автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Решение задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек методом конечных элементов

ии^4 /'бЭЭ 1

На правах рукописи

ЖЕЛЕЗНОВ ЛЕВ ПЕТРОВИЧ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 05.07.03 - Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Новосибирск - 2009

003476991

Работа выполнена в Федеральном государственном унитарном предприятии «Сибирский научно-исследовательский институт авиации имени С.А. Чаплыгина» (СибНИА им. С.А. Чаплыгина)

Научный консультант: Заслуженный деятель науки и техники

России, доктор технических наук, профессор

Кабанов Виктор Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Немировский Юрий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор

Коробейников Сергей Николаевич

доктор технических наук, профессор Матвеев Константин Александрович

Ведущая организация: ФГУП Центральный аэрогидродинамиче-

ский институт (ЦАГИ) им. Н.Е. Жуковского, г. Жуковский, Московская обл.

Защита состоится 08 октября 2009 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.13 при Новосибирском государственном техническом университете (НГТУ) по адресу: 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20.

Автореферат разослан « » сентября 2009 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

Иванцивский В.В.

Актуальность работы. Создание современных летательных аппаратов, обладающих высокими тактико-техническими данными и высокой экономичностью, предъявляет повышенные требования к прочностному расчету их конструкций. Поэтому уточнение существующих и разработка новых эффективных методов расчета оболочек, как важнейших составных частей конструкций ракет и самолетов, с учетом моментности и нелинейности деформирования тонкостенных конструкций, а на основе их эффективных компьютерных программ, продолжает оставаться актуальной задачей и в наши дни.

В настоящее время достигнуты значительные успехи в исследованиях прочности и устойчивости оболочек. Ведущее место в решении проблемы устойчивости оболочек занимают работы С.П. Тимошенко, В.В. Новожилова, В.З. Власова, Х.М. Муштари, Э.И. Григолюка, В.В. Болотина, A.C. Вольмира, A.B. Саченкова, В.И. Мяченкова, Ю.В. Липовцева, В.В. Кабанова, JI.M. Куршииа, Ю.В. Немировского, Н.П. Абовского, Г.Н. Замулы, Я.М. Григоренко, Н.В. Пус-тового, А.Н. Андреева, Л.И. Шкутина, H.A. Алфутова, С.Н. Кана, Г.И. Расторгуева, И.Т. Вохмянина, Ю.Г. Коноплева, С.Н. Коробейникова, К.А. Матвеева, В.И. Самсонова, Ю.М. Волчкова, В.М. Корнева, В.И. Мамая, Ф.И. Шклярчука, Г.Н. Рудыха, Ю.Л. Тарасова, А.П. Янковского, В.К. Белова, Ю.И. Бадрухина, Лява, Доннелла, Альмрота, Бушнела, Стейна, Хуана, Фишера, и др.

Большинство известных решений задач устойчивости оболочек выполнено приближенно аналитическими методами в классической линейной постановке при безмоментном однородном докритическом напряженном состоянии. При этом не учитывались ни моментность, ни нелинейность исходного напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочек. В тонких оболочках такой подход дает большую погрешность, так как их НДС даже при простейших нагрузках является неоднородным, моментным и нелинейным. При этом линейный (бифуркационный) подход зачастую неприменим. Поэтому устойчивость тонких оболочек следует исследовать в рамках нелинейного подхода. В случае сложных нагрузок (поперечный изгиб, комбинированное нагружение) нет решений даже в линейной постановке.

В последнее время с интенсивным внедрением в практику расчетов ЭВМ наиболее эффективными оказались интенсивно используемые численные методы: метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (МКР), метод численного интегрирования, вариационно-разностный метод. Наиболее эффективным из них оказался МКЭ. Преимущества его в универсальности, физично-сти и неограниченной возможности применения к сложным конструкциям при произвольном нагружении. МКЭ нашел широкое применение к исследованию задач прочности. Следует отметить работы В.А. Постнова, В.А. Комарова, Г.Н. Замулы, K.M. Иерусалимского, Ю.И. Иванова, В.Д. Чубаня, В.И. Гришина, Ю.И. Дударькова, В.А. Дубини, А.Б. Кудряшова, A.C. Дзюбы, Ю.А. Шевченко, А.И. Голованова, К.П. Горбачева, В.В. Кабанова, Ю.И. Бадрухина, В.В. Кузнецова, С.Н. Коробейникова, C.B. Астрахарчика, Х.С. Хазанова, Л.М. Савельева, A.C. Сахарова, В.Е. Левина, Зенкевича, Одена и др. В первых работах по расчету оболочек МКЭ использовались, как правило, плоские треугольные конечные элементы (КЭ). В дальнейшем появился ряд криволинейных КЭ, обладающих

различной степенью эффективности. Здесь следует отметить в первую очередь работы Асвелла и Сабира, Кантона, Клафа, Богнера, Фокса, Шмита. Большинство разработанных КЭ являются элементами круговых цилиндрических, конических или сферических оболочек. Построение эффективных КЭ оболочек является актуальной задачей и по настоящее время. Применение МКЭ к расчету оболочек связано со значительными трудностями, обусловленными кривизной оболочки. Большинство исследований проведено для круговых цилиндрических оболочек при однородных НДС и, как правило, без учета моментности и нелинейности деформирования их в исходном (докритическом) состоянии.

Цель работы: дальнейшее развитие теории нелинейного деформирования и устойчивости тонкостенных оболочек на основе метода конечных элементов при неоднородном термомеханическом нагружении и разработка конечно-элементных методов и компьютерных программ для исследования новых задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек аэрокосмической техники.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1) разработка новых эффективных КЭ тонких оболочек различного вида (оболочки вращения, некруговые цилиндрические оболочки) и подкрепляющего их набора из стрингеров и шпангоутов;

2) разработка на основе этих КЭ численных алгоритмов и компьютерных программ для решения задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек;

3) решение и численное исследование новых задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек в геометрически и физически нелинейной постановке;

4) решение практически важных задач прочности и устойчивости типовых конструкций аэрокосмической техники;

5) внедрение разработанных компьютерных программ на предприятиях аэрокосмической отрасли.

Работа выполнялась в рамках отраслевых государственных программ развития авиационной, ракетной и космической техники, в последнее время в рамках Федеральной целевой программы «Развитие гражданской авиационной техники России на 2002 - 2010 годы и на период до 2015 года».

Научная новизна:

1) разработано семейство новых эффективных оболочечных КЭ для некруговых цилиндрических оболочек, оболочек вращения и оболочек двойной кривизны, в отличие от известных КЭ имеют естественную кривизну и учитывают их жесткие перемещения как твердых недеформируемых тел;

2) разработано семейство новых, совместных с конечными элементами оболочек криволинейных балочных КЭ естественной кривизны для подкреплений (стрингеров и шпангоутов) с учетом знака их эксцентриситета, позволяющих учитывать дискретность расположения подкреплений:

3) разработаны алгоритмы МКЭ для решения задач нелинейного деформирования и устойчивости рассмотренных выше оболочек и составных оболо-

чек с учетом моментности и нелинейности исходного НДС при произвольном термомеханическом нагружении, особенностью которых является то, что задача устойчивости в них не выделяется отдельно, а критические нагрузки определяются в процессе решения нелинейной задачи;

4) разработаны алгоритмы МКЭ для решения задач определения физически нелинейного моментного НДС в конструкциях летательных аппаратов типа тонкостенных оболочек;

5) результаты исследования широкого спектра новых задач нелинейного деформирования и устойчивости различного рода оболочек при раздельном и комбинированном термомеханическом нагружениях, позволяющие оценить устойчивость оболочек, влияние нелинейности и моментности исходного НДС на критические нагрузки, рамки использования известных линейных решений, полученных в классической постановке.

Теоретическая и практическая значимость диссертации.

Теоретическая значимость заключается в дальнейшем развитии теории прочности и устойчивости оболочек, решении новых задач устойчивости круговых, овальных и эллиптических цилиндрических оболочек, оболочек вращения, составных оболочек при раздельном и комбинированном термомеханическом нагружении с учетом нелинейности и моментности их НДС. Практическая значимость заключается в разработке конечно-элементных алгоритмов, компьютерных программ, получении обширной информации по критическим нагрузкам, определении области применимости известных приближенных линейных решений, в рекомендациях по расчету на устойчивость элементов конструкций летательных аппаратов, в решении ряда практически важных задач нелинейного деформирования и устойчивости элементов конструкций летательных аппаратов.

Реализация работы. Компьютерные программы и результаты исследований (НДС, критические нагрузки, формы потери устойчивости) использовались при проектировании новых летательных аппаратов на аэрокосмических предприятиях. Полученные результаты реализованы в «Рекомендациях по расчетам» в авиационных ОКБ и внедрены в ОАО «Туполев», ОКБ «Сухой», НПО «Прикладная механика», Центральное серийное конструкторское бюро (ЦСКБ) Самара.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждается строгой постановкой задач с использованием апробированного математического аппарата теории тонких оболочек, тестированием алгоритмов, исследованиями сходимости решений, сравнением результатов исследований с известными экспериментами и исследованиями других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на третьей научно-технической конференции (СибНИА, 1974 г.), шестой конференции по статической прочности летательных аппаратов (ЦАГИ, 1975 г.), XI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Харьков, 1977 г.), четвертой научно-технической конференции (СибНИА, 1979 г.), конференции по статической прочности летательных аппаратов (ЦАГИ, 1980 г.), симпозиуме по нелинейной теории оболочек и пластин (Казань, 1980 г.), научно-

технической конференции (Челябинск, 1982 г.), научно-технической конференции по статической прочности летательных аппаратов (ЦАГИ, 1984 г.), XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Тбилиси, 1987 г.), III Всесоюзной научно-технической конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Казань, 1988 г.), XVII Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001 г.), Российско-китайской научной конференции (ЦАГИ, 2003 г.), XVIII Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2003 г.), Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций СибНИА (Новосибирск, 2004 г.), XX Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2007 г.), Всероссийской научно-технической конференции по аэродинамике и прочности летательных аппаратов (СибНИА, 2008 г.), Чаплыгинских чтениях (СибНИА, 2009 г.), научном семинаре кафедры "Прочность летательных аппаратов" НГТУ (Новосибирск, 2009 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 68 статей, в том числе 23 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ, 1 статья в рецензируемом журнале, 35 статей в сборниках научных статей, 9 статей в трудах научно-технических конференций.

Объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, изложена на 417 страницах основного текста, содержит 504 рисунка, 41 таблиц, список используемых источников из 281 наименования и приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сделан обзор имеющихся публикаций, сформулированы цели и задачи исследования, изложено краткое содержание диссертации.

В первых работах по устойчивости оболочек использовалась идеализированная расчетная схема. Оболочка считалась геометрически совершенной и идеально упругой, исходное напряженное состояние - однородным, безмомент-ным, граничные условия - шарнирное опирание. Такая, ставшая классической, постановка использовалась в дальнейших исследованиях. Величина критической нагрузки, как правило, не совпадала с экспериментальной нагрузкой, которая оказывалась ниже классической нагрузки. Исследования устойчивости оболочек при неоднородных напряженно-деформированных состояниях в без-моментной постановке в упругой области выполнены Флюгге, Альмротом, Бушнелом, В.В. Кабановым, В.И. Мяченковым, а за пределом упругости Ю.В. Липовцевым, Э.И. Григолюком, В.В. Кабановым, И.Т. Вохмяниным, Ю.В. Не-мировским.

Во второй половине шестидесятых годов В.И. Мяченковым, Ю.В. Липовцевым, В.В. Кабановым, Хуаном, Фишером, Альмротом на основе МКР были разработаны эффективные алгоритмы исследования устойчивости круговых цилиндрических оболочек при произвольном осесимметричном нагружении с

учетом моментности и нелинейности исходного НДС. С помощью этих алгоритмов было исследовано большое количество задач по устойчивости круговых цилиндрических оболочек.

В начале 70 годов прошлого века к задачам устойчивости оболочек стал применяться МКЭ. Здесь следует отметить работы В.А. Постнова, B.C. Корнее-ва, Н.Г. Слезиной, Н.В. Ковальчука, В.В.Кабанова, Г.Н. Замулы, K.M. Иерусалимского, Ю.И. Бадрухина, C.B. Астрахарчика, В.В. Кузнецова, Зенкевича, Стринклина, Pao, Галлагера, Пэдяога, Бакуса, Асвела, Сабира, Матью, Дженсо-на.

В настоящее время по устойчивости круговых цилиндрических оболочек и оболочек вращения опубликовано несколько тысяч статей, книг, монографий. По некруговым цилиндрическим оболочкам число публикаций исчисляется десятками. Такое поразительное несоответствие публикаций можно объяснить трудностями решения задач, связанными с переменностью радиуса кривизны поперечного сечения оболочек, что приводит к переменным коэффициентам в дифференциальных уравнениях оболочек. В последние годы прошлого и настоящего веков интерес к некруговым оболочкам сильно повысился, особенно в зарубежной практике проектирования пассажирских самолетов. В России некруговые оболочки используются в гермокабинах самолетов Ту-204, 334, в ракетах в виде обтекателей, в самолетах легкой авиации, в самолетах самодельной постройки.

Первая работа по устойчивости цилиндрической эллиптической оболочки при осевом сжатии и кручении была выполнена в 1935 г. Х.М. Муштари в классической постановке. Долгое время эта работа не имела продолжения. Следующие работы стали появляться с 1967 г. Следует отметить работы A.B. Са-ченкова, Я.М. Григоренко, С.Н. Кана, Ю.Г. Коноплева, И.Н. Гинзбурга, Б.Х. Иноземцева, Е.М. Королевой, A.B. Копа, Б.И. Слепова, Ю.И. Каплана, В.И. Гуляева, Г.И. Мельниченко, A.A. Саченкова, JI.B. Андреева, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедева, H.H. Крюкова, В.В. Кабанова, Кемпнера, Чена, Бушнела, Яо, Джен-кинса, Марлоу, Брогана, Вейничке и др. Особо ценными являлись работы Казанской школы оболочек, в которой A.B. Саченковым был разработан теоретико-экспериментальный метод исследования. Им и его учениками Ю.Г. Коноплевым, A.B. Коппом были проведены обширные эксперименты с оболочками из алюминиевой фольги и получены полуэмпирические формулы для критических нагрузок.

В первой главе разработано семейство криволинейных КЭ круговых и некруговых цилиндрических оболочек, оболочек вращения, оболочек двойной кривизны, учитывающих и не учитывающих их жесткие перемещения. Разработано семейство совместных с элементами оболочек криволинейных балочных элементов подкреплений.

Применение МКЭ к расчету оболочек связано со значительными трудностями, связанными с малой толщиной и кривизной оболочек. Преодоление этих трудностей обусловливает получение эффективных КЭ. Первый вопрос, связанный с малой толщиной оболочек, решается с использованием гипотезы Кирхгофа-Лява. Решение второй трудности значительно сложнее. Эффектив-

ность КЭ напрямую связана со сходимостью решения задачи, которая в свою очередь обусловлена решением вопросов совместности КЭ и удовлетворением требований учета жестких перемещений КЭ. Для оболочечных КЭ удовлетворить и совместности и учету жестких перемещений в общем случае невозможно. Причем удовлетворение условий учета жестких перемещений на сходимость решения влияет больше, чем совместность КЭ.

В диссертации получено семейство криволинейных КЭ естественной кривизны, у которых жесткие перемещения в явном виде вводятся в аппроксимацию полных перемещений. Функции жестких перемещений оболочечных элементов определяются из решения системы однородных дифференциальных уравнений, получающихся приравниванием нулю выражений для деформаций, изменений кривизн и кручения.

Для оболочек вращения (рис.1), удовлетворяющих условиям , 1 , sina cosa n 1, ч „ , 1

эта система имеет вид

£\ = -7(и„ + w) = 0,г 2= + щи + k2w = - ц/v = О,

л о АН

Хх = = Z2 = ^(k2vp - J "VУ+ ^(и - и>а) = о,

2 1 12 к X3=-(klu/¡--wafi)-2y/(k2v--wp) + ~^-va=0 (1)

где А, В - параметры Ляме; u,v,w- перемещения точек срединной поверхности конечного элемента в направлении координатных a,jB м z соответственно; R - радиус кривизны, kltk2- главные кривизны срединной поверхности оболочки.

Для некруговой цилиндрической оболочки (рис. 2) система имеет вид е1 = их = 0, е2 = к2{юр + го) = О,

е3=ьх + к2ир = 0, Хх = =0,

= М*2(» " г», )]д = 0. Хз = [*2<® - )1 = 0 (2)

Здесь и, v, w - тангенциальные перемещения и прогиб, R, к2~ R'1 -радиус и кривизна поперечного сечения, р - угол нормали к поперечному сечению с осью b поперечного сечения , х - продольная координата. В индексах х, р означают дифференцирование пох, р.

Интегрируя системы дифференциальных уравнений (1) и (2), получаем выражение жестких перемещений оболочек вращения и - C3(v,с + Bs)c + C4(y/f + Bs)J + C{cc+ C2cJ + C5s,

v = -C3i//,s + C4i//,c - C,s + C2c + BC6> у/, = pb d¡}ц/г = - jAc dp, w = С3(У,$ - Bc)c + С^ц/^s - Bc)J + C,ic + C2sJ-Csc,

с = cosa,s = sina,с = cost's -s\nj3 (3)

и некруговых цилиндрических оболочек

и = С>, + С2ц/2 + С6.

V = С3с + C4s - + (¿/2j) + (С2с - Cts)x, w-C-jS- С\с - C5(y¡s - i/jc) + (C2s + C¡c)x. i//, = = -j/í«//?,c = cos/?,s = sin/? (4)

Используя билинейную аппроксимацию для деформационных тангенциальных перемещений и, v и бикубическую аппроксимацию для прогиба и>, с учетом жестких перемещений (3), (4) записываем выражения полных перемещений точек срединной поверхности КЭ оболочки вращения

и = арР + ага + аф + a4(y,c + Bs)c+ a6(y,c + Bs)J + a20s + a2icJ + a24cc, v = asap + a6y/f + аф + asB - J + a23c - a24s, w = a9a3pi+al0a3p2+aua1p + a12a3 + ana2 ръ + a14a2 p2 + ana2 ¡3 + +a¡6 a2 + ana /Зъ + alsa p2 + ai9a P + a20c + +a21/?3 + a21 p2 + aasl + +a4(y,s - Bc)c + a6(y/,s - Bc)J,c = cosP,s = sinp.'c = cosa,5" = sina (5) и некруговой цилиндрической оболочки

и = atxy + а2х + аъу + аА+ ab\¡/2 + а2й у,, V = а5ху + айхс + а7у + a8(t//,c + i//2s) - a10xs + а1ъс - a2As, w = a9x3y3 + aíox3y2 + а, ¡x3y + апх3 + апх2у3 + а14х2у2 + а15хгу + +а16 хг + апх У + аах у1 + аых у + а20хс + аиу3 + агг у2 + a2Js +

+а24с + a6xs + a¡(w¡s - у/2с),с = cos P,s = sinP (6)

Приведем основные соотношения для КЭ оболочки вращения (для КЭ некруговой цилиндрической оболочки соотношения получаются аналогично). В матричной форме (5), (6) имеет вид

и = Ра, (7)

где й = {н,1>, н'}т - вектор перемещений точек срединной поверхности КЭ, а = {а1,...,аг^}т - вектор неизвестных коэффициентов полиномов, Р - матрица связи размерности 3><24, элементами которой являются множители при коэффициентах а

Выражая неизвестные коэффициенты полиномов а, через узловые неизвестные, получаем

а=В~'й, (8)

где й = {и,.,м„,...,г<;а/,„}т- вектор узловых неизвестных, В - матрица порядка 24x24, ненулевые элементы которой имеют вид

К =Рч> Ь2у =Лу. Ьи=Ру> Ьь^(р2Г(ру)р)1Р.,

К = (РзД/* (* = ~аиУ = ьь = Рхр К = Рц> Ь9, = Ргр ь\щ = (ЛД>

Ь1Ы=Рър 61бу=(Рзу)л. 617У = (йу ~ (Рзу =

Ь\<>1=Р\Р Ьгы=Ргр г,21/=Рз/> Ь22у=(Рз/\' Ьа/ = (р2у-{ру)/1)1К, К¿=(Ру),/> (х = а1,у = Ь]), 7 = 1,...,24, ах=Ы2т, 6,=//2и,

где ¿, I- длина образующей и направляющей оболочки. В каждом узле конечного элемента имеется шесть неизвестных (перемещения, углы поворотов нормали и смешанную производную). Таким образом, конечный элемент имеет 24 степени свободы.

Подставляя (8) в уравнение (7), получаем зависимость перемещений точек КЭ от узловых неизвестных

й = РВ'й (9)

Нелинейные соотношения Коши для деформаций и изменений кривизн и кручения точек срединной поверхности оболочки имеют вид

е = е,+е„+е0+е(, (10)

где

£л + ™)>£г = \iPfi + си + т),ез со)

11

XI = - 1°аа ) + *!«(" ~ )), 12 ( д ^ - Годе) + ^ (" - ^а ))

2 1 с

= ("/»+ я>. - ^--(т-ю,))

- компоненты вектора е, = {е„£2,е3,х„Хг>Хз}г линейной составляющей деформации;

1

е3„ = ОД = дд (и - - и»,)

- компоненты вектора е„ ={ё„г,0>0,0}г,ё„ ={е1„,е2„,£3„}т нелинейной составляющей деформаций;

£г = 9,-ш°а,£2 = Ез = 9г1и° + 92иР

- компоненты вектора е0 = {ё0г,ОДО}г,ё0 = начальной деформации;

М М , Г++Г +

г, =-0Г|/,е2 =-аи,х1 -а\— ,хг =аг--, Г =—-—, Ж = / -/

« п 2

- компоненты вектора температурной составляющей деформации е, = 0,21>^2,0}Г, 1и°а,ю0р -производные начального прогиба по а и у? соответственно^^ я2 коэффициенты температурного линейного расширения в направлении а и /?, , - температура на внешней и внутренней поверхностях оболочки.

Запишем (10) в матричной форме

е,=А,й, е„=-Ве, е^Ве, е, = А,4 ,

(И)

-а,

АГ =

~а20 ООО 0 0 0 {ах1И)(а21И) 0 1

В1 =

о э2 ■Я д

и

(§Т =

-ги„

0

0

в Р

1 о

В р

Из-за громоздкости матрицы А, она здесь не приводится.

