автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Действие подвижной нагрузки на балку, лежащую на упругом основании с переменными параметрами

| КМПРОМЫЯ ЭКЗЕМПЛЯР |

На правах рукописи

ШАПОВАЛОВ Сергей Николаевич

ДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ НА БАЛКУ, ЛЕЖАЩУЮ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2004г.

Работа выполнена на кафедре "Теоретическая механика" в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ).

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

ИВАНЧЕНКО Игорь Иосифович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

член - корреспондент РААСН, профессор

ШАПОШНИКОВ Николай Николаевич

кандидат технических наук ИВАНОВ-ДЯТЛОВ Владимир Иванович

Ведущая организация: ЗАО «НПО Транспортного машиностроения»

Зашита состоится «_»_2004 года в часов на заседании диссертационного совета Д 218.005.06 при Московском государственном университете путей сообщения

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим присылать по адресу университета: 127994, ГСП-4, Москва, ул. Образцова, 15, ауд_

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан «_»_2004 года

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. С ростом скоростей движения подвижного состава по железным дорогам возникает необходимость в совершенствовании методов расчета и в создании все более точных способов решения задач динамического взаимодействия подвижного состава (ПС) и верхнего строения пути. Возрастающие скорости и грузоподъемность транспортных средств, внедрение высокоскоростного движения по железным дорогам ведут к увеличению динамических нагрузок от движущихся объектов. Все более актуальной задачей становится учет разного рода неровностей и дефектов рельсового пути, влияющих как на безопасность движения поездов, так и на обеспечение комфортности при использовании железнодорожного транспорта. Стремительное развитие вычислительной техники и широкое внедрение ее в проектных организациях стимулируют разработку как более точных динамических моделей верхнего строения пути, так и численных алгоритмов для его расчета.

Так, при строительстве высокоскоростных магистралей (ВСМ) возникает необходимость прежде всего теоретически оценить вклад, вносимый динамическими процессами в напряженное и деформированное состояние верхнего строения пути в зависимости от роста скорости движения ПС. Поэтому задачи связанные с действием подвижной нагрузки на железнодорожный путь остаются актуальными для транспорта, так как выбор оптимальных, ресурсосберегающих параметров для конструкции пути во многом может определяться результатами математического моделирования вибраций, происходящих в верхнем строении пути при действии подвижных нагрузок на путь в местах нарушения однородности его опирания на балластную призму, например, в местах въезда нагрузки на участки, где происходит резкая смена жесткости основания или где имеются предмостовые просадки полотна.

На ряду с новейшими моделями пути, в виде дискретного пути, остается актуальной задачей разработка динамических моделей на основе традиционной модели распределенного пути, т. е. пути в виде балки на сплошном упругом основании или пути в виде балки на упругом основании с переменными по длине параметрами, т. е. с переменными коэффициентом постели, вязкостью основания и массой на отдельных участках балки-рельса. К такому классу моделей можно отнести предлагаемую в диссертации модель верхнего строения пути (ВСП), классифицируя ее как полудискретную. Актуальными являются также задачи построения как модели, позволяющей учитывать неоднородности в параметрах верхнего строения пути, так и эффективного численного метода расчета этой модели, использование которого позволяло бы получать решение с приемлемой точностью и при этом с затратами памяти ЭВМ и машинного времени не чрезмерно великими, что сделало бы этот метод применимым для решения проблемнадач-при испояъэшщтйй тупной в настоящее время вычислительной техш в кЙ9 ио Т К К А •

3 »^ЗзваЗ

Цели исследования состоят в разработке эффективных численных методов и алгоритмов для решения задач вертикальной динамики балок большой протяженности с переменными параметрами, моделирующими шпаль-ную решетку ВСП и упругое основание, при действии подвижных железнодорожных нагрузок или других неустановившихся воздействий.

В частности, в цели работы входит:

1) Разработка метода для расчета на воздействие подвижных нагрузок, обладающих массой, балок Бернулли-Эйлера и Тимошенко конечной длины, лежащих на упругом основании, с постоянными и переменными параметрами при тригонометрической аппроксимации смещении, на основе метода узловых ускорений для расчета стержневых систем на подвижную нагрузку, предложенного ранее в работах1 проф. Иванченко И. И.

2) Разработка динамических моделей верхнего строения пути, с использованием указанного подхода, и построение на его основе метода расчета на подвижную нагрузку, обладающую массой, итоговой модели в виде балки-рельса, опирающегося через прокладки на шпалы, обладающие массой, лежащие на упругом основании с переменными параметрами.

3) Построение эффективной шаговой процедуры для расчета на произвольные неустановившиеся вертикальные воздействия балок Бернулли-Эйлера и Тимошенко, лежащих на упругом основании с переменными параметрами, в том числе безмассовоую силовую нагрузку (движущуюся систему сосредоточенных сил), подрессоренные (неподрессоренные) массы с приложенными произвольными силами, системы экипажей, моделирующих вагоны.

4) Разработка методики и алгоритмов для расчета ВСП на подвижную нагрузку при учете влияния неровностей и просадок пути. Оценка влияния просадок путем введения эквивалентных неровностей для балок на сплошном упругом основании.

5) Определение динамических коэффициентов для различных моделей пути и ПС при движении шестиосного тепловоза, моделируемого механической системой 18 степенями свободы, движущегося по экспериментальному участку пути длинной 100 метров при различных скоростях его движения и присутствии ряда дефектов пути.

6) Разработка программного обеспечения для решения поставленных

задач.

На защиту выносятся: новые методы решения задач о действии подвижной нагрузки, обладающей массой, на балку, лежащую на упругом основании с переменными по длине параметрами, общие подходы и алгоритмы, построенные на их основе, для расчета взаимодействия пути в виде рельса на инерционных шпалах, лежащих на винклеровском основании, и подвижного состава.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1 Им АН РФ. - Механика твердого тела - 1997. - N6,2001. -N4

Предложены методы расчета на подвижную нагрузку балки, лежащей на упругом основании с переменными параметрами. В частности, научная новизна работы включает:

1) Предложен метод расчета на подвижную нагрузку, обладающую массой, балок Бернулли - Эйлера и Тимошенко конечной длины, лежащих на упругом основании с переменными параметрами. В основу метода положен подход к учету подвижной нагрузки, указанный выше и основанный на построении шаговых процедур относительно узловых ускорений движущихся и неподвижных узлов стержневой системы. Аппроксимация параметров системы проводится тригонометрическими рядами Фурье и конечными суммами в форме этих рядов. Предложенный метод для балок на упругом основании и комбинированных систем из этих балок позволяет на каждом шаге по времени иметь разрешающую систему уравнений с минимальным для задач на подвижную нагрузку числом неизвестных в виде величин полных ускорений точек контакта балки и подвижной нагрузки.

2) Предложена динамическая модель верхнего строения пути (полудискретная модель), состоящая из балки-рельса, опирающейся на соответствующих площадках, отвечающих расположению шпал, через упруго-вязкие распределенные связи, моделирующие прокладки, на элементы инерционного слоя переменной массы, моделирующего шпалы, опирающиеся в свою очередь на соответствующих площадках на упруго-вязкое винклеровское основание с переменными параметрами. Тестированная модель использовалась для исследования действия подвижной нагрузки на железнодорожный путь с неоднородностями.

3) Предложен алгоритм динамического расчета верхнего строения пути на подвижную нагрузку в виде системы движущихся сил, системы движущихся подрессоренных и неподрессоренных масс, системы жестких тел, соединенных упруго-вязкими связями, моделирующих экипажи.

4) Исследовалась задача о действии силовой движущейся нагрузки на балки конечные, большой протяженности, лежащие на упругом основании, в диапазоне критических скоростей движения силы по бесконечным балкам на упругом винклеровском основании.

5) На основе численного решения, построенного с использованием метода конечных разностей и шаговой процедуры по времени, исследовалось распространение волн смещения в балке Тимошенко на упругом винклеров-ском основании при действии сосредоточенной импульсивной нагрузки при привлечении рекомендуемых для верхнего строения пути параметров демпфирования упругого основания.

6) Построено решение о совместных плоских вертикальных колебаниях экспериментального участка пути длиной 100 м (при использовании для его моделирования предложенной полудискретной модели верхнего строения пути) и въезжающего на этот участок шестиосного локомотива (тепловоза). Динамическая модель локомотива, состоящая из кузова, тележек и колесных пар, моделируется системой из жестких тел, соединенных упруго-вязкими

связями. Указанная механическая система рассматривается как система с 18 степенями свободы. На основе полученного решения исследовалась динамика системы «локомотив - путь» с целью определения динамических коэффициентов при различных скоростях движения локомотива по пути с изолированными неровностями и с просадкой в балласте шпал.

