автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет в физически нелинейной постановке прямоугольной плиты средней толщины, расположенной на упругом основании

москопскии государственный строительный университет

РГ6 од

Па правах рукописи

О 9 ФЕВ

МОХЛМЕД АХМЕД АДЕЛЬ АГЙД

УЖ 624.073.2

РАСЧЕТ В ФИЗИЧЕСКИ НЕЖНЕИНОИ ПОСТАНОВКЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛИТЫ СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ. РАСПОЛОЖЕННОЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Московской государственном' строительном университете.

Научный руководитель

Научный консультант.

заслуженный, деятель науки и техники России, член-корреспондент PAACH, доктор технических наук, профессор Леонтьев H.H.

кандидат технических наук, доцент Леонтьев А.Н.

Официальные оппонента

•профессор, доктор ггиз-иат. наук, Власов Б.&.

-доцент, кандидат технических наук, Клейн В.Г.

Ведущее предприятие

-ЦШ'Ш им. Мезенцева Е.С.

Защита состоится "17 " фгррал-я_ 199& г. в 15. час. за мин.

на заседании диссертационного совета К 053.11.06 в Московском государственном строительном университете по адресу: Москва, Шлюзовая наб., дом 8, ауд. Я 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан _ сттттзярт, 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного -совета профессор, кандидат технических наук

Н.Н.Анохин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широко распространенным элементом строительных конструкции являются прямоугольные шиты, расположенные на упругом основании. Дзтэ при относительно небольшой толщине таких плит их работа ттод нагрузкой значительно точнее описывается теорией плит средней толщины, чем классической теорией изгиба тонких пластинок.

Теорш плит средней толщины посвящена обширная научная литература. в которой исследованы различные варианты этой теорш и соответствующие т системы дифференциальных уравнений, рассмотрены практические задачи и метода их решения, использующие аналитический или численный аппарат. Однако задача о расчете плиты средней толщины, расположенной на упругом основании, изучена значительно меньше других, хотя эта задача представляет существенный интерес для проектирования фундамеятньпс плит, плит аэродромных и дорожных покрыл®.

Поведение большинства материалов, применяемых в строительстве, при небольших напряжениях хорошо описывается линейным законом Гука, но с увеличением нагрузки зависимость между напряжениями и деформациям становится нелинейной. Это обстоятельство приводит к необходимости учета упругопластических свойств материала при анализе работа конструкции.

В связи с изложенным, можно считать, что задача расчета в физически нелинейной постановке прямоугольной плиты средней толщины, расположенной на упругом основании, является актуальной.

Цель диссертационной работы:

I. Получить приб.ягаенное аналитическое решение физически нелинейной задачи об изгибе прямоугольной шшы средней толщины, лежа-

шей на упругой основании, приняв при этом в качестве расчетной модели плиты средней толщины вариант, предложенный Б. Ф. Власовым, а в качестве упругого основания - модель основания с двумя коэффициентами постели.

г. Разработать программу для ЭВК, раелизукнюто расчетный алгоритм;

3. Провести расчет прямоугольных плит при различных условиях, заданных на контуре, а также свободно лежащих на упругом основании, проанализиравать влияние Физической нелинейности и заданных характеристик упругого основания на напряженно-деформированное состояние плиты, сопоставить результаты с решением, известными из публикаций;

научная новизна диссертации состоит в том, что в ней:

- впервые рассмотена задача об изгибе влиты средней толщины на упругом основании с учетом Физической нелинейности;

- на базе кинематических и статических гипотез . предложенных в. Ф. власовым.и теории малых упругопластических деформации , получена система соответствуют!« дифференциальных уравнении, описывающих изгиб Физически нелинейнбй плиты на упругом основании;

- при реализации метода упругих решении использован обобщенный вариант вариационного метода В.З.Власова - А.В.Канторовича;

- разработана программа для эви , реализующая расчетный алгоритм;

- получены новые результата, характеризюшие поведение плиты под нагрузкой в зависимости от заданных характеристик для плиты и упругого основания.

Практическая ценность работы заключается в возможности непосредственного использования полученных формул и разработанног

•■злгорихм;! расчета в практике реального проектирования конструкции, выполненных го нелинейно упругого материала.

Достоверность положении и выводов диссертации обеспечивается корректной постановкой рассмотренных задач, использованием простого и хорошо апробированного математического аппарата, а также качественным соответствием полученных в диссертации результатов ■тем, которые известны из тлеющихся публикации, но относятся к тонким пластинам и плитам средней толщины, не расположенным на упругом основании.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре аспирантов кафедры "Строительная механика" МГСУ в мае и сентябре 1997 г.

На сзщп выносятся:

- методика и алгоритм приближенного аналитического расчета прямоугольных плит средней толщины с учетом физической нелинейности и контактного взаимодействия с упругим основанием;

- результата решения задач дом прямоугольных плит при различных условиях закрепления контура и свободно лежащих на упругом основании.

Струтсгурч и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов и выводов и списка литературы. Обьем диссертации составляет 134 страницы машинописного текста, включая 45 рисунков и 7 таблиц, библиография содержит 112 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

В первой главе дается обзор литературы по затронутым в

диссертации вопросам.

