автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Исследование напряженно-деформированного состояния прямоугольных плит средней толщины, расположенных на упругом основании и подверженных действию сил в срединной плоскости

На правах рукош си

Хассан Ахмед Мохамец Вагиалла

ИССЛЕДОВАНИЕ ПАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛИТ СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ И ПОДВЕРЖЕННЫХ ДЕЙСТВИЮ СИЛ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОС1 И

Специальность - 05 23 17 «Строитечьная механика»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических нзук

ООЗ174160

Москва 2007

003174160

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Леонтьев Николай Николаевич

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич

- кандидат технических наук, доцент Клейн Владимир Георгиевич

Ведущая организация - Центральный научно-исследовательский и проектный институт типового и экспериментального проектирования комплексов и зданий культуры, спорта и управления имени Б С Мезенцева

Защита состоится " О " /'т'_2007г в мин на

заседании диссертационного совета Д 212.138 12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном укивсрсктстс по адрссу Москва, Шлюзовал наб , д 8, ауд

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО МГСУ Автореферат разослан "

3" /О

2007г

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохии Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широко распространенным элементом стро дельных конструкций являются прямоугольные плиты Теории изгиба плит ш упругом основании посвящена обширная научная литература, в которой он л рассматриваются в основном с позиций классической теории Кирхгоффа Лява Меньшее число иссчедований относится к изучению плит средней тол цины или рейсснеровского типа, теория которых значительно точнее описыва т поведение строительных плит под нагрузкой даже при относительно небод ьшой их толщине

В ряде случаев кроме поперечной нагрузки необходимо учитыват! усилия, приложенные в срединной плоскости Появление этих усилий может быть вызвано сезонными и суточными колебаниями температуры, предварр тельным натяжением арматуры, воздействием технологического оборудот ания, давлением ограждающих стен на фундаментную плиту при заглубленны> подвальных этажах промышленных и гражданских зданий

Вопросам расчета плит с учетом влияния продольных усилий посвя дено значительное число научных исследований, в которых их поведение опи ,ыва-лось классической теорией изгиба пластинок При этом не было обра дено внимания на расчет плит средней толщины, сжатых или растянутых в ср дин-ной плоскости

В связи с изложенным, основное содержание настоящей диссертаго и заключается в разработке приближенного аналитического метода расчета прямоугольных плит средней толщины, расположенных на упру! ом основа! ии с двумя коэффициентами постели и подверженных действию усилий в их срединной плоскости

Цель диссертационной работы:

1 Приняв в качестве исходного варианта теории плит средней толщины ] ари-ант, предложенный Б Ф Власовым, записать разрешающую систему диф-

ференциальных уравнений с учетом сил, приложенных в срединной плоскости плиты

2 При помощи обобщенного варианта вариационного метода В 3 Власова -А В Канторовича разработать приближенное аналитическое решение задачи об изгибе прямоугольной плиты средней толщины, расположенной на упругом основании с двумя коэффициентами постели и подверженной действию сил в срединной плоскости

3 Разработать вычислительную программу, реализующую предложенный алгоритм расчета

4 Провести расчет прямоугольных плит с различными граничными условиями, заданными на контуре, установить быстроту сходимости использованных в расчетном алгоритме рядов, проанализировать работу плит в зависимости от физико-механических характеристик плиты и упругого основания и вечичины продольных сжимающих и растягивающих усилий

5 Сопоставить полученные результаты с решениями, известными из опубликованной литературы для тонких плит, расположенных на винклеровском упругом основании, и сделать необходимые выводы

Научная новизна диссертации состоит в том, что в ней, по-видимому, впервые получено приближенное аналитическое решение задачи об изгибе прямоугольной плиты средней толщины, лежащей на двухпараметрическом упругом основании и сжатой или растянутой в срединной плоскости продольными усилиями, разработана вычислительная программа для ГТК, реализующая предложенный алгоритм расчета и получены новые результаты, вытекающие из рассмотренных примеров расчета

Практическая ценность работы заключается в возможности непосредственного использования полученных формул, алгоритма расчета и вычислительной программы в практике реального проектирования конструкций, взаимодействующих с упругим основанием

Достоверность положений и выводов диссертации вытекает из корректной постановки задач, использования просто1 о и хорошо апробиров; иного математическог о аппарата, а также из качественного соответствия пол} чен-ных результатов тем, которые известны из публикаций и которые полу гены для тонких пластинок

На защиту выносится:

- методика и алгоритм аналитического расчета прямоугольных пластин средней толщины на упругом основании, сжатых или растянутых продольными усилиями в срединной плоскости,

- вычислительная программа, реализующая разработанный алгоритм,

- результаты решения задач для прямоугольных плит при различных стат веских загружениях и разчичных условиях закрепления контура

Апробация работы состоялась в феврале 2005 и августе 2007 года в .иде доклада автора и последующего обсуждения на заседании кафедры строит зль-ной механики МГСУ

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 2 статьи

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех г ив, основных выводов, списка литературы, насчитывающего 96 наименовани и приложения Общий ее объем составляют 102 страницы текста, включа) 42 рисунка и 17 таблиц, и 15 страниц приложения

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертации, опредех ена цель работы и кратко изложено ее содержание

Первая глава носит реферативный характер В ней приведен краткий обзор исследований по расчету конструкций на упругом основании, теории и методам расчета плит средней толщины, вопросам расчета плит с учетом В1 ия-ния усилий, приложенных в их срединной плоскости Отмечено, что пробл ;ме

расчета конструкций, расположенных на деформируемом основании, посвящены многочисленные научные исследования, в которых рассматривались различные модели основания Среди них наибольшее распространение получили модели Винклера, упругого полупространства, а также их различные модификации Разработке методов расчета балок и плит с использованием перечисленных и других моделей основания посвящены работы многих выдающихся ученых, в том числе, В 3 Власова, М И Горбунова-Посадова, Р Ф Габбасова, Б Н Жемочкина, А Г Ишковой, С Н Клепикова, Г К Клейна, Б Г Коренева, Н Н Леонтьева, П Л Пастернака, А П Синицына, Д Н Соболева, В И Травуша, А И Цейтлина, Н Н Шапошникова и др

Многочисленные научные исследования посвящены также и проблеме расчета плит средней толщины В них обсуждались различные расчетные модели плит средней толщины и возможные методы определение их напряженно-деформированного состояния Среди этих исследований отмечены работы А А Амосова, Б Ф Власова, А Л Гольденвейзера, X М Муштари, Е Рейсснера, И Г Терегулова, Б И Тараторина и др Особое внимание здесь уделено предложениям Б Ф Власова, разработавшим эффективный подход для решения практических задач

Вопросы расчета плит с учетом влияния продольных усилий в срединной плоскости изучались в грудах Г Д Абрамова, Р М Винокурова, В Я Рыскина, С П Тимошенко, Ю А Шиманского и др В последнее время изучению влияния продольных усилий на изгибное состояние прямоугольных плит посвящены работы Р Ф Габбасова, В В Филатова, А Т Турганбаева

В конце главы сделаны краткие выводы, вытекающие из приведенного обзора, и сформулированы цели и задачи диссертации