7) Предложено (на основе числовых экспериментов для системы «локомотив - путь») введение при расчете пути с непрерывной моделью упругого основания адекватных для подвижного состава (на примере шестиосного тепловоза типа ТЭ116) эквивалентных изолированных неровностей на пути, т. е. неровностей подменяющих на данном участке пути неоднородности из-за просадок в балласте шпал.

8) Реализована процедура статического расчета указанных конструкций на базе шаговой процедуры, используемой в диссертации.

Достоверность основных научных положений обеспечивается строгостью математической постановки в пределах сформулированных допущений и применяемых гипотез, совпадением тестовых результатов с соответствующими результатами, принадлежащими другим авторам. (На каждом этапе выполнения работы проводилось тестирование предлагаемой методики).

Практическая ценность работы состоит в том, что методика, алгоритмы и программное обеспечение, разработанные в диссертационной работе, могут быть применены при решении широкого класса задач о действии подвижной нагрузки, обладающей массой на балку, лежащую на упругом основании с переменными параметрами, и задач статики. При этом тот факт, что как задачи неустановившейся динамики, так и задачи статики могут быть решены в единообразной форме, с использованием одного и того же программного продукта, предоставляет дополнительное удобство при оценке динамических коэффициентов в различных практических задачах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международном конгрессе «Механика и трибология транспортных систем -2003», на IV научно-практической конференции «Ресурсосберегающие технологии на железнодорожном транспорте», на IV научно-практической конференции «Безопасность движения поездов», на заседании научного семинара кафедры "Строительная механика" МИИТ'а под руководством профессоров А. В. Александрова и В.Д. Потапова, на заседании кафедры "Теоретическая механика" МИИТ'а, на конференциях "Неделя науки МИИТ'а" 2001, 2003,2004.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликованы 4 работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и пяти глав, заключения, списка литературы из 121 наименования и содержит 133 стр. машинописного текста, включая 39 рис.

Содержание работы. В первой главе диссертации отмечается "актуальность проблемы, цель и методы исследования, новизна и практическая ценность работы, а также приводится краткое содержание диссертации. Обосно-

ванию выбора метода предшествует краткая историческая справка. Обсуждаются следующие основные методы для решения задач на подвижную нагрузку, включая балки на упругом основании: 1) Инглиса1 -Болотина2, использующий обобщенные координаты и разложение прогиба по собственным формам конструкции; 2) Филиппова3, Муравского4, построенный на использовании интегральных уравнений относительно динамических реакций; 3) Иванченко5, объединяющий преимущества первых двух методов и решаю -щий задачи относительно узловых ускорений.

Значительные исследования по развитию методов и решению отдельных задач расчета конструкций на подвижную нагрузку провели авторы: А. В. Александров, А. Г. Барченков, В. В. Болотин, А. И. Весницкий, И. И. Гольденблат, А. С. Дмитриев, И. И. Иванченко, Г. М. Кадисов, Ю. Д. Каплунов, И. А. Колесник, С. И. Конашенко, С. С. Кохманюк, А. Б. Моргаевский, А. В. Метрикин, Г. Б. Муравский, В. С. Сафронов, С. П. Тимошенко, А. П. Филиппов, Н. Н. Шапошников, L. Fryba, Z. Reipert, J. Langer, I. Kaiser, K. Popp, K. Knothe, H. True, R. Bogacz, в том числе для балок на упругом основании: С. П. Тимошенко, Г. Б. Муравский, Б. Г. Коренев, В.Д.Данович М. Я. Рязанова, Г. П. Бурчак, В. Д. Потапов, Р. А. Римский, М. Н. Ручимский, А. И. Цейтлин, А. Я. Коган, 3. М. Гершунов, В. Ripke, К. Knothe, T. Dahlderg и др. Дискретные модели пути исследовали В. В. Говоруха, П. М. Белоцер-ковский, И. И. Иванченко В. Ю. Поляков, В. В. Кондратьев, К. Knothe , L. Fryba S. L. Grassie, R.W. Gregory» D. Harrison, K.L. Johnson и др.

В завершении главы дается обоснование выбора методики для учета действия подвижной нагрузки на балки, моделирующие ж.д. путь.

Вторая глава включает в себя развитие методов расчета балок на упругом основании на неустановившиеся воздействия, включая подвижные нагрузки. В главе рассматривается действие простейших подвижных нагрузок на балку на упругом основании с переменными параметрами. Рассматривается

модель пути в виде протяженной, шарнирно-опертой балки на упругом основании с переменными коэффициентом постели и переменной вязкостью основания. Применяется модель балки Эйлера-Бернулли. Масса балки равно-

Рис. 1

1 A mathematical treatise on vibrations in railways bridges. Cambridge Univ. Press, 1934. - 203 p.

J Изв. АН СССР. ОТД Механика и машиностроение. - 1961. •№ 4. - с. 109 - 115.

J Изв. АН СССР, Механика и машиностр., № 4,1964.

5 Изв. АН СССР ОТН. • 1962. -№ 6. - с. 168 • 169.

5 Изв. АН РФ. - Механика твердого тела. - 1997. - N6,2001. -N4.

мерно распределена по длине бачки. Параметры упругого основания (коэффициент постели и вязкость основания) изменяются по длине балки. Затухание учитывается по Фойхту. В качестве подвижной нагрузки рассматриваются силы постоянные и меняющиеся произвольно по величине. Нагрузка движется с постоянной скоростью.

Уравнение колебаний балки при движении системы сил и, соответственно, масс записывается в виде:

где у - прогиб балки; Е1 - жесткость рельса на изгиб; к,у,(л - коэффициенты, учитывающие упругость основания, диссипацию энергии в основании и рельсе; б(х-сг) - дельта функция; Раг,Р^г,й)г,аг - параметры нагрузки; I -длина балки; Сг - расстояние от первой колесной пары до г -ой, при этом с, =0; Ы3 - число сил (колесных пар состава); #(/) - единичная функция Хевисайда; V - скорость движения; Р1 = Ш, - массы грузов.

Используя разложение в ряды Фурье функций у, у, к, проводится дискретизация механической системы по пространственной координате х, ограничивая число членов ряда в соответствующих разложениях:

к = Ф2к;

Г = Ф2Г,

(2)

В (2) Ф^хМ)] и - векторы строки с элементами в виде функ-

ции , где - вектор столбец с

элементами из обобщенных координат, описывающих прогиб балки;

- векторы столбцы с элементами коэффициента-

ми при разложении £(дс), у(х) в ряды Фурье на отрезке [0,/].

После разложения функций в ряды Фурье, ограничения числа

членов ряда и подстановки (2) в (1), используя метод Галеркина, формируются уравнения для механической системы с степенями свободы:

Мя + Сч + Кч = 1*,

где: М, С, К. - матрицы масс, демпфирования и жесткости системы, И -вектор внешней нагрузки. Матрицы М, С ^ К в (3) формируются единообразно. Матрица жесткости в (3), например, имеет вид:

где £

Далее, проводится дискретизация по времени уравнения (3) с учетом подхода к действию на стержни и стержневые системы безмассовой нагрузки и шаговой процедуры по времен, предложенных И. И. Иванченко1. В итоге, на шаге формируются (для случая действия сосредоточенных сил) со-

отношения:

(5)

В (5): bj.fl/2 - вектор, учитывающий движущуюся вибрационную нагрузку в момент ^ 12', = -Д^ - вектор обобщенных скоростей

точек системы в момент Найденные значения (¡^(¡^ служат начальными

условиями для следующего шага. Далее процесс повторяется (]==0Д,2,3,.....).

Во второй главе проводится тестирование методики на примере балки с постоянным коэффициентом постели, а далее в качестве опирания балки-рельса длиной 100м на основание выбирается закон изменения коэффициента постели по длине балки в форме периодического набора уступов, участков упругого опирания балки-рельса. Аналогично решается вопрос и с учетом диссипации энергии.

1 Прикладная механика, 1988, т 24, № 9, с 109-118

На рис. 2 показаны фрагменты этой балки (длиной 5м), моделирующие путь, а на рис. 3, соответствующий им участок разложения функции к(х) по длине балки (/=100м), при сохранении 8000 членов ряда Фурье при разложении к(х) по функциям sin(r( -x/l).

