автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Вероятностный расчет балки на неоднородно деформируемом основании на действие динамической нагрузки

На правах рукописи

Шапошников Никита Андреевич

вероятностный расчет балки на неоднородно деформируемом основании

на действие динамической нагрузки

Специальность 05.23.17 - «Строительная механика»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 8 НОЯ 2013 005540397

Волгоград 2013

005540397

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Пшеничкина Валерия Александровна

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор,

Евтушенко Сергей Иванович, ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И.Платова», заведующий кафедрой «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика»

кандидат технических наук, доцент Старов Александр Васильевич, ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет», кафедра «Строительная механика»

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Ростовский

государственный строительный университет».

Защита состоится 17 декабря 2013 г. в 15-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.026.01 в ФГБОУ ВПО Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, 1, ауд. Б-203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан 15 ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Пшеничкина Валерия Александровна

Актуальность темы. Расчетная модель конструкции (балка, ферма, плита), опирающейся на упругое основание, имеет самое широкое применение в теории сооружений. Эта модель применяется для расчета мостов и эстакад, переходов и портовых пирсов, различного рода тоннелей и многих других сооружений промышленного и гражданского строительства. При этом под упругим основанием подразумевается естественное грунтовое или свайное основание.

В расчетах конструкций на упругом основании и при анализе напряженно-деформированного состояния грунтовых толщ преобладающее развитие получили модели основания с однородными механическими характеристиками (коэффициента постели, упругого полупространства, комбинированные и др.). Вместе с тем грунтовое основание представляет собой неоднородную дисперсную среду со случайно изменяющимися в пространстве и во времени физико-механическими характеристиками. Поэтому удовлетворительное решение задачи надежности и долговечности конструкции на упругом основании может быть получено только в вероятностной постановке с учетом переменных параметров жесткости основания. Основной причиной неоднородности механических характеристик основания являются его неравномерные осадки, вызываемые местными случайными неоднородностями грунтов, различиями в нагрузках на отдельные фундаменты, особенностями совместных деформаций сооружений и сжимаемых оснований.

В связи с необходимостью изучения поведения конструкций на упругом основании при действии на них изменяющихся во времени нагрузок, вопросы динамического расчета подобных конструкций имеют особую актуальность. В настоящее время достаточно хорошо изучены и описаны колебания балок на сплошном упругом основанга в различных постановках. В случае воздействия на сооружение динамических нагрузок и неоднородных деформаций основания анализ его работы значительно осложняется. Вопросы учета неоднородного основания в динамических задачах еще не достаточно полно

исследованы, особенно в вероятностной постановке. Задача колебаний конструкций на случайном неоднородно деформируемом основании относится к классу стохастически нелинейных задач, достаточно сложных для практического использования. В связи с этим, тема диссертации, посвященная разработке практического метода расчета системы «балка-стохастически неоднородное основание» под действием динамической нагрузки, является актуальной.

Цель диссертационной работы: на основе дальнейшего развития модели линейно деформированного стохастического полупространства разработать методику практического вероятностного расчета системы «балка-стохастическое основание» на действие динамических нагрузок.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:

• проведен анализ существующих моделей грунтового основания, а также методов расчета балок и плит, взаимодействующих с основанием;

• обосновано использование модели линейно деформированного стохастического полупространства для расчета динамической системы «балка-стохастическое основание»:

- обоснована базовая модель системы;

получены детерминированная и случайная составляющие эквивалентной нагрузок, моделирующей распределительные свойства грунтового основания;

• - выбраны рациональные с точки зрения применяемых методов расчета аппроксимирующие функции для самоуравновешенной эквивалентной нагрузки;

• проведен детерминированный и вероятностный расчет системы на действие эквивалентной нагрузки;

• для выявления особенностей предложенной модели проведены расчеты характерных задач.

Методы исследования. Поставленные задачи решались аналитическими методами теории случайных функций и динамики линейных систем.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что

• предложено новое решение задачи о колебаниях балки на линейно деформируемом стохастическом полупространстве;

• введена в рассмотрение базовая модель для линеаризации стохастически нелинейного дифференциального уравнения;

• найдены аппроксимирующие функции для симметричной и кососимметричной составляющих эквивалентной нагрузки под действием сосредоточенной движущейся силы;

• разработана методика и алгоритм детерминированного и вероятностного расчета балки конечной длины и жесткости, свободно лежащей на стохастическом основании, нагруженной сосредоточенной движущейся силой.

Практическая значимость диссертационной работы. Для практического использования рекомендуется методика расчета системы «балка-стохастическое основание», позволяющая привести задачу к эквивалентной, описываемой дифференциальным уравнением, аналогичным для модели коэффициента постели, то есть к известному классическому решению.

В отличие от других расчетных моделей, предложенная модель учитывает влияние не только неоднородных свойств механических параметров основания, но может быть использована для учета неоднородности любой природы, в том числе обусловленной структурными изменениями грунта.

Получены простые и удобные для применения формулы для вычисления математических ожиданий и дисперсий перемещений системы, а также формулы расчета на резонанс, которые могут служить основой для разработки практического метода оценки надежности сооружений, взаимодействующих со стохастическим основанием.

Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается применением аналитических методов расчета стохастических систем,

динамики сооружений, проверяемых сопоставлением полученных результатов с известными решениями других авторов. Установлено качественное и количественное совпадение результатов автора с результатами, представленными в независимых источниках по данной тематике.

Внедрение результатов исследований. Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе на кафедре Строительных конструкций, оснований и надежности сооружений ВолгГАСУ при проведении занятий по курсу «Надежность сооружений и оснований в особых условиях» для специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство».

