автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Воздействие высокоскоростных подвижных нагрузок на балки, плиты и полупространство

На правах рукописи

Нгуен Чонг Там

ВОЗДЕЙСТВИЕ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА БАЛКИ, ПЛИТЫ И ПОЛУПРОСТРАНСТВО

05.23.17 — Строительная механика

автореферат 2 3 СЕН 2015

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

005562493

Москва-2015

005562493

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» МГУПС (МИИТ) на кафедре «Мосты и тоннели».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Курбацкнй Евгений Николаевич

Официальные оппоненты:

Демьянушко Ирина Вадимовна, доктор технических наук, профессор, федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ)», кафедра «Строительная механика», профессор;

Сизов Дмитрий Константинович, кандидат технических наук, Общество с ограниченной ответственностью «Вибросейсмозащита», начальник отдела виброизмерений и проектирования виброзащиты.

Ведущая организация:

Открытое акционерное общество по проектированию строительства мостов «Институт Гипростроймост» (ОАО «Институт Гипростроймост»).

Защита состоится «07» октября 2015 г. в 15:00 ч. на заседании диссертационного совета Д 218.005.05 на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» по адресу: 127994, г. Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9, ауд. 7618.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте МГУПС (МИИТ). www.miit.ru.

Автореферат разослан « » 2015 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Шавыкина Марина В итальевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность работы. При движении современных высокоскоростных экипажей, поездов, самолетов и автомобилей, увеличение уровней вибраций особенно значительно, когда скорости движения экипажей приближаются к критическим скоростям распространения волн в рельсах, плитах и грунте. Наиболее важными являются три типа таких критических скоростей: скорость поверхностной волны Рэлея в грунтах, скорость волн в плитах и минимальная фазовая скорость изгибных волн, распространяющихся в верхнем строении пути. Все эти критические скорости могут быть даже превышены современными высокоскоростными поездами и автомобилями, особенно в случае, когда трассы расположены на мягких грунтах. При взлёте и посадке авиалайнеров их скорости могут достигать больших значений и так же превышать критические.

Степень разработанности темы. Проблемами воздействия подвижных нагрузок на сооружения занимались многие ученые: Тимошенко С.П., Александров A.B., Болотин В.В., Барченков А.Г., Муравский Г.Б., Бондарь Н.Г., Иванченко И.И., Потапов В.Д, Курбацкий E.H., Симонов И.В., Голылтейн Р.В. и другие авторы. Из учёных других стран, работавших в этой области, следует отметить: Lamb Н., Fryba L., Verruijt A.., LuSun, Kim S.M., Roesset J.M., Auersch L., Yang Y.B., Yau J.D., Wu Y.S., и др. Особенно следует отметить серию работ Крылова В.В., занимавшегося научным сопровождением при проектировании высокоскоростных трасс в Европе.

Теорема взаимности Бетти-Рэлея для решения динамических задач использовалась многими авторами. В первую очередь отметим классиков: Лява А., Тимошенко С.П., Lamb Н., Wite J.E. При решении прикладных динамических задач строительной механики и теории упругости теорему взаимности применяли: Зылев В.Б., Курбацкий E.H., Титов Е.Ю., Сан Ли Тун, Аунг Мо Хей, Cao Y.M., Xia Н., Lombaert G. и др.

Цель работы — исследование напряженно-деформированного состояния балок, плит на упругом основании и полупространства при воздействии высокоскоростных подвижных нагрузок.

Задачи исследования:

- выполнить анализ существующих методов расчёта балок, плит и полупространства на высокоскоростные нагрузки;

разработать аналитические методы расчета балок, плит и полупространства на подвижные нагрузки;

- разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния балок и рельсов при воздействии высокоскоростных нагрузок;

- разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния

автодорожных и аэродромных плит при воздействии высокоскоростных нагрузок;

- разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния полупространства при воздействии высокоскоростных нагрузок;

- разработать методики определения критических скоростей и критических коэффициентов демпфирования для верхнего строения пути и автодорожных и аэродромных плит;

- выполнить расчёты по оценке воздействий высокоскоростных нагрузок на реальные конструкции.

Научная новизна:

1) разработан аналитический метод определения напряжённо-деформированного состояния балок, плит и полупространства при воздействии подвижных нагрузок;

2) разработан метод определения критических скоростей для разных моделей балок, плиты и полупространства;

3) разработаны методики определения критических коэффициентов демпфирования для разных моделей балок;

4) разработаны методики решения динамических задач с использованием интегрального преобразования Фурье и обобщённых функций;

5) разработаны методики решения динамических задач с использованием свойства взаимности функции Грина.

6) разработана методика оценки вибраций тоннельной обделки при

движении поездов.