Обсуждаются различные расчетные модели длит средней толщины и возможные метода исследования ж напряженно-деформированного состояния. Отмечаются работы Е.Рейсснера, Х.М.Муштари, И.ГЛерегулова, Б.Ф.Власова, А.Л.Гольденвейзера, А.А.Амосова и др. Приводятся основные гипотезы и дифференциальные соотношения теории изгиба плит средней толщины, предложенной Б.Ф.Власовым.

Рассматриваются вопросы расчета балок и плит, расположенных на упругом основании. Обсуждаются работы М.И.Горбуыовэ-Посадовз, Б.Н.Жемочкияа, А.П.Сшицьгаа, Б.Г.Коренева, Н.Н.Леонтьева, П.Л.Пастернака, В.й.Травуша и др. Приводятся основные зависимости, характеризующие двухпараметровую модель упругого основания.

Приводится обзор исследований по расчету пластин с учетом физической нелинейности. Рассматриваются работы А.А.Ильюшина, И.А.Биргера, й.С.Цуркова, П.А.Лукаша, Л.Н.Курек. Л.Г.Смирновой, И.В.Новоселова и др.

В конце главы формулируются цели и задачи диссертации.

Во второй главе дано решение задачи об изгибе прямоугольных плит средней толщины с учетом нелинейной работы материала и контактного взаимодействия с упругим основанием, представленным двухпараметровой моделью. Для этой модели характерна зависимость:

(* ,У ) - к у) - >:, У) , (I )

где сц -- реактивное давление, « - прогиб плиты, а ко и 1;0 - коэффициенты постели.

Считая, что материал плиты имеет .линейное упрочнение (рис.1), зависимость между напряжениями и деформациями можно записать в

виде:

где

Ее-П -ш(£)1 ,

ш(е)

о ,

Х-[1

при е £ ет ■] , при

(2)

(3)

е > е

Здесь

X = 1

величина деформации, при которой начинается проявление пластических свойств материала, I

г 1

относительное понижение модуля упругости при переходе в пластическую область деформирования,

I = , I, =

Рис. I.

Достижение пластического состояния в плите будем определять в соответствии с критерием Мизеса, т.е. при ее> е^, где е. - интенсивность деформаций.

Кинематические гипотезы Б.Ф.Власова, соотношения теории малых упругопластических деформаций, гипотеза о несжимаемости материала плиты и метод упругих решений А.А.Ильюшина позволяют записать для усилий плиты следующие зависимости:

М - М (1 а) ,

М = М(1-а ),

V V 3

М = М (1 ~а ),

ху XV 3

Ч, = 4.<1-а1>* =

где - усилия, возникающие в линейно, деформируемой кон-

струкции и определяемые выражениями:

1 <П

М

- в-

1 <П

-* 4- -

Оу. 2 ду

г]-

и

Г ЭХ

- Б- —- 1---*

I. Зу 2 а«

М = - Б —

4

а!

(5)

о = си-

Г

а -

У

д/

при Б

Н13 9

"И О =

Через 1; (•-,у), t (*,у) здесь обозначены углы поворота попе-

X у

речных прямолинейных элементов относительно осей Оу и 0>;, принимаемые за функциональные неизвестные задачи, а через а4, аз - величины, представляющие собой поправки к линейным решениям и определяемые по формулам:

4 Гз

, а = 1---,

Из 3 3 Б

где I , 1з - жесткости шиты, подсчитанные с учетом нелинейной

работы материала:

а.

1 -

(6)

г

-с!г ,

2 -¿г .

(7)

о

Уравнения равновесия элемента срединной поверхности изгибаемой плиты, расположенной на упругом основании, и выражения (4) позволяют получить систему трех дифференциальных уравнения относительно неизвестных функция

тЧ 4-3

х

+ 3

а

Г эх^

О

Г ЭХ

и

ду.

эХ

_У

«9 у

ЭХ

_У

Эу

12

Г ^ 1 г вГ-'

12

<?» ^ 4

+ _ф (Х,у),

Б 1

,<*.У>.

(8)

1 + -

Зк ( зъ аХ ■ ---_ г

Иг I а--. ву

3 3

-р + -Ф(*,у>,

И1 И1 3

где входящие в правую часть этих уравнений функции («,>), фг(*,у), Фз(к,у) отражают физическую нелинейность задачи.

Полученная система трех дифференциальных уравнений (8) не удобна для практического применения. Поэтому, как и в случае линейной задачи, ее целесообразно привести к системе двух уравнений. Для этого вводятся две новые искомые функции Ъ(х,у) и <р(;:,у), определяемые формулами:

Ъ - — + А<*,у), 3

Ф =

эг ь2 щ

а,- 12 Эу

эХ И2 12 <?<р

э/ Эу,

эХ _У эх X

<5>; <эу

(9)

(Ю)

(II)

где дополнительная функция А(к,у>, для которой справедливо

X

соотношение:

агк д2к

о~а

ду'

3

т

э© ¿ф +

Оу. Эу

\

(12)

включена в выражение (9) для тождественного удовлетворения первых двух уравнения системы (8).

