автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Изгиб прямоугольных плит средней толщины на упругом основании

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.В.КУЙБЫШЕВА

На правах рукописи

МАРЖИ МУНЗЕР САЛИМ

УДК 624.073.2

I

ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛИТ СРЕДНЕЙ ТОЛ [ЧИНЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

05.23.17 - Строительная механика

У

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1990

Работа выполнена в Московском инженерно-строительном институте им. В.В.КуПбышева.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Власов Борис Федорович Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор Шапошников Николай Николаевич - кандидат технических наук, Маковинко Сергей Яковлевич Ведущая организация - ЦНИИЭП ш. . .Мезенцова

Защита состоится ШОНЛ_ 1990 г.

в -/У*" часов на заседании специализированного совета И 053.11.06 в Московском инженерно-строительном институте им. В.В.Куйбынева по адресу: ПЗП4, Москва, Шлюзовая набережная, Д. 8, в аудитории № 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИСИ им. В.В.Куйбыаева.

Просим Вас принять участие в защите и направить отзыв в двух экземплярах по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26, МИСИ им. В.В.Куйбыаева.

Автореферат разослан "

1990 г.

Ученый, секретарь Специализированного совета, кандидат технических наук, доцент

Анохин Н.Н.

Актуальность темы. Расчет конструкций, лежащих на упругой основании, представляет собой одну из актуальных и сложных задач строительной механики. Среди конструкций, лежащих на упругой основании, важное место принадлежит прямоугольный плитам средней толщины. Расчет таких конструкций не может вестись на основе классической теории изгиба тонких плит. На основе использования различных вариантов уточняющих теорий, можно повысить достоверность получаемой схемы напряженно-деформированного состояния, отражающей реальную работу плит средней толцины. Исходя из этого, развитие методов расчета изгиба плит средней толчины на упругом основании имеет теоретическое и практическое значение.

Цельи работы являлись:

1. Разработка процедуры построения ревений задач изгиба плит средней толцины на упругом основании применительно к наиболее простому, о математической точки зрения, варианту уточненных теорий.

2. На базе разработанной методики построения реиений, рассмотреть ранее не исследованные задачи об изгибе прямоугольной плиты с двумя иарнирно-закрепленными противоположными краями на упругом основании при различном закреплении двух других краев. Особое внимание обращено на задачу изгиба прямоугольной плиты,' свободно лежащей на винклеровском основании.

3. Дать оценку ¡эффективности и достоверности разработанной процедуры путем сравнения построенных решений о результатами классической теории, а также с точным решением специальной задачи, решенной в трехмерной постановке.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

- На основе использования варианта уточненной теории Б.Ф.Власова получено аналитическое решение задач об изгибе прямоугольной плиты на упругом основании, две противоположные стороны

которой шарнирнозакреплены, при симметричном закреплении двух других сторон под действием распределенной поперечной нагрузки.

- Построено приближенное решение задачи об изгибе прямоугольной плиты, свободно лежащей на винклеровском основании.

- Построено точное решение одной задачи изгиба толстой плиты на упругой основании в трехмерной постановки.

Практическую ценность диссертации составляют, приведенные в виде таблиц и графиков, результаты решения задач изгиба плиты на упругой основании при различном закреплении по контуру, полученные на основе упроченного варианта теории изгиба плит с учетом поперечного сдвига.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях:

1. III Всесоюзном совещании-семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек", г. Казань, июнь 1989 г.

2. Научном семинаре аспирантов кафедры сопротивления материалов Московского инженерно-строительного института имени В.В.Куйбышева, г. Москва, 1989 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две статьи.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка лиТтратуры и приложения. Содержит 134 страницы машинописного текста, включает 31 рисунок; 12 таблиц, библиографию из 143 наименований.

На защиту выносятся:

- Методика построения решения задач изгиба плит средней толщины на упругом основании, построенная на основе уточненного варианта, предложенного Б.».Власовым.

- Реиение задач об изгибе прямоугольных плит средней толщины на упругом основании с различный закреплением по контуру, включал и свободно лежащую.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается важность выбора темы исследования, ее актуальность, цель и сформулированы основные задачи исследования.

Первая глава содержит анализ наиболее распространенных моделей деформируемого основания, дан обзор лиетратуры по атому вопросу. Изложен краткий обзор работ, связанных с темой диссертации.

Из обзора работ следует, что для расчета плит на упругом основании используется в основном классическая теория тонких плит, в основе которой лежат гипотезы Кирхгоффа-Лева. Эта теория разрабатывалась усилиями Б.Г.Галеркина, С.П.Тимошенко, В.З.Власова и других ученых.