Соотношения упругости для оболочки имеют вид

Т = Бе , (12)

где Т = {ТиТ2,Тг,М],М2,М1}т- вектор внутренних усилий и моментов, Б-матрица упругих жесткостей.

Часто для расчета оболочек требуется построение конечно-элементной сетки, не совпадающей с линиями главных кривизн, например, при расчете оболочек с вырезами. Поэтому для решения задач определения моментного НДС таких оболочек разработан криволинейный КЭ естественной кривизны с 24 степенями свободы. Для аппроксимации перемещений и и V используется билинейная аппроксимация, а для прогиба ю бикубическая аппроксимация.

Для расчета подкрепленных оболочек разработано семейство криволинейных балочных КЭ подкрепляющего набора, совместных с КЭ оболочек и работающих на растяжение-сжатие, изгиб в 2-х плоскостях и кручение. Учитывается эксцентриситет расположения КЭ подкрепления относительно срединной поверхности оболочки.

В этой же главе получены основные соотношения для изопараметриче-ского конечного элемента оболочки двойной кривизны.

Во второй главе с использованием полученных КЭ разработаны числен-

ные алгоритмы МКЭ для решения и исследования задач нелинейного деформирования и устойчивости неподкрепленных и подкрепленных оболочек при произвольном термомеханическом нагружении и произвольных граничных условиях с учетом моментности и нелинейности исходного НДС в упругой и пластической областях.

Рассмотрим оболочку, на которую действует система неоднородной поверхностной нагрузки я = {ц\^г,Чг}т, система контурных сил и моментов В.к={Ри,Ри,Ръ1,М\к,Мгк-мп}Т> и система локальных сил и моментов = {Ри-Р21>рз1'Ми,М2„Му}т. Индексы 1,2,3 соответствуют направлениям а, р, 2 осей. На срединную поверхность оболочки нанесем систему ортогональных линий, совпадающую с линиями главных кривизн оболочки. Таким образом оболочка представляется набором /их« четырехугольных криволинейных КЭ естественной кривизны (т, п - число элементов по образующей и направляющей оболочки).

Полная потенциальная энергия КЭ оболочки имеет вид

П = ш-и (13)

IV = - = ||ятй<& + + , (14)

2 5 5 1к

где № - потенциальная энергия деформации, и - работа внешних сил, ии, = .

Потенциальная энергия деформации для конечного элемента подкрепления имеет вид

К=иТ>Р^Р>ТР=1)Рег О5)

где Тр = {Тр,Мрх,Мру,Мрг}, ер={Ер,хрх,Хрг>Хр},Ъ1, - вектор внутренних усилий и моментов, вектор деформаций, изменений кривизн и кручения КЭ подкреплений и матрица жесткости подкреплений.

Для определения узловых неизвестных КЭ используем принцип возможных перемещений. Запишем вариационное уравнение Лагранжа с учетом (13) -(15)

5П - 81¥ + Шр ~$и = О дП = ¡Ттр5ер(11р - Дя^йЖ - ткдик<Ик - К[ = 0 (16)

5 Я /к

Варьируя (16) по узловым перемещениям КЭ, получаем систему нелинейных алгебраических уравнений относительно узловых неизвестных КЭ. С учетом услрвий совместности узловых перемещений КЭ и граничных условий получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для определения узловых неизвестных оболочки

Ки'-0 = 0, (17)

где К- матрица жесткости оболочки, 0 - вектор обобщенных узловых сил

оболочки, и'- вектор узловых неизвестных оболочки. Система (17) решается шаговой процедурой по нагрузке с использованием на каждом шаге метода линеаризации Ньютона - Канторовича, уравнение которого для оболочки можно записать в виде

н(и;,)А=д-с(и;,),и;,+|=и;+д, (18)

где Н - матрица Гессе оболочки, элементами которой являются вторые производные потенциальной энергии деформации, в - градиент потенциальной энергии деформации, элементами которого являются первые производные потенциальной энергии деформации, Д - приращение по итерациям вектора узловых неизвестных.

Решение системы (17) отыскиваем следующим образом. Задается небольшое значение параметра нагрузки. За нулевое приближение принимается решение линейной задачи. Выполняется итерационный процесс (18). Далее нагрузка увеличивается. За нулевое приближение берется решение с предыдущего шага по нагрузке. Выполняется итерационный процесс и т.д. На каждой итерации решение системы линейных алгебраических уравнений (18) отыскиваем методом Краута с использованием разложения матрицы Н=ЬтОЬ на диагональную В и две треугольные Ь матрицы. По найденным узловым неизвестным по формулам (9) - (12) определяются перемещения точек КЭ, деформации, усилия и моменты.

Критическая нагрузка определяется или как предельная по расходимости итерационного процесса при резком возрастании перемещений в отдельных узлах конечно-элементной сетки, или как бифуркационная с использованием энергетического критерия устойчивости, согласно которому равновесное состояние устойчиво, если вторая вариация полной потенциальной энергии 52П> 0, что в свою очередь требует положительной определенности матрицы Гессе Н, или положительности всех диагональных элементов матрицы Б. Изменение какого либо коэффициента матрицы Б на противоположный означает потерю устойчивости оболочки. Это легко контролируется в вычислительном алгоритме без дополнительных затрат машинного времени.

Определив критическую нагрузку, отыскиваем форму потери устойчивости оболочки из решения системы Н5 = 0, где 5 - вектор бифуркационных узловых перемещений. Для этого определяется одна линейно зависимая (вырожденная) строка матрицы Н, соответствующая первому отрицательному элементу матрицы Б. Элементы этой строки и соответствующего столбца матрицы Н полагаются равными нулю. На место диагонального коэффициента заносится единица, а в правую часть системы переносится соответствующий столбец, умноженный на докритическое перемещение, соответствующее вырожденной строке. Из решения полученной таким образом системы и отыскивается форма потери устойчивости оболочки. В случае предельной точки форма потери несущей способности оболочки отыскивается из нелинейного исходного НДС при нагрузке, близкой к предельной.

В этой же главе приведены результаты тестирования алгоритмов на известных решениях и экспериментах.

В третьей главе приведены результаты решений ряд задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек при однородных и неоднородных НДС.

Круговые цилиндрические оболочки:

• оболочка при неоднородных по длине осевом сжатии и внешнем давлении;

• оболочка при неосесимметричном осевом сжатии;

• оболочка при неосесимметричном внешнем давлении;

• оболочка при поперечном изгибе сосредоточенной силой;

• оболочка переменной по окружности толщины при однородном внешнем давлении;

• оболочка при гидростатическом внутреннем давлении;

• оболочка при локальном нагружении радиальной силой через накладку;

• оболочка при неосесимметричном нагреве;

• подкрепленная оболочка при комбинированном неоднородном нагружении.

Сферические и составные оболочки:

• сферические оболочка и панель под действием сосредоточенных сил;

• торовая оболочка под действием сосредоточенных сил;

• составные подкрепленные оболочки при неоднородном нагружении.

Эллиптические цилиндрические оболочки:

• оболочки при раздельном действии осевого сжатия, внутреннего давления, изгибающего момента, поперечной силы, крутящего момента;

• оболочки при комбинированном нагружении осевым сжатием и внутренним давлением, поперечной силой и изгибающим моментом, крутящим и изгибающим моментами, крутящим моментом с внутреннем давлением, изгибающим моментом с внутреннем давлением, крутящим и изгибающим моментами с внутреннем давлением, крутящим моментом и поперечной краевой силой.

Овальные цилиндрические оболочки:

• оболочки при раздельном действии осевого сжатия, внутреннего давления, изгибающего момента, поперечной силы и крутящего момента;

• оболочки при комбинированном нагружении поперечной силой и изгибающим моментом, крутящим и изгибающим моментами, крутящим моментом с внутреннем давлением, изгибающим моментом с внутреннем давлением, крутящим и изгибающим моментами с внутреннем давлением, изгибающим моментом и поперечной силой с внутреннем давлением.

Отсек фюзеляжа самолета ТУ-334 с некруговым контуром поперечного сечения при комбинированном нагружении крутящим и изгибающим моментами с внутреннем давлением, изгибающим моментом и поперечной силой с внутреннем давлением, крутящим и изгибающим моментами с внутреннем давлением, изгибающим моментом с внутреннем давлением.

Исследовано влияние неоднородности нагрузок, геометрических параметров оболочек, нелинейности исходного НДС на устойчивость и предельное состояние круговых и некруговых цилиндрических оболочек, оболочек вращения и составных оболочек при действии различного вида неоднородных нагрузок. Получены кривые взаимодействия критических нагрузок при комбинированном нагружении оболочек. Приведено сравнение результатов, полученных автором с результатами экспериментов и результатами других авторов. Приведено решение практически важных задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и элементов конструкций летательных аппаратов.

Ниже показаны результаты исследований некоторых задач.

Круговая цилиндрическая оболочка при неоднородном осевом сжатии погонными усилиями Ni = N0 cosр<р.

На рис. 3 представлена зависимость критического безразмерного параметра kc=N'0/Tb от параметра р при различных длинах оболочек L-L/R, N'B- критическая амплитуда неоднородного осевого

_ Eh2 усилия, Ть = —, - верхнее крити-

ке 2,0

1,6 1,2 0,8 0,4

/

/ /

£4,0 /

2j0

4,0,

яф (1-v2)

2 4 6 8 10 12 р Рис. 3. Зависимость параметра критической нагрузки сжатия кс от параметра р

ческое значение однородного осевого усилия сжатия. Звездочкой нанесены результаты В.В. Кабанова, полученные при без-моментном исходном НДС.

Круговая цилиндрическая оболочка при осевом сжатии погонными краевыми усилиями N по р площадкам размеров у = п1р. Площадки расположены с периодом 2у, Разлагая усилия N в ряд Фурье, получаем их в виде

функции угловой координаты N - NJ— + V—sin—cos-^^).

2 пл 2 у

кс\

0,6

0,2

Рис. 4. Зависимость параметра критической нагрузки сжатия кс от параметра р

/д На рис. 4 показана зависимости <8 критического безразмерного параметра ; кс от числа площадок р при различных ; =1УЯ. Сплошные линии соответствуют свободно опертым оболочкам, пунктирные - оболочкам со свободным краем. Светлыми и темными точками нанесены экспериментальные значения кс, полученные В.Л. Красовским соответственно при 1=1,2.

При р < 12 величина кс меньше

единицы. Это объясняется влиянием моментности и нелинейности НДС оболочек.

Анализ рис. 3, 4 позволяет сделать следующие выводы. Для каждой длины оболочки существуют свои «резонансные» значения параметра р, при которых величина кс минимальна и существенно меньше единицы. Эти значения параметра р совпадают с числом волн потери устойчивости оболочки при однородном осевом сжатии (собственная форма потери устойчивости оболочки). Осевое усилие и вызванные им прогибы в этом случае находятся в своеобразном резонансе с собственной формой потери устойчивости оболочки.

При малых значениях р оболочка деформируется с интенсивным развитием прогиба у нагруженного края оболочки. При значениях параметра р, приближающихся к резонансным, оболочка деформируется с развитием прогиба ближе к середине оболочки.

Круговая цилиндрическая оболочка при неосесимметричном внешнем давлении ц =<70(1~соэр^).

На рис. 5 представлена зависимость критического безразмерного параметра кч =Ча!чь от параметра р при различных значениях I, где д0 - критическая амплитуда давления, - верхнее критическое значение однородного внешнего давления. Как и в случае осевого сжатия, здесь также для каждой длины оболочки существуют свои «резонансные» значения параметра р, при которых величина кц

минимальна. Эти значения совпадают с числом волн потери устойчивости оболочки при однородном внешнем давлении. Величина кч в этом случае получается существенно меньше единицы.

Рис. 5. Зависимость параметра критического давления к от параметра р

Консолыю-закрепленная круговая цилиндрическая оболочка при изгибе сосредоточенной силой.

В известных решениях этой задачи рассматривались оболочки с абсолютно жестким шпангоутом при безмоментном исходном состоянии.

На рис. 6 представлена зависимость параметра кт=@ I £)ь от параметра длины оболочки Ь=Ь/Я в случае нелинейного (сплошная линия), линейного моментного исходных НДС (штрих - пунктирная линия) и без учета искривления оболочки в исходном состоянии (штриховая линия). При этом £?' - критическое значение силы, Qь = кК5ь, 54 - критическое сдвигающее усилие при жестком шпангоуте и чистом кручении. Звездочкой нанесены результаты эксперимента П.Г. Бурдина. Кривые 1 и 2 получены при абсолютно жестком шпангоуте.

0,5 1.0 1,5 2,0 2.5

Рис. б. Зависимость параметра критической радиальной силы кт от длины оболочки

В случае абсолютно жесткого шпангоута параметр к% с увеличением длины оболочки увеличивается как в случае линейного, так нелинейного исходных НДС. Влияние нелинейности исходного состояния небольшое (порядка 10 - 15%). В случае гибкого шпангоута при нелинейном и момент-ном исходных НДС параметр кг с увеличением длины оболочки сначала увеличивается, достигая максимумы при /,=1,75, затем монотонно уменьшается. В случае неучета искривления оболочки в исходном состоянии кг увеличивается с увеличением L. При /,<1,5 влияние как моментности, так и нелинейности исходных состояний незначительно. С увеличением L влияние моментности увеличивается до 47 %, влияние нелинейности исходного состояния с увеличением L увеличивается до 40 %. Такое поведение кт обусловлено сложным характером НДС. Видно удовлетворительное совпадение результатов расчета с экспериментом.

На рис 7 на развертке срединной поверхности оболочки показана характерная форма потери устойчивости оболочки.

На рис. 8 приведены зависимости параметра kt от параметра жесткости шпангоута J при различных значениях L и R/h. Кривые 1 соответствуют оболочке с 1=1, Ä//j=100^ кривые 2 - 1=1, R/h=200; кривые 3 - L= 3, R/h =200. Увеличение жесткости шпангоута ведет к повышению критической нагрузки. При У >2x104 шпангоут для рассмотренных оболочек можно считать абсолютно жестким.

Круговая цилиндрическая оболочка под действием гидростатического давления.

Оболочка заполнена жидкостью плотности у, жестко оперта на две опоры, симметрично расположенные относитель-ю ю> io1 10* j но ее середины (рис. 9). Под опорами обо-Рис. 8. Зависимость параметра лочка подкреплена шпангоутами постоян-критической радиальной силы кт от ной жесткости прямоугольного попереч-параметра жесткости 7 нога сечения. Оболочка имеет кусочно-

У о

Рис. 7. Форма потери устойчивости

постоянную по окружности толщину И, и И2 ((00 = 0,75л-), В известных решениях этой задачи используются либо различные приближенные подходы, связанные с приведением задачи к задаче кручения, сжатия или чистого изгиба, либо в предположении безмоментности исходного НДС. Ниже задача решается с учетом моментности и нелинейности исходного НДС.

г_

7/?П}ШПН 1 /1)11 /I

Рис. 9. Оболочка с жидкостью Действие жидкости на боковую поверхность оболочки заменим неоссим-метричным внутренним давлением

д = уЛ(1-созр),

а на днище - осевыми растягивающими погонными усилиями, приложенными к краям оболочки и изменяющими по закону

На рис. 10 представлена зависимость безразмерного параметра критического удельного веса жидкости у =\00уЮк$ от параметра х=хш1Ь (£> = ЕЙ1 /12(1 - V2)). Сплошные кривые (здесь и далее) соответствуют решению задачи с учетом моментности и нелинейности НДС, штрихпунктирные - с учетом моментности линейного НДС, штриховые кривые - без учета моментности. Качественно решения с нелинейным, линейным моментным и безмоментным НДС совпадают. Причем, с увеличением х параметр у сначала возрастает, достигая максимума, потом уменьшается. Можно сказать, что существует такое место положение опор, для которого величина критического удельного веса жидкости у максимальна. При увеличении х влияние нелинейности увеличивается, а при х > 0,22 практически не зависит от х и составляет порядка 25%.

На рис. 11 показано влияние относительной толщины Т2 = ^ / Я на критические значения параметра у. Кривые получены при х =0,08 , 7, = А,/Д = 0,00642, Г = !/Л = 6. Погрешности как линейного, так и безмоментного решений с увеличением Т2 достигает максимума при /¡=0,005 и составляет примерно 100%. Для повышения критического удельного веса жидкости необходимо увеличивать толщину оболочки в нижней части. Отношение должно быть больше 1,7.

/ \

// \| V

У 2,0

1,5 1,0 0,5

/

✓

\ / /

0,08 0,16 0Д4 0,32 г

и 0,002 0,004 0,00« 0,008

Рис. 11. Зависимость параметра критического удельного веса жидкости у от параметра 1г

Рис. 10. Зависимость параметра критического удельного веса жидкости у от параметра х На рис. 12 показано влияние жесткости подкрепляющего шпангоута Р = ЕР/Бк2(Р- площадь поперечного сечения шпангоута). С увеличением жесткости шпангоута параметр у увеличивается и при Р> 107 практически не зависит от Р. Влияние нелинейности исходного НДС составляет порядка 30%.

На рис 13 представлена характерная форма потери устойчивости оболоч-кипри Зс =0,08 , /¡" = 0,00642, 7^ = 0,00825, ^ = 107, 1 = 3. У 2,0

1,0

0,5

т- ч -V.

/

/ / / /

/ / /

/

" 101 10" 10« 10' ¡?

Рис. 12. Зависимость параметра критического удельного веса жидкости у от жесткости шпангоута Р

Рис. 13. Форма потери устойчивости

Цилиндрическая оболочка эллиптического поперечного сечения.

Эквипериметрический радиус (радиус круговой цилиндрической оболочки с тем же периметром поперечного сечения, что и у эллиптической оболочки) определяется формулой „ Р 2а .. агЪ

-Г-А^Ь),

2ж ж 2

где £(|,6)

• полный эллиптический интеграл второго рода, Р - периметр по-

перечного сечения. Длины полуосей эллипса при заданных ^ и Ь определяют-

ся формулами:

Я 2

Эксцентриситет эллипса

£ = (l-b2)l/2. Задание R^, b при исследованиях удобно, поскольку это позволяет просто сравнивать результаты некруговых оболочек с результатами эквипе-риметрических круговых оболочек.

Кручение моментами.

На рис. 14 показаны зависимости параметра кр критического крутящего момента от параметра эллиптичности b для оболочек из Д16Т. Здесь же нанесены экспериментальные значения параметра кр, полученные в работе Ю.Г. Коноплева, A.B. Коппа (кривая 3). Кривая 4 на рис. 14 соответствует формуле Х.М. Муштари S = S°(l + e2/6), где S" - критическое усилие сдвига круговой оболочки с радиусом, равным а. Эта формула дает завышенные результаты и применима только при b > 0,95. Нелинейное решение аппроксимируется прямой кр = Ь. На рис. 15 показаны характерная форма потери устойчивости (рис. 15а) и форма деформирования оболочки в докритическом состоянии (рис. 156).

0,8

0,4

£=90 мм,

/?о=44 мм,

1 -А=0,1 мм,

2->j=0,3 мм.

1XV4

1,0

0,8

0,6

0,4 ä 0,2

Рис. 14. Зависимость параметра критического крутящего момента кр от параметра эллиптичности оболочки Ь

Рис. 15. Форма потери устойчивости оболочки (а) и форма деформирования ее в докритическом состоянии (б)

Осевое сжатие

На рис. 16 {к = 10 мм), 17 (й = 33 мм) для оболочки с Ь = 2800 мм, Я0=Ю00 мм представлены графики зависимости параметра кс = акр/аь, где

«■, Ль = а7/Ь, от параметра Ь - Ыа для случая линейного момент-

Eh

RbJ3(1 - и2):

ного (kci), нелинейного {кс„) исходных НДС и ксЬ = (1- 0,13£), а также результаты работы Хатчинсона ка. Влияние нелинейности на всем диапазоне изменения параметра b колеблется в диапазоне 10-15%.

Рис. 16. Зависимость параметра Рис. 17. Зависимость параметра

критического осевого сжатия кс от критического осевого сжатия ке от

параметра эллиптичности оболочки Ь параметра эллиптичности оболочки Ь

Анализ рисунков 16-17 позволяет сделать следующий вывод. Для определения критической нагрузки рассмотренных оболочек можно с погрешностью 15% пользоваться формулой для критической нагрузки эквивалентной круговой цилиндрической оболочки с радиусом поперечного сечения, равным максимальному радиусу эллиптической оболочки (в районе малой полуоси). Точность формулы увеличивается с увеличением тонкостенности и эллиптичности оболочек. Для значений параметра Ь >0,4 при расчете критической нагрузки можно пользоваться формулой ксь=(1- 0,136). Линейное моментное решение хорошо согласуется с линейным безмоментным решением Хатчинсона.

Форма потери устойчивости оболочки существенно зависит от значения параметра Ь. В основном диапазоне изменения параметра Ь оболочка теряет устойчивость в области малой кривизны с образованием двух вмятин в области малой полуоси оболочки (рис. 18й).

При значениях параметра Ь, близких к 1, волнообразование захватывает

Внутреннее давление.

В отличие от круговых, некруговые оболочки теряют устойчивость и от внутреннего давления, что объясняется возникновением сжимающих усилий в области максимальной кривизны. Докритическое состояние некруговых оболочек при внутреннем давлении не обладает осевой симметрией, является мо-

ментным и нелинейным. Ю.Г. Коноплев и A.B. Копп провели испытания изготовленных из алюминиевой фольги эллиптических оболочек. Ими получены эмпирические зависимости для критических нагрузок

qe=Er2 (24,1л4 +130,2Г3 +276,3<Г5)Д-У'6 . Л^Ь/J^, 7 = hIR^ ä = alb.

На рис. 19 для оболочки с L = 2800 мм, h = 3,3 мм, Äfl=1000 мм,

1,8

1,б 1,4 1,2 ! 0,8 0,6

— — ------- ------- — —

j kql ® kqn '1

> Л и

. ^ И

N ъ

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Рис. 19. Зависимость параметра критического внутреннего давления кч от параметра эллиптичности оболочки Ь

0,2

Рис. 20. Форма потери устойчивости оболочки

1,2

0,8

0,6

0,4

0,2

— -------

\k„j —

km

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Ь ОД Рис. 21. Зависимость параметра критического изгибающего момента кт от параметра эллиптичности оболочки Ь

= 0,7 • 10 МПа, у = 0,3 представлены графики зависимости параметра (я* ' критическое давление) от параметра Ь=Ь/а для случая линейного (/с,/) и нелинейного^) исходных НДС.

