автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет плит средней толщины на упругом основании с двумя коэффициентами постели обобщенным вариантом метода Власова-Канторович

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО-СГРОИТЕШШ ИНСТИТУТ ии.В.В.КУИБШЕВА

На правах рукописи

ДЖАРАЛЛА Ш МОХАМЕД

УДК 624.073.2

РАСЧЕТ ПЛИТ СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

С ДВУМЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПОСТЕЛИ ОБОБЩЕННЫМ ВАРИАНТОМ МЕТОДА ВЛАСОВА - КАНТОРОВИЧА

06.23.17 - Строительная механика

Автореферат

диссертации на соиокавю ученой степени кандидата технических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Московском из?:уп-эpi км. В.В.Кувбьпгэва

Научный руководитель Официальные огаюконты

Вэдушре прэдорияткэ

i-cipoiij-öÄaoK жпзлпупо

- доктор технических паук, ¡профессор /донтьва H.H.

- доктор фжмко-катшатаческих наук, профессор Власов Б.©.

- кавдвдат технических наук, доцонт Иванов В.Н.

- ЩЖЭП ородаздеых н спортивных сооружения им. Ыазонцова

Защита С0СТ01ГГ0Я " 3 * март3 1993 г. в 1Б час. 30 мин. на заседании специализированного совета К 053.11.08 и Московском ивй©нврно-строительном институте им. В.В.Куййышева по ядро су: II3II4, Москва, Шлюзовая неб., дом 8, ауд. $ 409.

О диссертацией можно ознакомиться в библиотека института.

Просим Бас принять участка в защите и направить Ваа отзыв в 2-х экземплярах по адресу: 129337, Косква, Ярославское шоссе, д.23, МИСИ им.В.Б.Куйбшюва, Ученый соеот.

Автореферат разослан ■«/£Фзвраля 1292 г.

Ученый секротарь специализированного совета доцэнт, кандидат технических наук

H.H.Анохин

■ . Л j ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

•дол I (

-"""Актуальность темы. Широко распространенным злвкотом строительных конструкций являются прямоугольные плиты с различными закреплэшшмк контура, а также располонюнныэ на упругом основании. Даже при относительно нобольшоп толщине таких плит их работа под нагрузкой значительно' точнее описывается теорией плит сродная

i

толщины, чем классической теорией изгиба тонких пластинок.

Теории плит средней толщины посвящена обширная научная литература, в которой исследованы различные варианты этой теории и соответствушдо им систеглы дифференциальных уравнения, рэссмотрэны многие практически задачи и метода юс решения, использующие аналитический или численный аппарат.

Одаоп та наийотае слошш; и наименее обследованных задач теории плст средноя толщины является;задача о расчете прямоугольной плиты, свободно лшащрй на упругом основании. В качестве упругого основания в имеэдихся публикациях чаи» всего рассматривалась модель винклэровского упругого осносастя и практически не было изучено поведение плиты на упругом основании с двумя коэффициентами постели в трактовке В.З.Власова - H.H.Леонтьева.

К аналитическим катодам рэаения двумерных задач теории упругости относиггся вариационный метод В.З.Власова-А.В.Канторовича я его обобщенный вариант, предложенный А.И.Взлндинером-Б.Ф.Власовым

4

- H.H.Леонтьевым. Эти кэтоды наши широкое практическое применение и показали надет» результата для тонких пластин и оболочек. Однако дяа расчета пластан средней толщины обобщенный вариант метода В.З.Влаоова-А.В.Канторовича ешо не был применен.

В свэтв изложенного можно заключить, что вопросы расчета шит

оредаей толщины, располоюняых на упругом основании с двуия коэффициентами постоли, а также вопросы, относящиеся к области применения обобщенного варианта метода В.а.Бласова-А.В.Канторовича, представляют существенный теоретический интерес и важны дяя решения инженерных задач.