Классическая теория изгиба тонких плит удовлетворяет требованиям многих инженерных расчетов, благодаря математической простоте и физической ясности, оставаясь до недавних пор единственной, применяемой при расчетах плит. Однако классическая теория изгиба тонких плит имеет существенный недостаток - допускает неполное удовлетворение краевым условиям закрепления плиты. В рамках уравнения С.Жермен - Лагранжа, Кирхгофф показал целесообразность удовлетворения ливь двум граничным условиям. Для свободного крап два краевых условия строятся весьма искусственно - введением понятия приведенной поперечной силы. Оценить погрешность, вносимую заменой крутяцих моментов на краях поперечной силы, а • также пренебрежением деформацией сдвига, пожно с помощью более точного рапчетя. Такой расчет необходимо применять к толстым

- tt -

плитам и плитам средней толщины.

В области расчета толстых плит следует отметить работы Воро-внча И.И., Власова В.в., Власова В.З., Галилеева М.Д., Галилее-ва С.М., Леонтьева H.H., Малиева . ., Травуша В.И., Пискунова В.Г., Чибирякова В.К., Шленева U.A. и других исследователей. Заметим, что расчет по теории толстых плит усложнен и требует значительной предварительной математической работы.

В математическом отношении расчет плит средней толщины значительно проще расчета толстых плит. Он свободен и от недостатков классической теории. В этой области имеется значительное количество работы. Наиболее весомый вклад принадлежит: Э.Рейсснеру, А.Кромку, С.А.Амбарцумяну, Х.М.Ыуитари, И.Г.Терегулеву и другим.

Несмотря на больше достижения в этой области, существует ряд вопросов, выдвигаемых практикой проектирования, требующего своего дальнейшего разрешения:

1. .Отсутствие простого единого алгоритма построения решений задач об изгибе плит средней толщины, записанного в компактной форме и способного найти широкое применение в практике.

2. Аппарат исследования по различны« вариантам уточненных теорий осложняется еще и тем, что в краевые условия входит величина поперечной нагрузки и ее производных.

Во второй главе рассматриваются основные положения варианта теории"изгиба плит средней толщины, предложенного Б.Ф.Власовым. Рассмотрим исходные положения и вывод уравнений теории изгиба упругой изотропной плиты толщиной К , нагруженной по взрхней и нижней граням нагрузкой интенсивности . При построении

теории предполагалось, что поперечный элемент плиты, нормальный

i

к срединной плоскости, при изгибе плиты остается прямоугольным, по не перпендикулярным к изогнутой срединной плоскости. Остальные

гипотезы принимаются такими же, как и в классической теории. Согласно принятым гипотезам, представим составляющие перемещения таким образом:

■иТк.У.*)

¥/(х,у.а) = \а/С*.у) (I)

Выражения для определения изгибающих и крутящего моментов получаются в следующем виде:

М|. - * ♦и-^)

■ (2)

Удовлетворив закон ГУка для перерезывающих касательных напряжений в интегральной форме получаем поперечные скяы, которые можно представить формулами

Уравнения равновесия записываются в обобщенных силах так хе как в классической теории изгиба плит:

щи. ♦

Эх Эу « (4)

^ + Щ* -О дх ЪЦ г

С учетом выражений (2), (3) для поперечных сил, изгибающих

и крутящего моментов, из (4) следуют:

Ы

о.**,♦ („^ {Щ у!*)- - т т

Таким образом, получена система трех дифференциальных уравнений, в частных производных с постоянными коэффициентами, каждое из которых второго порядка относительно функций углов поворота

и пР0ГИ^а Порядок системы уравнений

(5) позволяет удовлетворить трем граничным условиям на краях плиты.

Разрешающая система дифференциальных уравнений (5) допускает преобразования. Одно из них позволяет свести указанную систему дифференциальных уравнений к простому виду. Вводя обозначения:

Ф - ъи о-и

~ -Эу (6)

и используя условия существования полного дифференциала функции прогиба , получим вместо уравнений а), б), в) систему

двух дифференциальных уравнений следующего вида:

(в) (?)

РД0: к*- Е&Ь. Л2.

Ю-Г) " к1

Разрешающими в системе уравнений (7) являются функции

, через которые выражаются обобщенные перемещения и обобщенные силы:

'•»-тяг

кг-*?-

<8)

В задачах изгиба плит средней толщины на упругой основании изменяется вид только третьего уравнения (в) основной системы (б). Так, для упругого основания Винклера будем иметь сиотему двух дифференциальных уравнений следующего вида:

д _ «»ч»

(9)

Таким образом, получена простая замкнутая процедура для решения задач изгиба плит средней толщины на винклеройском основании.