Влияние нелинейности во всем диапазоне изменения параметра Ь незначительно и изменяется в диапазоне 10-15%. Причем, в диапазоне 0,7> Ь >0,4 нелинейное решение лежит выше линейного решения. В сравнении с работой Ю.Г. Коноплева полученное решение в диапазоне 0,9> Ь >0,7 дает заниженную, а в диапазоне Ъ <0,7 завышенную критическую нагрузку. При значениях Ь >0,9 критическая нагрузка резко возрастает, и при Ь =1 оболочка не теряет устойчивость.

Форма потери устойчивости оболочки существенно зависит от значения параметра Ь. При Ь <0,6 оболочка теряет устойчивость у краев в области большой полуоси оболочки с образованием двух косых складок (рис. 20), обусловленных действием больших касательных усилий.

Чистый изгиб моментами.

На рис 21 для оболочки с Ь = 2800 мм, А = 3,3 мм, Д0 = Ю00 мм, £ = 0,7-105МПа, к = 0,3 представлены 1рафики зависимости параметра кт=М*/Мо, где

.. 2рЕ1^к2 ...

Мп = -¡-— -, М* - критиче-

)

ское значение изгибающего момента от параметра Ь для случая

линейного (кт!) и нелинейного(£тп) исходных НДС и результаты безмоментного линейного решения Чена, Кемппера ктч для эквипериметрической овальной оболочки при действии изгибающего момента в плоскости большой оси эллипса. При Ъ =1 значения кт совпадают с решением Чена, Кемппера ктч. Высокие эллиптические оболочки в сравнении с эквипериметрическими круговыми оболочками оказываются более выгодными. Влияние нелинейности во всем диапазоне изменения Ь колеблется в диапазоне 10-15%, наиболее существенно при Ь >0,6 и незначительно при Ъ < 0,5.

На рис 22 представлены графики зависимости параметра кт от параметра Ь для случая линейного (£„/) и нелинейного(&т„) исходных НДС и результаты работы Чена, Кемппера к„„ при действии изгибающего момента в плоскости малой оси эллипса. Из рисунка видно, что с уменьшением параметра Ь параметр кт как для случая линейного, так и для случая нелинейного исходных НДС уменьшается. Влияние нелинейности на всем диапазоне изменения параметра £ колеблется в диапазоне 10-15%, наи-

1,8 1,6 1,4 12

1

03 0,6 0,4

о

кт --- -------- —

рглйч"

км

кпп

к,

— ------- .....—1

од

1 0? 0£ 0,1 0,6 0,5 0,4 (У Рис. 22. Зависимость параметра критического изгибающего момента кт от параметра эллиптичности оболочки Ь более существенно при Ь >0,6 и незначительно при Ь < 0,5.

Форма потери устойчивости оболочки существенно зависит как от значения параметра Ъ, так и от направления действия изгибающего момента. Так, при действии изгибающего момента в плоскости большой оси эллипса при значениях параметра Ь < 0,6 оболочка теряет устойчивость от действия максимальных сжимающих усилий ТК на границе перехода малой кривизны в большую кривизну с образованием локальных поперечных вмятин (рис. 23а). А при значениях Ь > 0,6 оболочка теряет устойчивость в верхней части, в области действия максимальных сжимающих усилий Тк с образованием ромбовидных вмятин (рис. 236). При действии изгибающего момента в плоскости малой оси эл-

а)

б)

Рис. 23. Формы потери устойчивости оболочек

липса при всех значениях Ь оболочка теряет устойчивость в верхней части, в области действия максимальных сжимающих усилий Т%, с образованием поперечных складок (рис. 23в).

Консолыю-закрепленная эллиптическая оболочка при изгибе сосредоточенной силой.

На рис. 24 при А=2,5 (а); 5,0 мм (б) показаны зависимости параметра

£ где б* - критические значения поперечной силы (бо = ^о

£¿=0,74-5/8 ~ верхнее критическое касательное усилие

при кручении круговой цилиндрической оболочки с радиусом С=0,953 -эмпирический коэффициент), от параметра эллиптичности а==а/Ь для случая линейного моментного (пунктирные кривые) и нелинейного (сплошные кривые) исходных НДС.

К 1,0

Ц5

h=2ß

/(l 5^- 05

К 1,0

05

h~5

/ц - an-

<15

1

U 2 ä Q5 1 У 2 с

a) h~ 2,5 мм б) h - Sum

Рис. 24. Зависимость параметра 4, от параметра эллиптичности оболочки а

На рис. 25 показаны зависимости параметра ft, (/?о=44 мм, h=0,05 мм) и результаты эксперимента Ю.Г. Коноплева, A.A. Саченкова (светлые точки -потеря устойчивости оболочки, темные точки - потеря несущей способности оболочки). Из рисунков видно, что высокие оболочки более выгодны, чем низкие оболочки. Влияние нелинейности небольшое во всем диапазоне изменения параметра эллиптичности.

К

ч л N. ч i =176 мм

0,5 1 1,5 2 а 2,5 0,5 1 1,5

а) ¿=176 мм б) £ = 88 мм

Рис. 25. Зависимость параметра к, от параметра эллиптичности оболочки а и результаты эксперимента

а 2,5

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 £ 0,2

Рис. 26. Зависимость параметра критического осевого сжатия кг от параметра эллиптичности оболочки 6

Комбинированное нагруженне эллиптических оболочек осевым сжатием и внутренним давлением.

На рис. 26 дня оболочки с I = 2800 мм, И = 3,3 мм, Я0=Ю00 мм, у = 0,3,

Е-7• 104МПа представлена зависимость параметра критического усилия сжатия кс=Ы*№ь Ф*- критическое осевое усилие, Ыь-верхнее критическое усилие сжатия круговой цилиндрической оболочки с радиусом Яь, Яь = а1 /Ь) от параметра эллиптичности Ь =Ь/а для нелинейного и линейного исходных НДС (сплошные и штриховые кривые соответственно) при различных значениях параметра критического внутреннего давления кд=д*/де. Из рисунка видно, что с уменьшением Ь параметр критической нагрузки кс сначала уменьшается (более резко при больших значениях кд), потом увеличивается. При кч< 0,4 влияние параметра Ь незначительно, различие между соответствующими кривыми порядка 20%. С уменьшением Ь критическая нагрузка осевого сжатия резко возрастает в линейном решении при кч >0,4, а в случае нелинейного исходного НДС критическая нагрузка стабилизируется при Ь <0,4. Кривые, соответствующие нелинейному решению, практически при всех значениях кя и во всем

1,8 ----1--- диапазоне изменения Ъ расположены

^______ниже соответствующих кривых линейного решения. Исключение составляют оболочки, у которых 0,5< Ь <0,8, к9 =0,4. Влияние нелинейности более существенно при Ь <0,4.

На рис. 27 представлены зависимости параметров кс от кя в случае нелинейного и линейного исходных НДС (сплошные и штриховые кривые соответственно) при различных значениях Ъ. Из рисунка следует, что с ростом кч критическая нагрузка сжатия вначале немного увеличивается, как правило, достигая максимума при кд =0,2 , затем уменьшает-

1Д 1

0,8 0,6 0,4 ОД

✓ / / ^ - ч >/>.=0,2

4 ч N \

"'/у Ч ч0.3 N \

1 \ \ ч N Ч

К1 д2 к 0,4 > |Л Хч \ \

\ N \ \ \ \ \

\ \ \

0.&" \ \

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 ^Я 1.4

Рис. 27. Зависимость параметра критического осевого сжатия кс от параметра критического внутреннего давления к

ся. Влияние нелинейности исходного НДС с увеличением кч усиливается. Различие между соответствующими кривыми составляет 5-60 %. Значения 1,2 соответствуют экспериментальным данным, взятым из работ Теннисона, Л.В. Андреева (¿=0,5).

Результаты расчетов показывают, что НДС и форма выпучивания оболочки существенно неоднородны по обеим координатам поверхности оболочек. Ромбовидная форма выпучивания наблюдается при преобладании осевого сжатия. При малых осевых усилиях имеет место характерное волнообразование в виде косых вмятин. При других комбинациях внутреннего давления и осевых усилий наблюдается смешанная из этих двух характерных форм форма выпучивания оболочки.

На рис. 28 приведены формы потери устойчивости оболочек при различных значениях внутреннего давления ц (кГ/см2).

На рис. 29 - 33 показаны кривые взаимодействий критических на-

ь=0,$;д=0 Ь-=0,5;ц=0,2 грузок, представляющих

собой отношения крити-

' ■ ческих нагрузок при

комбинированном на-

гружении к критическим

„ „„ ^ „ нагрузкам при раздель-

Рис. 28. Формы потери устойчивости оболочек

' ном нагружении.

На рис. 29 для эллиптических оболочек показаны кривые взаимодействия

критических крутящего момента Яр и внутреннего гидростатического давления

Они хорошо согласуются с результатами эксперимента Ю.Г. Коноплева,

показанные на рисунке кружочками. Штриховая кривая соответствует линейному решению.

0,75 0,5 0,25 0

¿=19 Д0 = ' 2 мм, 14 мм =0,05 ММ, о

А

^ -Г

б)

1,5

я,

Рис. 30. Формы потери устойчивости оболочек

0,25 0,5 0,75 1 1,25

Рис. 29. Кривые взаимодействия относительных критических значений внутреннего давления и крутящего момента

Характерной особенностью комбинированного нагружения кручением и внутренним давлением является то, что при нагружении оболочки крутящим моментом выше его критического значения при раздельном нафужении потеря устойчивости может произойти как при повышении, так и при пониже-

нии внутреннего давления. Характерные формы потери устойчивости для этих двух случаев показаны на рис. 30а и 30б соответственно. Аналогичная картина наблюдается и в случае действия внутреннего давления и изгибающего момента (рис. 31).

Рис. 31. Кривые взаимодействия относительных критических значений внутреннего давления и изгибающего момента эллиптической (штриховые линии) и овальной (сплошные линии) оболочек На рис. 32а показаны результаты для комбинированного нагружения изгибающим Ят и крутящим моментом Яр.

На рис. 326 показаны кривые взаимодействия критических значений из-

а) б)

Рис. 32. Кривые взаимодействия относительных критических значений крутящего и изгибающего моментов (а) и изгибающего момента и поперечной силы (б)

На рис. 33а показаны результаты для комбинированного нагружения крутящим моментом Rp и поперечной силой Rr. Они хорошо согласуются с результатами эксперимента A.A. Саченкова, показанного на рисунке точками.

На рис. 336 показаны кривые взаимодействия критических значений изгибающего и крутящего моментов Яр с внутренним давлением.

0,8

0,6

0,4 -

0,2

0 -

Рис. 33. Кривые взаимодействия относительных критических значений крутящего момента и поперечной силы (а), крутящего и изгибающего моментов с внутренним давлением (б)

Подкрепленная стрингерами цилиндрическая оболочка отсека фюзеляжа самолета Ту-334 при комбинированном нагружешш крутящим и изгибающим моментами с внутренним давлением.

Овал поперечного сечения оболочки собран из дуг окружностей (рис. 34). Оболочка имеет Ь = 500 мм (шаг шпангоутов в фюзеляже самолета), И = 3,2 мм, изготовлена из материала с модулем упругости £=0,7><105 МПа, коэффициентом Пуассона у=0,3. Площадь поперечного сечения стрингеров 306 мм2, момент инерции Ус=41000 мм4, шаг ¿4=150 мм, эксцентриситет ес=10 мм.

На рис. 35 показаны зависимости параметра кт =М*/М0 , где М' -критические значения изгибающего

момента, Ма = лЕЯ^к1 / ф(\ - у2) -критический классический изгибающий момент эквипериметрической круговой оболочки, от внутреннего давления д (атм.) при различных значениях отношения кр/кт =5;2;1;0,5;0,2;0 (кривые 1,2,3,4,5,6 соответственно) в случае линейного (пунктирные кривые) и нелинейного (сплошные кривые) исходных НДС (кр =Мь/Мко, Мк - критические значения крутящего момента, Мм = - критический классический крутящий момент эквипериметри-

ческой круговой оболочки). Внутреннее давление повышает устойчивость обо-

лочки. Нелинейность исходного НДС в большинстве случаев приводит к снижению критического изгибающего момента.

На рис. 36 показаны зависимости параметра кр от внутреннего давления ц при различных значениях отношения кт! кр =5;2;1;0,5;0,2;0 (кривые 1,2,3,4,5,6 соответственно) в случае линейного (пунктирные кривые) и нелинейного (сплошные кривые) исходных НДС.

Рис. 35. Зависимость параметра Рис. 36. Зависимость параметра

критического изгибающего момента кт критического крутящего момента кр от внутреннего давления д атм. 0т внутреннего давления $ атм.

Внутреннее давление повышает критические значения параметра кр. Нелинейность исходного НДС в большинстве случаев приводит к снижению критического крутящего момента.

В четвертой главе приведены результаты исследования влияние неоднородности нагрузок, геометрических параметров оболочки на НДС различного типа оболочек (круговые цилиндрические, конические, сферические, гладкие и подкрепленные, ослабленные вырезами) при действии различного вида неоднородных нагрузок в условиях упругого и неупругого деформирования. Проведено сравнение полученных результатов с исследованиями других авторов. Приведены графики изменения коэффициентов концентрации мембранных и изгибных напряжений для оболочек, ослабленных вырезами, в широком диапазоне изменения геометрических параметров оболочек, размеров отверстий и жесткостей подкрепляющих вырез колец. Приведен обширный материал по анализу НДС, представленного в виде изолинии усилий. Приведено решение ряда практически важных задач.

Основные результаты и выводы

1. Разработаны семейство новых криволинейных КЭ тонкостенных круговых и некруговых цилиндрических оболочек, оболочек вращения, оболочек двойной кривизны, учитывающих их жесткие перемещения, и семейство совместных с элементами оболочки криволинейных балочных КЭ подкреплений с

учетом знака их эксцентриситета, позволяющих учитывать дискретность расположения подкреплений.

2. На основе этих КЭ разработаны численные алгоритмы вариационного МКЭ в перемещениях для решения задач определения моментного НДС оболочек, однородных, с вырезами, нерегулярно-подкрепленных стрингерами и шпангоутами, при произвольном термомеханическом нагружении и произвольных граничных условиях в упругой и упруго-пластической областях.

3. Разработаны численные алгоритмы МКЭ в перемещениях для решения задач физически и геометрически нелинейного деформирования и устойчивости перечисленных выше оболочек при произвольном термомеханическом неоднородном нагружении и произвольных граничных условиях. Эти алгоритмы, в отличие от известных алгоритмов, учитывают моментность и нелинейность исходного НДС, жесткие перемещения КЭ, совместность элементов подкреплений с элементами оболочек и знака их эксцентриситета. Все алгоритмы реализованы программами.

4. С использованием этих программ решен и исследован широкий круг задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек при раздельном и комбинированном нагружениях неоднородными осевыми сжимающими усилиями, боковым внутренним и внешним давлениями, краевыми изгибающими и крутящими моментами, краевой поперечной и сосредоточенными силами. Определены НДС, критические и предельные нагрузки, формы деформирования оболочек в исходном состоянии и формы потери устойчивости. Исследовано влияние на устойчивость оболочек неоднородности нагрузок и НДС, геометрических параметров оболочек и граничных условий.

5. Выявлены случаи, при которых неоднородные нагрузки можно заменить эквивалентными однородными с величиной, равной амплитудному или среднему значению неоднородной нагрузки.

6. Выявлены так называемые «резонансные» нагрузки, при которых существенно снижается несущая способность оболочек. Так при неосесиммет-ричном осевом сжатии и неосесимметричном внешнем давлении параметры критического усилия сжатии и критического внешнего давления снижаются в два и более раза.

7. В ряде случаев получены простые формулы для определения критических нагрузок: параметра критического внешнего давления круговой цилиндрическая оболочки переменной по окружности толщины = | +

{8 = /гтох /Ит-т - отношение толщин), параметра критического осевого усилия сжатия ^=(1-0,136) и параметра критического крутящего момента кр=Ь = Ы а для эллиптической цилиндрической оболочки.

8. Дана оценка погрешности допущений о безмоментности и линейности исходного НДС на критические нагрузки, оценены рамки использования известных линейных решений, полученных в классической постановке.

9. Установлено, что овальные и эллиптические оболочки с начала на-гружения деформируются нелинейно с изгибами, классическая линейная постановка с бифуркациями зачастую неприменима.

10. Показано, что известные формулы критического осевого усилия сжатия для овальных цилиндрических оболочек, полученные С.Н. Каном, Ю.И. Ка-планом и Б.Х. Иноземцевым в классической постановке, применимы только при малой овализации оболочек.

11. Установлено, что формулы Х.М. Муштари для критического крутящего момента и осевого сжатия эллиптических цилиндрических оболочек, полученные в линейной постановке, справедливы только при малой эллиптичности оболочек (Ь2.0,95).

12. Обнаружена и численно исследована неоднозначность влияния внутреннего давления на критические нагрузки некруговых оболочек, которая заключается в том, что при комбинированном нагружении крутящим моментом и внутренним давлением, изгибающим моментом и внутренним давлением при значении крутящего и изгибающего моментов выше их критических значений при раздельном нагружении овальные и эллиптические оболочки могут терять устойчивость, как при повышении, так и при понижении внутреннего давления. На кривых взаимодействия критических нагрузок имеются два участка: на одном участке внутреннее давление оказывает стабилизирующие влияние на оболочку, на другом оно понижает устойчивость.

13. Показано, что овальные оболочки более устойчивы эллиптических оболочек при внутреннем давлении и осевом сжатии, а при изгибе моментом и изгибе силой оказываются более устойчивы эллиптические оболочки. При изгибе моментом вытянутые вдоль вертикальной плоскости оболочки, а также при изгибе силой вытянутые вдоль горизонтальной плоскости овальные и эллиптические оболочки более устойчивы, чем эквивалентные по весу круговые оболочки.

14. Выявлено влияние нелинейности исходного НДС на устойчивость оболочек. Установлено, что в случае однородных нагрузок, когда НДС близко к НДС балочных решений, влияние нелинейности невелико (порядка 5-20%). Так при действии крутящего момента влияние нелинейности имеет значение для эллиптической и овальной оболочек соответственно 0+5% и 0+7%, при поперечном изгибе - 0+15% и 1+8%, при осевом сжатии - 5+8% и 1+8%, при изгибающем моменте - 0+26% и 0+14%. В случае действия неоднородной, особенно неосесимметричной, нагрузки и при комбинированном нагружении влияние нелинейности становится более существенным (50-100%). При действии внутреннего давления влияние нелинейности для эллиптической оболочки составляет 2+44%, а для овальной оболочки линейная теория не позволяет обнаружить потерю устойчивости.

15. Проведено сравнение с известными экспериментальными результатами, подтверждающими достоверность полученных результатов.

16. Исследован ряд практически важных задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек: оболочка, заполненная жидкостью, оболочка переменной толщины при неосесимметричном внешнем давлении, составная

оболочка топливного бака ракеты при неоднородном комбинированном нагру-жении, отсек фюзеляжа самолета ТУ-334 при действии широкого спектра внешних нагрузок.

17. Проведенные исследования и расчеты натурных конструкций показывают на достаточную эффективность разработанных алгоритмов и программ. Алгоритмы, программы и результаты исследований можно использовать для дальнейшего развития теории оболочек и в проектировании перспективных летательных аппаратов. Они позволяют производить более точные, с учетом мо-ментности и нелинейности деформирования оболочек, расчеты и создавать надежные, легкие и конкурентоспособные конструкции.

18. Программы использовались в различных предприятиях авиационно-космической отрасли для расчета натурных конструкций летательных аппаратов: самолетов, ракет, спутников.

Основные результаты диссертационной работы содержатся в следующих публикациях:

1. Кабанов В.В. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном напряженном состоянии методом конечных элементов / В.В. Кабанов, Л.П. Железное // Прикладная механика. - 1978. - т. 14. - № 3. - С. 45-52.

2. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолета / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик // В сб.: Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Межвузовский сб., вып. 5, - Куйбышев: КУАИ, 1979.-С. 35-43.

3. Кабанов В.В. Алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости подкрепленных цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Межвузовский сб., - Куйбышев: КУАИ, 1980. - С. 45-57.

4. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек при неосесимметричном давлении методом конечных элементов / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов. // Прикладная механика. -1981.-т. 17,-№5.-С. 71-76.

5. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении методом конечных элементов / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Известия АН СССР, МТТ. - 1981. - N3. -С. 49-54.

6. Кабанов В.В. Нелинейное деформирование круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном сжатии / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1982.-С. 77-83.

7. Кабанов В.В. Алгоритм исследования методом конечных элементов нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1982. -С. 85-91.

8. Кабанов В.В. Исследование методом конечных элементов устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном осевом сжатии и изгибе краевыми моментами / В.В. Кабанов, Л.П. Железное // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1982. - С. 70-77.

9. Кабанов В.В. Нелинейное деформирование круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном внешнем давлении /В.В. Кабанов, Л.П. Железное // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1982. - С. 83-85.

10. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородных напряженно-деформированных состояниях / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, В.М. Михайлов, Г.И. Курцевич // В сб.: Прочность и надежность элементов конструкций. - Киев-., 1982. - С. 67-75.

11. Кабанов В.В. Устойчивость цилиндрических оболочек переменной толщины при внешнем давлении /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Прикладная механика. - 1984. - т. 20. - № 7. - С. 53-59.

12. Кабанов В.В. Оптимизация подкрепленных оболочек при неосесимметричном нагружении / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, В.И. Бутырин // Известия ВУЗов. Машиностроение. - 1984. - № 9. - С. 21-24.

13. Кабанов В.В. К расчету цилиндрической оболочки методом конечных элементов / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Прикладная механика. - 1985, - т. 21.- №9. -С. 35-40.

14. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность конических оболочек с вырезами / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Проблемы прочности. -1985. - № 8. - С. 41-45.

15. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность круговых цилиндрических оболочек с вырезами / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Ученые записки ЦАГИ. -1985. - т. XVI. - № 3. - С. 92-99.