В следующих разделах решается задача о действии на балку движущейся массы (Г = 1 в (1)). Используя метод узловых ускорений, ускорения в точке контакта груза и балки записываются в форме:

В (2) Фз[1хК)] и <t>4[lxNi] - векторы строки с элементами в виде функции -COS-—- и sin—у^- соответственно при »= 1,...,^,,

Действие движущейся нагрузки на балку на шаге определяется из условия динамического равновесия объекта. Для движущегося груза матричное уравнение в общем случае вырождается в равенство

Выполняя условие равновесия в движущемся узле (узлах), на каждом шаге формируется уравнение (разрешающая система), решая которую для груза имеем:

Зная ускорение на шаге [¿у,^,] и обеспечивая неразрывность смещений груза и балки в точке контакта, определяются обобщенные скорости и перемещения балки, а также смешения точек балки в момент по (Ьорму-

лам: Чу, = чу + + ч/+ш ; Чм = + Ч/ч«^,; = Фл^ •Далее

алгоритм повторяется прщ=1,2,3.____

В главе 2 проводится тестирование предложенной методики и алгоритма, используя известные решения. Для шарнирно-опертой балки при параметрах балки и нагрузки (с = 0.2, а - VI/(ял/Я/ /от), >3 = 3, /) = Рг/(т1%) Где.Г0 -

статический прогиб под силой Рг в середине балки (без основания) пролетом

/) определяется прогиб в середине пролета и динамическая реакция груза, используя разработанную методику и программу. На рис. 4, 5 представлены, соответственно, относительные прогибы и давления из работы С. С. Кохманюка1 (кривая 1) и по предложенной методике (кривая 2). На рис. 6, 7 представлены, соответственно, результаты для прогиба в середине балки-рельса длиной Юм на упругом основании при движении груза, вычисленные по разработанной программе, для балки на сплошном винклеровском основании (рис. 6), и для балки, моделирующей ж.д. путь (рис. 7).

В одном из разделов второй главы рассматривается задача о поведении балки конечной длины (большой протяженности) при действии движущейся силы в диапазоне известной критической скорости для бесконечной балки на винклеровском основакнии при отсутствии демпфирования

(у - . /4МУ =200,2 м/с). Известно, что у бесконечной балки прогиб под * " V т1

силой V —> Уф бесконечно возрастает, в рассматриваемом случае мы сталкиваемся с аналогичным явлением уже для балки рельса длиной 100м на упругом основании (к=1200 кг/см2 )., На рис. 8 представлены результаты для балки на сплошном упругом основании, на рис 9 - для балки, моделирующей путь при V = У . На рис. 10 и 11. соответственно, пселставлены прогибы при решении той же задачи при У=150 м/с . и У=300 М/с и реализации шаговой процедуры (1-4) при ДГ, =0.00005 с; _ДГа = 8000.

Рис. 4 Рис. 5

к,-

2,ОЕ«М

1.«Е«И 1.0Е«08 3.0Е+О7 О.ОЕ«Ю

2 Э

Рис.3

1 Кохманюк С. С, Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсивных и

подвижных нагрузках. • Киев: Наукова думка, 1980. - 231 с.

Третья глава посвящена действию подвижной железнодорожной нагрузки на балку-рельс Бернулли-Эйлера большой протяженности, лежащую на упругом основании с переменными параметрами, моделирующими путь. Рассматривается задача о въезде и движении с постоянной скоростью шес-тиосного локомотива. Плоская система «путь-локомотив» расчленяется на две подсистемы - локомотив и балку-рельс, прерывисто опирающуюся на упругое основание (рис. 2). Локомотив (тепловоз) моделируется механической системой, имеющей 18 степеней свободы и состоящей из жестких тел, соединенных упруго-вязким связями (рис. 20). Упругость колесных пар учитывается путем введения вертикальных упруго-вязких элементов между рельсом и колесной парой. Локомотив въезжает при нулевых начальных условиях для системы «путь - локомотив» на экспериментальный участок пути. Вертикальные смещения узловых точек локомотива отсчитываются от положения статического равновесия в системе координат, которая в дальнейшем

движется горизонтально с постоянной скоростью. Применяя метод декомпозиции и принцип Даламбера, формируется система уравнений для исследования вертикальной динамики локомотива:

МГС1Г + Сгцг + Кгдг = Иу. +

(9)

где - вектор узловых перемещений тепловоза; Мг, Ст, Кт - матрицы

масс, демпфирования и жесткости; - вектор динамических добавок к статическим реакциям колесных пар; - вектор, учитывающий влияние неровности пути.

Для численного решения системы дифференциальных уравнений (9) используется безусловно-устойчивая шаговая процедуру по времени, применяемая ранее в главе 2. После дискретизации по времени на шаге система (9) принимает вид:

Выделяя из (10) подсистему относительно узловых ускорений точек контакта колес Чпу(1 ^ и динамических добавок Цп в этих точках, формируется уравнение, которое является аналогом (7), при простейшей подвижной нагрузке:

где.М, =СГ], -С,,2СГцСП1; V, = СшСГдБп -БГ1 - выражения, состоящие из подматриц матриц учитывающих инерционность,

жесткость и диссипацию в подсистеме локомотив, неровности на рельсе, начальные условия для локомотива в момент

В случае движения тепловоза, как и в главе 2 для сосредоточенной массы, формируется вектор ускорений в точках контакта рельса и колесных пар, в форме векторного соотношения типа (6). Используя условия равновесия в движущихся узлах системы, т.е. исключая динамические добавки для колес тепловоза в (10) из уравнений типа (6), формируется на каждом шаге разрешающая система относительно только узловых ускорений в движущихся узлах рельса балки, лежащей на упругом основании с переменными параметрами, в форме:

^24^+1/2 - У2

(12)

где М2 - матрица, учитывающая инерционные, диссипативные и жесткост-ные характеристики системы «путь-локомотив»; У2 - вектор, учитывающий внешнюю силовую нагрузку, неровности на балке-рельсе и начальные значения обобщенных и узловых скоростей и смещений точек системы «путь-локомотив» в момент Определяя ускорения из (12), как и в главе 2 , совершается, как бы обратный ход, используя начальные условия в момент ^, определяются динамические реакции и скорости и смещения точек системы для момента времени которые служат начальными условиями для следующего шага. На рис. 12 и 13 изображены смещения (рис. 12) и изгибающие моменты (рис. 13) над шпалой (кривая 1) и между ними (кривая 2) в срединном сечении экспериментального железнодорожного участка пути длиной 100м при скорости движения тепловоза в зависимости от - по-

ложения первого колеса тепловоза..

Четвертая глава посвящена действию подвижной железнодорожной нагрузки на балку-рельс Тимошенко большой протяженности, лежащую на упругом основании с переменными параметрами, моделирующими путь.

В первых параграфах четвертой главы рассматривается вспомогательный пример. В динамических задачах использование балки Тимошенко конечной длины связано с изучением достоверности результатов при подмене

бесконечной балки балкой конечной длины. Возникает потребность в изучении влияния граничных условий для балки конечной длины на динамику взаимодействия колеса и рельса, так как вал-новая модель балки Тимошенко при динамическом воздействии на нее реализует

(в)

отраженные волны, что противоречит физической задаче о действии нагрузки на бесконечную балку. Однако, естественно предположить, что в реальной задаче диссипация энергии при волновой модели уменьшает амплитуду бегущей волны, поэтому если взять достаточно большой участок балки Тимошенко, то с учетом вязкости в прокладках рельса и в основании, отраженные волны от закрепленного конца могут быть столь малыми, что они не будут влиять на динамический контакт в системе «колесо-рельс».

Для выяснения этой проблемы в главе численно решается специальная задача о влиянии вязкости основания, прокладок и длины балки на амплитуду отраженной волны при действии на балку-рельс (Р75) длиной £ =96.6 М С заделанными концами сосредоточенной кратковременной постоянной по величине нагрузки (рис. 14).

