства работ внутренних и

внешних сил Интегрирование, необходимое при формировании матриц жесткости конечных элементов выполнялось численно

В качестве примера расчета исследовалось напряженно-деформированное состояние объемного тела при действии на него сосредоточенной силы (рис 8) Были приняты следующие исходные данные величина сосредоточенной силы Р=39 2 104 Н, сторона куба а—3 05 м Расчет выполнялся в трех вариантах в первом расчет выполнялся с использованием конечного элемента в виде тетраэдра, во втором использовался конечный элемент в виде треугольной призмы, в третьем результаты расчета получены при использовании восьмиузлового конечного элемента

Рис 8 Задача о действии сосредоточенной силы на объемное тело на примере использования конечного элемента в виде треугольной призмы

Результаты расчетов внесены в таблицу № 1. В таблице приводятся величины вертикального перемещения куба под силой в метрах при различном количестве конечных элементов дискретной сетки При дискретизации объема отдельными тетраэдрами и треугольными призмами вначале пространство разбивалось на отдельные объемные прямоугольники, которые затем разбивались на пять тетраэдров или две призмы В 3-й колонке таблицы приводятся результаты, полученные с использованием тетраэдальных конечных элементов, в 4-й с использованием элемента в виде треугольной призмы, в 5-й с использованием шестигранных конечных элементов Во всех вариантах проверялась сходимость вычислительного процесса с различным числом точек интегрирования Наблюдается

сходимость вычислительного процесса при увеличении числа дискретных элементов, также видно, что результаты расчетов, полученные различными конечными элементами, практически совпадают, что говорит о достаточной точности разработанных алгоритмов

Таблица 1

№ г п Размер конечно-элементной сетки Величина вертикального перемещения куба под силой №х10"6м

Тетраэдр Треугольная призма Восьмиугольный Элемент

1 1x1x1 38 33 35

2 2x2x2 48 68 65

3 3x3x3 69 10 5 102

4 4x4x4 92 14 2 13 9

5 5x5x5 115 179 175

6 5x5x6 119 180 17 8

7 5x5x10 12 3 18 4 18 1

8 6x6x6 13 8 21 5 212

Рассчитывалась цилиндрическая тонкостенная оболочка, представленная объемными восьмиузловыми конечными элементами Оболочка загружалась двумя равными по величине и противоположно направленными сосредоточенными силами, приложенными по концам одного диаметра (рис 9) За исходные данные приняты радиус срединной поверхности Я=4 953 м, длина цилиндра Ь=1035 м, модуль упругости материала Е=10 5х 106 кПа, коэффициент Пуассона у=0 31, толщина стенки цилиндра Ь=0 094 м, величина сжимающей силы Р=100 кН С учетом трех плоскостей симметрии, расчет сводился к исследованию восьмой части оболочки Результаты расчета представлены в таблице № 2 В таблице приводятся величины прогиба оболочки в точке приложения сосредоточенных сил в зависимости от количества конечных элементов дискретной сетки Результаты расчета сравнивались со значениями, полученными в главе 2 с использованием двумерных дискретных элементов

Как видно го примера результаты, полученные с использованием объемного восьмиузлового конечного элемента и с использованием двумерных конечных элементов, практически совпадают Количество дискретных элементов, взятых по толщине на результат расчета, практически не влияет Однако, как было уже сказано, при классическом подходе к

построению теории деформирования оболочечного тела судят по деформированию срединной поверхности, что приводит к их расчету в двумерной постановке Использование же теории тонких оболочек в исследовании напряженно-деформированного состояния слоистых оболочек, оболочек ступенчатой толщины, оболочек с накладками и т д приводит к определенным трудностям, так как в этом случае приходится учитывать деформации сдвига Теория, основанная на представлении оболочки как трехмерного тела, является более совершенной с точки зрения физического смысла и позволяет избежать перечисленных трудностей, так как в расчетах используются полные тензоры напряжений и деформаций Кроме того, нет необходимости условного деления оболочек на класс тонких, оболочек средней толщины и толстых

Рис 9 Цилиндрическая оболочка, сжатая в середине пролета сосредоточенными силами

Таблица 2

№ п п Количество двумерных конечных элементов Прогиб оболочки под силой, м Количество объемных конечных элементов Прогиб оболочки под силой,м

1 1x1 0,11046 1x1x1 0,00064

2 2x2 0,11765 3x3x3 0,05812

3 3x6 0,11817 1x3x3 0,05846

4 5x14 0,11810 1x10x10 0,11207

5 6x20 0,11807 1x12x12 0,11339

6 1x14x14 0,11431

В главе также приводятся примеры расчета других тонкостенных оболочек, представленных объемными конечными элементами Приведен пример расчета защемленной панели, загруженной линейной нагрузкой результаты расчета сравнивались с аналитическим решением Приведены примеры практических задач по расчету на прочность корпуса шарового крана по заказу ОАО «Волгограднефтемаш» и шарового резервуара с несовершенством геометрии по заказу Самарского филиала ОАО «Оргэнергонефть»

В четвертой главе изложен вывод основных соотношений для пересекающихся оболочек Для разработанного шестигранного конечного элемента на линии сочленения двух оболочек получены соотношения для выражения узловых неизвестных одной оболочки через соответствующие неизвестные другой оболочки

Для описания геометрии двух пересекающихся под прямым углом цилиндрических оболочек вводятся две системы координат х,у,г для основной оболочки с радиусом г и толщиной г и х'.У.г1 для примыкающего патрубка с радиусом г' и толщиной Г1 (г>г) (рис 10) Здесь и далее символы без штриха будут относиться к параметрам основной оболочки, со штрихом к патрубку

г'

Рис 10 Пересечение цилиндрических оболочек

Положение произвольных точек основной оболочки и примыкающей, будет определяться в криволинейных системах координат х, в, г и У, в, / радиус- векторами, соответственно для основной оболочки

Я = хТ + г5тв ] + гсоъвк (55)

и для примыкающей оболочки

К1 = х'1' + г' ътв' У + г' соьв' к1 (56)

Дифференцированием (55) и (56) по криволинейным координатам можно получить ковариантные векторы локального базиса основной и примыкающей оболочек

В зоне примыкания оболочек можно получить матричное выражение векторов локального базиса основной оболочки через векторы локального базиса примыкающей

(57)

где [А]- матрица преобразования

В точках, расположенных на гранях сопряжения оболочек, вводятся следующие векторы узловых неизвестных для основной оболочки и примыкающей, соответственно

= (58)

{и'; } = 1 (59)

где цифрам 1,2,3 соответствуют направления координат х, в, г и х , в, /

При составлении матрицы жесткости системы в узлах, расположенных на гранях сопряжения, в качестве неизвестных принимались компоненты вектора (59) После формирования матрицы жесткости конечного элемента примыкающей оболочки, узлы которого расположены на грани сопряжения, выполняется преобразование указанной матрицы жесткости конечного элемента и вектора усилий рассматриваемого элемента, обусловленное переходом от вектора узловых неизвестных (59) к вектору (58)

Вектор перемещений точки, расположенной на грани сопряжения можно представить компонентами, отнесенными к базисам векторов {з°3 и

V = «3® + ш2° + м>ай3, V1 = и'а°' + у'Й20' + м/а*', (60)

На основе (60) компоненты вектора примыкающей оболочки выражаются через компоненты вектора основной оболочки

и' =vrsme-wcos#,

v' + vrcos0-^-cose; + wsm0-i-cos0', (61)

r r r

w' = ucos6' + wcos#sm0' + wsm0sm#'

Производные вектора перемещений точки, расположенной на грани пересечения оболочек по направлениям х',в' ,г' примыкающей оболочки в системе координат х,9,г основной оболочки определяются по формуле

V'j^aJgradV, (62)

где gradV = к х + amV0 + amVr - вектор градиент векторного поля перемещения, (/=1АЗ)

Из (62) получим

Vj = 3е/0*% + а°% + 503Fr) (63)

На основе (63) получаются зависимости производных компонент вектора перемещений на грани пересечения основной оболочки с примыкающей

Вектор узловых неизвестных примыкающей оболочки с использованием (61), (63) можно выразить через вектор узловых неизвестных основной оболочки

УуГ I = Шу ] (64)

Матрица жесткости конечного элемента примыкающей оболочки на границе примыкания к основной получается преобразованием

IS^MtfVlz] (65)

В качестве примера расчета исследовалось напряженно деформированное состояние в зоне сочленения двух ортогонально пересекающихся цилиндрических оболочек, находящихся под действием внутреннего давления Были приняты следующие исходные данные г=0 127 м, /=0 064 м, /=0 00254 м, /=0 00127 м, модуль упругости материала £=2x108 кПа, коэффициент Пуассона v=0 3, величина внутреннего давления q-3 445 кПа Вследствие наличия двух плоскостей симметрии в расчете рассматривалась четвертая часть конструкции Изменением количества конечных элементов дискретной модели проверялась сходимость вычислительного процесса

ст, даН/см 1200 ■

ст, даН/см2

aoo 400

о

i

-400 -800 -1200 -1600 -2000 -2400

/р ^

,0 •/ 1. 0 2, 0 з,

\

\

V

V

\ \ \ ь

\ у • Ч о»

,0 0 5 ^ о m i У г.

РИС 11

Рис 12

er, даН/см 1200

400

\

(X с <о

/ » ч ^ t>„ •-Л?

.01 1, Г 0 2, 0 3, 0 4 0 S,

I

er, даН/см 1600

{ V

\ \

\ . > I

\ • \ « 1.

,0 \ • в 0 2 у/ 3 0 4 X, 0

Рис 13

Рис 14

На рисунках 11-14 представлены расчетные кривые изменения меридиональных (сплошные линии) и кольцевых (пунктирные линии) напряжений в продольном сечении рассчитываемой конструкции На рисунках 11 и 12 изображены графики изменения напряжений во внутренних и наружных волокнах примыкающего цилиндра, соответственно, а на рисунках 13 и14-тоже самое для основного цилиндра Экспериментальные значения кольцевых напряжений обозначены светлыми кружками, меридиональных - темными кружками

Анализ полученных графиков показывает удовлетворительное соответствие значений напряжений, определенных с использованием описанного алгоритма и полученных экспериментально

В пятой главе разработан алгоритм формирования матрицы жесткости шестигранного конечного элемента с векторной аппроксимацией полей перемещений для исследований напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций при значительном смещении их как жесткого целого За узловые неизвестные конечного элемента в этом случае выбирались векторы перемещений узловых точек и их первые производные

(66)

1x32

Вектор перемещений внутренней точки объемного восьмиузлового конечного элемента с использованием полиномов Эрмита третьей степени аппроксимируется через вектор-столбец узловых перемещений

^ = П7} (67)

1x32

32x1

т

где {(//} - вектор-строка аппроксимирующих функций

Компоненты вектора перемещений в локальной системе координат ¿;,т], £ выражаются через компоненты вектора перемещений в глобальной системе координат д1,9г,дъ

г;7}= Ш¥УГ} (68)

у У l^J < у

32x1 32x32 32x1

где

[I]- матрица преобразования координат

С использованием (29), (30) можно получить зависимости для векторов узловых точек конечного элемента, которые в матричном виде представляются следующим образом

¥> }= И] Щ) (69)

32x1 32x96 96x1

где И] ~ матрица, ненулевыми элементами которой являются векторы базисов узловых точек конечного элемента,

.,и\ У, ,«\ ,«', V,- ,/,"> ,/,*, } (70)

Учитывая равенства (68) и (69), соотношение (67) можно привести к

виду

из [<?]{/■;} (71>

1x32 32*9696x96 9вх1

где

ИЙ]=ЙИ (72)

^2x32 32x96 3>96 96x96 -

!екторы базисов узловых точек, определяющие матрицу можно выразить через базисные векторы внутренней точки конечного элемента, в результате матрицу И] можно представить

ЙЖК + И.Й + ИзК, (73)

С учетом (73) зависимость (71) может быть записана в виде

V = <[4К + [ЛМ + \AMWWy ) (74)

Приравнивая правые части выражений (74) и (28) можно получить формулы для каждой компоненты вектора перемещений произвольной точки

(75)

Последовательным дифференцированием (75) по криволинейным координатам и приравниванием правых частей полученных равенств и (29), определяются интерполяционные зависимости производных компонент вектора перемещений

/»=КЛгИЛСр//) (76)

где кт=1,2,3.

Столбец неизвестных {/^ } можно представить выражением #>[*]{<) (77)

где f = #,и},ик,и',ит,и",ир,ик,и\, ,и'2, ,к'3, }-вектор-

строка компонент вектора узловых перемещений, [Ж] - матрица перехода, размером 96x96

Выражения (75), (76) с использованием (77) можно представить через обычный столбец узловых неизвестных Таким образом, в отличие от интерполяционных зависимостей, в которых каждая компонента вектора перемещений внутренней точки конечного элемента аппроксимируется

узловыми значениями этой же компоненты и ее производными, в соотношениях (75) и (76) любая из трех компонент вектора перемещений зависит от всех составляющих компонент узлового вектора.