16. Кабанов В.В. Конечный элемент и алгоритм исследования изгиба конических оболочек / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, С.В. Астрахарчик // В сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае. - Красноярск:, 1985. - С. 6875.

17. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность подкрепленных оболочек за пределом упругости / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, А.Б. Кузнецов // Прикладная механика. - 1985. - т. 21. - № 1. - С. 47-53.

18. Кабанов В.В. Конечный элемент и алгоритм для расчета на прочность оболочек вращения с вырезами / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, В.Г. Сувернев // В сб.: Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций. - М.: МГУ, 1986. -С. 97-107.

19. Кабанов В.В. Исследование напряженно-деформированного состояния конструктивно-ортотропных конических оболочек / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Труды научно-технической конференции по статической прочности летательных аппаратов (ноябрь 1984). - ЦАГИ, 1987. - С. 233-238

20. Железнов Л.П. Исследование концентрации напряжений в конической оболочке с круглым вырезом / Л.П. Железнов IIВ сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1987. - С. 23-34

21. Кабанов В.В. Исследование прочности конструктивно-анизотропной цилиндрической оболочки методом конечных элементов / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1987. - С. 6-13.

22. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к исследованию напряженно-деформированного состояния подкрепленных конических оболочек / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1987. - С. 13-23.

23. Кабанов В.В. Алгоритм исследования закритического поведения круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик // В сб.: Динамика и прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: НГТУ, 1987. - С. 10-15.

24. Кабанов В.В. О построении закритических решений в нелинейных задачах неосесимметричного деформирования оболочек / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик // В сб.: Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. - Тбилиси: ТГУ, 1987. - С. 110-115.

25. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к исследованию напряженно-деформированного состояния конструктивно-ортотропных конических оболочек / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик // В сб.: Труды НТК по статической прочности летательных аппаратов (ноябрь 1984). -ЦАГИ, 1987.-С. 226-232 .

26. Кабанов В.В. Нелинейное деформирование и устойчивость подкрепленной шпангоутами консольной круговой цилиндрической оболочки при поперечном изгибе / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Прикладная механика. - 1988. -т. 24. - № 12.-С. 50-55.

27. Железнов Л.П. Расчетно-экспериментальный метод исследования прочности и устойчивости цилиндрических оболочек / Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик, В.Т. Фадеев // В сб.: Гагаринские чтения. - М:, 1989. - С. 35-40.

28. Железнов Л.П. Исследование неосесимметричного напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек за пределом упругости / Л.П. Железнов, А.Б. Кузнецов // В сб.: Динамика и прочность авиационных конструкций. - Новосибирск:, 1989. - С. 37-44.

29. Железнов Л.П. Исследование напряженно-деформированного состояния некруговых цилиндрических оболочек с вырезами / Л.П. Железнов, С.Б. Бара-банова // В сб.: Вопросы авиационной науки и техники. Серия Аэродинамика и прочность летательных аппаратов, вып.1, Расчет на прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: СибНИА, 1989. - С. 41-52.

30. Железнов Л.П. Исследование расчетно-экспериментальным методом устойчивости цилиндрических оболочек / Л.П. Железнов, В.Т. Фадеев // В сб.: Вопросы авиационной науки и техники. Серия Аэродинамика и прочность летательных аппаратов, вып.1, Расчет на прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: СибНИА, 1989. - С. 125-138.

31. Кабанов В.В. Конечный элемент для исследования прочности и устойчивости круговой цилиндрической оболочки /В.В. Кабанов, Л.П. Железное // В сб.: Вопросы авиационной науки и техники. Серия Аэродинамика и прочность летательных аппаратов, вып.1, Расчет на прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: СибНИА, 1989. - С. 88-93.

32. Кабанов В.В. Конечный элемент естественной кривизны для исследования прочности ортотропных цилиндрических оболочек, ослабленных вырезами произвольной формы / В.В. Кабанов, Л.П. Железное // В сб.: Вопросы авиационной науки и техники. Серия Аэродинамика и прочность летательных аппаратов, вып.1, Расчет на прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: СибНИА, 1989. - С. 52-65.

33. Конечно-элементный расчет на прочность и устойчивость планера легкого самолета из композиционных материалов / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик, А.Е. Колмагоров // В сб.: Вопросы авиационной науки и техники. Серия Аэродинамика и прочность летательных аппаратов, вып.1, Расчет на прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: СибНИА, 1989.-С. 106-125.

34. Железнов Л.П. Расчетно-экспериментальный метод исследования несущей способности цилиндрических оболочек из композиционного материала / Л.П. Железнов, В.Т. Фадеев // В сб.: Технология. Серия Конструкция из композиционных материалов. - М.:, 1989. - С. 11-19.

35. Кабанов В.В. Алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости круговых цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами формы / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // СО РАН, ПМТФ. - 1989. - № 4. -С. 143-148.

36. Конечно-элементный расчет на прочность и устойчивость планера легкого самолета из композиционного материала / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик, А.Е. Колмагоров // В сб.: Технология. Серия Конструкция из композиционных материалов. - М.:, 1989. - С. 106-125.

37. Кабанов В.В. Нелинейное деформирование и устойчивость круговой цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае. - Красноярск:, 1989.-С. 89-98.

38. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность подкрепленных пластин с вырезами произвольной формы / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Динамика и прочность авиационных конструкций. - Новосибирск: НГТУ, 1989. - С. 30-37.

39. Кабанов В.В. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при изгибе силой через накладку / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Прикладная механика. 1989, №25.-С. 8-15.

40. Железнов Л.П. Расчетно-экспериментальный метод исследования прочности и устойчивости тонкостенных конструкций / Л.П. Железнов, В.Т. Фадеев // В сб.: Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. - Куйбышев:, 1990. - С. 61-66.

41. Железное JI.П. Применение метода конечных элементов к исследованию прочности и устойчивости анизотропных круговых цилиндрических оболочек / Л.П. Железнов // В сб.: Вопросы авиационной науки и техники. Серия Аэродинамика и прочность летательных аппаратов, вып.1, Расчет на прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: СибНИА, 1990. - С. 84-96.

42. Кабанов В.В. Алгоритм исследования методом конечных элементов нелинейного деформирования и устойчивости несовершенных неоднородных круговых цилиндрических оболочек при термосиловом нагружении / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов П В сб.: Вопросы авиационной науки и техники. Серия Аэродинамика и прочность летательных аппаратов, вып.1, Расчет на прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: СибНИА, 1990. - С. 6484.

43. Кабанов В.В. Алгоритм метода конечных элементов для исследования нелинейного деформирования и устойчивости конструктивно ортотропных цилиндрических оболочек / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. - Куйбышев: Ку-АИ, 1990.-С. 3-12.

44. Кабанов В.В. Функции перемещений конечных элементов оболочек вращения как твердых тел / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Известия АН СССР, МТТ. - 1990. - № 1. - С. 131-136.

45. Кабанов В.В. Исследование прочности и устойчивости подкрепленной круговой цилиндрической оболочки при неоднородном нагружении / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, В.Т. Фадеев // Изв. ВУЗ Авиационная техника. - 1990. -№2.-С. 17-21.

46. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости сферической оболочки при локальном нагружении / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Моделирование в механике, т.6, № 3, - Новосибирск: РАН, ИТПМ, 1992. -С. 37-52.

47. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и панелей ненулевой гауссовой кривизны / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик // Известия РАН, МТТ. - 1994. - № 2. - С. 102108.

48. Кабанов В.В. Прочностные расчеты тонкостенных конструкций в нелинейной постановке / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Труды Российско-китайской конференции. - Новосибирск: СибНИА, 1995. - С. 88-96.

49. Кабанов В.В. Алгоритм исследования прочности и устойчивости стержневых конструкций в геометрически нелинейной постановке / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик // ПМТФ. - 1996. - т 37. - № 4. - С. 167- 172.

50. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек вращения при произвольном неосесимметричном нагружении / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Вопросы авиац. науки и техники. Серия Аэродинамика и прочность летательных аппаратов, вып.1, Расчет на прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: СибНИА, 1996. - С. 322.

51. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и панелей ненулевой гауссовой кривизны / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик // В сб.: Вопросы авиационной науки и техники. Серия Аэродинамика и прочность летательных аппаратов, вып. 1, Расчет на прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: СибНИА, 1996. - С. 23-36

52. Кабанов В.В. Нелинейное деформирование и устойчивость ферменных конструкций , состоящих из прямолинейных стержней / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик // В сб.: Вопросы авиационной науки и техники. Серия Аэродинамика и прочность летательных аппаратов, вып.1, Расчет на прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: СибНИА, 1996. -С. 36-44

53. Кабанов В.В. Исследование температурных напряжений в агрегатах планера гиперзвукового самолета / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, П.М. Лиханский // В сб.: Вопросы авиационной науки и техники. Серия Аэродинамика и прочность летательных аппаратов, вып.1, Расчет на прочность элементов авиационных конструкций. - Новосибирск: СибНИА, 1996. - С. 65-85

54. Кабанов В.В. Конечный элемент и алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Прикладные проблемы механики тонкостенных конструкций. - М.: НИИ Мех МГУ, 2000. - С. 120-127.

55. Железнов Л.П. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при осевом сжатии / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // В сб.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Тр. XVII Межреспубликанской конференции / Под редакцией чл.—корр. РАН В.М. Фомина. - Новосибирск: "Лада", 2001. - С. 70-76.

56. Железнов Л.П. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости тонкостенных некруговых цилиндрических оболочек при внутреннем давлении / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // В сб.: Динамика сплошной среды. Современные проблемы механики деформируемого твердого тела: Сб. научных трудов в. 119/ Под редакцией чл.-корр. РАН Б.Д. Аннина и проф. И.Ю. Цвело-дуба. - Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 2001. - С. 48-52.

57. Железнов Л.П. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при осевом сжатии и внутреннем давлении / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // СО РАН, ПМТФ. - 2002. - т. 43. - № 4.-С. 155-160.

58. Zheleznov L.P. Nonlinear deformation and stability of noncircular cylindrical shells / L.P. Zheleznov, V.V. Kabanov, D.V. Boiko // Russian - Chinese Scientific conference. Aerodynamics, flight dynamics, aircraft strength. Proceedings, TsAGI, -Zhukovsky, Russia. 2003. Pp. 173-179 [Нелинейное деформирование и устойчивость некруговых цилиндрических оболочек].

59. Бойко Д.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости эллиптических цилиндрических оболочек при поперечном изгибе / Д.В. Бойко, Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // ПММ. - 2003. - т. 67. - вып. 6. - С. 933-939.

60. Железное Л.П. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических эллиптических оболочек при действии крутящего и изгибающего моментов / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов, Д.В. Бойко // СО РАН, ПМТФ. - 2003. - т. 44. - № 6. - С. 70-75.

61. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических эллиптических оболочек при совместном действии внутреннего давления и изгибающего момента / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, Д.В. Бойко // В сб.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности, Труды XVIII Межреспубликанской конференции. Кемерово 1-3 июля 2003 г. - Кемерово:, 2003. - С. 76-82.

62. Бойко Д.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при кручении / Д.В. Бойко, Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // Изв. РАН, МТТ. - 2004. - №4. - С. 168-176.

63. Железнов Л.П. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при чистом изгибе / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // Изв. РАН. МТТ. - 2004. - №3. - С. 144-151.

64. Железнов Л.П. Нелинейное деформирование и устойчивость подкрепленных некруговых цилиндрических оболочек при внутреннем давлении с чистым изгибом / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // В сб.: Аэродинамика и прочность конструкций летательных аппаратов: Тр. Всероссийской научно-технической конференции. - Новосибирск: СибНИА, 2005. - С. 171-175.

65. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости овальных цилиндрических оболочек гермокабин самолетов / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, Д.В. Бойко // В сб.: Сборник научных трудов за 2003 год. - Новосибирск: СибНИА, 2005. - С. 18-21.

66. Железнов Л.П. Нелинейное деформирование и устойчивость овальных цилиндрических оболочек при чистом изгибе с внутренним давлением / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов, Д.В. Бойко // СО РАН, ПМТФ. - 2006. - т. 47. - № 3. -С.119-125.

67. Бойко Д.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости овальных цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении изгибающим и крутящим моментами / Д.В. Бойко, Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // Авиационная техника. - 2007. - № 3. - С. 3-8.

68. Железнов Л.П. Нелинейное деформирование и устойчивость овальных цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов, Д.В. Бойко // СО РАН, ПМТФ. - 2008. - т. 49. - № 1. - С. 134138.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел./факс (383) 346-08-57 формат 60X84/16 объем 2.5 п.л., тираж 100 экз.. заказ № 124 подписано в печать 03.07.09 г.

ВВЕДЕНИЕ.

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

Глава 1. Четырехугольные конечные элементы тонких оболочек.

1.1. Жесткие перемещения элементов оболочек вращения.

1.2. Жесткие перемещения элементов некруговых цилиндрических оболочек.

1.3. Конечный элемент оболочки вращения.

1.4. Конечный элемент некруговой цилиндрической оболочки.

1.5. Конечные элементы оболочек произвольной формы.

1.6. Изопараметрические конечные элементы оболочек произвольной формы.

1.7. Конечные элементы подкрепляющего набора оболочек вращения.

1.8. Конечные элементы подкрепляющего набора некруговых цилиндрических оболочек.

Глава 2. Алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости оболочек.

2.1. Алгоритм исследования в упругой области.

2.2. Алгоритм исследования в упруго-пластической области.

2.3. Тестирование алгоритмов.

2.3.1. Круговая цилиндрическая оболочка под действием двух сосредоточенных сил.

2.3.2. Круговая коническая оболочка под действием двух сосредоточенных сил.

2.3.3. Использование произвольных четырехугольных конечных элементов.

2.3.4. О несовместности криволинейных конечных элементов.

2.3.5. Исследование сходимости изопараметрического четырехугольного конечного элемента.

2.3.6. Эллиптическая оболочка под действием сосредоточенных сил.

2.3.7. Эллиптические оболочки под действием внешнего и внутреннего давления.

2.3.8. Кручение оболочки.

Глава 3. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек.

3.1. Круговые цилиндрические оболочки.

3.1.1. Неоднородная по длине оболочки поверхностная нагрузка.

3.1.2. Неосесимметричное осевое сжатие.

3.1.3. Круговая цилиндрическая оболочка при неосесимметричном внешнем давлении.

3.1.4. Консольно-закрепленная оболочка при изгибе сосредоточенной силой.

3.1.5. Оболочка переменной толщины при однородном внешнем давлении.

3.1.6. Оболочка, заполненная жидкостью.

3.1.7. Оболочка при локальном нагружении поперечной силой через накладку.

3.1.8. Неосесимметричный нагрев.

3.1.9. Подкрепленная ортотропная оболочка при комбинированном неоднородном нагружении.

3.2. Оболочки вращения.'.

3.2.1. Сферическая оболочка под действием сосредоточенных сил.

3.2.2. Сферическая панель под действием сосредоточенной силы.

3.2.3. Торовая оболочка под действием сосредоточенной силы.

3.2.4. Составная подкрепленная оболочка.

3.2.5. Составная оболочка корпуса ракеты при сложном нагружении.

3.3. Некруговые эллиптические цилиндрические оболочки.

3.3.1. Осевое сжатие.

3.3.2. Внутреннее давление.

3.3.3. Чистый изгиб.

3.3.4. Поперечный изгиб.

3.3.5. Кручение.

3.3.6. Осевое сжатие и внутреннее давление.

3.3.7. Поперечный изгиб силой и изгибающим моментом.

3.3.8. Крутящий и изгибающий моменты.

3.3.9. Внутреннее давление и кручение.

3.3.10. Внутреннее давление и изгибающий момент.

3.3.11. Крутящий и изгибающий моменты с внутренним давлением

3.3.12. Крутящий момент и поперечная сила.

3.4. Овальные цилиндрические оболочки.

3.4.1. Поперечный изгиб.

3.4.2. Крутящий момент.

3.4.3. Изгибающий момент.

3.4.4. Внутреннее давление.

3.4.5. Осевое сжатие.

3.4.6. Изгиб с внутренним давлением.

3.4.7. Внутреннее давление и кручение.

3.4.8. Комбинированное нагружение изгибающим, крутящим моментами и внутренним давлением.

3.4.9. Поперечная сила и внутреннее давление.

3.4.10. Крутящий и изгибающий моменты

3.4.11. Изгибающий момент и поперечная сила.

3.4.12. Изгибающий момент и поперечная сила с внутренним давлением.

3.5. Подкрепленная некруговая цилиндрическая оболочка типа отсека фюзеляжа самолета Ту-204.

3.5.1. Изгиб с внутренним давлением.

3.5.2. Комбинированное нагружение крутящим и изгибающим моментами с внутренним давлением.

3.5.3. Комбинированное нагружение поперечной силой и изгибающим моментом с внутренним давлением.

3.5.4. Комбинированное нагружение внутренним давлением, поперечным изгибом и кручением.

Глава 4. Исследование напряженно-деформированного состояния оболочек.

4.1. Подкрепленная круговая цилиндрическая оболочка при локальном нагружении радиальными силами.

4.2. Подкрепленная круговая цилиндрическая оболочка при поперечном изгибе радиальной силой.

4.3. Конструктивно-ортотропная круговая коническая оболочка при поперечном изгибе.

4.4. Круговая цилиндрическая оболочка при иеосесимметричном нагружении.

4.5. Круговая цилиндрическая оболочка с вырезами при растяжении.

4.6. Круговая коническая оболочка с вырезами при растяжении.

4.7. Круговая коническая оболочка с вырезами при внутреннем давлении.

4.8. Сферическая оболочка с вырезом при внутреннем давлении.

4.9. Круговая цилиндрическая упругопластическая оболочка при локальном нагружении.

4.10. Круговая упругопластическая цилиндрическая оболочка при чистом изгибе.

4.11. Подкрепленная оболочка при неоднородном нагружении.

Создание современных летательных аппаратов, обладающих высокими тактико-техническими данными и высокой экономичностью, предъявляет повышенные требования к прочностному расчету их конструкций. Поэтому уточнение существующих и разработка новых эффективных и надежных методов расчета оболочек, как важнейших составных частей конструкций, на прочность и устойчивость является актуальной задачей.

Ведущее место в решении проблем прочности, нелинейного деформирования и устойчивости оболочек занимают работы С.П. Тимошенко, В.В. Новожилова, В.З. Власова, Х.М. Муштари, Э.И. Григолюка, В.В. Болотина, A.C. Вольмира, A.B. Саченкова, В.И. Мяченкова, Ю.В. Липовцева, В.В. Кабанова, Л.М. Куршина, Ю.В. Немировского, Н.П. Абовского, Г.Н. Замулы, Я.М. Григоренко, Н.В. Пустового, А.Н. Андреева, Л.И. Шкутина, H.A. Алфутова, С.Н. Кана, Г.Н. Расторгуева, И.Т. Вохмянина, Ю.Г. Коноплева, С.Н. Коробейникова, К.А. Матвеева, В.И. Самсонова, Ю.М. Волчкова, В.М. Корнева, В.И. Мамая, Ф.И. Шклярчука, Г.Н. Рудыха, Ю.Л. Тарасова, А.П. Янковского, В.К. Белова, Ю.И. Бадрухина, Лява, Доннелла, Альмрота, Бушнела, Стейна, Хуана, Фишера, и др.[1-3 8]

Современное состояние проблемы устойчивости оболочек освещено в книгах и обзорах Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова [9,10,18,20], Я.М. Григоренко, В.И. Гуляева [39].

В последнее время с интенсивным внедрением в практику расчетов ЭВМ наиболее эффективными оказались интенсивно используемые численные методы: метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (МКР), метод численного интегрирования, вариационно-разностный метод. Наиболее эффективным из них оказался МКЭ. Преимущества его в универсальности, физичности и неограниченной возможности применения к сложным конструкциям при произвольном нагружении. МКЭ нашел широкое применение к исследованию задач прочности. Следует отметить работы В.А.

Постнова, В.А. Комарова, Г.Н. Замулы, K.M. Иерусалимского, Ю.И. Иванова, В.Д. Чубаня, В.И. Гришина, Ю.И. Дударькова, В.А. Дубини, А.Б. Кудряшова,

A.C. Дзюбы, Ю.А. Шевченко, А.И. Голованова, К.П. Горбачева, В.В. Кабанова, Ю.И. Бадрухина, В.В. Кузнецова, С.Н. Коробейникова, C.B. Астрахарчика, Х.С. Хазанова, Л.М. Савельева, A.C. Сахарова, В.Е. Левина, Зенкевича, Одена и др.

Применение метода конечных элементов к расчету оболочек связано со значительными трудностями, обусловленными кривизной оболочки. Построение эффективных конечных элементов оболочек является актуальной задачей и по настоящее время. В первых работах по расчету оболочек использовались, как правило, плоские треугольные конечные элементы. В дальнейшем появился ряд криволинейных конечных элементов, обладающих различной степенью эффективности. Здесь следует отметить в первую очередь работы Асвелла и Сабира [40], Кантина, Клафа [41], Богнера, Фокса, Шмита [42] и ряд других работ [43,44,45]. Большинство разработанных конечных элементов являются элементами круговых цилиндрических, конических или сферических оболочек.

В первых работах по устойчивости оболочек использовалась идеализированная расчетная схема. Оболочка считалась геометрически совершенной и идеально упругой, исходное состояние безмоментным, граничные условия — шарнирное опирание. Такая, ставшая классической, постановка использовалась в дальнейших исследованиях. Величина критической нагрузки, как правило, не совпадала с экспериментальной нагрузкой, которая оказывалась ниже классической нагрузки. Подробный обзор работ по исследованию оболочек на основе классического подхода при однородных осесимметричных нагрузках приведен в книге [9]. Исследованию устойчивости оболочек при неоднородных напряженно-деформированных состояниях (НДС) в классической (безмоментной) постановке посвящены работы Флюгге [46], Альмрота [47], Бушнела [48], В.В. Кабанова [18,49,50-53].