На рис. 14 С1 -£/2 точка приложения кратковременной нагрузки; Сг - точка фиксации смещений для бегущей прямой и отраженной волн. Уравнения колебаний балки Тимошенко при действии импульса Р„{п и, соответственно, железнодорожной нагрузки имеют вид:

где - модули упругости; - коэффициент формы поперечного сечения; J,F - момент инерции и площадь поперечного сечения балки; у - вес единицы объема стержня; у/ - угол наклона касательной к кривой изгиба при пренебрежении сдвигами; к - коэффициент постели упругого основания; у^ - вязкость упругого основания; ^ - прогиб балки;

В главе 4 решая задачу о распространении волн, проводится пространственная дискретизация, используя конечноразностную аппроксимацию ( / = 1...И, п-число узлов, Дх=0.6м). Для временной дискретизации применяется, как и в (9), шаговая процедура, используемая в предыдущей главе. В кгом узле уравнение (13) представляется в виде

Составляя общую систему 2п дифференциальных уравнений в форме уравнений (9), определяется на каждом шаге Ж =

вектор узловых смещений, и углов поворота. Указанная задача решается при следующих параметрах основания: к=40 МН/м2, у,=10 кНс/м2, при Д/ = 0,4-10"'с и г„=2-0,4-10*5с-Итоги- числового эксперимента представлены на рис. 15-17. Предварительно в главе тестируется реализуемая методика и программа, исследуя характер и скорость распространения волн. Рассматривается задача о распространении волн в балке Тимошенко при к=0 и /|=0 при

действии указанного импульса, близкого к мгновенному, На рис. 15 показано, соответственно, в разные моменты времени распространение волны по длине балки (с учетом ее отражения от заделанных концов). Следует отметить, что характер распространения волн в балке Тимошенко совпадает с характером распространения продольных волн в стержне при действии мгновенного, сосредоточенного импульса1 (в классической волновой задаче). На рис. 16 изображено смещение в контрольном сечении при действии того же импульса, когда отсутствуют вязкость и упругое основание для стержня. На рис. 17 показано смещение в том же контрольном сечении, когда в программу вводится указанные вязкость и коэффициент постели основания. Отмечается, что величина вертикальных смещений, формирующих бегущую и отраженную волну, в фиксированном сечении в этом случае существенно снижается (рис. 17), что говорить о том, что эффект отраженной волны при замене бесконечной балки Тимошенко конечной, но большой протяженности, мало влияет на взаимодействие колеса и рельса, поэтому в реальных условиях диссипация энергии при прохождении участка рельсового пути более 50м обеспечивает достоверность получаемых результатов.

1.5Е-М ч.»

0,0Е*00

-1 !Е-0в

о ооч |,*ааа о 0014 1е оогв

Рис. 16 Рис 17

1 Кеч В., Теодореску П. В»едение • теорию обобщенных функций с приложениями » технике М.: Мир, 1978

16

В последующих параграфах четвертой главы рассматривается задача о въезде и движении с постоянной скоростью шестиосного локомотива на путь в виде балки Тимошенко, лежащей на упругом основании с переменными параметрами. Ход решения задачи совпадает с действиями при решении этой, задачи в третьей главе для случая балки-рельса Бернулли-Эйлера.

Используя разложение в ряды Фурье функций (], у/, к, в (13) проводится дискретизацию механической системы, по пространственной координате х, ограничивая число членов ряда в соответствующих разложениях

Ч = к=Фгк; Х,=Ф2^,где Ф, и Ф2 - векторы из (2)

Ф,[1хЛГ,3 - вектор строка с элементами в виде функции СОЭ^ЛТ//) / = г /} = 7Г • /; с[ вектор столбец (размер [Лг1 х 1]) с элемента-

ми из обобщенных координат, описы-ваюгцих прогиб балки; - вектор столбец (размер с элементами из обобщенных координат, описывающих угол наг клона касательной к кривой изгиба при пренебрежении сдвигами.

После разложения в (13) в ряды Фурье и использования метода Галер-кина формируется. система уравнений для механической системы с степенями свободы в форме (9), как и в главах 2 для сосредоточенной массы, формируется вектор ускорений в точках контакта рельса и колесных пар, в форме векторного соотношения типа (6).

Используя условие равновесия в движущихся узлах системы, т.е. тем самым исключая динамические добавки для колес тепловоза из выражения, типа (6), получаем разрешающую систему уравнений вида (12), относительно только узловых ускорений в точках контакта тепловоза и балки-рельса Тимошенко. Ход решения задачи по шагам и в рассматриваемом случае полностью совпадает с аналогичной задачей для балки Бернулли-Эйлера, рассмотренной в главе 3. В четвертой главе проводится сравнение результатов при решении одной и той же задачи и при использовании в качестве пути (на

экспериментальном участке) балки-рельса Эйлера (рис. 18) и при использовании балки-рельса Тимошенко (рис. 19). При этом в указанной ранее постановке задачи определяется динамическая добавка первой колесной пары при движении тепловоза через синусоидальную неровность у„ >уО-сов-^-), длиной 5м, глубиной д=5 мм. Отмечаются близкие величины реакций по качественным и количественным показателям, что говорит о возможной замене модели балки-рельса Тимошенко на более простую модель, связанную с балкой Эйлера, при оценке динамического поведения экипажа, движущегося по ВПС.

В пятой главе рассматривается более совершенная модификация полудискретной модели пути, в виде протяженной шарнирно закрепленной балки-рельса, опирающейся через прокладки на набор инерционных шпал, лежащих на винклеровском основании (упругость прослоек и основания могут быть переменными). На условно экспериментальный участок пути, как и в главах 3,4, въезжает и движется локомотив.

Рис. 20

Дифференциальные уравнения движения рельса и шпал на упругом основании, сохраняя обозначения, записываются в виде:

ЛГ,

т.

г=1

т2у2-^Нк^к2)у2-ГхУх+^+Г2^У2 = 0;

(15)

где у) — прогиб балки-рельса; у2 — прогиб шпальн ой решетки; от/ -погонная масса балки-рельса; Ц,УьУ2 К7> х г~ коэффициенты, учитывающие, соответственно, диссипацию энергии в рельсе, прокладках, основании, а также упругость прокладок и основания; т2 - функция распределения погонной массы шпал.

Используется, как и ранее, разложение в ряды Фурье функций у1, у2, Гь*л Г*** «л в формах: Л =<4.; Л = Ф2Ь,=Ф,Ч2;

А2=Ф2а2;г2=Ф2Ь2;/я2=Ф2с2)ГДе ф( и ф2 _ Еекторы из (2);

Я^^хЦ - вектор столбец с элементами из обобщенных координат, описывающих прогиб рельса; Ц 2 [Л^ X1] - вектор столбец с элементами из обобщенных координат, описывающих прогиб шпальной решетки; Ь,, С2 -векторы столбцы с размерами [Л^ х1], из элементов Ьц, С2 (¿ = 1,2),

коэффициентов разложения у^ (х), к\ (х), у2 (•*) > (•*)» в РЯДЫ

Фурье на отрезке [О/].

После разложения в (15) 3(х — Ск) в ряды Фурье и применения метода Галеркина придем к уравнениям механической системы с 2хЛ^ степенями свободы. Далее процесс решения задачи полностью повторяется и описан выше (при рассмотрении содержания глав 2,3,4). В итоге получаем разрешающую систему уравнений вида (12), относительно только узловых ускорений в точках контакта теловоза и пути, моделируемого плудискретной моделью, описанной выше.

Разработанная в главе 5 модель системы «полудискретный путь - локомотив» тестируется и используется для оценки влияния неровностей и просадок пути на динамическую добавку Я к статическим давлениям колесных пар локомотива. Для этого проводится серия экспериментов (заездов с разными скоростями тепловоза типа ТЭ116 на экспериментальный участок пути длиной / = 100 м с типовыми параметрами ВСП при Д/у=0.0002с, ^=200,

при количестве шагов ). На рис. 21 представлены резуль-

таты изменения динамического коэффициента 1+/^для давления колеса на рельс в зависимости от изменения скорости локомотива при встрече с синусоидальной неровностью длиной 5м и глубиной 5мм в середине участка. Далее проводится на базе числовых экспериментов попытка установить соответствие полученных теоретических материалов с рекомендуемыми в нормах и литературе. Формула для определение максимальных динамических добавок 8 при прохождении неподрессоренной массой неровности от неравноуп-ругости (обобщенного типа) для железобетонных шпал имеет вид1:

5 = 0,8 • 10

где и - модуль упругости основания, кг/см2; (Ц - вес неподрессоренной части, кг; к - коэффициент относительной жесткости рельса и подрельсово-го основания (Л =0,015); V - скорость д в и ж екм/щ ф, - коэффициент, учитывающий тип рельса (для Р75 ¡3 = 0,82); / - коэффициент, учитывающий род балласта (щебенка у — 1); £ - коэффициент, позволяющий учиты-

1 Вериго М. Ф., Коган А. Я. Взаимодействие пути и подвижного состава./ Под ред. М. Ф. Вериго. - М :

Транспорт, 1986. - 559 с.