На защиту выносятся:

• принципы построения эквивалентной динамической модели «балка-линейно деформированное стохастическое основание»;

• задача о колебаниях короткой балки на стохастическом основании на действие мгновенного импульса и нагрузки, изменяющейся во времени по длине балки по одному и тому же закону;

• решение задачи о колебаниях штампа на упругом основании на действие подвижной сосредоточенной нагрузки;

• методика определения детерминированной симметричной и обратно симметричной составляющих эквивалентной нагрузки;

• методика практического детерминированного и вероятностного расчета колебаний балки конечной длины и жесткости, лежащей на линейно деформированном стохастическом полупространстве, при движении по ней сосредоточенной подвижной нагрузки;

• анализ результатов выполненных расчетов.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на:

ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного архитектурно-

строительного университета (Волгоград 2010,2011,2012, 2013 гг.);

- VI Международной научно-технической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов, конструкций и оснований фундаментов (Волгоград, 2011г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «Механика грунтов в геотехнике и фундаментостроении» (Новочеркасск, 2012г.).

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 5 печатных работах, в том числе 2 в изданиях, включенных в перечень ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка. Общий объем работы 138 страниц, в том числе 126 страниц основной текст, содержащий 5 таблиц, 34 рисунка, библиографический список из 141 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении на основе анализа проведенных исследований по теме диссертации обосновывается актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, основные научные положения, выносимые на защиту, а также практическая ценность работы.

В первой главе дан обзор существующих теорий и исследований в области расчета конструкций на упругом основании.

Существует множество способов реализации модели балки, лежащей на упругом полупространстве. Они изложены в работах таких известных ученых как Н.М. Герсеванов, Я.А. Мачерет, М.И. Горбунов-Посадов, Б.Н. Жемочкин, К. Терцаги, В.З. Власов, Б.Г. Коренев.

Учет влияния неоднородности природных свойств упругого полупространства рассмотрено такими учеными, как Г.К. Клейн, В.В. Болотин, Д.Н. Соболев, В .И. Шейнин, Б.П. Макаров.

Нелинейная деформируемость неоднородных оснований при расчете зданий рассмотрена С.Н. Клепиковым и получила дальнейшее развитие в трудах А.П. Пшеничкина, И.А. Розенфельда, A.C. Вайнберга.

Во второй главе решается часть сложной комплексной задачи - выбор расчетной модели основания. Случайное поле физико-механических характеристик грунтового основания П(г) с учетом природной микро- и макронеоднородности можно рассматривать в виде суммы тренда и случайной (флуктуационной) составляющей

П(г) = П(г)+П(г). (1)

Описание случайных полей типа (1) возможно только методами теории

случайных функций.

Задание случайного поля при помощи многомерных функций распределения практически невозможно, поэтому А.П. Пшеничкин и Д.Н. Соболев в своих работах описывают его с помощью моментов распределения в корреляционном приближении:

- математическое ожидание случайного поля

п(г) = тп(г) = м[п(г)]\ (2)

- центрированное случайное поле

П(г) = П(г)=П(г)-П(г), (3)

- дисперсия поля

"о

£>„(/•)=м{[П(г)] ~тп(г)2}= М

П(г)

(4)

- корреляционная функция случайного поля

(ГЛ )=М № ) - т„ (г, )1п(г2 ) - тп (г2 )]}=М[П(г,) П(г2 )], (5)

- спектральное представление случайного поля (1) будет иметь вид

' _ Л

П(г) = гт(г)+П(г)+П(г). (6)

Исходными характеристиками для задания поля являются: среднее

значение П, спектр неоднородностей тренда 5П и спектр случайных

неоднородностей

(7)

к

5„(х) = [|] ]^п(р)со5Хрф, (8)

где Л(П)к — амплитуда неоднородности тренда параметра П, распределяемая дельта-функцией по волновым числам %к- В спектральном

о

представлении д(г) каждой амплитуде соответствует своя

координатная гармоническая функция ф^ (| г ).

Примем в качестве модели основания линейно-деформируемое стохастическое полупространство. При расчете системы «балка-основание» используем приближенный подход, заключющийся в систематическом выделении из решения такой его части, которая является решением задачи о балке, лежащей на винклеровском основании. Распределительная способность грунтового основания моделируется как добавка к основному решению в виде самоуравновешенной системы сил, деформирующих балку и основание. Эта идея была рассмотрена в работах А.Н. Крылова и Б.Г. Коренева и эффективно применена А.П. Пшеничкиным при исследовании работы зданий на неоднородно деформируемых основаниях под действием статической нагрузки.

Основная характеристика метода расчета — возможная поверхность деформирования основания (рис.1)

5 (*) = 5 (*)+,?(*)

(9)

: : .

х

Осадка жесткого штампа

V М(х)=0(х)=0

Сэ =сопз(

Самоуравновешенная детерминированная нагрузка, связанная с распределительной

у У(х)л(х),0(х) 5>

Сэ=сопз1

способностью грунта. Вызывает изгиб балки

Самоуравновешенная случайная составляющая нагрузки.

Вызывает изгиб балки

ч Сэ =сопб{

У 7мим:

7(х),М{х)Дх)

Рис.1. Расчетная поверхность деформирования основания

Расчетные параметры поверхности деформирования:

• эквивалентный коэффициент жесткости линейно деформированного полупространства

,Е° -V, (Ю)

где - соответственно математическое ожидание модуля деформаций

грунта основания, коэффициента относительной поперечной деформации и эквивалентного слоя основания; со - коэффициент жесткости конструкции; Ь -ширина фундамента (подошвы конструкции); ау - коэффициент относительной сжимаемости грунта.

