автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические модели исследования оболочечных конструкций с трехмерных позиций

РГб од

/ АВГ 2801

На правах рукописи

Колдунов Владислав Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ТРЕХМЕРНЫХ ПОЗИЦИЙ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тверь 2000

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Тверского государственного университета.

Научный консультант

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор фкзико-математйческих наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ А.Н.Кудинов

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН

A.МЛивапоз

доктор технических наук, профессор

B.Г.Зубчашшов

доктор физико-математических наук, профессор В.П.Цветков

Томский государственный университет

00

Защита состоится «03 » ищпя 2000 г. в /О часов на заседании диссертационного совета Д 063.97.01 при Тверском государственном университете по адресу: 170000, Тверь, ул. Желябова, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского госуниверситета.

Автореферат разослан « ¿¿¿/¿¿¿С*/ 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

¿Я,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования определяется потребностью в разработке математических моделей, позволяющих на базе современных вычислительных средств и техники реализовать методы расчета, необходимые при анализе и проектировании деформируемых систем, сочетающих оболочечные (традиционно рассматриваемые как двумерные) и пространственные объекты, с позиций трехмерной теории механики деформируемых тел (МДТТ).

Особенно актуальность развития подобных моделей и методов возросла в связи с широким применением искусственных композитных материалов, отличающихся существенной анизотропией физико-механических (ф.- м) свойств.

В научной литературе, в работах отечественных и зарубежных авторов (например, A.M. Гузя, И.Ф. Образцова, С.А.Амбарцумяна, Д. Бушнелла, Ф. Сьярле и многих других), необходимость в разработке вопросов, связанных с проблемой анализа и расчета существенно анизотропных тонкостенных конструкций с общих трехмерных позиций МДТТ, отмечалась в связи с наличием новых эффектов, возникающих в процессе проведения соответствующих экспериментов или эксплуатации композитных оболочек и обол очечных конструкций.

В рамках теории оболочек различных приближений получили развитие подходы и методы, основанные на дополнительных положениях, обеспечивающих учет отмеченных отдельных новых эффектов, вызванных существенной анизотропией композитных материалов.

В данной работе проведено исследование, направленное на разработку и реализацию численной модели для решения задач теории оболочек с пространственных трехмерных позиций МДТТ, без допущений, свойственных теориям оболочек различных приближений.

В итоге представлены результаты, полученные на пути численного моделирования и решения задач определения напряженно-деформированного состояния (НДС), устойчивости и закритического поведения оболочек, исходя из энергетических соотношений теории упругости, упругопластичности и устойчивости.

Вместе с тем разработанная модель позволяет проводить совместный расчет анизотропных оболочек (традиционно рассматриваемых как двумерные) и пространственных (трехмерных) деформируемых объектов на основание единого численного алгоритма при реализации конструктивных решений, позволяющих в рамках современных производственных технологий создавать сложные (слоистые, составные, подкрепленные, с наполнителями и др.) оболочечные конструкции.

Выводы и рекомендации, полученные в результате проведенного исследования, могут служить основой для проведения численных расчетов, направленных на уточнение границ применимости тех или иных допущений, свойственных терриям оболочек или инженерным методикам.

Таким образом, тема исследований по своему содержанию отвечает потреб ностям, обусловленным требованиями, предъявляемыми к научным исследова ниям в области разработки новых моделей, необходимых при анализе и проек тировании деформируемых систем с учетом возможностей современных мате матических методов, вычислительных средств и производственных технологий Цель и задачи исследования. Цель исследования - разработка нового подхо да, направленного на создание численной модели и реализации методов расчет задач теории оболочек с пространственных позиций МДТТ, без допущений свойственных теориям оболочек различных приближений. Тем самым обеспе чение возможности учета трехмерности НДС существенно анизотропных обо лочек в процессе расчета и анализа механического поведения композитны: гладких (в том числе слоистых и составных) оболочек, а также обеспечение со вместного расчета оболочек (традиционно рассматриваемых как двумерны объекты) и трехмерных деформируемых объектов в рамках единого универ сального численного алгоритма.

Основными задачами исследования, определенными поставленной целые явились:

- выявление и обоснование принципов формирования исходных конечно разностных аппроксимирующих соотношений, положенных в основу по строения численной модели;

- реализация модели, исходя из энергетических соотношений теории упруго сти, упругопластичности и устойчивости на базе современных математиче ских методов и вычислительной техники;

- практическая проверка разработанного подхода, модели и методов ее реали зации на примере решения конкретных задач, в том числе при проведени: тестовых расчетов в сравнении с известными решениями, полученными, ис ходя из теорий оболочек Кирхгофа - Лява, С.П. Тимошенко, С.А. Амбарц) мяна.

Научная новизна заключается в следующем:

- разработана модель для расчета и анализа механического поведения тонкс стенных оболочечных конструкций, реализующая общий подход с позици трехмерной теории МДТТ как для оболочек, так и для деформируемых твер дых тел (имеющих соизмеримые размеры во всех координатных направле ниях), т.е. механических объектов, для которых традиционно существуют разрабатываются собственные теории, описывающие их деформированное напряженное состояние, а также подходы и методы реализации решений сс ответствующих задач;

- разработан унифицированный численный алгоритм и предложены методик построения алгебраических линейных и нелинейных систем вариационнс разностных уравнений на основе общих исходных соотношений в ортогс нальной системе координат тороидального типа, позволяющие проводит решение задач определения НДС, устойчивости и закритического поведени гладких и подкрепленных оболочек и панелей, оболочек с заполнителем

учетом геометрических форм, различных граничных условий, условий контакта и силового нагружения;

- представлены результаты решения конкретных задач для тонких достаточно протяженных (в том числе составных и многослойных оболочек) с позиций нового подхода, учитывающего трехмерность НДС и анизотропию ф.-м. свойств материалов;

- систематизированы и обобщены требования и условия применения пространственных трехмерных соотношений МДТТ к анализу и расчету НДС, устойчивости и закритического поведения сложных пространственных обо-лочечных систем;

- получен ряд данных о границах применимости классических моделей теорий оболочек к анализу поведения оболочечных конструкций из композитных материалов при силоеом нагружешш.

Достоверность и обоснованность научных положений, рекомендаций и достоверность результатов исследований подтверждаются:

- корректностью применяемого апробированного математического аппарата и методов анализа НДС и устойчивости в рамках теории оболочек, теории упругости и теории устойчивости деформируемых систем;

- подходом к построению численной модели, реализующей энергетические соотношения механики деформируемого твердого тела вариационно-разностным методом, исходя из принципа мипимума функционала полной потенциальной энергии деформации упругой системы в форме Лагранжа, принципа минимума приращения функционала полной энергии деформации упругопластической системы, принципа стационарности и энергетического критерия устойчивости в форме Брайана;

- получением устойчивых численных решений разрешающих систем алгебраических (вариационно-разностных) уравнений, реализуемых в процессе применения различных модификаций численной модели, на основе корректного применения численных методов алгебры;

- согласованностью полученных результатов с известными аналитическими решениями теории оболочек Кирхгофа - Лява, С.П. Тимошенко, С.А. Ам-барцумяна и аналитическими и экспериментальными результатами A.B. Кормишина, В.А. Лясковца, А.Н. Меченкова, В.В. Болотина, С.О. Джанко-това, В.А. Киреева, Н.Т. Кулагина, М.А. Ильгамова, В.А. Иванова, Б.В. Гу-лина и др. для гладких, подкрепленных композитных оболочек и оболочек с заполнителем.

Значимость для науки результатов исследований заключается в том, что, по-видимому, впервые реализован расчет тонкостенных оболочечных конструкций с пространственных трехмерных позиций МДТТ, без допущений, свойственных теориям оболочек различных приближений. Полученные результаты раскрывают возможность совместного расчета оболочек и трехмерных деформируемых твердых тел на основании единого численного алгоритма.

Тем самым реализован общий подход к расчету тонкостенных оболочечных конструкций по сравнению с традиционными методами, основанными, например, на введении коэффициента постели при расчете оболочек с заполнителями, а также других допущений, позволяющих опосредованно учитывать влияние различных (в том числе физико-механических и геометрических) характеристик на НДС и устойчивость гладких оболочек и оболочек, взаимодействующих с деформируемыми твердыми телами.

В этой связи полученные результаты мшуг служить основой нового направления в применен™ вычислительной техники, математического моделирования и математических методов при анализе и проектировании сложных оболочечных конструкций и систем.

Практическая значимость работы определяется тем, что результаты проведенного исследования нашли применение:

- на предприятиях оборонной промышленности РФ с определенным экономическим эффектом в процессе разработай алгоритмов и программ, реализующих предложенную численную модель, и их внедрения в производство и отраслевой фонд;

- при выполнении госбюджетных программ Минобразования РФ: «Монитор» (тема: «Разработка математических моделей для прогнозирования физико-механических характеристик, композиционных материалов») и «Структура» (тема: «Математическое моделирование физико-механических процессов в неоднородных средах»), темы НИР: «Разработка численных моделей для анализа структурных деформируемых систем» в рамках программы «Научные исследования высшей школы в области производственных технологий» Минобразования РФ;

- при разработке спецкурсов и учебного пособия для студентов, специализирующихся по профилям: прикладная математика и механика.

Основные положения выносимые на защиту:

- численное моделирование поведения тонких и достаточно протяженных оболочек с пространственных трехмерных позиций МДТТ, без допущений, свойственных теориям оболочек различных приближений;

- алгоритм численной реализации решения задач деформирования, устойчивости и закритического поведения оболочек и совместного расчета оболочек и пространственных элементов (т.е. механических объектов, для которых традиционно разрабатываются и реализуются собственные теории) с единых трехмерных позиций МДТТ;

- методика построения алгебраических линейных и нелинейных систем вариационно-разностных уравнений с использованием ортогональной системы координат тороидального типа, позволяющая реализовать решения задач деформирования, устойчивости и закритического поведения оболочечных конструкций на основании единого численного алгоритма в рамках единого программного продукта для конструкций с различной конфигурацией срединной поверхности оболочечных элементов;

- результаты решения задач для композитных оболочек, составных оболочеч-ных конструкций, подкрепленных оболочек и оболочек с заполнителем с учетом трехмерности НДС и анизотропии механических свойств материалов;

- оценка границ применимости классических моделей теории оболочек к анализу поведения оболочек и оболочечных конструкций из композиционных материалов и применимости оболочечных теорий различных приближений и инженерных методик при решении прикладных задач;

- необходимость разработки подобных моделей и методов их реализации с внедрением новых композиционных материалов и новых технологий изготовления конструкций, позволяющих создавать сложные оболочечные конструкции;

- рекомендации по применению предложенной численной модели для моделирования механического поведения конструкций в зависимости от их геометрических параметров, конструктивных особенностей, ф.-м. свойств материалов, условий контакта и силового нагружения;

- обобщение и систематизация подходов и методов в процессе применения и реализации численной модели при анализе и прогнозировании механического поведения оболочечных конструкций с единых позиций.

Личный вклад автора во всех работах, выполненных в соавторстве, состоял в физико-математической постановке задач, в формулировке модификаций предлагаемой математической модели, участии в разработке программ и численных методик, проведении численных расчетов и анализе конкретных результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены и обсуждены на 13-й Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, г. Таллин, 1983 г.; Всесоюзной конференции по композитным материалам, г. Пермь, 1985 г.; на II Всесоюзном симпозиуме «Устойчивость в механике деформируемого твердого тела», г. Калинин, 1986 г.; Всесоюзной конференции по применению численных методов в механике сплошных сред, г. Калинин, 1991 г.; III симпозиуме «Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела, г. Тверь, 1992 г.; International seminar - exhibition computer — aided design and création of advanced materials and technologies "CADAMAT - 92", Tomsk, Russia, 1992; 9-й международной конференции по прочности и пластичности, г. Москва, 1996 г.; Конференций, поддержанных Российским Фондом Фундаментальных Исследований, по применению математического моделирования для решения задач, в науке и технике (ММНТ 96, ММНТ' 98 г. Ижевск, 1996 г., 1998 г.); IV международном научном симпозиуме «Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела, г. Тверь, 1998 г..

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы из 113 наименований. Общий объем 241 стр.

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 30 научных работ.

Содержание работы.

Во введении диссертации обосновывается ее актуальность, сформулирована цель исследований, определен объем решаемых задач, кратко изложено содержание работы и результаты, которые выносятся на защиту.

В первой главе представлены основные исходные кинематические, ф.-м. и энергетические соотношения: теории упругости ортотропных тел (в том числе соотношения динамики в свертках), варианта разномодульной теории упругости и теории упругопластических тел, а также приведены модификации ап-роксимирующих к.-р. соотношений, положенные в основу формирования численной модели и методов ее реализации.

Для получения кинематических соотношений, связывающих тензор деформаций с перемещениями, используется общее выражение для тензора второго ранга, определяющего относительные изменения скалярных произведений двух элементарных векторов в криволинейных системах координат. На основании этого соотношения в случае ортогональных координат (рис. 1) выражения для компонентов истинных (физических) деформаций представлены в виде:

= Qaa+\(.Qla+Qlp+Ql\

е<ф=*Ра = \{Qap +Qpa) + \{QaaQap + QppQa/3 + QyyQpy ) 0)

где введены обозначения:

Qaa ~

Qap =

Hn

du.