Целью диссэртзшонноя работы является сгодуввдэе:

- При помощи обобщенного варианта метода В.З.Власова -А.В.Канторовича разработать аналитическое рояениэ задачи об изгибе прямоугольной шита средней толщины, свободно лэхгащеп на упругом основании с , дауия коэффициентами постели, приняв в качестве исходного варианта теории имтг срэдаея толщины вариант, предложенный Б.©.Власовым;

- . Разработать ФОРГРАН-программу для ЭВМ, реализующую предложенный аналитический алгоритм;

- Провести расчет прямоугольных шит с различными граничными условиями, заданными на контуре, установить быстроту сходимости использованных в расчетной алгоритме рядов и сопоставить розультзты с решениями, известными из опубликованной литературы;

- Выполнить расчет прямоугольной плиты на винклвровском упругом основании и на упругом основании с двумя коэффициентами постели, выявив особенности работы последнего.

Научная новизна диссертации состоит в том, что в ней впервые доя решения задачи об изгибе плиты средней толщины применен обобщенный вариант метода В.З.Власова - А.В.Канторовича, на базе этого катода создан эффективный алгоритм расчета прямоугольной плиты на упругом основании с двумя коэффициентами постели и

разработана вычислительная программа для ЭВМ, реализующая этот алгоритм. Новизну представляют и результаты, вытекаквдэ из анализа работы плиты на упругом основании,

Драктическад уютность работн ашиючаотсл в возможности непосредственного использования полученных формул, алгоритма расчета и вычислительной программы в практике реального проектирования конструкций, взаимодействующих о упругим основанием.

Достоверности полошний и выводов диссертации вытекает из хорошего соответствия полученных в ней результатов тем,' которые для плит средней толщины о различными условиями закрепления контура избегни и» щзадихся публикация и которые получены другими катода!*«, а такш до быстрой сходимости предложенных решения, проверенной о процесса численного эксперимента.

8а аудиту шошвш.

- катодака и алгоритм аналитического расчета прямоугольных плит ерэдвей толщины, расталошнных на упругой основании о двумя коэффициентами постели;

- вычислительная программа для ЭШ, рэализуадая предложенный алгоритм;

• - результаты реоэния еадач для прямоугольных шмт при различных статических оагруйэдаях и при различных условиях аэкрэплэния контура.

АШШЙЗШЯ работа- Ооиовныэ положения и результаты диссертации докладывались и обоувдаляоь на научных семинарах кафэдры "Строиггельная мехвняка" ШСИ т.В.В.Куйбышева, в 1900 и 1991 гг.

- с -

Структура и обье?< диссертации. Диссертационная раЗота состоят го введения, трех глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Ей обьем составляет 134 страницы машинописного текста, включая 35 рисунков и 16 таблиц. Бийлиогргфия содершт 119 наименования, в том числю 45 наименования работ зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

g первой слава приведен обзор работ, посвящэнншс теории плит сродней толщины, основным аналитическим и численным методам, применяемым в теории изгиба плит, а также краткий обзор работ, относящихся к расчету плит на упругой основании.

Среда исследований, посвященных проблеме расчета плит средней толщины, рассмотрены работы Е. и Э. Рэисснеров, А.Кроима, Х.М.Муштари, И.Г Лерзгулова, А./.Гольденвейзера, Л.Я.Айнолы, Б.Ф.Власова, Редци, Солдагеса и др. Особо отмечены предложения Б.О.Власова, в которых разработан эффективный подход к решению практических задач, успешно примененный в работах А.В.Папуша, М.С.Марш, Ю.Э.Михаяличенко, С.В.Мазуровой.

Первыми методами, использованными для расчета плит средней толщины, явились методы тригонометрических рядов, нэшдаиэ отражение в работах A.C.Бондарчука, П.М.Варвака, М.Иафарэ, К.Совода, В.Л.Салерно и др. Широков применение получили и вариационные метода, использованные в работах Е. и Э. реисснеров, А.М.Пински, Л.Т.Шкелева, Е.А.Оданца и др. В качестве аналитических нашли применение и метода малого параметра и асимптотического интегрирования. Среди численных методов расчета шит средней толпданы наибольшим вниманием пользовался метод конечных элементов.

