автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Изгиб двуслойной составной плиты, свободно лежащей на упругом основании

На правах рукописи

бхуиан мохамед шах алам

изгиб двуслойной сосгабнорт пжгы, свободно лежащей на упругом оснований

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

М о с к -в а 199.7

С-т.

О ¡-О

/ч

сг

СГ;

Я5 £

см

Работа выполнена в Московском государственном строительном университете.

Научный руководитель

Научный консультант

заслуженный деятель науки и техники России, член-корреспондент РААСН, доктор технических наук, профессор Леонтьев H.H.

кандидат технических наук, доцент Леонтьев А.Н.

Официальные оппоненты

- доктор технических наук, профессор Шапошников H.H.

кандидат технических наук, доцент Агаров U.M.

Ведущее предприятие

- ЦНИИЭП зрелищных и спортивных сооружений ии.Б.С.Мезенцева

Защита состоится "¿Цг ^О^рУьй 1997 г. в ¡7 час. г! мин. на заседании диссертационного совета К 053.11.08 в Московском государственном строительном университете по адресу: Москва, Шлюзовая наб., дом 8, ауд. № 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан "_"_ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор,

кандидат технических наук Н.Н.Анохин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В строительной практике находят широкое применение прямоугольные плиты, расположенные на упругом основании, и, в частности, плиты, расчетная схема которых описывается теорией составных стержней и пластин. К таким плитам относятся, например, сквозные фундаментные плиты, плиты дорожных и аэродромных покрытий, различные коробчатые конструкции, контактирующие с грунтом.

Теории составных стержней и пластин посвящена обширная техническая литература. Однако вопросу расчета составных пластин, расположенных на упругом основании, не уделено необходимого внимания. В работах, посвященных этой тематике, не рассмотрена одна из наиболее часто встречающихся в строительной практике и наиболее сложных задач, а именно, задача о расчете прямоугольной составной плиты, свободно лежащей на упругом основании.

Из этого следует, что тема предлагаемой диссертации, посвященной разработке метода расчета составной прямоугольной плиты, свободно лежащей на упругом основании, может быть признана актуальной.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании поведения двуслойной составной плиты, расположенной на упругом основании с двумя коэффициентами постели и находящейся под действием заданной статической нагрузки.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем:

- разработано аналитическое решение задачи об изгибе прямоугольной составной плиты, свободно лежащей на упругом основании с двумя коэффициентами постели. Для получения этого решения впервые

применен обобщенный вариант метода В.3.Власова - А.В.Канторовича;

- разработаны алгоритмы и реализующие их Фортран-программы для расчета двуслойных составных прямоугольных шшт, свободно лежащих на упругом основании, и плит, шарнирно опертых по двум параллельным краям. В последнем случае рассмотрены ортотропные шиты, имеющие различные коэффициента жесткости шва на сдвиг в направлении координатных осей;

- проведен анализ напряженно - деформированного состояния рассмотренных шшт в зависимости от заданных характеристик для шшт и основания и, в частности, в зависимости от величины коэффициента жесткости на сдвиг шва, разделяющего слои плиты.

Практическая ценность работы определяется тем, что полученные в ней результаты могут быть использованы при проектировании и строительстве сквозных фундаментных шшт, шшт дорожных покрытий и различных коробчатых конструкций, контактирующих с грунтом.

Достоверность результатов работы обеспечивается корректной постановкой задачи, использованием простого и хорошо апробированного математического аппарата, а также тем, что в частных случаях из полученных решений вытекают известные решения для сплошных плит на упругом основании.

На защиту выносятся:

- предложенные в диссертации алгоритмы расчета двуслойных составных плит на упругом основании с двумя коэффициентами постели;

- результаты анализа особенностей работы составных плит на упругом основании в зависимости от заданных параметров шшты и

основания.

Апробация работы прошла на заседании кафедры строительной механики МГСУ в феврале 1998 г.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, основных выводов и списка литературы. Общий объем ее составляет 117 страниц машинописного текста, в том числе 25 рисунков, 20 таблиц, 104 наименований в списке литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определена цель работы и кратко изложено ее содержание.

Первая глава посвящена обзору литературы по теме диссертации и описанию тех расчетных схем и методов, которые приняты в диссертации для решения поставленных задач.