Преимущество разработанной векторной аппроксимации полей перемещений объемного шестигранного элемента в сравнении с классическим способом, основанном на независимой интерполяции компонент вектора перемещений, подтверждается конкретными численными примерами

В качестве одного из них рассматривалась оболочка, срединная поверхность которой представляет собой форму усеченного эллипсоида вращения Оболочка нагружалась равномерно распределенным внутренним давлением интенсивности #=4 0 мПа (рис 15) Были приняты следующие исходные данные А=1 0 м, В=0 5 м, £Ю 9 м, Е=2 105 мПа, 3, й=0 01 м, (А и В являются главными полуосями эллипса)

Расчеты выполнялись в двух вариантах в первом реализовывалась традиционная независимая аппроксимация полей перемещений, во втором -предложенная векторная аппроксимация. В качестве элемента дискретизации использовался восьмиузловой объемный конечный элемент с матрицей жесткости 96x96

Величины кольцевых напряжений оболочки при х=0,9 м в зависимости от величины смещения конструкции А как жесткого целого приводятся в таблице № 9 Анализ табличного материала показывает, что результаты вычислений в первом и втором вариантах расчета при жестком закреплении оболочки (Л=0 0 м) практически одинаковы и при достаточном числе конечных элементов совпадают с аналитическим решением А при незначительном смещении оболочки как жесткого целого результаты напряжений, полученные с использованием традиционной независимой аппроксимации отличаются от первоначальных и с увеличением А становятся неприемлемыми В то время как напряжения, вычисленные с использованием векторного способа аппроксимации остаются постоянными независимо от А, и лишь при величине смещения 4,8 м, что больше чем в пять раз превышает размеры самой конструкции, несколько отличаются от полученных аналитически

Табгица3

Величина жесткого смещения Д, м Кольцевые напряжения ак, мПа

Вариант расчета

1 II

ООО 126 2 125 6

001 99 7 125 6

0 03 42 1 125 6

0 05 -6 02 125 6

4 80 -2056 5 124 7

Аналитическое решение 0^=125,! мПа Таким образом, использование векторной аппроксимации полей перемещений конечного элемента позволяет эффективно исследовать напряженно-деформированное состояние конструкций при смещении их как жесткого целого

В шестой главе изложен вывод основных соотношений теории деформирования оболочек как трехмерных тел в геометрически нелинейной постановке при шаговом нагружении

При выводе основных соотношений рассматриваются три состояния системы Первое - начальное или исходное, в котором положение произвольной точки сплошной среды ь£ определяется радиус вектором К" (рис 16) Второе - деформированное состояние после] - шагов нагружения В результате чего точка М° займет новое положение М, определяемое радиус-вектором Л И третье состояние системы, близкое ко второму -

деформированное после 0+1)-го шага нагружения. Точка М в третьем

* ~ *

состоянии занимает положение М, определяемое радиус-вектором к .

Перемещение точки Л/' из первого состояния во второе - в положение точки М - будет характеризоваться суммарным вектором перемещения за ] шагов нагружения V, а из второго состояния в третье - шаговым вектором перемещения А V

Векторы ах,аг,а3 и а\ представляют собой

ковариантные векторы локальных базисов произвольной точки сплошной среды в трех рассматриваемых состояниях соответственно.

деформации при шаговом нагружении конструкции

Радиус-вектор К0 точки в исходном состоянии, определяется векторным уравнением (21) Поочередным дифференцированием радиуса-вектора Я" выражаются ковариантные векторы локального базиса (22) После чего определяются ковариантные и контравариантные компоненты метрического тензора в исходном и деформированном состояниях Вектор перемещений V произвольной точки сплошной среды в этом случае будет являться суммарным вектором перемещения за у шагов нагружения

Выражения суммарного тензора деформаций за} шагов нагружения определяются по формуле

= + 3°я?я + ¥тУ„I (т,п = 1,2,3) (78)

где

V, (г = 1,2,3)-производные суммарного вектора перемещений зау шагов нагружения в глобальной системе координат

Радиус-векторы, определяющие положение точек М и М* после у и (/+7)-ом шагов нагружения, будут равны (рис 16)

Д = Я'=Я + АУ Я' =]г0 + Г + АГ (79)

Вектор перемещений точки на шаге нагружения

А У = а?Аи,+а°гАи2+а°Аи\ (80)

где

Ли" -приращения компонентов вектора перемещения на ()+1)-ом шаге нагружения (а = 1,2,3)

Дифференцированием (79) по глобальным координатам можно определить ковариантные векторы локального базиса после (¡+1)-го шага нагружения

з;=Л'в = гв+Д?<| , (81)

где АУа = а^ аАир + а^Аи^ - производные вектора перемещений на шаге нагружения

Ковариантные компоненты тензора приращения деформаций на 0+1)-ом шаге нагружения определяются на основе соотношения

Л^Л^-аД (82)

где

= а, а}, я* = а' а) (83)

Ковариантные векторы базисов после ] шагов и (¡+1) -го шага нагружения

К = К = и + «^А3 (84)

Из (82) можно получить

А*- + + 0.° + + А^Л^] (85)

Приращения напряжений на шаге нагружения определяются матричным выражением

(86)

где

{Д<т}= ■^о-п,Асг22,Дст33,Д(Т12,Асг23,Ао'31/- вектор приращений напряжений,

$Ае}={Аеп,Ае21,Аегъ,2Аеп,2А£г1,2А£-3,,}т -вектор приращений

деформаций,

[С]- матрица упругости

Закон сохранения энергии статически нагружаемого тела в приращениях может быть записан в виде равенства

/Цст/ + к{Аа}т У,Ае}с1У = J{Av>г [{?}+ к {АРМ, (87)

С 5

где

{Р \ {АР} - вектор нагрузок и их приращений, ■{Л vf = {Ли,Ат,Лм'} - вектор приращений перемещений Значение коэффициента к принимается равным 1/2 Вектор приращений перемещений {АУ} внутренней точки конечного элемента определяется через вектор приращений узловых перемещений

{т=[АШУг1 (88)

где

[А] - диагональная матрица, элементами которой являются векторы-строки аппроксимирующих функций,

ЬУу }- вектор приращений узловых неизвестных конечного элемента Выделяя в приращениях деформаций линейную и нелинейную части вектор приращений {Аг}можно представить суммой

1Ае}=&ел}+&ен1 (89)

где элементы матрицы Ье" ] зависят от компонент вектора перемещений {ДК} и не зависят от компонент вектора перемещений {К} за предыдущие шаги нагружения, элементы матрицы ] зависят от всех указанных компонент

Матрицу $ел ] можно представить в виде

(90)

Используя (89), (90), из (87) можно получить

<АК ? к 011авуу^гуг}+ }т руаг=

(91)

= ¡[А] [{Р}+ к{АР}11.<; - } {ег}ЛК

5 V

Здесь -^Уу ] - вектор приращений узловых смещений на (¡+1)-м шаге нагружения

В качестве примера рассчитывалась тонкостенная цилиндрическая панель, загруженная в середине пролета линейной нагрузкой интенсивностью д (рис 17) Были использованы следующие исходные данные внутренний радиус г=4 953 м, ширина панели Ь=1 0 м, модуль упругости материала Е= 1 05х107 кПа, коэффициент Пуассона у=0 27, юлщина стенки цилиндра к=0 094 м

На рисунке 18 штриховой линией показан график изменения прогиба оболочки от величины линейной нагрузки, сплошной линией показано решение в линейной постановке Численные результаты расчета приведены в таблице 4

Рис 18 График зависимости между прогибом оболочки и величиной нагрузки

Таблица 4

№ п п, Кол-во шагов Величина нагрузки на шаге нагружения АР, кН/м Вертикальный прогиб, м

За один шаг Аы Суммарный V

1 2 3 4

1 20 0 0050 0 0050

2 40 0 0055 0 0105

3 60 0 0056 0 0161

1 2 3 4

4 80 0 0061 0 0223

5 100 0 0064 0 0286

6 120 0 0069 0 0356

7 140 0 0073 0 0429

8 160 0 0079 0 0508

9 180 0 0085 0 0593

10 200 0 0092 0 0685

И 220 0 0099 0 0784

12 240 0 0109 0 0892

13 260 0 0119 01011

14 280 0 0132 0 1143

15 300 0 0146 0 1289

16 320 0 0164 0 1453

17 340 00187 0 1639

18 360 0 0216 0 1856

19 380 0 0256 0 2112

20 400 0 0312 0 2424

21 420 0 0399 0 2824

22 440 0 0553 0 3376

23 460 0 0875 0 4251

24 480 0 1827 0 6078

25 500 0 7451 1 3529

В примере расчета цилиндрической панели с защемленными концами загруженной линейной нагрузкой, результаты расчета сравнивались с экспериментальными данными других авторов Анализ полученных графиков показывает удовлетворительное соответствие значений перемещений, определенных с использованием описанного алгоритма и полученных экспериментально Здесь же приводится алгоритм дискретного продолжения решения по параметру в окрестности предельной точки деформирования оболочки на основе метода конечных элементов в геометрически нелинейной постановке Приводится пример расчета

Заключение

На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы

1 Разработаны алгоритмы формирования матриц жесткости высокоточных конечных элементов в виде тетраэдра, треугольной призмы и восьмиузлового шестигранника За узловые неизвестные трехмерных конечных элементов выбирались компоненты вектора перемещения и их первые производные С использованием разработанных конечных элементов решен ряд тестовых и практических задач по расчету на прочность

2 Предложены новые варианты формирования функций формы для конечных элементов в виде тетраэдра и призмы с треугольным основанием, основанные на включении в вектор узловых варьируемых параметров дополнительных смешанных производных перемещений высшего порядка с последующим выражением их через производные более низкого порядка методом конечных разностей Приводятся примеры расчета напряженно-деформированного состояния объемных трехмерных тел и примеры расчета тонкостенных оболочек в трехмерной постановке с использованием основных соотношений теории упругости

3 Для восьмиузлового шестигранного конечного элемента на линии сочленения двух оболочек получены соотношения для выражения узловых неизвестных одной оболочки через соответствующие неизвестные другой оболочки Приведен пример расчета пересекающихся оболочек и оболочки с круговым отверстием

4 Предложен принципиально новый способ векторной интерполяции перемещений, в котором на этапе формирования интерполяционного выражения аппроксимируется непосредственно вектор перемещений внутренней точки конечного элемента через векторы перемещений узловых точек и их производные Показано, что использование векторной аппроксимации полей перемещений в конечно-элементном анализе напряженно-деформированного состояния конструкций позволяет корректно учитывать смещения дискретного элемента как жесткого целого в неявном виде

5 Получены основные соотношения теории деформирования тонкостенной оболочки как трехмерного тела в геометрически нелинейной постановке при шаговом нагружении

6 На основе соотношений теории деформирования трехмерного тела в геометрически нелинейной постановке разработан алгоритм формирования матрицы жесткости восьмиузлового конечного элемента, за узловые неизвестные которого выбирались приращения компонентов вектора перемещений и их первые производные

7 Разработан алгоритм метода дискретного продолжения по параметру в окрестности особой точки деформированной оболочки на основе метода конечных элементов в геометрически нелинейной постановке задачи

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1 Клочков, Ю В Особенности формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента размером 54x54 / Ю В Клочков, А П Николаев, А П Киселёв//Изв вузов, сер Строительство -1998 -№ 2 - С 32-37.

2 Клочков, Ю В. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 72x72 для расчета оболочечных конструкций / Ю В Клочков, А П Николаев, А П Киселёв // Изв вузов, сер Строительство -1998 -№4-5 -С 36-41

3 Николаев, А П Решение проблемы учета смещения конечного элемента как жесткого целого на основе векторной интерполяции полей перемещений / А П Николаев, Ю В Клочков, А П Киселев // Изв вузов, сер Машиностроение -1998 - № 1-3 - С 3-8

4 Николаев, А П Треугольный конечный элемент произвольной непологой оболочки с матрицей 54x54 при учете смещений как жесткого целого / А П Николаев, Ю В Клочков, А П Киселев // Изв Вузов Сев -кавказский регион Техн науки -1999 -№2 -с 80-84

5 Николаев, А П О функциях формы в алгоритмах формирования магрицы жесткости в треугольном конечном элементе / А П Николаев, Ю В Клочков, А П Киселев // Изв вузов, сер Строительство - 1999 - № 10 -С 23-27

6 Николаев, А П Вариант получения функций формы тетраэдального конечного элемента с первыми производными узловых перемещений / А П Николаев, А П Киселев, С H Дейнего // Труды междунар научн конф «Актуальные проблемы механики оболочек» - Казань, 2000. - С 218-219

7 Киселев, А П Восьмиугольный конечный элемент для расчета толстостенных оболочек вращения / А. П Киселев, А П Николаев, В H

Юшкин // Сб трудов междунар научно-техн конф. «Актуальные проблемы механики оболочек» - Казань, 2000 - С 27-30

8 Киселев, А П Функции формы объемных конечных элементов / А П Киселев, А П. Николаев // Сб междунар научно-техн конф «Информационные технологии в образовании, технике и медицине» -Волгоград - ч 2-2000 -С 110-113

9 Николаев, А П Использование теории упругости трехмерного тела в расчетах оболочек / А П Николаев, А П Киселев // Сб. трудов междунар научной конф «Архитектура и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы» -Москва, 2001 -С 58-59

10 Николаев, А П Расчет оболочек с использованием трехмерных конечных элементов в виде треугольной призмы и восьмиугольника / А П Николаев, А П. Киселев // Сб трудов междунар научной конф «Архитектура и прочностной расчет тонкостенных строительны> и машиностроительных конструкций сложной формы». - 2001. - С. 319-323

11 Киселёв, А П Восьмиугольный конечный элемент для расчета на прочность участков соединения труб водохозяйственного назначения / А П Киселёв, В Н. Юшкин // Материалы V регион конф. молодых исследователей Волгогр обл - Волгоград, 2001

12 Николаев, А П Расчет на прочность грунтовых плотин на основе метода конечных элементов / А П Николаев, А П. Киселёв, С С Марченко // Матер междунар научно-практ конф «Проблемы научного обеспечения экономической эффективности орошаемого земледелия в рыночных условиях».-г Волгоград,2001 -С 28-29