После несложных преобразований формулы (9)-(П> позволяют получить вместо <8> систему двух дифференциальных уравнений:

12 '

Уф _ _ф = Ф1(х,у>,

а^чЧ - В^г + азг = + в2(х,у) 4- азА(н,у),

где а. =1-)--

61

3 61. к.11

На ЕЬ I

а функции Ф4(х,у>, Фг(к, у) имеют вид:

(13)

(14)

Ф (х,у) =

<М*,у>

4

< а а а

-(а 0*)--(ай*)+-(а М*-а,М*>- Г—-- ,

* 1 * «Эу 1 * в*Оу 3 " 3 У 1 Зу? ду2

]<аз<у>).

1

Б

—:(а,Г) + —- (а М ) + 2-(а М )

й>:г 3 * ду2 3 * 0*«?у 3

(15)

Для интегрирования системы уравнений (13) использован метод упругих решений, в котором в качестве нулевого приближения принято упругое решение, т.е. функции Ф1(х,у), Ф2(к,у) и А( >;, у), входящие в правую часть уравнений (13), положены равными нулю. В результате находятся функции Ха (>:, у) и фо(>--,у>, через которые по формулам (9) и (10) определятся прогибы и углы поворота, а по формулам (5) -внутренние усилия в плите. Это позволяет определить деформации и

+

о

3

Б

Б

- и

интенсивность деформаций et и установить упругопластическио области в первом приближении.

Используя принятый закон можно теперь в пределах каждой упр.угопластической области найти по формулам (7) жесткости плиты, а затем по формулам (6) - коэффициента о^ (:.,у) и аз(>■ ,у). Это позволит определить усилия (4), а также построить функции (>:,>) и Ф^С-.у) по формулам (15) и решать задачу в следующем приближении, т.е. произвести интегрирование системы (13> при известной правой части. При этом предварительно следует, используя соотношения (12), построить и функцию А(>:,у).

Описанный процесс повторяется, пока не будет достигнута требуемая точность, которую можно оценить по величине расхождения между результатами решения в n-ом и (п -1 )-ом приближениях.

Для реализации описанного алгоритма, воспользовавшись известными предложениями, разобьем область, занимаемую плитой, на прямоугольные подобласти, в пределах которых жесткости плиты 1х и I3, а следовательно и коэффициенты ai, аз, будем считать постоянными. При этом для тех подобластей, в пределах которых деформации окажутся упругими, следует принять:

Иг3

I = Eh, Г = -, а = а3 = 0. •

3.12 is

При at = const, а3 = const формулы (15), определяющие функции Ф , Ф2, существенно упрощаются и после подстановки в них выражений для линейно упругих .усилий (5) принимают следующий вид:

12

®t(«.y) = a.v*(f - а ~Ф*,

h (16)

где через ф и t обозначены значения функций <р и I, соответствующие линейно упругим решениям.

Существенно упрощается и формула (12), которая после несложных преобразований позволяет получить для функции А(«,у) следующее выражение:

1г2

А(х,у) = аД«*- 1;*] + аз—'74*. (Г7)

3

Таким образом, для некоторой упругопластической подобласти система уравнений (13) в п-ом приближении (при п > 1) принимает вид:

г* 12 с* 12

- = «зЛ-х - ^„-¿ГФп-1-

(18)

ну^г - + а^ = — + а 7*4*% +

1 П 2 п 3 П ^ 3 п п-1

+ а Га (» - 1 ) + а —1,

3^ п-1 п-1' ]п 2 п-^'

где второй индекс у коэффициентов и аз соответствует номеру приближения.

Для решения системы уравнений (18) при известных правых частях, которые в дальнейшем обозначены соответственно через р1(>:,у) и р2(х,у), использован обобщенный вариант вариационного метода В.З.Власова - А.В.Канторовича.

При рассмотрении плиты, свободно лежащей на упругом основании (рис.2), искомые функции представлены в виде следующих разложений:

<р(х,у) = ^Т.(у)-С0Б а.х + ]>ик(*)-С03 рку , (19)

1 = 1 к =1 4 Г» п

г(х,у) = ^1г-ц)г(к,у) +- 2».(у)-з1п а.х + ^7к(>;)-з1л Рк у, (20)

п

Здесь: Т. (у), Ьтк(-.<), W.(y), 7к (у) - искомые одномерные функции, Ег - искомые постоянные, а соответствующие им функции шг, характеризующие перемещения шиты как жесткого тела и ее кручение, имеют вид:

ш=1, ш = х/а, col = y/b, (о = x-y/ab . (21)

z

Кроме того: к.%

а. = -, р. = - .

а к Ъ

Для определения искомых перемещений (у ), ик(*>, УГ (у), \(я) внесем. разложения (19), (20) в исходные дифференциальные уравнения (2.46) и применил деажда к каждому из них процедуру метода Бубновэ-Галеркина, проводя ортогонализацшо по тригонометрическим функциям. Например, для функций Т.^(у) и И.^у) подучим:

2

Т" - «£ + г2)-Т. = — [н.(у) - ^Б^соз рку], (22)

К - + в^ж = - ^aX^in Pky -

м • я v

а

- a3 ^IrJtor-sin a.n-dxj. (23)

Г = 1

о

a a

Здесь: EL (y ) = J pt -eos G.^y) = J p2-sin х- d>; (24)

o o

1 1 f t 1

S , = ■—-L.. , X., = -Ш - а У E R I, (25)

"ik . Vi' lie l. Vk 3 L r r,ikj

L.ik= JJp^COS a.X'COS 8kV -dxdy, N.k= ||p2-3in a^Sill (3k y d>cd4

(26)

гр^ = 2 + (27)

1 11

Решение уравнения (22) записывается в виде: Т. (у ) т" (у ) + Т*(у ) + Т(у ) , (28)

О

где Ти(у) - общий интеграл, содержащий две постояннные интегрирования,

р 5

Ть(у) и Т.(у) - частные интегралы, определяемые соответственно видом функции Н.^у) и членом, содержащим постоянную 31к.