Проблеме расчета конструкции, расположенных на деформируемом основании, посвящено большое число научных исследований. В них рассматривались различные модели основания, наибольшее распространение среди которых подучили модель Вшклера, модели упругого полупространства и упругой полуплоскости, модель упругого слоя и различные модификации этих моделей.

Разработке методов расчета балок и плит с использованием перечисленных и других моделей деформируемого основания дасвяданы работы многочисленных выдающихся .ученых, в том числе, М.й.Горбуно-ва-Посэдова, К.Е.Егорова, Б.Н.Жемочкина, А.Г.Ишковой, Г.К.Клейна, С.Н.Клепикова, Б.Г.Коренева, Н.Н.Леонтьева, Б.П.Макарова, П.Л.Пас-

тернака, Г.Я.Попова, А.П.Синишна, Д.Н.Соболева, В.И.Травуша, А.И.Цейтлина и др.

Одной из условных моделей упругого основания, занимающих промежуточное положение мевду моделью Винклера и моделью изотропного упругого тела, является двухпараметровая модель М.М.Филоненко-Бородича, В.З.Власова, П.Л.Пастернака, развитая в трудах Н.Н.Леонтьева. Эта модель способна распределять осадку поверхности упругого основания за пределы загруженного участка. В то же время двухпараметровая модель позволяет проводить расчет балок и шит на упругом основании в такой же простой форме, как и винклеровская модель. В результате этого именно двухпараметровая модель и была принята для решения тех задач, которые рассмотрены в диссертации.

Для расчета прямоугольных шшт, расположенных на упругом основании, были разработаны и применены на практике различные эффективные аналитические и численные метода, такие как метод компенсирующих нагрузок и его модификации, вариационные методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Власова-Канторовича, методы конечных и граничных элементов, метод конечных разностей и другие.

К одному из приближенных аналитических методов расчета прямоугольных шшт может быть отнесен обобщенный вариант вариационного метода Власова-Канторовича, предложенный в работах Вайндинера, Б.Ф.Власова, H.H.Леонтьева. В этом методе искомая функция прогибов плиты в двух направлениях аппроксимируется выбранными системами функций и одновременно с этим в тех же направлениях разыскивается из решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Это позволяет при помощи относительно простого

математического аппарата и гсри небольшом числе члено, удерживаемых в рядах, получить достаточно высокую точность вычислений. Поэтому в диссертации для расчета составной прямоугольной плиты и был принят обобщенный вариант метода Власова-Канторовича.

Расчету многослойных пластин также посвящено большое число работ. К ним относятся исследования А.Я.Александрова, С.А.Амбарцу-мянэ, А.А.Амосова, В.В.Болотина, А.С.Вольмира, Э.И.Григолюка, Л.М.Куршина, И.Е.Милейковското, В.Н.Москаленко, Х.М.Муштари, Ю.Н.Новичкова, В.Г.Пискунова, А.Г.Терегулова, К.А.Турсунова, П.П.Чужова и других авторов.

Особый подход к расчету многослойных конструкций предложен А.Р.Ржанишным и назван им теорией составных стержней и пластин. В трактовке А.Р.Ржанишна составная конструкция представляет собой систему балок или тонких пластинок, соединенных между собой жесткими или податливыми связями, воспринимающими сдвигающие усилия и препятствующими расхождению слоев. Основными искомыми функциями в этой теории являются касательные напряжения %х, , возникающие между слоями, и прогиб конструкции ш, определяемые из системы дифференциальных уравнений, порядок которой зависит от количества слоев.

Теории составных стержней и пластин посвящены многочисленные исследования, выполненные на основе и в развитие работ а.Р.Ржанииына. Среди них в первую очередь необходимо отметить работы П.Ф.Дроздова, М.Н.Додонова, П.Л.Паньшина, А.П.Пшеничкина, ГО.В.Быховского, Д.М.Подольского, А.И.Раппопорта, Р.А.Хечумова, А.Р.Хечумова, В.В.Холопцева и других.Эта теория нашла широкое применение в расчетах различных строительных конструкций,

выполненных из металла, железобетона и дерева. Однако многослойные и, б частности, двуслойные плиты, механические свойства которых отвечает теории составных пластинок и которые расположены на упругом основании, не были изучены с необходимой полнотой: в опубликованных работах не рассматривалась задача об изгибе составной прямоугольной плиты, свободно лежащей на упругом основании.

