автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Уточненная теория расчета плит средней толщины с учетом поперечного сдвига и обжатия

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

р 5 0 ^ На правах рукописи

КРАЙДИ АХМАД МУХА1Л.ЕД

УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПЛИТ СРЕДНЕЙ ТОЛШНЫ С УЧЕТОМ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА И ОБЖАТИЯ .

Специальность 05.23.17 - Строительная мехашиса

• АВТОРЕФЕРАТ

аиссертадаи на соискание ученой степеш кандидата технических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Московском Государственном строительном университете.

Научный руководитель

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор АМОСОВ А.А.

доктор физико-математических наук, профессор ВЛАСОВ Б.Ф.

кандидат технических наук, доцент КУЗЬМИН Л.Ю.

Ведущее предприятие

- ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко

Защита состоится " 1994 г. в час.

пО0>" мин. на заседании специализированного совета К 053.11.06 в Московском Государственном строительном университете по адресу: Москва» Шлюзовая наб., д. 8, ауд. 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГСУ.

Просим Вас принять участие в защите и направить Ваш отзыв в 2-х экз„по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26, МГСУ, Ученый совет. ^ '

Автореферат разослан

" " »-^¿М 1994 г. В (ЗЗС.121,

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук, профессор;

Н.Н .АНОХИН

ОБЩ/Ш ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Дктуальность темы. Одним из актуальных направлений строительной механики является направление, связанное с совершенствованием существующих расчетных схем и математических моделей, призванных с яаибольией полнотой отражать реальные свойства рассчитываемых конструкций.

В теории расчета пластин в настоящее время большое внимание уделяется вопросам разработки уточненных теорий типа Тимо-ыакко-Рейсснера. Это объясняется целым рядом обстоятельств, в том число том, что теория данного типе применимы к расчету плит средней толщины. Кроме того, уточненные теории находят широкое применение для расчета конструкций из композиционных материалов, слоистых плит и ободочек, в задачах устойчивости и динамики, задачах концентрации напряжений около отверстий и др.

Больсое практическое значение имеют такие всаросы, связанные с разработкой уточненных методов расчета конструкций на упругом основании.'

В связи с этим следует считать, что исследования, связанные с усовершенствованием теории расчета плит, являются актуальными и имеют важное теоретическое и практическое значение.

Цель диссертационной ряботн: • I. На базе разработанного ранее способа сведения трехмерной краевой задачи теории упругости к двухмерным краевым задачам теории пластин и оболочек получить основные соотношения прибли-. генной теории рзсчота нетокких плит; провести численный расчет и сопоставить результаты этого расчета с точным решением.

2. Сформулировать основные принципы построения линейного варианта теории и построить основные уравнения этой теории.

3. Получить разрешающие уравнения предлагаемого варианта уточненной теории, провести численные расчеты и сопоставить полученные решения с решениями по известны?-! уточненным теориям.

4. На,основе предлагаемого варианта уточненной теории разработать методику расчета плит средней толщины на упруго?* вияк-лоровеком основании. .''

Научная новизна диссертации состоит в следующем: ; - построен вариант приближенной трехмерной теории нетонких плит,, отличающихся возможностью задания на лицевых поверхностях плиты произвольных граничных условий статических, кинематических или в смешанном виде; ' .

- построена линейная теория плит средней толщины, учитывающая влияние деформаций поперечного- сдвига и поперечного обкатил;

- разработана методика расчета плит рредней толщины на упругом винклеровском основании и проведено исследование напряженно-деформированного состояния их при различных граничных условиях на краях.

Практическая ценность работы заключается в возможности.непосредственного использования полученных результатов в практике реального проектирования нетонких плит и плит средней толщины, в том числе и на упругом винклеровском: основании. :

Достоверность основных положений' и вввсио» во диссертации определяется корректностью математической постановки задачи, сходимостью получаемых приближенных решений к известным точным решениям,, а также хорошим качественным соответствием результатов предлагаемой уточненной теории с результатами классической теории.. ,

Апробапия работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуздаалисъ на научном семинаре аспирантов кафедры "Строительная механика" МГСУ в 1994 г.