13 Николаев, А П Аппроксимация в методе конечных элементов в приложениях к векторным полям / А П Николаев, А П Киселёв // Материалы международной конф «Естествознание на рубеже столетий» - т 1,техн науки - Москва,2001 -С 54-55

14 Николаев, А П Использование деформационной теории пластичности в восьмиугольном конечном элементе трехмерного континуума / А П Николаев, А П Киселев, В Н Юшкин // Межвуз сб научных трудов «Концептуальное проектирование в образовании, технике и технологию) -Волгоград, 2001 -С. 131-136

15 Киселев, А П Объемный конечный элемент в форме треугольной призмы / А П Киселев, А П Николаев // Межвуз сб научных трудов

«Концептуальное проектирование в образовании, технике и технологии» -Волгоград, 2001 -С 137-141

16 Николаев, АПК расчету оболочек на основе метода конечных элементов / А П Николаев, А П Киселёв // Вестник Российского университета дружбы народов, сер Инж исследования - 2002 - № 1 - С 107-111

17 Николаев, А П Решение задачи нелинейного деформирования оболочки на основе МКЭ при наличии особой точки / А П. Николаев, А П Киселев // Деп в ВИНИТИ 26 12 2002, - № 2262- В2002

18 Киселев, А П Уравнения функции формы треугольного и тетраэдального конечных элементов / А П Киселёв, А П Николаев // Научный вестник, сер Инж науки - №3 - ВГСХА, 2002 -С 170-174

19 Николаев, А П Напряженно-деформированное состояние в зоне сочленения двух цилиндрических оболочек / А П Николаев, А. П Киселев, В Н Юшкин // Научный вестник, сер Инж науки - №3 - ВГСХА, 2002 С 167-170

20 Николаев, А П Конечно-элементное представление тензорных полей в криволинейных системах координат/ А П Николаев, Ю В Клочков, А П Киселев // Успехи современного естествознания -2003 -№1—С7-11

21 Киселев, А П Сравнительный анализ результатов прочностного расчета тонкостенных оболочек с использованием двумерных и трехмерных конечных элементов / А П Киселев // Матер междунар научно-практ конф «Проблемы АПК», сер Инж науки - ВГСХА, 2003 -С 175-176

22 Киселёв, А П Инженерное обследование и выполнение прочностных расчетов эксплуатируемых гидросооружений / А П Киселев, А П Николаев // Научный вестник, сер Инж науки - № 4 - ВГСХА -Волгоград, 2003 - С 86-88

23 Киселев, А П Формирование матрицы жесткости конечного элемента в геометрически нелинейной постановке / А П Киселёв // Матер III междунар научно-техн конф «Эффективные строительные конструкции теория и практика» - Пенза, 2004 - С 367-370

24 Киселев, А П Деформационная теория пластичности при использовании трехмерных конечных элементов / А П Киселев // Матер междунар научн-практ конф «Современные оросительные мелиорации -состояние и перспективы» - Волгоград, 2004 - С 129-132

25 Николаев, А П. Расчет многослойных оболочек на основе метода конечных элементов / А П Николаев, А П Киселёв, Р. 3 Киселёва // Научныесообщ клуба докторов наук -№14 - Волгоград, 2005 -С 21-23

26 Николаев, А П Определение напряжений в стенках изотермического резервуара для транспортировки сжиженного газа в местах действия опор / А П Николаев, Н Г Бандурин, А П Киселев, А А. Сизых И Изв Вузов. Сев -Кавказский регион Техн. науки - 2005 - №2 - С 54-57

27 Николаев, А П. Расчет оболочек в трехмерной постановке с учетом геометрической нелинейности на основе МКЭ / А П Николаев, А. П Киселёв // Научно-техн журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений» - 2005 - № 1, РУДН. - С 119-122

28 Киселев, А П Объемный конечный элемент в виде треугольной призмы с первыми производными узловых перемещений / А П Киселёв, А П.Николаев//Изв Вузов,сер «Строительство» -2006,-№1 -С. 13-18.

29 Киселёв, А П Векторная аппроксимация полей перемещений объемного шестигранного конечного элемента / А П. Киселёв // Научно-техн журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений»-2007 -К»1,РУДН -С 21-24

30 Киселев, А П Использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности с учетом геометрической нелинейности / А. П. Киселев // Изв Вузов, сер «Строительство». -2007 - № 11

31 Киселев, А. П Метод конечных элементов в решении трехмерных задач теории упругости / А П Киселев // Научно-техн журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений» - 2007 -№4,РУДН -С 11-17

32. Киселёв, А П. Расчет тонких оболочек на прочность в трехмерной постановке без упрощающих гипотез / А П Киселёв // Изв Вузов, сер «Строительство» -2008.- № 1

33 Киселев, АПК расчету двух пересекающихся оболочек на основе объемных КЭ / А П Киселев // Научно-техн. журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений» - 2008 - № 1, РУДН

Во всех перечисленных публикациях в соавторстве вкладом соискателя является участие в обсуждении постановки задачи и способов возможной реализации их решения Личным вкладом соискателя является разработка теоретических положений и алгоритмов их реализации в программах расчета на прочность

Киселев Анатолий Петрович

РАЗВИ ГИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ЛИНЕЙНОГО И НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК КАК ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Подписано в печать 25 01 08 Формат 60x84 1/16 Уел печ л 2,5 Тираж 100 Заказ № 123 Издательско-полиграфический комплекс ВГСХА «Нива» 400002, Волгоград, Университетский пр-т, 26

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ.

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Основные соотношения теории тонких непологих оболочек произвольного очертания.

2.1.1. Геометрия произвольной оболочки в исходном состоянии.

2.1.2. Геометрия оболочки в деформированном состоянии.

2.1.3. Физические соотношения упругих произвольных непологих оболочек.

2.2. Последовательность выполнения основных операций метода конечных элементов.

2.3. Треугольный криволинейный конечный элемент.

2.3.1. Геометрия элемента.

2.3.2. Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций.

2.3.3. Матрица жесткости.

2.4. Четырехугольный криволинейный конечный элемент.

2.4.1. Геометрия элемента.

2.4.2. Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций.

2.5. Матрица жесткости конечно-элементной модели.

2.6. Примеры расчета.

2.7. Деформация объемного тела вращения при осесимметричном нагружении.

2.7.1. Основные соотношения.

2.7.2. Матрица жесткости конечного элемента.

2.7.3. Пример расчета.

Выводы по главе.

3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РЕШЕНИИ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

3.1. Основные соотношения теории упругости сплошной среды

3.1.1. Исходное состояние.

3.1.2. Зависимости между компонентами тензора деформаций и составляющими компонентами вектора перемещения.

3.1.3. Соотношения между напряжениями и деформациями для сплошной изотропной среды.

3.2. Объемный конечный элемент в виде тетраэдра с четырьмя узловыми точками.

3.2.1. Геометрия элемента.

3.2.2. Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций.

3.2.3. Матрица жесткости конечного элемента.

3.3. Объемный конечный элемент в виде треугольной призмы с первыми производными узловых перемещений.

3.3.1. Геометрия элемента.

3.3.2. Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций.

3.3.3. Матрица жесткости.

3.4. Объемный восьмиузловой конечный элемент.

3.4.1. Геометрия элемента.

3.4.2. Выбор узловых неизвестных.

3.4.3. Матрица жесткости.

3.5. Примеры расчета.

3.6. Примеры расчета тонкостенных конструкций.

Выводы по главе.

4. РАСЧЕТ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ

ОБЪЕМНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

4.1. Основные соотношения двух пересекающихся цилиндрических оболочек.

4.1.1. Геометрия оболочек в исходном состоянии на границе пересечения.

4.1.2. Матрица преобразования компонент вектора перемещения одной оболочки через компоненты вектора перемещения другой оболочки

4.2. Пример расчета.

Выводы по главе.

5. ВЕКТОРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОБЪЕМНОГО ВОСЬМИУЗЛОВОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

5.1. Матрица жесткости восьмиузлового конечного элемента с векторной аппроксимацией полей перемещений.

5.2. Примеры расчета.

Выводы по главе.

6. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА В

ИССЛЕДОВАНИИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО

СОСТОЯНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

6.1. Основные соотношения нелинейной теории упругости.

6.1.1. Геометрия тела.

6.1.2. Суммарные деформации и напряжения после завершения j-шагов нагружения.

6.1.3. Деформации и напряжения на шаге нагружения.

6.2. Формирование матрицы жесткости конечного элемента на шаге нагружения.

6.3. Примеры расчета.

6.4. Нелинейное деформирование при наличии особой точки.

6.4.1. Алгоритм метода дискретного продолжения по параметру в окрестности особой точки.

6.4.2. Реализация метода дискретного продолжения по параметру в нелинейной конечно-элементной процедуре.

6.5. Пример расчета.

Выводы по главе.

Надежность эксплуатации инженерных сооружений во многом зависит от точности расчетов на прочность, выполняемых на стадии проектирования. В связи с этим возникает необходимость разработки и усовершенствования новых эффективных методов расчета различных конструкций на прочность-., и жесткость.

Развитие вычислительной техники и увеличение мощности электронно-вычислительных машин обусловили широкое внедрение в расчетную практику численных методов. Среди других численных методов решения линейных и нелинейных задач строительной механики, механики деформируемого твердого тела наибольшее распространение в последнее время получил метод конечных элементов (МКЭ). МКЭ стал практически одним из основных численных методов для решения широкого круга краевых задач механики сплошной среды. Суть метода заключается в том, сплошная среда с бесконечным числом степеней свободы представляется совокупностью отдельных конечных элементов, связанных между собой в узловых точках и имеющих конечное число степеней свободы. При заданных физико-механических свойствах материала определяется взаимосвязь между неизвестными узловыми перемещениями или усилиями и внешними воздействиями. В результате расчет сводится к решению системы с конечным числом линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

МКЭ во всех его различных формулировках предусматривает следующие основные этапы расчета: замена исходной конструкции дискретной моделью; выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций; формирование матрицы жесткости или податливости и вектора нагрузок; определение компонентов напряженно-деформированного состояния исследуемой конструкции путем решения полученной (СЛАУ).

Для МКЭ характерны - широкий диапазон применимости, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и механическим характеристикам материалов, простота учета взаимодействия конструкций с внешней средой (механические и температурные нагрузки), высокая степень приспособленности к автоматизации всех этапов расчета. Непосредственный переход к расчетной схеме дает возможность естественно формулировать граничные условия, произвольно располагать узлы сетки дискретных элементов, сгущая ее в местах ожидаемого большого градиента искомых величин, применять метод для исследования областей состоящих из фрагментов различной физической природы.

Понятие конечных элементов было впервые введено М. Тернером, Р. Клафом, X. Мартином, JI. Топпом. Дальнейшее развитие метода отражено в работах зарубежных и отечественных исследователей Дж. Аргириса, E.JJ. Вильсона, М.Р. Айронса, Р.У. Клафа, У.М. Дженкинса, O.K. Зенкевича, А.В. Александрова, A.M. Масленникова, JI.A. Розина, Н.Н. Шапошникова, В.А. Постнова, И.Я. Хархурима, Д. В. Вайнберга, А.С. Сахарова и др.

Литература, посвященная теории и реализации МКЭ, довольно обширна (в последние годы изданы книги [30, 181, 351]). Особо следует отметить книги O.K. Зенкевича [53] и В.А. Постнова, И.Я. Хархурима [155], в которых исчерпывающе изложена теория метода и дано ясное представление его реализации на ЭВМ.

В подавляющем большинстве работ по МКЭ метод, как правило, используется в форме метода перемещений. МКЭ в форме метода перемещений для решения произвольных сложных конструкций дает численные процедуры значительно более простые и стандартные, а с этим связаны простота алгоритмизации и программирования и большая универсальность МКЭ в варианте метода перемещений. В настоящей работе рассматривается подход, основанный на МКЭ в форме метода перемещений.

Цель работы заключается в развитии метода конечных элементов в форме метода перемещений для решения задач строительной механики и механики деформируемого тела в линейной и нелинейной постановках с учетом смещения конструкции как жесткого целого, в разработке алгоритмов формирования матриц жесткости высокоточных четырех-, пяти- и шестигранных объемных конечных элементов, в составлении комплекса программ применительно к персональному компьютеру, реализующих теоретические разработки и внедрение его в практику инженерных расчетов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. На основе соотношений теории упругости разработаны четырех-, пяти-и шестигранные объемные конечные элементы, за узловые неизвестные которых выбирались компоненты вектора перемещений и их первые производные (при размерах матриц жесткости 48x48, 72x72, 96x96 соответственно), с функциями формы на основе использования полиномов Эрмита в их комбинации с полными двумерными полиномами;

2. Показана эффективность использования объемных конечных элементов в расчетах на прочность достаточно тонких оболочек, что позволяет учитывать поперечные и сдвиговые деформации без привлечения дополнительных гипотез;

3. Для разработанного шестигранного конечного элемента на линии сочленения двух непологих оболочек получены соотношения для выражения узловых неизвестных одной оболочки через соответствующие неизвестные другой оболочки, необходимые в исследовании напряженно-деформированного состояния в зоне сочленения элементов конструкций;

4. Для объемного конечного элемента шестигранной формы предложен векторный способ аппроксимации полей перемещений, позволяющий в полной мере учитывать смещения конечного элемента как жесткого целого;

5. Разработаны основы теории деформирования оболочек как трехмерного тела с учетом геометрической нелинейности при шаговом нагружении;

6. На основе разработанной теории реализован алгоритм формирования матрицы жесткости объемного элемента шестигранной формы в геометрически нелинейной постановке;

7. Разработан алгоритм дискретного продолжения решения по параметру на основе метода конечных элементов в окрестности предельной точки деформирования конструкций в геометрически нелинейной постановке.

