автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Устойчивость пологих оболочек вращения при несимметричном нагружении

□□3485857

На правах рукописи

ПАЙЗУЛАЕВ МАГОМЕД МУРТАЗАЛИЕВИЧ

УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ

Специальность 05.23.17 - строительная механика

- 3 ДЕК 2009

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Махачкала - 2009

003485857

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессиональною образования «Дагестанский государственный технический университет»

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Муртазалиев Гелани Муртазалиевич Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Соболь Борис Владимирович кандидат технических наук, доцент Алиев Мурад Набиевич

Ведущая организация: Государственный проектный институт «Дагестангражданпроект»

Защита диссертации состоится 2009 г. в 1400 часов

на заседании диссертационного совета Д 212.052.03 в ГОУ ВПО «Дагестанский государственный технический университет» по адресу: 367015, г. Махачкала, пр. Имама Шамиля, 70, ауд. 202.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Дагестанский государственный технический университет»

Автореферат разослан « // 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н.

Зайнулабидова Х.Р.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Наиболее эффективными инженерными сооружениями, применяемыми во многих областях техники и строительства, являются тонкостенные пространственные конструкции, в том числе и с использованием оболочек.

Сравнивая различные формы оболочек, используемых в этих системах можно отметить определенную тенденцию к проектированию все более пологих оболочек, связанную с желанием уменьшить конструктивный объем зданий. В получаемых при этом гибких пологих оболочках возникает опасность потери устойчивости как всей оболочки в целом, так и отдельных ее частей. Поэтому отмеченные выше преимущества могут быть в полной мере реализованы при наличии достаточно точных методов расчета этих конструкций, позволяющих получить наиболее полную и достоверную информацию об особенностях их поведения в различных расчетных ситуациях.

Многочисленные исследования оболочек вращения посвящены действию симметричной нагрузки и изучению устойчивости симметричных форм. Поведение оболочек при действии несимметричных сосредоточенных нагрузок менее изучено и представляет интерес как с теоретической, так и с практической точек зрения. Поэтому исследование нелинейного деформирования гибких пологих оболочек вращения связанные с разрывными явлениями при действии несимметричной сосредоточенной нагрузки является актуальной проблемой.

Целью работы являются:

- разработка практических методов решения нелинейных краевых задач расчета пологих оболочек, связанных с разрывными явлениями и ее практическая реализация;

- изучение и анализ поведения пологих оболочек под действием симметричных и несимметричных сосредоточенных нагрузок;

- разработка рекомендаций по расчету, возведению и эксплуатации пологих пространственных систем.

В соответствии с целью в работе поставлены и решены следующие задачи:

- решены нелинейные краевые задачи, связанные с разрывными явлениями, проявляющихся в симметричном и несимметричном потере устойчивости рассматриваемых систем;

- для конкретной реализации рассматриваются гибкие пологие оболочки вращения;

- разработан алгоритм анализа характерных особенностей нелинейного деформирования оболочечных систем в докритическом, критическом и послекритическом состояниях;

- составлены алгоритмы, блок-схема и программы расчета гибких пологих оболочек.

Теоретические и методическая основа исследования. Исследование базируется на геометрической нелинейной общей теории тонких оболочек, склонных к потере устойчивости. Изучено поведение тонких пологих оболочек под действием несимметричных сосредоточенных нагрузок.

Научную новизну работы составляют:

- методика решения нелинейных краевых задач, связанных с разрывными явлениями, и ее практическая реализация на примере решения ряда конкретных задач;

- разработанные алгоритмы и программы решения нелинейных краевых задач расчега оболочек под действием симметричной и несимметричной сосредоточенных нагрузок;

- данные о характерных особенностях поведения под сосредоточенной нагрузкой пологих гибких оболочек и их анализ.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

- методика решения нелинейных краевых задач расчета тонкостенных конструкций, которая может быть использована в проектной практике при решении задач прочности, устойчивости и послекритического деформирования различных конструкций;

- результаты решения нелинейных краевых задач расчета оболочек под действием несимметричной нагрузки, которые могут служить основой для выбора оптимальных параметров этих конструкций;

- данные о соотношениях между критическими и предельными значениями параметров нагрузок, выявляющие реальные физические возможности и скрытые резервы несущей способности рассчитываемых конструкции, позволяющие однозначно определить группу предельного состояния, к которой следует отнести рассматриваемое равновесное состояние;

- практические рекомендации по расчету, конструированию, возведению и эксплуатации пространственных конструкций.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные алгоритмы, составленные программы и полученные результаты могут быть использованы в инженерных расчетах с применением ЭВМ.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на ХХШ-ХХ1Х итоговых научно-технических конференциях Дагестанского государственного технического университета, 5-й 4

международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки. Архитектура и строительство» (Самара, 2004 г.), международном форуме молодых ученых (Анталия, 2004 г.), международных конференциях «Мухтаровские чтения» (Махачкала, 2007 и 2008 гг.).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 162 наименования. Работа изложена на 152 страницах машинописного текста, содержит 48 рисунков и 2 таблицы.

2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность, задачи и цели диссертационной работы, ее новизна, теоретическое и практическое значение, изложено ее краткое содержание.

В первой главе анализируется состояние теории и методов решения нелинейных краевых задач расчета пологих оболочек вращения, связанных с разрывными явлениями. Отмечено, что для получения необходимой информации нужно решить ряд последовательных и взаимосвязанных задач, каждая из которых дополняет, уточняет и проясняет суть изучаемой проблемы. Отмечены характерные особенности задач, трудности, основные пути их преодоления и принятая в работе классификация возможных постановок бифуркационных задач устойчивости упругих систем.

Нелинейная теория тонких упругих оболочек является сложной и обширной областью механики деформируемых твердых тел, являющаяся предметом многочисленных исследований. Общим проблемам нелинейной теории механики твердого деформируемого тела, в том числе нелинейным задачам теории тонких оболочек и методам их решения, посвящены работы Н.П. Абовского, E.JT. Аксельрада, A.B. Александрова, H.A. Алумяэ, H.A. Алфутова, С.А. Амбарцумяна, И. Арбоча, Л.И. Бала-буха, В.Л. Бидермана, В.В. Болотина, Б.М. Броуде, Д. Бушнелла, Н.В. Ва-лишвили, Г.В. Василькова, В.З. Власова, A.C. Вольмира, И.И. Воровича, К.З. Галимова, М.С. Танеевой, Э. Гашпара, Г.А. Гениева и Н.С. Чаусова, И.И. Гольденблата, Э.И. Григолюка и В.И. Мамая, Я.М. Григоренко и В.И. Гуляева, В.М. Даревского, Л.Г. Донелла, Л.В. Енджиевского, О.В. Игнатьева Л.М. Зубова, С.Н. Кана, Б.Я. Кантора, В.В. Карпов, Г. Каудере-ра, Я.Ф. Каюка, В.Д. Ктошникова, В.Т. Койтера, М.С. Корнишина, И.В. Кривошеина, В.А. Крысько, A.A. Курдюмова, П.А. Лукаша, А.И. Лурье, И.Е. Милейковского, В.Д. Райзера, Х.М. Муштари, Г.М. Муртазалиева,

В.И. Мяченкова, B.B. Новожилова, И.Ф. Образцова, П.М. Огибалова и М.А. Колтунова, О.Д. Ониашвили, П.Ф. Папковича, Я.Г. Пановко, В.В. Петрова, A.B. Погорелова, Ю.Н. Работнова, Э.Э. Рейсснера, А.Р. Ржани-цына, Э. Секлера, JI.C. Срубщика, С.П. Тимошенко, В.И. Феодосьева, А.П. Филина, В. Флюгге, А.Н. Фролова, Д.И. Шилькрута, Л.И. Шкутина и многих других.

Причиной огромного внимания и стимулом к изучению как общих, так и частных проблем нелинейной теории тонких оболочек является все еще сохраняющееся расхождение между вычисленными значениями параметров, характеризующих их поведение под нагрузкой, и экспериментальными данными для реальных оболочек. Хотя вычисленные в последние годы значения параметров критических нагрузок и оказались меньшими, чем классические значения, они все же превышают известные экспериментальные данные.

Из обзора и анализа работ, относящихся к нелинейным проблемам теории оболочек, следует, что наименее исследованными являются вопросы деформирования оболочек при несимметричных сосредоточенных нагрузках с учетом нелинейных эффектов основного (исходного) процесса и приложение их результатов к решению инженерных задач, изучение которых является одной из основных задач проведенных автором исследований.

Расчеты оболочечных конструкций в нелинейных постановках, связанные с необходимостью анализа разрывных явлений, сводятся к решению ряда задач, строгие математические критерии которых установлены в теории ветвления решений нелинейных уравнений.

Эти задачи заключаются в следующем: определение возможных равновесных форм оболочек, решением исходной нелинейной краевой задачи с параметрами, описывающими исследуемый основной процесс; установление области и границ существования каждой найденной равновесной формы и в выяснении возможных способов перехода оболочки из одной равновесной формы в другую; отыскание значений параметра нагрузки, при которых происходит бифуркация (ветвление) равновесных форм основного процесса; определение числа ответвляющихся решений и их кратности; установление конфигураций побочных (вторичных) равновесных форм; определение характера начального этапа послекритического поведения оболочки.