Во второй главе изложен алгоритм расчета прямоугольных плит средней толщины, расположенных на упругом основании с двумя коэффициентами постели и подверженных действию сил в их срединной плоскости (рис 1)

Вначале здесь приведены основные дифференциальные зависимости одног о из вариантов теории плит средней толщины, предложенного Б Ф Власовым При этом введены в рассмотрение

две искомые функции ¡(ху) и ф(х,у), связанные с прогибом плиты и>(х,у) и углами поворота ¡х(х,у), /У{х,у) следующими выражениями

Рис 1

=

VI, ф

Ог дх ду ' х дх ЮЪ д}>' у ду

Здесь 25 и к - соответственно, цичиндрическая жесткость и тол цина плиты, ¡1 - коэффициент Пуассона, й - модуль сдвига материала плиты

Через введенные функции усилия плиты выражаются формулами

ЮЪ ду' %у ду + ~ Юк дх

(1)

М} =-£>

V

м д!^ 2

Г дН д21 Д(1 -ц)2 а2фл

дх2 Цду2 2вИ дхду^

д21 о2г 0(1-ц)2

—- + и—- ——---

ду2 дх2 2вк дхду

дх 2 ду

Э.у2/+1-ц0ф

ду

2 дх

(2)

дхду

оа-и)

2&г

'э^эУ

дх2 ду2

В результате, решение задачи сводится к интегрированию системы двух дифференциальных уравнений

Т72 2СЙ .

V ш----ф = О

о(1-и)

(3)

(4)

Здесь ц(х.у) - реакции упругого основания, определяемые формулой

д(х,у) = к0ы{х,у) - 2гйЧ2м>{х,у) , (5)

где ко и ?о - коэффициенты постели упругого основания

Учитывая наличие продольных усилий Nx, Ny и выражение (5), вместо уравнения (3) можно получить следующее дифференциальное уравнение

GhJ {D 2GhJ D D dx2 D dy2 D dxoy D

Для определения постоянных интегрирования, входящих в интегралы уравнений (6) и (4), на каждом крае плиты может быть сформулировано по три граничных условия Так, для края х=а эти условия имеют вид

- при шарнирном закреплении w(a,y) = Мх(ау) - ty(ay) = О,

- при свободном опирании w(a,y) = Мх(а,у) = M^{a,y) = О,

- при жестком защемлении w(aj.') = ty(ay) = tx(ay) = О,

- при свободном от закрепления и нагрузки — М^ау) = Qx(a,y) = О

В случае, если двухпараметрическое основание простирается за пределы свободного края плиты, последнее из граничных условий принимает вид

MJaj?) = Mryiay) = О, Qx (а, у) = - Q$(a,y), где Q$(a,y) - погонная фиктивная реакция, характерная для этой модели упругого основания (рис 4)

Для решения уравнений (4) и (6) применен обобщенный вариант вариационного метода В 3 Власова - А В Канторовича В том случае, когда два противоположных края плиты шарнирно оперты или защемлены (углы плиты закреплены от перемещений), искомые функции t(x,y) и (?(х,у) могут быть представлены в виде

Кх,у)= IX,00 smamx + ]rvn(x)smpny, (7)

т п

l к

тк - пи гтс _ Ы

где ат-—, Р„= —. a,=--, Р*=— a b а Ъ

В случае плиты, свободно лежащей на поверхности упругого основания и не имеющей закреплений на краях, вместо выражения (7) принимается

4

t(x,y) = JXmOOsma^T + ]T>n(x)smp пу + ££,cor( Х>У)> (9)

т п г-1

где функции шг(х,у) описывают перемещения плиты как жесткого шт; мпа и ее депланацию и имеют вид

Ш] = 1, <х>2~х/а, са3 ~у!Ъ, а>4=ху1аЬ (10)

Выражение (9) вносится в дифференциальное уравнение (6) и прим зняет-ся процедура метода Бубнова-Галеркина с ортогонализацией только по риго-нометрическим функциям В результате, решение задачи сводится к ин гегри-рованию обыкновенных дифференциальных уравнений относительно фу гкций (у), Уп (х), связанных между собой правыми частями

2

Ш,у-2о2 Ш =-

"т т"т

ааг

г

|юг Бтатхёх »■=1 о

т/1У Т,П , 4 Т, 2

(И)

4 Ь

<■=1 о

Аналогичным образом, при подстановке рядов (8) в уравнение (4), I южно получить разрешающие уравнения для функций 0, (у), Рк (х)

нгр =0. = 0 Коэффициенты уравнений (11) определяются в виде

(12)

„2 „ 2 О

2раЯ = 2оС +

2 + МУ

ах Ва

4 4 т а-, а-> 2 К ? =ге — ч—-+а ——-

а, а, иау

ах Од,

■ч

■ч

■ч

а,

,2 "у

где а,= 1+2г0/<7А, а2 =2/0/С7А, а3=к0Ю

Для правых частей уравнений (11) получены выражения

Г£(*> У К_______ о ^ _ У),

о

Ст{у) = Р„(х) =

Б

(13)

т= 1

аЪ

ащ

аЬ

N..

, (14)

Г=1

(16)

Н™ = Я п 5та'»-,:5т13»^'г>> - кг,тп = {/га^та^зтР^йЫу (15) 00 00 Общие интегралы уравнений (11) имеют вид

К 60=<(?)+ГЦ (У)+^т(у)+К Ы кг(х)+ упЧ*Х

где Уп{х) ~ решения соответствующих однородных уравнений,

(у), К/ (х) - частные интегралы, зависящие от заданной нагрузки, ¡¥*(у), К/(х) - интегралы от связующих постоянных Хт„, У„т

а и РП+2РаИР/!+хаш

(17)

-эта х,

^т (у) 5 ^п (х) ~ частные интегралы вида

аа^шп г=1 Ьа1^п Г=1

(18)

Здесь С™ = ыпатхск, ит = |юг втР^с/у о о

Решения У°(х) однородных дифференциальных уравнений (11)

записываются в виде

- С-Хт Фы (У) + <^2т (У) + ^Ът &Ът 00 +^Чт т (У)>

К„°(лО = +02пФ2п{х) +ПЪпФЪп(х)+ПАпФАп(х)

Вид функций, входящих в эти интегралы, зависит от соотношения коэффициентов риз, которые, в свою очередь, зависят от жесткостаых характеристик плиты и упругого основания и значений продольных сил

(19)

Так,при 5'р„>рр„ Ф]„(х)=5Ь^р„хсо55р„х, Ф3„(х)=сЦр,,х5шЗр„х,

' (20)

При 50Л<РР„ Ф3п(х)=5

(21)

Фгп(х)=сЬХХпх, Фцп(х)=сЪк1пх,

При 5Р„ =ррл Ф,п(х)=зЬрр„х, Ф3„(х)=хсЬрр„х,

(22)

Ф2„(х)=сЪрр„х, Ф4„ (х)=хзЬрр„х

Дальнейший анализ показывает, при каких значениях введенных в рассмотрение безразмерных величин к0 =

происходит изменение вида функций Ф1п(х), ,ФАп(х) Аналогичным образом определяются и функции Ф1т (у), , Ф4т (у)

Для получения частных интегралов !¥£(}>) и К/(х), зависящих о' заданной поперечной нагрузки р(ху), будем считать, что она может быть п >ед-ставлена в виде р(х, у) - рх (х)р2 (у), 23)