Практическая ценность диссертационной работы заключается:

- в разработке алгоритмов формирования матриц жесткости объемных четырех-, пяти- и шестигранных конечных элементов, за узловые неизвестные которых выбирались перемещения и их первые производные;

- в создании программ для расчета на прочность оболочек и других инженерных конструкций в геометрически линейной и нелинейной постановках, которые могут эффективно использоваться научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, деятельность которых связана с проектированием и эксплуатацией сложных инженерных конструкций;

- в использовании программ для уточненного расчета на прочность конструктивных элементов нефтегазового и химического оборудования, что позволяет проектировать экономически наиболее выгодные конструкции' с обеспечением их надежной эксплуатации.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- основы теории деформирования оболочки как трехмерного тела в геометрически нелинейной постановке при шаговом способе нагружения;

- векторный способ аппроксимации полей перемещений объемного шестигранного конечного элемента;

- новый вариант получения функций формы для четырехгранного и пятигранного конечных элементов, за узловые неизвестные которых выбирались компоненты вектора перемещений и их первые производные; .

- алгоритмы формирования матриц жесткости четырех-, пяти- и шестигранных объемных конечных элементов за узловые неизвестные, которых выбирались компоненты вектора перемещений и их первые производные;

- методика определения напряженно-деформированного состояния пересекающихся оболочек с использованием объемных конечных элементов;

- алгоритм учета смещения конструкции как жесткого целого с использованием восьмиугольного конечного элемента;

- алгоритм дискретного продолжения по параметру в окрестности предельной точки деформирования оболочек с использованием восьмиугольного конечного элемента в геометрически нелинейной постановке.

Достоверность научных положений обеспечивалась: корректной математической постановкой задач при использовании теории упругости, методов вычислительной математики и векторного анализа; сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных конечных элементов, с результатами исследований и экспериментальными данными других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции. Кроме того достоверность конечных результатов неоднократно была проверена независимо от автора по месту внедрения разработанных программ.

Реализация

Материалы выполненного исследования, реализующие теоретические результаты диссертационной работы, включены в программы для PC по расчету на прочность конструктивных элементов нефтегазового и химического оборудования в ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ», ОАО «ВОЛГОГРАД

НЕФТЕМАШ», ОАО «РЕМГАЗКОМПЛЕКТПОСТАВКА». С использованием разработанных программ можно выполнять уточненный расчет на прочность конструктивных элементов нефтегазового и химического оборудования, что позволяет проектировать экономически наиболее выгодные конструкции с обеспечением их надежной эксплуатации без дополнительных затрат на ремонт.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка используемой литературы (343 наименования) и приложения, изложена на 256 странице машинописного текста, содержит 65 рисунков и 14 таблиц.

Выводы по главе

1. В главе получены основные соотношения теории деформирования трехмерных тел в геометрически нелинейной постановке при шагоиом нагружении.

2. На основе полученных соотношений для решения задач в геометрически нелинейной постановке разработан алгоритм формирования матрицы жесткости восьмиугольного объемного конечного элемента, за узловые неизвестные которого выбирались приращения компонентов вектора перемещения и их первые производные. В качестве примера расчета рассматривалось деформирование тонких цилиндрических панелей при жестком и шарнирном опирании. Результаты расчетов сравнивались с решением в геометрически нелинейной постановке и с экспериментальными данными, наблюдалось хорошее соответствие.

3. Разработан алгоритм метода дискретного продолжения по параметру в окрестности особой точки и предложены соотношения для реализации метода в нелинейной конечно-элементной процедуре. В качестве примера рассматривалось напряженно-деформированное состояние двухстержневой фермы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Разработаны алгоритмы формирования матриц жесткости высокоточных конечных элементов в виде тетраэдра, треугольной призмы и объемного восьмиугольника. За узловые неизвестные трехмерных конечных элементов выбирались компоненты вектора перемещения и их первые производные. С использованием разработанных конечных элементов решен ряд тестовых и практических задач по расчету на прочность.

2. Предложены новые варианты формирования функций формы для конечных элементов в виде тетраэдра и призмы с треугольным основанием, основанные на включении в вектор-столбец узловых варьируемых параметров дополнительных смешанных производных перемещений высшего порядка с последующим выражением их через производные более низкого порядка методом конечных разностей. Приводятся примеры расчета напряженно-деформированного состояния объемных трехмерных тел и примеры расчета тонкостенных оболочек в трехмерной постановке с использованием основных соотношений теории упругости.

3. Для восьмиугольного конечного элемента на линии сочленения двух оболочек получены соотношения для выражения узловых неизвестных одной оболочки через соответствующие неизвестные другой оболочки. Приведен пример расчета пересекающихся оболочек и оболочки с круговым отверстием.

4. Предложен принципиально новый способ векторной интерполяции перемещений, в котором на этапе записи интерполяционного выражения аппроксимируется непосредственно вектор перемещений внутренней точки конечного элемента, а не его отдельные компоненты как это обычно принято. На основе предложенного способа аппроксимации векторов перемещений разработаны алгоритм формирования матрицы жесткости восьмиугольного объемного конечного элемента, за узловые неизвестные которого выбирались векторы перемещений и их первые производные в глобальной системе координат. Приведен ряд примеров расчета с учетом смещения конечного элемента как жесткого целого. Показано, что использование векторной аппроксимации полей перемещений в конечно элементном анализе напряженно - деформированного состояния конструкций позволяет корректным способом учитывать смещения дискретного элемента как жесткого целого в неявном виде.

5. Получены основные соотношения теории деформирования трехмерных тел в геометрически нелинейной постановке при шаговом нагружении.

6. С использованием полученных соотношений разработан алгоритм формирования матрицы жесткости восьмиугольного конечного элемента, за узловые неизвестные которого выбирались приращения компонентов вектрра перемещений и их первые производные.

7. Разработан алгоритм метода дискретного продолжения по параметру в окрестности особой точки и предложены основные соотношения для реализации метода в нелинейной конечно-элементной процедуре.

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Дерюга. - Москва : Наука, 1978.-288 с.

2. Александров, А. В. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек / А. В. Александров // Труды моек, ин-та инж. транспорта. -1971.-№364.-с. 3-10.

3. Александров, А. В. Об использовании дискретной модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических машин / А. В. Александров, Н. Н. Шапошников // Труды моек, ин-та инж. транспорта. 1966. -№ 194.-е. 50-67.

4. Аргирис, Дж. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечных элементов / Дж. Аргирис, Д. Шарпф // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. — JL, 1974. 4.1. -с. 179-210.

5. Астрахарчик, С. В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и панелей ненулевой гауссовой кривизны / С. В. Астрахарчик, JI. П. Железнов, В. В. Кабанов // Изв. АН. МТТ. 1994. - № 2. - С. 102-108.

6. Баженов, В. Г. Вычислительные модели нелинейных задач динамики пространственных конструкций / В. Г. Баженов, Д. Т. Чекмарев // Актуальные проблемы механики оболочек: сб. науч. тр. / Казань, 2000. с. 50-64.

7. Бакулин, В. Н. Численный расчет устойчивости цилиндрических оболочек, ослабленных вырезами / В. Н. Бакулин, В. В. Репинский // Прикл. методы исслед. прочности JIA // Моск. авиац. ин-т. М., 1992. - с. 8-13.

8. Бандурин, Н. Г. К расчету сочлененных оболочек с помощью четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение. -1980. -№21. -с. 225-236.

9. Бандурин, Н. Г. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 к расчету непологих произвольных оболочек / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Пробл. Прочности. 1980. - №5. -с. 104-108.

10. Бандурин, Н. Г. К расчету оболочек вращения методом конечных элементов / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. 1981. - № 5. - с. 26-31.

11. Бандурин, Н. Г. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента к расчету тонкостенных оболочек вращения / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, И. К. Торунов // Прикл. механика. — 1980. т. 16. - № З.-с. 50-55.

12. Бандурин, Н.Г. К применению МКЭ для расчета оболочек вращения с учетом пластических свойств материала / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев // Изв. вузов. Сер.: Строительство и архитектура. 1985. - № 3.- с. 24-27.

13. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. — М.: Наука, 1975. -631 с.

14. Беляев, Н. М. Сопротивление материалов/ Н. М. Беляев. М.: Наука, 1976.-607с.

15. Бидерман, В. JI. Механика тонкостенных конструкций / В. JI. Бидерман. М.: Машиностроение. - 1977. - 488 с.

16. Бобров, С. Н. Произвольные формы потери устойчивости трехслойных оболочек и их конечно-элементный анализ / С. Н. Бобров и др. // В сб.: Труды

17. XVII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, СГТУ, -1997. — с. 54.-59.

18. Богартычук, А. С. Применение метода конечных элементов к расчету трансверсально изотропной цилиндрической оболочки с отверстием / А. С. Богартычук, К. Н. Шнеренко // Прикл. Мех. - 1987. - Т.23. - № 12. - с. 125-128.

19. Богнер, Ф. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов / Ф. Богнер, (Bogner F. К.), Р. Фокс (Fox R. L.), JL Шмит (Schmit L. А.) // Ракетная техника и космонавтика. 1967. - № 4. - с. 170-175.

20. Борискин, О. Ф. Барышникова О.О. Нелинейные трехмерные модели в расчетах колебаний оболочек на базе смешанной аппроксимации перемещений / О. Ф. Борискин, О. О. Барышникова // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. -2000. №4-с. 23-31.

21. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. — М.: Наука, 1980. — 973 с.

22. Вайнберг, Д. В. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Д. В. Вайнберг и др. // Прикл. механика. 1972. - т.8. -№ 8. - с. 3-28.

23. Векуа, И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек / И. Н. Векуа. М.: Наука, 1982. - 288 с.

24. Веселов, Ю. А. Формирование гибридной матрицы жесткости трехслойного ортотропного многоугольного конечного элемента / Ю. А. Веселов // Изв. вузов. Сер.: Строительство. 1993. - № 11-12. - с. 119-125.

25. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике / В. 3. Власов. М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

26. Вольмир, А. С. Гибкие пластинки и оболочки / А. С. Вольмир. М.: Гостехиздат, 1956. - 420 с.

27. Галимов, К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек / К. 3. Галимов. Казань: Изд. Казан, гос. ун-та, 1975. — 326 с.

28. Галимов, К. 3. Некоторые вопросы нелинейной теории тонких оболочек / К. 3. Галимов // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань, 1981. -№ 6. — с.7-29.

29. Голованов, А. И. Введение в метод конечного элемента статики тонких оболочек / А. И. Голованов, М. С. Корнишин. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990.-269 с.

30. Голованов, А. И. Исследование устойчивости тонких оболочек изопараметрическими конечными элементами / А. И. Голованов // Строит, механика и расчет сооружений. 1992. - № 2. - с. 51-55.

31. Голованов, А. И. Исследование нелинейного деформирования пластин и оболочек из несжимаемых материалов МКЭ / А. И. Голованов, М. Г. Гуриелидзе // В сб. Современные проблемы механики и прикладной математики. — Воронеж, ВГУ, 1998. 73 с.

32. Голованов, А. И. Исследование критических деформаций оболочек / А. И. Голованов, О. Н. Гурьянова // Актуальные проблемы механики оболочек: сб. науч. тр. Казань, 2000. - с. 178-183.

33. Голованов, А. И. Исследование геометрически нелинейного деформирования многослойных оболочек малой и средней толщины МКЭ / А. И. Голованов, О. Н. Гурьянова // Изв. вузов. Сер.: Авиац. техн. 2000. № 2. - с. 7-10.

34. ГОСТ 14249-89. Сосуды и аппараты. Нормы и методы расчета на прочность.

35. Гнитько, В. И. Термоупругопластическое деформирование разветвленных оболочек вращения при несимметричном нагружении / В. И. Гнитько, Е. В. Еселева // Актуальные проблемы механики оболочек: сб. науч. тр. Казань, 2000. - с. 173-177.

36. Гольденвейзер, А. А. Теория упругих тонких оболочек / А. А. Гольденвейзер. -М.: Наука, 1976. 512 с.

37. Горшков, А. П. Конечные элементы на основе полного семейства неполиномиальных определяющих функций формы для произвольного числаграничных узлов / А. П. Горшков, И. Ю. Колесников // Изв. АН. МТТ. 1998. -№ 1. - с. 116-128.

38. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов. -М.: Наука, 1978. 360 с.

39. Григолюк, Э. И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций / Э. И. Григолюк, В. И. Мамай. М. Наука: Физматлит., 1997. -272 с.

40. Григоренко, Я. М. К расчету оболочечных конструкций методом конечного элемента / Я. М. Григоренко, С. С. Кокошин // Прикл. мех. 1979. -т. 15. - № 7. - с. 3-10.

41. Григоренко, Я. М. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек / Я. М. Григоренко, А. Т. Василенко. М.: Наука 1992. - 336 с.

42. Гузь, А. Н. Сферические днища, ослабленные отверстиями / А. Н. Гузь, И. С. Чернышенко, К. И. Шнеренко. Киев: Наукова думка, 1970. - 324 с.

43. Гузь, А. Н. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями / А. Н. Гузь и др.. Киев: Наукова думка, 1980. - 635 с.

44. Гуляр, А. М. Влияние учета физической и геометрической нелинейностей на оценку критической нагрузки оболочек вращения сложной формы / А. М. Гуляр, А. С. Сахаров. // Сопротивл. материалов и теория сооруж. -Киев, 1980. -№37.-с. 8-11.

45. Даутов, Р. 3. Локальное сгущение конечных элементов при расчете оболочек / Р. 3. Даутов, Н. М. Якупов // Прикл. пробл. проч. и пластич. 1998. -№ 55.-с. 88-91.