Решение уравнения (23) имеет вид: '

И. (у) = \^(у) + Г (у) + У?"(у) + «Г (у), (29)

о

где V1 (у) - общее решение однородного уравнения, содержащее четыре

постоянных интегрирования; р

№Лу) - частный интеграл, зависящий от заданной нагрузки;

х

да.^у) - частный интеграл от члена, определяемого постоянной Х1к; £

5?.ъ(у) - частный интеграл, соответствующий тому члену правой части исходного уравнения, который содержит постоянную 1г.

Аналогичный вид имеют решения и для функция ик (;•) и Чк (>0.

После нахождения входящих в полученные решения постоянных интегрирования из граничных условий, заданных на свободных от закреплений краях плиты, искомые функции 1;(у), Ук (>-) будут определены с точностью до четырех коэффициентов 1г. Для определения этих коэффициентов следует рассмотреть условия равновесия плиты, находящейся, с одной стороны, под действием заданной нагрузки рг (;:,у), а с другой - под действием реактивных давлений (», у), определяемых формулой (I).

Эти .условия равновесия, понимаемые в смысле равенства нулю работа всех сил на возможных перемещениях (2), можно представить в вида 4-х алгебраических .уравнении:

аЬ

-г^Ья + к -ыакау + <£ <Зф-ш чэ + 11®-шс -

О О^г л г

оо

(г = 1 ... аЬ аЪ

оо оо

Здесь (Г и Я" - соответственно погонные и сосредоточенные реактивные давления, распределенные вдоль контура плиты и приложенные в .угловых точках и характеризующие работу упругого оспования за пределами конструкции,

ш ии' - значения функции ш. соответственно на контуре и в углах плиты. В четвертом уравнении последним членом левой части учтена возможная работа крутящих моментов Мху на деформациях, соответствующих перемещению

Заметим, что контурные реактивные силы 0®, свойственные принятой модели упругого основания с двумя коэффициентами постели, должны быть учтены и при постановке граничных условий. Так, для края плиты, свободного от закреплений и заданной нагрузки, . например для края * = а, получим:

Шх (а,у ) = Мху(а,у> = 0, 0,0,у) - - О® (у). (30)

Определение искомых функций Т1 (у), (*). ?Ыу), 7к(*> позволяет получить для прогибов, углов поворота и усилий плиты окончательные выражения. Например, прогибы иг, изгибающие моменты Мх и поперечные силы 0х определяются в виде:

«К*,у) = £ г -и; (*,>) -I 2 (1 + 7 --а*]1.<у> 7—»"(у)

1=1 и*

М (К,у) = - 1>

у +

2 |(1 ' - 7-?>■>] зал (Зку,

2 <».(/) + Л-г'^)}^ а>; + 1 = 1 "

ь2 С " "

+ гТ и(У}'з1п + ^ ^(::)'з1п У * ^1 = 1 к: -1

= - И | ^(К^Ь а**.(у)]соз а.х +

к - Л

1 Г " п 1

- X 2<(у)-соз а.« - 2^0к(х).3И1 рку 4 *

зш а. г. +

(31)

(32)

(33>

1-а

где 7 =

ах и аз определяются формулами (6), а и Ь

1-а,

размеры плиты в плане.

В третьей главе рассмотрены примеры расчета и приведен анализ полученных результатов.

Вначале здесь рассмотрен вопрос о построении частных интегралов, определяемых поперечной нагрузкой на плиту, которая состоит из заданных сил и дополнительных. "фиктивных" нагрузок, приложенных в упругопластических зонах. Характер распределения последних определяется функциями, стоящими-в правой части уравнений (18).

Приведены частные интегралы для нескольких типов заданной нагрузки, комбинируя которые можно производить расчет плиты на

Т7

достаточно широкий набор нагрузок: равномерно распределенную на части плиты, полосовую, сосредоточенную силу и др. При построении частных интегралов от "фиктивных" нагрузок принято, что они постоянны в пределах прямоугольных подобластей, на которые разбивается плита при определении упругопластичёских зон.

Далее приведена блок-схема вычислительной программы для персонального компьютера и отмечены ее основные особенности, в чзстности то, что время счета одной итерации при пяти членах, удерживаемых в рядах (19), (20), составляет приблизительно 1 минуту.

В качестве трех первых примеров рассмотрены квадратные плиты, шарнирно опертые по краям = const и имеющие различные граничные .условия на краях у = const: шарнирное опирание, жестче защемление, свободный край. Принято, что плиты равномерно загружены по всей поверхности и расположены на винклеровском упругом основании.

Во всех случаях расчеты проводились при \=0.995 и при разбиении плиты на подобласти сеткой 6>:6. При этом предварительно исследовалось, как количество разбиении влияет на расчетные результаты.