1 dHr

H.

a

Qpr =

Qya =

Hp

J_

Hv

да V +--— i Hp dp

( ч сир 1 дНа

да \ Hp dp

(дир i днрг

{дР Нг ду

диа 1 дНу и

up

•a

\

UP

1 dlig

Ну ду

(2)

ду Ha да

В (1, 2) На,Нр,Ну коэффициенты первой квадратичной формы (коэффициенты Лямэ) соответствующих координатных поверхностей а = const,Р = const,у -const-, иа,ир,иу - проекции вектора перемещений на

соответствующие координатные оси. Компоненты £рр,£уу получаются в результате циклической замены индексов а на р, Риг у, у на а в выражении

для еаа при получении Cßß и затем в выражении для еßß при получении Еуу. Аналогично при получении £ßy = £yß, £уа — £ау на основании вьфажения для saß = £ßa и ПРИ получении Qßß,Qyy на основании выражения для Qaa. Выражения для Qßa получается заменой а на ß и ß на а , в выражении для Qaß, для Qyß - заменой ß на у, у на ß в Qßy и, наконец, для Qay - заменой у на а я а на у в выражении для Qya.

Представление компонент тензора деформаций в виде (1) с учетом обозначений (2) позволяет легко получать необходимые исходные соотношения при переходе к конкретным ортогональным координатным криволинейным системам. В том числе к ортогональной криволинейной системе координат то-

роидального типа, представленной на рис. 1 и позволяющей за счет устремления к нулю или бесконечности радиуса Лд, а также соответствующего выбора радиусов кривизн Яа Др осуществлять переход к, например, цилиндрическим,

сферическим, эллиптическим и другим координатным системам с учетом геометрии срединных поверхностей оболочек (панелей), в том числе оболочек вращения. Тем самым построить универсальный подход к расчету НДС оболочек (панелей) различных конфигураций на основании единых исходных соотношений, единого численного алгоритма в рамках единого программного продукта.

Ф—м. соотношения, описывающие упругую деформацию, представлены линейным законам Гука для ортотропных тел. В случае, когда оси ортотропии а',Р',у' материала не совпадают с координатными осями а,р,у, следует воспользоваться формулами пересчета.

Ф.-м. соотношения, описывающие упругопластическое поведение деформируемых тел, представлены соотношениями Прандтля - Рейса при условии текучести Мизеса.

Ф.-м. соотношения разномодульной теории упругости представляют вариант, предложенный С.А.Амбарцумяном, на случай, когда при сжатии и растяжении материал проявляет различные упругие свойства (имеет различные значения модулей Юнга и коэффициентов Пуассона соответственно).

Затем приводятся вариационные постановки задач в рамках принятых линейных исходных геометрических и ф—м. соотношений и исходные к. — р. аппроксимирующие соотношения, положенные в основу формирования и реализации численной модели. Один из реализованных вариантов аппроксимирующих соотношений, учитывающих межъячеечную связь при аппроксимации функций и производных в направлении у, ортогональном срединной поверхности оболочек, приводится гаже на случай пространственной к. - р. сетки (рис. 2):

ди ду)

где

¿ = Ц иЫ~и1 , ц/-цшЛ

2У/Ы-П П-Гш

(3)

{ч,т,е-1 +Ч,т+1,1-1 +ик-1,т,е-1 +ик-\,т+\,1-\) 4

{ик,т,е+ик,т+1,е + ик-\,т+ от+1,г) 4

(ы*,/я,1+1 +ик,т+\Л+\ + ик-\,т,М +ик-\,т+\,1+\)

4

ГЫ = (гк,т,е-1 +Гк,т+1,1-1 + Ук-\,т,1-\ + Ук-\,т+\,1-\ + Ук,т,1 + + Ук,т+\,1+Ук-\,т,1 + Ук-\,т+\,1

Уг = (/к,т,1 +Ук,т+\Л +Ук-\,т+\,1 + Ук-\,т,1 + Ук,т,М + + Ук,т+1,£+1 +Ук-1,т,£+\ +Ук-\,т+\,1+\)/8>

Уш = {ук,т,1+\ +Ук,т+\,1+\ +Ук-\,т,е+\ + Ук-\,т+\,1+\ + Ук,т,1+2 + + Ук,т+1,г+2 +Ук-1,т,(+2 +У.к-1т+1,£+2)/&

вычисляются, исходя из значений координат в узлах основной сетки,

ду

дГ}{ \дг)1

дю

выражения принимают аналогичный вид;

^ _ик,т,£+ик,т+\,

1~ик-\,тЛ~ик-\,т+\,1

2{аз\

(4)

для

ди &

где

= \*к,т,е +Ч,т+\,е +Ч,т,е+1 -Ч-1,т,е ~

вычисляются, исходя из значений координат в узлах основной сетки, ГдИ (ЭиЛ

для — , — выражения аналогичны; для к.-р. производных в направле-\dsJi \дз)1

нни Р принимаются выражения вида

(5)

5м] ик,т+1,£ +ик-\,т+1,е ~ик,т,е ~ик-\,т,1 {др)1 " 2{К2с1(р)

где ¿<р) - усредненная по /- й ячейке длина дуги в направлении/?, для д£ ер

1

выражения аналогичны.

На рис. 2 сплошными линиями представлены ячейки основной к. — р. сетки, пунктирными - вспомогательной, в узлах которой определяются перемещения При этом номерам узлов вспомогательной сетки соответствуют номера узлов основной сетки, расположенных над ними. Соотношения (3,4,5) формируются, исходя из значений перемещений в узлах вспомогательной сетки.

юг шн&$

**кС-з

Рис. 2. Пространственная конечно-разностная сетка.

По размерам ячеек основной сетки вычисляются объемы (поверхности) в приближенных выражениях ДЛЯ ИНТешаЛОВ. ВХОПЯШИХ Л эне.пге.тичр.гктлгр тпт-

ношения, определяющие вариационные постановки соответствующих задач. За счет ячеек вспомогательной сетки учитывалась линейная связь между соседними ячейками, расположенными по отношению к /- й ячейке по направлению у, ортогональному срединной поверхности оболочки. Таким образом, при построении модели учитывалось основное положение классических теорий оболочек относительно линейности деформации в направлении, ортогональном срединной поверхности, но в то же время это положение распространялось не на всю толщину оболочки, а лишь на близкую область, характеризуемую размерами соседних ячеек, расположенных в слоях к. — р. сетки, примыкающих к рассматриваемой /' - й ячейке по направлению у.

В случае осесимметричной деформации выражения (3,4,5) значительно упрощаются. На рис. 3 представлена к. — р. сетка на случай осесимметричной деформации оболочки (тела) вращения в сечении /? = const (как и на рис. 2 сплошными линиями нанесена основная сетка, пунктирными — вспомогательная). Номерам узлов вспомогательной сетки присваиваются номера узлов основной сетки, расположенных непосредственно над ними по направлению у. Искомые перемещения считаются заданными в узлах вспомогательной сетки. Соответствующие аппроксимирующие к. —р. соотношения усредняются по объему / - й ячейки основной сетки. Для /- й ячейки, обозначенной на рис. 3 двойной штриховкой, производные в направлении у принимают вид

uk,t-1 + "¿-1,1-1 ~uk,t ~uk-l,£ |

ГЫ'/i

[ икЛ+ик-и~икЛ+\~ик-и+Л ^

Ti ~ У Hi j

При этом в направлении а (или s) производные от перемещений принимают вид

s),-2*^- (7)

В (6) Уei>YiiYHi вычисляются как и в (3) по узлам основной сетки с учетом того, что число узлов ячейки такой сетки равно четырем. В выражении (7) знаменатель представляет собой длину дуги в направлении s, усредненную по / - й ячейке.

Применение предлагаемых аппроксимаций, например, в случае минимизации функционала полной потенциальной энергии деформации упругой системы в форме Лагранжа на основании алгоритма вариационно-разностного метода сводится к построению системы сеточных уравнений вида

дЭ дЭх дЭ2 п J ,оЧ -=-1--——— = 0, d = u,v,w, (8)

ddk,m,i 8dk,m,t ^dkmj в трехмерном случае (рис. 2) или

_lf

Л, 1 to

дЭ _ дЭу дЭ2

- О, с/ = и, V?,

дс1к,е дак,1

в случае осесимметричной деформации (рис. 3), где в (8), (9)

аэ1 _ у аж,-аэ]

7'мк,т,1 д\У(

К/, ¿ = ы,У,И>,

К/, й = и,у*,

(9)

(10) (И)

8с1к,1 I дс1к,е

РГ,- - приближенное выражение упругого потенциала, отнесенное к объему VI 1-й ячейки основной сетки. Значение индекса /" соответствует числу ячеек, в формировании приближенного выражения упругого потенциала которых на основании исходных аппроксимирующих соотношений учитываются значения искомых перемещений в узлах к,т,1 или к,£ соответственно. На рис. 3 значение индекса / соответствует числу заштрихованных ячеек. На этом рисунке также отмечены узлы вспомогательной сетки, через перемещения в которых

формируется усредненное выражение для

дак,1

(Л = и, м> .

Рис.3. Конечно-разностная сетка на случай осесимметричной деформации.

З.иг

В (8, 9) Э = э(и^Шу£, м>к,т,1) , Э = э(икуе, и^) представляют

собой приближенные выражения функционала Лагранжа Э = Э] - Э2, где Э^ = - потенциальная энергия упругой деформации (работа внутренних

V

сил); Э2 - работа внешних сил, приложенных к системе, на вызванных ими перемещениях.

В результате применения представленных выше (и др. модификаций, нашедших отражение в диссертационной работе) аппроксимирующих к. - р. соотношений учитывается межъячеечная связь при формировании усредненных

по ячейкам производных в направлении у. При этом матрицы сеточных уравнений (8, 9), имеющие трехдиагональную симметричную структуру, характеризуются преобладающими положительными элементами, расположенными по главной диагонали (имеется в виду преобладание над любым элементом, взятым по модулю и находящимся в одной строке с элементом, расположенным на главной диагонали). Свойство, которое имеет место и в случае ячеек к. - р. сетки, имеющих преобладание по размерам в направлениях а,р по сравнению с направлением у (по толщине оболочек) на порядок и выше, и которое нарушается при применении в этом случае внутриячеячной аппроксимации производных, традиционной при реализации вариационно-разностного метода на случай пространственных деформируемых тел, имеющих соизмеримые размеры во всех трех координатных направлениях.

Структура матриц, в свою очередь, позволяет применить к уравнениям типа (8, 9) метод прямого или «точного» решения систем алгебраических линейных уравнений, а именно, метод исключения Гаусса.

Программы, составленные с учетом ленточной структуры и симметрии матриц, позволяют проводить решение систем с матрицами больших размеров.

В результате решения соответствующих систем уравнений, полученных исходя из принятой аппроксимации для производных, положенных в основу формирования численной модели и метода ее реализации, определяются перемещения, затем деформации и, наконец, напряжения, усредненные по ячейкам к.-р. сетки.

Во второй главе приводятся результаты, имеющие место в процессе реализации численной модели при решении конкретных задач, постановки которых в общем виде представлены в первой главе.

Полученные результаты служат подтверждением возможности применения реализуемого подхода к расчету оболочек с трехмерных позиций, без допущений, свойственных теориям оболочек. Их достоверность подтверждалась как в процессе проведения тестовых расчетов в сравнении с известными (аналитическими, численными, экспериментальными) результатами других авторов, так и точностью удовлетворения условий на границах (поверхностях) оболочек при силовом нагружении. Последнее обстоятельство, как показали проведенные в процессе численных экспериментов расчеты, играет немаловажную (а скорее основную) роль при выборе соответствующих модификаций к.-р. аппроксимирующих соотношений в процессе формирования и последующей реализации конкретных расчетных схем, исходя из геометрических и ф.-м. характеристик исследуемых объектов, а также условий контакта, силового нагружения и цели исследования.

Дело в том, что при формировании матриц разрешающих вариационно-разностных уравнений, имеющих симметричную трехдиагональную ленточную структуру, ширина ленты зависит от выбора к.-р. аппроксимации, учитывающей межъячеечную связь пои сЬоотгоовании пооизпопных от Аушпшй (прпр-

мещений) в направлении, ортогональном срединной поверхности оболочки. В частности, соотношения (3, 4, 5) представляют собой оптимальный вариант, а именно, - ширина ленты минимальна (в смысле числа ненулевых элементов, содержащихся в строках матрицы). В то же время, применение к.-р. аппроксимаций такого вида может привести к не достаточно точному удовлетворению граничных условий в направлении у (ортогональном срединной поверхности) для тонких и достаточно протяженных оболочек, хотя напряжения в направлениях а,Р ортогональной криволинейной системы а,Р,у вычисляются (как показали тестовые расчеты) с высокой степенью точности в виду того, что их значения в направлениях а,Р на несколько порядков выше, чем в направлении у.

Как показал анализ полученных результатов, отмеченный факт практически не сказывается на общем результате, если на достаточно протяженном участке поверхности, вдали от мест концентрации напряжений, оболочка загружена равномерно. В этом случае можно применять соотношения типа (3, 4, 5). В общем случае при выборе к.-р. сетки следует предусматривать сгущение сетки в местах концентрации напряжений, одновременно используя ячейки, имеющие протяженность в размерах на порядок и выше в направлениях а и р по сравнению с направлением у в безмоментной области. В конечном счете, в местах концентрации напряжений для тонких и достаточно протяженных оболочек можно проводить уточнение решений методом локального уточнения (в случае, если конфигурация, протяженность оболочки, характер ее загружения, закрепления и контакта таковы, что требуемый учет всех локальных эффектов невозможен в пределах возможностей применяемой вычислительной техники).

Таким образом, применение к—р. аппроксимирующих соотношений типа (3, 4, 5) существенно уменьшает объем памяти ЭВМ при реализации решений за счет сокращения ширины ленты соответствующих матриц, но вносит определенные ограничения па условия их применения в случае расчета тонких и достаточно протяженных оболочек ( в смысле не четкого удовлетворения граничных условий в напряжениях и условий контакта в направлении у). Например, при расчете достаточно жестких ( в первую очередь стальных) оболочек, взаимодействующих с заполнителями (жесткостные свойства которых на несколько порядков ниже).