В соогвегствии с этим исследование поведения при несимметричных сосредоточенных нагрузках гибких оболочек разбито на три этапа, в которых решаются последовательные и взаимосвязанные задачи, позволяющие

выявить все характерные особенности упруго-нелинейного деформирования склонных к потере устойчивости тонкостенных систем, хотя такое разделение проблемы на изучение процесса докритического (исходного) деформирования, вопросов ветвления равновесных форм и послекритиче-ского анализа является условным, принятым с целью придания предмету исследования обозримые границы.

С математической точки зрения, указанные задачи сводятся к решению нелинейных краевых задач для систем высокого порядка дифференциальных уравнений в частных производных с различными параметрами, для решения которых отсутствуют точные аналитические методы, дающие в замкнутом виде полное множество решений. Имеющиеся результаты получены на основе различных численных методов на ЭВМ.

Решаемая во многих работах задача определения значений параметров критических нагрузок бифуркаций, при которых наряду с идеализированной симметричной (исходной) существуют и несимметричные (побочные) формы равновесий рассматриваемых классов оболочек проще задачи исследования поведения оболочек в послекритической (послебифуркаци-онной) области. Полученные результаты, хотя и приблизили, но не устранили разницу, существовавшую между вычисленными и экспериментальными значениями критических нагрузок, не объясняли причину большого разброса экспериментальных данных, поскольку не «проливали свет» на характер послекритического деформирования оболочек и на их чувствительность к несовершенствам различных классов.

Как известно, в теории устойчивости сооружений различают два рода эффектов объединенных одним термином «неустойчивость»: потерю устойчивости «первого» и «второго» рода, которые, по терминологии введенной еще А. Пуанкаре, характеризуются точкой бифуркации и предельной точкой соответственно. Такая классификация, существующая в строительной механике, как справедливо отмечается в ряде работ, далеко не универсальна, не достаточно полна и требует более подробных дополнительных исследований.

В частности, бифуркация равновесных форм сама по себе, сигнализируя об опасности, не позволяет оценить истинную степень этой опасности. Встречающиеся при этом критические точки при более подробном рассмотрении подразделяются на целую серию типов, выяснение «природы» которых позволяет оценить: соотношение между значениями параметров бифуркационных и предельных нагрузок, определяющее физические возможности объекта при критическом значении параметра нагрузки, формирующее инженерное представление о степени опасности достиже-

ния данного критического состояния; характер начального этапа, следовательно, и глобальные качественные изменения в послекритическом поведении конструкций; чувствительность конструкции к несовершенствам.

Если в расчетах учтены некоторые классы возмущений (несовершенств), то вопрос о бифуркационной неустойчивости исходной равновесной формы по отношению к смежным равновесным формам, соответствующим принятому классу возмущений снимается, хотя он остается в силе по отношению к другим, неучтенным, классам возмущений. С этой точки зрения понятия устойчивости или неустойчивости, характеризующие реакцию идеализированной системы на действие возмущений, важны в инженерных расчетах, хотя бы как инструмент, позволяющий оценить значения параметров, неизбежных в реальных условиях несовершенств, как величину адекватную балансу всех несовершенств системы и тем самым определить их безопасные пределы. Поскольку учет всех классов возмущений невозможен в силу их бесчисленности можно отметить, что расчеты на устойчивость являются своего рода «платой» за неизбежные упрощения и идеализации, принимаемые при выборе расчетных ситуаций.

Ясно, что в зависимости от возможных последствий, гарантия против наступления того или иного опасного (критического) состояния должна быть различной, которая, в настоящее время, обеспечивается определением группы предельного состояния, к которой следует отнести достигнутое конструкцией критическое состояние.

Для решения поставленных задач в работе использована методика совместного применения метода конечных разностей для решения краевой части задачи и разновидности метода Ньютона-Рафсона, которые в зависимости от принятого варианта, механически могут соответствовать одному из вариантов метода продолжения решения по параметру, и представляют разновидности шагового метода решения задачи, широко известные в механике как метод последовательных нагружений или метод последовательных деформаций системы.

Вторая глава, посвящена решению нелинейных краевых задач определения процесса симметричного докритического деформирования круглых в плане пологих оболочек вращения (рис.1.). Задача решена на основе комбинации численных методов, на ЭВМ.

В качестве исходной принята безразмерная система из двух нелинейных дифференциальных уравнений смешанного типа, относительно функций прогибов и функции усилий Р:

Рисунок 1 - Геометрия пологой оболочки вращения

(1)

(1/Ек)-= -(1/2)-¿(¡V,Я'), где Ук2(), Ц ) - дифференциальные операторы, которые при решении задачи в полярных координатах, имеют вид:

г дг г2 д<рг

,,„, _ч дЧг (дР 1 д2г) а2г (д\у 1 д2}г

Зг 1г9г г снр ) дг I гдг г дер

(2)

+ 2-

5г

5Ж | д_ гд(р) дг

д£_ {гд<р

В случае симметричного деформирования эти уравнения значительно упрощаются:

г

(3)

где функция, зависящая от характера и ввда попе-

речной нагрузки, действующей на оболочку:

- в случае равномерно распределенной по всей поверхности оболочки постоянной нагрузки интенсивности р, %(г)=2рг2;

- в случае загружения оболочки сосредоточенной силой Р в вершине купола:

РЯ 12(1 -у2) ЕЙ3 2 я •

Уп-Р-' ч

Т 0 Г77,3

Системой уравнений (3) описывается упруго-нелинейное осесиммет-ричное деформирование пологих оболочек вращения и вместе с соответствующими граничными условиями составляют полную систему уравнений для решения конкретных задач.

Для исследования осесимметричного нелинейного деформирования пологих оболочек вращения использована комбинация метода конечных разностей (МКР) для решения краевой части задачи и метода Ньютона -Рафсона или метода дифференцирования по параметру для решения системы нелинейных алгебраических уравнений. Рассмотрены варианты метода продолжения по параметру, когда за параметр приняты нагрузка или прогиб в характерной точке.

Наиболее универсальным методом численного решения нелинейных краевых задач с параметрами, связанных с разрывными явлениями, ориентированным на широкое применение ЭВМ является метод сведения краевой задачи к задаче Коши путем введения или выбора варьируемого пара-мегра и продолжения решения по этому параметру, реализующий шаговую процедуру.

Для решения краевой части задачи используется метод конечных разностей, являющийся универсальным методом приближенного решения дифференциальных уравнений, позволяющим получить решение задачи при любых краевых условиях и при любом законе изменения параметров формы оболочки, ее жесткости и нагрузки.

Алгебраизация задачи может быть осуществлена различными методами и, в конечном счете, решение задачи сводится к решению систем нелинейных алгебраических уравнений. Различие в методах решения этих уравнений является существенным для рассматриваемых задач. Основным критерием эффективности метода является получение непрерывной кривой равновесных состояний, т.к. во многих случаях отыскание на этих кривых особых точек прямым решением задачи оказывается невозможным, ввиду устремления к нулю функционального определителя исходной системы уравнений (3) в окрестностях этих точек, вследствие чего они остаются неопределенными, другими словами в окрестностях этих точек задача оказывается поставленной некорректно, т.к. малым изменениям параметра возмущения соответствуют большие изменения в решении задачи. При численном решении задачи наступает явно выраженная расходимость счета.

Приводятся полученные результаты, представленные в виде графиков, дан анализ, сравнение и сопоставление с известными в литературе данными.

Третья глава посвящена определению параметров бифуркационных нагрузок и анализу поведения оболочек после ветвления равновесных форм.

В оболочках, являющихся оболочками положительной кривизны, с увеличением значения параметра приложенной по направлению к центру кривизны внешней осесимметричной нагрузки, в некоторых зонах возникают значительные окружные сжимающие усилия приводящие, при определенных значениях параметров кривизны оболочки, переходу исходной осесимметрцчной формы деформирования оболочки в неосесимметрич-ную (побочную) форму.

Такие формы появляются до достижения нагрузкой предельного уровня, соответствующего первому локальному максимуму на кривой равновесных состояний симметричного деформирования. Соответствующую этому явлению бифуркационную критическую нагрузку определяют, как наименьшее значение параметра внешней нагрузки, при котором наряду с исходной симметричной формой равновесия становятся возможными (в случае простого собственного значения - одна, а в случае кратных собственных значений - несколько) смежные несимметричные (побочные) формы равновесия, близкие (в момент бифуркации) к исходной, но отличные от нее. Если в процессе решения задачи точка бифуркации обнаружится раньше предельной то отыскание последней, также как и последующих бифуркационных точек, лишено практического смысла.

Рассмотрим основные уравнения, используемые для исследования устойчивости исходной равновесной формы пологих оболочек вращения на основе указанного алгоритма.

Ф К"

0' -)--: Ж,"— — 0 +

Г г

= У2^ -

(Ъ ■ г«

Г Г2

Ф;

л ' ' /

0' + —-©.

Уравнения (4) являются однородными дифференциальными уравнениями в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами. Эти уравнения, кроме тривиального решения ^1=р1=0), для некоторых значений параметра внешней нагрузки, входящего в значения С> и Ф, имеют нетривиальные решения, удовлетворяющие на контуре оболочки соответствующим граничным условиям.