и в дальнейших выкладках ограничимся построением функции К/ (х), так как вторая функция - (у) может быть записана по аналогии Учитывая п[ >ед-ставление (23), вторую из формул (13) можно записать в виде

Из формулы (24) следует, что вид частных интегралов V? (х) полное ью определяется функцией Р\(х) Рассмотрено построение частных интегра юв для нескольких типов нагрузки

В случае нагрузки рх(х)=р=сопь1, равномерно распределенной по в ей

Р„(х) = ипрг(х), где

124)

2 - 1

плите, Р„ (х) = и„ р=сопвЬ и Г/ (х) = — Vп р—=сст;?г

Ьп- я4

Ьа,

Ъа\ 4"

С5)

— 2—1

При рх(х) = рипах Упр(х)= --ипр -г81па х (26)

Ьщ а*+2р|яа^+5рл

При действии сосредоточенной силы, приложенной в сечении х - хр, интенсивность нагрузки представляется дельта-функцией рх (х) = Р8(х - хр)

Тогда Рп (х) = ип Р8(х -хр), и частный интеграл может быть построен по методу начальных параметров

Г 0, прих^хр,

V* 2тгЪ7Р. . (27)

I Ьа\

где /рп{х) ~ функция влияния сосредоточенной сипы для дифференциального уравнения К„/к -2р^„л = Рп(х)

Определив эту функцию, при х > хр получаем

тГР< ч 2 тт -п^пФ1п(х-хр)-Ьу„Фы(х-х ) -дляслучая 5рп>рри Г„р(х) = —-2--> (28)

24р„5ри£ря

где Ф1п(х)=зЬ^р„хсо85р„х, Ф3„(х)=сЬЕрлХ81п8?пх,

1ГР. , 2 _ (х - хр )-Л.1я5ЬЯ.2„ (л - ж ) -для ^„<Рр„ СМ~ "--п2 ,2 ,---' (29)

..„, ч 2 „ ь Рр„ (Ж ~ ^Р)сЬррп (х-х)- вЬрр„ (х-х ) -для .?р„=р„„ = " --------— (30)

Аналогичным образом опре-

1Ш

деляется частный интеграл и для

нагрузки, показанной на рис 2 О х, х, а

Комбинация полученных ре- Рис 2

шений при различных выражениях для функций С?„,(у) и Р„{х) позволяет проводить расчет плиты на достаточно широкий набор нагрузок, некоторые из которых показаны на рис 3

Общие интегралы однородных уравнений (13) имеют вид

Ql(y)=A^lshg,У + A2Ag,У, Р-Лх)=В1к^кх+В1к^кх, (31)

где с,2+г2~, вк=№~+г2, г2 =12//г2

Рис 3

Для определения коэффициентов Еп входящих в выражение (9), нар щу с граничными условиями, заданными на свободных от закреплений краях, апи-сываются условия равновесия плиты, понимаемые в смысле равенства ) [улю работы всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях (10) Эти условия записываются в виде четырех алгебраических уравнений

аЪ . V а Ь ^2 аЪ

|Д- к^р>ге!хёу + + Л* Юсг - ЦМху --¡-¿х<1у = \\ршг<1х 1у,

00 00 оо

(/•=1,2,3,4) (32)

Здесь та, и со°г -значения функции юг на контуре и в углах плиты

(2^ и Л* - погонные и сосредоточенные реакции упругого основ шия

(рис 4), характеризующие его работу за пределами конструкции

В соответствии с особенностями принятой двухпараметрической мо, (ели упругого основания погонные реактивные давления Яо(у), £}а{у) Для к эаев плиты х = 0 и х = а определяются по формулам

<2%{у)=2к

«о^Н^)

. аф(у)=2/0

, (33)

где тф), -.(У). (1)^. "

прогибы и углы поворота соответст-

венно левого (х = 0) и правого (х = а) краев плиты, а0=,/&0/2г0

Сосредоточенные реакции в углах определяются по формуле =Ъй\мс где м/с - значение прогиба в угловой точке плиты

0?(х)

Рис 4

Определение искомых функций (у), У„(х), 9, (у) и Рк (х) позволяет с помощью вьфажений (1) и (3) получить для прогибов, углов поворота и усилий плиты окончательные выражения Например, прогибы м> и изгибающие моменты Мх определяются в виде

г=1 т

8та_я+

(34)

втР^,

+(1-ц)

12

. I к

Для реализации предложенного в диссертации алгоритма расчета прямоугольных плит составлена вычислительная программа После ввода необходимой информации программа выдает величины прогибов, углов поворота и

внутренних усилий в характерных точках плиты, представляя результггы в виде удобных для чтения таблиц Несколько примеров расчета, получен! ых с помощью этой программы, приведены в Приложении

В третьей главе диссертации приведены примеры расчета прямоугол »ных плит с различными граничными условиями, заданными на контуре, и дар анализ полученных результатов

В качестве первого примера рассмотрена плита, шарнирно оперт* я по контуру при наличии сил Ny = const Оу (рис 5) Поперечная нагрузка npi нята в виде n.

р(х, у) = р0 эт ах вт Ру, 71-71

где а = —, (3 = —, а реше-а Ь

ние дифференциальных

Рис 5.

уравнений (4) и (6) —

г{х,у) = ЛвтсаБтРу, ф(*,.у) = -ВсозсасоэРу (35)

Проанализировано влияние безразмерных параметров к / Ь, ка = кф / И, N у = ЫуЬ2 / О, Ыа на величину прогибов и изгибающи; моментов плиты На рис 6 показана зависимость безразмерного пр< гиба

0 004

0 003

0 002

0 001

к„=0

^=100

\/^=100 -

Принято h/b = 0 2 f==0

- растяжение

4 6

Рис б

---- сжатие

мЖ

у D

м>0=щО!р0Ь* в центре квадратной плиты (при ц=0 2, А/6=0 2, к0 =0 и к0 =100, =0) от величины сжимающих или растягивающих сил Л^, а на рис 7 и рис 8 приведены зависимости прогиба и безразмерного изгибающего момента Ж® =Л/° /рЬ2 той же плиты от ее относительной толщины й/Ь

0 004

0 003

0 002

0 027

0 025

0 023

0 021

Рис 8

Принято ^=50 1=2

ыь

О 3

В качестве второго и третьего примеров рассмотрены задачи об изгибе бесконечной (рис 9) и полубесконечной полосы средней толщины, шарнирно опертой по продольным краям, загруженной в начальном сечении поперечной нагрузкой р(у)-р0со5^у и продольными силами Ыу

Граничные условия, заданные на продольных краях полосы, позволяют представить искомые функции в виде

ц{х,у) = Р(х)&т$у

и свести задачу к решению двух дифференциальных уравнений

У!¥ -2р2ГГ! +3*Г = 0, Fí/-(Pг+l|)F = 0,

/г

интегралы которых с учетом бесконечной протяженности полосы имеют ] ид

а) при 5 > р У(х) = С^е'"* вш ух + С2с~ах соя ух,

где а = Л/(? + Р*)/2, у = 4(*2-р2)/2,

б) при 5 < р У(х) = Схе~ХхХ + Сге~%1\

(36)

где А,! - л/р2 + л]р4 - з4 , Х2 = л/р2 - д/р4 , в) Р{х)=Е\е-&, где £ = л/12/й2 + п2/Ь2

Раскрытие граничных условий «,=^=0, (при. =0)

позволяет найти постоянные интегрирования и затем по формулам (1) и £) все искомые величины

В случае полубесконечной полосы решение остается аналогичным описанному выше за исключением граничных условий в начальном сеч' нии Здесь принято Мх = Мху = 0, £>х=-р0 совРу при х = 0

Выполненные примеры расчета показали, что влияние продольны; сил Л^у на перемещения и усилия полосы, как и в случае шарнирно опертой прямоугольной пластины, является весьма существенным Это можно видет например, из эпюр прогибов бесконечной полосы, показанных на рис 10 В этих примерах принято р. = 0 2, к!Ъ = 0 2, к0~10= 0

Следующий пример расчета относится к прямоугольной плите с жестко защемленным контуром (рис 11).