Методология и методы исследования включают построение математических моделей рассматриваемых систем, их численный и аналитический анализ с использованием преобразования Фурье, обобщенных функций, теории вычетов и дискретного быстрого преобразования Фурье (БПФ); сопоставление полученных результатов; разработку предложений по использованию полученных результатов в инженерной практике.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные решения можно использовать для определения критических параметров при проектировании высокоскоростных транспортных дорог и разработки нормативных документов.

Разработанные методики можно использовать для оценки воздействий на конструкции и окружающую среду при движении высокоскоростного транспорта.

Достоверность и обоснованность. При разработке метода решения задач используются известные положения теории упругости и теории

распространения волн, а также интегральные преобразования.

Выполнено сравнение результатов, полученных по разработанным методикам.

Аналитические решения и исследования задач выполнены с помощью программного комплекса MATLAB R2009b.

Достоверность исследований подтверждается хорошим совпадением результатов, полученных с использованием разных аналитических методов, а также с результатами, полученными другими авторами.

Основные положения, выноснмые на защиту:

- методы решения задач воздействия высокоскоростных подвижных нагрузок на балки, плиты на упругом основании и полупространство с использованием интегрального преобразования Фурье, свойств аналитичности изображений Фурье обобщенных функций, теории вычетов и быстрого преобразования Фурье (БРФ);

- результаты по определению критических скоростей движения нагрузок по разным моделям балок, по плитам и полупространству, и формулы для определения критических вязких параметров демпфирования упругого основания;

- результаты по оценкам колебаний балок, плит и полупространства при воздействии подвижных нагрузок;

- приложение теоремы взаимности при решении динамических задач на подвижные нагрузки.

Апробация работы. Основные научные результаты докладывались:

- на научно-практической конференции «Неделя науки-2013. Наука МИИТа - транспорту» в МИИТе, г. Москва, 25 апреля 2013 г.

- на научной конференции «Потенциал интеллектуально одаренной молодежи развитию науки и образования», г.Астрахань, 20-24 мая 2013 г.

- на научной конференции «Перспективы развития строительного комплекса», г. Астрахань, 28-31 октября 2013 г.

- на научной конференции «Потенциал интеллектуально одаренной молодежи развитию науки и образования», г. Астрахань, 21-25 мая 2014 г.

- на международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» в Московском государственном строительном университете (МГСУ), г. Москва, 16 декабря 2014 г.

Публикации: По материалам исследования опубликовано 5 статей, из которых 3 - в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов диссертационных работ на соискание степени кандидата технических наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 122

страницах машинописного текста, состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 55 рисунков и список литературы из 57 наименований, из них: 28российских авторов и 29 - зарубежных авторов.

Основное содержание диссертации

Во введении показана актуальность темы диссертации, изложена структура диссертации, сформулированы цель и задача диссертации, научная

новизна и практическая ценность.

В первой главе диссертации выполнен литературный обзор, дан краткий анализ и сравнение методов оценки воздействий высокоскоростных подвижных

нагрузок на сооружения.

Колебания поверхности грунта, создаваемые различными подвижными нагрузками (железнодорожные поезда, поезда метро, автомобили), вызывают значительное беспокойство у жителей расположенных рядом с трассами зданий. При возрастании скоростей движения интенсивность генерируемых колебаний, как правило, увеличивается.

Теоретически было предсказано, если скорость движения поездов превышает скорость распространения волн Рэлея Сц в грунте, являющемся основанием пути, вибрации существенно возрастают. Возрастание вибраций при движении поездов со сверх рэлеевскими скоростями было подтверждено экспериментально на европейских высокоскоростных трассах, на участках с мягкими грунтами, на которьгх скорости движения поездов достигали и превышали скорости распространения волн Рэлея.

Наиболее важными являются два типа таких критических скоростей: скорости поверхностных волн Рэлея и минимальные фазовые скорости изгибных волн, распространяющихся в конструкции пути, уложенного на балластном слое. Скорость распространения изгибных волн называют критической скоростью верхнего строения пути.

Во второй главе представлены аналитические решения прогибов и внутренних усилий в балках на упругом основании при движении сосредоточенных постоянных и периодических сил. В качестве моделей балок использовались балки Эйлера-Бернулли, Рэлея и Тимошенко (рисунок 1).

Дифференциальное уравнение для модели балки Тимошенко:

я4« ,Г Е Л д*и т2г2 д4и д2и ди , , л /1Л

Е1—-тг2\ 1+— " +—--т■ + m—T+c— + ku=q(x,f). (1)

&4 { ув )дх2д12 увАд? а/2 дг

где: т, Е, й - погонная масса и модули упругости при растяжении и сдвиге материала балки;

I, А, г- момент инерции, площадь, радиус инерции поперечного сечения балки;

у = А/Ас,- коэффициент, учитывающий влияние формы сечения на деформацию сдвига элемента балки; Аач- площадь стенки,

к- коэффициент постели упругого основания, с- вязкое демпфирование основания.