Применени© этого катода для расчета плит средней толщины начато лишь в последнее дэсятилэтио и встречает специфические трудаооти, связанные в основном с выбором конечного элемента, учитывающего деформацию сдвига. 1С работам этого направления относятся исследования Р.Опалкера, Б.Енгельманна, Ш.Масуда. Ш.Мурэкэва и др. Другие чиодэннь» методы, такие, как метод коллокация. и конечных разностей, использовались только в единичных работах.

Расчету конструкция на упругом основании посвящено огромное количество исследований, к которым в гарную очередь относятся работа Б.Н.Йгиочккаа, А.П.Сишшдаа, М.И.Горбунова-Пооадова, Б.Г.Корянвза, Г.К.Клейна. П. Л. Пастернака, С.Н.Нлэпикова, В.З.Власова, В.Н.Леонтьова, Д.Н.Соболева, А.И.Цзяглина, В.И.Травутаа и др. В шя рассмотрен» различные модели деформируемого основания и предложены оффектившю метода расчета балок и шит. Однако вопросы расчета плэт средней толдипы подучили меныгое освевэнив. в качестве упругого осаованкп здесь принималась в основном винкяэровская кодоль, лишь в отдельные рвотах росека задача о расчете плиты средней толщины, свободно ¿шацзя на поверхности упругого основания. К последом исследованиям в этой области относятся публикации М.С.Марии и С.В.Мазуровоя,

Из приведенного обзора следует, что для расчета плит средней толщины ощэ в» пршэзялоя обобранный вариант вариационного катода В.З.Власова - А.В.Канторовича, недостаточно исследовано поведение прямоугольных шггг, свободно лекавдж на упругом винклеровоком основании и основания с двумя коэффициентами постели. Эти обстоятельства и определили задача и цели диссертации.

Йй ЙЮШ слава рассмотрено решение задачи об изгибе

прямоугольной плиты сродней толщины обобщенным вариантой метода В.Э.Власова - А.В.Канторовича <рио.1).

«г/Т&гу а —^У

Рис. I. Прямоугольная швгга под деястшзем поперечной нагрузки.

Вначале приведены основные гипотезы и, дифференциальные зависимости теории шит оредноа толщины, предложенные Б.Ф.Власовым, и вытекающая ив них разрешавшая систеяа двух дифференциальных уравнения:

2(21

А^ - <р - О ,

(1>

ш

К1-Ю

ч

I — •

в

Берешцения и внутренние усилия шиты выражаются через искомые функции *<х,у) и <р<*,у) следующими соотношениями:

В

— Аг

И*

«г —11> «р

V * t

г. »

гсть «у

<2)

et D<t-n) лр

t » — + -- —

vOy 2Gh л<

Г г>* t »*% Dd-u)* "i

И ■ - DM —r+ (i—Г--—---.

* L «у . 2<¡h лкву J

M • - D' i ——+ ц—— ----,

y { ay* 2Gh л<ву J

M«y" - 2- + [-â---r] • <3>

v г I 2Ch л< «у •'J

(» |-(t «а 1

z"-— tt) •

1-ti A? 1 —At+ .

ay 2 «* j

Джя окончательного рзшння вадачи к уравнениям (I) на квздом m продольных и потарезнчх крз<эа шасгы добавляйтея ю три граничных условия, сформулированных чорэз гарвиегдэнкя или усилия.

В случае гшггы, расползггэшоя на упругом основании о двумя коэффицяэнтааи гоагтелн в te, уравнения <Х> шреписываятоя в вида:

- тшф - 0 ,

р U>

aâAAt - aaAt + e,t - ~ ,

где

2Ch 12

D<1-n) h*

te К К К

а - 1 + 2-2- , а - —- + 2 ~ , а- -2- . (6)

№ ^ Gh D D

Применяя для решения уравнений (4) обобщэнньгй вариант метода В.З.Власова - А.В.Канторовича, дококыв функции <p(*,y), t{x,y) можно представить в вида следующих разложения:

F »

ф(*,У> « Je^y)-«^*) + 2МХ>Л<У) .

(в)

U V

в

Входящие в разложения (в) функции 6к(у), Гк{х), Vm(y), Vn(x), являются искомыми, а безразмерные аппрокснмирувдш функции Kt(x), \(у>, %„<*>' ~ заданными.