• центрированная (самоуравновешенная) нагрузка, вызывающая изгиб конструкции

дэ(х) = Сэ

'о

S{x)+S(x)

(11)

о

где S(x) - центрированное относительно уровня Sq математическое ожидание осадки основания от действия уплотняющего давления при условии абсолютной гибкости конструкции;

¿'(jc) - собственно случайная поверхность деформирования основания,

о

центрированная относительно уровня S(x), определяемая также без учета

жесткости конструкции Сэ = —;

so

Sq - средняя осадка основания, полученная из условия равновесия конструкций, как штампа под действием внешней нагрузки и реакции грунта; V(x) - искомое перемещение системы «сооружение-основание» относительно центрированного состояния.

Данная модель может быть использована для приближенного решения задачи колебания балки на линейно деформируемом полупространстве в детерминированной и вероятностной постановках.

В третьей главе рассмотрены колебания балки на стохастическом

основании.

Дифференциальное уравнение движения балки под действием динамической нагрузки /(7 убудет иметь вид

тпШ) + СэУ{х,{) + т,^М = /(,)С3{50к№) + *#«]}- « „ (12)

эг Э/

Учитывая среднее значение уплотняющей нагрузки на однородное

основание дэ=С^0, и проведя преобразования в левой и правой части

уравнения (12), получим

ЕПк{х, 0 + СЭК(*,/) + Ц + = /(0[СэЛ'0Л#(х) + С350£#(х)] = (13)

Ш

= д(ОА5у/(х) + цЦ)к5Щх) = (х, 0 + ?э (*, 0 = г) = /(г)^ (*) + ^ (*)], где дэ(х,1) - рассматривается как детерминированная и случайная

составляющие эквивалентной нагрузки.

Решение этого дифференциального уравнения находим в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая — от времени Г

У = Х(*)Г(г). (14)

Подставив (14) в (13) и разделив переменные, получим систему из 2-х уравнений, одно из которых определяет свободные колебания системы, а второе - колебания под действием внешней нагрузки. Уравнение свободных колебаний

X™ + (г4-лЛА=0,где (15)

Е1

Применяем решение В.З. Власова, получим выражение для частот свободных колебаний системы «балка-упругое основание»:

4 4 2 Ц„ +

щ?=" » • (16)

т *

Параметры являются фундаментальными числами, каждое из которых определяет фундаментальную функцию Хп (*) поперечных колебаний балки с незакрепленными краями:

A"(x) = C¡shax+C2chax+ С, sin Д*+С4 cos fix,

X'(x) = C¡achax+C1ashax+C3/?cos /?x - C4/J sin /Зх,

Х*(дг) = Cfifshax+Сгагсках - Сърг sin jíx-Cfl1 cos fix,

X"(x) = Cfifchax+C2a*shax - Сфъ cos fix+С J}3 sin fix, в принятой модели /1 = а=@.

Для решения предложенным методом задачи о колебаниях балки конечной жесткости на линейно деформируемом полупространстве под действием сосредоточенного груза требуется определить базовое решение и эквивалентную нагрузку.

В данной работе было предложено в качестве базового решения взять задачу о колебаниях бесконечно жесткой балки (штампа) на упругом основании под действием подвижной сосредоточенной нагрузки. Эта задача была рассмотрена ИМ. Рабиновичем.

Уравнения движения получим, раскладывая нагрузку на две: симметричную и кососимметричную.

Для симметричной формы колебаний, которая соответствует поступательному смещению балки вниз, получим уравнение движения

m^ + rny0 = Pt (18)

at

где т — масса балки; у - смещение балки; ги — восстанавливающая сила.

Решением этого уравнения будет

2Р . 2 2Р , с,, .10.

Уо=-2 э т~ =-5"* ('). (19)

тщ 1 тщ

где 0)1 — частота свободных поступательных колебаний штампа на упругом основании.

Для обратной симметричной формы уравнение (19) имеет вид

= (20)

где /0 — момент инерции массы; <ра — угол поворота балки; г1г — восстанавливающий момент.

<Ро =

Решением этого уравнения будет \\— -cu\smúh(t-u)du=—

J1 ° J ^ ^

h&l <Л2

, ■ 2

t-

sin 02t

Io®2

kKC(t),

где а>2 — частота свободных угловых колебаний штампа на упругом основании.

Реакция упругого основания в точке, расположенной на расстоянии а от левого конца балки, равна (I

p(a,t)=Cz

Votiva

0,5+ то>i [ 2

<"4

0,5 —— I - Afc sin(ü* + ф) 'о

, (22)

где Е0 — модуль деформации основания; со = щ =0)2, Эпюры

реактивных давлений представлены на рис.2.

Рис.2. Эпюра реактивных давлений основания для бесконечно жесткой балки. Для определения реактивных давлений для балки, лежащей на упруго-деформируемом стохастическом полупространстве, использованы таблицы Горбунова-Посадова (рис.3).

Рис.3. Эпюра реактивных давлений по Горбунову-Посадову в зависимости от положения силы Р= 1 на балке.

Эквивалентная нагрузка численно равна разности между

контактными напряжениями линейно деформируемого полупространства и упругого основания под штампом и направлена в противоположную им сторону. На рис.4 приведены разности эпюр, которые и определяют эквивалентную нагрузку, учитывающую распределительную способность основания.

В четвертой главе приведены примеры расчетов балок на неоднородно деформируемом основании под действием подвижной нагрузки.