Представим функции XV1 и в форме следующих рядов:

п-2

СО

где п - число окружных волн (случай п=1 является особым случаем). В результате подстановки выражений (5) в (4) и в соответствующие граничные условия получим бесконечную систему однородных обыкновенных дифференциальных уравнений для функций Фурье '^„(г) и Р!п(г):

Различные гармоники (при принятых допущениях) для каждого из уравнений оказываются не связанными, поэтому в дальнейшем достаточно рассмотреть только общую п-ную гармонику.

Такой путь получения уравнений критического состояния равновесия для оболочек вращения является широко используемым и соответствует допущению о том, что в момент бифуркации основную роль в описании поведения оболочек играют компоненты напряженно-деформированного состояния одновременно относящегося к исходной (характеризуемого и Р0) и одной появившейся побочной (характеризуемого Ч1^ и Я 0 равновесным формам.

Однако такой подход не дает никаких указаний относительно характера хотя бы начального этапа послекритического (послебифуркационно-го) поведения и чувствительности поведения оболочки ко всякого рода несовершенствам, всегда существующим в природе. В частности, остается открытым вопрос: может ли оболочка после ветвления равновесных форм воспринимать дополнительную (к имеющемуся бифуркационному значению) нагрузку или такая возможность исключается.

Другими словами, нужно выяснить вопрос: является ли найденная критическая точка бифуркации (ветвления) исходных равновесных форм точкой потери (исчерпания) несущей способности оболочки или же она является точкой потери устойчивости исходной равновесной формы оболочки не исчерпавшей еще своей несущей способности.

Несмотря на то, что каждой точке бифуркации соответствует некоторая задача о собственных значениях, характер поведения различных конструкций при нагрузках близких к критическим резко меняется. Из-12

/

ул"1л у Пги 1п :

г г

I л

(6)

вестно, что плоские пластинки выдерживают нагрузки, значительно превышающие критические, тогда как для оболочек эксперименты показывают, что выпучивание происходит в большинстве случаев при нагрузках лежащих значительно ниже критических нагрузок бифуркации, получаемых из решения задач о собственных значениях и связано оно с их весьма неустойчивым послекритическим поведением.

По сути дела, характер послекритического поведения оболочки зависит от того к какому участку послебифуркационной (вторичной, побочной) равновесной ветви относится сама точка бифуркации, определяющая момент потери устойчивости исходной равновесной формы: если точка бифуркации принадлежит неустойчивой вторичной ветви, то выпучивание приобретает характер прощелкивания, следовательно, точка бифуркации является предельной точкой, в которой происходит потеря несущей способности и внезапный скачкообразный переход оболочки в несмежные равновесные состояния; если же точка бифуркации относится к устойчивой (хотя бы на начальном участке) вторичной равновесной ветви, то оболочка после бифуркации постепенно и плавно переходит в побочную (в данном случае неосесиммегричную) равновесную форму, т.е. она способна нести дополнительную нагрузку.

Дальнейшее поведение оболочки будет зависеть от того к какому из ветвящихся в точке вторичных решений исходной системы нелинейных уравнений (1) относится сама точка.

Для ответа на этот вопрос, определяющего характер начального этапа послебифуркационного поведения, следует решить третий этап общей задачи анализа характерных особенностей нелинейного поведения гибких оболочек, заключающийся в определении характера поведения оболочки в малой окрестности точки ветвления (бифуркации) равновесных форм, решением общей задачи в более высоком приближении, чем это требуется в линейной задаче о собственных значениях.

Существует большое разнообразие методов и средств и разные исследователи пользуются разными подходами для решения задач послебифуркационного поведения оболочек.

Выше был отмечен метод неидеальностей, в основном, рассматриваемый в двух разновидностях:

- в виде «несовершенств нагрузки», действующей на оболочку;

- в виде «несовершенств геометрической формы» оболочки.

Для получения закритических равновесных состояний, оболочка подвергается действию нагрузки

<1{г,<р)=Яа + Я„-со$п<р. (7)

Непрерывным движением от точки я=0 полумается решение, задачи при. действии нагрузки (7), до тех пор, пока нагрузка не начинает уменьшаться (ветвь ОС'А'на рис. 2.).

Рисунок 2 - Кривые «нагрузка-обобщенное перемещение» для нагрузки ц^о+ЯоСО«(п<р)

Решение соответствующее точке А' берется в качестве начального и постепенно уменьшая добавочную нагрузку до нуля, попадаем в точку А.

Далее движением вдоль кривой АСВ, получаем точку С, соответствующую предельной нагрузке и точку разветвления решений В.

В соответствии с этой методикой исследовано поведение сферической оболочки с защемленным опорным контуром при параметрах Ь=6;7 при яп=(0,01^0,02)чо. Полученные результаты сопоставлены с экспериментальными данными, приведенными в работе.

Четвертая глава посвящена анализу деформирование пологих оболочек вращения при действии несимметричной сосредоточенной нагрузки.

При полярной системе координат исходные уравнения (1) с учетом разностных соотношений в виде обыкновенных центральных разностей примут вид:

Wj +АЩ.Н +WJ-2 +W-IH +

+ВЛ,, -Ян +2/КУ ~4F,I -Щ., ,

2м (

~%X?j2(f>2 +Fi-\j-iíP/M,j*¡ -К,H 1

^Лу + ^J-l + + Л^-,,/ + + Л^.у-2 + 4ЛЛ2 + Л^-и-1 +

+ = + ¿W.í+, + ¿W,; +

+ + + ri^kuH +

oh J ф

+ riri/'^i --W.,-. + -41VU + - + )

где

4 =

-I'Yjl

1

A2

i Yi___

Л2 + 2Л2У X л2 2Л20 + 1)Г ¿'J'Y '

Лг lïjj^iï- 2Аг (j -1) 1 "l 2

1

1 Г.Я-

л2 ¿WJU2 U2 2Я2Д Я1 v¿(j~\Y

A=\-ir

1 1

+-

I

-Y-i-

Л2 Я2/(Р2АЯ2 2Я2уj U2 а2 2Я20'-1):

2 2)2 .Г 1___LT—- 1

Л 1 Л2" Л2;У)л2уУ 4 Ц2 2 AVJU2 2Я2(/-1).

4s =

4 =

-Ш

i

Я2 2AVJU2 2Л2(/ + l)J'

1 1 Y—-—)+í-—L-Y—

4

я2 2я2Дяг0-1)У,1 U2 2я2;Ая2у->

{л2 2Л2]){л20 + ifÇ2) U2 2A2yJUW

A -_L_ в L Я - 1

Ta1) ' ~ A2 2A2y

w

2 '

A27y

Решение задачи сводится к следующим последовательным этапам:

1. Срединная поверхность оболочки покрывается разностной сеткой в полярных координатах, содержащей «п» лучей и «ш» окружностей (рис. 3.). Для примера рассмотрен случай при следующих зачениях т=10.

2. Для каждой точки записываются по два уравнения (8).

3. Граничные условия также представляются в виде конечноразно-стных уравнений.

4. Методом последовательных догружений, начиная с нуля, нагружаем оболочку. Нелинейные компоненты на первом этапе не учитываем. В последующем они учитываются как уже известные из предыдущего этапа значения.

5. При приближении значения нагрузки к критическому за ведущий параметр принимаем прогиб в точке, где приложена нагрузка.

Рисунок 3 - Разностная сетка на пологой оболочке в полярных координатах, содержащая 12 «лучей» и 5 «окружностей»

На основании указанного метода построим систему сеточных уравнений. Трудность при этом составляет решение больших систем алгебраических уравнений, т.к. число неизвестных в каждой точке равно двум и после перехода к конечноразностной задаче приходится решать систему

алгебраических уравнений, число которых равно удвоенному числу узловых точек плюс условия на контуре.

В рассматриваемых ниже задачах деформирования сферических оболочек используется примерно 200 узловых точек в пределах области занимаемой конструкцией, поэтому для каждого значения параметра нагрузки следует решить систему примерно четыреста линейных алгебраических уравнений на каждом этапе нагружения.

Существует обширная библиотека стандартных программ решения систем линейных уравнений. Но при решении систем выше 100 порядка, эта задача представляет собой определенные трудности.

Для решения используется программный комплекс МаШсас!.

Процесс счета представляет собой многоразовое решение линеаризованных уравнений с корректировкой коэффициентов на каждом шаге решения.

Расчет начинался, когда нагрузка равна нулю, после чего дается приращение нагрузки по 5% от значений критической нагрузки полученной из решения линейной задачи расчета той же оболочки.

Рассмотрены варианты задач, когда сосредоточенная нагрузка приложена в различных точках пологой оболочки вращения. Получены кривые «нагрузка - прогиб», являющиеся информативно емкими характеристиками при решении этих задач.

При действии сосредоточенной силы в вершине оболочки с увеличением параметра пологости критическая нагрузка увеличивается, при этом оболочки с параметрами пологосги Ь>10 деформируется без прошелкива-ния.

При действии несимметричной сосредоточенной нагрузки, оболочка «прощелкивается» при меньшем значении нагрузки, нежели при осесим-метричной, критическая нагрузка для неосесимметричной сосредоточенной нагрузки на 20 -30% меньше, чем при осесимметричной и зависит от места приложения нагрузки, а также от характера крепления опорного контура. С увеличением параметра пологости, жесткость оболочки увеличивается и критическая нагрузка возрастает.