Отмеченные факты, имеющие место в случае расчета оболочек, а также совместного расчета НДС тонких и достаточно протяженных оболочек и существенно трехмерных деформируемых объектов, привели к поиску новых модификаций к.-р. аппроксимирующих соотношений.

В процессе проведения численных экспериментов был достигнут результат, когда выбор соответствующих межъячеечных к.-р. аппроксимаций (а также их комбинаций, в том числе включающих и внутриячеячную аппроксимацию, традиционно применяемую при расчете существенно трехмерных объектов) позволил добиться устранения отмеченного выше недостатка. Удалось добиться получения матриц с преобладанием по величине элементов, расположенных по

главной диагонали, и, вместе с тем, удовлетворения граничных условий в радиальном направлении для тонких и достаточно протяженных оболочек в случаях, когда вдали от мест концентрации напряжений выбираются ячейки к. — р. сетки, имеющие размеры на порядок и выше по направлениям а,/3 по сравнению с направлением у.

Следует отметить, что, в конечном счете, наиболее оптимальный выбор соответствующих к.-р. аппроксимаций во многом определяется вместе и геометрическими, и ф.-м. характеристиками исследуемых объектов (как собственно оболочек, так и существенно трехмерных деформируемых объектов, взаимодействующих с оболочками). Однако в каждом случае их выбор не представляет труда и возможен на основе унифицированного подхода при составлении программы расчета, предусматривающего использование процедур, реализующих различные модификации к. - р. аппроксимирующих соотношений и их комбинации. Конкретный выбор требуемой аппроксимации может устанавливаться в процессе реализации соответствующих предварительных расчетов, исходя из необходимых условий и требований, определяемых объектом и целью исследований.

В качестве иллюстрации возможности применения предложенной модели к расчету тонкостенных конструктивных элементов с учетом геометрических параметров и ф.-м. характеристик материалов представлены примеры расчета цилиндрических панелей (рис. 4-7), геометрические параметры которых отражены в таблице 1.

Таблица 1.

Рис. Л/Я М1х ииу 0

4 1/333 1/40 1/27 ГТ/30

5 1/666 1/83 1/666 П/3

6 1/33 1/17 1/33 П/3

7 1/20 1/10 1/20 П/3

Радиус срединной поверхности Я = 100 см.

Физико-механические свойства материала характеризуются значениями: Е2 =7,8-105 кг/см2, = 5105 кг/см2, Ег = 6-Ю4 кг!см2, у2(р = 0,25, уг(р = = 0,48,

С7гр = 2-10"' кг!см2, ~ 2-Ю4 кг!см*".

Результаты, полученные для панелей, нагруженных внешним равномерным давлением при условии жесткого защемления на границах, по пространственной схеме, без допущений, свойственных теориям оболочек, нанесены штрих -пунктирной, по теории оболочек Тимошенко — штриховой, по теории оболочек Кирхгофа-Лява - сплошной линиями.

На рис. (4, 5) представлены прогибы панелей, рассчитанные по теории Кирх-гофа-Лява и пространственной схеме. С увеличением модулей сдвига Ggjf. и Gzr (или G23,(?13 соответственно) прогибы срединной поверхности

(рис. 4) уменьшаются и приближаются к прогибу, рассчитанному по пространственной схеме.

На рис. (6) прогибы, рассчитанные по пространственной схеме, выше, чем по оболочечным теориям, которые практически совпадают. На рис. (7) прогиб, рассчитанный по теории Тимошенко, занимает промежуточное положение. (Прогибы оболочек по оболочечным теориям проводились методом конечных разностей не автором диссертации).

На рис. (4 - 7) прогибы нанесены для средней части панелей, в то время как расчеты проводились полностью для каждой из панелей.

Наличие сечений 0(или <р) = const и z = const , относительно которых должна наблюдаться симметрия результатов, послужило дополнительной проверкой для полученных численных решений. Совпадение результатов относительно этих сечений было практически полным, несмотря на большое число уравнений в системах, полученных вариационно-разностным методом и реализуемых методом прямого исключения Гаусса. При этом в случае применения внутриячеячной аппроксимации (традиционно применяемой для расчета существенно трехмерных объектов) реализация решения соответствующих разностных уравнений не приводит к положительному результату: численное решение неустойчиво.

Геометрические параметры оболочки (цилиндрической панели)

и-¡Оси

¡41 <0<п / л ■13

К

V

V*

и СМ

1ц.

Л

1 »

1 \\

\

\

Рис.4.

Ц/2 Ц

Рис.5.

Нем

1

ч

■

1\

Л V

V [\

V*

о.Х

0.1

йен

* , , Л __

1—_ -

N \

Рис.6. Рис.7.

Рис.4-7. Результаты расчета НДС цилиндрической оболочки (панели) по теориям оболочек Крихгофа-Лява, Тимошенко, пространственной схеме.

Другим примером, из представленных в диссертационной работе и подтверждающим достоверность полученных результатов в сравнении с известными результатами, полученными другими авторами, может служить пример тестовых расчетов НДС круговой цилиндрической оболочки, регулярно подкрепленной кольцевыми ребрами жесткости, материал которых (как и оболочки) анизотропен.

При расчете на основании предлагаемой численной модели оболочка полагалась достаточно длинной и находилась под действием внешнего равномерно распределенного давления. На торцах оболочки предполагалась жесткая заделка.

Результаты, полученные в значительном удалении от торцов, согласовываются при их сравнении с результатами, приведенными М.Ф.Яковлевым, И.С.Левченко, В.Е.Спиро и В.С.Дейнеко, Н.И.Молчановым, Л.Д.Николаенко в сборнике статей «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» по материалам 4 и 5 Всесоюзных конференций, г. Новосибирск, 1976, 1978 г.г.

Результаты этих авторов, в отличие от представленных в диссертации и полученных для подкрепленной оболочки в целом, были получены в предположении что все ребра находятся в равнонапряженном состоянии. Ими выделялось подкрепление с частью оболочки, и расчет НДС проводился вариационно-разностым методом и методом конечных элементов, как он проводится традиционно для упругих тел, имеющих соизмеримые размеры во всех направлениях, т.е. с применением внутриячеечной аппроксимации соответствующих функций и производных.

Примером расчета составных оболочек при различных условиях контакта служит расчет НДС металлической и ортотропных круговых цилиндрических оболочек в области их резьбового соединения. Расчет НДС проводился в осе-симметричной постановке в виду того, что соединение носит ленточный характер, длина витков резьбы имеет значительную протяженность в осевом направлении и витки по своей конфигурации образуют пологую спираль, весьма мало отклоняющуюся от поперечных сечений оболочки. Металлическая оболочка на ортотропную накручена сверху. В целом конструкция подвергается нагруже-нию внутренним равномерно распределенным давлением.

На рис. 8 представлены условия контакта и загружения оболочек. На поверхностях оболочек, соответствующих отрезкам ВА\,0А2,...,01_\А1,01С,В\С\,...,В1С1 предполагается скользящий контакт, т.е. перемещения в направлении оси для каждой из оболочек могут быть различными в каждой из точек этих участков, а перемещения и по г равны; на отрезках С]£)1,...,С/£),- - равенство перемещений на отрезках А\В\У...,А^В1- отсутствие всякого контакта. Конец металлической оболочки со стороны точки С жестко защемлен, а со стороны точки А на достаточном удалении от точки В (конца металлической оболочки) прилагается растягивающее усилие, соответствующее распределенному давлению, которое действует на предполагаемое днище.

10 9 в ? 6 5 4 3 г I

V Г~ Г" Г" Г" Г" Г~ г~ г~ Г"

Т а

£ 1 •ю V •б >« |< »3 12 »,1

»« А/

I I • :я

а-*

Г--- ----- А В

с 3/

Л

гу

Рис.8. Резьбовые соединения оболочек. Условия контакта.

Расчеты проводились как на случай абсолютно жесткой металлической оболочки, так и на случай совместного расчета НДС ортотрорпной и металлической оболочек.

В качестве проверочных расчетов подводился подсчет растягивающего усилия в сечениях оболочек (интегральной характеристики, соответствующей полученным напряжениям в осевом направлении по ячейкам к.-р. сетки). Расчет усилий проводился по сечениям, расположенным до, после и в области резьбового соединения оболочек (рассчитывалось до 10 витков).

Как показали проверочные расчеты, разница между этими усилиями и растягивающим усилением Р, приложенным к ортотропной оболочке, по величине оказалась несущественной, что подтверждает достоверность полученных результатов.

Из приведенных в диссертации результатов видно, что распределение НДС в области резьбового соединения в значительной степени определяется деформа-тивными свойствами и условиями загружения рассматриваемых оболочек.

Реализованный алгоритм для каждого конкретного случая позволяет подобрать наиболее оптимальный вариант резьбового соединения с учетом влияния геометрических и ф. - м. праметров на распределение НДС в подобных оболо-чечных конструкциях.

Следует заметить, что выводы, полученные в результате анализа результатов, нашли качественное подтверждение в процессе проведения соответствующего эксперимента (проведенного не автором диссертации), а также в процессе эксплуатации подобных конструкций.

На рис. 9-11 представлены результаты расчетов, полученные для следующих гипотетических геометрических и упругих характеристик системы: —3 —3

3-10 ,7-10 м - толщины металлической и ортотропной оболочек соответственно;

А1В1 =... = А1В1 = С^! =... = С,-£>,- = В\С\ = В1С1 = 2-10 ~3м;

ВА\ = ЩА2 =... = О,= £>/С = 5-10-3л1;

11 2

1 = 10 - число витков резьбы; £ = 210 н/м ; V = 0,3 - модуль Юнга и коэффициент Пуассона металлической оболочки; Ег = 5,88-109н/л<2; Е^ = 4,9-Ю10 н/м2; Ег = 7,84-1010н/л<2;

вГ2 =3,92-109 н/м2;

пр ~ 0.48, Ущ - 0,4 - упругие характеристики ортотропной оболочки.

Пунктирными линиями обозначены результаты, полученные в предположении недеформируемости металлической оболочки, сплошными линиями - результаты, полученные при совместном расчете НДС оболочек.

На рисунках нанесены эпюры напряжений в сечениях 1-1,..., 10-10. На рис. 9 — сжимающих напряжений между линиями СО и АВ. На рис. 10 — растягивающих напряжений между линиями АВ и ЕЕ. На рис. 11 - сдвиговых напряжений между линиями С£> и АВ.

М5.*/

г 10 9 6 7 б 5- 4 3 2 I

к

©

!0 9 в 7 б 5 ... 4 3 2 1 ,

Л1 У,5:У —

Рис.9. Эпюры сжимающих напряжений.

Рис.10. Эпюры растягивающих напряжений.

<• ТО 9.

7

М54

Л ^Г-

IX

§ а ^

к

к

©

10 9 8 7 6 ?? 32

Д1 '.5:/

м

Рис.11. Эпюры сдвиговых напряжений.

Приведенные результаты отражают возможность расчета составных оболо-чечных конструкций при различных условиях их контакта на основании предлагаемой модели.

Возможность определения НДС с учетом влияния ф.-м. характеристик, не учитываемых в оболоче шых расчетных схемах, была реализована на примере решения динамической задачи для упругой ортотропной цилиндрической оболочки с использованием функционала Лагранжа в свертках.

Достоверность результатов, полученных на основании применения представленной в дисс-ертаънонней работе численной модели, и возможность ее применения к расчету тонких и достаточно протяженных оболочек с пространственных (трехмерных) позиций подтверждается их сравнением с результатами, полученными другими авторами на основании численного решения уравнений движения оболочек с . ^пользованием модели типа Тимошенко.

В качестве тестового примера, иллюстрирующего согласование пространственной и оболочечной схем, на рис. 12-14 приведены распределения осевых напряжений и перемещений, а также прогибов для цилиндрической ортотроп-ной оболочки с характеристиками материала:

£1 = £3 =2,94-1010Дд,£2 = 4,14-1010Яа {Е2 отвечает окружному направлению, Е\ - осевому),

в12 = 2,94-1010 Да, = у21 = °>35> ^23 =0,49.

Оболочка нагружалась осевым давлением по свободному торцу при условии жесткого защемления другого. Сплошной линией показаны решения, полученные по оболочечной схеме, штриховой - по пространственной. Налицо качественное и количественное совпадение результатов.

к С №

9 ! 1 > ✓ /

1 - ш

м . — «1- 0.1 1

•г.©1.

!

1 •

Рис.12. Распределение осевых напряжений при динамическом нагружении цилиндрической оболочки.

Рис.13. Осевые перемещения при динамическом нагружении цилиндрической оболочки.

Рис.14. Прогибы цилиндрической оболочки при динамическом нагружении.

Кроме приведенных выше примеров, иллюстрирующих некоторые аспекты реализации численной модели, можно также отметить результаты расчетов на случай тонких достаточно протяженных ортотропных оболочек с малой сдвиговой жесткостью материалов с целью уточнения НДС в зоне краевого эффекта, где, как это отмечено академиком С.А.Амбарцумяном, даже уточненные теории оболочек не дают достоверных сведений о параметрах НДС. В процессе

реализации тестовых расчетов рассматривалась круговая цилиндрическая оболочка, находящаяся под действием равномерно распределенного внутреннего (внешнего) давления, оболочка разбивалась на ячейки к. - р. сетки как по ее длине, так и толщине.

Безразмерный параметр (отношение толщины оболочки к радиусу срединной поверхности) для ортотропной оболочки менялся в пределах от 0,028 до 0,007.

Для трехслойной оболочки он равнялся 0,056. (Слои оболочки отличались величиной их сдвиговой жесткости). На торцах оболочех предполагалась жесткая заделка.

В безмоментной зоне интегральные характеристики (усилия, моменты, прогибы), отнесенные к срединной поверхности, совпадали с рассчитанными как по теории Тимошенко, так и Кирхгофа - Лява.