Дифференциальное уравнение балки, в которой возникают изгибающие деформации, имеет вид

= (23)

где Е1 — жесткость балки, т"— погонная масса балки и присоединенного грунта; q(x,t) — динамическая нагрузка на балку.

•—Г"

Рис.4. Расчетная поверхность деформирования :

а) равномерная осадка; б) центрированная симметричная составляющая;

в) центрированная кососимметричная составляющая;

г) центрированная случайная составляющая.

Решение ищем в виде разложения 1/(а',/)= ^Х,(:г)7;(/). Начальные

/

г

условия 7}(0)=7} (0) = 0. Динамическую д(х,1) и эквивалентную д^(х,1) нагрузки также представляем в виде разложения

<?М=5Х-Мяи(0. = (24)

' / Разложив нагрузку <7,0,0 по фундаментальным функциям Х^ (х), получаем

2Р

Mim

]jA(//(v/)(1 -<зг0)-2sin[lsm(//(vf)-or0 cos(ji¡vt)

2 J

где v = const — скорость движения груза Р.

Тогда решение (23) с правой частью (25) равно

2sin(ü>,r)¿/,v(ü>,2 + //,v2)+ (1 - а0 )(ц,у2 - й>,2)

(1 - ar0 ]sh(/l¡vt) 2[sin С«; vi) + 6Г0 (cos(//,-vf) + cos(üí,í))]

2 2 2*^ 2 9 2

jU¡v¿+ú}i a i — ni v

Решение (23) для симметричной составляющей эквивалентной нагрузки

(25)

т

ТС1Л 2СэА1 . 2 Ъ (г)=-зг-а"81п (1 = 1);

т <»1

для обратно симметричной составляющей:

I 2 'о

решение для случайной составляющей

т щ 2 Формула для дисперсии

(¿ = 2);

(28)

2С.

э • 2

—вш —

А»

(29)

та$ 2

Была решена задача о колебаниях короткой балки под действием подвижной нагрузки. Исходные данные выбраны таким образом, чтобы реактивные давления, полученные при расчете колебаний штампа, соответствовали данным таблиц Горбунова-Посадова. Результаты расчета реакции основания под штампом приведены на рис.5.

Симметричная форма

Обратно симметричная форма

-'-1-Г--г——

к'&Ъ -02 ■'-0.4 -0.8 -0?

с

ОД

42 а=1

02

9А

32 -;з (¡4

0.1

02

¡и.

К с

'=0,6/, /=0,7%

Рис.5. Эпюры реакций основания под штампом. Здесь же показаны средние линии для симметричной и кососимметричной составляющих, вокруг которых происходят колебания штампа. Средние линии совпадают со статическим решением.

На рис.6 приведены эпюры реактивных давлений по Горбунову-Посадову для случая положения силы на правой половине балки. Красной линией показана симметричная составляющая.

-,-(

й. о

о

«

I

4»

Рц

-3

т

Сшйв сечении;

1 - e-0.iL

2 - а"0,б1_

4. а=0,9Г,

05

1.5

Длина Ь. м '

Рис.6. Эпюры реактивных давлений по Горбунову-Посадову.

Как показали расчеты, функции формы для самоуравновешенной эквивалентной нагрузки хорошо аппроксимируются фундаментальными функциями поперечных колебаний балки с соответствующими граничными условиями: симметричная составляющая - первой, кососимметричная составляющая - второй фундаментальной функцией (рис.7).

Частоты свободных колебаний системы «балка-основание» ^ _

Л4 Е1

приведены в табл.1

Таблица 1

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

й),с~1 151,056 413,659 810,333 1339,0 2001,0 2794,0 3720,0 4778,0 5968,0 7291,0

Графики функции Тф(г) для подвижной нагрузки (г=5м/с) при ¿=1,2,3

показаны на рис.8, а для симметричной и кососимметричной составляющей эквивалентной нагрузки на рис.9. Вычислены резонансные скорости: у=19,78м/с; у=29,6м/с.

а)

-0.2

Л

^ н

^ ............ Дг;,-..

» . «. I 1,5 цм

Рис.7. Центрированная симметричная а) и кососимметричная б)

составляющие эквивалентной самоуравновешенной нагрузки.

" » У V 1/ V »■"■■■

Рис.8. Графшси функции Тф)

02 03

Рис.9. Графики функции Т(г), Тс(1)

Во втором примере бьшо проведено исследование случайных полей деформации на примере железнодорожного полотна Северной железной

дороги. Для обоснования расчетной модели грунтового основания использовались результаты полевых и лабораторных исследований деформирующихся участков земляного полотна железнодорожной линии Чум - Лабытнанги, которая была сдана в эксплуатацию в 1948 г. На момент исследования насыпь железнодорожного полотна эксплуатируемой в большей части разрушена. Было рассмотрено три укрупненных характерных участка, на каждом из которых были выделены подучастки, имеющие близкие физико-механические характеристики и мерзлотно-грунтовые условия. Согласно принятой модели основания поверхность деформирования может быть представлена в виде (9) (рис.10).

•22.06-2000 ...... SO)---15.07.2000 -•-Л .09.2000

Рис.10. Значения тренда поверхности деформирования: S (х) — аппроксимированная функция тренда.

Находим статистические характеристики случайной функции

поверхности деформирования основания железнодорожного полотна.

Разложив функцию S(x) в ряд по фундаментальным функциям

= (30)

т

найдем спектр неоднородностей тренда Ss (jm ) = £ Ст8{% - %т) (рис. 11).