Моменту потери устойчивости соответствует нагрузка, при котором происходит «хлопок» оболочки, т.е. скачкообразное изменение прогиба. Прощелкивание оболочек возможно при определенных значениях параметра пологости, а при меньших значениях оболочка деформируется без прощелкивания.

Для тонкостенных оболочек момент потери устойчивости не всегда приводит к полному «прохлопыванию» всей оболочки, т.е. к общей поте-

ре устойчивости. Иногда, вначале наблюдается местная потеря устойчивости - «прохлопывание» некоторой части оболочки.

Вначале наблюдается местная потеря устойчивости («хлопок» некоторой части оболочки где приложена несимметричная нагрузка), а потом и всей оболочки (явление «хлопка» не наблюдается).

В случае действия на оболочку несимметричной сосредоточенной нагрузки, приложенной на расстоянии г! от центра оболочки, для точки, где действует нагрузка, в соответствующих уравнениях в правой части будет присутствовать параметр нагрузки, в остальных уравнениях нагрузка равна нулю

Поверхность оболочки, находящейся под действием сосредоточенной нагрузки, приложенной на достаточно большом расстоянии от края, можно разделить на четыре зоны (зоны 1-1У на рис. 4.).

В зоне I, расположенной в окрестности точки приложения нагрузки, оболочка ведет себя подобно толстой пластине. Здесь изгибные напряжения достигают наибольших значений.

В зоне II, окружающей зону I, возникают как изгибные, так и мембранные напряжения.

В зоне III, охватывающей зоны I и И, преобладают мембранные напряжения.

Зона IV примыкает к краю оболочки и в этой зоне суммарные напряжения складываются из мембранных напряжений и напряжений от краевого эффекта.

Показаны изополя перемещений для защемленной и шарнирно опертой оболочки.

Проведенные исследования позволили получить ряд результатов, представляющий интерес при расчетах склонных к потере устойчивости тонкостенных систем и заключающийся в следующем:

1. Разработан алгоритм численного решения общей нелинейной краевой задачи анализа характерных особенностей нелинейного деформирования оболочечных систем в докритическом, критическом и послек-ритическом состояниях.

2. Получены зависимости между внешними (управляющими) и соответствующим им внутренними (поведенческими) параметрами оболочечных систем;

3. Рассмотрена проблема расчета пологих оболочек вращения при действии несимметричных сосредоточенных нагрузок

4. Для анализа всех характерных особенностей нелинейного поведения под нагрузкой тонкостенных оболочечных систем в докритическом, критическом и послекритическом состояниях решена общая нелинейная краевая задача позволяющая получить необходимую информацию, расширяющая и углубляющая понимание сути происходящих явлений.

5. Проведенный анализ начального этапа послекритического поведения пологих сферических оболочек, выявляет природу критических точек бифуркаций равновесных форм основного процесса, что характеризует начальный этап послебифуркационного поведения указанных типов оболочек и позволяет определить степень опасности достижения критического состояния и чувствительность оболочек к несовершенствам. В этой связи можно заключить, что опасна не столько потеря устойчивости какой-нибудь равновесной формы или состояния сама по себе, а опасна неустойчивость возникшей вторичной равновесной формы или состояния, к которой относится точка бифуркации.

6. Результаты анализа начального этапа послекритического поведения сферических оболочек показывают, что природа критических точек бифуркаций даже для одного и того же класса оболочек при одном и том

же характере нагрузки существенно зависит и от места его приложения. Учет в расчетах координат точки приложения нагрузки в качестве управляющего параметра существенно расширяет класс возможных постановок задач.

Основные положения и результаты диссертационного исследования опубликованы в следующих работах:

I. Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК:

1. Муртазалиев Г.М., Пайзулаев М.М. Деформирование пологих оболочек вращения при несимметричной нагрузке И Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2005.-№1. (0,25/0,12 пл.).

II. Статьи, опубликованные в других научных журналах и изданиях:

2. Муртазалиев Г.М., Пайзулаев М.М. Об одном алгоритме решения нелинейной краевой задачи // Сборник тезисов докладов XXIII итоговой научно - технической конференции преподавателей, сотрудников, аспирантов и студентов ДГТУ. - Махачкала: ДГТУ, 2001. (0,06/0,03 п.л.);

3. Пайзулаев М.М. К решению нелинейных краевых задач расчета оболочек // Сборник тезисов докладов XXIV итоговой научно - технической конференции преподавателей, сотрудников, аспирантов и студентов ДГТУ, 21-24 апр. 2003 г. - Махачкала: ДГТУ, 2003. (0,06 пл.);

4. Муртазалиев Г.М., Пайзулаев М.М. К расчету оболочек при действии несимметричной нагрузки // Сборник тезисов докладов XXV итоговой научно - технической конференции преподавателей, сотрудников, аспирантов и студентов ДГТУ, 21-24 апр. 2003 г. - Махачкала: ДГТУ, 2004. (0,06/0,03 пл.);

5. Муртазалиев Г.М., Пайзулаев М.М. Исследование закритическо-го деформирования пологих оболочек вращения // Актуальные вопросы строительства: научно-тематический сборник. - Махачкала: ДГТУ, 2004. (0,32/0,16 пл.);

6. Агаханов Э.К., Агаханов М.К., Пайзулаев М.М. Решение задач механики методом эквивалентности воздействий // Актуальные вопросы строительства: научно-тематический сборник. - Махачкала: ДГТУ, 2004. (0,26/0,08 пл.)

7. Пайзулаев М.М. Устойчивость пологих оболочек вращения при несимметричной нагрузке // Успехи современного естествознания. - 2004. - №7. (0,06 пл.);

8. Муртазалиев Г.М., Пайзулаев М.М. Определение критической нагрузки при действии несимметричной сосредоточенной силы на пологую оболочку вращения // Вестник Дагестанского государственного технического университета. - 2005. - №7. (0,25/0,12 п.л.);

9. Пайзулаев М.М., Абакаров М.С. Matead в расчете оболочек // Актуальные проблемы современной науки. Технические науки. Части 20-21. Архитектура и строительство: труды 5-й международной конференции молодых ученых и студентов, 7-9 сент. 2004 г. - Самара: Изд-во СамГТУ, 2004. (0,09/0,05 пл.);

10. Муртазалиев Г.М., Пайзулаев М.М. Вариационные принципы в нелинейных задачах механики // Научные исследования в области строительства: научно-тематический сборник. - Махачкала: ДГТУ, 2006. (0,43/0,22 п.л.);

11. Муртазалиев Г.М., Акаев А.И., Пайзулаев М.М. Нелинейные краевые задачи с разрывными явлениями в теории сооружений // Современные проблемы математики и смежные вопросы: материалы международной конференции «Мухтаровские чтения». - Махачкала: ДГТУ, 2007. (0,25/0,08 п.л.);

12. Муртазалиев Г.М., Акаев А.И., Пайзулаев М.М. Об одном едином алгоритме решения нелинейных краевых задач с разрывными явлениями // Вестник Дагестанского государственного технического университета. -2007. - №9. (0,25/0,08 п.л.);

13. Муртазалиев Г.М., Акаев А.И., Пайзулаев М.М. Метод дифференцирования по параметру в нелинейных задачах механики конструкций // Современные проблемы математики и смежные вопросы: материалы международной конференции «Мухтаровские чтения». - Махачкала: ДГТУ, 2008. (0,17/0,06 пл.).

Формат 60x84 1/16. Бумага офсет 1. Печать ризографная. Гарнитура Тайме. Усл.п.л. 1,3 изд.л. 1,3 Заказ № 515-09. Тираж 100 экз. Отпечатано в тип. ИП Тагиева Р.Х. г. Махачкала, ул. Гамидова, 2 "СРОРМАТ"

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ И МЕТОДОВ

РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ ОБОЛОЧЕК.

1Л. Основные этапы развития нелинейной теории тонких оболочек.

1.2. Методы решения нелинейных задач расчета оболочек.

2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ СИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ.

2.1. Основные соотношения нелинейной теории пологих оболочек вращения.

2.2. Граничные условия.

2.2.1. Жестко-защемленный опорный контур.

2.2.2. Шарнирно-неподвижный опорный контур.

2.2.3. Шарнирно-подвижный в меридиональном направлении опорный контур.

2.3. Решение нелинейных краевых задач теории оболочек.

2.4. Основные положения метода продолжения по параметру.

3. ПОСЛЕКРИТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

3.1. Определение параметров бифуркационных нагрузок для оболочек вращения.

3.2. Поведение оболочек после ветвления равновесных форм.

3.3. Анализ послебифуркационного поведения пологой сферической оболочки методом возмущений.

4. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ

НАГРУЗКИ.

4Л. Выражение для дифференциальных операторов в полярной системе координат.

4.2. Алгоритм расчета пологой оболочки вращения.

Наиболее эффективными инженерными сооружениями, применяемыми во многих областях техники, являются тонкостенные оболочечные конструкции.

Возможность перекрывать большие пролеты без промежуточных опор, прочность при относительной легкости, архитектурная выразительность обусловливают применение оболочек и в практике промышленного и гражданского строительства.