В зоне размером Он-2к от торца оболочек (погранслой Сен-Венана-Фридрихса) расхождения с расчетами по теории Тимошенко достигали 50-80%. Отличая от рассчитанных по теории Кирхгофа - Лява еще значительнее. В зоне краевого эффекта за ногранслоем Сен-Венана-Фридрихса практически наблюдалось совпадение подсчитанных интегральных характеристик (исходя из трехмерной схемы расчета) с полученными по теории Тимошенко, по наблюдалось отличие от результатов, полученных по теории оболочек Кирхгофа - Лява.

Анализируя полученные результаты можно отметить, что в зоне погранслоя Сен-Венана-Фридрихса необходимо рассчитывать НДС, исходя из общих соотношений теории упругости или по уточненным оболочечным схемам, учитывающим сдвиг по толщине оболочки и упругие свойства в направлении, нормальном к срединной поверхности.

На основании единого численного алгоритма были проведены расчеты НДС для ортотропных оболочек различной конфигурации в зависимости от геометрических параметров и ф.-м. свойств их материалов, исходя из общих исходных соотношений, соответствующих систем координат тороидального типа.

Расчеты НДС, полученные на основе реализации принципа минимума приращения функционала полной энергии деформации упругопластических систем и принципа минимума полной потенциальной энергии деформации системы на случай разномодульной теории упругости, носили проверочный тестовый характер. Сравнение полученных результатов с известными аналитическими решениями показало удовлетворительное совпадете результатов.

Все представленные в главе примеры отражают возможности применения разработанного подхода к расчету НДС оболочек и оболочечных конструкций с учетом трехмерности распределения напряжений по толщине тонких и достаточно Протяженных оболочек, что, в свою очередь, позволяет устанавливать границы применимости оболочечных теорий для расчета НДС оболочек, исходя из геометрических параметров и ф.-м. характеристик материалов, а также проводить совместный расчет тонкостенных и пространственных (имеющих соиз-

меримые размеры во всех направлениях) элементов обе почечных конструкций на основании единого алгоритма.

В третьей главе приводятся постановка, алгоритм решения и реализация задачи устойчивости оболочек и оболочечных конструкций с позиций теории упругости ортотропного тела на основании соотношении, выражающих энергетический критерий устойчивости в форме Брайана.

Исходя из представления о возможности появления смежных форм равновесия упругой системы при действии консервативных нагрузок, когда исходное состояние перестает быть устойчивым, перемещения точек в ортогональной криволинейной системе координат у,Р,а (или л-) принимаются в виде:

и-и® +а0и',

у = у0+аоу1, (12)

Л

где и0 = /?,$), V0 = v®(y,p,s), = мР{у,р,$) - смещения, характеризующие докритическое НДС; к' — V1 = = - конечные функции координат, описывающие появление смежной формы равновесия; ад - бесконечно малая величина.

Исходя из (12), компоненты тензора деформаций представляются с точностью до слагаемых с множителем а^ включительно в виде

еу = + а0£у + ссц£у, г,] = а,/?,у. (13)

В (13) определяются перемещениями ы0,у°,и>0, характеризующими

докритическое НДС; £у - и и1,у1,н''; Еу -

Когда пренебрежение докритическими изменениями размеров допустимо, в выражениях для £д можно пренебречь считая их малыми по срав-

нению с единицей, что приводит к значительному упрощению соотношений ■

для су.

Если полную энергию деформации представить в виде Э = и + П, (14)

где П - потенциал внешних сил,

и = \ \ау£у(1У, /,/ = у,Р,Б, (15)

то, полагая закон Гука справедливым как для докритического равновесного состояния, так и для смежной формы равновесия, внутреннюю энергию деформации можно представить в виде

и = и° +а0и2 +а1и1, (16)

где Е/° определяется через ; С/1 - через Ец и ец \ - через е® и £ц.

В процессе реализации вводились выражения и8 = ^^ А8й8 В8и8 С8и8 И8У8 +

Е8у8 Р8»8

-¡¡г [за8 д<1% да8

где йь = -,-,а5,-

\dr ds др

¿V, (17)

Т

, с! = и, V, и', % = 0,1, - векторы-столбцы, ком-

понентами которых являются м^,у^,>с®или г/', у', и>' и их производные по координатным направлениям. Верхний индекс g введен для указания к какому (т.е. исходному, при £ = 0, или смежному, при я = 1) состоянию равновесия

относится отмеченная им величина. В (17) А8 ,В8 ,С8 ,Е8 ,Г8 - квадратные матрицы размерами 4x4, элементы которых зависят от координат и ф.-м. характеристик материала, символом "Г"обозначена операция транспонирования.

В случае пренебрежения изменением докритических размеров, в результате

I

значительного упрощения соотношений для £у упрощаются и выражения для элементов матриц.

При нагружении системы внешними объемными и поверхностными силами потенциал внешних сил в (14) представим в виде

П = П°+а0П1, (18)

где вычисляются по формуле

П£ \{руи8 +Р^8 + Рхю8)сЯ,

V Б

Фу,Фр,Ф3 - проекции объемных, Ру,Рр,Р5 - поверхностных сил на соответствующие координатные направления.

В конечном счете полная потенциальная энергия упругой системы предста-вима в виде

Э = Э° +а0Э2+сс2Э], (19)

где + П - энергия деформации в исходном состоянии равновесия,

Э2=1/2+П1,Э1=С/1.

Величины I/®,и1- квадратичные функционалы относительно и

«».У1,*1.

Условие существования смежной формы равновесия приводит к соотношению 5Э = 0, (20) выражающему условие стационарности полной энергии.

В предположении устойчивости исходного состояния равновесия, описываемого перемещениями , на основании (18) следует вариационное

уравнение <5Э° = 0, (21)

выражающее принцип минимума функционала Лагранжа для исходного состояния, а также

5Э1 = 0, (22)

являющееся исходным для установления критерия устойчивости.

В соответствии с общими положениями вариационно-разностного метода функционалы в (21, 22), зависящие от непрерывных функций, заменялись их дискретными аналогами.

В результате реализация соответствующих задач сводится к решению сеточных уравнений вида

^{ищ, УЩ, ^ктд = 0 (23)

g = 0,1, с1 = и, v, IV, индекс £ = 0 соответствует статической задаче определения докритического НДС, индекс £ = 1-задаче устойчивости.

Поскольку при реализации конкретных задач используются аппроксимации первого порядка точности (например, типа (3,4,5)), то решение системы уравнений (23) приводит к значениям минимума приближенных функционалов, отличающихся от минимума исходных функционалов (от непрерывных перемещений) на величину порядка характерного размера ячеек сетки.

В процессе реализации соответствующих решений проводились апостериорные оценки на основе сравнения решений при различных параметрах сетки, а также по точности выполнения граничных условий в напряжениях.

Система (23) характеризуется ленточными симметричными матрицами коэффициентов. При расчете НДС эти матрицы являются положительно определенными, для задач устойчивости они положительно полуопредслены.

На основании применения аппроксимирующих к.-р. соотношений, положенных в основу предлагаемой численной модели, величины элементов матриц системы уравнений (23) позволяют реализовать решение последних в случае тонких и достаточно протяженных оболочек, без допущений, свойственных теориям оболочек различных приближений.

Сравнение расчетных критических нагрузок с известными решениями классической теории оболочек и экспериментальными данными других авторов показало удовлетворительное совпадение результатов.

Дчя проверки работоспособности алгоритма были выполнены расчеты для изотропной стальной цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным внешним давлением.

Проведено сравнение зависимости параметра критической нагрузки

= Р^р / Р/7, где Р[] - критическая нагрузка, определенная по формуле Пап-ковича, в зависимости от параметра г = , где I - длина оболоч-

ки, Я - радиус, И - толщина, V - коэффициент Пуассона.

На рис. 15 представлена зависимость £ от г для оболочки с ф.-м. характе-

9

ристиками материала: модуль Юнга £ = 2-10 кг /см , у = 0,3.

Сплошной и пунктирной линиями нанесены результаты для граничных условий: шарнирного опирания и жесткой заделки торцов, полученные другими авторами.

Треугольниками отмечены значения, полученные при использовании условия скольжения по жесткой стенке в сечении оболочки ср = 0 (перемещение у = 0 при <р = 0). Прямоугольниками отмечены значения, полученные в предположении симметрии формы потери устойчивости относительно осевого сечения (у = 0 при <р - 0,ср = к). Постановка условий такого типа в сечениях (р = 0 и (р = л приводит к значительной экономии памяти ЭВМ и позволяет обойти проблему цикличности решения при изменении угловой координаты от

= 0до (р—2л. Кружочками отмечены результаты, полученные без этих допущений в случае реализации на сетке, образованной с использованием разбиения оболочки спиральным сечением (рис. 16), что также позволяет избежать нерационального использования памяти ЭВМ, связанного с цикличностью решения.

Значками «крестик» и «крестик в кружочке» отмечены полученные значения критической нагрузки для граничных условий (жесткой заделки и шарнирного опирания), отнесенные к величине критической нагрузки, определенной по формуле, аналогичной формуле Папковича для ортотропной оболочки, нагруженной равномерным внешним давлением. Рассматривалась оболочка, состоящая из двух ортотропных слоев одинаковой толщины, армированных в осевом (наружный слой) и окружной (внутренний слой) направлениях.

При расчете вводились обобщенные жесткости пакета на основании формул преобразования тензора деформаций при повороте координатных осей.

Геометрические параметры оболочек приведены непосредственно на рис. 15.

Ф.-м. характеристики пакета:

Е\ = 7-10 , Е2 = 10 , £3 = 10 кг/см ; С\2 = <?2з = 2-10 кг/см \ ^32 =^21= «А ^31= 0,0428.

Другим примером, иллюстрирующим работоспособность численных алгоритмов, основанных на применении к.-р. аппроксимирующих соотношений, положенных в основу построения предлагаемой численной модели, мо1уг служить результаты тестовых расчетов устойчивости подкрепленной шпангоутами изотропной цилиндрической оболочки при нагружении равномерным внешним давлением.

Ниже представлены результаты расчета для стальной оболочки длиной / = 31 см, толщиной А® = 0,1 см, радиусом К = \5см. Расчеты проводились на к.-р. сетке с параметрами: К = 35 - число узлов в осевом направлении, М -10в окружном, Ь = 3 - число узлов основной сетки по толщине оболочки. Использовалось предположение о симметрии НДС и формы потери устойчивости относительно плоскости <р = 0.

Гг—-Г-,---т

и (.( 1Л и 1

м

2

Рис.15. Результаты тестовых расчетов устойчивости круговой цилиндрической оболочки.

Я*«

ечо

-о__

—х-

д

В

3$

.0

}п 1-гг ЪБ

ыа № 14

е

«•¡Г

г«и «чи

гз

МО

60 $0

Рис.16. Разбиение оболочки сечениями по спирали.

Результаты расчета на устойчивость представлены на рис. 17 в виде зависи-

относительной высоты

мости параметра критической нагрузки = Р^ /Р от

шпангоутов

иО

О

Р =

ЛТ-Уб

- критическая нагрузка, рас-

А" 92 ^К2

считанная по Попковичу.

*

Точками отмечены значения , рассчитанные по схеме учета дискретного

расположения подкреплений, прямоугольниками - значения , рассчитанные но схеме «размазывания».

Сплошной и пунктирной линиями отмечены зависимости, полученные другими авторами при учете дискретного расположения ребер и по схеме «размазывания» на основе теории оболочек.

к2

2.6 «

4Л

.----- ¿>435

Г / / / : \ \ \

/ * А / У ( \ 1

/ ¡А / / /

У

Рис.17. Результаты расчета на устойчивость оболочек, подкрепленных шпангоутами.

10

<1 4

При малой высоте ребер результаты, полученные по пространственной схеме расчета, удовлетворительно совпадают с полученными по оболочечным схемам и свидетельствуют о хорошей точности решения на основе пространственной схемы для А] <6^-7 при указанных выше параметрах к.-р. сетки на основании к.-р. аппроксимаций типа (3,4,5). Значения для к\ = 7,9,11 отражают процесс смены общей потери устойчивости конструкции на локальную форму в пределах шага подкреплений.

В процессе реализации численной модели система линеаризованных уравнений (23) для решения статической задачи устойчивости формируется после определения параметров докритического НДС.

В предположении, что внешние силы и параметры НДС изменяются пропорционально одному параметру Р, эта система может быть представлена в виде Вх=(А-РМ)х = 0, (24)

где А - положительно определенная матрица для расчета докритического НДС; М- матрица, коэффициенты которой зависят от параметров докритического НДС, соответствующего единичному значению Р; х - вектор, компонентами

которого являются в узлах к.-р. сетки, описывающей смежную форму

равновесия.

Условие существования нетривиального решения для (23) приводит к уравнению

й<л(А-РМ)= 0 (25)

относительно неизвестного параметра критической нагрузки.

Таким образом, задача расчета на устойчивость сводится к решению обобщенной проблемы собственных значений, причем требуется определить наименьшее собственное число и соответствующей собственный вектор, описывающий форму потери устойчивости.

За критическую нагрузку принимается минимальное по абсолютной величине значение Р — Р/^ , при котором выполняется (23).

Матрица В в (22) при Р < Р^ положительно определена, что соответствует

тому, что, когда исходное состояние равновесия перестает быть устойчивым, соответствующий функционал энергии деформации не достигает максимума, а утрачивает свойство минимальности. Это позволяет использовать для построения алгоритма поиска критической нагрузки теоремы о существовании треугольного разложения матрицы В и теорему о делении спектра собственных значений пучка матриц (Л,М). А значит позволяет использовать алгоритм треугольного разложения Гаусса для вычисления <1е1В при Р < Р^, а также метод

секущих. При этом треугольное разложение устойчиво, и не требуется разрушающая симметрию перестановка строк и столбцов, что позволяет отказаться от попыток продолжения треугольного разложения при появлении первого же отрицательного диагонального элемента.