т

В качестве волновых чисел разложения принимаем фундаментальные числа xm=/j.mIL

5 100 •: " 0.080 -Г C.060 J: ■ o.wo С.ЪМ} -t . OSM -C.C20 i" •0.S4Q 1 " •COM3 t. ■0.5M

•o.ico -ouo * -Qiao

5250 < 5

-0.2J0 .

. 3 240 t -0260 | ' -C28Q | ,

•сма > •озго ■езло -о -«

озм « --0-00 ►

"»tiii ' 1С S356

С CIS

■аслг

Рис.11. Детерминированный спектр неоднородного тренда.

Коэффициенты Ст находятся стандартным методом наименьших квадратов. Реализации центрированной случайной составляющей поверхности деформирования приведены на рис.12. Функцию $(х) рассматриваем как стационарную нормально распределенную случайную функцию.

0,1S

0,35 _____r-r-f-уч

О 2S - - ••—» 22.06.2000

■« * ' - I i I И jf \ ' 15.07.2000 i

/ — 2М&Ж0

— — 22.06.2000

-0'05 ^Ф^^Ш^Ш^ШШ^^Ш'^ * - 21.09.2000

Ш T i ■: ' ; ; И' ; I ! I V ■ i-'iA..'.-? I ; И 1S i i i

J ~ ' ~ 22.06.2000

;| i | | i ; П И. - • ~ I5.o7.2ooo , -21.09.2000

0,05 j +f4

4 _

V. .

' к

j

-0,25 U

X

-0,35

Рис.12. Центрированная случайная составляющая для всех экспериментальных участков.

Для аппроксимации корреляционной функции S(x) используем зависимость

(31)

Ks{p) = DsK%{p) = Dse-^cospp, а> 0. Соответствующая корреляционной функции спектральная плотность:

Sx{X) = DsS«x{z)=Dsl-Х2+а2+Р2-. (32)

Для рассматриваемых реализаций коэффициенты корреляционной функции а и р найдены методом наименьших квадратов.

а = 0.007м"1, /7 = 0.045 м"1, £>5 =4-10~4 м2. (33)

Графики корреляционной функции и спектральной плотности случайной составляющей поверхности деформирования (рис.13,14). Каноническое разложение случайной функции S(x) с координатными функциями

Xk(x):S(x) = ^AkXk(x). (34)

к

Собственные частоты системы «балка-основание»

щ -0)2 = ... = 0)т =83.53с"1.

т

0 100 200 300 400

Рис.13. Нормированная корреляционная функция поверхности деформирования основания.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 £>-1 Рис.14. Нормированная спектральная плотность поверхности деформирования основания.

Выполнен расчет на действие подвижной нагрузки. Для длинной балки

угловая составляющая практически равна нулю.

Резонансная скорость у=7.064-103м/с.

Для вычисления дисперсии функции прогиба использован метод канонических разложений

т2

DTJt) =

2С, . 2 (Out . „ SU1 * 2 О

т щ z

Da

(35)

10 20 30 /

Рис.15. Функция прогиба Т\р (/") от действия неподвижной нагрузки при у=11Д м/с.

Дисперсии Цд находим по формуле

¿4 = -ак = А? ' К(ю)<Л». (36)

Ш-1 / £

Дисперсия динамического прогиба длинной балки с учетом случайной неоднородности основания

' Л2

2С„ . 2 да1г ~2~

£)г(0 =

-вт

■Ос

(37)

со1

Стандарт динамического прогиба балки (Ту (О = Л/£)Г(0. Суммарная дисперсия перемещения балки при сосредоточенного г руза по стохастическому основанию

\2 ,

движении

1С

3 зт2^

а>С 2 ^ При к= 10 учитывается 92, поверхности деформирования.

Стандарт суммарного перемещения о^ С*. О = л/дТО^О (рис.16).

(38)

к=\

1% дисперсии случайной функции

О.

10 20 30

Рис. 16. Стандарт динамического прогиба балки

Считая случайную центрированную функцию осадки основания стационарной, можно принять функцию прогиба также стационарной, с

постоянной дисперсией. Принимаем стандарт суммарного перемещения равным 0,035 (рис.17).

во времени X

20 30

по длине балки 1—2,бс

Рис.17. Стандарт суммарного перемещения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ :

1. Разработана модель и получено дифференциальное уравнение колебаний балки конечной длины и жесткости, лежащей на линейно деформируемом стохастическом полупространстве, на действие подвижной нагрузки. Использование понятия базового решения и эквивалентной нагрузки позволяет получить основное уравнение, совпадающее по виду с уравнениями колебаний балки на упругом основании.

2. Для обоснования выбранной модели проведено сопоставление динамических характеристик системы «балка-основание» между моделью Винклера и моделью с двумя коэффициентами постели Власова. Установлено практически полное совпадение частот свободных колебаний и фундаментальных функций системы для балки со свободными от закреплений концами.

3. В качестве базового решения предложено решение задачи о колебаниях штампа на упругом основании.

4. Найдены аппроксимирующие функции для эквивалентной нагрузки, моделирующей распределительную способность грунтового основания. В общем случае эти функции могут быть использованы для моделирования поверхности деформирования, вызванной неоднородными деформациями любой природы, в том числе связанными со структурными изменениями грунта.

5. Установлено, что самоуравновешенную эквивалентную нагрузку, с достаточной для практических расчетов степени точности, можно аппроксимировать фундаментальными функциями поперечных колебаний балки с соответствующими граничными условиями, причем для симметричной составляющей используется первая, а для кососимметричной - вторая фундаментальная функция.

6. С увеличением длины балки спектр собственных частот системы «балка-основание» сужается и стремится к единой частоте, соответствующей волновому числу системы.