Структура и объсг.; диссертации. Диссертационная работа состоит из введения,, пяти глав, заключения, содержащего основные результаты и выводы,, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет {ВЦ страниц машинописного текста, включая 26 рисунков и таблиц.. Библиография содержит И 9 наименований. - ■ - -

На защиту выносятся::':

- разработанная приближенная трехмерная теория Цг-го порядка расчета-- нетонких плит,, учитывающая: возможность удовлетворения произвольных граничных условий на. лицевых поверхностях;.

- основные положения построения линейного варианта теории-расчета плит средней толщины с.учетом деформаций поперечного сдвига и поперечного обжатия;

- результаты сопоставления решений предлагаемого- варианта линейной теории- с- результатами расчета по известным существующим уточненным-теориям;

- методика' расчета плит средней толщины, с учетом попереч:-ного сдвига.» и; попврб*пгаго: обжатия на упругш- винютаровском ос-новаюга.. : "V •--"Л

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определена цель диссертационной работы, даны основные положения, составляющие научную новизну, достоверность полученных результатов и их практическую значимость.

В пертой главе даны гфаткий обзор литературы, посвящэший построению прикладных теорий расчета плит и оболочек, постановка задачи исследования и приведены основные положения используемого метода построения теории нетокких упругих плит.

Отмечается, что в теории расчета плит можно выделить три основных направления. Первые два из них связаны соответственно с теориями расчета тонких и петонких' (толстых) плит. Приводится краткий обзор работ, посвященных вопросам расчета нетонких плит.

Третье направленно связано с разработкой так называемых уточненных теорий гяпа Тимошенко-Рейсенера. Здесь следует отметить работы А.Я.Айнолы, С.А.Амбаршгмянз, А.Я.Гольденвейзера, А.Ш.Баженова, Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, Г.М.Куликова, А.Т. Василенко, Ю.Н.Новичкова, В.Л.Пикуля, Б.Л.Пелеха, А.В.Плеханова, А.П.Лрусакова, А.О.Рассказова, Б.Ф.Цяасова, В.В.Васильева и других. '

В последние годы.интенсивно разрабатываются вопросы, связанные с применением уточненных теорий к расчету плит на упругом основании. Существенный вклад в теорию и развитие методов расчета плит на упругом основании внесли П.Л.Пастернак, Б.Г.Коренев, В.А.Киселев, Б,Н.Яеночкин, Н.М.Герееванов, А.П.Синицин, Г.Я.Потов, М.И.Горбунов-Посадов, А.И.Цейтлия, В.И.Трануш, С.А. Клепиков и др.

Применение уточненных теорий к расчету плит на упругом основании содержится в работах П.М.Надхи, П.И.Каттана, Д.Фредерика, А.В.Гордёева, Л.А.Гордон и др.

Анализ показывает, что подавляющее большинство существующих вариантов уточненных теорий базируется на использовании тех или иных гипотез относительно характера НДС плиты. Присущие этому подходу недостатки определяют необходимость использования альтернативного подхода, состоящего в разработке уточненного варианта прикладной теории расчета плит на базе непосредственной редукции трехмерных краевых задач теории упругости к двухмерным краевым задачам теории плит.

В самом общем виде используемый метод построения теории нетонких.плит состоит в следующем.

Пусть операторно-матричное уравнение

А(Х1,Х?.Х3)Х(Х11Х2,Х5)=Р(ХЛ.Х2.Х3) -Ш

описывает полную систему уравнений трехмерной теории упругости. Здесь А(х1,х7,хл) - операторная матрица; Х(х1,хЛ,х3) - вектор неизвестных (напряжения, деформации, перемещения):, РЦ^.^) - вектор свободных членов (внутренние объемные силы, инерционные силы): {<>1,, ос2,- некоторая, вообще говоря, кркволипой-ная координатная система, нормально связанная с серединной поверхностью плиты (-Н Ь) ;/ Ь - полутолшна плиты.

Система уравнений (I) должна удовлетворять на лицевых поверхностях плиты и на ее боковых поверхностях О гранич-

ным условиям:

В£х = Р*

3 (2)

С X = V

где Ь~ и С - некоторые операторные матрицы, определяемые видом граничных условий; Р* и V - заданные поля статических и кинематических воздействий.

Единственным предположением рассматриваемой теории является предположение о возможности представления всех компонентов напряженно-деформированного состояния плиты в форме разложений в ряды по полиномам Лежандра.

1. Хк{<*1(о<г)Рк{;) (3)

где -I < I.