В качестве критерия точности определения Р^ применялся следующий:

(24)

Р1+Р2 К '

где Р[ - значение Р, при котором еще существует треугольное разложение матрицы В. - значение Р, при котором появляется отрицательный диагональный элемент в процессе разложения; е - заданная точность решения.

За окончательное значение критической нагрузки принималась величина

Таким образом, для решения задачи устойчивости применяется алгоритм исключения Гаусса, использующий симметрию матриц коэффициентов системы (21). Если параметр критической нагрузки определен достаточно точно (величина s в (24) мала), то из системы (22) с точностью до некоторой постоянной определяется вектор х, описывающий форму потери устойчивости.

Четвертая глава посвящена постановке и решению задач о поведении оболо-чечных конструкций в окрестности критического состояния равновесия.

Самым распространенным численным методом решения систем нелинейных уравнений является метод Ньютона.

В задачах, цель которых состоит в определении первого критического состояния равновесия и соответствующей ему критической нагрузки, критическую конфигурацию можно определить как соответствующую состоянию, за которым теряется сходимость метода Ньютона, если обеспечено достаточно близкое приближение к границе устойчивости со стороны докритического состояния. Но непосредственное применение этого метода не дает возможности рассчитать состояние равновесия за границей устойчивости: сходимость метода теряется в определенной окрестности так называемого критического состояния равновесия. В этом случае метод Ньютона в сочетании с шагами по нагрузке неприменим, а потому следует применять более подходящие процедуры при исследовании систем нелинейных уравнений, основанные на методе продолжения по другим параметрам.

Последовательно продвигаясь по ряду значений параметра нагрузки /fy <...<Р/С, получаем методом Ньютона множество решений нелинейной системы уравнений

+A«Lr vLe+AvLe> "Le 0> (27)

ddkmt

где dj^ç + kdfon/i = dfaj ' и +1 приближение для перемещений d-u,v,w.

Разлагая (27) в ряды и ограничиваясь первыми дифференциалами, получаем систему, которую компактно можно представить в виде:

+ +(й^-Цф -¿Ц - ^

iJ I V ии1

и '

5мг-

/ /' I V 'У

где

4г =

ы,-,У,-,УV/

эЫ ^Ы а^} Э&)

определяются

, <1 — соответственно,

выражением

- проекции перемещений ы,у, и> на координатные оси; штрихом обозначена операция транспонирования; А,В,С,0,Е,Р- квадратные матрицы размерами 4x4; К,Ь,М- матрицы размерами 1x4. Коэффициенты матриц определяются упругими характеристиками материалов, геометрией к.-р. сетки и параметрами НДС оболочки, соответствующими п- му приближению решения. Решение системы (28) осуществляется методом треугольного разложения Гаусса на каждом шаге итерации. Критерием окончания итерационного процесса

служит условие

ы»

<7

< е, (1 = и.у.и', где е - наперед заданная точность опреде-

ления перемещений.

Для более быстрой сходимости решения на каждом последующем шаге по нагрузке применяется линейная экстраполяция для перемещений.

На случай решения линейной задачи в (28) достаточно принять равными нулю параметры НДС в матрицах А,В,С,0,Е,Ги К,Ь,М. Систему (27) можно записать в виде

Ъ=(хих2,...,хт,Р)=0, ' = 1,2,...,/и, (29)

что соответствует определенным равновесным состояниям рассматриваемой упругой системы; х\,х2,—,хт - узловые перемещения; Р - параметр нагрузки. Тогда решение для (29) (см. работу: Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин «Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах МДТТ. - М.: Наука, 1988. - 232 с.) с использованием решения для предыдущего значения параметра нагрузки в качестве начального приближения представляется в виде

7=0,1,2,... при |дЗс^+1 < £,к = 1,2,...

В (30) х = {х\,х2,—,хт) - вектор перемещений; значение параметра нагрузки для к- то шага; хщ =х(Р^х^ - 7-е приближение х(к) в итерационном процессе Ньютона, который продолжается, пока норма вектора приращений перемещений ЛЗс^^ превышает заданную точность

.с > 0; j = якобиан системы (29).

Необходимым условием устойчивости конструкции является положительность определителя J(xyP).

Потеря устойчивости происходит в критических состояниях равновесия, характеризуемых условием

У(х,Р)=0. (31)

Для того чтобы исследовать закритическое состояние требуется переход от параметра нагрузки к другому, более подходящему, параметру продолжения решения. В качестве такого параметра используется в соответствии с вышеупомянутой работой Э.И. Григолюка, В.И. Шалашилина длина дуги кривой равновесных состояний, и организуется итерационный процесс Ньютона поиска *(£)>*(£+1)>— в окрестности ортогональной к этой кривой.

Параметр нагрузки Р и неизвестные х\,х2,—,хт считаются равноправными. Систему уравнений (29) можно представить в векторной форме /<'(*) = 0, (32)

где х = {хх,х2,...,хт,хт+х =Р).

Определение следующего после хк+\ решения хк сводится к совместимому решению (32) и уравнения

.^/¿А.Дх^у^О, (33)

где Я - параметр продолжения.

Уравнение (33) означает требование ортогональности поправочного вектора

Дг^' к касательному орту .

В диссертационной работе представлена геометрия процесса пошагового движения вдоль кривой равновесных состояний, обеспечивающего величину шага с заранее заданной точностью. А также алгоритм решения с использованием частичной оптимизации параметра продолжения, что позволяет основную часть вычислений, связанных с решением ленточной системы сеточных уравнений, полученных на основании предложенной численной модели, выполнить по методу Гаусса, а равноправные части переменных (узловых перемещений и

параметра нагрузки Р) сопроводить применением процесса ортогонализации Грама - Шмидта при их определении на каждом следующем этапе вычислений.

В качестве основы для тестирования расчета процесса геометрически нелинейного деформирования проводилось сравнение с результатами, представленными в работе *) по упруго-пластическому деформированию изотропной цилиндрической оболочки, под действием равномерного внешнего давления (плоская задача), когда определяющее соотношения имеют вид о7Е, о<от

Учет деформаций в соответствии с определяющими соотношениями основан на теории малых упругопластических деформаций Ильюшина (без учета разгрузки).

На рис. 18 приведена зависимость нагрузки - прогиб. Сплошными линиями изображены результаты, с которыми проводилось сравнение, пунктиром - полученные результаты, при этом символом □ обозначено появление пластических деформаций, точкой — момент потери устойчивости, полученные на основании проверенных расчетов, крестиком — появление пластических деформаций согласно представленным в работе *).

На рис. 19 представлены результаты работы *) (сплошная линия), символом ® - полученные результаты. На рис. 19 íq/Rq - относительная толщина оболочки. Результаты, приведенные на рис. 18,19, отражают возможность расчета по разработанному алгоритму.

Наряду с другими примерами, рассматривался процесс геометрически нелинейного деформирования цилиндрической оболочки под действием осевой сжимающей нагрузки. Тестовые расчеты на устойчивость изотропных оболочек показали, что значения критической нагрузки, рассчитанные на основе пространственных соотношений теории упругости, без допущений, свойственных теориям оболочек, в случае расчета достаточно тонких оболочек приближаются (и практически совпадают) с критической нагрузкой, определяемой по известным формулам для оболочек. Результаты расчета ортотропных оболочек показали, что при нагрузках, близких к критическим, параметры НДС, рассчитанные с учетом геометрической нелинейности, могут существенно отличаться от рассчитанных по линейной теории.

*) Yoshihiro То mita, ЛЫо Shindo. On the bifurcation and post-bifurcation behaviour of thick circular elastic-plastic tubas under lateral pressure // Computer methods in applied mechanics and engineering 1982, v.35, № 2, p.207-219.

71 = 8

Рис.18. Зависимость "нагрузка-прогиб" для упругопластической оболочки.

о 41 « ИЗ 44 ¿'¿Уя.

Приведенные расчеты в сравнении с результатами, полученными другими авторами подтвердили возможность применения численной модели при построении и реализации численных алгоритмов решения задач для тонкостешшх оболочечных конструкций на основе общих подходов и методов в трехмерной постановке, без допущений, свойственных теориям оболочек.

В приложении приводятся выражения элементов матриц для получения сеточных уравнений при решении задачи устойчивости и нелинейной задачи для ортогональных оболочек вращения.

Прилагаются акты, подтверждающие внедрение результатов, полученных в процессе разработки и реализации алгоритмов и программ.

Основные результаты и выводы:

1. Предложена численная модель для анализа механического поведения обо-лочечных конструкций с общих трехмерных позиций МДТТ.

2. Разработаны и реализованы численные алгоритмы, позволяющие на основе предлагаемой модели и вариационных соотношений теории упругости, проводить расчет НДС анизатропных оболочек, без допущений, свойственных теориям оболочек. В том числе расчет НДС тонких и достаточно протяженных оболочек, простое перенесение на которые численных методов, традиционно применяемых при расчете НДС упругих тел, имеющих соизмеримые размеры во всех координатных направлениях, не приводит к положительному результату.

3. Разработан и реализован единый численный алгоритм, позволяющий проводить совместный расчет НДС оболочек и упругих тел - механических объектов, для каждого из которых традиционно разрабатываются собственные теории, методы и подходы к реализации решений.

4. Представлены результаты расчетов, иллюстрирующие возможность применения модели и разработанных численных алгоритмов к расчету НДС композитных оболочек и оболочечных конструктивных элементов (слоистых и составных оболочек, подкрепленных оболочек, оболочек с заполнителем) при различных граничных условиях, условиях контакта и силового нагружения.

5. Проведен сравнительный анализ результатов расчетов для оболочек, исходя из полученных на основании предлагаемой модели, т.е. в рамках общей трехмерной постановки и полученных на основании классических теорий Кирхгофа-Лява и Тимошенко. Отмеченные расхождения (и совпадения) результатов позволяют судить об области применения рассмотренных оболочечных теорий в зависимости от характерных геометрических размеров оболочек и ф.-м. характеристик их материалов, исходя из целей предполагаемого исследования.

6. Проведен анализ результатов расчета оболочек и совместного расчета оболочек, взаимодействующих с трехмерными деформируемыми телами (заполнителями). Рассмотрены различные модификации предлагаемой численной модели, основанной на введении межъячеечной к.-р. аппроксимации функций (перемещений) и их производных по координатным направлениям. Представлены модификации, позволяющие с высокой точностью реализовать выполнение граничных условий в напряжениях по загруженной поверхности оболочек, а также обеспечить построение систем вариационно-разностных уравнений, сохраняющих основное свойство - превалирование по величине элементов, расположенных по главной диагонали положительно определенных матриц, — для уравнений системы, соответствующих области контакта оболочек с заполнителем, когда жесткостные свойства материала заполняются намного ниже, чем материала оболочки.

7. В результате проведенной реализации и анализа полученных решений выработаны рекомендации по применению различных модификаций модели, на

основании универсального численного алгоритма, позволяющего в рамках единой программы осуществить расчеты для различных модификаций модели, исходя из геометрических параметров и ф.-м. характеристик исследуемых объектов и цели исследования.

8. Полученные результаты определения НДС упругих ортотропных оболочек и тел позволили опробовать применение численной модели к расчету трехмерного динамического НДС упругих оболочек, НДС упруго-пластических, а также оболочек и тел в рамках разномодульной теории упругости.

9. На основании предлагаемой численной модели были построены и реализованы численные алгоритмы, позволяющие проводить решение задач устойчивости и закритического поведения оболочек и оболочечных конструкций с позиций нелинейной теории упругости.

10. Приведенные (в том числе тестовые) расчеты подтверждают работоспособность разработанного направления в области анализа механического поведения оболочек и оболочечных конструкций с общих трехмерных исходных позиций МДТТ, без допущений, свойственных теориям оболочек различных приближений, на основании единого подхода и единого численного алгоритма.

11. Полученные результаты проведенного исследования позволяют расширить границы применения подходов и методов к моделированию и реализации решений в процессе анализа и проектирования сложных оболочечных конструкций на базе тех возможностей, которые представляет современная вычислительная техника.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Колдунов В.А., Черепанов О.И. Расчет несущей способности заполнителя, частично скрепленного с цилиндрической оболочкой // Механика сплошных сред. - Томск: Томск ун-т, 1983, с. 48-58.

2. Колдунов В.А., Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Расчет круговой подкрепленной ребрами цилиндрической оболочки на основании общих соотношений теории упругости // Механика сплошных сред. - Томск: Томск ун-т, 1983., с. 59-67.

3. Колдунов В.А., Кудинов А.Н., Люкшин П.А., Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Анализ напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций с учетом анизотропии на основании пространственной численной схемы расчета // 13 Всесоюзная конференция «Теория пластин и оболочек». Ч.З., Таллин, 1983, с. 55-60.

4. Колдунов В.А., Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Расчет НДС составной оболочки вращения переменной толщины, выполненной из армированного нитью материала при нагружении внутренним давлением. // Спр. инф. бюлл. ОФАП АСП-Б, ГОНГИ №1,М.,1984. - Вып. 25 - с. 24.

5. Колдунов В.А., Люкшин Б.А., Черепанов О.И. Решение с пространственных позиций динамической задачи для упругой ортотропной цилиндрической оболочки с использованием функционала Лагранжа в свертках. // Инженерно-физический сборник. - Томск, Томск, ун-т, 1985, с. 76-79.

6. Колдунов В.А., Люкшин Б.А., Мударисов., Черепанов О.И. Расчет НДС ор-тотропной цилиндрической оболочки в зоне краевого эффекта // Механика деформируемого твердого тела. — Томск: Томск, ун-т, 1987, с. 86-90.