7. Для длинных балок учет статистической изменчивости грунтового основания существенно упрощается по сравнению с короткой, и вероятностный расчет такой системы может быть сведен к детерминированным формулам относительно стандартов статистической изменчивости грунтового основания.

8. Разработанная инженерная методика вероятностного расчета системы «балка-стохастически неоднородное основание» является основой для разработки методов оценки надежности системы «сооружение-основание» при действии динамических нагрузок с учетом неоднородностей грунтового основания различной природы

Результаты диссертационной работы отражены в пяти публикациях.

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях

1. Шапошников, Н. А. Динамический расчет балки на стохастическом линейно-деформируемом полупространстве [Текст] / H.A. Шапошников, В.А. Пшеничкина, С.И. Махова, М.А. Шубин, Ю.И. Олянский // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Сер.: Строительство и архитектура. - Волгоград: Изд-во ВолгГАСУ, 2011. -Вып.25 (44) - С.42-49. - Библиогр.: с.48-49.

2. Шапошников, Н. А. Исследование случайных полей деформаций железнодорожного полотна на линии ст. Чум - ст.Лабытнаги Северной железной дороги [Текст] / H.A. Шапошников, В.А. Пшеничкина // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Сер.: Строительство и архитектура. - Волгоград: Изд-во ВолгГАСУ, 2011. -Вып.24 (43) - С.54-61.

Публикации в других изданиях

3. Шапошников, Н. А. Динамический расчет балки на стохастическом основании [Текст] / H.A. Шапошников, Г.В. Воронкова // Наука сегодня: теоретические аспекты и практика применения: сб. науч. тр. / Междунар. заоч. науч.-практ. конф., 28 окт. 2011г. - Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-Наука-Общество», 2011. - 4.9. - С.164-164.

4. Шапошников, Н. А. Колебания балки на стохастическом основании [Текст] / H.A. Шапошников, В.А. Пшенчкина // Надежность и долговечность строительных материалов, конструкций и оснований фундаментов сб. науч. тр / VI Междунар. науч.-техн.конф., 13-14 октября 2011г. Волгоград. - Волгоград: Изд-во ВолгГАСУ, 2011.- С.263-270.

5. Шапошников, Н. А. Моделирование теплового процесса взаимодействия земляного полотна с многолетнемерзлыми породами основания [Текст] / H.A. Шапошников // Аграрная наука — основа успешного развития АПК и сохранения экосистем: материалы: сб. науч. тр. / Междунар. нау.-практ.конф., 31 января - 2 февраля 2012г., г.Волгоград. - Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ, 2012. - Т.1. - С.427-428.

Шапошников Никита Андреевич

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ РАСЧЕТ БАЛКИ НА НЕОДНОРОДНО ДЕФОРМИРУЕМОМ ОСНОВАНИИ НА ДЕЙСТВИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ

05.23.17 - «Строительная механика»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 08.11.13 г. Заказ №127. Тираж 100 экз. Печ.л. 1,0. Формат 60x84 1/16 Бумага писчая. Печать плоская. Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет 400074, Волгоград, ул. Академическая, 1 Одел оперативной полиграфии

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

На правах рукописи

04201 452174

ШАПОШНИКОВ Никита Андреевич

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ РАСЧЕТ БАЛКИ НА НЕОДНОРОДНО ДЕФОРМИРУЕМОМ ОСНОВАНИИ НА ДЕЙСТВИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ

Специальность 05.23.17 «Строительная механика»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель доктор технических наук, профессор Пшеничкина Валерия Александровна

Волгоград 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................4

ГЛАВА I. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ И ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ........9

1.1 Обзор существующих методов расчета балки на упругом основании.....9

1.2 Анализ существующих вероятностных подходов к расчету конструкций и сооружений на упругом основании.........................17

1.3 Обзор методов динамического расчета балок на упругом

основании............................................................................25

1.4 Общая характеристика работы. Постановка задачи........................29

Выводы по первой главе..................................................................33

ГЛАВА II. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГРУНТОВОГО ОСНОВАНИЯ ..34

2.1 Статическая неоднородность грунтовых оснований и способы ее описания...............................................................................34

2.2 Расчетные модели линейно деформируемого однородного полупространства...................................................................39

2.3. Основные принципы построения модели.....................................44

2.4 Применение эквивалентного слоя для плоской задачи теории уплотнения линейно деформируемого полупространства.................48

2.5 Вероятностные эквивалентные характеристики случайного поля грунтового основания. Эквивалентная статистическая модель............50

Выводы по второй главе....................................................................55

ГЛАВА III. КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ НА СТОХАСТИЧЕСКОМ ОСНОВАНИИ...............................................................................56

3.1. Дифференциальное уравнение колебания балки на линейно деформируемом стохастическом основании.................................56

3.2. Свободные колебания балки.....................................................58

3.3. Действие мгновенного импульса...............................................61

3.4. Вынужденные колебания балки.................................................63

3.4.1. Детерминированный расчет..............................................64

3.4.2. Вероятностный расчет.....................................................66

3.5. Расчет бесконечно жесткой балки на упругом основании на действие подвижной нагрузки..............................................................67

3.6 Построение эпюр реактивных давлений.......................................74

3.7. Определение эквивалентной нагрузки.........................................75

3.8. Колебания балки конечной длины и жесткости, свободно лежащей

на линейно деформированном полупространстве..........................80

Выводы по третьей главе..................................................................89

Глава IV. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА БАЛОК НА НЕОДНОРОДНО ДЕФОРМИРУЕМОМ ОСНОВАНИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ...................................................................................90

4.1. Колебания короткой балки под действием подвижной нагрузки........90

4.2. Исследование случайных полей деформации на примере железнодорожного полотна Северной железной дороги...............100

4.3. Расчет свободных колебаний балки..........................................111

Выводы по четвертой главе.............................................................118

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ..........................................119

Литература..................................................................................121

Приложение................................................................................136

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Расчетная модель конструкции (балка, ферма, плита), опирающейся на упругое основание, имеет самое широкое применение в теории сооружений. Эта модель применяется для расчета мостов и эстакад, подземных переходов и портовых пирсов, различного рода туннелей и многих других сооружений промышленного и гражданского строительства. При этом под упругим основанием подразумевается естественное грунтовое или свайное основание.