B.В. Кабанов исследовал устойчивость круговых цилиндрических оболочек при неоднородном осевом сжатии, чистом и поперечном изгибе, поперечном изгибе с кручением и внутренним давлением, при плавно изменяющемся внешнем неосесимметричном давлении. Показано существенное влияние неоднородности нагрузок на устойчивость оболочки. Подробные исследования задач устойчивости круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении в классической постановке приведены в книге Э.И. Григолюка, В.В. Кабанова [18], которые, кроме того, исследовали задачи неосесимметричного сжатия, поперечного изгиба, изгиба с кручением и плавно-меняющегося неосесимметричного внешнего давления. Исследования устойчивости круговых оболочек при неоднородных НДС за пределом упругости в классической, безмоментной постановке выполнены в работах Ю.В. Липовцева [54], Э.И. Григолюка, В.В. Кабанова [55], В.В. Кабанова [18,56,57], Вохмянина И.Т. [58,59], Вохмянина И.Т., Ю.В. Немировского [60], Ю.В. Немировского [61]. Обзоры работ составлены Э.И. Григолюком [8] и Ю.В. Немировским [16].

Во второй половине шестидесятых годов В.И. Мяченковым, Ю.В. Липовцевым, В.В. Кабановым, Хуаном, Фишером, Альмротом на основе МКР [13,54,62-66] были разработаны эффективные алгоритмы исследования устойчивости круговых цилиндрических оболочек при произвольном осесимметричном нагружении с учетом моментности и нелинейности исходного НДС. С помощью этих алгоритмов было исследовано большое количество задач по устойчивости круговых цилиндрических оболочек, основные результаты которых приведены в книгах [9,13,18,20] и работах [62,63,67-77]. В работе Л.И. Шкутина [78] и В.В. Кабанова [79] исследована круговая цилиндрическая оболочка при осевом сжатии. В работе [80] авторы исследовали устойчивость круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии и неоднородном по длине оболочки нагреве. В работе [81], [54], исследована устойчивость оболочки при действии локальных краевых моментов. Исследовано влияние жесткости подкрепляющего кольца на критическую нагрузку. В работах [82-84] исследована устойчивость круговой цилиндрической оболочки при нагреве с холодными диафрагмами при локальном осесимметричном нагружении. Н.В. Пустовой в работе [74] исследовал устойчивость оболочки при локальном нагружении, а в работе [85] при осевом сжатии и локальными осесимметричными начальными неправильностями формы. Во всех перечисленных выше работах исследовано влияние моментности исходного НДС на критические нагрузки. Отмечено, что в ряде случаев это влияние весьма существенно.

К задачам устойчивости пластин и оболочек МКЭ широко начал применяться сравнительно недавно, в начале 70 годов прошлого века. Здесь следует отметить работы В.А. Постнова и B.C. Корнеева, Н.Г. Слезиной [8689], Pao [90], Галлагера и Пэдлога [91], Бакуса [92] , Сабира [93], Матью [94], Галлагера [95-98], Дженсона [99]. Подробный обзор работ по применению МКЭ к задачам устойчивости оболочек представлен в книгах [11,12,15]. В основном в этих работах рассматривались задачи устойчивости оболочек при однородных исходных НДС, т.е. в классической постановке.

Математические методы, позволяющие исследовать нелинейные дифференциальные уравнения оболочек, значительно сложнее и труднее методов линейного анализа. Поэтому долго время в механике рассматривались лишь простейшие нелинейные задачи с небольшим числом степеней свободы и малой степенью нелинейности. Возможность исследовать широкий спектр задач нелинейной механики оболочек стало возможным с появлением ЭВМ. Для решения нелинейных задач теории оболочек используются несколько подходов, которые в данном обзоре подробно не обсуждается, такие как, методы простой итерации, последовательных приближений, Ньютона-Канторовича. В основу метода Ньютона-Канторовича, как наиболее часто применяемого метода для решения нелинейных задач, положена идея линеаризации задачи на каждом шаге итераций. Причем, сходимость метода в значительной степени зависит от удачно выбранного начального приближения.

Интенсивное развитие нелинейной теории оболочек началась тогда, когда стало понятным, что проблема устойчивости оболочек в полной мере может быть решена лишь на основе решения нелинейной задачи. Наиболее перспективным методом для исследования послекритического состояния оболочек является метод продолжения по ведущему параметру. Решения нелинейных задач деформирования оболочек при осесимметричном нагружении приведены в работах [75,100-264]. В.И. Феодосьев в [264] рассмотрел осесимметричную деформацию сферической оболочки при равномерном внешнем давлении. Решение получено для всего интервала изменения нагрузки, включая верхнее и нижние критические нагрузки. В книге A.B. Кармишина, В.И. Мяченкова, А.Н. Фролова [13] методами линеаризации и дискретной ортогонализации проведено исследование в докритической и закритической стадиях осесимметричного деформирования гибких оболочек вращения. В работах Н.В. Пустового [75,102] исследовано закритическое поведение круговых цилиндрических оболочек при осевом сжатии, локальном нагружении радиальными силами и изгибающими моментами. Задачи геометрически нелинейного деформирования оболочек МКЭ решались, по-видимому, впервые в 1968г. Стринклином, Хайслером, Мак-Доугалом [104] , Поповым, Ягмаи в 1969г.[105]. Авторы применили конечный элемент в виде усеченного конуса. Рассматривался случай осесимметричного деформирования. Позже в 1974г. [106] Стринклин распространил идеи работы [104] на случай неосесимметричного деформирования. Осесимметричному нелинейному деформированию оболочек посвящены работы [86], [88-89], [96], [107-109] и др.

Закритическое поведение оболочек при однородных нагрузках МКЭ исследовалось в работах [114-117]. Подробный обзор по исследованию закритического поведения цилиндрических оболочек при однородных нагрузках приведен в книгах A.C. Вольмира [6], Э.И. Григолюка, В.В. Кабанова [9,20].

При решении задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек при осесимметричном нагружении удается свести двухмерную задачу к одномерной путем применения метода Фурье разделения переменных. Гораздо сложнее обстоит дело с задачами устойчивости оболочек при неосесимметричном нагружении. В этом случае НДС оболочек неоднородно по двум координатам и поэтому приходится решать более сложную двухмерную задачу. С ростом неоднородности неосесимметричной нагрузки возникают большие изгибы срединной поверхности оболочки и возможна как плавная, так и скачкообразная перестройка ее равновесных форм. Специфика такой задачи состоит в сложном взаимодействии вида нагрузки, формы деформирования оболочки и собственной формы потери устойчивости оболочки (при однородной нагрузке). Проведенные эксперименты по исследованию устойчивости оболочек при неосесимметричном нагружении [118],[119] отмечают две различные формы потери устойчивости. Первая, бифуркационная форма потери устойчивости, характеризуется резким хлопком с появлением новой равновесной формы, существенно отличающейся от первоначальной. Вторая форма - форма, соответствующая предельной точке, реализуется слабым хлопком, но при этом качественно новых равновесных форм не появляется.

Впервые задача устойчивости оболочки под действием неосесимметричного внешнего давления с учетом моментности исходного НДС в линейной постановке энергетическим методом решена Альмротом [47] в 1962 г. В такой же постановке задача устойчивости оболочек в тригонометрических рядах решена Л.В. Андреевым и Н.И. Ободан [120], для случая нагружения оболочки неосесимметричным внешним давлением. Влияние моментности исходного НДС в ряде случаев оказалось значительным. Амплитуда критического неосесимметричного давления в зависимости от степени его неоднородности оказывалась как больше, так и меньше однородного критического давления.

В.В. Кабановым [18] получено решения задачи устойчивости круговой цилиндрической оболочки при неоднородном внешнем давлении. Автор разделил НДС на безмоментное состояние и состояние типа нелинейного краевого эффекта, которое определялось из линеаризованных уравнений. При слабой изменяемости давления по окружности влияние моментности исходного состояния оказалось незначительным.

В работе [121] В.В.Кабанов и Г.И. Курцевич на основе алгоритма МКР [18] рассмотрели задачу устойчивости при действии внешнего давления, неоднородного как по окружности, так и по образующей при большой изменяемости его в окружном направлении. Ими отмечена существенная зависимость критического давления от степени его неоднородности. Обнаружены виды давления, при которых происходит своеобразный "резонанс" формы деформирования исходного состояния и собственной формы потери устойчивости при однородном внешнем давлении. При этом величина критической амплитуды неоднородного давления получалась существенно меньше критического однородного давления.

В отмеченных выше работах исследование устойчивости оболочек при неосесимметричном нагружении проведено в рамках статического критерия Эйлера. Под величиной критической нагрузки понималась бифуркационная нагрузка. Результаты этих работ показали, что такой подход справедлив только при малой неоднородности нагрузки. При большой неоднородности внешней нагрузки исходное состояние оболочек становится существенно нелинейным, поэтому дальнейшее уточнение решений должно идти по пути решения нелинейных уравнений равновесия исходного НДС.

В работах [122,123] В.В.Кабанов, Г.И. Курцевич и В.Д. Михайлов МКР решали задачи нелинейного деформирования круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном внешнем давлении. Система нелинейных алгебраических уравнений равновесия решалась методом последовательных приближений в сочетании с шаговым методом по нагрузке. Дано сравнение предельных и бифуркационных нагрузок, полученных при линейном и линеаризованном исходном НДС. Дано сравнение результатов расчета с экспериментом.

В работе [124] В.В. Кабановым и В.Д. Михайловым МКР решена задача устойчивости круговой цилиндрической оболочки при неоднородном внешнем давлении, распределенном по полосе вдоль образующей. В работе [125] ими же исследованы задачи устойчивости круговой цилиндрической оболочки при комбинированном нагружении изгибающим моментом и неоднородным по окружности внешнем давлении. Получены предельные и бифуркационные нагрузки.

Нелинейное деформирование круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении, по-видимому, впервые МКЭ исследовали в работе [126] , а МКР в [127]. Исследовалось нелинейное деформирование цилиндрических панелей под действием сосредоточенных сил. Авторы рассмотрели докритическое нелинейное поведение цилиндрических панелей.

Приведено сравнение с экспериментом. Альмрот и Броган исследовали сжатые оболочки, имеющие подкрепленные прямоугольные вырезы, оболочки под действием неосесимметричного температурного поля, цилиндрические панели при действии сосредоточенных сил. Авторы привели сравнение предельных и бифуркационных нагрузок. Исследованию нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении МКЭ посвящены работы В.В. Кабанова, C.B. Астрахарчика [128], В.В. Кузнецова, Ю.В. Сойникова [129], С.Н. Коробейникова [130].

С целью повышения несущей способности оболочек при сохранении минимума веса оболочки подкрепляют набором продольных и поперечных элементов, что приводит во многих случаях к необходимости исследовать влияние этих подкрепляющих элементов на критические нагрузки и характер выпучивания оболочек. Первые работы, связанные расчетом устойчивости подкрепленных оболочек, выполнены В. Флюгге, П.А. Соколовым, Дшоу, Х.М. Муштари, и относятся к тридцатым годам. В этих работах рассмотрены задачи устойчивости конструктивно-ортотропиых оболочек в классической постановке, развитой для однородных оболочек. В настоящее время существует два подхода к проблеме устойчивости подкрепленных оболочек. Первая состоит в том, что характеристики жесткости подкрепляющих ребер "размазывается" по длине оболочки, и она рассматривается как конструктивно-ортотропная. Этот подход получил развитие в работах О.Н. Ленько, О.И. Теребушко, Ю.В. Немировского, В.В. Кабанова, В.И. Мяченкова, Халла, Баруха и др. [см. 20].

Во втором подходе учитывается дискретность расположения подкреплений. Наиболее распространенный подход учета дискретности расположения подкреплении — энергетический, в котором подкрепления учитываются добавлением их энергии деформации к энергии деформации обшивки. Таким методом в работах В.А. Постнова, B.C. Корнеева [87] , Н.В. Ковальчука [131], В.В.Кабанова, C.B. Астрахарчика [128], В.В. Кузнецова, Ю.В. Сойникова [132] составлены алгоритмы МКЭ исследования нелинейного деформирования и устойчивости подкрепленных оболочек при однородной и неоднородной неосесимметричной нагрузке.

С.Н. Коробейников [133] исследовал устойчивость подкрепленной круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Г.Н. Замула, K.M. Иерусалимский в [134] исследовали устойчивость подкрепленных цилиндрических конструкций с учетом редуцирования потерявшей устойчивость обшивки. В.В. Кабановым, C.B. Астрахарчиком в [128,135] исследованы МКЭ устойчивость подкрепленных круговой цилиндрической оболочки при изгибе моментом и консольной конической оболочки при поперечном изгибе. Исследовано влияние жесткости краевого шпангоута на критические нагрузки. Устойчивость и предельное состояние неоднородных оболочек рассматривалась в работах Ю.В. Немировского [16], И.Т. Вохмянина, Ю.В. Немировского [136], А.Н. Андреева, Ю.В. Немировского [38,137], В.И. Мяченкова, В.П. Мальцева [24], Я.М. Григоренко, H.H. Крюкова [30], В.В.

Кузнецова, Ю.В. Сойникова [132,138], Ю.И. Бадрухина, С.И. Галкина [69], В.К. Белова [70]. Н.В. Ковальчука [131], H.H. Крюкова [139].

Результаты испытаний подкрепленных оболочек приведены в работах Е.В. Бинкевича и B.JT. Красовского [119], [140].

В задачах устойчивости оболочек за пределом упругости в основном использовались деформационные теории и теория течения. В деформационных теориях устанавливается связь непосредственно между напряжениями и деформациями, а в теории течения - между малыми приращениями деформаций и напряжениями. Из деформационных теорий наибольшее распространение получила теория малых упруго-пластических деформаций, развитая Генке и A.A. Ильюшиным.

Подробный обзор работ по устойчивости оболочек за пределом упругости приведен в книгах A.C. Вольмира [6], Э.И. Григолюка, В.В. Кабанова [18]. Среди работ по устойчивости оболочек за пределом упругости следует отметить работы Ю.В. Немировского, И.Т. Вохмянина [60], Ю.В. Немировского, [61], И.Т. Вохмянина, A.B. Павлова [59], Г.Н. Замулы, K.M. Иерусалимского, Г.С. Карпова [141], С.Н. Коробейникова [130], В.А. Постнова, Н.Г. Слезиной [88,89].

Все сказанное выше относится к круговым цилиндрическим оболочкам и оболочкам вращения.

В настоящее время опубликовано несколько тысяч статей, книг, монографий по устойчивости круговых цилиндрических оболочек и оболочек вращения. По некруговым цилиндрическим оболочкам число публикаций исчисляется десятками. Такое поразительное несоответствие публикаций можно объяснить трудностями решения задач, связанными с переменностью радиуса кривизны поперечного сечения оболочки, что приводит к переменным коэффициентам в дифференциальных уравнениях оболочек. В последние годы прошлого и настоящего веков интерес к некруговым оболочкам сильно повысился, особенно в зарубежной практике проектирования пассажирских самолетов. В России некруговые оболочки используются в гермокабинах самолетов Ту-204, 334, в ракетах в виде обтекателей, в самолетах легкой авиации, в самолетах самодельной постройки. Учитывая то, что отсутствуют монографии с обзорами работ по устойчивости некруговых цилиндрических оболочек, остановимся на более подробном анализе работ по этой теме.

Ниже приводиться обзор работ по устойчивости некруговых цилиндрических оболочек, в которых получены наиболее важные результаты.

Первая работа по устойчивости при осевом сжатии цилиндрических оболочек с эллиптическим контуром поперечного сечения была выполнена в 1935 г Х.М. Муштари [169], получившим в классической постановке (при безмоментном напряженном состоянии) формулу для критических усилий сжатия бесконечно длинной оболочки с малым эксцентриситетом. В монографии [5] Х.М. Муштари приводит формулу для критического усилия осевого сжатия, аналогичную формуле С.П. Тимошенко для круговой цилиндрической оболочки с радиусом, равным максимальному (у малой полуоси) радиусу кривизны эллипса.

Долгое время эти работы не имели продолжения. Следующие работы появились только в шестидесятых годах.

В 1967 И.Н. Гинзбург [142] в классической постановке получил формулу критической нагрузки осевого сжатия для эллиптической оболочки с малым эксцентриситетом. Кемпнер [143] также в классической постановке исследовал овальные свободно опертые оболочки средней длины при осевом сжатии. Прогибы аппроксимировались тригонометрическим рядом по направляющей и синусом по образующей. Исходное состояние оболочек считалось безмоментным. Решение получено методом Релея - Ритца. Результаты представлены графиками линейных зависимостей, показывающими нижнюю границу для критических напряжений, из которых видно, что овальная оболочка существенно менее устойчива по сравнению с эквипериметрической круговой оболочкой (круговая оболочка с периметром сечения, равным периметру круговой оболочки). Хатчинсон [144] исследовал овальные и эллиптические оболочки и получил оценки использования упомянутых выше приближенных формул. С.Н. Кан и Ю.И. Каплан [145] решали задачу устойчивости при сжатии свободно опертых овальных оболочек, составленных из двух пар дуг окружностей, энергетическим методом с дополнительными допущениями о равенстве нулю коэффициента Пуассона, сдвиговых и окружных деформаций и симметричной относительно обеих осей форм потери устойчивости. Исходное состояние безмоментное. Прогибы аппроксимировались тригонометрическими рядами по направляющей. Б.Х. Иноземцев [146] для той же овальной оболочки в классической постановке получил приближенную формулу для критических осевых усилий. Файнштфейн, Чен и Кемпнер [147] исследовали устойчивость защемленной овальной оболочки с учетом моментности линейного исходного состояния при осевом сжатии. Задача решалась в тригонометрических рядах по направляющей и в конечных разностях по образующей. Влияние моментности, в отличие от круговой оболочки, проявляется по-разному в зависимости от степени овализации.

Вольпе, Чен, Кемпнер [148] в такой же постановке исследовали овальную оболочку при трех вариантах граничных условий. Для <рлучая защемленной оболочки их результаты качественно близки к результатам [147]. В случае шарнирного закрепления критическая нагрузка за счет влияния граничных условий и моментности снижается при малой овализации, а при большой овализации увеличивается. В случае свободного опирания снижение критической нагрузки присутствует во всем диапазоне овализации.

Е.М. Королева исследовала овальную оболочку при сжатии с учетом моментности линейного исходного состояния численно с использованием метода конечных разностей [168].

В работах [144,149] исследовалось начальное закритическое поведение эллиптической оболочки и влияние начальных прогибов на критическую нагрузку осевого сжатия. В рамках теории Койтера были определены зависимости от эллиптичности коэффициента, характеризующего понижение устойчивости оболочки за счет влияния начальных прогибов. Была замечена существенная разница в поведении круговых и некруговых оболочек после потери устойчивости.

В.И. Гуляев и Г.И. Мельниченко [150] исследовали нелинейное деформирование эллиптической оболочки при сжатии. Задача решалась переходом к задаче Коши с продолжением решения через особые точки сменой ведущего параметра. На каждом шаге ведущего параметра использовался конечно-разностный метод.

Несколько работ посвящено экспериментальным исследованиям оболочек при осевом сжатии. Так в работе [144] испытывались две эллиптические оболочки из майлара. У некруговых оболочек первичная потеря устойчивости не приводит к исчерпанию несущей способности, поскольку участки большой кривизны оказывают поддерживающее влияние. Потеря несущей способности происходит при вторичной потери устойчивости, когда волнообразование распространяется на весь периметр оболочки.

В работе [149] испытывались эллиптические пластмассовые оболочки. Исследовалось влияние начальных прогибов. Чувствительность к начальным прогибам примерно такая же, как для круговой цилиндрической оболочки с радиусом, равным большему радиусу эллиптической оболочки.

В работе [151] испытывались эллиптические оболочки из нержавеющей стали, мало отличающиеся от круговых. В докритической стадии происходило развитие начального прогиба в области минимальной кривизны. Исчерпание несущей способности оболочек происходило хлопком. Форма потери устойчивости, как и у круговых оболочек, имела 9-10 вмятин по окружности, располагающихся в двух поясах в средней части оболочек.

Данные экспериментов с овальными оболочками содержатся и в работе

В отличие от круговых, некруговые оболочки теряют устойчивость и от внутреннего давления, что объясняется возникновением сжимающих усилий в области максимальной кривизны. Докритическое состояние некруговых оболочек при внутреннем давлении не обладает осевой симметрией, является моментным и нелинейным. Максимальный прогиб в зонах малой кривизны может достигать несколько толщин оболочек. Все это значительно осложняет аналитическое решение задачи устойчивости. В работе [153] Ю.Г. Коноплев и A.B. Копп впервые проводили испытания изготовленных из алюминиевой фольги эллиптических оболочек. В результате были получены эмпирические зависимости для критических нагрузок.

Первое решение задачи устойчивости эллиптических оболочек методом конечных элементом получено в работе В.В. Кабанова [154]. В этой работе исследована эллиптическая оболочка в широком диапазоне изменения параметра эллиптичности. Исходное НДС оболочки считалось моментным и нелинейным. Определены критическое внутреннее давление и форма потери устойчивости. Качественно результаты согласуются с экспериментальными результатами [153]. Исследовано влияние нелинейности деформирования и эллиптичности оболочек.

Для бесконечно длинной эллиптической оболочки малого эксцентриситета Х.М. Муштари в классической постановке получил приближенную формулу [155] критического усилия сдвига эллиптической оболочки при кручении .

Теоретико-экспериментальное исследование при кручении моментами провели Ю.Г. Коноплев и A.B. Копп [156]. Испытывались эллиптические оболочки из алюминиевой фольги. Результаты эксперимента представлены графиками критических усилий сдвига. Согласно полученным результатам эллиптическая оболочка оказывается слабее эквипериметрической круговой оболочки.

По-видимому, первым исследовал задачу устойчивости при внешнем давлении Б.И. Слепов [157] в случае безмоментного исходного состояния свободно опертой оболочки с эллиптическим контуром поперечного сечения. Радиус кривизны и прогиб аппроксимировались тригонометрическим рядом. В ряде прогиба удерживался один член.

Позднее с удержанием достаточного количества членов в рядах решали эту задачу Яо и Дженкинс [158], используя метод Бубнова-Галеркина. Они же испытывали оболочки из поливинилхлорида. Оболочки теряли устойчивость с образованием трех вмятин по дуге в зоне малой кривизны, по длине наблюдалась одна вмятина.