46. Деклу, Ж. Метод конечных элементов / Ж. Деклу. — М.: Мир, 1976. —96 с.

47. Длугач, М. И. Метод конечных элементов в применении к расчету цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями / М. И. Длугач // Прикл. механика. 1973. -т.11. - № 11.-е. 35-41.

48. Евзеров, И. Д. Сходимость плоских конечных элементов тонкой оболочки / И. Д. Евзеров, В. С. Здоренко // Строит, механика и расчет сооружений. 1984. - № 1.-е. 35-40.

49. Железнов, JI. П. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричным нагружении методом конечных элементов / JI. П. Железнов, В. В. Кабанов // Изв. АН СССР, МТТ. -1981. -№ 3.-е. 49-54.

50. Железнов, JI. П. Функции перемещений конечных элементов оболочки вращения как твердых тел / JL П. Железнов, В. В. Кабанов // Изв. Ан СССР. МТТ. 1990. № 1. - с. 131-136.

51. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. — М.: Мир, 1975. 542с. (пер. с англ.).

52. Зубчанинов, В. Г. К вопросу устойчивости тонкостенных цилиндрических оболочек при сложном докритическом нагружении / В. Г. Зубчанинов, Н. JI. Охлопков, В. В. Гараников // Изв. вузов. Стр-во. 1996. - № 11-12. - с. 26-31.

53. Зубчанинов, В. Г. Основы теории упругости и пластичности / В. Г. Зубчанинов. — М.: Высшая школа, 1990. 368 с.

54. Зуев, Б. И. Сравнение некоторых моделей конечных элементов при анализе тонкостенных пространственных конструкций / Б. И. Зуев и др. // В сб.: Метод конеч. элем, в строит, мех. Горький, 1975. - с. 149-163.

55. Зуев, Н. Н. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов / Н. Н. Зуев и др. // Изв. АН. МТТ. 1997. № 6. - с. 137-147.

56. Игнатьев, В. А. Расчет стержневых пластинок и оболочек В. А. Игнатьев. Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1988. - 180 с.

57. Игнатьев, В. А., Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластисто-стержневой структуры / В. А. Игнатьев и др.. — М.: Стройиздат, 1996. 559 с.

58. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды / А. А. Ильюшин. М.: Изд. Моск. ун-та, 1978. - 288 с.

59. Кабанов, В. В. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном напряженном состоянии методом конечных элементов / В. В. Кабанов, Л. П. Железнов // Прикл. механика. 1978. - Т. 14. - № 3. - с. 45-52.

60. Кабанов, В. В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолета / В. В. Кабанов // Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. -Куйбышев, 1979. № 25. - с. 35-43.

61. Канн, С. Н. Строительная механика оболочек / С. Н. Канн. М.: Машиностроение, 1966. - 508 с.

62. Кантин, Г. ( G. Cantin ) Смещение криволинейных элементов как -жесткого целого / Г. Кантин, ( G. Cantin ) // Ракетная техника и космонавтика. -1970.-№7.-с. 84-88.

63. Кантин, Г. Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки / Г. Кантин ( G. Cantin ), Р. Клауф ( R. W. Clough ) // Ракетная техника и космонавтика. 1968. - № 6. - с. 82-87.

64. Капустин, С. А. Численный анализ несущей способности оболочечных конструкций при квазистатических нагружениях / С. А. Капустин, Ю. А. Чурилов // Актуальные проблемы механики оболочек: Сб. науч. тр. междунар. конф. Казань, 2000. - с. 226-231.

65. Кармишин, А. В. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А. В. Кармишин и др.. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

66. Карпенко, Н. Н. Расчет цилиндрической оболочки на сейсмические воздействия / Н. Н. Карпенко, С. Ф. Клованич // Изв. Вузов. Строит-во. — 1998. -№3.-с. 103-107.

67. Кей, С. В. Бейсенджер З.Е. Расчет тонких оболочек на основе метода конечных элементов / С. В. Кей, 3. Е. Бейсенджер // В сб.: Расчет упругихконструкций с использованием ЭВМ. JL, 1974. — т. 1.-е. 151-178. (пер. с англ.).

68. Киричевский, В. В. Исследование сходимости при решении трехмерных задач методом конечного элемента / В. В. Киричевский, А. С. Сахаров // Сопр. матер, и теор. сооружений. Киев, 1975. - вып. 25. — с. 91-97.

69. Кибец, А. И. Численное решение трехмерных задач динамики конструктивных элементов из ортотропных материалов / А. И. Кибец // Прикл. пробл. проч. и пластич. 1999. - с. 118-121.

70. Киселев, А. П. Формирование матрицы жесткости конечного элемента в геометрически нелинейной постановке / А. П. Киселёв // Сборник статей III междунар. конф. «Эффективные строительные конструкции: теория и практика», Пенза. 2004. — с. 367-370.

71. Киселев, А. П. Объемный конечный элемент в форме треугольной призмы / А. П. Киселев, А. П. Николаев // Концептуальное проектирование в образовании, технике и технологии: Межвузов, сб. науч. тр. Волгоград, 2001.

72. Киселев, А. П. Восьмиугольный конечный элемент для расчета на прочность участков соединения труб водохозяйственного назначения / А. П. Киселёв, В. Н. Юшкин // Матер. V регион, конф. молодых исследователей, Волгоград, 2001.

73. Кислоокий, В. Н. Моментная схема метода конечных элементов в геометрически нелинейных задачах прочности и устойчивости оболочек / В. Н. Кислоокий, А. С. Сахаров, Н. А. Соловей // Пробл. прочности. — 1977. № 7. -с. 25-32.

74. Клочков, Ю. В. Использование МКЭ в расчете геометрически нелинейной оболочки с учетом изменения ее толщины при шаговом нагружении / Ю. В. Клочков // Актуальные проблемы механики оболочек: сб. докладов междунар. научн. конф. Казань, 2000. - с. 199-200.

75. Клочков, Ю. В., Киселев А.П. Расчет тонкостенных конструкций мелиоративных систем и водохозяйственных объектов с помощью треугольных конечных элементов / Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Научный вестник. Сер. Инж. науки. — Волгоград, 1997. с. 248-255.

76. Клочков, Ю. В. О модификации принципа возможных перемещений в итерационном методе расчета конструкций на основе МКЭ / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев // Изв. вузов. Сер.: Строительство. 1995. - № 3. - с. 33-36.

77. Клочков, Ю. В. Преобразование узловых неизвестных граничных элементов пересекающихся оболочек вращения / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев. Волгоград, 1997. - 23с. - Деп. в ВИНИТИ. 27.03.97, № 986-В97.

78. Клочков, Ю. В. Учет изменения длины нормали осесимметрично нагруженной оболочки вращения в нелинейной постановке на основе МКЭ / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев. Волгоград, 1998. - 17с. - Деп. в ВИНИТИ 25.12.98, № 3885 -В98.

79. Клочков, Ю. В. Сравнительный анализ способов аппроксимации МКЭ при расчете оболочки вращения в геометрически нелинейной постановке / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. 2000. - № 56. - с. 27-32.

80. Клочков, Ю. В. Использование векторного и традиционного способов аппроксимации перемещений на примере треугольного элемента оболочки вращения / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // ВГСХА, Волгоград, 1997.- Деп. В ВИНИТИ 11.02.97, №419 В97.

81. Клочков, Ю. В. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 72x72 для расчета оболочечных конструкций / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // Строительство. -1998. -№ 4-5. с. 3641.

82. Ковальчук, Н. В. Исследование напряженно деформированного состояния и устойчивости конических оболочек с отверстиями / Н. В. Ковальчук // Пробл. прочности. - 1989. - № 2. - с. 82-86.

83. Коломоец, А. А. Изгиб цилиндрической оболочки неравномерным внешним давлением / А. А. Коломоец, Н. А. Болдырева // Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. г. Саратов, 1997. - т. 1. — с. 96-102.

84. Корнишин, М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения / М. С. Корнишин. М.: Наука, 1964. - 192 с.

85. Корнишин, М. С., Якупов Н.М. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта МКЭ / М. С. Корнишин, Н. М. Якупов // Прикл. механика. -1989. № 8. -т.25. -с. 53-60.

86. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1970. - 720 с.

87. Крук, Б. 3. Смягченно-смешанная схема МКЭ для расчета трехмерного упругопластического состояния элементов конструкций / Б. 3. Крук и др. // Пробл. прочности. 1993. - № 9. - с. 65-77.

88. Крысько, В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек / В. А. Крысько. — Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1976. 213 с.

89. Кузнецов, В. В. Использование метода возмущения области интегрирования при решении нелинейных краевых задач теории гибких пластин и оболочек / В. В. Кузнецов, В. В. Петров // Изв. АН СССР. МТТ -1985.-№2.-с. 176-178.

90. Куранов, Б. А. Температурные напряжения в резервуаре для хранения сжиженного газа / Б. А. Куранов, Н. И. Кончаков // Расчеты на прочность. — 1980.-№3.-с. 38-41.

91. Куранов, Б. А. Исследование устойчивости подкрепленных оболочек методом конечных элементов / Б. А. Куранов, А. Т. Турбаивский // Строит, механика и расчет сооружений. 1980. - № 3. - с. 38-41.

92. Кхана, Дж. (J. Khanna), Гули (R.F. Hooley) Сравнение и оценка матриц жесткости / Дж. Кхана (J. Khanna), Р. Ф. Гули (R.F. Hooley) // Ракетная техника и космонавтика. 1966. - № 2. - с. 31-39.

93. Лущик, О. Н. Сингулярные конечные элементы: обзор и классификация / О. Н. Лущик // Изв. АН. МТТ., 2000. № 2 - с. 103-114.

94. Ляв, А. Математическая теория упругости / А. Ляв. — М., ОНТИ, 1935.-220с.

95. Макеев, Е. Г. Эффективный конечный элемент для тонких пластин и оболочек / Е. Г. Макеев // Автомат, проект, авиац. конструкций. Куйбышев, 1982.-с. 45-54.

96. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. — М.: Машиностроение, 1975. -400 с.

97. Манухин, В. А. Построение гибридных конечных элементов для расчета пластинчатых конструкций / В. А. Манухин, В. А. Постнов // Изв. АН. МТТ. 1992. -№3 с. 79-86.

98. Маркол, Р. В (R.V. Marcol) Определение больших прогибов упруго пластических оболочек вращения / Р. В. Маркол (R.V. Marcol) // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - № 9. - с. 113-121.

99. Масленников, А. М. Расчет тонких плит МКЭ / А. М. Масленников // Сборник трудов ЛИСИ. 1968. - Т. 57. - с. 186-193.

100. Мебейн, П. М. (P.M. Mebane) Неявное представление жесткого смещения в случае криволинейных конечных элементов / П. М. Мебейн (P.M. Mebane), Дж. А. Стирклин (J.A. Stricklin) // Ракетная техника и космонавтика. -1971.-№2.-с. 206-208.

101. Мерзляков, В. А. Упругопластическое напряженно-деформированное состояние оболочек вращения переменной в двух направлениях толщины /-В. А. Мерзляков // Прикл. мех. Киев, 1992. - № 11.-е. 44-51.

102. Муляр, В. П. Упругопластическое состояние тонкостенных цилиндрических оболочек с эллиптическим отверстием на боковой поверхности / В. П. Муляр, Е. А. Сторожук, И. С. Чернышенко // Прикл. мех. — Киев, 1997. 33. - № 6. - с. 62-64.

103. Мяченков, В. И. Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ / В. И. Мяченков, И. В. Григорьев. М.: Машиностроение, 1981.- 111с.

104. Мяченков, В. И. Алгоритм вычисления матриц жесткости оболочечных конечных элементов в геометрически нелинейной постановке / В. И. Мяченков, 3. Б. Губелидзе, Т. Г. Гардаихадзе // Строит. Механика и расчет сооружений. 1989. - № 5. - с. 61-65.

105. Наваратана, Д. В. Расчет устойчивости оболочек вращения методом дискретных элементов / Д. В. Наваратана (D. В. Navaratana), Т. X. Пиан (Т. Н. Pian), Е. А. Уитмер (Е. A. Witmer) // Ракетная техника и космонавтика. 1968. -№5.-с. 196-203.

106. Неверов, В. В. Метод вариационных суперпозиций в теории оболочек / В. В. Неверов. Саратов: Изд-во Саратовск. гос. ун-та, 1984. - 128 с.

107. Неверов, В. В. Фундаментальная периодическая система вычислительных методов анализа в теории оболочек / В. В. Неверов // Пробл.теории пластин, оболочек и стержневых систем. Саратовск. политехи, ин-т. — Саратов, 1992.-е. 4-29.

108. Немировский, Ю. В. Рациональные и оптимальные проекты гибридных композитных оболочек и пластин / Ю. В. Немировский // Тр. 18-й Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, 1997. - Т.З - с. 142152.

109. Немировский, Ю. В. Ползучесть однородных и композитных оболочек / Ю. В. Немировский // Актуальные проблемы механики оболочек: сб. тр. междунар. конф. —Казань, 2000. с. 42-49.

110. Николаев, А. П. К расчету оболочек методом конечных элементов / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин // Строит, механика и расчет сооружений. — 1980.-№ 5.-с. 21-25.

111. Николаев, А. П. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента с матрицей 48x48 для расчета оболочек вращения / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин, И. К. Торунов // Строит, и архитектура 1980. - № 5. - с. 44-48.

112. Николаев, А. П. Новый эффективный способ интерполяции перемещений в конечно-элементом анализе оболочек / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин, Ю. В. Клочков // Строит, мех. и расчет сооружений. 1991. - № 1. -с. 62-66.