Сравнивая различные формы, используемых в этих системах оболочек, можно отметить определенную тенденцию к проектированию все более пологих оболочек, связанную с желанием уменьшить конструктивный объем зданий. В получаемых при этом гибких пологих оболочках возникает опасность потери устойчивости как всей оболочки в целом, так и отдельных ее частей. Поэтому отмеченные выше преимущества могут быть в полной мере реализованы при наличии достаточно точных методов расчета этих конструкций, позволяющих получить наиболее полную и достоверную информацию об особенностях их поведения в различных расчетных ситуациях.

Исследование напряженно-деформированного состояния гибких оболочек производится на основе нелинейной теории, поскольку линейная теория, основанная на различных упрощающих гипотезах, не выявляет характерных особенностей их поведения под нагрузкой и наблюдаемых в этих системах, практически интересных механических явлений. Для исчерпывающей оценки происходящих явлений следует учитывать различного вида нелинейности, призванные приблизить рассматриваемую расчетную ситуацию к реальным условиям работы конструкции. В настоящее время, при расчете конструкций учитываются - геометрическая, физическая, конструктивная, приобретенная нелинейности и их различные комбинации [47, 52, 67, 89].

В литературе накоплен огромный материал по общей нелинейной теории расчета различных тонкостенных оболочечных конструкций, сформировавшийся в общую и частные теории, обзор и анализ которого, сами по себе могут быть предметом отдельного библиографического исследования. Поэтому отметим лишь некоторые из них, выбор которых продиктован связью содержащихся в них фундаментальных исследований и полученных принципиально важных результатов с вопросами рассматриваемыми в данной работе, и в которых, кроме того, содержатся более подробные и полные библиографии по указанным проблемам.

Общим проблемам нелинейной теории механики твердого деформируемого тела, в том числе нелинейным задачам теории тонких оболочек и методам их решения посвящены работы Н.П. Абовского [1], А.С. Авдонина [2], Л.Я. Айнолы [3], Е.Л. Аксельрада [4], А.В. Александрова [5], Н.А. Алу-мяэ [7, 8], В.Л. Бидермана [13], В.В. Болотина [14,15], И.Г. Бубнова [18], Н.В. Валишвили [23, 24], И.Н. Векуа [26], В.З. Власова [27, 28], А.С. Вольмира [29,30], И.И. Воровича [31, 32], К.З. Галимова [33], М.С. Танеевой [34], И.И.

Гольденблата [35], Э.И. Григолюка [38, 39], ЯМ. Григоренко [40, 41], В.И. Гуляева [42], В.М. Даревского [43], Л.Г. Донелла [45], Л.В. Енджиевского [47], Л.М. Зубова [48], С.Н. Кана [51], Б .Я. Кантора [52], В.В. Карпова [54], Я.Ф. Каюка [55], М.С. Корнишина [59], В.А. Крысько [64], А.А. Курдюмова [65], П.А. Лукаша [68, 69], А.И. Лурье [70], Х.М. Муштари и К.З. Галимова [84], В.В. Новожилова [89, 90], И.Ф. Образцова [92], П.М. Огибалова и М.А. Колтунова [94], О.Д. Ониашвили [95, 96], П.Ф. Папковича [102], В.В. Петрова [103-107], Ю.Н. Работнова [109, 110], А.Р. Ржаницына [113], С.П.Тимошенко [124], В.И.Феодосьева [126, 127], А.П. Филина [128], В. Флюгге [130], Д.И. Шилькрута [139], Л.И. Шкутина [142] и многих других. Кроме того, нелинейные проблемы теории тонких оболочек обсуждаются в многочисленных статьях, публикуемых в периодически издаваемых журналах и в сборниках научных трудов, а также в докладах различных конференций, специально посвященных теории пластин и оболочек, некоторые из которых рассматриваются ниже.

Причиной огромного внимания и стимулом к изучению как общих, так и частных проблем нелинейной теории тонких оболочек является все еще сохраняющееся расхождение между вычисленными значениями параметров, характеризующих их поведение под нагрузкой и экспериментальными данными для реальных оболочек. В частности, хотя найденные в последние годы значения параметров критических нагрузок, определение которых является центральной проблемой нелинейной теории тонких оболочек, и оказались меньшими, чем классические значения, они все же превышают известные экспериментальные данные.

Одной из характерных особенностей поведения под нагрузкой гибких пологих оболочек является их склонность к большим перемещениям, сравнимых с толщиной оболочки и связанная с их учетом в расчетах многозначность решений соответствующих нелинейных уравнений при заданных условиях нагружения и закрепления, число которых возрастает с уменьшением толщины. На самом деле, в каждой конкретной ситуации, практически реализуется одна из них.

Сложности и трудности расчетов оболочечных конструкций в нелинейных постановках заключаются в том, что они связаны с необходимостью анализа разрывных явлений, происходящих при плавном и непрерывном изменении значений параметров самих оболочек и действующей нагрузки, входящих в исходные нелинейные уравнения описывающих поведение оболочек. Механически эти разрывные явления проявляются в виде скачкообразных и внезапных переходов рассматриваемой системы из одного возможного равновесного состояния в другие состояния.

Многочисленные исследования поведения оболочек вращения посвящены рассмотрению действия симметричной нагрузки и изучению устойчивости симметричных форм. Поведение оболочек при действии несимметричных нагрузок менее изучено и представляет интерес, как с теоретической, так и практической точек зрения.

Данная работа посвящена исследованию поведения гибких оболочек при действий несимметричной, в основном сосредоточенной нагрузки, названное в данной работе общей нелинейной краевой задачей. В решении данной задачи можно наметить три этапа, в которых решаются последовательные и взаимосвязанные задачи, вносящие поэтапную дополнительную ясность в изучаемые явления и, в конечном итоге, позволяющие выявить все характерные особенности упруго-нелинейного деформирования, склонных к потере устойчивости, тонкостенных систем.

Такое разделение проблемы на изучение форм докритического (исходного) деформирования, вопросов ветвления (бифуркации) равновесных форм и послекритического анализа является условным, принятым с целью придания предмету исследования обозримые границы, поскольку многообразие задач, упрощений и расчетных методов сделало этот раздел механики практически необозримым [135].

Указанные задачи сводятся к решению нелинейных краевых задач для систем высокого порядка дифференциальных уравнений в частных производных с различными параметрами. Для них существенен вопрос об изменении характера и количества решений по мере изменения значений одного или одновременно нескольких параметров, характеризующих рассматриваемый процесс. Поскольку точные аналитические методы, дающие в замкнутом виде полное множество решений нелинейных краевых задач с параметрами отсутствуют, все имеющиеся результаты получены на основе тех или иных численных методов с применением ЭВМ. С помощью численных методов и разработанных на их основе программ удается определить расчетным путем напряженно-деформированные состояния сложных конструкций с требуемой в инженерной практике точностью.

В данной работе предпринята попытка анализа характерных особенностей нелинейного поведения пологих гибких оболочек вращения под статической несимметричной сосредоточенной нагрузкой, заключающихся в переходе исходных равновесных состояний основного процесса в крайне нежелательные для строительных конструкций и трудно предсказуемые во многих случаях в другие состояния.

Целью работы является:

- разработка практических методов решения нелинейных краевых задач расчета пологих оболочек, связанных с разрывными явлениями и ее практическая реализация;

- изучение и анализ поведения пологих оболочек под действием симметричных и несимметричных сосредоточенных нагрузок;

- разработка рекомендаций но расчету, возведению и эксплуатации гибких пологих оболочек.

Научную новизиу работы составляют:

- методика решения нелинейных краевых задач, связанных с разрывными явлениями, и ее практическая реализация на примере решения ряда конкретных задач;

- разработанные алгоритмы и программы решения нелинейных краевых задач расчета оболочек под действием симметричной и несимметричной сосредоточенных нагрузок;

- анализ характерных особенностей поведения под сосредоточенной нагрузкой пологих гибких оболочек.

Практическое значение имеют:

- методика решения нелинейных краевых задач расчета тонкостенных конструкций, которая может быть использована в проектной практике при решении задач прочности, устойчивости и послекритического деформирования различных конструкций;

- результаты решения нелинейных краевых задач расчета оболочек под действием несимметричной нагрузки, служащие основой для выбора оптимальных параметров конструкций;

- данные о соотношениях между критическими и предельными значениями параметров нагрузок, выявляющие реальные физические возможности и скрытые резервы несущей способности рассчитываемых конструкции, позволяющие однозначно определить группу предельного состояния, к которой следует отнести рассматриваемое равновесное состояние;

- практические рекомендации по расчету, конструированию, возведению и эксплуатации пространственных конструкций.

Содержание диссертации.

Во введении обоснованы актуальность, задачи и цели данной работы, ее новизна, теоретическое и практическое значения и изложено ее краткое содержание.

В первой главе дается общая характеристика состояния теории и методов решения нелинейных краевых задач расчета оболочек. Рассматриваются нелинейные задачи с разрывными явлениями теории пологих оболочек. Указано, что для получения полной информации нужно решить ряд последовательных и взаимосвязанных задач, каждая из которых дополняет и проясняет суть изучаемой проблемы. Отмечены характерные особенности задач, трудности, основные пути их преодоления.

Вторая глава посвящена решению нелинейных краевых задач расчета пологих оболочек вращения, связанных с разрывными явлениями. Решение задачи осуществлено с помощью алгоритма сочетающий метод сеток для решения краевой части задачи и методов Ньютона-Рафсона и метода дифференцирования по параметру на основе программного комплекса MATHCAD.