Подставляя (3) в (1)-(2), проводя соответствующие преобразования с учетом свойств полиномов Лежандра и применяя метод ортогонализации Еубнова-Галеркина, приходим к бесконечной последовательности двухмерных краевых задач вида

А„{ОС,Хк {о<.\, е<г)= ^ {оСл,оС2) ' ^

При этом осуществляется тождественное удовлетворение граничных условий на лицевых поверхностях плиты. .

Удерживая в разложениях (3) члены с полиномами Лежандра до N -го порядка включительно, из (4) получаем приближенную

теорию, которую принято называть теорией N-го порядка.

Вторая глава диссертации посвящена построении приближенной трехмерной теории N -го порядка нетонких плит.

Используя описанную выше процедуру редукции трехмерных задач Теории упругости к двухмерным можно получить основные уравнения рассматриваемой теории.

В случае когда на лицевых поверхностях плиты выполняются статические граничные условия уравнения равновесия записываются в следующем виде

< А20-«)м + (Ал0-4м)),2ч- А,А2 [Г'к)+Ъ(М

¡.=^=1.2 ' ~

Здесь и далее запятая обозначает производную по соответствующей координате.

Геометрические уравнения представляются в виде

Здесь А^ - коэффициенты первой квадратичной формы координатной системы, введенной на серединной поверхности плит.

Выражения М^ определяются статическими гра-

ничнши условиями на лицевых поверхностях плиты

) б"1? Рк (?) (7 )

я определяются следующими формулами

Показано, что для второго основного случая, когда на лицевых поверхностях плиты заданы кинематические граничные условия в уравнениях (5) и (6) изменяются подчеркнутые члены

N„(6^) йок ((%> (9)

£ок (и-0 => N»(41) гая =

условиями на лицевых п

(к)

где выражения ('1 = 4.2.1;) определяются кинематическими

граничными условиями на лицевых поверхностях плиты

Ч—1 . . ',■■..:'

Можно показать, что эти две основные формы представления уравнений равновесия и геометрических уравнений оказываются взаимосвязанными. Так, например, уравнения равновесия для второго случая получаются, если в выражения М^ -М^СС^) подставить естественные граничные условия V

(10)

И, наоборот, геометрические уравнения для первого случая . являются следствием задания естественных условий

• Ш)

Это обстоятельство позволяет обеспечивать выполнение на лицевых поверхностях шшты произвольных граничных условий смешанного вида.

Редукция физических соотношений обойденного закона Гука, являотихся алгебраическими соотношениями, не представляет особых трудностей ■ ' /

е ш С (Г (12)

где С - матрица упругих постоянных; б" и е - векторы, составленные из компонентов тензора напряжений и деформаций.

Далее, приводится, формулировка граничных условий на боковых поверхностях плиты. В заключение дается векторно-матричное , представление основных уравнений (5), (6), (12) приближенной трехмерной теории N -го порядке, удойное для практического ис-. пользования.''. >

В третьей главе диссертации дается приложение разработан-

ной теории к расчету нетонких плит на прямоугольном плане. Приводится численный пример расчета и дается сопоставление результатов этого расчета с результатами точного решения этой задачи, полученного Б.Ф.Власовым (рис. I).

-1.0 ДО 3,0

с)

6,0 40 2,0

-1

Рис. I; Графики распределения нормальных тангенциальных напряжений (в) и нормальных перемещений по толщине плиты (с) приА/г.: (-решение по предлагаемой теории; - - - точное решение; - • - • - теория 1-го . порядка)

о

Численный расчет производился при удержании первых восьми членов разложений (3). Сопоставление результатов расчета с результатами точного решения показывает, что расхождение их при вычислении перемещений не превышает 1%, а при вычислении напряжений 5...1%. '

При этом граничные условия на лицевых поверхностях плиты выполняются приближенно, причем точность удовлетворения их возрастает по мере увеличения числа удерживаемых членов, что может быть использовано в качестве критерия оценки точности получаемого приближенного решения.

Проведенный анализ показал, что теория 1-го порядка, предполагающая линейный характер распределения напряжений и перемещений по толщине дает достаточно приемлемые результаты для расчета нетонких плит (рис. 1в). Этот вариант приближенной теории, называемый далее линейной теорией, может быть использован для построения теории расчета плит средней толщины. Отметим, что при этом непосредственно осуществляется учет поперечного сдвига и поперечного обжатия. .