- Iü -

Система дифференциальных уравнений (9) позволяет получить аналитическое решение задач изгиба прямоугольной плиты, на винк-лзровском основании, два противоположных края которой варнирно-закреплены, а два других произвольны.

Для построения приближенных решений других задач могут быть использованы вариационные методы. В решении задачи об изгибе прямоугольной плиты, свободно лежащей на упругом основании Винклера, предлагается использовать вариационное уравнение Лагранжа (10) в сочетании с методом суперпозиции.

*э - Я{[? О -Л 1 ^М^фм

SL

- * [ekUw- ^ - ^ W - с,ч/] Swjd*«^ ♦

♦ $ -ык- Мл) St^-СМзд- Í5lM)stJ ote го

1 (10)

В третьей главе рассматриваются задачи изгиба прямоугольной плиты средней толщины на винклеровском основании, два противоположных края которой (Х=о,а) шарнирно-захреплены, а два других могут быть закреплены произвольно или свободны. Вместо системы координат х, у вводится система безразмерных координатов ^ «Х й"'»' Ч 'ОТ1. Дифференциальные уравнения изгиба плит (9) преобразуются к безразмерному виду: ■ К«*"О

Ь* t Ы) ♦ (П)

где: - безразмерный параметр

кд»Н-а."' - относительная толщина плиты

® в ' " безразмерная циллиндрическая жесткость

г. С.Р,.

ш —<х— " безразмерный коэффициент постели Между размерными и безразмерными функциями будут иметь место следующие зависимости:

^.(«.«О • с^.а1

4 (к.ч) - ^.^-а-', (*>*)» ^(к.у)-1^1,-2) , СД.СхлО ^ - Ц 1) , «О,^.?) ^. а (12)

Граничные условия шарнирного закрепления краев ^»о, предполагают, что

(13)

Им можно удовлетворить, представив функции!(^,^ и в форме следующих рядов

(14)

Действующую на плиту нагрузку представим в виде ряда:

«ма^/яЛ^М-*4*» а5)

о

Подставляя формулы (14) и (15) в уравнения (II) и разделяя переменные, получим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений, соответственно четвертого и второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение системы построенных уравнений имеет вид:

%п (чЬ 5К

частное решение неоднородного уравнения, зависящее от вида заданной поперечной нагрузки С^Сг) ; Произвольные построенные, подлежащие определению из граничных условий на краях ^ * Ц"

м

г|

1 а--1

Рис. I

Подробно исследуются случаи симметричных условий на продольных краях (рис. I): шарнирное закрепление, свободное опирание, жесткое защемление, скользящее защемление, свободные края. Рассмотрена прямоугольная плита, относительной толщиной

Ь-а ■ 0;Э и Ь-ы. « 0,1, о соотношением сторон у =0,5; I, под действием равномерно-распределенной и синусоидальной нагрузок. Коэффициент постели принимаем для основания из гравилистых песков С2„ = 1.0000 Кн/м'. Модуль упругости для железобетонной плиты

гн

Е «=2*10 Кн/м', коэффициент Пуассона ^ »0,2. Значения прогиба и изгибающих моментов, полученные по уточненной теории, сравниваются с результатами классической теории. Для плиты, нагруженной равномерно-распределенной нагрузкой, значения изгибающего момента М^ . вычисленные по используемой теории, получаются вниз результатов классической теории. В процетном отношений

где:

Акт (1МА6) -

I?

тз -

для квадратной плиты ( у =0,5) относительной толщины

К.л, = 0,3, отклонение от результатов теории Кирхгоффа, для различного закрепления продольных краев, составляют: свободное опи-рание 9,IX, жесткое защемление 25,75!, скользящее защемление 27,9*, свободные края 2,2%. При уменьшении относительной толщины плйты и увеличении ширины расхождения уменьшаются.

При вычислении изгибающего момента М^ в центре плиты, определенное отличие в результатах наблюдаются только в случае свободных от закрепления продольных краев плиты. Для квадратной плиты относительной толщины К^. = 0,3 оно составляет 26,4%, уменьшаясь до 1,5% при к«(. = 0,1, ^ = I.