Сначала здесь исследована сходимость вычислительного процесса при за-гружении плиты равномерно распределенной нагрузкой = 1 и нагрузкой

а Ъ

рг = 25, распределенной в центре плиты по площади — х — В таблице 1 для

случая загружения нагрузкой р2 и при значениях параметров к0 = 50, /0 = 1, N^ = Л^ = -5, А/й = 02, ц = 02, а = 2Ь приведены величины прогиба в

центре плиты и изгибающих моментов относя-

щихся к точкам 0,1 и 2 плиты (рис 11), для нескольких значений п = т

Из результатов, показанных в табл 1, можно видеть, что принятый алгоритм расчета обладает достаточно высокой сходимостью удержание в рядах 3-х первых членов позволяет получить необходимую точность вычислений

Табл 1

п Щ т щ м®

1 0 1802x102 0 1861 0 2522 -0 1986 -02 50

3 0 1750x102 0 1985 0 2949 - 0 3974 - 0 2' 03

5 0 1840x102 0 2010 0 3021 -0 3984 - 0 21 70

7 0 1829хЮ2 0 2015 0 3028 - 0 3988 -0 2'81

9 0 1832x102 0 2015 0 3029 -0 3989 - 0 2< 82

Этот вывод подтверждается и тем, что при 3-х членах ряда дост 1гается хорошее удовлетворение граничного условия = О на сторонах плить [ у = О

и у = Ь, которое было сформулировано в интегральной форме (рис 12), а также характером функциональной невязки, получаемой в результате расчета (рис 13)

П=5/ п=3/ N V.__ Г

а/8 а/8 а/8 • а"—

Рис 12

Рис 13

После анализа сходимости вычислитетьного процесса исследован! > влияние продольных сил на различные результаты расчета Показано, как и ранее, что при сжатии оно более существенно, чем при растяжении и более с /щест-венно при действии сил Ыу, чем сил Ых При одновременном дейстЕ ли си т

Мх=Ыу= -5 процентное отклонение в величине прогибов и изгибающих моментов составляет 20-30%, что можно видеть, например, из эпюры моментов М у, показанной на рис 14

При расчете прямоугольных плит, свободно лежащих на упругом двухпа-раметрическом основании и сжатых или растянутых продольными силами, вначале исследовалась сходимость вычислительного процесса, качество удовлетворения граничным условиям на контуре плиты, свободном от закреплений, величина функциональной невязки При этом было показано, что необходимая точность вычислений достигается, как и ранее, при удержании в принятых рядах трех первых членов, что можно видеть, например, из табл 2, соответствующей загружению плиты в центре при а = 26, ц = 02, /¡/¿> = 0 2,

¿0=50, ¿о=0, Их = Nу ~-5

Табл 2

п Мх М°у ш М2)

1 0 2542 0 5534 0 3034 0 3753 0 1097

3 0 2558 0 5920 0 3428 0 4308 0 0909

5 0 2559 0 5962 0 3490 0 4447 01055

7 0 2559 0 5963 0 3494 0 4449 0 1057

Влияние продольных сил Ых и Му на деформированное и напряженное состояние плиты рассмотрено для двух случаев загружения плиты поперечной нагрузкой равномерно распределенной по всей плите интенсивности рг - 1 и

а ь

распределенной в центре на прямоугольнике ~ х — интенсивности р2 = 25

Показано, что действие продольных сил приводит к существенному возр ¡ста-нию (при сжатии) или убыванию (при растяжении) величины изгибак щих моментов например, при 'Ых = \МУ =5 это изменение величины моментов составляет 15-20% (рис 15, где вся плита загружена равномерно) м

0 09 0 06 О 07 О 06 О 05 0 04 0 03

ми

щ

__/

Щ!

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Рис 15

Влияние величины второго коэффициента постели ?0 па прогибы п гиты и изгибающие моменты показано на рис 16 и рис 17 Из рис 16 можно ви теть, что в случае плиты, точностью загруженной равномерно распределенно I нагрузкой, учет второго коэффициента постели (при Аг0=50) приво;ит к

/ ?0=1 /

^0=0 / ¿05/

а/8 я/8 а/8 а/8

Рис 16

уменьшению общей осадки плиты и появлению в ней изгибной деформации С увеличением (а изгиб плиты увеличивается и возрастают изгибающие моменты (на рис 17 сплошные линии - Мх, пунктирные - Му)

При загружении плиты в центре влияние /0 несколько уменьшается, так как и при 10 = 0 плита получает значительный изгиб

Влияние на результаты расчета относительной толщины плиты ЫЬ при полном загружении плиты является небольшим и составляет для прогибов оксю 1 %, а для изгибающих моментов примерно 7% При этом сжатие плиты силами Ых = -5 практически не изменяет отмеченного влияния

При загружении плиты в центре на прямоугольнике влияние И!Ь на величину прогиба увеличивается и составляет около 6% Еще большее отклонение от результатов, получаемых по классической теории изгиба пластинок, возникает при загружении плиты сосредоточенной силой в этом случае при ЫЬ = 0 3 и к0=50 оно доходит почти до 30%

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 При помощи обобщенного варианта вариационного метода В 3 Власова - А В Канторовича разработан алгоритм приближенного аналитического решения задачи об изгибе прямоугольных плит средней толщины, лежащих на

упругом двухпараметрическом основании и находящихся под действием сжимающих или растягивающих сил, приложенных в срединной плоскости

2 Для описания напряженно-деформированного состояния рассм. три-ваемых плит получена система дифференциальных уравнений, базируюц аяся на одном из вариантов теории плит средней толщины Б Ф Власова

3 Разработана вычислительная программа, реализующая предложе] ный алгоритм и выдающая результаты в компактной и удобной для анализа фо эме

4 Выполнен расчет прямоугольных плит с различными граничным] [ условиями и показано, что уже при 3-5 членах, удерживаемых в тритоном« три-ческих рядах, достигается высокая точность вычислений даже для нагр зок, близких к сосредоточенным