Марлоу и Броган [159] исследовали эту задачу методом конечных разностей с учетом нелинейности деформирования и начальных прогибов эллиптической оболочки. Для линеаризации уравнений использовался метод Ньютона-Рафсона. Учет нелинейности снижает критическое давление и приводит к лучшему соответствию с экспериментом. Начальные прогибы тоже приводят к снижению критического давления, так что эллиптические оболочки PI при внешнем давлении чувствительны к несовершенству формы.

JI.B. Андреев, H.H. Обо дан, А.Г. Лебедев [31] получили решение нелинейной задачи для эллиптической оболочки при внешнем давлении с использованием метода Ньютона-Канторовича и путем перехода от краевой задачи к задаче Коши.

H.H. Крюков [139] решал нелинейную задачу для свободно опертых эллиптических слоистых ортотропных оболочек при внешнем давлении, используя метод Власова-Канторовича для сведения двумерной задачи к одномерной и метод линеаризации одномерных задач, сводящих нелинейную задачу к последовательности линейных задач. Линейные задачи решались методом численного интегрирования с использованием дискретной ортогонализации. Для эллиптической ортотропной оболочки переменной по направляющей толщины получены нелинейные характеристики с предельной точкой.

Приближенное решение для овальных оболочек, собранных из дуг окружностей, при внешнем давлении получено А.Н. Чемерисом [160]. Исходное состояние считалось безмоментным, продольные и сдвигающие усилия не учитывались. Получена зависимость давления от числа окружных волн и параметров оболочки.

В такой же постановке для критического давления получена приближенная формула Б.Х. Иноземцевым [146].

Я.М. Григоренко, H.H. Крюков [30] исследовали эту задачу в нелинейной постановке в случае действия на овальную ортотропную оболочку неоднородного по длине давления. Ими получены нелинейные характеристики деформирования с предельными точками. Отмечено, что в отличии от эллиптической оболочки, вмятины развиваются с местах сопряжения дуг окружностей. При этом осевые напряжения в предельных точках по величине в среднем сечении превосходили окружные напряжения. Pix максимальная величина наблюдается на внутренней поверхности.

Эксперименты с эллиптическими оболочками при внешнем давлении проводились в работах [31,153,158,161]. В [161] испытывались оболочка из рулонной алюминиевой фольги. В результате обработки экспериментальных результатов авторы получили формулу для критического давления. В [31] испытывались изготовленные сваркой эллиптические оболочки из нержавеющей стали.

Решение нелинейной задачи чистого изгиба длинных эллиптических труб получено Вейничке [162]. Использовался асимптотический и метод интегральных уравнений. Построены нелинейные характеристики деформирования в виде зависимостей момента от изменения кривизны.

В работе Чена и Кемпнера [163] рассматривались овальные оболочки с длиной, равной одной — двум длинам большой оси сечения при чистом изгибе. Задача устойчивости решалась в классической постановке. Форма потери устойчивости при этом была кососимметричной относительно большой оси овала.

В работе [164] Ю.Г. Коноплевым, A.A. Саченковым теоретико-экспериментальным методом исследовалась устойчивость консольных эллиптических оболочек при изгибе силой.

Экспериментальное исследование устойчивости оболочки при поперечном изгибе с кручением проводил A.A. Саченков [165]. Испытывались консольно-закрепленные эллиптические оболочки из алюминиевой фольги. Отмечается, что общая потеря устойчивости происходит хлопком с образованием ромбовидных вмятин в зоне большой кривизны.

Задача устойчивости эллиптической оболочки при кручении с внутренним давлением экспериментально исследована Ю.Г. Коноплевым [166]. Испытывались оболочки из алюминиевой фольги и лавсана. Кривые взаимодействия критических нагрузок имеют выпуклый вид. Выпуклость кривых уменьшается с увеличением эллиптичности.

Теоретическое исследование овальных оболочек при осевом сжатии с изгибом моментом в линейной постановке выполнено Ченом и Кемпнером [163].

При действии осевого сжатия и внешнего давления на эллиптические оболочки взаимодействие критических нагрузок близко к прямолинейному [31]. Характеристики деформирования с предельными точками. Нелинейность их зависит от порядка нагружения. Если оболочка доводиться до потери устойчивости внешним давлением при предварительном сжатии, то характеристика линейная с резким переходом у предельной точки на горизонтальный участок. В этом случае достаточно хороший результат дает бифуркационный расчет при линеаризации исходного состояния оболочки. Если же оболочка доводилась до потери устойчивости осевым усилием, то характеристики существенно нелинейные. Расчет с линеаризацией исходного состояния в этом случае возможен только при малых значениях внешнего давления. Форма волнообразования во всех случаях неоднородная по направляющей с наибольшей глубиной вмятин в зонах малой кривизны. По длине образуются одна полуволна.

Экспериментальное исследование эллиптических оболочек при осевом сжатии и внешнем давлении проводилось в работе [167]. Испытывались оболочки из нержавеющей стали, изготовленные точечной сваркой, при различных комбинациях сжатия, растяжения, внешнего и внутреннего давления. Отмечено поддерживающее влияние внутреннего давления.

В работе [168] исследовалась задача устойчивости овальной оболочки при осевом сжатии, внешнем давлении и действии в середине оболочки кольцевой сжимающей нагрузки. Учитывалась моментность исходного состояния оболочки. Задача решалась численно конечно-разностным методом.

Подкрепленные овальные оболочки при осевом сжатии исследовались в работах [145,148]. В работе [145] в рамках классической схемы оболочки трактовались как конструктивно-анизотропные, т.е. подкрепления «размазывались» по оболочкам. Исходное состояние оболочек считалось безмоментным. В работах [148] учитывались моментность исходного состояния оболочек, дискретность и эксцентриситет расположенных шпангоутов, различные варианты граничных условий. Как и в случае круговой оболочки, выгодными оказываются наружные подкрепления. Степень выгодности уменьшается по мере увеличения овализации оболочек. Влияние граничных условий также зависит от овализации.

Таким образом, рассмотрев все перечисленные работы, можно сделать следующие выводы. На основе МКР, МКЭ и методов численного интегрирования в настоящее время разработаны эффективные алгоритмы исследования задач прочности, нелинейного деформирования и устойчивости оболочек при произвольном нагружении. Однако ряд проблем устойчивости оболочек, связанных с влиянием неоднородности нагрузок при комбинированном нагружении оболочек, с влиянием нелинейности и моментности исходного НДС при неосесимметричном нагружении, исследованы недостаточно полно. Мало работ по исследованию дискретности расположения подкреплений. По-прежнему остается актуальным разработка новых эффективных конечных элементов тонких оболочек и подкрепляющего набора. Малое число работ, посвященных исследованию устойчивости некруговых оболочек, является недостаточным, как с научной, так и с прикладной точек зрения. В большинстве работ рассмотрены простейшие случае нагружения: осевое сжатие, внешнее давление, кручение. Из этих случаев наиболее полно исследованы эллиптические и овальные оболочки при действии внешнего давления и осевого сжатия. В других же случаях имеются единичные преимущественно экспериментальные работы. В реальных условиях оболочки конструкций находятся в сложных НДС, как правило, нелинейных и моментных с наличием комбинации нормальных и касательных напряжений. Для дальнейшего развития теории оболочек, для эффективного использования научных исследований в проектировании, например, фюзеляжей современных самолетов, следует продолжить исследования устойчивости оболочек с некруговым контуром поперечного сечения от воздействия различных нагрузок. Выявить влияние нелинейности деформирования исходного НДС, геометрических размеров оболочки и формы поперечного сечения оболочек. Число работ посвященных исследованию устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при действии комбинированных нагрузок исчисляется единицами, поэтому необходимо провести исследования для случаев комбинированных нагружений, близкие к существующим нагрузкам в полете.

Актуальность работы определяется необходимостью разработки эффективных численных алгоритмов, позволяющих уточнять существующие методы расчета и производить расчеты с учетом моментности и нелинейности деформирования тонкостенных конструкций, типа подкрепленных оболочек, при произвольном нагружении и закреплении. Работа выполнялась по планам НИР СибНИА в рамках отраслевых государственных программ развития авиационной, ракетной и космической техники, в последнее время в рамках Федеральной целевой программы «Развитие гражданской авиационной техники России на 2002 - 2010 годы и на период до 2015 года».

Цель работы. Дальнейшее развитие теории нелинейного деформирования и устойчивости тонкостенных оболочек на основе метода конечных элементов при неоднородном термомеханическом нагружении и разработка конечно-элементных методов и компьютерных программ для исследования новых задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек аэрокосмической техники.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. разработка новых эффективных КЭ тонких оболочек различного вида (оболочки вращения, некруговые цилиндрические оболочки) и подкрепляющего их набора из стрингеров и шпангоутов; N

2. разработка на основе этих КЭ численных алгоритмов и компьютерных программ для решения задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек;

3. решение и численное исследование новых задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек в геометрически и физически нелинейной постановке;

4. решение практически важных задач прочности и устойчивости типовых конструкций аэрокосмической техники;

5. внедрение разработанных компьютерных программ на предприятиях аэрокосмической отрасли.

Научная новизна:

- разработано семейство новых эффективных оболочечных КЭ для некруговых цилиндрических оболочек, оболочек вращения и оболочек двойной кривизны, в отличие от известных КЭ имеют естественную кривизну и учитывают их жесткие перемещения как твердых недеформируемых тел;

- разработано семейство новых, совместных с конечными элементами оболочек криволинейных балочных КЭ естественной кривизны для подкреплений (стрингеров и шпангоутов) с учетом знака их эксцентриситета, позволяющих учитывать дискретность расположения подкреплений;

- разработаны алгоритмы МКЭ для решения задач нелинейного деформирования и устойчивости рассмотренных выше оболочек и составных оболочек с учетом моментности и нелинейности исходного НДС при произвольном термомеханическом нагружении, особенностью которых является то, что задача устойчивости в них не выделяется отдельно, а" критические нагрузки определяются в процессе решения нелинейной задачи;

- разработаны алгоритмы МКЭ для решения задач определения физически нелинейного моментного НДС в конструкциях летательных аппаратов типа тонкостенных оболочек;

- результаты исследования широкого спектра новых задач нелинейного деформирования и устойчивости различного рода оболочек при раздельном и комбинированном термомеханическом нагружениях, позволяющие оценить устойчивость оболочек, влияние нелинейности и моментности исходного НДС на критические нагрузки, рамки использования известных линейных решений, полученных в классической постановке.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость заключается в дальнейшем развитии теории прочности и устойчивости оболочек, решении новых задач устойчивости круговых, овальных и эллиптических цилиндрических оболочек, оболочек вращения, составных оболочек при раздельном и комбинированном термомеханическом нагружении с учетом нелинейности и моментности их НДС. Практическая значимость заключается в разработке конечно-элементных алгоритмов, компьютерных программ, получении обширной информации по критическим нагрузкам, определении области применимости известных приближенных линейных решений, в рекомендациях по расчету на устойчивость элементов конструкций летательных аппаратов, в решении ряда практически важных задач нелинейного деформирования и устойчивости элементов конструкций летательных аппаратов.

Реализация работы. Компьютерные программы и результаты исследований (НДС, критические нагрузки, формы потери устойчивости) использовались при проектировании новых летательных аппаратов на аэрокосмических предприятиях. Полученные результаты реализованы в «Рекомендациях по расчетам» в авиационных ОКБ и внедрены в ОАО «Туполев», ОКБ «Сухой», НПО «Прикладная механика», Центральное серийное конструкторское бюро (ЦСКБ) Самара. Акты внедрения приведены в приложении.

Достоверность и обоснованность подтверждается строгой постановкой задач с использованием апробированного математического аппарата теории тонких оболочек, тестированием алгоритмов, исследованиями сходимости решений, сравнением результатов исследовании с известными экспериментами и исследованиями других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на третьей научно-технической конференции (СибНИА, 1974 г.), шестой конференции по статической прочности летательных аппаратов (ЦАГИ, 1975 г.), одиннадцатой Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Харьков, 1977 г.), четвертой научно-технической конференции (СибНИА, 1979 г.), конференции по статической прочности летательных аппаратов (ЦАГИ, 1980 г.), симпозиуме по нелинейной теории оболочек и пластин (Казань, 1980 г.), Научно-технической конференции (Челябинск, 1982 г.), Научнотехнической конференции по статической прочности летательных аппаратов (ЦАГИ, 1984 г.), XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Тбилиси, 1987 г.), III Всесоюзной научно-технической конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Казань, 1988 г.), XVII Межреспубликанская конференция по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001 г.), Российско-Китайской научной конференции (ЦАГИ, 2003 г.), XVIII Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2003 г.), Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций СибНИА (Новосибирск, 2004 г.), XX Всероссийская конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2007 г.), Всероссийской научно-технической конференции по аэродинамике и прочности летательных аппаратов (СибНИА, 2008 г.), Чаплыгинских чтениях (СибНИА, 2009 г.), научном семинаре кафедры "Прочность летательных аппаратов" НГТУ (Новосибирск, 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 68 работах, в том числе 23 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ, 1 статья в рецензируемом журнале, 35 статей в сборниках научных статей, 9 статей в трудах научно-технических конференций. Личный вклад по разным публикациям составляет от 30 до 100%.

Объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, изложена на 417 страницах основного текста, содержит 504 рисунка, 41 таблиц, список используемой литературы из 281 наименования и приложения.

Результаты исследования сходимости для овальных оболочек с параметрами ь=\ 100 мм, й = 5 мм, ло = 1000 мм, е = 0,7 х 105 МПа, V = 0,3 с разными а приведены в таблицах 3.17, 3.18.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны семейство новых криволинейных КЭ тонкостенных круговых и некруговых цилиндрических оболочек, оболочек вращения, оболочек двойной кривизны, учитывающих их жесткие перемещения, и семейство совместных с элементами оболочки криволинейных балочных КЭ подкреплений с учетом знака их эксцентриситета, позволяющих учитывать дискретность расположения подкреплений.

2. На основе этих КЭ разработаны численные алгоритмы вариационного МКЭ в перемещениях для решения задач определения моментного НДС оболочек, однородных, с вырезами, нерегулярно-подкрепленных стрингерами и шпангоутами, при произвольном термомеханическом нагружении и произвольных граничных условиях в упругой и упруго-пластической областях.

3. Разработаны численные алгоритмы МКЭ в перемещениях для решения задач физически и геометрически нелинейного деформирования и устойчивости перечисленных выше оболочек при произвольном термомеханическом неоднородном нагружении и произвольных граничных условиях. Эти-алгоритмы, в отличие от известных алгоритмов, учитывают моментность и нелинейность исходного НДС, жесткие перемещения КЭ, совместность элементов подкреплений с элементами оболочек и знака их эксцентриситета. Все алгоритмы реализованы программами.

4. С использованием этих программ решен и исследован широкий круг задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек при раздельном и комбинированном нагружениях неоднородными осевыми сжимающими усилиями, боковым внутренним и внешним давлениями, краевыми изгибающими и крутящими моментами, краевой поперечной и сосредоточенными силами. Определены НДС, критические и предельные нагрузки, формы деформирования оболочек в исходном состоянии и формы потери устойчивости. Исследовано влияние на устойчивость оболочек неоднородности нагрузок и НДС, геометрических параметров оболочек и граничных условий.

5. Выявлены случаи, при которых неоднородные нагрузки можно заменить эквивалентными однородными с величиной, равной амплитудному или среднему значению неоднородной нагрузки.

6. Выявлены так называемые «резонансные» нагрузки, при которых существенно снижается несущая способность оболочек. Так при неосесим-метричном осевом сжатии и неосесимметричном внешнем давлении параметры критического усилия сжатии и критического внешнего давления снижаются в два и более раза.

7. В ряде случаев получены простые формулы для определения критических нагрузок: параметра критического внешнего давления круговой цилиндрическая оболочки переменной по окружности толщины 1 + ^

О 7 II max' "mm отношение толщин), параметра критического осевого усилия сжатия kcb=(l-0,13b) и параметра критического крутящего момента k„ = b = b / а . „ р ~ для эллиптическои цилиндрическои оболочки.

8. Дана оценка погрешности допущений о безмоментности и линейности исходного НДС на критические нагрузки, оценены рамки использования известных линейных решений, полученных в классической постановке.

9. Установлено, что овальные и эллиптические оболочки с начала нагруже-ния деформируются нелинейно с изгибами, классическая линейная постановка с бифуркациями зачастую неприменима.

10. Показано, что известные формулы критического осевого усилия сжатия для овальных цилиндрических оболочек, полученные С.Н. Каном, Ю.И. Капланом и Б.Х. Иноземцевым в классической постановке, применимы только при малой овализации оболочек.

11. Установлено, что формулы Х.М. Муштари для критического крутящего момента и осевого сжатия эллиптических цилиндрических оболочек, полученные в линейной постановке, справедливы только при малой эллиптичности оболочек (— - ).

12. Обнаружена и численно исследована неоднозначность влияния внутреннего давления на критические нагрузки некруговых оболочек, которая заключается в том, что при комбинированном нагружении крутящим момен том и внутренним давлением, изгибающим моментом и внутренним давлением при значении крутящего и изгибающего моментов выше их критических значений при раздельном нагружении овальные и эллиптические оболочки могут терять устойчивость, как при повышении, так и при понижении внутреннего давления. На кривых взаимодействия критических нагрузок имеются два участка: на одном участке внутреннее давление оказывает стабилизирующие влияние на оболочку, на другом оно понижает устойчивость.

13. Показано, что овальные оболочки более устойчивы эллиптических оболочек при внутреннем давлении и осевом сжатии, а при изгибе моментом и. изгибе силой оказываются более устойчивы эллиптические оболочки. При изгибе моментом вытянутые вдоль вертикальной плоскости оболочки, а также при изгибе силой вытянутые вдоль горизонтальной плоскости овальные и эллиптические оболочки более устойчивы, чем эквивалентные по весу круговые оболочки.

14. Выявлено влияние нелинейности исходного НДС на устойчивость оболочек. Установлено, что в случае однородных нагрузок, когда НДС близко к НДС балочных решений, влияние нелинейности невелико (порядка 520%). Так при действии крутящего момента влияние нелинейности имеет значение для эллиптической и овальной оболочек соответственно 0+5% и 0+7%, при поперечном изгибе - 0+15% и 1-+8%, при осевом сжатии - 5+-8% и 1+-8%, при изгибающем моменте — 0+26% и 0+-14%. В случае действия неоднородной, особенно неосесимметричной, нагрузки и при комбинированном нагружении влияние нелинейности становится более существенным (50-100%). При действии внутреннего давления влияние нелинейности для эллиптической оболочки составляет 2-^44%, а для овальной оболочки линейная теория не позволяет обнаружить потерю устойчивости.

15. Проведено сравнение с известными экспериментальными результатами, подтверждающими достоверность полученных результатов.

16. Исследован ряд практически важных задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек: оболочка, заполненная жидкостью, оболочка переменной толщины при неосесимметричном внешнем давлении, составная оболочка топливного бака ракеты при неоднородном комбинированном нагружении, отсек фюзеляжа самолета ТУ-334 при действии широкого спектра внешних нагрузок.

17. Проведенные исследования и расчеты натурных конструкций показывают на достаточную эффективность разработанных алгоритмов и программ. Алгоритмы, программы и результаты исследований можно использовать для дальнейшего развития теории оболочек и в проектировании перспективных летательных аппаратов. Они позволяют производить более точные, с учетом моментности и нелинейности деформирования оболочек, расчеты и создавать надежные, легкие и конкурентоспособные конструкции.

18. Программы использовались в различных предприятиях авиационно-космической отрасли для расчета натурных конструкций летательных аппаратов: самолетов, ракет, спутников.

1. Ляв А. Математическая теория упругости / А. Ляв. М.-Л.: ОНТИ, 1935. -492 с.

2. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем / С.П. Тимошенко. М — Л.: Огиз, Гостехиздат, 1946. - 533 с.

3. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости / В.В. Новожилов. М.: Гостехиздат, 1948. - 211 с.

4. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее применение в технике / В.З. Власов. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

5. Муштари Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек / Х.М. Муштари, К.З. Галимов. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 351 с.

6. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем / A.C. Вольмир. М.: Физ-матгиз, 1963. - 879 с.

7. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

8. Григолюк Э.И. Теоретические и экспериментальные исследования устойчивости тонких оболочек за пределом упругости / Э.И. Григолюк. // Итоги науки, 1964, Механика. Упругость и пластичность. М.: ВНИИТИ, 1966. -С. 7-80.

9. Григолюк Э.И. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек / Э.И. Григолюк, В.В.Кабанов // Итоги науки, 1967, Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ, 1969. - 348 с.

10. Кабанов В.В. Устойчивость обол очечных конструкций летательных аппаратов. Прошлое, настоящее, будущее /В.В. Кабанов // Тр. Всероссийской н.-т. конференции под редакцией А.Н. Серьезнова. Новосибирск: Сиб-НИА, 2005.-С. 32-42.

11. Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И .Я. Хархурим. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

12. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике / O.K. Зенкевич. — М.: Мир, 1975.-542 с.

13. Статика и динамика тонкостенных обол очечных конструкций / А.В. Кар-мишин, В.А. Лясковец, В.И. Мяченков, А.К. Фролов. М.: Машиностроение, 1975.-376 с.

14. Ушаков В.Д. Методы расчета местной прочности авиационных конструкций / В.Д. Ушаков, В.И. Гришин. М.:, ЦАГИ, Изд. ООО «М. АрТИКа», 1999.-94 с.

15. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

16. Немировский Ю.В. Устойчивость и выпучивание конструктивно-анизотропных и неоднородных оболочек и пластин / Ю.В. Немировский // Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. — М.: ВИНИТИ, 1976.- 155 с.

17. Райнш Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра / Райнш, Уилкинсон. М.: Машиностроение, 1976. - 389 с.

18. Григолюк Э.И. Устойчивость оболочек / Э.И. Григолюк, В.В. Кабанов. — М.: Наука, 1978.-359 с.

19. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. — 392 с.

20. Кабанов В.В. Устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек / В.В. Кабанов. — М.: Машиностроение, 1982. 253 с.

21. Гуляев В.И. Устойчивость нелинейных механических систем / В.И. Гуляев, В.А. Баженов, Е.А. Гоцуляк. Львов: Вища школа, 1982. - 254 с.

22. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А.С.Сахаров, В.Н. Кислоокий, В.В. Киричевский, и др. -Киев: Вища школа, 1982. 480 с.

23. Григоренко Я.М. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ / Я.М. Григоренко, А.П. Мукоед. Киев: Вища школа, 1983. - 286 с.