Я(хД)5(х-У0

_т,ЕДЛ,г,у_| —з- Рисунок 1- Расчетная модель

кс балки на сплошном упругом

\Ч\ччч|ч\\\гч ччч^ччччччччч^ч^л'ччЧ чЧч основании с учетом

' демпфирования

Для решения дифференциального уравнения (1) с граничными условиями на бесконечности х-И-±оэ, х-И-э—оо: м(х,г) = 0, и'(х,{) = 0 и и"(х,г) = ит(х,1) = 0 применим интегральное преобразование Фурье, используя следующие основные соотношения:

ао оо

й(г\<а) = | | и (х, Г)ехр (;'ю:) ехр (Ш) скЛ,

—*>—да

= |с?(г,<и)ехр(-/Чсс)ехр(-1<м)<Ь<1а>. (2)

где: V, а- переменные в комплексной плоскости, и ¿/(у,¿у)- изображение Фурье функции и(х,г).

Выражение прогиба балки имеет вид:

- ¿СГ)ехрР(ГГ01-^ (3)

^ ув) увА

(2(у,со)- изображение Фурье приложенной нагрузки д(х,1).

Далее рассмотрено движение постоянной сосредоточенной силы по балке д(х,0 = Р<5(х-Ге) с постоянной скоростью V. Подставив выражение силы в (1)

и преобразуя (3) с использованием свойства дельта-функции, получим выражение прогиба:

/ ч Р ? ехрГ—/(*—К/)у1

увА I, ув)\

Вычисление интеграла (4) выполняется в комплексной плоскости с использованием контурного интегрирования и теории вычетов. Для этой цели определяются корни знаменателя подынтегрального выражения (4), которые являются полюсами подынтегрального выражения. Схемы возможных расположений корней знаменателя и соответственно полюсов

подынтегрального выражения представлены на рисунке 2 при разных значениях скоростей и коэффициентов демпфирования. Постоянные коэффициенты аь а2, и Ь, зависят от параметров балки и свойств упругого основания, а также - от скорости движения силы.

Значения критических скоростей при воздействии постоянной сосредоточенной подвижной силы для балки Тимошенко можно определить, используя условия кратности (кратность второго порядка) действительных полюсов подынтегрального выражения:

-2кг1 (ув + Е) А + ^4кУА2 (ув + Е)2 + 4 укЕЮА^вА - 4 кг2)

т(увА-4кг2)

а) б) в)

V2 =■

'сто

(5)

при V < V,

5 1тМ

у-плосуость

при V > V» 1в(У) ____\-n.WCKOCJrar

Сгу/

/ -аг »1

А, А3 /

ЯеМ

д)

Яф')

при V -плоскость Рисунок 2 — Схемы

Аг возможных

/ "а2 А, Ь-аз \ а2 расположений полюсов на комплексной ПЛОСКОСТИ V

\ 1 1 3/ ЯФО

\ А, С*" \ -Ь А,у

Для моделей балок Рэлея без учета влияния сдвига и моделей балок Эйлера-Бернулли без учета влияния сдвига и инерции вращения, выражение (5) упрощается и принимает вид:

V1

г сг<3,Рэхея

-2кг2 +^4кУ + 4кЕ1

V1

сгО,Э-Б

4к£/

(6)

т V т

В качестве примера определим критические скорости для верхнего строения пути, используя для описания поведения рельса различные модели. Исходные данные: рельс Р65, с погонной массой с учетом масс шпал т=320 кг/м, А=83*10*4 м2, 1=354* 10"8 м4, г=0.1 м, 7=3.6,^=2*10" Па, С=7.7*Ю10 Па; коэффициент постели к= 7.5 мПа (грунт средней плотности). Подставив данные

в (5) и (6), получим значения критических скоростей, соответствующие разным моделям балки: для балки Тимошенко - 116.7 м/с; для балки Релея - 118 м/с; для балки Эйлера-Бернулли - 120 м/с. Заметим, что значение критической скорости для балки Тимошенко является самым минимальным. Величины критических скоростей для разных моделей балок отличаются незначительно.

Коэффициент вязкого безразмерного критического демпфирования для балки Тимошенко определяется из условия кратности (кратность второго порядка) мнимых полюсов подынтегрального выражения:

-а +

где: а

_V ЙШ , 2 ГТГ Е) г

^а4 + 3^1 - 2/,а2 + 4/2а4) 1-2/,а2+4/2а4

г2к

(7)

yGA

Выражение для коэффициента вязкого безразмерного критического демпфирования для модели балки Эйлера-Бернулли можно упростить, положив параметры, учитывающие сдвиги и инерцию вращения в выражении (7), равными нулю:

1 г. , I ~л т1 ГГТ

а

2а2 + 3 ] + + 3).