Третья глава посвящена определению значений параметра нагрузки, при которых происходить бифуркация (ветвление) равновесных форм симметричного деформирования и определения характера начального этапа по-слекритического (послебифуркационного) деформирования класса пологих оболочек вращения, позволяющая выявить "природу" точки ветвления равновесных форм, от которой зависят:

- физические возможности оболочки при критическом значении параметра нагрузки, формирующее инженерное представление о степени опасности достижения данного критического состояния;

- глобальные качественные и количественные изменения в послекрити-ческом поведении оболочки;

- чувствительность оболочки к различного рода, неизбежным в реальных условиях, несовершенствам.

Четвертая глава посвящена исследованию устойчивости пологих оболочек вращения при действии симметричных и несимметричных сосредоточенных нагрузок.

В заключении приводятся основные результаты и выводы работы.

Реализация работы.

Результаты исследования включены в учебный процесс в ГОУ ВПО «Дагестанском государственном техническом университете» и использованы АО «Дагагропромпроект» при проектировании и возведении, а также при оценке прочности и устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций.

Апробация работы.

Основные положения диссертационной работы докладывались на: XXIII-XXVII итоговых научно-технических конференциях Дагестанского Государственного Технического Университета; 5-й международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки. Архитектура и строительство» (Самара, 2005 г.); Международном форуме молодых ученых (Анталия, 2005 г. ); международных конференциях «Мухтаровские чтения» (Махачкала, 2007 и 2008 гг.).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 13 статей.

Объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 162 наименования. Работа изложена на 152 страницах машинописного текста, содержит 48 рисунков и 2 таблицы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе, решены нелинейные задачи расчета склонных к потере устойчивости пологих гибких оболочек вращения, поведение которых под статической нагрузкой связано с разрывными явлениями, наблюдаемыми при определенных значениях внешних (управляющих) параметров, при действии симметричных и несимметричных сосредоточенных нагрузок.

Эти задачи хуже поддаются анализу и решению традиционными не только аналитическими, но и численными методами, что обусловило разработку и наличие большого количества специфических и частных методов их изучения в каждой конкретной узкой области исследований, в которой они наблюдаются.

Поскольку точных аналитических методов, позволяющих получить решения такого типа задач в замкнутом виде, пока еще нет, все имеющиеся на сегодня результаты получены на основе тех или иных численных методов с помощью вычислительных средств.

В работе указаны некоторые наиболее часто используемые существующие и предложена еще одна эффективная комбинация численных методов, позволяющая в единой и непрерывной вычислительной процедуре решить общую нелинейную краевую задачу анализа всех характерных особенностей нелинейного поведения под нагрузкой гибких пологих оболочек, состоящая из трех последовательных и взаимосвязанных этапов, вносящих поэтапную дополнительную ясность в изучаемые явления.

При всех преимуществах численных методов, ориентированных на широкое применение современной вычислительной техники, они все же не могут охватить работу конструкции "в целом" и в широком диапазоне изменения параметров рассчитываемых систем. Поэтому не исключается необходимость дальнейших поисков и разработки, хотя и приближенных, но аналитических методов решения нелинейных краевых задач с параметрами, связанных с разрывными явлениями.

Проведенные исследования позволили получить ряд результатов, представляющий интерес при расчетах склонных к потере устойчивости тонкостенных систем и заключающийся в следующем:

- разработан алгоритм численного решения общей нелинейной краевой задачи анализа характерных особенностей нелинейного деформирования оболочечных систем в докритическом, критическом и послекритическом состояниях;

-получены аналитические зависимости между внешними (управляющими) и соответствующим им внутренними (поведенческими) параметрами оболочечных систем, которые при других методах требуют довольно сложных и трудоемких вычислений;

- рассмотрена проблема расчета пологих оболочек вращения при действии несимметричных сосредоточенных нагрузок

На основании проведенных исследований и полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Для анализа всех характерных особенностей нелинейного поведения под нагрузкой тонкостенных оболочечных систем в докритическом, критическом и послекритическом состояниях следует решить общую нелинейную краевую задачу вносящих поэтапную дополнительную информацию расширяющую и углубляющую понимание сути происходящих явлений.

2. Проведенный анализ начального этапа поелекритичеекого поведения пологих сферических оболочек, выявляет природу критических точек бифуркаций равновесных форм основного процесса и полученные численные значения коэффициентов, характеризующих начальный этап послебифуркаци-онного поведения указанных типов оболочек определяют степень опасности достижения критического состояния бифуркации и чувствительность оболочек к несовершенствам. В этой связи можно заключить, что опасна не столько потеря устойчивости какой-нибудь равновесной формы или состояния сама по себе, а опасна неустойчивость возникшей вторичной равновесной формы или состояния, к которой относится точка бифуркации.

3. Результаты анализа начального этапа поелекритичеекого поведения каций даже для одного и того же класса оболочек при одном и том же характере нагрузки существенно зависит и от конкретного способа его приложения, введение которого в состав управляющего параметра позволяет уточнить возможные расчетные ситуации, которые должны быть рассмотрены.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Под ред. Н.П.Абовского.- М.: Наука, 1978.-288 с.

2. Авдонин А.С. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных конструкций. М. Машиностроение, 1969.-402 с.

3. Айнола Л.Я. Вариационные задачи в нелинейной теории упругих оболочек// Прикл. матем. и механика. 1957.-Т.21.-Вып.З.

4. Аксельрад Е.Л. Гибкие оболочки. М.: Наука, 1976. -362 с.

5. Александров А.В. Об исследовании геометрически нелинейных пологих оболочек методом последовательных догружений // Труды МИИТ.-1974. -Вып.456. -С.57-64.

6. Алексеев О.В., Чеснокова О.В. Mathcad 12. М.:НТ:Пресс,2005.345 с.

7. Алумяэ Н.А. Теория упругих оболочек и пластинок // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1972. -С. 227-266.

8. Алумяэ Н.А. Равновесие тонкостенных упругих оболочек в по-слекритической стадии. Тарту: Таллинский политехнический институт, 1948.-35 с.

9. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. -М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

10. Андреев Л.В.,Ободан Н.И., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука, 1988.-208 с.

11. Арбоч И. Влияние начальных прогибов на устойчивость оболочек // Тонкостенные оболочечные конструкции: Теория, эксперимент и проектирование. М.: Машиностроение, 1980. -С.222-259.

12. Арбоч И. Исследование устойчивости оболочек: теория и практика // Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика. -М.: Наука, 1991.-С.42-67.

13. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций: Статика. -М.: Машиностроение, 1977. 488 с.

14. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехтеориздат, 1956. - 600 с.

15. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Гостехтеориздат, 1961. - 339 с.

16. Бондарь Н.Г. Устойчивость и колебания упругих систем в современной технике (конструкции с прощелкиванием). Киев: Вища школа, 1987. - 200 с.

17. Броуде Б.М. Практические методы расчета тонких оболочек на

18. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля.- С.- Пб.: Издание Морского Министерства. 4.1, 1912. 330 е.; 4.2, 1914.-309 с.

19. Будянский Б., Хатчинсон Дж. Обзор некоторых задач выпучивания //Ракетная техника и космонавтика, 1966. N9. - С.3-9.

20. Бушнелл Д. Нелинейное осесимметричное выпучивание оболочек вращения // Ракетная техника и космонавтика, 1967. N3. - С.58-67.

21. Бушнелл Д. Симметричное и несимметричное выпучивание эксцентрично подкрепленных оболочек вращения при конечных прогибах // Ракетная техника и космонавтика, 1967.-NB.-C.95-104.

22. Бушнелл Д. Потеря устойчивости и выпучивание оболочек ловушка для проектировщиков // Ракетная техника и космонавтика. - 1981. - 19. -N10. -С.93-154.

23. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. -М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

24. Валишвили Н.В. О выборе параметра при численном решении краевых задач статики гибких оболочек // Прикл. механика, 1984. Т.20. -N11. СЛ15-118.

25. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций.-М.:Стройиздат,1974. -160 с.

26. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения теорий оболочек. -М.: Наука, 1982.-286 с.

27. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. -М. -JL: Гостехтеориздат, 1949.-784 с.

28. Власов В.З. Избранные труды. В 3 т. М.: Изд-во АН СССР, 1962-1964. -Т.1. -528 с. -Т.2. -507 с. -Т.З. -472 с.

29. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки.- М.: Гостехтеориздат, 1956.-419 с.

30. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем: 2-е изд. пе-рераб. и доп. -М.: Наука, 1967.- 984 с.

31. Ворович И.И., Минакова Н.И. Проблема устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек // Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел. -М.: ВИНИТИ, 1973. -Т.7. С.5-86.

32. Ворович И.И. Математические проблемы теории пологих оболочек. -М.: Наука, 1989.- 367 с.

33. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. -Казань: Изд-во Казан, ун-та,1975.- 326 с.

34. Танеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. -М.: Наука, 1992. 161 с.

35. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. -М.: Наука, 1969.-336 с.струкций и оснований. Основные положения по расчету. Введ. с 01.07.88. -М.: Изд-во стандартов, 1988. -9 с.