В расчетах конструкций на упругом основании и анализе напряженно-деформируемого состояния грунтовых толщ преобладающее развитие получили модели основания с однородными механическими характеристиками (коэффициента постели, упругого полупространства, комбинированные и др.). Вместе с тем грунтовое основание представляет собой неоднородную дисперсную среду со случайно изменяющимися в пространстве и во времени физико-механическими характеристиками. Поэтому удовлетворительное решение задачи надежности и долговечности конструкции на упругом основании может быть получено только в вероятностной постановке с учетом переменных параметров жесткости основания. Основной причиной неоднородности механических характеристик основания являются его неравномерные осадки, вызываемые местными случайными неоднородностями грунтов, различиями в нагрузках на отдельные фундаменты, особенностями совместных деформаций сооружений и сжимаемых оснований.

В связи с необходимостью изучения поведения конструкций на упругом основании при действии на них изменяющихся во времени нагрузок, вопросы динамического расчета инженерных сооружений имеет особую актуальность. В настоящее время достаточно хорошо изучены и описаны колебания балок на сплошном упругом основании в различных постановках.

В случае воздействия на сооружение динамических нагрузок и неоднородных деформаций основания анализ его работы значительно осложняется. Вопросы

учета неоднородного основания в динамических задачах еще не полно исследованы, особенно в вероятностной постановке. Задача колебаний конструкций на случайном неоднородно деформируемом основании относится к классу стохастически нелинейных задач, достаточно сложных для практического использования. В связи с этим, тема диссертации, посвященная разработке практического метода расчета системы «балка-стохастически неоднородное основание» под действием динамической нагрузки, является актуальной.

Цель диссертационной работы. На основе дальнейшего развития модели линейно деформируемого стохастического полупространства разработать методику практического вероятностного расчета системы «балка-стохастическое основание» на действие динамических нагрузок.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:

• проведен анализ существующих моделей грунтового основания, а также методов расчета балок и плит, взаимодействующих с основанием;

• обосновано использование модели линейно деформируемого стохастического полупространства для расчета динамической системы «балка-стохастическое основание»:

- обоснована базовая модель системы;

получены детерминированная и случайная составляющие эквивалентной нагрузки, моделирующей распределительные свойства грунтового основания;

- выбраны рациональные с точки зрения применяемых методов расчета аппроксимирующие функции для самоуравновешенной эквивалентной нагрузки;

• проведен детерминированный и вероятностный расчет системы на действие эквивалентной нагрузки;

• для выявления особенностей предложенной модели проведены расчеты характерных задач.

Методы исследования. Поставленные задачи решались аналитическими методами теории случайных функций и динамики линейных систем

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что

• предложено новое решение задачи о колебаниях балки на линейно деформируемом стохастическом полупространстве;

• введена в рассмотрение базовая модель для линеаризации стохастически нелинейного дифференциального уравнения;

• найдены аппроксимирующих функций для симметричной и кососимметричной составляющих эквивалентной нагрузки под действием сосредоточенной движущейся силы;

• разработана методика и алгоритм детерминированного и вероятностного расчета балки конечной длины и жесткости, свободно лежащей на стохастическом основании, нагруженную сосредоточенной движущейся силой.

Практическая значимость диссертационной работы. Для практического использования рекомендуется методика расчета системы «балка-стохастическое основание», позволяющая привести задачу к эквивалентной, описываемой дифференциальным уравнением, аналогичным для модели коэффициента постели, то есть к известному классическому решению. В отличие от других расчетных моделей, предложенная модель учитывает влияние не только неоднородных свойств механических параметров основания, но может быть использована для учета неоднородности любой природы, в том числе обусловленной структурными изменениями грунта. Получены простые и удобные для применения формулы для вычисления математических ожиданий и дисперсий перемещений системы, а также формулы расчета на резонанс, которые могут служить основой для разработки практического метода оценки надежности сооружений, взаимодействующих со стохастическим основанием.

Достоверность диссертационной работы подтверждается применением аналитических методов расчета стохастических систем, динамики

сооружений, проверяемых сопоставлением полученных результатов с известными решениями других авторов. Установлено качественное и количественное совпадение результатов автора с результатами, представленными в независимых источниках по данной тематике.

Внедрение результатов исследований. Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе на кафедре Строительных конструкций, оснований и надежности сооружений ВолгГАСУ при проведении занятий по курсу «Надежность сооружений и оснований в особых условиях» для специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство».