Для опрэделения искомых обобщенных пэрешщэния б^у), Гк<х), t?m<у), Vn<x) внесем разлошния (в) в дифференциальные уравнеаяя (А) и применим дааады к каадому из них процздуру метода Бубнова-Галеркина :

а

| (А<р - т^фУгг^х ■ о, (i - i.e.... ,р) ,

о

(7)

ь

| <Аф - гг<$)-\йу я 0, (f » 1.2.....s)

J (a4AAt - a2At + BMt)-%}àx = J(J - i.2.....u),

о о

<8>

ъ ь

I (atAAt - a2At + a3t)-T)hdy = J*— -ijhdy,

(h - l.a.....v),

n«l

О

а

- п -

Раскрывая выражения (7) и (8), окончательно подучим две системы обыкновенных дифференциальных уравнения, соответствующих первому из уравнения <4>, н две системы уравнения, соответствующих второму та уравнения (4). При этом обыкновенные дифференциальные уравнения, Еходгезкэ а каждую из двух полученных систем, оказываются связанными кэвду собой правыми частями, характерными для рассматриваемого кетода.

Расчетный алгоритм излагаемого метода существенно упрощается, вела в качестве аппроксимирукща функция выбраны функции, обладающее свойством ортогональности. Каибсшэе простое рэпение дают, естественно, тригонокзтрнческиэ функции, являющиеся ортогональными со всеми их щюкзводиыми. Вместе о тем, эта функции позволят* рассмотреть достаточно широкий класо граничных условий, если углы плаатинкя вакреплены от перемещения.

В том случае, если изучаемая плита свободно лежит на упругом основании и не имеет закрепления на контуре и в углах, помимо тригонометрических функция, определявши деформированное состояние шиты, с.сэ дует учесть члены, херактеризувдкэ таремеоения угловых точек, то есть тарэиэпзвия пакты как жесткого тела и ее кручение. В соответствии о этим, разлазшяя (в) можно представить в вида:

9 »

Л и V

а «в Т1'%

где а - - , в - - .

О Ь

Здесь \ - искошэ шотоянние, а функции «,,<*,у) имеют шюдуявия

вид:

ь>, - 1, ыя - х/а, и, - у/Ь, ы4 » к-у/аЬ . <10>

Вследствие ортогональности тригонометрических функция, каждая из систем обыкновенных дифференциальных уравнения, вытекающих из выражения (7) и (8>, распадается на отдельные уравнения соответственно дм каждого из индексов 1, к, шип.

Уравнения, соответствующие выражениям (7), принимают вид:

е" - Ц + - о ,

в соответсггвуадвэ выражениям (8> - следующую форму:

С - + О™ - ~ - а Ку -

(И)

в-а

« пм

< - + в^Д, . -1. (рп(ж) - 1п

- ах-ах) ,

о

(12)

Ь-а4

4 ь

Г" о

Здесь принты слэдуадиэ обозначения:

о«* „4 _« ,

2Рат " 2а„ + 1Г • От ** т т "57" "ЩГ* *

ÍP г Р

_ 'В1п <у<ч* . Рп<*> - | у -аш РпУ*У .

о о

1 • 1 * « Г"», « Г"«

•к

где « '81п а^х-аШ рпулуау ,

оо •к

^ ■ |[<»г'з1п <Ч,*'а1п •

Рэшоння дифференциальных уравнения (II) могут быть представлены в виде :

" Аа®1«^ + Ац^У »

«э>

где ёк -± | ^ ^ г" , ^ - + { + г* , а уравнения (12) в слэдуедая форме:

*„<у) - (у) + <<у> ♦ »*<у> * *"(у> ,

(14)

7п<х> - 7°<х> + х) + 7*<х) + 7*(х) , о о

где ®м(у). *,<*) - обиде решения однородны* уравнения, содержащие по четыре постоянных интегрирования:

- и

р р

Wm(y), Vn(x) - частные интегралы, завясяэд» ' от заданной нагрузки;

X V

«„(у), Vn<x) - частные, интегралы от членов, определяемых связующими постоянными X , У ;

mn flm

К Е

Wm(y), Vn{x) - частные интегралы, соотвэтствующиэ тем членам правой части уравнений (12), которые содержат постоянные 1г.