Во второй главе рассмотрена задача об изгибе двуслойной составной плиты, расположенной на упругом основании с двумя коэффициентами постели и шарнирно опертой по двум параллельным

ПРОДОЛЬНЫМ КраЯМ х = const (рис.1).

Принято, что плита является ортотропной, то есть коэффициенты жесткости шва на сдвиг Е и £ в направлении координатных осей

X у

имеют различные значения. Кроме того, предположено, что края плиты не закреплены от сдвига и на них производные от касательных напряжений гх, гу по нормали к краю равны нулю.

Отнеся плиту к безразмерным координатам * = х/а, г? = у/b, для решения поставленной задачи можно получить следующую систему дифференциальных уравнений:

г огг 1-р. аг эг% ,. 1+ц аг1

Е —+---—+ Е--- -

* L Эх 3 Ъ2 Эг,г J у 2 azdv

Ее , <J3W a2 <>3w Л ,1 1

a2(1-|i2)L ^л:3 Ъг 9XdvZj 4i h.

огх 1-р. b2 azt 1+ц. аг%

] - + vK= 0> (1)

Е f —£ + у L л«2 о яг }

+ I

On 2 а &х 2 г>хдп

a z •] - bf— + — К = <2)

L Vl Vl J У

1с r ¿?3w Ьг a3w ^ , ^ 1

tfa-i/r а вх dnJ L h. h

car ' - *

Б

Г этх а <п " дХ b эг,

4- г-* Л, ~ ~ +

, ■> , к a qa

+ V V w - 2 У2» + w = -, (3)

d d d

где а и b - размеры плиты в плане,

к., tQ коэффициенты постели основания,

Е I I = -, Е = -,

* ad у ь(1-р.2>еу

1,2 а2 а4

Ч2 = — + — —;, vV = —- + 2

Ь2 <?** ь2 ¿Ь,2^2 Ь* эу?*

Принятые граничные условия позволяют представить искомые функции и заданную нагрузку q в виде следующих рядов:

со аэ

да (*,!?> = ^1Яп(г7)з1п(Ш:>, q (*,»?> = £яп(г?)5хп(пх),

П=1 П=1

со ио

% (*,п) = У У А соз(п*)-з:ш<йг?>,

х Си т п

m=in=l

00 (Х>

^ = 5 ^В 31П(Ш;)-С03(Йт7),

У ¿л ¿и mn

где m = ттс, п = пи.

Подстановка этих рядов в исходные дифференциальные уравнения

дает:

1-р, аг и2, а 1 m ")

--- — + —— А + I--В \ sin(nm> =

2 bz nzJ rfH J mn y 2 n mnJ

Ec - a2 ,„

-fr?»n--rHJ, (4)

rf I h2 "J

a2 (1 -p.2 )n

„ f 1 щ n r r 1 -p. b if, b i 1

У {E -—- — A + E 1 +------+ —— В \ cos(mr?) =

LI * 2 ш m" L y 1 2 а ш m2H -I mnJ

vi— t

"pc b

r lit —, U I "4 ___

b <1-p. )m L n a '

с!э* ® а

- 2ггй" + зл9 = С (г?) ---Т ГпА + -гаВ Ъ:т(тг?). (2,19)

г» пп г» о ^^ ^ тп ^ тп^ 4 ' '

о т=1

Здесь:

Ь _ Ъ _

2г* = 2— (г? + г), э* = ~(п4 + 2п*Ч + к), (2.20)

ч Ь4 г а к а4 1 1 1

С (г?) = —, Т = -2—, Е=_£_. — = _ + —.

Б Б Б„ Н 11 Ь

о о о ± г

Уравнение (6) представляет собой известное дифференциальное уравнение, интеграл которого 1п записывается через гиперболо-тригонометрические функции с точностью до четырех постоянных С1г,.

Для нахождения этих постоянных на поперечных краях шиты для каждого номера п могут быть сформулированы четыре граничных условия, приводящих к четырем алгебраическим уравнениям. Дополнительные алгебраические уравнения, позволяющие найти постоянные Ктп и Втп, можно получить из уравнений (4) и (5). Для этого входящие в правую часть уравнения (4) и (5) функция и ее

производные долины быть разложены в соответствующе тригонометрические ряды. Полученные таким образом уравнения совместно с граничными условиями образуют полную систему алгебраических уравнений для определения постоянных Атп, Втоп, С1п,..,С4п и, следовательно, для определения искомых функций №, %х, 1 .