113. Николаев, А. П. Аппроксимация в методе конечных элементов в приложениях к векторным полям / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Матзр. междунар. конф. «Естествознание на рубеже столетий». — т. 1, техн. науки, Москва. -2001.

114. Николаев, А. П. К расчету оболочек на основе метода конечных элементов / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Вестник Российского универсисте дружбы народов, сер. Инж. исследования. Москва, 2002. - с. 107-112.

115. Николаев, А. П. Решение задачи нелинейного деформирования оболочки на основе МКЭ при наличии особой точки / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Деп. в ВИНИТИ 26.12.2002, № 2262 - в2002.

116. Николаев, А. П. Уравнения функции формы треугольного и тетраэдального конечных элементов / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Научн. Вестник, сер. Инж. Науки. Вып. № 3. Волгоград, ВГСХА. - 2002.

117. Николаев, А. П. Функции формы объемных конечных элементов / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Сб. междунар. научно-техн. конф. «Информационные технологии в образовании, технике и медицине» ч. 2, Волгоград, 2000.

118. Николаев, А. П. Вариант получения функций формы тетраэдального конечного элемента с первыми производными узловых перемещений / А. П. Николаев, А. П. Киселев, С. Н. Дейнего // Сб. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 2000.

119. Николаев, А. П. Восьмиугольный конечный элемент для расчета толстостенных оболочек вращения / А. П. Николаев, А. П. Киселев, В. Н. Юшкин // Сб. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек», Казань. 2000.

120. Николаев, А. П. Напряженно-деформированное состояние в зоне сочленения двух цилиндрических оболочек / А. П. Николаев, А. П. Киселев, В. Н. Юшкин // Научн. Вестник, сер. Инж. Науки. Вып. № 3. -ВГСХА. 2002.

121. Николаев, А. П. Четырехугольный конечный элемент произвольной оболочки с векторной интерполяцией полей перемещений / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков. Волгоград, 1993. - 15с. - Деп. в ВИНИТИ 28.04.93, № 1137 - В 93.

122. Николаев, А. П. О принципе возможных перемещений в нелинейных задачах расчета конструкций / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, Н. Г. Бандурин // Изв. вузов. Сер.: Строительство и архитектура. 1991. - № 4. - с. 20-22.

123. Николаев, А. П. Особенности формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента размером 54x54 / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Изв. ВУЗов, сер.: Строительство. — 1998. №2. - с.32-37.

124. Николаев, А. П. Конечно-элементное представление тензорных полей в криволинейных системах координат / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Успехи современного естествознания, № 1. Москва. — 2003.

125. Николаев, А. П. Решение проблемы учета смещения конечного элемента как жесткого целого на основе векторной интерполяции полей перемещений / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Изв. Вузов. Сер. Машиностроение. 1998. - № 1-3.

126. Николаев, А. П. Уравнения непологих произвольных оболочек с учетом смещения как жесткого целого / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Матер, научно-практ. конф., посвящ. 55-ти летию победы в Сталинградской битве, г. Волгоград, 1998.

127. Николаев, А. П. О функциях формы в алгоритмах формирования матрицы жесткости в треугольном конечном элементе / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Изв. Вузов, сер. Строительство. № 10. - 1999.- с.107-112.

128. Николаев, А. П. Треугольный конечный элемент произвольной непологой оболочки с матрицей 54x54 при учете смещений как жесткого целого / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Изв. Вузов, Северо-Кавказ. регион. Техн. вест. № 2. - 1999.

129. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. Л.: Судпромгиз, 1962. - 432 с.

130. Овчинников, И. Г. Расчет напряженного состояния и долговечности цилиндрической оболочки при наличии коррозийного износа / И. Г. Овчинников, X. А. Сабитов // Статика и динамика сложных строительных конструкций. 1984. - с. 89-95.

131. Огибалов, П. М. Оболочки и пластины / П. М. Огибалов, М. А. Колтунов. -М.: Изд-во МГУ, 1969. 695 с.

132. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Оден Дж. М.: 1976. - 464 с. (перев. с англ.).

133. Паймушин, В. Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета / В. Н. Паймушин // ПММ. 1978. - т. 42. - №4. - с. 753-758.

134. Паймушин, В. Н. К проблеме расчета пластин и оболочек со сложным контуром / В. Н. Паймушин // Прикл. механика. — 1980. — т. 16. №4. — с. 63-70.

135. Павлов, С. П. МКЭ при расчете слоистых конструкций с учетом пластических деформаций / С. П. Павлов, А. Б. Перегудов // В сб.: Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, СГТУ. -1997. т.2. -с.76-81.

136. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек / В. В. Петров. — Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1975.- 120 с.

137. Петров, В. В. Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного материала / В. В. Петров, И. Г. Овчинников, В. К. Иноземцев. Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1989. - 158 с.

138. Пикуль, В. В. Теория и расчет оболочек вращения / В. В. Пикуль. -М.: Наука, 1982.- 158 с.

139. Пикуль, В. В. Теория и расчет сложных конструкций / В. В. Пикуль. -М.: Наука, 1985.- 183 с.

140. Пикуль, В. В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития / В. В. Пикуль // Изв. АН МТТ. 2000. № 2. - с. 153168.

141. Постнов, В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

142. Постнов, В. А. Использование метода конечных элементов в расчетах устойчивости подкрепленных оболочек / В. А. Постнов, В. С. Корнеев // Прикл. механика. 1976. - т. 12. - № 5. - с. 44-49.

143. Постнов, В. А. Численные методы расчета судовых конструкций / В. А. Постнов. Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

144. Постнов, В. А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных конструкций / В. А. Постнов, С. А. Дмитриев. Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

145. Постнов, В. А. Учет физической и геометрической нелинейности в задачах изгиба оболочек вращения / В. А. Постнов, М. Г. Слезина // Изв. АН СССР, МТТ. 1979. - № 6. - с. 78-85.

146. Постнов, В. А. Новая модель изопараметрического конечного элемента для расчета оболочек / В. А. Постнов, М. И. Трубачев // Изв. АН. МТТ. 1995. - № 1. - с. 141-146.

147. Рикардс, Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р. Б. Рикардс. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

148. Рикардс, Р.Б. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко / Р. Б. Рикардс, А. К. Чате // Мех. композит, материалов. -1981. №3. - с. 453-460.

149. Рикардс, Р. Б. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко 2 / Р. Б. Рикардс, А. К. Чате. Численные примеры // Мех. композит, материалов. - 1981. - № 5. — с. 815-820.

150. Розин, JI. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ: метод конечных элементов / JI. А. Розин. М.: Энергия, 1971. - 214 с.

151. Рукин, Ю. Б. Исследование динамических состояний оболочек со срединными поверхностями вращения на основе трапециевидных конечных элементов / Ю. Б. Рукин, Н. Г. Радченко, Е. Ю. Чернышева // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. 2000. - №4. - с. 3-11.

152. Савельев, JI. М. Простой четырехугольный конечный элемент произвольной тонкой оболочки / JI. М. Савельев // Вопр. прочности и долговеч. элементов авиац. конструкций. — Куйбышев, 1979. №5. — с.58-63.

153. Сарбаев, Б. С. Расчет оболочек вращения с учетом физической нелинейности / Б. С. Сарбаев // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1984. - № 6. - с.20-24.

154. Сахаров, А. С. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учетом жестких смещений / А. С. Сахаров // Сопротивления материалов и теория сооружений: Респ. межвед. научно-техн. сборник. Киев: Будивельник, 1974.-Вып. 24.-с. 147-156.

155. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А. С. Сахаров и др.. Киев: Вища школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферпаг, 1982. -479 с.

156. Сахаров, А. С. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек / А. С. Сахаров, И. А. Соловей // В сб.: Пространств, конструкции зданий и сооруж. — М., 1977. — Вып. 3. с. 10-15.

157. Сегерленд, Л. Применение метода конечных элементов в технике / Л. Сегерленд. М.: Мир, 1975. - 541 с. (перев. с англ.)

158. Седов, Л. И. Механика сплошной среды / Л. И. Седов. М.: Наука, 1976. - т.1. -536 е.; 1976. -т.2. - 574 с.

159. Серазутдинов, М. Н. Построение равновесных конечных элементов с использованием непрямого метода конечных элементов / М. Н. Серазутдинов, О. М. Сахбиев // Труды междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек» Казань, 2000. - с. 374-379.

160. Серазутдинов, М. Н. Сравнительный анализ конечных элементов оболочек высокой степени аппроксимации / М. Н. Серазутдинов, Ф. С. Хайруллин // Тезисы докладов междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 2000. - с. 231.

161. Скопинский, В. Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четырехугольных криволинейных элементов / В. Н. Скопинский // Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1983. - № 5. - с. 16-21.

162. Скопинский, В. Н. Об особенностях напряженного состояния в области пересечения цилиндрических оболочек / В. Н. Скопинский // Строит, механика и расчет сооружений. — 1986. № 2. - с. 19-22.

163. Скопинский, В. Н. Расчетное и экспериментальное исследование напряженного состояния коленных соединений трубопроводов / В. Н. Скопинский, Г. М. Меллерович // Пробл. прочности. 1988. - № 12.-е. 73-76.

164. Сторожук, Е. А. О применении метода конечных элементов к решению двухмерных упругопластических задач для оболочек с отверстиями / Е. А. Сторожук // Докл. АН Украины. 1993. - № 10. - с. 79-83.

165. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. М.: Мир, 1997.-350 с.

166. Стриклин, Дж. A. (J. A. Stricklin) Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке / Стриклин (J. А. Stricklin) и др. // Ракетная техника и космонавтика. — 1968. №12. — с.82-85.

167. Сулейманова, М. Н. К расчету гибких непологих оболочек различного типа методом конечных элементов / М. Н. Сулейманова // Прикл. механика. 1984. - т. 20. - № 1. - с. 72-78.

168. Сухомлинов, JI. Г. Численное решение задач о больших пластических деформациях тонких неосесимметричных оболочек под действием заданных нагрузок / JI. Г. Сухомлинов, Е. В. Тенин // Изв. вузов. Сер. машиностроение. — 1990. -№1. -с. 16-21.

169. Съярле, Д. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Д. Съярле. -М.: Мир, 1980. 512 с.

170. Тимошенко, С. П. Пластины и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. -М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

171. Товстик, П. Е. Осесимметричная деформация тонких оболочек вращения при осевом сжатии / П. Е. Товстик // Вестник С.-Петербург. Ун-та, 1995. -№ 1. — с. 95-102.

172. Товстик, П. Е. Устойчивость тонких оболочек / П. Е. Товстик. М.: Наука, Физматлит, 1995. - с.320.

173. Филин, А. П. Элементы теории оболочек / А. П. Филин. Л.: Стройиздат, 1975. - 256 с.

174. Хайруллин, Ф. С. О методе расчета составных тонкостенных конструкций / Ф. С. Хайрулинн // Изв. вузов. Машиностроение. 1992. - №1-3. -с. 20-23.

175. Хейслер, В. Е. Перемещения недеформируемых криволинейных элементов в расчетах оболочек матричным методом перемещений / В. Е. Хейслер (Haisler W.E.), Дж. А. Стриклин (Stricklin J.A.) // Ракетная техника и космонавтика. 1967. - № 8. - с. 207-209.

176. Хечумов, Р. А. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций / Р. А. Хечумов, X. Кепплер, В. Н. Прокофьев. М.: Изд-во АСВ. -1994.-351с.

177. Чернина, В. С. Статика тонкостенных оболочек вращения / В. С. Чернина. -М.: Наука, 1968. 455 с.

178. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек / К. Ф. Черных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1962.-Т.1.-374 с.;- 1964. - т.2. - 395 с.

179. Черных, К. Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек / К. Ф. Черных // Изв. АН СССР. МТТ. - 1980. - №2. - с. 148-159.

180. Шалашилин, В. И. Расчет нелинейного деформирования методом конечных элементов с использованием метода продолжения по наилучшему параметру / В. И. Шалашилин, Э. Н. Князев, Н. Н. Зуев // Изв. Вузов. Сер., Машиностроение. 1997г., №3-1, с.23-29.

181. Шапошников, Н. Н. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного элемента / Н. Н. Шапошников // Труды Моск. Института инженеров транспорта. 1968. - Вып. 260. - с. 134-144.

182. Шмит, JI. А. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием дискретных элементов пластин и оболочек / JI. А. Шмит (Schmit L.A.), Ф. К. Богнер (Bogner F.K.), Р. Л. Фокс (Fox R.L.) // Ракетная техника и космонавтика. 1968. - № 5. — с. 17-28.

183. Шихранов, А. И. Большие неосесимметричные прогибы пологих оболочек вращения / А. И. Шихранов // В сб.: Труды XVI междунар. Конф. по теории оболочек и пластин. Н.Новгород; НГУ, 1994. — т.З. с.252-257.

184. Эдельман, В. М. Точность вычисления напряжений методом конечных элементов / В. М. Эдельман (Adelman В.М.), Д. С. Казеринес (Catherines D.S.), В. К. Уолтон (Walton W.C.) // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №3. - с. 102-103.

185. Якупов, Н. М. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии / Н. М. Якупов, М. Н. Серазутдинов. Казань: ИМН РАН. - 1993. -206 с.

186. Якупов, Н. М. Расчет оболочек средней толщины с учетом обжатия по толщине / Н. М. Якупов, Р. 3. Хисамов // Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов, 1997г., Т. 2, с. 131136.

187. Якупов, Н. М. Моделирование зон концентрации напряжений сложных оболочечных систем / Н. М. Якупов, Р. 3. Хисамов // Труды международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» — Казань, 2000. с. 478-483.

188. Aditya, A. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method / A. Aditya, J. Bandyopadhyany // Comput. and Struct. 1989. - 32. - N2. - p. 423-432.