36. Григолюк Э.И. Устойчивость сферической оболочки при конечных прогибах и несимметричной деформации // Изв. АН СССР, Отд. техн. наук, Механика и машиностроение, 1960. -N6. -С.68-73.

37. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. -М.: Наука, 1978.-359 с.

38. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. -416 с.

39. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. -232 с.

40. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. -Киев: Вища школа, 1983. -286 с.

41. Григоренко Я.М., Гуляев В.И. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения (обзор) // Прикладная механика. -1991. -27, N10. -С.3-23.

42. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем. -Львов: Вища школа, 1982. -254 с.

43. Даревский В.М. Нелинейные уравнения теории оболочек и ихоболочек и пластинок (Баку, 1966).- М.: Наука, 1966. -С.355-368.

44. Динник А.Н. Устойчивость упругих систем. M.-JL: ОНТИ, 1935.

45. Донелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки / Пер.с англ. Л.Г.Корнейчука; Под ред. Э.И. Григолюка. М.: Наука, 1982. - 567 с.

46. Дэниельсон Д.А. Теория устойчивости оболочек // Тонкостенные оболочечные конструкции: Теория, эксперимент и проектирование. -М.: Машиностроение, 1980. -С.70-82.

47. Енджиевский Л.В. Нелинейные деформации ребристых оболочек. -Красноярск: Изд-во КГУ, 1982. 296 с.

48. Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1982. - 143 с.

49. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. Минск: Вышэйшая школа. 1990. -349 с.

50. Кабанов В.В. Устойчивость неоднородных оболочек // Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. - С.297-300.

51. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966. 508 с.

52. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев: Наук, думка. 1971. - 136 с.

53. Тонкостенные оболочечные конструкции: Теория, эксперимент и проектирование. М.: Машиностроение, 1980. -С.260-302

54. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. Изд-во АСВ; СПбГАСУ. -М.; СПб., 1999. -154 с.

55. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальников А.Ю. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменой толщины и алгоритмы их исследования. Изд-во АСВ. СПб., 2002. 420 с .

56. Каюк Я.Ф. Некоторые вопросы методов разложения по параметру. Киев: Наук, думка, 1980.-166 с.

57. Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем. -М.: Наука, 1980.- 249 с.

58. Койтер В.Т. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем // Механика. Периодич. сб. пер. иностр. лит. -М.: ИЛ, 1960. -N5. -С. 99-110.

59. Колтунов М.А. Уточненное решение задачи об устойчивости прямоугольных панелей гибких пологих оболочек // Вестник Моск. университета. Сер. матем., мех. -1961. -N3. С.37-45.

60. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. -М.: Наука, 1968. -260 с.1963, N12,- С.174-176.

61. Кривошеин И.В. Несимметричный изгиб и устойчивость гибких оболочек покрытия // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1976.-N5. -С.62-66.

62. Кривошеин И.В. Несимметричные формы потери устойчивости локально нагруженных гибких пологих оболочек // Механика деформируемых сред: Сб. статей. -Саратов, 1978. -N5. -С.137-144.

63. Кривошеин И.В. Исследование несимметричных форм потери устойчивости гибких пологих оболочек на основе некоторых вариантов уравнений в перемещениях // Механика деформируемых сред: Сб.статей. -Саратов, 1982. -N7. -С.100-105.

64. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек.- Саратов, 1976. 214 с.

65. Курдюмов А.А. К теории физически и геометрически нелинейных задач изгиба и устойчивости пластин и оболочек // Тр. Ленингр. кораб-лестр. института, 1961. Вып.34. -С.55-62.

66. Липовцев Ю.В. К устойчивости упругих и вязко-упругих оболочек при наличии локальных напряжений // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1968. -N5.- С.174-180.

67. Лукаш П.А. О нелинейной строительной механике (краткий обзор задач и методов) // Исследования по теории сооружений, 1977. -Вып.20.

68. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики.- М.: Стройиздат, 1978. 208 с.

69. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.512с.

70. Месколл Дж. Численные решения нелинейных уравнений оболочек вращения // Ракетная техника и космонавтика, 1966. -N11,- С.220-223.

71. Милейковский И.Е., Райзер В.Д. Развитие прикладных методов в задачах статического расчета тонкостенных пространственных систем (оболочки и складки) // Тр. VII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок.-М: Наука, 1970, С.820-830.

72. Муртазалиев Г.М. Исследование устойчивости пологих оболочек вращения // Простр. констр. в Красноярском крае: Межвузовский сб. научных трудов. -Красноярск, 1977. -Вып.10. -С. 156-164

73. Муртазалиев Г.М. К классификации явлений статической неустойчивости конструкций //Исследования по строит, механике и надежности конструкций: Сб.научных трудов ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. -М.: Строй-издат, 1986. -С.

74. Муртазалиев Г.М. К определению предельных состояний строительных конструкций по условию потери устойчивости // Актуальные вопросы строительства: Научно-тематический сборник. Махачкала: Дагестанский политехнический институт, 1995 -С. 75-81.

75. Муртазалиев Г.М, Пайзулаев М.М. Об одном алгоритме решения нелинейной краевой задачи // Сб. тезисов докладов XXIII научно технической конференции. ДГТУ. - Махачкала, 2001. - С. 57-59

76. Муртазалиев ГМ., Пайзулаев М.М. К расчету оболочек при действии несимметричной нагрузки // Сб. тезисов докладов XXV научно технической конференции. ДГТУ. -Махачкала, 2004. - С. 47

77. Муртазалиев ГМ., Пайзулаев М.М. Исследования закритического деформирования пологих оболочек вращения // Актуальные вопросы строительства: Научно-тематический сборник. ДГТУ, Махачкала, 2004. - С. 51-57

78. Кавказский регион. Технические науки 2005. №1. - С.20-22

79. Муртазалиев Г.М., Пайзулаев М.М. Определение критической нагрузки при действии несимметричной сосредоточенной силы на пологую оболочку вращения // Вестник ДГТУ, Махачкала, 2005. №7. С. 114-117

80. Муртазалиев Г.М. Методы теории катастроф в задачах устойчивости оболочек. ДГТУ, Махачкала, 2004. -200 с.

81. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957.- 432 с.

82. Муштари Х.М. Нелинейная теория оболочек / Сб. научных трудов. Отв. ред. академик И.Ф. Образцов. -М: Наука, 1990. -224 с.

83. Мяченков В.И. Устойчивость сферических оболочек при совместном действии внешнего давления и локальных осесимметричных нагрузок //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1970. -N6. - С.133-138.

84. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. -М.: Машиностроение. -1981. -212 с.

85. Нелинейные задачи расчета оболочек покрытий / Милейковский И.Е., Райзер В.Д., Достанова С.Х., Кашаев Р.И. -М.: Стройиздат, 1976. -144 с.

86. Нерубайло Б.В. Локальные задачи прочности цилиндрических оболочках. М.: Машиностроение, 1983. — 248 с.

87. Новожилов В.В. Краткий очерк развития теории оболочек в СССР // Исследования по теории пластин и оболочек: Сб.статей. -Казань, 1970. -Вып.6. -С.3-22.

88. Нэш У. Обзор новых исследований по устойчивости тонких оболочек // Механика. М.: ИЛ, 1960. -С.111-119.

89. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных пространственных конструкций. М.: Машиностроение, 1966. -392 с.

90. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. -М.: Изд во МГУ, 1963.- 419 с.

91. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины.- М.: Изд-во МГУ, 1969,- 695 с.

92. Ониашвили О.Д. Расчет оболочек и других тонкостенных пространственных конструкций // Строительная механика в СССР. 1917- 1957. Сб. статей. М.: Госстройиздат. 1957.- С. 160-196.

93. Ониашвили О.Д. Расчет оболочек и других тонкостенных пространственных конструкций // Строительная механика в СССР. 1917-1967. Сб. статей. М.: Стройиздат. 1969.- С. 165- 202.

94. Пайзулаев М.М. К решению нелинейных краевых задач расчета оболочек // Сб. тезисов докладов XXIV научно технической конференции. ДГТУ, - Махачкала, 2003. - С. 241

95. Пайзулаев М.М., Агаханов Э.К., Агаханов М.К Решение задач механики методом эквивалентности воздействий // Актуальные вопросы строительства: Научно-тематический сборник. ДГТУ, Махачкала, 2004. - С. 81-85

96. Пайзулаев М.М. Устойчивость пологих оболочек вращения при несимметричной нагрузке. Сб. тезисов докладов международного форума молодых ученых "Успехи современного естествознания " М, 2005. №7. - С. 94

97. Пайзулаев М.М., Абакаров М.С. MathCAD в расчете оболочек // Сб. статей 5-й международной конференции молодых ученых "Актуальные проблемы современной науки. Архитектура и строительство" -Самара, 2005. С.45-47

98. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы. 3-е изд., перераб.-М.: Наука, 1979. - 384 с.

99. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля.- Л.: Судпромгиз, 1941. 4.2.-960 с.

100. Петров В.В. Расчет гибких пластинок и пологих оболочек вариационным методом В.З. Власова// Прикл. механика. -1966. -Т.2. -N5. -С.50-55.

101. Петров В.В., Неверов И.В., Амельченко В.В. Некоторые вопросы

102. Власова // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1968. -N12. -С.22-28.