(8)

Зависимости критических скоростей от радиуса инерции и безразмерного критического демпфирования от отношений скоростей для разных моделей балки представлены на рисунке 3.

б)

------------

д Балка Тимошенко

\ -----Балка Рэлея

\ "--1

Рисунок 3 - Зависимости критических значенийскоростей для разных моделей балки от радиуса инерции (а); зависимости безразмерного коэффициента критического демпфирования от отношений скоростей при г=0.5м (б)

Из анализа графиков следует, что при малом значении радиуса инерции

разница критических скоростей и коэффициентов критического демпфирования для разных моделей балки незначительна. Значения критических скоростей уменьшаются при увеличении значения радиуса инерции для моделей балки Тимошенко и Рэлея. Безразмерный коэффициент критического демпфирования упругого основания стремится к единице при увеличении скорости движения силы.

Для определения прогибов и внутренних усилий балки используется теория вычетов.

при 1т[(*-Р*)у,]<0

(9)

х ' 4£7у -4тУ V + гсУ

ш т2г2У4 2 2

Е1 +--тг V

уСА

■ корни знаменателя подынтегрального выражения (4).

1 +

Е_

уо,

аналитические

Получены выражения прогибов и внутренних усилий в сечениях балки под точкой приложения силы при различных: до-критических,

критических и сверхкритических скоростях движения.

Заметим, что без учета демпфирования прогибы (рисунок 4) и внутренние усилия имеют скачки при достижении

Рисунок 4 - Зависимости относительных критической скорости, прогибов от отношений скоростей Кроме того, решена задача

движения нагрузки в сечении под точкой оценки воздействия

приложения силы сосредоточенной подвижной

гармонической силы = />ехр(/а)0г)(?(х-К?) на балку Эйлера-Бернулли на

упругом основании. Выражение прогиба имеет вид:

Рехр(гсу) г_ехр[-/(х-Гг)у]

2тг

(10)

о£7У4-тУ\2 +(кУ-гтУсо^ + к-та] + г«У0 Для определения значений критических скоростей при разных частотах используется условие кратности полюсов подынтегрального выражения: при Р < 1 имеем два значения:

V =У

г сг-1 'о

сгО,

|(З/7 + л/^2 + 8)3

' Кг-2= Кто

(зуб-^+з)3

(11)

при /?>1 получим: к

(12)

(з^+д/дч?)3

где: р = ®0/<у4, соь = ^/от - собственная частота балки, К£г0 = ^¡4кЕ1/т2 .

Значение критических

скоростей при воздействии подвижной гармонической силы зависит от частоты, с которой изменяется сила (рисунок 5).

Прогиб балки достигает максимального значения при р= юд/ шь движении приложенной силы с

Рисунок 5 - Зависимость критических критической скоростью (рисунок 6). скоростей от соотношения частот Результаты могут

использоваться при оценке воздействий высокоскоростных поездов на верхнее строение пути и оценке колебаний тоннельной обделки.

Расчётная схема позволяет определить колебания тоннельной обделки, создаваемые движением поездов. Тоннель моделируется балкой на вязкоупругом основании, параметрами которого являются коэффициенты постели грунта и коэффициенты вязкого

демпфирования, характеризующего рассеяние энергии в грунт при

5

5 3

?

\ = 0 = 0.5

\ \ 1 —- р

ч ........! .......В и и О!

ч ч л / 1 4 / /..V/

0.5

1 1.5 а=УЛ/

2.5

Зависимости распространении продольных волн.

Рисунок 6 —

относительных прогибов от отношений Вязкое

скоростей движения силы с разными грунта определяется по фор^леТ

частотами при ^=0.05 в сечении под I--

точкой приложения силы С = ра - рЕ--—--. П31

где: р, кг /м3- плотность грунта, Е, Па- модуль упругости и V- коэффициент Пауссона грунта.

демпфирование

Разработанная методика, использована для определения колебаний, скоростей и ускорения сечений тоннельной обделки типового перегонного тоннеля при движении четырёх вагонов типа № 81-740/741с максимальной статической нагрузкой брутто колёсной пары на рельсы, равной 12 (тс) (рисунок 7). Характеристики железобетона и грунта представлены в таблице 1.

Таблица 1. Характеристики железобетона и грунта.

Параметр Железобетон Средние пески

Плотностьматериалар, кг/мЗ 2500 2000

Модуль упругости Е, мПа 35000 60

Коэффициент Пуассона 0.3 0.4

Вязкое демпфирование С, мПа*с/ м 0.51

Коэффициент постели К, мПа/м 70

вагона №81-740/741

Следует отметить, что максимальные прогибы тоннеля (рисунок 8. а) практически не зависят от скоростей движения поездов, так как рассматриваемые скорости малы по сравнению с критической скоростью. Значения уровней вибрации (ускорений) (рисунок 8. в) в большей мере зависят от скоростей движения поезда.