189. Ahmand S. Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements / S. Ahmand, Irons Bruce M., О. C. Zienkivicz // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1970. — 2. -N3. -p.419-451.

190. Alayliogly, H., AH R. A hybrid stress doubly curved shell finite element / H. Alayliogly, R. AH // Comput. and Struct. 1977. - 7. -N 3. -p.477-480.

191. Altman, W. A thin cylindrical shell finite element based on a mixed formulation / W. Altman, F. Fquti // Comput. and Struct. 1976. - 6. - N2. - p. 149155.

192. Anderheggen E. A conforming triangular finite element plate bending solution / E. Anderheggen // Int. J. Num. Meth. Eng. 1970. - 2. - p.259-264.

193. Argyris, J. H. Energy theorems and structural analysis / J. H. Argyris.1.ndon. Batterworth. 1960.

194. Argyris, J. H. Finite elements in linear statics and dynamiks the natural approach / J. H. Argyris, H. P. Mleignek, J. Buhlmeier, M. M. Mai // Isd - Ber. -1974.-N174.-p.1-52.

195. Argyris, J. H. Post-buckling finite elements analysis of circular cylinders under end load / J. H. Argyris, P. C. Dunne // Acta techn. Acad. Sci. hung. 1978. -87.-Nl-2.-p.5-16.

196. Argyris, J. H. Some consideration on the natural approach / J. H. Argyris, M. Haase, H. P. Mleignek // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. -1982. 30. - N3. — p.335-346.

197. Attia, O. A hihg order shear, element for nonlinear vibration analysis of composite layered plates and shells / O. Attia, A. Eb-Zafrany // Int. J. Mech. Sci. -1999. - 41, №4-5. p. 461-486.

198. Bao, W. Error bounds for the finite element approximation of an incompressible metrial in an unbounded demain / W. Bao, H. Han // Numer. Math. -2003.-№3.-p. 415-444.

199. Barony, S. Y. The analysis of rotational shells using a curved ring element and the mixed variational formulation / S. Y. Barony, H. Tottenham // Int. J. Numer Meth. Eng. 1976.- 10.-N4.-p.861-872.

200. Barthold, F. J. Error indicators and mesh refinemets for finite - element — computations. / F.-J. Barthold, M. Schmidt, E. Stein // Comput. Mech. - 1998. - 22, №3. -p.225-238.

201. Basar Yavuz, Its Rov Mikhail Finite element formulation of the Ogden material model wiht application to rubber like shells / Basar Yavuz, Its Rov Mikhail //Numer. Meth. Eng. - 1998.-42, №7. -p.1273-1305.

202. Bathe, K. J. A geometric and material non - linear plate and shell element / K.-J. Bathe, S. Bolourchi // Comput. and Struct. - 1980. - 11. - №1-2. -p.23-48.

203. Baumann, M. An efficient mixed hybrid 4-node shell element with assumed stresses for membrane, bending and shear parts / M. Baumann, K. Schweizerhof, S. Andrussow // Eng. Comput. 1994. -11. - N1. - p.69-80.

204. Berdichevsky, V. Effect of accuracy loss in classical shell theory / V. Berdichevsky, V. Mlsyuria // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1992. - 59. - N2. -p.217-223.

205. Boisse, P. А С three-node shell element for non-linear structural analysis / P. Boisse, J. L. Daniel, J. C. Getin // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. - 37. - N14. -p.2339-2364.

206. Bounds, S. A modified affective capacitance method for solidification modelling using linear tetrahedral finite elements / S. Bounds, K. Davey, S. Hinduja // Int. J. Num. Meth. Eng. 1996. - 39. - pp. 3195-3215.

207. Boyle, J. T. A simple method of calculating lower boind limit loads for aximmetric thin shells. / J. T. Boyle, R. Hamilton, J. Shi, D. Mackenzie // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. - 1997. - 119, №2 - p.236-242.

208. Bond, T. J. A comparison of some curved two dimensional finite elements / T. J. Bond, J. H. Swannel, K. D. Heshell, G. B. Warburton // J. Strain Anal. 1973. -8.-N3.-p. 182-190.

209. Brank, В., On non linear dinamics of shells: implementation of energymomentum canserving algorithm for a finite rotation shell model / B. Brauk, L. Briceghella, N. Tonello, F. B. Damijanic // Jut. J. Numer. Meth. Eng. 1998. -42, №3.-p. 409-442.

210. Brebbia, C. A. Analysis of plates and shells using finite elements / C. A. Brebbia, H. A. Hadid // Pev. roum. sci techn. ser. mec. appl.- 1973. 18. - N15. -p.939-962.

211. Cai, H. Analytical solutions of openings formed by intersection of a cylindrical shell and an oblique nozzle under internal pressure / H. Cai, B. Sun, B. Koplik, J. Tavantzis // Trans, of the ASME. 1999. - 121. -pp.170-175.

212. Cantin, G. A curved cylindrical shell finite element / G. Cantin, R. W. Clough //AIAA.- 1968.-N6.-p. 1057-1062.

213. Cantin, G. Rigid body motions in curved finite elements / G. Cantin // AIAA. 1970.-N8.-p. 1252.

214. Chaudhuri, R. A. Effect of thickness on large defection behavior of shells / R. A. Chaudhuri, L. R. Hsia // AIAA Joirnal. - 1999. - 37., №3. - p.463-465.

215. Chen, W. Refined hibrid degenerated shell element for geometrically nonlinear analysis / W. Chen, S. Zeng // Jut. J. Nunear. Meth. Eng. 1998 - 41, №7. -p.l 195-1213.

216. Chinosi, C. Hierarchic finite elements for thin Naghdi shell model /.C. Chinosi, C. L. Delia, T. Scapolla // Jat. J. Solids and Struct. 1998. - 35, №16 -p.1863-1880

217. Choi Chang Koen. A conoidal shell analysis by modified isoparametric element / Choi Chang - Koen. // Computers and Structures/ - 1984 year., Vol/ 18, №5, p.921-924.

218. Clough, R.W. The finite element method in plane stress analysis / R. W. Clough // J. Struct. Div.,Asce Proc. 2-d conf. Electronic computation, p.345-378.

219. Cochelin, B. Asymptutic-numerical methods and Pade approximants for non-linear elastic structures / B. Cochelin, N. Damil, M. Potier-Ferry // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. -37. -N7. - p. 1187-1213.

220. Cook, W. A. A finite element model vor nonlinear shells of revolution / W. A. Cook // Trans. Shh. Int. Conf. Struct. Mech. Reacht. Technol. Berlin, 1979. -Vol. M. - Amsterdam e-a. 1979. - m.4.5/1 -m 4.5/10.

221. Cornoy, E. Postbucling analysis of elastic structures by the finite element method / E. Cornoy // Comput. Meth. Appl. Mech. ang. 1980. - 23. - №2. - p.l 43174.

222. Cowper, G. R. A shallow shell finite of triangular shape / G. R. Cowper, G. M. Lindberg, M. D. Olson // Int. J. Solids Struct. 1970. - N6. - p.l 13.

223. Dawe, D. J. Rigid-body motions and strain-displacement equations of curved shell finite elements / D. J. Dawe // Int. J. Mech. Sci. -1972. 14. -p.569.

224. Dawe, D. J. High-order triangular finite element for shell analysis / D. J. Dawe // Int. J. Solids and Struct. 1975. - 11. -N10. - p. 1097-1110.

225. Dawe, D. J. Static analysis of diaphragm-supported cylindrical shells using a curved finite strip / D. J. Dawe // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1977. -11.— p.1347-1364.

226. Delpak, R. A finite element assement of natural frenquencies of undampend elastic ( rotational shells ) / R. Delpak // Appl. Math. Modell. 1980. - 4. - №2. — p.367-368.

227. Delpak, R. A linearized analysis of buckling of thin rotational shells using the finite element method / R. Delpak // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - 20. -N12. — p.2235-2252.

228. Dvorkin, E. N. A continuum mechanics basid four-node shell element for general non-linear analysis / E. N. Dvorkin, K.-J. Bathe // Int. J. Сотр. Eng. and Software 1984. - Vol. 1, № 1. - p. 77-88.

229. El — Abbasi, N. Large deformation analysis of contact in denegerate shell elements./ N. El Abbasi, S. A. Meguid // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. - 42, №6. -p.l 149-1179.

230. Freischlager, C. On a sustematic development of trilinear three-dimensional solid elements based on Simo's enhanced strain formulation / C. Freischlager, K. Schweizerhof// Int. J. Solids Structures. 1996. - 33. - N20-22. -pp. 2993-3017.

231. Ganer, H. G. A new treatment to the finite element method and a method of large fragments / G. H. Ganer. Теор. и прикл. мех. - 1975. - 6. - N4. - p.29-38.

232. Gass, N. Large deformation analysis of plates cylindrical shells bya mixed finite element method / N. Gass, B. Tabarrok // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1976. -10. - №4. -p.731-746.

233. Gellert, M. A new high-precision stress finite element for analysis of shell structures / M. Gellert, M. E. Laursen // Int. J. Solids and Struct. 1977. - 13. - N7. -p.683-697.

234. Gran, C. S. Doubly curved membrane shell finite element / C. S. Gran, T. J. Yang // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1979. - 105. - N4. -p.567-584.

235. Gwalthey, R. C. Experimental stress analysis of cylinder-to-cylinder shell models and comparisons with theoretical predictions / R. C. Gwalthey, J. M. Corum, S. E. Bolt и др. // Trans. ASME. 1976. - vol. 98. - №4. - pp. 283-290.

236. Han, К. J. Shells of revolution with local deviations / Han Kye J., Gould Phillip L. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - 20. - N2. - p.305-313.

237. Haugeneder, E. A new penalty function element for thin shell analysis E. Haugeneder// Numerical Meth. in Eng. 1982. - 18. -N6. -p.845-861.

238. Herpai, B. Analysis of axisymmetrically deformed shells by the finite element displacement method / B. Herpai, I. Paczelf // Acta techn. Acad. Sci. hung. -1977.-85.-N1-2.-p. 93-122.

239. Hellen, Т. K. The application of three- dimensional finite elements to a cylinder untersection / Т. K. Hellen, H. A. Money // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1970. 2. -N3. -p.415-418.

240. Hindenlang, U. The TRUMP family of shell elements / U. Hindenlang //ISD. Rept. - 1978. -N239. - p. 11-17.

241. Hoist, J. M. Inversion problems in elastic thin shells / J. M. Hoist, C. R. Calladine // Eng. J. Mech. A. 1994. - 13. -N4. -p.3-18.

242. Hsiao, Kuo-Mo Large defection analysis of shell structure by using corotational toallagrangian formulation / Hsiao Kuo-Mo, Hung Hung Chan // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1989. - 73, №2. - p.209-225.

243. Jones Rembert, F. Jr. A curved finite element for general thin shell structures / F. Jr. Jones Rembert // Nucl. Eng. And Des. 1978. - 48. - N2-3. -p.415-425.

244. Jones, D. P. Elastic plastic dailure analysis of pressure burst tests toroidal shells / D. P. Jones, J. E. Holliday, L. D. Larson // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. - 1999. - 121, №2. - p. 149-153.

245. Kanok-Nukulchai, W. A simple and efficient finite element for general shell analysis / W. Kanok-Nukulchai // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1979. -14. - N2. -p. 179-200.

246. Kemp, B. L. A foirnode solid shell element formulation with assumed strain / B. L. Kemp, Cho Chahngmin, W. Lee Sung // Jut. J. Numer. Meth. Eng. -1998. 43, № 5. - p. 909-924.

247. Kikuchi, F. Application of finite element method to axisymmetric buckling of shallow spherical shells under external pressure / F. Kikuchi, H. 0hya,'0. Yoshi // J. Nucl. Sci. and Technol. 1973.- 10. -N6. - p.339-347.

248. Kikuchi, F. On the validity of an approximation available in the finite element shell analysis / F. Kikuchi // Comput. and Struct. 1975. - 5.-Nl.-p.l-8.

249. Kim Seing Jo, Kim Kyeong Su, Cho Jin Yeon Viscol m- lastic model of finitely deforming rubber and its finite element analysis / Kim Seing Jo, Kim Kyeong Su, Cho Jin Yeon. // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1997. - 64. - №24. - p. 835841.

250. Khan, A. Q. Postbuckling of thin plates and shells / A. Q. Khan, A. A. Mufti, P. J. Harris // Var. Meth. Eng. Vol. 2. Proc. Int. Confi, Univ Southampton. -1972. Southampton. - 1973. - 7/54 - 7/65. Discuss. - 7/124.

251. Klisinski, M. On constitutive equations for arbitrary stress-strain control in multi-surfase plasticity / M. Klisinski // Int. J. Solids Structures. 1998. - Vol. -35. -№20.-p. 2655-2678.

252. Komori, K. Rigid-plastic finite element method for analysis of three-dimensional rolling that reguires small memory capacity / K. Komori // Int. J. Mech. Sci. 1998. - 40. - N5. - p. 479-491.

253. Kosmatka, J. B. An accurate shear-deformable six-node triangular plate element for laminated composite structures / J. B. Kosmatka // Jut. J. Numer. Meth. Eng. 1994. - 37. N3. - p.431-455.

254. Ladeveze, P. Local error estimaters for finite element linear analysis. / P. Ladeveze и др. // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1999. - 176, №1-4 - p. 231-246.

255. Lakshmiarayanga, H.V. Finite element analysis of laminated composite shells functions / H. V. Lakshmiarayanga // Comput. and Struct. 1976. - 8. - №1. -p. 11-15.

256. Lannoy, F. G. Triangular finite elements and numerical integration / F. G. Lannoy // Comput. Struct. 1977. - 7. -p.613-625.