Исследовалась скорость сходимости итерационного процесса в зависимости от уровня заданной нагрузки и жесткости упругого основания. Определялись зоны пластических деформаций, образующиеся в тонких шигах и плитах средней толщины при 1г/а = 0.2, устанавливалась зависимость величин-безразмерных прогибов w'= wh/era2 и изгибающих моментов Мх = Мк/ат112, возникающих в центре шиты, от интенсивности безразмерной нагрузки q = qaг/агЪг, от значения параметра А. и величины безразмерного коэффициента постели К = kaVD. Некоторые из этих результатов для плиты средней толщины, шарнирно опертой по контуру, показаны на рис.3 и рис.4.

tr ••

D конце главы приведены результаты расчета плит, свободно лежащих на упругом основании, представленном моделью Винклера или двухпарамстрической моделью. В первых двух примерах рассмотрены квадратные шиты со стороной а, загруженные равномерной нагрузкой по площади центрального квадрата со стороной а/5 или по всей площади шшты. В последнем примере рассчитана прямоугольная плита, загруженная на поперечных краях у = const равномерно распределенной погонной нагрузкой q - qa/arh2.

Здесь выполнены исследования, аналогичные тем, которые описаны выше, и, кроме того, .установлено влияние второго коэффициента постели t на расчетные результаты. Так, на рис.5 показаны зоны пластических деформация, образующиеся в центрально загруженной плите при интенсивности нагрузки q = 25 (сплошная линия) и q = 50 (пунктирная линия), где цифрами обозначены величины в™ах/ет. Сплошная и пунктирная линии относятся здесь к случаю £ = 5, а точечная - к

случаю К - 50. На рис.6 приведены безразмерные эпюры прогибов » г

и изгибающих моментов Й дая двух значений коэффициентов постели й и t при загружении прямоугольной плиты полосовой нагрузкой q, приложенной к поперечным краям.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Т. Использованный в работе метод упругих решений в сочетании с обобщенным вариантом вариационного метода В.З.Власова - А.В.Канторовича позволил получить приближенное аналитическое решение задачи об изгибе плит средней толщины с учетом физической нелинейности и контактного взаимодействия с упругим двухпараметровом основании.

2. Разработанная на основе предложенного алгоритма вычислительная программа позволяет при помощи современных ЭВМ проводить

гз

расчеты плит, расположенных на упругом основании, с различными граничными условиями, заданными на контуре, при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями.

3. Выполненные с использованием программы тестовые примеры дали представление о скорости сходимости итерационного процесса при разных уровнях нэхрузки, продемонстрировали влияние различных факторов на напряженно-деформированное состояние плиты и выявили особенноста поведения плит средней толщины, выполненных из .упругопластического материала и расположенных на упругом основании. Так, например, были определены следующие закономерности:

- с уве.шчением уровня нагрузки сходимость итерационного процесса ухудшается особенно заметно для плит средней толщины,

- принятое количество разбиений плиты на подобласти существенно влияет на результаты расчетов: с их увеличением точность вычислений повышается, особенно при высоких уровнях нагрузки и для плит средней толщины. Однако для практических целей можно ограничиться разбиением плиты сеткой 5x5,

- наличие упругого основания практически не сказывается на скорости сходимости итерационного процесса, но существенно уменьшает деформации плиты и сужает зоны пластических деформаций,

- характер и величина зон пластических деформаций зависят не только от характера и величины нагрузки, но и от граничных условий, заданных на краях шшты,

- учет нелинейной работы материала шиты вносит более существенные поправки к линейным решениям для плит средней толщины, чем для плит, описываемых гипотезами Киргоффз,

- влияние второго коэффициента постели на расчетные результаты особенно заметно для плит, свободно лежащих на упругом основании.

Рис.2

—С I —

¿¿Г

0,8 0.6 0M

0,1

Класс, reop, —-----

50 i00 (50

Рис.4

К

¿00

0.52

ОМ

0.21

Лом. ом \\

0,58 Л \ i

1'

0,21

О,42

О. И

о,гг.

о, s s

0,7 s

1.56'

O.ù э

I,es

0.58

о,чг

0Л1

' Û.22-

0,58 1J6

I

"l.

i".'1, i

&06

' l.ol

1.16

Рис. S

2.02

W 2. о 2

UiS

2.30

3 n,¿íT

Эп.М.

S)

Эп-ЬГ

Эп. H,

.Рис. б

московским государственный строительный университет

мохамед ахмед адель агйд

расчет в физически нелинеинои постановке прямоугольной пжты средней толщины, расположенной на упругом основании

05.23.17 - Строительная механика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель - заслуженный деятель науки и техники

Научный консультант - кандидат технических наук, доцент

Леонтьев А.Н.

На правах рукописи

удк 624.073.2

России, член-корреспондент РААСН, доктор технических наук, профессор Леонтьев H.H.