5 Проанализировано влияние продольных сил, действующих в среди шой плоскости пластины, на ее напряженно-деформированное состояние По аза-но, что это влияние может быть весьма существенным и достигать для п{ оги-бов 20-30%, а для изгибающих моментов - 10-15% в сторону их увеличшия при сжатии и уменьшения при растяжении При этом эффект от действия сжимающих сил оказывается несколько большим, чем от действия сил р< стягивающих С увеличением жесткости упругого основания влияние про;:оль-ных сил несколько уменьшается Уменьшается оно и для прогибов пл пы, свободно лежащей на поверхности упругого основания, так как в этом сл /чае плита получает значительную осадку как жесткий штамп

6 Показано, что при увеличении относительной толщины плиты И/Ь прогибы плиты увеличиваются, а изгибающие моменты уменьшаются При этом в зависимости от заданных граничных условий и характера попере1 ной нагрузки отклонение от результатов классической теории изгиба пластинок при ЫЪ = 02 - 0 3 может составлять 20% и более для прогибов и 10-15% для изгибающих моментов

7 Проанализировано влияние величины второго коэффициента пос ели на прогибы и изгибающие моменты плиты В случае плиты, свободно л 'жа-

щей на упругом основании и загруженной равномерно распределенной нагрузкой, учет второго коэффициента постели приводит к появлению в плите изгибной деформации и возникновению существенных по величине изгибающих моментов При этом с увеличением Г0 общая осадка плиты уменьшается, а с ростом к0 влияние /0 ослабевает В случае загружения плиты в центре влияние /0 на результаты в процентном отношении несколько уменьшается 8 Подводя игог отмеченному выше, можно заключить, что при расчете плит с относительной толщиной к/Ь более 0 1-02 следует использовать теорию плит средней толщины, дающую уточнение, доходящее до 20 и более процентов,

при наличии продольных сил, относительная величина которых (Ы = ЫЬ" /Б) превышает значения 4—5, отклонения в результатах расчета составляют 10-30 процентов, что говорит о необходимости их учета,

при расчете плит, свободно лежащих на поверхности упругого основания, рекомендуется вместо винклеровской модели принимать двухпараметриче-скую модель основания, приводящую к результатам, близким к тем, к которым приводит модель упругого полупространства

Основные положения диссертации отражены в следующих работах:

1 Леонтьев IIН , Леонтьев А Н , Вагиалла Хассан А М Изгиб плиты средней толщины при наличии усилий в срединной плоскости // Строительная механика и расчет сооружений, №6, 2006 г С 21 -24

2 Леонтьев А Н , Вагиалла Хассан А М Расчет неразрезных прямоугольных пластин средней толщины // Научно-технический журнал «Вестник МГСУ», №1, 2007 г С 97-100

КОПИ-ЦЕНТР св 7 07 10429 Тираж 100 экз Тел 185-79-54 г Москва, ул Енисейская д 36

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Краткий обзор исследований по методам расчета конструкций, расположенных на упругом основании, теории плит средней толщины и вопросам расчета плит с учетом усилий в их срединной плоскости.

1.1.0 расчете конструкций, расположенных на деформируемом основании.

1.2. Модели плит средней толщины и основные методы их расчета.

1.3. Учет влияния усилий, действующих в срединной плоскости плиты

Актуальность темы. Широко распространенным элементом строительных конструкций являются прямоугольные плиты с различными закреплениями контура, а также расположенные на упругом основании.

Теории изгиба плит на упругом основании посвящена обширная научная литература, в которой плиты рассматриваются в основном с позиций классической теории изгиба пластинок Кирхгоффа-Лява. Меньшее число исследований относится к изучению плит средней толщины или плит рейсснеров-ского типа, теория которых значительно точнее описывает поведение строительных плит под нагрузкой даже при относительно небольшой их толщине.

В ряде случаев при расчете плит, и особенно плит, лежащих на упругом основании, необходимо кроме поперечной нагрузки учитывать усилия, приложенные в срединной плоскости. Появление этих усилий может быть вызвано сезонными и суточными колебаниями температуры, предварительным натяжением арматуры, воздействием технологического оборудования, давлением ограждающих стен на фундаментную плиту при заглубленных подвальных этажах промышленных и гражданских зданий.

Вопросам расчета плит с учетом влияния продольных усилий посвящено значительное число научных исследований, в которых поведение плит описывалось классической теорией изгиба пластинок. При этом не было обращено необходимого внимания на расчет плит средней толщины, сжатых или растянутых в срединной плоскости.

В связи с изложенным, основное содержание настоящей диссертации заключается в разработке приближенного аналитического метода расчета прямоугольных плит средней толщины, расположенных на упругом основании с двумя коэффициентами постели и подверженных действию усилий в их срединной плоскости.

Цель диссертационной работы:

1. Приняв в качестве исходного варианта теории плит средней толщины вариант, предложенный Б.Ф.Власовым, записать разрешающую систему дифференциальных уравнений с учетом сил, приложенных в срединной плоскости плиты.

2. При помощи обобщенного варианта вариационного метода В.З.Власова -А.В.Канторовича разработать приближенное аналитическое решение задачи об изгибе прямоугольной плиты средней толщины, расположенной на упругом основании с двумя коэффициентами постели и подверженной действию сил в срединной плоскости.

3. Разработать вычислительную программу, реализующую предложенный алгоритм расчета.

4. Провести расчет прямоугольных плит с различными граничными условиями, заданными на контуре, установить быстроту сходимости использованных в расчетном алгоритме рядов, проанализировать работу плит в зависимости от заданных физико-механических характеристик плиты и упругого основания и величины продольных сжимающих и растягивающих усилий.

5. Сопоставить полученные результаты с решениями, известными из опубликованной литературы для тонких плит, расположенных на винклеров-ском упругом основании, и сделать необходимые выводы.

Научная новизна диссертации состоит в том, что в ней, по-видимому, впервые получено приближенное аналитическое решение задачи об изгибе прямоугольной плиты средней толщины, лежащей на двухпараметрическом упругом основании и сжатой или растянутой в срединной плоскости продольными усилиями, разработана вычислительная программа для ПК, реализующая предложенный алгоритм расчета и получены новые результаты, вытекающие из рассмотренных примеров расчета.

Практическая ценность работы заключается в возможности непосредственного использования полученных формул, алгоритма расчета и вычислительной программы в практике реального проектирования конструкций, взаимодействующих с упругим основанием.

Достоверность положений и выводов диссертации вытекает из корректной постановки задачи, использования простого и хорошо апробированного математического аппарата, а также из качественного соответствия полученных результатов тем, которые известны из публикаций и которые получены для тонких пластинок.

На защиту выносится:

- методика и алгоритм аналитического расчета прямоугольных пластин средней толщины на упругом основании, сжатых или растянутых продольными усилиями в срединной плоскости;

- вычислительная программа, реализующая разработанный алгоритм;

- результаты решения задач для прямоугольных плит при различных статических загружениях и различных условиях закрепления контура.

Апробация работы состоялась в феврале 2005 и августе 2007 года в виде докладов автора и последующего обсуждения на заседании кафедры строительной механики МГСУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 2 статьи.

Структура, объем и краткое содержание диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, основных выводов, списка литературы, насчитывающего 96 наименований, и приложения. Общий ее объем составляют 102 страницы текста, включая 42 рисунка, 17 таблиц, и 15 страниц приложения.