Для нахождения внутренних усилий изгибного состояния составной шиты могут быть использованы известные формулы теории изгиба тонких пластинок. При этом только следует учитывать, что величина цилиндрической жесткости составной плиты будет зависеть от величин коэффициентов ^, .

При помощи разработанного алгоритма был выполнен ряд примеров

расчета квадратных и прямоугольных плит, имеющих свободные, защемленные и свободно опертые поперечные края и находящихся под действием различных нагрузок. В качестве упругого основания были рассмотрены винклеровская (при to = 0) и двухпараметровая модели при к =10 МПа/м или к = 50 Mïïa/м и t = 0,025 к а2.

* о о о о

Плита определялась следующими соотношениями и величинами (рис.1): а/Ь = 1 или а/Ь = 0,5, c/h = 5, a/h = 30, ht = \ = h, I = 3-Ю* МПа, у. = 0,16.

Исследовалось изменение деформированного и напряженного состояния плиты (определялись прогиб плиты, изгибающие моменты и сдвигающие напряжения) в зависимости от граничных условий, заданных на поперечных краях плиты, типа нагрузок, жесткости шва на сдвиг и податливости упругого основания.

Результаты расчета представлены в виде таблиц и графиков, из которых можно заключить, что при всех рассмотренных граничных условиях величина коэффициента жесткости шва на сдвиг весьма сильно влияет на расчетные результаты: в случае Хх = ? = ? при î < 10"* работа составной плиты приближается к работе плиты, состоящей из двух не связанных между собой пластин, а при f > 1 - к работе монолитной плиты. При этом увеличение жесткости упругого основания несколько ослабляет влияние Х-

В случае орготропных плит, коэффициенты жесткости шва на сдвиг которых различны в направлении координатных осей (Хх * Ху >. при большой изгибнои жесткости плиты в одном из направлений, т.е. при увеличении в этом направлении коэффициента расчетные величины относительно мало изменяются в зависимости от значений Ç другого направления. В крайних случаях, когда один из коэффициентов | равен нулю, а второй - бесконечности, полученные результаты

совпадают с теми, которые дзет расчет ортотропной пластинки, описываемой уравнением:

¿/w

D - + 2D - +• D - = q,

1 а * 3 -22 2 т.1

<5>Л: дх д'П &П

где = / В1Бг .

Третья глава посвящена решению задачи об изгибе двуслойной составной плиты, свободно лежащей на упругом основании. В этом случае принято, что = £ = а края шшты не закреплены от сдвига.

Рассматриваемая задача описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

- ■КгЧг1--\2Х Т2» - к 1»] = -а ,

¡3 I о ° ) ъ

(8)

- с^Т + Б Т2^«; - 2t О2» + к « = а ,

О Г> Л * *

г CZ 1-Ц* 1 1 л

L П Т. Ь h JJ

где Хг = — + —— I — +

D I 1 h h

О í z

а искомая функция Т определяется зависимостями: зТ at

ffx * у ду

В результате того, что края шиты приняты не закрепленными от

сдвига, функцию Т(х,у) можно разыскивать в виде двойного тригонометрического ряда:

ОО 00

Т(х.у) = У У A sin а x-sin р у , (9)

f . ТПТ» Tfl тч

m=m=i

где а = т-тс/а, б - п-тс/Ъ.

т 9 ■ п

Подстановка ряда (9) во второе из уравнений (8) позволяет получить:

t к s^Vw - 2— + — w =

O O

q с 00 00

----И (< + P*)A sin ox-sln P y. (10)

JJ jj ¿j m 1 n mn m 1 n

O O m=ln=i

Уравнение (10) представляет собой известное уравнение изгиба тонкой плиты, имеющей цилиндрическую жесткость Do и расположенной на упругом основании с двумя коэффициентами постели. Однако в отличие от этого уравнения в правую часть уравнения (10) помимо заданной нагрузки входит член, содержащий искомую величину ктп.