В соответствии с вздом правах частей уравнения {12) эти

частные интегралы определяются в вида:

«

г ; К - J

f (у) ----X -I^i--gin ft у

" aba, ¿ р: + С Р"У

2 " ('L - аЛ ЕА. J

7 (х)----у —--— -ata ак ,

" aba L а + 2р* а + el

» m-i т rfln т (Зп

е 2s„ * Е 2а„ * W (у) в--—-'52- С. » V (ж) г.--V • •

» г** г *rm ' п 1 ' ti г гг»

I ей« г»« « f»n

После нахождения входящих в решения (13) и (14) постоянных интегрирования из граничных условий, заданных на свободных от закрепления краях плиты, искомые фунзадо: \,<у>» Vn{x) будут определены с точность» до четырех коэффициентов I,. Для аградэлэния этих коэффициентов следует рассмотреть дополнительно условия равновесия плиты, понимаемые в скыслэ равенства нулю работы всех сил не возможных торемещэниях (10). Эти условия можно представить в виде 4-х алгебраических уравнения:

аЬ аЪ

+ к0я] -Ы^хау + | О* •54« + ^ ■» Цр-ш^у , <г ■ х.а.э)

(15)

|Г[-2гоА» + коа] -ы^у + А + ^.цр -

оо

лЪ аЬ

оо оо

Здесь 0® и П® - соответственно погонные и сосредоточенные реактивные давления, распределенные вдоль контура плиты я приложенные в угловых точках и гаранте ркзущга работу упругого основания за пределами конструкции,

шг и - значения функции иг соответственно на контуре и а углах плиты. В четвергом уравнении последним членом левой части учтена возможная работа крутящих ноиоятов 'М па деформациях кручения.

Контурные реактивные силы 0®, свойственные принятой модели упругого основания с даумп коэффициентами постели, долзкны быть учтены и при постановка граничных условия. Так,' для крал плиты, свободного от закрепления и заданной нагрузки, например для края х и а, получим:

й,(а,у> - Мху<а,у) = 0, Ц,(а,у> - - 0*<у> .

Величины контурных аф и сосредоточенных Нф реакций вытекают го свойств, присущи* рассматриваемой модели упругого основания с двумя коэффициентами постели. В трактовке. предложенной В.З.Власовым -Н.Н.Леонтьевым, упругое основание представляет собой скимаекый слоя

толщиной н, материал которого характеризуется ¡одулем дефорнации 1о и коэффициентом Цуаосона черва которые определяются величины двух коэффициентов поотели кв и Если приближенно принять, что затухание осадок основания в стороны от загруженной поверхности

происходит, как и в случав плоокой вадачи, по экспоненциальному

-

закону, например, при х*а:

—о Сх-дЭ

»(х.у) - »„(у)-е ° , где «

О <

4

то для определения величины контурных 0* я сосредоточенных Я* реакция можно получить простые выражения. Например, для края плиты

х»а получим: <£<у> - г^^ [~] + «0*.<у)| .

а для угловой точки С: Я* - .

(л» »

—J соответственно прогиб я угол поворота

правого края шиты, а ^ - эначвниэ пропвЗа в угловой точна.

После определения всех искомых Функции можно записать выражения для перемещения я уоилия шиты. Гак. для прогиба «, изгибающих моментов М, и поперечных сияД получим:

г

*<к,у) - 2 £,.4<*,у) + I [(1 ♦ - ~<'<У>]в1П V« +

9

+ 2 (Р +

п „ 1 - ¡£Л<*>]в1п Ку .

М„(х,у> - - и } £ (- аХ<У> + М*>>)-1п V 4-

I

0„ (х,у) -

Аналогичные выражения подучены и для других раочетных величин плиты.

В третьей главе приведены примеры расчета и анализ полученных

результатов. Примерам расчета предшествует рассмотрение вопроса об

р р

определении частных интегралов Ят(у) и Уп(х) уравнений <12) для различных ввдов нагрузки, которая считается заданной в виде:

Р(*,у) - р4(х)ф1(у> V

Для этой цели используются идеи метода начальных параметров, определяются функции влияния для расчетных величин от действия вертикальной нагрузки и в результате строятся частные интегралы, позволяющие проводить расчет шиты на нагрузки, показанные на рис.2.