257. Lee, S. J. A nine node assumed strain finite element for large -deformation analysis of laminated shells / S. J. Lee, W. Konok - Nukulchai // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. - 42, №55 - p.777-798.

258. Li, Y. A convergence analysis of an h-version finite element method with high-order elements for two-dimensional elasto-plasticity problems / Y. Li, I. Babuska // SIAM J. Numer. Anal. 1997. - 34, №3. - p.998-1036.

259. Lindberg, G. M. A high-precision triangular cylindrical shell finite element / G. M. Lindberg, M. D. Olson // AIAA. J. 1971. - 9. - p.530-542.

260. Liu, M. L. A further study of hybrid strain based three - node triangular shell elements / M. L. Liu, C. W. S. To // Finite elem. Anal. And Des. - 1991. - 31, №2p.135-152.

261. Lo, S. H. 3D mesh refinement in comliance with a specified node spacing function. / S. H. Lo // Сотр. Mechanics. 1998. - 21. - p. 11-19.

262. Madenci, E. Thermal post buckling analysis of cylindrically curved composite laminates with a hole / E. Madenci, A. Barut // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. - 77. -N12. - p. 2073-2091.

263. Maekawa, K. Finite element formulation of the Naglegaal-Rice functional using constant strain triangles / K. Maekawa, H. C. Childs Thomas // Uaraki doigaku Kenkyuhokoku. J. Fac. Eng. Ibaraki Univ. 1991. - 39. - p.53-66.

264. Mar, A. A benchmark computational study of finite element error estimation / A. Mar, M. A. Hicks // Int. J. Num. Meth. Eng. 1996. - 39 - p.3969-3983.

265. Mathisen Kjell, M. Error estimation and adaptivity in explikit nonlinear finite element simylation of quasi-static problems. / M. Mathisen Kjell и др. // Comput. and Struct. 1999y. - 72, № 4-5. - p. 627-694.

266. Mehorotra, B. Analysis of three dimensional thin walled structures / B. Mehorotra, A. Mufti Aftab, G. Redwood Richard // J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1969. - 95. - №12. - p. 2863-2872.

267. Melosh, R. J. Basis vor derivation of matrices for the direct stiffness method / R. J. Melosh // AIAA Journal. 1963. - 1. - № 7. - p. 1631-1637.

268. Minnetyan, L. Finite deformations for thin shells of revolution / L. Minnetyan, F. Wilson James // Dev. Theor. And Appl. Mech. Vol. 8, s.l., s.a., p.77-86.

269. Mohan, P. Updatet Lagrangian formulation of a flat triangular element for thin laminated shells / P. Mohan, K. Kapania Rakesh // AIAA Journal. 1998. - 36, №2. - p.273-281.

270. Moan, T. Experiences with orthogonal polynomials and "best" numerical integration formulas on a triangle: with particular reference to finite element approximations / T. Moan // Zangew Math. Und Mech. 1974. -54. - N8.- p.501-508.

271. Mohr, G. A. Numerically integrated triangular element for doubly curved thin shells / G. A. Mohr // Comput. and. Struct. 1980. - 11. - N6. - p.565-571.

272. Mohr, G. A. On triangular displacement elements for the bending of thin plates / G. A. Mohr // Proc. Int. Conf. Finite Element Methods. Sydney, 1979.

273. Moore, C. J. A new 48 D.O.F. quadrilateral shell element with variable-order polynomial and rational B-spline geometries with rigid body modes / C. J. Moore, T. Y. Yang, D. C. Anderson // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. — 20. - 11. — p. 2121-2141.

274. Morley, L. S. D. Bending of bilinear quadrilateral shell elements / L. S. D. Morley //Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. -20. -N8. - p. 1373-1378.

275. Morley, L. S. D. Ixtensional bending of a shell triangular element in quadratic parametric representation / L. S. D. Morley // Int. J. Solids and Struct. -1982.- 18.-Nll.-p. 919-935.

276. Nelson, R. L. An algorithm for programming the element matricesvof doubly curved quadrilateral shell finite elements / R. L. Nelson // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982. -18. -N3. - p. 421-434.

277. Nho, I. S. Finite element analysis for plastic large deformation and anisotropic damage /1. S. Nho, J. G. Shin, S. J. Yim // Proc. 3-rd Int. Offshore and Polar Eng. Conf., Singapure, June 6-11. 1993. - Vol. 4. - p.526-532.

278. Nordlang, P. Adaptive mesh updating methods for non-linear finite element analysis of shells / P. Nordlang, A. E. Giannakopoulos // Jut. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. -43, №8. -p. 1523-1544.

279. Panda, S. C. Finite element analysis of laminated shells of revolution / S.

280. C. Panda, R. Natarajana // Comput. and Struct. 1976.- 6. - №1. - p.61-64.

281. Pagean, S. S., Begger S. B. A finite element approach to three-dimensional singular stress states in anisotropic multi-material wedges and junctions / Pagean, S. S., Begger S. B. // Int. J. Solids Structures. 1996. - 33. -Nl, - pp.33-47.

282. Parich, H. Geometrical non linear analysis of shells / H. Parich // Copput. Meth. Appl. Mach. And Eng. 1978. - 14. -№2. - p.159-178.

283. Peano, A. Efficient high order finite elements for shells / A. Peano // Mechanica. 1976. - 11. - N11. - p. 42-47.

284. Peric, D. Finite element applications to the nonlinear mechanics of solids

285. D. Peric, D. R. J. Owen // Repts Pragr. Phis. 1998. - 61, №11. - p. 1435-1574.

286. Pierce, D. N. Stress around elliptic holes in circular cylindrical shells / D. N. Pierce, S. T. Chou //. "Exper. Mech." - 1973. - 13. - Nl 1. -p.487-492.

287. Postnov, V. A. A new finite element with transverse shear deformations included for shell strength analysis / V. A. Postnov, M. I. Trubachev // Динам., проч. и износ стойк. Машин. 1997. - № 3. - с. 68-74.

288. Rannachez, R. A feed back approach to error control in finite element methods: application to linear elasticity / R. Rannachez, F.-T. Suttmeler // Computational Mechanics. 1997. № 5. - p. 434-446.

289. Rao, G. V. Buckling of shells by finite element method / G. V. Rao, J. S. Raju, S. K. Radhamahan // J. Eng. Mech. Div., Prac. Amer., Soc. Siv. Eng. 1974. -100.-№5.-p. 1092-1096.

290. Rao, K. Venkateswara Explicit formula for the stiffness matrix of a conical shell finite element / K. Rao, Singa, G. Rao // J. Aeronaut. Soc. India. -1976.-28. -№3.-p. 339-342.

291. Rhiu, J. J. A nine node finite element for analysis of geometrically nonlinear sells / J. J. Rhiu, S. W. Lee / Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - 26. - N9. - p. 1945-1962.

292. Remseth, S. N. Tube buckling analysis by the finite element method / S. N. Remseth, K. Nolthe, P. G. Bergan, I. Holand // Finite Elem. Nonlinear Mech. -Trondheim, 1978.-Vol. 2.-p. 671-694.

293. Rusa Casndra, A. L. Sizing desing sensivity analysis and optimization of a hemispherical shell wiht a nonradial henerated nozzle / A. L. Rusa Casndra, I. K. Crindeanu, K.-H. Chang // Trans. ASME. J. Pressare Vessel Technol. 1998 -no,№3. — p. 238-243.

294. Rodrigues, J. M. Coupled thermo-mechanical analysis of metal-forming processes through a combined finite element- boundary element approach / J. M. Rodrigues, P. A. Martins // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1998. - 2. - pp. 631-645

295. Ronnacher, R. A posterior error estimation and mesh adaption for finite element models in elasto-plasticity / R. Ronnacher, F.-T. Suttmeier // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1999y. - 176, №1-4. - p. 333-361.

296. Sabir, A. B. The application of finite element to the large defection geometrically nonlinear Bhavior of cylinder shells / A. B. Sabir, A. S. Lock // Var. Meth. Eng. Vol. 2 Prac. Int. Conf. Univ. Southampton. 1973. - 7/66 - 7/75.

297. Sabir, A. B. Strain-based finite element for the analysis of cylinders with holes and normally intersecting cylinders / A. B. Sabir //Nuch. Eng. and Des. 1983. -76.-N2.-p. 111-120.

298. Samanta, A. Finite element static analysis of stiffened shells / A. Samanta, M. Mikhopadhyay // Appl. Mech. and Eng. 1998. - 3, №1. - p.55-87.

299. Samuel, W. K. The analysis of thin shells with a doubly curved arbitrary quadrilateral finite element / W. K. Samuel // Computers Struct. 1972. - Vol. 2. -N4.-p. 637-673.

300. Sansour, C. On hybrid stress, hybrid strain and enhanced strain finite element formulations for a geometrically exact shell theory with obrilling degress of freedom / C. Sansour, J. Bocko // Jut. J. Numer. Meth. Eng. 1998. - 43., №1. -p.175-192.

301. Sansour, C. Large Viscoplastic deformations of shells. Theory and finite element formulation / C. Sansour, F. G. Kollmann // Comput. Mech. 1998. - 21, № 6. - p. 512-525.

302. Sarrazin, M. Axisymmetric shells for non axisymmetric loads an exact conical element approach / M. Sarrazin, H. Jenson // Adv. Eng. Software. - 1984. -6. -№3.-p.l48-155.

303. Sen, S. A finite element analysis of the indentation of an elastic-work handening layered half-space by an elastic sphere / S. Sen, B. Aksakal, A. Ozel // Int. J. Mech. Sci. 1998. - 40. -N12. - p.1288-1293

304. Simo, J.C. Improved version of assumed enhanced strain tri-linear elements for three-dimensional finite deformation problems / J. C. Simo, F. Armero, R. L. Taylor // Сотр. Meth. appl. Mech. Eng. 1993. - 110. - pp.359-386.

305. Skopinsky, V.N. Stress analysis of shell intersections with torus transition under internal pressure leading / V. N. Skopinsky // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. 1997. - 119, №3. - p.288-292.

306. Souza Neto, E. A. Design of simple low order finite elements for large strain analysis of nearly incompressible solids / E. A. Souza Neto, P. Peric, M. Dutko, D. R. J. Owen // Int. J. Solids Structures. 1996. - 33. - N20-22. - p. 3277-3296.

307. Stein, E. Different levels of nonlinear shell theory in finite element stability analysis / E. Stein, A. Berg, W. Wagner // Buckling shells Proc. State of the Art Collog., Univ. Stuttgart. - 1982. - May 6-7. - Berlin e.a. - 1982. -p.91-136.

308. Stolarski, H. A simple triangular curved shell element / H. Stolarski, T. Belytschko, N. Carpenter // Eng. Comput. 1985. - 1. -N3. - p. 210-218.

309. Sze, K. Y. Assumed strain and hybrid destabilized ten-node C° triangular shell elements / K. Y. Sze, D. Zhu // Computational Mechanics. 1998 №2. - p. 161171.

310. Tan, H.-F. A new geometrical nonlinear laminated theory of large deformation analysis. H.-F. Tan, Z.-H. Tian, Dux.-W. // Int. J. Solids, and Struct. -2000. 37, №18. - p.2577-2589.

311. Tessler, A. An efficient conforming axisymmetric shell element including transverse shear and rotary inertia / A. Tessler // Comput. and Struct. — 1982. 15. — N5. — p.567-574.

312. То, С. W. S. Hybrid strain based geometrically nonlinear laminated composite triangular shell finite elements / C. W. S. To, B. Wang // Finite elem. Anul. and Das. 1999. - 33, №2. - p.83-124

313. Tottenham, H. Mixed finite element formulation for geometrically nonlinear analysis of shells of revolution / H. Tottenham, S. Y. Barony // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1978. - 12. - №2. - p. 195-201.

314. Turner, M. J. Stiffness and defection analysis of complex structures / M. J. Turner и др. //J. Aero. Sci. 1958. - 23. - № l.-p. 805-823.

315. Wendt, W. Explicit dynamic formulation of large strain shell analysis for the Morley triangular element / W. Wendt // 9 th. Nord. Senin. Comput. Mech., Lyngby, Oct. 25-26, 1996. -Lyngby, 1996. p. 153-156.

316. Wennerstrom Hans Nonlinear shell analysis performed with flat elements / Wennerstrom Hans // Finite Elem. Nonlinear Mech. Trondheim, 1978. - Vol.1. -p.285-301.

317. Wood, R. D. Geometrically nonlinear finite element analysis of beams, frames, arches and axisymmetric shells / R. D. Wood, O. S. Zienkiewicz • // Comput.' and Struct. 1977. - 7. - №6. - p.725-735.

318. Wriggers, P. A comparison of three-dimensional continuum and shell elements for finite plasticity / P. Wriggers, R. Eberlein, S. Reese // Int. J. Solids Structures. 1996. - Vol. 33. -N20-22. -pp.3309-3326.

319. Xue, M. Some results on the analytical solution of cylindrical shells with large opening / M. Xue, Y. Peng, K. Hwang// ASME J. of pressure vessel technology. 1991.-vol. 113.-pp. 297-307.

320. Yuan, K. Y. Nonlinear analysis of an axisymmetric shell using tree node degenerated isoparametric shell elements / K. Y. Yuan, С. C. Liang // Comput. And Struct. 1989. - 32. - №6. - p.1225-1239.

321. Zeng Q. A new one point quadrature general non - line a quadrilateral shell element with phisical stabilization / Q. Zeng, A. Combessior // Jut. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. - 42, №7. - p. 1307-1338.

322. Zienkiewicz, O.C. Finite elements in the solution of field problems / О. C. Zienkiewicz, Y. K. Cheung // The Engineering. 1965. - Vol.220. - p. 507-510.