На защиту выносятся:

• принципы построения эквивалентной динамической модели «балка-линейно деформированное стохастическое основание»;

• задача о колебаниях короткой балки на стохастическом основании на действие мгновенного импульса и нагрузки, изменяющейся во времени по длине балки по одному и тому же закону;

• решение задачи о колебаниях штампа на упругом основании на действие подвижной сосредоточенной нагрузки;

• методика определения детерминированной симметричной и обратно симметричной составляющих эквивалентной нагрузки;

• методика практического детерминированного и вероятностного расчета колебаний балки конечной длины и жесткости, лежащей на линейно деформированном стохастическом полупространстве, при движении по ней сосредоточенной подвижной нагрузки;

• анализ результатов проведенных расчетов.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на:

ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета (Волгоград 2010, 2011, 2012, 2013 гг.);

- VI Международной научно-технической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов, конструкций и оснований фундаментов (Волгоград, 2011г.),

- Всероссийской научно-технической конференции «Механика грунтов в геотехнике и фундаментостроении» (Новочеркасск, 2012г.)

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 5 печатных работах, в том числе 2 в изданиях, включенных в перечень ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка. Общий объем работы 133 страниц, в том числе 126 страниц основной текст, содержащий 5 таблиц, 34 рисунков, библиографический список из 161 наименований.

ГЛАВА I. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ И ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

1.1 Обзор существующих методов расчета балки на упругом основании

Модель балки на упругом основании представляет собой расчетную схему, широко распространенную в практике строительства. С ее помощью описывают различные конструкции фундаментов, работа которых существенным образом влияет на напряженно-деформированное состояние всего здания в целом, учитывают проблемы динамического нагружения различных сооружений от вибрации, ударной нагрузки, сейсмического воздействия. Эту модель используют при расчете дорожных покрытий, рельсовых путей, днищ элеваторов, доков, шлюзов, аэродромных покрытий и многих других сооружений.

Расчет конструкций, лежащих на упругом основании, определение прогибов и возникающих в грунтах под нагрузкой усилий нельзя выполнить без принятия предпосылок о деформативных свойствах грунта. На сегодняшний день существует несколько основных методов расчетов, базирующихся на различных теориях работы основания под конструкциями. Самый простой метод сводится к уравновешиванию внешних нагрузок и отпора грунта, который принимается распределенным в продольном и поперечном значениях по линейному закону. Такая схема линейного распределения давления возникла, когда фундаменты не рассчитывались на прочность, и поэтому закон реактивных давлений не имел большого значения. Считалось, если фундамент имеет равномерную осадку, то и давление под его подошвой является равномерным. При эксцентрической (м.б. лучше «внецентренной») нагрузке, когда фундамент получает наклон, реактивное давление тоже линейно, но распределяется по трапеции, уравновешивая внешнюю нагрузку. В настоящее время схемой линейного распределения пользуются для приблизительных расчетов, когда это является оправданным.

С появлением новых конструкций и материалов стала очевидной необходимость учета распределения реактивных давлений, так как от них зависело определение изгиба (прогиба), изгибающих моментов и поперечных сил. Возникло естественное предположение, что в местах наибольшего прогиба балки возникает наибольшая реакция грунта. Также было принято предположение, что между прогибом балки и реактивным давлением существует прямая зависимость и введено понятие «коэффициент постели», который является коэффициентом пропорциональности, зависящим только от физических свойств грунта. Это предположение получило название гипотезы Винклера, по фамилии ученого, который впервые использовал ее для расчета железнодорожных путей. В гибких балках наибольший прогиб приходится (возникает) под (местом приложения) нагрузкой(и) и, следовательно, наибольший отпор грунта получается вблизи нагруженного сечения. Все это позволило устанавливать распределение реактивных давлений вдоль балки с учетом ее гибкости, используя обычное дифференциальное уравнение изгиба балки.

На этой гипотезе основан метод местных упругих деформаций. Значительный вклад в развитие этой теории внес Н.М. Герсеванов [32]. Этот метод развивался в работах Б.Г. Коренева [57], Э.Ф. Корневица [58], П.Л. Пастернака [151], М.И. Горбунова-Посадова [36-41] и многих других ученых.

При решении задач методом упругих деформаций в случаях, если нагрузка распределена не по все длине балки, есть сосредоточенные силы или моменты, то для каждого участка, на которые разбивается балка, необходимо определять свои значения постоянных. Это приводит к составлению, а затем решению большого количества уравнений со многими неизвестными.

В дальнейшем в этот расчет были внесены значительные упрощения. Прежде всего, использование так называемой «бесконечно длинной» балки, концы которой настолько удалены от точки приложения нагрузки, что вблизи этой точки влияние концов уже не сказывается. Б.Г. Коренев [57] в своей работе показал возможное применение фиктивных сосредоточенных сил,

приложенных не в концевых сечениях, а в точках, лежащих за пределами длины конечной балки.

П.Л. Пастернак [151] предложил делить балку на участки и в отсеченных частях прикладывать для компенсации силы и изгибающие моменты. Этот способ эффективен при различных жесткостях по длине балки.

При решении балок с постоянной жесткостью методом упругих деформаций одним из лучших является упрощение, основанное на методе начальных условий. Он был предложен Н.П. Пузыревским [93] и получил свое дальнейшее развитие в трудах А.Н. Крылова [59], Г.Д. Дутова [43], В.А. Киселева [52] и A.A. Уманского [119].

Метод «функционального прерывателя», предложенный Н.М. Герсевановым [32] позволяет выразить одним уравнением закон распределения любой внешней нагрузки по всей балки.

Следует отметить ряд существенных недостатков, которыми обладает метод упругих деформаций. Основным недостатком этого метода является то, что внешние нагрузки распределяются на грунт только в пределах площади подошвы фундаментов. Другой недостаток заключается в неопределенности коэффициента постели, который не учитывает распределительную способность основания. В действительности, на реальном грунтовом основании понижение поверхности грунта наблюдается и за пределами нагруженного участка. Кроме того, коэффициент постели не учитывает размеров подошвы фундамент