Во всех рассмотренных случаях значения прогиба в центре плиты при расчете по уточненной теории получаются существенно выше результатов классической теории. Для плиты ( = 0,3, у » 0.5) расхождение результатов для различного закрепления продольных краев составляет: шарнирное закрепление 25,6Ж, свободное опирание 32,И, жесткое защемление 47,9Ж, скользящее защемление 49,35Е, свободные края 18%. При уменьшении толщины и увеличении ширины, значения прогиба, определенные по уточненной теории, приближаются к результатам классической теории: для всех рассмотренных случаев условий на продольных краях при =0,1, у =1, отклонение не превышает 3,531.

На примере квадратной плиты, нагруженной равномерно-распределенной нагрузкой, показано, что характер распределения поперечных сил на контуре плиты по уточненной и классической теориям качественно различен (рис. 2, 3, 4, 5).

В четвертой главе рассмотрена задача об изгибе прямоугольной плиты, свободно лежащей на упругом основании Винклерп поп действием произвольной поперечной нагрузки. Сбгаое решение раегматри-

ваешой задачи представлено в виде суперпозиции решений трех задач - "нулевой",, "первой" и "второй". Такой подход решения значительно упрощает построенные решения задачи и позволяет точно удовлетворить всей уравнениям, имеющим место внутри области, занятой плитой. Краевые условия на контуре удовлетворяются точно для перерезывающих сил и крутящих моментов. Условия для изгибающих моментов могут быть удовлетворены лишь приближенно.

Осуществить выполнение условия отсутствия изгибающих краевых моментов можно различными приближенными методами. В данной задачи используется вариационное уравнение Лагранжа. В вариационном уравнении Лангранжа (10) исчезают все двойные интегралы, а в контурных остается часть, связанная с работой изгибающих моментов на соответствующих обобщенных перемещениях л. Оставшиеся контурные интегралы по своей сути являются уравнениями для приближенного выполнения условий отсутствия изгибающих моментов п имеют ъид:

аб)

При произвольных вариациях в пределе аозникают общие

краевые условия отсутствия изгибающих моыентоъ на контуре. В результате из вариационного уравнения (16) плучим четыре бесконечные системы линейных алгебраических урм-юний для определения постоянных ) Вго > , Е>2.д • Расшифруем условия их

построения.

I. К^ай X - а.

<

Г М„(а,у)-Ы11(а1ЧУ«1ч = о

; (17)

где; ^„(а.уЬбЬ'Да.ч) ♦ ^(а.ч) + (а.ч)

¿-и-/

Рис. 2. Распределение поперечных сил по контуру шарнирно-закрепленной плиты

а) по уточненной теории

б) по классической теории

Рис. 3. Распределение поперечных сил по контуру

плиты со свобопно-опррткми продольной крпяии

а) по уточненной тяории

б) по клАесич"<:иг)Я теории

<мт

Рис. 4. Распределение поперечных сил по контур/ плиты с жестко-защемленными продольными краями

а) по уточненной теории

б) по классической теории

/

У

-V

РиС. б. Распределение поперечных сил по контуру плиты со свободными продольными краями

а) по уточненной теории

б) по классической теории

Так как уравнение (17) должно быть выполнено при произвольных значениях независимых вариаций б В1в , £ 61гг , то в,

5 М* (а,у) ¿.у »о <1В)

J М« (а.ч)Соз X*. у с!у =о

О

2. Край 4-6

5 Мв (х,б) с1х = о

(19)

(х.б) Соз ХтХ <А* = о

«

Таким образом, представлена неявная запись всех алгебраических уравнений, обеспечивающих вариационное удовлетворение краевых условий для изгибающих моментов. Рассмотрен частный случай квадратной плиты агб (Рис. 7). В силу полной симметрии задачи будем иметь бесконечную систему уравнений для определения неипвост-ных коэффициентов Ьао, в1а> В качестве примера рассмотрен изгиб квадратной плиты с приведенными размерами 2,0 х 2,0 и лежащей на упругом основании Винклера с коэффициентом постели С, = 10000км/м*. Коэффициент Пуассона = 0,1666. Рассматриваемая плита, загружена в центральной области равномерно-распределенной нагрузкой по площадке с приведенными раямерами 0,1 х 0,1 и интенсивностью Р = 100. Вычислены значения прогиба и изгибающих моментов в центра квадратной плиты при относительной толщины •= ^ о,1; 0,3.

2. о.

Вычисления прогиба и изгибающих моментов в центра плиты проведены при удержании в бесконечной системе дярнчдияти ноип-рястннх.