Четвертая глава диссертации посвящена построению разрешающих уравнений'линейной теории. Учитывая, что , теперь компонентам разложений напряжений/деформаций и перемещений в ряды по полиномам Лежандра можно придать вполне определенный механический смысл. В частности, для тангенциальных нормальных напряжений имеют место представления.

в^-и-Ту ^Г-гМу (13)

где и МI) - соответственно тангенциальные усилия, из-

гибающие и крутящие моменты, определяемые выражениями, принятыми в классической теории плит. Аналогично вводятся представления

в^-яг ^' < £ т„ (14)

Здесь первое выражение представляет собой общепринятое понятие поперечной силы, а *два последних не имеют аналога в классической теории. Понятие было введено в работах И.Н.Векуа и назва-

но им расщепляющей парой сил, а било впервые введено

В.З.Власовым и названо усилием обжатия по толщине. .

10

Аналогичным образом вполне определенный механический смысл в линейной теории приобретают и компоненты разложений вектора перемещений. И^"1 = и.( можно трактовать как средние по толщине значения тангенциальных перемещений; 0> - прогиб плиты; и|11= и - перемещения на лицевых поверхностях, определяемые углами погорота и поперечным обжатием.

Также как и в обвкзй теории нетопких плит, в линейной теории система основных уравнений распадается на две подсистемы, из которых одна описывает изгибпое состояние, а другая - тангенциальное напряженно-деформированное состояние (НДС).

Показано, что система уравнений линейной теорип, описывавэ-

щая изгибное НДС сводится к решению двух уравнений

+ + ^ (15)

¿ц, - =о

где В> = 2ЕЬ ; ; 5

с^ + ; д - оператор Лапласа; ц±и ф ~ касательные и нормальные внешние силовые воздействия, приложенные к лицевым поверхностям плиты.

Усилия.и перемещения в плите определяются через введенные функции <р и ф с помощью следующих выражений

= Ч>,\ +

= тЕр*) "ТГ [ <Р.ц + 44«]

- йЬз) "Н %2 +

где ^ = А/г(и?)- У/(<->>) г Ъ = гЕ^/з^-Р2)

ф - частное решение уравнения

Система уравнений (15) с точностью до обозначений, находится в полном качественном соответствии с разрешающей системой уравнений уточненных теорий, построенных в работах Б.Ф.Власова, В.В.Васильева и др. Такое ке соответствие наблкщается и в выражениях для перемещений и усилий (16). Отличив состоит лишь в значениях коэффициентов и объясняется тем обстоятельством, что в рассматриваемом варианте уточненной теории отбрасывается гипотеза Томсона-Тэта, постулирующая неизменность толщины плиты при деформировании.

В связи с этим остаются,в силе все особенности формулировки граничных условий на краю плиты, обеспечивающей выполнение трех граничных условий.

Для описания тангенциального НДС с учетом поперечного об-' ватия разрешающая система уравнений линейной теории приводится к решению уравнений

(17)

Перемещения а усилия при этом определяются выражениями:

и

1 ~ •» аг -

Г т (18)

Приводится формулировка граничных условий при различных вариантах тирания края плиты.

Уравнения (17); описывающие НДС плиты, соответствующее растяжению-скатию с учетом поперечного обнатпя, не имеют аналога в существующих прикладных теориях.

В заключение этой главы приводится сопоставление некоторых результатов расчстз изгиба плиты по линейной теории с ре-

12 :

зультатами расчетов по существующим' прикладным теориям.

Рассматривались плиты средней толщины Ь/а = 0,1 для случая, когда два 1фая плиты шарнирно оперты, а на двух противоположных краях выполняются граничные условия произвольного вида: свободное и шарнирное опирание, скользящая заделка и жесткое защемление. Соотношение сторон плиты 6/а принималось равным 0,5; 0,75 и 1,0. Внешняя нагрузка принималась в виде синусоидальной, равномерно распределенной и гидростатической. Вычислялись значения прогибов в центре плиты. Результаты вычислений сравнивались с результатами расчетов по классической теории и теории Б.Ф.Власова, заимствовались из диссертационной работы А.В.Папуша.

Результаты вычислений сведены в таблицы.