Общее решение уравнения (10) можно записать в виде следующей суммы:

W(x,y) = W (х,у) + W (х,у), (II)

О А

где wА(х.у) - частное решение, зависящее от постоянной Amn.

Для нахождение общего интеграла wo(x,y) применен обобщенный вариант вариационного метода Власова - Канторовича. При этом искомая функция двух переменных \vo(х,у) записана в виде:

* и V

W0(x>y) = 21гШг(Х'У) + IWm(y)'3Ín amX + 2Vn(x)"SÍn КУ' (12) Г=1 ГП = 1 П=1

где 1г - постоянные коэффициенты, функции <i)r(x,y) имеют вид: (о=1, у = х/а, о) = у/Ь, из = х-у/аЪ ,

12 3 4

а одномерные функции Wm(y) и Vn(x) определяются из решения обыкновенных дифференциальных уравнений следующими выражениями:

" 2 1. 1 г к * .

W (у) = W (у) + W (у)--У -N - — VER Sin р у -

щ" m" m w ' ь L j L тп Т| " г r'mnJ "

ab d D

r»=l rvin O r=i

2 k, 1 *

a D s,

o lm г =i

о р 2 1, К „ -ч

Уп(х> = 7(х) + Тп(х> - — I —— ох -

т -1 тп

2 ко 1 Г

--- 10 ■

Ь Б й /' гп

2п Г = 1

Здесь: N = [Г— -з1п а х-йзл ¡3 у-<зх<зу, тп JJ в

оо

Яш -эй! а х-эгп В у-ахду,

г т ' п

оо

й = (а2 + р2)2 + 2-Ь- (а2 + Р2> + \

тг» т ' г> р гг» 1 г» ^

ot ъ- 2t к

з- = а< + + а*. = Г + —Р2 + —,

1п т I) т Ю 1) Ю

а Ь

С = (ш -эш а х-ах , -8 = ш -бш 9 у-йу.

т-т 1 г т гп 1 г 1 п

Каждое из частных решении (у) и ¥п(х) однородных дифференциальных уравнений, подученных из уравнения (10), записывается

через гидарболотригонометрические функции и 4 постоянных интегриро-

р р

ваяия. Частные интегралы (у) и ■ 7п(х) определяется видом заданной нагрузки (1(х,у).

Таким образом выражение (12), определяющее функцию здо(х,у), содержит 8 постоянных интегрирования и 4 коэффициента I , для нахождения которых формулируются 8 граничных условий и 4 обобщенных условия равновесия плиты.

Для нахождения полного прогиба составной плиты »(х,у), определяемого формулой (II), требуется еще найти постоянные Атп, входящие в частный интеграл » . Для этого может быть использовано

н

первое из уравнений системы (8), в которое следует внести выражен™ (9) и (II).

Подстановка (9) в первое из уравнений (8) позволяет записать: - 2t Sfw + k i =

О О

D " 00

= q--— У Y А (а2 + р2)(а2+ рЧ A.z)sin а x-sin р у. (13)

~ г L* L* тпп m rn m rn тп

' m=ln=l

Можно видеть, что для выполнения этого условия левая часть (13) и заданная нагрузка должны быть разложены в двойные тригонометрические ряды. Поскольку функция w(x,y) определена выражением (II), такое разложение становится возможным и приводит к дополнительному уравнению дош определения постоянных Алп:

U + q

ron 7mn

mn ~ D (az + рг)(а2 + В2 + А,2)

O m "n ' т "п аЬ

где U = —| J (2t V2» - kw)-sin а x-sin В ydxdy,

™ ab-lJ ° °

оо аЪ

qmri = — JJq(x.y)-sin amx-sin pnydxdy,

oo

После определения функции прогибов составной шиты w(x,y), углы поворота фх, <ру, изгибающие моменты Мх, Му и поперечные силы , определяются с использованием известных зависимостей теории изгиба тонких пластинок. Эти зависимости позволяют сформулировать для каждого края плиты по два граничных условия. Так, например, в случае края х = а, свободного от закреплений и нагрузки, можно записать:

М (а,у) = - Ъ

I - цр*Уп(а)]я1прпу| = 0, (14)

Ох(а,у)=-Во

П= 1

с 00 00 А

^ р ^ -1 Тпг>

от = 1п=1 тп

где 0®(у) - фиктивная опорная реакция упругого основания, определяемая формулой: &

а*(у) = - +ао») .