Анализируя полученные результаты (рисунок 9), отметим, что скорости движения поездов значительно влияют на уровни вибраций тоннеля.

В нормативном документе СП 23-105-2004 влияние скоростей движения поездов на уровни создаваемых ими вибраций не учитывается, что является недопустимым.

О 2 4 6 8 10 12 14 Время,с

0 2 4 6 8 10 12 Время.с

0 2 4 6 Время,с

Рисунок 8 — а) прогибы тоннеля, б) скорость колебания тоннельной обделки, в) ускорения при разных скоростях движения поездов

ш 70

ч.

„ 60

.41

3- 40

ш ЯП

ш 20

10

0

- для скоростей " для ускорений

10 20 30

Скорость движения поезда .м/с

В третьей главе представлен метод использования

интегрального преобразования, комплексный анализ и БПФ для определения прогиба бесконечной плиты лежащей на упругом основании Винклера (рисунок 10) при воздействии сосредоточенных подвижных сил с постоянной и переменной амплитудой. В моделях, используемых в настоящей работе, предполагается, что плита не имеет поперечных разрывов вдоль её длины, т.е. считается бесконечной. Хотя это не совсем реалистичное предположение для покрытий в аэропортах и покрытий автомобильных дорог, где обязательно существуют швы, ортогональные направлению движения. Тем не менее, модель может быть усовершенствована и использована для оценки воздействия самолётов на аэродромные плиты при посадке и взлёте.

Дифференциальное уравнение колебаний плиты на сплошном упругом основании имеет вид:

Рисунок 9 — Уровни вибраций тоннеля в зависимости от скоростей движения поездов

a4w(;t,y,t) | 284w(x,y,t) | d'w(x,y,t) dx4 а*23уг + dy"

где: Э = Е1г'/12(1 -V2)- жесткость плиты; р- плотность; 11- толщина плиты;Е и V - модуль упругости и коэффициент Пуассона; к- коэффициент постели.

? f t f f ftm mi ¡^ ?? ?

Применив преобразование Фурье

Шшг к выражению (14) по трем переменным -W^e^'l "jféjr С Учётом граничных условий

'(W <00j w(x,|j|-»oo,í)<oo

и получим выражение для

изображения Фурье функции прогиба Рисунок 10 — Расчетная схема плиты плиты: на упругом основании

Л^+т/2) — phco + к где: с, ц- волновые числа в соответствии с переменными х и у.

Рассмотрим колебание плиты на упругом основании при воздействии сосредоточенной подвижной силы q (x,y,t) = PS[х -Ví)S(y), движущейся по

плите с постоянной скоростью V. Преобразуя (15) с использованием свойства дельта-функции, получим функцию прогиба:

= 7~¡-2,2 -dgdq. (16)

^ LLD(g2+T!2) — phVg +k

Интегрирование выражения (16) выполняется с использованием теории вычетов. Для этого необходимо найти полюса подынтегрального выражения. Полюсами являются корни знаменателя подынтегрального выражения.

Из условия кратности полюсов подынтегрального выражения получим формулу для определения критической скорости движения сосредоточенной силы.

^0=^ш/[зР2(1-у2)]. (17)

Используя теорию вычетов, представим интеграл (16) следующим образом:

при Im¡V,(x-Fí)]<0 (18) ■

где: комплексные корни знаменателя подынтегрального выражения (16).

Для вычисления интеграла (18) используем численный метод БПФ. При использовании БПФ необходимо учесть расположение полюсов д, в зависимости от скоростей движения силы и реальных значений г\.

В качестве иллюстрации (рисунок 11 рассмотрим пример со следующими параметрами: р=2400 кг/м3, Е=1.6*109 Н/м2, у=0.3, с учетом внутреннего трения основания ко=70*106 Н/м3, 11=0.15 м, 4=0.02 с. В соответствии с (17) критическая скорость движения силы равна УсгО= 180.8 м/с.

а) б)

при У=0.5Усг0 при У= Ус г о

Рисунок 11 -Относительные прогибы плиты при движении силы с разными скоростями в момент 1=0; (а,б,в) трехмерные графики, (г) вдоль осей Ох и Оу

При движении постоянной сосредоточенной нагрузки с критической скоростью прогибы плиты достигают максимального значения (рисунок 12. а). Это максимальное значение уменьшается при увеличении значения демпфирования.

а)

б)

т

р=и -----р=0.5 —

\ ------- 3=1 1=1 5

\

х -V-i

Г"

0.5

1 1.5 cc=V/V„„

2.5

Рисунок 12 - Зависимости относительных прогибов от отношений скоростей: а) при движении постоянной сосредоточенной силы и разных коэффициентах демпфирования основания, б) при воздействии гармонической сосредоточенной подвижной силы с разными частотами

Далее рассмотрим колебание плиты на сплошном упругом основании под действием сосредоточенной гармонической силы, движущейся с постоянной скоростью д(х,у,1) = /)ехр(/й>0?)<5(х- !//)<?(_у). Аналогично балке на упругом основании при воздействии гармонической силы получим выражение критической скорости:

kEh

3P20-V2)f

[¡ß±j0r7i )

,ß=

<э„

8(/?±V/?2+8) '

(19)

Прогиб плиты определен с использованием преобразования Фурье, теории вычетов и БПФ.