Во введении обосновывается актуальность проблемы, формулируются цели диссертации, отражается научная новизна результатов, конкретизируются положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе приведен краткий обзор исследований, посвященных расчету конструкций на упругом основании, теории и методам расчета плит средней толщины, вопросам расчета плит с учетом влияния усилий, приложенных в их срединной плоскости.

Во второй главе изложен алгоритм расчета прямоугольных плит средней толщины, расположенных на упругом основании с двумя коэффициентами постели и подверженных действию сил в их срединной плоскости.

Здесь получены разрешающие дифференциальные уравнения задачи и для их решения использован обобщенный вариант метода В.З.Власова -А.В.Канторовича. Рассмотрены вопросы получения частных интегралов для нескольких видов поперечной нагрузки, вопросы формулировки граничных условий, приведена блок-схема вычислительной программы.

В третьей главе рассмотрен ряд примеров расчета прямоугольных плит средней толщины, сжатых или растянутых в срединной плоскости продольными усилиями. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния этих плит при различных граничных условиях, заданных на их контуре, и в зависимости от заданных физико-механических свойств плит и упругого основания, а также в зависимости от величин продольных усилий. Проведено сопоставление полученных результатов с теми, которые известны из имеющихся публикаций для тонких плит.

Выводы содержат основные оценки полученных решений и рекомендации для реального проектирования.

Основные выводы

1. При помощи обобщенного варианта вариационного метода В.З.Власова - А.В.Канторовича разработан алгоритм приближенного аналитического решения задачи об изгибе прямоугольных плит средней толщины, лежащих на упругом двухпараметрическом основании и находящихся под действием сжимающих или растягивающих сил, приложенных в срединной плоскости.

2. Для описания напряженно-деформированного состояния рассматриваемых плит получена разрешающая система дифференциальных уравнений, базирующаяся на одном из вариантов теории плит средней толщины Б.Ф.Власова.

3. Разработана вычислительная программа на языке Фортран, реализующая предложенный аналитический алгоритм и выдающая результаты в компактной и удобной для анализа форме.

4. Выполнен расчет прямоугольных плит с различными граничными условиями и показано, что уже при 3-5 членах, удерживаемых в тригонометрических рядах, достигается высокая точность вычислений даже для нагрузок, близких к сосредоточенным.

5. Проанализировано влияние продольных сил, действующих в срединной плоскости пластины, на ее напряженно-деформированное состояние. Показано, что это влияние может быть весьма существенным и достигать для прогибов 20-30%, а для изгибающих моментов - 10-15% в сторону их увеличения при сжатии и уменьшения при растяжении. При этом эффект от действия сжимающих сил оказывается несколько большим, чем от действия сил растягивающих. С увеличением жесткости упругого основания влияние продольных сил несколько уменьшается. Уменьшается оно и для прогибов плиты, свободно лежащей на поверхности упругого основания, так как в этом случае плита получает значительную осадку как жесткий штамп.

6. Показано, что при увеличении относительной толщины плиты к/Ь прогибы плиты увеличиваются, а изгибающие моменты уменьшаются. При этом в зависимости от заданных граничных условий и характера поперечной нагрузки отклонение от классической теории изгиба пластинок при к/Ь = 0.2 ч-О.З может составлять 20% и более для прогибов и 10-15% для изгибающих моментов.

7. Проанализировано влияние величины второго коэффициента постели на прогибы и изгибающие моменты плиты. В случае плиты, свободно лежащей на упругом основании и загруженной равномерно распределенной нагрузкой, учет второго коэффициента постели приводит к появлению в плите изгибной деформации и возникновению существенных по величине изгибающих моментов. При этом с увеличением ¿о общая осадка плиты уменьшается, а с ростом к0 влияние ¿о ослабевает. В случае загружения плиты в центре влияние на расчетные результаты в процентном отношении несколько уменьшается.

8. Подводя итог отмеченному выше, можно заключить, что при расчете плит с относительной толщиной к/Ь более 0.1-0.2 следует использовать теорию плит средней толщины, дающую уточнение, доходящее до 20 и более процентов; еТт Ш\ при наличии продольных сил, относительная величина которых ( n = ) превышает значения 4-5, отклонения в результатах расчета составляют 10-30 процентов, что говорит о необходимости их учета; при расчете плит, свободно лежащих на поверхности упругого основания, рекомендуется вместо винклеровской модели принимать двухпараметрическую модель основания, приводящую к результатам, близким к тем, к которым приводит модель упругого полупространства.

1. Абрамов Г.Р. Исследование устойчивости и сложного изгиба пластин, стержневых наборов и оболочек разностными уравнениями. JL, Судпром-гиз, 1951, 51 с.

2. Айнола Л.Я. Об уточненных теориях пластинок типа Рейсснера. В кн.: Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ереван, Изд. АН АССР, 1964. - С. 171-178.

3. Алексеев С.А. Две задачи теории толстых плит. В сб.: Расчет пространственных конструкций. 1950, т.1. - С. 317-328.

4. Амосов A.A. Об одном варианте уточненной теории плит средней толщины. В сб.: Теоретические основы строительства (доклады). М., 1994.1. С. 7-10.

5. Барг J1.A. Расчет пластинок на упругом основании. Строительная механика и расчет сооружений, 1962, № 6. - С. 11-14.

6. Барташевич Э.С., Цейтлин А.И. О расчете конструкций, лежащих на упругом основании. Строительная механика и расчет сооружений, 1965, № 4. С. 44-46.

7. Бондарчук A.C., Варвак П.М. Некоторые задачи изгиба пластин в уточненной постановке. В сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, 1970, вып. 10. - С. 47-55.

8. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. М.: ГИТТА, 1953, 586 с.

9. Бутенко Ю.И. К вариационным методам расчета пластин с учетом поперечного сдвига. В сб.: Прочность и жесткость тонкостенных конструкций. Л., 1975.-С. 58-63.

10. Ю.Вайндинер А.И. Об одном обобщенном методе Бубнова-Галеркина-Канторовнча приближенного решения краевых задач. Вестник МГУ, 1967, №2.

11. П.Виноградов P.M. Расчет балок, нагруженных продольными и поперечными силами, методом акад.А.Н.Крылова. Канд. диссертация. М., 1941.

12. Власов Б.Ф. Двусторонние оценки по энергии в задачах теории изгиба тонких упругих плит. В кн.: Строительная механика, сб. статей. М., 1970.

13. Власов Б.Ф. Уравнения изгиба плит средней толщины. В сб.: Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости элементов строительных конструкций. М., МИСИ, 1989. - С. 107-116.

14. Власов В.З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем.-М., 1949, 409 с.

15. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960, 490 с.

16. Ворович И.И. Общие проблемы пластин и оболочек. В сб.: Труды 5 Всес. конф. по теории пластин и оболочек. М.: Наука, 1966. - С. 896-903.

17. Ворович В.В., Шленов М.А. Асимптотический метод решения первой краевой задачи теории плит Рейсснера при большом показателе изменяемости краевой нагрузки. В сб.: Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Дону, 1978.-С. 3-16.

18. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Расчет сжато-изогнутых пластин при неполном контакте с упругим основанием. В сб.: Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости элементов строительных конструкций. М., МГСУ, 1999. С. 50-53.

19. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений, т. 11. Изд. АН СССР, 1953, 409 с.