7. Колдунов В.А., Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Расчет устойчивости цилиндрической оболочки из композитного материала с пространственных позиций // Механика деформируемого твердого тела. - Томск: Томск, ун-т, 1987, с. 91-99.

8. Колдунов В.А., Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Численный расчет цилиндрических изотропных оболочек в зоне краевого эффекта по пространственной схеме II Инженерно-физический сборник. — Томск: Томск, ун-т, 1987, с. 52-57.

9. Колдунов В.А., Чекаев О.Б. Применение вариационно-разностного метода теории упругости к расчету резьбового соединения оболочек // Инженерно-физический сборник. — Томск: Томск, ун-т, 1987, с. 41-46.

10.Колдунов В.А., Лейцин В.Н., Пономарев C.B. Некоторые численные методы механики деформируемого твердого тела. - Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1987, 148 с.

П.Бузунов Ю.В., Колдунов В.А. Расчет нагружения упруго-идеально-пластического тела вращения вариационно-разностным методом // Механика деформируемого твердого тела. - Томск. Томск, ун-т, 1988, с. 16-19.

12.Колдунов В.А., Мударисов Ш.Ш., Сидоренко В.М., Черепанов О.И. Упругая и упругопластическая деформация цилиндрической оболочки в геометрически нелинейной постановки: плоская деформация и случай осевой симметрии // Механика деформируемого твердого тела. — Томск: Томск, ун-т, 1991, с. 85-92.

13.Колдунов В.А. Численное решение задачи теории оболочек с пространственных позиций // Модели. Алгоритмы. Программы. - Тверь: Тверск. ун-т, 1993, с. 73-79.

М.Колдунов В.А., Голоднова О.В., Долматова А.Ю. Вариационно-разностный метод расчета осесимметричного НДС анизотропных оболочек вращения // Физическая механика. — Тверь: Тверск. ун-т, 1993, с. 57-62.

15.Кудинов А.Н., Колдунов В.А. Численные модели и алгоритмы расчета обо-лочечных конструкций с пространственных позиций — В сб. трудов конференции «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике» (ММНТ'96), поддержанной РФФИ (проект 96-01-10038), 1996, с. 74-79.

1 б.Кудинов А.Н., Колдунов В.А. Численная модель расчета НДС и устойчивости композитных неоднородных оболочечных конструкций // 9 конференция «Прочность и пластичпость». Т.1, Москва, 1996, с. 108-113.

17.Кудинов А.Н., Колдунов В.А., Черепанов О.И. Численная модель расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости оболочек вращения с позиций пространственной теории упругих систем // Моделирование сложных систем, вып. И, Тверь: Тверск. ун-т, 1999, с. 7-19.

18.Мирошниченко А.Е., Колдунов В.А., Васильев А.А. О численном моделировании структурных систем на основе вариационно-разностного метода для микрополярной упругости // Моделирование сложных систем, вып. II, Тверь: Тверск. ун-т, 1999, с. 98-102.

Введение.

Глава 1. Геометрические, физико-механические соотношения, вариационные постановки линейных задач и исходные аппроксимирующие соотношения

1.1. Компоненты тензора деформаций в криволинейных координатных системах

1.2. Физико-механические соотношения

1.3. Вариационная постановка и вариационно-разностный метод для задач теории упругости ортотропных тел

1.4. Вариационная постановка динамической задачи теории упругости на основе функционала Лагранжа в свертках

1.5. Вариант разномодульной теории упругости

1.6. Исходные соотношения и положения решения упругопластической задачи

1.7. Исходные конечно-разностные аппроксимирующие соотношения, положенные в основу формирования и реализации численной модели

Глава 2. Расчеты напряженно-деформированного состояния оболочек и оболочечных конструктивных элементов в линейной постановке

2.1. Анализ напряженно-деформированного состояния цилиндрических панелей

2.2. Расчет напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки в зоне краевого эффекта

2.3. Плоская деформация слоистой композитной трубы (одномерный случай) ^

2.4. Расчет круговой подкрепленной ребрами цилиндрической оболочки на основании общих соотношений теории упругости ^

2.5. Расчет напряженно-деформированного состояния оболочек в области резьбового соединения ^

2.6. Решение динамической задачи об определении напряженно-деформированного состояния упругой ортотропной цилиндрической оболочки ^

2.7. Расчет напряженно-деформированного состояния кругового полого цилиндра из упругого разномодульного материала ^

2.8. Расчет несущей способности заполнителя, частично скрепленного с цилиндрической оболочкой ^

2.9. Расчет напряженно-деформированного состояния цельномотанного сосуда давления * ^

Глава 3. Численная модель и алгоритм решения задач теории упругости и устойчивости

3.1. Тензор конечных деформаций

3.2. Исходные соотношения задачи устойчивости и энергетический критерий устойчивости

3.3. Система вариационно-разностных уравнений для расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости

3.4. Основные аппроксимирующие соотношения

3.5. Ограничения на параметры сетки при реализации расчетов

3.6. Определение критической нагрузки

3.7. Расчет устойчивости цилиндрической оболочки с пространственных позиций

3.8. Расчет устойчивости подкрепленных шпангоутами цилиндрических оболочек при нагружении равномерным внешним давлением

3.9. Расчет устойчивости композиционных оболочек при осевом сжатии

3.10. Расчет прочности и устойчивости днища переменной толщины при нагружении равномерным внешним давлением

Глава 4. Совместное исследование устойчивости и закритического состояния

4.1. Метод и алгоритм решения нелинейных задач

4.2. Алгоритм решения по параметру продолжения

4.3. Алгоритм решения с частичной оптимизацией параметра продолжения

4.4. Примеры расчета оболочек с пространственных позиций

4.4.1. Осесимметричные задачи

4.4.2. Плоские задачи 194 Заключение. 203 Литература. 208 Приложение 1. 220 Приложение 2.

В соответствии с целями и задачами, которые определяются достижениями науки, на базе развивающихся производственных технологий и вычислительной техники постоянно реализуются качественно новые решения в области математического моделирования и применения математических методов при проектировании и создании сложных механических деформируемых систем, сочетающих различные элементы, в том числе оболочечные конструктивные элементы, выполненные с применением новых композиционных материалов.

Как показали результаты экспериментальных и натурных испытаний (которые нашли отражение, например, в работах: Д.Бушнелла [19], С.О.Джанхотова, В.А.Киреева, Н.Т.Калугина [32], В.В.Кабанова [39], В.П.Майбороды, А.С.Кравчука, Н.Н.Холина [74], коллективных монографиях специалистов из США, Латвии и России [78], специалистов из США, Японии и Великобритании [101] и многих других научных работах) для расчета и анализа напряжений в композитах и композитных конструкциях требуется создание моделей, позволяющих учитывать новые эффекты, поскольку расчеты прочности и устойчивости на основании традиционных схем могут заведомо отличаться от действительных.

В связи с необходимостью разработки новых подходов к расчету, анализу и проектированию композитных материалов и конструкций, наряду с приведенными выше работами, появились работы зарубежных и отечественных авторов, например, Р.Кристенсена [64], Т.Фудзии, М.Дзако [106], О.И.Черепанова [108], Б.Е.Победри [91] и другие, посвященные непосредственно механике композитов.

На пути достижения удовлетворительных результатов при расчете НДС и устойчивости композитных оболочек получили развитие новые подходы и методы (см., например, библиографический справочник [92], а также работы

1,2,3,5,7,8,20,24,32,34,85,87,88,103] и соответственно приведенную в них библиографию), основанные на введение тех или иных дополнений и допущений к классическим моделям теории оболочек.

Параллельно развивались подходы и методы [9,11,28,30,35,37,39,41, 77,83,102,111,112], позволяющие проводить совместный расчет НДС и устойчивости механических объектов, для каждого из которых традиционно сложились свои собственные модели и соответствующие расчетные схемы. Зачастую эта проблема решалась за счет допущений либо в сторону оболочек, либо деформируемых тел, либо дополнительных затрат на реализацию совместных численных решений в рамках итерационных процессов, сводящих решения, полученные для оболочек (рассматриваемых как двумерные объекты) и для деформируемых тел (имеющих соизмеримые размеры во всех направлениях), к их совпадению на границе контакта по тем или иным параметрам, характеризующим деформированное состояние рассматриваемых объектов.

Вместе с тем в научной литературе [5,15,27,65,66,88,100] (в работах А.М.Гузя, И.Ф.Образцова, С.А.Амбарцумяна, Д.Бушнелла, Ф.Сьярле и др.), неоднократно ставился вопрос о необходимости применения трехмерных теорий МДТТ и, в частности, анизотропной теории упругости [5,100], к расчету и анализу механического поведения композитных оболочек в виду существенной анизотропии физико-механических (ф.-м.) свойств материала по их толщине, в том числе в свете применения вычислительной техники для разработки и реализации соответствующих численных моделей и методов.

Представленные в диссертационной работе материалы отражают результаты, полученные в процессе разработки численной модели и ее реализации при расчете НДС, устойчивости и поведения оболочек в области критического состояния равновесия с трехмерных позиций, без допущений, свойственных теориям оболочек различных приближений, опираясь на вариационные постановки и методы решения задач МДТТ.

В основу построения предполагаемой модели положены модификации конечно-разностных (к.-р.) аппроксимирующих соотношений [47,50], учитывающие межъячеечную связь при формировании производных в направлении, ортогональном срединной поверхности оболочек. Такой подход обеспечил возможность построения соответствующих вариационно-разностных уравнений с положительно-определенными симметричными матрицами ленточной структуры, сохраняющими преобладание по величине элементов, расположенных по главной диагонали и соответствующих коэффициентам при искомых варьируемых перемещениях. Свойство, которое теряется при применении внутриячеечных к.-р. аппроксимирующих соотношений, например, традиционно применяемых при реализации вариационно-разностного метода и метода конечных элементов решения задач теории упругости. Так как на случай тонких достаточно протяженных оболочек к.-р. сетки могут содержать ячейки, имеющие размеры на несколько порядков ниже в направлении толщины оболочек по сравнению с направлениями вдоль срединной поверхности.

В соответствии с решением проблемы в первой главе диссертационной работы приводятся геометрические и ф.-м. соотношения. Рассматривается вариационно-разностный метод [98] реализации модели в линейной постановке на основе принципа минимума функционалов полной потенциальной энергии деформации упругой системы в форме Лагранжа ( в том числе в свертках [97] на случай решения динамической задачи), полной энергии деформации для варианта [6] разномодульной теории упругости и принципа минимума для приращения функционала полной потенциальной энергии уп-ругопластической деформации системы [42,44,45], построенного на основании соотношений Прандтля-Рейса при условии текучести Мизеса. Вводятся исходные к.-р. аппроксимирующие соотношения [50], положенные в основу формирования предлагаемой численной модели.

Во второй главе на основе введенных в первой главе к.-р. аппроксимирующих соотношений, вариационных постановок и вариационно-разностного метода приводятся решения конкретных задач, реализация которых отражает возможности применения предлагаемой численной модели для расчета НДС тонких достаточно протяженных оболочек с пространственных трехмерных позиций, без допущений, свойственных теориям оболочек.

Достоверность полученных результатов расчета оболочек и оболочечных конструкций (слоистых, составных, подкрепленных оболочек и оболочек с заполнителем) подтверждается сравнением с известными аналитическими, численными решениями и экспериментальными данными других авторов.

В рамках реализуемой модели, по ходу решения задач в результате сравнения результатов, полученных на основании исходных трехмерных соотношений анизотропной теории упругости (без допущений, свойственных теории оболочек), с результатами, полученными по оболочечным теориям, следуют выводы о возможности установления границ применимости классических теорий оболочек, исходя из ф.-м. свойств и геометрических параметров рассматриваемых оболочек. А также выводы о возможности совместного расчета НДС оболочек (традиционно рассматриваемых как двумерные объекты) и упругих тел (имеющих соизмеримые размеры во всех направлениях) на основании единой численной модели и единого численного алгоритма.

Полученные результаты позволяют также судить о возможности удовлетворения различных условий контакта составных оболочек.

Следует отметить, что в процессе расчета НДС тонкой и достаточно протяженной цилиндрической изотропной (стальной) оболочки, а также стальной оболочки, взаимодействующей с заполнителем, жесткостные свойства материала которого существенно ниже, наблюдалось нечеткое удовлетворение граничных условий при подсчете напряжений на загруженной равномерно распределенным давлением поверхности оболочки, а также напряжений в области жесткого контакта в направлении, ортогональном ее срединной поверхности. В то время как напряжения в остальных координатных направлениях вычислялись с высокой степенью точности в виду того, что их значения на порядок и выше. Отмеченные факты привели к поиску новых модификаций к.-р. аппроксимирующих соотношений.

В результате численного эксперимента был достигнут результат, когда выбор соответствующих межъячеечных к.-р. аппроксимаций, положенных в основу формирования модели (в том числе включающих и внутриячеечную к.-р. аппроксимацию), позволил добиться устранения отмеченных недостатков.

В конечном счете, как показали и результаты, которые будут приведены в последующих главах, наиболее оптимальной выбор соответствующих к.-р. аппроксимирующих соотношений и методы их реализации во многом определяются вместе и геометрическими параметрами, и ф.-м. характеристиками исследуемых объектов (как оболочек, так и существенно трехмерных деформируемых тел, взаимодействующих с оболочками), и целью поставленного исследования.

Что касается расчета оболочек на основе соотношений варианта разномо-дульной теории упругости и теории упругопластических тел, то приведенные примеры расчетов носят иллюстративный характер и лишь подтверждают возможность реализации намеченного подхода к расчету на основании исходных вариационных постановок рассмотренных задач.