W(W) = Pexp(f°f> ] Г exp[-»(x-Ft)g]exPHW) V * ' {2n)2D Lltf-mfa + Vgf+ *

Зависимости относительных перемещений от отношения скорости при разных частотах подвижной нагрузки представлены на рисунке 12. б.

В четвёртой главе представлены аналитические решения перемещений поверхности упругого полупространства при движении сосредоточенной силы. Для решения используется аппарат обобщённых функций и интегральное преобразование Фурье. Для определения изображений Фурье неизвестных функций на границе полупространства используются условия аналитичности изображений Фурье функций перемещений в верхней комплексной полуплоскости, для чего числитель изображения Фурье функций перемещений приравнивается к нулю при значениях, равных нулям знаменателя,

расположенных в верхней комплексной полуплоскости. Такой подход упрощает решение в том случае, если требуется определять только перемещения на границе области.

Рассмотрим движение упругого тела, занимающего выпуклую область п, на интервале времени [0,Т] под действием сил gi. Область может иметь в некоторых направлениях неограниченные размеры, {t/; (л,, ^, дгэ )>, {сг(/}

функции, описывающие перемещения точек тела и напряжения. Введём функции:

UXx,t) = {Ui(xl,x2,x1)}0(ri)ecr>;Ul(x,t) = O, xgn и Г£[0,Г];

ац ={аи}в(П)в(Т). <ти =0, хеПя /«[0,7Ъ (21)

0(Г2)и 6(Т) - характеристические функции области, занимаемой телом на интервале времени [0,Т].

Дифференциальные уравнения теории упругости, записанные в обобщенных функциях:

M„iVkJl) + KU,j +Uu)-cг„ =X8iJlUk\zoi,{n-xk)S1 + +-"([^Lcos(«-x;)+[U,],cos(n-x,))ö,'

a>u - P°\ÜJ=~GJ +Ki cos(" • - rt {WjlJ^) -

1' »'.УД =1,2,3 (22)

где: Яиц- параметры Лямэ, р - плотность материала среды, S-j - символ Кронекера, 8Ч = 1 при i=j, S^ = 0, при i Ф j,

с2р = (Л + 2/и)! р - скорость распространения продольных волн, сг$= ц!р - скорость распространения волн сдвига, се — ср /cs, S, - дельта — функция, сосредоточенная на поверхности тела, [и,]г и - скачки функций и, и ст.у при переходе извне через границу области, занимаемой телом и, так как функции и, и C7j;. вне этой области равны нулю, [{/,], и \Pij\ представляют собой значения этих функций на границе области, [UjU, [Uji^-r, [Uj]

г=о и г представляют собой начальные и

конечные условия, то есть перемещения и скорости точек тела при т=0 и т=срТ, если рассматривается движение среды на конечном интервале времени. При рассмотрении движения среды на интервале времени от -оо до +оо функции, определяющие начальные и конечные условия, равны нулю.

Gi — совпадает в рассматриваемой области п с функцией gi и равна нулю

вне этой области и вне интервала [0, срТ].

Применив преобразование Фурье к системе уравнений (22), получим решения этой системы в виде:

5 ✓ 1 . 2 _.2ч ^ . / 2 ____

(23)

- а*"(у,1 + У| -+ (а2 - 1)ГуУ,Уу и< ~ РсЦу\ +у\ —аг(агУу\ +у22'

Р(х,1)5(х-У1)

и,, и2, а =0

Изображение Фурье обобщённой нагрузки, в которую входят и силовые и кинематические факторы:

Р, = |{Ч<тДсо5(«-дт,.>?, щ{щик],с05(я-хк)+

(24)

+М ([Щ, С0Э(Я -X,)+[и,1 соз(я • *,))}<?, |ехр [/(^ +

Рассмотрим частный случай колебания упругого полупространства при движении постоянной сосредоточенной силы по

поверхности полупространства

(рисунок 13). С граничными условиями <Уп (х,, 0,?) = - ]3г), СТ12(х„0,/) = 0 (где: Р = У\ср) получим изображения Фурье

Рисунок 13 — Расчетная схема при движении сосредоточенной силы по упругому полупространству

обобщенных нагрузок, в которые входят заданная нагрузка и функции, описывающие перемещения на поверхности.