Сопоставительный анализ результатов вычислений показывает, что расхождение между решениями по рассматриваемой линейной теории и по классической теории оказывается, в целом, меньше, чем расхождение между решениями по теории Б.Ф.Власова-В.В.Васильева и классической теорией. При этом прогибы, вычисленные по теории Б.Ф.Власова-В.В.Васильева, всегда оказываются больше, чем предсказанные классической теорией, тогда как прогибы, определяемые линейной' теорией, могут быть и меньше, чем прогибы, вычисляемые по классической теории,, к зависимости от условий опирания краев и соотношения сторон' плиты-

В пятой главе дается применение разработанной линейной теория к расчету плит средней.толщины на упругом винклеровском основании-.

Показано, что в этом случав распадение НДС на изгибное НДС, к безизгибное ВДС возможно лишь дзот случая однопараметрического винклеровского основания и при пренебрежении перемещений, определяемых обжатием плиты, по отношении к перемещениям как жесткого целого.

При этих условиях изгибное НДС' плиты описывается следующей системой разрешающих уравнений

аэ)

* Ч> - у ~ о .

где к - коэффициент постели; - интенсивность внешней нормальной нагрузки.

2.0

1.0 0

.1.0

X

\

4

10

20

3.0

4.0

Рис. 2. Кривые распределения изгибающих моментов: I = 10; 2 - ё/Ъ = 20; 3 = 50

-1 л' : ' ' ' ' '

ссмо об

Рис. 3. Кривые распределения прогибов:

I 10; 2 = 20; 3 -¿/К = 50

Беэизгибное НДС, соответствующее растяжению-сжатию плиты с учетом поперечного обжатия определяется следующей системой уравнений:

Д Д £ = О , ,

* (20)

В целях сопоставления решений датой теории с решениями классической теории плит на упругом втагклеровском основании было проведено исследование НДС протяженной плиты с шарнирно опертыми продольными краями. Относительная толщина плиты , принималась равной 0,1; 0,05 и 0,02. Коэффициент постели принимался равным к , = I Мн/м3, к = 5 Мя/м? и к = 50 Мн/м3, что соответствует глинам мокрым, влзжнш и малой влажности. Остальные постоянные, необходимые для проведения числешото1 расчета, принимались равными Е = 21 Мн/м3; 5 =би; V = 0,2.

Результаты вычислений приведены в приложения к диссертации.

На рис. 2 и 3 приведены кривые распределения прогибов и изгибающих моментов для сечения у=6/г при к = 5 Мн/м3 в случае жестко защемленного края. Штрихпунктирная линия здесь соответствует решению по классической теории.

Анализ результатов вычислений показал, что краевые условия не оказывают существенного влияния на расхождение между результатами вычислений прогибов плиты по линейной и классической теориям, которое составляет величину порадка 10...15$. Однако для изгибающих моментов это расхождение составляет уже 33$, причем для случая жесткого защемления с увеличением толщины плиты и Коэффициента постели это расхождение увеличивается. С практической точки зрения важно то, что в этом случае применение линейной теории приводит к уменьшению расчетных значений изгибающих моментов. •

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ,

I. На базе использования способа разложения в ряды по пали-номам Лежандра получены основные уравнения приближенной трехмерной теории расчета нетонких плит.

, , 2. На конкретном примере показано, что решение приближенной трехмерной теории }/ -го порядка сходится к точному решению. Обнаружено при этом, что приближенная теория, основанная

на удержании первых двух членов ряда - линейная теория, дает достаточно точные для практического использования результаты.

3. Построена линейная теория плит средней толщины, учитывающая влияние деформаций поперечного сдвига и поперечного обжатия.

4. Показано, что решения задач изгиба плит средней толщин полученные по построенной линейной теории, находятся в хорошем соответствии с решениями существующих теорий расчета плит.

5. Получены разрешающие уравнения линейной теории расчета плит средней толщины на упругом винклеровском основании.

6. Проведено исследование напряженно-деформированного сос тояния плиты на однопараметрическом упруго!.! основании при различных граничных условиях на краях.

Показано, что применение данной уточненной теории к расче плит средней толщины на упругом винклеровском основании может | иметь существенное значение.

Подписано в печать 18.05.94 Осюмят 60x6ч^/16 Печать офсетная И-93 Объем I уч.-изд.л*. Тире* 100 Заказ

Типография МГСУ.Москве,12УЗЬ7,Ярославское 'иоссе 2о