В третьей главе приводятся постановка, алгоритм решения и реализация задач устойчивости оболочек и оболочечных конструкций с трехмерных позиций теории упругости ортотропного тела на основании соотношений, выражающих энергетический критерий устойчивости в форме Брайана [4].

Исходя из к.-р. соотношений, учитывающих межъячеечную аппроксимацию производных в направлении, ортогональном срединной поверхности оболочек, в процессе реализации численной модели система линеаризованных уравнений для решения статической задачи устойчивости формируется после определения параметров докритического НДС. Закон Гука полагается справедливым как для докритического равновесного состояния, так и для смежной формы равновесия.

Проводятся апостериорные оценки на основе сравнения решений, полученных при различных способах построения и параметрах к.-р. сеток.

Приведенные примеры расчетов и сравнение расчетных критических нагрузок с решениями теории оболочек и экспериментальными данными других авторов подтверждают возможность реализации решений в случае тонких и достаточно протяженных оболочек без допущений, свойственных теориям оболочек различных приближений. А также возможность совместного расчета устойчивости оболочек, взаимодействующих с упругими телами, имеющими соизмеримые размеры во всех координатных направлениях, на основании единого подхода и единого численного алгоритма.

В четвертой главе представлены постановка, реализация и результаты численного решения задач о поведении оболочек и оболочечных конструкций в окрестности критического состояния равновесия. В основу реализации положен процесс пошагового движения вдоль кривой равновесных состояний, обеспечивающих величину шага с заранее заданной точностью.

Алгоритм решения с использованием частичной оптимизации параметра продолжения (длины дуги кривой равновесных состояний [25]) позволяет на основании предложенной численной модели основную часть вычислений выполнять по методу Гаусса, а равноправные части переменных (узловых перемещений и параметра нагрузки) сопроводить процессом ортогонализа-ции Грама-Шмидта при их определении на каждом этапе вычислений.

Приводится сравнение полученных результатов с результатами расчета [113] по упругопластическому деформированию изотропной цилиндрической оболочки под действием равномерного внешнего давления, отражающее возможность расчета по разработанному алгоритму.

Результаты, полученные в процессе анализа геометрически нелинейного деформирования цилиндрической оболочки под действием осевой сжимающей нагрузки показали, что рассчитываемая на основе пространственных соотношений, без допущений, свойственных теории оболочек, критическая нагрузка для достаточно тонких оболочек практически совпадает с известными по формулам теории оболочек.

Результаты расчета ортотропных оболочек с учетом геометрической нелинейности могут существенно отличаться от рассчитанных по линейной теории.

Приведенные в главе 4 примеры расчетов (в том числе в сравнении с результатами, полученными другими авторами) служат подтверждением возможности применения численной модели для построения и реализации решений геометрически нелинейного деформирования и анализа поведения в окрестности критического состояния равновесия оболочек и оболочечных конструкций на основании трехмерных соотношений МДТТ.

В заключении приводятся основные выводы, полученные на пути исследования, результаты которого представлены в диссертации и отражают возможности применения вычислительной техники, математических моделей и методов в области постановки и решения задач теории оболочек, без допущений, свойственных теориям оболочек.

В приложения вынесены формулы для вычисления матриц системы уравнений, реализующей расчет в нелинейной постановке. Представлены акты о внедрении алгоритмов и программ, реализующих предложенную численную модель.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематикой, разрабатываемой на кафедре математического моделирования Тверского государственного университета. В том числе в процессе выполнения госбюджетных программ Минобразования РФ: «Монитор» (тема: «Разработка математических моделей для прогнозирования физико-механических характеристик, композиционных материалов») и «Структура» (тема: «Математическое моделирование физико-механических процессов в неоднородных средах»), темы НИР: «Разработка численных моделей для анализа структурных деформируемых систем» в рамках программы «Научные исследования высшей школы в области производственных технологий» Минобразования РФ.

По итогам полученных результатов в открытой печати опубликовано свыше 30 научных статей.

Основные результаты изложены в 18 работах.

Результаты неоднократно апробировались на совместных семинарах кафедры механики деформируемого твердого тела, кафедры теории прочности и проектирования Томского госуниверситета и лаборатории тонкостенных конструкций НИИ прикладной математики и механики при Томском госуниверситете, семинарах кафедры математического моделирования Тверского госуниверситета, а также на научных семинарах других вузов, научных организаций и учреждений.

Основные результаты были доложены и обсуждены на 13-й Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, г. Таллин, 1983 г.; Всесоюзной конференции по композитным материалам, г. Пермь, 1985 г.; на II Всесоюзном симпозиуме «Устойчивость в механике деформируемого твердого тела», г. Калинин, 1986 г.; Всесоюзной конференции по применению численных методов в механике сплошных сред, г. Калинин, 1991 г.; III симпозиуме «Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела, г. Тверь, 1992 г.; International seminar - exhibition computer - aided design and creation of advanced materials and technologies "CADAMAT - 92", Tomsk, Russia, 1992; 9-й международной конференции по прочности и пластичности, г. Москва, 1996 г.; Конференций, поддержанных Российским Фондом Фундаментальных Исследований, по применению математического моделирования для решения задач, в науке и технике (ММНТ 96, ММНТ' 98 г. Ижевск, 1996 г., 1998 г.); IV международном научном симпозиуме «Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела, г. Тверь, 1998 г.; конференции - семинаре «Математическое моделирование сложных систем, г. Тверь, 1999 г.

Результаты проведенного исследования нашли применение при разработке спецкурсов и учебного пособия для студентов, специализирующихся по профилям: прикладная математика и механика.

В процессе разработки алгоритмов и программ, реализующих предложенную численную модель, результаты исследований были внедрены в производство на предприятиях оборонной промышленности РФ с определенным экономическим эффектом и отраслевой фонд алгоритмов и программ (акты о внедрении прилагаются).

Основные положения выносимые на защиту:

- численное моделирование поведения тонких достаточно протяженных оболочек с пространственных трехмерных позиций МДТТ, без допущений, свойственных теориям оболочек различных приближений;

- алгоритм численной реализации решения задач деформирования, устойчивости и закритического поведения оболочек и совместного расчета оболочек и пространственных элементов (т.е. механических объектов, для которых традиционно разрабатываются и реализуются собственные теории) с единых трехмерных позиций МДТТ;

- методика построения алгебраических линейных и нелинейных систем вариационно-разностных уравнений с использованием ортогональной системы координат тороидального типа, позволяющая реализовать решения задач деформирования, устойчивости и закритического поведения оболо-чечных конструкций на основании единого численного алгоритма в рамках единого программного продукта для конструкций с различной конфигурацией срединной поверхности оболочечных элементов;

- результаты решения задач для композитных оболочек, составных оболочечных конструкций, подкрепленных оболочек и оболочек с заполнителем с учетом трехмерности НДС и анизотропии механических свойств материалов;

- оценка границ применимости классических моделей теории оболочек к анализу поведения оболочек и оболочечных конструкций из композиционных материалов и применимости оболочечных теорий различных приближений и инженерных методик при решении прикладных задач;

- необходимость разработки подобных моделей и методов их реализации с внедрением новых композиционных материалов и новых технологий изготовления конструкций, позволяющих создавать сложные оболочечные конструкции;

- рекомендации по применению предложенной численной модели для моделирования механического поведения конструкций в зависимости от их геометрических параметров, конструктивных особенностей, ф.-м. свойств материалов, условий контакта и силового нагружения;

- обобщение и систематизация подходов и методов в процессе применения и реализации численной модели при анализе и прогнозировании механического поведения оболочечных конструкций с единых позиций. Личный вклад автора во всех работах, выполненных в соавторстве, состоял в физико-математической постановке задач, в формулировке модификаций предлагаемой математической модели, участии в разработке программ и численных методик, проведении численных расчетов и анализе конкретных результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель исследования - построение численной модели, реализующей решение задач теории оболочек с трехмерных позиций, без предварительных допущений, свойственных теориям оболочек, исходя из особенностей их геометрии, позволяющей отнести распределение параметров, характеризующих НДС оболочек, к их срединной поверхности.

Обоснована необходимость разработки подобных моделей в связи с внедрением новых композитных материалов и новых технологий, позволяющих создавать сложные оболочечные конструкции.

Представленные результаты основаны на реализации вариационных соотношений МДТТ путем введения межъячеечных к.-р. аппроксимирующих соотношений.

Построены аналоги соответствующих функционалов, позволяющие, в свою очередь, построить системы вариационно-разностных уравнений, матрицы которых обладают преобладающими по величине элементами, расположенными по главной диагонали. Свойство, которое нарушается при применении внутриячеечной аппроксимации производных, традиционной при решении задач МДТТ на случай тел, имеющих соизмеримые размеры во всех направлениях, т.к. к.-р. сетки для оболочек могут иметь ячейки размером на порядок и ниже по их толщине, по сравнению направлениями вдоль срединной поверхности.

Достоверность результатов исследований подтверждается: - корректностью применяемого апробированного математического аппарата и методов анализа НДС и устойчивости в рамках теории оболочек, теории упругости и теории устойчивости деформируемых систем;

- подходом к построению численной модели, реализующей энергетические соотношения механики деформируемого твердого тела вариационно-разностным методом, исходя из принципа минимума функционала полной потенциальной энергии деформации упругой системы в форме Лагранжа, принципа минимума приращения функционала полной энергии деформации упругопластической системы, принципа стационарности и энергетического критерия устойчивости в форме Брайана;

- получением устойчивых численных решений разрешающих систем алгебраических (вариационно-разностных) уравнений, реализуемых в процессе применения различных модификаций численной модели, на основе корректного применения численных методов алгебры;

- результатами решения конкретных задач для тонких достаточно протяженных (в том числе составных и многослойных оболочек) с позиций нового подхода, учитывающего трехмерность НДС и анизотропию ф.-м. свойств материалов;

- согласованностью полученных результатов с известными аналитическими решениями теории оболочек Кирхгофа - Лява, С.П. Тимошенко, С.А. Амбарцумяна и аналитическими и экспериментальными результатами А.В. Кормишина, В.А. Лясковца, А.Н. Мяченкова, В.В. Болотина, С.О. Джанхотова, В.А. Киреева, Н.Т. Кулагина, М.А. Ильгамова, В.А. Иванова, Б.В. Гулина и др. для гладких, подкрепленных композитных оболочек и оболочек с заполнителем.

Исходя из достоверности результатов выполненного исследования, можно утверждать, что в конечном итоге:

1. Предложена численная модель для анализа механического поведения оболочечных конструкций с общих трехмерных позиций МДТТ.

2. Разработаны и реализованы численные алгоритмы, позволяющие на основе предлагаемой модели и вариационных соотношений теории упругости, проводить расчет НДС анизатропных оболочек, без допущений, свойственных теориям оболочек. В том числе расчет НДС тонких достаточно протяженных оболочек, простое перенесение на которые численных методов, традиционно применяемых при расчете НДС упругих тел, имеющих соизмеримые размеры во всех координатных направлениях, не приводит к положительному результату.

3. Разработан и реализован единый численный алгоритм, позволяющий проводить совместный расчет НДС оболочек и упругих тел -механических объектов, для каждого из которых традиционно разрабатываются собственные теории, методы и подходы к реализации решений.

4. Представлены результаты расчетов, иллюстрирующие возможность применения модели и разработанных численных алгоритмов к расчету НДС композитных оболочек и оболочечных конструктивных элементов (слоистых и составных оболочек, подкрепленных оболочек, оболочек с заполнителем) при различных граничных условиях, условиях контакта и силового нагружения.

5. Проведен сравнительный анализ результатов расчетов для оболочек, исходя из полученных на основании предлагаемой модели, т.е. в рамках общей трехмерной постановки, и полученных на основании классических теорий Кирхгофа-Лява и Тимошенко. Отмеченные расхождения (и совпадения) результатов позволяют судить об области применения рассмотренных оболочечных теорий в зависимости от характерных геометрических размеров оболочек и ф.-м. характеристик их материалов.

6. Проведен анализ результатов расчета оболочек и совместного расчета оболочек, взаимодействующих с трехмерными деформируемыми телами (заполнителями). Рассмотрены различные модификации предлагаемой численной модели, основанной на введении межъячеечной к.-р. аппроксимации функций (перемещений) и их производных по координатным направлениям. Представлены модификации, позволяющие с высокой точностью реализовать выполнение граничных условий в напряжениях по загруженной поверхности оболочек, а также обеспечить построение систем вариационно-разностных уравнений, сохраняющих основное свойство - превалирование по величине элементов, расположенных по главной диагонали положительно определенных матриц, - для уравнений системы, соответствующих области контакта оболочек с заполнителем, когда жесткостные свойства материала заполняются намного ниже, чем материала оболочки.

7. В результате проведенной реализации и анализа полученных решений выработаны рекомендации, позволяющие на основании универсального численного алгоритма, в рамках единой программы осуществить расчеты для различных модификаций модели, исходя из геометрических параметров, ф.-м. характеристик исследуемых объектов и цели исследования.

8. Полученные результаты определения НДС упругих ортотропных оболочек и тел позволили опробовать применение численной модели к расчету трехмерного динамического НДС упругих оболочек, НДС упругопластических, а также оболочек и тел в рамках разномодульной теории упругости.

9. На основании предлагаемой численной модели были построены и реализованы численные алгоритмы, позволяющие проводить решение задач устойчивости и закритического поведения оболочек и оболочечных конструкций с позиций нелинейной теории упругости.

10. Приведенные (в том числе тестовые) расчеты подтверждают работоспособность разработанного направления в области анализа механического поведения оболочек и оболочечных конструкций с общих трехмерных исходных позиций МДТТ, без допущений, свойственных теориям оболочек различных приближений, на основании единого подхода и единого численного алгоритма.

11. Полученные результаты проведенного исследования позволяют расширить границы применения подходов и методов к моделированию и реализации решений в процессе анализа и проектирования сложных оболочечных конструкций на базе тех возможностей, которые представляет современная вычислительная техника.