вать влияние материала и конструкции шпал (для ж/б шпал £:= 0,2 - 0,322); / - расстояние между шпалами (/ = 55 см); Р- средняя нагрузка на рельс, кг.

В пятой главе в серию экспериментов включаются заезды тепловоза на путь с просадкой одной шпалы (в середине участка) для сравнения динамической добавки R от просадки шпалы с добавкой R, возникающей при прохождении эквивалентной (по максимальному значению R) синусоидальной неровности длиной Зм. Сравнение Я в этих случаях приведено на рис. 22, где при у=36 км/ч кривая 1 соответствует просадке одной шпалы, а кривая 2 -эквивалентной неровности. На рис. 23 приведено (на уровне динамических коэффициентов) сравнение результатов при изменении скорости, полученных по формуле (16) (кривая 1) и по перультатам числовых экспериментов при просадке одной шпалы ( кривая 2). Линейная по V функция (16) перекрывает достоверно участок графика 2 при скорости движения до 80км/ч. Поэтому, в соответствии с числовым экспериментом в главе 5 рекомендуется экстраполировать формулу (16) по прямой 3 (рис. 23). Предлагается методика введения при расчете пути эквивалентных неровностей (глубины ) в зависимости от v (рис. 24) для традиционной модели балки на сплошном винкле-ровском основании, при подмене этой неровностью дефекта в виде просадки в реальной задаче одной из шпал ж.д. пути. При этом рекомендуется использовать для этого результаты численного решения указанной задачи с просадкой для модели «полудискретный путь - локомотив». Глубины эквивалентных неровностей с длиной Зм представлены на рис. 24.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) Получил дальнейшее развитие метод расчета балок, лежащих на упругом основании, на неустановившиеся воздействия, включая подвижные нагрузки. Предложен эффективный метод расчета на подвижную нагрузку, обладающую массой, балок конечной длины Эйлера и Тимошенко, лежащих на упругом основании с переменными параметрами, при аппроксимации смещений конечными суммами тригонометрических функций и рядами Фурье.

2) Предложена динамическая модель, названная в диссертации полудискретной моделью верхнего строения пути, включающая в работу при вибрации рельса-балки от действия неустановившихся воздействий, упругие рельсовые прокладки, распределенные по длине рельса и инерционный слой с дискретным (по участкам) распределением массы, моделирующим массу шпал, опирающихся через площадки на упругое винклеровское основание с переменной жесткостью. Отличительной особенностью модели, где в качестве рельса могут быть выбраны модели балок Эйлера или Тимошенко, является способ опирания рельса, дискретно, через площадки на шпалы и упругое основание, что более реально отвечает действующим моделям верхнего строения пути. В предложенном методе, увеличение точности аппроксимации параметров задачи сохраняет первоначальный порядок разрешающих уравнений при действии подвижной нагрузки.

3) Разработана эффективная, в плане компьютерной реализации, мето- • дика и алгоритмы для расчета на воздействие подвижной нагрузкой комбинированных систем, состоящих из двух параллельных балок, связанных между собой упругой прокладкой с переменными параметрами, при этом возможно опирание нижнего стержня на упругое основание. Немаловажным является тот факт, что подобные системы могут быть использованы при расчете мостов на подвижные нагрузки.

4) Дана оценка влияния винклеровского основания, диссипации энергии в основании (модель Фойхта) на распространение волн деформаций в балке-рельсе Тимошенко большой протяженности, лежащей на упругом основании, при действии импульсивной нагрузки.

5) Проведено тестирование предложенной методики на различных задачах. Решено более 10 тестовых задач. Проведенные исследования включали в себя сравнение полученных числовых результатов с известными точными и численными решениями. Проведено сравнение результатов при решении одной и той же железнодорожной задачи при использовании в качестве модели для железнодорожного пути балок Тимошенко и Эйлера. Подтверждена возможность использования в качестве рельса модели балки Эйлера, как более простой, при изучении динамики подвижного состава.

6) Решена задача о совместных вертикальных колебаниях плоской модели тепловоза типа ТЭ116 (как системы с 18 степенями свободы) и экспериментального участка пути (с полудискретной моделью), при движении те-

пловоза с различными скоростями (от 36 до 252 км/ч) по пути с неоднород-ностями в виде неровностей и просадок шпал под рельсом. Предложена методика введения при расчетах пути эквивалентных просадкам изолированных неровностей для традиционных моделей железнодорожного пути, в виде балок на сплошном упругом основании.

7) Разработан комплекс программ «Путь1», предназначенный для решения значительного класса задач, связанных с динамическим расчетом верхнего строения пути.

Основное содержание работы опубликовано в следующих работах:

1. Иванченко И. И., Шаповалов С. Н. Воздействие подвижной вибрационной нагрузки на рельсовый путь с переменными параметрами // Ресурсосберегающие технологии на железнодорожном транспорте.-4-ая Научно-практическая конференция.- Труды конференции, МИИТ, июнь 2001.- V-21,22

2. Иванченко И. И., Шаповалов С. Н. Воздействие подвижной нагрузки на железнодорожный путь, моделируемый балкой с переменными параметрами // "Механика и трибология транспортных систем - 2003".Сборник докладов международного конгресса, Рост. Гос.ун-т путей сообщения, Ростов н/Д, 2003. С. 377-380

3. Иванченко И. И., Шаповалов С. Н. О взаимодействии пути и подвижного состава // Безопасность движения поездов.-4-ая Научно-практическая конференция.- Труды конференции, второе издание МИИТ, 2003.-111-15,16

4. Шаповалов С. Н. Взаимодействие подвижной нагрузки и железнодорожного пути, моделируемого балкой с переменными параметрами // «Неделя науки 2003». Тезисы, МИИТ, 2003.

ШАПОВАЛОВ Сергей Николаевич ДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ НА БАЛКУ, ЛЕЖАЩУЮ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 05.23.17-Строительная механика Подписано к печати -Формат 6x90 1/6 Объем 1.5 п. л. Заказ -325. Тираж 80 экз. Типография МИИТа, 127994, ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова, 15.

•ли 06 1S

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ И ЦЕЛИ РАБОТЫ.

1.1. Общая характеристика работы (актуальность проблемы, цель, методы, научная новизна).

1.2. Литературная справка и обоснование выбора методов исследования поставленной проблемы.

1.3. Краткое содержание работы.

2. ДЕЙСТВИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Действие силовой подвижной вибрационной нагрузки на балку на упругом основании с переменными коэффициентами.

2.3. Действие сосредоточенной силовой нагрузки на балку, лежащую на упругом основании с переменными параметрами при критических скоростях движения нагрузки.

2.4. Действие сосредоточенной массовой нагрузки на балку, лежащую на упругом основании с переменными параметрами.

3. ДЕЙСТВИЕ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ НА БАЛКУ-РЕЛЬС (МОДЕЛЬ ЭЙЛЕРА), ЛЕЖАЩУЮ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

3.1. Динамическое взаимодействие движущегося локомотива и железнодорожного пути с переменными параметрами. 3.1.1. Вертикальные колебания шестиосного локомотива.

3.1.2. Совместные вертикальные колебания локомотива и пути. . . :.

3.2. Взаимодействие движущегося локомотива и пути (тестирование методики).

4. ДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ НА БАЛКУ ТИМОШЕНКО, ЛЕЖАЩУЮ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С ПЕРЕМЕННЫ- \ МИ ПАРАМЕТРАМИ. б б

4.1. Исследование влияния граничных условий для модели балки-рельса Тимошенко конечной длины

Г' при действии кратковременной нагрузки. бб 4.2. Действие подвижной нагрузки на балку Тимошенко, лежащую на упругом основании с переменными параметрами.

5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА И ПУТИ, МОДЕЛИРУЕМОГО БАЛКОЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

5.1. Разработка модели пути в виде балки, опирающейся на упругое основание через инерционные прослойки, моделирующие шпалы.

5.2. Определение динамических коэффициентов при ' прохождении локомотивом участка пути с дефектами.

5.3. Действие подвижной нагрузки на комбинированные системы.

Исследования в области динамики сооружений, в частности динамики верхнего строения пути, воспринимающих подвижные нагрузки, обладающие массой, имеют большое значение для оптимального проектирования транспортных сооружений и обеспечения безопасности движения. Особенно актуальными эти задачи стали в последние годы, в связи с возрастанием скорости движения и грузоподъемности транспортных средств (железнодорожного подвижного состава).