24. Мяченков В.И. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС / В.И. Мяченков, В.П. Мальцев. М.: Машиностроение, 1984.-280 с.

25. Образцов И.Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И.Ф. Образцов, Л.М. Савельев, Х.С. Хаза-нов. -М.: Высш. шк., 1985. 392 с.

26. Пустовой Н.В. Устойчивость элементов конструкций / Н.В. Пустовой, Л.М. Куршин. Новбсибирск: 1985. - 90 с.

27. Григолюк Э.И. Проблемы нелинейного деформирования / Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. Москва: Наука, 1988. - 250 с.

28. Шкутин Л.И. Механика деформаций гибких тел / Л.И. Шкутин. Новосибирск: Наука, 1988. - 128 с.

29. Пустовой Н.В. Строительная механика самолета / Н.В. Пустовой. Новосибирск: 1988. — 72 с.

30. Григоренко Я.М. Численное решение задач статики гибких слоистых оболочек с переменными параметрами / Я.М. Григоренко, Н.Н. Крюков. — Киев: Наук. Думка, 1988. 264 с.

31. Андреев Л.В. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформаIции / Л.В. Андреев, Н.И. Обадан, А.Г. Лебедев. М.: Наука, 1988. - 208 с.

32. Расчет машиностроительных конструкций методом конечных элементов / В.И. Мяченкова, В.П. Мальцева, и др. Справочник. М.: Машиностроение, 1989.-520 с.

33. Голованов А.И. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек / А.И. Голованов, М.С. Корнишин. Казань: Ан. СССР. КФТИ, 1989.-269 с.

34. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. М.: Мир, 1984.-428 с.

35. Григолюк Э.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций / Э.И. Григолюк, В.И. Мамай. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 272 с.

36. Пустовой H.B. Основы расчета на устойчивость деформируемых систем / Н.В. Пустовой, К. А. Матвеев. Новосибирск: 1997. - 370 с.

37. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел / С.Н. Коробейников. Новосибирск: Издательство СОР АН, 2000. - 262 с.

38. Андреев А.Н. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: изгиб, устойчивость, колебания / А.Н. Андреев, Ю.В. Немировский. Новосибирск: Наука, 2001. - 340 с.

39. Григоренко Я.М. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения (обзор) / Я.М. Григоренко, В.И. Гуляев // Прикладная механика. 1991 -т. 27.-№10.-С. 3-23.

40. Ashwell D.G. A new cylindrical shell finite element based on simple independent strain function / D.G. Ashwell, A.B. Sabir // Int. Journal of Mexhanical Sciences. 1971.-vol. 13. — № 2. - Pp. 133-139.

41. Кантин Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки / Кантин, Клауф // Ракетная техника и космонавтика. -1968.-т. 6. № 6. -С. 82-88.

42. Bogner F.K. A Cylindrical shell discrete element / F.K. Bogner, R.D. Fox and L.A. Schmit// AIAA Journal. 1965. - № 6. - Pp. 1234-1241.i

43. Савельев JIM. Простой четырехугольный элемент произвольной тонкой оболочки / JIM. Савельев // В сб.: Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Межвузовский сб., вып. 5, Куйбышев: КуАИ, 1979. - С. 58-63.

44. Немировский Ю.В. Построение устойчивых решений по МКЭ и новых разностных отношений для задач кручения стержней и изгиба пластин /

45. Ю.В. Немировский, А.Д. Матвеев // Изв. СО АН СССР сер. тех. Наука. -1987. вып. 3.-С. 110-118.

46. Flügge W. Die stabiütat der Kreiszyliderschale / W. Flügge // Ing.-Arch. -1932. Bd 3. - №> 5. - Ss. 463-506.

47. Almroth B.O. Buckling of a Cylindrical Shell Subjected to nonuniform External Pressure / B.O. Almroth // Trans. ASME. 1962. -E29. -N 4. - Pp. 235-241.

48. Bushnell D. Stress buckling and vibration of prismatic shells / D. Bushnell // AIAA Journal. 1971. - vol. 9. -N 10. - Pp. 2004-2013.

49. Кабанов В.В. Устойчивость конструктивно-анизотропной круговой цилиндрической оболочки при неоднородном сжатии /В.В. Кабанов // Известия АН СССР, МТТ. 1966. - № 3. - С. 84-88.

50. Кабанов В.В. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при неоднородном сжатии / В.В. Кабанов // Изв. АН СССР. Отд. техн. н. Механ. и Машиностроения. 1963. -№ 1. - С. 181-183.

51. Кабанов В.В. Устойчивость цилиндрической оболочки при изгибе поперечной силой с кручением и внутренним давлением / В.В1 Кабанов // В сб.: Избранные проблемы прикладной механики. М.: ВНИИТИ, 1974. С. 365370.

52. Кабанов В.В. Устойчивость эксцентрично подкрепленных круговых цилиндрических оболочек при сжатии / В.В. Кабанов // ИзвВУЗ Авиационная техника. 1971. - № 1. - С. 45-52.

53. Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек при изгибе силой / В.В. Кабанов, B.C. Утешев // Известия АН СССР, МТТ. 1968. - № 2. - С. 65-69.

54. Липовцев Ю.В. К устойчивости упругих и вязко-упругих оболочек при наличии локальных напряжений / Ю.В. Липовцев // Известия АН СССР МТТ.-1968.-№5.-С. 14-18.

55. Григолюк Э.И. Устойчивость двухслойных оболочек за пределом упругости / Э.И. Григолюк, В.В. Кабанов // Известия АН СССР, МТТ. 1966. - № 4.-С. 88-96.

56. Кабанов В.В. К расчету на устойчивость конструктивно-анизотропных оболочек за пределом упругости / В.В. Кабанов // Известия АН СССР, МТТ. 1967. - № 5. - С. 111-115.

57. Кабанов В.В. Устойчивость упруго-пластических неоднородных оболочек / В.В. Кабанов // В сб.: Некоторые вопросы пластичности, вып. 106. Новосибирск: НИИВТ, 1975. С. 9-31.

58. Вохмянин И.Т. Уравнения предельного равновесия оболочек и пластин / И.Т. Вохмянин // ИзвВУЗ Строительство и архитектура. — 1987. № 7. — С. 18-23.

59. Вохмянин И.Т. Изгиб и выпучивание конструктивно-неоднородных пластин и оболочек за пределом упругости / И.Т. Вохмянин, Ю.В. Немировский // Известия АН СССР, МТТ. 1971. - № 2. - С. 42-52.

60. Немировский Ю.В. Устойчивость пластин и цилиндрических оболочек за пределом упругости / Ю.В. Немировский // Известия АН СССР, МТТ. -1968.-№3.-С. 168-173.

61. Бадрухин Ю.И. Влияние нагрева на устойчивость оболочек / Ю.И. Бадру-хин, В.В. Кабанов //Известия АН СССР, МТТ. 1969. - № 3. - С. 91-95.

62. Кабанов В.В. Исследование устойчивости оболочек методом конечных разностей / В.В. Кабанов // Известия АН СССР, МТТ. 1971. - № 1. - С. 24-29.

63. Fischer G. Under den Einfluss der gelekiger Lagemng auf Stabilitat dunn wandiger Kreiszylinder schaleri under Axiallast und Innerdruck / G. Fischer // Z. Flugwiss.-1963.-Bd. ll.-№3.-Ss. 111-119.

64. Huang N.G. Unsymmetrical buckling of thin shallow spherical shells / N.G. Huang // Trans. ASME, ser. E. 1964. - vol 31. - № 3. - Pp. 447^157.

65. Almroth B.O. Influence of edge condition on the stability jf axially compressed cylindrical shells / B.O. Almroth // AIAA Journal. 1966. - vol. 4 - № 1. - Pp. 465-467.

66. Бадрухин Ю.И. Устойчивость цилиндрической оболочки переменной толщины при переменном внешнем давлении / Ю.И. Бадрухин, С.И. Галкин // Ученые записки ЦАГИ. 1975. - т. VI. - № 4. - С. 49-57.

67. Белов В.К. Устойчивость равномерно нагретой цилиндрической оболочки с начальными прогибами при осевом сжатии, внутреннем давлении и пе• '■■'•. ' 391репаде температуры у шпангоутов / В.К. Белов•// Ученые записки ЦАГИ: -1980.-т. XL-№1. — С. 144-148.

68. Белов В.К. Влияние начальных прогибов и температурных напряжений на устойчивость цилиндрической« оболочки:при/осевом сжатии / В.К. Белов, Л.М. Куршин // Известия АН СССР, МТТ. 1974. - №1. - С. 159-162.

69. Кабанов В:Б. Устойчивость цилиндрической оболочки при неосесиммет-ричном давлении / В.Б.Кабанов, Г.И. Курцевич // Прикладная механика. -1977.-т. 13;1.-G: 21-26.

70. Пустовой Н.В. Локальная устойчивость цилиндрической оболочки с учетом нелинейного докритического состояния / Н.В. Пустовой // В еб.: Динамика и прочность конструкций. — Новосибирск: НГТУ, 19731 С. 23-29.

71. Пустовой Н.В: Устойчивость и послекритическое поведение цилиндриче-- ских оболочек при локальном: нагружении / Н.В: Пустовой // В сб.: Динамика и прочность конструкций. — Новосибирск: НГТУ, 1976. С. 134—137.

72. Шкутин Л.И. Влияние докритических деформаций на устойчивость продольно сжатой цилиндрической; оболочки 7 Л.И. Шкутин // Прикладная механика. 1967. - №2. - С. 10-125

73. Кабанов В.В; Устойчивость неоднородных оболочек / В.В. Кабанов // Тр.: VIII Всес. конф. Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1973. - С. 297300.

74. Астрахарчик C.B. Об устойчивости подкрепленных цилиндрических оболочек при изгибе моментом с кручением / C.B. Астрахарчик, В.В. Кабанов. // ПМТФ. — 1989. — № 1.-С. 158-162.

75. Кабанов В.В. Устойчивость неоднородной оболочки с упругими краевыми кольцами при осевом сжатии / В.В. Кабанов, В.Д. Михайлов // Известия АН СССР, МТТ.-1974.-С. 114-117.

76. Куршин JT.M. Об устойчивости при-нагреве цилиндрической оболочки с холодными диафрагмами / JT.M. Куршин // В сб.: Тепловые напряжения в элементах конструкций, вып.З. Киев: АН УССР, 1963. - С. 211-219.

77. Куршин JI.M. Дополнение «К задаче об упругой устойчивости локально нагруженной цилиндрической оболочки» / JT.M. Куршин, Л.И. Шкутин // Прикладная математика и механика. 1974. - вып. 2. - С. 3-4.

78. Куршин Л.М. Задачи об упругой устойчивости локально нагруженной цилиндрической оболочки / Л.М. Куршин, Л.И. Шкутин // Прикладная математика и механика. — 1972. т. 36. - вып. 6. - С. 5-11.

79. Пустовой Н.В. Об учете нелинейности докритического состояния цилиндрической оболочки с осесимметричными неправильностями формы при сжатии / Н.В. Пустовой // В сб.: Динамика и прочность конструкций. — Новосибирск: НГТУД974. С. 35-41.

80. Постнов В.А. Изгиб и устойчивость оболочек вращения / В.А. Постнов,

81. B.C. Корнеев // В сб.: Тр. X Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Кутаиси, 1975, т. 1. — Тбилиси:, Мецниереба, 1975. С. 635-644.

82. Постнов В.А. Использование метода конечных элементов в расчетах устойчивости подкрепленных оболочек / В.А. Постнов, B.C. Корнеев // Прикладная механика. — 1976. т. 12. - № 5. - С. 44-49.

83. Постнов В.А. Использование метода конечных элементов в задаче изгиба оболочек вращения с учетом физической и геометрической нелинейности / В.А. Постнов, Н.Г. Слезина // В сб.: Тр. Ленинградского кораблестроительного института, 1977, № 116. С. 41-49.

84. Постнов В.А. Учет физической и геометрической нелинейности в задачах изгиба оболочек вращения при использовании метода конечных элементов / В.А. Постнов, Н.Г. Слезина II Изв. АН СССР. МТТ. 1979. - № 6. - С. 78-85.

85. Rao G.V. Buckling of shells bu finite element method / G.V. Rao, I.S. Raju, S.K. Radhamahan // J. Eng. Mech. Div. Proc.Amer. Soc. Civ. Eng. 1974. -100.-N 5.-Pp. 1092-1096.

86. Gallagher R.H. Discrete1 element approach to structural instability analysis / R.H. Gallagher and J. Padlog // AIAA Journal. 1963. - vol. 1. - Pp. 14571439:

87. Backus W.E. Some applications of finite element analysis to shell buckling prediction / W.E. Backus and R.M. Mello // В сб.: Proc. of the Second Conf. on Matrix Methods in Structural Mechanics, Ohio, 1969. Pp. 869-893.

88. Sabir A.B. Stabilitats untersuchung zylindrischer Schalen mit endlichen Elementen / A.B. Sabir // Osterr. Ing. Z. - 1972. - 15. - N 10. - Ss. 299-305.

89. Mathew G.I. Finite element stability analysis of thin shells / G.I. Mathew // Mem. Assoc. int. ponts ot charp. 1972. - 32. — N 2. - Pp. 121-136.

90. Gallagher R.H. Elastic instability predictions for doubly curved shells / R.H.'; Gallagher and T. Y.Yang-H. // Proc. of the 2 end Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech. AFFDL TR-68- 150, Air Force Inst of Technoh, Oct: 1968. -Pp. 1064-1071.

91. Gallagher R.H. Finite element representations for thin shells instability analysis / R.H. Gallagher // В сб.: Buckling Struct., Berlin e.a., 1976. Pp. 40-51.

92. Gallagher R.H. The finite element method in shell stability analysis / R.H. Gallagher // Comput. and Struct. 1973. - 3. - N 3. - Pp. 543-557.

93. A Discrete Element Procedure for Thin-Shell Instability Analysis / R.H. Gallagher, R.A. Gellatly, J. Padlog, S.H. Mallet 11 AIAA Journal. 1967. - vol. 5. -Nl.-Pp. 138-145.

94. Janssen Terry L. Shell instability analysis using the finite element method / Terry L. Janssen // SAE Prepr., s.a., H 740387. Pp. 7

95. Андреев JI.B. Анализ поведения геометрически нелинейных цилиндрических оболочек / Л.В. Андреев, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедев // Изв. ВУЗов. Машиностроение. 1976. - № 5. - С. 5-9.

96. Киричевский В.В. Исследование больших прогибов нетонких оболочек методом конечного элемента / В.В. Киричевский, А.С. Сахаров // Проблемы прочности. — 1975. № 11. - С. 64-71.

97. Пустовой Н.В. Закритическое поведение цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении / Н.В. Пустовой // В сб.: Динамика и прочность конструкций. Новосибирск: НГТУ, 1996, № 2. - С. 8-15.

98. Галкин С.И. Анализ напряженного состояния цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами, при нагружении сосредоточенными силами / С.И. Галкин, Т.Е. Левицкая // Труды ЦАГИ, вып. 1675, 1975. -51 с.

99. Nonlinear Analysis of Shells of Revolution by the Matrix Displacement Method / J.A. Strincklin, W.E. Haisler, H.R. MacDougall, P.J. Stebbins // AIAA Journal. 1968. - vol. 6. -N 12. - Pp. 2306-2512.

100. Popov E.P. Linear and Nonlinear Static Analysis of axisummetrically Loaded Thin Shells of Revolution / E.P. Popov and S. Yaghmai // First Intern. Conf. on PreSs. Vessel Thechnology, Univ. of Delft, Sept., 1969. Pp. 1127-1130.

101. Юб.Стринклин Д.А. Статический и динамический расчеты геометрически нелинейных оболочек вращения / Д.А. Стринклин // В сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, т.1. — Л.: Судостроение, 1974. — С. 273-292.

102. Brebbia С. Geometrically nonlinear finite element analysis / С. Brebbia, Jerome Connor // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil. Eng. 1969. - 95. - N 2. -Pp. 463-483.

103. Bergan P.G. Large deflection analysis of plates and shallow shells using the finite element method'/ P.G. Bergan, R.W. Clough // Int. J. Nummer. Meth. Eng. 1973. - 5. -N 4. - Pp. 543-556.

104. Wood R.B. Geometrically nonlinear finite element analysis of beams, frames, arches and axisymmetric shells / R.B.- Wood, O.G. Zienkiewicz // Gomput. and Struct. 1977. - 7. - N 6. - Pp. 725-735.

105. Рудых Г.Н. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек / Г.Н. Рудых // Труды ЦАГИ, вып. 1114, 1969. 49 е.

106. Екименков А.Ю: Расчет каркасированной цилиндрической оболочки на поперечные нагрузки, приложенные к шпангоуту / А.Ю. Екименков, Г.Н. Рудых, Е.Н. Синицын // Труды ЦАГИ, вып. 1351, 1971. 48 с:

107. Замула Г.Н. К, расчету каркасированных цилиндрических оболочек / Г.Н. Замула, К.М. Иерусалимский // Ученые записки ЦАГИ. 1981. -т. XII. -№ 3. - С. 83-94.

108. ПЗ.Закритическое поведение обшивки и его влияние на общее НДС и устойчивость композитных конструкций / Г.Н. Замула, К.М. Иерусалимский, Г.С. Калмыкова, B.IL Фомин // Труды ЦАГИ, вып. 2264, 2004. С. 117 — 121.

109. Macwal A. Stable elastic circular cylindrical shells a finite element analysis and comparison with experiments / A. Macwal, W, Wathbar // Trans, ASME. -1977. E 44. - N 3. - Pp. 475-481.

110. Arguris J.H. Post — buckling finite element analysis of circular cylinders under end load / J.H. Arguris, P.C. Dunne. // Forschun im Ingenieurwesen. 1978. -44.-N3.-Pp. 69-74.

111. Solution techniques for nonlinear finite element problems / P.G. Bergan, G. Horrigmoe, B. Krakeland, Т.Н. Soreide // Int. J. Nummer. Meth. Eng. - 1978.12. -N 11. -Pp. 1677-1696.

112. Matsui Т. Buckling of cylindrical shell roofs by the finite element method / T. Matsui, 0. Matsuoka // Finite Element Nonlinear Mech. — Trondheim:, 1978, vol. 1. Pp. 303-322.

113. Андреев JI.B. Об устойчивости цилиндрической оболочки при произвольном внешнем давлении / JI.B. Андреев, В.И. Мосаковский, Н.И. Ободан. // В сб.: Тр. VII Всес. конф, по теории оболочек и пластинок, 1969. М.: Наука, 1970. - С. 629-633.

114. Бинкевич Е.В. Экспериментальное исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном сжатии / Е.В. Бинкевич, B.JI. Красов-ский // В сб.: Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. - С. 246-249.

115. Андреев JI.B. Устойчивость цилиндрических оболочек при неосесиммет-ричном нагружении / JI.B. Андреев, Н.И. Ободан // Изв. ВУЗов. Машиностроение. 1974. - № 12. - С. 30-32.

116. Кабанов В.В. Устойчивость цилиндрической оболочки при неосесиммет-ричном давлении / В.В. Кабанов, Г.И. Курцевич. // Прикладная механика. — 1977. т. XIII. - № 1. - С. 21-26.

117. Кабанов В.В. Предельное состояние и устойчивость цилиндрической оболочки при неоднородном неосесимметричном внешнем давлении /В.В. Кабанов, Г.И. Курцевич, В.Д. Михайлов // Изв. АН СССР МТТ. 1978. -№4.-С. 129-134.

118. Кабанов В.В. Предельное состояние круговой цилиндрической оболочки при неоднородном внешнем давлении /В.В. Кабанов, В.Д. Михайлов // ИзвВУЗ Авиационная техника. 1979. - № 2. - С. 27—31.

119. Кабанов В.В. Предельное состояние и устойчивость цилиндрической оболочки при неосесимметричном внешнем давлении / В.В. Кабанов, В.Д. Михайлов // В сб.: Динамика и прочность авиационных конструкций. -Новосибирск: НГТУ, 1978. С. 211-215.

120. Кабанов В.В. Устойчивость цилиндрической оболочки при неоднородном неосесимметричном нагружении / В.В. Кабанов, В.Д. Михайлов // Прикладная механика. 1980. - т. XVI. - № 8. - С. 11-15.

121. Nonlinear material and geometric behavior of shells structures / G.A. Dupuis, H.D. Hibbitt, S.F. Me Ñamara, P.Y. Marcal II Comput. and Struct. -1971.-1. -N 1-2.-Pp. 223-239.

122. Almroth B.O. Bifurcation buckling as an Approximation of the Collapse Load for General Shells / B.O.Almroth, F.A. Brogan // AIAA Journal. 1972. - vol. 10.-N4.-Pp. 465-467.

123. Кабанов В.В. Нелинейное деформирование и устойчивость подкрепленных цилиндрических оболочек при изгибе /В.В. Кабанов, C.B. Астрахарчик // В сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск: КИСИ, 1985.-С. 75-83.

124. Кузнецов В.В. Анализ деформаций оболочек при произвольных перемещениях методом конечных элементов / В.В. Кузнецов, Ю.В. Сойников // Известия АН СССР, МТТ. 1987. -№1. - С. 131-138.

125. Ковальчук Н.В. Метод конечных элементов в применении к исследованию устойчивости ребристых цилиндрических оболочек / Н.В. Ковальчук // Прикладная механика. 1976. - № 3. - С. 28—33.

126. Кузнецов В.В. Метод конечных элементов в задачах нелинейного деформирования подкрепленных оболочек произвольной формы / В.В. Кузнецов, Ю.В. Сойников // Известия АН СССР, МТТ. 1988. - №3. - С. 136— 143.

127. Коробейников С.Н. Расчет подкрепленных оболочек методом конечных элементов / С.Н. Коробейников // В сб.: Динамика сплошной среды. — Новосибирск: СО АН СССР, 1985, № 71. С. 55-64.

128. Замула Г.Н. Устойчивость и термоустойчивость цилиндрических конструкций / Г.Н. Замула, K.M. Иерусалимский // Ученые записки ЦАГИ. — 1987. т. XVIII. - № 6. - С. 60-73.

129. Вохмянин И.Т. Несущая способность гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек / И.Т. Вохмянин, Ю.В. Немировский // Прикладная механика. 1967.-т. 3.-№ 1.-С. 18-23.