Ввиду того, что функции и, (х), определяющие перемещения, должны быть тождественно равны нулю при х2 <0, изображения Фурье этих функций должны бьггь аналитическими в комплексной полуплоскости Тти2 > О. Таким образом, для определения изображений Фурье неизвестных функций на границе полупространства необходимо найти корни знаменателя выражения (23), лежащие в верхней комплексной полуплоскости^ >0, и подставить их в числитель. Такой подход упрощает решение в том случае, если требуется определять только перемещения на границе области.

Решив систему уравнения после подстановки положительных мнимых корней знаменателя в числитель (23) и выполнив обратное преобразование, получим выражения перемещений поверхности полупространства.

Перемещения неограниченно возрастают, если знаменатели полученного выражения равны нулю, то есть:

(25)

Полученное уравнение определяет фазовую скорость распространения

18

поверхностных волн Рэлея. Что подтверждает тот факт, что перемещения поверхности полупространства неограниченно возрастают, когда скорость движения силы приближается к фазовой скорости поверхностной волны Рэлея при разных коэффициентах Пуассона (рисунок 14) и при разных коэффициентах демпфирования (рисунок 15).

а)

б)

............

\................. - —•-- у=0.3

1 .... у=0.4

\ ч

\ !

1 л ч. — ------»1С

г......

—у=0.3 [

2

У/С.

2 У/С.

Рисунок 14 —Зависимости относительных (а)- горизонтальных, (б)-вертикальных перемещений поверхности грунта от скорости движения силы для различных значений коэффициента Пуассона без учёта демпфирования.

а)

б)

■5=о |

' 4=0.05 1

Юг

в[

"б

---ц

И -5=0 1 —5=0.05 |. .

2

У/С.

2 У/С.

Рисунок 15 —Зависимости относительных (а)- горизонтальных, (б)-вертикальных перемещений поверхности грунта от скорости движения силы с с учётом различных коэффициентов демпфирования при у=0.3

В этой же главе представлено решение задачи о движении постоянной распределенной нагрузки, приложенной на участке шириной 2г0 и перемещающейся в направлении оси XI с постоянной скоростью V, на полубесконечном пространстве. Граничные условия

а-22Д/)=[>, -/&) + г,]-#[(*,-&)~г0]], сгп(^Д*) = 0.

о

Выполнив интегрирование, выражения для перемещений:

имеют

используя теорию вычетов, получим

к, (х,Д г)= -рт + га)а&1{х1-рт + г0)-(хх-рт-г0)ъ&1(хх-рт-г0)~\

РН1

и2(х„0,т) = --[(х1-/?г + г0)1п|х1-^г+г0|-(х,-/?г-г0)1п|д;1-/?г-г0|],(26)

¿.яг0/л

где: л + ^ а2р2^Л

Л^Л^а2/}2 -1 +(2-а2/}2)2 ' 4^/32-ф2/32-1+(2-а2р2)2

В пятой главе представлено приложение теоремы взаимности для оценки воздействия подвижных нагрузок (сосредоточенных сил) на балки и плиты. Теорема взаимности Бетти-Рэлея позволяет преобразовать проблему оценки уровней колебаний в произвольной точке (приёмнике) плиты или балки, создаваемых подвижной нагрузкой, к задаче определения вибраций от неподвижной силы, в точке, которая перемещается относительно места приложения силы в противоположном направлении. Теорема взаимности позволяет поменять местами источник и приёмник вибраций, что существенно упрощает получение решения в замкнутой аналитической форме.

При решении задач динамики с использованием теоремы взаимности Бетти-Релея рассматриваются два напряжённо-деформированных состояния одного и того же тела. Сформулируем теорему взаимности для упругого полупространства при динамических нагрузках. Рассмотрим область полупространства Д ограниченную поверхностью 5.

Выражение теоремы взаимности Бетга-Рэлея для динамических задач в области изображений имеет вид:

}аи(Х,а)й,(Х,а)<К +1 РЬ1{Х,со)йг{Х,(о)<1У

г - (27)

= ¿<тя (Х,а)йх {Х,а>) сЯ + ^ (Х,си) щ (Х,а>)ЛГ.

где: РЬ1(Х,а}), <тЯ1(Х,а>),щ(Х,<о) И РЬ2(Х,<н), а-Х2(Х,еи), й2(Х,ш)-изображения Фурье векторов объемной силы, напряжения, перемещения в двух состояниях соответственно.

Рассмотрим упругое полупространство с нагрузками, представленными на рисунке 16.

Применив теорему взаимности и выполнив необходимые преобразования, получим выражение перемещения при воздействии подвижной нагрузки:

(у{,у,2,<а) = Р{(0+у,Г) (?3 (у, ,у, г, о)ехр (пуг0), (28)

где: Я(&1 +функция нагрузки в частотной области, определяющая влияние амплитуды силы на уровни колебаний грунта;

<5й(у,,з;,г,о)- функция Грина в области изображений (по времени и

координате), зависящая от динамических характеристик грунта;

ехр(/у,х0)- экспоненциальная функция, учитывающая влияние начального расположения нагрузки на колебания грунта.