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения инженерных задач при помощи ЭВМ является в настоящее время метод конечных элементов (МКЭ). Но использование МКЭ в задачах нестационарной динамики таких, как, например, о совместных колебаниях подвижного состава и пути в виде балки на упругом основании, требует (в большинстве случаев) высокой степени пространственной дискретизации, что в сочетании с характерными особенностями задач динамического расчета сооружений на подвижную нагрузку приводит к необходимости построения устойчивых шаговых процедур по времени, а при численной реализации - к расходованию чрезвычайно большого объема оперативной памяти ЭВМ и машинного времени для практического решения указанных задач. Поэтому существующие подходы, при их численной реализации, даже при использовании современных ЭВМ сталкиваются со значительными трудностями.

В данной диссертационной работе предлагается новая полудискретная модель пути в виде балки, опирающейся на упругое винклеровское основание через набор инерционных прослоек.

Задачи о применении полудискретного пути служат для моделирования процесса взаимодействия подвижного состава и пути более реально, делая модель «путь - вагон» более приемлемой и приближающейся к действительности, т. к. в отличие от традиционной дискретной модели (в том числе и на основе МКЭ) в указанной постановке задачи опирание балки-рельса в виде балки Эйлера или Тимошенко происходит не в отдельных точках, а по площадкам равным ширине прокладок, что в большей степени соответствует действительности и не искажает ее, как это наблюдается, например, при действии сосредоточенных сил, заменяющих шпалы, на балки-рельсы Эйлера или Тимошенко. Еще одним преимуществом указанной модели, является единообразное представление прогиба пути (балки-рельса) и распределенной массы рельса при использовании набора удобных тригонометрических функций, минуя стыковки отдельных элементов пути, что может вносить определенные погрешности в расчеты и требовать, как отмечалось ранее, увеличения пространственной дискретизации в указанных задачах. В то время, как по предлагаемой методике, увеличение точности представления о переменных параметрах пути, например, опирании, связанное с увеличением числа членов ряда для разложения функции коэффициента постели, например, от 8000 до 16000 и т.д., не влечет увеличение порядка разрешающей системы и дает, как это подтвердилось, хорошую сходимость и точность.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) Получил дальнейшее развитие метод расчета балок лежащих на упругом основании на неустановившиеся воздействия, включая подвижные нагрузки. Предложен эффективный метод расчета на подвижную нагрузку, обладающую массой, балок конечной длины Эйлера и Тимошенко, лежащих на упругом основании с переменными параметрами, при аппроксимации смещений конечными суммами тригонометрических функций и рядами Фурье.

2) Предложена динамическая модель, названная в диссертации полудискретной моделью верхнего строения пути, включающая в работу при вибрации рельса-балки от действия неустановившихся воздействий, упругие рельсовые прокладки, распределенные по длине рельса и инерционный слой с дискретным (по участкам) распределением массы, моделирующим массу шпал, опирающихся через площадки на упругое винклеровское основание с переменной жесткостью. Отличительной особенностью модели, где в качестве рельса могут быть выбраны модели балок Эйлера или Тимошенко - является способ опирания рельса, дискретно через площадки на шпалы и упругое основание, что более реально отвечает действующим моделям верхнего строения пути. В предложенном методе, увеличение точности аппроксимации параметров задачи сохраняет первоначальный порядок разрешающих уравнений при действии подвижной нагрузки.

3) Разработана эффективная, в плане компьютерной реализации, методика и алгоритмы для расчета на воздействие подвижной нагрузкой комбинированных систем, состоящих из двух параллельных балок, связанных между собой упругой прокладкой с переменными параметрами, при этом возможно опирание нижнего стержня на упругое основание. Немаловажным является тот факт, что подобные системы могут быть использованы при расчете мостов на подвижные нагрузки.

4) Дана оценка влияния диссипации энергии в винкле-ровском основании (модель Фойхта) на распространение волн деформаций в балке-рельсе Тимошенко большой протяженности, лежащей на упругом основании, при действии импульсивной нагрузки.

5) Проведено тестирование предложенной методики на различных задачах. Решено более 10 тестовых задач. Проведенные исследования включали в себя сравнение полученных числовых результатов с известными точными и численными решениями. Проведено сравнение результатов при решении одной и той же железнодорожной задачи при использовании в качестве модели для железнодорожного пути балок Тимошенко и Эйлера. Подтверждена возможность использования в качестве рельса модели балки Эйлера, как более простой, при изучении динамики подвижного состава .

6) Решена задача о совместных вертикальных колебаниях плоской модели тепловоза типа ТЭ116 (как системы с 18 степенями свободы) и экспериментального участка пути (с полудискретной моделью), при движении тепловоза с различными скоростями (от 36 до 252 км/ч) по пути с не-однородностями в виде неровностей и просадок шпал под рельсом. Предложена методика введения при расчетах пути эквивалентных просадкам изолированных неровностей для традиционных моделей железнодорожного пути, в виде балок на сплошном упругом основании.

7) Разработан комплекс программ «Путь1», предназначенный для решения значительного класса задач, связанных с динамическим расчетом верхнего строения пути.

119

1. Александров А. В., Гербер Б. Г. Вынужденные колебания плитно-балочных конструкций при движении нагрузок, обладающих массой. Труды Хабаровского ин-та инж. ж-д. транспорта, вып. 34, 1968.

2. Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н., Смирнов В. А. Методы расчёта стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2-х ч. М.: Стройиздат, 1976. - Ч. 1. - 248 с. - Ч. 2. - 237 с.

3. Анализ изгибных колебаний балки, обусловленных движением погонной нагрузки/ Глинов А. П.// Прикл. мат. и мех. (Москва). 1995.-59,N4. - С. 626-633.

4. Барченков А. Г. Динамический расчёт автодорожных мостов. М., 1976. - 200 с.

5. Барченков А. Г., Мальцев Р. И. Колебания плоских рам и балок под действием подвижных периодических сил // Тр. ВИСИ. 1964. - № 10. - Вып. 1. - с. 60 - 89.

6. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М. : Стройиздат, 1982. - 448 с.

7. Блох М. В. Поперечный удар по массе, укрепленной на бесконечной балке. Строит, механ. и расчет сооруж., №1, 1967.

8. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М. : Наука, 1963. - 504 с.

9. Болотин В. В. Задача о колебаниях мостов под действием подвижной нагрузки // Механика и машиностроение. 1961. - № 4. - с. 109 - 115.

10. Болотин В. В. О воздействии подвижной нагрузки на мосты // Тр. МИИТ. 1950. - Вып. 74. - с. 269 -296.

11. Болотин В. В. О динамическом расчете железнодорожных мостов с учетом массы подвижной нагрузки // Тр. МИИТ. 1952. - Вып. 76.

12. Болотин В. В. О критических скоростях подвижной нагрузки: Дис. . канд. техн. наук. М., 1950. - 138 с.

13. Бондарь Н. Г., Денишенко Ю. М. Приложение метода переменного масштаба времени к решению задач о динамическом воздействии подвижной нагрузки на сооружения // Исследования по теории сооружений. 1965. - Вып. 14.

14. Бондарь Н. Г., Козьмин Ю. Г. Динамический расчёт пролётных строений железнодорожных мостов // Динамический расчёт специальных инженерных сооружений / Под ред. Б.Г.Коренева, А.Ф.Смирнова. М. : Стройиздат, 1986. - С. 290-327.

15. Вериго М. Ф. Вертикальные силы, действующие на путь при прохождении подвижного состава. Тр. ВНИИЖТ, 1955, вып. 97, Трансжелдориздат, с. 25 - 288.

16. Вериго М. Ф., Коган А. Я. Взаимодействие пути и подвижного состава./ Под ред. М. Ф. Вериго. М. : Транспорт, 1986. - 559 с.

17. Вольпер Д. В., Моргаевский А. Б. О динамическом воздействии подвижной нагрузки при больших скоростях движения // Исследования по теории сооружений. 1963. -Вып. 12.

18. Высокочастотные вертикальные колебания рельса под действием подвижной гармонической силы/ Белоцерковский П. М.// Изв. АН. Мех. тверд, тела 1995. - N3. -С. 197-206.

19. Гальченко А. Г., Конашенко С. И. О колебаниях балки при движении по ней группы грузов и груза с пульсирующей силой // Тр. ДИИТ. 1963 . - Вып. 44. - С. 145-161.

20. Гогелия Т. И. Динамический расчёт конструкций на подвижные нагрузки с применением метода конечных элементов // Сообщение АН ГрССР, 115. 1984. - № 1. -С. 121-124.