130. Андреев А.Н. Устойчивость упругих многослойных анизотропных оболочек / А.Н. Андреев, Ю.В. Немировский // Механика композитных материалов.- 1990.-№ 1.-С. 86-95.

131. Кузнецов В.В. Применение геометрически нелинейного подхода к расчету подкрепленных оболочек /В.В. Кузнецов, Ю.В. Сойников // В сб.: Динамика и прочность конструкций. Новосибирск: НГТУ, 1987, № 2. - С. 1522.

132. Крюков H.H. Нелинейное деформирование некруговых ортотропных цилиндрических оболочек переменной жесткости / H.H. Крюков // Прикладная механика. 1986. - т. 22. - № 5. - С. 47-52.

133. Замула Г.Н. Устойчивость цилиндрических систем при неравномерном нагружении с учетом пластичности / Г.Н. Замула, К.М. Иерусалимский, Г.С. Карпова // Ученые записки ЦАГИ. 1990. - т. XXI. - № 2. - С. 94-100.

134. Гинзбург И.Н. Устойчивость сжатой цилиндрической оболочки эллиптического поперечного сечения / И.Н. Гинзбург // Прикладная механика. — 1967. т. 3. -№5. — С. 126-130.

135. Kempner J. Some results оп buckling and postbukling of cylindrical shells / J. Kempner // NASA TN, D-1510, 1962.-Pp. 173-187.

136. Hutchinson J.W. Buckling and initial postbuckling behaviour of oval cylindrical shells under axial compression / J.W. Hutchinson // Trans. ASME^ Journal of applied mechanics, E. — 1968. — N 3. — Pp. 66—72.

137. Кан С.Н. Устойчивость некруговых оболочек / С.Н. Кан, Ю.И. Каплан // В сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 21. Киев: Бу-дивельник, 1973 —С. 51-70.

138. Иноземцев Б.Х. Некоторые задачи устойчивости цилиндрической оболочки овального сечения / Б.Х. Иноземцев // Тр. VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966. - С. 444-450.

139. Feinsfein G. Buckling of clamped oval cylindrical shells under axial compression / G. Feinsfein, Y.N. Chen, J. Kempner // AIAA Journal. 1980. - vol. 18. -N 6. - Pp. 114-125.

140. Volpe V. Buckling of orthogonally stiffened finite oval cylindrical shells under axial compression / V. Volpe, Y.N. Chen, J. Kempner // AIAA Journal. 1980. -vol. 18. -N 6. — Pp. 114-125.

141. Tennyson R.C. Buckling of imperfect elliptical cylindrical shells under axial compression / R.C. Tennyson, M. Booton, R.D. Caswell // AIAA Journal. -1971. vol. 9. - N 2. - Pp. 250-255.

142. Гуляев В.И. Формы закритического равновесия цилиндрических и конических оболочек эллиптического сечения под действием осевой нагрузки /

143. В.И. Гуляев, Г.И. Мельниченко // Известия АН СССР, МТТ. 1976. - № 5. -С. 60-66.

144. Моссаковский В.И Красовский В.П. Устойчивость продольно сжатых цилиндрических оболочек, близких к круговым. / В.И. Моссаковский, В.И.Конох, В.П. Красовский // Прикладная механика. 1974. - т. 10. - № З.-С. 3-8.

145. Feinsfein G. Stability of oval cylindrical shells / G. Feinsfein, В. Erickson, J. Kempner//Exp. mech. 1971.-N 11.-Pp. 111-124.

146. Коноплев Ю.Г. Экспериментальное исследование устойчивости цилиндрических оболочек эллиптического сечения / Ю.Г. Коноплев, A.B. Копп // В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Казанский ун-т, 1980, вып. 15. - С. 31-38.

147. Муштари Х.М. Об устойчивости цилиндрической оболочки под действием неоднородных нагрузок / Х.М. Муштари // Тр. Физико-технического института. Казанского, фил. АН СССР, 1954, вып.1. С. 77-103.

148. Коноплев Ю.Г. Устойчивость цилиндрической оболочки эллиптического сечения при кручении / Ю.Г. Коноплев, A.B. Копп // В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек. — Казань: Изд-во Казанского университета, 1978, вып. 13.-С. 83-91.

149. Слепов Б.И. Колебания и устойчивость эллиптических оболочек / Б.И. Слепов // Изв. АИ СССР. Механика и машиностроение. 1964. - №3. - С. 44-146.

150. Jao J.C. Buckling of elliptic cylinders under normal pressure / J.C. Jao, W.L. Jenkins // AIAA Journal. 1970. - vol. 8. - N 1. - Pp. 25-27.

151. Marlowe M.B. Collapse of elliptical cylinders under uniform external pressure / M.B. Marlowe, F.A. Brogan // AIAA Journal. 1971. - vol. 9. - N 11. - Pp. 2064-2066.

152. Чемерис А.Н. К вопросу об устойчивости оболочек овального сечения при внешнем давлении / А.Н. Чемерис // Проблемы прочности. 1975. — №7. — С. 78-80.

153. Romano F. Stresses in short noncircular cylindrical shells under lateral pressure / F. Romano, J. Kempner. // Trans. ASME, Journal of applied mechanics, E. — 1962.-N12.-Pp. 669-674.

154. Weinitshke H.J. Die Stabilitet elliptiseher zylider schalen bei zeiner Biegung / H.J. Weinitshke // ZAMM. 1970. -N 50. - Pp. 411-422.

155. Chen Y.N. Buckling of oval cylindrical shells under compression and asymmetric bending. / Y.N. Chen, J. Kempner // AIAA Journal. 1976. - vol. 14. - N 9. -Pp. 1235-1246.

156. Коноплев Ю.Г. Устойчивость эллиптической цилиндрической оболочки при совместном действии кручения и внутреннего давления / Ю.Г. Коноплев // В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во. Саратовского университета, 1981. — С. 67—70.

157. Андреев JI.B. Устойчивость эллиптических оболочек, нагруженных осевой силой и поперечным давлением / JI.B. Андреев, В.М. Кучеренко, И.Д. Павленко // Гидромеханика и теория устойчивости. 1982. - вып. 29. - С. 146— 150.

158. Королева Е.М. Устойчивость цилиндрических оболочек овального поперечного сечения при моментном напряженном состоянии / Е.М. Королева // Прикладная математика и механика. 1973. - т. 37. - вып. 5. - С. 949951.

159. Муштари Х.М. Об одном возможном подходе к решению задач устойчивости тонких цилиндрических оболочек произвольного сечения / Х.М. Муштари // В сб.: Научные тр. Казанского авиационного института, 1935, №4.-С. 19-31.

160. Кабанов В.В. Исследование прочности конструктивно-анизотропной цилиндрической оболочки методом конечных элементов /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1987. С. 6-13.

161. Кабанов В.В. Оптимизация подкрепленных оболочек при неосесиммет-ричном нагружении /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, В.И. Бутырин // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1984. - № 9. - С. 21-24.

162. Железнов Л.П. Исследование концентрации напряжений в конической оболочке с круглым вырезом / Л.П. Железнов // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1987. - С. 23-34

163. Кабанов В.В. Конечный элемент и алгоритм для расчета на прочность оболочек вращения с вырезами / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, В.Г. Сувернев

164. В сб.: Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций. М.: МГУ, 1986.-С. 97-107.

165. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность подкрепленных оболочек за пределом упругости / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, А.Б. Кузнецов // Прикладная механика. 1985. - т. 21. — № 1.-С. 47-53.

166. Кабанов В.В. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном напряженном состоянии методом конечных элементов / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Прикладная механика. 1978. - т. 14. - № З.-С. 45-52.

167. Кабанов В.В. Нелинейное деформирование круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном сжатии /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1982. - С. 77-83.

168. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении методом конечных элементов / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Известия АН СССР, МТТ. -1981.-N3.-С. 49-54.

169. Кабанов В.В. Нелинейное деформирование круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном внешнем давлении /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1982. С. 83-85.

170. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек при неосесимметричном давлении методом конечных элементов /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Прикладная механика. 1981. - т. 17. - № 5. - С. 71-76.

171. Кабанов В.В. Нелинейное деформирование и устойчивость подкрепленной шпангоутами консольной круговой цилиндрической оболочки при поперечном изгибе / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Прикладная механика. -1988. т. 24. - № 12. - С. 50-55.

172. Кабанов В.В. Устойчивость цилиндрических оболочек переменной толщины при внешнем давлении /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Прикладная механика. 1984. - т. 20. - № 7. - С. 53-59.

173. Кабанов В.В. Нелинейное деформирование и устойчивость круговой цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае. -Красноярск:, 1989. С. 89-98.

174. Кабанов В.В. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при изгибе силой через накладку /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Прикладная механика. 1989. - № 25. - С. 8-15.

175. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости сферической оболочки при локальном нагружении /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Моделирование в механике. — Новосибирск: РАН, ИТПМ, 1992, т. 6, № 3. С. 37-52.

176. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и панелей ненулевой гауссовой кривизны /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, C.B. Астрахарчик // Известия РАН, МТТ. 1994. - № 2. - С. 102- 108.

177. Железнов Л.П. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при чистом изгибе / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // Известия РАН, МТТ. 2004. -№3. - С. 144-151.

178. Бойко Д.В. Нелинейное деформирование и устойчивость эллиптическихцилиндрических оболочек при поперечном изгибе / Д.В. Бойко, Л.П. Же-лезнов, В.В. Кабанов // ПММ. 2003. - т. 67. - вып. 6. - С. 933-939.

179. Бойко Д.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при кручении / Д.В. Бойко, Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // Известия РАН, МТТ. - 2004. - №4. - С. 168-176.

180. Железнов Л.П. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при осевом сжатии и внутреннем давлении / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // СО РАН, ПМТФ. 2002. -т. 43. -№ 4. - С. 155-160.

181. Железнов« Л.П. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических эллиптических оболочек при действии крутящего и изгибающего моментов / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов, Д.В. Бойко // СО РАН, ПМТФ. 2003. - т. 44. - № 6. - С. 70-75.

182. Бойко Д.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости овальных цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении изгибающим и крутящим моментами / Д.В. Бойко, Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // Авиационная техника. — 2007. № 3. - С. 3-8.

183. Железнов Л.П. Нелинейное деформирование и устойчивость овальных цилиндрических оболочек при чистом изгибе с внутренним давлением / Л.П.

184. Железнов, В.В. Кабанов, Д.В. Бойко // СО РАН, ПМТФ. 2006. - т. 47. -№ 3. - С. 119-125.

185. Кабанов В.В. Алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости круговых цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами формы / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // СО РАН, ПМТФ. -1989.-№4.-С. 143-148.

186. Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости овальных цилиндрических оболочек гермокабин самолетов / В.В. Кабанов,

187. Л.П. Железнов, Д.В. Бойко // В сб.: Сборник научных трудов за 2003 год. — Новосибирск: СибНИА, 2005. С. 18-21.

188. Железнов Л.П. Расчетно-экспериментальный метод исследования прочности и устойчивости цилиндрических оболочек / Железнов Л.П., С.В. Аст-рахарчик, В.Т. Фадеев // В сб.: Гагаринские чтения. М:, 1989. - С. 35-40.

189. Кабанов В.В. К расчету цилиндрической оболочки методом конечных элементов / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Прикладная механика. — 1985. т. 21.-№9.-С. 35-40.

190. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородных напряженно-деформированных состояниях /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, В.М. Михайлов, Г.И. Курцевич // В сб.: Прочность и надежность элементов конструкций. — Киев:, 1982. — С. 67-75.

191. Кабанов В.В. Исследование прочности и устойчивости подкрепленной круговой цилиндрической оболочки при неоднородном нагружении /В.В.

192. Кабанов, Л.П. Железнов, В.Т. Фадеев // Известия ВУЗ Авиационная техника. 1990. -№ 2. -С. 17-21.

193. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность конических оболочек с вырезами /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Проблемы прочности. 1985. - № 8. - С. 41-45.

194. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность круговых цилиндрических оболочек с вырезами /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Ученые записки ЦАГИ. 1985. - т. XVI. - № 3. - С. 92-99.

195. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность подкрепленных пластин с вырезами произвольной формы /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Динамика и прочность авиационных конструкций, Новосибирск: НГТУ, 1989. - С. 30-37.

196. Кабанов В.В. Прочностные расчеты тонкостенных конструкций в нелинейной постановке /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // В сб.: Труды Российско-Китайской конференции. Новосибирск: СибНИА, 1995. - С. 88-96.

197. Кабанов В.В. Функции перемещений конечных элементов оболочек вращения как твердых тел /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Известия АН СССР, МТТ. 1990.-№ 1.-С. 131-136.

198. Кабанов В.В. Алгоритм исследования прочности и устойчивости стержневых конструкций в геометрически нелинейной постановке /В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, С.В.Астарахарчик // ПМТФ. 1996. - т 37. - № 4. - С. 167— 172.

199. Кабанов В.В. Конечный элемент и алгоритм исследования изгиба конических оболочек / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов, С.В.Астарахарчик // В сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае. — Красноярск:, 1985. -С. 68-75.

200. Железнов Л.П. Нелинейное деформирование и устойчивость овальных цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов, Д.В. Бойко // СО РАН, ПМТФ. 2008. - т. 49. - № 1. -С. 134-138.

201. Андреев Л.В. Большие прогибы цилиндрических оболочек при неосесим-метричной нагрузке / Л.В. Андреев, Н.И. Ободан // В. сб.: Труды IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин.-Л.: Судостроение, 1975.-С. 2-14.

202. Кабанов В.В. Исследование устойчивости цилиндрической оболочки при неоднородном по длине осевом сжатии /В.В. Кабанов, Г.И. Курцевич // Известия АН СССР МТТ. 1976. - № 2. - С. 189-193.

203. Матвеев А.Д. Энергетический метод определения матрицы жесткости двумерных и трехмерных высокоточных элементов / А.Д. Матвеев, Ю.В. Не-мировский // В сб.: Механика деформируемого твердого тела. — Томск: ТГУ, 1988.-С. 95-106.

204. Матвеев К.А. Исследование устойчивости цилиндрических панелей / К.А. Матвеев, H.H. Попов // В сб.: Динамика и прочность авиационных конструкций. -Новосибирск: НГТУ, 1990. С. 22-24.

205. Немировский Ю.В. Предельное равновесие подкрепленных цилиндрических оболочек / Ю.В. Немировский, Ю.Н. Роботнов // Известия АН СССРI

206. ОТН Механики и машин, 1963, № 3. С. 83-93.

207. Коробейников С.Н. Сравнение бифуркационных нагрузок по теории течения и по деформационной теории для упруго пластических материалов / С.Н. Коробейников // В сб.: Динамика сплошной среды. — Новосибирск: СО АН СССР, 1977, вып. 28. С. 64-71.

208. Бадрухин Ю.И. О критерии устойчивости равновесия консервативных систем / Ю.И. Бадрухин, В.В. Кузнецов // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1987. — С. 64—66.

209. Кантин Д. Смещение криволинейных конечных элементов как жесткого целого / Д. Кантин // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - т.8. - № 7. - С. 84-88.

210. Бадрухин Ю.И. Уравнения криволинейных стержней / Ю.И. Бадрухин,

211. B.В. Кабанов // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1982. С. 115-123.

212. Пайон Т.К. Вариационная формулировка проблем конечных приближений/ Т.К. Пайон, П. Тонг // В сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л.: Судостроение, 1974, т 1. - С. 39-52.

213. Гузь А.Н. Цилиндрические оболочки, ослабленные отверстиями / А.Н. Гузь. Киев: Наукова думка, 1977, - 151 с.

214. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий / Г.Н. Савин. МЛ.: Гостехиздат, 1951.-320 с.

215. Кеб C.B. Расчет тонких оболочек на основе метода конечных элементов /

216. C.B. Кеб, З.Е. Бейсинджер // В сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л.: Судостроение, 1974, т. 1. - С. 151-178.i

217. Гузь А.Н. Сферические днища, ослабленные отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, К.И. Шнеренко. Киев: Наукова думка, 1970. - 323 с.

218. Яо Выпучивание эллиптических цилиндров под нормальным давлением / Яо, Дженкинс // Ракетная техника и космонавтика. 1970, т. 1. - С. 25-31.

219. Андреев JI.B. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации / JI.B. Андреев и др. М.: Наука, 1988. - 208 с.

220. Балабух Л.И. Прочность и устойчивость шпангоутов, связанных тонкой обшивкой / Л.И. Балабух //Труды ЦАГИ, вып.681, 1949. 40 с.

221. Гузь А.Н., Луговой П.З., Шульга H.A. Конические оболочки, ослабленные вырезами / А.Н. Гузь, П.З. Луговой, H.A. Шульга Киев: Наукова думка, 1976.- 162 с.

222. Нагаев В.А. Об устойчивости цилиндрических оболочек за пределом упругости / В.А. Нагаев // В сб.: Вопросы прочности и устойчивости элементов тонкостенных конструкций. -М.: Оборонгиз, 1963. — С. 59-76.

223. Шарипов И.Л. Расчет цилиндрических котлов цистерн на устойчивость от внешнего давления / И.Л. Шарипов, М.Л. Каменомост // Вести ВНИИ железно дорожного транспорта. — 1971. №3. - С. 28-32

224. Андреев Л.В. Устойчивость оболочек переменной толщины при произвольной внешней нагрузке / Л.В. Андреев, Н.И. Ободан // Прикладная механика. 1974.-т. 10. — № 1. — С. 11-16.

225. Ross В. Buckling of thin cylindrical shells heated along an axial strip / B. Ross, J. Mayers, A. Jaworski // Exptl Mech. 1965. - Vol. 5. - N 8. - Pp. 247-256.

226. Канн С.Н. Устойчивость некруговых оболочек / С.Н. Канн, Ю.И. Каплан //В сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, Киев: Будивель-ник, 1973, вып. 21. С. 51-70.

227. Рикс Е. Применение метода Ньютона в задаче упругой устойчивости / Е. Рикс // Тр.: Американского общества инженеров механиков. Серия Механика твердого тела, 1976, № 6. С. 204-209.

228. Терстон Г.А. Применение метода Ньютона в решении задач нелинейной механики / Г.А. Терстон // Тр.: Американского общества инженеров механиков. Серия Прикладная механика. 1965, № 2. - С. 146-152.

229. Терстон Г.А. Продолжение метода Ньютона через точки бифуркации / Г.А. Терстон // Прикладная механика. 1969. - № 3. — С. 44-52.

230. Кабанов В.В. О форме записи вариаций напряжений цилиндрических оболочек и пластин / В.В. Кабанов // В сб.: Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1987. С. 117-120.

231. Феодосьев В.И. Осесимметричная эластика сферической оболочки / В.И. Феодосьев // Прикладная математика и механика. — 1969. № 2. - С. 280286.

232. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. М.: Наука, 1996. - 644 с.

233. Дубиня В.А. Конечные элементы для моделирования подкрепленных панелей авиационных конструкций / В.А. Дубиня, Г.Н. Замула, K.M. Иерусалимский // Труды ЦАГИ., 1991, вып. 2476. С. 109-117.

234. Замула Г.Н. Методика редуцирования потерявшей устойчивость обшивки при комбинированном нагружении / Г.Н. Замула, K.M. Иерусалимский // Ученые записки ЦАГИ. 1989. - т. XX. - № 6. - С. 71-82.

235. Замула Г.Н. Устойчивость подкрепленных анизотропных цилиндрических конструкций / Г.Н. Замула, K.M. Иерусалимский // Ученые записки ЦАГИ. -1997.-т. XXVIII.-№ 1.-С. 157-169.

236. Кабанов В.В. Уравнения устойчивости тонких упругих оболочек при неоднородных напряженных состояниях / В.В. Кабанов. Государственный комитет СМ СССР по авиационной технике, 1964. — 26 с.

237. Коноплев Ю.Г. Устойчивость цилиндрической оболочки эллиптического сечения с большим эксцентриситетом / Ю.Г. Коноплев, А.В. Кооп // В сб.: Устойчивость пространственных конструкций. Киев: КИСИ, 1978. - С. 101-105

238. Корнев В.М. Об аппроксимации в задачах устойчивости и колебаний упругих оболочек при сгущении собственных значений / В.М. Корнев // Известия АН СССР, МТТ. 1972. - № 2. - С. 119-129.

239. Корнеев B.C. Метод конечных элементов (МКЭ) в задачах устойчивости оболочек вращения / B.C. Корнеев, В.А. Постнов // В сб.: Тр. Ленинградского кораблестроительного института, 1973, вып.85. С. 49—53.

240. Крамаренко Н.В. Алгоритм наложения связей общего вида в методе конечных элементов / Н.В. Крамаренко, Н.В. Пустовой // В сб.: Динамика и прочность авиационных конструкций. Новосибирск: НГТУ, 1974, № 2. — С. 43-52.

241. Шунаев В.П. Применение конечных элементов естественной кривизны к расчету оболочек типа фюзеляжа самолета / В.П. Шунаев // Труды ЦАГИ, вып. 1613, 1974.-С. 18-25.

242. Almroth B.O. Collapce analysis for elliptic cones / B.O. Almroth, F.A. Brogan // AIAA Journal. 1971. - vol. 9. -N 1. - Pp. 32-37.

243. Glough R.W. A finite element approximation for the analysis of thin shells / R.W. Glough and CP. Janson // Int. Journal. Solids Struct. 1968. - №4. - Pp. 1261-1172.

244. Gallagher R.H. Finite element analysis of geometrically nonlinear problems / R.H. Gallagher // B c6.: Theory and Pract. Finite Elem. Struct. Anal. Tokyo, 1973.-Pp. 109-123.

245. Sabir A.B. An extension from the shallow to non-shallow stifnes matrix for a cylindrical shell finite element / A.B. Sabir // Int. Journal of Mechanical Sciences. 1970. - vol. 13. - № 3. - Pp. 287-292.

246. Vafakos W.P. Energy solution for simply supported oval shells / W.P. Vafa-kos, N. Nissel, J. Kempner // AIAA Journal. - 1964. - vol. 2. - N 3. - Pp. 555557.

247. Vafakos W.P. Clamped short oval cylindrical shells under hydrostatic pressure / W.P. Vafakos, F. Romano, J. Kempner // JAS. 1962. - vol. 29. - N 11. - Pp. 1347-1357.