+ I (?>> - мр;х<*)]вт рпу +

п><

Г * ' 1

- в I К(»>>- <»,>>)«»

V

+ НУ"'(Х)- ^>>]81П ^ -

п»»

<1 -м-> г; , * 1

—г~ 1в^у>'сов «Vе - М

С М»« к«1 1

х +

Рис. 2. Возможные варианты поперечник нагрузок:

а), равномерно распределэнная по всея поверхности;

б).в), равномерно распроделанная на заданном прямоугольника;

г). синусоидальная в двух направлениях;

д). синусоидальная в одном направлении и равномерная в другом; е-и). разрывные нагрузки: к), сосредоточенная сой.

Для реализации предложенного алгоритма расчета прямоугольных плит средней толщины, лежащих па упругом основании с двумя коэффициентами постели, составлена вычислительная программа на язык» Фортран, ориентированная на персональный компьютер РС/А1.

Программа имеет блочную структуру, что позволило путем частичной замены отдельных блоков получить несколько ее модификации, в частности, имеется возможность проводить расчет тонких пластинок, лежащих на упругом основании с двумя коэффициентами постели, а также рассчитывать на изгиб пластинки двух типов (тонхиэ и средней толщины) без упругого основания.

На горвсм зтзга работы программы в диалоговом или файловом режиме в компьютер вводиггся информация, необходимая дая решения задачи: геометрические размеры плоты в, Ь и Ъ, физичесзскэ заракгеристики материала плиты I и ц, коэффициенты постели основания К0 и 1;о; указывается тип нагрузки и ее параметры, даются сведения о граничных условиях, задаэтся число членов ряда для искомых функций, которое предполагается единым для всех сумм, входящих в выражения {9).

Информация о граничных условиях задается для кавдоя стороны, что позволяет широко варьировать условия закрепления четырех сторон прямоугольной шиш. Специальным кодом можно сообщить и о наличии вдоль той или иноа стороны ребра жесткости, поело чего следует указать его параметры.

Поело получения необходимой информации программа выдает схематичное кзображэтзэ плиты с указанием типа нагрузки и условии на контуре, посла чого производагся' вычисление прогибов, углов поворота и внутренних усилия в характерных точках плиты. Все результаты оформляются в вида удобных для чтения таблиц. Время

счета одного варианта при шпги чдавдц рада составляет приблизительно I минуту.

При помощи этой программы было проведано решаю многочисленных эталонных задач по расчету тонких гшгг и гшгг средней толщины, описанных в диссертационных работах A.B.Папуша, И.О.Мареки, O.D. Мазуровой и Ю.Э.Михайличавко. Сопоставлена полученных результатов с известными Показало их хорошее соответствие. При втои, помимо простого сравнения результатов, проверялась сходимость ретина при увеличении числа членов, удерживаемых в разложениях (в), а такт анализировалась качество удовлетворения граничных условий и доходных дифференциальных уравнения.

Так, результат! расчета равномерно загруженной квадратной плиты, два противоположных края которой варнмрно вакрмшш, а два других - свободны, юра относительной толщине шита h/a-0,2 предотевлэны в табл.1 и на рис.З я 4.

Табл.1;

Число членов ряда и метод решения Сравниваемые величины

D«v(0,5;0,5> »•V(0,6;0> Ни<0,5;0.5> Му(0,6;0,Б>

и » 1 0,01429 0,01672 0,1226 0,03363

п - Э 0,01430 0,01661 0,1228 0,00406

п - е 0,01430 0,01662 0,1228 0,02408

аналитическое решение 0,0143 - 0,1228 0,0241

ретениэ по ИПА 0,0146 0,01672 0,1235 0,0246

х

1

a), n-i. Я/

). л-5. и/

о.ооо aar х

г). n»i.

0,00013k х

е). п-5.

Рис. 3. Распредзлэниэ поперечных спя (а,б,в) в крутящих моментов (Г,Д,б) по контуру шиты со свободами продольными краями при различных п.