20. Глазырин B.C. Применение теории Рейсснера к расчету неограниченных плит, лежащих на упругом основании. Строительная механика и расчет сооружений, 1964, № 2. - С. 20-26.

21. Гольденвейзер A.J1. О теории изгиба пластинок Рейсснера. Изв. АН СССР, ОТН, 1958, № 4. - С. 102-109.

22. Гольденвейзер A.JI. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования. ПММ, 1962, Т. 26, вып. 4. -С. 668-686.

23. Горбунов-Посадов М.И. Современное состояние научных основ фундамен-тостроения. М.: Наука, 1967.

24. Горбунов-Посад ob M.K. О путях развития теории расчета конструкций на упругом основании. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1968, № 1.

25. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. -М.: Стройиздат, 1984.

26. Горлов A.M., Серебряный Р.В. Автоматизированный расчет прямоугольных плит на упругом основании. М.: Стройиздат, 1968.

27. Жемочкин Б.Н., Синицин А.П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании. М.: Стройиздат, 1962.

28. Гордеев A.B. Изгиб прямоугольной пластинки средней толщины под действием нагрузки, распределенной вдоль линии. В сб.: Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости элементов строительных конструкций. М., МИСИ, 1989. - С. 158-162.

29. Гордон J1.A., Константинов И.А. Уравнения теории Рейсснера для плит переменной толщины. Изв. ВНИИ Гидротехники, 1970, т.92. - С. 76-83.

30. Джаралла Али Мохамед. Расчет плит средней толщины на упругом основании с двумя коэффициентами постели обобщенным вариантом метода Власова Канторовича. - Канд. диссертация. М., 1992.

31. Дзири Рауф. Изгиб прямоугольной плиты средней толщины с учетом нелинейной работы материала. Канд. диссертация. М., 1992.

32. Калманок A.C. Расчет пластинок. Справочное пособие. М.: Гос. изд. лит. по строит, архит. и строит, материалам, 1959. - 212 с.

33. Канторович В.М., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М. Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

34. Картвелишвили В.М., Котин М.В. Конечноэлементные схемы уточненной теории пластин. Строительная механика и расчет сооружений, 1990, № 1. -С. 1-7.

35. Китовер К.А. К расчету прямоугольных плит на упругом основании. В сб. трудов общетехнических кафедр Ленинградского технологич. ин-та холодильной промышленности. Л., вып.8, 1955. - С. 66-70.

36. Клепиков С.Н. Расчет конструкций на упругом основании. Киев: Буди-вельник, 1967. - 184 с.

37. Кононенко Е.С. О приближенном расчете прямоугольных плит на упругом основании. Исследования по теории сооружений. М.: Госстройиздат, 1960.

38. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. М.: Госстройиздат, 1954.

39. Коренев Б.Г. Конструкции, лежащие на упругом основании. В сб.: Строит. механика в СССР в 1917 - 1967 гг. - М.: Госстройиздат, 1967.

40. Кузнецов В.И. Работы советских ученых в области теории расчета сооружений на упругом основании. В сб.: Труды по истории техники. М.: АН СССР, 1954, вып.8.

41. Леонтьев H.H. и др. Основы теории балок и плит на деформируемом основании. Учебное пособие. М.: МИСИ, 1982.

42. Леонтьев H.H. Обобщенный вариант вариационного метода Власова-Канторовича и его применение для решения двумерных задач теории пластин и оболочек. В сб.: Проблемы расчета пространственных конструкций. М.: МИСИ, 1980, № 2. - С. 65-78.

43. Люстиг М.А., Сеченков A.B., Тимербаев P.M. К теории пластин средней толщины. В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1985, № 19.-С. 17-31.

44. Мазурова C.B. Метод последовательных аппроксимаций в задачах расчета изгибаемых плит средней толщины. Канд. диссертация. М., 1990.

45. Маржи М.С. Изгиб прямоугольных плит средней толщины на упругом основании. Канд. диссертация. М., 1990.

46. Медведева З.А. Влияние деформации поперечного сдвига на напряженное состояние неоднородных по толщине пластин. Прикл. механика, 1988, т.24, № 1. - С.80-88.

47. Мещеряков Ю.М. Перечень опубликованных в СССР работ по расчетам балок и плит на сжимаемом основании (обзор за 1917-1967 г.г.). М., 1967, 95 с.

48. Михайличенко Ю.Э. Решение задачи изгиба плит средней толщины аналитическими методами. Канд. диссертация. М., 1990.

49. Мохамед Ахмед Адель Агид. Расчет в физически нелинейной постановке прямоугольной плиты средней толщины, расположенной на упругом основании. Канд. диссертация, М., 1997.

50. Музыченко Ю.Н., Парфенов В.И. Численный метод расчета плит средней толщины на упругом основании. В сб.: Теория плит и оболочек. Ростов-на-Дону, 1972.

51. Папуш A.B. Изгиб прямоугольных плит с тремя условиями на контуре. -Канд. диссертация. М., 1988.

52. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М.: Госстройиздат, 1954.

53. Петросян Л.Г. Вопросы статического и динамического расчета конструкций на упругом основании. Ереван.: Луйс, 1989. - 56 с.

54. Понятовский В.В. К теории пластин средней толщины. ПММ, 1962, т.26, №2.-С. 335-341.

55. Прусаков А.П. О построении теории изгиба пластин средней толщины энерго-асимптотическим методом. Прикл. механика, 1975, т.11, № 10. -С. 44-51.

56. Розин JI.A. Современное состояние МКЭ в строительной механике. Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1981, № 11. - С. 41-54.

57. Рыскин В.Я. Численный метод расчета сжато-изогнутых стержней и пластин на динамические нагрузки. Канд. диссертация. М., 1983.

58. Тараторин Б.И. Уравнения равновесия плит средней толщины. В сб.: Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости элементов строительных конструкций. М., МГСУ, 1995.

59. Терегулов И.Г. К теории пластин средней толщины. ПММ, 1962, т. 26, вып. 2. - С. 346-350.

60. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966.-635 с.

61. Турганбаев А.Т. Изгиб плит на упругом основании с учетом влияния продольных усилий. Канд. диссертация., М., 1998.

62. Филатов В.В. Расчет сжато-изогнутых балок и плит на несплошном упругом основании. Канд. диссертация., М., 1999.

63. Шкелев J1.T., Одинец Е.А. Исследование напряженного состояния пластин средней толщины методом прямых. В сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, Киев, 1987, №51. - С. 71-74.

64. Шленев М.А., Туркина И.М. Расчет прямоугольной плиты Рейсснера. В сб.: Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Дону, 1977. - С. 3-12.71 .Шиманский Ю.А. Изгиб пластин. М., ОНТИ, 1934.

65. Carley T.G., Langhaar H.L. Transverse shearing stress in rectangular plates. J. Eng. Mech., Proc. ASCE, 1968, v.94. - P. 137-154.

66. Dym C. Effects of prestress on the acoustic behavior of panels. J.Ac.Soc.Am., 1974, v.55, №5.

67. Engblom I.I., Fuchne I.P. Transverse stress predictions for thin to-thick composite structure: shear deformable finite element penalty formulation. Proc. 5th. Int. Conf. Peisleny, London. -N.Y, 1989. - P. 419-430.