103. Петров В.В. К вопросу расчета пластинок и пологих оболочек с учетом физической и геометрической нелинейности // Механика деформируемых сред: Сб. статей. Вып.1. -Саратов, 1974. -С.123-130 .

104. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. -119 с.

105. Погорелов А.В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука, 1967. - 280 с.

106. Работнов Ю.Н. Локальная устойчивость оболочек // ДАН СССР, 1946,- Т. 52. N2.-C.ll 1-112.

107. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988.- 712 с.

108. Райзер В.Д., Муртазалиев Г.М. Устойчивость пологих оболочек вращения // Междунар. конф. по облегченным пространст. констр. покрытий для строительства в обычных и сейсмических районах. (Алма-Ата, 1977). Доклады. -М.: Стройиздат, 1977.- С. 116-126.

109. Рейсснер Э.Э. Линейная и нелинейная теории оболочек // Тонкостенные оболочечные конструкции: Теория, эксперимент и проектированиеМ.: Машиностроение, 1980.- С. 55-69.

110. Ржаницын А.Р. Пологие оболочки и волнистые настилы: (некоторые вопросы теории расчета) // Тр.ЦНИИСК, 1960. -Вып. 14. -128 с.

111. Свирский И.В. Методы типа Бубнова-Галеркина и последовательных приближений. М.: Наука, 1968. -200 с.

112. Сейд П. Модификация теории Койтера о начальном послекрити-ческом поведении и чувствительности конструкций к несовершенствам // Тонкостенные оболочечные конструкции: Теория, эксперимент и проектирование. М.: Машиностроение, 1980. - С. 83-104.

113. Секлер Э.Э. Развитие исследования оболочек и их расчета // Там же. -С.20-54.

114. Серов Н.А. Устойчивость оболочек вращения при некоторых видах нагрузок. Д.: Изд-во ЛГУ, 1974. -207 с.

115. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. Кн.2. Под ред. А.А. У майского. М.: Стройиздат, 1973. - 416 с.

116. Срубщик Л.С. Выпучивание и послекритическое поведение оболочек. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1981. -96 с.ние упругих оболочек при кратных критических нагрузках // Прикл. математика и механика. -1980. -Т.44, вып.5. -С.892-904.

117. Срубщик JI.C. Неосесимметричное выпучивание и послекритиче-ское поведение упругих сферических оболочек в случае двукратного критического значения нагрузки // Прикл. математика и механика. -1983.-Т.47. -Вып.4. -С.662-672.

118. Суркин Р.Г., Степанов С.Г. Экспериментальное исследование устойчивости сферических сегментов при внешнем равномерно распределенном давлении // Теория пластин и оболочек. -Киев: АН УССР, 1962. С. 311313.

119. Терстон Д.А., Пеннинг Ф.А. Влияние осесимметричных несовершенств на выпучивание сферических оболочек при внешнем давлении // Ракетная техника и космонавтика, 1966. -N2 -С.169-178.

120. Тимошенко С.П. К вопросу о деформации и устойчивости цилиндрической оболочки // Изв. Петроградского электротехнического института. 1914. -Т.П. С.267-287.

121. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек.-М.: Наука, 1971,- 807 с.

122. Феодосьев В.И. К расчету хлопающей мембраны // Прикл. математика и механика. 1946. -Т.10. -N2. - С.295-300.стин и оболочек // Тр. VI Всесоюз. конф.по теории оболочек и пластинок. -М.: Наука, 1966. С. 971-976.

123. Филин А.П. Элементы теории оболочек. 3-е изд., перераб. и доп. -Л.: Стройиздат, Ленингр. отд-ние, 1987. 384 с.

124. Фитч Д.Р., Будянский Б. Выпучивание и послекритическое поведение сферических куполов под действием осесимметричной нагрузки // Ракетная техника и космонавтика. -1970. -N4. -С.99-107.

125. Флюгге В. Статика и динамика оболочек / Пер.со второго нем. издания инж. В.Л. Шадурского М.: Госстройиздат, 1961. - 306 с.

126. Фын Ю., Секлер Е. Е. Неустойчивость тонких упругих оболочек // Упругие оболочки. -М.: ИЛ, 1962. С.66-150.

127. Фэмили И., Арчер Р. Конечные несимметричные деформации пологих сферических оболочек // Ракетная техника и космонавтика. -1965. -N3.-С.158-163.

128. Хайслер В.Е., Стриклин Д.А., Стеббинс Ф.Дж. Разработка и оценка методов решения геометрически нелинейных задач строительной механики // Ракетная техника и космонавтика.-1972. -N3. С.32-44.

129. Хуан Н.Ч. Несимметричная потеря устойчивости тонких пологих сферических оболочек. // Прикладная механика, 1964, N3, С.91-102.

130. Численные методы в теории упругости и теории оболочек /Н.П. Абовский, Н.П. Андреев, А.П. Деруга, В.И. Савченков. Красноярск, 1986. -383 с.

131. Шаповалов JT.A. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1968. -N1. -С.56-63.

132. Шилькрут Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек. Кишинев: Штиинца, 1974. -144 с.

133. Шилькрут Д.И., Вырлан П.М. Об устойчивости осесимметричных форм равновесия геометрически нелинейных оболочек вращения.- В кн.: Исследования по теории сооружений, вып.22. М., Стройиздат, 1976, С.104-112.

134. Шкутин Л.И. Критическая величина давления для пологих сферических оболочек // Прикл.механика, 1969. -Т.5. -N5. -С. 124-127.

135. Шкутин Л.И. Механика деформаций гибких тел. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1988. -128 с.

136. Donnell L.H. A new theory for the buckling of thin cylinders under axial compression and bending. // Trans. ASME, 1934.-V.56, N11.-P.795-806.

137. Fitch J.R. The buckling and postbuckling behavior of spherical caps under concentrated load. In: Int. Journ. of solids and structures. V.4, 1968, P.421-446.

138. Gjelsvik A., Bodner S.R. Nonsymmetrical shap buckling of sperical caps. In: J. Ehg. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1962. -V.88, N5. -P.87-134.

139. Hutchinson J.W. Imperfection sensitivity of externally pressurized spherical shells. Trans. ASME, Ser. E, 1967, vol.34, No.l, P. 49-55.

140. Kaplan A., Fung J.G. A nonlinear fteory of bending and buckling of thin elastic shallow spherical shells. NACA TN 3212, 1954.

141. Karman Т., Tsien H.S. The buckling of sherical shells by external pressure //J. Aeronaut. Sci., 1939. -V.7. -N2. -P.43

142. Koga Т., Hoff N. The axisymmetric buckling of inifialli imperfect complete spherical shells-"Int. Joum. of solids and structures:, 1969.

143. Koiter W.T. On the nonlinear theory of thin elastic shells //Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. -B.69, 1966.-P.1-54.

144. Lorentz R. Achsesymmetrishe verterrungen in dunnwandiger Hohlzyl-inder. In: Zeitscrift des Vercins Dentshe Ing., 52. N13, 1908.derung // Proc. 5-th Intern. Congr. Appl. Mech. Cambridge, Massach., 1938. New-York: J. Willey and Son, 1939. -P.93-101.

145. Parmerter R., Fung J. On the unfluence of nonsymmetrical modes on the buckling of shallow spherical shell under uniform pressure. / NASA, 1962.-P.481.

146. Raizer V.D., Murtazaliev G.M. Stability of shallow shells of revolution //Theoretical and experimental study of space structures for static and seismic effects. Conf. JASS. Section 1. -M.: Mir, 1977. -P.345-354.

147. Sanders 1. Nonlinear theories for thin shells. //Quart. Appl. Mathem. -1963.-V.21. N 1. -P.21-36.

148. Stein M. Some recent advances in the investigation of shell buckling Hi. AIAA, 1968. -N12. P. 2339-2345.

149. Weinitscke H.J. On asymmetric buckling of shallow spherical shells. Hi. Math. andPhys., 1965. -V.44. -N2. -P.141-163.

150. Zoelly R. Uber ein Knickungsproblem an der Kugelschale. / Diss. -Zurich, 1915.

151. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дагестанский государственный технический университет»

152. Вид внедренных результатов методика решения нелинейных краевых задач с разрывными явлениями, в которых традиционные методы анализа не эффективны, алгоритмы и программы расчета конкретного класса тонкостенных пространственных конструкций.

153. Форма внедрения. Указанные результаты включены в курсы лекций специальных курсов дисциплин «Теория пластин и оболочек» и «Тонкостенные пространственные конструкции».внедрения результатов НИР в учебный процесс

154. Декан АСФ, д.т.н., профессор1. Абакаров А.Д.

155. Заведующий кафедрой СМТСМ, д.т.н., профессор1. Муртазалиев Г.М.

156. МИНИСТЕРСТВО СТРОИТЕЛЬСТВА И ЖИЛИЩНО-КОММУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА РЕСПУБЛИКИ ДАГЕСТАН1. Минстрой Дагестана)367015, г. Махачкала, пр. Имама Шамиля, 58 телефон 51-73-22, (факс) 51-73-44 E-mail: mikx@rambler.ruwww.mjkhrd.dinet.ru1. Ы> Jd 2009 г. №1. ИГЛ*- 4

157. Р.Д- Дадаев -А.Д. Магомедов М.М. Арсланбеков1. С/