X п

\ П к У ^

Первое состояние

Второе состояние

Рисунок 16 — Два состояния упругого полупространства для определения колебаний, создаваемых подвижными нагрузками

Применив обратное преобразование Фурье к выражению (28), получим перемещение во временной области. Разработанный метод позволяет определить перемещения в любых точках, зная функцию Грина, функцию нагрузки и начальную координату.

В этой главе рассмотрены воздействия постоянных и гармонических подвижных нагрузок на балки и плиты на упругом основании с учетом вязкого демпфирования.

Получены аналитические выражения для определения прогибов и внутренних усилий в балках и плитах на упругом основании при движении сосредоточенных постоянных и периодических сил.

В качестве математических моделей используются модели балок Эйлера-Бернулли, Рэлея и Тимошенко. Для получения решений применено преобразование Фурье, при вычислении интегралов используется теория вычетов.

Получены аналитические выражения для критических скоростей и критического демпфирования.

Представлены графики прогибов балок и графики внутренних усилий при различных до-критических, критических и сверхкритических скоростях движения постоянных и периодических нагрузок.

Получены аналитические выражения для определения критических скоростей и критических частот, при которых прогибы плит достигают максимальных значений. При движении силы со скоростью волны Рэлея

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

перемещения неограниченно возрастают.

Результаты могут использоваться при оценке воздействий высокоскоростных поездов на верхнее строение пути, а также при оценке воздействий самолётов при взлете и посадке на аэродромные плиты. Доказано, что современные высокоскоростные экипажи могут двигаться со скоростями, превышающими критические.

Разработан новый метод определения перемещений поверхности упругого полупространства при движении по поверхности сосредоточенной силы с использованием обобщенных функций и свойства аналитичности изображений Фурье функции перемещений полупространства.

Разработан метод решения задач на подвижную нагрузку с использованием теоремы взаимности, функции Грина и интегральных преобразований.

Разработанная автором методика с использованием теоремы взаимности позволяет поменять местами источник и приёмник вибраций, что существенно упрощает получение решения в замкнутой аналитической форме.

Доказано, что при увеличении скоростей движения и, в особенности, при анализе воздействия вибраций при движении высокоскоростных поездов, оценкой влияния скорости на уровни вибраций пренебрегать не следует.

В дальнейшем необходимо исследовать задачи взаимодействия балок и плит с упругим слоистым полупространством, учитывая переменную скорость движения нагрузки и наличие швов между плитами.

Для уточнения теоретических решений необходимо провести динамические испытания и сравнить теоретические результаты с данными полевых измерений.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Курбацкий, E.H. Определение критических скоростей и критических сил при движении постоянной силы по балкам на упругом основании [Текст] / E.H. Курбацкий, Нгуен Чонг Там // Известия высших учебных заседаний. Строительство. - 2014. -№5. - С. 109-117.

2. Нгуен Чонг Там. Оценка вибраций тоннеля при движении поездов [Текст] / Нгуен Чонг Там // Известия высших учебных заседаний. Строительство. - 2014. — №7. — С. 5-10.

3. Нгуен Чонг Там. Колебания поверхности упругого полупространства при воздействии подвижной нагрузки [Текст] / Нгуен Чонг Там // Строительство и реконструкция. - 2014. - №6 (56). - С. 58-66.

В других изданиях:

4. Курбацкий, Е. Н. Влияние скорости движения подвижной нагрузки в тоннелях на уровни создаваемых вибраций [Текст] / Е. Н. Курбацкий, Нгуен Чонг Там// «Потенциал интеллектуально одаренной молодежи-развитию науки и образования.» Материалы П1 Международного научного форума молодых ученых, студентов и школьников, -г. Астрахань. - 2014. - Т. 2. - С. 25-28.

5. Нгуен Чонг Там. Приложение теоремы взаимности для оценки колебаний, создаваемых подвижными нагрузками [Текст] / Нгуен Чонг Там// Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. Сборник докладов международной научно-практической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика профессора, доктора технических наук Д.Н. Соболева. 16 декабря 2014 г. / под ред. проф. Н. П. Анохин, проф. М. И. Ганджунцев, В. А. Ильичев, В. Л. Мондрус, Ю. П. Назаров.- МГСУ. - Москва. - 2014. - С. 240-248.

Нгуен Чонг Там

ВОЗДЕЙСТВИЕ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА БАЛКИ, ПЛИТЫ И ПОЛУПРОСТРАНСТВО

05.23.17 — Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано к печати 2015г.. Формат 60x80 1/16 Объем 1,5 п.л._Заказ № ¿¿УЗ Тираж 80 экз._

УПЦГИМИИТ, Москва, 127994, ул. Образцова, д. 9, стр. 9