68. Essenburg F., Naghdi P.M. On elastic plates of variable thickness. Proc. 3rd U.S. Nat. Congr. Appl. Mech, 1958. - P. 313-320.

69. Girkmann K., Beer R. Anwendung der verschaffen Plattentheorie nach Eric Re-issner auf orthotroppen Platten. Oster. Ingr. - Arch., 1958, 12, 1-2.1. S. 101-110.

70. Girkmann K. Flachentragwerke. 4-ое изд. Вена, I960 - С. 275.

71. Green A.E. On Reissners theory of elastic plates. Quart. Appl. Math., 1949, №7.-P. 223-228.

72. Horikawa Т., Sonoda K., Kurata M. A comparison of numerical results given by thick plate, Reissner's and thick plate theories. Mem. Fac. Eng. Osaka City Univ., 1975, 16.-P. 169-186.

73. Karam V.l., Teiles J.C.F. On boundary elements for Reissner plate theory. Eng. Anal., 1988, 5, № 1.-P. 21-27.

74. Nadai A. Elastische Platten. Берлин, 1925.- 154 с.

75. Pank V. Verschärfte Theorie der elastischen Platte. Ingr.-Arch., 1964, b.93, h.6.-S. 351-371.

76. Pinsky P.M., Fayad S., Jasti R. On the use of strain interpolation in a mixed formulation for Reissner-Mindlin plate theory. Comput. Mech., 88, Theory and Appl. Proc. Int. Conf. Comput. Eng. Sei. Atlanta, 1988, v.l.

77. Reddy J.N., Kladeir A.A., Librescu L. Levy type solutions for symmetrically laminated rectangular plates using first-order shear deformation theory. Trans. ASME: J. Appl. Mech, 1987, v.54, № 3. - P. 740-742.

78. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates. J. Math, and Phys., 1944, v. 23.-P. 184-191.

79. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. J. Appl. Mech., 1945, v.12, № 2. - P. 69-77.

80. Reissner E. On bending of elastic plates. Quart. Appl. Math., 1947, 5, № 1. - P. 55-68.

81. Reissner E. On transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation. The Int. Journal of Solids and Structures, 1975, 11, № 5. -P. 569-573.

82. Reissner E. On the theory of transverse bending of elastic plates. The Int. Journal of Solids and Struct., 1976, 12, № 8. - P. 545-554.

83. Reissner E. A note on the derivation of higher-order two-dimensional theories of transverse bending of elastic plates. Lect. Notes Eng., 1987, №28. - P. 28-31.

84. Salerno V.L., Goldberg M.A. Effect of shear deformations on the bending of rectangular plates. Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1960, 27, № i4. p. 54-58.

85. Schafer M. Uber eine Verfeinerung der Klassischen Theorie dunner schwach gebogener Platten. ZAMM, 1952, 32, № 6. - S. 161-171.

86. Spilker R.L., Engelmann B.E. Hybrid-stress isoparametric elements for moderately thick and thin multilayer plates. Comput. Meth. Appl. Mech and Eng., 1986, v.56, №3. - P. 339-361.

87. Veda V., Murakawa H., Masuda H. Reissner-Mindlin plate element for a large deflection problem. Comput. Mech. 86, Theory and Appl. Proc. Int. Conf. Tokyo, 1986, v. 1. - P. III/l67 - III/l72.

88. Пример 1. Плита с жестко защемленными краями под действием равномерно распределенной нагрузки (п=1)

89. Пример2. Плита с жестко защемленными краями под действием равномерно распределенной нагрузки (п=5)

90. Пример 3. Плита с жестко защемленными краями под действием нагрузки, распределенной на прямоугольнике (п=5)

91. Пример 4. Плита с жестко защемленными краями под действием сосредоточенной силы (п=5)

92. Пример 5. Плита со свободными краями под действием равномерно распределенной нагрузки (п=5)

93. Пример 6. Плита со свободными краями под действием нагрузки, распределенной на прямоугольнике (п=5)

94. Пример 7. Плита со свободными краями под действием сосредоточенной силы (п=5)

95. Прямоугольная плита с жестко защемленным контуром под действием равномерно распределенной нагрузки (п=1).

96. Nxpriv = -5.0000 Nypriv = -5 . 0000

97. Er=0 W= =0. Fiy=0. Fix=0. Er= 01. W = 0 .

98. РдХ=0 ******************** Fix = 0 .

99. JT^y^Q ******************** Fiy =0.

100. Прямоугольная плита с жестко защемленным контуром под действием равномерно распределенной нагрузки (п=5).

101. Ыхргл-У = -5. 0000 Ыург1у = -5.0000

102. Ыхх = -.10417Е-01 Ыуу = 10417Екргл^ = 50.000 tpriv = 1. 0000кО = .2 604 2Е- -01 "ЬО = .10417Е-01 кг = 0а = 2 . 0 Е = 12.000 С 5 . 0000

103. Ь = 1 . 0 риаэ = .20000 Б ЗЗЗЗЗЕ-02

104. И = 20 0 = . 83333Е-02 пх = 9 пу = 9я = 1.0 х 1 = . 00 х2 = 2.001. У1 = . 00 У2 = 1.00

105. Ег = 0 ¥¡=0 . Е1у=0 . Пх=0. Ег = 00 . ***************** А- * * И=0 .

106. Пх= 0. ■к * -к -к -к -к -к -к ************ р 1 X = 0

107. Е1у= 0 . ******************** р^у^О

108. Прямоугольная плита с жестко защемленным контуром под действием нагрузки, распределенной на прямоугольнике (п=5).

109. Nxpriv = -5.0000 Nypriv = -5.0000

110. Er=0 W= =0. Fiy=0. Fix=0. Er= = 0w=o. ***** . Vi =0.

111. Fix=0. , . ***** . Fix :=0 .1. Fiy=0. . . Fiy '=0.

112. Ь = 1.0 риаэ = .20000 э = . ЗЗЗЗЗЕ-02

113. Ь = . 20 Б .83333Е-02 пх =9 пу = 92.0хр УР10 . 5

114. Ег=0 W=0. Пу=0. Пх=0. Ег=0w=o.1. Пх=0.Р. Пх=0 .1. Пу=0. Пу=0.

115. Свободно лежащая прямоугольная плита под действием равномерно распределенной нагрузки (п=5).1. Ыхрглу Ыхх-5.0000 -. 10417Е-01

116. Ыург1у = -5.0000 Ыуу = -.10417Екрг!у = 50 . 000 tpri V = 1.0000кО = .26042Е- 01 1:0 = . 104 17Е-0!1 кг 1а = 2.0 Е 12.000 С = 5.0000

117. Ь = 1.0 риаэ = .20000 э = . ЗЗЗЗЗЕ-02

118. Свободно лежащая прямоугольная плита под действием нагрузки, распределенной на прямоугольнике (п=5).1. Ыхргл^ = -5.00001. Ыхх = -.10417Е-01

119. Ыургл^ = -5.0000 Ыуу = -. 10417Екрг1у = 50.000кО = . 26042Е-01 к£ = 11. V = 1.00001:0 = . 104 17Е-02 кг = 1а = 2.0 Ь = 1.0 1-1 = .20

120. Е = 12.000 риаз = .20000 О = .83333Е-02