Значимость для науки результатов исследований заключается в том, что, по-видимому, впервые реализован расчет тонкостенных оболочечных конструкций с пространственных трехмерных позиций МДТТ, без допущений, свойственных теориям оболочек различных приближений. Полученные результаты раскрывают возможность совместного расчета оболочек и трехмерных деформируемых твердых тел на основании единого численного алгоритма.

Тем самым реализован общий подход к расчету тонкостенных оболочечных конструкций по сравнению с традиционными методами, основанными, например, на введении коэффициента постели при расчете оболочек с заполнителями, а также других допущений, позволяющих опосредованно учитывать влияние различных (в том числе физико-механических и геометрических) характеристик на НДС и устойчивость гладких оболочек и оболочек, взаимодействующих с деформируемыми твердыми телами.

Полученные результаты могут служить основой нового направления в применении вычислительной техники, математического моделирования и математических методов при анализе и проектировании сложных оболочечных конструкций и систем.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П. Неоднородные изотропные оболочки. -Красноярск, 1977. - 126 с.

2. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 288 с.

3. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. -264 с.

4. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. - 312 с.

5. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-446 с.

6. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. -360 с.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физматгиз, 1961. -384 с.

8. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость и колебания. Изд. 2-е перераб. и доп. - М.: Наука, 1987. -360 с.

9. Амиро И .Я., Заруцкая В.А. Исследования в области ребристых оболочек // Прикладная механика, т. 19, № 11, 1983, с.3-20.

10. Ю.Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов: Справочник. Л.: Машиностроение, 1972. 216 с.

11. П.Баженов В.А. Изгиб цилиндрических оболочек в упругой среде. Львов: «Вища Школа», 1975. - 168 с.

12. Баничук Н.В. Расчет нагружения упруго-пластического тела. Изв. АН СССР, МТТ, 1969, № 1, с.128-135.

13. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. -448 с.

14. Блох В.И. Теория упругости. Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1964. -483 с.

15. Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. Изд. 2-е перераб. и доп. - М.: Изд-во лит-ры по строительству, 1972. - 192 с.

16. Болотин В.В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости -В кн.: Проблемы механики твердого деформированного тела. Л.: Судостроение, 1973, с.83-88.

17. Болотов В.М., Колдунов В.А. Расчет НДС оболочки с заполнителем на основе соотношений теории пластического течения //Теория упругости и пластичности. -Томск. Томск, ун-т, 1978, с. 11-17.

18. Бузунов Ю.В., Колдунов В.А. Расчет нагружения упруго-идеально-пластического тела вращения вариационно-разностным методом //Механика деформируемого твердого тела. Томск. Томск, ун-т, 1988, с.16-19.

19. Бушнелл Д. Потеря устойчивости и выпучивание оболочек ловушка для проектировщиков. - Ракетная техника и космонавтика, 1981, т. 19, №10, с.93-154.

20. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

21. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

22. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Гос. изд-во ф.-м. литры, 1963. - 880 с.

23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

24. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек //Прйкладная механика. 1972, т.8, в.6, с.3-18.

25. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.-232 с.

26. Гриффин Д.С., Келлог Р.Б. Численное решение осесимметричных и плоских задач теории упругости //Механика: Периодический сб. переводов иностр. статей. М., 1968, № 2, c.l 11-125.

27. Гузь А.Н. О современных направлениях механики деформируемого твердого тела //Прикладная механика, 1985, т.21, № 1, с.3-11.

28. Гулин Б.В., Терентьев Н.И. Прочность ортотропной оболочки с неоднородным заполнителем: Труды семинара по теории оболочек // Казанский физ.-тех. ин-т АН СССР, 1974, в.5, с.129-136.

29. Дейнека B.C. Расчет методом конечных элементов некоторой ортотропной цилиндрической оболочки, регулярно подкрепленной кольцевыми ребрами жесткости. Киев, 1977. - 18 с. (Препринт - 77-21/ Ин-т Кибернетики АН УССР).

30. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965. - 288 с.

31. Джанхотов С.О., Киреев В.А., Калугин Н.Т. Экспериментальное и теоретическое исследование несущей способности продольно сжатых слабоконических оболочек из композитных материалов //Механика композитных материалов. 1980, № 6, с. 1047-1055.

32. Дмитриев JI.Т., Сосис П.М. Программирование расчета пространственных конструкций. Киев: Гос. изд-во по строительству и архитектуре УСССР, 1963.-288 с.

33. Елпатьевский А.Н., Васильев В.В. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов. -М.: Машиностроение, 1972, 168 с.

34. Елтышев В.А. Напряженно-деформированное состояние оболочечных конструкций с наполнителем. -М.: Наука, 1981. 120 с.

35. Зб.Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: ВШ, 1990.-368 с.

36. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. -М.: Наука, 1977. 332 с.

37. Ильюшин А.А. Пластичность. М. - Л.: ГИТТЛ, 1948. - 376 с.

38. Кабанов В.В. Устойчивость эксцентрично подкрепленных круговых цилиндрических оболочек при внешнем давлении //Механика твердого тела Изв. АН СССР, № 1, 1969, с. 158-165.

39. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 512 с.

40. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

41. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. - 324 с.

42. Клюев П.А., Колдунов В.А. Алгоритм расчета осесимметрического НДС конструкций из разномодульных материалов //IV международный научный симпозиум «Устойчивость и пластичность в МДТТ»: Тез. докл. -Тверь, 1998, с. 56-57.

43. Койтер В.Т. Общие теоремы упруго-пластических сред. М.: ИЛ, 1961. -79 с.

44. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979.-304 с.

45. Колдунов В.А., Голоднова О.В., Долматова А.Ю. Вариационно-разностный метод расчета осесимметричного НДС анизотропных оболочек вращения //Физическая механика. Тверь: Тверс. ун-т, 1993, с. 57-62.

46. Колдунов В.А., Кудинов А.Н., Черепанов О.И. Определение НДС оболочек вращения вариационно-разностным методом с позиций трехмерной теории упругости. В кн.: Нелинейная теория оболочек и пластин: Тез. докл. Всесоюзного симпозиума. Казань, 1980, с.24-25.

47. Колдунов В.А., Лейцин В.Н., Пономарев С.В. Некоторые численные методы механики деформируемого твердого тела. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1987. - 148 с.

48. Колдунов В.А., Люкшин П.А., Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Расчет НДС ортотропной цилиндрической оболочки в зоне краевого эффекта

49. Механика деформируемого твердого тела. Томск: Томск, ун-т, 1987, с.86-90.

50. Колдунов В.А., Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Расчет круговой подкрепленной ребрами цилиндрической оболочки на основании общих соотношений теории упругости //Механика сплошных сред. Томск: Томск, ун-т, 1983, с.59-67.

51. Колдунов В.А., Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Расчет НДС составной оболочки вращения переменной толщины, выполненной из армированного нитью материала при нагружении внутренним давлением //Спр. инф. бюлл. ОФАП АСП-Б, ГОНТИ № 1, М, 1984. Вып. 25. - с.24.

52. Колдунов В.А., Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Расчет устойчивости цилиндрической оболочки из композитного материала с пространственных позиций //Механика деформируемого твердого тела. -Томск: Томск, ун-т, 1987, с.91-99.

53. Колдунов В.А., Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Численный расчет НДС и устойчивости гладких и подкрепленных композитных оболочек на основе соотношений теории упругости //Всесоюзная конференция по композитным материалам: Тез. докл. Пермь, 1985, с. 10-11.

54. Колдунов В.А., Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Численный расчет цилиндрических анизотропных оболочек в зоне краевого эффекта по пространственной схеме //Инженерно-физический сборник. Томск: Томск, ун-т, 1987, с.52-57.

55. Колдунов В.А., Чекаев О.Б. Применение вариационно-разностного метода теории упругости к расчету резьбового соединения оболочек //Инженерно-физический сборник. Томск: Томск, ун-т, 1987, с.41-46.

56. Колдунов В.А., Черепанов О.И. Расчет несущей способности заполнителя, частично скрепленного с цилиндрической оболочкой //Механика сплошных сред. Томск: Томск, ун-т, 1983, с.48-58.

57. Колдунов В.А. Численное решение задачи теории оболочек с пространственных позиций //Модели. Алгоритмы. Программы. Тверь: Тверск. ун-т, 1993, с.73-79.

58. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. М.: ВШ, 1975. - 526 с.

59. Комиссаров В.В., Колдунов В.А., Кудинов А.Н. Численная модель деформирования упругопластических оболочечных конструкций //IV международный научный симпозиум «Устойчивость и пластичность в МДТТ»: Тез. докл. Тверь, 1998, с.57-58.

60. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 336 с.

61. Кудинов А.Н. Актуальные проблемы математического моделирования процессов деформирования и устойчивости неоднородных систем //IV международный научный симпозиум «Устойчивость и пластичность в МДТТ»: Тез. докл. Тверь, 1998, с.12-14.

62. Кудинов А.Н., Колдунов В.А., Черепанов О.И. Численная модель расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости оболочек вращения с позиций пространственной теории упругих систем

63. Моделирование сложных систем, вып. II, Тверь: Тверск. ун-т, 1999, с.7-19.

64. Кудинов А.Н., Колдунов В.А. Численная модель расчета НДС и устойчивости композитных неоднородных оболочечных конструкций //9 конференция «Прочность и пластичность». Т.1, Москва, 1996, с. 108-113.

65. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. -416 с.

66. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

67. Люкшин Б.А., Потейко В.Г. Динамика цилиндрической оболочки с легким заполнителем. -Прикл. мех., 1977, т. 13, в.1, с. 116-120.

68. Майборода В.П., Кравчук А.С., Холин Н.Н. Скоростное деформирование конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1986. - 264 с.

69. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране. М.: Мир, 1977. - 584 с.

70. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1986. - 400 с.

71. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. Киев: Вища Школа, 1979. - 152 с.

72. Межслойные эффекты в композитных материалах: Пер. с англ. /Под ред. Н.Пэйгано. М.: Мир, 1993. - 346 с.

73. Мирошниченко А.Е., Колдунов В.А., Васильев А.А. О численном моделировании структурных систем на основе вариационно-разностного метода для микрополярной упругости //Моделирование сложных систем, вып. II, Тверь: Тверск. ун-т, 1999, с. 98-102.

74. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

75. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.-432 с.

76. Молчанов Н.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1979. - 316 с.

77. Моссаковский В.И., Гудрамович В.С, Макеев Е.М. Контактные взаимодействия элементов оболочечных конструкций. Киев: Наукова Думка, 1988.-288 с.

78. Мударисов Ш.Ш., Черепанов О.И. Расчет геометрически нелинейного осесимметричного деформирования и устойчивости ортотропной цилиндрической оболочки с заполнителем. //Механика деформируемого твердого тела. Томск: Томск, ун-т, 1992, с. 108-112.

79. Немировский Ю.В. Устойчивость и выпучивание конструктивного анизотропных и неоднородных оболочек. 13 кн.: Механика твердых деформируемых тел: Итоги науки и техники, 1976, т.9, с.3-109.

80. Нох В.Ф. СЭЛ совместный Эйлерово-Лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач. - В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. -М.: Мир, 1967, с.128-184.

81. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977. - 144 с.

82. Образцов И.Ф. Проблемы проектирования тонкостенных конструкций из композиционных материалов. //Расчеты на прочность, сб. научных статей, М.: Машиностроение, 1989, в.ЗО, с.3-6.

83. Пановко Я.Г., Губанова Н.И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: Наука, 1967.-420 с.

84. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983.-384 с.

85. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.-с.

86. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник /Под ред. И.А.Биргера и Я.Г.Пановко. Т.1. М.: Машиностроение, 19688. - 832 с.

87. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.-712 с.

88. Рикс Е. Применение метода Ньютона к задаче упругой устойчивости //Прикладная механика. Труды американского общества инженеров-механиков, 1972, № 4, с.204-209.

89. Рикс Е. Прогресс в области расчетов на устойчивость //Теоретические основы инженерных расчетов. Труды американского общества инженеров-механиков, 1987, №1, с. 121-136.

90. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: ЛГУ, 1978.-224 с.

91. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.-592 с.

92. Сосис П.М. АЛГОЛ-60 и применение его в строительной механике. -Киев: Бущвельник, 1965. 324 с.

93. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. - 472 с.

94. Тканые конструкционные композиты: Пер. с англ. /Под ред. Т. В.Чу и Ф.Ко. - М.: Мир, 1991.-432 с.

95. Тонкостенные обол очечные конструкции. Теория, эксперимент и проектирование. Пер. с англ. /Пер. К.Г.Бомштейн, А.М.Васильев; Ред. Э.И.Григолюк М.: Машиностроение, 1980. - 607 с.

96. Ульяшина А.И. Напряженно-деформированное состояние ортотропных многослойных оболочек //Изв. АН СССР, МТТ, 1983, № 1, с.155-167.

97. Федорова Н.А., Шкутин Л.И. Асимптотика осесимметричной задачи упругости для анизотропной цилиндрической оболочки. ПМТФ, 1981, №5, с. 156-162.

98. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. - 166 с.

99. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композитных материалов. -М.: Мир, 1982.-232 с.

100. Циглер Г. Основы теории устойчивости. М.: Мир, 1971. - 192 с.

101. Черепанов О.И. Механика разрушения композитных материалов. М.: Наука, 1983.-296 с.

102. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 238 с.

103. Черных К.Ф., Шамшина В.А. Расчет торообразных оболочек //В сб.: Исследования по упругости и пластичность. М.: Изд-во ЛГУ, 1963, в.2, с.24-34.

104. Яковлев М.Ф., Левченко И.С., Спиро В.Е. О численном расчете на прочность цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами. В кн.:220