21. Голоскоков Е. Г., Филиппов А. П. В кн.: Труды Лаборатории гидравлических машин АН УССР, 10. Изд-во АН УССР, К.: 1962

22. Гольденблат И. И. Динамическая устойчивость сооружений. Стройиздат, 1948.

23. Гольденблат И. И. Современные проблемы колебаний и устойчивости инженерных сооружений. Стройиздат, 1947.

24. Динамика бесконечной балки Тимошенко, лежащей на основании с двумя упругими характеристиками, при движении деформируемого экипажа./ Александров В. М., Дуплакин И. А.// Изв. АН. Мех. тверд, тела.- 1996.-N1.-С.150-197.

25. Иванченко И. И. Воздействие импульсивных и подвижных нагрузок на балку, лежащую на упругом основании // Строит, механика и расчет сооружений.-1976 . № 1.- С.44-46.

26. Иванченко И. И. К динамическому расчёту мостов на подвижную нагрузку в виде железнодорожного состава // Строительная механика и расчёт сооружений. 1989. -№6. - С. 26-31.

27. Иванченко И. И. Метод расчета на подвижную нагрузку стержневых систем, моделирующих мосты // Изв. АН РФ. Механика твердого тела. - 2001. -N4. с. 151 -165.

28. Иванченко И. И. О действии подвижной нагрузки на мосты. // Известия АН РФ, Механика твердого тела, 1997, №6, с.180-185.

29. Иванченко И. И. Расчёт стержневых систем с распределёнными параметрами на неустановившиеся воздействия // Строительная механика и расчёт сооружений. 1987. №5. - С. 60-67.

30. Иванченко И. И. Расчеты на подвижные и импульсные нагрузки стержневых систем с распределенными параметрами // Прикладная механика, 1988, т.24, № 9, с.109-118.

31. Иванченко И. И. Теоретические исследования воздействия высокоскоростной подвижной нагрузки на стержневые и комбинированные системы // Труды МИИТа №921. -1999. с.

32. Иванченко И. И., Грошев Д. Г. Применение метода конечных элементов для изучения колебаний несущих конструкций при действии подвижных нагрузок / Моск. гос. ун-т путей сообщения (МИИТ) . М., 1999. - Деп. в ВИНИТИ 28.05.99, №1б78-В99.

33. Иванченко И. И., Шаповалов С. Н. О взаимодействии пути и подвижного состава // Безопасность движения поездов.-4-ая Научно-практическая конференция.- Труды конференции, второе издание МИИТ, 2003.- III-15, 16

34. Ильясевич С. А. Основы динамического расчета балочных металлических мостов. Госмашметиздат, 1934.

35. Катаев С. К. Применение метода конечных элементов при расчёте конструкций на подвижную нагрузку: Автореферат дис. . канд. техн. наук. М., 1984. - 24 с.

36. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М. : Издательство Мир, 1978, с. 518

37. Коган А. Я. Динамика пути и его взаимодействие с подвижным составом. М.: Транспорт, 1997. 326 с.

38. Конашенко С. И. К вопросу о вынужденных колебаниях простой балки при равномерном движении по балке силы и группы сил // Тр. ДИИТ. 1956. - Вып. 25. - с. 275 - 300

39. Коренев Б. Г. Движение силы по бесконечной длинной балке, лежащей на упругом основании. Строит, механ. и расчет сооруж., № 3, 1967.

40. Коренев Б. Г., Ручимский М. Н. Некоторые задачи динамики балок на упругом основании ЦНИПС, научное сообщение, вып. 20, Гос. Изд. Литературы по строит. И архитектуре, 1955.

41. Кохманюк С. С., Филиппов А. П. Динамическое действие на балку груза, движущегося с переменной скоростью. Строит, мех. и расчет сооружений. №2, 1967.

42. Кохманюк С. С., Филиппов А. П. Колебания стержней при подвижной нагрузке // Строительная механика корабля. J1.: Судостроение, 1968. - Вып. 108. - с. 108 -112.

43. Кохманюк С. С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсивных и подвижных нагрузках. Киев: Наукова думка, 1980. - 231 с.

44. Кравченко Г. Ф. Об одной задаче колебаний шар-нир-но-опёртой балки под действием движущихся грузов // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1968. Вып. 7. - С. 128-135.

45. Крылов А. И. Вибрации судов. М. : ОНТИ, 1936. - 404 с.

46. Крылов А. Н. Движение постоянной силы по массивной балке. Математический сборник, СПб, 1905, №61.

47. Львовский В. М. О равномерном движении сосредоточенной нагрузки по бесконечной балке, лежащей на упругом массивном двухслойном основании. Извест. высш. учебн. заведений, № 2, 1964.

48. Майзель Ю. М. О величине динамического коэффициента для балок при действии подвижной нагрузки // Науч. тр. Днепропетровского металлург, ин-та. 1958. -Вып. 34.

49. Механическая часть тягового подвижного состава: Учебник для вузов ж.-д. трансп. / И. В. Бирюков, А. Н. Савоськин, Г. П. Бурчак и др.: Под ред. И. В. Бирюкова, -М.: Транспорт, 1992. 440 с.

50. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М. : Наука, 1964.

51. Моргаевский А. В. О влиянии рессор на величину динамического эффекта подвижной нагрузки // Исследования по теории сооружений. 1965. - Вып. 14.

52. Моргаевский А. В., Карпов JI. Н., Никитин Г. Ф. Об исследовании величины динамического воздействия подвижной нагрузки с учётом высших гармоник // Исследования по теории сооружений. 1968. - Вып. 16. - С. 1524.

53. Моргаевский А. В., Кожемякина И. Ф. Решение задачи о динамическом воздействии подвижной нагрузки с учетом сдвига и инерции вращения // Динамика и прочность машин. 1976. - Вып. 23. - с. 23 - 27.

54. Моргаевский А. В., Кучма Т. К. О динамическом воздействии подвижной нагрузки, распределённой на участке конечной длины // Динамика и прочность машин. 1971. -Вып. 12. С. 72-80.

55. Муравский Г. Б. Алгоритм исследования динамики линейно-деформируемых систем при действии подвижной нагрузки // Сб. тр. ДИИТ. 1983. - Вып.: Вопросы динамики мостов и теории колебаний. - С. 40-48.

56. Муравский Г. Б. Действие подвижной нагрузки на балку бесконечной длины, лежащую на упругом основании // Тр. МИИТ. 1961. - Вып. 34. - С. 54-84.

57. Муравский Г. Б. Колебания бесконечной балки Тимошенко на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений. 1979. - № 6. - с. 56 - 61.

58. Муравский Г. В., Поволоцкая М. Ф. К вопросу о действии подвижной нагрузки на деформируемые системы //

59. Строительная механика и расчёт сооружений. 1988. - № 3. - С. 38-42.

60. Пановко Я. Г. Механика деформируемого твёрдого тела. Современные концепции, ошибки и парадоксы. М. : Наука, 1985. - 288 с.

61. Порхун JI. М. К вопросу нестационарных колебаний балок на нелинейном упругом основании под действием движущегося груза. Donobigi, АН УРСР № 10, 1967.

62. Радзиховский Ю. А., Ройтбурд 3. Г., Тененбаум Э. М. Взаимодействие одиночного экипажа с балочным пролётным строением // Тр. ДИИТ. 1973. - Вып. 150. - С. 139-146.

63. Радзиховский Ю. А., Ройтбурд 3. Г., Тененбаум Э. М. Взаимодействие подвижного состава с балочным пролётным строением железнодорожного моста // Тр. ДИИТ. -1973. -Вып. 150. С. 216-236.

64. Расчет балки переменного сечения на упругом основании, обладающем переменной податливостью / Барданов Ю. М., Дорофеев В. С. // Расчет и оптим. проектир. строит, конструкций: Матер, междунар. симп., Владимир, 22-24 мая, 1996.-Владимир, 1996.-С. 113-114.

65. Рязанова М. Я. Колебания ограниченной и неограниченной балок на упругом основании под действием движущейся нагрузки. Donobigi, АН УРСР № 3, 1965.

66. Рязанова М. Я., Филоненко Г. Г. О колебаниях бесконечной балки на упругом основании при подвижной нагрузке с учетом рассеивания энергии. Прикладная механика № 8, 1965.

67. Тартаковский Р. Н. Расчет рельса на изгиб в вертикальной плоскости с учетом динамической эластичности пути. Кандидадская диссертация, М., 1953.

68. Терентьев В. Н., Филиппов А. П. Вынужденные установившиеся колебания бесконечных балок, лежащих на упругом полупространстве. Прикладная механика, № 9, 1965.

69. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. -М.: Наука, 1967. 444 с.

70. Тимошенко С. П. О вынужденных колебаниях призматических стержней. Известия Киевского политехнического института, IX, 1908.

71. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 734 с.

72. Филиппов А. П. Динамическое действие на балку с шарнирным концом- груза и гармонической силы, движущейся с постоянной скоростью. Изв. АН СССР, Механика и маши-ностр., № 4, 1964.

73. Филиппов А. П. Установившиеся колебания бесконечной длинной балки, лежащей на упругом полупространстве, под действием движущейся силы. Изв. АН СССР, отд. техн. и механ. и машиностр., № б, 1961.

74. Филиппов А. П., Кохманюк С. С. Динамическое воздействие подвижных нагрузок на стержни. Киев:. Нау-кова думка, 1967. - 132 с.

75. Филиппов А. П., Кохманюк С. С. Расчёт сооружений на подвижные нагрузки // Динамический расчёт зданий и сооружений / Под ред. Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича. М. : Стройиздат, 1986. - С. 205-211.

76. Чернышев М. А. Практические методы расчета пути. -М.: Транспорт, 1967. 243 с

77. Шапошников Н. Н., Катаев С. К., Бабаев В. В., Долганов А. А. Расчёт конструкций на действие подвижной нагрузки с использованием метода конечных элементов // Строительная механика и расчёт сооружений. 1986. - № 1. -С. 50-54.

78. Шапошников Н. Н., Кашаев С. К., Белозерская О. В. Развитие методов численного интегрирования уравнений движения динамических систем // Известия вузов. Строительство. 1997. - № 9. - С. 89-93.

79. Шахунянц Г. М. Расчеты верхнего строения пути. Трансжелдориздат, 1959.

80. Якушев Н. 3. Динамика деформируемых систем под воздействием подвижных нагрузок // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан. Ун-та, 1972. - Сб. 8. - С. 3 - 42.

81. Borowicz Т. Wytezenie belek pod obciazeniem ruchomyn. // Arch, inz. lad. 1978. - 24, N. 2, s. 219-235.

82. Chudzikiewicz A., Myslinski A. "Wheel rail contact problems with wear and heat flow"// Proceedings of the conference: Vehicle system dynamics, identification and anomalies.- 6-8 November, 2000, Budapest, Hungary, pp.

83. Coupled vibration of contact spring-moving mass system and elasticaly supported beam / Ryu Yunseon, Terumich. Yoshiaki Sudi Yoshihiro, Ohno Shinichill Seisan Kenkyu.=Mon. J. Inst. Ind. Sci./Univ. Tokyo.-1995.-47. N10.-C.514-517.

84. Dahlderg Т. / Dynamic interaction between train and non-linear railway track model // Structural Dynamics EURODYN 2 002, Vol. 2. P. 1155 - 1160.

85. Discretely supported rails subjected to transient loads / Kalker J. J. // Vehicle Syst. Dyn. -1996.-25, Nl.-C.71-88.

86. Dynamic analysis of beams on an elastic foundation subjected to moving 1996.-198, N2.-C.149-169.

87. Dynamic effects in the rail vehicle track system for elastic-plastic foundation / Grzyb A. // Eng. Trans. - 1995.-43, N3.-C.413-425.

88. Dynamicka odozva u zelezniu cneho zvru sku na prevadzkove zatau zenie / Moravu cik M.// Inz. Stavby.-1993.-41,N7-8.-C.237-242.

89. Fryba L. Vibration of solids and structures under moving loads. Prague: Academia, 1972. - 484 p.

90. Grassie S.L., Gregory R.W., Harrison D., Johnson K.L. The dynamic response of railway track to high frequency vertical excitation //J. Mech. Engng. Sci. 1982. V. 24. No.2 P.77-90

91. Influence of motion of the load distributed over a given length on bending moment and shear force in a track modelled as Timoshenko beam / Grzyb Andrzej // Period, polytechn. Transp. Eng.-1993.-21,N2 .-C.

92. Inglis S. E. A mathematical treatise on vibrations in railways bridges. Cambridge Univ. Press, 1934. 203 p.

93. Ivantchenko I. I. The development of analytical models for railway track dynamics, Euromech Colloquium409, Abstracts, Dynamics and Long-Term Behaviour of Railway Vehicles, Track and Subgrade, University of Hannover, Germany, Martch 6-9, 2000, pp.37.

94. Ivantchenko I. I. The development of models for high speed railway track and bridges dynamics International Symposium on Speed-up and Service Technology for Railway and Maglev Systems STECH'03, 2003. - Tokyo JAPAN, pp. 512-517.

95. Ivantchenko I. I. Design of framed structures modeling bridges for moving loads // Mechanics of solids. No. 4, Vol. 36, 2001. pp. 121-132.

96. Ivantchenko I. I. Dynamic interaction of high speed railway train and bridges, Structural Dynamics. -EURODYN 2002. Vol. 2. - pp. 1173 - 1178.

97. Ivantchenko I. I. Analytical study dynamic interaction between vehicles and viaducts in high speed railways// Proceedings of the conference: Vehicle system dynamics, identification and anomalies.- 6-8 November, 2000, Budapest, Hungary, pp. 119-128.

98. Kaiser I., Popp K. The behaviour of a railway bogie in the mid-frequency range, EUROMECH Colloquium 409. University of Hannover, Germany, March. 6-9, 2000. - p. 15.

99. Kenne J. T. Steady-state Vibrations of Beam on Elastic Foundation for Moving Load. Journal of Appl. Mech., v. 21, N 4, 1954.

100. Knothe K. Benchmark test for models of railway track and of vehicle/track interaction in the low frequency range Vehicle system dynamics, supplement.24 (1995), pp.363-379.

101. Knothe К., Gerstberger U. , Wu Y. Nonlinear time-domain model for vertical dynamics of ballasted track, EUROMECH Colloquium 409. University of Hannover, Germany, March 6-9, 2000. - p. 6.

102. Licari J. S., Wilson E. N. Dynamic responses of a beam subjected to a moving force system. Proc. 4th U.S. Nat. Congr. Appl. Mech., Berekley, 1962, 1. -p. 419-425.

103. Mathews P. M. Vibrations of beam on elastic foundation. Zeitschr. Fur angew. Math. U. Mech. B. 34, Hl/2, 1958.

104. Nilsen J., True H. A Polynomial approach to contact mechanics birkedal// Proceedings of the conference: Vehicle system dynamics, identification and anomalies.- 6-8 November, 2000, Budapest, Hungary, pp.

105. Schallenkamp A. Schwingungen von tragern bei bewegten lasten. Ing.-Arch., 1937, 8, N. 3. - s. 182198.

106. Schallenkamp A. Transversal-Schwingungen eines einseitig eingespannten tragers bei bewegter last. Ing.-Arch., 1943, 13, N. 5. s. 267-272.

107. Simulation of high Frequency vehicle-track interactions/ Ripke Burchard, Knothe Klaus// Vehicle Syst. Dyn. 1995.-24, Suppl.-C. 72-85.

108. Steady-state displacement of a beam on an elastic half-space due to a uniformly moving constant load/ Dieterman H. A., Metrikine A. V.// Eur. J. Mech. A J. mec. theor. et appl..-1997.-16, N2.-C.

109. Steele C. R. The Timoshenko beam with a moving loads. Thans ASME. 1968. E 35 N 3.

110. Stokes G. Mathematical and Physical Papers, Cambridge, v 2, 1849.

111. Theoretical investigations into the dynamical properties of railway tracks using a continuous beam model on elastic foundation / Zobory Istvan, Transp. Eng. 1994.-22, Nl.-C.35-54.

112. Timoshenko S. Method of Analysis of Statical and Dynamical Stresses in Rail. Verhandl. Des 2. Internation Kongresses fur Techn. Mechanik, Zurich, 1926.

113. Transverse vibrations of an Euler-Bernoulli uniform beam carrying two particles in-span. Naguleswaran S. Ind. J. Mech. Sci. 2001. 43, N12, C. 2737-2752.

114. Vostrukhov A. V., Metrikine A. V.How much energy does a high-speed train loose to excite a ground vibration, EUROMECH Colloquium 409. University of Hannover, Germany, March 6-9, 2000. - p. 10.

115. Willis R. Appendix to the Report of the Commissioners to Inquire into the Application of Iron to Railway Structures, L. 1849.

116. Yang Y.B, Wu Y.S. Behavior of moving trains over bridges shaken by earthquakes // Structural Dynamics EURQDYN2002, Vol.1. P.509-514.