москва 1997

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ .................................................. 4

ГЛАВА I. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИИ ПО ТЕОРИЙ ПЛИТ СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ,

ПЛИТ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ, И ПО РАСЧЕТУ ПЛАСТИН В ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ

1.1. Исследования по теории расчета плит средней толщины 9

1.2. Исследования по теории балок и плит, расположенных

на упругом основании ..............................................................23

1.3. Исследования по расчету пластин с учетом нелинейной работы материала ..............................................31

1.4. Основные вывода и постановка задачи....................40

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛИТЫ СРЕДНЕЙ

ТОЛЩИНЫ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОЙ РАБОТЫ МАТЕРИАЛА И КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С УПРУГИМ ОСНОВАНИЕМ

2.1. Зависимость между усилиями и деформациями плиты в соответствии с теорией малых упругопластических деформаций......................................... 42

2.2. Использование метода упругих решений для получения разрешающей системы уравнений...................... 46

2.3. Интегрирование разрешающих уравнений при помощи

метода упругих решений ............................. 52.

2.4. Применение обобщенного варианта метода В.З.Власова -А.В.Канторовича для построения упругих решений..... 56

ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА И АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

3.1. Частные интегралы, определяемые нагрузкой на плиту . 71

_ о _

и

3.2. Программа для ЭВМ, реализующая расчетный алгоритм .. 79

3.3. Напряженно-деформированное состояние плит, шарнирно опертых по продольным краям ........................ 82

3.4. Напряженно-деформированное состояние плит, свободно лежащих на упругом основании........................ 101

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ................................ 120

ЛИТЕРАТУРА .................................................. 122

ВВЕДЕНИЕ

Широко распространенным элементом строительных конструкций являются прямоугольные плиты с различными закреплениями контура, а также расположенные на упругом основании. Даже при относительно небольшой толщине таких плит их работа под нагрузкой значительно точнее описывается теорией плит средней толщины, чем классической теорией изгиба тонких пластинок.

Теории шшт средней толщины посвящена обширная научная литература, в которой исследованы различные варианты этой теории и соответствующие им системы дифференциальных уравнений, рассмотрены практические задачи и метода их решения, использующие аналитический или численный аппарат. Однако задача о расчете плиты средней толщины, расположенной на упругом основании, изучена значительно меньше других, хотя эта задача представляет существенный интерес для проектирования фундаментных плит, плит аэродромных и дорожных покрытий.

Современный уровень развития строительства предъявляет всё более высокие требования к конструкциям, работающим в условиях больших нагрузок, что вызывает необходимость в разработке новых методов расчета сооружений, позволяющих более полно учитывать действительные условия работы конструкции и, в частности, материала, из которого она изготовлена.

Поведение большинства материалов, применяемых в строительстве, при небольших напряжениях хорошо описывается линейным законом Пука, но с .увеличением нагрузки зависимость между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Это обстоятельство приводит к необходимости учета упругопластических свойств материала при

анализе работы конструкции.

В связи с изложенным, основное содержание настоящей диссертации заключается в исследовании влияния нелинейной работы материала на поведение прямоугольных плит средней толщины, расположенных на упругом основании.

Цель дис сертационной работы:

1. Получить приближенное аналитическое решение физически нелинейной задачи об изгибе прямоугольной плиты средней толщины, лежащей на упругом основании, приняв при этом в качестве расчетной модели плиты средней толщины вариант, предложенный Б.Ф.Власовым, а в качестве упругого основания - модель основания с двумя коэффициентами постели.

2. Разработать программу для ЭВМ, реализующую расчетный алгоритм;

3. Провести расчет прямоугольных плит при различных условиях, заданных на контуре, а также свободно лежащих на упругом основании, проанализировать влияние физической нелинейности и заданных характеристик упругого основания на напряженно-деформированное состояние плиты, сопоставить результаты с решениями, известными из публикаций;

Научная новизна диссертации состоит в том, что в ней:

-- впервые рассмотрена задача об изгибе плиты средней толщины на упругом основании с учетом физической нелинейности;

- на базе кинематических и статических гипотез, подложенных Б.Ф.Власовым, получена система соответствующих дифференциальных

уравнений, отжсывающих изгиб физически нелинейной плиты на упругом основании;

- при реализации метода упругих решений использован обобщенный вариант вариационного метода В.З.Власова - А.В.Канторовича;

- разработана программа для ЭВМ, реализующая расчетный алгоритм;

- получены новые результаты, характеризующие поведение плиты под нагрузкой в зависимости от заданных характеристик для плиты и упругого основания.

Практическая ценность работы заключается в возможности непосредственного использования полученных формул и разработанного алгоритма расчета в практике реального проектирования конструкций, выполненных из нелинейно упругого материала.

Достоверность положений и выводов диссертации обеспечивается корректной постановкой рассмотренных задач, использованием простого и хорошо апробированного математического аппарата, а также качественным соответствием полученных в диссертации результатов тем, которые известны из имеющихся публикаций, но относятся к тонким пластинам и плитам средней толщины, не расположенным на упругом основании.

Диссертация прошла апробацию на научном семинаре аспирантов кафедры "Строительная механика" МГСУ, где ее основные результаты докладывались в апреле 1997 г.

На защиту выносятся:

методика и алгоритм приближенного аналитического расчета

ГУ

- / _

прямоугольных плит средней толщины с .учетом физической нелинейности и контактного взаимодействия с упругим основанием;

- результаты решения задач для прямоугольных плит при различных условиях закрепления контура и свободно лежащих на упругом основании.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, основных результатов и выводов и списка литературы. Объем диссертации составляет 134 страницы машинописного текста, включая 45 рисунков и 7 таблиц, библиография содержит 112 наименований.