Сравнивая полученный результаты с результатами классической теории, зематш, что расхождение по прогибам в центре плиты является довольно существенным - до 32% для квадратной плиты относительной толщиной к4 = 0,3, и, соответственно, 14% для плиты относительной толщиной Ь.«. >0,1. Практически незначительна отклонение результатов вычислений по уточненной и классической теориям изгибающих моментов в центре плиты (до 7Х) для плиты К^.« 0,3, соответственно 2,4% для плиты К* = 0,1.

Используемая теория позволяет получить реальную картину распределения прогиба и изгибающих моментов (рис. 7, 8), Отметим, что в углах плит при В <0,1 прогиб имеет отрицательный анак, а при С .>0,218 значение прогиба равно нулю (рис. 8). Для изгибающих моментов при удержании 12-и неизвестных постоянных практически нулевое значение наблюдается по всему контуру (рио.7).

На рио. 6 построены графики функции "невязки" изгибающих моментов на контуре плиты, полученные при удержании последовательно 4,8 и 12 неизвестных постоянных.

В пятой главе рассмотрена задача об изгибе прямоугольной толстой плиты на винклеровском основании со специальными краевыми условиями на боковых поверхностях (типа условий варнирного закрепления). В главе дается точное решение этой задачи.

Задача решается в напряжениях и в трехмерной постановке. Построенные формулы точно определяют напряженно-деформированное состояние прямоугольной толстой плиты. Проведено сравнение полученных результатов с результатами классической и уточненной теории. Отметим, что для квадратной плиты относительной толщиной 0,3 расхождение результатов с результатами, полученными по уточненной теории составляет для прогиба 1,9%, а с классической теории 27%.

Рис. б.

а.ч / /

Рис. 7. Эпюры изгибающих моментов для квадратной плнтм, свободно лежащей ля пинклррспоком основании.

Рис, 6. Эпюры прогиба для квадратной плиты, свободно лежащей на винклеровском основании.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработана методика решения задач изгиба плит средней толщины на упругом основании Винклера.

2. Разработанная методика построена на основе варианта 4 уточненной теории, предложенной Б.Ф.Власовым.

3. На основе разработанной методики построено аналитическое решение для прямоугольной плиты, два противоположных края которой аарнирнозакреплены, при симметричных условиях на двух других краях.

4. В качестве примеров произведены количественные оценки расхождения результатов, полученных по разработанной методике и классической теории. Например, для квадратной плиты, со свободными продольными краями ( ц =0,2), относительной толщиной

Ь.* =0,3, нагруженной равномернораспределенной нагрузкой, расхождение по прогибу составило 18Ж. При изменении закрепления продольных краев плиты на жесткое или скользящее защемление, расхождение по прогибу для квадратной плиты ( К* = 0,3) достигает, соответственно, 47,931 и 49,3%, а по продольному изгибающему моменту 18,5% и 10,1*.

5. Наблюдается качественное изменение в распределении поперечных сил на контуре плиты при расчетах по уточенной и классической теориям.

6. На основе разработанной методики построено решение задачи об изгибе прямоугольной плиты, свободно лежащей на упругом основании Винклера.

7. Примененный в диссертации метод суперпозиции является эффективным методом получения репения задачи об изгибе прямоугольной плиты, леяацей на винклеровскрм основании.

8. Во всех рассмотренных задачах расхождение результатов уменьшается с уменьшением относительной толщины плиты.

9. Получено точное решение задачи об изгибе прямоугольной толстой плиты на винклеровскои основании со специальными условиями на боковых гранях (в трехмерной постановке). Решение получено в функциях напряжения Максвелла. Это решение позволило произвести качественную оценку границ применимости уточненной теории изгиба плит на упругом основании. Прогиб, полученный по точному речению для квадратной плиты относительной толщиной К* * 0,3, практически совпадает с результатами, полученными по уточненной теории (1,9* - 2,2*).

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Влаоов Б.®., Маржи Мунзер. Расчет прямоугольной пластины на

упругой основании по уточненной теории. -Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости влементов строительных конструкций: сб. тр./Моск. инж.-отроит, ин-т им. В.В.Куйбышева. U,, I9B9.

2. Власов Б.Ф., Маржи Мунзер. Расчет прямоугольных пластин по

уточненной и классической теориям, В сб.; Актуальные проблемы механики оболочек. Тезисы докладов III Всесоюзного совещания-семинара молодых ученых. Казань, 1088,

И-196 Подписано в печать 16.05.90 1'прмпт 60x041 /16 Поч.офс. Объем I уч.-изд.л. Т.100 ЗаказÍ/? Бесплатно

Ротапринт MI1CI1 им.В.В.КуГбь'тепп