&х х = а

Из выражений (14) и (15) можно видеть, что граничные условия для изгибающего момента удовлетворяются точно, а для поперечной силы - в интегральном смысле (разложением функций 1и(у! и в

ряд по з1прпу).

При помощи изложенного алгоритма рассмотрен ряд примеров расчета плит, характеризуемых соотношениями (7). При этом предполагалось, что заданная нагрузка может быть представлена в виде:

= ql<x)•q2(y).

р р

Это позволило построить частные интегралы (у), для

нескольких видов загружения, комбинация которых дает возможность производить расчет плиты на достаточно широкий набор поперечных нагрузок, показанных на рис.2.

Были рассчитаны квадратные и прямоугольные шиты, свободно лежащие на упругом основании/ Варьировались виды загружения, параметры упругого основания и величина коэффициента жесткости шва на сдвиг. Полученные результаты представлены в пяти таблицах и на четырех графиках, один из которых приведен на рис.3. Из этих

результатов вытекают выводы, аналогичные тем, которые были сделаны по результатам второй главы: величина коэффициента жесткости шва на сдвиг и принятые значения яда коэффициентов постели оказывают весьма сильное влияние на характер деформированного и напряженного состояния составной плиты. Как и ранее, из полученных решений в крайних случаях при £ = 0 и £ = ® вытекают известные решения для монолитных плит. Анализ результатов свидетельствует также о высокой точности примененного вариационного метода, который обеспечивает хорошее удовлетворение граничных условий и небольшую величину функциональной невязки для рассмотренных видов загружения плиты при трех-пяти членах, принятых в разложениях (12) и (13) (рис.4).

Приведенные примеры расчета выполнены при помощи вычислительной программы для Ж, реализующей предложенный алгоритм.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Г. Анализ технической литературы показал, что решение задачи об изгибе двуслойной составной прямоугольной плиты конечных размеров, расположенной на упругом основании, не было рассмотрено в опубликованных исследованиях.

2. В диссертации предложены решения двух основных задач:

- об изгибе двуслойной ортотропной составной плиты конечных размеров, шарнирно опертой по продольным краям, имеющей различные оформления поперечных краев и расположенной на упругом основании с двумя коэффициентами постели.

- об изгибе двуслойной изотропной составной шиты конечных размеров, свободно лежащей на упругом основании с двумя

коэффициентами постели.

3. Предположение об отсутствии закреплений от сдвига краев плиты позволило свести первую из рассматриваемых задач к интегрированию известного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка, а вторую - к интегрированию известного дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка.

4. Для решения полученного дифференциального уравнения в частных производных использован обобщенный вариант вариационного метода Власова-Канторовича, позволивший при удержании трех-отти членов в принятых рядах получить высокую точность вычислений.

5. Выполненные примеры расчета квадратных и прямоугольных шшт показали, что жесткость шва на сдвиг, характеризуемая коэффициентом £, оказывает решающее влияние на поведение составной плиты под нагрузкой: при | < 10"" напряженно-деформированное состояние плиты приближается к тому, которое характерно для плиты, состоящей из двух не связанных между собой слоев, а при X > 1 составная плита начинает работать как монолитная.

Примеры расчета показали также, как принятые величины коэффициентов постели влияют на прогибы плиты и значения изгибающих моментов. При этом учет второго коэффициента постели t приближает результаты к тем, которые для монолитных шит дает модель упругого полупространства.

8. Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что для изотропных составных плит (при = £у = £) в предельных случаях при £ = 0 и £ = ® решения совпадают с теми, которые получаются для монолитных шшт, имеющих цилиндрическую жесткость

Бо и Бм. В случае ортотропных составных плит (при |х * £ ) предельные случаи Цх =0, — оо и = = 0) дают известные решения для монолитных ортотропных плит, имеющих соответствующие цилиндрические жесткости.

Рис, 1

ЬТ

Kßa урaTtídf пиита

при «=50, 1 = 0

— У

IV М,

%

Рис. 3.

Ы= ЪХ'^Г' i о*

D,

-з

Мх^М/^аНО

1. — f-0

¿. — f = 10

з,— ^

м.— ^ -о*3

1

О

t-

S

Рис.4