В первой главе дается обзор литературы по затронутым в диссертации вопросам.

Обсуждаются различные расчетные модели плит средней толщины и возможные метода исследования их напряженно-деформированного состояния. Приводятся основные гипотезы и дифференциальные соотношения теории изгиба плит средней толщины, предложенной Б.Ф.Власовым. Рассматриваются вопросы расчета балок и плит, расположенных на упругом основании. Приводится обзор исследований по расчету пластин с учетом физической нелинейности.

Во второй главе дано решение задачи об изгибе прямоугольных плит средней толщины с учетом нелинейной работы материала и контактного взаимодействия с упругим основанием, представленным двухпараметровой моделью.

На основе теории малых упругопластических деформаций и кинематических и статических гипотез Б.Ф.Власова строится система уравнений изгиба плит средней толщины с учетом физической нелинейности. Приводится ее преобразование к виду, более удобному

для практического использования. Обсуждаются вопросы интегрирования полученных уравнений на основе метода упругих решений. При этом для построения линейно упругих решений на каждом очередном шаге итерационного процесса применяется обобщенный вариант вариационного метода В.З.Власова-А.В.Канторовича.

В третьей главе приведены примеры расчета и анализ полученных результатов.

Обсуждаются различные вопросы конкретной реализации метода упругих решений, построение частных интегралов для некоторых видов нагрузки, описывается программа для ЭВМ, реализующая расчетный алгоритм.

При рассмотрении различных примеров проводится анализ влияния физической нелинейности и податливости упругого основания на напряженно - деформированное состояние плиты, полученные результаты сопоставляются с известными из публикаций.

ГЛАВА I. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИИ ПО ТЕОРИЙ ПЛИТ СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ,

ПЛИТ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ, И ПО РАСЧЕТУ ПЛАСТИН В ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ

1.1. Исследования по теории расчета плит средней толщины

В последнее время в ряде диссертационных работ /25,28,49,51, 53,63/ были сделаны достаточно подробные обзоры исследований, посвященных различным вопросам теории плит средней толщины. Поэтому здесь мы ограничимся краткой характеристикой основных расчетных моделей и возможных методов исследования их напряженно- деформированного состояния.

Широкое и разнообразное использование плит в строительных конструкциях способствовало разработке и созданию различных методов их расчета, которые, в соответствии с геометрическими размерами конструкции, могут бьггь отнесены к одному..из .трех направлений:

1. Классическая теория изгиба тонких пластин.

2. Уточненные теории расчета плит средней толщины.

3. Теория толстых плит.

Классическая теория изгиба тонких пластин, основанная на гипотезах. Кирхгоффа-Лява и развитая в трудах И.Г.Бубнова, Б.Г.Галеркина, С.П.Тимошенко, П.Ф.Попковича, В.З.Власова, Б.Г.Коренева и других ученых, наиболее часто применяется в инженерной практике. Она достаточно проста в математическом плане, имеет точные решения для многих случаев закрепления пластины на контуре, но, как известно, не позволяет удовлетворить трем граничным условиям на свободном крае. Четвертый порядок дифференциального уравнения С.Жермен - Лагранжа позволяет

сформулировать только два граничных условия. Оценить возможную погрешность можно лишь с использованием более точного расчета, который следует проводить в случае толстых плит.

Точное решение задачи о равновесии относительно толстых плит может быть получено на основе уравнений трехмерной теории упругости. Большой вклад в развитие этого направления внесли в своих трудах Б.Г.Галеркин, В.З.Власов, А.И.Лурье, П.М.Варвак, Б.Ф.Власов, В.В.Власов, Й.И.Ворович и другие ученые. Однако практические расчеты с использованием теории толстых плит достаточно сложны, так как системы разрешающих уравнений имеют сложный вид и высокий порядок. Поэтому естественным явилось создание инженерной теории плит средней толщины, уточненной по отношению к классической теории изгиба тонких пластин, и позволяющей корректную формулировку граничных условий на контуре.

Основы теории плит средней толщины были разработаны в 1944-1947 гг. е-ве±55пег /101-103/. В работе /100/ он исследовал влияние деформации поперечного сдвига на изгиб изотропной упругой плиты. Результатом исследования явилось создание теории изгиба плит, позволяющей удовлетворить трем естественным граничным условиям. В математическом плане такую возможность дает система двух дифференциальных уравнений, одно из которых имеет четвертый, а другое - второй порядок:

И2 (2-р.) ,

в-т2^ = ц -----у2 а , (ТЛ)

10 (1-ц.)

ю

......— Ф - О . (1,2)

Eh3

Здесь D = -----------— ци.тжндрическая жесткость пжты,

12(1-р. )

h - её толщина,

р. - коэффициент Пуассона материала, I - модуль упругости,

q - приложенная к поверхности шперечная нагрузка, w - функция прогибов плиты,

ф - функция напряжений, описывающая в плите упругие явления, происходящие в основном непосредственно у края.

Модель Рейсснера широко использовалась в работах различных авторов, где проводился анализ применимости его гипотез, делались попытки их улучшения или модификации, разрабатывались метода решения конкретных краевых задач. При этом, среди недостатков модели обычно отмечалось то обстоятельство, что в выражения для

ч

граничных условий входит поверхностная нагрузка q.