Рко. 4. Функциональная невязка второго дифференциального уравнения системы (4) при разлитое п: а), при п«1; б), при п»3; в), при п-б.

На рио.З показано распределение погорэчных сил и крутящих номвнтов по контуру рассматриваемой шмти. Здесь вдоль свободного края граничжэ условия сформулированы в интегральной форме, поэтому точного равенства нуля для указанных статических факторов ног, но укэ при трах-пяти членах ряда их можно считать практически нулевыми.

Рис.4 иллюстрирует функциональную невязку второго дифферэнцйэлъного уравнения исходной системы (4). Здесь на четверти области показана та фактическая нагрузка р(х,у), которая может йыгь найдена в результате подстановш полученного решения в дифференциальное уравнониа.

Аналогичные результаты получены для квадратных и прямоугольных плит с различными граничными условиями на действие распределенных, сосредоточенных или почти сосредоточенных и полосовых нагрузок. В частности, рассмотрена плита, два противоположных края которой опираются на упругие ребра, и проанализировано влияние жесткости ребер на напряженное и деформированное состояние плиты.

При рассмотрении работы плит на упругом основании сопоставлены результаты, получаемые по классической теории тонких пластинок и уточненной теории плит средней толщины. Показано, что уточнение расчета, обеспечиваемое применением теории плит средней толщины, составляет прлаэрво 25-30 % для значений максимального прогиба и Б-Ю % для значения изгибавдэго момента при относительной толщгао плиты Ь/а-0,2.

Сопоотавлены также результаты расчета для плит, расположенных на винклеровском основании и основании о двумя коэффициентами постели. На примере квадратной плиты, свободно лвкашея па упругом основании, при двух фиксированных значениях безразмерного парамогрз

К=коа*/1), характеризующего относительную кестко'ггь основания <К=5 и Е=50) „ для двух видав нагрузки: сосредоточенно!! в дентрз и равномерно распределенной проанализировано влияние второго коэффициента постели на калряшино-деформировааноэ состояньэ плиты. Показано, что при увеличении значения второго коэффициента постели работа шиты приближается к работе плиты, расположенной на поверхности упругого полупространства. Наиболее характерные впюры изгибающих моментов при 5с=5 показаны на рис.5.

Р-1

Рис.Б. Эпюры изгибающих моментов дхя центрального сечения плите, свободно лежащая на упругом основании о двумя коэффициентами постели.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОД*

I. При помощи обобщенного варианта метода В.З.Власова -А.В.Канторовича разработан алгоритм аналитического рееэния вадачи об изгибе прямоугольных изотропных плит средней толщины, лэжавдж на

упругом основании о двумя, коэффициентами постели и находящихся под воздеяствкэм распределенных и разрывных нагрузок. Для описания напряженно-деформированного состояния гшгг использована теория, предложенная Б.Ф.Власовым.

2. Разработана вычислительная программа на языке Фортран для персонального когдшэтера типа PC/AT, рзалггзуввдя предложенный аналитический алгоретм и выдающая результаты счета в компактной и удобной для их анализа форле.

3. Проведен расчет прямоугольных плит с различными граничными условиями, заданными на контуре, и показано, что при 3-5 членах, удеркиваемых в тригонометрических рядах, достигается высокая точность вычисления: полученные решэния практически не отличаются от известных в опубликованной литературе.

4. Проанализировано влютше жесткости ребра, усиливающего свободный край пластинки средней толщины, на ее напряженное и деформированное состояние.

Б. Получено решнив для прямоугольной шиш, расположенной на упругом винклеровском основании и основании с двумя коэффициентами постели. Показано, что уточнение расчета, обесточиваемое теорией шит средней толщины по сравнению с результатами теории тонких пластинок, составляет 25-30 % для перемещений и Б-Ю % для усилия при относительной толщине платы h/a=0,2.

в. Проведен анализ влияния второго коэффициента постели на работу плиты, свободно лежащей на упругом основании. Показано, 'что при увеличении до некоторого предела коэффициента to папряшггаоо состояние плиты приближается к тому, которое может быть получоно при использовании в расчете модели упругого полупространства.