Свое дальнейшее развитие уточненная теория плит средней толщины получила в работах Б.Ф.Власова /9-12/, а.е.green /91/, a.kromm /95/, Х.М.Муштари /55/, И.Г.Терегулова /77/, В.В.Понятовского /66/, v.Pank /98/, А.Л.Гольденвейзера /17,18/, Л.Я.Айнолы /I/, А.В.Горде-ева /21/, f.essenburg, р. м. naghdi /89/, Л.А.Гордона, И.А.Константинова /23/, А.А.Амосова /2/, А.В.Папуша /63/, Ю.З.Михайличенко /53/, С.В.Мазуровой /49/, к .Girkmann /90/ И ДРУГИХ учеНЫХ.

В работе /91/ а. е. green показал, что уравнения теории. Рейсснера могут быть получены прямо из уравнений трехмерной теории .упругости.

F.Essenbürg, P.M.Naghdi /89/ И Л. Ф.Г0рД0Н, И.А.КОНСТЭНТИНОВ /23/ обобщили уравнения Рейсснера для случая плиты переменной

толщины.

Свой вариант теории изгиба плит предложил A.Kromm /95/, являющийся, однако, достаточно громоздким. К тому же и в этой теории нагрузка входит в выражения для граничных условий.

В работе Х.М.Муштари /55/ дается построение теории изгиба плит средней толщины, в которой последовательно удерживаются величины порядка h2/a2 по сравнению с единицей и допускается пренебрежение величинами порядка h4/a4, где а - характерный размер плиты в плане.

v.Pank /98/ предложил подход, при котором общее решение задачи об изгибе плиты разделяется на решение, определяемое изгибом, и решение, определяемое сдвигом. Усилия, вызываемые изгибом, определяются по формулам классической теории, а для построения решения от сдвига предлагается использовать уравнения:

6 k2 Ь* ,

7*w = - -q, Q ---^Q =0, Q---= 0, (1.3)

' c 5Gh xc 10 xc yc 10 yc

I

где G = - - модуль сдвига,

2(1+|i>

Qxc, Qyc - поперечные силы, соответствующие сдвигу.

В работе А..Л.Гольденвейзера /17/ дается обобщение теории Рейсснера, которое заключается в том, что линейный закон распределения мзгибных напряжений по толщине плиты заменен произвольным, определяемым некоторой обратно симметричной функцией Ф(г). Данный подход развивается в работе Л.Я.Айнолы /I/. Используя вариационный принцип, автор получает систему интегро-дифференциальных уравнении, состоящую из уравнений типа Рейсснера и дополнигель-

ного уравнения с постоянными коэффициентами. При этом им указывается, что прямое использование полученных уравнений практически невозможно и предлагается решать задачу итеративным способом.

Считая не совсем корректным второе уравнение Рейсснера, построенное относительно функции напряжений, А.В.Гордеев /21/ получает его в ином виде, так, что окончательно система дифференциальных уравнений для определения функции прогибов » и функции напряжений ф записывается следующим образом:

„ , И2 (2-р.) _

Ъ-^^и = л ---, (1.4)

Ю (1-р.)

*12 (2-|1) _

^Ф +--^п = 0 . (1.5)

10 <1-ю

Здесь первое уравнение полностью совпадает с уравнением (1.1).

В своих работах по расчету многослойных конструкций А.А.Амосов /2/ получает решения, позволяющие, в частном случае, описывать напряженно-деформированное состояние плит средней толщины без гипоте з,принятых Рейсснером.

Среди уточненных вариантов теории плит средней толщины следует особо отметить предложения Б.Ф.Власова /9-11/, в которых разработан эффективный подкод к решению практических задач.

Рассматривая упругую изотропную прямоугольную плиту, находящуюся под действием нагрузки с(к,у), при условии, что толщина плиты Ь достаточно мала по сравнению с ее размерами ъ плане, а нагрузка не вызывает существенных прогибов № плиты:

ш « Ь ,

Б.Ф.Власов принимает следующие кшематические и статические гипотезы, приводящие к естественному обобщению теории Кирхгоффа на случай плит средней толщины:

1. Перемещения и, у, да малы по сравнению с толщиной пластинки Ь, а углы поворота - по сравнению с единицей;

2. Горизонтальные перемещения и и V в срединной плоскости равны нулю, а вертикальные перемещения да постоянны по толщине пластинки:

и(к,у,0) = у(х,у,0) = 8 , 1»(х, у,2) = у) .

3. Поперечный прямолинейный элемент плиты, перпендикулярный к ее срединной плоскости до деформации, остается прямолинейным, но не перпендикулярным к изогнутой срединной плоскости.

4. Нормальные напряжения ох, возникающие между слоями плиты, параллельными ее срединной плоскости, малы по сравнению с изгибными напряжениями ох, ау: (а. « ох, оу).

Математическая формулировка третьей гипотезы приводит к соотношениям:

и<х,у,г) = - г-Мх, у) ,

(1.6)

V (>; , У , - - У) .

где 1х(х,у), !Ч/(>;,у) - углы поворота поперечных прямолинейных элементов относительно осей Оу и Ох, принимаемые за функциональные неизвестные задачи.

Геометрические соо